Ventura Echand´ıa Liendo. Carlos ... - E. de Matemática UCV · espacio de todas las funciones...

Notas de Analisis Funcional

Ventura Echandıa Liendo. Carlos E. Finol

Caracas, Octubre 2002.

Contenido

1 Nociones de espacios normados 7

1.1 Espacios metricos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Ejemplos de espacios normados . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Propiedades de la funcion norma . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Norma en los espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Espacios cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Aplicaciones lineales 27

2.1 Condiciones equivalentes de continuidad . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Norma en L(X,Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1 Norma de un operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2 Condicion para que L(X, Y ) sea un espacio de Banach 32

2.2.3 Equivalencia de normas en espacios normados . . . . . 33

2.3 Espacios normados de dimension finita . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 El teorema de F. Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 El Dual de un espacio normado 39

3.1 El Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Ejemplos de espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3

4 CONTENIDO

4 Series en espacios de Banach 494.1 Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Caracterizacion de espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . 52

5 El Teorema de Baire y aplicaciones 535.1 El Teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Acotacion uniforme y Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . 56

5.3 El Teorema de aplicacion abierta . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4 El Teorema del Grafico Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Topologıa debil 676.1 Convergencia debil y debil estrella en espacios normados . . . 676.2 Espacio producto y Topologıa debil . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2.1 Espacios productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2.2 Topologıas debiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Espacios de funciones continuas 737.1 Espacios de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2 El Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 757.3 El Teorema de Arzela -Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Espacios de Hilbert 858.1 Formas hermıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.1.1 Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.2 Complemento y Proyeccion Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . 898.3 Teorema de Representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . 928.4 Desigualdad de Bessel e igualdad de Parseval . . . . . . . . . . 968.5 Operadores acotados sobre espacios de Hilbert . . . . . . . . . 100

8.5.1 Operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.5.2 Operadores hermıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.5.3 Operadores normales y unitarios . . . . . . . . . . . . . 106

8.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Introduccion

Las presentes notas, que no estan realizadas para ser consideradas un librode texto, estan basadas en apuntes de diferentes cursos de Analisis Funcionaldictados por los autores en el Departamento de Matematica de la Facultadde Ciencias de la Universidad Central de Venezuela.

El Analisis Funcional constituye una importante rama de la Matematicamoderna y su surgimiento puede ser asociado al desarrollo de la teorıa deOperadores en los espacios de Hilbert de dimension infinita y al estudio delos espacios normados.

La intencion principal de publicar el presente trabajo, ha sido dotar a losestudiantes de la Licenciatura en Matematica de la U.C.V. de un material quese adapte estrictamente al programa de la asignatura Analisis Funcionalde dicha Licenciatura, lo cual consideramos sera de gran utilidad para quelos estudiantes logren los objetivos planteados en dicho curso.

El trabajo esta dividido en capıtulos, cada capıtulo esta dividido en sec-ciones en los que apareceran algunos ejercicios. Los capıtulos finalizan conuna seccion de ejercicios. La resolucion de los ejercicios servira para compro-bar el grado de dominio alcanzado por el lector de las ideas y las tecnicaspresentadas en el capıtulo correspondiente. Cada capıtulo contiene proble-mas de diferentes grados de complejidad. Ademas de los ejercicios de calculoexisten aquellos que permiten demostrar y comprender ciertos resultados.

Estamos seguros de que a pesar de los esfuerzos que hemos realizados enla revision de estas notas existiran algunos errores, los que agradecerıamosa los lectores nos los comunicaran, ası como cualquier sugerencia sobre losdefectos que puedan presentar estas notas.

Queremos agradecer a la Senora Mildred Graterol por el tipeo en Latexde estas notas y a la profesora Marıa D. Moran por la acuciosa revision ysus valiosos comentarios.

Los autores.

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6 CONTENIDO

Capıtulo 1

Nociones de espacios normados

1.1 Espacios metricos y espacios vectoriales

1.1.1 Espacios metricos

Definicion 1.1 Una metrica sobre un conjunto S es una funcionρ : SxS → R que satisface las siguientes condiciones:

(M1) ρ(x, y) ≥ 0 para todo x, y en S

ρ(x, y) = 0 si, y solo si, x = y.

(M2) ρ(x, y) = ρ(y, x) para todo x, y en S.

(M3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) para todox, y, z en S.

M1 es llamada la condicion de positividad.M2 es llamada la condicion de simetrıa.M3 es llamada la desigualdad triangular.El par (S, ρ) es denominado un espacio metrico.

Ejemplo 1.1 En R, definimos ρ (x, y) = |x− y| x, y ∈ R.

Ejercicio 1.1 Demuestre que ρ es una metrica sobre R.

Ejercicio 1.2 Definamos ρ : RxR → R, por

ρ(x, y) = inf(1, |x− y|)

Demuestre que esta ρ es una metrica sobre R y que ρ es acotada.

7

8 CAPITULO 1. NOCIONES DE ESPACIOS NORMADOS

Ejemplo 1.2 Para cada conjunto S definamos ρ : SxS → R por

ρ(x, y) =

1 si x 6= y0 si x = y.

Ejercicio 1.3 Demuestre que ρ es una metrica sobre S.

Observacion 1.1 Si (S, ρ) es un espacio metrico la topologıa ζ determinadapor ρ esta dada de la siguiente manera: Un subconjunto 0 de S se dice abiertosi para cada x en 0 hay un ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ 0.Aca B(x, ε) = y,∈ s : ρ (x, y) < ε .

Observacion 1.2 Notese que para definir espacios metricos no se exige enS ninguna estructura algebraica.

Vamos a extender los conceptos de algebra lineal a dimension infinita ypor lo tanto necesitamos la estructura de espacio vectorial, cuya definicionescribiremos con detalle.

1.1.2 Espacio vectorial

Definicion 1.2 Un espacio vectorial X sobre un cuerpo K consta de dosfunciones, una de XxX → X denotada por + y otra de KxX → X denotadapor ., las cuales satisfacen las siguientes condiciones:

(A1) x + (y + z) = (x + y) + z , para todo x, y, z en X.

(A2) (x + y) = y + x, para todo x, y en X.

(A3) Hay un 0 en X tal que x + 0 = x, para todo x en X.

(A4) Para todo x en X hay un (−x) en X tal que x + (−x) = 0.

(P1) Para todo a, b en K y x en X; a.(b.x) = (a.b).x

(P2) Para todo a, b en K y x en X; (a + b).x = a.x + b.x

(P3) Para todo a en K y x, y en X; a.(x + y) = ax + ay.

(P4) Para todo x en X; 1.x = x.

En estas notas K sera restringido a ser K = R o K = C.

1.1. ESPACIOS METRICOS Y ESPACIOS VECTORIALES 9

Ejemplos de espacios vectoriales:

Ejemplo 1.3 Rn = (x1, x2, x3, . . . xn) ; xi ∈ R, i = 1, 2, . . . ncon adicion + definida por:

(x1, x2, x3, . . . xn) + (y1, y2, y3, . . . yn) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, . . . xn + yn)

y producto por un escalar definido por:

λ(x1, x2, . . . xn) = (λx1, λx2, . . . λxn) ,

es un espacio vectorial.

Ejemplo 1.4 Si S es un conjunto cualquiera y definimos

Ω(S) = f funciones definidas en S a valores reales ,

entonces Ω(s) con adicion + definida por :(f + g)(x) = f(x) + g(x) , x ∈ S.y multiplicacion por un escalar (.) definido por:

(λ.f) (x) = λ.f(x) , λ ∈ R , x ∈ S,

es un espacio vectorial.Nos referiremos a esta suma y multiplicacion como la suma y la mul-

tiplicacion usuales.Si S = N , entonces Ω(N ) es el espacio de todas las sucesiones a valores

reales.

Ejemplo 1.5 Si S es un subconjunto de la recta real; C(S) denotara elespacio de todas las funciones continuas con valores en R. C(S) estara dotadode la suma y multiplicacion por un escalar usuales.

Ejemplo 1.6 Sea ` el conjunto de las sucesiones que solo tienen finitosterminos diferentes de cero. El conjunto ` es un espacio vectorial con lasuma y multiplicacion usuales.


Definicion 1.3 Si Y es un subconjunto del espacio vectorial X y Y es unespacio vectorial con respecto a las operaciones definidas en X, entonces di-remos que Y es un subespacio vectorial de X .

Ejercicio 1.4 Si denotamos por c al conjunto de todas las sucesiones con-vergentes, por c al conjunto de todas las sucesiones que convergen a cero, y

por `1 al conjunto de todas las sucesiones (xn)∞n=1 para las cuales∞∑

n=1

|xn| <

∞.Verifique que` ⊂ `1 ⊂ c ⊂ c ⊂ Ω(N),

y que cada uno de estos conjuntos es subespacio vectorial del que lo contiene.

1.2 Espacios Normados

Definicion 1.4 Supongase que X es un espacio sobre el cuerpo K. Unanorma sobre X es una funcion ‖.‖ de X en los reales no negativos, quetiene las siguientes propiedades:

(N1) Para x en X, ||x|| = 0 si, y solo si,x = 0.(N2) Para x ∈ X y a en K, ||ax|| = |a| ||x|| .(N3) Para x, y ∈ X, ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y|| .

La propiedad N2 es llamada Homogeneidad. La propiedad N3 es llamadadesigualdad triangular.

Ejercicio 1.5 Verifique que si ‖.‖ es una norma sobre un espacio vectorialX, entonces la funcion ρ(x, y) = ||x− y|| define una metrica sobre X .

Al espacio X dotado de la topologıa definida por la metrica ρ(x, y) =||x− y|| se le denomina espacio normado.

1.2.1 Ejemplos de espacios normados

Espacios de dimension finita

Ejemplo 1.7 X = Rn , x = (x1, x2, ...xn)

‖x‖ =

(n∑

k=1

|xk|2)1/2

(norma Euclidea)

1.2. ESPACIOS NORMADOS 11

Ejercicio 1.6 Use la desigualdad de Cauchy-Schwartz(n∑

k=1

x.y

)≤ ‖x‖ ‖y‖

para demostrar que‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

Ejercicio 1.7 Verifique que la norma Euclidea es una norma en Rn.

Observacion 1.3 Un argumento similar se usa para probar que la normaEuclidea es una norma en Cn.

Ejemplo 1.8 Si 1 ≤ p < ∞, entonces la funcion ‖.‖ p sobre Rn o Cn definidapor:

‖x‖p =

n∑

i=1

|xi|p1/p

es una norma (daremos la demostracion en paginas posteriores).

Ejercicio 1.8 Verifique que la funcion ‖.‖ ∞ definida por:

‖x‖∞ = max |xi| : 1 ≤ i ≤ n ,

es una norma en Rn o Cn.

En paginas posteriores demostraremos que todas las normas definidasanteriormente, determinan la misma topologıa sobre Rn.

Ejercicio 1.9 Dibuje los conjuntos Ap =

x ∈ R2 : ‖x‖p = 1

, para p = 54;

p = 2; p = 52

y p = 3

Espacios de sucesiones

Ejemplo 1.9 El espacio de sucesiones acotadas es denotado por `∞ , es decir

`∞ = x = (xk)∞k=1 : ∃ M ∈ R |xk| < M, para todo k ≥ 1 .

La norma uniforme ‖.‖∞ es definida sobre `∞ por ‖x‖∞ = supk≥1

|xk| .


Ejemplo 1.10 El espacio c es definido por

c :=

x = (xk)∞k=1 : lim

k→∞xk existe

Ejemplo 1.11 El espacio c =

x = (xk)

∞k=1 : lim

k→∞xk = 0

.

Ejercicio 1.10 Demuestre que c y c son espacios normados dotados con lanorma ‖.‖ ∞.

Ademas se tiene que c ⊂ c ⊂ `∞.

Ejemplo 1.12 El espacio `p, 1 ≤ p < ∞, consiste de todas las sucesionesx = xk∞k=1 reales o complejas tales que

‖x‖p :=

∞∑

k=1

|xk|p1/p

< ∞.

`p es un espacio normado dotado de la norma ‖.‖p.

Espacios de funciones

Ejemplo 1.13 Sea (X, Σ, µ) un espacio de medida totalmente σ finito, esdecir, existe una sucesion An∞n=1 ⊂ Σ tales que µ(An) < ∞ y X =∞⋃

n=1

An. Denotaremos por Lp(X,µ); 1 ≤ p ≤ ∞, al espacio de las funciones

f : X → K, µ - medibles tales que

‖f‖p =

(∫X

|f(x)|p dµ(x)

)1/p

< ∞.

Ejemplo 1.14 El espacio L∞ (X, µ) consiste de aquellas funciones f , µ -medibles y esencialmente acotadas. Esto significa que existe A ∈ R tal que|f(x)| ≤ A µ−casi siempre. La mas pequena constante A para la cual estoes cierto es denominada el supremo esencial y esta sera la norma infinita def ; es decir

‖f‖∞ = inf

supt∈S

|f(t)| : S ∈ Σ ; µ(X − S) = 0

.

1.3. PROPIEDADES DE LA FUNCION NORMA 13

Ejemplo 1.15 Sea X un espacio metrico compacto. El espacio vectorial detodas las funciones continuas definidas en X con valores en K = R o K = Clo denotaremos por CK(X). Este espacio dotado de la norma ‖.‖ ∞ definidapor

‖f‖∞ := sup |f(x)| ; x ∈ X ,

es un espacio normado.

1.3 Propiedades de la funcion norma

Supongamos que (X, ‖.‖ ) es un espacio normado, entonces se tiene que1.) Para todo x en X

‖−x‖ = ‖x‖

2.) Para todo x, y en X se tiene que

‖x‖ = ‖x + y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖ ,

de lo cual se tiene que‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖ .

De forma analoga podemos obtener que ‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖x− y‖ ,

por lo tanto se tiene que

|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖.

En un espacio normado (X, ‖.‖) es inducida una metrica por

d(x, y) = ‖x− y‖ .


Esta metrica tiene las siguientes propiedades:

1. d(λx, λy) = ‖λ (x− y)‖ = |λ| ‖x− y‖ = |λ| d(x, y), para todo x, y ∈X ; λ ∈ K.

2. d(x, 0) = ‖x‖ , y como ‖x‖ = ‖−x‖ , entonces d(−x, 0) = ‖x‖ .

3. d(x + z, y + z) = d(x, y).

Ejercicio 1.11 Dado X un espacio normado y x ∈ X, definamos la funcionf : [0,∞) → [0,∞) , por

f(x, t) = d (tx, 0) = ‖tx‖ .

Verifique que para cada x en X, f es una funcion creciente.

Observacion 1.4 La norma es una funcion continua sobre X. En efecto,sea xn∞n=1 ⊂ X una sucesion que converge a x ∈ X en la topologıa de lanorma ‖.‖ ; es decir

limn→∞

‖xn − x0‖ = 0,

se deduce entonces que

|‖xn‖ − ‖x0‖| ≤ ‖xn − x‖ →n→∞

0,

es decirlim

n→∞|‖xn‖ − ‖x0‖| = 0.

Ejercicio 1.12 Demuestre que en general no es cierto que:

si limn→∞

‖xn‖ = ‖x0‖ , entonces limn→∞

‖xn − x0‖ = 0.

Proposicion 1.1 En un espacio normado (X, ‖.‖ ) la adicion de vectores yel producto por un escalar son funciones continuas .

Demostracion: La adicion en X es la funcion S : XxX → X , definidapor

S(x, y) = x + y , (x, y) ∈ XxX.

Vamos a considerar en XxX la topologıa producto. Supongamos que lasucesion xn∞n=1 ⊂ X converge al elemento x0 en X, y que la sucesion


yn∞n=1 converge a y0 en Y. Sea ε > 0 y δ = ε2; entonces existe n0 tal que

max ‖xn − x0‖ , ‖yn − y0‖ < δ , ∀ n ≥ n0. En consecuencia

‖(xn + yn)− (x0 + y0)‖ ≤ ‖xn − x0‖+ ‖yn − y0‖ < ε.

Demostremos ahora que la multiplicacion por un escalar es continua. Seaλn∞n=1 una sucesion de escalares que converge a λ0, y xn∞n=1 una sucesionque converge a x0 en X, entonces

‖λnxn − λ0x0‖ = ‖λnxn − λ0xn + λ0xn − λ0x0‖≤ |λn − λ0| ‖xn‖+ |λ0‖ ‖xn − x0‖ , n ∈ N.

Lo cual tiende a cero cuando n tiende a infinito, ya que limn→∞

|λ0| ‖xn − x0‖ =

0 ; y como xn es acotada en norma por ser convergente, se tiene que

limn→∞

|λn − λ0| ‖xn‖ = 0

Observacion 1.5 Si tenemos dos espacios topologicos

(X, τ1) , (Y, τ2) ,

un conjunto V es abierto en la topologıa producto τ = τ1xτ2 de XxXsi, y solo si, para cada punto (x, y) en V, existe u1 ∈ τ1 y u2 ∈ τ2 tales quex ∈ u1; y ∈ u2 y u1 x u2 ⊂ V.

En el caso que (X, τ1) , (Y, τ2) son espacios metricos se tiene queτ = τ1x τ2 es una topologıa metrica dada por la metrica

τ [(x1,y1), (x2, y2)] = max τ1 (x1, x2) , τ2(y2, y2) .

1.3.1 Norma en los espacios Lp

En esta parte vamos a demostrar que las funcionales ‖.‖ p , 1 ≤ p < ∞,definidas anteriormente sobre Lp(X, µ) son en realidad normas. Para estovamos a demostrar el siguiente resultado que sera utilizado en la demostracionde la asi denominada desigualdad de Holder.


Lema 1.1 Si a, b son reales no negativos entonces se tiene que

a1/p.b1/q ≤ a

p+

b

q; 1 < p, q < ∞.

Demostracion: Consideremos la funcion h(t) = tα − αt + α − 1 con0 < α < 1. Se tiene entonces que

h′(t) = αtα−1 − α = α(tα−1 − 1).

por lo tanto h′(1) = h(1) = 0 y h′(t) > 0 si 0 < t < 1, lo cual implica que hes creciente en (0, 1).

Ademas se tiene que h′(t) < 0 si 1 < t < ∞, lo cual implica que h esdecreciente en (1,∞)

Por lo tanto se tiene que h(t) ≤ 0 para todo t ∈ R.Si b = 0 la desigualdad es cierta. Supongamos que b > 0 y tomemos

t = ab, α = 1

p, entonces se tiene que

h(a

b

)=(a

b

)1/p

−(

1

p

)(a

b

)+

1

p− 1 ≤ 0.

Multiplicando ambos lados por b tenemos que

(a)1/p .b1/q −(

1

p

)a +

1

pb− b = a1/p.b1/q − a

p+ b(

1

p− 1) ≤ 0

a1/p.b1/q − a

p− b

q≤ 0 ;

es decir a1/p.b1/q ≤ a

p+

b

q.

Teorema 1.1 (Desigualdad de Holder) Supongase que p y q son numerosreales no negativos tales que 1

p+ 1

q= 1 y (X, Σ, µ) es un espacio de medida

σ− finita. Si f ∈ Lp(X, Σ, µ) y g ∈ Lq(X, Σ, µ), entonces se tiene quefg ∈ L1(X, Σ, µ) y ∫

X

|fg| dµ ≤ ‖f‖p ‖g‖q .


Demostracion: Supongamos que ‖f‖p = ‖g‖q = 1. Aplicando el lema

anterior con a = |f(x)|p , b =∣∣g(x)

∣∣q , se obtiene que

|f(x)g(x)| ≤ |f(x)|p

p+|g(x)|q

q, x ∈ X.

Integrando a ambos lados se obtiene que∫X

|f(x)g(x)| dµ(x) ≤∫

X

|f(x)|p

pdµ(x) +

∫X

|g(x)|q

qdµ

=1

p+

1

q= 1.

Para el caso general podemos suponer que ‖f‖p 6= 0 y ‖g‖q 6= 0, ya queen otro caso la desigualdad de Holder es cierta, aplicando lo demostradoanteriormente a f

‖f‖p, g‖g‖q

, concluımos que∫X

|f(x)g(x)|‖f‖p ‖g‖q

dµ(x) ≤ 1

de lo cual se obtiene que∫X

|f(x)g(x)| dµ(x) ≤ ‖f‖p ‖g‖q

En los casos p = 1, q = ∞, o p = ∞, q = 1 ; la demostracion es inmediataya que |f(x)g(x)| ≤ |f(x)| (sup ess|g|), casi siempre. Entonces se tiene que∫

X

|f(x)g(x)| dµ(x) ≤∫

X

|f(x)| dµ (sup ess |g|) = ‖f‖1 ‖g‖∞ .

Ejercicio 1.13 Verifique que la igualdad es cierta en la desigualdad de Holdersi, y solo si, ‖g‖q |f(x)|p = ‖f‖p |g(x)|q , casi siempre.

Aplicando desigualdad de Holder obtendremos la asi llamada desigualdadde Minkowski.

Teorema 1.2 (Desigualdad de Minkowski) Si f1 y f2 son funciones deLp(X, Σ, µ) donde 1 ≤ p ≤ ∞, entonces (f1 + f2) ∈ LP (X, Σ, µ) y

‖f1 + f2‖p ≤ ‖f1‖p + ‖f2‖p .


Demostracion: La demostracion en los casos p = 1 ; p = ∞ la de-jamos al lector. Si f1, f2 estan en Lp(X, Σ, µ) se tiene que |f1(x) + f2(x)|p ≤2p(max |f1(x)|p , |f2(x)|p casi siempre, lo cual indica que (f1 + f2) esta enLp(X, Σ, µ).

Ademas se tiene que

|f1(x) + f2(x)|p = |f1(x) + f2(x)|p−1 |f1(x)|+ |f1(x) + f2(x)|p−1 |f2(x)|

integrando a ambos lados se tiene que

‖f1 + f2‖Pp =

∫X

|f1(x) + f2(x)|p−1 |f1(x)| dµ(x)+

∫X

|f1(x) + f2(x)|p−1 |f2(x)| dµ(x)

Usando desigualdad de Holder en el miembro derecho de la igualdad obten-emos∫

X

|f1(x) + f2(x)|p−1 |f1(x)| dµ ≤ ‖f1‖p

∥∥|f1 + f2|p−1∥∥

qy∫

X

|f1(x) + f2(x)|p−1 |f2(x)| dµ ≤ ‖f2‖p

∥∥|f1 + f2|p−1∥∥

qy como

∥∥|f1 + f2|p−1∥∥

q=

(∫X

|f1 + f2|(p−1)q dµ

)1/q

= ‖f1 + f2‖p/qq .

Combinando las desigualdades anteriores se obtiene que

‖f1 + f2‖pp ≤

(‖f1‖p + ‖f2‖p

)(∥∥|f1 + f2|p−1∥∥

q

)=(‖f1‖p + ‖f2‖p

)(‖f1 + f2‖p/q

p

).

Dividiendo ambos lados entre(‖f1 + f2‖p/q

p

), obtenemos

‖f1 + f‖p−p/qp ≤ ‖f1‖p + ‖f2‖p ,

es decir ‖f1 + f2‖p ≤ ‖f1‖p + ‖f2‖p

Ejercicio 1.14 Demuestre directamente la desigualdad de Holder para xnen `p y hn en `q con 1

p+ 1

q= 1.

1.4. ESPACIOS DE BANACH 19

1.4 Espacios de Banach

Definicion 1.5 Un espacio normado (X, ‖.‖ ) se denomina un espacio deBanach si es completo con respecto a la topologıa inducida por la norma.

Ejercicio 1.15 Demuestre que todos los espacios de dimension finita quehemos definidos anteriormente son espacios de Banach .

Lema 1.2 `p es un espacio de Banach.

Demostracion: Sea xn∞n=1 = ((xni )∞i=1)

∞n=1 una sucesion de Cauchy en

`p , entonces dado ε > 0, existe N0(ε) ∈ N tal que

‖xn − xm‖p < ε , m, n ≥ N0(ε) ;

en particular para cada i se tiene que

|xni − xm

i | < εp , m, n ≥ N0(ε)

y en consecuencia el lımite

limn→∞

xni = x0

i ,

existe para cada i.Definamos ahora x(0) = (x

(0)i )∞i=1 y veamos que lim

n→∞xn = x0. Dado ε > 0,

existe N0(ε) tal que

‖xm − xn‖p =

(∞∑i=1

|xmi − xn

i |p

)1/p

< ε , n, m ≥ N0(ε).

Por lo tanto se tiene que

limm→∞

∞∑i=1

|xmi − xn

i |p ≤ εp,

de lo cual obtenemos que

∞∑i=1

∣∣∣ limm→∞

(xmi − xn

i )∣∣∣p ≤ εp,


es decir∞∑i=1

∣∣x0i − xn

i

∣∣p ≤ εp.

De lo que se concluye que

limn→∞

∥∥x0 − xn∥∥

p= 0.

Ademas se tiene que∥∥x0∥∥

p≤∥∥x0 − xn

∥∥p+ ‖xn‖p ≤ ε + ‖xn‖p < ∞.

Usaremos el siguiente lema en la demostracion de resultados posteriores.

Lema 1.3 Si xn∞n=1 una sucesion de Cauchy en un espacio normado, en-tonces existe una subsucesion

xΦ(n)

∞n=1

de la sucesion dada, tal que

∥∥xΦ(n) − xΦ(n+1)

∥∥ <1

2n, n ∈ N.

Demostracion: Dado ε = 12n , existe N(n) ∈ N tal que

‖xm − xp‖ <1

2n, m, p ≥ N(n).

El conjunto An = xp ∈ xk∞k=1 ; p > N(n) es no vacio y para cada n ∈ Nse tiene que

An+1 ⊂ An.

Sea xp1 un elemento en A1 y escribamos xp1 = xΦ(1),elijamos xp2 en A1 de

modo que p2 > p1 y pongamos xΦ(2) = xp2 .Continuando de esta manera obtenemos una subsucesion

xΦ(n)

∞n=1

dela sucesion dada que satisface∥∥xΦ(n) − xΦ(n+1)

∥∥ <1

2n; n ∈ N.

1.4. ESPACIOS DE BANACH 21

Teorema 1.3 El espacio Lp(Ω, A, µ) es un espacio de Banach para cada p;1≤ p ≤ ∞.

Demostracion: Supongamos p 6= ∞. Sea fn∞n=1 una sucesion de Cauchyen Lp, entonces existe una subsucesion

fΦ(n)

∞n=1

tal que

∥∥fΦ(n+1) − fΦ(n)

∥∥p

<1

2n, para todo n en N.

Sea

gn(x) =n∑

i=1

∣∣(fΦ(i+1) − fΦ(i)(x)∣∣ ,

se tiene que

‖gn‖p ≤n∑

i=1

∥∥fΦ(i+1) − fΦ(i)

∥∥p

< 1 ; para todo n en N.

SeaA =

x ∈ Ω : lim

n→∞gn(x) existe

.

Definamos g por

g(x) =

lim

n→∞gn(x) ; si x ∈ A

0 ; si x /∈ A,

entonces se tiene que∫Ω

|g(x)|p dµ =

∫Ω

limn→∞

|gn(x)|p dµ ≤ lim infn→∞

∫Ω

|gn(x)|p dµ ≤ 1.

Por lo tanto g es finita salvo en un conjunto de medida nula. Esto a su vezimplica que la serie

fΦ(1) +∞∑i=1

(fΦ(i+1) − fΦ(i)

)converge fuera de un conjunto de medida nula a una funcion f, es decir

f(x) = limn→∞

[fΦ(1)(x) +

n∑i=1

(fΦ(i+1) − fΦ(i))(x)

]= lim

n→∞fΦ(n)(x) , para cada x donde la serie converge.


Definamos f(x) = 0, para todo x tal que fΦ(1)(x) +∞∑i=1

(fΦ(i+1) − fΦ(i)

)(x)

diverge, entonces tenemos que∫Ω

|f(x)− fΦ(n)(x)|p dµ =

∫Ω

limm→∞

∣∣(fΦ(m) − fΦ(n))(x)∣∣p dµ

≤ lim infm→∞

∫Ω

∣∣(fΦ(m) − fΦ(n))(x)∣∣p dµ

≤ lim infm→∞

∫Ω

m−1∑i=n

∣∣(fΦ(i+1) − fΦ(i))(x)∣∣p dµ

≤ lim infm→∞

m−1∑i=n

∫Ω

∣∣(fΦ(i+1) − fΦ(i))(x)∣∣p dµ

≤ limm→∞

m−1∑i=n

1

2i=

∞∑i=n

1

2i→

n→∞0,

de lo cual se deduce que

limn→∞

‖fn − f‖p = 0 y f ∈ Lp.

En el caso p = ∞, sea fn∞n=1 una sucesion de Cauchy en L∞Ω, Σ, µ),entonces para cada n ∈ N existe un conjunto An de medida cero tal que.

|fn(x)| ≤ ‖fn‖∞ ; x /∈ An.

Se tiene ası que existe un conjunto A de medida cero tal que

|fn(x)− fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞ , n,m, x /∈ A.

En consecuencia, la sucesion fn converge uniformemente fuera de A a unafuncion acotada f.

Poniendo f(x) = 0 si x ∈ A, se tiene que f ∈ L∞ (Ω, A, µ) y que

limn→∞

‖fn − f‖∞ = 0.

Ejercicio 1.16 Demuestre que los conjuntos

`∞ , c0 , CK(X)

son espacios de Banach. ¿Que puede decir acerca de c?.

A continuacion vamos a describir metodos para construir espacios Y nor-mados a partir de espacios normados X.

1.5. ESPACIOS COCIENTES 23

1.5 Espacios cocientes

Dado X un espacio vectorial, sea X0 un subespacio de X y definamos sobreX la siguiente relacion <.

x1<x2 ⇔ x1 − x2 ∈ X0

Ejercicio 1.17 Demuestre que < es una relacion de equivalencia sobre X.

Definicion 1.6 El espacio cociente X/X0 se define como

X/X0 := [x] , x ∈ X ;

donde [x] = [x]R := x + X0 :=x + y : y ∈ X0

Ejemplo 1.16 Sea X = R2, X0 := (x, ax) ; a 6= 0; x ∈ R , entonces z +X0 es la recta paralela a X0 que pasa por z.

Ejemplo 1.17 Sea (Ω, µ) un espacio de medidas, si X y Xo son definidospor X =

f : Ω → R :

∫Ω|f(x)|p dµ(x) < ∞

, y

X0 = f : Ω → R ; f = 0 casi siempre , entonces LP (Ω, µ) = X/X0.

Ejercicio 1.18 Demuestre que X/X0 dotado de las operaciones

i.) [x1] + [x2] := [x1 + x2] ; x1, x2 ∈ X.

ii.) λ [x] : = [λx] ; x ∈ X, λ ∈ K

es un espacio vectorial.Para estos espacios cocientes tenemos el siguiente resultado.

Teorema 1.4 Sea X un espacio normado, sea X0 un subespacio cerrado deX. El funcional |‖.‖| definido sobre X/X0 por

|‖[x]‖| = inf‖x + y‖ ; y ∈ X0

es una norma en X/X0. Ademas si X es de Banach, entonces X/X0 es deBanach.


Demostracion: ‖[x]‖ ≤ ‖x‖ , para todo x en X. Si ‖[x]‖ = 0, entoncespodemos encontrar una sucesion yn∞n=1 ⊂ X0 tal que

‖x + yn‖ <1

n; n ∈ N,

se tiene entonces quelim

n→∞(x + yn) = 0,

y en consecuencia x = − limn→∞

yn esta en X0, por lo tanto [x] = 0.

La demostracion de las otras propiedades de la norma se dejan comoejercicio para el lector.

Supongamos ahora que X es de Banach. La demostracion de que X/X0

es de Banach depende del siguiente hecho, si x ∈ X no esta en X0, entoncesexiste y ∈ X0 tal que

1

2‖x + y‖ ≤ |‖[x]‖| .

Sea [xn]∞n=1 ⊂ X/X0 una sucesion de Cauchy en X/X0. En virtud del Lema(1.2), se tiene una subsucesion

[xΦ(n)

]∞n=1

de la sucesion dada, tal que

∣∣∥∥[xΦ(n)]−[xΦ(n+1)

]∥∥∣∣ < 1

2n, n ∈ N

y por lo anterior tenemos que existe yn ∈ X0 tal que

1

2

∥∥xΦ(n) − xΦ(n+1) + yn

∥∥ ≤ ∣∣∥∥[xΦ(n)

]−[xΦ(n+1)

]∥∥∣∣ ≤ 1

2n

para cada n ∈ N.Vamos a definir ahora una sucesion

yΦ(n)

∞n=1

de la siguiente manera:sea yΦ(1) un elemento cualquiera en X0, definamos yΦ(2) de modo que

y1 = yΦ(2) − yΦ(1)

Definamos yΦ(3) pory2 = yΦ(3) − yΦ(2)

y ası sucesivamente.Se tiene entonces que∥∥xΦ(n+1) + yΦ(n+1) − xΦ(n) − yΦ(n)

∥∥ ≤ 1

2n−1; para todo n en N

1.5. ESPACIOS COCIENTES 25

en consecuencia, la sucesion zn∞n=1 donde zn = xΦ(n) +yΦ(n) es una sucesionde Cauchy en X . Por tanto existe z0 ∈ X tal que

z0 = limn→∞

(xΦ(n) + yΦ(n)

).

Finalmente como[x]Φ(n) = [zn] ; se tiene que∥∥∣∣[x]Φ(n) − [z0]∣∣∥∥ = ‖|[zn]− [z0]|‖ ≤ ‖zn − z0‖ → 0

n→∞

es decir limn→∞

[x]Φ(n) = [z0] de lo cual se deduce que

limn→∞

[xn] = [z0]

Otro metodo para construır espacios normados Z a partir de espaciosnormados X, Y dados, consiste en normar el producto cartesiano de dichosespacios. Mas precisamente, sean X, Y espacios normados, XxY es unespacio vectorial con las operaciones usuales de suma y producto por unescalar. Las funcionales

‖(x, y)‖s = max ‖x‖X , ‖y‖Y

y‖(x, y)‖+ = ‖x‖X + ‖y‖Y ,

definen normas en XxY. Ademas si X y Y son espacios de Banach, entoncesXxY es un espacio de Banach con cualquiera de las dos normas definidasanteriormente y la relacion

‖(x, y)‖s ≤ ‖(x, y)‖+ ≤ 2 ‖(x, y)‖s

es satisfecha para todo par (x, y) en XxY .Sean X, Y espacios normados contenidos en un espacio topologico Hauss-

dorff U, entonces los espacios X∩Y , X +Y son normados, con las normas

‖x‖X∩Y = max ‖x‖X , ‖x‖y‖x‖X+Y = inf ‖x′‖X , ‖y′‖Y donde x = x′ + y′, x′ ∈ X; y′ ∈ Y ,

respectivamente. Mas aun, si X, Y son espacios de Banach, entoncesX ∩ Y, X + Y son espacios de Banach.

Otros espacios importantes, yo dirıa los mas importantes, son los espaciosde funciones lineales continuas de un espacio normado X en otro espacionormado Y.


1.6 Ejercicios

Ejercicio 1.19 Sea X un espacio de Banach sobre el cuerpo K. Sea fn∞n=1

una sucesion en X de vectores linealmente independientes. Demuestre que elespacio

X1 =

an∞n=1 ⊂ K;

∞∑n=1

anfn converge

,

es un espacio de Banach con la norma

‖|an∞n=1|‖ = supm

∥∥∥∥∥m∑

i=1

aifi

∥∥∥∥∥Ejercicio 1.20 Demostrar que si 1 ≤ p < q, entonces lp ⊂ lq y la inclusiones propia

Ejercicio 1.21 Dar un ejemplo de una sucesion que converge a cero y queno pertenece a ningun lp, (1 ≤ p < ∞)

Ejercicio 1.22 Demostrar que si 1≤ p < ∞,entonces lp es separable.

Ejercicio 1.23 Demuestre que l∞ no es separable

Capıtulo 2

Aplicaciones lineales

2.1 Condiciones equivalentes de continuidad

Definicion 2.1 Sean X,Y dos espacios normados. Una aplicacion linealT : X → Y se dira continua en x0 si lim

n→∞T (xn) = T (x0) para toda xn∞n=1

tal que xn tiende a x0 en la norma de X.

Denotaremos el espacio de todos las aplicaciones lineales y continuasT : X → Y por L(X, Y ). En este espacio la suma y el producto por unescalar son las operaciones usuales.

Ejemplo 2.1 Sea T : C [0, 1] → C [0, 1] , definida por

T (x)(s) =

∫ 1

0

k(s, t)x(t)dt ;

donde k(s, t) es continua en [0, 1] x [0, 1] .

Ejercicio 2.1 Verifique que T es lineal.

Ejercicio 2.2 Verifique que una sucesion xn∞n=1 ⊂ C [0, 1], converge ennorma infinito si, y solo si, xn∞n=1converge uniformemente.

Observacion 2.1 Sea xn∞n=1 ⊂ C [0, 1] tal que limn→∞

xn = x0, como

convergencia en la norma ‖.‖ ∞ de C [0, 1] es equivalente a convergenciauniforme, se puede intercambiar limite con integral y entonces se tiene que

limn→∞

T (xn) = limn→∞

∫ 1

0

k(s, t)xn(t)dt =

∫ 1

0

k(s, t)x(t)dt,

27

28 CAPITULO 2. APLICACIONES LINEALES

de lo cual se deduce que T es continua en x0.

Para aplicaciones lineales tenemos el siguiente resultado:

Teorema 2.1 Sea T : X → Y una aplicacion lineal. Si T es continua en unpunto x0 de X, entonces T es continua en DT =Dominio de T.

Demostracion: Sea x un punto arbitrario en DT y xn∞n=1 ⊂ X talque xn converge a x, entonces se tiene que (xn − x + x0) converge a x0. Porcontinuidad de T en x0 tendremos que

limn→∞

T (xn − x + x0) = T (x0),

es decir limn→∞

(T (xn)− T (x) + T (x0)) = T (x0).

De lo cual se deduce que

limn→∞

T (xn) = T (x).

Ejercicio 2.3 Demuestre que si T : X → Y es aditivo y continuo, entoncespara cada numero real λ se tiene que

T (λx) = λT (x).

Definicion 2.2 Una aplicacion lineal T : X → Y se dira acotada siexiste M > 0 tal que

‖T (x)‖Y ≤ M ‖x‖X , x ∈ X.

Ejemplo 2.2 El operador T definido anteriormente por

T (x)(s) =

∫ 1

0

k(s, t)x(t)dt.

es acotado. En efecto,

‖T (x)‖∞ = sups∈[0,1]

|T (x)(s)| = sups∈[0,1]

∣∣∣∣∫ 1

0

K (s, t) x(t)dt

∣∣∣∣≤ sup

s∈[0,1]

∫ 1

0

|K (s, t) x(t)| dt

≤ max0≤s,t≤1

|K (s, t)| max0≤t≤1

|x(t)| = M ‖x‖∞

2.1. CONDICIONES EQUIVALENTES DE CONTINUIDAD 29

Ejemplo 2.3 Consideremos la aplicacion T : C1[0, 1] → C[0, 1]; definidapor

T (x) = x′

Veamos que T no es acotada.Tomemos xn(s) = sen(nπs), se tiene que ||xn||∞ = 1 para todo n y

T (xn) = (sen(nπs))′ = nπ cos(nπs)

por lo tanto||T (xn)||∞ = nπ

Como ||xn|| = 1 y ||T (xn)|| crece indefinidamente se tiene que no existeM > 0 tal que

||T (xn)||∞ ≤ M ||xn||∞ = M

De lo cual se deduce que T no es acotado.

Se tiene la siguiente relacion entre aplicaciones acotadas y aplicacionescontinuas

Teorema 2.2 Sean X, Y, espacio normados. Una aplicacion linealT : X → Y, es acotada si, y solo si, T es es continua

Demostracion: Supongamos que T no es acotada, entonces existe xn ⊂X, tal que

||T (xn)||Y ≥ n||xn||XDefinamos la sucesion

x0n

∞n=1

=

xn

n||xn||X

∞n=1

⊂ X,

se tiene que ||x∞n ||X = 1n

Por lo tantolim

n→∞

∥∥x0n

∥∥X

= 0.

Pero ||T (x0n)||Y = 1

n||xn||X||T (xn)||Y ≥ n||xn||X

n||xn||X= 1, de lo cual se deduce que

limn→∞

T (x0n) 6= T (0),

por lo tanto T no es contınua en cero y por ende T no es contınua en X.


Supongamos que T sea acotada,es decir existe M tal que

||Tx|| ≤ M ||x||; x ∈ X

Si limn→∞

||xn − x||X = 0, entonces

‖T (xn − x)‖Y ≤ M ‖xn − x‖X

De lo cual se concluye que

limn→∞

‖T (xn − x)‖Y = 0

2.2 Norma en L(X, Y )

2.2.1 Norma de un operador

Dada T : X → Y una aplicacion lineal y acotada se tiene que existe M > 0tal que

||T (x)||Y ≤ M ||x||X , x ∈ X.

Definicion 2.3 Llamaremos Norma de T y lo notaremos por ||T || alsiguiente numero.

||T || = inf M > 0 : ||T (x)|| ≤ M ||x||X , x ∈ X

Observacion 2.2 Por propiedades del infimo, ||T || tiene las siguientes propiedades

i) ||T (x)|| ≤ ||T || ||x||; x ∈ X

ii) Para cada ε > 0, existe xε tal que

||T (xε)|| > (||T || − ε)||xε||.

2.2. NORMA EN L(X,Y ) 31

Observacion 2.3 Usando las propiedades anteriores se tiene que

||T || = sup||x||≤1

||T (x)||

En efecto, si ||x|| ≤ 1, se tiene que

||T (x)|| ≤ ||T || ||x|| ≤ ||T ||

y por lo tanto

sup||x||≤1

||T (x)|| ≤ ||T ||.

Por otra parte dado ε > 0, existe xε tal que

||T (xε)|| > (||T || − ε)||xε||,

poniendo x = xε

||xε|| , se tiene que ||x|| = 1 y ademas

||T (x)|| = 1

||xε||||T (xε)|| >

(||T || − ε)

||xε||||xε|| = ||T || − ε,


sup||x||≤1

||T (x) ≥ ||T ||.

Ejercicio 2.4 Sea T : C [0, 1] → C [0, 1] definido por (Tf)(t) =∫ t

0f(s)ds.

Calcule ||T ||.

Observacion 2.4 El espacio L(X, Y ) puede ser dotado de una norma definiendo,

||T || = sup||x||≤1

||T (x)||; T ∈ L(X,Y )

Ejercicio 2.5 Verifique que el funcional ası definido es una norma sobreL(X, Y )

Ejercicio 2.6 Verifique que

||T || = sup||x||≤1

||T (x)|| = sup||x||=1

||T (x)||

= supx6=0

||T (x)||||x||


2.2.2 Condicion para que L(X, Y ) sea un espacio deBanach

Definicion 2.4 Si la sucesion Tn ⊂ L(X, Y ) converge en la norma definidaanteriormente sobre L(X, Y ), es decir

limn→∞

‖Tn − T‖ = limn→∞

sup‖x‖≤1

‖Tn(x)− T (x)‖ = 0,

diremos que Tn converge fuertemente a T .

Tenemos el siguiente resultado para L(X, Y ).

Teorema 2.3 Si Y es un espacio de Banach entonces L(X, Y ), dotado dela norma de la definicion (2.3) es un espacio de Banach.

Demostracion: Sea Tn una sucesion de Cauchy en L(X, Y ), es decirlim

n,m→∞‖Tn − Tm‖ = 0, se tiene entonces que para cada x en X

‖Tm(x)− Tn(x)‖ = ‖(Tm − Tn)(x)‖ ≤ ‖Tn − Tm‖‖x‖ →n,m→∞

0,

de lo cual se deduce que la sucesion Tn(x) ⊂ Y es de Cauchy para cada x enX. Por lo tanto lim

n→∞Tn(x) existe en Y para cada x en X.

Definamos el operador T : X → Y por

T (x) = limn→∞

Tn(x).

Veamos que T ∈ L(X, Y );T es lineal por ser lımite de aplicaciones lineales y como

|‖Tn‖ − ‖Tm‖| ≤ ‖Tn − Tm‖ →n,m→∞

0,

se tiene que ‖Tn‖ es acotada, es decir existe K > 0 tal que ‖Tn‖ ≤ K, paratodo n ∈ N.

Por lo tanto

‖Tn(x)‖ ≤ ‖Tn‖‖x‖ ≤ K‖x‖, x ∈ X,

entonces

‖T (x)‖ = limn→∞

‖Tn(x)‖ ≤ limn→∞

K‖x‖ = K‖x‖; x ∈ X,

2.2. NORMA EN L(X,Y ) 33

lo cual significa que T es acotado, es decir T ∈ L(X, Y ).Veamos ahora que T = lim

n→∞Tn en L(X, Y ).

Del hecho que Tn es de Cauchy en L(X, Y ) se tiene que dado ε > 0,existe Nε tal que

‖Tn+p − Tn‖ = sup‖x‖≤1

‖Tn+p(x)− Tn(x)‖ ≤ ε, n ≥ Nε,


‖Tn+p(x)− Tn(x)‖ ≤ ε; n ≥ Nε, y para todo x tal que ‖x‖ ≤ 1.

Tomando limp→∞

‖Tn+p(x)−Tn(x)‖, se tiene que ‖T (x)−Tn(x)‖ ≤ ε, para todo

n ≥ Nε y para todo x tal que ‖x‖ ≤ 1, es decir

‖T − Tn‖ = sup‖x‖≤1

‖T (x)− Tn(x)‖ ≤ ε, n ≥ Nε,

lo cual significa queT = lim

n→∞Tn

2.2.3 Equivalencia de normas en espacios normados

Recordemos que una transformacion T del espacio topologico S en el espaciotopologico Ω es un homeomorfismo si T es biyectiva y bicontinua, es decirT es continua y T−1 existe y es continua. En el caso de espacios normadospor homeomorfismo entenderemos homeomorfismo lineal; en la bibliografıase puede encontrar el termino ”isomorfismo”.

Definicion 2.5 Sea X un espacio vectorial. Supongamos que en X estandefinidas dos normas ‖.‖1, ‖.‖2. Si existen constantes positivas a, b tales que

a‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ b‖x‖1, x ∈ X,

se dice que las dos normas ‖.‖1, ‖.‖2 son equivalentes.

Ejercicio 2.7 Verifique quedos normas ‖.‖1, ‖.‖2,definidas sobre el espaciovectorial X, son equivalentes si, y solo si,la aplicacion identidad

I : (X, ‖.‖1) → (X, ‖.‖2)

es un homeomorfismo (isomorfismo).


2.3 Espacios normados de dimension finita

Para espacios de dimension finita X tenemos el siguiente resultado

Teorema 2.4 Supongamos que X es un espacio de dimension finita n. Setiene entonces que todas las normas sobre X son equivalentes.

Demostracion: Sea vini=n una base de X. Supongamos que sobre X

esta definida una norma ‖.‖, y definamos sobre X la funcional ‖.‖2 de la

siguiente manera. Para todo x =n∑

i=1

xivi ; ‖x‖2 =

(n∑

i=1

|xi|2)1/2

.

Veamos que I : (X, ‖.‖) → (X, ‖.‖2) es un isomorfismo, lo cual de-mostrarıa que ‖.‖ y ‖.‖2 son equivalentes en X.

Aplicando desigualdad de Cauchy-Schwartz se tiene que

‖x‖ =

∥∥∥∥∥∞∑i=1

xivi

∥∥∥∥∥ ≤∞∑i=1

|xi| ‖vi‖ ≤

(n∑

i=1

|xi|2)1/2( n∑

i=1

| |vi||2)1/2

.

=

(n∑

i=1

| |vi||2)‖x‖2 = M ‖x‖2 ,

lo cual significa que I : (X, ‖ ‖) → (X, ‖ ‖2) es continua. Sea ahora

B2 = x ∈ X : ‖x‖2 = 1,

como B2 es la imagen del conjuntox = (x1, x2, ..., xn) :

(n∑

i=1

|xi|2)1/2

= 1

= B

a traves de la isometrıa T : Rn → (X, ‖ ‖2) definida por

T (x) =n∑

i=1

xivi,

y B es compacto en Rn, entonces B2 es compacto en (X, ‖.‖2).De lo demostrado anteriormente se tiene que existe M > 0 tal que

‖x− y‖ ≤ ‖x− y‖2 , para todo x, y en X.

2.3. ESPACIOS NORMADOS DE DIMENSION FINITA 35

Por lo tanto concluımos que la funcion G : (X, ‖.‖2) → [0,∞] definidapor G(x) = ‖x‖ , es continua sobre (X, ‖.‖2) y por ende G toma un mınimo,digamos K0 , sobre B2 .

Supongamos que ‖x‖ < K0 , se tendrıa entonces que ‖x‖2 ≤ 1. En efecto,si ‖x‖2 fuera mayor que 1, tendrıamos que x

‖x‖2 esta en B2 y∥∥∥ x‖x‖2

∥∥∥ = ‖x‖‖x‖2 < K0, lo que contradice el hecho que K0 es el ınfimo de G en

B2.Dado ε > 0, para todo x en X tal que x 6= 0 se tiene que∥∥∥∥ K0x

(1 + ε) ‖x‖

∥∥∥∥ =K0

1 + ε< K0,

entonces∥∥∥ K0x

(1+ε)‖x‖

∥∥∥2

< 1, de lo cual se deduce que

‖x‖2 ≤(1 + ε)

K0

‖x‖ , para todo x en X tal que x 6= 0,

lo cual demuestra que la funcion identidad I : (X, ‖.‖2) → (X, ‖.‖) escontinua y por lo tanto ‖.‖ y ‖.‖2 son equivalentes.

.

Corolario 2.1 Supongase que X, Y son espacios normados sobre el mismocampo escalar. Si X tiene dimension finita, entonces cada operador linealT : X → Y es continuo.

Demostracion: Si vini=1 es una base de X, entonces la funcion definida

por

‖x‖1 =n∑

i=1

|xi|, para x =n∑

i=1

xivi

es una norma en X y por tanto equivalente a ‖.‖X .

Si T es un operador lineal de X en Y se tiene que si x =n∑

i=1

xivi, entonces

∥∥∥∥∥T(

n∑j=1

xjvj

)∥∥∥∥∥Y

≤n∑

j=1

|xj|‖T (vj)‖Y ≤ max1≤j≤n

‖T (vj)‖n∑

j=1

|xj| = M‖x‖1,


lo cual demuestra que T es continuo en (X, ‖.‖1) y por ende en (X, ‖.‖)

Ejercicio 2.8 Demuestre que cada espacio X finito dimensional es com-pleto.

Ejercicio 2.9 Demuestre que cada subespacio Y finito dimensional de unespacio normado X es cerrado.

2.4 El teorema de F. Riesz

En Rn y Cn, la bola unitaria cerrada es un conjunto compacto. El siguienteTeorema de Riesz demuestra que esto caracteriza a los espacios de dimensionfinita.

Vamos a comenzar con un lema que utilizaremos en la demostracion delTeorema de Riesz.

Lema 2.1 Sea X un espacio normado y Y un subespacio cerrado propio deX. Entonces se tiene que, para cada δ en el intervalo (0,1), existe un puntoxδ en X tal que ‖xδ‖ = 1 y d(xδ, Y ) > δ.

Demostracion: Sea x1 en X tal que d(x1, Y ) > 0 pongamos K = d(x1, Y ).Como K

δ> K, se tiene que existe x2 en Y tal que ‖x1 − x2‖ ≤ K

δes decir

δK≤ 1

‖x1−x2‖ .

Tomando xδ = x1−x2

‖x1−x2‖ , se tiene que para todo x en Y

‖x− xδ‖ =∥∥∥ x1−x2

‖x1−x2‖ − x∥∥∥ =

∥∥∥x1−x2−‖x1−x2‖x‖x1−x2‖

∥∥∥= ‖x1−(x2+‖x1−x2‖x)‖

‖x1−x2‖ ≥ K‖x1−x2‖ ≥ K · δ

K= δ

Teorema 2.5 (F. Riesz) La Bola Unitaria cerrada U = BX(0, 1) de unespacio normado X es compacta en la topologıa de la norma de X si, y solosi, X es de dimension finita.

2.5. EJERCICIOS 37

Demostracion: Supongamos que BX(0, 1) es compacta, entonces existenyin

i=1 tal que

BX(0, 1) ⊂n⋃

i=1

B(yi, 1/3).

Sea Y = [yini=1] el espacio generado por yin

i=1, entonces Y es de dimensionfinita y por lo tanto cerrado. Supongamos que Y 6= X, por el lema (2.1) setiene que existe x0 en (X − Y ) ∩ BX(0, 1) tal que d(x0, Y ) > 1

3. Por lo

tanto d(x0, yi) > 13, para todo i = 1, 2, .., n. Lo cual contradice el hecho que

BX(0, 1) ⊂n⋃

i=1

B(yi, 1/3), de lo cual se obtiene que Y = X.

2.5 Ejercicios

Ejercicio 2.10 Considere el espacio C[0, 1] con las normas

‖f‖∞ := supx∈[0,1]

|f(x)| , ‖f‖1 :=

∫ 1

0

|f(x)| dx

Sea fα(x) = 2αx(1+α2x2)

, 0 ≤ x ≤ 1, 0 < α < 1. Calcular ‖fα‖∞ , ‖fα‖1 .

¿Son equivalentes las dos normas?.

Ejercicio 2.11 Considere el espacio

C1[−1, 1] =

f : [−1, 1] → R; f′

existe y es continua

,

con las normas ‖f‖C1 = ‖f‖∞ +∥∥f ′∥∥

∞ y ‖f‖∞ .

Sea fn(x) = (x2 + n−2)1/2. Demostrar que fn∞n=1 converge en ‖.‖∞a f(x) = |x| y que fn∞n=1 no converge en ‖.‖ C1

Ejercicio 2.12 Ejercicio 2.13 Verificar que: a.)La clausura de l0 en ‖.‖ p es lp para todo p tal que 1≤ p < ∞.b.) La clausura de l0 en ‖.‖ ∞ es c0.


Ejercicio 2.14 Demostrar que un espacio de Banach X es de dimensionfinita si, y solo si, todo subespacio Y de X es cerrado

Ejercicio 2.15 Sea T un conjunto cualquiera. Sea X = B(T ) el espacio delas funciones a valores complejos, acotadas y definidas sobre T con la norma‖f‖ = sup

x∈Tf(x)

a.) Demostrar que X es un espacio de Banachb.) ¿Como debe ser T para que X sea separable?c.) Sea U:= f ∈ X : ‖f‖ ≤ 1 . Demostrar que U es compacto si, y solosi, T es finito.

Ejercicio 2.16 Demuestre que una funcional lineal no nula f : X → K escontinua si, y solo si, Nucleo(f) no es denso en X.

Ejercicio 2.17 Sea f : X → K una funcional lineal no continua.Demuestre que f ∈ X : ‖f‖ ≤ 1 = K.

Ejercicio 2.18 Sea X un espacio normado. Demuestre que para cada r > 0el espacio X y la bola BX(0, r) son homeomorfos.

Ejercicio 2.19 Dado un espacio normado X. Sea S un subespacio de X dedimension finita y x0 /∈ S. Definamos Dx0 por

Dx0 := z ∈ S : ‖z − x0‖ = d(x0, S)

a.) Demostrar que Dx0 es no vacio, convexo y compactob.) Dar un ejemplo en el cual Dx0 contiene mas de un punto.

Ejercicio 2.20 Demostrar que si X y E son dos espacios normados iso-morfos y X es de Banach, entonces E es de Banach.

Ejercicio 2.21 Demuestre que si X, Y son espacios normados y L(X,Y )es de Banach, entonces Y es de Banach.

Capıtulo 3

El Dual de un espacio normado

3.1 El Teorema de Hahn-Banach

Definicion 3.1 Si A es una familia de conjuntos. Una subfamilia B de Aes denominada una cadena si para cada par de conjuntos A, B en B, A ⊂ Bo B ⊂ A.

Definicion 3.2 Un conjunto A en A es denominado maximal si no hayconjunto B en A que lo contenga propiamente. Es decir si A ⊂ B, entoncesA = B.

Definicion 3.3 A ⊂ A es denominado minimal si no hay B en A que estecontenido propiamente en A.

Para familias de conjuntos tenemos el siguiente resultado importante quedaremos sin demostracion

Lema 3.1 ( Zorn )Supongase que A es una familia de conjuntos.

a) Si para cada cadena B en A el conjunto⋃

Bα∈BBα esta en A, entonces

A tiene un elemento maximal.

b) Si para cada cadena B en A el conjunto⋂

Bα∈BBα esta en A, entonces

A tiene un elemento minimal.

39

40 CAPITULO 3. EL DUAL DE UN ESPACIO NORMADO

Definicion 3.4 Una forma sublineal sobre un espacio vectorial real X esuna funcion p : X → R tal que

i) p(ax) = ap(x), si a > 0

ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y); x, y ∈ X

El siguiente resultado es conocido como la forma analıtica del Teoremade Hahn-Banach.

Teorema 3.1 Supongase que p es una forma sublineal sobre un espacio vec-torial real X y f es un funcional lineal definido sobre un subespacio F de Xtal que f(x) ≤ p(x), x ∈ F . Entonces existe un funcional lineal Tf : X → R,tal que:

(1) Tf es una extension de f , es decir Tf (x) = f(x), x ∈ F

(2) Tf (x) ≤ p(x), x ∈ X

Demostracion: Sea A la familia de subconjuntos de X × R definida dela siguiente manera:

A=[G, g] = graficos de las extensiones de f= (x, g(x)) : x ∈ G : F ⊂ G ⊂ X; g lineal; g/F = f ; g(x) ≤ p(x), x ∈ G

A no es vacıo ya que [F, f ] ∈ A. Supongase que B es una cadena de A, si[Gα, gα], [Gβ, gβ] pertenecen a B entonces uno contiene al otro. Supongamosque [Gα, gα] ⊂ [Gβ, gβ], entonces (x, gα(x)) ∈ [Gβ, gβ] para cada x en Gα;por lo tanto x ∈ Gβ y gα(x) = gβ(x), de lo cual se tiene que Gα ⊂ Gβ y gβ

es una extension de gα a Gβ.Sea G =

⋃Gα∈B

Gα ; G es un subespacio de X . Si x ∈ G, existe α tal

que x ∈ Gα; si x ∈ Gβ tambien sabemos que gα(x) = gβ(x). Definamosg : G → R como el funcional que a cada x en G le asocia el valor comungα(x). se tiene que :

i.) g esta bien definido sobre Gii.) g es linealiii) g satisface (1) y (2)iv) [G, g] =

⋃Gα∈B

[Gα, gα]).

3.1. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 41

De esto se deduce que A satisface las hipotesis del Lema de Zorn ypor lo tanto A tiene un elemento maximal que denotaremos por [X1, Tf ].Veamos ahora que X1 = X, supongamos que X 6= X1, entonces existe unvector y0 ∈ (X −X1) . Para cada s > 0 y x en X se tiene que

2Tf

(x

s

)< 2p

(x

s

)≤ p

(x

s+ y0

)+ p

(x

s− y0

);

ası que

Tf

(x

s

)− p

(x

s− y0

)≤ p

(x

s+ y0

)− Tf

(x

s

),

por lo tanto si tomamos

A = infs>0

P(x

s+ y0

)− Tf

(x

s

);

a = sups>0

Tf

(x

s

)− P

(x

s− y0

),

se tiene que a ≤ A. Sea un numero real c tal que a ≤ c ≤ A, definamos f#

sobre el espacio X2 generado por X1 y y0, de la siguiente manera

f#(x + ty0) = Tf (x) + ct; para t en R y x en X1.

f# es lineal y extiende a Tf .Veamos que f# satisface la propiedad (2). Supongamos que t > 0, como

c ≤ p(x/t + y0)− Tf (x/t), tenemos que

f#(x + ty0) = Tf (x) + ct ≤ Tf (x) + t[p(x/t + y0)− Tf (x/t)] = p(x + ty0).

Si t < 0, sea s = −t, como c ≥ −p(x/s− y0)− Tf (x/s) se tiene que

f#(x+ty0) = f#(x−sy0) = Tf (x)−sc ≤ Tf (x)+s[p(x/s−y0)−Tf (x/s)] = p(x−sy0).

De todo lo anterior se concluye que[X2, f

#]

contiene estrictamente a[X1, Tf ] , lo cual es contradice al hecho que [X1, Tf ] es maximal, por lo queconcluımos que X1 = X

Definicion 3.5 Sea X un espacio normado sobre el cuerpo K . Al espacioL(X, K) lo notaremos por X∗. El espacio X∗ se denomina el dual topologicode X o simplemente el dual de X .


Observacion 3.1 X∗ es un espacio de Banach con la norma

‖f‖ = sup|f(x)| : ‖x‖ = 1.

X∗ no es vacıo ya que por lo menos la funcional nula pertenece a X∗.

Vamos a usar el teorema de Hahn-Banach para verificar que X∗ no esel cero solamente. En general muchos resultados dependen del hecho de serX un espacio vectorial real o complejo, esto es particularmente cierto paraaquellas propiedades que dependen del hecho de que C es algebraicamentecerrado, mientras que R no lo es.

En muchos casos se desarrollan metodos para demostrar que propiedadesde los espacios normados complejos tambien son validos para los espaciosreales y viceversa. Un caso particular en esta situacion la constituye el estudiode las funcionales lineales.

Observacion 3.2 A continuacion vamos a ver que el estudio de los fun-cionales lineales complejos se reduce a estudiar las funciones lineales reales.Sea f : X → C una funcional lineal, entonces f(x) = u(x)+ iv(x) donde u, vlineales y u, v : X → R. En particular

f(ix) = u(ix) + iv(ix) = iu(x)− v(x) = if(x)

y de las propiedades de los complejos se obtiene que u(ix) = −v(x); x ∈ X.

El siguiente resultado es la version del teorema de Hahn-Banach, paraespacios normados.

Teorema 3.2 Supongase que F es un subespacio de un espacio normadoX y f es un funcional lineal acotado definido sobre F . Entonces existe unfuncional lineal Tf sobre f tal que ‖Tf‖ = ‖f‖ y Tf (x) = f(x); x ∈ F .

Demostracion: Caso 1. X es un espacio normado real.Sea M = ‖f‖, como P (x) = M‖x‖ es una forma sublineal sobre X y

|f(x)| ≤ M ‖x‖ ; x ∈ F , se tiene que existe una extension Tf de f a X talque

|Tf (x)| ≤ M‖x‖, x ∈ X,

de lo cual se tiene que ‖Tf‖ ≤ M = ‖f‖ y ‖Tf‖ ≥ ‖f‖ porque Tf es unaextension de f .

3.1. EL TEOREMA DE HAHN-BANACH 43

Caso 2. X es un espacio normado complejo. En este caso se tiene que

f(x) = f1(x)− if1(ix),

con f1 : X → R. Sea M = ‖f‖, para cada x en F se tiene que

|f1(x)| = |Real (f(x))| ≤ |f(x)| ≤ M‖x‖

ası que ‖f1‖ ≤ M . Sea Tf1 la extension de f1 a X tal que ‖Tf1‖ ≤ M ydefinamos Tf (x) = Tf1(x)− iTf1(ix).

Si ‖x‖ ≤ 1, sea c un numero complejo tal que cTf (x) = |Tf (x)| y |c| = 1,entonces se tiene que

|Tf (x)| = cTf (x) = Tf (cx) = Tf 1(cx) ≤ M‖cx‖ = M‖x‖

ya que Tf (cx) es real. La otra desigualdad sigue por ser Tf extension de f .

Corolario 3.1 Para cada x0 6= 0 en un espacio normado X hay un funcionallineal continuo f tal que ‖f‖ = 1 y f(x0) = ‖x0‖

Demostracion: Sea F el espacio generado por x0, es decir,

F = ax0 : a ∈ K.

Definamos f1 : F → K por f1(ax0) = a‖x0‖, como ‖ax0‖ = |f1(ax0)| paratodo ax0 en F se tiene que ‖f1‖ = 1. Aplicando Hahn-Banach,construımos una extension f de f1 tal que

f ∈ X∗, ‖f‖ = 1 y f(x0) = ‖x0‖

Corolario 3.2 Sea F es un subespacio cerrado de un espacio normado X yx0 un punto en (X − F ). Entonces hay un f ∈ X∗ tal que ‖f‖ = 1, f(y) = 0para todo y en F y

f(x0) = dist(x0, F ) = inf‖x− x0‖, x ∈ F.


Demostracion: Definamos f1 sobre el espacio generado por F y x0 como

f1(tx0 + y) = td

donde d = dist(x0, F )Si tx0 + y ≤ 1 y t 6= 0, entonces d ≤ ‖x0 + y/t‖ ≤ 1

|t| , ası que

|f1(tx0 + y)| = d |t| ≤ 1.

Veamos que ‖f1‖ = 1. Sea ε > 0; sea y ∈ F tal que ‖x0 − y‖ < d + ε,si u = x0−y

‖x0−y‖ se tiene que ‖u‖ = 1 y f1(u) = d‖x0−y‖ ≥

dd+ε

. Por lo tanto

‖f1‖ ≥ dd+ε

, de lo cual se deduce que ‖f1‖ ≥ 1. Aplicando Hahn-Banach,encontramos f ∈ X∗ con las condiciones deseadas.

Definicion 3.6 Sea X un conjunto, V un espacio vectorial y F un conjuntono vacıo de funciones f de X en V . Se dice que F separa los puntos deX, si dados x, y ∈ X, x 6= y, existe un elemento f ∈ F tal que f(x) 6= f(y).

Ejercicio 3.1 Demuestre que si X es un espacio normado (no trivial) en-tonces X∗ separa los puntos de X.

Corolario 3.3 Para cada vector x de un espacio vectorial normado X, setiene que

‖x‖ = sup |f(x)| : f ∈ X∗ y ‖f‖ ≤ 1

Demostracion: Para toda f ∈ X∗ tal que ‖f‖ ≤ 1; se tiene que |f(x)| ≤‖f‖‖x‖ ≤ ‖x‖, entonces sup |f(x)| : f ∈ X∗ y ‖f‖ ≤ 1 ≤ ‖x‖.Como existe f ∈ X∗ tal que ‖f‖ = 1 y |f(x)| = ‖x‖ se tiene que

‖x‖ = sup |f(x)| : f ∈ X∗ y ‖f‖ ≤ 1

Observacion 3.3 El proceso de formar espacios duales de un espacio nor-mado X se puede continuar y formar el espacio X∗∗, el doble dual de X queserıa X∗∗ = f : X∗ → K : f lineal y acotadas.

3.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS DUALES 45

Observacion 3.4 A cada x en X le podemos asociar un elemento x de X∗∗

de la siguiente manera

x(f) = f(x), para todo f ∈ X∗.

Se tiene que |x(f)| = |f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖, por lo tanto x ∈ X∗∗ y ademas‖x‖ ≤ ‖x‖.

Definicion 3.7 Al operador J : X → X∗∗ definido por J(x) = x lo llamare-mos la inyeccion canonica .

Definicion 3.8 Si el rango de J es X∗∗, X se dice reflexivo

Se tiene que

‖J(x)‖ = sup‖f‖≤1

f∈X∗

|x(f)| ≤ ‖x‖; x ∈ X

Ademas tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3.3 J : X → X∗∗ es una isometrıa lineal.

Demostracion: Veamos que ‖J(x)‖ = ‖x‖ = ‖x‖, x ∈ X. De un corolarioanterior se tiene que dado x ∈ X existe f ∈ X∗ tal que f(x) = ‖x‖ y ‖f‖ = 1.Por lo tanto ‖J(x)‖ = ‖x‖ ≤ sup

‖f‖≤1

|x(f)| = sup‖f‖≤1

|f(x)|

3.2 Ejemplos de espacios duales

Lema 3.2 El dual de `(n)p = (Rn, ‖.‖p) es `

(n)q = (Rn, ‖.‖q) donde 1

p+ 1

q=

1, 1 ≤ p < ∞ .

Demostracion: Sea vini=1 una base de Rn, se tiene que cada x de Rn

se puede escribir como x =n∑

i=1

xivi. Si f ∈ `(n)p entonces f se puede escribir

como

f(x) =n∑

i=1

xif(xi), x ∈ Rn,


definamos T : (`(n)p )∗ → `

(n)q de la siguiente manera

T (f) = (f(xi))ni=1, f ∈ (`(n)

p )∗.

Veamos que T es una isometrıa lineal. T es lineal obviamente. Veamos que

‖Tf‖q = ‖f‖, f ∈ (`(n)p )∗

.Por una parte tenemos que

|f (x) | ≤n∑

i=1

|xi||f(vi)| ≤

(n∑

i=1

(xi)p

)1/p( n∑i=1

f(vi)q

)1/q

, x ∈ Rn,


‖f‖ ≤

(n∑

i=1

(f(vi))q

)1/q

= ‖Tf‖q.

Sea x0 = (xi)ni=1 el elemento de `

(n)p definido de la siguiente manera

xi =

0; si f(vi) = 0

|f(vi)|qf(vi)

; si f(vi) 6= 0,

se tiene entonces que∣∣f(x0)∣∣ =

n∑i=1

|f(vi)|q

|f(vi)|· |f(vi)| =

n∑i=1

|f(vi)|q = ‖Tf‖qq.

Por lo tanto

‖T (f)‖qq =

∣∣f(x0)∣∣ ≤ ‖f‖

∥∥x0∥∥

p= ‖f‖

(n∑

i=1

(|f(vi)|q

|f(vi)|

)p)1/p

= ‖f‖

(n∑

i=1

(|f(vi)|)pq−p

)1/p

= ‖f‖

(n∑

i=1

(|f(vi)|)q

)1/p

= ‖f‖ ‖T (f)‖q/pq ,

entonces ‖T (f)‖q−q/pq ≤ ‖f‖ y como q − q/p = 1, se tiene que ‖Tf‖q ≤ ‖f‖.

3.3. EJERCICIOS 47

Ejercicio 3.2 Usando el mismo razonamiento demuestre que

(`(n)p )∗∗ = (`n

q )∗ = `np ;

es decir `(n)p es reflexivo.

Ejercicio 3.3 Demuestre que (`(n)∞ )∗ = `

(n)1

3.3 Ejercicios

Ejercicio 3.4 Sea X un espacio normado. Demuestre que si X∗ es separa-ble, entonces X es separable.

Ejercicio 3.5 Sea Y un subespacio cerrado del espacio normado X. De-muestre que

Y =⋂Nucleo(x∗); Y ⊂ Nucleo(x∗) .

Ejercicio 3.6 Demuestre que cada espacio normado X de dimension finitaes reflexivo.

Ejercicio 3.7 Sea M un subespacio no denso del espacio normado X.Demuestre que hay una sucesion xn∞n=1 ⊂ X tal que

‖xn‖ = 1y limn→∞

d(xn, M) = 1

Ejercicio 3.8 Sea X es un espacio normado y f ∈ X∗. Demuestre que existeun x0 ∈ X tal que todo elemento x ∈ X puede ser expresado de la formax = αx0 + x1, donde α ∈ K y x1 ∈ Nucleo(f).

Ejercicio 3.9 Sea X un espacio normado. Sea xn∞n=1 una sucesion en Xy x0 un elemento de X tal que para cada x∗ ∈ X∗ se tiene que

limn→∞

x∗(xn) = x∗(x0).

Demuestre que x0 esta en la clausura del espacio generado por xn∞n=1.


Ejercicio 3.10 Sea X un espacio de Banach separable y xn∞n=1 un sub-conjunto denso numerable de

SX(0, 1) = x ∈ X : ‖x‖ = 1 .

Para cada xn sea fn ∈ X∗ tal que fn(xn) = ‖xn‖ y ‖fn‖ = 1. Demuestre que

si definimos p(x) =

(∞∑

n=1

2−n [fn(x)]2)1/2

, entonces p es una norma sobre X

y ademas p(x) ≤ ‖x‖ ; para todo x ∈ X.

Capıtulo 4

Series en espacios de Banach

4.1 Ejemplos y aplicaciones

Definicion 4.1 Una sucesion xn∞n=1 de elementos de un espacio normadoX de dimension infinita, se dira una base de Schauder de X si xnsatisface las siguientes condiciones:

1. Cada x en X tiene una unica expansion x =∞∑

k=1

akxk, lo cual significa

que

limn→∞

∥∥∥∥∥n∑

i=1

akxk − x

∥∥∥∥∥X

= 0

2. Para cada n ≥ 1, la funcion fn : X → K, definida por fn(x) = an escontinua.

Definicion 4.2 Diremos que la serie∞∑

n=1

anxn converge incondicional-

mente a x en X, si para cada ε > 0, existe un conjunto finito B ⊂ N

con la condicion de que para todo conjunto A finito tal que B ⊂ A ⊂ N, setiene que ∥∥∥∥∥x−∑

n∈A

anxn

∥∥∥∥∥ < ε,

49

50 CAPITULO 4. SERIES EN ESPACIOS DE BANACH

Definicion 4.3 Una base de Schauder xn ⊂ X se dira incondicionalsi la convergencia en la representacion es incondicional.

Definicion 4.4 Diremos que una serie∞∑

n=1

yn es absolutamente conver-

gente en X si∞∑

n=1

‖yn‖ converge en K.

Observacion 4.1 Notese que si f ∈ X∗ y x =∞∑

k=1

akxk converge incondi-

cionalmente en X, entonces f(x) =∞∑

k=1

akf(xk) converge incondicionalmente

en K y por lo tanto∞∑

k=1

akf(xk) converge absolutamente en K.

Una definicion equivalente de convergencia incondicional de una serie∞∑

n=1

xn ∈ X es que para cada funcion p : N → N, biyectiva se tenga que

la serie∞∑

n=1

xp(n) sea convergente.

Ejemplo 4.1 Dada en = (δin)∞i=1, entonces se tiene queen∞n=1 es una baseincondicional para c0.

En efecto sea x = (xn)∞n=1 un elemento de c0, entonces x =∞∑

n=1

xnen.

Sea ε > 0, entonces existe Nε ∈ N tal que |xn| < ε; n ≥ Nε. Dado B =1, 2, 3, ..., Nε, entonces se tiene que si B ⊂ A (A finito)∥∥∥∥∥x−∑

n∈A

xnen

∥∥∥∥∥c0

=

∥∥∥∥∥ ∑n∈N−A

xnen

∥∥∥∥∥c0

< ε

ya que todo n ∈ N − A es mayor que Nε. Por lo tanto en∞n=1 es una baseincondicional para c0.

4.1. EJEMPLOS Y APLICACIONES 51

Veamos que c∗0 es isometrico a `1.

Si f ∈ c∗0 se tiene que∞∑

n=1

|f(en)xn| < ∞ para toda x =∑n∈N

xnen ∈ c0.

Sea uk = uki ∞i=1 definida de la siguiente manera

uki =

|f(ei)|f(ei)

, si i ≤ k y f(ei) 6= 0

0, en otro caso.

cada uk esta en c0 y∥∥uk∥∥

c0≤ 1,se tiene entonces que

k∑n=1

∣∣f(ei)∣∣ =

∣∣f(uk)∣∣ ≤ ∥∥f ∥∥∥∥uk

∥∥ ≤∥∥ f∥∥ , para todo k en N ,

por lo tanto∞∑

n=1

|f(en)| ≤ ‖f‖ , para todo f en c∗0.

Si definimos T : c∗0 → `1 por

T (f) = (f(en))∞n=1,

se tiene que ‖T (f)‖`1 =∞∑

n=1

|f(en)| ≤ ‖f‖ para todo f en c∗0. Para cada

x =∞∑

n=1

xnen en c0 y f ∈ c∗0 se tiene que

|f(x)| =

∣∣∣∣∣∞∑

n=1

xnf(en)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=1

|xnf(en)| ≤ supn∈N

|xn|∞∑

n=1

|f(en)| = ‖x‖c0‖T (f)‖`1 ,

de lo cual se deduce que ‖T (f)‖`1 ≥ ‖f‖ , es decir ‖T (f)‖`1 = ‖f‖. Se tieneentonces que c∗0 es isometrico a `1.

Ejercicio 4.1 Verifique que si y = (yi)∞i=1 pertenece a `∞, entonces la

aplicacion fy definida por

fy(x) =∞∑

n=1

xnyn,

pertenece a (`1)∗ y ‖fy‖ = ‖y‖∞ . Concluya que (`1)∗ es isometrico a `∞.

52 CAPITULO 4. SERIES EN ESPACIOS DE BANACH

4.2 Caracterizacion de espacios de Banach

Teorema 4.1 Un espacio normado X es un espacio de Banach si, y solo si,toda serie absolutamente convergente en X converge a un punto en X.

Demostracion: Si∞∑

j=1

xj es absolutamente convergente, entonces la

sucesion de las sumas parciales forman una sucesion de Cauchy. En efecto,

dado ε > 0,∃ N(ε) tal que∞∑

n≥Nε

‖xj‖ < ε.

Sean p, q ≥ N(ε), entonces se tiene que

‖Sp − Sq‖ =

∥∥∥∥∥p∑

n=1

xn −q∑

n=1

xn

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥p∑

q=n

xn

∥∥∥∥∥ ≤p∑

q=n

‖xn‖ ≤∞∑

q=n

‖xn‖ < ε.

Como X es completo Sn∞n=1 es convergente a un elemento x de X, es decir

la serie∞∑

n=1

xn converge en X.

Supongamos que cada serie absolutamente convergente es convergente enX. Sea xn∞n=1 una sucesion de Cauchy en X. En virtud de lema(1.2) , setiene que existe una subsucesion xφ(n)∞n=1 tal que ‖xφ(n) − xφ(n+1)‖ ≤ 1

2n y

por lo tanto∞∑

n=1

‖xφ(n) − xφ(n+1)‖ ≤∞∑

n=1

12n < ∞.

De la hipotesis se tiene que la serie∞∑

n=1

[xφ(n) − xφ(n+1)] converge en X.

Es decir, existe x0 en X tal que

limn→∞

∥∥∥∥∥∞∑

k=1

(xφ(k) − xφ(k+1))− x0

∥∥∥∥∥X

= 0,

pero Sn = xφ(n+1), para todo n, entonces se tiene que:

limn→∞

∥∥xφ(n+1) − x0

∥∥X

= 0,

y por lo tanto limn→∞

‖xn − x0‖ = 0.

Capıtulo 5

El Teorema de Baire yaplicaciones

5.1 El Teorema de Baire

Definicion 5.1 Sea X un espacio topologico un subconjunto A de X se dicenunca denso si su clausura tiene interior vacıo es decir

A = φ.

De esta definicion se tiene que A ⊂ X es nunca denso si, y solo si, elcomplemento de su clausura es denso en X. En efecto

X =A ∪ (A)c

y esta union es disjunta.

Definicion 5.2 un subconjunto A de un espacio topologico X se dice deprimera categorıa si es la union numerable de conjuntos nunca densos.Un conjunto A se dice de segunda categorıa si no es de primera categorıa.

Teorema 5.1 Si X es un espacio metrico completo, entonces la interseccionde cada coleccion numerable An de conjuntos abiertos y densos en X esdenso en X.

53

54 CAPITULO 5. EL TEOREMA DE BAIRE Y APLICACIONES

Demostracion: Si la coleccion An es finita el resultado es cierto. SeaAn∞n=1 una coleccion de conjuntos abiertos y densos en X entonces

V ∩

[∞⋂

n=1

An

]6= φ

como A1 es abierto y denso en X, entonces V ∩A1 es abierto y no vacıo. Seax1 en V ∩ A1, entonces existe ε > 0 tal que

B1 = B(x1,

ε

2

)⊂ B(x1ε) ⊂ A1 ∩ V.

Similarmente, dado x2 ∈ B1 ∩ A2, existe k2 > 2 tal que

B2 = B(x2,

ε

2k2

)⊂ B1 ∩ A2,

continuando con este procesos, construımos una sucesion de bolasBn := B(xn,

ε

2kn); kn > n, k1 = 1

∞n=1

tales queB1 ⊃ B2 · · · ⊃ Bn ⊃ Bn+1 ⊃ · · ·

Ademas se tiene que xn∞n=1 es de Cauchy y en consecuencia

x0 = limn→∞

xn ∈ X y x0 = limn→∞

xn ∈∞⋂

n=1

Bn , es decir∞⋂

n=1

Bn 6= φ.

Como Bn ⊂ V y Bn ⊂ An se tiene que

∞⋂n=1

Bn ⊂ V ∩

[∞⋂

n=1

An

],

es decir

V ∩

[∞⋂

n=1

An

]6= φ

Corolario 5.1 Si An∞n=1 es una sucesion de conjuntos nunca densos enun espacio metrico completo X , entonces existe un punto x de X que no

esta en∞⋃

n=1

An .

5.1. EL TEOREMA DE BAIRE 55

Demostracion: Si X =∞⋃

n=1

An, se tendrıa que φ = (X)c =∞⋂

n=1

(An)c lo

cual contradice el teorema de Baire ya que (An) es denso en X para cadan ∈ N.

Observacion 5.1 De este corolario se deduce en particular que X no puedeestar constituıdo por un numero finito de elementos. Sin embargo la unionnumerable de conjuntos nunca densos puede ser denso en X, por ejemplo losracionales en R

Corolario 5.2 Si un espacio metrico completo X es la union de una coleccionnumerable Vn∞n=1 de conjuntos cerrados, entonces al menos uno de ellostiene interior no vacıo.

Demostracion: Si para todo n en N,V n = φ, entonces X es la union

de una coleccion numerable de conjuntos nunca densos, esto contradice elcorolario anterior.

Observacion 5.2 El teorema de categorıa de Baire puede ser usado parademostrar la existencia, de una manera no constructiva, de un objeto quetiene propiedad P y pertenece a un espacio metrico completo X.i)Demuestre que los objetos sin propiedad P forman un subconjuntoB ⊂ X de primera categorıaii) Entonces el complemento de B debe ser no vacio (Baire); por tanto unobjeto con propiedad P debe existir.


5.2 Acotacion uniforme y Banach-Steinhaus

El siguiente resultado es conocido como el Principio de acotacion uniforme

Teorema 5.2 Sea X un espacio de Banach. Sea Y un espacio normado.Si B es un subconjunto de L(X, Y ) tal que para cada x en X el conjuntoT (x) : T ∈ B es acotado en Y, entonces B es acotado en L(X,Y ).

Demostracion: Sea Vn el conjunto definido por

Vn = x ∈ X : ||T (x)|| ≤ n, para todo T en B,

es claro que

Vn =⋂

Tα∈B

x ∈ X : ||Tα(x)|| ≤ n

y como cada uno de los conjuntos de esta interseccion es cerrado, se tiene queVn es cerrado . Ademas como para cada x en X, se tiene que T (x) : T ∈ Bes acotado, entonces

X =∞⋃

n=1

Vn.

Por el teorema de Baire existe Vn0 tal queV n0 6= φ , es decir existe x0 en X

y γ > 0 tal que B(x0, γ) ⊂ Vn0 , es decir

x0 + γB(0, 1) ⊂ Vn0 .

Para todo x en X, se tiene que x = 1γ(x0+γx−x0), supongamos que ||x|| ≤ 1,

entonces se tiene que

||T (x)|| = ||1γT (x0 + γx− x0)|| ≤

1

γ(||T (x0 + γx)||+ ||T (x0)||)

≤ 1

γ(n0 + n0) =

2

γ; para todo T en B,

por lo tanto para todo T en B se tiene que ||T || = sup||x||≤1

||T (x)|| ≤ 2n0

γ, lo

cual significa que B es acotado en L(X, Y ).

El siguiente resultado, Corolario del Teorema 5.2, es conocido como elTeorema de Banach-Steinhauss.

5.2. ACOTACION UNIFORME Y BANACH-STEINHAUS 57

Corolario 5.3 Sea X un espacio de Banach. Si Tn∞n=1 es una sucesionde aplicaciones lineales continuas, definidas en X con valores en el espacionormado Y que converge puntualmente, entonces Tn∞n=1 es acotada fuerte-mente. Ademas la aplicacion T definida para cada x en X por

T (x) = limn→∞

Tn(x),

es lineal y continua.

Demostracion: Como para cada x en X , la sucesion Tn(x)∞n=1 ⊂ K esconvergente, entonces Tn(x) es acotada. Se deduce del Teorema 5.2 que lasucesion Tn∞n=1 es acotada fuertemente, es decir sup

n||Tn|| = M < ∞.

Es claro que la aplicacion T definida por

T (x) = limn→∞

Tn(x),

esta bien definida y es lineal.

Veamos que T es continua. Como para x en X se tiene que

‖T (x)‖ = limn→∞

‖Tn(x)‖ ≤(

supn∈N

‖Tn‖)‖x‖ = M ‖x‖ ,

entonces T es continua y ‖T‖ ≤ M


5.3 El Teorema de aplicacion abierta

Vamos a comenzar con algunas definiciones

Definicion 5.3 Sea X un espacio normado. Diremos que un subconjuntoA ⊂ X es convexo si para cada subconjunto finito xjn

j=1 ⊂ A, se tiene

que sin∑

j=1

αj = 1, entonces el elemento x =n∑

j=1

αjxj ∈ A.

Definicion 5.4 Sea X un espacio normado. Diremos que un subconjuntoA ⊂ X es simetrico si x ∈ A implica que (−x) ∈ A.

Se tiene el siguiente resultado

Lema 5.1 Sean X,Y espacios normados. Sea T : X → Y una aplicacionlineal. Si A es un subconjunto convexo y simetrico en X, entonces T (A) esconvexo y simetrico en Y .

Ejercicio 5.1 Demuestre el Lema 5.1

Lema 5.2 Sean X, Y espacios normados definidos sobre el mismo cuerpoK. Si Y es de Banach y T : X → Y es lineal y sobreyectiva, entonces existeun γ > 0 tal que

BY (0, 1) ⊂ T (BX(0, γ))

Demostracion: Como T es sobreyectiva, se tiene que

Y =∞⋃

n=1

T (BX(0, n)) =∞⋃

n=1

T (BX(0, n)).

Por el teorema de Baire existe m0 ∈ N, y0 ∈ Y y δ en (0, 1) tal que

BY (y0, δ) ⊂ T (BX(0, m0)).

Vamos a demostrar que BY (0, 1) ⊂(BX

(0, m0

δ

)).

En efecto, si y esta en BY (0, δ), entonces (y + y0); (y − y0) estan enT (BX(0, m0)).

5.3. EL TEOREMA DE APLICACION ABIERTA 59

Como T (BX(0, m0)) es convexo, se tiene que y = 12(y + y0) + 1

2(y − y0)

esta en T (BX(0, m0)), por lo tanto

BY (0, 1) =1

δBY (0, δ) ⊂ 1

δT (Bx(0, m0)) = T

(BX

(0,

m0

δ

)).

Demostremos ahora el teorema de la aplicacion abierta.

Teorema 5.3 ( de aplicacion abierta) Sean X, Y espacios de Banach. SiT : X → Y es lineal, sobreyectiva y continua, entonces para cada A abiertoen X, se tiene que T (A) es abierto en Y .

Demostracion: Sea A un subconjunto abierto y no vacıo en X. Sea y0 enT (A) , entonces existe x0 en A tal que T (x0) = y0. Ademas existe δ > 0 talque BX(x0, δ) ⊂ A, y por lo tanto Bx(0, δ) ⊂ A − x0. Del lema 5.2 se tieneque existe γ1 > 0 tal que BY (0, 1) ⊂ T (BX(0, γ1)).

Veamos que BY (0, 1) ⊂ T (BX(0, 2γ1)). Sea y∞ un elemento en BY (0, 1).Definamos inductivamente una sucesion yn∞n=1 tal que yn ∈ T (B(0, γ1))para cada n ∈ N, y ∥∥∥∥∥y∞ −

n∑k=1

yk

2k−1

∥∥∥∥∥ <1

2nn ∈ N.

Del hecho que

BY (0, 1) ⊂ T (BX(0, γ1)) ⊂ T (BX(0, γ1)),

se tiene que existe y1 ∈ T (BX(0, γ1)) tal que

‖y∞ − y1‖ ≤1

2.

Supongamos que hemos definido elementos y1, y2, ..., yn, tales que∥∥∥∥∥y∞ −n∑

k=1

yk

2k−1

∥∥∥∥∥ <1

2n;

entonces ∥∥∥∥∥2n

(y∞ −

n∑k=1

yk

2k−1

)∥∥∥∥∥ < 1,


y en consecuencia, existe yn+1 en T (BX(0, γ1)) tal que∥∥∥∥∥2n

(y∞ −

n∑k=1

yk

2k−1

)− yn+1

∥∥∥∥∥ <1

2,

es decir ∥∥∥∥∥y∞ −n∑

k=1

yk

2k−1

∥∥∥∥∥ <1

2n+1.

Se tiene de esa manera construıda la sucesion yn∞n=1 que querıamos, yademas se tiene que

y∞ = limn→∞

n∑k=1

yk

2k−1=

n∑k=1

yk

2k−1.

Elijamos xn en BX(0, γ1) tal que

T (xn) = yn, n ∈ N.

Del hecho que limn→∞

n∑k=1

‖xn‖2k−1 ≤

∞∑k=1

γ1

2k−1 = 2γ1, se tiene que la serie∞∑

n=1

xn

2n−1

converge absolutamente y como X es de Banach, se tiene que existe x∞ ∈ Xtal que

x∞ =n∑

k=1

yk

2k−1.

Del hecho que ∥∥∥∥∥n∑

k=1

xk

2k−1

∥∥∥∥∥ ≤n∑

k=1

‖xk‖2k−1

< 2γ1, n ∈ N,

se tiene que x∞ pertenece a BX(0, 2γ1).Como T es lineal y continua, se tiene que

T (x∞) =∞∑

k=1

1

2k − 1T (xk) =

∞∑k=1

1

2k − 1yk = y∞,

es decir y∞ pertenece a T (BX(0, 2γ1)), en consecuencia

By(0, 1) ⊂ T (Bx(0, 2γ1)).

5.3. EL TEOREMA DE APLICACION ABIERTA 61

Del hecho que

BY (0, 1) ⊂ T (BX(0, 2γ1)),

se tiene que

BY

(0,

δ

2γ1

)⊂ T (BX(0, δ)) ⊂ T (A− x0),

es decir

BY

(0,

δ

2γ1

)⊂ T (A)− T (x0)

y en consecuencia

BY

(T (x0),

δ

2γ1

)⊂ T (A)

lo cual demuestra que T (A) es abierto.

Los siguientes corolarios del teorema 5.3 se aplican directamente a muchassituaciones concretas.

Corolario 5.4 Sean X, Y espacios de Banach. Si T : X → Y es unabiyeccion lineal y continua, entonces su inversa T−1 tambien es continua.

Demostracion: Sea A un abierto en X, entonces se tiene que (T−1)−1(A) =T (A) es abierto por el teorema de la aplicacion abierta, lo cual significa queT−1 es continua ya que la imagen inversa mediante T−1 de cualquier abiertoes abierta.

Corolario 5.5 Sea X un espacio vectorial. Sean ‖.‖ 1, ‖.‖ 2 dos normassobre X, tales que X1 = (X, ‖.‖1) y X2 = (X, ‖.‖2) son espacios de Banach.Si existe un numeros real K > 0 tal que ‖x‖1 ≤ K ‖x‖2 ; para todo x en X,entonces ‖.‖ 1 y ‖.‖ 2 son equivalentes.

Demostracion: De la comparacion de normas se tiene que el operadoridentidad I : X2 → X1 es una biyeccion lineal y continua y por el corolario5.4 se tiene que I : X1 → X2 es continua, es decir existe K1 > 0 tal que‖x‖2 ≤ K1 ‖x‖1 ; para todo x en X


5.4 El Teorema del Grafico Cerrado

Definicion 5.5 Sea T una aplicacion lineal definida en su dominio DT , subespaciodel espacio normado X con valores en el espacio normado Y . El grafico GT

de T es el subconjunto del producto X × Y definido por

GT = (x, T (x)) : x ∈ DT.

Definicion 5.6 Dados dos espacios normados X,Y . Diremos que una apli-cacion lineal T : X → Y es cerrada, si su grafico GT es cerrado en X × Ycon respecto a la topologıa producto.

Observacion 5.3 En el caso que X, Y son espacios normados la topologıaproducto de X×Y , coincide con la topologıa generada por la norma ‖(x, y)‖ =max‖x‖X , ‖y‖Y .

El resultado siguiente da una condicion necesaria y suficiente para queuna aplicacion lineal T sea cerrada.

Teorema 5.4 Sean X,Y espacios normados. Sea T una aplicacion linealdefinida en el subespacio DT de X con valores en Y . La aplicacion T escerrada si, y solo si, la siguiente condicion es satisfecha:

Si xn∞n=1 es una sucesion en DT convergente al elemento x0 de X talque la sucesion T (xn)∞n=1 converge al elemento y0 de Y , entonces se tieneque x0 esta en DT y T (x0) = y0.

Demostracion: Supongamos que T es cerrada. Sea xn∞n=1 una sucesionen DT que converge a x0 en X y tal que T (xn)∞n=1 converge a y0, entonces‖(xn, T (xn)) − (x0, y0)‖ = max‖xn − x0‖, ‖T (xn) − y0‖ converge a cerocuando n tiende a infinito y como GT es cerrado, entonces debe tenerse que(x0, y0) ∈ GT y esto ocurre si, y solo si, T (x0) = y0. En particular x0 ∈ DT .

Supongamos ahora que la condicion del teorema es satisfecha.Sea (xn, T (xn))∞n=1 una sucesion en GT que converge a (x0, y0), Entoncesse tiene que

‖(xn, T (xn))− x0, y0)‖ = max‖xn − x0‖, ‖T (xn)− y0‖

converge a cero y en consecuencia

limn→∞

xn = x0 y limn→∞

T (xn) = y0,

5.4. EL TEOREMA DEL GRAFICO CERRADO 63

y de acuerdo con las hipotesis x0 ∈ DT y T (x0) = y0; es decir GT es cerradoen X × Y y en consecuencia T es cerrada.

Corolario 5.6 Sea T una aplicacion lineal definida en el espacio normadoX con valores en el espacio normado Y . Si T es continua entonces T escerrada.

Ejercicio 5.2 Demuestre el corolario 5.6

El recıproco de este corolario no es cierto en general.

Ejercicio 5.3 Pruebe que el operador lineal D : C1[0, 1] → C[0, 1], definidopor D(g) = g′, g ∈ C1[0, 1], es un operador cerrado y no es continuo.

Sin embargo, si X e Y son espacios de Banach, entonces toda aplicacionlineal cerrada T : X → Y , es continua como lo afirma el siguiente resultado.

Teorema 5.5 (Teorema del grafico cerrado). Sean X, Y espacios deBanach. Si una aplicacion lineal T : X → Y es cerrada, entonces T escontinua.

Demostracion: Como el grafico GT de T es cerrado, entonces GT es unespacio de Banach. Por otra parte, la aplicacion PX : GT → X definida por

PX(x, T (x)) = x,

es una biyeccion, y como para todo x en X

‖PX(x, T (x))‖ = ‖x‖ ≤ max‖x‖, ‖T (x)‖ = ‖(x, T (x)‖,

se tiene que PX es continua. Se deduce entonces del teorema de la aplicacionabierta que la inversa P−1

X de PX es continua. Por lo tanto se tiene que

‖T (x)‖ ≤ max‖x‖, ‖T (x)‖ = ‖(x, T (x))‖= ‖P−

X 1(x)‖ ≤ ‖P−X 1‖‖x‖, x ∈ X,

es decir T es continua.


5.5 Ejercicios

Ejercicio 5.4 Sea S un subconjunto del espacio normado X tal que paracada x∗ en X∗ el conjunto x∗ (S) es acotado. Demuestre que S es acotado.

Ejercicio 5.5 Construya una sucesion de funcionales lineales y acotadasx∗n

∞n=1 sobre (l0, ‖.‖l1) tales que sup

n≥1|x∗n(x)| < ∞, para cada x en l0, pero

limn→∞

‖x∗n‖ = ∞.

¿ Que relacion tiene este hecho con el principio de acotacion uniforme ?.

Ejercicio 5.6 Dada an∞n=1 en l1 tal que an > 0, para todo n ≥ 1.

Demostrar que existe una sucesion bn∞n=1 tal que limn→∞

|bn| = ∞ y∞∑

n=1

anbn

converge.

Ejercicio 5.7 Sea X un espacio vectorial. Sean ‖.‖ 1, ‖.‖ 2 dos normas enX con respecto a las cuales X es de Banach. Supongamos que X tiene lasiguiente propiedad :

Si xn∞n=1 ⊂ X es una sucesion que converge en ambas normas a x1

y x2 respectivamente, entonces x1 y x2 son iguales. Demuestre que en estecaso las normas son equivalentes.

Ejercicio 5.8 Sean X, Y espacios normados, Y de Banach yTn∞n=1 ⊂ L (X, Y ) . Demuestre que si para cada x en X se tiene queTn(x)∞n=1 es de Cauchy en Y , entonces existe M > 0 tal que ‖Tn‖ ≤ M,para todo n ≥ 1.

Ejercicio 5.9 Demuestre que el teorema de Banach-Steinhauss falla si Xno es completo.

Ejercicio 5.10 Sea X un espacio normado y A una transformacion linealde X en X. Demostrar que si A es cerrada , entonces A − λI es cerradapara todo λ en el cuerpo K.

Ejercicio 5.11 Sean X, Y espacios normados. Supongase que A : X → Yes una transformacion lineal cerrada. Sea F un subconjunto compacto de X.Demostrar que A(F ) es un subconjunto cerrado de X.

5.5. EJERCICIOS 65

Ejercicio 5.12 Sea X un espacio de Banach y A una transformacion lin-eal cerrada de X en Y . Demostrar que si A−1 existe y es continua sobreRA = Rango de A, entonces RA es cerrado.

Ejercicio 5.13 Sea A una transformacion lineal cerrada del espacio nor-mado X en el espacio normado Y . Sea H un subconjunto compacto de Y .Demostrar que A−1 (H) es un subconjunto cerrado de X.

Definicion 5.7 Diremos que un operador A : X → Y no cerrado admiteclausura si existe un operador A : X → Y cerrado tal que la clausura delgrafico de A es igual al grafico de A. Llamaremos al operador A la clausurade A.

Ejercicio 5.14 Verifique que si A : X → Y admite clausura A entonces Aes una extension de A; es decir A(x) = A(x) para todo x en DA =Dominiode A.

Ejercicio 5.15 Demostrar que un operador A : X → Y admite clausura si,y solo si, para toda sucesion xn∞n=1 ⊂ DA tal que xn → 0 y Axn → y, setiene que y = 0.

Ejercicio 5.16 Demostrar que si la transformacion A : X → Y tiene unaextension cerrada B, entonces A admite clausura.

Capıtulo 6

Topologıa debil

6.1 Convergencia debil y debil estrella en es-

pacios normados

Definicion 6.1 Una sucesion xk∞k=1 de elementos de un espacio normadoX se dice que converge debilmente a un elemento x en X silim

n→∞x∗(xk) = x∗(x) , para cada x∗ en X∗.

Vamos a comparar esta convergencia con la convergencia en norma.

Lema 6.1 Si la sucesion xk∞k=1 ⊂ X converge debilmente, entonces xk∞k=1

es acotada en norma.

Demostracion: Para cada k ≥ 1, sea J(xk) = xk ∈ X∗∗. Para cada x∗

en X∗ se tiene que la sucesion xk(x∗)∞k=1 es acotada ya que xk converge

debilmente. Del Teorema de Acotacion Uniforme se tiene que

supk≥1

‖xk‖ = supk≥1

‖xk‖ ≤ M < ∞,

es decir xk∞k=1 es acotada en norma.

Para espacios finito dimensionales tenemos el siguiente resultado.

Teorema 6.1 Si X es un espacio finito dimensional normado, entonces unasucesion xk∞k=1 converge debilmente a x0 si, y solo si,xk∞k=1 converge ennorma a x0.

67

68 CAPITULO 6. TOPOLOGIA DEBIL

Demostracion: Supongamos dim(X) = n. Entonces se tiene quedim(X∗) = n. Sea y∗i n

i=1 una base de X∗ entonces cada x∗ en X∗ se puede

escribir como x∗ =n∑

i=1

aiy∗i . Como todas las normas en X∗ son equivalentes

tenemos ‖x∗‖ =n∑

i=1

|ai| .

Por convergencia debil de xk se tiene que dado ε > 0, existe un N(ε)tal que |y∗i (xk − x0)| < ε, para 1 ≤ i ≤ n y para todo k ≥ N(ε). Entoncespara cada x∗ en X∗ se tiene que

|x∗(xk − x0)| ≤n∑

i=1

|ai||y∗i (xk − x0)| < ε‖x∗‖, k ≥ N(ε),

es decir

|(xk − x0)(x∗)| ≤ ε‖x∗‖, k ≥ N(ε),


‖xk − x0‖ ≤ ε, k ≥ N(ε).

Lo cual significa que limk→∞

‖xk − x0‖ = 0

Ejercicio 6.1 Demuestre que en `1 la convergencia debil y la convergenciafuerte son equivalentes. Esto demuestra que el recıproco del teorema 6.1 noes cierto.

Definicion 6.2 Una sucesion x∗k∞k=1 ⊂ X∗ se dice ser debil∗-convergentea un elemento x∗0 en X∗ si, para todo x en X se tiene que

limk→∞

x∗k(x) = x∗0(x).

Ejercicio 6.2 Demuestre que una sucesion x∗k∞k=1 debil∗-convergente essiempre acotada .

6.2. ESPACIO PRODUCTO Y TOPOLOGIA DEBIL 69

6.2 Espacio producto y Topologıa debil

6.2.1 Espacios productos

Definicion 6.3 Dada una coleccion de conjuntos Aα, α ∈ I, el productocartesiano Πα∈I Aα se define como el conjunto de todas las funciones f,f : I →

⋃α∈I

Aα tales que f(α) ∈ Aα para cada α ∈ I.

Si para cada α en I se tiene que Aα es un espacio topologico podemosdefinir una topologıa τπ sobre

∏α∈I

Ax de la siguiente manera. Diremos que V

es un abierto en∏α∈I

Ax , si para cada funcion f en V existe un conjunto ∪ de

funciones con f ∈ ∪ ⊂ V tal que ∪ =∏α∈I

∪α, cada ∪α es un entorno de f(α)

y uα = Aα salvo un numero finito de indices. Esta Topologıa es denominadala Topologıa Producto sobre

∏α∈I

Aα .

Para esta topologıa se tiene el siguiente resultado.

Teorema 6.2 ( Tychonoff ) Supongase que Aα, α ∈ I es una coleccionde espacios topologicos compactos para cada α en I , entonces se tiene queA =

∏α∈I

Ax es compacto en la topologıa producto.

6.2.2 Topologıas debiles

Vamos a tratar de poner una topologıa τ en un espacio normado X de maneraque la bola unitaria cerrrada B(0, 1) sea compacta en (X, τ).

Definicion 6.4 Dadas dos topologıas τ1 y τ2 sobre un conjunto X si τ1 ⊂ τ2

diremos que τ1 es mas debil que τ2.

Observacion 6.1 Sean X un conjunto y F una familia no vacıa de fun-ciones f : X → Yf donde cada Yf es un espacio topologico. Si definimos τcomo la coleccion de todas las uniones de intersecciones finitas de conjuntosdel tipo f−1(V ) con f en F y V abierto en Yf , se tiene que τ es una topologıasobre X. La topologia τ definida sobre X de la manera anterior, es la masdebil topologıa sobre X en la cual cada f en F es continua.


Definicion 6.5 La topologıa τ definida sobre X en la observacion anteriordenominada la topologıa debil sobre X inducida por F o la F -topologıade X. A dicha Topologıa la denotaremos por σ(F, X).

El mas conocido ejemplo de esta situacion es sin dudas la manera usualcomo se le da una topologıa al producto cartesiano X =

∏α∈I

Xα donde Xα es

un espacio topologico para cada X en I.Si πα(x) denota la coordenada α de un punto x de X entonces

πα : X → Xα, y la topologıa producto es por definicion la πα, α ∈ I-topologıa.

6.3 Ejercicios

Ejercicio 6.3 Sean xn∞n=1una sucesion en lp, (1 < p < ∞); x = xj∞j=1 en

lp. Demostrar que xn∞n=1converge a x debilmente si, y solo si,supn≥1

‖xn‖p < ∞ y limn→∞

∣∣xnj − xj

∣∣ = 0, para cada j ≥ 1.

Ejercicio 6.4 Demuestre que la sucesion fn∞n=1 en Lp [a, b] , (1 < p < ∞)converge debilmente a f si, y solo si,a.)sup

n≥1‖fn‖p < ∞, y

b.) limn→∞

y∫a

fn(t)dt =∫ y

ax(t)dt; para todo y en [a, b] .

Ejercicio 6.5 Sean X, Y espacios normados y An∞n=1 , Bn∞n=1 sucesionesen L (X, Y ). Demostrar que si An∞n=1 converge fuertemente a A y Bn∞n=1

converge fuertemente a B, entonces An + Bn∞n=1 converge fuertemente aA + B. Ademas si An∞n=1 converge fuertemente a C entonces A = C.Demuestre resultados analogos para convergencia debil.

Ejercicio 6.6 Sea X un espacio de Banach y fn∞n=1 una sucesion en X∗.Demostrar que fn → f debilmente si, y solo si, la sucesion ‖fn‖∞n=1 esacotada y fn (x) → f (x) para todo x en un subconjunto A denso en X.

Ejercicio 6.7 Sea X un espacio normado. Sean B = f ∈ X∗ tal que ‖f‖ ≤ 1 ,S = f ∈ X∗ tal que ‖f‖ = 1 . Demuestre que la clausura de S en la topologıadebil estrella es B.

6.3. EJERCICIOS 71

Ejercicio 6.8 Si para cada t en [0, 1] definimos δt en (C [0, 1])∗ por

δt (f) = f (t) para cada f en C [0, 1] .

Demostrar que si Un = 1n

n∑k=0

δk

k, entonces Un∞n=1 converge en la topologıa

debil∗.Determinar lim

n→∞Un.

Ejercicio 6.9 Dada la sucesion en∞n=1 ,donde en = δin∞i=1 .Demuestreque:a.)en∞n=1 converge a cero en la topologıa debil de c0

b.) en∞n=1 converge a cero en la topologıa debil∗ de l1

c.) en∞n=1 no converge a cero en la topologıa debil de l1.

Ejercicio 6.10 Demuestre que un funcional lineal F sobre un espacio dualX∗ es debil∗ continua si, y solo si, existe x en X tal que F (f) = f(x) paratoda f en X∗

Ejercicio 6.11 Demuestre que la topologıa debil y la topologıa debil∗ coinci-den en X∗ si, y solo si, X es reflexivo.

Capıtulo 7

Espacios de funciones continuas

7.1 Espacios de funciones continuas

En esta seccion X denotara un espacio topologico compacto. El espacioCK(X) es un espacio de Banach con la norma del supremo, vamos a estudiaralgunas propiedades extras de este espacio. Comenzaremos con el siguienteresultado de Dini.

Lema 7.1 (Dini) Sea fn∞n=1 una sucesion monotona de CR(X) que con-verge puntualmente a una funcion continua f , entonces fn∞n=1 convergeuniformemente a f .

Demostracion: Supongamos que la sucesion fn es creciente. Definamosla sucesion gn∞n=1 por gn := f − fn, entonces se tiene que gn ∈ CR(X) ygn∞n=1 es monotona decreciente. Dado ε > 0, definamos para cada n ∈ N,el conjunto Gn por

Gn = g−1n (0, ε)

Gn es abierto.Como la sucesion gn∞n=1 converge a cero puntualmente, se tiene que

X =∞⋃

n=1

Gn.

Sea G1, G2, ..., GN un subcubrimiento finito de X . Es claro que

G1 ⊂ G2 ⊂ · · · ⊂ GN

73

74 CAPITULO 7. ESPACIOS DE FUNCIONES CONTINUAS

y en consecuencia X = GN . Esto demuestra que 0 ≤ gn(x) < ε, n > N ytodo x en X; es decir

‖f − fn‖∞ = ‖gn‖∞ = maxgn(x); x ∈ X < ε,

para todo n > N . Es decir limn→∞

‖fn − f‖∞ = 0

Ejercicio 7.1 Demuestre el lema 7.1 en el caso en que la sucesion fn∞n=1

es decreciente.

La condicion de que fn∞n=1 sea monotona no puede omitirse, como mues-tra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7.1 Definamos fn : [0, 1] → R por

fn(x) =

2nx; si 0 ≤ x ≤ 1

2n

2− 2nx; si 12n≤ x ≤ 1

n

0; si 1n≤ x ≤ 1

Esta sucesion esta en CR[0, 1], converge a cero puntualmente y sin em-bargo ‖fn‖ = 1 para todo n.

Definicion 7.1 Un espacio vectorial A es un algebra lineal si en A estadefinido un producto (.) con las siguientes propiedades.

1) x · (y · z) = (x · y) · z; x, y, z ∈ A.2) (α · x) · (β · y) = (α · β) · (x · y); α, β ∈ K; x, y ∈ A3) x · (y + z) = x · y + x · z; x, y, z ∈ A.Si ademas se tiene que

x · y = y · x; x, y ∈ A,

entonces se dice que A es un algebra conmutativa.Si en el algebra conmutativa A existe un elemento e tal que

x · e = e · x = x, x ∈ A,

se dice que el algebra A tiene una identidad.

Definicion 7.2 Un subespacio B de un algebra A es una subalgebra de Asi x, y en B implica x · y en B.

Ejercicio 7.2 Dado X un espacio topologico, Demuestre que el espacio vec-torial de todas las funciones f : X → K es un algebra con identidad.

7.2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS 75

7.2 El Teorema de Stone-Weierstrass

Vamos a prepararnos ahora para demostrar una version general del teoremade Stone-Weierstrass.

Para eso necesitaremos los siguientes resultados:

Lema 7.2 La clausura A de una subalgebra A de CK(X) es una subalgebrade CK(X)

Ejercicio 7.3 Demuestre el Lema 7.2

Lema 7.3 La funcion f(x) = |x| es el lımite uniforme de una sucesion depolinomios en CR[−1, 1] .

Demostracion: Definamos inductivamente la siguiente sucesion de poli-nomios

P0(x) = 0; x ∈ [−1, 1]

si n > 0

Pn+1(x) = Pn(x) +1

2(x2 − P 2

n(x)).

Se tiene que

0 ≤ P1(x) =1

2x2 ≤ |x|; x ∈ [−1, 1].

Supongamos que0 ≤ Pk(x) ≤ |x|, x ∈ [−1, 1],

entonces

|x| − Pk+1(x) = (|x| − Pk(x))− 12(x2 − P 2

k (x))

= (|x| − Pk(x))− 12(|x|+ Pk(x))(|x| − Pk(x))

= (|x| − Pk(x))[1− 1

2(|x|+ Pk(x))

]≥ (|x| − Pk(x))(1− |x|) ≥ 0.

De lo cual se deduce que

|x| ≥ Pk+1(x) ≥ 0


y ademas como Pk∞k=0 es monotona y acotada se tiene que Pk convergepuntualmente. Sea q(x) = lim

n→∞Pn(x), entonces

q(x) = limn→∞

[Pn−1(x) + 1

2(x2 − P 2

n−1(x))]

= q(x) + 12(x2 − q2(x)),

de lo cual se deduce que q(x) = |x|. Del Lema 7.1 se deduce que la conver-gencia de Pn(x) a |x| es uniforme

Lema 7.4 Sea A una subalgebra cerrada de CR(X) si f ∈ A, entonces|f | ∈ A.

Demostracion: El lema es obvio si f ≡ 0. Supongamos entonces que fno es identicamente nula. Dado ε > 0 existe un polinomio P en [−1, 1] talque

||x| − P (x)| ≤ ε

‖f‖, x ∈ [−1, 1].

En particular, ∣∣∣∣ |f(x)|‖f‖

− P

(f(x)

‖f‖

)∣∣∣∣ ≤ ε

‖f‖.

Si P (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n, se tiene que∣∣∣∣|f(x)| − a0 − a1(f(x))− a2(f(x))2

‖f‖− · · · − an

(f(x))n

‖f‖n−1

∣∣∣∣ < ε,

y como la funcion

a0 + a1f(x) + a2(f(x))2

‖f‖+ · · ·+ an

(f(x))n

‖f‖n−1

esta en A, se tiene que |f(x)| esta en A = A.

Ejercicio 7.4 Verifique que si A es un subalgebra cerrada de CR(X) se tieneque si f, g ∈ A entonces las funciones

f ∨ g := maxf, gf ∧ g := minf, g

pertenecen a A.


Lema 7.5 Sea A una subalgebra cerrada de CR(X) y f en CR(X). Si paracada par de puntos x, y en X existe una funcion g en A tal queg(x) = f(x); g(y) = f(y), entonces f ∈ A.

Demostracion: Dado ε > 0, vamos a construır una funcion gε ∈ A talque ‖gε − f‖ < ε. Sea x un elemento de X. Para cada y en X sea gx,y enA tal que

gx,y(x) = f(x); gx,y(y) = f(y).

DefinamosGx,y = [f − gx,y]

−1(0, ε).

Gx,y es abierto, y ∈ Gx,y y ademas

X =⋃y∈X

Gx,y ,

entonces existe una sucesion finita yini=1 en X tal que

X =n⋃

i=1

Gx,yi.

Tomemos gx = maxgx,y1 , ..., gx,yn, entonces gx ∈ A y f(z) < gx(z) + ε paratodo z en X, ya que z ∈ Gx,yk

para algun k y en este casof(z) < gx,yk

(z) + ε ≤ qx(z) + ε. Ademas f(x) = gx(x) ya que

f(x) = gx,yk(x).

Definamos ahora, para cada x, el conjunto

Hx = z ∈ X; gx(z) < f(z) + ε

Hx es abierto, x ∈ Hx y X =⋃

x∈X

Hx. Por tanto existe una sucesion finita

ximi=1 tal que X =

m⋃j=1

Hxj. Definiendo gε = mingxi

mi=1 se tiene que gε ∈ A

yf(z) > gε(z)− ε, z ∈ X.

Ademas f(z) < gε(z) + ε, z ∈ X. De lo cual se deduce que

sup |f(z)− gε(z)| = ‖f − gε‖ < ε

y por lo tanto f ∈ A = A


Teorema 7.1 (Stone-Weierstrass, version real) Sea A una subalgebrade CR(X). Si A separa los puntos de X y para cada punto x de X existe unelemento g de A que no se anula en ese punto, entonces se tiene que A esdensa en CR(X).

Demostracion: Si X consiste de un solo punto entonces CR(X) tienedimension uno y en este caso A coincide con CR(X). Supongamos que Xcontiene al menos dos puntos. Vamos a usar el lema 7.5 para concluir lademostracion.

Sea f en CR(X), dados dos puntos x1, x2 en X vamos a construır unafuncion F en A tal que F (x1) = f(x1), F (x2) = f(x2) y del lema 7.5 con-cluıremos que f ∈ A, es decir A es denso en CR(X).

Dados x1, x2 en X, existe una funcion g en A tal que g(x1) 6= g(x2) yademas g(x1) 6= 0. Definamos la funcion f1 por

f1(x) =g(x)

g(x1)·(

g(x2)− g(x)

g(x2)− g(x1)

);

esta funcion satisface que f1(x1) = 1 y f1(x2) = 0.

Si g(x2) 6= 0, entonces la funcion f2 definida por f2(x) = g(x)g(x2)

· g(x1)−g(x)g(x1)−g(x2)

,

satisface que f2(x1) = 0, f2(x2) = 1. Por otra parte si g(x2) = 0, entoncesexiste g en A tal que g(x2) 6= 0 y la funcion f2 definida por

f2(x) =g(x)

g(x2)− g(x)g(x)

g(x2)g(x1)

satisface que

f2(x1) = 0, f2(x2) = 1.

Todas las funciones definidas anteriormente cuando existen pertenecen a A.Dado f en CR(X), definamos F en A de la siguiente manera

F (x) = f(x1)f1(x) + f(x2)f2(x).

Se tiene que

F (x1) = f(x1), F (x2) = f(x2),

se deduce del lema 7.5 que f ∈ A y en consecuencia A = CR(X)


Ejercicio 7.5 Verifique que P [a, b] la subalgebra de polinomios de CR[a, b],verifica todas las hipotesis del teorema de Stone-Weierstrass y por lo tantoP [a, b] = CR[a, b], lo cual es el teorema clasico de Weierstrass.

Teorema 7.2 (Stone-Weierstrass, version compleja) Sea A una subalgebrade CC(X). Si A separa puntos de X, para cada punto x de X existe unafuncion g en A tal que g(x) 6= 0 y si f ∈ A siempre quef ∈ A, entonces A = CC(X).

Demostracion: CR(X) es una subalgebra cerrada de CC(X), ademas

CC(X) = CC(X) + iCC(X)).

Supongamos que A ∩ CR(X) = CR(X). Dada f en CC(X) se tiene que

f = h + ig donde h =f + f

2, g = f =

f − f

2i

y cada una de estas funciones estan en CR(X) y por ende en A.Por lo tanto h + ig ∈ A, de lo cual se deduce que

A = CC(X).

Veamos que, en efecto,

A ∩ CR(X) = CR(X).

Para esto vamos a ver que la subalgebra cerrada B = A ∩ CR(X) , satisfacelas hipotesis del teorema de Stone-Weierstrass version real.

Si f = h + ig = f+f2

+ i (f+f)2i

es un elemento de A, se tiene entonces queh y g estan en A, ya que f esta en A. De esto se deduce que h, g estan enA ∩ CR(X).

Veamos que A∩CR(X) separa puntos de X. Dados x, y en X, existe f enA con f(x) 6= f(y).Como f se puede escribir f = h + ig; con h, g en CR(X),entonces debe tenerse que h(x) 6= h(y) o g(x) 6= g(y), de lo cual se deduceque A ∩ CR(X) separa puntos de X.

Veamos que si x0 ∈ X, existe f0 en A ∩ CR(X) tal que f0(x0) 6= 0. Seax0 en X, entonces existe f en A tal que f(x0) 6= 0 y f = h + ig; con h, g enCR(X). Se deduce entonces que g(x) 6= 0 o h(x) 6= 0; y tomamos f0 = g of0 = h dependiendo de cual sea diferente de cero en x0.


Usando ahora la version real de Stone-Weierstrass obtenemos que

A ∩ CR(X) = CR(X).

Otro enfoque para demostrar el teorema de Stone, es usando el ası llamadoTeorema de Korovkin, del cual daremos una version sin demostracion.Vamos a restringirnos a C[0, 1] pero el teorema es cierto en general paraC[a, b]; a, b ∈ R.

Definicion 7.3 Un operador T : C[0, 1] → C[0, 1] es llamado positivo sif(t) ≥ 0 para cada t en [0, 1]; entonces (Tf)(t) ≥ 0 para todo t en [0, 1].

Definamos las funciones f0, f1, f2 sobre [0, 1] como

f0(t) ≡ 1, f1(t) = t, f2(t) = t2,

se tiene el siguiente resultado

Teorema 7.3 Sea (Tn) una sucesion de operadores positivos de C[0, 1] enC[0, 1] tal que lim

n→∞Tn(fj) = fj; j = 0, 1, 2. Entonces se tiene que

limn→∞

Tn(f) = f , para todo f en C[0, 1].

Si f es una funcion real sobre [0, 1] el enesimo polinomio de Berstein def es definido por

Bn(f)(t) =n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)tk(1− t)n−k

Se tiene el siguiente resultado

Teorema 7.4 Para cada f en C[0, 1] la sucesion Bn(f) converge uni-formemente a f .

Para demostrar este teorema se verifica que Bn es una sucesion deoperadores positivo y que lim

n→∞Bn(fj) = fj; j = 0, 1, 2 y luego se aplica el

teorema de Korovkin para concluır que

limn→∞

Bn(f) = f.

7.3. EL TEOREMA DE ARZELA -ASCOLI 81

7.3 El Teorema de Arzela -Ascoli

Definicion 7.4 Un espacio metrico X es totalmente acotado si dadoε > 0 existe una coleccion finita de bolas abiertas B(x1, ε), . . . , B(xn, ε) talesque

X ⊂n⋃

i=1

B(xi, ε).

Observacion 7.1 A una tal coleccion de bolas se le llama ε-red, algunasveces tambien se llama ε-red a los puntos xim

i=1.

Observacion 7.2 En un espacio metrico completo, un conjunto X es rela-tivamente compacto si, y solo si, es totalmente acotado.

Definicion 7.5 Sea X un espacio metrico compacto. Un subconjunto novacıo A de CK(X) es equicontinuo en el punto x0 de X si para cadaε > 0, existe un numero real δ(x0, ε) tal que

|f(x0)− f(x)| < ε

para todo x en B(x0, δ) y todo f en A.

Definicion 7.6 Un conjunto A de CK(X) se dice equicontinuo en X siA es equicontinuo en cada punto de X.

Teorema 7.5 ( Arzela - Ascoli). Sea X un espacio metrico compacto.Un subconjunto A no vacıo de CK(X) es relativamente compacto si, y solosi, A es acotado y equicontinuo.

Demostracion: Sea A un subconjunto relativamente compacto de CK(X);entonces A es totalmente acotado.

Sea ε > 0 y fini=1 una ε-red de A, por ser fi uniformemente continua

para cada i = 1, 2, ..., n, existen δi > 0, 1 ≤ i ≤ n, tales que si d(x, y) < δi,entonces |fi(x)− fi(y)| < ε.

Tomemos δ = minδini=1, si f esta en A, entonces existe k tal que

f ∈ B(fk, ε), por lo tanto si d(x, y) < δ, entonces

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fk(x)|+ |fk(x)− fk(y)|+ |fk(x)− f(y)| < 3ε,

de lo cual se concluye que A es equicontinuo.


Supongamos que A es acotado y equicontinuo, como CK(X) es completosolo nos queda demostrar que A es totalmente acotado. Dado ε > 0, existepara cada x en X, un numero δ(x) > 0 tal que si d(x, y) < δ(x), entonces|f(x)−f(y)| < ε, f ∈ A. La coleccion B(x, δ(x)), x ∈ X es un cubrimientoabierto de X y por lo tanto existe una subcoleccion finita B(xi, δ(xi)n

i=1

que cubre a X. Para cada xi el conjunto

xi(A) = f(xi); f ∈ A ⊂ K,

es acotado ya que A es acotado.Sea y1

i , y2i , ..., y

kii una ε-red en xi(A), para cada n-upla

m1, m2, ...,mn ⊂ Nn tales que 1 ≤ mi ≤ ki definamos el conjunto

(m1, m2, ...,mn)(A) := f ∈ A : |f(xj)− ymj

j | < ε; j = 1, 2, ..., n..

Vamos a demostrar que el conjunto que resulta de elegir un elemento en cadauno de estos conjuntos es una ε-red en A. Denominaremos fm1,m2,...,mn un

elemento en (m1, ...,mn)(A). Sea f un elemento en A; como y1j , y

2j , ..., y

kj

j es una ε-red en xj(A), entonces para cada xj existe un elemento y

mj

j tal que

|f(xj) − ymj

j | < ε. Sea x un elemento de X, entonces existe xi; 1 ≤ i ≤ n,tal que d(x, xi) < (δ(xi) y en consecuencia

|fm1, ...,mn(x)− fm1, ...,mn(xi)| < ε y |f(x)− f(xi)| < ε,

se tiene entonces que

|f(x)− fm1, ...,mn(x)| ≤ |f(x)− f(xi)|+ |ymii − fm1, ...,mi, ...,mn(xi)|

+|f(xi)− ymii|+ |fm1, ...,mi, ...,mn(xi)− fm1, ...,mi, ...,mn(x)| < 4ε

7.4 Ejercicios

Ejercicio 7.6 Demuestre que si f esta en C [0, 1] y∫ 1

0f(t)tndt = 0, para

todo n, entonces f es identicamente nula.

Ejercicio 7.7 Dado M > 0, sea UM el conjunto de todas las f en C [0, 1]tales que |f(x)− f(y)| ≤ M |x− y| para todo x, y en [0, 1] . Demuestre queUM , es cerrado y equicontinuo pero no acotado.

7.4. EJERCICIOS 83

Ejercicio 7.8 Si definimos VM como el conjunto de todas las f en UM talesque ‖f‖ ≤ M, demuestre que VM es compacto en C [0, 1] .

Ejercicio 7.9 Sean fj (t) = tj ; j = 0, 1, 2. elementos de C [0, 1]. Supongaque T es un operador lineal positivo de C [0, 1] en C [0, 1] tal que Tfj = fj ;j = 0, 1, 2. Demuestre que T es el operador identidad. Dar un ejemplo de unoperador positivo tal que Tf0 = f0; Tf1 = f1; Tf2 6= f2.

Ejercicio 7.10 Demuestre que cada operador positivo T : C [0, 1] → C [0, 1]es continuo.

Capıtulo 8

Espacios de Hilbert

8.1 Formas hermıticas

Definicion 8.1 Una forma hermıtica sobre un espacio vectorial Xes una aplicacion Φ : X ×X → C, tal que:

i) Φ(λx + βy, z) = λΦ(x,z)+βΦ(y,z); λ, β ∈ C; x, y, z ∈ X

ii) Φ(z,λx + βy) = λ Φ(z,x)+βΦ(z, y)

iii) Φ(x,y)=Φ(y, x)

λ denota el conjugado de λ.

Ejemplo 8.1 La aplicacion Φ definida por Φ(x, y) =n∑

i,j=1

aijxiyj; donde

x = (xi)ni=1, y = (yj)

nj=1 y aij = aji, para i = 1, 2, ..., n es una forma

hermıtica sobre Cn.

Definicion 8.2 Dada Φ una forma hermıtica sobre X. A la funcionΦ : X → C definida por Φ(x) = Φ(x, x) se le denomina la formacuadratica correspondiente a la forma hermıtica Φ.

Observacion 8.1 Toda forma hermıtica esta unıvocamente determinada porsu forma cuadratica. Mas precisamente vale la igualdad de polarizacion

Φ(x, y) =1

4i

3∑k=0

ik+1Φ(x + i−ky)

85

86 CAPITULO 8. ESPACIOS DE HILBERT

En efecto, se tiene que

1. Φ(x + iy) = Φ(x)+ Φ(y)− iΦ(x, y) + iΦ(y, x)

2. Φ(x− iy) = Φ(x)+ Φ(y) + iΦ(x, y)− iΦ(y, x)

3. Φ(x+ y) = Φ(x)+ Φ( y) + Φ(x, y) + Φ(y, x)

4. Φ(x− y) = Φ(x) + Φ( y)− Φ(x, y)− Φ(y, x).

Sumando 1 + i4 obtenemos que

5. Φ(x + i y) + iΦ(x− y) = (1 + i)Φ(x) + (1 + i) Φ( y)− 2iΦ(x, y),

Sumando 2 + 3i obtenemos

6. Φ(x− iy) + iΦ(x+ y) = (1 + i)Φ(x) + (1 + i)Φ( y) + 2iΦ(x, y) .

Sumando 6− 5 se obtiene que

4iΦ(x, y) = Φ(x− iy) + iΦ(x + y)− Φ(x + iy)− iΦ(x− y).

Por lo tanto

Φ(x, y) =1

4i[Φ(x− iy)− Φ(x + iy) + iΦ(x + y)− iΦ(x− y)]

Definicion 8.3 Dos vectores x, y en X se dicen ortogonales con respectoa Φ, si Φ(x, y) = 0.

Definicion 8.4 La forma hermıtica Φ se dice degenerada si existe un vec-tor x en X tal que x 6= 0 y Φ(x, y) = 0, para todo y en X.

Definicion 8.5 La forma hermıtica Φ se dice positiva si Φ(x) ≥ 0; x ∈ X

y se dice estrictamente positiva si Φ(x) > 0 para todo x 6= 0.

Teorema 8.1 (Cauchy-Schwarz) Sea Φ una forma hermıtica positiva so-bre X. Entonces se tiene que

|Φ(x, y)| ≤ (Φ(x))1/2(Φ(y))1/2; x, y ∈ X.

8.1. FORMAS HERMITICAS 87

Demostracion: Para cada C ∈ C se tiene que Φ(x−Cy, x−Cy) ≥ 0; esdecir

Φ(x, x)− CΦ( y, x)− CΦ(x, y) + |C|2Φ( y, y) ≥ 0.

Tomando C = Φ(x,y)Φ( y, y)

se tiene que

Φ(x, x)− Φ(x, y)Φ(y,y)

Φ(y, x)− Φ(x, y)Φ(x, y)Φ(y, y)

+ |Φ(x, y)|2Φ(y,y)2

· Φ(y, y)

= Φ(x, x)− 2|Φ(x, y)|2Φ(y,y)

+ |Φ(x, y)|2Φ(y, y)

= Φ(x, x)− |Φ(x, y)|2Φ(y,y)

≥ 0,

de lo cual se tiene que

|Φ(x, y)| ≤ (Φ(x, x))1/2(Φ(y, y))1/2.

Teorema 8.2 Si Φ es una forma hermıtica estrictamente positiva sobre X,entonces el funcional definido por ‖x‖ = (Φ(x))1/2 es una norma sobre X.

Demostracion: a) ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0 si, y solo si, x = 0, por ser Φestrictamente positiva.

b) ‖λx‖ = [Φ(λx)]1/2 = [λλΦ(x)]1/2 = |λ|‖x‖.c) Tenemos que

‖x + y‖2 = Φ(x + y) = Φ(x) + Φ( y) + Φ(x, y) + Φ( y, x)= ‖x‖2 + ‖ y‖2 + 2Re(Φ(x, y)) ≤ ‖x‖2 + ‖ y‖2 + 2|Φ(x, y)|≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2.

Por lo tanto‖x‖+ ‖y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖; x, y ∈ X


8.1.1 Producto interno

Definicion 8.6 Un producto interno sobre un espacio vectorial X es unaforma hermıtica estrictamente positiva sobre X.

Denotaremos el producto interno por 〈, 〉.

Definicion 8.7 Si la norma ‖ ‖ de un espacio vectorial X viene dada dela forma ‖x‖ = (Φ(x))1/2 donde Φ es una forma hermıtica estrictamentepositiva, se dice que X es un espacio normado con producto interno.

Definicion 8.8 Si X es de Banach con la norma de producto interno se diceque (X, ‖ ‖) es un espacio de Hilbert.

En general vamos a usar la letra H para denotar los espacios de Hilbert.

Teorema 8.3 Sea H un espacio de Hilbert, entonces se tiene que 〈x, y〉 = 0,para todo y en H si, y solo si, x = 0.

Demostracion: Supongamos que x = 0, entonces 〈0, y〉 = 2〈0, y〉, de locual se deduce que 〈0, y〉 = 0; y ∈ H.

Si 〈x, y〉 = 0, y ∈ X, en particular 〈x, x〉 = 0 y como 〈, 〉 es un productointerno, se tiene que x = 0.

Teorema 8.4 (Ley del paralelogramo) Sea H un espacio de Hilbert, en-tonces se tiene que

‖x + y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2); x, y ∈ H

Demostracion: Se tiene que

‖x + y‖2 = 〈x + y, x + y〉 = 〈x, x〉+ 〈y, y〉+ 〈x, y〉+ 〈x, y〉‖x− y‖2 = 〈x− y, x− y〉 = 〈x, x〉 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉+ 〈y, y〉 ,

sumando se obtiene el resultado deseado.

Corolario 8.1 Sea H un espacio de Hilbert. Si x es ortogonal a y, entonces

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 .

8.2. COMPLEMENTO Y PROYECCION ORTOGONAL 89

8.2 Complemento y Proyeccion Ortogonal

Definicion 8.9 Dado un subconjunto G de un espacio de Hilbert H, defini-mos su complemento ortogonal G⊥ como

G⊥ := x ∈ H : 〈x, y〉 = 0, para todo y en G.

Tenemos el siguiente resultado para complementos ortogonales.

Teorema 8.5 Sea G un subconjunto de H. Se tiene entonces que G⊥ es unsubespacio cerrado de H y ademas G ⊂ (G⊥)⊥.

Demostracion: Sean α, β en K; x, y en G⊥, se tiene entonces que

〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉+ β〈y, z〉 = 0, para todo z en G;

es decir αx + βy ∈ G⊥.Veamos ahora que G⊥ es cerrado. Sea x0 en G⊥ y sea xn∞n=1 ⊂ G⊥ tal

que limn→∞

xn = x0. Dado z en G se tiene que

〈x0, z〉 = 〈 limn→∞

xn, z〉 = limn→∞

〈xn, z〉 = 0,

de lo cual se deduce que x0 ∈ G⊥.Si a ∈ G, entonces 〈a, x〉 = 0, para todo x en G⊥, de lo cual se deduce

que a esta en (G⊥)⊥; es decir G ⊂ (G⊥)⊥.

Observacion 8.2 Si a ∈ G∩G⊥, se tiene que a = 0, pero esta interseccionpuede ser vacıa. Si G es un subespacio entonces G ∩G⊥ = 0.

Lema 8.1 Si A y B son subconjuntos de H tales que A ⊂ B, entonces

B⊥ ⊂ A⊥.

Demostracion: Si x ∈ B⊥, entonces 〈x, y〉 = 0 para todo y en B y comoA ⊂ B, se tiene que 〈x, y〉 = 0, para todo y en A, de lo cual se deduce quex ∈ A⊥, es decir B⊥ ⊂ A⊥

Lema 8.2 Sea H un espacio de Hilbert. Si G es un subconjunto de H,entonces se tiene que G⊥ = G⊥⊥⊥.


Demostracion: Como G ⊂ G⊥⊥ se tiene por el Lema 8.1 que G⊥⊥⊥ =(G⊥⊥)⊥ ⊂ G⊥. Ademas G⊥ ⊂ (G⊥)⊥⊥ = G⊥⊥⊥.

Definicion 8.10 Dos subconjuntos A, B de un espacio de Hilbert H se dicenmutuamente ortogonales si 〈a, b〉 = 0, para cada a en A y b en B.

Lema 8.3 Si A y B son subespacios cerrados mutuamente ortogonales, en-tonces A + B es un subespacio cerrado. Ademas la suma A + B es sumadirecta.

Demostracion: Observemos en primer lugar que la suma A + B esdirecta. Si x ∈ A∩B, entonces 〈x, x〉 = 0 de lo cual se deduce que x = 0. Six = a + b; x = a′ + b′, se tiene que a− a′ = b′ − b y por tanto a− a′ = b′ − besta en A ∩ B, es decir a− a′ = b′ − b = 0. De lo cual se deduce que a = a′

y b = b′.

Veamos ahora que A ⊕ B es cerrado. Sea z en A⊕B, tomemoszn = xn +yn, con xn en A, yn en B tal que lim

n→∞zn = z. Dado ε > 0,∃N0 ∈ N

tal que para n ≥ N0

ε2 ≥ ‖zn − zm‖2 = 〈zn − zm, zn − zm〉 = 〈xn − xm, xn − xm〉+〈yn − yn, yn − ym〉 = ‖xn − xm‖2 + ‖ yn − ym‖2,

de lo cual se deduce que ‖xn − xm‖ ≤ ε y ‖ yn − ym‖ ≤ ε; n ≥ N0; es decirxn y yn son de Cauchy en A y B respectivamente, por tanto existen x0

en A y y0 en B tales que limn→∞

xn = x0 y limn→∞

yn = y0. Entonces

z = limn→∞

zn = limn→∞

(xn + yn) = x0 + y0 ∈ A⊕B,

es decir A⊕B es cerrado

Teorema 8.6 (Proyeccion ortogonal). Sean H un espacio de Hilbert yG un subconjunto de H cerrado y convexo. Entonces se tiene que dado x0 enH, existe un unico y0 en G tal que

d = d(x0, G) = ‖x0 − y0‖

8.2. COMPLEMENTO Y PROYECCION ORTOGONAL 91

Demostracion: Si x0 es un elemento de G el resultado se obtiene tomandoy0 = x0. Supongamos que x0 no pertenece a G. Sea yn∞n=1 ⊂ G unasucesion tal que

‖ yn − x0‖ ≤ d +1

n, para cada n ≥ 1.

Veamos que yn∞n=1 es de Cauchy, por la ley del paralelogramo se tiene que

‖ yn − ym‖2 = ‖ yn − ym + x0 − x0‖2 = ‖( yn − x0)− (ym − x0)‖2

= 2(‖yn − x0‖2 + ‖ym − x0‖2)− ‖( yn − x0) + (ym − x0)‖2

= 2(‖yn − x0‖2 + ‖ym − x0‖2)− ‖ yn + ym − 2x0‖2.

Por ser G convexo, se tiene que yn+ym

2esta en G para todo n,m en N, por lo

tanto

‖ yn + ym − 2x0‖2 = 4

∥∥∥∥ yn + ym

2− x0

∥∥∥∥2

≥ 4d2;

de lo cual se obtiene que

‖ yn − ym‖2 ≤ 2(‖ yn − x0‖2 + ‖ ym − x0‖2)− 4d2

≤ 2(d + 1

m

)2+ 2

(d + 1

n

)2 − 4d2,

lo cual tiende a cero cuando n y m tienden a infinito. De todo esto se tieneque existe y0 en G tal que lim

n→∞yn = y0. Ademas

d = limn→∞

d +1

n≥ lim

n→∞‖yn − x0‖ ≥ ‖y0 − x0‖ ,

de lo cual se tiene que d = ‖y0 − x0‖ .Si existe y1 en G tal que d = ‖y1 − x0‖; se tiene que

‖y1 − y0‖2 = ‖(y1 − x0)− (y0 − x0)‖2 =

= 2(‖y1 − x0‖2 + ‖y0 − x0‖2)− 4∥∥y1−y0

2− x0

∥∥2 ≤ 0,

de lo cual se obtiene que ‖y1 − y0‖ = 0 y por lo tanto y0 = y1

Teorema 8.7 Si E es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H, en-tonces se tiene que

H = E ⊕ E⊥.


Demostracion: Hemos demostrado anteriormente que E ∩ E⊥ = 0.Tomemos x en H − E, como E es cerrado y convexo, existe un elemento y1

en E tal que d(x, E) = ‖x− y1‖.Veamos que x− y1 esta en E⊥, de lo cual se tendrıa que

x = y1 + (x− y1) ∈ E + E⊥.

Supongamos que (x− y1) no esta en E⊥, entonces existe y en E tal que〈x− y1, y〉 6= 0.Para todo c ∈ C, se tiene que

‖x− y1 − cy‖2 = 〈x− y1 − cy, x− y1 − cy〉= 〈x− y1, x− y1〉 − c〈x− y1, y〉 − c〈y, x− y1〉+ |c|2〈y, y〉,

tomando c0 = 〈x−y1,y〉‖y‖2 , obtenemos

‖x− y1 − c0y‖2 = ‖x− y1‖2 − 2 |〈x−y1,y〉|2‖y‖2 − |〈x−y1,y〉|2

‖y‖2

= ‖x− y1‖2 − |〈x−y1,y〉|2‖y‖2 < ‖x− y1‖2,

como x − c0y ∈ E, esto contradice el hecho que d(x, E) = ‖x − y1‖, enconsecuencia se debe tener que x− y1 ∈ E⊥

Corolario 8.2 Sea E un subespacio de un espacio de Hilbert H. Se tieneentonces que

E⊥⊥ = E.

Demostracion: H = E ⊕ E⊥ = E⊥ ⊕ E⊥⊥ y como E ⊂ E⊥⊥, entoncesE⊥⊥ = E..

8.3 Teorema de Representacion de Riesz

Teorema 8.8 (de representacion de Riesz) Sea H un espacio de Hilbert.Un funcional f pertenece a (H)∗ si, y solo si, existe un unico xf en H talque f(y) = 〈y, xf〉, para cada y en H. Ademas

‖f‖ = ‖xf‖.

8.3. TEOREMA DE REPRESENTACION DE RIESZ 93

Demostracion: Veamos primero la unicidad de xf , si

f(y) = 〈y, xf〉 = 〈y, x0〉,

para todo y en H; se tendrıa que 〈y, xf − x0〉 = 0 para todo y en H y por lotanto xf − x0 = 0; es decir xf = x0.

Si f(y) = 〈y, xf〉, para cada y en H, se tiene que f : H → K, f es linealy ademas

|f(y)| = |〈y, xf〉| ≤ ‖y‖‖xf‖, y ∈ H,

de lo cual se deduce que f ∈ H∗ y ‖f‖ ≤ ‖xf‖. Por otra parte se tiene que

|f(xf )| = 〈xf , xf〉 = ‖xf‖2, es decir∣∣∣f ( xf

‖xf‖

)∣∣∣ = ‖xf‖, de lo cual se obtiene

que ‖f‖ ≥ ‖xf‖, es decir ‖f‖ = ‖xf‖.Sea ahora f en H∗, veamos que existe xf tal que f(y) = 〈y, xf〉, y ∈ H.

Se tiene que Nucleo(f) es cerrado por ser f continua, ademas si f no esidenticamente cero, se tiene que (Nucleo(f))⊥ 6= 0. En efecto como

H = Nucleo(f)⊕ (Nucleo(f))⊥,

si (Nucleo(f))⊥ = 0, entonces H = Nucleo(f), de lo cual se tendrıa que fserıa cero identicamente. Sea w un elemento en (Nucleo(f))⊥ tal que w 6= 0,sea y un elemento en H, se tiene que

f(f(y)w − f(w)y) = 0,

es decir f(y)w − f(w)y ∈ Nucleo(f) y por lo tanto

〈f(y)w − f(w)y, w〉 = 0,

es decirf(y)〈w, w〉 = f(w)〈y, w〉 = 〈y, f(w) · w〉, de lo cual se deduce que

f(y) =

⟨y,

f(w)

‖w‖2· w⟩

, y ∈ H.

Tomando xf = f(w)‖w‖2 · w; obtenemos el resultado deseado

Observacion 8.3 El Teorema 8.8 en particular dice que si H es de Hilbert,entonces es isometrico e isomorfo a su dual, ya que T : H∗ → H, definidapor

T (f) = xf

es un isomorfismo isometrico. En particular se tiene que todo espacio deHilbert es reflexivo.


Observacion 8.4 Notese que si tomamos un w0 6= w en (Nucleo(f))⊥ talque w0 6= 0, entonces se tiene que

f(y) =

⟨y,

f(w0)

‖w0‖2· w0

⟩, y ∈ H

Por unicidad se obtiene que

f(w0)

‖w0‖2· w0 =

f(w)

‖w‖2· w,

es decir

w =f(w0) ‖w‖2

‖w0‖2f(w)w0, para todo w en (Nucleo(f))⊥

lo cual significa que dim(Nucleo(f))⊥ = 1

Definicion 8.11 Un subconjunto M de un espacio de Hilbert H se dice quees ortogonal si 〈x, y〉 = 0 para todox, y en M . Si ademas se tiene que‖x‖ = 1 para todox en M , entonces M se dice ortonormal.

Lema 8.4 Cada subconjunto ortogonal M de un espacio de Hilbert H eslinealmente independiente.

Demostracion: Sea M un subconjunto ortogonal en H, sea xini=1 ⊂ M .

Supongamos quen∑

i=1

λixi = 0, se tiene entonces que para k = 1, 2, ..., n

0 =

⟨n∑

i=1

λixi, xk

⟩=

n∑i=1

λi〈xi, xk〉 = λk〈xk, xk〉

de lo cual se deduce que λk = 0 para k = 1, 2, ..., n

Teorema 8.9 (Gram - Schmidt): Sea A un subconjunto numerable devectores linealmente independientes en un espacio de Hilbert H, entoncesexiste un subconjunto numerable B de H tal que B es ortonormal y [A] = [B],donde [A] denota al espacio generado por A.

8.3. TEOREMA DE REPRESENTACION DE RIESZ 95

Demostracion: Sea A = xn∞n=1. Pongamos y1 = x1

‖x1‖ , seag2 = x2 − c21y1, escojamos c21 de manera que g2 sea ortogonal a y1, eviden-temente c21 = 〈x2, y1〉 .Tomemos y2 = g2

‖g2‖ . Si yin−1i=1 han sido construidos,

definamos gn por gn = xn −n−1∑i=1

cniyi, poniendo cni = 〈xn, yi〉, gn es ortog-

onal a todos los yin−1i=1 , definamos yn = gn

‖gn‖ . El proceso se puede seguirinductivamente hasta infinito.

Ejercicio 8.1 Demuestre que [A] = [B].

Corolario 8.3 Todo espacio de Hilbert H de dimension n, tiene una baseortonormal.

Corolario 8.4 Todo espacio de Hilbert H de dimension infinita tiene unsubconjunto ortonormal infinito.

Definicion 8.12 Un subconjunto ortogonal se dice que es maximal si, ysolo si, no es subconjunto propio de otro conjunto ortogonal.

Lema 8.5 Cada subconjunto ortogonal en un espacio de Hilbert H esta con-tenido en un subconjunto ortogonal maximal.

Teorema 8.10 Sea uini=1 un subconjunto ortonormal en un espacio de

Hilbert H. Si para cada x en H definimos Sn(x) por

Sn(x) =n∑

i=1

〈x, ui〉ui,

entonces

‖Sn(x)‖2 =n∑

i=1

|〈x, ui〉|2,

y

‖x‖2 − ‖Sn(x)‖2 = ‖x− Sn(x)‖2

Ejercicio 8.2 Demostrar el Teorema 8.10.

Sugerencia desarrollar

⟨n∑

i=1

〈x, ui〉 ,n∑

j=1

〈x, uj〉

⟩y 〈x− Sn, x− Sn〉 .


8.4 Desigualdad de Bessel e igualdad de Par-

seval

Lema 8.6 Sea f una funcion no negativa definida en un conjunto no vacıo.Supongamos que existe un numero real M tal que

n∑i=1

f(xi) ≤ M, para cada subconjunto finito xini=1 de H.

Se tiene entonces que L = x ∈ H : f(x) 6= 0 es numerable.

Demostracion: El conjunto Un = x ∈ X : f(x) > Mn tiene a lo sumo n

elementos. Si Un tuviera n + 1 elementos se tendrıa que

n∑i=1

f(xi) ≥n + 1

nM > M.

Ademas

x ∈ X : f(x) 6= 0 =∞⋃

n=1

Un,

ya que si f(x) 6= 0,∃n ∈ N tal que f(x) ≥ Mm

. De lo cual se tiene que L esnumerable

Demostremos ahora el siguiente resultado importante.

Teorema 8.11 Sea G un subconjunto ortonormal maximal en un espacio deHilbert H. Entonces se tiene que para cada x en H, existe un subconjuntonumerable un∞n=1 en G tal que

x =∞∑

n=1

〈x, un〉un.

Ademas se cumple la siguiente igualdad

‖x‖2 =∞∑

n=1

|〈x, un〉|2, (Igualdad de Parseval).

8.4. DESIGUALDAD DE BESSEL E IGUALDAD DE PARSEVAL 97

Demostracion: Sea x 6= 0 un elemento de H. Sea uini=1 ⊂ G tal que

〈x, ui〉 6= 0, i = 1, 2, ..., n. Del lema anterior se tiene que el vector

Sn =n∑

i=1

〈x, ui〉ui

satisface que

‖Sn‖2 =n∑

i=1

|〈x, ui〉|2

‖x‖2 − ‖Sn‖2 = ‖x− Sn‖2 ≥ 0,

de lo cual obtenemos que

‖x‖2 ≥n∑

i=1

|〈x, ui〉|2 (Desigualdad de Bessel).

Definamos para cada u en G

f(u) = |〈x, u〉|2,

de la desigualdad de Bessel se deduce que para cada subconjunto finitoukm

k=1 ⊂ G, se tiene que

m∑k=1

f(uk) ≤ ‖x‖.

Se tiene entonces del lema 8.6 que Mx = u ∈ G : 〈x, u〉 6= 0 esnumerable. Sea ui∞i=1 una enumeracion de Mx, entonces la sucesion Sn∞n=1

es convergente en H. En efecto como

‖Sn‖2 =n∑

i=1

|〈x, ui〉|2 ≤ ‖x‖2, n ≥ 1

se tiene que ‖Sn‖∞n=1 =

n∑

k=1

|〈x, ui〉|2∞

n=1

es convergente por ser una

sucesion creciente y acotada en K, en consecuencia

‖Sn − Sm‖2 =m∑

n+1

|〈x, ui〉|2 ≤∞∑

i≥n+1

|〈x, ui〉|2


lo cual tiende a cero cuando n y m tienden a infinito, es decir Sn es deCauchy en H. Por ser H completo se tiene que existe S0 ∈ H tal que

S0 = limn→∞

Sn = limn→∞

n∑k=1

〈x, uk〉uk.

Ademas

〈S0, uj〉 = limn→∞

〈Sn, uj〉 = limn→∞

n∑i=1

〈x, ui〉〈ui, uj〉

= 〈x, uj〉

para cada uj en Mx.Veamos que S0 = x. Si u ∈ G − Mx, entonces u⊥Mx ya que G es

ortogonal, ademas 〈x, u〉 = 0 y

〈S0, u〉 = limn→∞

⟨n∑

k=1

〈x, uk〉uk, u

⟩= lim

n→∞

n∑k=1

〈x, uk〉〈uk, u〉 = 0

ya que 〈uk, u〉 = 0, k ≥ 1. Se tiene entonces que 〈S0, u〉 = 〈x, u〉, para todou en G, es decir 〈S0 − x, u〉 = 0, para todo u en G, de lo cual se deduce queS0 − x = 0. Tenemos en conclusion que

x = S0 =∞∑i=1

〈x, ui〉ui.

Ademas

‖x‖2 = limn→∞

‖Sn‖2 =∞∑

n=1

|〈x, un〉|2

Observacion 8.5 La igualdad de Parseval caracteriza a los conjuntos ortonor-

males maximales. Es decir∑u∈G

|〈x, u〉|2 = ‖x‖2, para x en H si, y solo si,

G es maximal. En efecto, si G no es maximal, existe x0 6= 0 en H tal que

〈x0, u〉 = 0, para todo u en G. Para dicho x0 se tiene que∑u∈G

|〈x, u〉|2 < ‖x‖2.

8.4. DESIGUALDAD DE BESSEL E IGUALDAD DE PARSEVAL 99

Teorema 8.12 Sea G un conjunto ortonormal maximal en el espacio deHilbert H. Se tiene entonces que para cada x, y en H

〈x, y〉 =∞∑

n=1

〈x, vn〉〈y, vn〉

donde vn∞n=1 es una enumeracion de Mx ∪My.

Demostracion: Se tiene que si x =∞∑

n=1

〈x, vn〉vn, y =∞∑

n=1

〈y, vn〉vn,

entonces

〈x, y〉 =

⟨∞∑

n=1

〈x, vn〉vn,∞∑

k=1

〈y, vk〉vk

⟩

=∞∑

n=1

∞∑k=1

〈x, vn〉〈y, vk〉〈vn, vk〉

=∞∑

n=1

〈x, vn〉〈y, vn〉.

Usualmente los conjuntos ortonormales maximales en un espacio de Hilbertson denominados conjuntos ortonormales completos. Para estos conjun-tos tenemos el siguiente resultado

Corolario 8.5 Si G es un conjunto ortonormal completo en el espacio deHilbert H las siguientes proposiciones son equivalentesi) G es ortonormal completo.

ii) Cada miembro x de H se puede escribir como x =∑u∈G

〈x, u〉u

iii) Para cada x en H se tiene que∑u∈G

|〈x, u〉|2 = ‖x‖2

iv) [G] = H

Debido al resultado anterior los conjuntos ortonormales completos en es-pacios de Hilbert H son denominados Bases ortonormales en H .


8.5 Operadores acotados sobre espacios de Hilbert

En el caso de espacios de Hilbert H notaremos L(H, H) por L(H), es decir

L(H) = T : H → H; T lineal y acotado

Ejercicio 8.3 Demuestre que L(H) dotado del producto composicion es unalgebra .

Los elementos de L(H) son denominados operadores.

Ejemplo 8.2 Si H = `2. El operador A : H → H definido por

A(xn)∞n=1 = xn+1∞n=1,

pertenece a L(H).

Definicion 8.13 Un elemento A en L(H) se dice invertible si existe Ben L(H) tal que AB = BA = I.

Ejercicio 8.4 Demuestre que si A en L(H) es invertible, entonces existe ununico B en L(H) tal que AB = BA = I.

Si A es invertible notaremos a su inversa por A−1.

Ejercicio 8.5 Demuestre que si A y B son invertibles y n ∈ N, entoncesA−1, AB y An son invertibles y sus inversas son (A−1)−1 = A,

(AB)−1 = B−1A−1 y (An)−1 = (A−1)n.

Daremos condiciones geometricas para la invertibilidad de un operadorA. Vamos a dar condiciones sobre el rango de A.

Lema 8.7 Si A ∈ L(H) y α > 0 es tal que ‖Ax‖ ≥ α‖x‖; x ∈ H, entoncesel rango de A, RA es cerrado.

Demostracion: Sea yn∞n=1 = Axn∞n=1 ⊂ RA tal que limn→∞

yn = y.

Veamos que y ∈ RA. Se tiene que

‖yn − ym‖ = ‖Axn − Axm‖ ≥ α‖xn − xm‖; n,m ∈ N.

De lo cual se deduce que xn∞n=1 es de Cauchy en H, y por tanto existex ∈ H tal que lim

n→∞xn = x.

Por continuidad de A se tiene que A(x) = limn→∞

A(xn) = limn→∞

yn = y, de

lo cual se obtiene que y ∈ RA.

8.5. OPERADORES ACOTADOS SOBRE ESPACIOS DE HILBERT 101

Teorema 8.13 A ∈ L(H) es invertible si, y solo si, su rango es denso en Hy existe α > 0 tal que ‖A‖ ≥ α‖x‖; x ∈ H.

Demostracion: Si A es invertible y y0 ∈ H, definimos x0 = A−1(y0) , ypor ende A(x0) = y0, de lo cual obtenemos que RA = H y por lo tanto RA

es denso en H.Sea x en H, entonces se tiene que ‖x‖ = ‖A−1(A(x))‖ ≤ ‖A−1‖‖Ax‖ es

decir

‖A(x)‖ ≥ 1

‖A−1‖‖x‖; x ∈ H, y tomamos α =

1

‖A−1‖.

Supongamos que RA es denso en H y que existe α > 0 tal que

‖A(x)‖ ≥ α‖x‖; x ∈ H,

entonces se tiene que RA = H por el lema 8.7.Veamos que A es inyectiva, en efecto si Ax1 = Ax2, entonces

A(x1 − x2) = 0 y por lo tanto

0 = ‖A(x1 −X2)‖ ≥ α‖x1 − x− 2‖,

de lo cual se obtiene que x1 = x2, es decir A es una biyeccion, entonces Atiene inversa A−1.

8.5.1 Operador adjunto

Ejercicio 8.6 Demuestre que si A : H → H es una transformacion lineal,entonces la funcion ϕ : H ×H → K, definida por ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉, es unaforma hermıtica

Observacion 8.6 Notese que si se tienen dos transformaciones linealesA1, A2 : H → H tales que

〈A1(x), y〉 = 〈A2(x), y〉; x, y ∈ H,

entonces A1(x) = A2(x); x ∈ H.Notese que esto tambien es cierto si 〈A1(x), x〉 = 〈A2(x), x〉; x ∈ H.

Definicion 8.14 Diremos que una forma hermıtica ϕ sobre H es aco-tada si existe M > 0 tal que

|ϕ(x, y)| ≤ M‖x‖‖y‖; x, y ∈ H.


Observacion 8.7 Si denotamos por ‖ϕ‖ al ınfimo de los M que satisfacenla condicion de la definicion 8.14, se tendra que ‖ϕ‖ = sup

‖x‖=‖y‖=1

|ϕ(x, y)|.

Tenemos el siguiente resultado que relaciona una forma hermıtica sobreH con los elementos de L(H).

Teorema 8.14 ϕ(x, y) es una forma hermıtica acotada sobre H si, y solosi, existe A en L(H) tal que ϕ〈x, y〉 = 〈Ax, y〉; x, y ∈ H.

Ademas se tiene que

‖A‖ = sup‖x‖=‖y‖=1

|ϕ(x, y)| = ‖ϕ‖

Demostracion: Si A ∈ L(H) y ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉, entonces

|ϕ(x, y)| = |〈Ax, y〉| ≤ ‖Ax‖‖y‖ ≤ ‖A‖‖x‖‖y‖; x, y ∈ H,

en consecuencia ϕ es acotada y

‖ϕ‖ ≤ ‖A‖ (1)

Si se tiene que ϕ es una forma hermıtica acotada sobre H, definamos

Tx(y) = ϕ(x, y); x, y ∈ H.

Entonces para x fijo Tx(y) = ϕ(x, y) es un funcional lineal acotado sobre H,es decir Tx ∈ (H)∗. Por el teorema de representacion de Riesz existe un unicovector Ax tal que

ϕ(x, y) = Tx(y) = 〈y, Ax〉 = 〈Ax, y〉; y ∈ H,

es decirϕ(x, y) = 〈Ax, y〉; y ∈ H.

DefinamosA(x) = Ax; x ∈ H.

A esta bien definida por la observacion anterior. A es lineal ya que

A(αx + βy) = αAx + βAy = αA(x) + βA(y).


Ademas se tiene que

‖A(x)‖2 = 〈A(x), A(x)〉 = |ϕ(x, A(x))| ≤ ‖ϕ‖‖x‖‖A(x)‖ (2)

De lo cual se obtiene que

‖A(x)‖ ≤ ‖ϕ‖‖x‖; x ∈ H;

es decir A ∈ L(H). De (1) y (2) se obtiene que

‖A‖ = ‖ϕ‖

Teorema 8.15 Si A ∈ L(H), entonces existe un unico operador A∗, llamadoel adjunto de A, tal que 〈Ax, y〉 = 〈x, A∗y〉; x, y ∈ H.Se tiene ademas que ‖A∗‖ = ‖A‖

Demostracion: Pongamos

ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉; x, y ∈ H

yΨ(y, x) = 〈y, Ax〉; x, y ∈ H.

Del teorema 8.14 se tiene que ϕ es una forma hermıtica acotada sobre H, Ψes una forma hermıtica acotada sobre H y ‖Ψ‖ = ‖ϕ‖ = ‖A‖. Ademas setiene que existe A∗ ∈ L(H) tal que

Ψ(y, x) = 〈A∗y, x〉; x, y ∈ H

y ‖A∗‖ = ‖Ψ‖ = ‖A‖. Como A∗ es unico, se tiene que

〈Ax, y〉 = ϕ(x, y) = Ψ(y, x) = 〈A∗y, x〉 = 〈x, A∗y〉

para todo x, y en H.


Lema 8.8 Si A y B pertenece a L(H) y α ∈ C, se tiene que

i) A∗∗ = Aii) (αA)∗ = αA∗

iii) (A + B)∗ = A∗ + B∗

iv) (AB)∗ = A∗B∗

v) Si A es invertible, entonces A∗ es invertible y (A∗)−1 = (A−1)∗

Demostracion: i) 〈A∗x, y〉 = 〈y, A∗x〉 = 〈Ay, x〉 = 〈x, Ay〉ii) 〈αAx, y〉 = α 〈Ax, y〉 = α 〈x, A∗y〉 = 〈x, αA∗y〉iii) 〈(A + B)x, y〉 = 〈Ax, y〉+〈Bx, y〉 = 〈x, A∗y〉+〈x, B∗, y〉 = 〈x, (A∗ + B∗)y〉iv) 〈ABx, y〉 = 〈Bx,A∗y〉 = 〈x, B∗A∗y〉v) (A−1)∗A∗ = (AA−1)∗ y A∗(A−1)∗ = (A−1A)∗

Teorema 8.16 Si A pertenece a L(H), entonces ||AA∗|| = ||A||2

Demostracion: Se tiene que ||A∗A|| ≤ ||A∗|| ||A|| = ||A||2. Ademas

||Ax||2 = |〈Ax, Ax〉| = |〈A∗Ax, x〉| ≤ ||A∗Ax|| ||x||≤ ||A∗A|| ||x|| ||x|| = ||A∗A|| ||x||2,

es decir‖Ax‖ ≤ (‖A∗A‖)1/2 ‖x‖ ,

de lo cual se deduce que ‖A‖2 ≤ ‖A∗A‖

8.5.2 Operadores hermıticos

Definicion 8.15 Un elemento A de L(H) se dice hermıtico si A = A∗

Lema 8.9 Un elemento A de L(H) es hermıtico si, y solo si, la formaϕ : H ×H → C , definida por ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉 ; x, y ∈ H es simetrica

Demostracion: Se debe verificar que

ϕ 〈x, y〉 = ϕ(y, x); x, y ∈ H.

En efecto se tiene que

ϕ(x, y) = 〈Ax, y〉 = 〈Ay, x〉; x, y ∈ H,


lo que es equivalente a

〈Ax, y〉 = 〈Ay, x〉 = 〈y, A∗x〉 ; x, y ∈ H,

de donde obtenemos que

〈Ax, y〉 = 〈A∗x, y〉 ; x, y ∈ H,

lo cual significa que

A = A∗

Lema 8.10 Un elemento A de L(H) es hermıtico si, y solo si, 〈Ax, x〉 esreal para cada x en H . Ademas se tiene que

||A|| = sup |〈Ax, x〉| : ||x|| = 1

Ejercicio 8.7 Demostrar que si A; B en L(H) son hermıticos, entonces(A + B), αA, son hermıticos para todo α ∈ R.

Lema 8.11 El producto de dos operadores hermıticos A, B es hermıtico si,y solo si, A conmuta con B

Demostracion: Si (AB) es hermıtico se tiene (AB) = (AB)∗ = B∗A∗ =BA, entonces A conmuta con B. Si A conmuta con B, se tiene que

(AB)∗ = B∗A∗ = BA = AB,

entonces AB es hermıtico

Si se quiere tener a L(H) como una generalizacion de C los operadoreshermıticos en L(H) actuarıan como los numeros reales.

Definicion 8.16 Diremos que un operador hermıtico A en L(H) es positivo,si 〈Ax, x〉 ≥ 0 ; x ∈ H.


8.5.3 Operadores normales y unitarios

Si A ∈ L(H), entonces existen dos operadores hermıticos B, C en L(H) talesque

A = B + iC

En este sentido los operadores hermıticos tambien generalizan a los numerosreales.

Ejercicio 8.8 Demuestre que si A pertenece a L(H), entonces

B =1

2(A + A∗) y C =

1

2i(A− A∗)

son hermıticos

La gran diferencia entre L(H) y C es que la parte real y la parte imaginariade los elementos en L(H) no tienen que conmutar, esto motiva la siguientedefinicion.

Definicion 8.17 Un operador A en L(H) se dice normal si A conmutacon A∗

Si A = B + iC es facil ver que A es normal si, y solo si, B conmuta conC.

Teorema 8.17 A ∈ L(H) es normal si, y solo si,

||Ax|| = ||A∗x||; x ∈ H

Demostracion: Como

||Ax||2 = 〈Ax, Ax〉 = 〈A∗Ax, x〉 ; x ∈ H

y||A∗x||2 = 〈A∗x, A∗x〉 = 〈AA∗x, x〉 , x ∈ H,

se tiene que si ||Ax|| = ||A∗x||, entonces A conmuta con A∗ es decir A esnormal. Si A es normal, entonces de la parte anterior de la demostracion seobtiene que ||Ax|| = ||A∗x||; x ∈ H

Una clase de operadores normales de mucho interes son lo que satisfacenla ecuacion

UU∗ = U∗U = I.

Estos operadores son llamados unitarios, observese que los operadoresunitarios U son invertibles y su inversa U−1 es igual a su adjunto, es decir

U−1 = U∗.

8.6. EJERCICIOS 107

8.6 Ejercicios

Ejercicio 8.9 Demuestre que si X es un espacio con producto interno (e.p.i.)real tal que ‖x + y‖2=‖x‖2 + ‖y‖2 , entonces x es ortogonal a y.

Ejercicio 8.10 Sea X un (e.p.i) y xn∞n=1 una sucesion de elementos deX, demuestre que si ‖xn‖ → ‖x‖ y 〈xn, x〉 → 〈x, x〉 , entonces ‖xn − x‖ → 0

Ejercicio 8.11 Dados X un (e.p.i.) y A ⊂ X un conjunto ortonormal.Demuestre que A es completo si, y solo si, se cumple que si 〈x, y〉 = 〈x, z〉para todo x en A, entonces y = z.

Ejercicio 8.12 Demuestre que en∞n=1 = (δni)∞n=1

∞n=1 , es un conjunto

ortonormal completo en l2.

Ejercicio 8.13 Demuestre que si H es un espacio de Hilbert y A ⊂ H,entonces

A⊥⊥ = [A].

Ejercicio 8.14 Demuestre que si M es un subespacio cerrado de un espaciode Hilbert H, entonces H/M es isomorfo a M⊥.

Ejercicio 8.15 Sea M un subespacio de un espacio de Hilbert H. Demuestreque M es denso en H,si, y solo si, y ⊥ M implica que y = 0.

Ejercicio 8.16 Dado X = (αn)∞n=1 tal que αn = 0 salvo un numero finito de n ,

dotado del producto interno 〈x, y〉 =∞∑i=1

αiβi donde x = αi∞i=1 , y = βi∞i=1.

Sea M definido por

M =

(αn)∞n=1 ∈ X tal que

∞∑i=1

(1

i)αi = 0

.

Demuestre que M es un subespacio cerrado de X tal que

X 6= M ⊕M⊥ y M 6= M⊥⊥.

Ejercicio 8.17 Demuestre que ‖.‖ ∞ sobre l∞ no satisface la ley delparalelogramo


Ejercicio 8.18 Demuestre que la sucesion

(2π)−1/2 eint∞

n=1es un conjunto

ortonormal en el espacio C [0, 2π] complejo, dotado del producto interno

〈f, g〉 =

∫ 2π

0

f(t)g(t)dt.

Ejercicio 8.19 Sea X un e.p.i. y sea xnNn=1 un conjunto ortonormal en

X . Demuestre que

∥∥∥∥x− N∑i=1

cixi

∥∥∥∥ es minimizada eligiendo ci = 〈x, xi〉 .

Ejercicio 8.20 Demuestre que la bola unitaria en un espacio de Hilbert Hinfinito dimensional contiene infinitas bolas disjuntas de radio

√2

4. Concluya

que no se puede tener una medida invariante por traslacion, sobre un espaciode Hilbert infinito dimensional que no sea la medida trivial

Ejercicio 8.21 Demostrar que:a.) En un espacio X con producto interno, si xn∞n=1 converge debilmentea x, entonces se tiene que 〈xn, y〉 converge a 〈x, y〉 para cada y en X.b) En un espacio de Hilbert H, xn∞n=1 converge debilmente a x, si, y solosi, se tiene que 〈xn, y〉 converge a 〈x, y〉 para cada y en H.

Ejercicio 8.22 Dado X un e.p.i. Demuestre quea.) Si xn∞n=1 converge debilmente a x y ‖xn‖ → ‖x‖ , entonces‖xn − x‖ →0b.)Si xn∞n=1 converge debilmente a x y xn∞n=1 converge debilmente a z,entonces x = z.

Ejercicio 8.23 Dados X un espacio normado, H un espacio de Hilbert yAn∞n=1 una sucesion de L(X,H). Demuestre que An∞n=1 converge debilmentea un elemento A de L(X, H) si, y solo si, 〈An(x), y〉 converge a 〈A(x), y〉 ,para todo x en X y para todo y en H

Ejercicio 8.24 Sea vn∞n=1 una base ortonormal del espacio de Hilbert H.Sea an∞n=1 una sucesion de numeros positivos. Definamos

S =

x =

∞∑n=1

cnvn, tal que∞∑

n=1

c2n < ∞ y |cn| ≤ |an| , para todo n en N

.

8.6. EJERCICIOS 109

Demostrar que : S es compacto si, y solo si,∞∑

n=1

a2n < ∞.

Ejercicio 8.25 Dado ϕn∞n=1 ⊂ L2 [a, b] un sistema ortonormal. Demostrarque:a.- ϕn∞n=1 es una base ortonormal de L2 [a, b] si, y solo si,

∞∑n=1

[∫ x

a

ϕn(t)dt

]2

= x− a, para todo x en [a, b]

b.-ϕn∞n=1 es una base ortonormal de L2 [a, b] si, y solo si,

∞∑n=1

∫ b

a

[∫ x

a

ϕn(t)dt

]2

dx =

(b− a

2

)2

Ejercicio 8.26 Sea vn∞n=1 un sistema ortonormal del espacio de Hilbert

H. Demuestre que si∞∑

n=1

λ2n < ∞ , entonces

∞∑n=1

λnvn converge.

Ejercicio 8.27 Sea M =

f ∈ C [0, 1] tal que∫ 1/2

0f(t)dt−

∫ 1

1/2f(t)dt = 1

.

Demuestre que M es una variedad lineal cerrada de C [0, 1] que no contieneun elemento de norma mınima.

Definicion 8.18 Una norma ‖.‖ sobre un espacio vectorial E se dice es-trictamente convexa si para todo x, y en E, tal que x 6= y, ‖x‖ = ‖y‖ = 1 ypara todo λ tal que 0 < λ < 1, se tiene que ‖λx + (1− λ)y‖ < 1.

Ejercicio 8.28 Demuestre que si 〈., .〉 es un producto interno sobre E , en-

tonces ‖x‖ = 〈x, x〉1/2 es estrictamente convexa

Ejercicio 8.29 Demuestre que si 1 < p < ∞, entonces ‖.‖ p es estricta-mente convexa sobre Rn y sobre lp.

Ejercicio 8.30 Demuestre que si ‖.‖ es estrictamente convexa sobre E ,K ⊂ E es convexo y cerrado y x0 ∈ (E −K) , entonces existe a lo sumo unelemento y0 en K tal que d(x0, K) = d(x0, y0).

Ejercicio 8.31 Demuestre que U ∈ L(H) es un isomorfismo isometrico si,y solo si, U es unitario

Bibliografıa

[1] Bachman G., Narici L. Functional Analysis, Academic Press, NY, 1966.

[2] Finol C., Analisis Funcional, Manuscrito, por aparecer.

[3] Lusternik L.A., Sobolev V.J., Elements of Functional Analysis, Hindus-tan P.C., Delhi, 1961.

[4] Trenoguin,V.A., Pisarievski B.M., Soboleva T.S., Problemas y Ejerciciosde Analisis Funcional, Editorial Mir Moscu, 1987.

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