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Dedicado a mis nietas

Isabel y Vernica

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

AGRADECIMIENTO

Quiero expresar mi ms sincero agradecimiento al profesor Julin Aguirre Pe, quien con dedicacin y detenimiento ley los manuscritos haciendo las correcciones necesarias con el fin de obtener una mejor claridad en la explicacin de los problemas. A la profesora Alix T. Moncada M., quien con entusiasmo y esmero, colabor ampliamente en la realizacin de los grficos, haciendo las sugerencias necesarias para su mejoramiento. Ellos dispusieron de gran parte de su tiempo libre, para que este trabajo fuera realizado satisfactoriamente en el tiempo previsto. Agradezco tambin a Mildred Prez, por su dedicacin y colaboracin prestada de una u otra forma y en todo momento en que se hizo necesaria su ayuda.

Lionel


4

INDICE

Captulo 1 Pg. Flujo de fluidos reales. 5 Captulo 2 Flujo permanente en conductos cerrados. 39 Captulo 3 Principio de energa y cantidad de movimiento aplicado al flujo en canales. 85 Captulo 4 Flujo uniforme en canales abiertos. 117 Captulo 5 Flujo gradualmente variado. 155 Captulo 6 Flujo de un fluido ideal. 205


5

Captulo 1

FLUJO DE FLUIDOS REALES

Determinacin de la longitud de la placa x. Considerando como hiptesis que el flujo en la placa es turbulento (RX > 5 x 105), tendremos entonces:

5/15/4

5/1

5/1

5/15/1X

U37.0

xx

xU37.0xU

37.0xR

37.0x

4/1

5

4/54/14/54/55/1

10x6.13600

1000x108

37.00074.0xU

37.0xU

37.0x

x = 0.2783 m

Determinacin del nmero de Reynolds de la placa.

5X5XX 10x22.5R10x6.1

2783.03600

1000x108

RxUR

como RX = 5.22 x 105 > 5 x 105, entonces el flujo es turbulento y la hiptesis es cierta.

Problema F.II-1.01 El aire a 20 C ( = 1.6 x 10-5 m2/s) con una presin absoluta de 1.00 kg/cm2 fluye a lo largo de una placa con una velocidad de 108.00 km/h. Qu longitud debe tener la placa para obtener un espesor de la capa lmite de 7.40 mm?


6

Determinacin de la ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar.

El esfuerzo cortante en la placa es:

ydUu1

Uu

xU

0

20

Si no depende dey y d y d y Los nuevos lmites de integracin son:

00y0ypara

1yypara

entonces el esfuerzo cortante es:

dUu1

Uu

xU

1

0

20

223Uuycomo . Al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:

1

0

43220

1

0

2220 d412113x

Ud23123x

U

1

0

543220 5

44

123

1123

xU

x30U2

0

Problema F.II-1.02

Utilizando un perfil de velocidades dado por 2y2y3

Uu

, determinar:

a) La ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar. b) La tensin de cortadura. c) La relacin entre el espesor desplazado y1 .


7

Por otra parte, segn la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene:

UyyuyyUu

22

2323 , entonces

0y20

0y

2

00y

0y43

yd

Uy2y3d

ydud

U30

igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:

xdU90dxd

U90dU3

x30U2

integrando se tiene:

Ux42.13

Ux180

Ux90

2

2

Determinacin del esfuerzo cortante. Si se sustituye en la expresin del esfuerzo cortante 0 se tiene:

xU224.0

Ux180

U33

00

Determinacin de la relacin entre el espesor desplazado y1 . El espesor desplazado 1 es la distancia que habra que desplazar la pared hacia dentro del fluido para que el caudal fuese el mismo que se tendra si no existiera el efecto de frenado de las partculas prximas a la pared, lo cual se representa en la siguiente figura:


8

El espesor desplazado 1 est expresado analticamente por

010101 ydUu1yd

Uu

UUyduUU

Para la distribucin de velocidades del presente caso obtenemos, al reemplazar

223porUu y hacer el cambio de variable y = , los nuevos ndices de integracin,

los cuales resultan: para y = 0, = 0, para y = , = 1

10

21 d231

Al integrar

32

231

32

23

1

1

0

321

61

Problema F.II-1.03 Desarrollar:

a) Una expresin para la velocidad media V. b) La ecuacin de crecimiento de la capa lmite turbulenta en tuberas circulares

de radio r0, a partir de 5/1X

9/1

R185.0fyy

Uu


9

Determinacin de la velocidad media V.

9/19/1

9/19/1

yUuyUuyUu

R

0

9/19/1

R

0

R

0

rdr2yUQrdr2uQdAuQ

La relacin que existe entre el radio de la tubera R, el radio variable r, y la distancia desde la pared y, es:

ydrdyRrryR los nuevos lmites de integracin son:

para r = 0 RyyR0yRr para r = R 0yyRRyRr Al sustituir en la expresin del caudal se obtiene:

0

R

9/109/19/1

0

R

9/19/1 ydyRy

2UQydyRy2UQ

9/199/199/10

R

9/199/109/1 R19

9R10902UQy

199Ry

1092UQ

9/1

9/19

9/1

9/19 RU853.0Q199

109R2UQ

Por otra parte:

2RVQAVQ

al igualar las expresiones del caudal se tiene:

9/1

9/12

9/19

9/1

9/192 RU853.0V

RRU853.0VRU853.0RV

Determinacin del espesor de la capa lmite. El esfuerzo cortante en placas es:

ydUu1

Uu

xU

0

20


10

Si ydedependenodydyy los nuevos lmites de integracin son:

00y0ypara

1yypara


dUu1

Uu

xU

1

0

20

9/1

UuyComo , al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:

1

0

9/29/120

1

0

9/19/120 dx

Ud1x

U

119

109

xU

119

109

xU 20

1

0

9/119/1020

xU0818.0 20

En tuberas el esfuerzo cortante es:

8fV

8fV

2

00

como en el presente caso,

9/1

5/15/1

5/1

5/1x

RU853.0VyxU

185.0fR

185.0f

entonces,

5/15/19/2

5/19/222

0

5/15/1

5/129/1

0 xU8185.0RU853.0

8

xU185.0RU853.0


11

5/15/19/2

5/19/22

0 xURU01683.0

igualando las expresiones del esfuerzo cortante se tiene:

5/15/19/2

5/19/222

xURU0.01683

xU0818.0

xdxU

R205.0dxU

R0.01683 x

0818.0 5/15/1

9/29/25/15/19/2

5/19/2

15/15/1

9/29/115/45/1

9/29/11 x45

UR205.0

119xdx

45

UR205.0

119

x45

xUR205.0

911x

45

xUR205.0

119

5/19/29/11

5/19/29/11

11/95/1

9/2 x45

xUR205.0

911

55/9X

11/911/2

RxR387.0

Determinacin del nmero de Reynolds del flujo completamente establecido.

899R

9810

73.91x05.0x00.20RDvR

El flujo es laminar, por lo tanto toda la capa lmite es laminar hasta que sea igual a la mitad del dimetro.

Problema F.II-1.04 Determinar la longitud de establecimiento del flujo en una tubera circular de dimetro D = 5.00 cm, si en ella fluye aceite con una velocidad media v = 20.00 m/s. La viscosidad del aceite es = 10 poise y la densidad = 91.73 UTM/m3.


12

La ecuacin para la capa lmite laminar es:

2/1xR65.4

x

222

2

2

X

2

2

2

X2

2

65.4Ux

xU65.4

xR65.4

xR65.4

x

m52.0x

981065.4

73.91x00.20x205.0

x65.4

U2D

x2

2

2

2

El esfuerzo cortante en placas es:

ydUu1

Uu

xU

0

20

Problema F.II-1.05 Hallar es espesor de la capa lmite laminar en funcin de de la distancia x, y del

nmero de Reynolds, si el perfil de velocidades est dado por 3/1y

Uu

y el esfuerzo

cortante obtenido experimentalmente es U50.20 .


13

Si ydedependenodydyy los nuevos lmites de integracin son:

00y0ypara

1yypara


dUu1

Uu

xU

1

0

20

Como 3/1Uuy , al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:

1

0

3/23/120

1

0

3/13/120 dx

Ud1x

U

53

43

xU

53

43

xU 20

1

0

3/53/420

203

xU20

por otra parte experimentalmente se encontr que:

U50.20

Igualando las expresiones de los esfuerzos cortantes se tiene que:

xdU

U50.2320dU50.2

203

xddU 2

2

CU

x3

502

2


14

Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresin anterior se obtiene C = 0, as:

x2

2

2

22

2

R33.33

xxU33.33

xUx

3100

Ux

350

2

2/1xR77.5

x

Cuando la velocidad es de 1.00 m/s Supongamos que la lmina se encuentra en reposo y sobre ella acta una corriente de aire con una velocidad U = 1.00 m/s como se muestra en el siguiente esquema.

Determinacin del nmero de Reynolds RL al final de la lmina.

55L5LL 10x510x786.1R10x40.1

50.2x00.1RxUR por lo tanto la capa lmite es laminar y su espesor es:

m0275.010x786.165.4x50.2

R65.4x

R65.4

x 2/152/1L2/1

L

Problema F.II-1.06 Una lmina plana horizontal y lisa de 2.50 m de largo y 1.00 m de ancho se mueve longitudinalmente en aire en reposo con una velocidad de 1.00 m/s. ( = 1.20 kg/m3 y = 1.40 x 10-5 m2/s).

a) Calcular el espesor de la capa lmite al final de la placa y la potencia necesaria para mantener el movimiento de la lmina.

b) Si la velocidad de la lmina aumenta a 5.00 m/s Cul sera el espesor de la capa lmite al final de la lmina? y cul la potencia requerida?


15

se producen dos capas limites una en la cara superior y otra en la cara superior. Para este caso el coeficiente de arrastre CD es:

003.0C10x786.1288.1C

R288.1C D2/15D2/1L

D Determinacin de la fuerza de arrastre de las dos caras.

BL

2U

gC2FA

2UC2F

2

DD

2

DD

kg00092.000.1x50.2200.1

81.920.1003.02F

2

D

Determinacin de la potencia.

smkg00092.0P00.1x00092.0PUFP D

Cuando la velocidad es de 5.00 m/s Determinacin del nmero de Reynolds RL al final de la lmina.

55L5LL 10x510x9.8R10x40.1

50.2x00.5RxUR

por lo tanto la capa lmite es turbulenta y su espesor es:

m0597.010x9.850.2x37.0

Rx37.0

R37.0

x 5/155/1L5/1

L

Para la capa lmite turbulenta despus de corregir la resistencia de la seccin laminar el coeficiente de arrastre CD es:


16

7L5L

5/1L

D 10x1R10x5paravlidaR1700

R074.0C

0029.0C10x9.81700

10x9.8074.0C D55/15D

Determinacin de la fuerza de arrastre de las dos caras.

BL

2U

gC2FA

2UC2F

2

DD

2

DD

kg022.000.1x50.2200.5

81.920.10029.02F

2

D

Determinacin de la potencia.

smkg0111.0P00.5x022.0PUFP D

Determinacin de la longitud de la placa.

m50.0L60.0

10x300000LU

RLLUR6

LL

m00424.0300000

50.0x65.4R

x65.4R

65.4x 2/12/1X

2/1X

Problema F.II-1.07 Una corriente de agua ( = 1 x 10-6 m2/s) con una velocidad U = 0.60 m/s acta sobre una placa plana y lisa de ancho B = 0.50 m. Al final de la placa en nmero de Reynolds es de RX = 300000. Determinar:

a) El espesor de la capa lmite al final de la placa. b) La velocidad en la seccin terminal de la placa para:

321 y,80.0y,40.0y si el perfil de velocidades esta dado por:

3

21

23

Uu donde:

y

c) La fuerza de arrastre que el agua ejerce sobre la placa.


17

Determinacin de las velocidades

33 y

21y

23Uu

21

23

Uu

4.0ypara 1

s/m34.0u4.0214.0

2360.0uy

21y

23Uu4.0y 3

31

8.0ypara 2

s/m57.0u8.0218.0

2360.0uy

21y

23Uu8.0y 3

32

3ypara

s/m60.0u0.1210.1

2360.0uy

21y

23Uu0.1

y 33

3

Determinacin de la fuerza de arrastre que se produce sobre la placa. Para flujo laminar el coeficiente de arrastre es:


18

00235.0C300000

288.1CR

288.1C D2/1D2/1X

D

50.0x50.0

260.0

81.91000x00235.02FA

2UC2F

2

D

2

DD

FD = 0.0216 kg

Al inicio del canal, zona I, se produce una capa lmite laminar hasta que R = 500000, esta distancia es:

m42.0x20.1

10x1x500000xU

RxxUR6

XX

desde este punto se comienza a producir, en la zona II, una capa lmite turbulenta, para esa distancia el espesor de la capa lmite laminar es:

m0027.0500000

42.0x65.4R

x65.4R

65.4x 2/12/1x

2/1x

Problema F.II-1.08 Una corriente de agua ( = 1 x 10-6 m2/s) con una profundidad de 0.50 m. fluye sobre el fondo de un canal desarrollando una capa lmite. La velocidad al uniforme al inicio del canal es de U = 1.20 m/s. Determinar la longitud necesaria para que la capa lmite ocupe toda la seccin del flujo, es decir para que m50.0 .


19

despreciando la zona I y considerando que la capa lmite es toda turbulenta se tiene:

5/15/4

5/1

5/1

5/15/1X

U37.0

xx

xU37.0xU

37.0xR

37.0x

4/1

5

4/54/14/54/55/1

10x6.120.1

37.050.0xU

37.0xU

37.0x

la capa lmite turbulenta alcanza la superficie del agua a una distancia x = 25.90 m

Determinacin de la ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar.

El esfuerzo cortante en la placa es:

ydUu1

Uu

xU

0

20

Si ydedependenodydyy Los nuevos lmites de integracin son:

00y0ypara

1yypara

Problema F.II-1.09

Utilizando el perfil de velocidades en una placa dada por y

Uu , determinar:

a) La ecuacin de crecimiento de la capa lmite laminar x

b) La ecuacin del esfuerzo cortante 0 c) La expresin de la fuerza de arrastre FD para una placa de longitud L y ancho

1.00 m. d) La ecuacin del coeficiente de arrastre CD. e) La longitud crtica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.


20


dUu1

Uu

xU

1

0

20

Uuycomo , al sustituirlo en la expresin anterior se tiene:

1

0

220

1

0

20 dx

Ud1x

U

1

0

3220 3

121

xU

x6U2

0

Por otra parte, segn la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene, para

UyuyUu

, entonces

0y0

0y

00y

0U

yd

Uyd

ydud

U

0

igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:

CxU6

2xd

U6dU

x6U 22

Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresin anterior se obtiene C = 0.

2/1X

2

2

2

2

2

2

R12

xxU12

xx

U6

x1

2x1x

U6

2


21

2/1XR464.3

x

Determinacin del esfuerzo cortante 0

2/1X0

2/1X

00 RU2887.0

R3.464

UU

xU2887.0xUU2887.0

3

0

2/1

0

Determinacin de la fuerza de arrastre FD.

L

02/1

3D

L

0

3

0D

L

00D x

xdU2887.0Fxdx

U2887.0FxdF

LUL577.0Fx2U2887.0F 32/1DL02/13D

2/1X

2D2/1

X

2/1

2/12/12/132/1

D RLU577.0F

R

LULUL577.0F

Determinacin del coeficiente de arrastre CD.

L00.12

UCFA2

UCF2

DD

2

DD

Igualando las expresiones de la fuerza de arrastre FD se tiene:

2/1X

D2/1X

22

D R154.1C

RLU577.0L00.1

2UC

Determinacin de la longitud crtica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.

U500000L

LU500000500000R C

CL


22

Determinacin del nmero de Reynolds de la placa.

7L6LL 10x67.1R10

20.1x3600

1000x00.50

RLUR

Determinacin del coeficiente de arrastre CD (vlido para 106 < RL < 109)

00277.0C10x67.1log455.0C

Rlog455.0C D58.27D58.2

eD

Determinacin de la fuerza sobre los esqus.

15.0x20.1x22

36001000x00.50

102x00277.0FA22

UCF

2

2

D

F = 9.81 kg

Determinacin de la potencia P.

.CV81.1P753600

1000x00.50x81.9P

75UFP )CV(CVCV

Problema F.II-1.10 Determinar la potencia requerida para vencer la resistencia al avance de un esquiador que es arrastrado sobre el agua en reposo con una velocidad de 50.00 km/h. Cada uno de los esqus (considerados planos) tiene 1.20 m de longitud y 0.15 m de ancho. La viscosidad cinemtica del agua es 10-6 m2/s y la densidad es 102.00 UTM/m3.


23

Determinacin de las densidades del aire y del helio.

En los grficos correspondientes de viscosidad absoluta y viscosidad cinemtica para algunos gases y lquidos (gases a presin atmosfrica normal) se encuentra para una temperatura de 50 C los valores que se muestran en la siguiente tabla.

(kg.s/m2)

Viscosidad absoluta

(m2/s) Viscosidad cinemtica

(UTM/m3)

/ Densidad

Aire 2.0 x 10-6 1.9 x 10-5 0.11 Helio 2.2 x 10-6 1.4 x 10-4 0.02

a) Cuando el globo asciende libremente las fuerzas que actan se muestran en el

siguiente diagrama de cuerpo libre.

Determinacin de las diferentes fuerzas que actan sobre el cuerpo libre para la condicin a.

Problema F.II-1.11 a) Un globo esfrico contiene helio y asciende en aire a 50 C a un presin

atmosfrica normal. El globo y la carga (sin helio) pesan 150.00 kg. Qu dimetro permite una ascensin a una velocidad de 3.00 m/s considerando que el coeficiente de arrastre CD es 0.21.

b) Si ste globo se sujeta al suelo mediante un cable y sopla una corriente de aire a una velocidad de 10.00 km/h cul es el ngulo de inclinacin del cable y cul su tensin.


24

E

33aire3

aireaire D565.081.9x11.0D244g

2D

34g

FD 1 2222

aireD D082.0D4200.311.0x21.0A

2UC

w 150.00

w1 33helio3

heliohelio D103.081.9x02.0D244g

2D

34g

La condicin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir:

E FD 1 w w1 = 0

Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuacin de equilibrio se tiene:

000.150D0D085.0D462.00D103.000.150D082.0D565.0 23323

sta ecuacin cbica tiene dos soluciones imaginaras y una solucin real positiva cuyo valor

es D = 6.93 m.

b) cuando el globo se encuentra sujeto al suelo y acta una corriente de aire las fuerzas que

actan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.


25

Determinacin del coeficiente de arrastre para la condicin b.

65 10x01.1R10x9.1

93.6x3600

1000x10

RDUR

Determinacin de las diferentes fuerzas que actan sobre el cuerpo libre para la condicin b.

E

kg95.18781.9x11.0x93.6x14.3244g

2D

34g 3aire

3

aireaire

FD 2 kg98.31993.642

36001000x100

11.0x20.0A2

UC 2

2

2

aireD

w 150.00

w1 kg17.3481.9x02.0x93.6

244g

2D

34g 3helio

3

heliohelio

Las condiciones de equilibrio son: 0Fy0F VH , es decir:

11V wwEsenT0senTwwE0F

2D2DH FcosT0cosTF0F


26

Dividiendo, las ecuaciones anteriores, miembro a miembro se tiene:

2D

1

FwwEtg

Sustituyendo los valores numricos se obtiene:

37400677.00118.0tg98.319

17.3400.15095.187tg

a) Cuando la bola de densidad relativa 3.5 cae en aceite las fuerzas que actan en este caso se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.


Problema F.II-1.12 a) Cul es la velocidad final de una bola de metal de 5.00 cm de dimetro y peso

especifico relativo S = 3.50 que cae en aceite de peso especifico relativo S = 0.80 y viscosidad = 1 poise?

b) Cul sera la velocidad final para la misma bola pero de densidad relativa S = 7.00?


27

E 05233.01000x80.005.061SD

61S 3aguaacite

3aguaaciteaceite

FD

2D22D22aguaD2aceiteD U08.0C05.042U102x80.0CD42USCA2UC w 22896.01000x50.305.0

61SD

61S 3aguabola

3aguabolabola

La relacin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir:

E + FD 1 w = 0


177.0U08.0C022896.0U08.0C052233.0 2D2

D

DD C2125.2U

C08.0177.0U

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuacin anterior El coeficiente de arrastre depende del nmero de Reynolds y ste a su vez de la velocidad; por lo tanto, el procedimiento se debe hacer a travs de tanteos sucesivos como se muestra a continuacin.

Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuacin anterior resultando

DC2125.2U

Con U se determina R segn la ecuacin

59.399UR

981

81.980005.0U

RDUR

Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos

el valor de CD


28

Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n 1

Clculo en forma tabulada para el caso a.

CD (asumido) DC

2125.2U 59.399UR CD (obtenido del grfico)

1.00 1.49 596 0.60

0.60 1.92 768 0.50

0.50 2.10 841 0.50

Por lo tanto para el caso a, la velocidad es U = 2.10 m/s.

b) Ahora, si la bola del mismo dimetro tiene una densidad relativa de 7.0 y cae en aceite, las fuerzas de empuje E y arrastre FD son las mismas cambiando el peso de la bola as:

kg45792.01000x00.705.061SD

61Sw 3agua2bola

3agua2bolabola2

La condicin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir: E + FD 1 w2 = 0


406.0U08.0C045792.0U08.0C052233.0 2D2

D

DD C075.5U

C08.0406.0U


29

Clculo en forma tabulada para el caso b.

CD (asumido) DC


0.50 3.18 1274 0.40

0.40 3.56 1425 0.40 Por lo tanto para el caso b la velocidad es U = 2.10 m/s.

Determinacin de la velocidad de cada de la gtica de neblina.

Suponiendo como hiptesis, que el nmero de Reynolds de la gotica de lluvia R es < 1, entonces

segn la Ley de Stokes se tiene:

s/m019.0U09.100.100098

10x1810x025.0

181Ud

181U

5

23

S

2

Determinacin del nmero de Reynolds para verificar si la hiptesis asumida es cierta.

10288.0R

9810x18

81.909.110x025.0x019.0

RdUR5

3

, hiptesis correcta.

Determinacin de la velocidad de cada de la gota de lluvia.

Problema F.II-1.13 En el seno de la neblina, las gotitas de agua (supuestas esfricas) tienen un dimetro d = 0.025 mm. Para formar una gota de lluvia (supuesta esfrica) se necesita un milln de de gticas de neblina. ( agua = 1000 kg/m3, aire = 1.09 kg/m3, aire = 18 x 10-5 poise.) Para estas condiciones determinar:

a) La velocidad de cada de una gotica de neblina. b) La velocidad de cada de una gota de lluvia.


30

El dimetro de la gota de lluvia es:

d10Dd10Dd10DD61d

6110 23/136363336

m0025.0D10x025.010D 32

Cuando la gota de agua cae en el aire, las fuerzas que actan en este caso se muestran en siguiente diagrama de cuerpo libre.


E 6

DD61 33

aire

FD 8DU

gCD

42U

gCA

2UC

22

D2

2aire

D

2

aireD

w 6

DD

61 S

3

S3

gota

La condicin de equilibrio para esta condicin es 0FV , es decir:

E + FD 1 w = 0



31

6D

6D

8DU

gC0

6D

8DU

gC

6D 3S

322

DS

322

D

3

S2DS

322

D 6gD8UC

6D

8DU

gC

D

S

S

D

2

C

13

gD4

UC3

gD4U

La ecuacin anterior representa la velocidad de cada de una esfera de dimetro D y de peso especifico S en un ambiente de peso especifico cuando el nmero de Reynolds R > 1. Para el presente caso se tiene:

DDD

S

C47.5U

C

109.1

10003

81.9x0025.0x4

C

13

gD4

U

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuacin anterior.

El coeficiente de arrastre depende del nmero de Reynolds y este a su vez de la velocidad por lo tanto el procedimiento se debe hacer a travs de tanteos sucesivos como se muestra a continuacin.

Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuacin anterior resultando

DC47.5U


24.151UR

9810x18

81.909.10025.0U

RDUR5

Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos

el valor de CD


32

Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n 1

Clculo en forma tabulada.

CD (asumido) DC


0.49 7.81 1.20 x 103 0.40

0.40 8.65 1.30 x 103 0.40

Por lo tanto para el caso a la velocidad es U = 8.65 m/s.

Determinacin del nmero de Reynolds R.

45

3

10x2.2R10x488.1

10x12x00.27RDUR

Determinacin grfica del coeficiente de arrastre CD.

En el siguiente esquema se muestra un grfico para la determinacin del coeficiente de arrastre para cilindros de gran longitud.

Problema F.II-1.14 Un cable de conduccin elctrica de 12.00 mm de dimetro est tensado y expuesto a un viento con una velocidad de 25.00 m/s que choca perpendicularmente a su eje. Determinar la fuerza que acta sobre el cable si la distancia entre los postes que lo sostiene es de 100.00 m. La temperatura del aire es de 20.00 C. ( = 0.1224 UTM/m3, = 1.488 x 10-5 m2/s)


33

Determinacin de la fuerza de resistencia.

32D2DD 10x12x00.100200.271224.0x30.1FA2UCF FD = 69.6 kg

Utilizando velocidades relativas se puede supone que la placa se encuentra en reposo y el aire

tiene una velocidad U = 12.00 m/s


kg62.1F20.1x90.0200.12

81.920.1x17.0FA

2UCF D

2

D

2

DD

Determinacin de la fuerza de sustentacin FS.

kg85.6F20.1x90.0200.12

81.920.1x72.0FA

2UCF S

2

S

2

SS

En el siguiente esquema se muestran dichas fuerzas y su resultante.

Problema F.II-1.15 Una placa plana de 0.90 m x 1.20 m se mueve a 12.00 m/s a travs de aire en reposo ( = 1.20 kg/m3), formando un ngulo de 12 con respecto a la horizontal. Utilizando un coeficiente de resistencia CD = 0.17 y un coeficiente de sustentacin CL = 0.72, determinar:

a) La fuerza resultante que ejerce el aire sobre la placa. b) La fuerza debido al rozamiento. c) La potencia (en CV) necesaria para mantener el movimiento.


34

kg02.7R85.662.1RFFR 222S2

D

el ngulo de inclinacin de R respecto a la horizontal es:

7.7662.185.6tgarc

FF

tgarc XXD

SX

el ngulo de existente entre la resultante R y la placa es.

7.88127.7612X La fuerza de rozamiento se obtiene al proyectar R sobre el plano de la placa, como se muestra

en el siguiente esquema.

kg16.0F7.88cosx02.7FcosRF RRR Determinacin de la potencia P.

CV259.0P75

00.12x62.1P75

UFP DCV

KW191.0P102

00.12x62.1P102

UFP DKW


35

En el siguiente esquema se muestra el alern y las fuerzas de arrastre y sustentacin, considerando el alern en reposo y actuando sobre l una corriente de aire con velocidad U.

Determinacin de los coeficientes de arrastre CD y de sustentacin CS. En el siguiente esquema se muestra la determinacin de dichos coeficientes.

Problema F.II-1.16 Un alern se mueve en aire en reposo ( = 1.22 kg/m3) a una velocidad de 252.00 km/h. La longitud es de 15.00 m y el largo de la cuerda de 2.00 m; si el angulo de inclinacin es de 8 sobre la horizontal, determinar:

a) La fuerza de arrastre FD. b) La fuerza de sustentacin FS. c) La potencia requerida para desplazar el alern.


36

Determinacin de la fuera de arrastre FD.

kg00.366F00.15x00.22

36001000x00.252

81.922.1x04.0FA

2UCF D

2

D

2

DD

Determinacin de la fuera de sustentacin FS.

kg00.7320F00.15x00.22

36001000x00.252

81.922.1x80.0FA

2UCF D

2

D

2

SS

Determinacin de la potencia P.

CV60.341P75

36001000x00.252x00.366

P75

UFP CVDCV

Determinacin de la fuerza de resistencia FD sobre la placa (dos caras).

El nmero de Reynolds de la placa RL es:

Problema F.II-1.17 Un planeador cuyo esquema se muestra en la figura, aterriza a una velocidad de 144.00 km/h en una atmsfera de peso especifico 1.00 kg/cm2 y viscosidad cinemtica 1.5 x 10-5 m2/s. Para frenar el planeador se suelta un paracadas con un coeficiente de resistencia CD = 1.20. Calcular el dimetro del paracadas para que ste produzca una resistencia al movimiento igual a la resistencia por friccin originada sobre las alas. Suponer que las alas se pueden sustituir por una superficie plana de 3.00 m de largo y 15.00 m de profundidad.


37

6L5LL 10x8R10x5.1

00.33600

1000x00.144

RLUR

para el presente caso, el coeficiente de arrastre para placas es:

00308.0C10x8074.0C

R074.0C D5/16D5/1L

D

la fuerza de arrastre es:

kg26.45F00.30x00.32

36001000x00.144

81.900.100308.02F D

2

D

Determinacin de la fuerza de resistencia FD sobre el paracadas.

2D

2

2

D

2

DD D92.76FD423600

1000x00.144

81.900.120.1FA

2UCF

La fuerza generada en el paracadas = La fuerza generada en la placa

m77.0D92.7626.45D26.45D92.76

2/12

Problema F.II-1.18 Un aviso formado por un disco de 3.50 m de dimetro, se encuentra instalado como se muestra en el esquema, con H = 10.00 m. Si sobre l acta perpendicularmente una corriente de aire con una velocidad de 100.00 km/h; determinar el momento que se produce al pie del soporte. ( = 0.126 UTM/m3 , = 2 x 10-6 kg.s/m2)


38

Determinacin del nmero de Reynolds.

66 10x1.6R10x2

126.0x50.3x3600

1000x00.100

RDUR

Determinacin del coeficiente de arrastre CD.

Con R = 6.1 x 106 se encuentra CD en el siguiente grfico (discos).


kg00.468F50.342

36001000x100

126.0x00.1FA2

UCF D2

2

D

2

DD

El momento respecto al pie del soporte es:

m.kg00.4680M00.10x00.468HFM D

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuacin de la fuerza de arrastre.

2/1

2D

2/1

2D

2/1

D

2

D DCF8U

D4

C

F2UAC

F2UA2

UCF

Problema F.II-1.19 A qu velocidad debe moverse una esfera de 12.00 cm de dimetro, a travs de una masa de agua a 10 C ( = 1.2 x 10-6 m2/s) para que la fuerza de arrastre sea de 0.50 kg.


39

El coeficiente de arrastre depende del nmero de Reynolds y este a su vez de la velocidad, por lo tanto el procedimiento se debe hacer a travs de tanteos sucesivos como se muestra a continuacin. Se suponer un valor de CD y se determina U mediante la ecuacin anterior, resultando

2/1

D

2/1

2D C

86730.0U12.0x14.3x102C

50.0x8U


56 10UR10x2.1

12.0URDUR Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD

Con este valor de CD encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n 1

Clculo en forma tabulada.

CD (asumido) 2/1

DC86730.0U

510UR CD (obtenido del grfico)

2.00 0.66 6.6 x 104 0.58

0.58 1.22 1.22 x 105 0.50

0.50 1.31 1.31 x 105 0.50

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

39

Captulo 2

FLUJO PERMANENETE EN CONDUCTOS CERRADOS

Determinacin de la velocidad. Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (salida) se tiene:

f

2

1f2

222

1

211 h0

g2v0z00hz

g2vpz

g2vp

La frmula de Darcy-Weisbach para la prdida de energa por friccin para flujo permanente en tuberas es:

g2v

DLfh

2

f al sustituir la ecuacin de Darcy-Weisbach en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:

1

2

1

2222

1 zDLf1

g2vz

g2v

DLf

g2v

g2v

DLf0

g2v0z00

f1000124.39v

012.000.12f1

00.2x81.9x2v

DLf1

zg2v 1

Problema F.II-2.01 Para vaciar aceite ( = 800 kg/m3, = 0.10 poises) de un depsito se utiliza una tubera de acero comercial de 12 mm de dimetro y 12.00 m de longitud. Determinar el caudal cuando la superficie libre del aceite en el depsito se encuentra a 2.00 m por encima de la seccin de salida de la tubera.


40

la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y ste a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa /D, segn se observa en el diagrama de Moody. Considerando como hiptesis que el flujo es turbulento. Determinacin de la rugosidad relativa /D. En el Diagrama de Moody se encuentra que el valor de la rugosidad para acero comercial es = 0.0046 cm.

0038.0Dcm2.1

cm0046.0D


v960R81.9

9810.0

800x012.0vRg

DvRg

DvRDvR

Para un valor supuesto de f = 0.065 se tiene.

s/m77.0v065.0x10001

24.39vf10001

24.39v

con v se obtiene:

2000739R77.0x960Rv960R , la hiptesis es falsa, por lo tanto el flujo es laminar.

Considerando como hiptesis que el flujo es laminar:

Para el caso de flujo laminar el coeficiente de friccin es:


41

Dvg64f

gDv64f

R64f

al sustituir f en la ecuacin de Bernoulli se tiene:

12

2

1

22

zD

vL32g2

vzg2

vDL

Dvg64

g2v

00.2800x012.0

v9810.0x00.12x32

81.9x2v

2

2

s/m583.0v000.2v40.3v051.0 2

Determinacin del nmero de Reynolds para verificar el tipo de flujo.

2000560R583.0x960Rv960R , la hiptesis es correcta, el flujo es laminar, entonces el caudal es:

s/m000066.0Q012.04

583.0QD4

vAAvQ 322

min/l95.3Q60x066.0Qs/l066.0Q1000x000066.0Q

Problema F.II-2.02 Por el sistema de tuberas de fundicin que se muestran en el esquema circula agua ( = 1 x 10-6 m2/s), despreciando las prdidas menores para las longitudes siguientes. Longitud del tramo 1, L1 = 60.00 m, dimetro del tramo 1, D1 = 30 cm. Longitud del tramo 2, L2 = 30.00 m, dimetro del tramo 2, D2 = 15 cm. Determinar:

a) El caudal. b) La presin en el punto B el cual se encuentra situado 30.00 m aguas abajo del

tanque de alimentacin de la tubera.


42

Determinacin de la velocidad. Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:

2f1fDA2f1fD

2DD

A

2AA hh0zz00hhz

g2vpz

g2vp

La frmula de Darcy-Weisbach de prdida de energa por friccin para flujo permanente en tuberas es:

g2v

DLfh,

g2v

DLfh

22

2

222f

21

1

111f

al sustituir la ecuacin de Darcy-Weisbach en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:

g2v

DLf

g2v

DLf zz

22

2

22

21

1

11DA

Mediante la aplicacin de la ecuacin de continuidad se tiene:

2

1

221

222

21121 D

DvvD4

vD4

vQQ

que al sustituirla en la ecuacin anterior se tiene:

g2v

DLf

DD

g2v

DLf zz

g2v

DLf

g2

DD

v

DLf zz

22

2

22

4

1

22

2

1

11DA

22

2

22

22

1

22

1

11DA

g2DL

fDD

g21

DL

f vzz2

22

4

1

2

1

11

22DA

81.9x2x15.000.30f

30.015.0

81.9x21

30.000.60f v00.1050.17 2

4

12

2

2122 f19.10f64.0v50.7

la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y ste a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa D/ , segn se observa en el diagrama de Moody.


43

El procedimiento de clculo es el siguiente: Se suponen valores de f y con estos se determinan las velocidades, con estas velocidades se determinan los nmeros de Reynolds y con estos nmeros de Reynolds se encuentra en el diagrama de Moody, para /D, los valores de f. Si estos coinciden con los valores supuestos los valores de f son correctos si no se repite el proceso hasta que fn = fn+1

Suponemos f1 = 0.023 y f2 = 0.020

s/m86.5v02.0x19.10023.0x64.0v50.7 222

s/m47.1v30.015.086.5v

DD

vv 12

1

2

1

221

Determinacin de los nmeros de Reynolds.

5161

111 10x40.4R10x1

30.0x47.1RDvR

5161

222 10x80.8R10x1

15.0x86.5RDvR

para tubera de fundicin se encuentra en el diagrama de Moody = 0.0259 cm Determinacin de las rugosidades relativas.

0017.0D15

0259.0D

,00086.0D30

0259.0D 1211

con 111 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.023 con 222 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f2 = 0.019 0.020


44

por lo tanto v1 = 1.47 m/s y v2 = 5.86 m/s Determinacin del caudal Q.

s/m100.0Q30.04

47.1QD4

vQAvQ 32211 Determinacin de la presin en el punto B.

Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

Bf

21

BB

ABfB

2BB

A

2AA h

g2vzpz00hz

g2vpz

g2vp

La frmula de Darcy-Weisbach de prdida de energa por friccin para flujo permanente en tuberas es:

g2v

DL

fh2

1

1

B11Bf

Al sustituir la ecuacin de Darcy-Weisbach en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:

81.9x247.1

30.000.300.023

81.9x247.1 50.1650.17p

g2v

DL

fg2

v zzp22

B2

1

1

B11

21

BAB

2

BBB m/kg640p1000x64.0p64.0p

Problema F.II-2.03 Una bomba eleva agua a 15 C, desde un lago a un tanque como se muestra en el esquema. El caudal a enviar es de 560.00 lts/s (lps), la tubera tiene una longitud de 400.00 m y un dimetro de 460 mm y es de fundicin. Las prdidas menores se producen principalmente por una vlvula unidireccional con un kV = 10 y tres codos a 90 con un valor de kC = 0.90 cada uno. Despreciando otro tipo de prdidas menores, cul ser la potencia necesaria para la bomba en caballos de vapor (CV) si el rendimiento o eficiencia es del 60 %?.


45

Mediante la aplicacin de la ecuacin de Bernoulli entre la superficie del lago y la superficie del tanque se tiene:

menoresBAfb2

BBBA

2AA hhz

g2vpHz

g2vp

Las frmulas de las prdidas de energa por friccin y las prdidas menores son:

g2vkh,

g2v

DL

fh2

m

2BA

BAf al sustituirlas en la ecuacin de Bernoulli se obtiene:

g2

vkg2

vD

Lf z

g2vp

Hzg2

vp 22BAb

2BB

BA

2AA

g2

v9.0x31081.9x2

v460.0

400.00f 00.13400H00.1000022

B Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.

s/m37.3v46.0

4

560.0vD

4

QvAvQ22

Determinacin del coeficiente de friccin f, mediante el diagrama de Moody,

000562.0Dcm46

cm0259.0D

155Dv46x37.3cmDs/mv

con v D = 155 y 000562.0D se encuentra f = 0.0178 segn se muestra el siguiente

esquema del diagrama de Moody.


46

m31.50Hg2

37.39.0x31081.9x2

37.3460.0

400.000.0178 00.34H B22

B Determinacin de la potencia P.

VC626P60.0x75

31.50x1000x560.0P75

HQP VCBVC

Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.

s/m735.0v

10015

4

100013

vD

4

QvAQvAvQ 2

2


46 10x25.5R10x10.2

15.0x735.0RDvR Determinacin de la rugosidad relativa.

0008.0Dcm15

cm012.0D

Determinacin de coeficiente de friccin en el diagrama de Moody.

Problema F.II-2.04 Est fluyendo aceite desde un depsito cerrado a travs de una tubera nueva de fundicin asfaltada ( = 0.012 cm) de 15.00 cm de dimetro y 150.00 m de longitud hasta un punto B como se muestra en la figura, qu presin, en kg/cm2, tendr que actuar sobre la superficie del depsito para que circule un caudal de 13.00 l/s si la densidad relativa del aceite es 0.84 y la viscosidad cinemtica es 2.10 x 10-6 m2/s.


47

Determinacin de la presin en A. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

mfB

2BB

A

2AA hhz

g2vpz

g2vp

g2v

kg2

vDLfz

g2vp

zg2

vS

p 2Be

2B

B

2BB

A

2A

agua

A

81.9x2735.05.0

81.9x2735.0

15.000.1500235.000.30

81.9x2735.0000.240

1000x84.0p 222A

2

A4

A2

A cm/kg5617.0p10x17.56pm/kg17.56p

Problema F.II-2.05 a) El sistema est formado por una tubera de acero de 61.00 m de largo y 75.00 mm

de dimetro como se muestra en el esquema, si circula un caudal de aceite de 750 l/min, la viscosidad es de 0.10 poises y el peso especfico es de 960 kg/m3, determinar el desnivel entre los depsitos H si la vlvula de ngulo se encuentra completamente abierta y su coeficiente es kV = 5.

b)Determinar el coeficiente kV 2 de la vlvula si el caudal que circula es de 300 l/min.


48

a) Determinacin de H. Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.

s/m83.2v10x754

60750.0

vD

4

QvAQvAvQ

232


4

3

10x04.2R

9810.0

81.996010x75x83.2

Rg

DvR

Determinacin de la rugosidad relativa.

0006.0Dcm5.7

cm046.0D


Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

mfB

2BB

A

2AA hhz

g2vpz

g2vp

m83.11Hg2

83.2155.081.9x2

83.2075.000.610278.0000H00

22


49

b) Determinacin del coeficiente kV de la vlvula para un caudal Q = 300 l/min. Determinacin de la velocidad segn la ecuacin de continuidad.

s/m13.1v10x754

60300.0

vD

4

QvAQvAvQ

232


3

3

10x14.8R

9810.0

81.996010x75x83.2

Rg

DvR



mfB

2BB

A

2AA hhz

g2vpz

g2vp

m153kg2

83.21k5.081.9x2

13.1075.000.610278.000089.1100 V

2

V

2


50

Determinacin de la altura de bombeo HB.

m86.23H1000

100000.220

70x75HQ

P75H75

HQP BBBBCV

Determinacin de las velocidades.

s/m38.1v45.04

1000220

vD

4

QvAQvAvQ

221

11

111

s/m11.3v30.04

1000220

vD

4

QvAQvAvQ

222

22

222

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:

mfD2

DDBA

2AA hhz

g2vpHz

g2vp

Problema F.II-2.06 Si la bomba BC de la figura transfiere al fluido 70.00 CV cuando el caudal de agua a 15 C es de 220 l/s. Si f1 = 0.030; f2 = 0.020; L1 = 600.00 m; L2 = 120.00 m; D1 = 45 cm; D1 = 30 cm; se pide:

a) La cota del tanque D. b) Las rugosidades de las tuberas. c) Presin, en kg/cm2, en la entrada de la bomba. d) Presin, en kg/cm2, en la salida de la bomba.


51

81.9x211.31

81.9x238.14.0

81.9x211.3

45.000.120020.0

81.9x238.1

45.000.6030.0z86.2300.6

2222

D

zD = 21.51 m

Determinacin de las rugosidades de las tuberas.

005.0D

Moody0030.0fy10.6245x38.1cmDxs/mvcon1

111

001.0D

Moody020.0fy30.9330x11.3cmDxs/mvcon1

222

cm225.045x005.0005.0D 111

1

cm030.030x001.0001.0D 112

2

Determinacin de la presin en la entrada de la bomba (punto B) Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

mBAfB

2BB

A

2AA hhz

g2vpz

g2vp

81.9x238.14.0

81.9x238.1

45.000.600030.000.3

81.9x238.1p00.600

222B

4B

2BB

B 10x1020pm/kg1020p1000x02.1p02.1p

2B cm/kg102.0p


52

Determinacin de la presin en la salida de la bomba (punto C) Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y C se tiene:

mCAfC

2CC

BA

2AA hhz

g2vp

Hzg2

vp

81.9x238.14.0

81.9x238.1

45.000.600030.000.3

81.9x211.3p86.2300.600

222C

4C

2CC

C 10x22450pm/kg22450p1000x45.22p45.22p

2C cm/kg245.2p


Problema F.II-2.07 Una turbina se encuentra instalada como se muestra en el esquema si el dimetro de la tubera es D = 60 cm y el coeficiente de friccin es f = 0.020, despreciando las prdidas menores, determinar:

a) Una expresin para la altura consumida por la turbina HT en funcin del caudal Q. b) Una expresin para la potencia consumida por la turbina en funcin del caudal. c) Tabular y graficar la expresin anterior. d) El caudal para que la potencia sea mxima. e) La potencia mxima. f) El caudal para cuando la turbina consume una potencia de 530 CV. g) Dibujar la lnea de energa. h) El caudal cuando no existe turbina (es decir; HT = 0 y P = 0)


53

BAfTB

2BB

A

2AA hHz

g2vpz

g2vp

sustituyendo los valores numricos y la expresin de HT y las prdidas se tiene:

81.9x2

60.0Q4

60.000.61000.610020.0H00.300000.10600

2

2

T

2T

2

2

T Q95.2576H81.9x260.0Q4

60.000.1220020.076H

Determinacin de la potencia consumida por la turbina P. 32T

CV Q346Q1013P75Q95.25761000QP

75HQP

Q

(m3/s) P

(CV) 0.0 0.00 0.1 100.95 0.2 199.83 0.3 294.56 0.4 383.06 0.5 463.25 0.6 533.06 0.7 590.42 0.8 633.25 0.9 659.47 1.0 667.00 1.1 653.77 1.2 617.71 1.3 556.74 1.4 468.78 1.5 351.75 1.6 203.58 1.7 22.20 1.71 0.00


54

Determinacin del caudal para que la potencia sea mxima. 0Q346x310130

QdQ346Q1013d0

QdPd 23

s/m99.0Q346x3

1013Q 32/1

como se evidencias en el grfico anterior. Determinacin de la potencia mxima. La potencia mxima ocurre para Q = 0.99 m3/s y es:

CV15.667P99.0x34699.0x1013PQ346Q1013P 33

como se evidencia en el grfico anterior. Determinacin del caudal cuando P = 530 CV.

33 Q346Q1013530Q346Q1013P

0530Q1013Q0Q346 23 la ecuacin anterior tiene como solucin:


55

)negativo(929.1Q596.0Q340.1Q 321 como se evidencia en el grfico anterior. Solucin a.

CV530Pm40.29H340.1x95.2576Hs/m340.1QPara T2

T3

1

Solucin b.

CV530Pm78.66H596.0x95.2576Hs/m596.0QPara T2

T3

El caudal cuando no existe turbina, es decir para P = 0

En la expresin de la potencia se tiene:

00Q1013Q0Q346Q346Q10130Q346Q1013P 2333 la ecuacin anterior tiene como solucin: )negativo(71.1Q71.1Q00.0Q 321


56

como se evidencia en el grfico anterior. Este valor se pudo haber obtenido aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos A y B cuando no existe turbina. Lo recomendable desde el punto de vista prctico relacionado con el consumo de agua es que el caudal este comprendido entre Q = 0.00 m3/s y Q = 0.99 m3/s, la utilizacin de caudales mayores implica mayor consumo de agua obteniendo la misma potencia.

Determinacin de las longitudes de las tuberas.

m64.21L45sen

20.1350.28LL

z45sen BABABA

m49.8L45sen20.1320.19L

Lz45sen CBBACB

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y C se tiene:

mfC

2CC

1

211 hhz

g2vp

zg2

vp

81.9x2

v2.05.081.9x2

v30.0

49.864.21f20.1981.9x2

v000.3000222

Problema F.II-2.08 Para el sistema de tubera que se muestra en el esquema se tiene la siguiente informacin: kA = 0.5, kB = 0.2, = 1.13 x 10-6 m2/s, = 0.12 cm, D = 30 cm Para estas condiciones se pide:

a) El caudal. b) La presin el los puntos A y B. c) Trazar la lnea de energa y la lnea piezomtrica.


57

30.013.30f7.1

20.1900.3081.9x2v20.1900.3030.013.30f2.05.01

81.9x2v2

f43.1007.155.14v

la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y este a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa /D, segn se observa en el diagrama de Moody. Determinacin de nmero de Reynolds.

v10x65.2R10x13.130.0vRDvR 66

Determinacin de la rugosidad relativa:

004.0Dcm30

cm12.0D


f (supuesto) f43.1007.155.14v v10x65.2R

6 f (Moody)

0.028 6.86 1.8 x 106 0.0284

0.0284 6.83 1.8 x 106 0.0284

la velocidad es v = 6.83 m/s por lo tanto el caudal es:


58

s/m483.0Q30.04

83.6QD4

vQAvQ 322

Determinacin de la presin en el punto A (inmediatamente al inicio de la tubera).

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y A se tiene:

g2v5.0z

g2vpz00hz

g2vpz

g2vp 2A

A

2AA

1mA

2AA

1

211

2

A

22A m/kg2066p

g283.65.050.28

81.9x283.6

1000p00.3000

Determinacin de la presin en el punto B (inmediatamente antes de B).

Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene:

g2v5.0hz

g2vpz00hhz

g2vpz

g2vp 2B

fB

2BB

1mfB

2BB

1

211

g283.65.0

81.9x283.6

30.064.210284.020.13

81.9x283.6

1000p00.3000

222B

2

B m/kg8360p Determinacin de las prdidas concentradas.

Prdida menor en el punto A m19.1h81.9x2

83.65.0hg2

vkh A2

A

2

AA

Prdida menor en el punto B m48.0h81.9x2

83.62.0hg2

vkh A2

A

2

BA Determinacin de la prdida de energa entre los puntos A y B.

m87.4h81.9x2

83.630.064.210284.0h BAf

2

f Determinacin de la prdida de energa entre los puntos B y C.

m91.1h81.9x2

83.630.049.80284.0h CBf

2

f


59

Cotas de la lnea de energa. Cota al inicio de la tubera, en el punto A CLE A = 30.00 prdida en la entrada CLE A = 30.00 1.19 = 28.81 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE A = 28.81 prdida hf AB CLE A = 28.81 4.87 = 23.94 m Cota en el codo, inmediatamente despus del punto B CLE A = 23.94 prdida en el codo CLE A = 23.94 0.48 = 23.46 m Cota final de la tubera, en el punto C CLE C = 23.46 prdida hf B C CLE A = 23.46 1.91 = 21.55 m Cotas de la lnea piezomtrica. Cota al inicio de la tubera, en el punto A CLE A = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE A = 28.81 2.38 = 26.43 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE B = 23.94 2.38 = 21.56 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE A = 23.46 2.38 = 21.08 m Cota final de la tubera, en el punto C CLE C = cota de la lnea de energa la altura de velocidad CLE C = 21.55 2.38 19.20 m con estos valores se dibuja la lnea de energa total y la lnea piezomtrica como se indica en el siguiente esquema:


60

Determinacin del caudal para la vlvula totalmente abierta. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:

mf2

222

1

211 hhz

g2vpz

g2vp

81.9x2v12.09.09.05.0

81.9x2v

10.000.300.700.4f00.10000.102

22

Problema F.II-2.09 Por el sistema de tuberas de acero comercial de 10 cm de dimetro circula agua con una viscosidad cinemtica = 1.3 x 10-6 m2/s, adicionalmente se tiene la siguiente informacin: L1 = 4.00 m, L2 = 3.00 m, L3 = 7.00 m, k1 = 0.5, k2 = 0.9, k3 = 1.0 Para estas condiciones hallar el coeficiente de prdida kV de la vlvula parcialmente cerrada que se necesita para reducir en un 50 % el caudal correspondiente a la vlvula totalmente abierta (kV totalmente abierta 0.20).


61

10.014f5.3

00.10000.10281.9x2v0.10000.10210.000.14f5.3

81.9x2v2

f1405.326.6v

la velocidad v depende del coeficiente de friccin f y este a su vez depende del nmero de Reynolds R y de la rugosidad relativa /D, segn se observa en el diagrama de Moody. Determinacin de nmero de Reynolds.

v10x69.7R10x3.110.0vRDvR 46

Determinacin de la rugosidad relativa: En el diagrama de Moody se encuentra = 0.0046 cm

0005.0Dcm10

cm0046.0D


f (supuesto) f1405.326.6v v10x69.7R

4 f (Moody)

0.017 2.58 1.98 x 105 0.019

0.019 2.52 1.99 x 106 0.019 la velocidad es v = 2.52 m/s por lo tanto el caudal es:


62

s/m020.0Q10.04

52.2QD4

vQAvQ 322

Determinacin de kV para cuando el caudal es 50 % del caudal inicial.

s/m010.0Q020.0x50.0QQ50.0QQ%50Q 3inicialinicial Determinacin de la velocidad media.

s/m27.1v10.0

4

010.0vD

4

QvAvQ22


46 10x80.9R10x3.1

10.0x27.1RDvR con /D = 0.0005 y R = 9.80 x 104 se encuentra en el diagrama de Moddy f = 0.0205, segn se muestra en el siguiente esquema:

El valor de k se puede determinar a partir de la expresin de la velocidad en funcin de kV

13.18k0205.0x140k3.3

26.627.1f140k3.3

26.6v VVV

Problema F.II-2.10 Dos depsitos contienen agua a 15 C y estn conectados mediante tres tuberas de acero comercial unidas en serie. Para un caudal de 90.00 lps determinar el desnivel entre los dos depsitos. Adicionalmente se dispone de la siguiente informacin: Tramo 1: L1 = 300.00 m D1 = 20.00 cm Tramo 2: L2 = 360.00 m D2 = 30.00 cm Tramo 3: L3 = 1200.00 m D3 = 45.00 cm


63

Para agua a 21 C se encuentra en la tabla de propiedades fsicas del agua s/m10x975.0 26 Para tubera de acero comercial se encuentra en el diagrama de Moody = 0.0046 cm Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:

mf2

222

1

211 hhz

g2vpz

g2vp

llegada2exp1expent3f2f1f21 hhhhhhhz00z00

g2

vk

g2vv

g2vv

g2vk

g2v

DL

fg2

vDLf

g2v

DLfH

23

2

232

221

21

1

23

3

33

22

2

22

21

1

11

Determinacin de las velocidades, los nmeros de Reynolds, la rugosidad relativa y el coeficiente de friccin en los diferentes tramos de tuberas.

Tramo

Velocidad

2D4

Qv

Reynolds

DvR

Rugosidad relativa

D

f Obtenido del diagrama de

Moody

1 2.86 5.86 x 105 0.00023 0.0155

2 1.27 3.90 x 105 0.00015 0.0155

3 0.57 2.60 x 105 0.00010 0.0160


64

81.9x2

57.00.181.9x257.027.1

81.9x227.186.2

81.9x286.25.0

81.9x257.0

45.000.12000160.0

81.9x227.1

30.000.3600155.0

81.9x286.2

20.000.3000155.0H

2222

222

m31.12H

Condicin inicial.

Problema F.II-2.11 La diferencia de nivel entre la superficie de un embalse y la superficie de un tanque elevado de suministro de agua a una ciudad es de 152.00 m y la distancia entre ellos LT = 48.3 km. Los depsitos estaban originalmente conectados cun una tubera diseada para transportar 265.00 l/s. Tiempo despus fue necesario aumentar el caudal a 370.00 l/s por lo que se decidi colocar otra tubera del mismo dimetro en paralelo con la anterior en una parte de su longitud conectndolas en un determinando punto. Considerar f = 0.007 para todas la tubeas Para estas condiciones se pide:

a) El dimetro para la condicin inicial. b) La longitud de tubera, del mismo dimetro, necesaria para aumentar el caudal

hasta 370.00 l/s


65

Determinacin del dimetro para la condicin inicial. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) se tiene:

g2DQ4

DLf00z00zhp

g2vzp

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