\' , , M,VENE T.BOGOSLA vav ZBIRKA v RESENIH ZADATAKA IZMATEMATlKE 1 DVAOESET OSMO IWANJE ZA VODZA uD1BENID I NASTAVNA SREDSTVA. BEOGRAD 2IlO1 R , ~ n : ' n ( S\lctOUf Branko\It, profeso( Pete bcogradskegimnazije,Beograd U"d"lk t.arko Jovit Glavnll odgQVDfnl urtdniil 4r Ptllr Pijlnovic ZllI::daYata prof. dlDobrOJu Bjtlclic. direklor S ljllbavljll u,lIlku Jovanu 4 PREDGOVOR OSAMNAESTOMIZDANJU Prvo izdaly'e ove zbirke izaJ/o j e ;z slampe sepfembra1970. godine.Napisano je premonostal/l1omprogramuma/ema/ikezaIrazred gimllGzije(deoko);s e odnosi 170algebru). TrinaeSIOicelrnoeSloizdanjejeizmenjenoidoplIlljenopoglavljima: o skupovima, Malemalicka logika ; Kombill fl torika. U petnaesto izdanje 511uneNodredeni saddo); iz geomelrije. Ova,osamnaesla izdonje prilagodeno j e novom nostavnom planll i programll iz rna/em a/ike prirodno-matemalickog smera gimnazije. Dopunjeno je saJ28 novihzadafoka,po se znall10razlikujead prelilodnih izdanja. Recenzentu allog adonja, Svetozaru Bronkovicli. profesoru ..Pele beogradske gimnazije H uBeogradu,zahvaljujemnopailjivomcilanjunlkopisai pomoCiII izbonl zadalaka iz skupova i kambinatorike. PoId in; se zadoci IIovoj zbirci mogllpodelili na dye grupe:lakS;; s rednji (80%)i lei; (20%) .Tei; zadaci su oZl1aceni zvezdicom. Zahvalju}em svoj oj suprozi Nadeidi.koja mi je pomogla 11 pripremi i sreilivanju rukopisa. Beograd.septembra/ 992. godilleAUTOR PREDGOVOR XXIll DOPUNJENOMIZDANJU Ovo.dvadeseli/reeeizdanjedopunjenoje sa 293novazada/ka.Usvako poglavljedodat je izveslanbroj novihzada/aka.Znatne promel1eiZ\lrSeneSli11poglavljima:Realn; broj evi. Podudarnost i slicnDst geometrijskihjigllra. So Dvim dopunama.autor se nada da ce se kvalilel knjige znafno poboljsali. 25.avgust / 995.godineAUTOR PREDGOVOR XXVIDOPUNJENOMIZDANJU Ovo,dvadesetisestoizdanjedopunjeno j esa409novihzadataka.Svako poglavlje dopunjeno j enovim zadacima. /zveslonbrajnovih zodo/akase prvi PilI javljoju IImalematickoj Ii/eraluri. Oni Sllrezultat ce/rdeselogodi.fnjenaslavne prakse aulora.Sa ovimdopllnama. aulor se nada. daje kvalilel zbirke znatno poboljsan.Da Ii j e Qulor u pravu.sud ce dati buduci korisnici zbirke. 7. juni 1999. godin.AUTOR PREGLED SIMBOLAIOZNAKE {.... } N Z Q R E (sAr; b) (tp:::;.q):;. s )o s/\ t) vpl, c)(q"s) .. p) .. (s I);d)((sM)"(pV q0( I0 0rll II 15.Datisuiskazi: a) a:;4x'/ )':(2x' y )'= 2x' y' , x,y EQ); b)b :; 3x'y' )' :(3x' y )'=x,y EQ); c) c :; 4/+ 2x'- 4xy - 2x' + 5y' ) = =:cy' + 14x'y-lOx'y' + 4x'+ 20 y', x, y E d)d :; ( lOx' y' (O,O16 + 0,4 y ' ) - - 0,4xy )- = "E Q=16x- y - ,x. y... . Odreditinj ihoveistinit osnevrednosti , panaosnovu loga odredltlIS-tinitosnevrednostisledecihiskaza: a)(a '"c) Vb)b) '" d A (a '" c)b d))V c). 16.IspitalidaIi je iskaznaformul a A = pV q) ApA z )V(qA ztaut ologija? 17.Dokazatida jelogickaformul a A =(a /ltautologija. 18.Sastavitiistinitosnetablicezasiedeceiskaze: a)(p Vq ) Vq;b)(pVq)V r ;c)pA(qAr); d)pVC qAr );e)p A (q V r );f)(p/lq )V r. 19.Odreditiistinitosnevrednostiiskaza: a)( p Vq) '" r;b)( p V q) ,., (q V r); c)(pV (q,.,d) q; t) pV (p '" g) (pv( p"'(qAr ; h) ( pV r); i)(p Ar) ( p'" ( q Ar). 20.Dokazatidasuistinitiiskazizasvevrednostipiqkoj epripadaju skupu{ T,J. }: a)(p '" q) ( pAq) (Ovajiskazmozeseuzeti za definicij uimplikacije.); b)(p'" q) A( q'" p)) p q ). (Oval iskazsemoze uzetizadefinicijuekvivalencij e.)Svakaiskaznafor-mula tacnaza sveistinitosnevrednostiiskazanihslovakoj afigurisu unjojnazivasetautoiogija. 21.Dokazatidasusledeceiskazneforrnui etautologije: 12 a) (pVq)VpV (qV r) i (p A q) ApA (qA r) (zakonasocijacijeza Vi A) ; b)( p Aq) p Vqi(p Vq) P Aq. (De Morganoviobrasci); c)p'" p(zakonrefleksivnostizaimplikaciju); d)p ,.,p(zakondvojnenegacije); e)(p Vp) p(zakonidenpotencijedisjunkcije); f)(p Ap) p(zakonidenpotencij ekonj ll nkcije); g)p /I ( q V r) ( p Aq) V ( p /I r ) (zakondistributivnostiApremaA); h)pV ( qA r ) (p Vq)A ( p V r)(zakondistributivnostiVprema /I): k)p'" q)'" ( q '" r )),.,p '" r(zakontranzitivnostiimpli kacijc), I)p V(p Aq) p(zakonapsorpcije - gutanj a- Vprema/l); h)r ). 1.2.Osnovneskupovneoperacij e 1.Skupj eosnovnipojamumatematici.Usvajasebezdefin icijeu logickomsmislutereci.Cestoseumestoskupkaic:rnnozina.mnoStvo. kolekcij a. 2.Relacij aclanstva. Neka jc SdatiSkllP, a p jedan objekat iz kol ekcij e S, tj . p j e clan skupa Spise se simbolicki pE S. Negacijom, relacijap ES postaj ep $.S,StoznacipnijeclementS.ZnakEpot ice oditalijanskog matemati caraG.Peano( 1850- 1932),teserelacij aelanstvatestonOLiva Peanovareiacij a. 3.Podskup skupa (Relacij a "biti dec od "). Ako su A i 8dva skupa, pa jC svaki element skupa A istovremenoi element skupa 8 . onda sekau da je A decodBiIipodskupodBiIi"paree"odBipiseseA BiIiB:2A. Simbilicki "'J Ovarel acij asecestonazivaKantorovarelacijapovelikomnemackom matemati caruG.Cantoru( 1845-1 918). 4.Presekskupova.Presek(zajednickideo)datihskupovajCskup sastavljenodonihisarnoonihelemenat akoj ipnpadajuSVtmdaum skupovima.Simboli ckizadvaskupa: "'J AAx E B}. 5.Unijaskupova.Podunijom(zdruzivanjem,spojemillzblrom) skupovapodrazumevamoskupkojijesastavlj encdol1lhi'amoonth eiemenatakoj ipri padaj ubar jednomodzadanihskupoa.Imbolicklza dvaskupa: "'I A V x E B}. 6.Razlika dvaskupa. RazlikadvaskupaA i B u oznaciA \ B je :kup. ciji su elementi, sarno oni elementi skupa A. koji ne pripadajukupu BOva definicijasimbolicki : ,/,/{} A \ B LxOy = LzOI. MA K N B c L Slika 2. Ovauporednauglaseodnosekao4: 5.Odreditioveugloveuste-penima. Ostarugaoaisestinanj emuuporednoguglasukomplementni uglovi.Izracunatiugaoa. Upramenupravih a,b,e,d sacentrom S,prava a je normalnanab, pravaej enormalnanad.Odreditiuglove:a =LaSe,{1=LbSdi y = LaSd,ako je ugaox = LeSb cetiripetineuglay= LeSa. Izracunati zbir dva ugl a, koji su suplementni, sa dva komplementna ugl a. Izracunatiugaokoji je suplementansvojojsedmini. TackomMprave AB konstruisane su dYepolupraveMCiMD,tako da JeugaoAMC =54,augaoCMDiznosipolovinuuglaAMG. Izraeunatiugao DME. Na pravojpdataje tacka O. Poluprave Oa i Ob su sa iste strane prave pigrade sa njom jednake uglove,augao aOb je 40.Poluprava am normalnajenaOaipolupravaOnnormalnajenaOb.Izracunati uglovekojisapravompgradepolupraveam iOnakose: a) am i On nalazesa one stranepravepsakojesenalazeOai Ob' b) am ian ne nalaze sa iste strane prave psa koje se nalaze Oa i Ob. ' 227. 228. * 229.* 230. 231. 232. 233. 234.* 235. 236. 237. 238. 239. Prave a i b seku se u tackiO.Tacka a odreduje na pravoj a poluprave am lan,a pravoJbpolupraveOpi Oq.Ugaomap =72.Polu-pravaOr Jesllnelralall glamap, apoilipravaas jenonnalnanaOr. [zraCLlnatlugaonOs. D.vepravesekuseutackiSiobrazujueetiriugla.Zbirunakrsnih ostnhuglova Jednakj epolovinijednogodunakrsnihtupihuglova. Odredltlmernebrojevesvakogodtihuglova. Prave a i b seku sei obrazuju cetiriugla:dva 0tra a i y i dva tupa Pi O. Izracunatiteugloveakoj e7(a + y) =5(P+ 0). Razlikauglaainjemuuporednogugl ap j e36.Izraeunat iugaoy komplementansap. Na pravojpdateSLIeetiritackeA - B- C - D. Ako je AD =9 em izraeunati:' a)AB + CD;b)rastojanjeduziABi CD. Rastojanjesedistadui iodmakoj etackeizabranenaproduzetkute duzi jednaka je poluzbirurastojanja tetackeodkraj evateduE Do-kazati . Data su dvauporednauglapO" i qOr. Neka su Ox i Oy nj ihove sime-trale. a)DokazatidasuuglovipaxiyOI'komplementni ; b)Ako jeugaopOq =35,izraellnatiugao ray. Ugaokojicinesimetrala jednoguglaimakoj apolupravakonstrul-sana unutar tog uglaiz njegovog temena jednak j e polurazliciugla na koji j edatiugaopodeljentompolupravom.Dokazati . Akosesaberupolovina,cetvrtinaiosminauglaa,ondasedobija ugao suplementanuglu a. Odreditiugaokompl ementani suplemen-tanuglua. Ako su s,i S2simetrale dva uporedna ugla, tada j e s,.LS2 'Dokazati. Ako su a i {1kompl ementniuglovi,ugao x"x"x .Odreditiiuprost itirazmeru Y, :Y,:Y,:Y. Ispitatitacnost jednakostiy,: y, : y,: y.=x,: x,: x,: x, . J 375.Data je obmuta proporcionalnost formulomy= .:..lzabrativrednosti x x"x,, x,zax,tako da je x,: x,: x,= I : 3: 2. lzracunati vrednosti y"y"y,obmutoproporcionalnisaxI>x,,x" Odd .. ..IIII...dnk. reIt!Iuprostltlrazmeru- : - : - .SpllatlJea0II y ,Y2)" III.II I -:-:-= x,:x, :x,Iy,:Y2:y, =-:-:-. x, 47 4.2.Primenaproporcija Primedba.Priresavanjuzadatakaprimenomproporcij atrebaprvoutvrditi da Iisu velicine x i y direktno iiiobmuto proporcionalne. Kazemoda su x i y direktno proporeioDalne ukoliko je )' = kx, a obmuto proporei onalne ukoliko k za x iyvazi y=-. x 376.Od 66kg prediva dobije se165mtkanine . Koliko semetaratkanine dobijeod112kgprediva? 377.Zupcanikima54zupeaipravi84obrtaj auminutu.Kolikozubaca imazupcanikakopravi126obrtajaiuprenosu je saprvim? 378.Radeei dnevnopo 8 casova,21radnik za6 danaizradi720metalnih pro fila;zakoli koeedana28radnika,radeeipo7casova.izraditi I260metalnihprofila? 379.Radeei dnevno po 6 casova 40 radnika zavrsinekiposao za 20 danai za to prime ukupno192000 dinara. Koliko dana trebada radi50rad-nika akoradepo8 casovadnevno,dabiprimiliukupno160000di-nara? 1380. L. lednaprostorijaosvetljena jesa15sijalicaod60W.Kolikobisi-_jalica od 75Wdavaloistoosvetljenje? I 3111.Za14kilograma robeplaceno je 980dinara. Kolikocesekilograma robekupitiza4340dinara? 382,100norveskihkrunavredi12700 dinara.Kolikocesekrunadobiti za571500dinara? 65radnikaiskopa nekikanalza23dana.Posle15dana13radnika napustiposao.Kolikodana treba onima kojisu ostali da zavrse osta-takposla? 384.Nekiposao6radnikamozedazavrsiza5dana.Zakolikoeedana bitigotovistiposaoakoposle2danadode jos3radnika? 385.Gredaduzine3m,sirine20emidebljine100mmkosta2000di-nara.Kolikoeekostatigredaduzine4m,sirine30emidebljine 110mm? 386.Ododredenekolicinebakramozeseizvaljati10tabliduzine2m, irine1,5m debljine 2mm.Koliko setabli, duiine1,2m,sirine 0,5m i debljine4mmmoZeizvaljatiodistekolil!inebakra? 48 4.3.Racunrasp odeleimesanja Primed ba.Resavanjezadatakai zracunaraspodeleimesanjasesvodina resavanj elinearni hj ednacinaii inaresavanjesistemastojedetaljno pokazanouresenj imazadataka. 387.Dvaradnikatrebadapodelepremij uod270000dinarasrazmemo svoj imzaradama,kojeiznose650i700dinarapojednomradnom casu.Kojidecpremijepripadasvakomradniku? 388.l edanposaosuuzelauakord3radnikaizaradi la246000dinara. Prvi radni k j eradi o15 dana po6 casova, drugi9 danapo8 casova. a treei12danapo7casova.Koj i deozaradepripadasvakomradniku? 389,Podelitiduzod456mnatridelacijeeeduzinebitiredompropor-.l b"29 .7 clonaneroJevlma-, - I-. 3812 390.l ednavrstamesingajelegurabakra,einkai olova,legi ranihpor8-zmeri65: 34 : 3.Koli koimasvakog metal aubloku mesinga tdine 456kg? 391.Sumu od728000 dinflrapodeli tinatTiliea lako da svako sledece do-bij e20%viseodpretbodnlDg. 392.Izpreostaledobitinaslobodnomrasprolaganjupreduzeeepodt:!1 1386000 dinarana 2 1 visokokvali fikovanog,63kvalifikovana i126 nekvalifi kovanihradnikapokljucu12:8:5.Odreditipojedinacnu dobitsvakogradnikaizovetrikategorije. 393. 394. 395. 396. 397. Drvena gredapodelj ena je porazmeli5 : 3.Veeideoimaduiinu1.5m Odreditiduiinueelegrede. Trielektri cna otporavezanau serijistojeurazrneri2 : 3: 7.Ukupan otpor j e24oma.Koli kisupojediniotpori? Fabrikaima4pogona.Promet pogonaAiznosi 8000 000 dinaraza 5 meseci,pogona B12 000 000 dinara za7 meseci , pogoDa C 5 000 000 dinaraza6mesecii pogona.03000 000 dinara za10mesee!.Kako treba rasporeditiostvarenu dobit od5 520000 dinara napojedine po-gone,srazmernoprometuivremenu? Kolikovodetemperature40Civodetemperature25Ctrebapo-mesatidasedobije90litaravodetemperature30C? M1inskopreduzeeeimadYevrstebraSna,cd720i cd0 .dinIkg. Kolikotrebauzeticd svake da se doblJemclavmatetineI_00kg cijabieenabila640din.pbkil ogramu?

398. 399. 400. 401. 402. 403. 404. Jedanzlatarmesasrebrotinoee600%0 i srebrotinoee900%0-aobija 600g fi noee 850%0. Kol iko grama srebratrebauzetifinoee600%0,a kolikosrebrafinoee900%0? Kolikotrebauzetisumpomeki selinc j acine52,akoliko j acine88% dasedobijemesavinaod144litra, jacine72%? Akosepomesaju6kgsumpornekiseline jaCine0,45i14kg jaeinc 0,75,odreditijacinumdavine. Koliko zlata finoee 900%0i zlata finoee 600%0treba legiratida se do-bije30kgzlatafinoee800%0? Cistvazduh je smesaazota(78%)ikiseonika(21 %),aostal ocine nekiretkigasovi .Koli koimasvakogsastojkau546I vazduha? Tri paralelno spojena elektricnaotpora stoje u razmeriI: 2: 5.Uku-panotpor je10oma.Izracunatipojedineotpore. Vinar hoee da pomesa savodom 450 I vina koj e prodaje poI100din. Koliko litara vode mora sipati da bilitar mesavine prodavao po900 din? 4.4.Procentniipromilniraeun Primedba.Uprocentnomraeunupojavljujusetripromenljivevelicine:p procenat,Gosnovnavrednostiiiglavnicai Pprocentniiznosiiiprinosi stalna velicina100(procentniraeun)iI000(promilniraeun).Uzadacima glavnica se pojavljuje: 1. Kao cista glavnica G - procentniraeun do sto. P:p= G: 100; 2. Kao uveeana glavnica (G + P)- procentni racunna sto. P:p=(G+P):(IOO+ p); 3. Kao umanjena glavnica (G - P) - procentniraeunusto. P : p =(G - P) : ( 100 - p). 405.Izracunati15% rabataod55400dinara. 406.Sa 6% zarade robaje prodata zaI 272 000 dinara.Kolikaje nabavna cenarobe? 407.Robaje sa5% gubitka prodata za 212135dinara.Odreditinabavnu cenurobe. 408.Amortizacionifondpreduzecapovecan je od5620000dinarana 5844800dinara.Koliko je poveejlIJjeuprocentima? so 409. 410. 411 . 412. 415. Na dobruubranoje13540vagonakuku-luza.Posle susenJatezlnaIstogkukuruza je opalana10832vagona Kohko Jetouprocentima? Stof)e poj eftini o 12%,0. za840dinaraprodajesejevtimje. Izracunatlkoll ko Jestof kostaopre,akolikoposlepojefiinjcnja? Norma je prebacenaza22%i proizvedeno je 89060 jedinicaprol-zvoda.lzracunatinonnu. Zaj ednosapoveeanjem od16%trgovina j eprimila7..aprodaturobu 371200dlnara.Kohko Jepoveeanje? Naprodajirobebio j e gubitak6%.Akojerobaprodataza376000 dlnara,izracunatikoli kokostaroba. oodbitku12%provizij eprimlj eno je 4224000dinara.Kolika je provizija? Kaputjekostaoprepoj eninjenja160000dinara,asadakosta146 160dinara.Zakoli koj eprocenatacenasnizena? 416.Robijesni zenacenaza20%i sadaiznosi4640dinara.KolikaJe bilastaracena? 417.Preduzeeeplanira dobitod2 542 000dinara.a ostvari2 389480 di-nara.Kolika j eu procentimaostvarenadobit? 418.Nagradaradni kupo j ednom casu od6500dinaraporastena7 020 dinara.Koliko je touproccntima? 419.Priobradigvozdenogprotil a orpadak iznosi 2,76kg. a u procentima 8%.Kolika j etd inaprotilapreobrade? 420.Sa 4%troskovaza robuje pl aeeno128960 dinara. Kolikaje bila ku-povnacenarobe,akolikojebilotroskova? 421.Sa povisenjem15%, nagradaradnika je2875di nara. Koliko je pri-maopo jednomcasu prepovisenja? 422.Uzmarzuod15%, jedanmetar stofaprodaje sepo5980dinara Koli kaje nabavnacena? 423.Sa5%vlagehektolitarska tezinazita je 84kg.Kolika je hektolitar-skatezinazitaposlesusenj aakoprocenatvlageostane2.5%? transportllpovree kalira 8%,tako dasada tezi10040 kg. Kohko ki logramapovreakuplj eno? 425.Na jednomkrosu1Itokutrke otpalo je15%,tesunaciljstigla102 ucesnika.Koliko je ucesnikastanovalo? 51 426. 427. 428. 429. 430. 431. 432. 433. 434. 435. 436. PI;kupovinirobezagotovodobij asepopustod2, 5%.Akoj ena racunu14040dinara. Kolikajeprodajnacenarobe? Sagubitkomod2%,trgovinskopreduzeeeproda15400kgpovrcaza 452 760 di oara.Kolikaje bila kupovna cenajednog ki lograma povrea? Odrediti8 2.%0 od3246000dinara. 8 Posredni cka provi zij aiznosi 636 dinara. aracunat a j e od 424000di-nara.Odredi tipromilnustopu. Provizija7%0 iwosi602dinara.Odkoj e je sumeracunat a? Troskovisuopteretilirobusa17%0,takodarobakosta292896di-nara.Kolikoiznosetroskovi? Sa2%0provizij eroba jell stllpljenazaI251999dinara.Kolikaj e bilakupovnacenarobe? DaIiee se promenitipovrsina pravollgaonikaizakoliko(uprocen-tima)akomuseduzinapoveeaza30%,asirinasmanjiza30%? l ednaknji ga j e za25%skuplj aod drugeknj ige. Za kolikoprocenata jedrugaknjiga jeftinij aodprveknji ge? Cena nekojrobipoveeana j e za50%. Za koliko procenata nOVllcenu trebasmanjitidabisevratilioaslarucenu? Nakontrolnojpismenojvezbibila su datatrizadatka.Prilome12% ucenikanijeresilonijedanzadatak,32%ucenikaresilo j e j edaniI i dva zadalka, dokj e14ucenika resilosva trizadatka. Koliko je ukup-nouceoikaradilovezbu'! 4.5.Kamatniracnn Primedba.Ako je Klllog(kapita!),pkamatnastopa,/kamata,Ivremeu godinama, m vreme u mesecima, dvreme udanima, tada je: / = Kpl.I= Kpm ./=Kpd. 100'1200'36000 437.Stedisa je ulozio540000dinaranastednju sa 7,5%kamatnestope. Kolikoeekamatedobitistedisaposle4godine? 438.Koliko kamate donosiulog od108000 dinara, po 8%kamatnestope za 4meseca? 439.Kolika jekamatanadugod75000dinarasa6%za80dana? 52 440. 441. 442. 443. 444. 445. 446. 447. 448. 449. 450. Kamalllas topanaulogorocenoa6mescciiznosi75%KoliklJC ul ogako JenakraJuobracunato45000di narakamale? Sakoj ol11kamalnomstopomul ogod540000dinaradon!'lABC ==!'lAIBI CI. 2.Stav USU: LA =LAI IIAB =AIBIIILB =LBI=>!'lABC ==!'lA,BICI. 3 ..Stav SSS: AB = AIBIIIBC =BICIIICA =CI AI =>!'lABC ==!'lAIBICI. 4.Stav SSU: AB =AIBIII AC =AICI II LC =LCI IIAB > AC =>!'lABC ==!'lAIBIC, . 451. 452. 453. 454. 54 OznacimostranicetrouglaABCsa:BC =a,AC =biAB =c, naspramneuglovesaa, f3iY,odgovaraJ'ucevisinesahhihi ,(/ ,hc simetrale uglova sa sa' Si s y Dokazati da su trouglovi ABC i A,BICI podudami kada suimjednaki sledeci odgovaraju6ielementi(451-453): a)a =a" b =bl ih,=b) a = ai' C = ci ih,= h b. , a) a =aC =cit=t.b) c =ch=hit =t I'1CC'J'I'CCt CCI a)b=b"sy = s"iY=YI;b)c=c"a=al

Dokazati da su dva jednakokraka trougla podudama kada suim jed-nakielementi(aosnovica, bkrak jednakokrakog trougla):. a)a=a"hb =h,,;b)b=bl'Y=YI;c)a=a"hu =hu,. 455. 456. 457. 458. 459. 460. 461. 462. 463. 464. 465. 466. 467. Dokazatidasll dvapravouglatrollgla podudamakadasuimjednaki elementl(aI b katete, chi potenllzaa)a=alib=b,;b)a =a,a=a'c)b=bC=C' 'I'I'\ " TrougloviABCiA,BICI supodudarniakosuD i Dunutrasnj e Tacke strani ceABiAIBI(A -D - B,A,-D,- B,) i'akoje LBCD ==LB,C,D,.DokazatidajeAD ==AID, . Navisin.iCD koj aodgovaraosnoviciABjednakokrakogtrougla ABCuocena JetackaM,koja jespojena satemenimaA i B. Doka-zatldaSlltrougl oviAMC i BMCpodudami . Dokazatida Slltrouglovi ABC i ABCpodudami ako su imJ'ednake ..I1I VISlne CD= CID" uglovi LCAD =CI AIDi LCED =LCBD IIII" Dokazatida su trollglovi ABC i AlBIC,podudamiako su im jednake visme CD =CIDI iduziAD =A Di BD= BD III\. Dvajednakostranicnatrouglasupodudamaakosuimjednake vi sine.Dokazati . Dvatrouglasupodudamaakosuimjednakepojednasrranica. vis inaimedij ane,kojeodgovaraj utimstrani cama.Dokazati . Ako je prava s simetrala duziAB i M Es, tada je AM =ME.Dokazati . Ako je poluprava D.,si metralaugla xDy,tackaME 5,tackaA EDx, BE Dy,MA.1DxiME1.Dytada jeMA=ME.Dokazati. Trougao je jednakokraki akoi samo ako su mu dYeteZisneIinije jed nake.Dokazati . Usvakom jednakokrakomtrouglujednakesu: a)visinekojeodgovarajukracima;b)tezisneduzikojeodgovaraju., kracima.Dokazati.Primenompodudamostitrouglova izracunatisirinurekeABako j e BC =CD,L1 =L2 =90. Posma-traekojisenalaziutaekiE vidida tackeAi Cpripadajuistojpravoj, a DE = 70 m(sl.3). B ''\' 513E Datasudvapodudamatrougla.Dokazati: a)njihove odgovarajuce tezisne duzi sujednake; b)njihoveodgovarajuce visine su jednake; c)njihove odgovarajuce si metraleunutraSnjihuglova su jednake. 55 468.UtrougluABCsU'anicaBC + 2AC,konstrui sanajemedijanaAD. TackaE j esrediste duzi DC,aK duziAC. Presek duziAE i DK jetackaO.Dokazati: a)TrougaoADO je j ednakokrak i; b)ADj esimetralauglaBAE. 469.Oatjejednakosu'ani cantrougaoABC.Naproduzeci mastranica AB, BC,CAkonsrruisanisuodgovarajuciodsecciBC, = AB, CA,=BC,AB, = CA. a)Ookazatida je trougaoA, B,C,j ednakostranican; b)Ako j e PpresekpravihA, Bi C, A,tackaQ presekpravihC, Ai B, CitackaR presekpravihA, Bi B,C.Ookazatida j etrougao PQR takodej ednakos tranican. 470.UostrouglomtrougluABCtackeC, ,A"B,susredi staredom stranicaAB, BC,AC.TackaHj epodnozjevisinekonstruisaneiz temenaA. a)Kakav j ecervorougaoB, C, A,H? b) Prave AA,iB,C, seku se u tacki K, . Ookazatidaj e KB, = KC,; c)trouglovaABCiA,B,C,sepoklapaju.Ookazati . 471.AkosukraciBAi CAj ednakokrakogtrougl aBACproduienapreko vrhaAtakodajeAE = AF,tadaj eFB= EC( F EAC,E EAB). Ookazati . 472.Pocev od dva suprotnatemena rombakonstrui su sena svaku strani cu jednakeduzi.Cetvorougaokojinatajnacinnastaj e j epravougaonik. Dokazati . 473.Ookazatidasudvatrapezapodudama akosuim j ednake osnovicei dijagonale. 474.Ova jednakokrakatrapezasupodudama akosuim jednakeosnovice ivisine. 475.*Oat je ,ParalelogramABCDipravapkojasaparalelogramornima sarnoJednuzajednickutackuitojetemeD.NekasuA' ,B' , C' podnozjanormalakonstruisanihizA, B, Cnapravup. Dokazatida je AA' + CC' = BB'. 476.Oat je jednakokrakitrougaoABCipravaIkoja je norma Inanaos-novicuAB.AkopravaIsecejedankrakutackiM ,aproduzetak drugogkrakauN, tad a je trougaoMNC jednakokrak.Dokazati. 477.*Oat je jednakostranicantrougaoABC.SvakaodstranicaAB. BC, CA,produzenajeprekoternenaB,C, Azaduzdtakodaje BM = CN= AP = d.Ookazati da je trougaoMNPtakode j ednakos-tranican. 56 478. du trouglllABCbi lokojaduz jednako jeudaljenaoddruga vatemell a.Ookazat!. 479.* Oat j e j ednakokrakitrougaoABC savrhomuA '"B 480. 481.* 482.* 483.* 484.* 485. 486. 487. 488. 489. 490. 491. .k ''V1SIIlomBAko su,z m a.oJelacke Dosnovice BC konstrllisu: DE l.AB i D/i. tada Jezb, r BE + CFslalani J'ednak CB0k '', , .0azal!. U j ednakokrakom/:;ABC simetralakraka BCsece produienu 0no-VICUAButack,D.NapravOJ CDkonstruisan je odsecak CE = DA D - C- E. Dokazat i:' 10 trougao DBC je jednakokraki' 20 trougaoDBEj etakodej ednakokraki. UA Bc,Dtacke FiE susredistanaspramnihstranica AB, CD. Odsecc,AE, FCdeledijagonalllBDnatriJednakadela. Ookazat!. U j e.dnakokrakomtrouglu ABC simetralakrakaBC sece osnovicUAB u tack, D, takoda JeA - D- B. Kada je na duzi CDracka E lakva da JeCE= AD, C- D- E, dokazat idaje: 10 rrougaoDBC j ednakokraki; 20 trougao DBEj ednakokraki . Ako seiz rnakoje tackeMkojapri pada osnoviciA B jednakokrakog trougl aABCkonstrUi sunOimalneduziMDiMEnaobakraka (DEAC, E EBC),zbirovihduiijekonstantanijednakvisini trougl akojaodgovarakraku.Dokazati. Oat je trougaoABC.Nanj egovimstrani cama spolja konstruisanisu j ednakostrani cnitrouglovi ABM. BCNi ACP.Dokazatida su duii AN, BPi CM j ednake. Oznacimostrani cetrouglaABCsaBC = a,AC = biAB=', nasprarnnelI glovesaa, f3iy,odgovarajucevisinesah.h.ih, . tezisneduii saI a'I.i ' "i obimrrouglasa2s.Konstruis8titrougao ABC ako j e on zadat sledecimelemenrima (485 - 491): a)atc,' a;b)e,fJ, ' a' a)a,fJ , h. ;b)fJ,h,,,h,. a)f3,he'Ie; b)h.le,e. a) a + e,h. fJ; b) a + b, c,y. a)a +b, h., e; b)a - b, c.fJ(a > h). a) e - a, fJ , h,(e >a);b)e, I.,fJ a)2s,a, fJ ; b)s.fJ,h,. 57 492. 493. 494. Konstruisatijednakokrakitrougaoako sudatielementi(a osnovica, bkrak): b) b,h,,; c)a+b,f3; d)b-a, a,(b>a). Konsturisati j ednakostranicantrougaoakosudati: a)zbirstraniceivisine; b) razlikastraniceivisine. Konstruisati j ednakokrako-pravouglitrougaoakosudati: a)zbir krakaihipotenuze; b) razlikahipotenuzeikraka. 495.Konstruisatipravouglitrougaoakosudati : a)katetai j edanugao; b) ostar ugaoitezisnaduzkojaodgovarahipotenuzi; c)zbirkateteihipotenuzeiostarugao; d)razlikakatetaios tarugao. 496.Konstrui satikvadratakosudati: a)zbir strani ceidijagonale; b) razlikadijagonaleistranice. 497.Konstruisatipravougaonikakosudati : a)zbirstranica a + b idijagonalad; b)zbir kraeestranieeidijagonaleb + distranica a; c)dijagonaladirazlikastranica a - b (a > b); d) razlikadijagonaleimanjestranieed- biduzastranicaa. 498.Konstruisatiparalelogramakosudati: a)stranice a,b ivisinahu; b) stranica a idijagonaled,id,; c)duia straniea a,dijagonalad,iostarugao a; d) dijagonaled"d,ivisinahQ 499.KODstruisatiromb akosu dati(d,i d,su dijagonale, a- ostar ugao, h - visina, a - stranica): a) d,. a;b) d"d,; c) a,d,+ d, ;d) a,d,- d, (d,> d,). 500.KODstruisatitrapezABCD(gdesuosnoviceAB = a,CD= b,kraci BC = c,AD =divisinakojaodgovara osnovicih)akosudati : a) a,b, d, h;b) a,b, c, a; c) a,b,d"d,(d,i d, dijagonale trapeza) ; d) a - b,h,d"(a> b). 58 501. 502. 503. Konstrui satijednakokrakitrapezakosudati: a)osnovicei os tarugao; b)osnoviceidij agonala; c)zbir os novica,kraki dijagonala. KonstruisatipravouglitrapezakosudatizbirosnovicaiobediJa. gonale. Konstruisatideltoidakosudateobedij agonalei jednastranica. 5.2.Ortogonalnostpraveiravni.Ugaopravciravni Dcfinicija.pnonna. lna jenalC(p.llC) akopravapi ravan1 IInaJuzaJedntckutaeku P Ipravap Jenonnalnanasvepraveravni1koje sadrie tacku P. Kosijcvstav. Akopravapprodi reravanlCu taekiPi ako je prilomeona normalnanadvemapravama ai b,kojepripadajuravnilCi sadrZelacku P tada je prava pnonnalna na ravan lC.' Ugaoizmedupravciravni.Akopravapnijenonnalnanaravan:r.tada ugaoodredenpravompinjenornonogonalnomprojekciJomp'na ravan lCnazi vascugao izmeduprave pi ravni lC. Ako je prava nonnalnana ravan, ugaoizmedupravei ravnije pray. 504.AkosudYeravniparalelnesatreeorn,onesuparaleloeimeduso-bom.Dokazati . 505.Pravap jeparalelnasaravnilC.Dokazatidapostojijednaisamo jednaravana IllCkojasadriipravup. 506.Odreditigeometrijskomestotaeakaprostorasaosobinom dasusve tackepodjednakoudaljeneodkraj evadateduzi. 507.Kojijedovoljanuslovdasupravairavanuzaj amnononnalne? 508.Akopravap sadriitackeMiM" kojesupodjednakoudaljeneod krajeva dat e duziAB; dokazatida je prava p nonnalna na dul AB 509.Odrediti duiinu projekcije duii cij a j e duzina a emi kOJ3obrazujta projekeijomravniugao: a)60;b)30;c) 45. 510.IztaekeMkonstruisanesuduziMAiUBdoravni:r(A.BE rr) Obeduzisaravnilczaklapaj uugaood45.OdreditiugaoizmcJu njihakosunjihoveprojekcijenaravanuzajamnonormalne 511.IztaekeMkonstruisana je naravan lcnonnalnn duzAIM, duii,MAi MB, koje sa ravni lcobrazuju ugao od 30. a ugaood60.Odreditirastojanjeizmedutal!akaA IB. 9 512.IztackeMkonstruisane su doravni nkoseduzi,),fA=20emi ME = 15em. Projekeija prve duzi oa ravan 1r je16 em.Odredit i projekciju drugeduzi. 513.Pravapprodireravan:rru lacki K, aprave a i b pripadajuravni:rri an b ={K}.Akoprave aib zaklapajujednakeuglovesaprojekei-jomp,pravep,onezaklapajujednakeugloveisapravomp.Doka-zati. 514.DalesudYemimoilaznepravepiqitaekaA.KonslTuisalipravu kojasadrZitackuAinormalna je sapravamapi q. 5]5.Dat je jednakokrakitrougaoosnovieeAB= 6mikrakaAC= 5m. Osnovicapripadaravnin,avrhCjenarastojanju2modravni . Odreditiugaoizmeduravni:rriravnilrougla. 516.TackaApripada jednojslranipravogdiedra.alackaBdrugoj .Pro-jekeije tacakaAi B naivicudiedra sutackeA,i B,.Odreditiuglove kojeduzABobrazuje saSlranamaiivieomdiedraako je AA,=BB, =aem iA,B, :AA,=../2. 5.3.Vektori Vektor. Orijentisana duznaziva sevektor. Ureden par taeaka (A,B) odreduje vektor AB, odnosno (A,B) = AB. Suprotan_vektor, vektoru (A,B)je vektor(B, A), odnosno (A,B) =-(B, A). -Nula vektor je vektor (A,A) =O. - -Proizvod realnog broja ki vektora v je vektor k v sa svojstvima - - -1.Intenzitet vektora k v je Ik vl=lk 1'1vb - -2. Vektorivi k v suistog pravea, - -3. Vektori vi kv su istog smera ako je k> 0 i suprotnog smera ako je k< O. 517.Datisuvektoriuiv.Konstruisativektore jednake: 518. 519. 60 - -a)3u+2v;b)3u-2v. Cetvorougaocijedijagonaleseuzajamnopo lovejeparalelogram. Dokazati. jestranieeBCtrouglaABC.Ookazatidaje AB+AC=2AM. 520. 521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. Dokazatidaje mogucekon 'l'... lezis nimlinijamadalogclj esuslranice jednake NadvektorimaASiADk.. Od....onstruisanjeparalelogramABCD. redllldljagonaleparalelogramaufuk...d'hk _nCljlatlvelora. NadvektorimaABiADkonstruisan je paralelogram. 1=' 1'AC = BD. DatesudyekoncentricnekruzniceK(0r)K(0). 1. _.... K(S) ..,,,,,r,IIU ""OIca J,rJDokazallImpli kaciju:--(K,nKJ = {A,B}IIK,nKJ = {C,D})=> =>(AB II CD II AC =BD IIAD =BC). SyakaMkojapripada jednojodpoluravniodredeoomosom slmetrlJe date duzi AB bliia je onom krajuiste duii koja pripada istoj poluravOlkOJoJpnpadaI tackaM.Dokazati . 562.Konstruisatitrougaonajmanjeg obima akomudvatemena pripadaju kraclmadatogugla,atrecetemesepoklapasadatomtackomu oblastidatogugla. 563.Konstruisatiromb ako jedna dijagonalaimaduiinu d i pripadadatoj prayoja,akrajeYidrugedijagonaJepripadajudatojpravojbi datoj kruzoiciK. 564.Konstruisatitrougaoakojepozoato: b,hei a + c. 565.*Naobalireketrebadaseizgradivodotoranj,odaklesevodovodom povezujunaseljaA i B saiste strane reke. Odreditioptimaloomesto yodotomja daduzinavodoyodabudemioimaJna. 566. *DatisuLxOy iprayap.Koostruisatikvadratcijadvasupromate-men a pripadaju kracima datogugla, a druga dva pripadaju datojpra-vojp. 567.*Udatitrougaoupisatitrougaooajmanjegobimacijese jednoteme poklapa sadatomtackomoa j edoojstranicidatogtrougla. 568.*KonstruisatijedoakokrakiIrougaodatogobi rnaivisinekojaodgo-varaosoovici. 569. *Simetricoeslikeortocentratrouglau odnosuoasrranicetrouglapri-padajuopisanojkruZoiciokotrougla.Dokazati. 570.*Konstruisatipravougaonikakosudatijednasrranicaizbirdija-gonaleidrugestranice. 65 571.*Konstruisati pravougaonik ako su date stranice a i razlika dij agonale i drugestraniced - b. 5.4.2. CENTRALNA SIMETRlJA CentTalna sirnetrija. U OdDOSUna tacku S je preslikavanje koje proizvoljnu tackuMpreslikavautaakuM' = a.c M) takvu daje Ssredi steduziMM' . Tacka S je centar simetrije. ok! Simbolicki : a,(M) = M'SM = SM' . 572. 573. 574. 575. 576. 577. 578. KonstruisatisimetricnuslikudatogcetvorouglauOdDOSU oacentar sirnetrijekoji: a)Depripada cetvorouglu; b)pripada cetvorouglu; c)pripada jednojstranici cetvorougla; d)poklapa se sa jednim temenom cetvorougla. Konstruisatisimetricnusliku polukruga uodnosuna centar sirnetrije koji : a)Depripada polukruznici; b) pokJapa se sa centrorn polukruga; c)pokJapa se sa jedDimkrajem precnika polukruga. DatiLxOypreslikaticentralDomsi-metrijomu odnosuDatacku S(sl.5). Dveduzisucentralnosirnetricne prema jedDojtacki0akoisarnoako suparalelneir ndudame.Dokazati. KolikoceDtarasirnetrijeirnafigurasastavljenaod: a)dye prave koje se seku; b) dye paralelne prave; 51.5 c)triparalelne prave razlicito udaljene jedna od druge? x Svakapravakojasadriipresekdijagonalaparalelogramaisece jednu stranicu, sece i suprotnu stranicu. NjeDodsecakje raspolovljen preSeCDOrntackorndijagoDala.Dokazati . Date su tackeA, prava a i kruznica K( 0, r).KODstruisatiduzMNsa sreditemutackiAikrajevirnanapravojaikruZDiciK. 579.Poplava je uDistilagranicepravougaoneparcelecija je jedna straDa triputa vecaod druge.Na jedDojod duzihstranaparcelenalazise pumpa za vodu,anasuprotnojjedno stablo.Takode,Daparcelise nalazijedanelektricnistubpodjednakoudaljenodduzihstranica 66 pravougaonika,a uodnosu namanj e stranice dva puta je bliZi jednoj oddruge.Odreditigraniceparcele. 580.UtrougluABCtackeA,B,C,susredistastranicatrougla.tacka T je teiiste trougla, a A"B"C, su sredista odgovarajucih duzi TA,TB. TC. TrougloviA,B,C,iA, B,C,susimetri cniuodnosunalackuT.00-kazati . 581.Nasuprotnim(naspramnim)strani camaABiCDparalelograma ABCDkonstruisanesuduziAM =CN.PravaMNsadrtipresecnu tackudijagonala.Dokazati . 582. 583. 584. 585.* 586. 587. 588.* 589.* Na produzecima stranica paralelograma ABCDkonslruisane su lacke A"B"C"D, , tako da su tacke B, C, D. A sredisla odgovarajucih od-secakaAA"BB"CC"DD,.Kori slecicentralnusimetrijudokazali da je cetvorougaoA,B,C,D,paralelogram. Ako sutackeA i B, Ci D dijametralno suprotne tacke dvejukoncen-tri cnihkrumica,tada su odsecciACi BDj ednaki i paralelni,iiipri-padaju jednojpravoj .Dokazati. Dvespoljasnjekruzni cejednakihpoluprecnikasajednomza-jednickorntackomodsecajuDapravoj , kojasadrZizajednickulacku, jednaketetive.Dokazati . KODstrui satitrougaoakosudatesvetriteiicnelinije. KonstruisatipravougaonikakojedatojednotemeidYel.ackena suprotnimstranicama,kojesusi metri cneuodnosunasredlstepra-vougaonika. Datisukruiniodsecaki tackaMu njemu.Konstruisatiduz.cijije-dankrajpripadaluku,drugitetiviodsecka,atackaAIJesredlIe duzi. Datisuu ravni1:1ABCi pravep i q (p.Lq).Neka sua, ia ydYe osnesimetrijedatogtrougla. Dokazatida je:.. a)a p (1:1ABC) o a y CI:1ABC) =a ,(1:1ABC), gde Je a .centralna Sl -metrija ip n q = (S); b)p_CI:1ABC) = a. (1:1 ABC),(a= 180). Ako : u ai adYeosne simetrij e neke ravni 1Ctakve da je p 1. q i py p n q = IS},dokazati : a)a p0a q= a j.; b) aa= a0a p' pyy 67 590.*Datje trougaoABC. Ako je p_ (a =180) rotacija oko temenaA da-togtrougla,aa Acentralnasimetrijaistogtrougla,dokazatidaje OA=P- a 5.5.Translacija Translacija.Nekaje Mbilo koja tacka ravni, a vbilo kojiPreslika-vaniekoietackuMpreslikavauM',takodajeMM' =vnazivase :JJJef.__ translacija (pornak).Simbolicki : T Ii (M) = M' >MM' = v. 591.DatjekvadratABCD.Odreditinjegoveslikenastaletranslacijom takodase: a)terneA preslikava u teme C; b)temeA preslikava u srediste straniceBC; c)terne B preslikava u presek dijagonala. 592.Dat je jednakostranicni trougaoABC.Odreditinjegove slike nastale translacijomtakodase: a)terneA preslikava u A' (BA'=A'C); b) straniceAB preslikava u srediste stranice AC. 593.Dataje kruznicaK (0, R) sa precnikom AB. Odrediti translacije koje preslikavaju: a)tacku u tackuA; b) tacku A u srediste poluprecnika OB; c)tacku B u datu tackuMkruznice. 594.TranslacijompreslikatidatitrougaoABCzavektorv: a)v= AB; - -b)v=BC; c)v= CA. 595.Dat je trougaoABC.Translacijornzavektor u =AA,(AA,tezisna du:ipreslikati dati trougao u t:,.A'B'C', zatim translacijom za vektor v= AB preslikatitrougaoA'B'C' ut:,.A'B'C. Odredititran-slacijuza kojuset:,.ABC preslikavaut:,.A'B'C. 596.DatisutrougaoABCinjegovaslikat:,.A'B'C',dobijenanekorn translacijom.Du:icijisukrajevicentriopisaneiupisanekruxnice 68 t:,.ABC jednaka je i paralelna duzisu krajevicentriopisane i upi-sanekruzmcet:,.A' B'C'.Dokazati . 597.*Konstruisatitrougaodate stranice a cij a dva temena pnpadaJudvema datlmparalelnimpravama, atrecetemetrecojpra-vojkojasecedateparalelneprave. 59S.*Konstruisati jednakostranican trougao date stranice a cija dva temena pripadajudvemadatimparalelnirnpravama, atrecedatojkrufuici. 599.* 600.* 601.* 602.* 603.* Datesuprave'"I, . Konstruisatiduz dateduzine,paralelnusa,, cijikrajevipripadajuprav.ama"iI,.' DatisuLx Ayivektorv,kojipripada tacke Bi CtakodaB EAxiCE Ayi daje BC=v iiiCB= v. PresecidatitrougaoABC pravorn, tako da vektor naoyojpravoj,iz-rnedu dye stranice trougla, bude jednak datorn vektoruv,kojipripada ravniovogtrougla. Date sudyekruznice K"K,i pravap. Konstruisati pravu n paralelnu sapravomp, nakojojkruinice K,i K,odsecaju jednakeduzi. DatesukruzniceK(O,r),K,(O,r)iduiAB.Konstruisatiduz paralelnui jednakudatojduzi,adakrajevipripadajudatimkruini-cama. 604.*Datisupravapi kruznica K(O, r) . Konstrui sativektor jed-nak datornvektoru v,tako da rnu jedan krajpripadapravojp,a drugi kruZniciK. 60S.Odsecak prave, kojisadrZisrediste jedne stranice trou.glaijesadrugomstranicomtrougla,JednakJePOlovlrutestramceI poloviitreeustranioutrougla.Dokazati. 606.Konstruisatitrapez datihosnovica ai b (a > b)idijagonaladid, . 607.Konstruisaticetvorougao akosudatesveceriristranice i du:ikoja je odredenasredistirnadYesup romestranice. 60S.Konstruisati trougao ako sudati jedan ugaoi visine kojepolau iz te-menadrugadvaugla. 609.Konstruisatitrapez akosudati: a)osnoviceiuglovinaveeojosnovici; b)razlikaosnovica,obakrakai jednadijagonala; c)obedijagonale.ugaoizmedudijagonalaIkrak. 69 610.Dokazatida j e: a)I...0t...=1 ...; ABBeAl b)Iii0tv =lii+ii ; C)t ijo /_ii=l a; d)I ....01 ...0t ...= (...... ; ABHeCA0 e)Iii0tv =I v0' ii-(I ;;identicnopreslikavanje). 5.6.Rotacija Rotacija. Ako je Mbilo kojatackaravni.tacka 0data tackai aorii,entisani ugaoiste ravni.Kazemo daje M' slika ori ginalaMdoblvenarotaclJomoko lacke 0za dati ugao; , ako je OM =OM' i LMOM' =;.Tacka 0je centar rotacije, augao rotacije. Simbolicki : def p. (M) =M' >OM = OM' /\LMOM' = a. O.a 611.Oat jetrougaoABCiugaoa =120.Rotiratidatitrougaozadati ugao: a)akosecentar rotacijepoklapasa jednimtern en omtrougla; b)akocentar rotacijepripadadatojtacki0vantrougla. 612.Rotiratiokodatetackezadatiugao: a)jednakostranicnitrougao; b)kvadrat; c)kruzoicu; d)pravilan613. rotacijudatogtrouglaABC okotacke Sza60. 614.Datasudvapodudama,orijentisanauistomsmeru,trouglasane-paralelnimstranicama,kojipripadajuistojravni.Odrediticentari ugaofotacijekojapreslikava jedantrougaoudrugi. 615.Oat jekvadratABCD.Nekaje KsredistestraniceAB,Lsrediste stranice BC. Odrediti centar rotacije i ugao fotacije koja preslikava: - -a)duz AKu BL; b)vektorAKuLC. 70 61 6.TrollgaoA"B"C,j e sli kaIJ.ABC prirolacij i zaA = 900okoda-tog centra rotacije. Medij ana A,M,IJ.A,B,C,je nonnalnamedijani AMIJ.AMC.Dokazati . 617.NadstranicamaABiACIJ.ABCkonstruisanisujednakostrani cni trougloviABEiA CF. AkosetackeCi EncnalazesaiSlestrane straniceAB,a FiB senalazesaistestrancstrani ceAC,tadaje EF = BC.Dokazat!. 618.Konstruisatijednakokrakitrougaosavrhornu dalojlacki Ai datim uglom privrhu a,takoda mutemena osnove pri padaju datoj pravoj I idatojkruzniciK( 0,1'). 619.U datitrougao upisati j ednakokraki trougao ako su datiugao privrhu ipolozajtogvrhana jednojstranicidatogtroll gla. 620.DatisuugaoxOyi tacka A u oblasti ugla.Konstruisatijednakokraki trougaosavrhomu A i uglom ii =30,dokos tala dvatemena Bi C pripadajllkracimadatogugla. 621.*Konstruisatijednakostrani cnitrougaocij atemcnapri padajutrima datimparalelnimpravama. 622. *Konstruisati jednakostrani cantrollgao, takodamu temenapripadaj u trimadatimkoncentricnimkruznicama. 623.*Date sutriparalelne prave.Konstruisatikvadrat,takodamu temena pripadajlldatimpravama. 624.* 625.* 626.* 627.* 628.* 629.* Date sutackaA i dyeparalelne pravepi q. Konstruisatijednakostra-nisantrougao cije je jednotemedatatackaA, aostal advapri padaju datimparalelnimpravama. Konstruisatikruznilukakojedatosrediste,odgovarajucicentral ni ugao,adakrajevilukapripadajudvemadatimpravama. Konstruisatikvadrat sa jednim temenomu datojtaakiA,a temena B i Dpripadajudvemadatimparalelnimpravama. Konstruisatikvadrat sa jednim temenomu datojtackiA, a temena B i DpripadajudvemadatimkoncentricnimkruZni cama. Udatikvadratupisati jednakostranicantrougaocije jedno temepri padadatojtaakinajednojstranicikvadrata. Konstruisati jednakokraki trougao sa vrhomu datojtackii uglom pri vrhu52 30',takodamutemenaos novepripadajudvemadatim krumicama. 71 5.7.Neke vafnije teoreme0trouglu,cetvorouglu.mnogouglui kruznici 1.Akosu a,/3,y unutrasojiuglovitrougl a,aa"/3,, y, spolj asnjiuglovi. tadaje: a + /3+ y =180,a,+ /3,+ y,=360. /3=a + y. 2.Ma koja stranica trougla manjaj e od zbira druge dYe,a veca odnjihove razlike. 3.Akosua,/3,y,ououtraSnjiuglovi,aa"/3"y,, o,spolj asojiuglovi cetvorougla, tadaje a + /3+ y + =360 i a , + /3,+ y,+ 0,=360. n(n - 3) 4.Brojdijagonala n - ugla j e D n=2. 5 .Zbir unutrasnjihuglova n - ugla je S n=(n - 2) . 180. ....(n-2)1 80 6.UnutrasoJIugao pravllnog n - ugl aJe a=. 360 7 0.Centarlniugao pravilnog n - ugla je E=--. n 360 8.Spoljasnjiugaopravilnog n - ugla je /3=--. n n 630.MoguIimemibrojeviunutraSnjihuglovat:rouglada zadovoljavajura-zmere:a)I:2:3;b)3:7:8;c)I:I:2?Akomogu,izracunati uglove. 631.UtrougluABC LA= 25,LB= 68.Kroznj egovatemenakon-struisane su prave paralelne naspramnim stranama. Izracunatiuglove trouglakoj icineoveprave. 632.Odreditioblik trougla(premauglovirna)ako je jedan unutrasnjiugao: a) jednak zbiru druga dva; b) veei od druga dva; c) manj i od druga dva. 633.Dvauglatrouglaiznose60i72.Odreditiuglovekojeobrazuju visinetrouglakojepolazeiztemenadatihuglova. 634.Odreditiugao pod kojim seseku simetrale spoljasnjihuglova nahi-potenuzipravouglogtrougla. 635.Podkoj irnseuglomsekusimetraleostrihuglovaupravouglom trouglu? 636.Dokazatida sesimetrale uglova ai /3trouglaABC seku pod uglom I{J= 90 + !. 2 72 637. 638. 639. 640. 641. 642. 643. 644. 645. 646. 647. U ABCsimetrala CDuglaysecestranicuA Bpoduglom 'P- 110.IzracunatllI glovetrouglaakosezoada je CD=Be. U ABCsimetrala CDuglaygradisastranicomABugao 'P- 100.IzracunatlunutrasnJeuglovetrouglaako je BC =CD. SimetralaAE ugla a i visina CD gradeugao .n=500I. ..,...uou-trasnJ euglovetroll glaakojeAE = BE. i y trougl a ABC grade ugao'P.Akojea : cp=I : 2 /3. y - I . 4.Izracunat lunutraSnJeugl ovelrougla. U pravouglom . trougluugaokojizahvalajllhipotenuzinavisinai hi-potenuzmatezisnaduzje28.Odreditiugaoizmeduhipotenuzine tefisoeduziisimetralepravogugla. Uj ednakokrakomtrougluABC(AB =BC),simetralauglaBACi vismaADkOJaodgovarakrakuobrazujuugaood18.lzracunati uglovetrouglaABC. U trouglu ABC (BC > A C) uglovi a i /3razlikujll seza30.Ako je D tackanastraniciBC,takvadajeAC = CD.[zracunatiLBAD. lzracunatiunutrasnj euglovetrougla,akoje poznatodajedanugao .. 2dI IZOOSI"3rugog,odoosno 4 treeegugla. NaproduzetkukrakaAC jednakokrakogtrouglaABC,izatackeC data jetackaD,takodaje CD = AC.Dokazatida jetrougaoABD pravougli . UtrougluABC unutrasnjiugaokodtemena C je 40.Simetrale unu-trasnjegispoljasnjeguglakodtemenaCupresekusapravomAB odredujujednakokraki trollgaoCDE.lzracunati ugl ove trouglaABe. Upravouglomtrougluhipoteouzinavis inadelihipotenuzunadva odsecka cija je razlika jednaka duzini jedne katete. Izracunatiuglove trougla. 648.Ako se simetrale dva unutrasnj a ugl a seku pod uglom od135. !ada je trougaopravougli.Dokazati. 649.UtrougluABCdatisuuglovia =44iy =78.NapravojAB uocene su tacke DiE,takodajeD - A- B- Ei daje DA= AC i BE =BC. IzracunatiugloveLADCi LBEC. 650.Izracunatiunutrasnj euglove jednakokrakogtrouglaako: a)Visina koja odgovara jednom kraku gradisa drugim krakom ugao od 32 b)Visinekojeodgovarajukracimasekusepoduglomod 48; 73 651. 652. 653. 654. 655. 656. 657. 658. 659. 660. 74 c)Visinakojaodgovarakrakuivis inakojaodgovara osnoviciseku sepoduglomod127 0;.. d) Simetralaugla na osnovicisa nasprammmkrakol11gradlugao od 69. Ujednakokrakomtrouglusimetralauglanaoosnovicii vi s inastruisanaizistogtemenagradeugaood15 .izracunatlunlitraSnj e uglovetogtrougla. U tupouglom trougluABC iztemena A tupog ugla konstmisana je do preseka sa BC duzAD,koja sa stranicomAB gradlugao jednakUglll kodtemena C.Zatimje konstrui sanaduzAEkOjasastranlcomAC gradiugao jednakll glukodtemenaB. Dokazatida je trougaoADE jednakokraki. Na straniciABtrougl aABCuocena je tatka Dtakoda je BD= Be. Ako je spoljasnj i ugao kod temena B140,aunutrasnjikod temena A 35,dokazatida j eAD =DC. UtrougluABCspoljasnjiugaokodtemenaA j e134,. unutTasnji ugaokodtemenaBje62.l zracunatitreciugaotrougla1ugaopod kojirnsasekusimetraleuglovakodtemenaA lB. SirnetralauglaatrouglaABCgradisasimetralomy,(spolj asnji ugaotrougla)ugao j ednakuglufJ.Dokazati . 2 Neka su utrougluABC uglovifJi y ostriugloviineka je fJ> Y.Do-kazatida je ugaoizmeduvisinei simetraleuglaiztemenaA jednak fJ-y 2 U trougluABC stranice AB iA Cproduzene suprekotemena Bi Ci konstruisanesu simetrale spoljasnjihuglovakojesesekuutackiO. Dokazatida je LBOC = 90- Akosua,b, cstranicetrougla,aI utezisnaduz,dokazatidaje b+c-ab+ c .::....;-=---=- < I< --2Q 2' UpravouglomtrougluteZisnaduZivisinakonstruisaneiztemena pravog ugla obrazuju ugao jednak razlici ostrih glova trougla. Doka-zati. U trouglu ABC simetrale uglova aiy seku seutackiM. lzracunati ugaofJako seznada je jednak poloviniuglaAMC. 661. 662. 663. 664. 665. 666. 667. 668. 669. 670. 671. 672 673. 674. 675. Ako je Mstranice AC,Nsredi ste stranice BC trouglaABC, tad aj e2 MN- AB1MNII AB. Dokazati. Svaka stranica trollgla manj aje od polovine nj egovog obima. Dokazati . Zbirvis inatrollglamanj a j eodnjegovogobima.Dokazali . Akozastranicetrouglavazi a < b < c,dokazati : ) a+b+ca+b+c aa---":' 33. Zbirtei isnihduzitrollglaveci je odpoluobimatrougla.Dokazati. Zbir tezisnib duzi trougla veci j e odnjegovog obima.Dokazali. Sredista stranica romba su temenapravougaonika, a sredi sta stranica pravougaonikasutemenaromba.Dokazati. Sredistastranicaj ednakokrakogtrapezasutemenaj ednako-stranicnog paralelograma.lspitati : kada je ovajparalelogramromb, a kadakvadrat. Sredistastranicacetvoroll glacij esudij agonalemedusobnonOT-maineSlltemenapravougaonika.Ispitat ikada je ovajpravougaonik kvadrat. Ako jeAA' tezisnaduztrouglaABC,tadasutacneimplikacije: BC a)AA' = - =>LA = 90' 2' BC b)AA' > - =>LA < 90 2' c) AA' < BC=>LA> 90. Dokazati. 2 U trouglu ABC pravap II ABi sadrZipresek Ssimetralauglova a i p. Akojepn AC ={M},apnBC ={N),tadajeMN=AM +BN. Dokazati . Ako jetacka 0ortocentartrouglaABC,dokazatidaje LAOB + LC =180. SredisnjaduZMNtrapeza ABCD paralelna je sa osnovicamai jednaka je njihovojaritmetickojsredini.Dokazatt. Dokazatida j etrapezsa jednaki mdijagonalama jednakokrak Ako se j ednake telive ABi CDkruznice k(O) seku u tacki P 1 ako Je PA> PBi PC> PD,tadaje PA = PC1 PB= PD.Dokazan. 75 676. 677. 678. 679. 680. 681. Duzi AM i AN sutangente duzikruwice k( 0) koje odgovaraju tacki A.U tacki P namanjemlukuMNkruwicekonstrUlsana Jetangenta koja sece ove duZiu tackama B i C. Dokazati da je obim trougla ABC konstantani jednak 2 AM. Zbir unutrasnjihuglovabilokog n-trougla jednak je(/1--- 2) . 180. Dokazati . Zbirspoljasnjihuglovabilokogkonveksnogn-trouglajednakj e 360.Dokazati. ..n(n --- 3). Brojdijagonalabilokogn-trougla Jednak Je2Dokazat!. Triunutrasnjauglacetvorouglasu75,105i100.MozeIiseoko ovog cetvorouglaopisatikruznica? NadatojkruwicitackeA, B, Cdelekruwicu nat ~ idel a.[zracunati unutraSnjeuglovetrouglaABCakosedelov!kruZnlceodnosekao I: 3: 5. 682.Date su kruwica K(O) i prava a. Konstruisatitangente date kruznice kojesu: a) paraleine sa pravom a; b) normaine na pravu a. 683.KonstruisatikruZnicukojasadrZidamtackuAidatupravub dodi-rujeudatojtacki B. 684.Akosub i c katete, ahipotenuzapravouglog trouglai rpoluprecnik upisanekruZnice,tada je 2 r=b+ c --- a.Dokazati. 685.KonstruisatikruZnicukojadodirujedyepravekojeseseku,ito jednu odnjihudatojtacki. 686.Konstruisati kruznicu datog poluprecnika, koja sadrZi dYedate tacke. 687.*Konstruisatitrougaoakosudatidvauglaipoluprecnikopisane kruwice. 688.*Konstruisati trougao ako su dativisina i tezisna duz.koje odgovaraju istojstranici,ipoluprecnikopisanekruwice. 689.*a)KonstruisatikruznicudatogpoluprecnikaRkojadodirujedatu pravuh idatukruznicuk (0, r). b) KonstruisatikruZnicukoja dodirujedatukruznicuk (0, R) i datu pravu h u datojtackiM. 690. 691. 692. 693. 694. 695. Kolnstrui satiskuptaeakaizkojihsedataduzABvidipoddatim ugoma. NadatojpravojpodredititackuizkojesedataduzAB vidipodda. timuglom: a)45;b)60;c)75;d)a . KonstruisatitrougaoABC akojedato: a)a,lu,a;b)b, h,, /3;C)C, fc'Y' Konstruisatiproavouglitrougaoako je datahipotenuzai njenavisina. Konstruisatijednakokrakitrougaoakojedataosnovicaiugaopri vrhu. Konstruisati jednakokrakopravouglitrougaoako je datanjegova hipotenuza. 696.*Konstruisatipravouglitrougaodatogobimaivisinekojaodgovara hipotenuzi. 697.Konstruisatikruznicukojadodirujedatupravupidatukruwicu K(0, R)udatojtackiM. 698.Konstrui satikruznicukojadodirujedYedatekruzniceK(0, R)i K,(0"R,),itoprvuu datojtackiM. 699.Konstruisatikruznicudatogpoluprecnikarkojadodiruj edyedate kruznice K(0, R) i K,(0"R, ). 700.KonstruisatikruznicukojasadrZidatutackuAidodiruj edYedate paralelneprave aib. 701.*Konstruisatitrougaoakosudatijedna stranica,ugaonaspramnjei visinakojaodgovaratojstranici . 702.Konstruisatipravouglitrougaoakosu dati: a)hipotenuza i ortogonalna projekcija jedne katete nahipotenuzi; b) ortogonalne projekcije kateta nahipotenuzi. 703.Stranice trougla ABC su: a,b i c,as poluobim trougJa.D o d i m ~tacke upisane kruwice dele stranice trougla na odsecke: s - a, s --- b ! S--- c. Dokazati. 704.Ako je krak jednakokrakogtrapezaarinnerickasredinaosnovica,u njemusemozeupisatikruwica.Dokazan. 705.Tezisnaduztrouglamanja je odnjegovogpoluobirna.Dokazati. 706.Tezisnaduz trouglamanja je odpoluzbirastrunicaizmedukojihse nalazi. 77 707. 708. 709. 710. 711. 712. 713. 714. 715. 716. 717. 718. 719. 720. 721. Tezisnaduz pravouglog trougla koja odgovara hipotenuzi jednaka je polovinihipotenuze.Dokazati . Visina koja odgovara kraku jednakokrakog lrougla obrazuje sa osno-vieomugaojednakpoloviniuglaprivrhu.Dokazati. PreenikABitetivaAC kmznieekobrazujuugaood30. Tangenla konstruisana u lacki Csece pravuAB u tackiD. Dokazati da j e lrou-gaoACD jednakokraki. Na datojpravoj odredititacku iz koje se dala duz vi dipod dat imuglom. UtrougluABC odreditilackuizkoj ese svetristranieetrouglavide podistimuglom.I lzracunatiperiferijskiugaonadkruznimIukomjednak- kruzne 1...12 mlJe. TackamaA iBkruznaIinijaj epodeljenanadvakruznaIukakoji stojeurazmeri5 : 7.izracunatiperiferij skeuglovekojiodgovaraju kruznimlueima. Izracunatiugaoizmedutangenteitetiveakotelivadelikruznieuna dvalukaurazmeri3:7. Dvapodudamakrugasekusepodugloma= 60.Izracunatiu stepenimamanjikrufuilukodredenpresecnimtackama. lz jedne krajnjetackeprecnikakruzniee kkonstruisane sutangentai seciea kojeobrazujuugao a =20 30'.izracunatiustepenimamanji Iukizmedutangenteiseciee. UtetivnomcetvorougludvaunutraSnjauglanajednojstranieiiznose 152i134.Odreditidmgadvauglacetvorougl a. Sirnetraleunutrasnjibuglovarnakogcetvorouglauvekobrazuju tetivnicetvorougao.Dokazati . Utangentnom cetvorouglu triuzastopne stranieeiznose 5 em, 9emi 15em.Izracunaticetvrtustranicucetvorougla. KruZnieek,i k,sedodirujuspoljautackiA.Ako je prava BCnji-hovazajednickaspoljasnjatangenta,ugao BAC je pray.Dokazati. Akoseutetivnommnogouglu sapamim brojem stranicaunutrasnji uglovioznaceredom saa"a"aJ, ,tadajea,+aJ +a , + ...= = a, + a 4+ a 6+ ... Dokazati. 722.Akoseutangentnomrnnogouglusa pamim brojem stranicaoznace stranice redomsa a" a"aJ, ,tada je al + aJ + a,+ ... = Q,+ a,+ as + ...Dokazati . 78 723. 724.* 725. 726. 727.* Akojeuj ednakokrakomlrougluosnovieaaj ednakavisinikoia d ..5J ogovaraosnovlel,tadajeR = - agdeJ'eRpol- ik. _.8'uprecnoplsane klUzfllcelrougla.Dokazali . Upravouglmnsim7traiapravoguglaistovremeno j ei sime-tral auglakOJ!. obrazuJuvlsma1tezisnaduz.kojeodgovaraju hipote-nuzi.Dokazall. Akoseizsvakogtern en atrouglai njegovoglezistakonstrui sunor-maineduzi nabilokojupravukoj a nesece njegove strani ce, onda je zblr normalaIZtemenatnputaveciodnormalneduzi iztezista. 0 0-kazan. Zaunutrasnjeuglovecetvorouglavaiiprodufuaproporeija a: 2 = f3: 3 = y : 4 = LACB. 728. *Na strani ei DC dalog kvadrata ABCDdala j e lackaM. Simetrala ugla BAM sece stranieu BC u lacki N. Dokazati dajeAM = DM + BN. 729.*Dat je pravougaon ikABCDu kome je AB > BC. TackaB, j e si mel-rienatacki B u odnosu napravuAC,a E je presekpraviJlAB,i CD. DokazatidasutrougloviADEi CEB,podudarni . 730.*AkosuAMi BNvisinetrouglaABC, ladajecetvorougaoABMN tetivni.Dokazali . 731. *Neka suuglovinalegliuz vecu osnovieu jednakokrakoglrapeza jed-naki60i neka j e manja osnoviea jednaka kraku. Dokazati : da su di-jagonaleovogtrapezanormalnenakraeima.dapoloveugloveuz vecuosnovieui dasesekupoduglomod60. 732.Neka su D, E iF dodimelackeupi sanekruzniceulrougluABC. Dokazatidasuuglovi trouglaDEF,90 - !:.,90 - f!... 2 '90 - f, 2_ gde suuglovi a,f3i y uglovi trouglaABC. 733.Simetraleugl ova trouglaABC,sekuopisanukruznicuokotrouglau tackamaX,Y,Z.UglovitrouglaXYZsu:90 - %, 90'- %, 90"- 1::.Dokazati . (a , f3, Y uglovitrouglaABC). 2 734.UtrougluABC razlikadvej u stranica jednaka je razlici on koje je podeljeoatrecastranicadodimomlackomuplsanekruZOl ce. Dokazati. 79 735.Data je poluk.ruZnica precnika AB. Na kruznornluku date sutacke D i E.TetiveADi BE,kaoi tetiveAEi BDsekuseutackarna F I G (tacka Fnepripadapolukrugu).Dokazatida je FG .LAB. 736.Neka je ABCD kvadrat upisanukrug, a P je rnakoja tackanaluku AD. Ugao DPA je tri puta veci,od rnakog ugla doblJenog spaJanJern tacke P sa dvauzastopnaternenakvadrata.Dokazati . 737.Akose upravilnornpetougludYenesusednestraniceproduzedosvog preseka,oba produZetka jednaka sudijagonalipetougla.Dokazati . 738.Visina rornba polovi njegovu stranicu.Izracunatiugao izmedu visioa rombakojesame ternetupogugla. 739. tackesimetralaunutrasnjihuglovapravougaonikasute-rnenakvadrata.Dokazati . 740.Datje krug sa centrorn O.Tangente konstruisane u krajnjirntackarna precnikaAB,sekuproizvoljnutangentuutackarna Ci D.Dokazati da je ugao CODpray. 741.Projekcijedijagonaleparalelograrnanarnakojojpravojjednaka je zbiruprojekcijedyesusednestranicenaistojpravoj .Dokazati . 742.Ugaoizmedusimetraladvauzastopnaunutrasnjauglacetvorougla jednak je poluzbirudruga dvauglatogcetvorougla; augaoizrnedu simetraladvauzastopnaspoljasnjauglajednak je poluzbirutadva unutaSnjaugla.Dokazati . 743.OstarugaoizmedusimetralasuprotnihunutraSnjihuglovacetvo-rougla jeclnak je polurazlicidrugadvaugla.Dokazati. 744. 745. 746. 747. 748. 749. 80 U trougluABC simetralespoljasnjihuglovakodternena Bi Cseku seutackiO.Dokazatida je ugao BOC =900 _a. 2 UtrougluABC,razlikauglovayif3iznosi90.Simetralauglaa obrazujesa stranicom BC ugaood45.Dokazati . Vis inakoja odgovara kraku jednakokrakog trapeza jednaka je polo-viniveceosnovicetrapeza.Izracunatiuglovetrapeza. Upravouglorntrougluhipotenuza je dvaputa vecaod jedne katete. Izracunatiostreuglovetrougla. U trougluABC vi sineAF i CEsekuseu tackiO.Ako je CO =AB, izracunatiugaoA CB. U jeclnakokrakomtrouglu simetralauglanaosnovicisecekrakpod uglom, jednakim uglunaosnovici.Izracunati uglove jed-nakokrakogtrougla.. 750. uglaparalelograrna sece jednll njegovustramcupod uglornkOJ I JeJednak Jednornoduglovaparalelograrna.Izracunatilaj ugao. 751.Sirnetralauglakogaci nedij agonalaistrani carombaobrazujesa drugornstranicomugaood66.Izraeunatiugloveromba. 752.*Datj e provouglitrougaoABC (ugaoC pray) . Neka SllAD i BF sime-tralelI glova(tacka D EBC, FEAC).TackeMiN suonogonalne proj ekcij etaeaka Fi Dnahipotenuzu.lzracunajugaoMCN. 753.Dat j etrougaoABC.Van trouglakonstrui sanisukvadratiABDEi ACFG.Ako jeCE n BG = {HI,dokazatidajeCE=BGiCJ..BG. 754.Izracunatiuoutrasnj i ugao pravilnogmnogougla,ako je razlika broja dij agonalai straoica25. 755.Kojipravilanmoogougaoimatriputaveciugaoodspolj aSnjeg? 756.Izracunatizbirunutrasnjihuglovau vrhovimapetokrakezvezde. 757.Spoljasnjiugaopravilnogmnogouglajedevetputamanjiodunu-trasnj egugla.lzracunatibrojdijagonalalogmnogougla. 758.Akosebrojstranica pravil nogmnogouglapoveeaza2,tada'e cen-tralniugaosmanjiza6.Odredi tibrojdijagonalamnogougla. 759.Koli kodij agonalaimapravi lnimnogougao,cijijezblrunutraSnJlh uglovaI 760.Zakoliko sepoveea zbi ruglovamnogougla,ako sebroJ stranicapoveeaza5?. 761.*Ako se brojstranicamnogougla poveea zaI I, ooda njegovlh dijagonalapoveeaza199 1.Odredi tizbl ruglovatog mnogougla. 762.Na hipotenuzi BC pravougl og trougla ABC date su tacke DiE. takve .da je BE =ABi CD = AC.Izracunati ugao DAE. 763.*Akosebrojstranicapravilnogmnogouglapoveeazadvanjegov ugaopoveea za 9. Odreditibrojstranica(KlaslfikacloDi ispitizrnaternatikezaup isnatehnickeIrnaternatlckefakulteteu Beogradu1991.) 764. *Tetiva kruga je za2manja od precnika, a odstojanje centrakruga ad tetiveza2manjeodpoluprecni kakruga.Izracunatlduzm.uteu\ e (prijemniispiliz malernatike zaUPISoaBeogradskluDlHfZllelJuna. 1991.) 765.*Nekaje utrougluABC, AB =AC i ugao kodtemenaA yet i od30 i nekaje D tacka na stranici BC takya daje AE =AD.lzracunatiugao EDC. (Prijemniispitizmatematike zaupi snaBeogradskiuni yer-zitet,juna1992.) 766.Dat je jednakostranicnitrougaoABC.Akose syetristrani cetrougla produze za duzi jednake stranicidatog trougla takoda j eA - B - A iA - C - B,iC - A - C"tadajetrougaoA,B,C,stranicni.Dokazati. 767.*OkotrouglaABCopisana je kruZnicakiutacki Ckonstruisana j e tangenta 1 nanju.Ako prayap para Ie Inasa tangentom 1 sece strani cu ACutackiE, astrani cu BCutackiD,tadaj ecetyorougaoABDE tetivni.Dokazati . 768.*OkotrouglaABCopisanajekruznicakiutacki Ckonstui sanaj e tangenta1nanju.Akokruznicak,koj ojjeprecnikstrani caAB trougla ABC, se6e stranicaAC i BC utackama MiN dokazat i da je duzMNparalelnasatangentomI. 769.Ugaoizmedukrakoyatrapeza je pray.Dokazatida j ezbirkyadrata dijagonala jednakzbirukyadrataosnoyica.. 770.UprayougaonikuABCD je AB =2BC.Na straniciABdataje tacka Ptakyada je LAPD =LDPC. Izracunatitajugao. 771.U kyadratu ABCD je Msrediste stranice CD, aNje srediste stranice AD. Duz BMi CNsekuseutackiE.Dokazatidaje: a) BMl.CN;b)AE =AB. 772.DatjeparalelogramABCD.AkotailkaFE AD,F- D- Ai DF = AD.TackaE EAB,A - B - EiAB = BE.Dokazatidaje F-C-E. 773.AkoseizrnakojetackenasimetralidatoguglaxAykonstruisu paralelesakracimadopresekasakracimadobiyenicetvorougao j e romb.Dokazati . 774. konstruisanihiztackepresekadijagonalaromba nanJegoyestramce Jesutemenaprayougaonika.Dokazati . 775.Simetraleunutrasnjihugloyaprayougaonikaobrazujukvadrat.Do-kazati. 776.Ako je manja osnovica trapeza jednaka zbiru krakovasimetrale unu-uglova na vecojosnoviciseku se na manjojDoka-zall. 82 777.*Akojevee aosnoyicatrapezaj ednakazbirukrakova. lI gloyanamanJojosnovici sekusenaveeojosnovici.Dokazali . 778.*Usyakomkonyeksnomcervorouglu zbirdijagonala jeeciodzbira dYeJlInaspramlllhstrani ca.Dokazati . 779.*Ukonveksnomcetvorougluzbirdijagonala je veei odpoluobima.a manjiodobimatogacetyorougla.Dokazati . 780.Ukonveksnom cetyoroll gluzbir dyaspoljasnjaugla jednak je zbiru dvaunutrasnjauglakoj iimni sususedni .Dokazali . 78t.DatjetrougaoABC.PoluprecnikOAkntgaopi sanogokotrougla normal an j el1aprayu B,C" gde SllB, i C,podnofj avisinakonslrui-sanihiztemena Bi C. Dokazati . 782.Ujednakokrakomtrougluugloyinaosnoyicisudvaputaveeiod ugl apriyrhu. Osnoyicatrougl a je stranica praYilnog pelouglaupi sa-nog1Ikruzni ciopisaneokotrougl a.Dokazati . 783.*Ukruznicik(O,R)upi sanisukvadratstraniceai jednakostranican trougaostraniceb. Dokazatida j e a' : b'= 2: 3. 784.* 785. 786.* 787. 788. 789. 790. Akoseizsredi stajednekateteprayouglogtrouglakonstruisenor-malanahipotenuzll ,tadajerazlikakvadrataodsecakahipotenuze j ednakkvadratudrugekatete.Dokazati. PoslOjiIimnogougaokojiima:a)1710dijagonal a:b)1988diJa-gonala.Kolikostranicaimajutrazenimnogougloyi ? Neka je Dtacka u kojojkrugupi sanu pravouglitrougaoABC dod,-ruj ehipotenuzuAB. DokazatidatadaYazi jednakost AC BC =2AD BD. Akosebrojstranicakonveksnogmnogougla poveeaza5,ondase brojdijagonal apo vee aza45.OdredltlbroJsrraOlcaprvObltnOg mnogougla. Oko jednakosrranicnogtrouglaABCopisana je aluku BCdataj eproizvoljnatackaM.TadaJeBM + eM - AM.Do-kazati . Akosebrojstranicakonyeksnogmnogougla.za5,ondase brojdijagonalapoveeaza1990.KolikostraOlcaImarnnogougao sa takvimosobinama? Brojdijagonalakonveksnogmnogouglaje8putaveeiadbroJa stranica.OdreditizbirunutraSnjihugloatogmnogougla. 3 VIGLAVA 6.RACIONALNIALGEBARSKIIZRAZI 6.1.Polinomiiopcracijcsanjima Definicija1.Nekasuao,a" a".... an datireal nibroj evi .Presli kavanjeP kojim serealanbrojx preslikava u relanbroj ( I)aox+a,x-'+a,x- '+ ...+a"naziva se realan pohnom. Definicija2.Akojeao '" 0brojnnazivasestep enpolinomaP.stose zapisuj e n =st P i kaie se da je polinom P n-togstepena pox. Polinom(\) jesredenpoopadajucimstepenima.Polinommozedabude sreden i porastucim stepenima promenljive. Bezuov stav. Ostatak rdeljenjapolinoma P(x) sax- a,gde j e akonstanta, jednakje p ea),tj . r=pea). Ako je ostatak r= pea) = 0,polinom P( x) je deljivsax-a. Potreban i dovoljanuslov da polinomi P( x ) i Q( x) budu identicki jednaki je da koeficijentinjihovih odgovarajucih clanova budu jednaki. 791.Srediti polinom2x +3x'- 4x +5x'+2x' + I - x' porastucim ste-penima. 792.Srerutipolinome: a)5 +2x - 3x'+4x +6x'- 2; b)x' +2x'- x+4 +2x' - 3x'- 3 - x' po opadajucimstepenima. 793.Odreditizbirpolinoma5 +2x +x'i6 +8x +4x' +8x'. 794.Pomnozitipolinomex' +2x - 7i2x' - x+3. 795.Dati5UpolinomiP(x) = x' +2x' - Ii Q(x) = x' +x+I. Odreditipolinome: a) P(x) + Q(x);b) P(x) - Q(x);c) P(x) Q(x). 796.Dati5Upolinomi:W(x) = - 2x' +3x - I;P(x) = 4x' - 5x +3; Q(x)=-3x' - 8x+ 7. Odreditipolinome: a) W(x) - P(x) + Q(x);b) W(x) + P(x) - Q(x); c) W(x) - PCx) - Q(x);d) 2W(x) - 3P(x) + Q(x); e) - 3W(x) + 2P(x) - 5Q(x). 84 797. 798. 799. 800. DatjepolinomP(x)=(r+I) ' _{r+2)(x'+2I)S ' d"I' P( ... '.x- .relitpo1-nomx) poopadajuclmstepenima. Odreditirealneparametrea,b,c,takodasuIJolinom'P() . Q() 'd'X.dk'IXIX Ienth;no jenaI : a) P(x) =2x'- 9x' + 13x - 6iQ(x) =( x - 2)(a1"+ bx + c): b) P(x) = 6x'- 23x'+ 29x - 12 iQ( x) = (x - I)(ax'+ bx + c); c) P(x) =12x'- 40x'+ 27 x - 5 iQ(x) =(31'- I)(ax'+ br + c): d) P( x) =x '- 2x'+ 3iQ(x) = (x + I)(al"+ bx + c); e) P( x) = 2x' - x '+ x+ 4 iQ( x) =(x + 2)(aT'+ bx + c). Odreditikolicnikpolinoma: a)(2x' + x- 3):(2x+ 3);b)(3x' + x - IO) :(x+2); c)(2x' + 5x' + 7x+ 4) :(x+I); d)(2 x' +x' +x- I) :(x' +x +I), Odreditikolicnikpolinoma: a)(a'-b'):(a+b);b)(a' +b' ): (a+b); c)(a' - b') : (a'+ ab+ b');d)(x'- 3x'+ 3x - I): (x' - 2x + I). 801.Dat je polinom2a,x'- 4x' + ax - 2a,gde je a jedanparametar. a)Odreditiparametar atakodadatipolinombudedeljivsa x - 2: b)Odreditivrednostpara metra atakodaostatakdeljenjadatog polinomasax - 2 bude- 8. 802.Za koje je vrednostirealnihparametara a, b.c polinom F(x) deljivbl-nomima: x - I,x +2.x - 3; a)F(x)= x' +ax'+ bx+c; b)F( x) =x' - x' +ax' + bx+c? Koristeci Bezuov stay iii na nekidruginaCin, odreruti ostatak deljenJa polinoma (803-806): 803.(2x'- x' + 3x'- 4x+ I) :(x - I). 804.(3x- 2x5 + x' - 4x - I) :(x+ 2), 805.(x' + 2x' - 3x' + x- I): (x + ~ ) . 806.(2x'- 4x' - 6x' + 2x - 8): (2x - 3). 5 OdreditiostatakprideljenjupolinimaP(x) polinomol11f {x)(807-811): 807.*P(x) =X200- 3X' 99 - 1, f(x) =x' - 4x + 3. 808.*P(x) = X'OOO- 4X'998 + 2,f(x) = x' - 2x. 809.*P( x ) =x'ooo- 125x' 997 + 5, f(x) =x' - 5x. 810.*PolinomP(x ) pridelenjusax + Idajeos tatak3,apridelenj usa x - Iostatak5. Odredi tiostatakpri delenj llP(x) sax'- I. 811.*Ako polinom P{x) pri delenjll sa x - I daje ostatak 6. apridelenjllsa x + 2 ostatak -3, odreditiostatak pri delenj u P{x) sa {x - 1)( x + 2) 812.Odreditirealanm takodapoli nom p(x) =x+ mx+ 3x'- 2x + 8,budedelJl vsax + 2. 813.Odreditirealanparametar m takodapolinom p{x)= 9(x - m)'{5x - 16) - (x -12)( 7x -19) ' ,budedelj ivsa x - 3. 814.Zakoj e je realnevrednostiparametranpolinom p{x) =x' - 311x' + 4( /1 '+ I) x - (n'+ 5)delj ivsax - I? 815.Odreditirealnevrednostiparametara aib dapolinom p(x ) = ax'- bx' - 5x + 4 prideljenjusa x + 1 daje ostatak6, apridelj enjusax - I daj eosta tak2. 816DI'()4,, at Jepo mompx=x+ x+ ax'+ bx + c.Odreditirealnebro j eve a,b i c tako dapridelj enjudatog pol inomasa:x - I, x 2, x - 3 ostacideljenjabuduredomI,2i3. 817.*Zakojej erealnevrednostiparametram pol inom p{x)= mx'+ Il x' + 7x + mdelji vsa2x+ 3? realnebrojevemi/1takodapolinomp(x)blldedelj iv pohnomom f ( x ), zatim odrediti njihov koli cnik Q( x) (818-822): 818.p(x) = 6x'+ II1X'+ 27 x'+ nx' - 5x + 6,f{ x ) =3x' - 5x + 6. 819.p(x) =2x'+ 5x' - 17 x' + mx + n,f( x) =, 2x' - x - 6. 820.p{x ) = x' - 3x'- 4,f( x ) =x'+ II1X+ n. 821.p(x ) = x' + II1X'+ nx - 3,f{x) = x'- x + I. 822.p(x) = x' + 2x'+ 5x'- 4x + m,f ( x) = x'- x + n. 86 6.2.Rastavlj anj epolinomanaciniocc Zarastavljanje pol inomana cini ocekoriste se slede ,.'k"r ..".CIzaomI .onnule: I .Dlstnbllll vmzakon - Izdvajanj e ci ni ocaispred zarade ab ac = a{b c).g 2.Grupisanj eclanova Jax+ay + bx + by =x(a+ b)+ y {a+ b)={a+ b)(x +1'). 3.Kvadrat zb,ra. a' + 2ab + b'= (a+b) '= (a+ b){a+ b). 4.K vadrat razli keV a'- 2ab + b'= {a- b)./= (a- b)(a - b). 5.Razlika kvadrata, a'- b'= {a - b){a + b}= {a+ b}(a- b}. 6.Razlikakubova a J- b J= (a- b){ a' + ab + b'). 7.Zbir kllbova aJ + bJ ={a+b)(a'- ab + b' }. 8.Kubrazli ke aJ - 3a' b + 3ob'- bJ =(a - b)'=(a- b)(a - b)(a - b). 9.Kubzbira ___aJ + 3a' b + 3ob'+ bJ = (a + b)' = (a+ b)(a + b)(a + b). 823.Dokazatiidentitete: 824. ala' - b'= (a- b)(a+ b); b)(a - b) '=a'- 2ab + b'; c)(a + b) '=a'+ 2ab + b'; d) a' . - b J= (a- b)( a" + ab + b'};/ e) aJ + bJ = (a + b}{a'-ab+ b'); f)(a - b)1 = aJ - 3o' b + 3ob'- b' ; g)(a + b)J= aJ + 3o' b + 3ob'+ bJ Koristeciformule(a + b)' = a'+ 2ab + b' slevanadesno,odreditt kvadratizraza: a)2x +3y; d)a- b- c; g) 3x - J3; b) 3xy - 4; e)100 - I; b) a..fi + bJ3; c)a+b+c; f)I 000 + I; i).!. x _l.. 24 825. 826. Odreditikubdatihizraza: a) x + 2;b) x - I; d) ax + by;e)Xl+ 3a/; c)2x-3y; Ia t)- - -. 23 Dopunitidatepolinometakodapostanukvadratibi noma,zatimih oapisatikaokvadratebiooma: a)x' + 2x+ ".;b) x'-12x+ . . .; ,, 4 . d) x- 4mx + ... ;e) a+"5 a + .. ., g)I-4p+ . . .;h)a' -ab+ ... ; .) 9'+4' +' k)'+' +. J16 xy... ,xy. .., c)a' - 24a + ... ; t) a'+ 2.)5;; + .. .; h) 25x' + 1 + .. .; I)a' + 0,25 - ... ; Koristeciformulua' - b' = (a - b)(a + b),rastavi tiizraze(827-------1): .!.a' -.!. b' 49 ' ' 1 d)--a" 16' b)y' - 25;c)16-a'; e)9a'-I;f)9 x'- (.fj) '; h) 0,25x' y' - 0,0001. 4,9 ,49 b) - x- - y 'c)- m- 36' 2516'81' e)144a'-' 25x' ; t)169x' y' - I; g)a'- b';h)a""- b"'. 829.a)(a+ b)' -c';b)( x' + y)' -I;cHx- 2y)' - 9z'; d)(a - 5b)'- a'b';e) 0,49a'- ( x - )')' ; f)I - (2x - 5y')'. 830.a)(2a+b)'-(x+3y)';b)4(a-b)'-(2a+I)'; c)(x + 3y)' - 9(x - y)' ;d)4(a + b) '- (5 - e)' . ,, ,,xy, 831.a)8la-!6b;c)(3x -I)--25; S Koristeciformulua]- b]= (a - b)(o' + ab + b'),rastavitiizraze: a)x]-1;b) x]- 27;c)1- 270 ]; d) 64a]- b6;e) 343x]- 27 y];f)1 0000 ] _O,OOlb]; g) 125x]- 8. 88 "Koristecironnulua ]+ b ]= (a + b)(, _I ''. aa J + h).raSlavlllIzrazc. a) xJ b)a ' b'+ c) 8a ] +b]; d)27+ - \I '.)I + 0 00] 8"e, Ix;l)(x+I) '+ 125; g) (a + 5) '+ 343. ) 83.Zl Rasta,vitinacioi ocepolinome: L.-J a)4x- + 4x + I;b) O.Ol x'+ XY+25y'; d)-2yz + y' +z';e)a'-8a'e +16e'; 835.Rastavitinacini ocepolinome: c)a'+0+ 0.25; 9m2 1)16+ 4+ 3m . ala'- 6a'b+12ab'- 8b] ;b)27x] + 27x'y+ 9.ry'+ y]; c)I+15m+ 75m'+125m' ;d)8x]-12x'+6x- I; ) II ,,, e -+- a-+a +a' 273.,I) 27m'- 108m'" + l44mn'- 64,, '. Koristecidistriburivnizakon.rasrav,tinaciniocepolinome(836-838): --836.' bSJ t; a)a-- a;b)12a+18a;c)mr-m'r; - d)2aH ' + 6a";e)xam+"- xam;I) 2So"'"- ISo"' . .837.a)' 4ab + 12ae - 8ad;b)2(a + b) + x(a + b);, d) a(x + I)-b(x+I)."f b)m(x-Y)+l1x-I1),r c)ae+ad- pe - pd;d)a'x +b'y+a'y+ b'X; e) b(x - 3) + c(x - 3) + 3 - x; f)p(x+ y +1) - q(x + y +I)+r( x+ y +I). Kombinacijom metoda grupisanja i distributivnog zakona. rastaviti oa cinioce polinome (839- 840): 839.a)a]+ 4a'+ 4a + 16;b)a] -a'b+ 2ab'- 2b' . c)xJ - 3x' + 3x - 9;d)4a'+ 2ab+2ac+ be. 840.a)14ab +l5ac - lOa' - 2lbe; b) az '+bz' + az+bz+ a +b; 8 'J'' 16'J'12J '. c)x- yz- 6xy+xy= - .\Y. d) aJ + a' b - a'e - abc; 9 e)o'x + o'v - ox - ay + x +y; ", f)ax - + bx- - bx - ax + c-x- - ex. Rastavitina cini oce sledecekvadratne trinome(841-842): ) 84l.7 a)x' - IOx +9;b)111 '+ 6111- 7;c)2,x' -I Ox- 12; L-J d)x' + 7x +10;e) o' + 50 +6;f)x- - Il x+ 24. a)2x' -5x- 3;b)2x' - 9x - 35;c)60'+ 110 + 4; d) 3y' +20y +J2;e) 0' +0-2;f) 6b' -39b + .!.8. Kombinacijomraznihmetodarastavitinafaktorepolinome(843-853): a)0'+ -l:.b'- e,' :."Lb)x'- 2xy +y' - 9; c) 4 - p- + 2P!L.:::q- ;d)16m'- 9x'+ 12xy- 4/; e)a' b'+ e'-:'"20be - 25;f) x' -1- 2y - yo. "bb) "844.a)a--b-I+a- ;x- y-x+ y, c) 4a'- Ill '- 2a + m,d) a'+ a'- 4a - 4. 845.a)2x - 2y - x'+2_\), - y'; b)111 '+211111+II '- x' +2.\)' - y' ; .,_ ,I.,., ,,,,.,-... 846. c)ax - bx-a- +2ab- b- ;d)9+ 6a+a- - b- - 2be - e-. ""'---- _r'-a)7 x' + 2x' - 63x - 8; c) .;-;- x' y-=;y- + yJ; - -------....-b)x' - x' - x + I; d) x- y- - X'- y- + I. 847.a)b' + ab' -10 - 4b;b)x'+ 2x'- x - 2; c)a'_a'+a'- I;d)p ' x '- q' x '- p '+ q'. 848_a)x' - x '+ 27x' - 27;b) a'"- I; c)xJy' - xJ - y J + I;d)a' b'-aJ + 8b' - 8. 849.a)(x- y)(x' - z')-(x-;- z)(x' _y ' ); .--. b) b(b +3)(b':' 4) - (2b - 7)(b +3) +b' - 9; ) (x - 3)(x' - x + 1) + (x - 3)(2x - I) - (x - 3)(x'+ 4); d) fx + 1)( 4x - 3) - (x + I )(x' - 4) - (x + 1)(x' + 2x - 3). 850.a)5x" + 2- 20x"; c)12x'u + J- 27 XU +'; 851.a)x' + 4; c)a' +a'b'+ b'; b)a"b' "-4a"b" ; d) 4a'"- 100a". b)x + 4y'; d)I + x' + x' . 852.*a)x'+x +I;b)x'+x'+I. 853.*a)x ' ( y- z) +y'(z - x) +z ' (x _y ); b)(x +y+ - x'_y '- z' ; c) (x'+5x)(x'+5x+10)+24; d)(x'+7x)(x'+7x+ 22)+120. Kori steci BezlI ov Slav,rastavi li na ci ni oce polinome (854-860). 854.P(x) =x' - 2x'- 7x'+ 8x+12. 855.P(x) =x'- 2x' - x + _ 856.P(x ) =x' + x'- 16x'- 4x+ 48. 857.P( x) =x' - 13x' + 36. 858.P(x) = x '- 3x' - 5x'+ 15x'+ 4x - 12. 859.P(x) =x' - x' - 13x' +13x' +36x - 36. 860.P(x) = x'+ 3x'- I lx' - 2h' + l Ox+ 24. 861.DokazatiDiofanloveidentitcte: a)(ax+ by)' +(ay - bx)' = (a '+b' )(x' +y'): b)(ax - by)' +(ay +bx)' =(0 '+b' )(x'+ y'); c)(ax+ by )'- (ay + bx)'= (0'+ b')(x'- y' ). 862.DokazatiLagranzeveidentitete: a) ( x' + y' )(0 '+ b' ) - (ax + by) '= (bx - ay) '; ")").".,.,b' b)(x- - y- + 2 -)(0- + b- +c-) - (aY+1'+e:)'= = (bx + oy)' + (ey - bz)' + (az- ex)'. 863.Dokazatiidentitet: (0- b) '+ (b - c)' + (e - a)'= 3(0 - b)( b - e)( c - 0). 864.DokazatidajepolinomP(x ) = x" - x'+x' - x +IpozitlVanza svakox . 865.Dokazatidaje polinom P(x) = 116 - II '+II'+II'- II+I pozItivan zasverealnevrednostin. 866.Dokazatiidentitete: a)(0+b +c) '= a'+b'+e' +2ab +2ae +2bc; b) (0- b-e)'=0'+ b' +e' - 20b - 2ae+ 2bc; c)(o+b+ e +d)' =,,_, = 2ab+ 20c+ 20d+ 2bc + 2bd+ 2cd+a- + b- +c- +d; ",lb ')(' + b l)- b" d)(o'+b' )(o'-o-b- +b) - (0- 0-_ . )1 e)(x+y + Z ) '+(x + y - z) '+ ()' +z- X ) '+ (z+ x - y )'= =4( x' + y' + z' ). 867.*Akojea'+ b'+c'=ui a+ b+ c = v,tadaje ,,,1' )Dk. a- +b-+c- +ab+ac +bc = - (u+ ,'-.0azau. 2 868.*Ako je a + b = ui ab = v.tada je aJ + bJ = u(u '- 3v). Dokazati . 869. *Dokazatida je pol ioom 1,,II ,' )kd. - +a-+ b- - a+ - b" -ab" .varattnnoma. 422 Kombinacijom raznih metoda rastaviti na faktore sledece polinome (870-879): 870.X"- XS + x'- I. 871 .4(ab + cd)'-(a' + b'-c' - d')'. 872.(x + y + z + xyz)'- (xy + yz+ xz + I) '. 873.( x'_y ' )'+ 2(x' + y' ) + I. 874.a6 + as + a'+ 2aJ + a'+ a + I. 875.x' -7x3y+Sx' y'+3 1xy'-30y ' . 876.*(x'+ 4x + 8)' + 3x(x'+ 4x + 8) + 2x' . 877.*(x'+ x+ I)(x' + x+ 2)- 12. 878.*(x + I)(x + 3)(x + S)(x + 7) + 15. 879.*(x' + x+I)(x' + x' + I ) -I. Dokazati da je datipolioom kvadrat drugogpolinoma (880-887): 880.36x+ 12x'+ I. 881.4(x+ b)(x+ b-a)+a'. 882.*(x + I)'(x' + I) + x' . 883.*9(a'+884.*a'+(a+I)'+(a'+a)'. 885.*x(x - l)(x + I)(x + 2) + I. 886.*(x + alex + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a'. 887.*(a'+ I)'- (a'- I) ' (a'+ I). 92 6.3.Operacijesaracionalni malgebarskimizrazima Neka su:A, B, C, D, Mpolinomirazlicitiodnul e. 1.Kolicnikdvacelaraeionalnaizraza(polinoma).x.d1' 1 r "' .'pncemuJCeI ac raz leltodIlule, nazlva seopsttalgebarskirazlomak, tj . p Q'(Q ""0). 2.razlomkase. ne menj aakosebrojilaeiimenilaepomnoze Jedmm ISUmalgebarsklmIzrazom (brojem)razlicitim odnule,tj . PPM Q =QM '(Q,M""0). 3.Vrednost opsteg razlomka sene menjaako se brojilaei imenilae podele jednim istim polinomom(broj em)razlicitimodnule, tj. P:MP Q:M=Q'(Q,M""0). 4.Zbir (rafzlika)opstihrazlomaka jednakihimeoilaea je identickijednak opstemrazlomkuistogimeni oea,abrojilaejejednakzbim(razliei) bro i oea,tj . ABA B CC=-C- ,(C., 0). 5.Proizvod dva opsta razlomkaidenticki je jednak opsternrazlomku ciji je brojilacjednakproizvodubroioea,aimeoilaejednakjeproizvodu imenioea, razlomaka kojisemooie, tj . ACAC B. D=BD '(B,D" 0). 6.Kolicnikdvaopstarazlomkaidentickije jednakproizvodurazlomaka deljenika i reciprocne vrednostirazlomka delioca,tj. 888. 889. A: C=A. D(BCD"" 0). BDBC'" Skratitirazlomke (888-896): 4ab a)6a' b; (x + 2) ' a) a2a'(x + 2)' 9ab b)18ab; b)x(a;=t- b); 2ax+2bx 7a'b. c). 21ac' 3a'b'(x + y ) c)'J '')' 450-b(x' + 2xy + y-93 890. 891. 892. x'- x I-a'x' - 8x +16 a) - -;b)'::"""---a -Ixy- 4y c)----x'+ 2x' + x' (a+b) ' -4)a' -9 d)" e" 2a + 2b + 4 'ab + 3b - a - 3 Sa'+ IOab+ 5b'x'- I6a'b - 3a'- 3ab' a).,., ; b)2 ',, ;c) lSa - -15b- I+a x -- x --a-(a'+ b'+ c' )'- (a'- b'+ c')' d) 4ab'- 4abc ab' - a' b (ax + I ) '- (x+a) ' e),' ( l- x)( I- a-) ) nII b2na2n bm _bnl a- a"b)_ - - = : ~ _ . . . . . . . : . .__ a)a'n_2aln bn+ anbln'aln bm + 2an bm + bm' aTl+)+ an+1 d)"..s" +), a-a a 211 +I_ a2n-1 e) an- \ + an x'+ x' + Ia4 + 3a' b'+ b'- 2a' b- 2ab' 893.*);b) ax'+ 3x'+ 2x'+ 2x + Ia'+ a' b'+ b' 894.* a'+ b' - c' + 2ab a),,,' a- + c- b+2ac a' +1-2a' b)," I- a -a- +a a' + 2ab + b'- 4 c) .,.."a- + 4a- b- + 4 a' bc - b'c + 2b'c'- be' d)" 4a' b' _(a'+ b'- c')' 895. 222 '" X- 5x + 6y- 3 y- lOx - 4ax + 3a -a),;b) ,; c),b x--3x+2y -+ y +2x- -(a+b)x +a xlx-31+ x'-9 896.*a),,; 2x- 3x- 9x a'- 4 -Ia- 21 b)"; a+ 2a- - Sa- 6 x' - 6x' + Ilx - 6 c)2; (x'- 4x+ 3x)lx- 21 x' - 1+ 1x +11 d)" Ixl(x-2) 897.*Dokazatiidentitet (a+I)'+a+1 =---" a+2 a' - (a'+ 2a+ 2)' 4 Skratit i razlomke (898- 907): 898.a)(a : + a + I ) '- (a- I) '. (a - - a +I ) '- (a+I)" . 3)s) 899 ) .tY- XY .a"" XY( 1- xyj"- x'y'(X _y )" ) a'+ b'+ ab'- 3a' b 900.a" a' - 2ab - b'' 901. 902. 903. ,b',, a- +- - c- - d - + 2(ab - cd) a'- b'+ c'- d'+ 2(ac - bd)" a'+ b'+ c' - d'+ 2(ab+ bc +ac) a'- b'- e' - d'- 2( bd+ be + ed)" x '+ ax'+ax+a - I x' + bx'+ bx + b - I" , + b'(b "" 904.*a+ a- + c')+b(a- +c-) 905.* 906.* a'- b' + a(b' + c')-b(a' + c' ) " a'+ b'+ a' (b + c)+ b' (a + c) aJ _b'+ a'( b+ c) - b' (a + c) " (a+ b) '+ (a + b) '+ (a + b) + I (a + b)'- (a + b)'+ (a + b) - ( 907.*(a +b + c)'- 5(a + b+ c) '+ 4 (a+ b+ c)'+ 3(a + b + c) + 2" , +', b)xxy(x-+Y- )+Y' ," x+ x-y + y' b)(mx+ ny)' - (nx + my) ' (ax + by) '-(bx+ay) '" . ( '" b) x- ,a-+b- )x- +a'b' x - +(a+ b)x+ab 908. *OdreditirealnebrojeveI, m, n ip daserazlomak x' + lx' + mx' + IIX+ p"" ",posleskracivanJ3svedenarazlomak x+ 3x- + x - 5 x'- 4x+ 5 x-I 909.* 910.* 911 .* 912.* 913. 914. 915. 916. 917. 918. 919. 96 Skralililirazlomke(909-912): x' + (8x + 15) I x - 31- 27 A =,. x"-2x-3+Ix-31 x ' -6 Ix -51-25x A =,. x"- x - 20+ 21x - 51 x' - 24 1x - 101- 100x A =,. x"-9x -l0-3I x -l01 a'- 16 A =a'-4a'+8a' -16a+16' OdreditinajrnanjizajednickisadrZalacpolinoma(913-918) : a)a'- 2ai a' + 2a;b)x' - 2x + I i3x' - 3; c) a'+ 20b + b'i a' - b' ;d)2y' - 8i 3y' + 6y. ala'-10a + 25,3a +15i2a; b) 3a - 3.a'- I i a + 3; c)5a - 5b.a'- b'i a' b + ob'; d)3a - 15.a' - 25i 5 - 0 , a)x' + xy. xy +y'ix' + 2xy+ y' ; b)2m'- 4mn + 2n' . 6m'- 6n'i18m+18n; c)25a'- lOa + I,50a'+ 20a + 2 i25a'- I; d) as - 81a,a'+ 18a'+ 81i45a- 5a'. a)4 - x' , x - 2 i2x'- 8x + 8; b)a'+ 8a'+ 16ai a'+12a'+ 48a + 64; c)2a'- 2.a' + a'+ a + 1 i a'- a'+ a-I. a)9a + 15.360'- 100i- 9a'+ 30a - 25; b)2ay'- 20,y' - 2y' + Yi 5y' + lO y'+ 5y; c) 4a'+ 4ab + b', 4a'- b'i8a'+ bI a)3x'- 12x'+12x,Sx'+20x' +20x'i3nx'- 12n; b) 4x' + 4xy+ y', 4x'- y 'i12x' - 12x'y + 3xy" 3":221c)3x- 12x"+12x,ax+ 4ax + 4ai3bx- 12b, Uprostiti racionalne izraze (919-950): 357x +3x-I a)- + - - -;b)--- --; xxx44 2x + 13x + 1x - 2

)m+nlIl-n C--+--' 33 ' e)x - 3_x + 3 x -5x-5 ' \ (a)4a + 3b 10 2a- b --' 15' b)x-3Y _2x - y . 1I0' + b' c)-+-- ' 6a4b'6ab" ab0+ b a),+,- --; ab - ba"- abab ) 16x - x'3 + 2x2 - 3x c+-----. x' - 42 - xx + 2' 128' 4m- 5p 1/1 "pmp" b)a_ _ _' 0 '- 9b'a + 3b I2I d)-,--+--+--x- xI - x'x'+ x' ( 922.a)_I__ 9x+3+-2_ , 6; + 38x'- 22x - I' a" -a- 6a- I b)5x3x - I x'- 6x + 9x' - 9' c)---2' a' - 42- d' d), 5_4 - 3y' 2y " + 6yy' - 9 3. b)a+ 1 2a - I, a + 20' - 4a - 2 ' 923. Xl+ y2Xly2 ), + ---' , '---xyxy - y"x"- xy a+ I?2 d)-,--,=-+ ," fI"0"- aa-a" c)6x+5_3(2x-l)+SOx, x + 5 .x - 5x' - 25' ,b.,.,z., ) a"+ a+b"a"- ab + b2o"b a+- ' a+ba-ba'-b" 924. b) x'y'(x' - b')(b' - y')(a'- x')(a'- y') --++. a'b'b'(a' - b')a'(a'- b'), ) a' - bx3b - 00+ 2x c,+ o- ab + bx - ax2a - 2b3a - 3x 925. ..--.. )2x3x' +2x +1x + 1 a--- +.,; x-Ix' - 1x"+ x + 1 b) 30x'815x+ 5. ---+ -------; 9x'-x6x-29x' +6x+l' 112 c),+,+,; x+10x+25x"-10x+25x"-25 d)4a' + 9a + 5 _1 - 2a6 a'- 1a' + a + 11 - a 97 96 ' )x3x - 12x + I 2 .a-----+,; ---7x-Ix - 2x' - 3x + 2 927. 928. b x - 5x +316 ) --+ --+ --:----x -3x+5x' -2x -15' x- Ix -712 c) --- --+ ----:----x+1x + 7x' +8x+7 X2x' + 2xy4xy a)--+.,- 2.,; 2x - y2xy +3y'4x+4_\y-3y' b 3 - 2x3 + 2x15x' )-----+. 2-3x2+3x4-9x' 9x'I6x a)1+ 3x+ --- --- -::-'--1+3x1-3x9x'-I' b)5x, x+ 5x' 3-15x10(5x' +2x) .,+2 I - l Ox + 25x'I - 25x a'+ ax 929.a)- ,:----.::,. a'x - x3 a- x ax+ x' 2x3 ,, +--; a'- xa+ x b)5+a - 3xI17 x - 25a .,.,++ "l ., . 3x - 3ax' - a'2x + 2a6x' - 6a' a'- aba' b + ab' b).. a'+ abab' 930. --' - _ . a-Ia+I' , 3x - 3yx' -y' d).,, . 2x + 2yx' - 2xy + y-

x'2- 1a' x' - 1a2a' + 2 931.a)--'. . a'+ax'+x'+x+1(x-I)" 98 ,,'2 bx' + y- z +xya + b - c )b'2'.; -a-c+2acx +y-z x3 + 2x' - x- 2 c)-- ---a+! a' +ax - 2 x'-2x'-x+2x+2 m -n); l;/m-n\m+n x+ 22x - I2' () 935. 5Y. .( x +zx+ y )z' c)--- -- .. zXXl- yz' () I,, d)I + _a_. ---=-:c. ..!...=.!c I - aI + ba + a' 7a21a' )6b':8"b; b 4x' y'. 8x' /. )--15b'c.5c'b' c)x' - 25. x' + 5x . .,.2' x"- 3xx- 9 b'- y'b - Y d)3a'_3/ . a'+ ay+y" a'+b'a' _ b' e),.,. 1+2m+ m"1- 2m" + m' a)-mn/1/ 'n" b) :(_x + I); 1- xx - I . (2X+I2X-I)4x c)2x _I - 2x + I: 6x + 3; d)ax +a . x' - x + I x + Ix' + 1 . (X' -X-3 e) x - 4 x + 2:,. ) 25x'- 110x + 121 x"- 2x - 8 a' 2b b' 4 +a' y - -1- - +-4 - --a) y b) aa' c) a , ' a-b I y a- -2a a , 4x' , a'xy - - - 3a - -5 b' y x c) 3a . a) b) b ' ' x a 4x - -a - +-1- -5Y x 9a' 1+ a' + b'- c' ,, 2ab u- v d) (a+b)' - c' e) 3v' u+2v+-4a'b' u-v 99 2a+b2a-b 2a-b2a+b 937,a) 4a'+ b'4a'- b' ' 939,* 4a' - b'4a'+b' I I+a+ --I- a c)----1+_1_ 1- a' xI --+1- --1+ 1.I+x d)_--'x"--___ xI --+ --I-.!I- x x

__I )( x - y_I) xy'x+y b). (x- y)(xy)' --+1- - -x+ yYx ex + y)3 x3 _l' c) ----"'----x3 + l' x- y d) _3_xy "------:-__ (x _y)' -'---------'-''-- + I xy x + y x - y x + x' + x3 + ... + x I111 -+-2 +,+ ... +-xxXxn , 940,a) (1X Y+xy 2y) (xy) --+. --2+-' x + yx2 + xy,Yx' b)x- xy_2xy- 1y ( 22) x'y+,iy3_xy'+X'y_x3 '(I--x--7} 100 941. 942. 943. 944.

6-3aa+2a'-4'a -2' a)4a'- 1.(a1a2) a3 - a' - a + 1 .a' - 2a + 1 - 1 - a . a + 1 - a + 1 ; ( a2+b')(b') b)2a+:a+--ba + 2bba' c)_2__a-2_24 30+ 62a2 +4a3a'+ 12a+ 123o(a+2) " ax + + .) ( 6x - 12)12a 2x - 42X'+6x - ax - 3oa' - 4x" b)x_2'( 13X+X') .,')+ . ax - 2a- X- + x - 2ax- 2aX+3 a) ( X+ Y _ X- Y):(X-y+X+Y);. x - Yx+yx+yx - y 2xy) .4xy. .,') .?, X+ Yx - Yx- - y- x' - y-( 2x4yy) ( c),+ ,,- ,:1 x- + 2xyx- - 4y- xy - 2y-a) +b' \C;c-a'} b) ((X: +.!):(-;_.!.+,!,)): (X - y)' +4xy; yxyyx1+ 2: x c)a2 + a - 2(a + 2)' - a'_ an +)_3an 402 - 402 - a 101 945. ( z - 2(z + 4)' -12I).z l + 2Z'+2Z+4 a)+--- .l', 6z + (z - 2)'z' - 8z- 2z- 2z- + 2z - 4 ( ,' ) ' 330- + 30 +3a-aa -a-b)- -- ,:-,- - .-- ; a -Ia- - 1a+ 13 c1++-- - . ( 8e'm)(m+2e/II) )m'- 8e,2e - m2em + 2e 946.a)( I- 3x + Y)( I_2x + Y): (I+, 3y', ); x - yx +2yx -- 4y-947. (22m)2m'+ 2m4 b) ,- "+--; m- - mI - m'm- Im - I 1 - a' 1 + a'_3a+I)(a - ( 9a' + 1I1) a)- ' . 1-6a+9a'27a'-9a' -3a+I ' 27a' +1 . (27a'- 18a'+ 30) b)(2a' +3a 4a' + 12a+ 9 3o+24a-I)(2a+3) 2a+3+2a+1'2a-3 ; ) 3(3-a)46 c+ --- --:----a'- 1a + 1a'+2a +1 2(5 - a)

d) (1_1 - m.1 - 2m) . 4m + 2 2 + 4m8m'+ 1 . 4m' - 2m + 12m - 1 , . 1- 4m + 4111 -948.a) ((_3_ +3x,. x' + xy + Y'):2x + y) . _3_; x - yx' - yx + yx'+ 2xy + y'x + y b)3x -x' + 2X+4).2x+ 2. x + 2x - 2x'- 8x + 2. x' + 4x + 4' 102 c)"+. ( 3x + 62x'- x - 10) 2x+ 2x-+2x+22x' -2x'+2x-2' I+-II24816 949.*a)-- + --+ --+ --+ - _ + __. I- xI+ xI+ x'I +x'I +x'l +x16' b)I+I++ x(x +l )(x+ I)(x+2)(x+2)(x+3) 1 ++. (x+ 3)(x + 4)(x + 4)(x + 5)' '()".,.,.,')., x- x - I- x- - (x- - 1) - x -ex - 1) - - I c)2.,.,+ .,.,+, ; (x+ 1) - - x - x-(x +1) - - Ix' - (x+1)-9-x'x' - (2x -3)'4x' - (x - 3) ' d)'}., - .,2+... ; (2 x + 3)- - x- 4x- - (x + 3)9(x - - I) ( 4' a-a- +2a-1 e).,.,., (a- + 1) - -a-,,' ) ,(a- I)- a- a- - 20 a'+ 2a'+a'-1.a' -I 950.* a)I x'- II + I x + 11.I x'+x'b)I x + 21+ I x - 21; Ix' -II+ x'Ix-1I1.. 1- 1x' - Ixl c) ,.d),' II; 2.e- 1x - I'x'- Ix- 2x+ I e) ( x' I x - II2.. I x + II+ 2x _4) : I., - 21 x-Ix +l 951.Dokazatiimp1ikaciju a)(x,", - yAx'"' + 1 A y '"'I A y '"'OJ=> x'-I.[_I __ lj.x- xy, - :, + y= y' + y+ l; y' + xy1I - x - .Y 1--Y 103 ab - + -ba2ba- 2b' b)(o'" 0" b '" 0" 0'" - b)'" -1-- 1 +-1--1 - - 1- - , - +- - + -obabab (x+ y )J)(X-y) ')x+y c)(x'" 0" y'" 0)'"3xy- x - y:xy+ I= -3-' II 952.*a)-----+ -----+ -----(a- b)(a - c)(b - a)(b - c) b) x' b), x- xy - xz - yz y2Z2 + ---:-----'---- + -----y' - xy + xz - yz( z - x )(z- y) 02 - bcb'- OCc' - ab c)++ (0+ b)(o+c)(b+c)(o + b)(c +o)(c +b) 953.Pokazatidavrednostizraza 44 --.,--- ' --- ----IIb(abc+a+c) a+ -- a+-b c ne zavisiod a,b,c. 954.Pokazatidajevrednostizraza (X2+ 2x- llx- 2) :(x + 1- 2x'+ X+2), 3x + I3x + I ceo brojza svako x EZ. 955.*Pokazatida je vrednostizraza (6a'+ 50 - 1+ a +4) :(30_2+ _3_). a +1a+1 neparanbrojza svako a EZ\{ - I}. 104 956.*Pokazatida je vrednostizraza _I_64 x'x'4x'(2x + I) 4 ++ 4 _+ I - 2x xx- xx-neparanbrojzasvakoxE Z \{O} . 957.Pokazatidaje izraz II aba'b'ab II' (a+b)'-3aba'-b" - + -aJ bJ poziti van ako su a i b supromog znaka. a negativan ako su iSlog znaka 1 ako je a '"0 1\b '" 0 "Ia I'" b. 958.*Pokazatidavrednostizraza ( I21I )' I '+31 +2 +I '+ 41+3 +I' + 51+ 6 (1-3)'+121 2 ne zavisiod i ako je 1 '" - 1 "1 '"- 2 "1 '"- 3. 959.*Pokazatidavrednostizraza b(abc+a+ c) I ---: --,(a;>~=!!.... h'" a b)/';.ABC- /';.A'B' C' =>~ = : ! . . . S'd' c)/';.ABC- /';.A' B'C' =>.!-.-=a'. pid 2 1051.DatjetToligaoABCstranieaAB = 20cm,BC =12emI CA=16em DuzMNparalelna je strani eiAB, gdeM EBC,NEAe. Odrediti dllzlvfNako je elvl=3 em. 1052.Odgovarajucestrani eedvaslj cnatrouglasu15emi6emvisina koj aodgovara vecojstrani ei je 8 em. 1zracunati visinu koja odgovara manjojstramel. 1053.Strani eatrougl aAB =8 em, avisinakoj a jojodgovaraiznosi6 em: nakomrastojanj llodtemena Ctrebakonstruisati pravuparalelnu sa AB tako daje njen odsecak izrnedu dveju straniea trouglajednak 4 em? 1054.Dat je jednakokrakitrougaoosnoviee3 dmikraka6 dm.Odsecak prave,paralelneosnovieiizOledukrakova,j ednak je odseckukraka koji je bliziosnoviei.Odredi tiodsecakpraveizrnedllkrakova. lOSS.UtrougluABC Sllstrani eeAB=15emi AC =IOem. Konstruisana j esimetralaADuglaA, D E Be.DlizDE IIAB, E EAe.Odrediti duziAE, ECi DE. 1056.Straniee trougla su 26 em, 38 em i 46 em, anajmanj a straniea njemu slicnog trougla iznosi 13em. Odrediti ostale straniee drugog trougla. 1057.Stranieetrouglasu27,21i18.Odreditistranieenjemuslicnog trouglaako jekoefieij entslicnosti5: 3ikonsrruisat i ovajtrougao. 1058.Stranieetrouglaodnosesekao3:6:5,aIlajvecastrani easli cnog trouglaiznosi3,6dm.Odreditiobimdrugogtrollgla. 1059.UtrouglovimaABCiPQRLA =L Q,LC= L P,AB = 16 em. AC =20 em, QR =12 emi PQ je veca od BC za13 em. Odredi ti 0-talestrani eeobatrougla. 1060.Dvatrouglasusli ena.Zbirdyeodgovarajucevisineje121cm.a koeficij entsli cnostiiznosi1,75.Odreditivisine. 1061.UtrougluABCdatojeAC=30em,BC=26emivisina CH=24em. Odreditipoluprecnikopisanekrufuiee. 1\7 1062.Ukruznicipoluprecnika32,5emupisanj elrollgaoABCSlrane AC = 60 cmi BC= 52 cm.Odreditivi sinuCHtrollgl a. 1063.*Vis inaCDjednakokrakogtrouglaABCsavrhomCseccopi sanu kruznicuu tackiE. Dokazatisli cnost trollglovaDBCi BCEi taenost jednakostiBC 2= CD . CE. 1064.Krak jednakokrakogtrougla je12cm, avisinakojaodgovara osno-vicij e8 cm.Odreditipolupreenikopi sanckruzniee. 1065_*TackomKnaprecnikuABkruznieekonstrllisanajepravaI , nor-malnanaovajprecnik .Proi zvolj natack aMkrll zni ccspoj cna JCsa tackamaAiB.PraveMAiMBsekllpravllI1Iodgovarajllcim tackama Ci D. a)Dokazati jednakost KC . KD=AK. KB; b)TackaEsimetricna jetackiB1IodnoslinaK.Dokazat idaje t!.KAC -t!.KDE. 1066.*Ut!.ABCzalIglovea ,f3istranieea,bicvaziimpli kaeija f3= 2 ab'= a(a + c).Dokazati . 1067.Straniceparalelogramasuaib,avecavisinajednakaj emanjoj stranici.Odreditidruguvisi nu. 1068_Stranieeparalelogramasu16emi12em,azbirnjegovihvis inaje 24,5cm.Izracunativisine. 1069.Visineparalelogramasu4emi6em,aobim30cm.Izracunati straniceparalelograma. 1070. I' PravapsadriijednotemerombainaproduZeeimadrugihdvejll straniea odseea odsecke.Dokazatida je straniea rombageometrij ska sredinaovihodsecaka. 107y*UtrapezuABCDL BCA= L CDA;dokazatidajedijagonalaAC geometrijskasredinaosnovicatrapeza. 1072_Dijagonale trapezapresecnomtackom podeljene Sllu odnosu m : n,a srednjalinijatrapeza j e s.1zracunatiosnovicetrapeza. 1073_Osnovieetrapeza5Uaib,avisinah.Odreditirastojanj epresecne tackedijagonal a doveceosnoviee. 1074.Osnovicetrapeza su a i b,a krak c.lzracunatipomoclinjihduzinu x, zakojutrebaproduzitikrak c dopresekasadrugimkrakom. 1075.Nageografskojkartirastojanja izmedutIimesta su6 cm, 5 em,i 4,5 em. 118 Najvece od ovih rastojanja u prirodiiznosi15km.Odreditirastojanjeuprirodii razmerukarte. 1076.Utvrdit ikadaSlisli cna: a)dvakvadrata: b) dvaromba: e)dvapravougaoni ka: d)dvaparalelograma; e)dvatrapcza. 1077.Strani ee petouglasu:3, 5em;1,4em;2.8em;2, Iemi4.2em NaJmanJastrameanJ emusiI cnogpetougla Je1,2em;izratllnalios-tal estranlee ovogpelOugla. 107S.Najvecastranieapetougl aiznosi14em.a obim46em.Izracunall obimnjemu sli cnog petougla,ako je njegova najvecamaniea 21em. 1079.Dve odgovarajllce strani ee slicnihmnogouglova 17.110Se35emi 14cm arazlikanjihovihobimaje60 em.Izracunat i njihovcobi me.' 10SO.U j ednakokrakom trougluosnovice12 em i kraka18cmupisanaje kntznieaikonstrui sanajetangentaparalelnaosnoviei .IzraClInalI duzinuodseckatangenteizmedukrakovatrougla. lOSt.StTanieetrouglaodnose sekao2 : 3 : 4.a obimnjemllslicnog trougl" iZll osi83, 7elll .Izraellnatistrani eedrugogIrougla. IOS2.Strani eecetvorouglaodnosesekao 20 :15 : 9.8,a zbir dYemllllje stranieenjellluslicnogeetvorouglaje25.5em.Odredltistramcc drugogcervorougla. IOS3.KOl1strui satit!.ABC akoje dalO:LII =a. L B =f3i visi naCCI =h. 1084.Konstruisati jednakostranicantrougao date visi ne h. 108S.Konstruisatitrougaosli eandalOmakomuje datatezisnaduz. IOS6.Konstruisatitrougaosli eandatomalidvaputavecihslraniea. 1087.*KonstruisatitrougaoakosudatadvauglaitezisnaduzkOja odgovarastranieinakOJojSllnal eglidalluglovi. 108S.*KOl1stntisatitrougaoakosudatijednastranlea. jedanugaonanjOjI razmeradyedrugestraoiee. 1089.Poluprecnieidvejukntzni ea suR i r,a njihovoeemralno :astojanjc d (d > R + r ).lzraclInatirastojanj epresccnctackezajedI1l ck Ih unu-trasnjihtangenataod datihkrumiea. 1090 .PIimenomsli cnostitrouglovadokazatidateziste delI"akutei!. nl! duzu odnosu2:I. 109\.Dokazatida je konstamanproi zvododsecaka kOJe ortoeentarIrougla gradinaistojviini. 119 1092.*Neka je E sredistestranieeABkvadrataABCD.OW'editiu kojojra zmeriduz DEdelidijagonaluAC. 1093.*NaosnovieiABjednakokrakogtrouglaABCdata je tackaM,tako dajeAM =k.OdreditirastojanjetackeModkrakova~ABCu funkeijia,b, k,gdejeAB =aiAC=BC =b. 1094.U jednakokrakog trougla cija je osnoviea ai krak b,ugao na osnovici 72.Dokazatidaje b =~ a(a +b). 1095.Data je kruznica ki tackaMvan nje. Iz tackeMkonstruisana je tan genta( iseciea s, takoda je s n k ={A, B}aInk ={T} . Ako je MA=4emiME=9 em,izracunatiMT. 1096.U jednakokrakomtrouglueentarupisanekruznieedelivisinukoja odgovaraosnovieiurazmeri12:5,krakje60em.Izracunatiosno vieu. 1097.Datje jednakokraki trougao ABC sa vrhom B, osnoviee b i krakoma. AkosuANi CMsimetraleuglovaAi C,odreditiduzMN. 1098.UtrougluABCprava CDje simetralaugJaC,tackaEpripada stra nieiBC, B-E -G,DEIIAC, B -D - A.AkojeBC =a, AC=b, izracunati DE. 1099.TaokaF EADstraniei paralelograma ABCD,A - D - F. BF sece di jagonaJu AC u E i stranieuDC u G.Ako jeEF =32 em, i GF =24 em, izracunati BE. 7.4.Primenaslicnostikodpravouglogtrougla Ako je trougaoABCpravougliL C=90,ai b katete, c hipotenuza, h hipo tenuzinavisinaCC',pi q duZineodsecakaBe'iAC' nahipotenuzi, tada vaZi:a' =pc,b' =cq,h'=pq,a' +b' =c'. 1100.Ako je ~ABCpravouglitrougaosapravimuglom C, C/,b,c redom duZinestranieaBC, CA,AB,hduZinavi sineCG',piqiduzine odsecaka BG'iAG'nahipotenuzi,tadavazi: (1)t1ACC' - t1ABC,t1 CBC' - ~ABCi6.ACG' - t1BCG' (2)a' =pc, b' =cq,h'=pq. Dokazati. 1101.Zasvakipravouglitrougaovazia '+b'=c',gdesuaib duzine kateta, c duZinahipotenuze. Dokazati. 1102.Ako su a i b duzine kateta, h duzina visine, koja odgovara hipotenuzi, dII10k, taaJe-=-+-.0azaU. h'a'b' 120 1103.Kruzniee(0, R)i (0"r)suspoljaiinjesazajednickomtatkomT. Konstrui sanaje spoljasnjazajednickatangentaAB. Dokazau: 1 da je duzina ItangenteABgeometrijska srcdina prenikakruZniee: 2 da se duz ABvidiiztacke T podpravimuglom; 3 daje 00, tangent a kruznieeprecnikaAB. 1104.Upravouglomtrouglukatetesu ai b,njihoveprojckcijenahipote. nuzi c supi q hipotenuzi navisinah.Odreditiostalacetirielementa akosudatadva: a)b=156em,q= 144 cm; b)p= 225em, q= 64em; e)a= 136cm, h= 120cm; d)a =130 em. b= 312em; e)p = 16 el11,q = 9 em. 1105.Kat ete pravouglog trougla su12emi 35em. OdreditimedijanukOJa odgovarahipotenuzi. 1106.Oat je jednakokrakitrougao osnoviee36 dmi kraka30dm. Odredlli visinukojaodgovaraosnoviei. 1107.U jednakokrakom tfOlIgluvis inadelikraknaodseckeduZine7 emI 2em,racunajuci odvrha.Odreditiosnovieutrougl a. 1108.Obimrombaiznosi100mm,jednadijagonala30mrn.Izracunati drugudijagonalllromba. 1109.Osnoviee jednakokrakog trapeza su 21 emiIIem,a visina je12 em. Odreditikrak. 1110.Dvekruznice,poluprecnika15emi20em.seku se.I.zracunou njihovucentralnurazdaljinuako je duzinanjihoveZ3Jcdmcketcll\e 24em. 1111.Precnikkruznieeupisaneu jednakokrakomtrapezlljegcometriJska sredinaosnovicarrapcza.Dokazati. 1112.Ujednakokrakomlrapezuosnoviea16emi9emupisnnaJC kruiniea.[zracunalipoluprecnikkruzniee. 1113.U svakom pravouglom trougluzbir b teta jednak Jezbiru hlpolenuze iprecnikaupisanekruinice.Dokazall. 1114.Srednjalinijajednakokrakogtrapezaiznosi4dm.avisina3dm Izracunatidij agonallltrapeza. 121 1115.U pravouglomtrapezurazlikakvadratadijagona la jednaka je razli ci Intadrataosnovica.Dokazat i. 1116.Konstruisatigeometrijskusredinuzadyedateduzi ai b. 1117.DatesudYeduzicij esuduzine ai b.Konstruisatiduzduzine: a)x =+ b'; 11IS.Konstruisatiodsecakduzinex ako j e x = a.Jk , gde je aduzina date duzi,a kpozitivanbroj . 11l9.*Konstruisatiodsecakxako je x=+ cd, gdeSlla,b,c,die date duzi.e 1120.Konstruisatiduzcij esuduzineredomfi , .fIi, 117 uodnosu na datu jedinicnuduz, llit.Konstruisatiduzcij eSllduzi neredom: a)x=+ b'; III c)-=-+-; x2 02 b2 III d)-=---' xla2 h2' e)x'=a' +ab; f) X'=b'- ab; gde Sll ai b (a < b) dui.ine datihduzi. 1I22.Konstruisatikvadratjednak: a)zbirudvadatakvadrata; b)razlicidvadatakvadrata. 1I23.*Konstruisatikvadrat jednak: a)zbirudvadatapravougaonika; b)razlicidvadatapravougaolllka. 1124.*Odreditistranicupravilnog: a)osmouglai b)dvanaestouglaufunkcijipoluprecnika Ropisanekruznice. 1125.*Konstruisatikvadrat jednakrazlicidva data jednakostranicnatrougla. 122 1126.-1127. 112S.* 1129. 1130.-Konstrllisatikvadrat jednakzbirudvadatarornba. AkosustranicetrouglaAS.C : a = 2pq,b =p '- q',c =p'+ 1/ ' . gdesupI,q (p > q)rna kOJIceltbrojevi , lada je!TougaoABCpra. vougl !.DOKazat!.(TakvItrouglovlsenazlvaJuPitagorini .) S,lIaibkatete,achipotenllzapravouglogtrollgla,tadaje I,;+ Ii.= 51; ,gdesula 'I.I IeteziSneduzitrougla.Dokll7.ati . su ;1i b ?sno\ice, c i d kraci, a d, i d, dijagonaletrapeza.tada JC d,- + di= c + d' + 2ab.Dokazat!. PrilllenolllPitagorineteorellleislicnostitrouglovadokazatidaJC povrsinatrollglaP: Iabc a)P=vs(s-a)(s-bj(s - c),b)P='4R'cJP=sr. gdeSlla,bi cstranice,spoluobim,iPpovrsinalrougla.aRI r poillprecniciopi sane i lIpisanekruznicetrougla. 1131.AkoSlla,b i c srranicetrollglaABCi ugaori< 90.ladaje a' =b'+ c' - 2cb,(Kamoovobrazac), gde je b,ortogonalna projekcija straniccAC nastranicuAB. Dokazau. 1132.*Akosua,bicstranicetrouglaABCiugaoA > 90,ondaJC a' = b'+ c' + 2cb"gdejeh,ortogonalnaprojekciJastraniceriC naAB.Ookazati . 1133.Secice AB i CDkrui nice k(O, R ) seku seu tackiP.TackeA,B. C, D pripadajukrui.ni cik. Proizvododsecaka PAi PB.odnosno PC! PD. konstantanje.Ookazati. 1134.AkosetetiveABi CDkruznicek(O,R)sekuutackiP,tadaJC PA. PB = PC , PD.Dokazati . 1135.AkosetetiveABi CDknlznicek(O,R)sekuutackiP.tadaJC PA' PB =PC PD.Dokazati . 1136.SecicaABkruznicek(O. R)itangenta(konstruisanautaNI.111 krllzni ceksekuseu tackiP.Dokaza