Velocidad instantánea

17
Velocidad instantánea Y derivada de una función en un punto

Transcript of Velocidad instantánea

Velocidad instantáneaY derivada de una

función en un punto

Recordemos la situación planteada en anteriormente:O Teníamos dos automovilistas, uno que se

desplazaba con MRU y el otro con MRUV.

O Los gráficos correspondientes eran:

Comparemos la velocidad media de los dos automovilistas:

O La velocidad media, para diferentes

intervalos de tiempo, del automovilista

que se mueve con MRU es:

Siempre es la misma

O Independientemente de los intervalos de

tiempo que tomemos, la velocidad media

SIEMPRE es la misma

En cambio…

O La velocidad media del automovilista que

se mueve con MRUV, para diferentes

intervalos de tiempo varía:

En conclusión…

O El cociente incremental o velocidad media de un cuerpo que se mueve con MRU no varía con el tiempo ya que siempre se mantiene constante, con lo cual nos permitiría indicar con certeza cuál es la velocidad que tiene el móvil en un tiempo determinado. En nuestro problema inicial, el automovilista SIEMPRE viaja con una velocidad de 100/3 km/h, dato que coincide con la PENDIENTE DE LA RECTA.

Pero ¿qué sucede con el automovilista que se mueve

con MRUV?

O Si la velocidad media depende del

intervalo de tiempo analizado,

O ¿cómo podemos determinar la velocidad

en un instante dado?

O ¿cómo es que el velocímetro nos indica

una velocidad exacta?

Para dar respuesta a ello veamos que cuál sería la velocidad del móvil a las tres horas:

O Como sabemos que la velocidad media coincide con la

pendiente de la recta que pasa por los extremos del

recorrido, utilicemos esta "idea" para determinar la

velocidad del móvil cuando se desplaza con MRUV a

las tres horas de haber comenzado su viaje, tomando

intervalos cada vez más pequeños que se aproximen

(por derecha y por izquierda) a la hora en la cual

queremos determinar la velocidad...

O Tomando intervalos próximos a t= 3

horas, por DERECHA, la velocidad media

TIENDE al MISMO valor que para

intervalos próximos a t= 3 por

IZQUIERDA

O Las variaciones medias, para valores

próximos a t=3, tienen un valor límite:

66,6 km/h

Para pensar:

O Si tomo intervalos cada vez más chicos, es evidente que la distancia de t1 - t0 va a ser cada vez menor, por lo tanto si quiero calcular la velocidad instantánea en un punto,

O ¿qué longitud va a tener t - t0?, en otras palabras, ¿a cuánto va a tender t1 – t0?

Rta: Independientemente de los valores de t0

que tomemos, t - t0 no es otra cosa que el incremento de la variable independiente, y como tomamos intervalos cada vez más pequeños, la diferencia tenderá a cero

Aplicando un conceptoanterior…

O Para determinar la velocidad en un

instante dado tomamos intervalos cada

vez más pequeños tal que:

Δt tienda a cero

O En clases anteriores vimos que hay un

concepto que nos serviría para describir

esta situación, y es el LÍMITE de una

función, siendo la función, en este caso,

la velocidad media.

Entonces:

O Si la función velocidad media queda

definida por:

O La velocidad instantánea queda

determinada por:

Velocidad instantánea

O La velocidad instantánea en un tiempo

determinado no es otra cosa que la

DERIVADA de la función en ese punto.

O A la derivada de una función la

denotaremos a partir de ahora como f´(t):

Aclaraciones:

O Ésta definición es local, es decir, nos dice

que es lo que sucede en un valor t que

pertenece al dominio de f.

O La definición dada es válida de existir y ser

finito el límite, en las próximas clases

veremos que sucede cuando el límite no

exite.

O Dada la función f, llamamos función

derivada de f, a la función que, a cada x

(donde f es derivable), le hace

corresponder f´(x).

Comparando la pendiente de la recta secante que pasa por dos puntos y la

velocidad media…O La variación media de la función f,

entre dos puntos cualesquiera, se

interpreta geométricamente como la

pendiente de la recta secante a la

función y que pasa por los puntos

dados.

O Cuando el intervalo de tiempo tiende a

cero, la recta tiende a una posición

limite, la cual “casi” se confunde con la

curva.

Recta tangente

O Una recta es tangente a una curva en un

punto p si ésta es una posición límite de

las secantes, tanto por derecha como

por izquierda del punto. Ésta recta tiene

la característica de ser la mejor

aproximación lineal de la función en

dicho punto.

Pendiente de la recta tangente

O Y la pendiente de la recta tangente a

dicho punto no es otra cosa que la

derivada de la función en tal punto: