Vektorok, mátrixok
-
Upload
amelia-davenport -
Category
Documents
-
view
66 -
download
0
description
Transcript of Vektorok, mátrixok
![Page 1: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/1.jpg)
Vektorok, mátrixok
![Page 2: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/2.jpg)
Vektorok - AlapfogalmakVektor: az irányított (síkban, térben) szakaszt vektornak nevezzük.
Ekkor: pontosan specifikáljuk a végpontok sorrendjét (kezdőpont,végpont) is.Alternatív definíció: egy n dimenziós vektor egy rendezett szám n-s, azaz n db szám együttese adott sorrendben.
Vektor abszolút értéke: Egy adott v vektor abszolút értékén a v vektor hosszát értjük.Jelölés: |v|
P.: Számítsuk ki az alábbi ábrán látható 2 vektor abszolút értékét!
v AB��������������
1)Alkalmazva Pitagorasz-tételt2)Descartes-koordinátákat
2 2
2 2
1 6
5 5
a
b
![Page 3: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/3.jpg)
Vektorok - AlapfogalmakNullvektor: azt a v vektort, melynek abszolút értéke 0 (kezdő és végpontja azonos), nullvektornak (zérusvektornak) nevezzük.
Jelölés: 0Zérusvektor iránya: tetszőleges
Egységvektor: azt a vektort, melynek hossza egységnyi, egységvektornak nevezzük.Jelölés: e, i,j,k
Egyező állású vektorok: két vektor egyező állású, ha párhuzamosak vagy azonosak
Egyenlő vektorok: két vektor akkor és csakkor egyenlő, ha hosszuk, állásuk és irányuk megegyezik.
Ekkor: a két adott vektorra létezik olyan eltolás, mely az egyik vektor kezdőpontját és végpontját a másik vektor kezdőpontjába és végpontjába viszi át.
![Page 4: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/4.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok összeadása: polygon módszer segítségével.Lényegileg: nyílfolyam-módszer: eltolás, a második vektor kezdőpontját az első végpontjába, és így tovább.
Összeg vektor: az első vektor kezdőpontjából az utolsó vektor végpontjába mutató vektor. (Két vektor esetén paralelogramma módszernek)
Összeadás tulajdonságai:0. Zárt: összeadás eredménye is vektor 1. Kommutatív (ld. ábra): a+b=b+a2. Asszociatív: (a+b)+c=a+(b+c)3. Létezik egységelem: a+0=a4. Létezik inverz (ellentett) elem: a+(-a)=0 ,ahol –a az a vektor ellentett vektora
![Page 5: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/5.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalP: Mutassuk meg, hogy a vektor összeadás asszociatív!Vagyis (a+b)+c=a+(b+c)
P: Adjuk össze az alábbi vektorokat!
a b
c
ab
c
a
bc
![Page 6: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/6.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok kivonása: inverz vektor elem hozzáadása
Vagyis: a,b vektorok különbségén azt a vektort értjük, melyet hozzáadva b vektorhoz összegként az a vektort kapjuk.
Vektorok kivonása nem kommutatív művelet!
![Page 7: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/7.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása
1. Számot vektorral: számmal való szorzásJelölés:
1. Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product) Jelölés: ab
1. Vektort vektorral-eredménye vektor,neve: vektoriális (vagy kereszt) szorzat (cross product)Jelölés:
a
a b
![Page 8: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/8.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (skalár szorzat)Számot vektorral: számmal való szorzásJelölés:Az a vektor szorosán, ahol tetszőleges valós szám, azt a vektort értjük, melynek
abszolút értéke:
állása megegyezik az a vektor állásával
iránya:azonos a irányával, haellentettje a irányának, hatetszőleges, ha
Vagyis: nyújtás (>1), zsugorítás(0<<1), tükrözés (<0)Tulajdonságai:1. λa=aλ2. μ(λa)=(μ λ)a (definícióból közvetlenül adódik)3. (λ+μ)a=λa+μa (definícióból közvetlenül adódik)4. λ(a+b)= λa+λb
a
a
0 0 0
![Page 9: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/9.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (skaláris szorzat)Vektort vektorral-eredménye szám, neve: skalárszorzat (dot product)
Jelölés:
Skaláris szorzat: Legyen adott két azonos dimenziójú (a,b) vektor és az általuk bezárt szög (). Ekkor az alábbi számot az a és b vektorok skaláris szorzatának nevezzük.
Ebben az esetben a két vektor hajlásszögén: azt a 0≤ ≤ 180 szöget értjük, melyet a két vektor félegyenese bezár (a belső, mindig kisebb hajlásszög).
Következmények: 1) Két vektor skaláris szorzata akkor és csakkor nulla, ha a két vektor ortogonális.2) Ha a két vektor közül az egyik nullvektor, a hajlásszög tetszőleges, de a skaláris szorzat értéke 0.
.a b
. cos( )a b a b
![Page 10: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/10.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (skaláris szorzat)Tulajdonságai:1.ab=ba2.a(b+c)=ab+ac3.(a)b=(ab)=a(b)4.nem asszociatív
Geometriai jelentés: egy adott vektor merőleges vetületének a hossza
![Page 11: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/11.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat): Az vektorok keresztszorzatának nevezzük azt a vektort, amelynek
hossza: ,ahol a két vektor (a,b) által bezárt hajlásszög
állása: merőleges az a és b vektorok mindegyikére, vagyis a két vektor által kifeszített síkra.
iránya: olyan, hogy az a,b és axb vektorok jobbrendszert alkotnak.
Geometriai jelentés: az alábbi számérték megadja a két vektor által kifeszített paralelogramma területét.
3,a b R
sina b a b
sina b a b
![Page 12: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/12.jpg)
Vektorok – Műveletek vektorokkalVektorok szorzása (vektoriális (keresztszorzat) szorzat) Tulajdonságai1.Nem kommutatív2.Disztributív3.axb=-(bxa)4.axba)xbaxb
KövetkezményKét vektor keresztszorzata akkor és csakkor zérusvektor, ha a vektorok
párhuzamosak egymással.
![Page 13: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/13.jpg)
Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D térFelbonthatóság: ha adottak egy tetszőleges síkban az a és b nem párhuzamos vektorok, akkor a sík minden más v vektora egyértelműen felbontható az adott vektorokkal párhuzamos összetevőkre.
Következménye: bázis: a sík bármely két, nem párhuzamos vektorát a síkbeli vektorok bázisának nevezzük.
Koordináta: a v=a+b vektor () rendezett valós számpárt, mely egyértelműen meghatározza v-t az a,b bázisban a v vektor a,b bázisra vonatkoztatott koordinátának nevezzük.
2D: a rendezett valós számpárokat síkbeli vektoroknak nevezzük.
3D: a rendezett valós számhármasokat térbeli vektoroknak nevezzük.
Síkbeli és térbeli vektorok ábrázolása koordinátarendszerekben történik, azok bázisainak megfelelő definiálásával.
![Page 14: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/14.jpg)
Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D térSíkbeli vektorok ábrázolása
Síkban végtelen sok bázist lehet felvenni
Éppen ezért: speciális bázist alkalmazunk az egyértelműség kedvéért, mégpedig a Descartes koordinátarendszernek megfeleltetve, az alábbiak szerint.
1) i és j egymásra merőleges egységvektorok2) i és j ennek megfelelően az x és y számegyenesek
+1 pontjaiba mutatnak.
v
i
j
x
y
![Page 15: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/15.jpg)
Koordinátarendszerek, 2D sík, 3D térTérbeli vektorok ábrázolása
A rendezett valós számpárok halmaza, a sík pontjainak halmaza és az origóból kiinduló síkbeli vektorok halmaza között páronként kölcsönösen egyértelmű leképezés valósítható meg.
Ezen kijelentés alapján: ha a,b,c térbeli vektorok nem esnek egy síkba, akkor a tér minden v vektora egyértelműen felbontható az a,b,c vektorokkal párhuzamos összetevőkre, azaz v=a+b+c=(;;)
Bázis: a tér egy pontjából kiinduló, nem egysíkú vektorát térbeli bázisnak nevezzük.Speciális bázis: i,j,k páronként merőleges egységvektorok jobbsodrású
rendszere
Ekkor:1 2 3 1 2 3( ; ; )v v i v j v k v v v
i
x
i y
k
z P=(v1;v2;v3)
![Page 16: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/16.jpg)
Referencia felvétele 2D és 3D vizsgálatokhoz
Referenciarács, bázis, fixpont
3D 2D
TKP
![Page 17: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/17.jpg)
Műveletek a 3D térbenAlap műveletek
Koordinátáival adott két vektor skaláris szorzata:
P: Adja meg a(2;1;0) és b(1;-1;2) vektorok skaláris szorzatát
Két vektor hajlásszöge
P: Számítsuk ki a(1;2;2) és b(-1;1;0) vektorok által bezárt szöget!
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
a a i a j a k
b b i b j b k
ab a b a b a b
1ab
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3
cos( )( )
a b a b a b
a a a b b b
cos( )
cos( )
ab a b
ab
a b
cos 0.23
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a b a b i a b j a b k
a b a b i a b j a b k
a a i a j a k
![Page 18: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/18.jpg)
Műveletek a 3D térbenKoordinátáival adott két vektor kereszt szorzata:
P: Adja meg a=2i-3k és b=i+j+k vektorok kereszt szorzatát
1 2 3
1 2 3
a a i a j a k
b b i b j b k
2 3 1 3 1 21 2 3
2 3 1 3 1 21 2 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )
i j ka a a a a a
a b a a a i j kb b b b b b
b b b
a b a b i a b a b j a b a b k
(2;0; 3)
(1;1;1)
a
b
3 5 2a b i j k
![Page 19: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/19.jpg)
Mátrixok Mátrix: m×n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek m sora és n oszlopa van, elemei pedig adott számhalmazból valók, melyen a mátrix értelmezve van.
Jelölés: 11 12 ... 1
21 22 ... 2
... ... ... ...
1 2 ...
m n
a a a n
a a a nA A
am am amn
OszlopvektorSorvektor
nxm-es számtáblázat - n sor, m oszlop Jele: A, illetve An,m (n sor, m oszlop)
A= An,m = (aij)
nma
na
maa
nma
na
maa
...
.........
...
...
.........
...
1
111
1
111
![Page 20: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/20.jpg)
Speciális mátrixok Speciális mátrixok: sorvektor, oszlopvektor, nullmátrix (összes eleme 0)
Egység mátrix:
Diagonál mátrix:
Négyzetes mátrix: amn=anm
Egy An,m mátrix sorainak és oszlopainak felcserélésével a mátrix A’m,n (= A*m,n = AT
m,n ) transzponáltját kapjuk.
![Page 21: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/21.jpg)
Mátrixok - MűveletekMátrix szorzása skalárral: összes elemet az adott skalárral meg kell szorozni
Mátrixok összeadása: azonos dimenzió
Mátrixok szorzása: A minden sorvektorának képezzük a skalárszorzatát B mindenoszlopvektorával. Ezért ha A típusa (n×m), akkor B típusa (m×k). Ez azt jelenti, hogy az A és B mátrix csak abban az esetben szorozható össze, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. A szorzatmátrix típusa ennek megfelelően (n×k).Tulajdonságok
nem kommutatívasszociatívdisztributív
P: Szorozza össze az alábbi két mátrixot!M(megjegyzés): ha adott egy mátrix, mely egy végtag szegmensének irányvektorait tartalmazza és ezt a mátrixot megszorozzuk egy adott dimenziójú vektorral, akkor az a szegmensek adott rotációs tengely körüli elforgatását jelentik.
![Page 22: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/22.jpg)
Példa: Adottak az alábbi A és B mátrixok. Végezze el az AB és a BA mátrix szorzást!
Megoldás: Mivel A 3x4-es és B 4x2-es méretű mátrixok, ezért csak az AB szorzás végezhető el, a BA nem.
11
01
02
43
5210
1124
2031
BA
![Page 23: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/23.jpg)
1015210
1881124
872031
21
01
02
43
25020140)1(51221305210
21010)2(44)1(1112)2(341124
22000341)1(21023312031
21
01
02
43
![Page 24: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/24.jpg)
A determináns fogalma, kiszámítása és alkalmazása
Definíció: A determináns a kvadratikus mátrixok halmazán értelmezett f: An A függvény, mely az An mátrixhoz egy valós számot rendel az alábbiak szerint:
• n=2: A = detA = det(a1,a2) = a11a22-a12a21
• n2: Sor- vagy oszlop szerinti kifejtéssel (n-1)x(n-1)–es mátrixok determinánsának kiszámítására vezetjük vissza– i. sor szerinti kifejtéssel: A=j aij Aij (i=állandó)– j. oszlop szerinti kifejtéssel: A=i aij Aij (j=állandó)ahol Aij az (ij)-edik (az i. sor j. eleméhez tartozó)
algebrai aldetermináns.
22a21a12a11a
![Page 25: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/25.jpg)
Példa:
Egy 2x2-es mátrix determinánsa:
Egy 3x3-as mátrix determinánsának számítása az első oszlopa szerinti kifejtéssel:
1237172
31
3312816116810)23(71
65
218)1(
13
210)1(
13
657)1(
138
650
217131211
![Page 26: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/26.jpg)
Alkalmazás Az n egyenletből álló n ismeretlenes Ax=b
lineáris egyenlet-rendszer megoldása, ha A 0:
(i=1,2,…,n)
ahol di= det(a1,…,ai-1,b,ai+1,…,an) Ha b=0 (homogén lineáris egyenletrendszer) és A 0, akkor
(i=1,2,…,n) Ez a homogén lineáris egyenletrendszer triviális
megoldása. Ez a Cramer szabály.
Ad
x ii
00 A
xi
![Page 27: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/27.jpg)
Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből állólineáris egyenletrendszert:
Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor
|| A
dx ii
ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük
esnn rebbbb T
n ),...,,( 21
id
Cramer-szabály
![Page 28: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/28.jpg)
Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
5
5
1
b
Először kiszámoljuk az A determinánsát:
21
021
01
12)3(
02
101
021
102
131
A
1432)04(1)10(3)20(1
Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.
Cramer-szabály
![Page 29: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/29.jpg)
A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelőoszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:
Tnbbbb ),...,,( 21
31 d
12 d
13 d
Cramer-szabály
![Page 30: Vektorok, mátrixok](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062314/56812af8550346895d8edec9/html5/thumbnails/30.jpg)
A megoldások:
31
3
1
025
105
131
||1
1
A
dx
11
1
1
051
152
111
||2
2
A
dx
11
1
1
521
502
131
||3
3
A
dx
1
1
3
3
2
1
x
x
x
Cramer-szabály