VEKTOR JAWAB
description
Transcript of VEKTOR JAWAB
VEKTOR JAWAB
XoMatriks
Mb Mb
|Mb| ≠ 0 |M<b| ≠ 0 |M≤b| ≠ 0
khas tidak khas/umum
Mbxl
M-1 Mu
Hanya 1 jawaban Lebih dari 1 jawaban
b ≠l ; b<l
b = l
b = l
D = 0Mb
Xo Xo
Persamaan linier
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2
x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2
x1 = …
x2 = …
x3 = …
2 1 21 3 42 4 6
x1 =
x2
x3
232
2
xo =
1
M y
Vektor Jawab Khas
Vektor Jawab Khas
Matriks Kebalikan
Transformasi Linier
Metoda Cramer
Matriks Ajugat
Cara Penyapuan
Metoda Doolittle
Matriks Kebalikan
XO =
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
y11
y21
y31
Ubah susunan persamaan linier menjadi :
Tentukan matriks kebalikan M
M M-1
a. Matriks Ajugat
b. Cara Penyapuan
M XO = y3 x 3 3 x 1
Cara pengolahan :
Md = ( mij)d
a. Matriks Ajugat
Tentukan matriks Kd dari matriks Md (unsur-unsur
matriks Kd dihitung dengan cara kofaktor);
putar Kd = (nij)d
Kd’ = (nji)d
Tentukan determinan matriks Md
DM = m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
*Algoritma (silang)*Minor & kofaktor*Cara penyapuan
( DM )
XO = M-1
y
Tentukan kebalikan matriks Md ( M-1 )
DM = |M|1DM
M-1 = K’1
| M |= K’
Hitung vektor jawabnya
CL VJ01A SL VJ01A
1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb :
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4JCL VJ01A-1 :
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2
x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4
Penyelesaian (matriks ajugat) :
Susun ulang menjadi :
XO =
2 1 21 3 42 2 3
234
(3 x 3)
M y
(3 x 1)(3 x 1)
Menentukan determinannya :
2 1 21 3 42 2 3
Det = -1(berarti M matriks tak singular; berpangkat penuh)
Menentukan matriks kanoniknya :
a11 = 1 a12 = 5 a13 = -4
a21 = 1 a22 = 2 a23 = -2
a31 = -2 a32 = -6 a33 = 5
2 1 21 3 42 2 3
K
1 5 -4
1 2 -2
-2 -6 5
K = 1 1 -2
5 2 -6
-4 -2 5
K’ =
Putar matriks kanoniknya :
XO = (1/-1) K’. y
1 1 -2
5 2 -6
-4 -2 5
= (1/-1) 234
= 38
-6
Menghitung vektor jawabnya :
= M-1 . y
(transformasi dasar)
Gandengkan matriks M dengan matriks identitas
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
( M I ) =1 0 0
0 1 0
0 0 1
Olah matriks M menjadi matriks I; Olah matriks I menjadi matriks M-1
Langkah : Olah matriks M menjadi
*matriks bawah (dlm proses pengolahan usaha-kan nilai unsur-unsur m12, m13, m23 bernilai 0) atau
*matriks atas (dlm proses pengolahan usahakan nilai unsur-unsur m21,m31, m32 bernilai 0)
b. Cara Penyapuan
[penyapuan baris]
Langkah : Olah nilai unsur-unsur
*matriks bawah (m21,m31, m32) bernilai 0 atau
*matriks atas (m12,m13, m23) bernilai 0
Hasil pengolahan kedua langkah ini diperoleh :
matriks M menjadi matriks Identitas
matriks Identitas menjadi matriks M-1
Hitung vektor jawabnya
XO = M-1
y
CL VJ01B SL VJ01B
1. Tentukan vektor jawabnya (matriks ajugat) dari persamaan linier sbb :2 x1 + x2 + 2 x3 =
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4JCL VJ01B-1 :
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2
x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 4
Penyelesaian (cara penyapuan; transformasi linier) :
Susun ulang menjadi :
XO =
2 1 21 3 42 4 6
234
(3 x 3)
M y
(3 x 1)(3 x 1)
2 1 2 1 0 01 3 4 0 1 02 4 6 0 0 1
1 0 0 1 1 -1-1 1 0 0 3 -2 1 1 2 0 -1 1
E3.2(-1)
E1.3(-1)
E2.3(-2)
I M-1
1 0 0 1 1 -1 0 1 0 1 4 -3 0 0 1 -1 -3 5/2
M I
XO = M-1 = =
232
3 8-6
1 1 -1 2 4 -3-1 -3 5/2
E2.1(1)
E3.1(-1)
E3.2(-1)
E3(1/2)
Menentukan matriks kebalikan M :
Menghitung vektor jawabnya :
232
Transformasi linierPengolahan baris matriks transformasi
dasar (penyapuan baris) terhadap matriks gandengan (M,y)
M XO = y
XO =
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
y11
y21
y31
Ubah susunan persamaan linier menjadi :
3 x 3 3 x 1
Cara pengolahan :
Gandengkan matriks M dengan vektor y.
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
y11
y21
y31
Lakukan pengolahan baris matriks M dengan arahan menjadi matriks bawah atau matriks atas.
Tentukan pangkat : matriks gandengan dan matriks Mp(M,y) dan p(M)
Telaah lebih dulu apakah p(M,y) = p(M).Bila p(M,y) ≠ p(M), berarti Xo tidak khas.
Susun matriks gandengan “hasil olahan” menjadi persamaan linier.
Xo diperoleh dari hasil olahan substitusi.
CL VJ02 SL VJ02
1. Tentukan vektor jawabnya (transformasi linier) dari persamaan linier sbb :
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4JCL VJ02-1 :
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2
x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4
Persamaan linier :
Penyelesaian : (transformasi linier)
Susun ulang menjadi :
XO =
2 1 21 3 42 2 3
234
(3 x 3)
M y
(3 x 1)(3 x 1)
Pengolahan baris terhadap matriks gandengannya
2 1 21 3 42 2 3
234
2 1 21 3 40 1 1
232
E3.1(-1)E2.3(-3)
2 1 21 0 10 1 1
2-3 2
E1.2(-2)
0 1 01 0 10 1 1
8-3 2
E3.1(-1)
0 1 01 0 10 0 1
8-3-6
E1.2
1 0 10 1 00 0 1
-3 8-6
E1.2(1)
p(M,y) = p(M) = 3“persamaan linier di atas bersifat
setara”
1 1 10 1 00 0 1
5 8-6
E2.3(1)
1 1 10 1 10 0 1
5 2-6
Susun persamaan linier hasil olahan dan tentukan Xonyax1 + x2 + x3 = 5
x2 + x3 = 2
x3 = -6
substitusi X0 = 3 8-6
Metoda Cramer
1
|M|Xo = (mji)k.yk
= (m1j.y1 + m2j.y2 + …… + mkj.yk)
(mji)n.yn =m11 m12 ………… mk1
m12 m22 ………… mk2
. . .
. . .
. . .m1k m2k ………… mkk
Y1
y2
.
.
.
yk
XOj = (m1jy1 + m2jy2 + …. + mkjyk)
1|M|
1|M|
=
Tiap pengolahan disisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks
1|M|
= mi1yi
mi2yi...
mikyi
atau
m11 m12 …… m1.j-1 y1 m1.j+1
…… m1k
m21 m22 …… m2.j-1 y2 m2.j+1 …… m2k . . . . . . . . . . . .
mk1 mk2 …… mk.j-1 yk mk.j+1 …… mkk
untuk
Cara pengolahan :
M XO = y
XO =
m11 m12 m13
m21 m22 m23
m31 m32 m33
y11
y21
y31
Ubah susunan persamaan linier menjadi :
3 x 3 3 x 1
Sisipkan nilai vektor y ke dalan tiap jalur dalam matriks :
1y11 m12 m13
y21 m22 m23
y31 m32 m33
=2
m11 y12 m13
m21 y22 m23
m31 y32 m33
=
Tentukan determinan matriks M dan ketiga Segitiga-Matriks :
b. minor-kofaktorc. cara
penyapuan
j
a. algoritma
m11 m12 y13
m21 m22 y23
m31 m32 y33
3=
b. minor-kofaktorc. cara
penyapuan
a. algoritma
M M
X0 =
Tentukan vektor jawabnya :
X0j
1|M|
=
X0
1X0
2X0
3
CL VJ03 SL VJ03
1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier sbb : (determinan dihitung dengan cara algoritma)
2. Bila determinan matriks dihitung dengan cara minor-kofaktor, tentukan vektor jawabnya.
2 x1 + x2 + 2 x3 = 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4
3. Bila determinan matriks dihitung dengan penyapuan, tentukan vektor jawabnya.
JCL VJ03-1 :
Hitung determinan cara algoritma
XO = Det = 2
2 1 21 3 42 4 6
232
Cara minor-kofaktor
2 1 23 3 42 4 6
2 2 21 3 42 2 6
2 1 21 3 32 4 2
JCL VJ03-2 :
= (-1)1+1 2 (-1)1+2 2 (-1)1+3 2
= +2 (10) -2(-2) +2(-4) = +16
= (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 2
= +2 (2) -1(10) +2(6) = +6
2 1 23 3 42 4 6
2 2 21 3 42 2 6
3 32 4
3 42 6
3 44 6
3 42 6
1 42 6
1 32 2
= +2 (-6) -1(-4) +2(-2) = -12
X01 = ½ (6) = 3
X02 = ½ (16) = 8
X03 = ½ (-12) = -6
X0 = 3 8-6
= (-1)1+1 2 (-1)1+2 1 (-1)1+3 23 34 2
1 32 2
1 32 4
2 1 21 3 32 4 2
Cara penyapuan
= 6
= 16
2 1 23 3 42 4 6
E3.2(-1)
E1.3(-1)
E2.3(-2)
E2.1(-1/2)
E3.1(-1)
2 2 21 3 42 2 6
3 0 0 5 1 0-1 1 2
2 2 2 0 2 3 0 0 4
JCL VJ03-3 :
X01 = ½ (6) = 3
X02 = ½ (16) = 8
X03 = ½ (-12) = -6
X0 = 3 8-6
2 1 21 3 32 4 2
E2.1(-1)E3.1(-1)
E1.3(-1/3)E2.3(-2/3)
E1.2(2)E2.3E1.3
-1 0 1 0 3 0 0 0 4
= -12
Metoda Doolittle
Persyaratan matriks yang dapat diolah dengan metoda Doolittle
Matriks Setangkup
segibernilai samatidak samadengan nolkhaspenuhkhas
MatriksUnsur2 yang bersebarangan
DeterminanKebalikan
PangkatVektor jawab
CL VJ04 SL VJ04
1. Tentukan vektor jawabnya dengan metoda Doolittle dari persamaan linier berikut. 2 x1 + x2 + 2 x3 =
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 3
2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 2
Pengolahan baris
ML1 L2 L3
B1
B2
B3
2 1 21 3 42 4 6
1 0 00 1 00 0 1
2 32
IK1 K2 K3
8 1215
LP Brs
R1
r1
R2
r2
R3
r3
y
B1
R1/22 1 21 ½ 1
21
1 0 0½ 0 0
88/2
B2 – ½ R1
R2/(5/2) 5/2 3
1 6/5
24/5
-½ 1 0-1/5 2/5 0
816/5
B3 – 6/5 R2 – 1 R1
R3/(2/5)
2/5
1-12/5
6-2/5 -6/5 1-1 -3 5/2
-13/5
-3/2
T1’t1’
T2’t2’
T3’t3’
Pengolahan metoda Doolittle
JCL VJ04-1 :
Langkah2 pengolahan :
1. Unsur2 pada baris R1 = unsur2 pada baris B1
2. Unsur pada baris R1 dan lajur L1
bernilai 2; nilai ini harus bernilai 1 pada
baris r1 dan lajur L1. Berarti nilai2
tersebut dibagi 2 atau dikali dengan ½. Berarti pula untuk semua unsur pada baris R1 dibagi 2 dan hasilnya
diletakkan pada baris r1 r1 = R1/2
Matriks M : R2 & L2 = 3 – (1/2)(1) =
5/2 L3 = 4 - (1/2)(2) = 3
Lajur y = 3 - (1/2)(2) = 2
Matriks I : R2 & K1 = 0 – (1/2)(1)
= - 1/2 K2 = 1 - (1/2)(0) = 1
K3 = 0 - (1/2)(0) = 0
R2 = B2 - ½ R1
3. Unsur pada baris R2 dan lajur L1 haris bermilai nol; berarti :
r2 = R2 / (5/2)
5. Unsur pada baris R3 dan lajur L2 harus bernilai nol
R3 = B3 - (6/5) R2 - 1
R1
4. Unsur2 pada baris R2 dan lajur L2 bernilai 5/2 ; nilai ini harus bernilai 1 pada baris r2 dan lajur L2. Berarti dikali-kan dengan 2/5 dan demikian pula untuk semua unsur pada baris R2. Hasilnya merupakan unsur-unsur pada baris r2.
6. Unsur pada baris R3 dan lajur L3 bernilai 2/5 dan harus bernilai 1 pada baris r3 dan
L3. Selanjutnya semua unsur pada r3 harus
di kalikan dengan 5/2.r3 = R3 / (2/5)
Matriks I : R3 & K1 = 0 – (6/5)(-1/2) – (1)(1) = -2/5 K2 = 0 – (6/5)(1) – (1)(0) = -6/5
K3 = 1 – (6/5)(0) – (1)(0) = 1
Lajur y = 2 – (6/5)(2) – (1)(2) = -12/5
Matriks M : R3 & L3 = 6 – (6/5)(3) – (1)(2) = 2/5
2. unsur2 pada r1, r2 & r3 menyusun r & t’
r = t ’ =
R =
T’ =
1. unsur2 pada R1, R2 & R3 menyusun R & T’
Dari hasil pengolahan diperoleh :
2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5
1 0 0-1/2 1 0-2/5 -6/5 1
1 1/2 1
0 1 6/5
0 0 1
1/2 0 0
-1/5 2/5 0-1 -3
5/2
Penyelesaian :
• CARA PERTAMA X0 = M-1 y
M-1 diperoleh tT’ atau Tt’
# bila dipilih M-1 = tT’
= 1 0 0-1/2 1 0-2/5 -6/5 1
1/2 -1/5 -1
0 2/5 -3 0 0
5/2
d11 d12 d13
d21 d22 d23
d31 d32 d33
Lajur 1 : d11 = (1/2)(1) + (-1/5)(- 1/2) + (-1)(-2/5) = 1 d21 = 0 + (2/5) (- 1/2) + (-3)(-2/5) =
1d31 = 0 + 0 + (5/2)(-2/5) = -1
Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/5)(1) + (-1)(-6/5) = 1 d22 = 0 + (2/5) (1) + (-3)(-6/5) =
4d32 = 0 + 0 + (5/2)(-6/5) = -3
Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-1)(1) = -1 d23 = 0 + 0 + (-3)(1)
= -3d33 = 0 + 0 + (5/2)(1) = 5/2
# bila dipilih M-1 = Tt’
=
Lajur 1 : d11 = (1)(1/2) + (- 1/2)(-1/5) + (-2/5)(-1) = 1
d21 = 0 + (1)(- 1/5) + (-6/5)(-1) = 1d31 = 0 + 0 + (1)(-1) = -1
1/2 0 0
-1/5 2/5 0-1 -3
5/2
d11 d12 d13
d21 d22 d23
d31 d32 d33
1 -1/2 -2/5
0 1 -6/5
0 0 1
Lajur 2 : d12 = 0 + (-1/2)(2/5) + (-2/5)(-3) = 1
d22 = 0 + (1)(2/5) + (-6/5)(-3) = 4d32 = 0 + 0 + (1)(-3) = -3
Lajur 3 : d13 = 0 + 0 + (-2/5)(5/2) = -1 d23 = 0 + 0 + (-6/5)(5/2) =
-3d33 = 0 + 0 + (1)(5/2) = 5/2
M-1 = 1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2
• CARA KEDUA
X0 = M-1y = =
Cara penyelesaian seperti Persamaan Biasa
r X0 = yr atau R X0
= yR# bila dipilih r X0 =
yr =
1 1 -1 1 4 -3-1 -3 5/2
232
3 8-6
1 1/2 1
0 1 6/5
0 0 1
1 4/5
-6
x1
x2
x3
X1 + ½ X2 + X3 = 1 X1 = 3
X2 + 6/5 X3 = 4/5 X2 = 8
X3 = -6 X0 =
# bila dipilih R X0 =
yR =
2 X1 + X2 + 2 X3 = 2 X1
= 3
5/2 X2 + 3 X3 = 2 X2 = 8
2/5 X3 = -12/5 X3 = -6 X0 =
2 1 2 0 5/2 3 0 0 2/5
x1
x2
x3
2 2-12/5
3 8-6
3 8-6
LAJUR PENGUJI (LP)
Manfaatnya untuk memeriksa apakah jumlah unsur tiap baris yang diolah samadengan nilai unsur lajur penguji (LP) yang seletak
Misal periksa baris r1
r1 = R1/2
* Nilai unsur pada lajur penguji adalah 8 x ½ = 8/2* Jumlah nilai unsur pada M, y dan I adalah( 1 + ½ + 1 ) + 1 + ( ½ + 0 + 0 )
= 8/2
Vektor Jawab Umum
M x = y X0 = Mu y
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m24
m41 m42 m43 m44
Xo = y11
y21
y31
y41
Cara pengolahan :
Ubah susunan persamaan linier menjadi :
(4 x 4) (4 x 1)(4 x 1)
Tentukan determinan matriks dan anak-matriksnya
a. Dalam hal ini DM = 0; bila tidak dinyatakan, maka perlu
diperiksa lebih dulu apakah determinannya nol atau tidak.
b. Periksa anak2-matriksnya untuk dimensi yang lebih kecil dengan determinan tidaksama nol.
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
m11 m12 m13 m14
m21 m22 m23 m24
m31 m32 m33 m34
m41 m42 m43 m44
4 anak-matriks; (3 x 3) 9 anak-matriks; (2 x 2)
b1. Hitung determinan untuk dimensi (3 x 3)
Bila diperoleh 1 anak-matriks yang DQ ≠ 0; langsung diolah lebih lanjut.
Bila determinan semua anak2-matriks) = 0; maka dilanjutkan ke anak2-matriks berdimensi 2.
b2. Hitung determinan untuk dimensi (2 x 2)
Bila diperoleh 1 anak-matriks yang DQ ≠ 0; langsung diolah lebih lanjut.
Bila determinan semua anak2-matriks) = 0; maka dilanjutkan ke anak-matriks berdimensi 1.
Tentukan kebalikan umum matriks M
Cara penyelesaiannya : a. Matriks Ajugat
c. Transformasi Linierb. Penyapuan
Hitung vektor jawabnya
X0 = MU . y
CL VJ05 SL VJ04
1. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut.
2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 10
3 x1 - x2 - 5 x3 = 1
2. Tentukan vektor jawabnya dari persamaan linier berikut.
7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 23 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 32 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 2
JCL VJ05-1 :
Penyelesaian : (matriks segi; DM = 0)
Susun ulang menjadi :
XO =
7 5 23 9 32 6 2
232
(3 x 3)
M y
(3 x 1)(3 x 1)
Persamaan linier :
(Xo umum)
7 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 23 x1 + 9 x2 + 3 x3 = 3
2 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 2
Tentukan determinan anak-matriksnya
7 5 2
3 9 3
2 6 2
Dalam hal ini ada 4 kemngkinan untuk menentukan determinan-nya (anak-matriks)
Q11 Q12
Q21 Q22Misal yang dipilih anak-matriks
Q12 = 5 29 3
Tentukan kebalikan umum matriks M
q11 q12
q21 q22
KQ = q11 = (-1)2 (3)q21 = (-1)3 (2)
q12 = (-1)3 (9)q22 = (-1)4 (5)
DQ = -3
3 -9
-2 5
KQ =
3 -2
-9 5KQ’ =
3 -2-9 5
-1/3Q-1 = (Q-1)’ = -1 3
2/3 -5/3
(MU)’ = 0 -1 3
0 2/3 -5/3
0 0 0
MU = 0 0 0
-1 2/3 0
3 -5/3 0
Hitung vektor jawabnya
X0 = MU . y = = 0
0
1
0 0 0
-1 2/3 0
3 -5/3 0
2
3
2
JCL VJ05-2 :
Penyelesaian : (algoritma)
Susun ulang menjadi :
XO =
2 4 63 -1 -5
10 1
(2 x 3)
M y
(2 x 1)(3 x 1)
Persamaan linier : 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 = 103 x1 - x2 - 5 x3 = 1
(Xo umum)
Tentukan determinan matriksnya
2 4 63 -1 -5
DQ = (2)(-1) – (4)(3)= –14
Q11 = 2 43 -1
Dalam hal ini ada 2 kemngkinan untuk menentukan determinannya (sub-matriks)
(2 x 2)
DQ = (4)(-5) – (4)(-1)= –16
Q12 = 4 4-1 -5
(2 x 2)
Karena kedua determinan sub-matriks Q “tidak sama dengan nol”, maka keduanya dapat gunakan. Berarti akan diperoleh dua Xo.
Misal menggunakan sub-matriks
Q11 = 2 43 -1
Tentukan kebalikan sub-matriksnya
q11 q12
q21 q22
KQ = q11 = (-1)2 (-1)q21 = (-1)3 (4)
q12 = (-1)3 (3)q22 = (-1)4 (2)
-1 -3
-4 2
KQ = -1 -4
-3 2
KQ’ =
-1 -4-3 2
-1/14Q-1 =
(Q-1)’ = 1/14 3/14
4/14 -2/14
(MU)’ = 1/14 3/14 0
4/14 -2/14 0
MU = 1/14 4/14
3/14 -2/14
0 0
X0 = MU . y
1/14 4/14
3/14 -2/14
0 0
10
1
= = 1
2
0
Hitung vektor jawabnya