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VECTORES

El concepto de vector fue formulado matemáticamente a fines del siglo XIX por los matemáticos

Grasmann (1809-1877) y Hamilton (1805-1865). Esta noción se confirmó lentamente, cuando

matemáticos y físicos, estudiando problemas muy diversos observaron propiedades y

características comunes. En la actualidad los vectores se utilizan para representar y comprender

numerosos fenómenos, se emplean en, por ejemplo, en planificaciones económicas, en la teoría

utilizada para la obtención de un electrocardiograma, para cuantificar el efecto del viento en la

ruta de un avión.

Magnitudes escalares y vectoriales

Existen situaciones que las podemos describir a través de un número y de una unidad

correspondiente, ejemplos , , 14.5

⁄ . Este tipo de magnitudes se llaman

Magnitudes escalares

En física en realidad existen muchas otras situaciones que no se pueden describir simplemente

con una magnitud escalar. Por ejemplo, si un barco navega hacia el noroeste, a ⁄ , y hay

viento del sur, a ⁄ , estas velocidades nos están indicando una dirección, un sentido y la

intensidad de cada una. Las magnitudes que quedan determinadas por su dirección, sentido e

intensidad se denominan magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores.

Los vectores son el modelo matemático adecuado para representar desplazamientos y

velocidades. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son la aceleración, las fuerzas, el campo

eléctrico.

Vamos a estudiar las características de los vectores a partir del siguiente ejemplo:

En un instante dado, en la pantalla de un radar se detectaron las posiciones de seis aviones: A, B,

C, D, E y F, que siguen rutas rectilíneas

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Un minuto después las posiciones son

La superposición de ambas pantallas nos permite observar los desplazamientos de todos los

aviones (señalados con letras minúsculas e indicados por medio de una flecha)

¿Cómo podemos caracterizar el desplazamiento de cada uno de los aviones?

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Debemos tener en cuenta:

La dirección determinada por la inclinación o pendiente de la recta sobre la cual se

encuentran las flechas.

En el ejemplo, los desplazamientos v y r tienen la misma dirección, porque los aviones B y F

se desplazaron en forma paralela. En cambio, los desplazamientos u y w tienen distinta

dirección.

El sentido. En una misma dirección hay dos sentidos posibles.

Por ejemplo, los desplazamientos v y r tienen el mismo sentido y los desplazamientos s y r (o

v y s) tienen sentidos opuestos, pero la misma dirección.

El módulo relacionado con la longitud de la flecha, de acuerdo a la escala elegida.

En este ejemplo todos los desplazamientos tienen distintos módulos, porque los aviones

recorrieron distintas distancias.

Los vectores y sus características: dirección, sentido y módulo.

Un vector se representa con un segmento de recta orientado.

Es decir, un segmento en el que se distingue

Un sentido (por eso se representa por una flecha). Esta representación permite reconocer el

origen y el extremo vector:

A es el origen, B es el extremo del vector

También podemos indicar al vector con una única letra minúscula, vector o simplemente

Una dirección, la dirección de un vector está determinada por la recta sobre la cual se encuentra

o por cualquier recta paralela a esta

En la gráfica siguiente, todos los vectores tienen la misma dirección.

A

B

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Dados dos vectores que tienen la misma dirección, pueden tener el mismo sentido o sentidos

opuestos.

Un módulo, entendiendo por módulo de un vector a la longitud del segmento que lo representa y

lo notaremos | |

Aquí, | | | | | | y | | | |. En cambio | | | |.

Vectores equivalentes

En general cuando dos o más vectores tienen igual dirección, sentido y módulo se dice que son

equivalentes.

Lo notaremos (se lee: es equivalente a )

En el grafico anterior y son equivalentes, en cambio y no lo son porque tienen distinta

dirección.

Vectores opuestos

Si dos vectores tienen igual dirección y módulo pero sentido contrario se dice que son opuestos.

El concepto de equivalencia permite definir el concepto de traslación:

Dado un punto del plano y un vector , la traslación desplaza el punto hasta , de tal

manera que los vectores y son equivalentes

Se utiliza la notación ( ) para indicar que es el resultado de trasladar el punto según

el vector .

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Los vectores también pueden representarse en un sistema de coordenadas cartesianas. Esto

permite resolver muchos problemas geométricos y físicos desde un nuevo punto de vista.

El concepto de equivalencia nos permitirá trasladar un vector cualquiera dado en un sistema de

coordenadas cartesianas en otro vector que tiene origen en el origen de coordenadas y es

equivalente a .

Vectores en un sistema de coordenadas cartesianas

Cualquier vector puede caracterizarse dando sus coordenadas, por ejemplo

Vector Extremo ( ) Origen ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( ( )) ( )

La operación indicada en la última columna da como resultado el vector ( ), que es un

vector de origen ( ) y extremo ( ). También puede notarse que el vector es equivalente a

los vectores ,

y .

En general

Dado cualquier vector en un sistema de coordenadas cartesianas siempre es posible encontrar

un vector que tiene origen en ( ) y es equivalente a . Este vector es el representante

canónico de

Si un vector tiene origen en ( ) y extremo en ( ), su representante canónico es

( ) ( ).

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En cada vector determina un único par ordenado de números reales ( ), por otro lado

cada par ordenado de números reales ( ) determina un único vector . Esto se puede

extender de manera natural a , es decir a cada vector le podemos asociar una n-upla de

números ( ) que se denominan componentes del vector.

( )

Coordenadas cartesianas y polares de un vector

En general, todo vector con origen en ( ) (en un sistema de coordenadas cartesianas) queda

determinado indicando su módulo y el ángulo que forma con el semieje x positivo, medido a

partir de dicho semieje, en sentido contrario a las agujas del reloj. En este caso, decimos que

(| | ) son las coordenadas polares de .

¿Cómo se determina el ángulo ?

En los siguientes gráficos se muestran ejemplos en donde se señala el ángulo , de acuerdo con el

cuadrante donde está ubicado el vector .

En cada caso ( ) son las coordenadas cartesianas de .

Si se conocen las coordenadas cartesianas de un vector ( ), se pueden calcular las

coordenadas polares (| | ), teniendo en cuenta que:

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| | : módulo de , es la distancia del origen de coordenadas al extremo del vector , esto es

| | √( ) ( )

y

Recíprocamente: si se conocen las coordenadas polares de un vector (| | ), se pueden

calcular las coordenadas, cartesianas, dado que:

| |

| |

Operaciones con vectores

Las operaciones entre magnitudes vectoriales (el cálculo de velocidades y las fuerzas

resultantes, la búsqueda del estado de equilibrio, el cálculo del trabajo realizado al mover un

cuerpo y muchas otras) pueden interpretarse matemáticamente a partir de operaciones entre los

vectores que las representan.

Suma de vectores

La búsqueda de una fuerza que sea equivalente a otras varias aplicadas al mismo cuerpo, o de la

velocidad de un cuerpo que participa a la vez de varios movimientos, o del vector que permite

obtener el mismo efecto que el de dos traslaciones aplicadas en forma sucesiva a la misma figura

son situaciones que pueden resolverse a partir de la suma de vectores

Supongamos que se desea calcular la suma de dos vectores y de manera gráfica

Si y tienen la misma dirección

Para hallar el vector suma se dibuja uno de ellos, por ejemplo sobre una recta, y, a

continuación, se grafica , será el vector que tiene por origen el origen de , y, por extremo,

el extremo de .

, entonces

O A

B

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Si y tienen distinta dirección

Para hallar el vector suma se puede realizar a través de la regla del paralelogramo o de la regla

de la poligonal

Regla del paralelogramo

Se grafican ambos vectores con origen en el mismo punto O, y desde sus extremos se trazan

rectas paralelas a ambos vectores, quedando determinado un paralelogramo. Es por ello que este

método recibe el nombre de Regla del paralelogramo

Gráficamente:

Regla de la poligonal

Consiste en representar sucesivamente los vectores por sumar, uno a continuación del otro, de

manera que el extremo de uno coincida con el origen del próximo. El vector suma se obtiene

uniendo el origen del primer vector con el extremo del último.

Gráficamente en caso de sumar más de dos vectores, no importa el orden.

Suma de vectores en un sistema de coordenadas

En general dos vectores que están ubicados en un sistema de coordenadas cartesianas, y tienen

origen en (0,0), se suman con la siguiente regla:

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( ) ( ) ( )

Ejemplo Sean ( ) ( ), entonces

( ) ( )

Vector nulo

Llamamos vector nulo a un vector cuyo origen coincide con su extremo. Lo notamos ( ),

también

El vector nulo no tiene dirección (dado que un único punto no determina una dirección) y su

módulo es cero.

Vector unitario

Cualquier vector cuya longitud sea 1 es un vector unitario.

Ejemplos:

( ) , ( ) , (

√

) son vectores unitarios

Producto de un vector por un número

Dado un vector no nulo ( ) y un número real k, es un vector con las siguientes

características:

Tiene la misma dirección que

Si tiene el mismo sentido que y su módulo es el producto de por el módulo de .

Si tiene sentido opuesto a y su módulo es el producto de por el módulo de .

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En general, un vector que está ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas y tiene origen en

(0,0), se multiplica por un número con la siguiente regla:

Si ( ) y es un número real, entonces ( )

En particular si , y ( ) entonces ( ) es el vector opuesto de

Ejemplo Si ( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) ( )

Representar gráficamente

Resta de vectores

Para restar dos vectores, por ejemplo , sumamos a el opuesto de . Es decir

( )

Sea entonces

Teorema

Para vectores cualesquiera , y y escalares a y b se cumplen las siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa

2. ( ) ( ) Propiedad asociativa

3. existencia del neutro

4. ( ) existencia del opuesto

5. ( ) ( ) ( )

6. ( )

7. ( )

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8.

Demostración: ejercicio

Producto entre vectores

Producto escalar

Dado los vectores no nulos y .

Llamaremos producto punto o producto escalar entre y y lo simbolizaremos a

Ejemplo

Si ( ) y ( ), entonces, (- ) -

Observe que el producto punto de dos vectores es un escalar

Propiedades del producto punto

Si , y son vectores y c es un escalar, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1.

2. ( )

3. ( ) ( ) ( )

4.

5. | |

Estas propiedades se deducen inmediatas de la definición. Comprobarlo

Para comprender el significado del producto escalar, ofrecemos una fórmula alternativa.

Si y son vectores no nulos, entonces | || | , donde es el ángulo entre y

, .

Para deducir esta fórmula, aplicamos la ley de los cosenos al triángulo de la figura

| - | | | | | | || | (1)

Por propiedades del producto punto, se obtiene

| | ( )( ) ( ) ( )

- - -

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| | | | (2)

Igualando las expresiones (1) y (2) obtenemos | || | .

De esta expresión podemos deducir que

| || |

⁄ si y solo si y son vectores perpendiculares u ortogonales

Una consecuencia importante de la fórmula obtenida es el siguiente

Teorema (Criterio de perpendicularidad)

Dos vectores y son perpendiculares (ortogonales) si y solo si su producto escalar es nulo, es

decir, .

Demostración: Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si el ángulo determinado

entre ellos es ⁄ ; es decir, si y solo si si y solo si .

El resultado vale para vectores nulos, admitiendo que el vector nulo es perpendicular a todo

vector.

Ejemplo

a) Encuentre b tal que ( ) y ( ) sean perpendiculares

, entonces,

Por lo tanto , luego ( )

b) Dar un vector unitario en la dirección de ( )

| | √ ( ) √ , luego (

) es unitario (comprobarlo).

Ejemplo Encuentre el ángulo determinado por ( ) y ( )

| | | |

( )( )

Por lo tanto .

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Bases de vectores Sea ( ) y ( ) ; obsérvese que estos dos vectores son

perpendiculares y unitarios. Se llaman vectores base de debido a que cualquier vector

( ) de puede ser representado de manera única en términos de y En efecto

( ) ( ) ( )

El conjunto de vectores * + es la base estándar o canónica de , siendo

( ) ( ), …, ( ), la cual nos permite representar cualquier

vector de manera única de la siguiente forma

( ) ∑

Proyecciones de vectores

Sean y dos vectores no nulos, con un mismo origen, deseamos proyectar por ejemplo el

vector en la dirección de , obtendremos un vector en la misma dirección que y se denotará

Sea y sea un vector no nulo, el vector proyección es el vector determinado

al bajar una perpendicular de a la recta PS, y lo denotamos (vector proyección de B

sobre A)

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Sea el ángulo determinado entre y

Si el ángulo entre B y A es agudo, la tiene longitud | | y dirección

| |.

Si el ángulo entre B y A es obtuso, la tiene longitud | | y dirección

| |.

En todo caso (| | )

| |

(

| |)

| | (

| | )

El número | | se llama componente escalar de B en la dirección de A.

Producto vectorial (cruz)

El producto vectorial se usa ampliamente para describir los efectos de las fuerzas en estudios de

electricidad, magnetismo, flujo de fluidos y mecánica orbital. Este producto se define para

vectores en y el resultado es un vector de

Sean los vectores ( ) y ( ) vectores en el espacio, definimos el

producto vectorial como el vector

( )

Observación el producto vectorial se puede expresar en función de los vectores bases de la

siguiente manera

( ) ( ) ( )

siendo ( ), ( ) y ( ).

Para recordar la fórmula del producto cruz, recordemos que, el valor de un determinante de 2x2

es:

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|

|

El valor de un determinante de 3x3 (desarrollado con respecto al renglón superior) es

[

] |

| |

| |

|

Usando determinantes, podemos escribir la definición de como:

[

] |

| |

| |

|

El producto vectorial no es conmutativo, es decir, .

Ejemplo Sea ( ) y ( ). Calcular y

[

] |

| |

| |

|

[

] |

| |

| |

|

Observemos que en este ejemplo - ( ) , y esto sucede porque siempre se verifica

que

- ( ) (antisimétrica)

Ejercicio

Sean vectores bases de , comprobar que

Teorema

Sean y vectores en el espacio tridimensional y sea el ángulo que forman. Entonces

1. ( ) ( ) Es decir el producto vectorial es perpendicular tanto a

como a

2. | | | || |

16

3. , , forman una triada derecha

4. - ( )

Demostración

1. y 4. Ejercicio

2. | | ( )( ) | | | | ( ) identidad de Lagrange

Teniendo en cuenta el producto escalar

| | | | ( ) | | | | (| || | ) | | | | ( ) | | | |

como , . Por tanto extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros

| | | || | .

3. La triada derecha es algo difícil de establecer analíticamente. En particular podemos observar

que . es derecha.

Teorema

a) Dos vectores y del espacio son paralelos si y solo si

b) Si y son los lados adyacentes de un paralelogramo, entonces el área del

paralelogramo es | | | || | .

Demostración Ejercicio