vectores estatica

5/28/2018 vectores estatica

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En esta ilustracin puedes ver una gra alzando un contenedor.

La fuerza que ejerce la gra a travs del cable para levantar el contenedor, su desplazamiento, la

temperatura ambiente y el tiempo durante el cual transcurre la accin, se llamanmagnitudes. Pero

ni las cuatro magnitudes tienen el mismo carcter ni pueden ser expresadas de la misma manera.

Sabes expresar posibles valores de estas cuatro magnitudes, en esta situacin, y explicar qu sig-

nifican? Sabras decir qu magnitudes son escalares y cules vectoriales, y por qu?

01

Fuerzas y vectoresEquilibrio de la partcul


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1.1 Introduccin a la mecnicaEn tecnologa, y ms concretamente en los procesos de ingeniera, cuando hay que disear unamquina o una estructura determinada debemos, en primer lugar, hacer un estudio de todas lasfuerzas o movimientos que resultarn de su funcionamiento. Esto nos permite determinar tan-to su geometra para originar los movimientos deseados, como los materiales ms adecuadospara soportar las fuerzas, y garantizar as un buen funcionamiento de la mquina o estructura.Y es en todo esto donde la mecnica interviene decisivamente.

Pero, qu es la mecnica? La mecnica es la ciencia que describe y que intenta predecir lascondiciones de reposo o de movimiento de los cuerpos sometidos a la accin de fuerzas.

Es, pues, una ciencia fsica, puesto que los movimientos y las fuerzas son fenmenos fsicos.

Todo esto implica que cuando estudiemos fuerzas y movimientos, lo tendremos que asimilar

ipso facto a la fsica. El enfoque de la materia, no obstante, es diferente del que se hace en lafsica, aunque parta de los mismos conceptos. Dentro de la mecnica se estudian los funda-mentos tericos que permiten disear mquinas, mecanismos o cualquier otro dispositivo detransformacin de fuerzas o movimientos.

Los cuerpos pueden ser slidos, lquidos o gaseosos. Por ello, dividimos la mecnica en dos par-tes: la mecnica de los slidos indeformables o slidos rgidos y la mecnica de fluidos. Asu vez, cada una de estas partes se subdivide en otras dos: la esttica y la dinmica. La pri-mera estudia los cuerpos en reposo, mientras que la segunda se ocupa de los cuerpos en movi-miento.

Sin embargo, no hay que olvidar que, en la prctica, no existen los slidos indeformables, yaque todos se deforman bajo la accin de las fuerzas. No obstante, muchas veces las deforma-ciones son pequeas y no afectan a sus condiciones de equilibrio o de movimiento, y por esose parte inicialmente de la idea de slido indeformable. Ahora bien, en un segundo paso habr

que tenerlas en cuenta, si queremos garantizar que las deformaciones no pondrn en peligro laresistencia de la mquina o estructura ni provocar su rotura. La elasticidad y resistencia demateriales son una parte ms de la mecnica, que predicen cmo deben ser los materiales, suforma y naturaleza, y las deformaciones que sufren stos bajo la accin de las fuerzas, y cuyofin es el prevenir roturas o deformaciones peligrosas.

Por todo ello, hemos dedicado las primeras unidades a la esttica y a introducir la resistenciade materiales. Las unidades centrales las dedicamos al estudio de la cinemtica de mecanismosy a la dinmica. Las ltimas unidades las hemos dedicado a la mecnica de fluidos y a algunasde sus aplicaciones ms interesantes: la neumtica y la oleohidrulica. Ahora, sin embargo, hayque empezar por el principio y ponernos a estudiar las fuerzas: qu son, cmo las representa-mos y cmo deben actuar para determinar las condiciones de equilibrio.

1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partcula1.1 Introduccin a la mecnica

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Actividades

1> Determina el material y la forma de una pieza en funcinde si puede resistir sin deformaciones excesivas unasfuerzas determinadas, a qu mbito de la mecnica per-tenece? Y el estudio de las fuerzas que actan en estecaso?

2> El estudio de la esttica y la dinmica de los fluidos tam-bin forma parte de la mecnica. Nombra dos mquinas omecanismos y dos instalaciones donde, segn tu criterio,haga falta hacer un estudio de mecnica de fluidos en eldiseo.

j http://mecfunnet.faii.etsii.upm.esj http://www.sc.ehu.es/sbweb/

fisica/default.htm


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1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partcula1.2 Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales

1.2 Magnitudes escalares y magnitudesvectoriales

Si nos preguntan cul es la temperatura de una habitacin podemos responder, si lo sabemos,que la temperatura es de 21 C. La respuesta indicada ser suficiente. Esto es as porque la tem-peratura es una magnitud escalar. Sin embargo, no todas las magnitudes pueden ser expresa-das indicando meramente el valor numrico y las unidades correspondientes. Imaginemos queestamos paseando por la calle y alguien nos pregunta dnde est cierto comercio (figura 1.1);no podemos responder diciendo simplemente: a 500 m de aqu. Habr que indicar, adems, siest ms adelante o hacia atrs, a la derecha o a la izquierda. La posicin de la tienda respec-to de donde estamos nosotros en un momento determinado es una magnitud vectorial, ya queno basta con indicar el valor de la magnitud y las unidades correspondientes. Las magnitudesvectoriales se expresan, pues, mediante vectores.

Se representan grficamente mediante segmentos rectilneos acabados en flecha, tal y como semuestra en la figura 1.2, donde se observan adems los cuatro parmetros fundamentales:

j El mdulo o intensidad.j La direccin.j El sentido.j El punto de aplicacin.

j El mdulo o intensidad de un vector indica el valor numrico, siempre positivo, que cuanti-fica el nmero de unidades de la magnitud que representa. As, para una distancia de 500 m,el nmero 500 sera su mdulo. En la representacin grfica la longitud del segmento rectil-neo debe ser proporcional al mdulo. Por ello, normalmente se establece una escala de repre-sentacin. Por ejemplo, si decimos que 50 m equivalen a un centmetro, entonces la longituddel vector para la distancia indicada de 500 m sera de 10 cm.

j La direccin o lnea de accin es la recta en la que se sita el vector. Puede ser horizontal,vertical, inclinada, etctera.

Fig. 1.1.La posicin de la tienda respecto de

donde nos encontramos es una magnitud vec-

torial.

Fig. 1.2.Representacin grfica de un vector.

Los vectores son modelos matemticos que se utilizan para expresar y representar magnitudes vectoriales, en las que nobasta solamente con indicar un valor numrico.


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j El sentido nos indica la orientacin del vector dentro de la lnea de accin, y queda indica-

do por la flecha.

j El punto de aplicacin corresponde al punto, tambin dentro de la lnea de accin, dondeacta el vector.

Nomenclatura

A lo largo de este libro y para no confundir las magnitudes escalares con las vectoriales, utili-zaremos la siguiente nomenclatura:

j Cuando se trate de una magnitud vectorial, es decir, de un vector, lo expresaremos con unaflecha encima: $F, $V, etctera.

j El mdulo de un vector se escribe normalmente |$F|, |$$V|, etc. Sin embargo, en este libro utili-zaremos la notacin F, V, etctera.

j Cuando se trate de una magnitud escalar lo haremos igual que si se tratara del mdulo de unvector: F, V, etctera.

Tipos de vectores: fijos, deslizantes y libres

Segn la naturaleza de la magnitud vectorial que representen, los vectores pueden ser de trestipos: fijos, deslizantes y libres.

Los vectores fijos son aquellos que tienen el punto de aplicacin unido a una determinada po-sicin, como la velocidad o la aceleracin de un punto mvil.

Los vectores deslizantes son aquellos en que el punto de aplicacin puede desplazarse sobrecualquier otro punto de su lnea de accin, sin que cambien los efectos de la magnitud fsicaque representan. Por ejemplo, las fuerzas aplicadas a cuerpos slidos, que estudiaremos en elpunto siguiente.

Los vectores libres son aquellos en que el punto de aplicacin puede trasladarse a cualquierposicin, siempre que se mantenga la direccin paralela. Como veremos ms adelante, los mo-mentos y los pares son vectores libres. Muchas veces, sin embargo, se trabaja con vectores li-bres y se considera que dos vectores que tienen mismo mdulo, mismo sentido y direcciones pa-ralelas son iguales o equipolentes (figura 1.3).

Identificacin de las fuerzas como vectores. Unidades

Cada da vemos y tocamos multitud de objetos. Los vemos situados en un lugar concreto, loscogemos para utilizarlos, los movemos, etc. Lo cual implica un contacto de los objetos entre so con nosotros, que provoca su movimiento o bien simplemente el reposo.

Las acciones que actan sobre los cuerpos y que provocan su movimiento o reposo se llamanfuerzas.

Las acciones, sin embargo, tambin pueden ser ejercidas a distancia, sin que haya contacto f-sico entre dos cuerpos. ste es el caso de los imanes.

Las fuerzas son magnitudes vectoriales, ya que no basta con definir el valor con un nmero y lasunidades correspondientes. As, vemos que una misma fuerza, segn cmo se aplique, puede pro-vocar efectos muy diferentes. En la figura 1.4 se muestra una fuerza que acta sobre una mesa.En el primer caso puede provocarle un movimiento hacia la derecha; en el segundo, hacia la iz-quierda; en el tercero puede, incluso, llegar a levantarla, si es mayor que el peso de la mesa.

j En el caso de la fuerza aplicada en el ejemplo de la mesa, la direccin sera la lnea horizon-tal en los dos primeros casos, y la lnea vertical en el tercero.


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Fig. 1.3. Vectores equipolentes.

Fig. 1.4.Acciones de las fuerzas sobre los cuerpos.


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j En el primer caso el sentido es la direccin horizontal hacia la derecha; en el segundo, la mis-

ma direccin hacia la izquierda; en el tercero, la direccin vertical hacia arriba.j El punto de aplicacin sera en la mesa, en la arista o debajo, etctera.

Por otra parte, tambin es importante matizar que, aun cuando las fuerzas pueden actuar en elespacio, que tiene tres dimensiones; aqu trataremos las fuerzas en el plano, es decir, en un sis-tema de dos dimensiones.

Unidades

La unidad de fuerza en el sistema internacional es el newton (N). El newton se define como lafuerza que hay que aplicar a una masa de un kilogramo (kg) para que adquiera una aceleracinde un metro por segundo cada segundo (m/s2).

En unidades del sistema internacional el newton se expresa de la siguiente manera:

1 N = 1 kgm s2

Se emplean, adems, otras unidades. Es frecuente la utilizacin del kilogramo fuerza o kilo-pondio (kp), la libra (lb), etc. En la tabla 1.1 encontrars las equivalencias entre unas y otras.

Es conveniente que sepas pasar de un tipo de unidad a otra, mediante la utilizacin de facto-res de conversin.

Transmisividad

Las fuerzas son generalmente vectores deslizantes a los que podemos aplicar el principio detransmisividad.

Este principio indica que cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo, esta fuerza genera losmismos efectos sea cual sea el punto de aplicacin en su lnea de accin, siempre que tenga elmismo mdulo y el mismo sentido.

Fjate en la figura 1.6: los efectos que provoca la fuerza $Fson los mismos, tanto si tiramos dela mesa como si la empujamos, mientras apliquemos la misma fuerza en el mismo sentido y enla misma direccin.


Unidad Equivalencia

1 newton (N) 1 newton (N)

1 kilonewton (kN) 1 000 N

1 kilopondio (1 kp) 9,8 N

1 tonelada fuerza (1 tn) 1000 kp

1 libra (lb) 0,454 kp

1 libra (lb) 4,448 N

El peso de la figura 1.5 puede ser representado por una fuerza $Fde mdulo 100 N; ex-prsala en kp, tn, lb y kN.

Solucin

1 kp100 N = 10,204 kp9,8 N

1 kp 1 tn100 N = 0,010204 tn

9,8 N 1 000 kp

1 lb100 N = 22,482 lb

4,448 N

1 kN100 N = 0,1 kN

1 000 N

Fig. 1.5

Fig. 1.6.Principio de transmisividad.

Tabla 1.1.Equivalencias entre unidades.

Ejemplo 1


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1.3 Sistemas de fuerzas

Antes de empezar a estudiar los efectos de las fuerzas sobre los cuerpos conviene diferenciardos conceptos que en mecnica son importantes: la partcula y el slido rgido, tambin lla-madospunto material ysistema material, respectivamente.

La partcula es considerada un cuerpo con una determinada masa, pero adimensional, es decir,sin dimensiones. El slido rgido es, por el contrario, considerado un cuerpo con una masa de-terminada, en el que podemos definir dos puntos, la distancia entre los cuales se mantiene in-variable sean cuales sean las fuerzas que acten sobre l.

Para el estudio de los sistemas de fuerzas en este apartado, partiremos de su aplicacin sobreuna partcula o punto material, ya que simplifica su estudio. As, si un cuerpo est sometido adiferentes fuerzas y todas pasan por un punto comn, podemos reducir el sistema a un solo pun-to, como se muestra en la figura 1.7. Se dice entonces que las fuerzas son concurrentes.

A. Adicin de dos fuerzas concurrentes.Regla del paralelogramo. Resultante

Podemos someter cualquier partcula a ms de una fuerza. Es interesante entonces saber cules el resultado de la accin conjunta de las diferentes fuerzas que actan sobre la partcula. Es-te resultado es la suma o adicin de las fuerzas, y tambin se llama resultante del sistema.

La suma de dos o ms fuerzas o vectores no se corresponde con la suma algebraica o aritmti-ca de sus mdulos. Por ejemplo, la suma de dos vectores de mdulos 3 y 2 respectivamente notiene porqu dar un vector de mdulo 5, como pasa con las magnitudes escalares. Esto es asporque los vectores tienen direccin y sentido. Podemos obtener la suma o resultante de dosfuerzas de diversas maneras: grficamente, empleando las reglas del paralelogramo o del trin-gulo; o bien, analticamente.

Procedimientos grficos. Reglas del paralelogramo y del tringulo

Observemos en la figura 1.8 la anilla, que tiene atadas dos cuerdas que ejercen dos fuerzas, $S y$T, a las que podemos considerar aplicadas en un punto o partcula O.

Experimentalmente se comprueba que ambas fuerzas pueden ser sustituidas por otra $R, que esla suma o resultante de las dos:

$S+ $T= $R

Esta fuerza es la diagonal del paralelogramo que se obtiene a partir del trazado de paralelas enlos extremos de las fuerzas $S y $T, tal como se muestra en la figura 1.9.

1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partcula1.3 Sistemas de fuerzas

Actividades3> Adems de las fuerzas, qu otras magnitudes podemos

considerar vectoriales? Justifica tu respuesta y pon algnejemplo donde se identifiquen claramente los cuatro pa-rmetros fundamentales de un vector aplicados a la mag-nitud ejemplificada.

4> Usa los factores de conversin y expresa el valor de la iz-quierda en el correspondiente a las unidades indicadas ala derecha para los siguientes casos:

128 kp N 32 678 lb N34 N kp 43 765 kp lb35 tn kN 85 kN kp

Fig. 1.7.Reduccin de un sistema a un solo punto.

Fig. 1.8

Fig. 1.9


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Entonces, si aplicamos las dos fuerzas $S y $T obtenemos los mismos efectos sobre la partcula

que si aplicamos nicamente la fuerza resultante$R. Este sistema para obtener la suma o resul-tante de dos fuerzas se conoce con el nombre de ley del paralelogramo.

Para obtener la suma de dos fuerzas podemos tambin proceder grficamente dibujando los vec-tores segn la llamada regla del tringulo. Esta regla consiste en dibujar a escala las dos fuer-

zas, una a continuacin de la otra, situando el punto de aplicacin de la segunda en el extremode la primera y uniendo el punto de aplicacin de la primera con el extremo de la segunda, conlo que obtenemos la representacin de la resultante. El sentido de la resultante queda entoncesdefinido haciendo coincidir el punto de aplicacin de sta con el del primer vector, y su extre-mo con el del ltimo vector.

El resultado es el mismo tanto si sumamos $S+ $T como si sumamos $T+ $S, ya que la suma de vec-tores cumple la propiedad conmutativa.

De acuerdo con la escala de fuerzas escogida, y midiendo la longitud del segmento que definela resultante, se puede obtener el valor del mdulo. Su sentido y direccin quedan expresadosen el dibujo.


Ejemplo 2

Determina grficamente, aplicando la ley del paralelogramo, la fuerza resultante de las fuerzas $T y $Saplicadas en la anilla O, fuer-zas cuyos mdulos son T= N y S= 3 N.

Solucin

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Fig. 1.10

Fig. 1.11.Regla del tringulo. Teorema del seno:a b c

= =sen sen sen

Teorema del coseno:

a = b2 + c2 2bc cos


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Procedimiento analtico

Tambin podemos calcular analticamente la resultante. Para ello hacemos un esquema similaral que haramos con la regla del tringulo y aplicamos los teoremas del seno o del coseno paradeterminar el valor del mdulo y los ngulos desconocidos.

B. Adicin de ms de dos fuerzas concurrentes

Para sumar ms de dos fuerzas, podemos proceder aplicando sistemticamente la regla del trin-gulo. Lo cual significa sumar dos fuerzas y sumar el resultado obtenido a la tercera, y as suce-sivamente, hasta obtener la suma total. Este mtodo es aplicable, ya que la suma de vectores

cumple la propiedad asociativa, es decir:$P+ $Q + $S = ($P+ $Q) + $S = $H + $S = $R; donde $H = $P+ $Q

Sin embargo, normalmente se procede igual que en la regla del tringulo, slo que ahora se tra-tara de ir colocando los diferentes vectores uno a continuacin de otro, uniendo sucesivamen-te el extremo de uno con el punto de aplicacin del otro y, finalmente, uniendo el punto de apli-cacin del primero con el extremo del ltimo, que determinara su vector suma o resultante delsistema. En definitiva, daramos con un polgono vectorial, razn por la cual este mtodo sellama regla del polgono. Hay que recordar que siempre se deben dibujar manteniendo el m-dulo y sentido de los vectores, y desplazarlos sobre una lnea paralela a su direccin.


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Este sistema grfico slo se puede usarsi el sistema de fuerzas es de dosdimensiones (hiptesis de partida deesta unidad).

Ejemplo 3

Determina la resultante de las fuerzas $Ty $Sdel ejemplo 2 mediante la regla del tringulo yanalticamente.

Solucin

Solucin analtica: T= = = 3,162 N

Trigonomtricamente tenemos:

3 = Tsen = 3,162sen

3= arcsen = 71,583,162

1 = 180 90 71,58 = 18,42 = 1 + 90 = 18,42 + 90 = 108,42

Por el teorema del coseno:

R2 = T2 + S2 2 TScos 108,42

R = = 5 N

R S S3= = arcsen sen = arcsen sen 108,42 = 34,7sen sen ( R ) ( 5 )

R T T 3,162= = arcsen sen = arcsen sen 108,42 = 36,87

sen sen ( R ) ( 5 ) = = 36,87

3,1622 + 32 23,1623cos 108,42

1032 + 12

Fig. 1.12.Solucin grfica.

Fig. 1.13.Solucin analtica.


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Hay que recordar que el orden de colocacin de los vectores es indiferente, ya que la suma devectores cumple la propiedad conmutativa. Esto es:

$P+ $Q = $Q + $P

C. Sustraccin de fuerzas concurrentes

Para la sustraccin de fuerzas, se parte del concepto de vector opuesto. Un vector opuesto (figura1.15) es otro vector idntico a uno dado, pero de sentido contrario. Se representa igual, pero consigno negativo. As:

$Vopuesto = $V y $V+ ( $V) = 0

Con la aplicacin de este principio obtendremos la resultante de una resta o sustraccin de vec-tores al sumar a un vector minuendo el opuesto del sustraendo:

$R = $S $T= $S + ($T)


Fig. 1.14.Adicin de fuerzas concurrentes. Regla del polgono.

Ejemplo 4

Calcula grfica y analticamente $T $Spara la la figura del ejemplo anterior.

Solucin

Solucin analtica:

90 = +

1tg =

3 }R2 = 3,1622 + 32 2 3,162 3 cos 71,57

R =

R = 3,6 N

R T 3,6 3,162= =

sen sen sen 71,57 sen

3,162sen 71,57 = arcsen = 56,45

3,6 = = 56,45

3,1622 + 32 2 3,162 3 cos 71,57

1= arctg = 18,43 = 90 18,43 = 71,57

3

Fig. 1.17.Solucin grfica.

Fig. 1.18.Solucin analtica.

Fig. 1.15. Vectores opuestos.

Fig. 1.16.Sustraccin de fuerzas concurrente


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D. Producto de un escalar por un vectorEn los puntos anteriores hemos visto que la suma de dos vectores nos generaba un nuevo vec-tor. Por otro lado, el producto de un escalar (nmero) por un vector tambin nos generar unvector; este nuevo vector resultante tendr la misma direccin que $V, su mdulo ser el pro-ducto algebraico del nmero escalar por el mdulo del vector $V, y su sentido ser el mismo queel de $Vsi el escalar es positivo, o bien opuesto si el escalar es negativo.

n $V= $V+ $V+ $V+... (n)... + $V

En la figura 1.19 se muestran grficamente dos casos del producto de un escalar por un vector;en la opcin a) el escalar es positivo, y en la b) es negativo.

1.4 Vectores unitarios.Descomposicin de fuerzas

A. Vector unitario

As pues:$V

$V= V $u $u = donde u = 1V

1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partcula1.4 Vectores unitarios. Descomposicin de fuerzas

Fig. 1.19.Producto de un escalar por un vector.

Actividades

5> Calcula grfica y analticamente laresultante de las fuerzas $Ty $S, demdulos 100 N y 50 N respectiva-mente, aplicadas sobre el punto Odel soporte de la figura 1.20.

6> Determina la diferencia $A $B delos vectores representados en la fi-gura 1.21, siA = 200 N y B = 250 N.

7> Determina grficamente la resultan-te del sistema de fuerzas concurren-tes de la figura 1.22, si F= 300 N,S= 250 N, O = 150 N y P= 100 N.

Fig. 1.20 Fig. 1.21 Fig. 1.22

Definimos como vector unitario $u correspondiente a un vector $Val vector de igual direccin y sentido que $Vpero cuyomdulo es la unidad.


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El vector unitario $u es el resultado de dividir el vector $V por su mdulo V.

Hasta este momento slo habamos calculado la resultante (suma) de diferentes fuerzas apli-cadas en un punto; una operacin contraria a sta es la descomposicin de una fuerza en dos.

Tenemos infinidad de posibilidades a la hora de descomponer una fuerza en dos. La descompo-sicin se hace siempre segn dos direcciones de apoyo. Veamos cmo se puede llevar a cabo.

B. Vectores en el plano y en el espacio.Componentes rectangulares

En un sistema ortogonal de coordenadas definimos tres vectores unitarios $i, $j y $k, el primero enel eje de coordenadasx, el otro para el eje de lasy, y el ltimo para el eje de lasz, tal y comose muestra en la figura 1.23. Es cierto que, como ya advertimos anteriormente, trabajaremoscon un sistema de coordenadas de dos dimensiones, es decir, en el plano. Aqu, sin embargo,

indicamos las tres coordenadas del espacio; la razn es porque lo necesitamos puntualmente pa-ra entender alguna cuestin.

A la hora de definir las componentes rectangulares de una fuerza, nos vemos obligados a mar-car un sistema de coordenadas en el plano (figura 1.24) con un criterio unificado de sentidospositivos y negativos de las componentes rectangulares de la fuerza que tratemos.

A partir de este sistema de coordenadas podemos expresar un vector o una fuerza segn suscomponentes rectangulares (figura 1.25), usando la ley del paralelogramo y la definicin de pro-ducto de un escalar por un vector. Veamos:

$R = $Rx+ $Ry= Rx $i + Ry $j

$S= $Sx+ $Sy= Sx $i + Sy $j

Trigonomtricamente tambin podemos encontrar la expresin polar(figura 1.26); diremos queel vector $R tiene como mdulo R y forma un ngulo respecto del ejexque vale :

Ry

R = Rx2 + Ry

2 y = arctg .Rx

Tambin se puede expresar $R a partir del ngulo y de los vectores unitarios:

$R = R(cos $i+ sen $j)

$R = Rz


Fig. 1.23. Componentes rectangulares en el esp

Fig. 1.24. Componentes rectangulares en el pl

Fig. 1.26.Expresin polar de un vector.

Fig. 1.25.Expresin de un vector segn sus componentes rectangulares.


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ya que $R = $Rx+ $Ry

y como: $Rx= Rx$i= Rcos $i y $Ry= Ry$j= Rsen $j

$R = Rcos $i + Rsen $j= R(cos $i + sen $j)

Adicin de fuerzas por sus componentes rectangulares

Si tenemos ms de una fuerza, podremos descomponerlas en componentes rectangulares y en-contrar la resultante de stas sumando algebraicamente los mdulos de dichas componentescon vector unitario coincidente.

R = $S+ $T $R = Rx $i+ Ry $j

$S= Sx $i+ Sy$j Rx= Sx+ (Tx)

$T= Tx

$i+ Ty

$j Ry= Sy+ Ty

En general: $R = Rx $i+ Ry$jdonde:

Rx= FxRy= Fy


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Ejemplo 5

Descompn la fuerza de la figura 1.27 en sus componentes rectangulares.

Solucin

Trigonomtricamente vemos que:

$Fx= Fx$i= 100cos 30 $i = 86,6$i N

$Fy

= Fy

$j= 100sen 30 $j= 50$j N

$F= (86,6$i+ 50$j) N

Fig. 1.27

Ejemplo 6

Calcula la resultante de las fuerzas del ejemplo de la figura 1.29 por adicin de suscomponentes rectangulares.

Solucin

Tenemos:

$Rx= $Px+ $Wx+ $Sx= Px$i+ Wx$i+ Sx$i= 50$i+ 0$i+ 100cos 30$i= 36,6$i N

$Ry= $Py+ $Wy+ $Sy= Py$j+ Wy$j+ Sy$j= 0$j 60$j + 100 sen 30$j = 10$j N

$R = $Rx+ $Ry= Rx$i+ Ry$j= (36,6$i 10$j) N

R = = 37,9 NRx2 + Ry

2

Fig. 1.29

Fig. 1.28.Adicin de fuerzas por sus componentes

rectangulares.


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Descomposicin de una fuerza segn dos direcciones prefijadas

Para deducir las fuerzas que, una vez compuestas, generan la de partida, aplicaremos la ley delparalelogramo, tal y como se muestra en la figura 1.30. La manera de resolver la descomposi-cin puede ser grfica o trigonomtrica.

Descomposicin de una fuerza en dos fuerzas conocido el valor de una destas

Para deducir la otra fuerza que, una vez compuesta con la conocida, nos genera la fuerza a des-componer, aplicaremos la regla del tringulo. En este caso tambin podremos resolver la des-

composicin grfica o trigonomtricamente.


Fig. 1.30.Descomposicin de una fuerza segn dos direcciones prefijadas.

Ejemplo 7

Descompn la fuerza $Fde mdulo 100 N de la figura 1.31, segn las rectas rys.

Solucin


T S 100= =

sen 50 sen 60 sen 70

100sen 50T= = 81,5 N

sen 70

100sen 60S= = 92,2 N

sen 70

Fig. 1.31

Fig. 1.32.Descomposicin de una fuerza ($R) en dos, conocido el valor de una de stas ($T).


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Ejemplo 8Descompn la fuerza del ejemplo anterior en dos, sabiendo que una tiene de m-dulo 40 N, que su direccin es horizontal, y el sentido, hacia la derecha.

Solucin


= 30

T2 = 1002 + 402 210040 cos 30

T=

T= 68,4 N

T S 68,4 40= =

sen sen sen 30 sen

40sen 30 = arcsen = 17

68,4

= 180 (30 + 17) = 133

= 180 133 = 47

1002 + 402 2100 40cos 30Fig. 1.33

Actividades

8> Descompn grfica y ana-lticamente la fuerza $R de100 N de la figura 1.34 se-gn la direccin de las rec-tas tys.

9> Determina la fuerza $Sque,sumada a $T, nos genera lafuerza $R de 50 N, sabiendoque Tvale 25 N segn ladireccin de la recta tdela figura 1.35.

10> Determina las compo-nentes rectangulares dela fuerza $R de la figura1.36.

11> Determina la resultantede las fuerzas $S, $Ty $Nmediante la suma de suscomponentes rectangu-lares.

Fig. 1.34 Fig. 1.35 Fig. 1.36 Fig. 1.37


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1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partcula1.5 Equilibrio del punto material o partcula

Ejemplo 9Un peso de 700 N est fijado por dos hilos, como se muestra en la figura 1.38. Culesson las fuerzas a las que estn sometidas ambos hilos?

Solucin

Para determinar la tensin que padecen los hilos aplicaremos la condicin de equilibrioal puntoA, considerado como una partcula en la que concurren las tres fuerzas: las delos dos hilos y la del peso. Entonces:

$FA = 0

A partir de esta expresin, construimos el polgono vectorial de fuerzas que debensumar 0:

$Tb + $Tc+

$P = 0, donde $P es el peso de mdulo P= 700 NFig. 1.38

1.5 Equilibrio del punto material o partcula

A. Primera ley de Newton. Condiciones de equilibrio

Ya sabemos que si un slido est sometido a fuerzas concurrentes, podemos estudiarlo como sise tratara de una partcula (reduccin a un punto adimensional); para poder asegurar que uncuerpo sobre el que interaccionan diversas fuerzas se mantiene en equilibrio se debe cumplir laprimera ley de Newton, la cual nos dice:

Cuando la resultante de las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo es nula, ste o bien perma-nece en reposo o bien se mueve a velocidad constante con trayectoria rectilnea.

Es decir, que para comprobar que una partcula est en equilibrio, todas las fuerzas que actansobre sta deben generar una fuerza resultante de mdulo igual a cero.

Condiciones de equilibrio

Como consecuencia de la primera ley de Newton, la condicin de equilibrio de una partcula vie-ne dada por las siguientes expresiones:

y en el plano

Adems de los sistemas grficos, hay dos sistemas para saber si un sistema de fuerzas aplicadosobre una partcula hace que sta se mantenga en reposo: el primero emplea la regla del pol-gono; el otro, la descomposicin de fuerzas en sus coordenadas rectangulares.

Por la regla del polgono

Tal como hemos explicado, se puede utilizar la regla del polgono para calcular la resultante de va-rias fuerzas en el plano. Para lograr que una partcula est en equilibrio la condicin geomtrica delpolgono de fuerzas debe ser que la ltima fuerza coincida con el inicio de la primera, es decir, quela fuerza resultante sea nula, condicin que viene dada por la primera ley de Newton.

$Fx= 0 y $Fy= 0

$F= 0


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En caso de que la partcula est sometida a la accin de slo tres fuerzas, el polgono de fuer-zas se reduce a la aplicacin de la regla del tringulo. En este caso tambin el final de la lti-ma fuerza debe coincidir con el inicio de la primera.

Cuando actan slo dos fuerzas sobre una partcula, sta permanece en reposo si las fuerzas sonopuestas y de igual mdulo.

Por coordenadas rectangulares

Por otro lado, hemos visto que las fuerzas se podan descomponer en sus componentes rectan-gulares. Entonces podemos dar con la resultante a travs de la suma de sus componentes, esdecir, para una partcula sometida a la accin de las fuerzas $F, $T, $N, $Sen el plano, tenemos:

$R = Rx$i+ Ry $jdonde

$Rx= $Fx+ $Tx+ $Nx+ ... + $Sx

$Ry= $Fy+ $Ty+ $Ny + ... + $Sy


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Ejemplo 9Obtenemos el diagrama de la figura 1.39 y si aplicamos el teorema del se-no tenemos:

Tb Tc 700= =sen 60 sen 40 sen 80

700sen 60T

b = = 615,57 Nsen 80

700sen 40Tc= = 456,89 Nsen 80

Fig. 1.39

Ejemplo 10

El cuerpo de 600 N de la figura 1.40 cuelga de un hilo. Cul es la tensin del hilo?

Solucin

Si construimos el polgono de fuerzas, tendremos el diagrama de la figura 1.41.

Por lo tanto, la fuerza sobre el hilo ser de 600 N .

Fig. 1.40 Fig. 1.41


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Como para que se cumpla la primera ley de Newton la resultante de fuerzas debe ser nula (R = 0),

tenemos:

Fx+ Tx+ Nx+ ... + Sx= 0

Fy+ Ty+ Ny+ ... + Sy= 0de donde

Rx= 0 y Ry= 0


Ejemplo 11

En el canal de ensayos de la figura 1.42 queremos comprobar el comportamiento de un prototipo ante un flujo de agua, tal y comose indica. Sabiendo que Tb = 400 N y que Td= 600 N, cunto vale Tcy la fuerza de arrastre Fa?

Solucin

Primero calculamos los ngulos y :4 = arctg = 29,77

4 = arctg = 69,41,5

A continuacin aplicamos las dos ecuaciones de la esttica, tomando como positivas las fuerzas horizontales que se dirigen haciala derecha y las verticales que van hacia arriba.

Fy= 0 Tby+ Tcy Td= 0; Tby+ Tcy= Td

Fy= 0 400 sen 29,7 + Tcsen 69,4 = 600de donde Tc= 429,3 N

Fx= 0 Tcx Tbx+ Fa = 0; Tbx= Fa + Tcx y como Tcx= Tccos

de donde Fx= 0 400 cos 29,7 = Fa + 428,3 cos 69,4

de donde Fa = 196,4 N

Fig. 1.42


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Hay que tener en cuenta que con estas ecuaciones de la esttica podemos resolver problemas departculas sometidas a diferentes fuerzas, siempre que haya como mximo dos incgnitas, es decir,tantas incgnitas como ecuaciones tengamos. En caso de tener ms de dos incgnitas, decimos queel sistema es hiperesttico, por lo que es imposible resolverlo con las ecuaciones de la esttica.


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Ejemplo 12

Calcula la fuerza Tque acta sobre el hilo OA, con el fin de garantizar el equilibrio del sistema de la figura 1.43.

Solucin

Fx= 0 Tx Sx= 0, de donde Tcos 15 Ssen 15 = 0

Fy= 0 Sy Ty 15000 = 0,

de donde Scos 15 Tsen 15 15000 = 0

Tcos 15 Ssen 15 = 0Scos 15 Tsen 15 15000 = 0

Ssen 15T= = Stg 15

cos 15Scos 15 Stg 15 sen 15 15000 = 0

15 000S = = 16730 N

cos 15 tg 15sen 15

T= Stg 15 = 167300,2679 = 4 482 N

Ejemplo 13

La caja de la figura 1.44 pesa 700 kp. Determina la longitud m-nima de la cadena de sujecin sabiendo que sta no puede supe-rar una fuerza superior a 12 500 N. Ambos extremos de la cadena

estn sometidos a la misma fuerza.

Solucin

Sig= 10 m/s2, tenemos que la carga de 700 kp representa 7 000 N.

Si hacemos el sumatorio de fuerzas verticales con el valor de ten-sin mxima en cada extremo, tendremos:

212 500sen = 7 000

Si despejamos el valor del ngulo, tendremos:

7000sen = = 16,26212500

Geomtricamente, la proyeccin de los dos extremos de la cadena debe dar la anchura de la caja, es decir, la proyeccin de un ex-tremo es la mitad de la anchura de la caja:

Lcos 16,26 = 24; de donde L = 50 cm

2

Fig. 1.43

Fig. 1.44


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Actividades

12> Para los tres sistemas de poleas indicados en la figura1.45, calcula el valor de Tpara mantener en equilibrio elpeso de 2 500 N.

13> Para los dos sistemas de poleas indicados en la figura1.46, calcula el valor de Tpara mantener en equilibrio elpeso de 3500 N.

14> El cableACes tensado por un rodillo en el punto B. Si = 15, determina la tensin del cable.

15> La barra BCde peso despreciable est articulada a una pa-red vertical en el punto B, y se mantiene en equilibriogracias al tiranteAC. Determina la fuerza que ejerce el ti-rante sobre la barra si se aplica una fuerza vertical de 300N en el punto C.

16> Calcula las fuerzas actuantes sobre los cablesAB y CB dela figura 1.49.

Fig. 1.45

Fig. 1.47

Fig. 1.48

Fig. 1.49Fig. 1.46


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Actividades

17> El pistnAB de la figura 1.50 ejerce una fuerza de 1 000N para levantar la caja. Descompn esta fuerza segn dosdirecciones? una paralela a BC, y otra perpendicular.

18> Si aplicamos una fuerza Pa una ruedecilla que gira sobreel cableACB, la tensin de ambos extremos vale 600 N.Calcula el mdulo y la direccin de P.

19> Mediante un cable y dos poleas se disponen tres cuerpos se-gn se indica en la figura 1.52 Determina el valor de la ma-sa m para que el sistema se mantenga en equilibrio.

20> El soporte D de la figura 1.53 est sometido, segn se in-dica, a tres fuerzas. Si se sabe que P= 250 N, determina:

a) El valor del ngulo para que la resultante sea verti-cal.

b) El mdulo de la resultante.

21> Determina la direccin de la fuerza $Fy la tensin del hi-lo del sistema de equilibrio de la figura 1.54, si se sabeque F= 300 N.

22> Una barca se mueve con velocidad constante cuando tirande ella dos cuerdasAB yAC, tal y como se indica en la fi-gura 1.55. Si se sabe que la resultante tiene un mdulo de800 N en la direccin horizontal y con el sentido que semuestra en la figura, determina el valor de la tensin dela cuerdaAB y el ngulo que forma con la horizontal.

Fig. 1.50

Fig. 1.53

Fig. 1.54Fig. 1.51

Fig. 1.52 Fig. 1.55


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Actividades finales

1> Sobre la silla actan las fuerzas $S y $T. Determina grfi-camente el mdulo, la direccin y el sentido de la fuer-za $R resultante.

S: R = 500 N, = 36,87

2> Los dos automviles de la figura 1.57 hacen avanzar labarca segn el eje del curso del ro. Sabiendo que lafuerza sobre el cable 1 que une el cocheA y la barca esde 1500 N, calcula:

a) La tensin del cable 2 si su inclinacin respecto deleje es un ngulo = 30.

b) Lo mismo, pero para = 45.

S: a) T2 = 2 121,2 N; b) T2 = 1 500,1 N

3> Sobre la anilla de la figura 1.58 hay aplicadas tres fuerzas.Calcula la resultante por los siguientes procedimientos:

a) Grficamente.

b) Analticamente, con la suma de las componentes rec-tangulares.

S: R = 669 N, = 52,6

4> Sobre el cohete de la figura 1.59 estn aplicadas lasfuerzas $W, $R, $S y $E. $W representa el peso del cohete yvale 3000 N; $R la fuerza pasiva del aire, con un valor de800 N; $S corresponde a la fuerza de sustentacin del co-hete y vale 3 900 N; finalmente, $E representa el empujeque ejercen los motores del cohete, con un valor de1 600 N. Calcula la resultante de las fuerzas $W, $R, $S y $Esi la inclinacin del cohete es de = 22,6.

S: R = 1 467 N, = 55,95

5> Calcula las tensiones de los hilosAB y BC del sistema dela figura 1.60.

S: TAB = 597 N, TBC= 2 230 N

Fig. 1.56

Fig. 1.57

Fig. 1.59

Fig. 1.58

Fig. 1.60

1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partculaActividades finales


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6> En la figura 1.61, la bscula a slo puede pesar un mxi-mo de 50 kp, y el dinammetro no puede medir fuerzas su-periores a los 100 N. Cunto pesa la persona de la figurasi el dinammetro indica 9 kp y la bscula 40 kp?

S: P= 833 N

7> La barra BCde peso despreciable es soportada por el ti-ranteACy la articulacin en B. Determina la fuerza quesoporta la barra y el tirante si se aplican 45 kN en elpunto C, tal y como se muestra en la figura 1.62.

S: F= 114,6 kN

8> El cilindro hidrulico BD ejerce sobre la barraABC unafuerza Pen la direccin BD. Si se sabe que Pdebe teneruna componente perpendicular a la barraABCde mdu-lo 7 500 N, determina:

a) El mdulo de P.b) El mdulo de la componente paralela a la barraABC.

S: P= 21 928,5 N; P|| = 20606 N

9> Actividad experimental: determinacin prctica de laresultante de dos fuerzas

El objetivo de esta prctica es comprobar que dos fuer-zas pueden ser sustituidas por otra resultante hallada apartir de la regla del tringulo.

El material que vamos a necesitar para la realizacin desta prctica ser:

j Tres poleas.j Tres pesos, por ejemplo tres envases de bebida par-

cialmente llenos de arena.j Unas balanzas o un dinammetro.j Tres hilos de nailon.j Soportes para las poleas.j Transportador de ngulos.

La metodologa ser la siguiente:j Llena de arena los tres envases de plstico hasta al-

canzar las masas de 1 kg, 0,455 kg y 0,759 kg. Des-pus realiza el montaje segn la siguiente figura:

Fig. 1.64

j Una vez hayas logrado equilibrar los pesos segn losngulos indicados, puedes comprobar que, al sustituirlos cables inclinados por el horizontal de la figura dedebajo, el sistema se comporta exactamente igual.

Fig. 1.65

j Demuestra mediante la regla del tringulo que laresultante de las dos fuerzas iniciales, dadas por lospesosA y B, es el peso C.

Fig. 1.62

Fig. 1.61

Fig. 1.63

1. Fuerzas y vectores. Equilibrio de la partculaActividades finales

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