Vectores del Oriente

ALGEBRA LINEAL I

Vectores

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ÁLGEBRA LINEAL

Un vector es una matriz de m dimensiones con propiedades aritméticas y representaciones de distintos tipos

• Vectores

Un vector es todo segmento de recta diri-gido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplica-ción. Es el punto exacto sobre el que ac-túa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espa-cio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indican-do hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpen-diculares. Este sistema de referencia per-mite fijar la posición de un punto cual-quiera con exactitud.

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• Vector Cero

Un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (longitud) cero.

Por ejemplo, en el plano cartesiano, el vector nulo es el vector (0,0), es decir, que inicia y termina en el origen. Su re-presentación gráfica es un punto.

En general en un espacio vectorial arbi-trario V, el vector u nulo es el vector nulo si u + v = v + v + u para cualquier vector v. Fijando una base, se tiene que el vec-tor nulo siempre tiene las coordenadas (0,0,..., 0).

• Suma de Vectores

Para sumar dos vectores libres  y  se esco-gen como representantes dos vectores ta-les que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

• Vectores equivalentes

Dos vectores son equivalentes (a este ni-vel los consideramos iguales) si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Se suelen representar, , ..., o con negrita, u, v...

Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmen-tos que los definen pertenecen a rectas paralelas.

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• Vector renglón

Un vector fila o vector renglón es una ma-triz de 1 x n dimensiones, esto es, una matriz formada por una sola fila de  elementos.

x = {x1, x2, ... xn}

La traspuesta de un vector fila es un vec-tor columna y viceversa.

El conjunto de todos los vectores filas for-ma un espacio vectorial que es el espacio dual del conjunto de todos los vectores columna.

• Vector Columna

Un vector columna es una matriz de m x 1 dimensiones, esto es, una matriz forma-da por una sola columna de m elemen-tos.

La traspuesta de un vector columna es un vector fila y vice versa.

El conjunto de todos los vectores colum-na forma un espacio vectorial que es el espacio dual del conjunto de todos los vectores fila.

• Resta de vectores

Para restar dos vectores libres  y  se su-ma  con el opuesto de.

Las componentes del vector resta se ob-tienen restando las componentes de los vectores.

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• Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vecto-res con el origen en común, se trazan rec-tas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.

• Regla del polígono

La regla del polígono consiste en dibujar una escala adecuada en vectores que se desean a discutir conservando su modu-lo, dirección, y sentido uniendo el origen del primer vector con el ultimo, esto es un vector de suma.

• Multiplicación escalar

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multipli-car el producto de sus módulos por el co-seno del ángulo que forman.

Ejemplo

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• Vectores Paralelos

Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radia-nes (180 grados).

Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo mismo que el producto escalar.

• Propiedades algebraicas de los vectores

Asociativa

 

Conmutativa

Elemento neutro

Elemento opuesto

Combinación lineal de vectores: Una combinación lineal de dos o mas vecto-res es el vector que se obtiene al sumar vectores, multiplicados por escalares res-pectivamente.

Vector binario: Es una matriz de 1 x n ó de n x 1 en la que todas las entradas

son 0 o 1.

Producto punto o escalar: El producto es-calar de dos vectores se puede construir tomando la componente de un vector en la dirección del otro vector y multiplicán-dola por la magnitud del otro vector.

Longitud de un vector (norma): La longi-tud de un vector de n elementos se deter-mina a través del teorema de Pitágoras.

Vector unitario: Es un vector de modulo uno, ósea  un vector de un espacio euclí-

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deo ya sea este el plano euclídeo o el es-pacio tridimensional.

Desigualdad de cauchy-schwarz: La desi-gualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar que el producto escalar es una función continua con respecto a la topo-logía inducida por el mismo producto es-calar.

Desigualdad del triangulo: Establece que en todo triángulo la suma de las longitu-des de dos lados cualquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Distancia entre vectores: Esta se puede calculo utilizando el teorema de Pitágo-ras.

Angulo entre vectores: El angulo entre dos vectores viene dado por la expresión:

Teorema de Pitágoras: Haciendo uso del teorema de Pitágoras, se puede determi-nar la longitud de un vector de n elemen-tos.

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendi-culares cuando su producto escalar es ce-ro.

Ejemplo

u ⃗=(3,0) v ⃗=(5,5)

u ⃗· v ⃗=(3*5)+(0*5)≠0

No son perpendiculares

Proyección de un Vector sobre otro

Si se considera buscar la distancia que hay entre un vector “b” sobre la recta “L”, se deberá encontrar la longitud del segmento de recta perpendicular Pb o, de manera equivalente, la longitud del vector Pb.

Si u y v son vectores en n dimensión y u no es igual a 0, entonces la proyección de v sobre u es el vector definido por:

proy _u (v)=((u·v)/(u·u))u7

Vector Normal

Se trata de un vector de un espacio de producto escalar que contiene tanto a la entidad geométrica como al vector nor-mal, que también tiene la propiedad de ser ortogonal o perpendicular a todos los vectores tangentes a la entidad geométri-ca. Este vector no tiene que ser necesaria-mente un vector normalizado o unitario.

Vector Dirección

Un vector dirección o vector director es aquel que da la dirección de una recta y también la orienta, es decir le da un senti-do determinado.

d ⃗= p ⃗-q ⃗ Siendo p y q dos diferentes vec-tores.

Ecuación en una Recta

La forma normal de la ecuación de una recta l en R2 es n·(x-p)=0 o n·x=n·p donde p es un punto especifico sobre l y n≠0 es un vector normal a .

La forma general de la ecuación de l es ax+by=c, en donde n = [a/b] es un vec-tor normal para l.

Ecuación en un Plano

La forma normal de la ecuación de un plano P en R3 es n·(x-p)=0 o n·x=n·p donde p es un punto especifico sobre P y n≠0 es un vector normal a l.

La forma general de la ecuación de l es ax+by+cz=d, en donde n = [a/(b/c)] es un vector normal para P.

Producto Cruz o Vectorial

1) El producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores ori-ginales.

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2) Es un proceso mediante el cual se produce un tercer vector “n” ortogonal a los dos vectores ya conocidos a evaluar.

Identidades

Cualesquiera que sean los vectores, a b y c:

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Distancia desde un punto F fuera de la Recta hacia la recta

La distancia entre el punto F, osea el pun-to fuera de la línea se denota como la me-nor de todas las distancias.

Distancia desde un punto F fuera del Pla-no Hacia el Plano.

La distancia desde F hasta el plano se de-nota como |proy _n ((Pf) ⃗ )|

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Aritmetica de Modulos:

Es un sistema aritmético para las clases de equivalencia de un,eros enteros, deno-minados clases de congruencias. La arit-mética modular fue introducida por Carl Friedrich Gauss en 1801.

Para un modulo n, se define de la siguien-te Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:

a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, si ambos de-jan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a − b es un múlti-plo de n.

Utilizando la notación de Gauss se puede denotar de la siguiente manera:

Utilizando cualquier ejemplo como:

Como ambos números tienen de residuo 3 al dividir por 10, o equivalentemente 63-83 es un múltiplo de 10. Y se lee de la siguiente manera: “63 es congruente con 83, modulo 10.

Codabar:  

Se denomina Codabar al código de ba-rras lineal diseñado para ser leído sin problemas aun estando impreso por una

impresora de matriz de puntos. Fue crea-do por Pitney Bowes en 1972.

UPC: ( Universal Product Code):

Estos códigos de barras aparecen detras del producto (usualmente) y son una se-rie de líneas de varias anchuras con una serie de números debajo de ellas. Esta se-rie de números se le conoce como UPC y es un numero único de 12 digitos para un producto que esta representado por barras legibles impresas para que de tal manera que el lector dew código de ba-rras las pueda leer. Este numero enton-ces busca en el sistema de inventario del detallista el nombre del producto corres-pondiente y el precio. Esta información es enciada a la caja y queda registrada la venta. Esta separado por dos mitades, pa-ridad par y paridad impar.

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Codigo de Verificacion UPC:

El código de verificación es el ultimo nu-mero de la serie de 12 contenidos en el código. Es obtenido a base de los 11 ante-riores.

ISBN (International Standard Book Number:

Es un identificador unico para los libros con fin de uso commercial. Fue creado en 1966 en el Reino Unido por las libre-rías de W Smith. Al principio era llama-do Book Numering, y fue adoptado como estándar internacional en 1970.Consta de 13 digitos únicos desde 2007 ya que el inventario de libros en el mundo era de-

masiado grandes, anteriormente consta-ba de 10 digitos.

Codigo de Verificacion de ISBN:

Al igual que el código UPC, se le denomi-na código de control o verificador al ulti-mo digito del código. En este caso seria proporcionado por los últimos 12 nume-ros. Y sirve para que la lectura del código sea efectuada correctamente, si el código verificador no coincide con el código que ha leído, emite un aviso que algo anda mal.

Vectores Codigo.

Se les denomina vectores código a los mensajes que sus componentes han sido reemplazados con otros ( una palabra con otra) de acuerdo con una regla de sustitución. Dichos códigos son secretos y son el objetivo de la criptografía.en vez de ellos el texto se concentrara en los có-digos que se usan cuando deben transmi-tirse datos de manera electrónica. Un ejemplo seria la clave Morse.

Un código binario es un conjunto de vec-tores binarios llamados vectores código. Y al proceso de conversión de este mensa-

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je en vectores código se llama codifica-ción y el inverso es decodificación.

Codigo de Detección de Error

Este código puede detectar cualquier error individual, si ocurrió un error en un componente, el receptor notaria el error pero no mas donde, solamente sa-bria que existe un error en el código.

Codigo de Control de Paridad.

Si el mismo mensaje contiene vectores binarios, un simple código de detección de error es un código de control de pari-dad, que se crea al agregarun componen-te adicional llamado Digito de Control, a cada vector de modo que la paridad (el total de números 1) sea par.

Vector Control.

Se denomina vector control al vector cu-yos componentes son todos los números 1.

11) Ecuacion Lineal:

Son un conjunto finito de ecuaciones li-neales, en donde cada ecuación es de pri-mer grado. Estan definidas sobre un cuerpo. Como por ejemplo

Y el problema principal de estas ecuacio-nes es encontrar la variable desconocida despejando en torno a ella. Tiene una in-finidad de aplicaciones.

Solucion Trivial:

El termino trivial se refiere a un cuerpo con estructuras muy simples.Pero que pa-ra la completacion no pueden ser ignora-das. Como por ejemplo esta ecuación di-ferencial:

y´=y

En donde y=F(x) es una función la cual la derivada es y`. Tendriamos como solu-ción trivial la siguiente ecuación:

y=0 siendo una función cero

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Sistema de ecuaciones lineales:

Es un sistema en donde cada ecuación es de un solo grado.

Un ejemplo de una ecuación lineal sería este:

En donde se debe encontrar los valores de x1, x2, x3 que satisfacen la ecuación.

Esto tiene muchos usos y aplicaciones, entre los que están el procesamiento de señales digitales y los análisis estructura-les.

Sustitución hacia atrás:

En este método se realiza una elimina-ción de coeficientes partiendo de la últi-ma ecuación del sistema para despejar la incógnita, la cual se puede resolver fácil-mente debido a que en esta ultima ecua-ción se encuentra una sola incógnita, gra-cias al trabajo realizado con el método de sustitución hacia adelante.

Sistema consistente:

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es depen-diente y consistente.

Sistema inconsistente: Es un sistema que carece de solución alguna.

Matriz aumentada: Una matriz aumenta-da se obtiene al combinar dos matrices como se muestra en este ejemplo:

Siendo la matriz A y B

La matriz aumentada será:

Esta notación es útil para resolver siste-mas de ecuaciones lineales dados por ma-trices cuadradas. También se puede utili-zar para encontrar la inversa de una ma-triz.

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Matriz coeficiente: Esta matriz contiene todos los coeficientes de las variables.

Para este sistema:

Su matriz coeficiente es:

Forma escalonada por renglones:

Una matriz está en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades:

• Cualquier renglón que consiste comple-tamente de ceros está en la parte baja.

• En cada renglón distinto de cero, el pri-mer elemento distinto de cero (llamado elemento pivote) está en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivo-te bajo el.

Operaciones elementales con renglones:

Las operaciones permisibles, llamadas operaciones elementales con renglones, corresponden a las operaciones que pue-den realizarse sobre un sistema de ecua-ciones lineales para transformarlo en un sistema equivalente.

Las operaciones que pueden realizarse sobre una matriz son:

• Intercambiar dos renglones.

• Multiplicar un renglón por una constan-te distinta de cero.

• Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Pivote:

Es el primer elemento distinto de cero en un renglón. En cualquier columna que contenga un elemento pivote, todas las entradas bajo este son cero.

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Eliminación Gaussiana:

Es el proceso en el cual se aplica la reduc-ción por renglones a la matriz aumenta-da de un sistema de ecuaciones lineales, se crea un sistema equivalente que pue-de resolverse mediante sustitución hacia atrás.

Matrices equivalentes por renglones:

Las matrices A y B son equivalentes por renglones si existe una secuencia de ope-raciones elementales con renglones que convierta A en B.

Las matrices:

Son equivalentes por renglones. Sin em-bargo, en general, ¿cómo puede decirse si dos matrices son equivalentes por ren-glones?

Las matrices A y B son equivalentes por renglones si y sólo si pueden reducirse a

la misma forma escalonada por renglo-nes.

Variable Libre:

xi. La columna i queda sin pivote en la eliminación. Podemos dar cualquier va-lor a las variables libres n - r, entonces Ax = b determina las variables pivote r.

Variable Pivote:

Es el elemento de la diagonal (el primero distinto de cero) cuando se trabaja con una fila al realizar una proceso de elimi-nación.

Rank de una matriz:

es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente in-dependientes. Si el rango fila y la colum-na son iguales, este número es llamado simplemente rango de A. Comúnmente se expresa como rg(A).

Teorema del Rank de una matriz: El ran-go por filas (o por columnas) de una ma-triz A no varía si se sustituye una de ellas por una combinación lineal de todas, en la cual el coeficiente de la sustituida es distinto de cero.

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Forma Escalonada:

una matriz se dice que es escalonada, es-calonada por filas o que está en forma es-calonada si:

1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.

2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pi-vote son cero), es decir, si para cada fila i, si=min{j/aij<>0}, se verifica que ai,j=0 para toda columna j<si y que ai+1, j=0 para toda columna j<=si

3. En cada fila el pivote es el único ele-mento no nulo de su columna.

Sistema Homogeneo: Un sistema lineal que tiene todos sus terminos indepen-dientes igual a cero, es decir, bi = 0 ∀i ∈ {1, 2 · · · n} recibe el nombre de sistema homogeneo. Todo sistema lineal

Tiene asociado el sistema homogéneo

Un sistema homogeneo es siempre com-patible puesto que ´ (0, 0, . . . , 0) es siempre solucion del sistema, nos referi-remos a dicha solucion como solución tri-vial.

Conjunto generador:

se llama conjunto generador s al conjun-to de vectores, pertenecientes a V, a par-tir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo.

No confundir este concepto con el de ba-se, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es de-cir, todos sus elementos han de ser lineal-mente independientes, un sistema gene-rador puede ser ligado, es decir, lineal-mente dependiente.

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Generador de un conjunto de vectores:

Un sistema generador de un espacio vec-torial es un conjunto de vectores que tie-nen la propiedad de que cualquier vector del espacio vectorial es combinación li-neal de los vectores del sistema genera-dor.

Ejemplo

En     , los vectores

Forman un sistema generador ya que cualquier vector   (x, y)   en       se pue-de poner como combinación lineal de       y   :

Vectores linealmente dependientes:

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero to-

dos los coeficientes de la combinación li-neal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente de-pendientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combina-ción lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son lineal-mente dependientes.

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3.Dos vectores libres del plano  U = (u1, u2) y  V = (v1, v2) son linealmente depen-dientes si sus componentes son propor-cionales.

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Vectores linealmente independientes:

Varios vectores libres son linealmente in-dependientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación li-neal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independien-tes tienen distinta dirección y sus compo-nentes no son proporcionales.

Ejemplo

Determinar si son linealmente depen-dientes o independientes los vectores:

  = (3, 1) y   = (2, 3)

Linealmente independientes

Angulo de intersección entre rectas:

Angulo de intersección entre planos:

 El ángulo entre dos planos es el ángulo entre las normales correspondientes a ca-da uno de los planos.

Por ejemplo:

Encontrar el ángulo entre los planos  

y   Dos normales a los planos

  y  

son   y   respectivamente. As\ı: 

 grados

El método de Gauss:

consiste en trasformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente de forma para que pueda ser escalonada o que sea escalonada.:

(Ver ejemplo en la siguiente pagina)

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Metodo Jacobi

Este método se basa prácticamente en es-cribir las ecuaciones lineales en la forma siguiente:

Se parte de una aproximación inicial pa-ra las soluciones al sistema de ecuacio-nes y se sustituyen estos valores en la ecuación . ASi se genera una nueva apro-ximación a la solución del sistema que en determinadas condiciones es mejor que la inicial. Esta aproximación se pue-de sustituit de nuevo en la parte derecha de la ecuación y así sucesivamente hasta obtener la convergencia.

Convergencia

Es la condición que se necesita para la convergencia, siendo R=L+U. No es nece-sario que los elementos de la diagonal en la matriz sean mayores en magnitud que los otros elementos ya que la matriz es diagonalemnte dominante pero en el ca-so de que si sea, la matriz converge.

Iterado:

El termino logaritmo iterado indica una función que esta definida por la aplica-ción repetida o iterada de la función loga-ritmo sobre un argumento. Puede ser descrita como el numero de veces que es necesario aplicar logaritmo para obtener un valor 1 o menor. Es denotada como log*(x)

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En donde es el conjunto de todos los nú-meros reales mas el cero .

Divergencia

Una serie divergente se refiere a una se-rie infinita que no converge. Si la serie converge, todos los términos individua-les deben tender a 0. Por lo tanto toda se-rie en la cual los términos no tienden a cero, estas divergen.

Un ejemplo es la serie armónica:

Notacion de un vector: Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para dife-renciarlas de las magnitudes escalares

que se representan en cursiva. En los tex-tos manuscritos, las magnitudes vectoria-les se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Distancia entre dos vectores: La distan-cia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Ejemplo

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Distancia entre rectas paralelas:

Para hallar la distancia entre dos en rec-tas paralelas, se toma un punto cualquie-ra, P, de una de ellas y calcular su distan-cia a la otra recta.

Hallar la distancia entre las rectas: r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

La distancia entre dos rectas también se puede expresar del del siguiente modo:

Calcular la distancia entre las rectas:

Distancia entre dos planos paralelos: Cuando nos referimos a la distancia en-tre dos planos, éstos han de ser parale-los, porque si son coincidentes o secan-tes, la distancia es cero.

Recuerda que dos planos son paralelos:1) Si el rango de la matriz de coeficientes vale 1 y el de la ampliada 2

2) Cuando   , si A, B, C y A’, B’,C’ son los coeficientes de las variables de cada plano.

3) los coeficientes de las variables son iguales (incluido el signo) que es lo mis-

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mo que decir que el sistema es incompati-ble, que no se puede resolver.

Tienes a continuación los

puntos    y  correspondien-tes a dos puntos de cada plano paralelo.

La distancia será la perpendicular entre los dos puntos si ambos ocupan los mis-mos lugares referidos a las variables.

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Nombre: Hugo Andrés Chávez Castillo

Fecha de Nacimiento: 07/Abril/1993

Ocupación: Estudiante de Ingeniería Me-catrónica en la Universidad del Valle de Guatemala

Nacido en la ciudad de Guatemala. Reali-ce mis estudios en Huehuetenango, en el colegio San Lorenzo. Me gradué de bachi-ller en Ciencias y Letras. Viví un año en Canadá estudiando ingles y francés. Lue-go me mude a la ciudad de Guatemala luego de haber sido aceptado en la Uni-versidad del Valle. Me considero una per-sona aplicada, activa y responsable. Mis intereses principales son la mecánica jun-to con los medios de transportes y sus avances tecnológicos y hobbies serian la música como la guitarra y los deportes como el motocross y tennis.

Expectativas de este curso:

1) Aprender un poco más acerca de vec-tores y sus propiedades.

2) Ampliar mi conocimiento matemáti-co.

Autores

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ALGEBRA LINEAL

Estos son los desarrolladores de esta revista, las mentes brillantes detrás de las hojas electrónicas llenas de sabiduría

3) Mejorar mi habilidad con los núme-ros.

Nombre: Barrios Trujillo, Kevin Barrios

Fecha de Nacimiento: 17 de diciembre de 1993 – 19 años

Ocupación: Ingeniería Mecatrónica – Universidad Del Valle De Guatemala

“Nacido en la ciudad de Guatemala, gra-duado del Colegio Salesiano Don Bosco, apasionado por superarme a mí mismo, mi propósito es siempre alcanzar un po-co más y poco a poco llegar más lejos. En mi tiempo libre acostumbro escuchar música, entrenar artes marciales o pen spinning, o simplemente dormir. Decidí estudiar la carrera de Ingeniería Mecatró-nica ya que me apasiona la tecnología, y mi fin es poder comprenderla y dominar-

la desde su esencia, además que me en-canta utilizar la creatividad para armar y desarmar cualquier tipo de objetos lo que desde un principio me hizo enfocar-me en algún tipo de ingeniería, pero la mecatrónica fue la mezcla perfecta que encontré para uno de mis intereses perso-nales, como lo he mencionado, la tecnolo-gía. En esta revista espero sintetizar el contenido del curso de Algebra Lineal pa-ra así poder contar con ella como herra-mienta de respaldo al momento de repa-sar para realizar un parcial o en alguna otra situación que lo requiera.”

Expectativas del curso:

-Poder llegar a manejar con seguridad sistemas de vectores y matrices.

-Poder llegar a utilizar los sistemas de vectores y matrices en otras áreas aplica-bles como herramientas de respaldo.

-Aprender más métodos para realizar operaciones y cálculos, y así poder com-prender un poco más las matemáticas.

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Nombre: Rodrigo José Jo Lau

Fecha de nacimiento: 8 de noviembre de 1992

Ocupación: Estudiante de Ingeniería Electrónica

Algo sobre mí: Me di cuenta que la elec-trónica era lo que me gustaba desde que decidí que quería que mi carrera de diver-sificado fuera la de perito en electrónica en el Centro Educativo Técnico Laboral Kinal, desde ese momento estuve seguro que quería estudiar ingeniería electróni-ca.

En este momento curso el segundo año de esta carrera en la Universidad del Val-le de Guatemala.

Uno de mis grandes pasatiempos es la fo-tografía, pasatiempo en el que llevo un poco menos de dos años de practicarlo.

Mis expectativas para este curso: Com-prender a plenitud los conceptos de  vec-tores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales.

-

Nombre: Javier Alejandro Alay Pérez

- Fecha de Nacimiento: 16/12/1993

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- Ocupación: Estudiante universitario

- Algo sobre mí:

Con 19 años, estudiante de la carrera de Ingeniería Mecatrónica, soy un joven cu-yo hobbie es la música, no solo escuchar-la sino también interpretarla. Amante de la tecnología y atraído por la mecánica y electrónica. Me gusta saber más que solo la abstracción de las cosas, no solo saber que hacen sino como lo hacen. Bastante curioso. Los deportes me ayudan a rela-jarme. Valoro la amistad y sinceridad de las personas sobre todo lo demás. Creo en un post – modernismo puramente tec-nológico, donde las maquinas realizaran mas procesos de automatización donde el hombre tendrá el control de todo, espe-rando ser uno de los desarrolladores de esa tecnología

- Mis expectativas para este curso:

o Desarrollar aplicaciones de los vecto-res y planos

o Obtener nuevos conocimientos en el área matemática

o Reforzar el algebra y desarrollar una mejor habilidad en ella

Nombre: Acxel Andrés Altuve Chávez 

Fecha de Nacimiento: 18 de Octubre de 1991

Ocupación: Estudiante de la Universidad del Valle de Guatemala

Algo sobre mi se podría decir que soy una persona amigable y de una personali-dad agradable. Nací en la ciudad de Huehuetenango donde realice mis estu-dios de primaria, básico y diversificado. Luego de haberme graduado me mude hacia la ciudad capital para poder seguir mis estudios en dicha universidad. La manera en la que ocupo mi tiempo libre es estar con mis amigos y pasar un buen rato o ya sea tocar guitarra que me gusta mucho o salir a hacer un poco de bicicle-ta de montaña que es otra cosa que me gusta hacer.

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Mis expectativas para el curso: 

Seria aprovechar al máximo todas las en-señanzas de la profesora para poder así mismo asimilarlos completamente y te-ner un buen desenvolvimiento en el cur-so para que así no solo la nota del curso sea alta sino que al igual mi promedio

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