vectores

Conceptos generales

• Magnitudes vectoriales• Ejes de coordenadas• Dibujo de un vector

• Modulo dirección y sentido

• Componentes de un vector

• Cosenos directores• Vectores unitarios• Expresiones de un vector

Términos que se emplean y significado matemático

• Ortogonal• Independencia lineal

• Paralelo• Perpendicular

• Perpendicular• No se pueden obtener

unos de otros• Forma 0 º• Forma 90º

subíndices

• x = parte x de algo• y = parte y de algo• z = parte z de algo• 0 = inicial lo del principio• f = final, cuando acaba• i = inicial• A = situación inicial o de partida• B = situación final

símbolos

• Δ incremento (es una diferencia)

• ∑ suma ( se usa un subíndice para decir cuantos elementos tiene)

• θ ángulo

• α ángulo con el eje x

• β ángulo con el eje y

• γ ángulo con el eje z

Términos que se emplean y significado vectorial

1. Paralelo2. Perpendicular3. Proyección4. Desplazamiento5. Distancia6. Angulo7. Triangulo8. paralelogramo9. Diagonal mayor del Paralelogramo10. Diagonal menor del paralelogramo11. Área del paralelogramo12. Superficie del triangulo

1. Producto vectorial2. Producto escalar3. Producto escalar4. Diferencia de vectores5. Modulo de la diferencia6. Producto escalar7. Diferencia de vectores8. Suma de vectores9. Suma de vectores 10. Diferencia de vectores11. Modulo del producto vectorial12. Modulo del producto vectorial/2

Magnitudes vectoriales• Vector de posición r• Velocidad v• Aceleración a• Campo gravitatorio g• Campo eléctrico E• Campo magnético B• Superficie S• Vector propagación

• FUERZAS• Peso• Normal• Tensión• Fuerza de rozamiento• Fuerza elástica• Fuerza gravitatoria• Fuerza eléctrica• Fuerza magnética• Fuerza nuclear

Álgebra y calculo vectorial

• Álgebra vectorial• Suma• Descomposición• Diferencia• Producto por un escalar• Producto escalar• Producto vectorial

• Calculo vectorial• Derivación• Integración vectorial

Escritura de un vector

• Mediante letras mayúsculas o minúsculas.• En negrita• Con una flecha encima

definiciones

coordenadas

Números que se dan para localizar un punto en el que se encuentra un

cuerpo

Coordenadas cartesianas x, y, z

Coordenadas polares: r y φ

Ejes de coordenadas cartesianas

Son los ejes x y z

PX

Y

Z

Símbolos de los ángulos

• Entre segmentos θ

• Con el eje x : φ

• Con los ejes x, y, z α, β, γ

hipotenusa

stocatetoopuesen

hipotenusa

iguocatetocontcos

Teorema de Pitágoras y del coseno (a y b son módulos de

vectores)

22 baR cos222 abbaR

Formula elemental de trigonometría

sen 2 θ + cos2 θ = 1

modulo

• Valor absoluto del vector• Coincide con la distancia del segmento

222zyx AAAA

Vector unitario

• Es el que tiene de modulo la unidad• El símbolo usado para designarlo es –u- con

un subíndice que indica su dirección • u r dirección radial• u x dirección x también i• u y dirección y también j• u z dirección z también k

Vectores unitarios ortogonales

• Forman 90º entre sí• i• j• k

A

Au

Cosenos directores

• Cosenos de los ángulos que el vector forma con el eje x y z

A

AycosA

AxcosA

Azcos

dirección

• Línea que contiene al vector• Se expresa por su vector unitario

Vector de posición

• Es un vector cuyo origen es el punto 0,0,0 y su extremo el punto considerado

• Se representa con la letra r

Vector desplazamiento

• Es el vector cuyo origen es el punto de salida de un móvil y cuyo extremo es el punto de llegada

• Se representa como Δ r

Expresiones de un vector

• Mediante tres números entre paréntesis• Mediante el modulo y su vector unitario• Mediante tres vectores unitarios ortogonales• Mediante su modulo y los cosenos directores

),,( zyx AAAA

uA

,

kAjAiAA zyx

cos,cos,cos,A

Suma de vectores

• Es el vector obtenido trasladando los vectores y colocando e extremo de uno en el origen del otro y uniendo origen con extremo

• También se obtiene por la regla del paralelogramo

¿Cómo se hace la suma?

• Teorema del coseno• Sumando las componentes

cos222 ABBABA

kBkAjBjAiBiABA

kBjBiBB

kAjAiAA

zzyyxx

zyx

zyx

¿Qué significado tiene la suma?

• Es la diagonal mayor del paralelogramo formado por los dos vectores

Componentes de un vector

• Son las proyecciones sobre los ejes x y z

Descomposición de un vector

• Es la operación contraria a la suma• Teniendo el vector obtener las componentes

¿Como se hace la descomposición de un vector?

• Mediante las formulas del seno y el coseno

Razón de la descomposición de vectores

• Si tenemos una magnitud vectorial, podemos hacer las operaciones en las que interviene mediante el vector o mediante las componentes.

• Descomponemos el vector• Operamos escalarmente las componentes que

es mas fácil• Volvemos a componer el vector

diferencia

• Es otro vector obtenido por la regla del triangulo

¿Cómo se hace la diferencia?

• Mediante la regla del coseno• Operando las componentes

¿Qué significa la diferencia?

• Es la distancia entre los extremos de los vectores

Multiplicación por un escalar k

• Es el producto del vector por un numero

¿Cómo se hace la multiplicación por un escalar?

• Se multiplica cada una de su componentes

¿Qué significado tiene la multiplicación por un escalar?

• Es como si agrandáramos o disminuyéramos el vector k veces

Producto escalar

• Es un escalar que se obtiene multiplicando dos vectores.

¿Cómo se hace el producto escalar

• Multiplicando las componentes• Se organiza ordenando los vectores uno

debajo del otro y coincidiendo las componentes.

• Mediante la ecuación A B =A B cosθ

zzyyxx

zyx

zyx

BABABABA

kBjBiBB

kAjAiAA

Aplicaciones del producto escalar

• Conocer el ángulo entre dos vectores• Saber si son perpendiculares

Producto vectorial

• Es el producto de dos vectores obteniéndose un vector que tiene por módulo A B sen θ y dirección y sentido perpendicular al plano formado por los vectores

¿Cómo se hace el producto vectorial?

• Su modulo se obtiene mediante la ecuación• A B = A B sen ө• Su dirección mediante la regla del tornillo• También se llama regla del la mano derecha,

del sacacorchos.• Mediante un determinante

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

Aplicaciones del producto vectorial

• Hallar el ángulo entre los vectores• Hallar el área del triángulo formado por ellos• Hallar un vector perpendicular al plano

formado por ellos

Derivada de un vector

• Se deriva cada una de sus componentes

Derivadas elementales que se podrán tener en las pruebas

• De una constante = 0• De una potencia: se resta un numero al exponente y se multiplica por

el exponente• De una raíz: se convierte en potencia• De un producto: derivada del primero por el segundo + derivada del

segundo por el primero• De un cociente: derivada del numerador por el denominador- derivada

del denominador por el numerador.• Del seno: el coseno• Del coseno: - el seno

Integración vectorial

• Se integra cada una de sus componentes

Integrales elementales que se podrán tener en las pruebas

• De d x es x + C• Las constantes salen fuera de la integral• De una potencia se suma 1 al exponente y se divide por

el numero obtenido.• De una suma o diferencia: suma o diferencia de

integrales • Del seno = - coseno• Del coseno = seno

Notación

• Escribir espacio inicial• Escribir posición inicial • Escribir tiempo final• Escribir velocidad en un tiempo t 1

• Escribir aceleración en un tiempo t2

• Escribir campo eléctrico E en un punto

Desarrollar

• ∆ x entre dos puntos

• ∆ t entre el comienzo y el final

• ∆ t entre dos tiempos cualquiera

• ∆ e entre la salida y la llegada

• ∆v entre el comienzo y el final

4

1

i

iia

2

1

2

1

j

jj

i

ii ba

Usando el teorema de pitágoras, el seno y coseno, y un dibujo demostrar

•

222zyx AAAA

22yx AAA

1cos22 sen

Usando el producto por un escalar y los vectores unitarios

ortogonales i, j, k y las razones trigonometricas, demostrar.

A

Au

kAjAiAA zyx

cosAAx

cosAAy

cosAAz

problemasLos problemas que a continuación

aparecen no son para practicar sino problemas tipo donde se concreta la

teoría y que hay que aprender.

Dado el vector A=(3,4,0)

• Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales.• Hallar su módulo • Hallar su vector unitario• Expresarlo en función de su módulo y vector unitario• Indicar sus componentes• Hallar los cosenos directores• Expresarlo en función de su módulo y cosenos directores

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA, RESTA, MULTIPLICACION, DESCOMPOSICION, DERIVADA

INTEGRAL.

DESCOMPOSICIÓN: Dado un vector A en el plano de modulo 10 formando 30º

con el eje x• Hallar la proyección sobre el eje x• Hallar la proyección sobre el eje y• Indicar los cosenos directores• Indicar como se escribe la proyección sobre el eje x• Indicar como se escribe la proyección sobre el eje y• Indicar qué relación existe entre ambas proyecciones.

Dados los vectores (2,12,3) y (3,-1,2)

• Hallar su suma• Hallar su diferencia• Hallar el producto escalar• Hallar el producto del primero por el escalar 2• Hallar el producto vectorial

Dados dos vectores A y B de módulos 6 y 8 formando 60 º

• Hallar su suma• Hallar su diferencia• Hallar su producto escalar• Hallar el módulo de su producto vectorial

Dado el vector r = (t 3 , t 2, t)

• Expresarlo en función de los vectores unitarios ortogonales

• Hallar su derivada• Hallar su integral en función de t

aplicaciones

• Demostrar que los vectores (senθ, cos θ) y (– cos θ, sen θ ) son ortogonales

• Realizar todos los productos escalares y vectoriales posibles de i, j, k

• Hallar la derivada del vector (sen θ cos θ).

• Hallar el ángulo que forman los vectores (3,4,0) (4,3,0)

• Hallar a para que los vectores siguientes sean perpendiculares (2,3,1) y (1,-a,3)

• Demostrar que los vectores (3,-2,1) (2,1,-4) (1,-3,5) forman un triángulo rectángulo.

• Desde un acantilado se dispara un cañón que forma un ángulo de 60º con la horizontal. La bala sale a 200 m/s. Descomponer la velocidad de la bala.

• Sobre un péndulo actúan dos fuerzas, el peso hacia el centro de la tierra y la tensión en la dirección de la cuerda y hacia el techo. Elegir un sistema de referencia para descomponer las fuerzas que actúan sobre un péndulo y descomponerlas

• Hallar la proyección de (-1,2,1)sobre (1,-1,2).

• Hallar los ángulos del vector (4,-1,3) con los ejes cartesianos.

• Hallar el ángulo que deben formar dos vector de módulos 3 y 4 para que su suma sea 5

• Hallar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores(1,1,2) y(2,-1,-1) y el área del triangulo que forman

• El módulo de un vector es y forma 90º con el vector . (2,12,3). Hallar el módulo de su suma

• Los vectores de posición de dos puntos son 2, 1, 4, y 1, 4, 3 Hallar la expresión vectorial de los tres lados del triángulo que forman al unir sus extremos

• Un vector tiene su origen en el punto 1,1,1 el módulo del vector de posición de su extremo es 9. Los cosenos directores son 2/3 1/3 2/3. Hallar el vector desplazamiento

14

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento: x = 10t y = 5t2

z = 4

• A) Hallar el vector velocidad y aceleración en t = 1 s

• B) Hallar la dirección de la velocidad(vector unitario) y decir si el movimiento es rectilinbeo o curvilíneo.

Un cuerpo tiene las siguientes ecuaciones de movimiento: x = 2sent y =2 cos t z = 0

• A) Hallar el vector velocidad y aceleración en t = s

• B) Hallar la dirección de la velocidad(vector unitario) y decir si el movimiento es rectilíneo o curvilíneo.

• C) Demostrar que el vector de posición y la aceleración tienen la misma dirección

• D) Demostrar que la velocidad y la aceleración son perpendiculares.

Una fuerza tiene la expresión F = 2x i. Hallar el trabajo

desde x = 1 a x = 5W= 1

2 F dr

Una fuerza tiene la expresión F = 2 i + 3xj + z k

Hallal el trabajo desde el punto (0,0,0) al (1,1,1)

Dada la fuerza F = senx i + cos x j. Hallar el trabajo desde el punto

3,4 al 4,3