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 1.2. VECTOR DE POSICIÓN.VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

1.2.1. Supuesto el vector de posición de un punto en el espacio:r = 2i-6 j+4k,

la mejor representación de dicho vector de todas las dadas es la:

a) A b) B c) C d) DSOL:Dado que en el dibujo, el único vector dibujado que tiene componente Ynegativa es el D,y comparando las magnitudes de las componentes dadas enlos dibujos, la respuesta correcta es la d.

1.2.2. Dadas las coordenadas de un punto en el espacio P(4,4,-4), el que mejor se corresponde con P, de todos los que seobservan en el dibujo, será el:a) A b) B c) C d) DSOL:Puesto que P,se encuentra en la coordenada -4,sobre el eje Z, el único puntoque se encuentra en esas circunstancias es el A,y por lo tanto la respuesta esa.

1.2.3. Dadas las coordenadas del extremo del vector de posiciónde un punto en el espacio P(2,-4,2) el vector r correspondientedeberá ser:a) r = -4i+2 j _2k 

 b) r = 2i-4 j-2k 

c) r = -2i-4 j+2k d) r = 2i+2 j-4k e) NINGUNO DE LOS DADOSSOL: Ninguno de los vectores dados tiene su extremo en P.La respuesta válida es e.

1.2.4. Dado el vector de posición de un punto material móvilr=3ti+2 j-tk, se dirá que en el instante inicial, dicho punto seencuentra en la posición:a) (0,0,0) b) (3,2,-1) c) (0,2,0)

d) (0, 2,-1) e) NADA DE LO DICHOSOL:Sustituyendo t=0, tendremos que r=2 j,que corresponde a (0,2,0).La respuestacorrecta es la c.

1.2.5. Dado el vector de posición de un punto material móvilr=ti-t2 j+tk, se dirá que de los vectores dados, el que mejorrepresenta su posición al cabo de un segundo, será el:a) A b) B c) Cd) D e) NINGUNO DE LOS DADOSSOL:Sustituyendo t=1s, r=i- j+k,que tiene componente Y negativa. Como sólo seencuentra en estas condiciones el D, la solución correcta es la d.

1.2.1.

1.2.2.

1.2.5.

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1.2.6. El vector de posición de un punto material que se desplaza por el espacio, en el instante t1, es r1=3i+2 j, mientras que en elinstante t2, es r2=2 j-3k, se dirá entonces que el desplazamientoefectuado por dicho punto vendrá dado por la expresión:a) d=3i+4 j-3k 

 b) d=3i+3k c) d=3i+4 j+3k 

d) d=4 j+3k e) NADA DE LO DICHOSOL:El vector desplazamiento d = r2 - r1 =(2 j - 3k) - (3i + 2 j) = -3i - 3k.Como no corresponde con ninguno de los dados, la respuesta correcta es la e.

1.2.7. Si un punto material se encuentra en el instante t1  en P1 (1,3,-4), y en el instante t2, en P2 (2,-4,2), se podrá decir que elvector desplazamiento efectuado por dicho punto será:a) d = 2i-4 j+2k 

 b) d = -3i+ j-2k 

c) d = i-7 j+6k d) d = i- j+2k e) NINGUNO DE LOS DADOSSOL:Por lo dicho en la cuestión anterior, d = (2i - 4 j + 2k) - (i + 3 j - 4k)=i-7 j+6k.La única respuesta válida es la c.

1.2.8. Dadas las ecuaciones paramétricas de un punto materialmóvil, en el espacio: X=2t+1, Y=2t-1, Z=3t2  , la posición dedicho punto en el instante inicial dada por su vector de posiciónserá:a) r = 3i+ j+3k 

 b) r = i+ j c) r = i- j d) r = 2i+2 j+3k e) NADA DE LO DICHOSOL:El vector de posición será, r = (2t+1)i+(2t-1) j+3t²k, y para t=0,r=i- j.La solución correcta será la c.

1.2.9.* Dado el vector de posición de un punto material móvilen el plano XY, r=(t-2)i+(t+2) j, la ecuación de la trayectoria dedicho punto será:a) X=Y+2

 b) Y= X-2c) X=Yd) LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR LA

PARTE POSITIVA DE LOS EJES X E Ye) NADA DE LO DICHOSOL:

Para determinar la trayectoria, se hará X=t-2 ,Y=t+2 . Despejando t,en la primera, t=X+2 , que sustituida a la segunda, da la ecuación de la trayectoriaY =( X+2 )+2 = X+4, que no coincide con a,b y c. Como la ecuación de la bisectriz XY, es Y = X , tampoco corresponde con la calculada. La respuestaválida es la e.

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1.2.13. Dada la ecuación horaria del movimiento de una partícula s=4-2t+t2  (Unidades S.I.), se podrá asegurar que lavelocidad escalar media, medida en m/s, entre los 4 y los 2segundos, valdrá:a) 2 b) 4 c) 6 d) 8e) NADA DE LO DICHOSOL:La velocidad escalar media v = ( s

2 - s

1)/(t

2 - t

1),y al sustituir los valores de t,

tenemos v escalar = [(4-8+16)-(4-4+4)]/4-2 = 4 m/s.La solución correcta es lab. 

1.2.14. Siendo la ecuación horaria del movimiento de una partícula: s=4-2t+t2  (Unidades S.I.), se podrá afirmar que lavelocidad escalar instantánea en el cuarto segundo será en m/s:a) 2 b) 4 c) 6 d) 8e) NADA DE LO DICHOSOL:La velocidad escalar instantánea corresponde a ds/dt=-2+2t, y al sustituir

t=4s, v = 6 m/s, siendo la respuesta válida, la c.

1.2.15.* El vector de posición de un punto material que semueve en el plano YZ es el dado por: r=(t2-2) j-(t2+2)k (Unidades S.I.), según ello, la velocidad media vectorial, entret=4s y t=2s se dirá que en m/s es:a) v=4 j-6k  b) v=6 j-6k  c) v=7 j-6k d) v=6 j-7k  e) NADA DE LO DICHOy la ecuación de la trayectoria es de todas las dadas en el dibujo,la:a) A b) B c) Cd) D e) NINGUNA DE LAS DADASSOL:Como v media = ( r2-r1 )/(t2 - t1), al sustituir t,v media=[(14 j-18k)-(2 j-6k)]/(4-2) = 6 j-6k m/sLa trayectoria se obtendrá reproduciendo las ecuaciones paramétricas:Y=t²-2 ,Z=-(t²+2).Despejando t² ; t²=Y+2.Sustituyendo Z=-[(Y+2)+2]=-Y-4, recta en el plano ZY, y en su cuartocuadrante,que no corresponde con ninguna dada. La respuesta correctas es la b en la primera parte y e en la segunda.

1.2.16. Dadas las ecuaciones paramétricas del movimiento de un punto material en unidades S.I.: X=(t-1), Y=(t-1)2, Z=t2, se podrá asegurar que la velocidad instantánea a los cuatrosegundos será en m/s:a) v=2i+3 j+4k  b) v=4i-9 j+16k  c) v=7 j+6k d) v=i+6 j+8k  e) NADA DE LO DICHOmientras que a los dos segundos será en m/s:a) v=i+ j+4k  b) v=2i+4 j+4k  c) v=i+4 j+2k d) v=i+2 j+4k  e) NADA DE LO DICHO

SOL:Al ser r=(t-1)i  + (t-1)² j  + t²k, y v=dr/dt=  i  + 2(t-1) j  + 2tk,sustituyendo eltiempo en v, tenemos que v(4s)=i+6 j+8k  m/s y v(2s)=i  + 2 j + 4k m/s.Sonválidas las soluciones d y d en ambas partes.

1.2.15.

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 1.2.17.* La velocidad vectorial media de una partícula que sedesplaza entre dos puntos A y B, en un intervalo de tiempo t :a) ESTÁ DEFINIDA POR LA RAZÓN ENTRE EL

VECTOR DESPLAZAMIENTO, Y EL INTERVALO DETIEMPO t

 b) ES IGUAL CUALQUIERA QUE SEA LA TRAYEC-

TORIAc) TIENE IGUAL MÓDULO QUE EL DE LAVELOCIDAD ESCALAR MEDIA SI LA TRAYEC-TORIA ES RECTILÍNEA

d) TIENE LA MISMA DIRECCIÓN Y SENTIDO QUE ELDESPLAZAMIENTO VECTORIAL

e) DETERMINA LA RAPIDEZ CON QUE LA POSICIÓNVECTORIAL DE UNA PARTÍCULA VARÍA CON ELTIEMPO

SOL:La velocidad vectorial media,según se vió en la 1.2.15,v media = ( r

2-r

1 )/(t

2 - t

1) corresponde con la respuesta a ,y es independiente

de la trayectoria seguida pues sólo depende de la posición final, dada por r2 yde la inicial ,por r1  , por lo cual también la b es correcta. La velocidadescalar,por ser así, no tiene módulo,por lo tanto es incorrecta la c. Al ser t unamagnitud escalar, el carácter vectorial de v media, depende únicamente deldesplazamiento,e igualmente determina la rapidez con que varía en el tiempor,por su propia definición.En consecuencia son correctas las respuestas a,b,dy e.

1.2.18. Si una partícula se mueve a lo largo de su trayectoriacomo indica el dibujo, siendo v1  y v2  sus velocidades en los

instantes t1  y t2  respectivamente, de los esquemas vectorialesdados, el que mejor representa la variación de la velocidad de la

 partícula en cuestión es el:

a) A b) B c) C d) NINGUNOSOL:Basta con realizar la resta vectorial,gráficamente,observando con qué vectorde los dados coincide.En este caso será el c.

1.2.18.

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1.2.19*. Tres partículas A, B, C se desplazan entre las posiciones P1  y P2, como indica el dibujo, a través detrayectorias diferentes. De ellas se puede afirmar que:a) LAS TRES RECORREN CAMINOS DIFERENTES

 b) LAS TRES TIENEN EL MISMO DESPLAZAMIENTOc) LAS TRES TIENEN LA MISMA RAPIDEZ, SI EL

TIEMPO EMPLEADO ES EL MISMO

d) LAS TRES TIENEN LA MISMA VELOCIDAD SI ELTIEMPO EMPLEADO ES EL MISMOe) PARA LA PARTÍCULA B, LA RAPIDEZ Y EL

MÓDULO DE LA VELOCIDAD COINCIDENSOL:De lo dicho anteriormente en 1.2.17,y a través de la observación visual deldibujo, se saca en conclusión que la a y la b , son correctas.La rapidez o velocidad escalar,es una magnitud que no depende deldesplazamiento sino del camino recorrido, que es diferente en las tres partículas,invalidando la solución c.Sin embargo por la propia definición dev,es correcta la d .Al ser la trayectoria rectilínea, el módulo del desplazamiento, coincide con el

camino recorrido por B, por lo cual el módulo de la velocidad coincide con larapidez, haciendo válida la solución e.

1.2.20. Si un barco se desplaza 3 km hacia el norte y luego otros4 hacia el oeste, todo ello en una hora, su velocidad escalarmedia será en km/h:a) 5 b) 7 c) 1 d) 0e) NADA DE LO DICHOMientras que el módulo de su velocidad será en km/h:a) 5 b) 7 c) 1 d) 0e) NADA DE LO DICHOSOL:Por lo dicho anteriormente (1.2.18 y 1.2.20),la velocidad escalar media,seráel camino recorrido entre el tiempo empleado, v media = (4+3)/1 = 7 km/h ,en cambio la v media, será el desplazamiento/tiempo empleado =(-4i + 3 j)/1km/h ,cuyo módulo será 5 km/h. Por eso son sólo correctas la b y la a,en lasegunda.

1.2.21. Un punto material móvil que en t1  se encuentra en P1,mientras que en t2  ya está en P2, recorre el camino P1P2,mientras que su desplazamiento será r2-r1, se dirá entonces que:a) v.escalar = módulo de v.vectorial

 b) v.escalar media = P1P2/(t2-t1)c) v.media = (r2-r1)/(t2-t1)d) v.instantánea en t1=dr/dt, para t=t1 e) NADA DE LO DICHOSOL:Aplicando las definiciones enunciadas en las cuestiones anteriores,y siendoP1P2, el camino recorrido entre ambos puntos, serían correctas las soluciones b,c y d.La cuestión numérica 1.2.20,aclara las diferencias.Algunos autores, suelen considerar la velocidad escalar o celeridad, como elmódulo de la velocidad, refiriéndose así únicamente a la vectorial.Sólo conese considerando sería también correcta la a.

1.2.19.

1.2.20.

1.2.21.

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1.2.22*. En el esquema de la figura se representa el movimientode un punto material desde P1  hasta P2, siendo v1  y v2  lasvelocidades instantáneas en P1  (t=t1) y P2  (t=t2),respectivamente. Dado que los módulos de v1 y v2 son iguales se

 podrá decir que:a) v2-v1=0 b) 0≠a

r

  c) ar

=0

d) v1 Y v2 SON TANGENTES A LA TRAYECTORIAe) NADA DE LO DICHOSOL:Si realizas gráficamente la resta vectorial, observas que la diferencia de losvectores velocidad nunca puede ser nula.Esto determina que a y c, seanincorrectas,siendo válida la b.Igualmente a través del concepto de velocidadinstantánea,es correcta la d.

1.2.23*. En el esquema de la figura se representa el movimientode un punto material entre los instantes t1 y t2, determinados porlos vectores de posición r1  y r2. Si como se puede apreciar

21   vvrr

≠ , el vector aceleración:a) TENDRÁ LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE v1 

 b) TENDRÁ LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE v2 c) TENDRÁ LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DE v2-v1 d) TENDRÁ DIRECCIÓN Y SENTIDO HACIA EL PUNTO

0e) NADA DE LO DICHOSOL:La a, tendrá el sentido vectorial de v2  - v1, por definición, puesto que eltiempo es una magnitud escalar, ésto invalida a y b,y hace correcta la c .Lasimple construcción de la resta vectorial basta para anular la solución d.

1.2.24*. De las consideraciones que se hacen tache  las que nosean correctas:a) SI LA VELOCIDAD DE UN CUERPO ES

PERMANENTEMENTE NULA, LA ACELERACIÓNTAMBIÉN DEBE SERLO

 b) SI LA ACELERACIÓN DE UN PUNTO MATERIAL ES NULA, TAMBIÉN DEBE SERLO SU VELOCIDAD

c) LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN DE UNCUERPO SON VECTORES QUE TIENEN SIEMPRE LA

MISMA DIRECCIÓN AUNQUE SU SENTIDO PUEDESER DIFERENTEd) EL VECTOR ACELERACIÓN SE DESCOMPONE EN

DOS COMPONENTES, UNO TANGENCIAL A LATRAYECTORIA, Y OTRO PERPENDICULAR O

 NORMAL A LA MISMA.SOL:Aplicando las definiciones respectivas,observaremos que la a , es correcta, noasí la b ( basta con que sea v constante para que a = 0).La solución c, sólo escorrecta si el movimiento es rectilíneo,y la d ,si lo es,por propia definición.

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 1.2.25*. Dado el vector de posición referido a un punto móvilr=(t2-1)i-2 j-(t+1)2k (S.I), se asegurará que dicho punto:a) SE MUEVE EN EL PLANO XY

 b) SE MUEVE EN UN PLANO PARALELO AL XZc) SE MUEVE EN EL PLANO XZd) SE MUEVE EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XY

e) NADA DE LO DICHOSOL:Como la única componente independiente del tiempo es la Y=-2, quiere decirque dicho punto se mueve en el plano Y=-2, que es paralelo al XZ y por lotanto perpendicular al XY. Son sólo correctas por lo tanto,las soluciones b yd .

1.2.25.1. Que su trayectoria es una :a) RECTA QUE CORTA AL EJE Y

 b) CURVA EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XYc) RECTA QUE PASA POR EL ORIGENd) CURVA EN UN PLANO PARALELO AL XZ

e) NADA DE LO DICHOSOL:Siendo las ecuaciones paramétricas x=t²-1 (I),y=-2 (II) ,z=-t²-2t-1 (III) ydespejando t en (I), y sustituyéndola en (III),nos da la curva x²+2xz+z²+4z=0que se encuentra en el plano Y=-2, y por lo tanto son sólo válidas la b y d.

1.2.25.2. Que su vector de posición en el instante inicial, tiene por módulo:

a) 6 b)  2 c) 0 d) 2SOL:Sustituyendo en r, t=0 , nos queda r=-i-2 j-k,cuyo módulo es :

( ) ( )( ) 6)1(21 222 =−+−+− , que hace válida la solución a.

1.2.25.3. Que los cosenos directores en el instante inicial, valen:

α cos = a)2

1−   b)6

1−   c) 0

d) -1 e) NADA DE LO DICHO

 β cos = a) 0 b)6

1−   c) -1

d)

2

1−   e) NADA DE LO DICHO

γ cos = a) -1 b) 0 c) -1/2

d)6

1−   e) NADA DE LO DICHO

SOL:Dado que α cosr  x

r

= , α cos12 r t r

=−   ,y para t=0, tomando el valor

dado en 1.2.25.2. ; α cos.61=−   ;6

1cos   −=α  . Por lo dicho

 β cos.62  =−   ;6

2cos   −= β    y γ cos122 r t t r

=−−− ;

γ cos.61=−   ;6

1cos   −=γ  . Por lo tanto son correctas,de forma

sucesiva, las soluciones b ,e y d.

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1.2.25.4. Que su velocidad vectorial media, entre 3 y 1segundos, en m/s, tiene por módulo:

a) 8 b) 22 c)  52 d) 10SOL:Se calculará r(3s)=8i-2 j-16k ,y r(1s)=-2 j-4k,restándolos para hallar d.d=8i-12k,y dividiéndolo entre el intervalo de tiempo 3-1=2s, nos dav m.=4i - 6 j m/s, siendo su módulo=   ( ) ( )( ) 5264 22 =−+  m/s,que confirma la

c.

1.2.25.5. Que su velocidad instantánea a los 3 segundos, en m/s,tiene por módulo:

a) 10 b)  52 c)  22   d) 8SOL:Como v  = dr/dt = 2ti -2(t+1)k  m/s. Sustituyendo t=3s,v=6i-8k  m/s,cuyomódulo es 10 m/s. La respuesta correcta es la a.

1.2.25.6*. Que su aceleración instantánea:a) ES CONSTANTE

 b) TIENE POR MÓDULO 22 m/s2 c) VALE 2 j+2k, EN m/s2 d) ES IGUAL A LA ACELERACIÓN MEDIASOL:Como a = dv/dt = 2i-2k m/s2, es constante, y por lo tanto igual a la media,siendo su módulo 22  m/s². En consecuencia son válidas las soluciones a, by d.

1.2.26*. Dado el vector de posición, referido a un punto móvil,r=-(t2-1)i+(t+1)2 j-2k, se podrá afirmar que dicho punto:

a) SE MUEVE EN EL PLANO XZ b) SE MUEVE EN UN PLANO PARALELO AL XYc) SE MUEVE EN EL ESPACIOd) SE MUEVE EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XZSOL:Aplicando lo dicho en la cuestión anterior,serán correctas las respuestas b yd.

1.2.26.1. Que su trayectoria es una:a) RECTA QUE CORTA AL EJE Z

 b) CURVA EN UN PLANO PERPENDICULAR AL XZ

c) RECTA QUE PASA POR EL ORIGENd) CURVA EN UN PLANO PARALELO AL XYSOL:Siendo las ecuaciones paramétricas x=1-t²(I),y=(t+1)²(II),z=-2.Despejando ten (I), sustituyendo en (II),y operando, obtenemos x²+2xy+y²-4y=0,curva enel plano Z=-2, que hacen válidas las soluciones b y d.

1.2.26.2. Que su vector de posición en el instante inicial, tiene por módulo:

a) 6 b) 2   c) 0

d) 2 e) NADA DE LO DICHOSOL: Operando como en 1.2.25.2. r=i+ j - 2k ,y 6=r r  .Es correcta la a.

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  1.2.26.3. Que los cosenos directores en el instante inicial, valen:

α cos = a)2

1   b)6

1   c) 0

d) -1 e) NADA DE LO DICHO

 β cos = a) 0 b)6

1   c) -1

d)

2

1−   e) NADA DE LO DICHO

γ cos = a) -1 b) 0 c) -1/2

d)6

2−   e) NADA DE LO DICHO

SOL: Operando como en 1.2.25.3.6

1cos   =α  ,6

1cos   = β    y

62cos   −=γ  .Las soluciones, por este orden serían:b, b y d.

1.2.26.4. Que su velocidad vectorial media, entre 3 y 1

segundos, en m/s, tiene por módulo:a) 8 b) 22 c) 52

d) 10 e) NADA DE LO DICHOSOL:Operando como en 1.2.25.4.tendríamos que:v m.=[(-8i+16 j-2k)-(4 j-2k)]/(3-1) = -4i+ 6 j m/s,cuyo módulo sería 52 m/s,que corresponde a la c.

1.2.26.5. Que su velocidad instantánea a los 3 segundos, en m/s,tiene por módulo:

a) 10 b) 52 c) 22   d) 8SOL:Operando como en 1.2.25.5.,tendríamos que v= dr/dt = -2ti + 2(1+t) j =-6i+8 j m/s ,cuyo módulo es 10 m/s,o sea la solución a.

*1.2.26.6. Que su aceleración instantánea:a) ES CONSTANTE

 b) TIENE POR MÓDULO 22  m/sc) VALE -2i+2 j, EN m/s2 

d) ES IGUAL A LA ACELERACIÓN MEDIASOL:Operando como en 1.2.25.6., tendríamos a=-2i+2 j m/s², constante y por lotanto igual a la media, siendo a

r

 = 22  m/s². Por lo tanto son correctas las

soluciones a, c y d.La propuesta b, no tiene la unidad correcta.

1.2.27. Dada la ecuación de la velocidad de una partícula, conunidades S.I. v=5+3t2, podrías decir que la aceleración escalarmedia en m/s2, entre t=2s y t=1s será:

a) 9 b) 8 c) 3 d) 6SOL:Puesto que la expresión de la velocidad no es vectorial, corresponde a lavelocidad escalar,y por lo tanto la aceleración escalar=[v(2s)-v(1)]/(2-1)que al sustituir nos da 17-8 = 9 m/s²,que se identifica con la a.

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1.2.28. Dada la ecuación horaria del movimiento de un cuerporeferido a un punto material que lo represente, s=10+5t+t3 (Unidades S.I.), la aceleración escalar instantánea a los 2segundos será en m/s2:a) 12 b) 10 c) 6 d) 5mientras que para t=1s, será en m/s2:a) 5 b) 6 c) 10 d) 12SOL:Como a = d²s/dt²=6t m/s², al sustituir a(2s)=12 m/s² y a(1s)=6 m/s².Lassoluciones correctas serán de forma sucesiva , la a y la b.