Varianten-, Standort- und Qualitatswettbewerb

drei Arten von Differenzierung eines Produkts werden behandelt:

I unterschiedliche Varianten eines gleichartigen Produkts (RedBull oder Power Horse oder Shark, unterschiedliche Markenvon Mittelklasseautos)

I unterschiedliche Standorte eines gleichen Produkts (verfugbarim Geschaft in der Straße, oder einige Gehminuten weiter weg,oder eine Fahrt mit einem Verkehrsmittel entfernt usw.)

I unterschiedliche Qualitaten eines gleichartigen Produkts(Mercedes oder Dacia, Wein, Medion- oderHarman/Kardon-Stereoanlage)

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Horizontal und Vertikal

Varianten und Standorte konnen beide als horizontaleProduktdifferenzierung interpretiert werden: wie weit ist einProdukt vom Standort oder von den Vorlieben eines Konsumentenentfernt, das ist fur verschiedene Individuen unterschiedlich

hohe Qualitat ist aber bei gleichem Preis immer besser als niedrige;Produkte mit unterschiedlichen Qualitaten werden als vertikaldifferenziert bezeichnet

im Modell herrscht also Einigkeit uber die Qualitaten, aber dieKonsumenten haben unterschiedliche Vorlieben fur den Kaufortbzw. fur die Variante (Geschmack, Farbe, Design, usw.)

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Horizontal und Vertikal Gleichzeitig

stilisiertes Beispiel fur gleichzeitige horizontale und vertikaleProduktdifferenzierung: die Marken innerhalb einer Klasse sindGeschmackssache, aber jeder findet eine hohere Klasse besser alseine nierigere (bei gleichen Preisen)

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Straßendorf von Hotellingeinfache Darstellung der horizontalen P. als normierte Linie;eindimensionaler Produktraum:

ein Konsument wird beschrieben durch seinen Standort h entlangder Straße; der Standort stellt seine hochste Praferenz darhinsichtlich der Produkteigenschaft, wiederum mit zweiInterpretationsmoglichkeiten:

I geographisch: h wohnt in h

I Produktraum (mit einer Eigenschaft, eindimensional): h willam liebsten ein Getrank mit genau dieser Menge von Sußstoff

im Modell wird wieder die zwei-periodige Struktur auf dieFragestellung(en) nach dem(/n) Resultat(en) verwendet: in derersten Stufe positionieren sich die Unternehmen, in der zweitenwahlen sie den Preis

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Angebotsseite

es gibt 2 Anbieter die durch die Standorte a1, a2 beschriebenwerden

U1 liegt per Annahme links von U2:

0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ 1

Anbieter sind homogen wenn a1 = a2, daher normalerweise a1 < a2

Kosten homogen: c1 = c2 = c

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NachfrageseiteKonsumentenstandort ist h, daher ist die Distanz zu denangebotenen Gutern

|h − a1| zu a1, |a2 − h| zu a2

die Weg-/Transportkosten bzw. der Nutzeneinbußen durchEntfernung im Produktraum seien quadratisch:

t(ai − h)2

t ist der”Transportkostensatz“ oder der

”Heterogenitatsparameter“, also eine Bewertung: wie stark fallt die

Distanz ins Gewicht?

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Anmerkungen

quadratische Funktion der Kosten bzgl. der Distanz bedeutet, dasseine zusatzliche

”Entfernungseinheit“ (Kilometer, Produktraum)

mehr kostet, je weiter man von h entfernt ist

das macht laut PW weniger Sinn wenn es um Transportkosten geht(aber vielleicht zunehmende Grenz-Opportunitatskosten der Zeit?);zunehmende Nutzeneinbußen wegen schlechterer Ubereinstimmungvon Vorliebe und Produkteigenschaft aber vorstellbar

wenn a1 = a2 oder t = 0 dann sind die Produkte vollstandighomogen (d.h. Bertrand-Wettbewerb ist als Spezialfall abgebildet)

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Verteilung der Konsumenten

als einfache Anwendung seien die Konsumenten gleichverteilt uberdas Dorf, mit normierter Bevolkerungsgroße von 1:

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Beispielverteilungen bei Zwei Produkteigenschaften

am Beispiel eines zweidimensionalen Produktraums konnten dieVorlieben verschiedene Verteilungen haben:

die Gleichverteilung entspricht also”diffusen Praferenzen“

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Nachfrageseitefortgesetzt

jeder Konsument kauft genau eine Einheit des differenziertenGutes, entweder Gut 1 oder Gut 2; er entscheidet daruber aufBasis seines

”effektiven Preises“, also Preis plus Transportkosten,

und nimmt Gut 1 wenn dessen e. P. niedriger (oder gleich) ist:

p1 + t(a1 − h)2 ≤ p2 + t(a2 − h)2

h kauft also bei U1 wenn (Auflosen der vorherigen Zeile)

h ≤ a2 + a1

2+

p2 − p1

2t(a2 − a1)= h∗

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Nachfrageseitefortgesetzt 2

der Konsument h∗ ist der indifferente Konsument; fur ihn habenbeide Guter den gleichen effektiven Preis; Nachfrage und h∗

grapisch:

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Nachfragefunktionen

”Markennachfragefunktion“ fur U1:

x1(p1, p2, a1, a2) = h∗ = a︸︷︷︸=

a2+a12

+1

2t∆a︸ ︷︷ ︸(∆a=a2−a1)

·(p2 − p1)

U2 bekommt den Rest der auf 1 normierten Gesamtnachfrage:

1 = x1 + x2 ⇔x2(p1, p2, a1, a2) = 1− x1(p1, p2, a1, a2)

= 1− h∗

= (1− a)− 1

2t∆a(p2 − p1)

zur Erinnerung: die Marktnachfrage ist konstant,x1(p1, p2, a1, a2) + x2(p1, p2, a1, a2) = 1, hangt also weder von denPreisen noch von den Standorten ab

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Interpretation

”naturlicher Kundenstamm“: U1 hat a Kunden wenn die Preise

gleich sind; setzt sich zusammen aus Nachfrage aus dem

”Hinterland“ und den Konsumenten die naher bei U1 sind als bei

U2

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Losung der Zweiten StufeSuche nach dem Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen bzgl. derPreise; Reaktionsfunktionen kommen aus FOC derGewinnfunktionen:

Π1 = (p1 − c)x1 = (p1 − c)

(a +

p2 − p1

2t∆a

)Π2 = (p2 − c)x2 = (p2 − c)

(1− a +

p1 − p2

2t∆a

)die ersten Ableitungen liefern

pR1 (p2) = arg maxp1

Π1 =p2 + c + 2ta∆a

2

pR2 (p1) = arg maxp2

Π2 =p1 + c + 2t(1− a)∆a

2

R. sind positiv geneigt: bei einer Erhohung des Konkurrenzpreisesvon einer kleinen Einheit wird der eigene Preis um eine halbeGeldeinheit erhoht, ∂p1/∂p2 = 1/2 14 / 36

Zweite Stufe bei Randpositionierungwenn sich die Unternehmen an den Randern positionieren, alsoa1 = 0 und a2 = 1, dann werden die R. zu (∆a = 1, a = 1/2)

pR1 (p2) = arg maxp1

Π1 =p2 + c + 2t

2

pR2 (p1) = arg maxp2

Π2 =p1 + c + 2t

2

die Abbildung zeigt diese R. und Gleichgewicht:

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Ergebnisse auf der Zweiten Stufedurch Einsetzen erhalt man die Losungen (Superskript B wegenPreissetzungssituation):

pB1 = c +2

3t(1 + a)∆a

pB2 = c +2

3t(2− a)∆a

xB1 =1

3(1 + a) ≥ 0

xB2 =1

3(2− a) ≥ 0

ΠB1 =

2

9t(1 + a)2∆a ≥ 0

ΠB2 =

2

9t(2− a)2∆a ≥ 0

also kollabieren Gewinne nicht zu Null wenn die UnternehmenAbstand halten, ∆a > 0; damit gibt es einen Ausweg aus demBertrand-Paradoxon fur die Unternehmen; jetzt muss noch diePosition gut gewahlt werden 16 / 36

Positionswettbewerb auf der Ersten Stufeausgehend von den reduzierten Gewinnfunktionen der zweitenStufe sucht man die beste horizontale Positionierung:

aR1 (a2) = arg maxa1

ΠB1 (a1, a2) = arg max

a1

2

9t(1 + a)2∆a

= arg maxa1

2

9t

(2 + a1 + a2

2

)2

(a2 − a1)

= arg maxa1

1

18t (2 + a1 + a2)2 (a2 − a1)

die erste Ableitung fur U1 nach der Positionsvariable a1 ist:

∂ΠB1

∂a1= − t

18(2 + a1 + a2)(2 + 3a1 − a2)

das ist aber immer kleiner Null fur die Modelldefinitionen wennauch t > 0; denn der einzige negative Teil, der das Vorzeichenumdrehen konnte, ist −a2, aber das kann nicht großer als einswerden, und wird von der Zwei in der Klammer uberwogen

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Veranschaulichung von ΠB1

die Graphik zeigt fur einige Variablenwerte (a1, a2) das Resultatder vorherigen Folie:

fur jedes a2 ist das Gewinnmaximum von U1 die Randlosung beia1 = 0

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Positionsgleichgewichtdaher (und wegen der analogen Situation fur U2) sind diePositionsreaktionsfunktionen:

aR1 = 0

aR2 = 1

das Gleichgewicht bei diesen dominanten Strategien ist also

(aN1 , aN2 ) = (0, 1)

restliche Losungen:

pB1 =c + t, pR2 =c + txB1 = 1

2 , xB2 = 12

ΠB1 = 1

2 t, ΠB2 = 1

2 t

beide Unternehmen erzielen Gewinne, deren Hohe von denTransportkosten t bestimmt wird

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Ringdorf-Modell

Angebotsseite des Ringdorf-Modells:

I besteht aus einem Einheitskreis

I entlang des Umfangs positionieren sich die Unternehmen in(per Annahme) gleichem Abstand

I das Ringdorf zerfallt also in n gleich lange Straßendorfer, anderen Randern jeweils ein Unternehmen liegt, mit n gleich derAnzahl der Unternehmen

I die Lange eines Teildorfes ist daher 1/n

I die Distanz zwischen zwei Teildorfern betragt ebenfalls∆a = ak+1 − ak = 1/n

Markteintritt soll in diesem Modell endogen bestimmt werden

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Ringdorf mit 5 Unternehmen

die Graphik zeigt das Ringdorf am Beispiel von n = 5Unternehmen:

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Ringdorf-Modellfortgesetzt

Nachfrageseite:

I”lokale Rivalitat“: Konsumenten wenden sich nur an die

Unternehmen am Rand ihrer Teildorfer (plausibel wenn diePreisunterschiede nicht sehr hoch)

I Konsumenten kaufen wieder zum niedrigsten effektiven Preis(Transportkosten plus Produktpreis)

zwischen zwei Unternehmen fallt also die Entscheidung fur ein Gutwie im Hotelling-Straßendorf

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Nachfrage im Teildorf

zum Beispiel fur die Unternehmen 2 und 3 gilt:

x2(a2, a3, p2, p3) = a +p3 − p2

2t∆a

der”naturliche Kundenstamm“ jedes der beiden Unternehmens ist

die Halfte des Teildorfs, also ∆a = 12

1n

die”preisbedingte Zuwanderung“ ist, bei ∆a = 1

n , auch inAnalogie zum Straßendorf: p3−p2

2t 1n

; die Nachfrage fur U2 auf diesem

Teildorfmarkt ist also

1

2n+ n

p3 − p2

2t

einen zweiten solchen Teildorfmarkt gibt es fur U2 zwischen U1und U2, auf dem die Nachfrage von U2, wiederum analog ist

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Nachfrage in Beiden Nachbarteildorfern

der zweite Teilmarkt auf der anderen Seite ist gegeben durch

1

2n+ n

p1 − p2

2t

die Summe auf den beiden Teildorfmarkten ergibt dieGesamtnachfrage fur U2:

x2 =1

n+ n

p1 + p3 − 2p2

2t

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Spielstruktur

k Unternehmen entscheiden in Stufe Eins uber Markteintritt,0 ≤ n ≤ k

Vereinfachung: Unternehmen platzieren sich immer in gleichenAbstanden, 1/n

in Stufe Zwei legen die n eingetretenen Unternehmen ihre Preisefest

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Preiswettbewerb auf Stufe Zwei

Suche wiederum nach besten Antworten, um den Gewinn zumaximieren, und dann den wechselseitig besten Antworten;Gewinnfunktion zum Beispiel fur U2; Zusatz: fixeMarkteintrittskosten CF werden eingefuhrt, also ist dieGesamtkostenfunktion:

Ci (xi ) = CF + cxi ∀ i = 1, 2, . . . , k

daher ist die Gewinnfunktion von U2:

Π2 = (p2 − c)x2 − CF

= (p2 − c)

(1

n+ n

p1 + p3 − 2p2

2t

)− CF

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Reaktionsfunktion im Preiswettbewerb

Reaktionsfunktion aus FOC:

pR2 =1

4(p1 + p3) +

c

2+

t

2n2

aufgrund der symmetrischen Situation fur alle Firmen kann manschließen

p1 = p2 = . . . = pn = p

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Losungen der Zweiten Stufe

bei gleichen Preisen wird aus der Reaktionsfunktion

pB = c +t

n2

die Marktanteile sind per Annahme gleich, und die weiterenLosungen sind

xB1 = 1n ,

∑i x

Bi =1

ΠBi = t

n3 − CF ,∑

i ΠBi = t

n2 − nCF

Preise, Mengen und Gewinne sinken mit steigendem n, Gewinne

sind positiv wenn n < 3

√tCF

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Markteintritt auf der Ersten Stufesolange die Profite großer Null sind, werden Unternehmen in denMarkt (das Ringdorf) eintreten wollen; daher bestimmt sich diemaximale bzw. Gleichgewichtsmenge nmax an Marktteilnehmernuber Bedingung der Gewinngrenze der vorherigen Folie:

nmax = 3

√t

CF

I (Diskretheitsproblem wird vernachlaßigt)

I je großer die Transportkosten desto großer die Anzahl derUnternehmen

I je großer die Eintrittskosten desto kleiner die Anzahl derUnternehmen (Gewinn muß Fixkosten decken)

I gehen die Markteintrittskosten gegen null, dann geht dieAnzahl der Unternehmen gegen unendlich; die Unternehmenkonnen dann beliebig dicht liegen und machen immer nochGewinne

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GleichgewichtspreisGleichgewichtspreis bei nmax :

pB = c +t

n2max

= c +t

tCF

23

= c + C23F t

13

I Preis steigt in CF und t und strebt gegen c wenn sie fallenI Gesamtresultat ist ein gewinnloses GleichgewichtI wegen Eintrittskosten liegt pB uber c ohne dass die

Unternehmen Gewinne machen (Unternehmen habenMarktmacht im Sinne des Lerner-Maßes, machen aber keineGewinne)

I je hoher CF , desto hoher die Preise und weiter weg ist derdurchschnittliche Konsument vom bevorzugten Standort

I je hoher die Transportkosten/Nutzeneinbußen t, desto hoherdie Preise und desto mehr Unternehmen

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Preis- und Qualitatswettbewerb

horizontale Praferenzen wie bisher

vertikale Praferenzen zeigen an, wie wichtig eine hohe Qualitat fureinen Konsumenten ist

es entsteht ein Produktraum in diesen beidenDifferenzierungsebenen:

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Angebotsseite

Die Annahmen fur die Angebotsseite:

I horizontal positionieren sich die Unternehmen an denRandern, a1 = 0, a2 = 1

I die Unternehmen entscheiden uber die Qualitat zwischen 0und 1, q1, q2 ∈ [0, 1]

I U1 ist Qualitatsfuhrer, ∆q = q1 − q2 ≥ 0 (Anmerkung: dasschrankt das Modell nicht ein, da der Rest symmetrisch ist)

I die Stuckkosten sind gleich, c1 = c2 = c (keinProduktionskostenanstieg bei hoherer Qualitat, keineF&E-Ausgaben fur hohere Qualitat)

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NachfrageseiteDie Annahmen fur die Nachfrageseite:

I h ∈ [0, 1] ist wieder die”Varianten-/Standortvorliebe“ eines

Konsumenten; die Kosten der Abweichung seien jetzt linear,dadurch ergeben sich wegen der beiden Randpositionierungenvon U1 und U2 Kosten von th oder t(1− h)

I v ∈ [0, 1] beschreibt das”Qualitatsbewußtsein“ eines

Konsumenten; ist v hoch, so gewichtet er die Qualitat imVerhaltnis zum Preis hoch

I die Konsumenten sind wieder gleichverteilt im Produktraum,jeder Konsument wird durch (h, v) beschrieben

I jeder Konsument kauft genau eines der beiden ProdukteI in die Kaufentscheidung fließen Distanz und

Qualitatsunterschied, der mit dem Qualitatsbewußtseingewichtet wird, ein; Konsumentv ,h kauft bei U1 wenn

p1 + th − vq1 ≤ p2 + t(1− h)− vq2

die Terme −vqi geben die zusatzliche Zahlungsbereitschaft furGut i an

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Nachfrage

fur die Nachfrage verweisen PW auf eine Veroffentlichung imInternet; die Nachfragefunktionen unterscheiden sich anhand vonzwei Fallen, ∆q ≤ 2t und ∆q ≥ 2t, und innerhalb der Falle sindnocheinmal drei Fallunterscheidungen notig

U2 hat die Nachfrage 1− x1(∆p,∆q); die Nachfragefunktionen furU1 und U2 hangen ab von

I den Transportkosten t

I der Preisdifferenz

I der Qualitatsdifferenz

wegen der Losungsmethode der Ruckwartsinduktion werden dieoptimalen Preise von Stufe 2 wieder zuerst bestimmt, dann dieoptimale Qualitat

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Preiswahl der Zweiten Stufe

fur die Preise und Profite auf der zweiten Stufe bekommt manauch wieder drei verschiedene Falle; insgesamt zeigt sich:

I Qualitatsfuhrer hat hoheren Gewinn: ΠB1 (∆q) > ΠB

2 (∆q) bei∆q > 0

I Gewinn des Qualitatsfuhrers hangt positiv von der Qualitat ab

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Qualitatswahl der Ersten Stufe

Qualitatsfuhrer wahlt großtmogliches q1, da sein Gewinn darinsteigend ist:

qN1 = 1

(ware nicht ∆q > 0, sondern umgekehrt q2 > q1, dann wurde U2die maximale Qualitat wahlen;) die Wahl von U2 hangt von denTransportkosten t ab; sind sie klein, t ≤ 2

9 , dann ist es optimal, diegeringste Qualitat anzubieten; sind sie groß, t ≥ 2

9 , dann bietet U2ebenfalls die hohe Qualitat an

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