Varian 4, Utilidad
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Capítulo 4
Utilidad
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Funciones de Utilidad
◆ Una función de utilidad U(x) representa una relación de preferencias si y sólo si:
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– x’ ≻ x” U(x’) > U(x”)
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– x’ ≺ x” U(x’) < U(x”)
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– x’ ∼∼ x” U(x’) = U(x”).
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◆ La utilidad es un concepto ordinal ◆ si U(x) = 6 y U(y) = 2, entonces la
combinación x es estríctamente preferida a y. Sin embargo, no es cierto que la combinación x es tres veces preferida frente a la combinación y.
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Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
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◆ Considere las combinaciones (4,1), (2,3) y (2,2).
◆ Supongamos que (2,3) ≻ (4,1) ∼ (2,2).
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–Ahora vamos a asignar a estas combinaciones cualquier número que mantenga el orden de preferencias:U(2,3) = 6 y U(4,1) = U(2,2) = 4.
–Llamamos a estos números niveles de utilidad.
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◆ Una curva de indiferencia contiene combinaciones que son igualmente preferidas.
◆ Las combinaciones son igualmente preferidas si y sólo si tienen el mismo nivel de utilidad.
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–En consecuencia, todas las combinaciones en una curva deindiferencia, tienen el mismo nivel de utilidad.
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◆ Y entonces las combinaciones (4,1) y (2,2) se encuentran sobre la misma curva de indiferencia con un nivel de utilidad U ≡ 4 , mientras que la combinación (2,3) se encuentra sobre una curva de indiferencia con un mayor nivel de utilidad U ≡ 6.
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–Sobre un mapa de curvas de indiferencia, las preferencias aparecen como:
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U ≡ 6U ≡ 4
(2,3) ≻ (2,2) ∼ (4,1)
x1
x2
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U ≡ 6U ≡ 4U ≡ 2
x1
x2
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◆ U(x1,x2) = x1x2 (2,3) ≻ (4,1) ∼∼ (2,2).
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–Ahora vamos a definir la función W = 2U + 10.
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◆ W(x1,x2) = 2x1x2+10 W(2,3) = 22 y W(4,1) = W(2,2) = 18. De nuevo:(2,3) ≻ (4,1) ∼∼ (2,2).
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–La función W preserva el mismo orden de preferencias que la función U y entonces representan las mismas preferencias.
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Bienes, males y neutros
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◆ Un bien es un bien cuando al incrementarse la cantidad se incrementa el nivel de utilidad.
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–Un bien es un mal cuando al incrementarse la cantidad disminuye el nivel de utilidad.
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–Un bien es neutro cuando al incrementarse la cantidad el nivel de utilidad no cambia.
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Algunas funciones de utilidad y sus curvas de indiferencia
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◆ En lugar de la función U(x1,x2) = x1x2 vamos a considerar la función
V(x1,x2) = x1 + x2.
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¿Cómo es esta función de utilidad para bienes “sustitutos perfectos”
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5
5
9
9
13
13
x1
x2
x1 + x2 = 5
x1 + x2 = 9
x1 + x2 = 13
Todas son lineales y paralelas
V(x1,x2) = x1 + x2.
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◆ Ahora en lugar de la función U(x1,x2) = x1x2 ó la función V(x1,x2) = x1 + x2, vamos a considerar la función W(x1,x2) = min{x1,x2}.
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¿Cómo es esta función de utilidad para bienes “complementarios perfectos” ?
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x2
x1
45o
min{x1,x2} = 8
3 5 8
35
8
min{x1,x2} = 5
min{x1,x2} = 3
Todas son ángulos rectos con vértices sobre un rayo desde el orígen
W(x1,x2) = min{x1,x2}
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◆ Una función de utilidad de la forma
U(x1,x2) = f(x1) + x2
lineal en x2 se conoce como cuasi-lineal.
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U(x1,x2) = 2x11/2 + x2.
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x2
x1
Cada curva de indiferencia es una copia verticalmente desplazada de las otras.
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◆ Una función de utilidad de la forma
U(x1,x2) = x1a x2
b
con a > 0 y b > 0 se conoce como Cobb-Douglas .
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U(x1,x2) = x11/2 x2
1/2 (a = b = ½)V(x1,x2) = x1 x2
3 (a = 1, b = 3)
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x2
x1
Todas las curvas son hipérbolicasasintóticas a los ejes.
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Utilidad Marginal
UMgi=¶ U¶ xi
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◆ Marginal significa “incremental”.◆ La utilidad marginal es la tasa de
cambio de la utilidad total cuando cambia la cantidad del bien i.
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Marginal Utilities
◆ si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
UMg1=¶ U¶ x1
=12
x1−1/2 x 2
2
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◆ Si U(x1,x2) = x11/2 x2
2 entonces
MU 2=¶ U¶ x 2
=2x11/2 x2
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◆ Entonces si U(x1,x2) = x11/2 x2
2
UMg1=¶ U¶ x1
=12
x1−1/2 x 2
2
UMg2=¶ U¶ x 2
=2x11/2 x2
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Utilidad Marginal y tasa marginal de sustitución
¶ U¶ x1
dx1¶ U¶ x2
dx2=0
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◆ La ecuación general para una curva de indiferencia es U(x1,x2) ≡ kdonde k es una constante.Tomando la diferencial total
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¶ U¶ x1
dx1¶ U¶ x2
dx2=0
¶ U¶ x2
dx2=¶ U¶ x1
dx1
Y reordenando
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¶ U¶ x2
dx2=¶ U¶ x1
dx1
reordenando
y
dx 2
dx1=
¶ U /¶ x1
¶ U /¶ x2.
Y esta la TMS (TSC)
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◆ Si U(x1,x2) = x1x2. Entonces
¶ U¶ x1
=1 x2= x2
¶ U¶ x 2
= x11 = x1
TSC=dx 2
dx1=
¶ U /¶ x1
¶ U /¶ x 2=
x2
x1.y
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MRS =x2
x1
TSC(1,8) = - 8/1 = -8 TSC(6,6) = - 6/6 = -1.
x1
x2
8
6
1 6U = 8
U = 36
U(x1,x2) = x1x2;
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TSC y funciones de utilidad cuasilineales
![Page 49: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/49.jpg)
◆ Si U(x1,x2) = f(x1) + x2
y
¶ U¶ x1
= f ' x1¶ U¶ x2
=1
TSC=dx 2
dx1=
¶ U /¶ x1
¶ U /¶ x 2= f
'
x1
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◆ TSC = - f'(x1) no depende de x2 y entonces las pendientes de las cuarvas de indiferencia son constantes a lo largo de cualquier línea para la que x1 es constante.
![Page 51: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/51.jpg)
Entonces ¿cómo es el mapa de curvas de indiferencia de una función de utilidad cuasilineal?
![Page 52: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/52.jpg)
x2
x1
TSC =- f(x1’)
TSC = -f(x1”)
x1’ x1”
![Page 53: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/53.jpg)
Transformaciones monotónicas y TSC
![Page 54: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/54.jpg)
◆ Al aplicar una transformación monotónica a una función de utilidad que representa una relación de preferencias, se obtiene otra función de utilidad que representa la misma relación de preferencias.
![Page 55: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/55.jpg)
¿Qué sucede con la TSC cuando se aplica una transformación monotónica?
![Page 56: Varian 4, Utilidad](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022012304/55acf7921a28ab87468b473e/html5/thumbnails/56.jpg)
◆ Si U(x1,x2) = x1x2 la TSC = - x2/x1.
◆ Creamos V = U2; V(x1,x2) = x12x2
2. ¿cuál es la TSC para V?
La misma que para U.
TSC =¶ V /¶ x1
¶ V /¶ x 2
=2x1 x2
2
2x12 x 2
=x2
x1
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Capítulo 5
Óptimo del Consumidor