Matemática III

Lic. Ysela Mariell Alva Ventura

Método de Variación de Parámetro

Consideremos una ecuación diferencial no homogénea de

coeficientes constantes de tercer orden:

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 + 𝑎1𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑎2𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎3𝑦 = 𝑓(𝑥) …(1)

donde:

𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 son constantes

𝑓(𝑥) es una función solo de 𝑥 ó constante

Suponiendo que la solución general de la ecuación diferencial

homogénea es:

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + 𝑐3𝑦3

luego la solución particular de la ecuación (1) es:

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 + 𝑢3𝑦3

donde 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 son funciones incógnitas que satisfacen a las

condiciones siguientes.

{

𝑢1′ 𝑦1 + 𝑢2

′ 𝑦2 + 𝑢3′ 𝑦3 = 0

𝑢1′ 𝑦1

′ + 𝑢2′ 𝑦2

′ + 𝑢3′ 𝑦3

′ = 0

𝑢1′ 𝑦1

′′ + 𝑢2′ 𝑦2

′′ + 𝑢3′ 𝑦3

′′ = 𝑓(𝑥)

…(2)

La ecuación (2) es un sistema de ecuaciones de 𝑢1′ , 𝑢2

′ , 𝑢3′ , el

método consiste en:

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Paso 1: Escribir la solución general de la ecuación diferencial

homogénea

𝑦𝑔 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + 𝑐3𝑦3

Paso 2: Reemplazar 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 por las funciones incógnitas

𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 obteniendo la solución particular de la ecuación (1).

𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 + 𝑢3𝑦3

Paso 3: Formar el sistema bajo las condiciones de la ecuación (2)

Paso 4: Por medio de integración obtenemos 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3.

Ejemplo:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑦 = csc 𝑥

Solución:

Hallaremos la solución general de la ecuación homogénea:

𝑝(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0

Entonces las raíces son 𝑟1 = 𝑖 , 𝑟2 = −𝑖

de donde 𝑦𝑔 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥

La solución particular de la ecuación diferencial es:

𝑦𝑝 = 𝑢1 cos 𝑥 + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 tal que

{𝑢1′ cos 𝑥 + 𝑢2

′ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0

−𝑢1′ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑢2

′ cos 𝑥 = csc 𝑥 de donde

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𝑢1′ =

|0

csc 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥cos 𝑥

|

|cos 𝑥

−𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥cos 𝑥

|= −1

⇒ 𝑢1′ = −1 ⇒ 𝑢1 = −𝑥

𝑢2′ =

|cos 𝑥

− 𝑠𝑒𝑛 𝑥0

csc 𝑥|

|cos 𝑥

−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥cos 𝑥

|= 𝑐 𝑡𝑔 𝑥

⇒ 𝑢2′ = 𝑐 𝑡𝑔 𝑥 ⇒ 𝑢2 = 𝐿𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝑥)

𝑦𝑝 = −𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐿𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝑥)

La solución general de la ecuación diferencial es:

𝑦 = 𝑦𝑔 + 𝑦𝑝 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝐿𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝑥)

𝑦 = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝑥)

Ejemplo:

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 4𝑥 = 𝑠𝑒𝑐22𝑡

Solución:

Hallaremos la solución general de la ecuación diferencial

homogénea, para esto se tiene:

𝑝(𝑟) = 𝑟2 + 1 = 0 ⇒ 𝑟1 = 2𝑖 , 𝑟2 = −2𝑖 de donde

𝑥𝑔 = 𝑐1 cos 2𝑡 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

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La solución particular de la ecuación diferencial es:

𝑥𝑝 = 𝑢1 cos 2𝑡 + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

donde 𝑢1 , 𝑢2 son funciones incógnitas, que cumplen la condición

siguiente:

{ 𝑢1′ cos 2𝑡 + 𝑢2

′ 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 = 0

−2𝑢1′ 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 2𝑢2

′ cos 2𝑡 = 𝑠𝑒𝑐22𝑡 (*)

Resolviendo el sistema (*) se tiene:

𝑢1′ =

|0

𝑠𝑒𝑐22𝑡

𝑠𝑒𝑛 2𝑡2cos 2𝑡

|

|cos 2𝑡

−2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡2cos 2𝑡

|=

−𝑡𝑔 2𝑡. sec 2𝑡

2 ⇒ 𝑢1 =

− sec 2𝑡

4

𝑢2′ =

|cos 2𝑡

− 2𝑠𝑒𝑛 2𝑡0

𝑠𝑒𝑐22𝑡|

|cos 2𝑡

−2𝑠𝑒𝑛 2𝑡

𝑠𝑒𝑛 2𝑡2cos 2𝑡

|=

sec 2𝑡

2⇒ 𝑢2 =

𝑙𝑛(sec 2𝑡 + 𝑡𝑔 2𝑡)

4

como 𝑥𝑝 = 𝑢1 cos 2𝑡 + 𝑢2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 reemplazando se tiene:

𝑥𝑝 =−1

4+

𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑙𝑛|sec 2𝑡+𝑡𝑔 2𝑡

4 y la solución general de la

ecuación diferencial es:

𝑥 = 𝑥𝑔 + 𝑥𝑝

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AUTOEVALUACION

1.- 𝜃 ′′ + 4𝜃 ′ + 4𝜃 = 𝑥−2𝑒−2𝑥

Rpta: 𝜃 = 𝑒−2𝑥[𝑐1 − 1 + 𝑐2𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥]

2.- 𝑦′′ + 𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥

Rpta: 𝑦 = 𝑦𝑔 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑙𝑛[sec 𝑥 + 𝑡𝑔 𝑥] −𝑠𝑒𝑛2𝑥

2 cos 𝑥− 1

3.- 𝑤 ′′ − 2𝑤 ′ + 𝑤 = 𝑒2𝑡(𝑒𝑡 + 1)−2

Rpta: 𝑤 = 𝑤𝑔 + 𝑒𝑡ln (1 + 𝑒𝑡)

4.- 𝑥 ′′ + 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3𝑡

Rpta: 𝑥 = 𝑥𝑔 +sec 𝑡

2

5.- 𝑧′′ − 3𝑧′ + 2𝑧 = cos(𝑒−𝑥)

Rpta: 𝑧 = 𝑧𝑔 − 𝑒2𝑥cos (𝑒−𝑥)