II. VARGJET NUMERIKE1. Prkufizimi i vargut.Le t jet N = {1, 2,3,..., n,...} bashksia e numrave natyror.

Sipas ndonj rregulle ose ligji, numrit natyror 1 i shoqrojm numrin real a1 , numrit 2 numrin real a2 e kshtu me radh.

N prgjithsi, numrit n i shoqrojm nj numr real, q e shnojm me an dhe kshtu procesi vazhdon pafundsisht. Si rezultat fitohet vargu numerik a1 , a2 ,..., an ,... i cili simbolikisht shnohet me {an }nN ose (an ) nN . Pra do pasqyrim nga bashksia e numrave natyror N n bashksin e numrave real (a : N R) quhet varg n R. Vargu n R, prcaktohet duke ditur ligjin e veprimit a : n a (n).Detyra 1.

(1)

T caktohet antari i prgjithshm i vargjeve: a) 1, 4,9,16, 25,... b) 1,8, 27,64,...c) 1 1 1 , , ,... 1 2 2 3 3 4 d ) 1, 2 3 4 , , ,... 1 2 1 2 3 1 2 3 4

Zgjidhja. a) Vrejm se secili antar paraqet katror t nj numri natyror.

b)

Prandaj antari i prgjithshm sht n 2 . 1 ; n3 ; c) n(n + 1)

d)

n . n!

Detyra 2. Zgjidhja.

T caktohet antari i prgjithshm i vargut 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,...

Vrejm se n vargun e dhn jan paraqitur 9 numrat e par t thjesht. Por, deri m tani nuk dihet ndonj ligj sipas t cilit do ta caktonim termin e prgjithshm t vargut t dhn.

2

Hyrje n ANALIZEN MATEMATIKE I Prmbledhje detyrash t zgjidhura

Detyra 3.

Vargu numerik sht dhn me antarin e prgjithshm:

n2 n (1) n n + 1 ; ; ; b ) an = c ) an = n2 + 1 n +1 n2 + 1 1 + (1) n 2n 1 n d ) an = ; e ) an = 2 ; f ) an = sin . 2 2n n T paraqiten vargjet e dhna n trajtn (1). a) an =Zgjidhja.

a)

Pr n = 1, a1 =

12 1 = 2 1 +1 2 22 4 = 2 +1 52

Pr n = 2, a2 = Pr n = 3, a3 =

32 9 = . 2 3 + 1 10 1 4 9 n2 , , ,..., 2 ,... 2 5 10 n +1

Pra, kemi vargun:

b) c)

1 2 3 n , , ,..., ,... n +1 2 3 4 Pr n = 1, a1 = Pr n = 2, a2 = Pr n = 3, a3 = Pra, (1)1 1 + 1 =0 12 + 1 (1) 2 2 + 1 3 = 22 + 1 5 ( 1)3 3 + 1 2 1 = = 32 + 1 10 5

3 1 (1) n n + 1 0, , ,..., ,... 5 5 n2 + 1

d) e) f)

1 1 1 + (1) n 0, ,0, ,..., ,... 2 4 2n 3 7 2n 1 1, , ,..., 2 ,... n 4 91, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0,...,sin n ,... 2

Copyright Armend Shabani

VARGJET NUMERIKE

3

Detyra 4.

sht dhn vargu (an ) me antarin e prgjithshm an = T caktohen pes antart e par t vargut t dhn. T caktohen a99 , an 2 , an +1 .

n (n 1) . 32

Zgjidhja.

Pr n = 1, a1 =

12 (1 1) =0 3 22 (2 1) 4 = 3 3 32 (3 1) =6 3 42 (4 1) = 16 3 52 (5 1) 100 = . 3 3

Pr n = 2, a2 = Pr n = 3, a3 = Pr n = 4, a4 = Pr n = 5, a5 =

a99 =

992 (99 1) 99 99 98 = = 33 99 98 = 320166 3 3 (n 2) 2 (n 2 1) (n 2) 2 (n 3) = 3 3 (n + 1) 2 (n + 1 1) n(n 2) 2 . = 3 3 (1) n . T 2n a +1 caktohen pes antart e par t vargut (bn ) nse bn = n . an +1 sht dhn vargu (an ) me antarin e prgjithshm an =

an 2 = an +1 =

Detyra 5.

Zgjidhja.

Pr t caktuar pes antart e par t vargut (bn ) s pari caktojm gjasht antart e par t vargut (an ) . Kemi: 1 1 1 1 1 1 a1 = , a2 = , a3 = , a4 = , a5 = , a6 = . 2 4 8 16 32 64 Ather

Copyright Armend Shabani

4

Hyrje n ANALIZEN MATEMATIKE I Prmbledhje detyrash t zgjidhura

1 +1 a + 1 a1 + 1 b1 = 1 = = 2 = 1 an +1 a2 4

1 2 =2 1 4

b2 = 10, b3 = 14, b4 = 34, b5 = 62.Detyra 6. Zgjidhja.

Vargu (an ) sht dhn me antarin e prgjithshm an = 2. T shkruhen pes antart e par t vargut.

Meq an = 2, pr do n N ather a1 = 2, a2 = 2,..., a5 = 2. Madje a71 = 2, an 2 = 2. Pra, t gjith antart e vargut jan 2. Vargu i till quhet varg konstant.Detyra 7.

T caktohen 5 antart e par t vargut t dhn me formuln rekurente: a +1 . a) a1 = 3; an +1 = (a1 ) n + 2an ; b) a1 = 3; an +1 = n an 31 19 +6= 3 3

Zgjidhja.

a)

a2 = ( a1 ) 1 + 2 a1 = 31 + 2 3 =2 2

b)

19 1 + 6 19 115 1 = a3 = (a1 ) + 2 a2 = + 2 = 3 9 9 3 1 2 115 1 + 6 115 691 a4 = ( a1 ) 3 + 2 a3 = + = = 27 9 27 27 1 2 691 1 + 6 691 4147 a5 = (a1 ) 4 + 2 a4 = + = = 81 27 81 81 1 1 1 3 a1 = 3, a2 = , a3 = , a4 = , a5 = . 3 2 7 11 Vargu (an ) sht dhn si vijon k+2 a1 = 2, ak +1 = ak . k T vrtetohet se an = n(n + 1).

Detyra 8.

Zgjidhja.

Vrtetimin do ta kryejm me induksion matematik.Copyright Armend Shabani

VARGJET NUMERIKE

5

a2 = a1+1 =

1+ 2 a1 = 3 2 = 6. 1

Po ashtu a2 = 2 (2 + 1) = 6. Supozojm se pohimi sht i sakt pr n = k . Pra se vlen ak = k (k + 1). Tregojm saktsin e pohimit pr n = k + 1.Pra, tregojm se ak +1 = (k + 1)(k + 2). Vrtet ak +1 =Detyra 9.

k+2 k+2 k (k + 1) = (k + 1)( k + 2). ak = k k Vargu (an ) sht i dhn si vijon:

a1 = 1, a2 = 2, an = (n 1) (an 1 + an + 2 ), n 3.T caktohet antari i prgjithshm i vargut.Zgjidhja.

Pr n = 3 merret a3 = (3 1) (a1 + a2 ) = 2 (1 + 2) = 6. Pr n = 4 merret a4 = 3 (6 + 2) = 24. Pr n = 5 merret a5 = 4 (24 + 6) = 120. Vrejm se antart e msiprm mund t shprehen si vijon: a3 = 3!; a4 = 4!, a5 = 5! Prej ktu merret ideja q t supozojm se an = n !. Kt e vrtetojm me an t induksionit matematik. Pohimi sht i qart pr k = 1, k = 2. Supozojm se an 1 = (n 1)!, an 2 = (n 2)!. Ather an = (n 1)((n 1)!+ ( n 2)!) = (n 1)((n 1)( n 2)!+ (n 2)!) = (n 1)((n 2)!( n 1 + 1) = n(n 1)(n 2!) = n !.

Copyright Armend Shabani

6

Hyrje n ANALIZEN MATEMATIKE I Prmbledhje detyrash t zgjidhura

Detyra pr ushtrime t pavarura.1.

T caktohet antari i prgjithshm i vargjeve: a) b) 1,3,7,15,31,... 0,3,8,15, 24,...1 1 1 1, , , ,... 2 4 8 100,97,93,88,82,...

c) d)

9,99,999,9999,... 1, 1,1, 1,...1 2 3 , , ,... 2 3 4 2.1,3.2,5.3,8.5,...

2.

T caktohet antari i prgjithshm i vargjeve: a) c) b) d)

3.

T paraqiten nga pes antar t vargjeve t dhna me antarin e prgjithshm: a)c) e) g) i) 1 an = 3 3an = a +n 1

;

b) d) f) h)

an = cos n n; an = sin nx ; n

n +1 n sin ; n +1 2

an =

n3 1 ; n2 1

an = cos

n ! + (1) n ; 2

an = (1) n +1 (2n 1) an = (1)3 n 1 .

an = (1) 2 n ;

Cilat nga vargjet e dhna jan vargje konstante?4. 5. 6.

Nse an = Nse an =

(n 1) 2 t caktohet a4 , a5 , a6 . n ! n3 (n 1) n 2 t caktohet an 2 , an+ 2 , an , an!. n!

Vargu (an ) sht dhn me antarin e prgjithshm an =

1 . ( n + 1) 2

a)

T caktohen pes antart e vargut (bn ) t dhn me bn = ( an ) 2 an 1

b)

T caktohen pes antart e vargut (cn ) t dhn me2 cn = bn 1 an + an+1 bn2 , ku (bn ) sht vargu i prkufizuar n rastin a).

Copyright Armend Shabani

VARGJET NUMERIKE

7

7.

T caktohen pes antart e vargut t dhn me formulat rekurente: a) b) c)2 a1 = 3; an = an 1 + (n 1)( an 1 + 1) 2

a1 = (2) n ; a2 = n 2 ; an = ( an 1 + an 2 ) 2 +1 2 a a0 = ; a1 = ; an = n 1 1 2 3 2 2 n 1

1 2

+

an 2 . 3

8. 9. 10.

sht dhn vargu (an ) me antarin e prgjithshm an = n3 + 1. Prej t cilit antar, antart e vargut do t jen m t mdhenj se 100? T vrtetohet se vargu (an ) me antarin e prgjithshm an = 2 n 1 + 1 plotson relacionin an = 3an 1 2an 2 , pr do n 2. T caktohet antari i prgjithshm i vargut (an ) nse an +1 = 3an 2an 1 , a0 = 2, a1 = 3.

2.

Vargjet monotonemonoton rrits nse n N , an < an+1. monoton zvoglues nse n N , an > an +1 . monoton jo zvoglues nse n N , an an +1 . monoton jo rrits nse n N , an an +1 .

Vargu (an ) sht: a) b) c) d)

Vargu q plotson njrin nga kushtet a) d) quhet varg monoton.Detyra 10. T tregohet se vargu (an ) i dhn me (termin) antarin e n , n N sht monoton rrits. prgjithshm an = n +1 Zgjidhja.

Duhet t tregojm se n N , an < an +1 . Nga an < an +1 rrjedh se an an +1 < 0 osean < 1 (nse an +1 > 0 ) an +1Copyright Armend Shabani

(1)

(2)

8

Hyrje n ANALIZEN MATEMATIKE I Prmbledhje detyrash t zgjidhura

Pra, mjafton q t tregojm se vlen njri nga relacionet (1) ose (2). Le t tregojm p.sh. se vlen (1). an = n n +1 , an +1 = . n +1 n+2 n n + 1 n(n + 2) (n + 1) 2 1 = = < 0. n +1 n + 2 (n + 1)(n + 2) ( n + 1)(n + 2)

an an +1 =

Pra, vargu (an ) sht monoton rrits. Shnim. Provoni t tregoni se vargu sht monoton rrits duke vrtetuar relacionin (2).Detyra 11. Tregoni se vargu an = Zgjidhja.

10n , n > 9 sht monoton zvoglues. n!

Duhet t tregojm se pr do n > 9, an > an +1 . Nga an > an +1 rrjedh se: an an +1 > 0 ose an > 1 (nse an +1 > 0 ) an +1 Le t tregojm se vlen (2) an +1 = Ather10n an n +1 n! = = > 1 , pr n > 9. n 10 10 an +1 10 (n + 1)n ! Pra, vargu sht monoton zvoglues.Shnim. Tregoni se vargu sht monoton zvoglues, duke treguar se vlen (1).

(1)

(2)

10n +1 10n 10 = . (n + 1)! ( n + 1)n !

1 Detyra 12. T vrtetohet se vargu an = 1 + , n N sht monoton rrits. n

n

Copyright Armend Shabani

VARGJET NUMERIKE

9n +1

Zgjidhja.

1 1 an = 1 + , an +1 = 1 + n n +1n +1

n

n+2 = n +1

n +1

n +1 = n

n

(n + 2) n +1 n+2 an +1 n + 1 n n (n + 2) n +1 n n +1 (n + 2) n +1 n + 1 (n + 1) n +1 = = = = n (n + 1) n an n (n + 1) n (n + 1) n +1 (( n + 1) 2 ) n +1 n +1 nn n n( n + 2) = 2 (n + 1) n +1

n +1

n + 1 n 2 + 2n + 1 1 = 2 n (n + 1) n +1 . nn +1

n +1

n +1 n

1 = 1 2 n + 1)

Zbatojm mosbarazin e Bernulit: 1 (n N ), 1 2 (n + 1) Prandaj, (n N ), > 1 n +1 1 n = 1 = . 2 (n + 1) n +1 n +1

an +1 n n +1 > = 1. an n +1 n

D.m.th. an +1 > an prkatsisht an < an+1. Pra, vargu sht monoton rrits,a Detyra 13. T vrtetohet se nse vargu n , (bn > 0) sht monoton bn zvoglues ather