VAR modeliai Vector Autoregresive Models 201 2 -12-0 5
description
Transcript of VAR modeliai Vector Autoregresive Models 201 2 -12-0 5
VU EF V.Karpuškienė
VAR modeliai Vector Autoregresive Models
2012-12-05
Literatūra:•Asteriou D. Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 (15. Vector Autoregressive (VAR) Models and Causality test) psl. 298-307
•Gujaraty D, 22.9 skyrelis (Vector Autoregression)
•G.S Madala, Kajal Lahiri. Introduction to Econometrics Fourth edition, Willey, 2009,Chapter 14 “Vector Autoregressins, Unit Roots and Cointegration ”. 551-579psl.
VU EF V.Karpuškienė
VAR modeliai
• Bendra VAR modelio išraiška• VAR modelio sudarymo etapai• Priežatingumo analizė• Reakcija į impulsus• VAR modelio sudarymo pavyzdys
VU EF V.Karpuškienė
1.Bendra VAR modelio išraiškaVAR(p)
0;)0(~;1
10
pWNeeZAAZettit
p
it
Zt - endogeninių kintamųjų n matavimų (dimensijų);
A 0 konstantų n matavimų vektorius
e t –paklaidų vektorius. Paklaidos yra baltasis triukšmas (WN)
Ai, n*n matavimų koeficientų prie kintamųjų matrica
p – autoregresijos eilė.
p-eilės vektorinė autoregresija
VU EF V.Karpuškienė
1.Bendra VAR modelio išraiškaPaprastesnis modelis
Turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n) Abu reiškiniai yra tarpusavio sąveikoje ir priklauso nuo dabartinių
bei ankstesnių periodų reikšmių
yttttt XYXY 1121111210
xttttt XYYX 1221212120
VU EF V.Karpuškienė
1.Bendra VAR modelio išraiškaPaprastesnis modelis
Turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n) Abu reiškiniai yra tarpusavio sąveikoje ir priklauso nuo dabartinių
bei ankstesnių periodų reikšmių
yttttt XYXY 1121111210
xttttt XYYX 1221212120
VU EF V.Karpuškienė
1.Bendra VAR modelio išraiška
1 β12 Yt β10 γ11 γ12 Yt-1 εyt
β21 1 Xt β20 γ21 γ22 Xt-1 εXt** = + +
ZB Γ1Z εt
ttt eZAAZ 110
Γ0Baltas triukšmas
VU EF V.Karpuškienė
1.Bendra VAR modelio išraiška
ttt eZAAZ 110
tttt eXaYaaY 111211110
tt Be 1
tttt eXaYaaX 212212120 Kur
)1/()( 2112211 xtytte
)1/()( 2112122 ytxtte
VU EF V.Karpuškienė
1.VAR lengvumai ir sunkumai – Lengvumai/privalumai:
• Paprastumas • Parametrų įverčiams apskaičiuoti galima taikyti
MKM– Sunkumai/problemos
• Laisvės laipsnių problema• Lygčių išdėstymas VAR modelyje, gali įtakoti
parametrų įverčius• Koeficientai neturi ekonominės interpretacijos.
Interpretavimui naudojamės atsako į impulsus analize
VU EF V.Karpuškienė
2. VAR modelio sudarymo etapai
• Modelio identifikavimas – kintamųjų nustatymas bei duomenų surinkimas
• Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas• VAR vėlavimų eilės p parinkimas• Modelio parametrų įvertinimas• Modelio adekvatumo įvertinimas
VU EF V.Karpuškienė
2.VAR modelio stacionarumo sąvoka
• Vektorinė autoregresija yra stacionari tuomet, kai determinanto: šaknys moduliu yra
didesnės už vienetą Pvz. VAR(1)
01
p
iiiA
1i
VU EF V.Karpuškienė
Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas
• Kintamųjų stacionarumo tikrinimas– Grafinė analizė– Korelogramos – ADF testas
• Stacionarumo matricos šaknų tikrinimas
VU EF V.Karpuškienė
Kintamųjų stacionarumo užtikrinimas
• Grafinė analizė
0
5
10
15
20
25
94 96 98 00 02 04 06 08 10
EMIGR1_VILN
8
9
10
11
12
13
14
94 96 98 00 02 04 06 08 10
GIMST1_VILN
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
94 96 98 00 02 04 06 08 10
IST1_VILN
5
6
7
8
9
94 96 98 00 02 04 06 08 10
SANT1_VILN
VU EF V.Karpuškienė
Stacionarumo patikrinimas (EVIEWS)
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-1 0 1
Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial Atvirkstinės šaknys turi būti mažesnės
už vienetą
Išvada: VAR nėra stacionari, nes viena
atvirkštinė šaknis yra didesnė už 1
VU EF V.Karpuškienė
Stacionarumo patikrinimas
• Jeigu vektorinės autoregresijos kintamieji nėra stacionarūs, tuomet jie logaritmuojami arba integruojami
VU EF V.Karpuškienė
VAR modelio p eilės parinkimas • Alternatyvos ir pasekmės:
– Parinkta adekvati p vėlavimų eilė modelio įverčiai nepaslinkti ir efektyvūs
– Parinkta per didelė p vėlavimų eilė dalis kintamųjų statistiškai nereikšningi modelio įverčiai nėra efektyvūs dėl mažesnio laisvės laipsnių skaičiaus
– Parinkta per maža p vėlavimų eilė dalis veiksnių poveikio atsiduria paklaidose kai kurie įverčiai gali būti paslinkti
VU EF V.Karpuškienė
VAR modelio p eilės parinkimas
• Sudaromi įvairaus vėlavimo VAR modeliai• Palyginami jų determinuotumo
rodikliai(AIC, SBC, HQ)
VU EF V.Karpuškienė
VAR modelio sudarymo etapai
• Modelio koeficientų įvertinimas – VAR modelio kiekvienos lygties koeficientai vertinami taikant mažiausių kvadratų metodu.
VU EF V.Karpuškienė
VAR modelio sudarymo etapai
• Modelio adekvatumo įvertinimas.Modelis yra adekvatus, jeigu
• Modelio paklaidos yra baltasis triukšmas (Jack Berra testas)
• Paklaidos neautokoreliuotos (Korelogramos ir Ljung-Box testas)
• Paklaidos homoskedastiškos (White testas)
VU EF V.Karpuškienė
Priežastingumo analizė
Tarkim, turim dvi laiko eilutes Yt ir Xt (t=1n)
• Priežastingumo analizės esmė –atsakyti ar:– Yt daro įtaką Xt
– Xt daro įtaką Yt
– Tarp Xt ir Yt yra abipusė sąveika– Tarp Xt ir Yt nėra jokios sąveikos
VU EF V.Karpuškienė
Priežastingumo analizė
• Granger priežastingumo testas
VU EF V.Karpuškienė
Granger priežastingumo testastjti
m
jiti
k
it eYXY 110
tjtj
m
jiti
n
it eYXX 220
Galimi atvejai
Atvejis 1: Pirmoje lygtyje vėluojančių kintamųjų Xt-i grupė yra statistiškai reikšminga (t.y koeficientai nelygūs 0), o
antroje lygtyje esanti vėluojančių Yt-j kintamųjų grupė yra statistiškai nereikšminga
Tuomet darome išvadą, kad Xt daro įtaką Yt
(1)
(2)
Atvejis 2: Antroje lygtyje vėluojančių kintamųjų Yt-i grupė yra statistiškai reikšminga (t.y koeficientai nelygūs 0), o
pirmoje lygtyje esanti vėluojančių kintamųjų Xt-j grupė yra statistiškai nereikšminga
Tuomet darome išvadą, kad Ytdaro įtaką Xt
VU EF V.Karpuškienė
Granger priežastingumo testastjti
m
jiti
k
it eYXY 110
tjtj
m
jiti
n
it eYXX 220
Atvejis 4: Pirmoje ir antroje lygtyse vėluojančios Xt-i ir Yt-j grupės yra statistiškai nereikšmingos (t.y koeficientai
tikėtina lygūs 0),
Tuomet darome išvadą, kad Xt ir Yt tarpusavyje nepriklausomi
(1)
(2)
Galimi atvejai
Atvejis 3: Pirmoje ir antroje lygtyse vėluojančios Xt-i ir Yt-j grupės yra statistiškai reikšmingos (t.y koeficientai
nelygūs 0),
Tuomet darome išvadą, kad Xt ir Yt sieja tarpusavio priklausomybė
VU EF V.Karpuškienė
Granger priežastingumo testasTikriname pirmąjį atvejį
1 žingsnis• Apskaičiuojame regresijos lygtį:• Surandame RSSR
tjti
m
jt eYY 110
2 žingsnis• Apskaičiuojame regresijos lygtį:
• Surandame RSSu
tjti
m
jiti
k
it eYXY 110
VU EF V.Karpuškienė
Granger priežastingumo testas3 žingsnis• Formuluojame hipotezes:
4 žingsnis• Apskaičiuojame Fapskaič. statistiką:
H0: ∑ β=0 , t.y., Xt nedaro įtakos Yt HA: ∑ β≠0 , t.y., Xt daro įtaką Yt
)1(//)(
.
mknRSSkRSSRSSF
u
URapskaič
5 žingsnis
• Jeigu Fapskaič. >Fk,n-(k+m+1) atmetame H0 ir darome išvadą su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, kad Xt daro
įtaką Yt,
• Jeigu Fapskaič. <Fk,n-(k+m+1) negalime atmesti H0 ir darome išvadą su pasirinktu reikšmingumo lygmeniu, kad Xt
nedaro įtakos Yt,
VU EF V.Karpuškienė
Granger priežastingumo testas
Analogiškai tikriname 2, 3 ir 4 atvejus
VU EF V.Karpuškienė
Pastabos apie Granger priežasringumą
• Tai statistinis priežastingumas susietas su pasirinktais veiksniais, t.y įtraukus kitus veiksnius gali pasikeisti
• Granger testas jautrus duomenų dažnumui ir sezoniškumui
• Granger testas jautrus įtrauktų periodų skaičiui
VU EF V.Karpuškienė
Reakcija į impulsus
tttt eXaYaaY 111211110
tt Be 1 )1/()( 2112121 xtytte
tttt eXaYaaX 212212120
)1/()( 2112212 ytxtte
111211101 tttt eXaYaaY
1,22221201 tttt eXaYaaX
2se
Yt
Yt
Yt
Yt+1
YtXt+1
VU EF V.Karpuškienė
Reakcija į impulsusCholeski išskaidymas
tttt eXaYaaY 111211110
tt Be 1)1/()( 2112121 xtytte
tttt eXaYaaX 212212120
)1/()( 2112212 ytxtte
111211101 tttt eXaYaaY
1,22221201 tttt eXaYaaX
2se
Xt
YtYt+1
YtXt+1
et
e1t
e2t
Yt e1t
e2t
Xt
Xt
VU EF V.Karpuškienė
VAR modelio pavyzdysPriklausomybė tarp nedarbo lygio ir infliacijos
4
6
8
10
12
14
16
18
20
90 95 100 105 110
HICP_M
UN
R_L
T
-4
0
4
8
12
16
20
98 99 00 01 02 03 04 05 06
UNR_LT HICP_LT
VU EF V.Karpuškienė
Stacionarumo užtikrinimasGrafinė analizė
-2
-1
0
1
2
98 99 00 01 02 03 04 05 06
DHICP
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
98 99 00 01 02 03 04 05 06
DUNR
VU EF V.Karpuškienė
Mažiausios dispersijos testas
..
Integruotumo eilė 0 1 2 3HICP_LT 1.974254 0.595277 0.843492 1.446177UNR_LT 3.640464 0.562704 0.581936 0.917874
VU EF V.Karpuškienė
VAR vėlavimų eilės p parinkimasVAR vėlavimų atrinkimo kriterijaiĮtraukti endogeniniai kintamieji: D_HICP_LT UNR_LT Egzogeninis kintamasis: C Imties dydis: 1998M01 2007M05
Lag LogL LR FPE AIC SC HQ
0 -338.0219 NA 2.525943 6.602367 6.653527 6.623089
1 -136.7732 390.7742 0.054835 2.772295 2.925775 2.834460
2 -126.5922 19.37361 0.048639 2.652275 2.908074* 2.755883
3 -120.4026 11.53791 0.046627 2.609759 2.967877 2.754809
4 -112.7063 14.04764* 0.043418* 2.537986* 2.998424 2.724479*
5 -111.2914 2.527578 0.045687 2.588182 3.150939 2.816118
6 -107.8129 6.078956 0.046202 2.598308 3.263385 2.867687
7 -103.5924 7.211692 0.046072 2.594027 3.361423 2.904849
8 -103.0384 0.925033 0.049355 2.660940 3.530657 3.013205
VU EF V.Karpuškienė
VAR modelio parametrų skaičiavimas
1 2 3 4HICP = 0.692 - 0.018HICP - 0.062*HICP - 0.061*HICP - 0.083*HICP (0.17168) (0.10017) (0.09669) (0.09649) (0.09851)
t t t t t
1 2 3 4 - 0.084*UNR + 0.26*UNR - 0.111*UNR - 0.106*UNR (0.08502) (0.14992) (0.14934) (0.08735)
t t t t
2 0.092R
2 0.092R
1 2 3 4UNR = 0.024 + 0.230HICP + 0.044*HICP - 0.204*HICP - -0.254*HICP (0.17168) (0.10017) (0.09669) (0.09649) (0.09851)
t t t t t
1 2 3 4 +1.404*UNR - 0.243*UNR - 0.411*UNR + 0.244*UNR (0.08502) (0.14992) (0.14934) (0.08735)
t t t t
2 0.984R
VU EF V.Karpuškienė
Modelio paklaidų pasiskirstymo pagal normalujį skirstinį tikrinimas
VAR Residual Normality Tests Cholesky (Lutkepohl) H0: paklaidų normalumas Imties dydis: 1998M01 2007M05
Component Jarque-Bera df Prob.
1 1.425498 2 0.4903
2 1.925259 2 0.3819
Joint 3.350757 4 0.5009
VU EF V.Karpuškienė
Modelio taikymas ekonominei analizei
1. Granger priežastingumo įvertinimas2. Reakcijos į impulsus analizė3. Prognozavimas VAR modeliu
VU EF V.Karpuškienė
Granger priežastingumo testas Granger priežastingumo testas VAR Granger Causality/Block Exogeneity Wald Tests Date: 06/10/07 Time: 9:23 Sample: 1998M01 2007M05 Included observations: 107
Dependent variable: D_HICP_M Excluded Chi-sq df Prob. UNR_LT 17.70245 4 0.0014 All 17.70245 4 0.0014
Dependent variable: UNR_LT Excluded Chi-sq df Prob. D_HICP_M 15.52862 4 0.0037 All 15.52862 4 0.0037
Išvados
Atmetame nulinę hipotezę, kad
nedarbo UNR_LT kintamųjų grupė
nedaro įtakos infliacijai (t.y nedarbas
yra infliacijos Granger priežastis)
Taip pat atmetame hipotezę, kad
infliacijos kintamųjų D_HICP_LT grupė
nedaro įtakos nedarbui (t.y., infliacijos
pokyčiai) yra nedarbo Granger
priežastis
VU EF V.Karpuškienė
Reakcijos į impulsus analizė
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Response of UNR to UNR
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Response of UNR to HICP
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Response of HICP to UNR
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Response of HICP to HICP
Response to Nonfactorized One Unit Innovations ± 2 S.E.
VU EF V.Karpuškienė
Reakcija į impulsus
• Reakcijos į impulsus analizė rodo, kad abiejų kintamųjų reakcija į sistemą atėjusį impulsą (po pirmojo laikotarpio) yra gana ženkli, autoregresinis jos poveikis abiejų kintamųjų atvejų yra nemenkas
VU EF V.Karpuškienė
Reakcijos į impulsus analizė• Pokyčiai nedarbo lygyje laikotarpiu t veikia
infliacijos reikšmes laikotarpiu t+1. Taipogi impulsas nedarbo lygio rodikliui, laikotarpiu t, išprovokuoja didesnį poveikį laikotarpiu t+1, t.y. reakcija yra stiprėjanti pirmus du laikotarpius, o vėliau poveikis silpnėja
• Infliacijos gi poveikis nedarbo lygio rodikliui yra vėluojantis.
VU EF V.Karpuškienė
Prognozavimas VAR modelio pagalba
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
98 99 00 01 02 03 04 05 06
HICP (Baseline) Actuals
HICP
4
6
8
10
12
14
16
18
20
98 99 00 01 02 03 04 05 06
UNR (Baseline) Actuals
UNR