VAR Modeli (Doktorske Studije)
Transcript of VAR Modeli (Doktorske Studije)
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 1
VEKTORSKI AUTOREGRESIONI MODELI VAR MODELI
Zorica Mladenovi
Literatura
Kljune referenceEnders (2004), Applied Econometric Time Series, Wiley. Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press. Lutkepohl (2005), New Introduction to Multiple Time Series Analysis , Springer.Juselius (2006), The Cointegrated VAR Model, Oxford University Press.
Pomona referencaMladenovi i Nojkovi (2012), Primenjena analiza vremenskih serija, EF, Beograd.
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 2
Neophodni termini analizeNeophodni termini analize
Vremenska serija Stacionarnost
Beli um
Autoregresioni modeli (AR) i modeli pokretnih proseka (MA)Linearni proces
Operator docnje LVektorska vremenska serija
UvodUvod
Cilj ekonometrijske analize: ocena strukturnih odnosa u ekonomiji
Strukturni odnosi se uobiajeno modeliraju prema: Sistemu simultanih jednaina VAR modelu
Postoje dva tipa VAR modela:Standardni (klasini) VAR modelStrukturni VAR model
Podela odgovara distinkciji na redukovanu i strukturnu formu sistema simultanih jednaina.
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 3
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela(standardni model)(standardni model)
( ) =
=
ostalo,0 matrica onakovarijaci ,nn,ts,
'sataE
nn parametara matricep,...,2,1
modela greska slucajna1,n um, beli vektorskita 1,n serija, vremenska vektorskatY
Ovo je VAR model reda p, a dimenzije n.
taptYp...2tY21tY1tY ++++=
Polazna forma VAR modelaPolazna forma VAR modela: : osnovno ograniosnovno ogranienjeenje
Optereenost modela parametrima esto je neophodno uvesti odreene pretpostavke o parametrima modela:
p21 ,...,,,
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 4
PPoeoetaktak
Sims(1980) Macroeconomics and Reality Econometrica, 48Uoptenje jednodimenzione analize na vektorsku vremensku seriju
...
dohodak V stopa, kamatna novca, ponuda
2211
t
tptpttt
t
t
t
t
tt
aYYYcYVXZ
Y
XZ
+++++=
=
===
===
t
taaEaE tt 0
)'(0)(
i su matrice)1(
333231
232221
131211
1
=
Jedna od jednaina sistema
tptp
ptp
ptp
tttt
aVXZ
VXZcZ
1)(
13)(
12)(
11
113)1(
112)1(
111)1(
1 ...
+++
+++++=
Svaka jednaina ima isti broj parametara
Strukturni Strukturni VAR(1VAR(1))
t 10 12 t 11 t 1 12 t 1 yt
t 20 21 t 21 t 1 22 t 1 xt
y b b x y xx b b y y x
= + + + = + + +
Sluajne greke modela (strukturni okovi) yt i xt su procesi beli um sa standardnim devijacijama redom y and x i korelacijom 0.
Promenljive y i x su endogene. ok yt utie na y direktno a na x indirektno. Model ima 10 parametara za ocenjivanje.
Neka je dat strukturni VAR dimenzije 2: Yt=(yt, xt), reda 1:
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 5
Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modelamodela
Strukturni VAR model nije u redukovanoj formi. Podseanje: u redukovanoj formi y i x su funkcije iskljuivo od
prethodnih vrednosti y i x. Da bi se iz strukturne dobila redukovana forma VAR model
zapisujemo u matrinom obliku:
10 112 11 12
20 121 21 22
0 1 1
11
t t yt
t t xt
t t t
y b ybx b xb
BY Y
= + +
= + +
Od strukturnog do standardnog Od strukturnog do standardnog VARVAR modela IImodela II
Mnoenje sa B-1 omoguava dobijanje standardnog VAR(1)modela:
Doli smo do redukovane forme koja je spremna za ocenjivanje.
0 1 11 1 1
0 1 1
0 1 1
t t t
t t t
t t t
BY Y
Y B B Y BY Y a
= + += + += + +
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 6
Teme:Teme:
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Odreivanje reda VAR modela
4. Uzronost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greke predvianja
7. Strukturni VAR model
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Odreivanje reda VAR modela
4. Uzronost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greke predvianja
7. Strukturni VAR model
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 7
Uslov stabilnosti sistemaUslov stabilnosti sistemaUslov stacionarnosti Uslov stacionarnosti YYtt
=
=
+=
+=
+=
ji0ji1]L....LL
ij L)L(
acY)L(acY)L...LLI(
acY...YYY
ijp)p(ij2)2(ij)1(ij
tt
ttp
p2
21
tptp2t21t1t
ij[
je (L) odElement docnjeoperatoru po polinom matricninxn je
VAR(p) za je stabilan ako su svih pxn korena (reenja) donje jednaine strogo vei od jedan po modulu:
tY
c)...I(
.0x...xxI
1p21n
pp
221n
=
=
Uslov stabilnosti IIUslov stabilnosti II
( )( )
( ) =
++++++=
++++=
++++=++==
++==
++=
+=
1t
0iit
i10
t1
1t1
211nt
2110211n
210112112
1011
t1t1t
t1t1t
aYc...IYt
aaYcI
aaYccaYcY,2taYcY,1t
aYcYacYY
M
lanovi kompletno su odreeni sa tYY ,...,1 .,...,1,0 taaY
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 8
Uslov stabilnosti IIIUslov stabilnosti III
( ) =
+
++++++=
+=+=
j
iit
ijt
jjnt
ttt
aYcIY
acYY jt
011
111
211
11
...
1 je Neka
Ako su karakteristine vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, tada je niz absolutno sumirajui. To znai da beskonana suma konvergira ka:
Dodatno, element konvergira ka nuli dovoljno brzo, to znai da se moe ignorisati.
1
,...,,i i 101 =
= 0ii1
+ jY jtj ,111
( ) .j,I...I 11nj1211n ++++
Uslov stabilnosti IVUslov stabilnosti IV
( )( )
( ) ,...3,2,1t,c...I,aYac...IY
acYY
211n
0iit
i1t
0iit
i1
I
211nt
t1t1t
11n
=+++=+=
++++=
+=
=
=
444 3444 21
Ako su karakteristine vrednosti matrice po modulu strogo manje od 1, proces iskazan kroz VAR(1) model je precizno definisan kao stohastiki.
Zakljuak: uslov stabilnosti Karakteristine vrednosti matrice po modulu su strogo manje od 1.
1
1
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 9
U tom sluaju postoji odgovarajua vektorska reprezentacija pokretnih sredina beskonanog reda
Ovo je fundamentalna reprezentacija za analizu reakcije vremenske serije na uticaj sluajnog oka.
)(MA
{ {
...]LLI[)L(
a)L(...aaaY
221n
t2t21t1tt211
+++=
+=++++=
Uslov stabilnosti VUslov stabilnosti V
Uslov stabilnosti VIUslov stabilnosti VI
Matrina algebra: svih n karakteristinih vrednosti kvadratne matrice su strogo manje od jedan ako i samo ako je ispunjen uslov:
1
444 3444 21
44 344 21
jedan. od manja strogosu modulu po jednacine, resenja Inverzna
jedan. od vecastrogomodulu posu ,,..., jednacine, Resenja
:znaci To svako za
,,...,gg
1n
xx
1n
1n
n1
n1
x
1g,0gI
noAlternativ
0xI
1x0xI
==
=
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 10
Zapisujemo model u formi odstupanja od srednje vrednostitptp2t21t1t a)Y(...)Y()Y(Y ++++=
Grupiemo lanove kao:
( )npnp
'
tt1tt
1np
t
t
npnpn
n
n
p1p21
1np1pt
1t
t
t
0......00......00...0
H,,0
t,HuuE,uF
0
0a
u
0I...00
00...I000...0I
...
F
Y
YY
+
=
=
=+=
=
=
=
ostalo
MMMMM
M
STABILAN PROCES:SVE KARAKTERISTINE VREDNOSTI MATRICE F SU MANJE OD JEDAN PO MODULU
Uslov stabilnosti Uslov stabilnosti VAR(pVAR(p)) VAR(1)VAR(1)
Uslov stabilnosti: primer 1Uslov stabilnosti: primer 1
( ) stabilan. je proces dati 1 od vecastrogomodulu po resenja svasu Kako
4858.153x,1525.22x,21x02x03.0x4.010.5x-1
:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost x3.01x2.00x3.0x1.01x1.0
00x5.01x
3.02.003.01.01.0
005.0
100010001
odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam
ta1tY3.02.003.01.01.0
005.0ctY
:1 reda a 3, dimenzije VARdat je Neka
====
=
+
+=
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 11
Primer 1: grafiki prikaz
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
X
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
Y
-4
-2
0
2
4
50 100 150 200 250 300
Z
Uslov stabilnosti: primer 2Uslov stabilnosti: primer 2
stabilan. je model :jedan od vecastrogomodulu posu resenja triSva.545.5226.4255.3:3x i 2x od Moduo ,1i
i26.455.33x,i26.455.32x,3.11x03x025.02x21.0x1
:nulom sa amoizjednacav tedeterminanVrednost
2x
025.000
x5.04.01.05.0
1001
odtu determinan racunamo :istabilnost uslov oProveravam
ta2tY025.000
1tY5.04.01.05.0
ctY
:2 reda a 2, dimenzije VARdat je Neka
=+=
=+===
+
+
+
+=
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 12
Primer 2: grafiki prikaz
-2
0
2
4
6
8
10
50 100 150 200 250 300
X
-4
-2
0
2
4
6
50 100 150 200 250 300
Y
Primer 3: nestabilan VARoba reenja: jedan
-200
0
200
400
600
800
50 100 150 200 250 300
X
-4
0
4
8
12
16
20
24
50 100 150 200 250 300
Y
( ) .12x1x02x10x11.001
1001
det
:nulom sa amoizjednacavtu Determinanta1tY11.0
01ctY
====
+
+=
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 13
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Odreivanje reda VAR modela
4. Uzronost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greke predvianja
7. Strukturni VAR model
Ocena parametara Ocena parametara VARVAR modelamodelaMetod obinih najmanjih kvadrata Metod obinih najmanjih kvadrata
Metod maksimalne verodostojnostiMetod maksimalne verodostojnosti
( )[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]1T
1t'
tXtXT
1t'
tXtY
ta1)1np
tX1n
tY
1)1np'ptY...1tY1tXtYnTY,...,1Y,0Y,...,1-pYpT
?nn,
)1npn,p21c,0:Nt,ataptYp...2tY21tY1ctY
)1npn
=
=
=
++
=
+
=
++
+=
+
++
+
+=
+
'A :ocenaONK
(A'
:formi nojkondenzovau VAR( vektor :je Neka
clanova od svaki za : vrednosti Poznato
matrica onaKovarijaci( ... A' :nagiba parametara Matrica
,ONK kvadrata,najmanjih obicnih metoda Primena
(
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 14
( )( )
[ ] [ ]
( ) ( )( ) ( )
=
=
+=
+
+=
+
+=
+=
=
+=
==
++++
=
T
1tt
1t
1
T
1ttt
1tt
1
1p1ttT
1t
ttt
'
pt1ttp21
ptp2t21t11p1tt
1p1ttT
1t
,,...,,c
1p1,011T,T
a'a21log
2T)2log(
2Tn
XY'XY21log
2T)2log(
2Tn
parametri;Y,...,YYflogparametril
aX'AY
Y...Y1X,c'A
,Y...YYcN:Y,...,YY
parametri;Y,...,YYf
parametri;Y,...,YYY,...,YYfp1
pi
pi
A'A'
:jnosti verodostofunkcije Log. :formi nojkondenzovau VAR
...
:uzorka jnosti verodostoFunkcija:MMV (uslovni), jnosti verodostomaksimalne Metod
48476
Odnos dva metoda: ocene su identine
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
0'aX)(tr'aX)'(tr
X)'('atrX)'('a
:Napomena
X)'('a2X)'()('Xa'a
X)'(a'X)'(a
XX'X'Y'XX'X'Y
XY'XY
XXXY
ttt
1t
tt
1
tt
1t
tt
1t
t t tt
1tt
1tt
1t
T
1ttt
1tt
T
1ttttt
1tttt
T
1ttt
1tt
1T
1t'
ttT
1t'
tt
=
=
=
=
=
++=
=++=
=++=
=
=
=
=
=
=
AAAA
AAAA
nulijednak iskalar jeelement poslednji AAAAAA
AAAA
A'AAA'AA
A'A'
: vrednostminimizira koja Ocena :MMV
A :ONK
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 15
( ) ( )
A.A zarednost najmanju v ima izraz Gornji definitna. pozitivno takodjeje 1-matrica definitna pozitivno je Kako
t ttX)'AA(1)AA(t'Xta1t'amin
T
1ttX'AtY
1'tX'AtYmin
=
+
=
=
Ocena kovarijacione matrice izvedena za dato A
=
=
=
===
+=
T
1t
T
1ttttt1
T
1tt
1t
1
'aaT1
0'aa21
'
2T0)
,(
a'a21log
2T)2log(
2Tn),(
pi
A
izraz. gornji amaksimizir kojamatricu definitnu pozitivno simetricnu naci :Cilj
A
l
l
Ocena kovarijacione matrice
T
.ji,n,...,1j,i,aaT1
Ti
.n,...,1i,aT1
...
...
'aaT1
T
1tjtitij
T
1t2
itii
T
1t
nn
n222
n11211
tt
uzorka obimompodeljen jednacine dve svake iz reziduala proizvodaZbir
:dijagonale glavne van matrice onekovarijaci Elementi
uzorka obimom podeljena jednacine iz kvadrata suma Rezidualna
:dijagonali glavnoj na matrice onekovarijaci Elementi2
2
2
2
==
==
==
=
=
=
MO
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 16
TemTemaa::
1. Uslov stabilnosti VAR modela
2. Ocene parametara modela
3. Odreivanje reda VAR modela
4. Uzronost
5. Funkcija impulsnog odziva
6. Dekompozicija varijanse greke predvianja
7. Strukturni VAR model
Odreivanje reda VAR modelaOdreivanje reda VAR modela
1. Testiranje znaajnosti parametara
Test kolinika verodostojnosti Direktna provera znaajnosti pojedinih parametara
2. Informacioni kriterijumi
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 17
TestTest kolinika verodostojnosti kolinika verodostojnosti Maksimum funkcije verodostojnosti za dobijene ocene
[ ]( ) 1log
2T12log
2Tn
2Tn1
log2T)2log(
2Tn)A,(
2Tn
nTItr21
T1tr21
T
1tt'ata
1tr
21T
1tta
1t'atr2
1T
1tta
1t'a2
1
T
1tta
1t'a2
11log
2T)2log(
2Tn)A,(
++pi=+pi=
==
=
=
=
=
=
==
=
+pi=
l
l
0p od veceje 1p)1p(VAR:1H)0p(VAR:0H
Postavljamo sledee hipoteze
( )
( ) 11log2T12log
2Tn
1* ,1,1A
: 1p reda VAR se ocenjuje :1H hipoteza istinita je Ako
10log2T12log
2Tn
0* ,0,0A
: op reda VAR se ocenjuje :0H hipoteza istinita je Ako
++pi=
++pi=
l
l
{ })0p1p(2n aogranicenj brojm2m:LR
1log0logT10log11logT
)*01*(2)1H pod verod.(f.)0H pod verod.(f.log2LR
:jnosti verodostokolicnikaTest
=
=
=
== ll
modelu. VAR celomu ukupno
jednacini svakoju ukupnoupromenljivsvaku na aogranicenj :jednacini svakoj U
)pp(n)pp(n
pp
012
01
01
TestTest kolinika verodostojnosti II kolinika verodostojnosti II
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 18
{ }( ){ }( ){ }
hipoteza. nulta odbacuje put prvi po se kojoju fazom zavrsava se Testiranje 3.
itd. docnje, 3:1H docnje, 2:0H docnje, 4:1H docnje, 3:0H :primer Na
unazad lnosekvencija sprovodi se Testiranje .21p vrednostiapriorne od se Polazi 1.
:TESTIRANJA ALGORITAM1np1k
1log0logkTLR
1log0logjednacini svakoju parametara brojTLR : Simsa jaModifikaci
1log0logTLR
:jnosti verodostokolicnikaTest
+=
=
=
=
TestTest kolinika verodostojnosti IIIkolinika verodostojnosti III
TestTest kolinika verodostojnosti: primer kolinika verodostojnosti: primer VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3VAR realnog deviznog kursa i realnog novca m3Period: 2002:1Period: 2002:1--2007:12 (72 podatka)2007:12 (72 podatka)
H0: VAR(1) H1:VAR(2)
Napomene: 1. Efektivni uzorak korien za ocenu VAR(2), pa zato i VAR(1) je 70.2. Kako VAR(2) model ima ukupno 4 parametra vie za ocenjivanje od
VAR(1) modela, to je broj stepeni slobode u primeni testa 4. Rezultat: Uz nivo znaajnosti od 10% prihvata se znaajnostdruge docnje u VAR modelu i opravdanost VAR(2) specifikacije.
1 2
810*8677522.4 810*3193651.4
37.8)810*3193651.4log()810*8677522.4log(*7024LR =
==
78.7)10.0(24 49.9)05.0(24 ==
-
Profesor Zorica Mladenovic 5/17/2012
Ekonomski fakultet Beograd, 2012. 19
Test znaajnosti pojedinih parametara
U sluaju kada je VAR model stabilan, a sluajna komponenta vektorski proces beli um sa viedimenzionom normalnom raspodelom metodom ONK dobijaju se nepristrasne i konzistentne ocene parametara koje su normalno raspodeljene.
Mogue je primeniti standardnu teoriju statistikog zakljuivanja.
Moemo koristiti standardnu t i F statistiku.
InformaInformacioni kriterijumi u cioni kriterijumi u VARVAR modelu modelu Kao i kod jednodimenzionog AR modela, i kod viedimenzionog VAR modela, funkcija informacionog kriterijuma (IC) se koristi za izbor optimalnog broja docnji. Optimalan broj docnji jeste ona vrednost p kojom se minimizira funkcija IC(p)
Akaikeov, varcov i Hana-Kvinov Primena ima smisla jedino ako su reziduali VAR modela neautokorelisani sa aproksimativno normalnom raspodelom.
( )( )
( )( )T
np2nTlnln2lnHQC
T
np2nTlnlnSC
T
sistema parametara brojukupan
np2n2lnAIC
+
+=
+
+=
+
+=
48476