Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p

Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p

Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2009/10

a cura di Enzo MartinelliBozza del 25/05/2010

Mate

riali


Post

-teso

: ca

vi M

5 d

a B

revett

o

Mora

nd

i

Esempio Numerico



Caratteristiche geometriche

L= 32 m p= 20 kN/mg'= 3.00 kN/m2 i= 2.50 m

Scelta della sezione

h=L/16= 2.00 m h= 220 cm

Si adotta il profilo "Alfa 220 n 18" con le seguenti caratteristiche:

Bi S BS Peso Cassero

[mm] [mm] [mm] [kN/m] [m2/m]

720 180 1020 16.320 6.0966

Area YG J WS Wi

[mm2] [mm] [mm4] [mm3] [mm3]

652800 1090 4.16E+11 3.75E+08 3.82E+08

Scelta della sezione

Esempio Numerico



Scelta della sezione: estratto del sagomario

Esempio Numerico



Analisi dei carichi(a metro lineare di trave)

Peso proprio: g= 16.32 kN/m

Sovraccarico fisso: g'= 7.50 kN/m

Sovraccarico acc.: p= 20 kN/m

q= 43.82 kN/m

Caratteristiche dei materiali

Rck= 50 MPa fptk= 1900 MPa

fck= 40 MPa sS0= 1425 MPa

Ec= 33346 MPa

EP= 200000 MPas

c0= 28.00 MPa sspi

<sS0= 1200 MPa

sc0t= 4.00 MPa s

sp<s

S1= 1000 MPas

c1= 24.00 MPa n= 6.00s

c1t= 3.00 MPa b= 1.3

Esempio Numerico



Progetto dell'azione di precompressione N

Mg+g'= 3048.96 kNm

Mmax= 5608.96 kNm Mmin= 2088.96 kNm

fissato e= 950 mm

N1= 6402.81 kN N3= 2909.28 kN

N2= 7341.89 kN N4= -9005.04 kN

N3'= 3655.25 kN

N0= 4752 kN

AP= 3.96 cm2

Scelta del cavi tipo M5 (da "Brevetto Morandi")

Tipo n° portata unit portata A ec,i

[kN] [kN] [cm2] [cm]M5/16 2 1783.7 3567.4 1486.417 990M5/12 1 1337.8 1337.8 1114.833 890

Portata complessiva[kN]= 4905.2 962.73

TRAVE POST-TESATRAVE POST-TESAPerdite di tensione dovute all’attrito cavo-Perdite di tensione dovute all’attrito cavo-

guainaguaina



r

N N+dN

d

pn

tp

Valutiamo la pressione che il cavo esercita sulla superficie interna della guaina. Prendendo in considerazione un tronco infinitesimo di cavo con raggio di curvatura r, l’equilibrio alla traslazione in direzione normale all’asse del cavo, tenendo conto che l’angolo d è infinitesimo, e trascurando pertanto l’infinitesimo di ordine superiore

dN d, vale dN2)d2(rpn r

Npn

rN

fpfp nt

Dall’equilibrio alla traslazione in direzione parallela all’asse del cavo:

)dNN(drpN t dfNdN

feNN 0

La Normativa Italiana prescrive una relazione lineare per la valutazione delle cadute di tensione

istantanee:

)z(f1NN A,0B,0

cls-cavo 5.0

guaina-cavo 3.0f rad/m 01.0

TRAVE POST-TESATRAVE POST-TESAPerdite di tensione per attrito: formula EC2Perdite di tensione per attrito: formula EC2


Pmax

x

Pmax-P

0.005 k 0.01 rad/m

TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITOTRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO- esempio numerico -- esempio numerico -






sez cavo xi

[cm]1 1600

1 2 16003 1600

1 15002 2 1500

3 1500

1 14003 2 1400

3 1400

1 700

4 2 700

3 700

1 0

5 2 0

3 0

1 2 3

4 5

yi ei

[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00

125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48

111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41

42.97 66.03

29.14 79.86

23.40 85.60

20.00 89.00

10.00 99.00

10.00 99.00

tgi

i sen

i cosi

0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962

0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967

0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971

0.0656 0.0655 0.0655 0.9979

0.0547 0.0546 0.0546 0.9985

0.0383 0.0383 0.0383 0.9993

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

spi

(i) N0i Ni Ti

[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548

N0,i

)j(p

)j(spi

)j( AN i,0

i)j()j( cosNN i,0i

i)j(

i)j()j(

i,0i,0i NsinNT

11963 133412 132112 1857811969 177958 176748 2071311977 178079 177483 14559

11927 133043 131912 1731311937 177546 176494 1930411954 177789 177270 13572

11669 130450 130170 8542

11718 174653 174393 9537

11792 175754 175626 6723

11415 127885 127885 0

11501 171791 171791 0

11632 173737 173737 0




sez cavo xi

[cm]1 1600

1 2 16003 1600

1 15002 2 1500

3 1500

1 14003 2 1400

3 1400

1 700

4 2 700

3 700

1 0

5 2 0

3 0

1 2 3

4 5

yi ei

[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00

125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48

111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41

42.97 66.03

29.14 79.86

23.40 85.60

20.00 89.00

10.00 99.00

10.00 99.00

tgi

i sen

i cosi

0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962

0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967

0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971

0.0656 0.0655 0.0655 0.9979

0.0547 0.0546 0.0546 0.9985

0.0383 0.0383 0.0383 0.9993

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

spi

(i) N0i Ni Ti

[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548

MPa 3.1196

z01.01397.01489.0f11200

zf1 )1()2()1()2(spispi

Sezione n.2

11963 133412 132112 1857811969 177958 176748 2071311977 178079 177483 14559

11927 133043 131912 1731311937 177546 176494 1930411954 177789 177270 13572

11669 130450 130170 8542

11718 174653 174393 9537

11792 175754 175626 6723

11415 127885 127885 0

11501 171791 171791 0

11632 173737 173737 0




sez cavo xi

[cm]1 1600

1 2 16003 1600

1 15002 2 1500

3 1500

1 14003 2 1400

3 1400

1 700

4 2 700

3 700

1 0

5 2 0

3 0

1 2 3

4 5

yi ei

[cm] [cm]140.00 -31.00110.00 -1.0080.00 29.00

125.47 -16.4797.89 11.1171.52 37.48

111.88 -2.8886.56 22.4463.59 45.41

42.97 66.03

29.14 79.86

23.40 85.60

20.00 89.00

10.00 99.00

10.00 99.00

tgi

i sen

i cosi

0.1500 0.1489 0.1483 0.98890.1250 0.1244 0.1240 0.99230.0875 0.0873 0.0872 0.9962

0.1406 0.1397 0.1393 0.99030.1172 0.1167 0.1164 0.99320.0820 0.0818 0.0818 0.9967

0.1313 0.1305 0.1301 0.99150.1094 0.1089 0.1087 0.99410.0766 0.0764 0.0763 0.9971

0.0656 0.0655 0.0655 0.9979

0.0547 0.0546 0.0546 0.9985

0.0383 0.0383 0.0383 0.9993

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

spi

(i) N0i Ni Ti

[kg/cm2] [kg] [kg] [kg]12000 133780 132300 1984512000 178370 176993 2212412000 178370 177691 15548

N0 e0 y

[kg] [cm] [cm]

486984 1.80 107.20

486343 13.24 95.76

485676 23.95 85.05

480188 78.21 30.79

473413 96.30 12.70

j)j(

00 NN

j

)j(0

j)j(

0)j(

00

N

eNe

0i,G eyy

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITIsecondo il D.M. 9 Gennaio 1996secondo il D.M. 9 Gennaio 1996



Effetti del ritiro del calcestruzzoEffetti del ritiro del calcestruzzo

Effetti del fluage del calcestruzzoEffetti del fluage del calcestruzzo

00030.0r

00025.0r

valori della deformazione

[MPa] 8.48000.19500025.0r

[MPa] 5.58000.19500030.0r

(applicazione dopo i 14 gg)

(applicazione prima di 14 gg)

La fibra di calcestruzzo posta a distanza ei dal baricentro (ed in corrispondenza del j-esimo trefolo/cavo è sottoposta alla seguente tensione per effetto dei carichi permanenti:

I

eM

I

eeN

AN i

*i

i,c00

c

i,ci,e

c

i,ci,e

i,ei,v

E0.20.2

E3.23.2

i,ci,vpi,v nE

[MPa] 8f9500E 3/1ckc

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITIsecondo il D.M. 9 Gennaio 1996secondo il D.M. 9 Gennaio 1996



Effetti del rilassamento dell’acciaioEffetti del rilassamento dell’acciaio

Se l’armatura da pretensione viene inizialmente sollecitata a livelli superiori al 50% della tensione di rottura (sspi >0.5fptk), si osserva che, a deformazione imposta costante, la tensione si riduce nel tempo.

Tipo di armatura r fili trafilati 0.15

spi

Trecce 0.20spi

Trefoli 0.18spi

barre laminate 0.12 spi

r

ptk

spiril

2

5.0f

16

Per la contemporanea presenza di ritiro e fluage le armature di precompressione non hanno una deformazione imposta costante; pertanto la caduta di tensione per rilassamento risulta minore e valutabile come segue:

rilspi

vrril

)(5.21

Armature post-tese: spi va considerato al netto delle cadute per attrito;

Armature pre-tese: spi è depurata delle cadute per def. elastica (tensione al disarmo);

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI- esempio numerico: sezione di mezzeria -- esempio numerico: sezione di mezzeria -


Bozza del 25/05/2010

MPa 0.6020000000030.0r

MPa 23.14698.103.279.5σΔ )1(v

MPa 41.3353.114118.05.01900

53.114116σΔ

2)1(

ril

MPa 32.1841.3352.1141

23.1460.605.21'σΔ )1(

ril

kN 28.102232.1823.14600.6053.11411115N )1(

kN 6773NNj

)j( 29.137674843

NN

β 0

n= 5.79

r= 0.0003 = 2.3

EP= 2000000 kg/cm2

Cavo n°1:e1= 89.00 cm

sspi

(1)= 1141.53 MPas

c= 10.98 MPa AP(1)= 11.15 cm2

Dsr(1)= 60.00 MPa Ds

sp(1)= 224.55 MPa

Dsf(1)= 146.23 MPa s

sp(1)= 916.98 MPa

Dsril

(1)= 33.41 MPa N(1)= 1022.28 kNDs

ril' (1)= 18.32 MPa

Cavo n°2:e2= 99.00 cm

sspi

(2)= 1150.12 MPas

c= 11.40 MPa AP(2)= 14.86 cm2


sp(2)= 231.68 MPa

Dsf(2)= 151.86 MPa s

sp(2)= 918.44 MPa

Dsril

(2)= 36.74 MPa N(2)= 1365.18 kNDs

ril' (2)= 19.82 MPa

Cavo n°3:e3= 99.00 cm

sspi

(3)= 1163.17 MPas

c= 11.40 MPa AP(3)= 14.86 cm2


sp(3)= 234.83 MPa

Dsf(3)= 151.86 MPa s

sp(3)= 928.34 MPa

Dsril

(3)= 42.17 MPa N(3)= 1379.91 kNDs

ril' (3)= 22.97 MPa

CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITICADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI


Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Ritiro

a cura di Enzo Martinelli

cd, h c0k

c0

2Ah

u

ckca,

f 102.5

1000000

Esempio

fck=40.0 MPa;Ac=1500 cm2;u=100 cm.

0h 300 mm

cd,

0.75 0.380.000285

1000

ca,

40 102.5 0.0000750

1000000

ca, 0.000350




Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Viscosità

a cura di Enzo Martinelli




Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Rilassamento

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80

m

pr

/pi

Classe 1

Classe 2

Classe 3

t=500000 h



Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008 – EC2

Caduta di tensione per effetti differiti nel generico cavo o trefolo

Contributo del Ritiro

Contributo del

Rilassamento

G

iQp

G

ii,Qp,c I

eM

IeeN

AN 00

Contributo della

Viscosità

Eccentricità del cavo risultante

Eccentricità del cavo i-esimo di cui si valuta la caduta di tensione

3.0ck

cm 10f

22000E

MPa195000Ep zcp

APPLICAZIONE NUMERICAAPPLICAZIONE NUMERICA



M5/12 M5/16 M5/16

e1= 890 mm e2= 990 mm e2= 990 mm

spi(1)= 1141.53 MPa

spi(2)= 1150.12 MPa

spi(2)= 1163.17 MPa

c,Qp

(1)= 10.98 MPa c,Qp

(2)= 10.98 MPa c,Qp

(2)= 10.98 MPa

cs= 0.00035 cs= 0.00035

cs= 0.00035m= 0.601 m= 0.605 m= 0.612

m1000= 2.50 m

1000= 2.50 m1000= 2.50

pr= 28.67 MPa

pr= 29.47 MPa pr= 30.73 MPa

f(t,t0)= 2.1 f(t,t0)= 2.1 f(t,t0)= 2.1Ep= 195000 MPa Ep= 195000 MPa Ep= 195000 MPafck= 40 MPa fck= 40 MPa fck= 40 MPa

Ecm= 35220 MPa Ecm= 35220 MPa Ecm= 35220 MPa

Ap= 1114.8 mm2Ap= 1486.4 mm2

Ap= 1486.4 mm2

Ac= 652800 mm2Ac= 652800 mm2

Ac= 652800 mm2

Ic= 4.16E+11 mm4Ic= 4.16E+11 mm4

Ic= 4.16E+11 mm4

zcp= 962.99 mm zcp= 962.99 mm zcp= 962.99 mm

p,c+s,r= 206.03 MPa p,c+s,r= 202.68 MPa

p,c+s,r= 203.61 MPa

N(1)= 1042.89 kN N(2)= 1408.28 kN N(2)= 1426.29 kN

N(1)DM96= 1022.28 kN N(2)

DM96= 1365.18 kN N(2)DM96= 1379.91 kN

2.02% 3.16% 3.36%

RISULTATI NUMERICI (D.M. 96)RISULTATI NUMERICI (D.M. 96)- Cadute di tensione istantanee -- Cadute di tensione istantanee -



sez cavo xi yi ei tgai

ai sena

i cosai

sspi

(i) N0i N0icosi N0isin

i N0 e0 y

[cm] [cm] [cm] [kg/cm2] [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm]

1 1600 140.00 -31.00 0.1500 0.1489 0.1483 0.9889 12000 133780 132300 198451 2 1600 110.00 -1.00 0.1250 0.1244 0.1240 0.9923 12000 178370 176993 22124 486984 1.80 107.20

3 1600 80.00 29.00 0.0875 0.0873 0.0872 0.9962 12000 178370 177691 15548

1 1500 125.47 -16.47 0.1406 0.1397 0.1393 0.9903 11963.3 133371 132072 185732 2 1500 97.89 11.11 0.1172 0.1167 0.1164 0.9932 11968.7 177904 176695 20706 486197 13.24 95.76

3 1500 71.52 37.48 0.0820 0.0818 0.0818 0.9967 11976.9 178026 177430 14555

1 1400 111.88 -2.88 0.1313 0.1305 0.1301 0.9915 11926.7 132963 131832 173033 2 1400 86.56 22.44 0.1094 0.1089 0.1087 0.9941 11937.4 177439 176388 19292 485384 23.95 85.05

3 1400 63.59 45.41 0.0766 0.0764 0.0763 0.9971 11953.7 177682 177164 13564

1 700 42.97 66.03 0.0656 0.0655 0.0655 0.9979 11669.2 130092 129813 8519

4 2 700 29.14 79.86 0.0547 0.0546 0.0546 0.9985 11717.8 174176 173916 9511 478876 78.21 30.79

3 700 23.40 85.60 0.0383 0.0383 0.0383 0.9993 11791.8 175276 175147 6705

1 0 20.00 89.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11415.3 127261 127261 0

5 2 0 10.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11501.2 170955 170955 0 471112 96.30 12.70

3 0 10.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11631.7 172896 172896 0

RISULTATI NUMERICI (D.M. 96)RISULTATI NUMERICI (D.M. 96)- Cadute di tensione per effetti differiti -- Cadute di tensione per effetti differiti -



M* sc(i) Ds

r(i) Ds

v(i) Ds

ril(i) Ds

ril'(i) Ds

diff(i) s

sp(i) Ni Nicos

i Nisini N0 e0 y

[kgcm] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg/cm2] [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm]

73.95 600.00 985.24 598.34 400.73 1985.97 10014.03 111639.7 110405 165610 74.58 600.00 993.65 598.34 399.68 1993.33 10006.67 148740.8 147095 18449 404487 1.71 107.29 1.20

75.21 600.00 1002.05 598.34 398.64 2000.69 9999.31 148631.4 146987 12956

73.26 600.00 976.12 579.15 388.40 1964.52 9998.83 111470.3 110384 155233366600 75.30 600.00 1003.25 581.92 387.04 1990.29 9978.39 148320.4 147312 17263 405260 13.20 95.80 1.20

77.25 600.00 1029.19 586.18 386.84 2016.02 9960.83 148059.5 147564 12105

74.00 600.00 985.96 560.33 374.06 1960.02 9966.71 111112.2 110167 144596516000 77.11 600.00 1027.37 565.78 372.95 2000.32 9937.07 147706.3 146831 16060 403939 23.89 85.11 1.21

79.93 600.00 1064.94 574.17 374.24 2039.19 9914.55 147371.5 146941 11250

97.13 600.00 1294.08 438.05 260.30 2154.38 9514.82 106074.4 105847 6946

22480200 102.11 600.00 1360.41 459.82 267.50 2227.91 9489.93 141059.8 140849 7703 388070 78.18 30.82 1.25

104.17 600.00 1387.95 494.11 285.86 2273.81 9518.01 141477.2 141374 5412

109.75 600.00 1462.32 334.07 183.19 2245.50 9169.78 102227.8 102228 0

27801600 113.98 600.00 1518.59 367.45 198.23 2316.82 9184.35 136517.8 136518 0 376736 96.29 12.71 1.29

113.98 600.00 1518.59 421.68 229.67 2348.25 9283.44 137990.7 137991 0

Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p

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