Value-At-Risk Estimation for Dynamic Hedging

8/12/2019 Value-At-Risk Estimation for Dynamic Hedging

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V A L U E - A T - R I S K V A R E S T I M A T I O N

F O R D Y N A M I C H E D G I N G

Y U J I Y A M A D A

y

J A M E S A . P R I M B S

C o n t r o l a n d D y n a m i c a l S y s t e m s

C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

M C 1 0 7 - 8 1 , P a s a d e n a , C A 9 1 1 2 5 , U S A

f y u j i , j p r i m b s g @ c d s . c a l t e c h . e d u

A B S T R A C T

I n t h i s w o r k , w e d e v e l o p a n e c i e n t m e t h o d o l o g y f o r a n a l y z i n g r i s k i n t h e w e a l t h b a l -

a n c e h e d g i n g e r r o r d i s t r i b u t i o n a r i s i n g f r o m a m e a n s q u a r e o p t i m a l d y n a m i c h e d g e

o n a E u r o p e a n c a l l o p t i o n , w h e r e t h e u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e p r o c e s s i s m o d e l e d o n a

m u l t i n o m i a l l a t t i c e . B y e x p l o i t i n g s t r u c t u r e i n m e a n s q u a r e o p t i m a l h e d g i n g p r o b l e m s ,

w e s h o w t h a t m o m e n t s o f t h e r e s u l t i n g w e a l t h b a l a n c e m a y b e c o m p u t e d d i r e c t l y a n d

e c i e n t l y o n t h e s t o c k l a t t i c e t h r o u g h t h e b a c k w a r d i t e r a t i o n o f a m a t r i x . B a s e d o n

t h i s m o m e n t i n f o r m a t i o n , c o n v e x o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s a r e t h e n u s e d t o e s t i m a t e t h e

V a l u e - a t - R i s k o f t h e h e d g e . T h i s m e t h o d o l o g y i s a p p l i e d t o a n u m e r i c a l e x a m p l e w h e r e

t h e V a l u e - a t - R i s k i s e s t i m a t e d f o r a h e d g e d E u r o p e a n c a l l o p t i o n o n a s t o c k m o d e l e d o n

a t r i n o m i a l l a t t i c e .

K e y w o r d s : D y n a m i c h e d g i n g , W e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n , M o m e n t s , B a c k w a r d e q u a -

t i o n , C o n v e x p r o b a b i l i t y b o u n d s

1 I n t r o d u c t i o n

O p t i o n p r i c i n g a n d h e d g i n g t h e o r y h a v e b e e n t h e c o r e o f m o d e r n m a t h e m a t i c a l

n a n c e s i n c e t h e d e r i v a t i o n o f t h e f a m o u s B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a 2 , w h i c h p r o v i d e d

a t h e o r e t i c a l v a l u e a n d h e d g i n g s t r a t e g y f o r E u r o p e a n c a l l p u t o p t i o n s . T h e k e y

t o t h e i r f o r m u l a i s t h a t t h e r e e x i s t s a t r a d i n g s t r a t e g y w h i c h c o n s t r u c t s a p o r t f o l i o

t h a t p e r f e c t l y r e p l i c a t e s t h e p a y o o f a c a l l o r p u t o p t i o n u n d e r t h e f o l l o w i n g t w o

a s s u m p t i o n s : t h e u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e f o l l o w s a g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n , a n d

P r e p r i n t a v a i l a b l e a t h t t p : w w w . c d s . c a l t e c h . e d u ~ y u j i .

y

I n a l l c o r r e s p o n d e n c e , c o n t a c t t h e r s t a u t h o r Y . Y a m a d a b y E - m a i l o r F a x : + 1 - 6 2 6 - 7 9 6 - 8 9 1 4 .

1



t r a d i n g m a y t a k e p l a c e i n c o n t i n u o u s t i m e . W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s , i t w a s s h o w n

t h a t t h e i n i t i a l v a l u e o f t h e r e p l i c a t i n g p o r t f o l i o p r o v i d e s t h e i n i t i a l p r i c e o f t h e

o p t i o n . M o r e o v e r , t h e B l a c k - S c h o l e s a n a l y s i s d e m o n s t r a t e d t h a t a n o p t i o n c a n b e

c r e a t e d s y n t h e t i c a l l y b y d y n a m i c a l l y t r a d i n g i n t h e u n d e r l y i n g a s s e t .

A n i m p o r t a n t i s s u e i n d y n a m i c h e d g i n g i s t h e f r e q u e n c y o f t r a d i n g . I d e a l l y ,

o n e m u s t a d j u s t t h e p o r t f o l i o c o n t i n u o u s l y t o r e p l i c a t e t h e p a y o o f a n o p t i o n

p e r f e c t l y . H o w e v e r , c o n t i n u o u s t r a d i n g i s n e v e r p o s s i b l e , a n d t h e r e a l w a y s e x i s t s

a h e d g i n g e r r o r , i . e . , p e r f e c t r e p l i c a t i o n i s n o t p o s s i b l e i f t h e m a r k e t i s i n c o m p l e t e

s e e e . g . , 1 2 , 2 2 , 2 3 . T h e f a i l u r e o f p o r t f o l i o i n s u r a n c e t e c h n i q u e s b a s e d u p o n

d y n a m i c h e d g i n g d u r i n g t h e c r a s h o f 1 9 8 7 p r o v i d e s a c l e a r e x a m p l e . A s n o t e d i n

C h a p t e r 1 3 o f 1 3 , s y n t h e t i c a l l y c r e a t i n g o p t i o n s o n a n i n d e x d o e s n o t w o r k w e l l

i f t h e v o l a t i l i t y o f t h e i n d e x c h a n g e s r a p i d l y o r t h e i n d e x e x h i b i t s l a r g e j u m p s .

O n M o n d a y , O c t o b e r 1 9 , 1 9 8 7 , p o r t f o l i o m a n a g e r s w h o h a d s y n t h e t i c a l l y c r e a t e d

o p t i o n s f o u n d t h a t t h e y w e r e u n a b l e t o s e l l e i t h e r s t o c k s o r i n d e x f u t u r e s f a s t e n o u g h

t o p r o t e c t t h e i r p o s i t i o n s , a n d a s a r e s u l t , s o m e o f t h e m s u s t a i n e d h e a v y l o s s e s . T h e

o b j e c t i v e o f t h i s w o r k i s t o p r o v i d e a n e w t o o l t o a n a l y z e t h e r i s k i n a d y n a m i c h e d g e

w h e n t h e m a r k e t i s i n c o m p l e t e .

I n t h i s w o r k , w e c h a r a c t e r i z e t h e r i s k i n a d y n a m i c h e d g e t h r o u g h t h e m o m e n t s

o f i t s e r r o r d i s t r i b u t i o n , a n d p r o p o s e a n e c i e n t m e t h o d f o r c o m p u t i n g t h e s e m o -

m e n t s . T h e c o m p u t a t i o n a l p r o c e d u r e r i d e s o n t o p o f s t a n d a r d l a t t i c e b a s e d p r i c i n g

a n d h e d g i n g t e c h n i q u e s i n a n i n c o m p l e t e m a r k e t 1 2 , 2 2 , 2 3 , 7 . I n p a r t i c u l a r , w e

i n v e s t i g a t e t h e c a s e o f m e a n s q u a r e o p t i m a l h e d g i n g f o r a E u r o p e a n c a l l o p t i o n ,

a l t h o u g h o t h e r t y p e s o f o p t i o n s m a y b e t r e a t e d i n a s i m i l a r m a n n e r s e e S e c t i o n

3 . B y e x p l o i t i n g s t r u c t u r e i n t h i s p r o b l e m , w e s h o w t h a t m o m e n t s m a y b e c o m -

p u t e d o n t h e a s s e t l a t t i c e t h r o u g h t h e b a c k w a r d i t e r a t i o n o f a m a t r i x . U s i n g c o n v e x

p r o b a b i l i t y b o u n d s , w e d e m o n s t r a t e t h a t t h e m o m e n t s c a n b e u s e d t o e s t i m a t e a

s p e c i e d q u a n t i l e o f t h e d i s t r i b u t i o n , c o m m o n l y r e f e r r e d t o a s i t s V a l u e - a t - R i s k

V a R i n n a n c i a l l i t e r a t u r e 1 6 , 1 9 .

T h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : T h e p r o b l e m f o r m u l a t i o n i s g i v e n i n S e c t i o n

2 . S e c t i o n 3 p r o v i d e s t h e m a i n r e s u l t . T h e s o l u t i o n t o t h e m e a n s q u a r e o p t i m a l

h e d g i n g p r o b l e m i s b r i e y r e v i e w e d , a n d t h e n w e p r e s e n t a r e c u r s i v e a l g o r i t h m t o

c o m p u t e a n y m o m e n t o f t h e r e s u l t i n g w e a l t h b a l a n c e . B a s e d o n t h e s e m o m e n t s , i n

S e c t i o n 4 w e d e m o n s t r a t e t h a t b o u n d s o n t h e V a R o f t h e w e a l t h b a l a n c e m a y b e

c o m p u t e d u s i n g c o n v e x p r o g r a m m i n g . N u m e r i c a l e x p e r i m e n t s i l l u s t r a t e t h e p r o -

p o s e d m e t h o d o l o g y i n S e c t i o n 5 a n d S e c t i o n 6 o e r s s o m e c o n c l u d i n g r e m a r k s .

2 P r o b l e m F o r m u l a t i o n

W e c o n s i d e r a m a r k e t o v e r t h e t i m e i n t e r v a l t 2 0 ; t

N

c o n s i s t i n g o f t w o b a s i c

s e c u r i t i e s , a r i s k l e s s b o n d a n d a r i s k y a s s e t o r s t o c k . T r a d e r s a r e a l l o w e d t o

p u r c h a s e a n d s e l l t h e s e s e c u r i t i e s a t t h e e q u a l l y s p a c e d d i s c r e t e t i m e s t

n

; n =

0 ; 1 ; : : : ; N w i t h t

0

= 0 . W e w i l l d e n o t e t h e p r i c e s o f t h e s t o c k a n d t h e b o n d a t t h e

d i s c r e t e t i m e s t = t

n

n = 0 ; 1 ; : : : ; N b y S

n

a n d B

n

, r e s p e c t i v e l y . I n t h i s p a p e r ,

w e w i l l m o d e l t h e d y n a m i c s o f t h e s e u n d e r l y i n g s e c u r i t i e s a s f o l l o w s :

2



B o n d : T h e p r i c e o f t h e b o n d w i l l s a t i s f y t h e r e l a t i o n

B

n

= R B

n , 1

; n = 1 ; : : : ; N ; 2 . 1

w i t h R : = 1 + r w h e r e r 0 r e p r e s e n t s a x e d i n t e r e s t r a t e .

S t o c k : W e a s s u m e t h a t t h e s t o c k p r i c e e v o l v e s r a n d o m l y o n a n L s t a t e l a t t i c e

m o d e l i . e . , g i v e n t h e p r i c e o f t h e s t o c k a t t = t

n , 1

; n = 1 ; : : : ; N , t h e r e a r e

L p o s s i b l e f u t u r e p r i c e s t h a t i t c a n t a k e a t t i m e t = t

n

. S u p p o s e t h a t u a n d

d s a t i s f y u d 0 , t h e n a m u l t i - n o m i a l l a t t i c e c a n b e c o n s t r u c t e d b y t a k i n g

t h e L p o s s i b l e f u t u r e s t a t e s f o r S

n

a s

S

n

= u

L , l

d

l , 1

S

n , 1

; l = 1 ; : : : L 2 . 2

w i t h p r o b a b i l i t i e s p

l

; l = 1 ; : : : L s a t i s f y i n g p

1

+

+ p

L

= 1 . I n t h i s c a s e , t h e

s t o c k m a y a c h i e v e n L , 1 + 1 p o s s i b l e p r i c e s a t t i m e t = t

n

; n = 0 ; : : : ; N

g i v e n b y

S

k

n

= u

n L , 1 + 1 , k

d

k , 1

S

0

; k = 1 ; : : : ; n L , 1 + 1 : 2 . 3

W e w i l l c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f h e d g i n g a E u r o p e a n c a l l o p t i o n t h r o u g h a s e l f -

n a n c i n g p o r t f o l i o c o n s i s t i n g o f t h e a b o v e s e c u r i t i e s . H e n c e , b e f o r e p r o c e e d i n g , l e t

u s d e n e t h e E u r o p e a n c a l l o p t i o n t o b e h e d g e d , a n d t h e r e p l i c a t i n g p o r t f o l i o .

E u r o p e a n C a l l O p t i o n : L e t C

n

d e n o t e t h e v a l u e o f a E u r o p e a n c a l l o p t i o n w h i c h

i s a s e c u r i t y w i t h p a y o

C

N

= S

N

, K

+

: = m a x S

N

, K ; 0 2 . 4

a t t h e e x p i r a t i o n d a t e t

N

, w h e r e K i s t h e s t r i k e p r i c e . T h i s p a y o r e p r e s e n t s

t h e o p t i o n , b u t n o t t h e o b l i g a t i o n , t o p u r c h a s e t h e s t o c k a t t h e e x p i r a t i o n

d a t e t

N

a t t h e s t r i k e p r i c e K .

S e l f - n a n c i n g R e p l i c a t i n g P o r t f o l i o : W e d e n e a p o r t f o l i o t o b e a c o u p l e

n

;

n

2

2

w h o s e v a l u e i s g i v e n b y

n

: =

n

S

n

+

n

B

n

2 . 5

a t t i m e t = t

n

n = 0 : : : N , w h e r e

n

r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f s h a r e s o f

s t o c k a n d

n

t h e n u m b e r o f b o n d s h e l d b y t h e t r a d e r d u r i n g t h e t i m e i n t e r v a l

t 2 t

n

; t

n + 1

. F i n a l l y , w e a s s u m e t h a t t h e p o r t f o l i o i s s e l f - n a n c i n g , i . e . ,

n , 1

S

n

+

n , 1

B

n

=

n

S

n

+

n

B

n

;

8

n = 1 : : : N : 2 . 6

F r o m 2 . 5 a n d 2 . 6 , w e m a y w r i t e t h e o v e r a l l p o r t f o l i o d y n a m i c s a s

n + 1

= R

n

+

n

S

n + 1

, R S

n

: 2 . 7

3



2 . 1 T h e W e a l t h B a l a n c e o f a D y n a m i c H e d g e

T h e w e a l t h b a l a n c e o f a h e d g e d c a l l o p t i o n w r i t e r c o r r e s p o n d s t o t h e v a l u e o f a

p o r t f o l i o c o n s i s t i n g o f w r i t i n g a n d t h e n h e d g i n g a E u r o p e a n c a l l o p t i o n . A t t i m e

t = 0 , t h e w r i t e r r e c e i v e s t h e p r i c e o f t h e o p t i o n C

0

a n d c o n s t r u c t s a s e l f - n a n c i n g

r e p l i c a t i n g p o r t f o l i o w i t h i n i t i a l w e a l t h

0

= C

0

. B e t w e e n t = 0 a n d t

N

, t h e w r i t e r

t r a d e s t h e u n d e r l y i n g a s s e t S

n

a n d b u y s o r s e l l s

n

,

n , 1

s h a r e s o f s t o c k , a d j u s t i n g

t h e p o r t f o l i o a t e v e r y t i m e s t e p t = t

n

n = 1 ; : : : ; N , 1 . A t t i m e t = t

N

, t h e

s e l f - n a n c i n g r e p l i c a t i n g p o r t f o l i o ' s v a l u e i s

N

, w h e r e

N

= R

N

0

+

N , 1

X

n = 0

R

N , n , 1

n

S

n + 1

, R S

n

; 2 . 8

a n d t h e w r i t e r l o s e s o r g a i n s t h e d i e r e n c e b e t w e e n

N

a n d C

N

. L e t W

N

d e n o t e

t h e n a l w e a l t h b a l a n c e o f t h e w r i t e r o f t h e c a l l o p t i o n a t t i m e t = t

N

. T h e n W

N

m a y b e c o m p u t e d a s

W

N

=

N

, C

N

= R

N

0

+

N , 1

X

n = 0

R

N , n , 1

n

S

n + 1

, R S

n

, S

N

, K

+

: 2 . 9

I f t h e r e e x i s t s a t r a d i n g s t r a t e g y

n

; n = 0 : : : N a n d a n i n i t i a l v a l u e o f t h e p o r t f o l i o

0

s u c h t h a t t h e n a l v a l u e o f t h e p o r t f o l i o p e r f e c t l y r e p l i c a t e s t h e n a l p a y o o f

t h e c a l l o p t i o n , i . e . , W

N

= 0 , t h e n t h e w r i t e r o f t h e c a l l o p t i o n d o e s n o t l o s e

o r g a i n a n y m o n e y a n d t h e h e d g i n g e r r o r i s a l w a y s z e r o . H o w e v e r , i n g e n e r a l a

h e d g i n g e r r o r a l w a y s o c c u r s e x c e p t i n c e r t a i n i d e a l i z e d m a r k e t s s u c h a s c o m p l e t e

m a r k e t s , a n d t h e w r i t e r o f t h e c a l l o p t i o n i s e x p o s e d t o t h e r i s k r e p r e s e n t e d b y t h e

w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n . A s a c o n s e q u e n c e , t h e a b i l i t y t o e s t i m a t e t h e r i s k i n

d y n a m i c h e d g e s c a n b e a v a l u a b l e t o o l .

I n t h i s p a p e r , w e m e a s u r e t h e r i s k i n d y n a m i c h e d g e s i n t e r m s o f t h e V a l u e -

a t - R i s k V a R o f t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n , w h e r e t h e V a R i s a m a x i m u m

a l l o w a b l e l o s s a t a s p e c i e d c o n d e n c e l e v e l . W e p r o p o s e a n e c i e n t m e t h o d o l o g y

t o e s t i m a t e t h e V a R w h i c h i n v o l v e s t h e f o l l o w i n g t w o s t e p s :

1 . U n d e r a m e a n s q u a r e o p t i m a l d y n a m i c h e d g i n g s t r a t e g y , w e s h o w t h a t t h e

m o m e n t s o f t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n m a y b e e c i e n t l y c a l c u l a t e d u s i n g

a b a c k w a r d r e c u r s i o n o n t h e u n d e r l y i n g s t o c k l a t t i c e s e e S e c t i o n 3 .

2 . W e t h e n a p p l y a c o n v e x o p t i m i z a t i o n a p p r o a c h t o c o m p u t e u p p e r a n d l o w e r

b o u n d s o n t h e V a R g i v e n t h e r s t m m o m e n t s o f t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u -

t i o n s e e S e c t i o n 4 .

S i n c e b o t h t h e m o m e n t e s t i m a t i o n p r o c e d u r e a n d u p p e r a n d l o w e r b o u n d p r o b l e m s

a r e e c i e n t , w e c o n c l u d e t h a t t h e r e s u l t i n g m e t h o d o l o g y p r o v i d e s a f a s t a n d e e c t i v e

a l g o r i t h m f o r e s t i m a t i n g t h e r i s k i n d y n a m i c h e d g e s .

4



3 M o m e n t C a l c u l a t i o n s i n O p t i m a l D y n a m i c H e d g -

i n g

I n t h i s s e c t i o n , w e p r o v i d e a m e t h o d f o r c a l c u l a t i n g t h e m o m e n t s o f t h e w e a l t h

b a l a n c e W

N

i n m i n i m u m m e a n s q u a r e e r r o r d y n a m i c h e d g i n g . W e b e g i n b y i n t r o -

d u c i n g a n o p t i m a l h e d g i n g s t r a t e g y t o m i n i m i z e t h e m e a n s q u a r e e r r o r o f t h e w e a l t h

b a l a n c e W

N

w h e n t h e u n d e r l y i n g s t o c k i s m o d e l e d o n a m u l t i n o m i a l l a t t i c e . W e

t h e n d e v e l o p a r e c u r s i o n a l g o r i t h m o n t h e u n d e r l y i n g s t o c k l a t t i c e w h i c h c o m p u t e s

m o m e n t s o f a n y o r d e r o f t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n .

3 . 1 O p t i m a l H e d g i n g S t r a t e g y

W e c o n s i d e r a h e d g i n g s c h e m e w h i c h m i n i m i z e s t h e m e a n s q u a r e v a l u e o f t h e w e a l t h

b a l a n c e i n t h e f o l l o w i n g s e n s e :

M e a n S q u a r e O p t i m a l H e d g i n g M S O H

G i v e n S

0

; K ; t

N

; N

M i n i m i z e E

,

W

2

N

S

0

;

0

S u b j e c t t o

n

2 ; n = 0 ; : : : ; N , 1 ;

0

2

3 . 1

w h e r e W

N

i s d e n e d i n 2 . 9 . T h i s p r o b l e m h a s b e e n c o n s i d e r e d e x t e n s i v e l y i n t h e

l i t e r a t u r e s e e , f o r i n s t a n c e 5 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 2 , 2 2 , 2 3 , a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n . H e n c e ,

w e w i l l n o t p r o v i d e a f u l l s o l u t i o n o f i t h e r e , b u t m e r e l y p o i n t o u t p r o p e r t i e s o f t h e

s o l u t i o n w h i c h a r e r e l e v a n t f o r o u r p u r p o s e s .

I n p a r t i c u l a r , o n e c a n s h o w t h a t t h e l o c a l h e d g i n g p a r a m e t e r

n

2 ; n =

0 ; : : : ; N , 1 i s a n e i n t h e p o r t f o l i o v a l u e . T h a t i s ,

n

=

n

S

n

n

+

n

S

n

; n = 0 ; : : : ; N , 1 : 3 . 2

W i t h o u t p r o v i d i n g f u l l j u s t i c a t i o n , t h i s r e s u l t i s i n t u i t i v e l y r e a s o n a b l e s i n c e t h e

p o r t f o l i o d y n a m i c s a r e l i n e a r i n

n

, a n d t h e c o s t i s q u a d r a t i c i n

n

, i n d i c a t i n g

t h a t t h e p r o b l e m h a s a l i n e a r - q u a d r a t i c s t r u c t u r e i n

n

. I n g e n e r a l , t h e s o l u t i o n s

t o l i n e a r - q u a d r a t i c p r o b l e m s h a v e t h e a b o v e s t r u c t u r e . W e w i l l u s e e q u a t i o n 3 . 2

w h e n w e c o m p u t e m o m e n t s i n S u b s e c t i o n 3 . 2 .

F i n a l l y , o n c e t h e o p t i m a l h e d g i n g s t r a t e g y h a s b e e n f o u n d , t h e o p t i m a l m e a n

s q u a r e e r r o r m a y b e c o m p u t e d a s a f u n c t i o n o f t h e i n i t i a l p o r t f o l i o v a l u e

0

. O n e

m a y t h e n m i n i m i z e t h e e r r o r o v e r t h e c h o i c e o f

0

t o n d t h e o p t i m a l i n i t i a l p o r t f o l i o

v a l u e . T h i s o p t i m i z a t i o n t u r n s o u t t o b e a s i m p l e q u a d r a t i c m i n i m i z a t i o n . I n t h i s

p a p e r , w e w i l l a s s o c i a t e t h i s o p t i m a l i n i t i a l p o r t f o l i o v a l u e w i t h t h e p r i c e " o f t h e

o p t i o n , a n d a s s i g n C

0

=

0

. U n d e r t h i s p r i c e , t h e a v e r a g e w e a l t h b a l a n c e s a t i s e s

E W

N

j S

0

;

0

= 0 8 , a n d t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n i n M S O H b e c o m e s t h e v a r i a n c e

o f t h e w e a l t h b a l a n c e . T h e r e f o r e , i n t h i s s i t u a t i o n , t h e M S O H p r o b l e m c a n b e

t h o u g h t o f a s m i n i m i z i n g t h e r i s k i n t h e h e d g e a s m e a s u r e d b y t h e v a r i a n c e s u b j e c t

t o a z e r o m e a n c o n s t r a i n t .

R e m a r k 3 . 1 I t h a s b e e n s h o w n t h a t t h e a b o v e p r i c e " c a n l e a d t o a r b i t r a g e o p p o r -

t u n i t i e s s e e t h e e x a m p l e b y S c h w e i z e r 2 3 . N e v e r t h e l e s s , i n k e e p i n g w i t h m e a n -

v a r i a n c e t h e o r y , w e w i l l c o n t i n u e t o r e f e r t o i t a s a p r i c e w i t h t h e p o s s i b i l i t y o f

a b u s e .

5



3 . 2 B a c k w a r d R e c u r s i v e C a l c u l a t i o n o f M o m e n t s

I n t h i s s e c t i o n w e p r o p o s e a r e c u r s i v e a l g o r i t h m t o n d m o m e n t s o f t h e w e a l t h

b a l a n c e b y s o l v i n g t h e p r o b l e m b a c k w a r d s o n a m u l t i n o m i a l s t o c k l a t t i c e . W e s h o w

t h a t t h e a l g o r i t h m c o m p u t e s m o m e n t s o f a n y o r d e r e c i e n t l y w i t h p o l y n o m i a l t i m e

c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T o e x p l a i n t h e i d e a , w e r s t c o n s i d e r t h e s e c o n d m o m e n t

c a s e , a n d t h e n g e n e r a l i z e t o t h e m - t h m o m e n t c a s e .

3 . 2 . 1 C o m p u t a t i o n o f t h e S e c o n d M o m e n t

W e w i l l r s t w r i t e W

2

N

a s a q u a d r a t i c f o r m i n

N

, a n d t h e n u s e t h e p r o p e r t y o f

n e s t e d e x p e c t a t i o n s t o d e r i v e a r e c u r s i o n f o r t h e q u a d r a t i c f o r m .

1

L e t ' s b e g i n b y w r i t i n g W

2

N

a s a q u a d r a t i c f o r m i n

N

.

W

2

N

=

N

, C

N

2

=

N

1

T

H

N

N

1

; H

N

=

1 , C

N

, C

N

C

2

N

; 3 . 3

w h e r e C

N

= S

N

, K

+

. T h e s e c o n d m o m e n t o f t h e w e a l t h b a l a n c e W

N

i s g i v e n a s

E

,

W

2

N

j S

0

;

0

= E

N

1

T

H

N

N

1

S

0

;

0

!

: 3 . 4

N o w w e a r e r e a d y t o a p p l y t h e p r o p e r t y o f n e s t e d e x p e c t a t i o n s . C o n d i t i o n i n g

o n

N , 1

a n d S

N , 1

g i v e s

E

N

1

T

H

N

N

1

S

0

;

0

!

= E

E

N

1

T

H

N

N

1

S

N , 1

;

N , 1

!

S

0

;

0

!

:

F o c u s i n g o n t h e i n n e r e x p e c t a t i o n a n d w r i t i n g

N

i n t e r m s o f

N , 1

u s i n g 2 . 7

a n d 3 . 2 a s f o l l o w s ,

N

1

= J

N

N , 1

1

;

w h e r e

J

N

: =

R +

N , 1

S

N , 1

S

N

, R S

N , 1

N , 1

S

N , 1

S

N

, R S

N , 1

0 1

1

T h o s e f a m i l i a r w i t h t h e t h e o r y o f M a r k o v p r o c e s s e s w i l l n o t e t h a t w e a r e s o l v i n g t h e s o - c a l l e d

b a c k w a r d e q u a t i o n 1 1 .

6



l e a d s t o

E

N

1

T

H

N

N

1

S

N , 1

;

N , 1

!

= E

N , 1

1

T

J

T

N

H

N

J

N

N , 1

1

S

N , 1

;

N , 1

!

=

N , 1

1

T

E

,

J

T

N

H

N

J

N

j S

N , 1

N , 1

1

T

: 3 . 5

L e t t i n g

H

N , 1

: = E

,

J

T

N

H

N

J

N

j S

N , 1

3 . 6

a n d c o n t i n u i n g i n t h i s m a n n e r b y c o n d i t i o n i n g a t t i m e N , 2 , N , 3 , e t c . , a n d

d e n i n g t h e g e n e r a l r e c u r s i o n r e l a t i o n ,

H

n , 1

: = E

,

J

T

n

H

n

J

n

S

n , 1

; 3 . 7

w h e r e

J

n

: =

R +

n , 1

S

n , 1

S

n

, R S

n , 1

n , 1

S

n , 1

S

n

, R S

n , 1

0 1

a l l o w s o n e t o i t e r a t e b a c k w a r d s t o n d H

0

. O n c e H

0

i s a t t a i n e d , t h e s e c o n d m o m e n t

a t t i m e t = 0 i s c o m p u t e d a s

E

,

W

2

N

j S

0

;

0

=

0

1

T

H

0

0

1

; 3 . 8

w h i c h i s t h e d e s i r e d q u a n t i t y .

3 . 2 . 2 T h e G e n e r a l C a s e

T h e a b o v e a l g o r i t h m c a n r e a d i l y b e g e n e r a l i z e d t o t h e h i g h e r o r d e r m o m e n t c a s e

w h e r e w e a r e c o m p u t i n g E W

m

N

jS

0

;

0

: T h e o n l y d i e r e n c e i s t h a t w e u s e a

p o l y n o m i a l f o r m

2

6

6

6

6

6

4

h

n

h , 1

n

.

.

.

n

1

3

7

7

7

7

7

5

T

H

n

2

6

6

6

6

6

4

h

n

h , 1

n

.

.

.

n

1

3

7

7

7

7

7

5

; n = 0 ; : : : ; N ; 3 . 9

t o c o m p u t e t h e m - t h o r d e r m o m e n t , w h e r e H

n

2

l + 1 l + 1

a n d h : = d m = 2 e . F o r

e x a m p l e , H

N

c a n r e a d i l y b e c o m p u t e d a s a m a t r i x s a t i s f y i n g

W

N

m

=

N

, C

N

m

=

2

6

6

6

6

6

4

h

N

h , 1

N

.

.

.

N

1

3

7

7

7

7

7

5

T

H

N

2

6

6

6

6

6

4

h

N

h , 1

N

.

.

.

N

1

3

7

7

7

7

7

5

: 3 . 1 0

7



T a b l e 1 p r o v i d e s t h e i ; j - e n t r y o f H

N

, w h e r e h : = d m = 2 e a n d

H

N

1 ; 1 = 0 m o d d ; H

N

1 ; 1 = 1 m e v e n : 3 . 1 1

T a b l e 1 : H

N

i ; j f o r m - t h m o m e n t

3 i + j h + 2 h + 2 i + j 2 h + 2

m o d d

, C

N

i + j , 3

i + j , 1

m

i + j , 3

, C

N

i + j , 3

m + 4 , i + j

m

i + j , 3

m e v e n

, C

N

i + j , 2

i + j , 1

m

i + j ,

2

, C

N

i + j , 2

m + 3 , i + j

m

i + j ,

2

M o r e o v e r , J

n

i s a m a t r i x s a t i s f y i n g

2

6

6

6

6

6

4

h

n

h , 1

n

.

.

.

n

1

3

7

7

7

7

7

5

= J

n

2

6

6

6

6

6

4

h

n , 1

h , 1

n , 1

.

.

.

n , 1

1

3

7

7

7

7

7

5

; J

n

2

h + 1 h + 1

; 3 . 1 2

a n d c a n b e c o m p u t e d b y u s i n g 2 . 7 a n d 3 . 2 w h e r e

J

n

i ; j = 0 i f j i , 1 ,

J

n

i ; j =

h ,

i + 1

j , i

R +

n , 1

S

n , 1

S

n

, R S

n , 1

h , j + 1

n , 1

S

n , 1

S

n

, R S

n , 1

j , i

o t h e r w i s e . 3 . 1 3

3 . 2 . 3 A l g o r i t h m a n d C o m p u t a t i o n a l C o m p l e x i t y A n a l y s i s

W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o p r o p o s e a n a l g o r i t h m t o c o m p u t e t h e m - t h m o m e n t o f

t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n :

A l g o r i t h m 1

S t e p 1 : G i v e n m , t h e s t o c k p r o c e s s i n 2 . 2 w i t h p r o b a b i l i t i e s p

l

; l = 1 ; : : : ; L ,

a n d t h e s t o c k p r i c e s o n t h e m u l t i n o m i a l l a t t i c e i n 2 . 3 . C o m p u t e H

N

f o r a l l

S

N

= S

k

N

; k = 1 ; : : : ; N L , 1 + 1 .

S t e p 2 : R e p e a t t h e f o l l o w i n g s t e p f o r n = N , 1 ; : : : ; 0 u n t i l H

0

i s a t t a i n e d :

8



C o m p u t e H

n

= E

,

J

T

n + 1

H

n + 1

J

n + 1

S

n

f o r a l l S

n

= S

k

n

; k = 1 ; : : : ; n L ,

1 + 1 .

S t e p 3 L e t

E W

m

N

jS

0

;

0

=

2

6

6

6

6

6

4

h

0

h , 1

0

.

.

.

0

1

3

7

7

7

7

7

5

T

H

0

2

6

6

6

6

6

4

h

0

h , 1

0

.

.

.

0

1

3

7

7

7

7

7

5

: 3 . 1 4

I n t h e a b o v e a l g o r i t h m , w e c a l c u l a t e H

n

a t e a c h n o d e f o r n = N , 1 ; : : : ; 0 ,

m o v i n g b a c k w a r d a l o n g t h e s t o c k l a t t i c e t o n d H

0

. T h e r e f o r e t h e n u m b e r o f

i t e r a t i o n s i s d e t e r m i n e d b y t h e n u m b e r o f n o d e s o n t h e m u l t i n o m i a l l a t t i c e . L e t

N b e t h e t o t a l n u m b e r o f i t e r a t i o n s . S i n c e t h e p o s s i b l e n u m b e r o f s t a t e s f o r H

n

i s n L , 1 + 1 a t e a c h t i m e s t e p n , t h e t o t a l n u m b e r o f i t e r a t i o n s , N , i s g i v e n

b y

N =

N , 1

X

n = 0

n L , 1 + 1 =

N L , 1 N , 1 + 2

2

: 3 . 1 5

C o n d i t i o n 3 . 1 5 s h o w s t h a t t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s u s e d i n A l g o r i t h m 1 i s o f s q u a r e

o r d e r w i t h r e s p e c t t o t h e n u m b e r o f p e r i o d s N a n d t h a t t h e t o t a l c o m p u t a t i o n a l

c o m p l e x i t y i s o f p o l y n o m i a l o r d e r i n N ; L . N o t e t h a t t h e a l g o r i t h m c a n s t i l l b e

c o n s i d e r e d c o m p u t a t i o n a l l y t r a c t a b l e e v e n i f w e i n c r e a s e t h e n u m b e r o f b r a n c h e s ,

L , s i n c e N i s a l i n e a r f u n c t i o n o f L .

R e m a r k 3 . 2 I n g e n e r a l , e x a c t c o m p u t a t i o n o f t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n i s

d i c u l t . T h i s i s b e c a u s e t h e p o s s i b l e s t a t e s f o r

N

g r o w s e x p o n e n t i a l l y i n t h e t i m e

s t e p n , i . e . , e . g . , L

n

i n t h e L s t a t e m u l t i n o m i n a l l a t t i c e c a s e . I n o t h e r w o r d s , e x a c t

c o m p u t a t i o n o f t h e V a R m a y i n v o l v e a n e x p o n e n t i a l o r d e r c o m p u t a t i o n a n d h e n c e

i s g e n e r a l l y c o m p u t a t i o n a l l y i n t r a c t a b l e f o r i n s t a n c e , a 2 0 s t e p t r i n o m i a l l a t t i c e f o r

t h e s t o c k w o u l d l e a d t o m o r e t h a n 3 : 4 8 1 0

9

s t a t e s f o r W

N

. O n t h e o t h e r h a n d , o u r

p r o p o s e d m e t h o d o l o g y f o r c a l c u l a t i n g m o m e n t s i s h i g h l y t r a c t a b l e s i n c e t h e m o m e n t s

a r e c o m p u t e d i n p o l y n o m i a l t i m e b y p r o p a g a t i n g m a t r i c e s H

n

n = 0 ; : : : ; N a s

g i v e n i n A l g o r i t h m 1 .

A l t h o u g h w e h a v e o n l y e x p l a i n e d t h e m o m e n t c o m p u t a t i o n p r o c e d u r e f o r a E u -

r o p e a n c a l l o p t i o n , t h e s a m e a p p r o a c h c a n b e e x t e n d e d t o o t h e r t y p e s o f o p t i o n s ,

i n c l u d i n g m a n y e x o t i c s s u c h a s b a r r i e r s , c o m p o u n d s , a n d o t h e r s a n d o p t i o n s w i t h

t i m e o p t i o n a l i t y s u c h a s A m e r i c a n s a n d B e r m u d a n s . T h e a b o v e a l g o r i t h m o n l y

r e q u i r e s a c h a n g e i n t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n " c o r r e s p o n d i n g t o t h e a p p r o p r i a t e o p -

t i o n t y p e , a n d p r o p e r d i s c o u n t i n g t o a c c o u n t f o r t h e t i m e v a l u e o f d i e r e n t w e a l t h

b a l a n c e c a s h o w s . F o r e x a m p l e , a n A m e r i c a n c a l l o p t i o n w o u l d r e q u i r e t h e a d d i -

t i o n a l c o n d i t i o n t h a t

^

C

n

S

n

, K

+

i n a d d i t i o n t o

^

C

N

= S

N

, K

+

, w h e r e

^

C

n

d e n o t e s t h e v a l u e o f t h e o p t i o n a t t i m e n 2 0 ; N . F u r t h e r m o r e , i f a l l c a s h o w s

a r e d i s c o u n t e d t o t h e e x p i r a t i o n d a t e , t h e w e a l t h b a l a n c e o f a h e d g e d A m e r i c a n c a l l

o p t i o n w r i t e r w o u l d b e W

N

=

N

, S

N

, K

+

i f n o e a r l y e x e r c i s e o c c u r r e d , a n d

W

N

= R

N , n

h

n

, S

n

, K

+

i

i n t h e c a s e o f a n e a r l y e x e r c i s e a t t i m e t

n

.

9



4 V a R E s t i m a t i o n U n d e r M o m e n t C o n s t r a i n t s

I n t h i s s e c t i o n w e a p p l y c o n v e x o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s t o t h e p r o b l e m o f e s t i m a t i n g

t h e V a l u e - a t - R i s k o f t h e w e a l t h b a l a n c e W

N

u n d e r m o m e n t c o n s t r a i n t s .

4 . 1 C o n v e x O p t i m i z a t i o n B o u n d s o n V a R

A s a m e a s u r e o f r i s k i n a d i s t r i b u t i o n , f o r a g i v e n w e w i s h t o n d t h e v a l u e o f t h e

w e a l t h b a l a n c e w

s u c h t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f e x c e e d i n g t h i s v a l u e i s , i . e .

Z

1

w

f

W

N

x d x = ;

w h e r e f

W

N

x i s t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n o f W

N

. T h e s o - c a l l e d r e l a t i v e

V a l u e - a t - R i s k i s t h e n d e n e d a s f o l l o w s 1 6 ,

V a R W

N

; : = E W

N

,

w

= ,

w

: 4 . 1

w h e r e l a s t e q u a l i t y h o l d s s i n c e E W

N

= 0 s e e S u b s e c t i o n 3 . 1 .

F o r e x a m p l e , i f i s 0 : 9 5 a n d V a R W

N

; = 0 : 9 5 = , w

, t h e n t h e w r i t e r o f

t h e c a l l o p t i o n i s 9 5 c e r t a i n t h a t h e w i l l n o t l o s e m o r e t h a n w

d o l l a r s i n t h e

h e d g e . N o t e t h a t t h e V a l u e - a t - R i s k , w

, c a n a l s o b e t h o u g h t o f a s t h e q u a n t i l e o f

t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n s u c h t h a t t h e p r o b a b i l i t y o f a v a l u e l o w e r t h a n w

i s 1 , , a s s h o w n i n F i g . 1 .

VaR(W )N γ ,

WN

0

(1−γ) 100 %

w*

−w*=

x

f ( x)

F i g . 1 : V a R o f t h e w e a l t h b a l a n c e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n

O u r a p p r o a c h w i l l b e t o a p p r o x i m a t e t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n b y a p r o b -

a b i l i t y d e n s i t y w h o s e r s t m m o m e n t s a r e t h e s a m e a s t h o s e f o r t h e w e a l t h b a l a n c e

1 0



d i s t r i b u t i o n . S u p p o s e t h a t t h e r s t m m o m e n t s o f t h e w e a l t h b a l a n c e W

N

w e r e

o b t a i n e d f r o m A l g o r i t h m 1 a s

q

k

: = E

,

W

k

N

S

0

;

0

; k = 1 ; : : : ; m : 4 . 2

a n d c o n s i d e r t h e s e t o f p r o b a b i l i t y d e n s i t y f u n c t i o n s

Q q

1

; : : : ; q

m

: =

x 0

Z

1

, 1

x

k

x d x = q

k

; q

0

= 1 ; k = 0 ; 1 ; : : : ; m

:

4 . 3

W e w i l l c h o o s e a x f r o m Q q

1

; : : : ; q

m

a n d e s t i m a t e t h e V a R o f W

N

f r o m t h a t

p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n . M o r e s p e c i c a l l y , w e w i l l u s e a w o r s t c a s e a p p r o a c h i n t h e

s e n s e o f V a R e s t i m a t i o n i n t h a t w e w i l l c h o o s e t h e d e n s i t y f r o m Q q

1

; : : : ; q

m

w h i c h

m a x i m i z e s t h e p o s s i b l e l o s s u n d e r t h e m o m e n t c o n s t r a i n t s . T h i s c a n b e w r i t t e n a s

t h e f o l l o w i n g m a x i m i z a t i o n :

2

X

u

: = m a x

X

x 2 Q q

1

; : : : ; q

m

;

Z

1

, X

x d x =

4 . 4

N o t e t h a t i n s o m e o p t i m a l p o r t f o l i o a s s e t a l l o c a t i o n l i t e r a t u r e , t h e w o r s t c a s e e s t i -

m a t e o f V a R u n d e r m o m e n t c o n d i t i o n s i s r e f e r r e d t o a s w o r s t c a s e V a R " 6 , 1 8 .

S i n c e t h e e s t i m a t e i n 4 . 4 i s t h e w o r s t p o s s i b l e g i v e n t h e m o m e n t c o n s t r a i n t s ,

i t s h o u l d b e c l e a r t h a t t h e t r u e V a R o f W

N

i s l e s s t h a n X

u

. S i m i l a r l y , o n e m a y

b o u n d t h e V a R f r o m b e l o w b y s o l v i n g :

X

l

: = m i n

X

x 2 Q q

1

; : : : ; q

m

;

Z

1

, X

x d x =

: 4 . 5

w h e r e t h e g a p b e t w e e n X

u

a n d X

l

i s r e d u c e d w i t h a d d i t i o n a l m o m e n t i n f o r -

m a t i o n .

R e m a r k 4 . 1 I n g e n e r a l , o n e m a y c h o o s e a n a r b i t r a r y d e n s i t y f u n c t i o n i n t h e s e t

Q q

1

; : : : ; q

m

a n d u s e t h a t t o e s t i m a t e t h e V a R . I n p a r t i c u l a r , u s i n g a G a u s s i a n

a p p r o x i m a t i o n c a n b e t h o u g h t o f a s t t i n g t h e r s t t w o m o m e n t s , w h i l e o t h e r d i s t r i -

b u t i o n s s u c h a s t h e J o h n s o n 1 4 , P e a r s o n 1 7 , a n d g e n e r a l i z e d l a m b d a 2 1 a l l o w

f o r t t i n g u p t o f o u r m o m e n t s a n d p r o v i d e m o r e a c c u r a t e e s t i m a t e s o f V a R t h a n

a G a u s s i a n . B e y o n d f o u r m o m e n t s , a d i e r e n t a p p r o a c h m u s t b e e m p l o y e d d u e

t o t h e l a c k o f c o n v e n i e n t p a r a m e t e r i z a t i o n s o f d e n s i t i e s . S t a n d a r d n o n - p a r a m e t r i c

a p p r o a c h e s b a s e d o n c u m u l a n t e x p a n s i o n s e x i s t e . g . C o r n i s h - F i s h e r E x p a n s i o n s

1 7 , 1 5 . H o w e v e r , t h e y d o n o t r e q u i r e t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g d e n s i t y f u n c t i o n

b e p o s i t i v e . D u e t o t h e s e d i c u l t i e s , w e h a v e c h o s e n t o e m p l o y a n o p t i m i z a t i o n

a p p r o a c h w h i c h n o t o n l y c a n b e i m p l e m e n t e d e c i e n t l y , b u t a l l o w s f o r t h e i n c o r p o -

r a t i o n o f h i g h e r o r d e r m o m e n t s .

2

I n 4 . 4 , , X c o r r e s p o n d s t o w

.

1 1



4 . 2 S o l u t i o n o f O p t i m i z a t i o n s

I n t h e o p t i m i z a t i o n 4 . 4 , t h e c o n s t r a i n t s a r e c o n v e x w i t h r e s p e c t t o x . T h e r e f o r e ,

i f X w e r e x e d , t h e p r o b l e m o f m i n i m i z i n g t h r o u g h a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f

x w o u l d b e a n i n n i t e d i m e n s i o n a l c o n v e x o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . B a s e d o n t h e

r e s u l t s o f B e r t s i m a s a n d P o p e s c u 3 , t h e d u a l o f t h i s p r o b l e m m a y b e r e d u c e d t o

a s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g p r o b l e m w h i c h c a n b e s o l v e d e c i e n t l y u s i n g i n t e r i o r

p o i n t m e t h o d s .

T h e d u a l p r o b l e m c a n b e i n t e r p r e t e d a s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e w e l l k n o w n

M a r k o v a n d C h e b y s h e v b o u n d s , a n d t h e s o l u t i o n t o t h e d u a l p r o b l e m i s e q u a l t o

t h e s o l u t i o n o f t h e p r i m a l . T h e b a s i c i d e a i s a s f o l l o w s : T h e p r o b a b i l i t y i n t h e t a i l

o f a d i s t r i b u t i o n c a n b e t h o u g h t o f a s a n e x p e c t a t i o n o f a n i n d i c a t o r f u n c t i o n , i . e . ,

P r o b W

N

x = E 1

f W

N

j W

N

x g

: 4 . 6

I f a n o t h e r f u n c t i o n b o u n d s t h i s i n d i c a t o r f u n c t i o n f r o m a b o v e , t h e n i t s e x p e c t a t i o n

w i l l b e a n u p p e r b o u n d o n P r o b W

N

x . T h e M a r k o v b o u n d u s e s a l i n e a r f u n c -

t i o n t o b o u n d t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n a n d r e q u i r e s k n o w l e d g e o f t h e m e a n o f t h e

d i s t r i b u t i o n , w h i l e t h e C h e b y s h e v b o u n d u s e s a q u a d r a t i c a n d r e q u i r e s k n o w l e d g e

o f t h e m e a n a n d v a r i a n c e . I n g e n e r a l , w e m a y b o u n d t h e i n d i c a t o r f u n c t i o n w i t h a

p o l y n o m i a l o f o r d e r m , i n w h i c h c a s e w e n e e d m m o m e n t s o f t h e d i s t r i b u t i o n . T h e

o p t i m i z a t i o n i s t h e n t o n d t h e b e s t m - t h o r d e r p o l y n o m i a l w h i c h b o u n d s t h e i n -

d i c a t o r f u n c t i o n . T h i s p r o b l e m c a n b e r e f o r m u l a t e d a s a s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g

p r o b l e m a n d s o l v e d e c i e n t l y .

W e c a n u s e t h i s t o s o l v e f o r t h e w o r s t c a s e V a R , X

u

b y i t e r a t i n g o n X a s

f o l l o w s . F o r e a c h g i v e n v a l u e o f X w e c a n c o m p u t e t h e m i n i m u m c o r r e s p o n d i n g

u s i n g s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g . I f

i s l e s s t h a n t h e d e s i r e d , w e i n c r e a s e X ,

o t h e r w i s e , w e d e c r e a s e X , u n t i l w e e v e n t u a l l y a c h i e v e X s u c h t h a t t h e m i n i m u m

i s t h e d e s i r e d . A t t h a t p o i n t , X w i l l b e t h e w o r s t c a s e V a R X

u

.

T h e i t e r a t i o n o v e r X c a n b e d o n e m o r e f o r m a l l y a s a b i s e c t i o n a l g o r i t h m . I f w e

b e g i n w i t h u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n X

u

,

X

1

X

u

X

2

:

t h e n w e c a n n d t h e w o r s t c a s e V a R w i t h a r b i t r a r i l y s m a l l t o l e r a n c e 0 b y s o l v i n g

N s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g p r o b l e m s w h e r e N i s g i v e n b y :

N =

l n

X

2

, X

1

1

l n 2

:

S i m i l a r l y , a l o w e r b o u n d X

l

c a n b e f o u n d w i t h a r b i t r a r i l y s m a l l t o l e r a n c e 0

b y s o l v i n g s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g p r o b l e m s . S e e 3 f o r t h e e x a c t s e m i d e n i t e

p r o g r a m m i n g c o n d i t i o n s .

I f w e h a v e a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u t t h e a l l o w a b l e s e t o f p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s

f o r W

N

, i t i s p o s s i b l e t o i m p r o v e t h e b o u n d s , a n d t h e p r o b l e m s m a y s t i l l b e c o n -

s i d e r e d c o m p u t a t i o n a l l y t r a c t a b l e i f t h e s e t o f x i s c h a r a c t e r i z e d a s a c o n v e x s e t .

F o r e x a m p l e , w e m i g h t b e a b l e t o a d d m o n o t o n i c i t y c o n s t r a i n t s " o r a m a x i m u m

l i k e l i h o o d c o n d i t i o n " w i t h r e s p e c t t o t h e m e a n v a l u e q

1

o f t h e d i s t r i b u t i o n s u c h a s

d

d x

0 i f x q

1

;

d

d x

0 i f x q

1

;

d

d x

x = q

1

= 0 : 4 . 7

1 2



A s w i l l b e c o n r m e d b y n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s i n t h e n e x t s e c t i o n , t h e w e a l t h b a l -

a n c e d i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t e l y s a t i s e s t h e s e c o n d i t i o n s a n d i t i s f a i r t o s a y t h a t

t h e s e a r e r e a s o n a b l e a s s u m p t i o n s . M o r e o v e r , s i n c e t h e s e t o f x u n d e r t h e c o n d i -

t i o n s i n 4 . 7 i s c o n v e x , t h e p r o b l e m o f c o m p u t i n g V a R i s s t i l l t r a c t a b l e . A l t h o u g h

i t a p p e a r s t h a t t h i s p r o b l e m m a y n o t b e r e c a s t a s a s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g

p r o b l e m , i t i s p o s s i b l e t o a p p l y a l i n e a r p r o g r a m m i n g a p p r o a c h b y d i s c r e t i z i n g t h e

p r o b l e m . N o t e t h a t t h e l i n e a r p r o g r a m m i n g a p p r o a c h i s c o m p u t a t i o n a l l y t r a c t a b l e

e v e n t h o u g h w e m a y h a v e m o r e t h a n 1 0 , 0 0 0 t o t a l v a r i a b l e s a n d a p p r o x i m a t e t h e

p r o b a b i l i t y d e n s i t y a s a p r o b a b i l i t y m a s s f u n c t i o n o v e r a f e w t h o u s a n d g r i d p o i n t s

i n x .

I n t h e n e x t s e c t i o n , w e w i l l i l l u s t r a t e o u r p r o p o s e d m e t h o d o l o g y f o r c a l c u l a t i n g

u p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n t h e V a R .

5 N u m e r i c a l E x p e r i m e n t s

I n t h i s s e c t i o n , w e e s t i m a t e t h e V a R i n a m e a n s q u a r e o p t i m a l h e d g e f o r a E u r o p e a n

c a l l o p t i o n . A f t e r c o m p u t i n g m o m e n t s o f t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n , w e r s t

a p p l y t h e s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g a p p r o a c h t o n d h a r d u p p e r a n d l o w e r b o u n d s

o n t h e V a R . T h e s e b o u n d s a r e t h e n i m p r o v e d b y p o s i n g a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t s a s

i n 4 . 7 .

5 . 1 P r o b l e m D a t a

W e c o n s i d e r e d a d i s c r e t e t i m e m a r k e t w i t h t

N

= 8 m o n t h s , w h e r e N = 3 2 a n d

r e p r e s e n t s a p p r o x i m a t e l y 4 t r a d e s e v e r y m o n t h .

T h e u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e p r o c e s s w a s m o d e l e d o n a t r i n o m i a l l a t t i c e t o a p -

p r o x i m a t e t h e g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n :

d S

t

= S

t

d t + S

t

d z : S

0

= 1 0 0

w i t h = 0 : 1 5 ; = 0 : 2 0 w h e r e z i s a B r o w n i a n m o t i o n . A c c o r d i n g l y , t h e u p ,

m i d d l e , a n d d o w n p r o b a b i l i t i e s a n d r a t e s o n t h e l a t t i c e s e e F i g . 2 w e r e g i v e n b y :

p

1

; p

2

; p

3

: = 1 = 6 ; 2 = 3 ; 1 = 6

m : = e x p t ; u : = m e x p

p

3 t

; d : = m e x p

,

p

3 t

; 5 . 1

w h e r e : = ,

2

= 2 a n d t = t

N

= 1 2 N . F i n a l l y , f o r t h e b o n d w e c h o s e

R = e x p r

f

t w i t h r

f

= 0 : 1 0 .

W e c o n s i d e r e d t h e p r o b l e m o f h e d g i n g t h r e e E u r o p e a n c a l l o p t i o n s o n t h e s t o c k ,

a l l w i t h e x p i r a t i o n a t t

N

, a n d w i t h s t r i k e p r i c e s K = 9 0 ; 1 0 0 ; 1 3 0 ; w h i c h c o r r e s p o n d

t o t h e o p t i o n b e i n g i n - t h e - m o n e y I T M , a t - t h e - m o n e y A T M , a n d o u t - o f - t h e -

m o n e y O T M , r e s p e c t i v e l y .

5 . 2 C o m p u t a t i o n o f M o m e n t s a n d B o u n d s o n V a R

U s i n g d y n a m i c p r o g r a m m i n g , w e s o l v e d t h e m e a n s q u a r e o p t i m a l h e d g i n g p r o b l e m

w i t h K = 9 0 ; 1 0 0 ; 1 3 0 t o n d t h e o p t i m a l i n i t i a l p r i c e C

0

=

0

a n d t h e o p t i m a l

1 3



p2

p1

p3

S u

S m

S d

S

F i g . 2 : T r i n o m i a l l a t t i c e s t o c k p r o c e s s

l o c a l h e d g i n g p a r a m e t e r s

k

S

k

a n d

k

S

k

; k = 0 ; : : : ; N , 1 . T h e o p t i m a l i n i t i a l

o p t i o n p r i c e s w e r e :

C

0

= 1 6 : 9 K = 9 0 ; C

0

= 1 0 : 0 K = 1 0 0 ; C

0

= 1 : 0 2 K = 1 3 0 :

N e x t , w e c o m p u t e d u p t o t h e 8 t h m o m e n t o f t h e w e a l t h b a l a n c e u s i n g A l g o r i t h m

1 . F o r r e f e r e n c e , w e w i l l e x p l a i n t h e l a t t i c e b a s e d c o m p u t a t i o n o f t h e t h i r d m o m e n t

u s i n g t h e p r o p a g a t i o n o f t h e H

n

m a t r i c e s . B a s e d o n t h e n a l s t o c k p r i c e s o n t h e

l a t t i c e , w e r s t c o m p u t e d H

k

N

; k = 1 ; : : : ; 2 N + 1 a s

H

k

N

=

2

6

4

0 1 = 2 , C

k

N

1 = 2 , C

k

N

3 = 2 C

k

N

2

, C

k

N

3 = 2 C

k

N

2

, 3 C

k

N

3

3

7

5

5 . 2

w h e r e C

k

N

= S

k

N

, K

+

; k = 1 ; : : : ; 2 N + 1 . S i m i l a r t o t h e s t o c k p r i c e l a t t i c e ,

t h e H

N

' s c a n b e a r r a n g e d a t t h e e n d n o d e s o f t h e t r i n o m i a l l a t t i c e a s s h o w n i n t h e

r i g h t h a n d s i d e o f T a b l e 2 . N e x t , w e c a l c u l a t e d H

k

N , 1

; k = 1 ; : : : ; 2 N , 1 ; a s i n

3 . 6 . F o r e x a m p l e , H

1

N , 1

i s g i v e n b y

H

1

N , 1

= E

J

T

N

H

N

J

N

S

1

N , 1

= p

1

J

1 T

N

H

1

N

J

1

N

+ p

2

J

2 T

N

H

2

N

J

2

N

+ p

3

J

3 T

N

H

3

N

J

3

N

w h e r e J

l

N

i s c a l c u l a t e d u s i n g 3 . 1 3 f o r e a c h S

l

N

, l = 1 ; 2 ; 3 . S i m i l a r l y , w e

c o m p u t e d H

k

N , 1

f o r a l l k = 1 ; : : : ; 2 N , 1 . C o n t i n u i n g i n t h i s m a n n e r , w o r k i n g

t o w a r d t h e l e f t o n e p e r i o d a t a t i m e , w e a r r i v e d a t H

0

. T h e t h i r d m o m e n t w a s t h e n

c o m p u t e d t h r o u g h 3 . 1 4 .

T a b l e 3 p r o v i d e s n u m e r i c a l r e s u l t s , w h e r e t h e r s t 8 m o m e n t s w e r e c o m p u t e d f o r

t h e t h r e e c a s e s , K = 9 0 I T M , K = 1 0 0 A T M , a n d K = 1 3 0 O T M , w h e r e t h e

1 4



T a b l e 2 : S t o c k p r i c e l a t t i c e a n d m o m e n t m a t r i x l a t t i c e

S

1

N

S

2

N

S

1

2

S

3

N

S

1

1

S

2

2

.

.

.

S

0

S

2

1

S

3

2

.

.

.

S

3

1

S

4

2

.

.

.

S

5

2

S

2 N , 1

N

S

2 N

N

S

2 N + 1

N

H

1

N

H

2

N

H

1

2

H

3

N

H

1

1

H

2

2

.

.

.

H

0

H

2

1

H

3

2

.

.

.

H

3

1

H

4

2

.

.

.

H

5

2

H

2 N , 1

N

H

2 N

N

H

2 N + 1

N

1 s t m o m e n t s a r e o m i t t e d b e c a u s e t h e y a r e a l w a y s 0 . S i n c e M S O H w a s e m p l o y e d ,

t h e 2 n d m o m e n t o f t h e w e a l t h b a l a n c e i s m i n i m i z e d , a n d n o o t h e r h e d g i n g s c h e m e

c a n a t t a i n a w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n w i t h s m a l l e r v a r i a n c e .

T a b l e 3 : M o m e n t s o b t a i n e d f r o m A l g o r i t h m 2 f o r K = 9 0 ; 1 0 0 ; 1 3 0

K 2 n d 3 r d 4 t h 5 t h 6 t h 7 t h 8 t h

9 0 0 : 3 7 0 0 : 0 1 3 1 1 : 0 9 0 : 1 3 0 6 : 7 2 0 : 9 2 8 6 0 : 5

1 0 0 0 : 8 4 4 0 : 1 7 6 3 : 3 9 1 : 7 7 2 6 : 5 2 0 : 6 3 0 3

1 3 0 0 : 6 6 5 0 : 0 3 2 4 3 : 1 4 0 : 2 4 1 3 0 : 4 ,

3 : 1 4 4 3 7

N o t e t h a t t h e m o m e n t s o f o d d o r d e r a r e r e l a t i v e l y s m a l l w h e n c o m p a r e d t o

t h o s e o f e v e n o r d e r , w h i c h i n d i c a t e s t h a t t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n s a r e n e a r l y

s y m m e t r i c . A d d i t i o n a l l y , t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n s t e n d t o b e l e p t o k u r t i c

o r h e a v y t a i l e d , p a r t i c u l a r l y i n t h e I T M a n d O T M c a s e s . B o t h s k e w n e s s a n d

F i s h e r k u r t o s i s a r e p r o v i d e d i n T a b l e 4 .

M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s w e r e r u n t o v e r i f y t h a t o u r o b s e r v a t i o n s f r o m t h e m o -

m e n t d a t a w e r e c o r r e c t . F i g s . 3 5 c o n t a i n r e s u l t s o f t h e s e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s ,

w h e r e e a c h s i m u l a t i o n t r i a l w a s d o n e 1 0 0 ; 0 0 0 t i m e s . N o t i c e t h a t t h e w e a l t h b a l a n c e

1 5



T a b l e 4 : S k e w n e s s a n d F i s h e r k u r t o s i s f o r K = 9 0 ; 1 0 0 ; 1 3 0 .

K s k e w n e s s k u r t o s i s

9 0 0 : 0 5 8 3 4 : 9 9

1 0 0 0 : 2 2 7 1 : 7 7

1 3 0 0 : 0 5 9 7 4 : 0 9

d i s t r i b u t i o n s a r e l e p t o k u r t i c i n a l l c a s e s , w i t h t h e I T M a n d O T M c a s e s b e i n g t h e

m o s t e x t r e m e . I n f a c t , t h e d i s t r i b u t i o n s t e n d t o b e c o m e m o r e l e p t o k u r t i c a s t h e

o p t i o n m o v e s i n c r e a s i n g l y i n t h e m o n e y a n d o u t o f t h e m o n e y .

−3 −2 −1 0 1 2 30

2000

4000

6000

8000

10000

12000

N u m

b e r o

f s a m p

l e s

Wealth balance WN

for K = 90

F i g . 3 : W e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n f o r K = 9 0 I T M

U s i n g t h e m o m e n t s i n T a b l e 3 , w e c o m p u t e d u p p e r b o u n d s o n V a R W

N

; =

0 : 9 5 a s g i v e n i n T a b l e 5 , w h e r e m r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f m o m e n t s u s e d . F o r

m = 8 , t h e f o l l o w i n g l o w e r b o u n d s w e r e c o m p u t e d a s w e l l :

0 : 1 3 0 K = 9 0 ; 0 : 3 9 0 K = 1 0 0 ; 0 : 2 1 7 K = 1 3 0 :

T o e s t i m a t e t h e g a p b e t w e e n t h e s e b o u n d s a n d t h e t r u e v a l u e , w e c o m p u t e d t h e 5

q u a n t i l e s i n F i g s . 3 5 f r o m t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s , a n d o b t a i n e d t h e f o l l o w i n g

V a R e s t i m a t e s ,

0 : 9 7 5 K = 9 0 ; 1 : 4 6 K = 1 0 0 ; 1 : 3 4 K = 1 3 0 : 5 . 3

S i n c e t h e n u m b e r o f t r i a l s w a s s u c i e n t l y l a r g e i n d e e d 1 0 0 , 0 0 0 t r i a l s , t h e s e n u m -

b e r s s h o u l d b e c l o s e t o t h e t r u e v a l u e s , i . e . , V a R W

N

; = 0 : 9 5 . A c o m p a r i s o n

1 6



−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

N u m

b e r o

f s a m p

l e s

Wealth balance WN

for K = 100

F i g . 4 : W e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n f o r K = 1 0 0 A T M

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

2000

4000

6000

8000

10000

12000

N u m

b e r o

f s a m p

l e s

Wealth balance WN

for K = 130

F i g . 5 : W e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n f o r K = 1 3 0 O T M

1 7



o f t h e s e M o n t e C a r l o e s t i m a t e s w i t h t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s i n d i c a t e s t h a t a

s i g n i c a n t g a p d o e s e x i s t .

T a b l e 5 : U p p e r b o u n d s f o r m = 2 ; 4 ; 6 ; 8

m = 2 m = 4 m = 6 m = 8

K = 9 0 2 . 6 5 1 . 8 4 1 . 8 3 1 . 6 9

K = 1 0 0 4 . 0 1 2 . 4 4 2 . 3 5 2 . 3 0

K = 1 3 0 3 . 5 6 2 . 4 1 2 . 3 9 2 . 2 3

T o i m p r o v e t h e b o u n d s , w e i n t r o d u c e d m o n o t o n i c i t y c o n s t r a i n t s i n a d d i t i o n t o

t h e m o m e n t c o n d i t i o n s , a n d d i s c r e t i z e d t h e p r o b l e m t o a p p l y a l i n e a r p r o g r a m m i n g

a p p r o a c h s e e S e c t i o n 4 . 2 . A f t e r d i s c r e t i z i n g , t h e m o m e n t c o n s t r a i n t s i n 4 . 3

b e c o m e

N

x

X

i = 1

x

k

i

p

i

= q

k

; q

0

= 1 ; k = 0 ; 1 ; : : : ; m :

w h e r e x

i

i = 1 ; : : : ; N

x

a r e t h e p o s s i b l e o u t c o m e s o f t h e d i s c r e t i z e d r a n d o m v a r i -

a b l e , a n d p

i

i = 1 ; : : : ; N

x

r e p r e s e n t s t h e c o r r e s p o n d i n g d i s c r e t i z e d p r o b a b i l i t y

m a s s f u n c t i o n . T h e m o n o t o n i c i t y c o n s t r a i n t i n 4 . 7 i s t h e n g i v e n b y

p

i

p

j

i f x

i

x

j

q

1

; p

i

p

j

i f q

1

x

i

x

j

:

N o t e t h a t , f r o m F i g s . 3 5 t h i s m o n o t o n i c i t y c o n s t r a i n t i s n o t v e r y r e s t r i c t i v e s i n c e

t h e w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n s a p p e a r t o m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s e f o r x q

1

= 0

a n d d e c r e a s e f o r x q

1

= 0 . W e s e t t h e f o l l o w i n g b o u n d s o n t h e d i s c r e t i z e d r a n d o m

v a r i a b l e x

x 2 , 4 ; 4 K = 9 0 ; x 2 , 4 : 5 ; 4 : 5 K = 1 0 0 ; x 2 , 5 ; 5 K = 1 3 0

a n d c h o s e N

x

= 1 ; 2 0 0 . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , w e s o l v e d t h e u p p e r a n d l o w e r

b o u n d p r o b l e m s u s i n g l i n e a r p r o g r a m s . F i g s . 6 8 s h o w o u r n u m e r i c a l r e s u l t s ,

w h e r e t h e n u m b e r o f m o m e n t s m v e r s u s t h e c o r r e s p o n d i n g u p p e r a n d l o w e r b o u n d s

a r e p l o t t e d f o r K = 9 0 ; 1 0 0 ; 1 3 0 . I n e a c h g u r e , t h e u p p e r a n d l o w e r l i n e s d e n o t e

t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s u s i n g m m o m e n t s , a n d t h e l i n e b e t w e e n t h e m i n d i c a t e s

t h e v a l u e o b t a i n e d f r o m t h e M o n t e C a r l o s i m u l a t i o n s . A s h i g h e r o r d e r m o m e n t s a r e

u s e d , t h e g a p b e t w e e n t h e u p p e r b o u n d s a n d t h e l o w e r b o u n d s d e c r e a s e s n o t i c e a b l y .

I n f a c t , u n d e r 8 m o m e n t s , t h e b o u n d s p r o v i d e a r e a s o n a b l e a p p r o x i m a t i o n t o t h e

M o n t e C a r l o V a R e s t i m a t e . F o r e x a m p l e , t h e u p p e r a n d l o w e r b o u n d s i n F i g . 7

a r e 1 . 5 7 " a n d 1 . 3 8 , " r e s p e c t i v e l y , a s c o m p a r e d t o 1 . 4 6 " f r o m t h e M o n t e C a r l o

s i m u l a t i o n . T h i s i s a d i e r e n c e o f o n l y 8 . F r o m t h e s e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s ,

w e c o n c l u d e t h a t t h e b o u n d s o b t a i n e d f r o m m o m e n t c o n d i t i o n s c a n b e i m p r o v e d

b y u s i n g a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n s u c h a s t h e m o n o t o n i c i t y c o n s t r a i n t , a n d t h a t t h e

p r o b l e m r e m a i n s c o m p u t a t i o n a l l y t r a c t a b l e , p r o v i d i n g a r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e

V a R .

1 8



1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

F i g . 6 : U p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n V a R , K = 9 0 I T M

1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

F i g . 7 : U p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n V a R K = 1 0 0 A T M

1 9



1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

F i g . 8 : U p p e r a n d l o w e r b o u n d s o n V a R K = 1 3 0 O T M

6 C o n c l u s i o n

I n t h i s p a p e r , w e p r o p o s e d a n e c i e n t m e t h o d o l o g y f o r c o m p u t i n g m o m e n t s o f t h e

w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n i n d y n a m i c h e d g i n g p r o b l e m s . F i r s t , a m e a n s q u a r e o p -

t i m a l h e d g i n g p r o b l e m w a s e m p l o y e d t o d e t e r m i n e a n o p t i m a l h e d g i n g p o l i c y a n d

o p t i m a l i n i t i a l p o r t f o l i o v a l u e . B y e x p l o i t i n g s t r u c t u r e i n t h i s p r o b l e m , w e s h o w e d

t h a t m o m e n t s o f t h e r e s u l t i n g w e a l t h b a l a n c e d i s t r i b u t i o n m a y b e c o m p u t e d o n

t h e u n d e r l y i n g s t o c k l a t t i c e t h r o u g h t h e b a c k w a r d i t e r a t i o n o f a m a t r i x . N e x t , w e

d e m o n s t r a t e d t h a t t h e s e m o m e n t s c a n b e u s e d i n c o n j u n c t i o n w i t h c o n v e x o p t i m i z a -

t i o n t e c h n i q u e s t o e s t i m a t e t h e V a l u e - a t - R i s k i n t h e w e a l t h b a l a n c e . F i n a l l y , t h i s

m e t h o d o l o g y w a s a p p l i e d t o a n u m e r i c a l e x a m p l e w h e r e t h e V a R w a s c o m p u t e d f o r

a h e d g e d E u r o p e a n c a l l o p t i o n o n a s t o c k m o d e l e d a s a r a n d o m w a l k o n a t r i n o m i a l

l a t t i c e .

R e f e r e n c e s

1 R . B e l l m a n , D y n a m i c a l P r o g r a m m i n g , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e t o n ,

N J , 1 9 5 7 .

2 F . B l a c k a n d M . S c h o l e s , T h e P r i c i n g o f O p t i o n s a n d C o r p o r a t e L i a b i l i t i e s , "

J o u r n a l o f P o l i t i c a l E c o n o m y , 8 1 : 6 3 7 6 5 4 , 1 9 7 3 .

3 D . B e r t s i m a s a n d I . P o p e s c u , O p t i m a l I n e q u a l i t i e s i n P r o b a b i l i t y T h e o r y :

A C o n v e x O p t i m i z a t i o n A p p r o a c h , " s u b m i t t e d t o O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 1 9 9 9

a v a i l a b l e a t h t t p : w w w . i n s e a d . f r .

4 H . C h e r n o , A M e a s u r e o f A s y m p t o t i c E c i e n c y f o r T e s t o f H y p o t h e s i s B a s e d

o n t h e S u m o f O b s e r v a t i o n s , " A n n a l s o f M a t h . S t a t . , 2 3 : 4 9 3 5 0 7 , 1 9 5 2 .

2 0



5 D . D u e a n d H . R . R i c h a r d s o n , M e a n - v a r i a n c e h e d g i n g i n c o n t i n u o u s t i m e . "

A n n a l s A p p l . P r o b a b i l i t y , 1 , 1 - 1 5 , 1 9 9 1 .

6 L . E l G h a o u i , F . O u s t r y , a n d M . O k s , W o r s t - C a s e V a l u e - a t - R i s k a n d R o -

b u s t A s s e t A l l o c a t i o n : a S e m i d e n i t e P r o g r a m m i n g A p p r o a c h , " s u b m i t t e d t o

O p e r a t i o n s R e s e a r c h , 2 0 0 0 .

7 S . F e d o t o v a n d S . M i k h a i l o v , S t o c h a s t i c O p t i m i z a t i o n A p p r o a c h t o O p t i o n s

P r i c i n g , " P r o c . o f t h e 1 9 9 9 A m e r i c a n C o n t r o l C o n f e r e n c e , 1 4 5 0 1 4 5 4 , 1 9 9 9 .

8 S . F e d o t o v a n d S . M i k h a i l o v , O p t i o n P r i c i n g f o r I n c o m p l e t e M a r k e t s v i a

S t o c h a s t i c O p t i m i z a t i o n : T r a n s a c t i o n C o s t s , A d a p t i v e C o n t r o l , a n d F o r e c a s t , "

I n t . J . o f T h e o r e t i c a l a n d A p p l i e d F i n a n c e , 4 1 : 1 7 9 1 9 5 , 2 0 0 1 .

9 H . F o l l m e r a n d M . S c h w e i z e r , H e d g i n g o f c o n t i n g e n t c l a i m s u n d e r i n c o m p l e t e

i n f o r m a t i o n " , I n A p p l i e d S t o c h a s t i c A n a l y s i s M . H . A . D a v i s a n d R . J . E l l i o t t ,

e d s . , S t o c h a s t i c s M o n o g r a p h s 5 , 3 8 9 - 4 1 4 . G o r d o n a n d B r e a c h , N e w Y o r k , 1 9 9 1 .

1 0 H . F o l l m e r a n d D . S o n d e r m a n n , H e d g i n g o f n o n - r e d u n d a n t c o n t i n g e n t

c l a i m s " , I n C o n t r i b u t i o n s t o M a t h e m a t i c a l E c o n o m i c s : E s s a y s i n H o n o r o f

G . D e b r e u , W . H i l d e n b r a n d a n d A . M a s C o l e l l , e d s . , 2 0 5 - 2 2 3 . N o r t h - H o l l a n d ,

A m s t e r d a m , 1 9 8 6 .

1 1 D . T . G i l l e s p i e , M a r k o v p r o c e s s : a n i n t r o d u c t i o n f o r p h y s i c a l s c i e n t i s t s , A c a -

d e m i c P r e s s , 1 9 9 2 .

1 2 O . H a m m a r l i d , O n m i n i m i z i n g r i s k i n i n c o m p l e t e m a r k e t s o p t i o n p r i c i n g m o d -

e l s , " I n t . J . T h e o r e t i c a l a n d A p p l i e d F i n a n c e , 1 2 : 2 2 7 2 3 3 , 1 9 9 8 .

1 3 J . H u l l , O p t i o n s , F u t u r e s , a n d O t h e r D e r i v a t i v e S e c u r i t i e s , 4 t h e d i t i o n . E n g l e -

w o o d C l i s : P r e n t i c e - H a l l , 1 9 9 9 .

1 4 N . L . J o h n s o n , S y s t e m s o f f r e q u e n c y c u r v e s g e n e r a t e d b y m e t h o d s o f t r a n s l a -

t i o n , " B i o m e t r i k a , 3 6 , 1 4 - 7 6 , 1 9 4 9 .

1 5 N . J o h n s o n a n d S . K o t z , C o n t i n u o u s u n i v a r i a t e d i s t r i b u t i o n s , V o l u m e 1 . J o h n

W i l e y a n d S o n s , N e w Y o r k , 1 9 7 0 .

1 6 P . J o r i o n , V a l u e a t R i s k : A N e w B e n c h m a r k f o r M e a s u r i n g D e r i v a t i v e s R i s k ,

I r w i n P r o f e s s i o n a l P u b . , 2 0 0 0 .

1 7 M . K e n d a l l a n d A . S t u a r t , T h e A d v a n c e d T h e o r y o f S t a t i s t i c s , V o l u m e 1 .

M a c M i l l a n , N e w Y o r k , 1 9 7 7 .

1 8 M . S . L o b o , M . F a z e l , a n d S . B o y d , P o r t f o l i o o p t i m i z a t i o n w i t h l i n -

e a r a n d x e d t r a n s a c t i o n c o s t s a n d b o u n d s o n r i s k , a v a i l a b l e a t

h t t p : w w w . s t a n f o r d . e d u ~ b o y d p o r t f o l i o . h t m l .

1 9 J . L o n g e r s t a e y e t a l . , R i s k M e t r i c s T e c h n i c a l M a n u a l , 4 t h e d i t i o n , N e w Y o r k :

J . P . M o r g a n B a n k , 1 9 9 6 .

2 0 D . G . L u e n b e r g e r , I n v e s t m e n t S c i e n c e , O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s , N e w Y o r k ,

1 9 9 8 .

2 1



2 1 J . S . R a m b e r g , P . R . T a d i k a m a l l a , E . J . D u d e w i c z a n d E . F . M y k y t k a , A p r o b -

a b i l i t y d i s t r i b u t i o n a n d i t s u s e s i n t t i n g d a t a , " T e c h n o m e t r i c s , 2 2 1 , 2 0 1 - 2 1 4 ,

1 9 7 9 .

2 2 M . S c h a l , O n q u a d r a t i c c o s t c r i t e r i a f o r o p t i o n h e d g i n g , " M a t h . O p e r . R e s . ,

1 9 : 1 2 1 1 3 1 , 1 9 9 4 .

2 3 M . S c h w e i z e r , V a r i a n c e - o p t i m a l h e d g i n g i n d i s c r e t e t i m e , " M a t h . O p e r . R e s . ,

2 0 : 1 3 2 , 1 9 9 5 .

2 2

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