Valoración de Opciones de tipo de interés con modelos de ... · desarrollo de este modelo, ya que...

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI)

INGENIERO INDUSTRIAL

VALORACIÓN DE OPCIONES DE TIPOS

DE INTERÉS CON MODELOS DE

SIMULACIÓN

Autor: Sergio Fraile Heras

Directores: Pedro Franco Ugidos

Madrid, Mayo 2014

Proyecto realizado por el alumno:

Fdo.: …………………… Fecha: ……/……/……

Autorizada la entrega del proyecto cuya información no es de carácter confidencial

EL DIRECTOR DEL PROYECTO

Fdo.: …………………… Fecha: ……/……/……

Vº Bº del Coordinador de Proyectos

Susana Ortiz Marcos

Fdo.: …………………… Fecha: ……/……/……

AGRADECIMIENTOS

A mis padres, hermano, novia y amigos, por su esfuerzo y apoyo a lo largo de toda la carrera.

Mención especial a mi director de proyecto Pedro Franco Ugidos (Ingeniero de ICAI y Quant

de Tipos de Interés del Banco Santander) y a César Sánchez de Lucas (Quant de Tipos de

Interés del Banco Santander) por ayudarme a desarrollar este proyecto y por todo el tiempo y

esfuerzo que han puesto en mi aprendizaje.

Valoración de Opciones de Tipos de Interés con Modelos de Simulación

-I-

RESUMEN

En los últimos veinte años las transacciones con productos derivados han crecido de

una forma extraordinaria. Los mercados financieros han aumentado su volumen masivamente

y a través de la globalización se realizan millones de operaciones diarias. Dentro del campo de

los derivados, las opciones son el ‘producto estrella’.

En 1973 se publicaron las primeras referencias al primer modelo de valoración de

opciones. Este modelo fue creado por Fisher Black y Myron Scholes y se denominó con el

nombre Black-Scholes. Consecuentemente Myron Scholes y otro matemático Robert C.Merton

(a través de su ampliación del modelo de Black-Scholes) ganaron el premio nobel por el

desarrollo de este modelo, ya que suponía el comienzo de una nueva etapa para el crecimiento

de los mercados financieros. Este modelo era capaz de valorar al precio de mercado una

opción europea cuyo activo subyacente fuese una acción.

A pesar de la fiabilidad del modelo de Black-Scholes para la valoración de opciones

sobre el precio de una acción, tiene ciertas limitaciones. Una de las limitaciones más grandes es

que no permite valorar opciones con otros tipos de activo subyacente.

En un principio el mercado de las opciones sobre acciones era el más grande en

función de volumen entre el mercado de los derivados. Desde principio de los 2000 cambio la

tendencia y hubo una gran demanda y crecimiento de los derivados de crédito y de tipos de

interés. La poca experiencia e ineficiencia de la valoración de estos productos causó estragos en

el sistema financiero.

Este proyecto se centra en la valoración de opciones de tipos de interés. Para ello se

utilizan modelos de simulación del activo subyacente ya que se verá a continuación como el

único modelo analítico para tipos de interés, modelo de Black, no es suficientemente

consistente como para simular la curva de tipos de interés y valorar opciones con flujos de caja

complejos.

La motivación para la realización de este proyecto viene dada por la necesidad de la

implementación de un modelo que permita valorar opciones de tipos de interés de una forma


-II-

fiable y precisa. La herramienta que se programará para la valoración de estas opciones servirá

para las mesas de trading del Banco Santander, que es la institución donde se ha desarrollado el

proyecto.

El proyecto se centrará en la consecución de tres objetivos principales:

1. Valorar opciones de tipos de interés con flujos de caja complejos utilizando modelos

de simulación

2. Replicar derivados de tipos de interés complejos e ilíquidos utilizando derivados de

tipos de interés que tengan mayor liquidez y por lo tanto mayor acceso en el mercado

secundario.

3. Implementar estrategias de cobertura para los traders, utilizando un análisis de griegas.

Ese objetivo está relacionado con el objetivo 2. Se pretende que se puedan cubrir

derivados complejos con otros más sencillos y de mayor liquidez.

Para la consecución de estos objetivos se llevaron a cabo una serie de pasos intermedios

que conforman la herramienta de valoración. El proyecto tiene una estructura ‘piramidal’

donde cada pieza sirve de base para construir la siguiente.

En primer lugar se desarrolló un modelo de simulaciones Montecarlo que permitiese

valorar opciones con una sola fecha de ejercicio y de una sola variable estocástica. El modelo

de Montecarlo se comparó con el modelo analítico de Black-Scholes para chequear la validez.

A continuación se desarrolló un modelo de simulaciones que permitiese valorar opciones

con varias fechas de ejercicio. Se implementó un Montecarlo americano que abordase la

valoración de estas opciones. Inicialmente se calibró este modelo para opciones sobre

acciones. El Montecarlo americano es un motor de cálculo válido para la valoración de

opciones con varias fechas de ejercicio ya que incluye dentro del modelo la decisión de la fecha

óptima de ejercicio de la opción. Para tomar esta decisión se utilizó un modelo de regresión

lineal Longstaff-Schwartz.

Con estos dos modelos se puede valorar opciones sobre acciones con una sola fecha de

ejercicio y varias fechas de ejercicio. Para poder valorar opciones sobre tipos de interés hace

falta un modelo que simule la evolución de la curva de tipos de interés en el tiempo. El modelo

que se implementará es un Libor Market Model. El Libor Market Model se distingue del


-III-

modelo analítico de Black en que es capaz de simular la curva de tipos de interés de manera

consistente.

Combinando el Libor Market Model con el Montecarlo americano se abordará casi

cualquier opción de tipos de interés, sin importar la complejidad de los flujos de caja de la

opción. Por último se valorarán opciones de tipos de interés como caplets, caps, swaptions y

como ‘producto estrella’ una Swaption Bermuda. De este último producto se hará un análisis

de sensibilidades con la herramienta y se observará como cubrir la opción.

Los resultados de la herramienta implementada son satisfactorios pero existen posibles

mejoras que incluso podrán servir como ampliación de este proyecto.

El modelo de simulaciones Montecarlo para opciones sobre acciones que se ha

implementado en la herramienta se ajusta a la perfección con el modelo analítico de Black-

Scholes. La herramienta es capaz de valorar una opción de compra ‘call’ y una opción de venta

‘put’. Se puede observar que el modelo funciona mejor al aumentar el número de simulaciones

de los escenarios del activo subyacente, esto coincide con la teoría de un modelo Montecarlo.

Las siguientes conclusiones que se inducen del modelo vienen del Montecarlo americano.

Se puede observar claramente en los resultados que lo más eficiente para ejercer una opción

con varias fechas de ejercicio es ejercerla en su fecha de vencimiento. Los resultados vienen

dados por la regresión lineal realizada para la elección de la fecha óptima de ejercicio de la

opción.

A pesar de que los resultados del Montecarlo americano son buenos, existen ciertas

limitaciones del modelo implementado en la herramienta. Para tomar la decisión de ejercicio se

recoge la información con un modelo de regresión lineal y por lo tanto carece de eficiencia ya

que un modelo de regresión lineal no es capaz de recoger toda la información necesaria de una

variable. Se utilizó este modelo dado que tiene mayor velocidad de cálculo y para las mesas de

trading es necesario que los resultados sean rápidos. Si se quiere aumentar la precisión del

modelo se tendrá que utilizar un modelo que recoja la mayor información del activo

subyacente de la opción y para ello se deja abierta una posible ampliación del proyecto para la

mejora del modelo.

Los siguientes resultados vienen de la valoración de los derivados de los tipos de interés

utilizando el Libor Market Model. Para analizar la fiabilidad del LMM se valoraron en primer


-IV-

lugar los factores de descuento comparándolos con el modelo de Black. Se observa ciertas

diferencias entre la valoración de las dos curvas que son debidas principalmente a que se

realizaron los resultados con 10 000 simulaciones. Si se aumentase el número de las

simulaciones habría una mayor convergencia entre los dos modelos. El aumento de

simulaciones tendrá que venir acompañado por una velocidad de cálculo elevada y para ello

otra de las ampliaciones del proyecto viene dada por la mejora y la depuración del código de la

herramienta para aumentar la velocidad de cálculo.

A continuación se valoraron caplets cuyos resultados no son óptimos debido a la influencia

de los factores de descuento. Estas diferencias se podrán corregir aumentando el número de

simulaciones. Se valoró un curva de swaptions con swaps co-terminales de diferentes

vencimientos cuya forma se ajusta perfectamente a la teoría. Donde la curva tiene forma

convexa teniendo mayor valor las swaptions de vencimientos medios y menor valor las

swaptions con vencimientos menores y mayores debido a que los swaps (activo subyacente)

son co-terminales.

Por último se valoró una Swaption Bermuda combinando el Montecarlo americano con el

LMM. Para la obtención de estos resultados se comparó la Swaption Bermuda con su límite

superior y límite inferior en cuanto a su precio. Se fue variando la correlación de los Líbores

variando la matriz de correlaciones y se sacaron tres gráficas diferentes cada una simulando

diferente número de factores estocásticos. Los resultados del precio de la Bermuda son

mejorables ya que tienen una gran sensibilidad al Montecarlo americano y al número de

simulaciones utilizadas en el motor de valoración Montecarlo. Se sugieren posibles mejoras

para el modelo en las conclusiones.

La herramienta termina con un análisis de sensibilidades de la Bermuda a través del cálculo

de la delta (sensibilidad del precio a movimientos de un punto básico en la curva de tipos de

interés) y la vega (sensibilidad del precio a movimientos de un punto porcentual a la matriz de

volatilidades).

El proyecto por lo tanto consta de una herramienta con 10 scripts principales y 60

funciones, donde cada una sirve para las consecuciones de los objetivos finales del proyecto.

Esta herramienta servirá como base para ser utilizada en la mesa de productos exóticos del

Banco Santander.


-V-

SUMMARY

In the last twenty years transactions within the derivatives market have grown in a

extraordinary way. Financial markets have increased their volume massively due to the

incoming globalization. Options are the most recognized derivative; they are basically ‘the star

product’ in the derivatives market.

In 1973 the first references to the first option pricing model were published. This model

was created by Fisher Black and Myron Scholes and designated by the name Black- Scholes

formula. Consequently Myron Scholes and Robert C.Merton another mathematician (through

its extension of the Black-Scholes formula) won the Nobel Prize for the development of this

model. This meant the beginning of a new stage in the growth of financial markets. This model

was able to estimate the market price of a European option whose underlying asset is a stock.

Although the reliability of the Black-Scholes model for the valuation of options on the

price of a stock, has some limitations. One of the biggest limitations is its incapability to price

other options with different underlying assets.

Initially the market for stock options was the largest in terms of volume and the most

attractive within the derivatives market. Since the early 2000s this trend has change and there

has been an increase in demand for credit and interest rate derivatives. The lack of experience

and efficiency of the pricing of these products lead to part of the last financial crisis.

This project focuses on the valuation of interest rate options. To price the interest rate

options it is necessary to simulate the evolution of the underlying asset over time. The only

analytical model for interest rate options is Black’s model, but this model as will be seen later is

not able to simulate the interest rate curve in a consistent way.

The motivation for this project is given by the need for the implementation of a model to

price interest rate options in a reliable and accurate way. The tool which will be programmed

for the pricing of the options will be used in the trading desks at Banco Santander. Banco

Santander is the institution where the project has been developed.


-VI-

The project will focus on achieving three main objectives:

1. Pricing for interest rate options that have complex payoffs

2. Replicate complex and illiquid interest rate derivatives with other more simple and

liquid interest rate derivatives which are more accessible in the secondary market.

3. Implement hedging strategies for traders, using the Greeks analysis.

A series of intermediate steps were carried out in order to achieve these objectives. The

project has a structure similar to a 'pyramid', where each piece makes up the base to build the

next one.

The first step was to implement a Monte Carlo simulation model that would be able to price

single stochastic variable options with one exercise date. The Monte Carlo model was then

compared with the analytical Black-Scholes model to check its validity to price these options.

The next part was to implement a model that was able to price options with several

exercise dates. The American Monte Carlo is a valid calculation engine for the different

options with various exercise dates. Initially this model was calibrated stock options. The

American Monte Carlo takes into account the condition for the optimal exercise date of the

option. A linear regression model was used in order for the trader to be able to exercise the

option in the optimal exercise date; this method is called the Longstaff –Schwartz method.

These two models (Monte Carlo and American Monte Carlo) can price options over

the price of a stock with a single exercise date and with various exercise dates. To be able to

price interest rate options it is imperative that the model can simulate the evolution of the

interest rate curve over time. The model implemented to manage with this problem is the

Libor Market Model. The Libor Market Model differs from the Black analytic model, because

the LMM is able to simulate the interest rate curve consistently.

Almost any interest rate option can be priced combining the Libor Market Model with

American Montecarlo, regardless of the complexity of the option’s payoff. Finally the

implementation of both models took place in order to price interest rate options such as

caplets, caps, swaptions and Bermudan Swaptions (star product). The Bermudan Swaption will

be analyzed in depth throughout a sensitivity analysis in order to implement hedging strategies

with this product.


-VII-

The results of the tool are satisfactory but there are potential improvements which can

be used to develop further extensions of this project.

The Monte Carlo simulation model for stock options that has been implemented fits

perfectly with the analytical Black-Scholes model. The tool is able to price both call and put

options. It can be seen that the model works best as it increases the number of simulations of

the scenarios of the underlying asset; this agrees with the theory of the Monte Carlo model.

The following conclusions are based on the American Monte Carlo. It can be clearly

seen from the results that the most efficient way to exercise an option with several exercise

dates is in its expiry date. The results are given by the linear regression performed for choosing

the optimal exercise date of the option.

Although the results are good, the American Monte Carlo that is implemented in the

tool has are certain limitations. In order to make the decision to exercise the option, the

information is gathered with a linear regression model and therefore lacks efficiency. A linear

regression model is not able to gather all the necessary statistical information of a variable.

However, this model was used because it faster in terms of calculations and in every trading

desks it is necessary that results and data move at a fast pace. If the accuracy of the model

wants to be increased it will be necessary to develop a model which gathers more statistical

information of the underlying asset. Consequently the option of extending and improving this

project is left open by improving the American Monte Carlo.

The following results come from the pricing of interest rate derivatives using the Libor Market

Model. The first step to analyze the reliability of the LMM was to compare the valuation of the

discount factors of the LMM with Black’s model. There are certain differences between the

valuation of the two curves and these differences are mainly due to the small amount of

simulations, 10 000 simulations. If the number of simulations increases there would be greater

convergence between the two models. Increasing the number of simulations will have to be

accompanied by a model with a high speed of calculation. This leads to another extension for

this project by improving the code to improve its efficiency and speed of execution.

The results for pricing caplets are not optimal due to the influence of the discount

factors. These differences can be corrected by increasing the number of simulations. The last

test for the LMM was the pricing for swaptions with different maturities. The swaptions curve


-VIII-

has the same shape as it should theoretically. The underlying asset of the swaptions is co-

terminal swaps which explain the convex shape it has. The swaptions with the highest and

lowest maturities have the lowest prices while moderate maturities have the highest prices.

Lastly a Bermudan Swaption was priced combining the American Monte Carlo with

the LMM. The idea was to compare the Bermudan Swaption’s price with its lower and upper

limits in terms of price. To obtain the three different graphs with the results of the Bermudan

Swaption, the correlation between the Libors was modified by changing the correlation matrix

as well as simulating different number of stochastic factors for each graph. The results of the

price of the Bermudan Swaption can be improved as they have a great sensitivity to American

Monte Carlo model and to the number of simulations used in the valuation engine. Possible

improvements to the model are suggested in the conclusions.

The tool ends with an analysis of sensitivities of the Bermudan Swaption through the

calculation of the delta (sensitivity to movements in the price of a basis point in the interest

rate curve) and vega (sensitivity to price movements of a percentage point in the matrix of

volatilities).

.The project therefore consists of a tool with 10 main scripts and 60 functions, each of

which serves to obtain the different objectives throughout the project. This tool will serve as a

basis for the pricing models of the exotic products trading desk at Banco Santander.


-IX-

ÍNDICE DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN __________________________________________________ 1

1.1 Estado del Arte __________________________________________________________ 1

1.2 Introducción a los Derivados Financieros ____________________________________ 1

1.2.1 Swaps & forwards ____________________________________________________________ 2

1.2.2 Derivados de Tipos de Interés __________________________________________________ 4

1.2.3 Griegas ____________________________________________________________________ 5

1.3 Objetivos y Motivación ___________________________________________________ 6

1.4 Estructura del Proyecto ___________________________________________________ 7

2. INFORME BIBLIOGRÁFICO ________________________________________ 11

2.1 Cálculo Estocástico _____________________________________________________ 11

2.1.1 Movimiento Browniano ______________________________________________________ 11

2.1.2 Lemma De Ito _____________________________________________________________ 12

2.2 Modelos de valoración Analíticos __________________________________________ 15

2.2.1 Modelo De Black-Scholes _____________________________________________________ 16

2.2.2 Modelo de Black ____________________________________________________________ 17

2.3 Factores de Descuento ___________________________________________________ 18

2.3.1 Bonos Cupón Cero __________________________________________________________ 18

2.4 Modelos de Simulación __________________________________________________ 19

2.4.1 Montecarlo ________________________________________________________________ 20

2.4.2 Libor Market Model _________________________________________________________ 20

3. VALORACIÓN DE OPCIONES DE UNA SOLA VARIABLE ESTOCÁSTICA

23

3.1 Valoración de opciones europeas __________________________________________ 23

3.1.1 Generación de Escenarios _____________________________________________________ 23

3.1.2 Payoff ____________________________________________________________________ 26

3.1.3 Montecarlo ________________________________________________________________ 28

3.1.4 Resultados ________________________________________________________________ 28

3.2 Valoración de Opciones Asiáticas __________________________________________ 32

3.2.1 Multi-Look Options _________________________________________________________ 32

3.2.2 Generación de Escenarios _____________________________________________________ 33

3.2.3 Payoff ____________________________________________________________________ 36

3.2.4 Resultados ________________________________________________________________ 37

3.3 Valoración de Opciones con Varias Fechas de Ejercicio _______________________ 40

3.3.1 Generación de Escenarios y Payoff ______________________________________________ 40

3.3.2 Modelo de Regresión Lineal: Longstaff-Schwartz _____________________________________ 41

3.3.3 Fecha Óptima de Ejercicio ____________________________________________________ 45

3.3.4 Montecarlo americano _______________________________________________________ 49


-X-

4. BOOTSTRAPPING PARA LA OBTENCIÓN DE LOS FACTORES DE

DESCUENTO _________________________________________________________ 53

4.1 Valoración de un FRA ___________________________________________________ 53

4.2 Valoración de un Swap ___________________________________________________ 55

4.3 Bootstrapping de la Curva Swap ___________________________________________ 58

5. VALORACIÓN DE CAPS Y CAPLETS________________________________ 63

5.1 Valoración de un Caplet __________________________________________________ 63

5.2 Valoración de un Cap ____________________________________________________ 67

6. LIBOR MARKET MODEL ___________________________________________ 71

6.1 Introducción ___________________________________________________________ 71

6.2 Generación de Escenarios ________________________________________________ 73

6.2.1 Estructura de la Matriz _______________________________________________________ 73

6.2.2 Cálculo de las Derivas o Drifts _________________________________________________ 75

6.2.3 Componentes Principales de Correlación (Correlation PCA) ___________________________ 79

6.3 Resultados _____________________________________________________________ 84

6.3.1 Valoración de los Factores de Descuento _________________________________________ 85

6.3.2 Valoración de un Caplet ______________________________________________________ 87

6.3.3 Valoración de una Swaption ___________________________________________________ 90

6.3.4 Variación de la Matriz de Correlación ____________________________________________ 94

7. VALORACIÓN DE SWAPTIONS BERMUDA _________________________ 97

7.1 Introducción ___________________________________________________________ 97

7.2 Montecarlo Americano___________________________________________________ 98

7.3 Valoración de un Swaption Bermuda ______________________________________ 100

7.4 Análisis de griegas _____________________________________________________ 107

7.4.1 Delta ____________________________________________________________________ 108

7.4.2 Vega ____________________________________________________________________ 110

8. CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES __________________ 113

8.1 Conclusiones __________________________________________________________ 114

8.1.1 Montecarlo Para Opciones Europeas ___________________________________________ 114

8.1.2 Montecarlo Americano ______________________________________________________ 117

8.1.3 Libor Market Model ________________________________________________________ 121

8.1.4 Swaptions Bermuda ________________________________________________________ 125

9. BIBLIOGRAFÍA ___________________________________________________ 131


-XI-

ÍNDICE DE GRÁFICAS

Gráfica 1.- Evolución del precio de una acción según un movimiento browniano geométrico

con 100 escenarios ............................................................................................................. 15

Gráfica 2.- Distribución Log-normal de los escenarios en el tiempo de vencimiento para 5000

simulaciones ...................................................................................................................... 26

Gráfica 3.- Precio de una Opción Call Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte

Carlo y para el Modelo Black-Scholes con 100 000 Simulaciones .......................................... 30

Gráfica 4.- Precio de una Opción Call Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte

Carlo y para el Modelo Black-Scholes con 100 Simulaciones ................................................ 30

Gráfica 5.-Precio de una Opción Put Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte

Carlo y para el Modelo Black-Scholes con 100 Simulaciones ................................................ 31

Gráfica 6.-Evolución del precio de una acción con pago de dividendos para 3 simulaciones . 34

Gráfica 7.-Comparación Precio Opción asiática con opción Europea Black-Scholes en

Función de la Volatilidad y Strike = $100 ............................................................................ 38

Gráfica 8.- Comparación Precios Opciones Asiáticas en función de la volatilidad con 3 Strikes

diferentes: $70 (verde), $100 (rojo) y $130(azul) ................................................................... 39

Gráfica 9.- Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 5.0 Años

con Strike $110 ................................................................................................................... 43

Gráfica 10.- Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 0.5 Años

(Primera Fecha de Ejercicio) con Strike $110 ...................................................................... 43

Gráfica 11.-Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 9.5 Años

(Penúltima Fecha de Ejercicio) con Strike $110 .................................................................. 44

Gráfica 12.- Número de escenarios que se ejercerían para cada posible fecha de ejercicio.

Opción Bermuda put (rojo) y Opción Bermuda call(azul) con 100 000 simulaciones. ............ 48

Gráfica 13.- Curva Swap ..................................................................................................... 58

Gráfica 14.-Curva de Factores de Descuento de la Curva Swap ............................................ 61

Gráfica 15.- Q-Q plot de los Líbores en la Medida Terminal t= 9.5 años con 10 000

simulaciones ...................................................................................................................... 85

Gráfica 16.- Comparación de las Curvas de Factores de Descuento: Curva de Bootstrapping

de la curva de Forwards a Día de Hoy VS Curva de Factores de Descuento Con el Modelo de

Montecarlo de Los Escenarios del LMM 10 000 Escenarios ................................................. 86


-XII-

Gráfica 17.- Comparación Precios de los Caplets para diferentes Vencimientos con 1 0 000

simulaciones: Modelo Log-normal (azul), Modelo de Black(Rojo) y Model LMM (verde) ..... 88

Gráfica 18.- Diferencias de Precios de los Caplets en Valor Absoluto con el Modelo de Black

para diferentes Vencimientos: Modelo de Equity (azul) y Modelo LMM (verde) .................. 89

Gráfica 19.- Precios de Swaptions con el LMM para diferentes Vencimientos 10 000

simulaciones ...................................................................................................................... 93

Gráfica 20.- Forma de la Matriz de Correlación para un Beta = 0.1 ...................................... 95

Gráfica 21.- Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda

con su Precio en función de la correlación (1 Factor Estocástico): Swaption Bermuda (azul),

Cesta de Swaptions (verde), Máximo valor de la cesta de Swaptions(rojo) .......................... 104

Gráfica 22.- Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda

con su Precio en función de la correlación (3 Factores Estocásticos): Swaption Bermuda

(azul), Cesta de Swaptions (verde), Máximo valor de la cesta de Swaptions(rojo) ............... 105

Gráfica 23.-Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda

con su Precio en función de la correlación (5 Factores Es tocásticos): Swaption Bermuda

(azul), Cesta de Swaptions (verde), Máximo valor de la cesta de Swaptions(rojo) ............... 106

Gráfica 24.- Delta de Swaption Bermuda 10 000 simulaciones .......................................... 109

Gráfica 25.- Matriz de Vegas de la Bermuda Swaption para 700 simulaciones (Vista 1) ........ 111

Gráfica 26.-Matriz de Vegas de la Bermuda Swaption para 700 simulaciones (vista 2) ......... 112


-1-

1. INTRODUCCIÓN

1.1 ESTADO DEL ARTE

Desde los años 80 hasta mediados de los 2000, los mercados financieros experimentaron

un gran crecimiento. Esta ampliación fue causa de la gran demanda de productos derivados.

Los productos de renta fija como los bonos corporativos y los bonos estatales dieron lugar a

derivados más complejos con mayores rentabilidades como los derivados ligados a activos de

crédito y a activos de tipos de interés. Los derivados financieros tuvieron un mayor desarrollo

durante esta época donde se inventaron productos muy complejos con fines especulativos.

Tras un periodo de estancamiento en la economía global desde el año 2007 hasta la

actualidad, los mercados financieros siguieron creciendo en capacidad. A pesar de aumentar su

volumen, la volatilidad en los mercados últimamente se ha visto mermada debido a que los

efectos de la crisis ha salpicado a todo el sector financiero. Después de unas consecuencias

devastadoras para el crecimiento y desarrollo de la economía global los reguladores y bancos

centrales han aumentado sus esfuerzos para evitar otra crisis financiera o ‘financial meltdown’.

Las medidas para regular los mercados financieros han reducido de forma significativa las

ganancias de los bancos a través del trading y han impuesto leyes para que los bancos

aumenten los ratios de capital para poder realizar operaciones con derivados en los mercados.

Estás medidas unidas a la baja liquidez a nivel mundial ha limitado la volatilidad.

Aunque todo apunta a un declive del sector financiero y de los derivados, en las últimas

fechas estamos viendo una recuperación por parte de la zona Euro y de USA. Está

recuperación también viene atada a los resultados y beneficios positivos de las empresas que

más facturan a nivel mundial. La inyección de liquidez por parte de los Bancos Centrales se irá

reduciendo poco a poco igual que un subida de los tipos de interés lo que aumentará la

volatilidad de los mercados y hará a estos productos sean de nuevo muy atractivos.

1.2 INTRODUCCIÓN A LOS DERIVADOS FINANCIEROS

Los Derivados empezaron su gran crecimiento a mediados de los años 70, llegando a

su máximo esplendor en los 90 y en los años 2000. Un derivado financiero es un producto

financiero cuyo valor depende del precio o valor de otro activo. Este activo se denomina activo

subyacente. Existen infinidad de activos subyacentes: tipos de interés, acciones, valores de


-2-

renta fija, materias primas. Estos son los activos subyacentes que se suelen negociar con más

frecuencia y que tienen mayor regulación, pero un derivado puede tener cualquier tipo de

activo subyacente, podría ser la temperatura de una ciudad.

En una primera instancia los derivados financieros se crearon como producto de

cobertura para poder reducir el riesgo de ciertas inversiones. Estos instrumentos tienen una

inversión inicial muy pequeña que es lo que se denomina el Premium. El proyecto se ocupará

de valorar el Premium de derivados de tipos de interés. El Premium es el precio del derivado y

será el objetivo principal del proyecto valorar el precio de derivados de tipos de interés.

1.2.1 SWAPS & FORWARDS

Para una visión completa del proyecto es indispensable que el lector conozca y

entienda el concepto de swap y forward como productos financieros. La definición de estos

dos productos está basada en el libro “Options, Futures & other Derivatives (Seventh

Edition)” del autor John C. Hull en los capítulos 4.6, “Forward Rates” y 7.1, “Mechanics of

Interest Rate Swaps”, [JOHN09].

Un forward de tipo de interés son los tipos de interés para ciertos periodos a tiempo

futuro. Estos tipos se calculan a través de la curva de cupones cero de un bono, de la curva de

Líberes o de la curva de swaps. A través de la curva de cupones cero se puede saber el tipo de

interés para cada fecha a día de hoy. Por ejemplo si tenemos la curva de Líberes desde hoy

hasta dentro de 10 años, se sabrá el tipo de interés para cada una de las fechas intermedias

desde hoy hasta dentro de 10 años. A veces los tipos de interés solamente vienen fijados para

periodos de 3 meses y por tanto es difícil saber el tipo de interés que habrá en 1 año y 7 meses

por ejemplo, para ello se podrá interpolar la curva. Saber el tipo de interés que habrá en 3 años

es fácil utilizando la curva de Líbores pero será más difícil saber cuál será el tipo de interés

dentro de 2 años para un periodo de un año. Para calcular este valor se utiliza el concepto de

forward. Este tipo en concreto que calcularemos será el forward de un año dentro de dos años.

Este tipo se calcula de la siguiente manera:

Es el tipo de interés para el tiempo


-3-

Es el tipo de interés para el tiempo

Es el tipo interés entre el tiempo y también denominado el tipo Forward

en que vence en siendo .

Los tipos de interés determinan el valor del dinero, establecen a que tipo se puede tomar

prestado el dinero y a que tipo se puede invertir el dinero. Los Forwards son un instrumento

muy útil porque dan una estimación de cuánto van a valer los tipos de interés a tiempo futuro.

Se hará un ejemplo práctico para facilitar la comprensión de este concepto:

Se quiere calcular el forward que empieza en 2 años y vence en al año. Los datos que se

conocen es la curva de Líbores, se conoce el Libor a 2 años y el Libor a 3 años. Por lo tanto

sabemos el tipo de interés a 2 años y a 3 años a día de hoy. El Libor a dos años vale 4% y el

Libor a tres años vale 5%, aplicando la fórmula:

( ) ( )

Se observa que el forward dentro de 2 años que vence al año es mayor que el tipo a 3 años.

Esto es debido a que la curva de Líbores es creciente o ‘upward sloping’, los tipos son mayores

a mayor vencimiento. Por lo tanto la previsión futura de los tipos es un incremento de los

tipos.

Se comentará el concepto de swap que será relevante durante todo el proyecto. Un

swap es uno de los productos más comunes en el mercado de derivados. Se define un swap

como un acuerdo entre dos compañías para intercambiar unos flujos de caja, ‘cash flows’, en el

futuro. En el acuerdo se define como calcular estos flujos de caja y el día de intercambio de los

flujos de caja. El proyecto tratará solamente con los swaps de tipos de interés también

conocidos como IRSs (Interest Rate Swaps). En un swap de tipos de interés una compañía se

compromete a pagar un tipo fijo sobre un nominal durante el tiempo de vida del swap, a

cambio esta compañía recibirá un tipo flotante sobre el mismo nominal. Este tipo de contrata

con el que tratará el proyecto se denomina swap de tipo de interés fijo-flotante (fixed float

interest rate swap), y es el swap más común. Se entrará más en detalle sobre la valoración de

un swap en la sección 4.1.


-4-

Como último concepto de interés para el lector, se presentará el Libor. La referencia

más utilizada para los tipos de interés flotantes es el London Interbank Offered Rate (LIBOR).

El LIBOR es el tipo de interés al cual un banco está dispuesto a prestar a otros bancos.

Existen referencias del Libor a muchos plazos: 3 meses, 6 meses, 12 meses, etc. Uno de los

objetivos del proyecto será construir la curva de Líbores para poder valorar la Swaption

Bermuda.

1.2.2 DERIVADOS DE T IPOS DE INTERÉS

Los derivados de tipos de interés son productos financieros cuyo activo subyacente son

los tipos de interés. Ejemplos de derivados de tipos de interés son Swaps de tipos de interés,

contratos de Futuros sobre el Libor y sobre el Euribor, Caplets, Caps, Swaptions (Opciones

sobre un swap de tipos de interés), además de muchos otros.

Este proyecto tiene como objetivo valorar Caps, caplets, swaps, swaptions y Swaptions

Bermuda utilizando modelos de simulación. Los derivados de tipos de interés tienen la

dificultad añadida que para su valoración se debe simular la curva de tipos entera. El modelo

que utilizará el proyecto para llevar a cabo esta tarea será el Libor Market Model que será el

encargado de la generación de escenarios.

Existen modelos analíticos para valorar algunos productos de tipos de interés como el

modelo de Black, este modelo se explicará con más detalle en la sección 2.2. El objetivo del

proyecto será realizar unos modelos de simulación fiables que sean una alternativa al modelo

de Black y que a su vez puedan valorar productos que no puedan ser abordados por el modelo

de Black. Uno de los productos que valorará el proyecto es la Swaption Bermuda que no

puede ser valorada con el modelo de Black. Para la valoración de este producto se construirá

en primer lugar la curva de tipos con el Libor Market Model y posteriormente aplicando la

función de payoff adecuada se realizará un Montecarlo americano para poder calcular el precio

teniendo en cuenta que la opción se puede ejercer en varias fechas.

Por último se explicará la diferencia entre opciones bermuda, americanas y europeas

que facilitará la comprensión de la valoración de la Swaption Bermuda. La diferencia entre

estos tres tipos de opciones es la posibilidad de ejercicio de las tres. Una opción europea tiene

una sola fecha de ejercicio que es la fecha de vencimiento de la opción. Las opciones bermuda

y americanas tienen varias fechas de vencimiento. Las opciones americanas se pueden ejercer


-5-

todos los días hasta el vencimiento de la opción mientras que una bermuda tiene unas fechas

de ejercicio fijadas antes del vencimiento de la opción. Ya que las opciones bermuda y las

opciones americanas tienen más derechos que las opciones europeas por tener la posibilidad de

ejercer estas opciones con más frecuencia, su precio es más elevado. A mayor posibilidad de

ejercicio de la opción más cara es:

1.2.3 GRIEGAS

Las Griegas en el mundo financiero representan los parámetros que miden la sensibilidad

de los derivados con respecto a ciertos factores. Existen muchas griegas, tantas como

parámetros podamos evaluar. Las griegas sirven para gestionar el riesgo y son muy importantes

en el trabajo que realizan los traders día a día. Estos parámetros son necesarios para realizar las

coberturas adecuadas para cada derivado.

El orden de las griegas depende del orden de la derivada parcial con respecto al parámetro

a evaluar. Se evaluarán la delta y la vega de la Swaption Bermuda que se valorará para decidir

la estrategia de cobertura adecuada con el swap correcto.

La delta mide la sensibilidad del derivado con respecto al precio del activo subyacente. La

delta es la primera derivada del precio del derivado con respecto al precio del activo

subyacente.

La delta que se calculará de la Swaption Bermuda medirá la sensibilidad del precio de la

bermuda con respecto a un movimiento de un punto básico de la curva de tipos de interés.

Servirá para calcular el precio de la bermuda cuando exista un movimiento paralelo de un

punto básico de toda la curva de tipos de interés. Se podrá evaluar también la sensibilidad del

precio de la bermuda con respecto a un movimiento de un punto básico en ciertos puntos de

la curva de tipos, no solamente de un movimiento de toda la curva.

La vega mide la sensibilidad del derivado con respecto a la volatilidad del activo

subyacente. Es la primera derivada del precio del derivado con respecto a la volatilidad del

activo subyacente.


-6-

La vega que se calculará de la Swaption Bermuda medirá la sensibilidad del precio de la

bermuda a un movimiento de un punto porcentual de la volatilidad a lo largo de cada elemento

de la matriz de volatilidades que utilizaremos como input en nuestro Libor Market Model.

Por último se introducirá lo que es un punto básico para mejor comprensión de las

sensibilidades de los derivados. Un punto básico representa una centena de un punto

porcentual.

1.3 OBJETIVOS Y MOTIVACIÓN

El objetivo principal del proyecto es poder valorar opciones de tipos de interés con unos

modelos de simulación. Los modelos de simulación deberán ser capaces de valorar productos

que se puedan valorar con modelos analíticos y aquellos que no se puedan abordar

analíticamente, como la Swaption Bermuda.

La utilidad del proyecto es poder proporcionar a los traders una herramienta fiable que

valore de forma precisa los numerosos derivados de tipos de interés. Esta herramienta tiene

que ser capaz de ajustar el precio de estos derivados a la realidad del mercado aunque se

modifiquen cualquiera de las variables de entrada a la herramienta. Se harán comparaciones

con modelos analíticos para calibrar la herramienta y los modelos utilizados.

Trading es una división dentro de una entidad financiera, el trader es responsable de

proporcionar liquidez a los mercados financieros y administrar los riesgos de los libros de una

entidad financiera. Los traders se dedican a comprar y vender productos en el mercado

secundario constantemente, inyectando de esta manera liquidez en los mercados. Ellos son los

encargados de crear un mercado para los productos financieros en el mercado secundario ya

que son ellos los que ponen precio a los productos, de ahí su denominación “market makers”.

A parte de estas funciones, un trader tiene que ser capaz de gestionar los riesgos de los libros


-7-

de la entidad financiera. Los traders se encargan de operar estos libros e intentan ganar dinero

a través de su gestión para la entidad financiera.

Después de una breve introducción al trading, se observa la gran importancia que los

traders tengan un modelo sólido para valorar productos del mercado dada la gran

responsabilidad que han adquirido tanto en las entidades financieras como en el sistema de los

mercados financieros.

La motivación para la realización del proyecto viene dada por la gran importancia que

tienen hoy en día los mercados financieros en nuestro sistema económico. Los conocimientos

financieros cada día son más importantes para poder tener una carrera exitosa en el mundo

laboral. La realización de este proyecto proporciona una extensa comprensión de todo tipo de

productos derivados, mercados financieros, cálculo matemático y programación para la

ejecución y puesta a punto de la herramienta de valoración. Además, la posibilidad de

desarrollar una herramienta de valoración de productos financieros para el Banco Santander le

añadia una dimensión más al proyecto.

1.4 ESTRUCTURA DEL PROYECTO

El proyecto tiene una estructura piramidal, cada pieza y programa servirá de base para el

desarrollo del siguiente programa. La herramienta valorará numerosos derivados de tipos de

interés, pero como objetivo final y más complicado valorará una Swaption Bermuda. Previo a

este objetivo se desarrollarán otros programas que formarán parte de la herramienta y que

serán fundamentales para la obtención de los conocimientos adecuados para valorar la

Swaption Bermuda.

La primera parte del proyecto incluye una comprensión básica del cálculo estocástico. Se

profundizará en el Lemma de Ito y de las distribuciones Brownianas geométricas que serán

fundamentales para la generación de escenarios de nuestro activo subyacente. Dentro del

cálculo estocástico se mirarán además los conceptos de martingala y de numerarios que serán

muy útiles para diseñar los Montecarlos del proyecto. El proyecto también se centrará en la

comprensión teórica productos de mercado que serán valorados a lo largo del trabajo: bonos

cupón cero, swaps, caplets,caps, swaptions y una variedad de opciones.

A continuación se valorarán opciones de una sola variable estocástica. Se comenzará

valorando una call y una put ‘plain vanilla’. Primero se generarán unos escenarios del activo


-8-

subyacente, y posteriormente con un Montecarlo se obtendrá el valor esperado del payoff de

las opciones. Este modelo se comparará con el modelo analítico de Black-Scholes y se

desarrollará para valorar otras opciones.

Partiendo del modelo anterior se utilizará el mismo procedimiento para valorar una opción

asiática. La diferencia con las opciones europeas se dará en la función de payoff que será

modificada.

En tercer lugar se transformará este programa para valorar opciones con varias fechas de

ejercicio de una sola variable estocástica. Se utilizará un modelo parecido para la generación de

escenarios y a la función de payoff de las opciones ‘plain vanilla’ pero se modificará el

Montecarlo. Se desarrollará un Montecarlo americano junto con un modelo Longstaff-

Schwartz, modelo de regresión lineal dentro de la calibración para tomar la decisión de

cancelación de la opción, que calculará el precio de la opción teniendo en cuenta la fecha de

ejercicio óptimo de la opción.

La siguiente parte del proyecto será la implementación de unos programas para hacer un

bootstrapping de la curva de swaps y de forwards para sacar los factores de descuento que

servirán para la implementación del Libor Market Model. Se utilizarán los factores de

descuento para posteriormente valorar caps y caplets y se comparará este modelo con el

modelo analítico de Black. El modelo de Black es la resolución de una ecuación diferencial

parecida a la fórmula de Black-Scholes pero se utiliza para valorar opciones de tipos de interés.

Obtenidos todos estos elementos, se comenzará a implementar el Libor Market Model. El

Libor Market Model simulará toda la curva de Líbores y será fundamental para valorar los

caplets y posteriormente las swaptions y las Swaptions Bermuda. Se calibrará el Libor Market

Model (LMM) cambiando la matriz de correlaciones y añadiendo un programa para simular

varias variables estocásticas. Se empezará por calibrar y ajustar los factores de descuento del

LMM con los del modelo de Black. Una vez hecha está comprobación se valorarán los caplets

y se compararán con la valoración de caplets del modelo de Black y con un modelo de

implementado previamente que utiliza la generación de escenarios de los primeros programas.

Consecutivamente se harán pruebas variando la matriz de correlación de los Líbores y el

número de factores para observar el comportamiento del modelo frente a estas variaciones.

Por último se valorarán las swaptions a través de la implementación de la función de payoff

adecuada.


-9-

La última parte del proyecto será la modificación del Montecarlo americano para valorar

Swaptions Bermuda y el cálculo de las sensibilidades del producto a través de la delta y la vega.

Se utilizará el Montecarlo americano implementado en la primera parte del proyecto y se

ajustará para valorar swaptions. Se generará la curva de Líbores con el LMM y posteriormente

con el Montecarlo americano y el modelo de Longstaff-Schwartz se valorarán las swaptions

Bermuda. Se irán modificando el número de factores para ver el efecto en el precio de la

Swaptions Bermuda y se comparará su precio con una cesta de swaptions y con el valor

máximo de las swaptions para diferentes correlaciones de los Líbores.

Finalmente se implementarán dos programas por separado para calcular la delta, la

sensibilidad de la Bermuda a la curva de tipos generado con el LMM, y la vega, la sensibilidad

de la Bermuda a la matriz de volatilidad del LMM.


-10-


-11-

2. INFORME BIBLIOGRÁFICO

2.1 CÁLCULO ESTOCÁSTICO

Para realizar una valoración correcta del precio de un derivado, existen dos alternativas:

En primer lugar se podrá utilizar el cálculo estocástico para desarrollar ecuaciones diferenciales

para el precio de las opciones o se podrá utilizar medidas de probabilidad sintéticas para poder

valorar las opciones a través del valor esperado. En esta sección se introducirá el modelo

Browniano geométrico y el desarrollo del Lemma de Ito que serán fundamentales para la

generación de las simulaciones de la evolución de nuestro activo subyacente.

2.1.1 MOVIMIENTO BROWNIANO

El movimiento Browniano (‘Brownian motion’) es un concepto que está aplicado

directamente al campo financiero para valorar opciones aunque su verdadero origen viene

dado por el movimiento aleatorio de las partículas de un fluido. Este movimiento se aplicará

para definir el camino aleatorio que recorre el activo subyacente en las opciones. La sección se

basará en el capítulo 5.2 “Brownian Motion” del libro “The Concepts and Practices of

Mathematical Finance” del autor M.S. Joshi [JOSH03].

Se supondrá una variable que tiene un movimiento aleatorio y se discretizará el tiempo

en intervalos. El movimiento de esta variable se compone de dos partes: una parte fija y

determinística y otra parte aleatoria. Se hará que los intervalos de tiempo tiendan a cero para

que la variable aleatoria tenga una media y una varianza constante. Esta variable seguirá una

distribución normal al final del tiempo del intervalo con una media µ y una varianza σ², que

tendrá las siguientes notaciones:

( ) ó ( )

En la mitad del intervalo por lo tanto la variable seguirá la misma distribución pero con

una media de µ/2 y una varianza de σ²/2. Utilizando una notación distinta donde llamaremos a

nuestro intervalo [0,T], tenemos que la variable aleatoria sigue la misma distribución normal

pero con media µT y varianza σ²T. Partiendo de esta base nos fijamos en un subintervalo de

tiempo más pequeño [0,t] donde t ≤ T. Ahora se puede reunir una serie de variables aleatorias

que siguen la misma distribución normal con media µt y varianza σ²t. Generalizando está teoría


-12-

se puede decir que tenemos una variable llamada que empieza en el origen de tiempos y se

mueve una distancia en el tiempo t. Discretizando el tiempo en intervalos aún más

pequeños, con un intervalo [s,t] donde s < t se puede afirmar que la distribución que siguen las

variables es una distribución normal de media µ(t-s) y varianza σ²(t-s).

Por tanto se concluye que todas las variables son independientes unas de otras. Esta

conclusión se puede ver a través de las diversas discretizaciones de tiempo que se han hecho en

el párrafo anterior donde se puede ver como la suma de variables que conforman la variable

son independientes de las que conforman la variable . Consecuentemente se puede

afirmar que todas las variables son independientes entre sí y por lo tanto concluir que el precio

histórico de nuestro activo subyacente no afecta a los movimientos futuros del precio de

nuestro activo. Esto se denomina la propiedad de Markov.

Siguiendo este razonamiento, se puede decir que se puede construir un movimiento

Browniano a partir de una serie de variables tal que siguen una distribución normal

de media µ(t-s) y varianza σ²(t-s).

Matemáticamente se definirá un movimiento Browniano como una secuencia de

variables aleatorias, , que para t ≥ 0 y para cada t y s, donde s < t, tenemos una

variable que sigue una distribución normal con varianza σ²(t-s) y su distribución es

independiente del comportamiento de una variable donde r ≤ s.

Las propiedades de este tipo de variables son singulares. En primer lugar genera un

camino continuo pero a la vez no es derivable en ninguna parte. El camino que recorren estas

variables también tiene una variación infinita por lo tanto la cantidad de cambio en el

recorrido es infinita. Sí se tiene en cuenta que la variable sigue un recorrido aleatorio

moviéndose hacia arriba y hacia abajo, y se cambiase los movimientos hacia abajo por

movimientos hacia arriba el recorrido se iría rápidamente al infinito.

2.1.2 LEMMA DE ITO

El Lemma de Ito es un elemento crucial para derivar ecuaciones diferenciales

estocásticas. Está sección está basada en el capítulo 5.4 “Ito’s Lemma” del libro “The

Concepts and Practices of Mathematical Finance” del autor M.S. Joshi [JOSH03].


-13-

El Lemma de Ito tiene la misma aplicación que la regla de la cadena para ecuaciones

diferenciales ordinarias, la diferencia es que el Lemma de Ito se aplicará a procesos aleatorios y

a ecuaciones diferenciales estocásticas.

Podemos definir una ecuación diferencial estocástica de la siguiente manera:

( ) ( )

Donde es una variable aleatoria que sigue un proceso de Ito y sigue un movimiento

Browiano.

Se supondrá una función ( ) tal que sea dos veces derivable y aplicando el

razonamiento anterior sabemos que ( ) sigue un proceso de Ito. Partiendo de la

ecucación diferencial estocástica anterior, el Lemma de Ito nos dice que:

( ( ))

( ) ( )

( )

Donde tenemos una derivada de segundo orden, que se llamará el término de Ito:

( )

. La segunda derivada está definida por los siguientes parámetros:

Una de las conclusiones más importantes del Lemma de Ito es la regla de la

cadena para procesos de Ito. Suponiendo dos variables e que siguen procesos de Ito, si

se aplica el Lemma de Ito se obtiene:

( )

Finalmente se expondrá una aplicación práctica del Lemma de Ito que luego servirá

para implementar las funciones de generación de escenarios. Al principio del proyecto se

valorarán opciones de una sola variable estocástica, y para facilitar el cálculo del precio de estas

opciones se supondrá que su activo subyacente es la renta variable, el precio de una acción. Se

supondrá la evolución del precio de una acción como un movimiento Browniano geométrico.


-14-

Los movimientos del precio de una acción son proporcionales al valor actual de la acción, por

eso su precio sigue el movimiento Browniano geométrico descrito en la siguiente ecuación:

El valor de es lo que se denomina el drift y determina la tendencia de los

movimientos del precio de la acción, mientras que es la volatilidad y cuantifica las subidas y

las bajadas de precio de la acción, también denominado el riesgo de la acción.

Se partirá de la hipótesis que el precio de la acción sigue una distribución log normal, o

lo que es lo mismo el logaritmo del precio de la acción sigue una distribución normal.

Teniendo en cuenta que y por lo tanto que entonces sabemos a través

del Lemma de Ito que sigue la siguiente ecuación diferencial estocástica:

( ) ( ) ( )

( )

Sabiendo que:

( )

( )

Nos queda la siguiente ecuación diferencial para .

(

)

Por último resolviendo la ecuación diferencial estocástica nos quedará:

(

) √ ( )

Sustituyendo nos queda la siguiente ecuación que determina el precio de la

acción en el tiempo:

(

) √ ( )


-15-

Está ecuación que se desarrolla a partir del Lemma de Ito es la que nos determinará la

generación de escenarios para el capítulo 3 del proyecto y para varios de los programas que se

implementarán para valorar las opciones con una sola variable estocástica.

2.2 MODELOS DE VALORACIÓN ANALÍTICOS

En el año 1973, Fisher Black y Myron Scholes desarrollaron un modelo matemático

para la valoración de derivados financieros. Este modelo es capaz de poner un precio a ciertos

derivados que cotizan en los mercados financieros a través de la resolución de una ecuación

diferencial. Está ecuación se consolido después de que Black- Scholes construyeran una cartera

con una opción sobre unas acciones y esas mismas acciones. Desarrollaron una teoría para

cubrir dinámicamente su cartera y finalmente conseguir eliminar el riesgo de su ecuación

diferencial para que tuviese una solución.

Gráfica 1.- Evolución del precio de una acción según un movimiento browniano geométrico con 100 escenarios


-16-

En esta sección se introducirá el método de Black-Scholes que sirve como base para

valorar derivados más complejos y como modo de comprobación para la valoración de

derivados más simples con los modelos de simulación del proyecto. Por otro lado se expondrá

también el modelo de Black que también se basa en la resolución de una ecuación diferencial

como el método de Black-Scholes y será de gran utilidad para este proyecto ya que sirve para

valorar opciones de tipos de interés.

2.2.1 MODELO DE BLACK-SCHOLES

Se derivará la ecuación de Black Scholes partiendo de los conocimientos del cálculo estocástico

en la sección 2.1. Este modelo se basará en el precio spot del activo subyacente. El precio spot

se refiere al precio a día de hoy del activo subyacente. El Browniano geométrico que sigue el

precio spot de una acción seguirá la ecuación estocástica:

La idea de Black-Scholes es valorar el precio de una opción de compra europea,

denominada call option. Se supondrá un call, C, sobre una acción, S, que vence en el tiempo T

y que tiene un strike K . El strike de una call option es el precio al cual está acordado comprar

el activo subyacente cuando se ejerza la opción. Se valorará la opción para un tiempo t < T.

Aplicando el Lemma de Ito se saca la ecuación diferencial de la call option:

( )

( )

( )

( )

Metiendo el desarrollo el desarrollo de en la ecuación y construyendo un portfolio

como el descrito en la introducción de la sección 2.2: una opciónn y α acciones. Tendremos la

siguiente ecuación:

( ) (

( )

( )

( ) ) (

)

Para cubrir este portfolio de la delta, se saca que

( ) . El signo menos

significa que para cubrir el portfolio de delta se deberían vender

( ) acciones. Con la

construcción de esta cartera se obtiene una cartera libre de riesgo ya que se elimina el

componente de aleatoriedad. Al ser libre de riesgo la propia cartera crecerá al tipo de interés

libre de riesgo denominado r. La ecuación que finalmente queda es la ecuación diferencial de

segundo orden de Black-Scholes:


-17-

( )

( )

Se pueden sacar varias conclusiones de la ecuación de Black-Scholes. En primer lugar

se puede observar que el precio de la opción call solamente depende de los parámetros r, S, σ

y t. La siguiente conclusión que se puede sacar de la ecuación es que el precio de la call es

independiente del drift, . El drift es la tendencia del precio del activo subyacente en este caso

del precio de la acción. Se puede decir que dos inversores pueden tener distintas opiniones de

la tendencia que seguirá el precio de la acción pero si los dos inversores coinciden en que la

acción tiene la misma volatilidad entonces el precio que estarán dispuestos a pagar por la call

será el mismo.

Por último se expondrá la resolución de la ecuación de Black-Scholes y se comentará

las distintas variables que intervienen en el cálculo del precio de la call:

( ) ( ) ( ) ( )

= (

) (

)( )

√

√

( ) Corresponde con la función de distribución normal acumulada.

Corresponde con el strike o precio de ejercicio de la opción.

Finalmente con una simple ecuación y con 6 parámetros: tipo de interés libre de riesgo,

el precio de ejercicio, el vencimiento de la opción, el precio de la acción en t, la volatilidad de la

acción y por último el tiempo t en el que se desea calcular el precio de la call se puede obtener

el precio de una opción de compra.

Todo el desarrollo de la derivación de la ecuación de Black-Scholes está basado en el

Capítulo 5.6, “An informal derivation of the Black-Scholes equation” [JOSH03].

2.2.2 MODELO DE BLACK

El modelo de Black es un modelo analítico que sirve para valorar opciones de tipos de

interés. La fórmula de Black es una variación de la ecuación de Black-Scholes. La diferencia se

halla en que la fórmula de Black se utilizó para valorar opciones sobre forwards. El Browniano


-18-

geométrico que sigue un forward no tiene drift de ahí la diferencia con la ecuación de Black-

Scholes. La ecuación diferencial estocástica que sigue el forward es la siguiente:

Al no tener drift o deriva se puede decir que el precio forward es una martingala, este concepto

se introducirá en la sección 2.3.2.

Siguiendo los mismos pasos que para la derivación de la ecuación de Black-Scholes se

obtendría la ecuación diferencial de Black:

Por último resolviendo la ecuación diferencial se obtiene la ecuación de Black. La

estructura es muy parecida a la ecuación de Black-Scholes pero interviene el precio forward en

vez del precio spot:

( ) ( ) ( ) ( )

= (

) (

)( )

√

√

es el precio del Forward en t.

2.3 FACTORES DE DESCUENTO

Los factores de descuento tomarán una gran importancia en el proyecto y determinarán

como descontar los flujos de caja para calcular los NPVs (Net Present Value) o VAN (Valor

Actual Neto) de las opciones.

El factor de descuento que se utilizará durante la realización del proyecto será el bono

cupón cero. El bono cupón cero tiene el mismo funcionamiento que un bono normal, por

ejemplo un bono estatal, pero no pagará cupones durante la vida del bono.

2.3.1 BONOS CUPÓN CERO

A la hora de valorar el precio de derivados, el proyecto tendrá en cuenta el valor del

dinero y para ello tendrá que utilizar los denominados factores de descuento. Los factores de

descuento que se utilizarán serán los bonos cupón cero. El bono cupón cero es un instrumento


-19-

financiero de renta fija que paga el principal en la fecha de vencimiento sin pagar cupones en

fechas intermedias.

En primer lugar el bono cupón cero que utilizará en el proyecto es aquel que paga la

unidad monetaria en la fecha de vencimiento. En otras palabras, el principal que pagará este

instrumento es la unidad monetaria. Esta convención se utilizará para simplificar los cálculos.

Este producto se describe matemáticamente de la siguiente manera:

( )

( )

( )

Debido a que este producto paga la unidad monetaria en su fecha de vencimiento, se

sabe que su valor a día de hoy o tiempo 0 este producto vale la unidad monetaria. Esto se ve

reflejado en la ecuación 1.1. La ecuación 1.2 generaliza el valor del bono cupón cero para cada

tiempo t. El desglose de la nomenclatura es la siguiente: T es el vencimiento del bono cupón

cero, t es el tiempo en el cual se encuentra el bono y la i es el tipo de interés.

Se hará un bootstrapping de la curva swap para sacar los factores de descuento a

modo didáctico en la sección 4.1, y para sacar los factores de descuento del Libor Market

Model se utilizará un bootstrapping de la curva de Forwards en la sección 6.7.

2.4 MODELOS DE SIMULACIÓN

El proyecto tratará con modelos de simulación para valorar diferentes opciones. La

valoración de estos modelos de simulación se ajustará a través de los modelos analíticos

descritos anteriormente. Una vez calibrados los modelos de simulación para que valoren

productos más simples se pasará a la valoración de derivados más complejos.

Al principio se calibrará un modelo de simulaciones de Montecarlo que valore

opciones de una sola variable estocástica. A partir de ahí se implementará un Montecarlo

americano para valorar productos con varias fechas de ejercicio. En cuanto a la generación de

escenarios (evolución del precio del activo subyacente), se ajustará el Libor Market Model con

el modelo analítico de Black para la valoración de factores de descuento y de caplets.


-20-

2.4.1 MONTECARLO

Uno de los métodos más comunes para valorar opciones financieras es utilizando un

modelo de simulación Montecarlo.

Un Montecarlo utiliza la ley de los números grandes para calcular el valor esperado de

una sucesión de variables aleatorias que tienen la misma media y varianza. Matemáticamente se

representa en el capítulo 7.5, “Montecarlo” del libro “The Concepts and Practice of

Mathematical Finance” [JOSH03]:

∑

( )

es una secuencia de variables aleatorias que siguen una misma distribución.

es el número variables aleatorias.

Este método es muy útil para la valoración de opciones europeas. Se expuso con

anterioridad la evolución del precio del activo subyacente de la opción. Utilizando esta misma

idea se puede generar una serie de escenarios para el precio del activo subyacente. Cada

escenario tendrá una componente aleatoria independiente:

(

) √ ( )

Esta es la ecuación que se utilizará para generar los escenarios de nuestro activo subyacente. Se

puede observar que contiene una parte aleatoria definida por: √ ( ). Donde ( ) es

una distribución normal aleatoria de media cero y varianza 1. Como cada escenario será

generado por variables aleatorias que siguen una misma distribución y son independientes, se

podrá aplicar el motor de Montecarlo para valorar la opción. En el caso de las opciones se

calculará el valor esperado del payoff dependiendo de los escenarios generados por el activo

subyacente.

Es de gran importancia señalar que el Montecarlo funcionará mejor cuantas más

simulaciones se generen, ya que para qué converja el resultado se necesitará una serie infinita

de variables aleatorias independientes.

2.4.2 L IBOR MARKET MODEL


-21-

El Libor Market Model se implementará para la generación de escenarios de la curva de

Líbores. Se necesitará la construcción de la curva de tipos de interés de una manera consistente

para valorar todo tipo de opciones cuyo activo subyacente sean los tipos de interés.

El Libor Market Model se diferencia del modelo de Black en que el modelo de Black

puede simular cualquier índice de tipos pero por separado. No logra que estos índices sean

consistentes entre sí mientras que el Libor Market Model es una extensión de este modelo y

construye la curva de tipos de manera consistente.

La simulación de la curva de tipos es la parte más compleja del proyecto. Su

complejidad se encuentra en que se la simulación se compondrá de una matriz tri-dimensional.

La primera dimensión de la matriz será la simulación de las referencias ligadas a los

tipos. Esta dimensión se representará a través del número de columnas y corresponderá al

número de índices simulados. Por ejemplo se simularán los Líbores hasta 10 años y que fijen

cada medio año. Por lo tanto en ese ejemplo se tendrán 21 Líbores: el Libor a día de hoy que

fija en 6 meses el Libor en 6 meses que fija en un año, etc.

La segunda dimensión de la matriz será el número de filas y representará el tiempo

futuro. Se simularán todos los índices establecidos por el número de columnas pero simulados

a tiempo futuro. Esto significa que se tendrá una matriz triangular ya que cada fila representará

un salto en el futuro. El elemento de la matriz será el Libor a día de hoy a 6 meses, en la

segunda fila el Libor a 6 meses desde hoy no existirá ya que la segunda fila representa un salto

en el futuro de 6 meses y el primer elemento distinto de 0 de esa fila sera el que será el

Libor dentro de 6 meses que fije en el año.

Una vez construida una matriz de Líbores se tendrá un solo escenario de la curva de

tipos. La idea es que si se quiere utilizar un modelo Montecarlo para valorar las opciones de

tipos se necesitarán muchos escenarios, sección 2.5.1. La tercera dimensión de la matriz será el

número de matrices que corresponderá con el número de escenarios. Se construirán tantas

matrices descritas anteriormente como número de escenarios se quieran.

El Libor Market Model se explicará en más profundidad en el capítulo 6, donde se

desarrollará como se lleva a cabo la simulación.


-22-


-23-

3. VALORACIÓN DE OPCIONES DE UNA

SOLA VARIABLE ESTOCÁSTICA

A partir de este capítulo se contará el desarrollo del proyecto y los resultados obtenidos

de la herramienta implementada para la valoración de opciones.

Esta primera parte de la herramienta servirá para calibrar el Montecarlo y el Montecarlo

americano. Para ello se valorarán opciones de una sola variable estocástica cuyo activo

subyacente sea el precio de una acción. Para calibrar los modelos de simulación se comprarán

con modelos analíticos como el modelo de Black-Scholes.

3.1 VALORACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS

En primer lugar se valorarán opciones europeas ‘plain vanilla’. Estas opciones se

pueden valorar con el modelo de Black-Scholes y por lo tanto será de gran importancia calibrar

el precio del Montecarlo con el precio de Black-Scholes para estas opciones.

Una opción europea es un contrato sobre el precio de un activo subyacente, en este

caso serán acciones, y que solamente pueda ejercerse el día de vencimiento de la opción. Los

parámetros que conforman el contrato serán: el tiempo de vencimiento , el Strike o precio de

ejericio , y el precio spot o precio de la acción a día de hoy . También se tendrá en cuenta

el nominal que será el número de acciones que se puedan comprar o vender, este parámetro no

se tendrá en cuenta durante el proyecto.

Para la valoración de este tipo de opciones se necesitará algún parámetro más. Estos

parámetros son los expuestos anteriormente para el modelo de Black-Scholes: la volatilidad del

activo subyacente , y el tipo de interés libre de riesgo . Con estos dos parámetros de entrada

adicionales se puede definir el valor de estas opciones.

3.1.1 GENERACIÓN DE ESCENARIOS

La primera parte para construir el modelo de simulación Montecarlo es analizar el

precio del activo subyacente a lo largo del tiempo. Para poder implementar la evolución del

precio de la acción se deberá recurrir al cálculo estocástico y al Lemma de Ito, donde después

de resolver la ecuación diferencial estocástica del precio spot de una acción se plantea la

siguiente ecuación:


-24-

(

) √ ( )

Esta ecuación está generalizada para saber el precio de la acción en el tiempo t

sabiendo el precio inicial de la acción . El modelo que se desarrollará hará una discretización

del tiempo para simular el precio de la acción para intervalos de tiempo años. Por lo

tanto la ecuación que seguirá la función de generación de escenarios será parecida pero

ajustada para simular el precio para estos de intervalos de tiempo:

(

) √ ( )

Se simulará el precio de la acción durante 5 años que será el tiempo de vencimiento de

la opción y se simulará el precio para intervalos de . El tiempo se pasará a la función

de escenarios a través de un vector de tiempos.

Para que el Montecarlo converja de una forma precisa se simularán muchos escenarios

para la evolución del precio de una acción. La variable ‘numscenarios’ se pasará a la función de

generación de escenarios para simular los escenarios indicados. El precio spot de la acción será

$100 y por lo tanto todos los escenarios se simularán a partir de este precio.

El código queda presentado de la siguiente manera:

function Escenarios = SimulateBS(S0, sigma, r, times, numscenarios)

% Returns a matrix with the scenarios

Escenarios = zeros(numscenarios, size(times,2));

N = stdnormal_rnd(numscenarios, size(times,2));

for j = 1:numscenarios

Escenarios(j, 1) = S0;

for i= 2:(size(times,2))

dt = times(i)-times(i-1);

Escenarios(j,i) = Escenarios(j,i-1)*exp((r-sigma*sigma/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*N(j,i));

end


-25-

end

return

La parte aleatoria de la evolución del precio de la acción se implementará con una

matriz de normales aleatorias de media 0 y varianza 1.

El resultado final es una matriz de escenarios. La matriz tiene como número de filas el número

de escenarios generados y como número de columnas el número de elementos del vector de

tiempos. Cada columna representa el precio en cada intervalo de tiempo simulado.

Se puede observar según la ecuación que desarrolla la evolución del precio de una

acción en el tiempo, que el precio de la acción en el tiempo debería seguir una

distribución log-normal de media

y varianza √ . Para ello se pintó la gráfica del

precio de cada escenario en el tiempo .


-26-

La forma del histograma representa claramente que la distribución que siguen los

escenarios para el tiempo es una distribución log-normal. Por lo tanto la primera prueba

de la función de generación de escenarios es válida, y se podrá seguir construyendo el modelo

implementando a continuación la función de payoff y la función del Montecarlo.

3.1.2 PAYOFF

Una vez obtenida la función de escenarios se calculará el payoff de la opción

dependiendo del precio de la acción para cada escenario en el tiempo de vencimiento de la

opción.

La función payoff hará posible que se valore tanto una opción de compra, ‘opción call’

o una opción de venta, ‘opción put’. Primero se explicará el payoff de una call y una put.

El payoff de una opción call europea está definido matemáticamente por esta fórmula:

( ) ( )

Gráfica 2.- Distribución Log-normal de los escenarios en el tiempo de vencimiento para 5000 simulaciones


-27-

Para calcular el payoff de una opción europea, uno se fijará en el precio de la acción el día del

vencimiento de la acción. A partir de ahí se decidirá dependiendo del precio de la acción y del

precio de ejercicio o strike si ejercer la opción o no. En el caso de una call, si el precio de la

acción es mayor que el precio de ejercicio o strike se ejercerá la acción y el valor del payoff será

la diferencia entre los dos valores. En el caso que el precio de la acción sea menor que el strike

no se ejercerá la acción y por lo tanto el dueño de la opción recibirá un payoff igual a 0.

El payoff de una opción put es parecido a una opción call, la diferencia se halla en que

la opción put te da el derecho de vender unas acciones al precio de ejercicio. Matemáticamente

se define de la siguiente manera:

( ) ( )

Está opción se ejercerá cuando el precio de la acción este por debajo del precio de

ejercicio para que el dueño de la acción reciba un payoff.

Para que la función de payoff pudiese definir tanto el payoff de una call como el payoff

de una put se le añadió una variable de entrada denominada ‘type’. Nótese que la diferencia

entre el payoff de una call y una put es que la ecuación está cambiada de signo. La variable

‘type’ podrá tomar los valores de 1 o -1 para diferenciar el payoff de una call o de una put.

El payoff se calculará para cada escenario generado por lo tanto la función payoff

devuelve un vector, un elemento por cada escenario.

A continuación se presentará el código que define la función de payoff:

function payoff = PayoffCall(K, scenarios,type)

% Returns the value of the payoff

% type 1 call y type-1 put

payoff = max(type*(scenarios(:,end)-K),0);

return


-28-

3.1.3 MONTECARLO

Una vez obtenido el vector de payoff para cada escenario en se aplicará la

función de Montecarlo que calculará el valor esperado del vector de payoff y descontará el

valor esperado a día de hoy con el factor de descuento adecuado. Para este caso se descontará

con el tipo libre de riesgo .

Se puede aplicar el modelo de simulación Montecarlo dado que se cumplen las

condiciones explicadas en la sección 2.5.1. El valor que devuelve la función Montecarlo será el

valor de la opción, ya que el precio de la opción siempre será el payoff esperado que el dueño

de la opción recibirá.

La función de Montecarlo queda de la siguiente manera:

function NPV = EngineMC(payoff, r , times)

% Returns the NPV of the call

result = mean(payoff);

NPV= result/(1+times(end)*r);

return

3.1.4 RESULTADOS

Ya implementado el modelo de simulación, se ajustará el Montecarlo con los precios

del modelo de Black-Scholes. Se implementará la fórmula de Black-Scholes que valore una

opción call con los mismos datos de partida que el modelo de simulación construido.

Para comparar los dos modelos se construirá un vector de strikes que empiece en $70

con saltos de $10 hasta $150. Se calculará el precio de la acción para cada strike del vector de

strikes tomando los dos modelos. El vector de strikes se diseñará de este manera ya que se

puede calcular el precio de la opción cuando está ‘fuera de dinero’, ‘en dinero’ y ‘dentro de

dinero’. Está terminología se utiliza para definir la situación de la opción frente al precio de la

acción.

El precio spot de la acción en este caso es $100 si tomamos como ejemplo una opción

de compra:


-29-

La opción dentro de dinero, ‘in the money’

La opción esta en dinero, ‘at the money’

La opción está fuera de dinero. ‘out of the money’

Se utilizarán pocas simulaciones en una primera prueba y se irán aumentando para

confirmar que el precio del Montecarlo converge al precio de Black-Scholes a media que se

aumente el número de simulaciones.


-30-

Gráfica 3.- Precio de una Opción Call Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte Carlo y para el Modelo

Black-Scholes con 100 000 Simulaciones

Gráfica 4.- Precio de una Opción Call Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte Carlo y para el Modelo Black -Scholes con 100 Simulaciones


-31-

De estas dos gráficas se pueden sacar tres conclusiones:

1. En primer lugar que a medida que se aumenta el número de simulaciones el

precio del Montecarlo converge a el precio de Black-Scholes

2. En segundo lugar que el modelo de simulación Montecarlo está perfectamente

calibrado ya que con 50 000 simulaciones, el precio del Montecarlo se ajusta con

un error despreciable al precio de Black-Scholes.

3. En tercer lugar se puede observar que el precio de una call es decreciente con un

aumento del strike. Esto se debe a lo explicado con anterioridad en la sección

3.1.2, donde el payoff que recibe el dueño de una call es mayor cuanto menor sea

el stike para un mismo precio de la acción.

Por último se presentará una gráfica que compare los dos modelos para la valoración de una

opción put europea:

Gráfica 5.-Precio de una Opción Put Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte Carlo y para el Modelo Black-Scholes con 100 Simulaciones


-32-

Finalmente se puede concluir que el modelo de simulación Montecarlo es capaz de

valorar tantas opciones call europeas como opciones put europeas con la misma precisión que

el modelo de Black-Scholes. El modelo por lo tanto está calibrado y se utilizará para valorar

otras opciones que son el objetivo principal de este proyecto.

3.2 VALORACIÓN DE OPCIONES ASIÁTICAS

Las opciones asiáticas son un tipo de opciones denominadas ‘Multi-look options’ o ‘path-

dependent exotic options’. Reciben este nombre porque el payoff de la opción depende del

precio del activo subyacente a lo largo de la vida de la opción.

En esta sección se introducirán las opciones asiáticas, la forma de calcular su payoff y

como calcular su precio. El cálculo del precio de una opción asiática sobre una acción servirá

para profundizar en la comprensión de productos de mercado y para seguir calibrando el


3.2.1 MULTI-LOOK OPTIONS

Las ‘Multi-look options’ son opciones cuyo payoff depende en el valor que toma el

activo subyacente durante la vida de la opción. Las opciones de este tipo más comunes son las

opciones asiáticas y las opciones barreras. Para está parte del proyecto solamente se tendrá en

cuenta el funcionamiento de las opciones asiáticas.

Se explicará en primera instancia porque podría ser interesante para una empresa o

para un inversor comprar una opción asiática. Se supondrá una empresa o un inversor que

recibe una cantidad importante de flujos de caja de una forma habitual en otra divisa. Cada año

este sujeto o empresa tendrá que asumir un riesgo de divisa ya que el mercado de divisas sufre

constantes fluctuaciones. El sujeto o a la empresa puede no importarle el valor de flujos de caja

que pueda recibir mensualmente porque debido a las fluctuaciones de la divisa puede haber

meses donde los flujos de caja sean muy altos o muy bajos. En cambio podría estar más

interesado en suavizar estos flujos de caja haciendo una media mensual para finalmente

quedarse con el flujo de caja anual. Utilizando esta estrategia la empresa o el inversor se está

cubriendo del riesgo de divisa ya que los flujos de caja de menor valor de algunos meses se

compensarán con los flujos de caja de gran valor cuando se calcule la media de los flujos de

caja mensuales. Está posibilidad de obtener la media de los flujos de caja durante ciertos

periodos es posible comprando una opción asiática [JOSH03].


-33-

Las opciones asiáticas también tiene la ventaja que son más baratas que si en el caso

anterior se comprase una opción por cada mes. Esto es debido a que una opción asiática

solamente tiene una sola decisión y un solo derecho, ejercer el día de vencimiento, mientras

que la suma de opciones mensuales en este caso conlleva 12 decisiones o 12 derechos

independientes.

3.2.2 GENERACIÓN DE ESCENARIOS

El proceso para valorar las opciones asiáticas será muy parecido al de la valoración de

opciones europeas. Se valorará una opción asiática sobre una acción para poder utilizar parte

del código de valoración de opciones europeas.

Se comenzará por generar los escenarios de la evolución del precio del activo

subyacente. En este caso como se ha comentado anteriormente será una acción, y por lo tanto

la función de generación de escenarios para la valoración de las opciones europeas podrá ser

re-utilizada. Aun así habrá una pequeña diferencia con respecto al otro código, y es que

anteriormente se simulaba el precio de la acción para saltos en el tiempo de años,

estos saltos eran totalmente arbitrarios, mientras que para una acción asiática se deben simular

como mínimo saltos de tiempo equivalentes a las fechas fijadas por la opción para evaluar el

precio de la acción.

Se podría haber decidido que la opción asiática se fijase en el precio de la acción para

intervalos de tiempo años pero se decidió construir un vector de tiempos adicional

‘asiantimes’ donde se simulará el precio en cada uno de esos tiempos para calcular el payoff. El

vector ‘asiantimes’ puede ser diferente del vector ‘times’ que había anteriormente incluso se

pueden utilizar los dos vectores para simular la evolución del precio.

Se comentará una modificación adicional de forma didáctica para añadir dividendos a la

acción. No se valorará la opción asiática sobre una opción con dividendos pero quedará

plasmado en la generación de escenarios para ver su efecto. Si se quiere valorar una opción

sobre una acción con dividendos se tendrá que simular la evolución del precio de la acción con

dividendos. Los dividendos harán que en la fecha de pago de dividendos el valor de la acción

disminuya de forma proporcional. Para ello se construirá un vector adicional de tiempos para

las fechas del pago de dividendos, ‘dividendtimes’. A su vez se construirá otro vector de

dividendos del mismo tamaño que el vector ‘dividentimes’. Se simulará por lo tanto el precio


-34-

de la acción para las fechas donde la acción pague dividendos aparte de simular el precio para

los elementos del vector ‘times’ y ‘asiantimes’, y se le añadirá una línea de código representada

por esta ecuación:

( ) (

) √ ( )

Donde es el valor del dividendo. Se utilizará está ecuación solamente cuando se

simule el precio en las fechas del vector ‘dtimes’. La siguiente gráfica representa 3 simulaciones

para la evolución del precio de una acción con dividendos al año y medio, tres años y cuatro

años y medio. Salto de dividendo

Gráfica 3-2-1 Gráfica 6.-Evolución del precio de una acción con pago de dividendos para 3 simulaciones


-35-

Se puede observar claramente como el precio de la acción para las 3 simulaciones

disminuye de forma proporcional a los dividendos en las fechas de pago de dividendos.

A pesar de que el código de la generación de escenarios para opciones europeas podría

haber sido re-utilizado. Se creó una función aparte para generar los escenarios de la opción

asiática. Esto se debe a que se depuró el código anterior eliminando los bucles for para poder

aumentar la velocidad de ejecución del programa. Se añadió también una variable denominada

‘seed’. Esta variable permite que todos los escenarios se generen a partir de la misma semilla y

por lo tanto la generación de escenarios es más fiable. La función devuelve una matriz de

escenarios donde sus filas son las fechas de simulación y el número de columnas el número de

escenarios. A continuación se presenta el código:

function Scenarios = SimulateAsianEscenarios(S0, times, sigma, r, d, asiantimes,

dtimes, numscenarios, seed)

% Returns a matrix with the scenarios

Scenarios = zeros(size(asiantimes,2), numscenarios);

N = zeros(size(asiantimes,2)-1,numscenarios);

randn("state", seed);

dt = zeros(1,size(asiantimes,2)-1);

dt = diff(asiantimes)';

N = randn(size(asiantimes,2)-1,numscenarios);

dtsig = repmat(sigma.*sqrt(dt),1,numscenarios);

size(dtsig,1)

size(dtsig,2)

% dtsig'

Nsigma = dtsig.*N;

dtr = repmat((r-sigma*sigma/2)*dt,1,numscenarios);

Nexp = exp(dtr+Nsigma);


-36-

Scenarios(1,:)= S0;

Scenarios(2:end,:) = Nexp;

Scenarios = cumprod(Scenarios,1);

return

3.2.3 PAYOFF

La gran diferencia para la valoración de este tipo de opciones se halla en el cálculo del

payoff. Las opciones asiáticas tendrán un precio de ejercicio , igual que las opciones europeas

y se ejercitarán también en la fecha de vencimiento de la opción . La forma de decidir si

ejercer la opción también se hace de la misma manera que para las opciones europeas, si el

payoff es positivo se ejerce la opción y sino no se ejerce la opción.

El cálculo del payoff para estas opciones ya no dependerá del precio de la acción en la

última fecha, sino que dependerá del precio que tome la acción a lo largo de ciertas fechas.

Matemáticamente se expresará de la siguiente manera [JOSH03]:

(

) (

∑

)

Con la matriz de escenarios generada anteriormente se implementará esta función de

payoff para valorar la opción asiática. La nueva función se llama ‘Payoffasian’ y el código

queda de la siguiente forma:

function payoffasian = PayoffAsian(K, Scenarios,asiantimes,times)

% Returns the value of the payoff

[m, s] = size(Scenarios);

payoffasian = zeros(1,s);

n=size(asiantimes,2);

asianmean = mean(Scenarios,1);

payoffasian = max(asianmean-K,0);


-37-

return

3.2.4 RESULTADOS

La última parte para valorar la opción es ejecutar el Montecarlo para evaluar el valor

esperado del payoff y descontarlo a día de hoy. Se analizará el comportamiento que tiene la

opción asiática para diferentes volatilidades con diferentes strikes. Para ello se ha de construir

un vector de volatilidades, denominado ‘sigma’.

La opción a la cual se pondrá precio vencerá en años, tendrá un precio spot

y el tipo interés libre de riesgo será . La opción se fijará en el precio de la

acción cada 0.01 años durante los 5 años de vida de la opción. Se valorará la opción asiática

para cada uno de los elementos del vector de volatilidades. El primer elemento del vector es

con saltos de hasta llegar a una volatailidad .

En teoría al aumentar la volatilidad de la acción la opción debería ser más cara. Bien es

cierto que si fuese una opción europea el valor de la opción debería crecer más rápido que el

de una asiática ya que el payoff depende de la fecha de ejercicio de la opción únicamente, y por

lo tanto a mayor volatilidad mayor valor podrá tomar la acción en esa fecha y

consecuentemente tendrá mayor valor el payoff. Mientras que para una opción asiática un

aumento de la volatilidad podrá hacer también que la acción tome valores más grandes a lo

largo de la vida de la opción, pero a su vez como el payoff depende de la media de todos los

valores que toma la acción a lo largo del tiempo limitará el valor esperado del payoff.


-38-

Efectivamente se puede observar que el precio de la opción europea es más alto para

cualquier volatilidad de la acción y que a su vez a mayor volatilidad el precio de la opción

europea crece más que el de la opción asiática.

Por último se analizará el comportamiento de la opción asiáticas para diferentes strikes

en función de la volatilidad. Se tomarán strikes de , y . A

medida que se aumente el strike, como se trata de una opción de compra asiática, debería tener

menor precio.

Gráfica 3-2-2 Gráfica 7.-Comparación Precio Opción asiática con opción Europea Black-Scholes en Función de la Volatilidad y Strike = $100


-39-

Gráfica 8.- Comparación Precios Opciones Asiáticas en función de la volatilidad con 3 Strikes diferentes: $70 (ve rde), $100 (rojo) y $130(azul)


-40-

Se cumple que independientemente del strike, el valor de la opción asiática aumenta

conforme aumenta la volatilidad. También se puede observar como el precio de la opción es

mayor para strikes más bajos. Se puede concluir hasta esta parte del proyecto que la

herramienta es capaz de valorar tanto opciones europeas como opciones asiáticas sobre

acciones y que el modelo de simulación de Montecarlo está totalmente ajustado para valorar

otros productos de tipos de interés que se verán más adelante.

3.3 VALORACIÓN DE OPCIONES CON VARIAS FECHAS DE EJERCICIO

La tercera parte del proyecto consistirá en valorar opciones con varias fechas de

ejercicio, para ello se desarrollará un Montecarlo americano que se podrá utilizar para valorar la

Swaption Bermuda.

Se calibrará el Montecarlo americano para la valoración de opciones bermuda cuyo

activo subyacente sea una acción. Una vez que se pueden valorar bien estos productos se

podrán valorar otros derivados más complejos que es el objetivo del proyecto.

Para la valoración de las opciones sobre acciones con varias fechas de ejercicio se

utilizará el mismo procedimiento que para la valoración de opciones asiáticas y opciones

europeas sobre acciones. Primero se generarán los escenarios del activo subyacente, luego se

calculará el payoff que en este caso será igual que el payoff para una opción europea y

posteriormente un modelo de simulación Montecarlo que calcule el valor esperado del payoff.

Cuando se trata con opciones que tienen varias fechas de ejercicio no se podrá utilizar

un modelo de Montecarlo normal como anteriormente. El dueño de una opción de este tipo

tiene que contar con varias decisiones, en concreto una por cada posible fecha de ejercicio.

Inicialmente con las opciones asiáticas y europeas solamente había una decisión, la posibilidad

de ejercer en la fecha de vencimiento. La decisión de ejercicio en cada fecha tiene que estar

presente para valorar correctamente estas opciones.

3.3.1 GENERACIÓN DE ESCENARIOS Y PAYOFF

La generación de escenarios se llevó a cabo de la misma forma que para los otros dos

tipos de opciones, ya que el activo subyacente que se simulaba era el mismo. La única

modificación que se realizó sobre la función de generación de escenarios fue añadirle un vector

de tiempos diferente.


-41-

El vector de tiempos que se utilizó como variable de entrada para simular la evolución

del precio de la acción tiene como elementos las fechas de posible ejercicio de la opción. Eso

significa que para valorar este tipo de opciones se debe simular el precio de la acción para cada

posible fecha de ejercicio de la acción como mínimo.

La función de payoff que se utilizó es la misma función que se utilizó para opciones

europeas. El payoff se calcula de la misma manera tanto para una opción ‘call’ como para una

opción ‘put’. Por lo tanto se utilizó el mismo código y se incorporó la variable ‘type’ que

permitía valorar tanto opciones de compra como opciones de venta.

3.3.2 MODELO DE REGRESIÓN LINEAL: LONGSTAFF-SCHWARTZ

El modelo de regresión lineal Longstaff-Schwartz es una parte esencial del Montecarlo

americano y servirá para tomar la decisión de ejercer en la fecha óptima. La idea de este

modelo es calcular la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos del payoff generado por

cada escenario.

El modelo se compondrá de dos funciones de código: La primera, ‘CalcRegression’

calcula los coeficientes necesarios para calcular la recta. Esta función por lo tanto devuelve dos

variables: la pendiente de la recta y el coeficiente de la recta que corta con el eje y, en este caso

será el payoff. La segunda función, ‘CalcNVPRegression’ se explicará con más detalle en la

sección 3.3.3 aunque su funcionalidad es la de decidir la fecha óptima de ejercicio de la opción

basándose en el payoff calculado con el modelo de regresión lineal y con el payoff calculado

utilizando la fórmula del payoff utilizado para una opción europea.

La función ‘CalcRegression’ que devuelve los coeficientes de la regresión lineal se

presenta a continuación:

function theta = CalcRegression(Scenarios,index,NPV)

% NPV = PayoffAmerican(Scenarios,index,strike);

x = Scenarios(:,index);

% scatter(x,NPV)

m = length(x);

k = ones(m,1);


-42-

X = [k x];

% NPV

theta = (pinv(X'*X))*X'*NPV;

return

Está función utiliza la matriz de escenarios generada anteriormente. La matriz de

escenarios tiene como filas el número de escenarios y como columnas los tiempos de

simulación, en este caso coincidirán con las posibles fechas de ejercicio de la opción. La

variable ‘index’ se utiliza porque a través de un bucle for se irá recorriendo todas las fechas de

los tiempos donde se pueda ejercer la opción y utilizando las funciones ‘CalcRegression’ y

‘CalcNPVRegression’ para decidir si ejercer la opción en esa fecha. El bucle for se irá

recorriendo hacía atrás empezando por la fecha de ejercicio de la opción anterior al

vencimiento y se recorrerá hasta la primera fecha de ejercicio de la opción. Para cada fecha se

calculará la recta que mejor se ajuste a la nube de puntos del payoff generado por cada

escenario.

El ajuste de la regresión lineal es un poco peculiar. La regresión lineal se hace para la

recta que mejor se ajuste a una nube de puntos que mide el payoff en para cada precio

de la acción simulada en . Tampoco se puede decir exactamente que el eje y sea el payoff en

, ya que en el bucle for se tendrá en cuenta la condición de fecha óptima de ejercicio, y en

algunos casos si es mejor esperar que ejercer el payoff de los escenarios no será el de

sino el de pero descontado al tiempo . Se entenderá mejor el modelo de regresión

lineal cuando se explique el funcionamiento de la condición de la fecha óptima de ejercicio de

la opción.

La consecuencia de esta regresión lineal viene dada por la forma de la nube de puntos

dependiendo de la fecha en el que se evalúe el payoff generado por los escenarios. A

continuación se representará la forma que tiene la nube de puntos y su respectiva regresión

lineal para años, años, y años. Notese que el vencimiento de la opción

es para años.


-43-

Gráfica 9.- Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 5.0 Años con Strike $110

Gráfica 10.- Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 0.5 Años (Primera Fecha de Ejercicio) con Strike $110


-44-

Gráfica 11.-Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 9.5 Años (Penúltima Fecha de Ejercicio) con Strike $110


-45-

Se puede observar que al estar más cerca de la fecha de vencimiento (Gráfica 3-3-3) la

forma de la nube de puntos es casi idéntica a la forma del payoff que tendría una opción

europea con strike en $110. Cuando el precio de la acción en años es < $110 el payoff

que la opción pagará en años es 0. En cambio cuando el precio de la acción es > $110

el payoff que pagará en su vencimiento es más variado pero prácticamente tiene la forma lineal

creciente a partir del precio de ejercicio. Este fenómeno se debe a que al estar más cerca del

vencimiento la acción no tendrá mucho más recorrido para variar de forma significativa su

precio. La estimación del payoff que generarán los escenarios será casi igual al generado por la

función de payoff calculada, que es la misma función que para una call europea que paga el

payoff en la fecha de vencimiento.

Por otro lado se puede ver como en las Gráficas 3-3-2 y 3-3-1, la nube de puntos es

más dispersa y no sigue ninguna forma concreta. En años se puede observar como to

la forma se va ajustando al de la gráfica de payoff de una opción europea pero sigue habiendo

mucha dispersión. En años que es la primera fecha de ejercicio de la opción, la nube

de puntos no tiene ninguna forma concreta y está totalmente dispersa. El precio de la acción

tiene mucho recorrido y puede cambiar su valor significativamente variando e l payoff. De

nuevo se comentará que el eje y de estas gráficas no es exactamente el payoff sino el payoff en

aplicando la condición de fecha óptima de ejercicio que generán los escenarios evaluados

en .

3.3.3 FECHA ÓPTIMA DE EJERCICIO

La fecha de ejercicio óptima para las opciones sobre acciones con varias fechas de

ejercicio suele ser en la fecha de su vencimiento. Esto es debido a que cuanto mayor tiempo

pase durante la vida de la opción mayor probabilidad tiene el precio de la acción de ser más

elevado. Cuando la acción pague dividendos, la fecha de ejercicio óptima ya no será la fecha de

vencimiento de la opción.

Para valorar opciones con varias fechas de ejercicio es necesario calcular su NPV (Net

Present Value) aplicando la condición de fecha óptima de ejercicio. Está condición tomará la

decisión si esperar y mantener la opción o ejercer la opción en una fecha concreta. Para evaluar

esta condición se tendrá que implementar el bucle for comentado anteriormente y evaluar para

cada fecha de ejercicio la condición de ejercicio.


-46-

Se utilizará la función ‘CalcNPVRegression’ para implementar la condición de ejercicio

para cada fecha y en base a esa suposición se calculará el payoff que irá ligado al eje y de las

gráficas de la regresión lineal. La explicación de la fecha óptima de ejercicio ayudará también a

la mejor comprensión del modelo de regresión lineal. A continuación se presenta el código de

‘CalcNPVRegression’:

function NPV = CalcNPVregression(theta, intrinsic, Scenarios, index, r, times,

NPVold)

N = theta(2)*Scenarios(:,index)+theta(1);

scatter(Scenarios(:,index),NPVold,[],[0 0 1])

hold on;

scatter(Scenarios(:,index),N,[],[1 0 0])

dt = times(index+1)-times(index);

value = N/(1+r*dt);

% value = N*exp(-r*dt);

NPV = (value<intrinsic).*intrinsic + (value>=intrinsic).*NPVold/(1+r*dt);

% NPV = (value<intrinsic).*intrinsic + (value>=intrinsic).*NPVold*exp(-r*dt);

sum(value<intrinsic)

return

Se explicarán las siguientes variables de entrada de la función:

1. Theta: Representa un vector de dos elementos cuyos elementos son los coeficientes de

la regresión lineal. El primer elemento representa el corte de la recta con el eje y y el

segundo elemento es la pendiente de la recta

2. Intrinsic: Intrinsic es el payoff calculado en la fecha utilizando la función de payoff de

una call europea.

3. Scenarios: Matriz de escenarios para la evolución del precio de la acción

4. Index: Representa la posición que va recorriendo el bucle for y por lo tanto en este

caso será la fecha que siempres será una de las fechas de ejercicio de la opción.


-47-

5. R: Es el tipo de interés libre de riesgo, se utilizará para descontar los payoff

6. Times: Es el vector de tiempos, cada elemento representa una fecha de ejercicio de la

opción.

7. NPVold: Es el payoff de la opción en siempre y cuando hayamos aplicado

también la condición de fecha óptima de ejercicio porque a veces puede llegar a ser el

payoff en descontado a .

El funcionamiento del código es muy simple. En primer lugar con los coeficientes de la

regresión lineal obtenidos se calculará el vector N que será la recta representada anteriormente.

Este vector será un vector de payoff. Es el payoff que viene dado por el ajuste de regresión

lineal del payoff en que generarían los escenarios de la acción evaluados en la fecha .

Como la condición de fecha óptima de ejercicio se evalua para el tiempo se tiene que

descontar el vector de payoff al tiempo utilizando el tipo de interés libre de riesgo. Ahora

habrá dos vectores de payoff, el vector ‘intrinsic’ y el vector ‘N’, los dos llevados al tiempo

para poder compararlos.

Por una parte el vector intrinsic será el vector de payoff calculado con la ecuación:

( ) ( )

Este vector por lo tanto será el payoff que se obtendría si se ejerciese en la fecha . Por otro

lado el vector N es el vector de payoff que se obtendría en llevado al tiempo y por lo

tanto seria el payoff que se obtendría si se mantuviese la opción y se ejerciese en .

Utilizando la siguiente línea de código se podrá tomar la decisión adecuada:

NPV = (value<intrinsic).*intrinsic + (value>=intrinsic).*NPVold/(1+r*dt);

El vector value es el vector N llevado al tiempo . Si el vector intrinsic es mayor que el

vector value significa que el payoff que se obtendría al ejercer la opción a día de hoy sería

mayor que si se esperase hasta la siguiente fecha de ejercicio para ejercer la opción. Si este caso

se diese el vector de payoff que se utilizaría como variable de entrada al Montecarlo sería el

vector intrinsic. Si por el contrario el vector de payoff N es mayor o igual que el vector de

payoff intrinsic, sería mejor mantener la opción como mínimo hasta la fecha de ejercicio

siguiente y por lo tanto el vector de payoff que se utilizaría para el Montecarlo sería el vector

de payoff en llevado a .


-48-

Esta condición se irá comprobando a lo largo del bucle for para cada fecha de ejercicio

y posteriormente utilizando el vector de payoff adecuado se calculará el valor esperado con el


Gráfica 12.- Número de escenarios que se ejercerían para cada posible fecha de ejercicio. Opción Bermuda put (rojo) y Opción Bermuda

call(azul) con 100 000 simulaciones.


-49-

Esta gráfica muestra el número de escenarios que se deberían ejercer para cada fecha

de ejercicio teniendo en cuenta la fecha de ejercicio óptima. Se puede ver que las dos curvas

tanto para una ‘call’ como para una ‘put’ son decrecientes como dice la teoría. A medida que

nos acercamos a la fecha de vencimiento es mejor ejercer la opción. Para una opción con

varias fechas de ejercicio cuyo activo subyacente no tenga dividendos la fecha de ejercicio

óptima será su vencimiento.

3.3.4 MONTECARLO AMERICANO

La última fase para poder poner un precio a las opciones con varias fechas de ejercicio

es calcular el valor esperado del payoff que devolverá la función ‘CalcNPVRegression’. La

unión de todas las funciones para la elección del payoff y posteriormente el cálculo del valor

esperado es lo que se denominará el Montecarlo americano.

El código entero que llama a las funciones anteriores y donde se calculará el precio de

la opción con el Montecarlo queda de la siguiente manera:

function test

r = 0.05;

T = 10.0;

S0 = 100;

step = 0.5;

K = 110;

numscenarios = 100000;

times = [0:step:T];

sigma = 0.2;

type = 1;

seed = randn("state");

Scenarios = ScenariosAmerican(numscenarios,times,S0,sigma,r,seed);

index=size(times,2)


-50-

NPV = PayoffAmerican(Scenarios,index,K,type);

for time = size(times,2)-1:-1:2

time

theta = CalcRegression(Scenarios,time,NPV)

intrinsic = PayoffAmerican(Scenarios,time,K,type);

NPV = CalcNPVregression(theta, intrinsic, Scenarios, time, r, times, NPV);

figure(time)

end

value = mean(NPV);

resultBS = BSCallAnalytical(S0, r, T, K, sigma, type)

% result = value*exp(-r*step)

result = value/(1+r*step)

La función test es el script principal y devolverá la variable ‘result’ que será el precio de

la opción. La opción a valorar está definida al inicio: un strike , un vencimiento de

años con posibilidad de ejercicio de la opción cada medio año, un tipo de interés

libre de riesgo , un precio spot de la acción de y será una opción call

porque la variable type = 1, aunque podría valorarse una put cambiando esta variable a -1.

Inicialmente se generará la matriz de escenarios que no se modificará a lo largo del

programa. Después se calculará el payoff para el vencimiento de la opción utilizando la

fórmula de payoff de una opción europea. Este payoff será el vector inicial a comparar para la

condición de fecha óptima de ejercicio. Una vez calculado el payoff para el vencimiento se

ejecutará el Montecarlo americano que empieza desde la línea del bucle for. Dentro del bucle

for se hará la regresión lineal para el vector de payoff calculado inicialmente y se calculará el

payoff para la fecha . A continuación se compararán los dos vectores y con la función

‘CalcNPVRegression’ se decidirá si ejercer o mantener la opción en esa fecha. La función

‘CalcNPVRegression’ devolverá un vector de payoff basado en la condición óptima de


-51-

ejercicio y este vector será el que se volverá a insertar inicialmente dentro del bucle. El bucle

for se recorrerá hasta la primera fecha de ejercicio de la opción.

Finalmente, ya acabado el bucle for se tomará el vector de payoff que devuelve la

función ‘CalcNPVRegression’. El Montecarlo americano calculará el valor esperado del vector

de payoff y lo descontará desde la primera fecha de ejercicio a día de hoy.


-52-


-53-

4. BOOTSTRAPPING PARA LA OBTENCIÓN DE

LOS FACTORES DE DESCUENTO

La primera parte del proyecto se ha dedicado a profundizar en el cálculo estocástico y

aplicarlo a la valoración de opciones sobre acciones. La valoración de estas opciones ha

permitido calibrar unos modelos de simulación que servirán posteriormente para valorar

opciones de tipos de interés. El objetivo del proyecto es valorar opciones de tipos de interés

aunque durante el proceso se ha creado una herramienta que también es capaz de valorar otro

tipo de opciones.

A partir de esta sección el proyecto se centrará exclusivamente en valorar productos de

tipos de interés y para ello se necesitará implementar ciertas funciones que serán necesarias

antes de entrar a la valoración de estos productos.

En esta parte del proyecto se expondrá teóricamente como valorar los derivados más

simples de tipos de interés. Se profundizarán en los dos productos de la sección 1.2.1, los

acuerdos de tipos forward y el swap. La valoración del swap se utilizará posteriormente para

valorar swaptions y en esta parte del proyecto para implementar la función que devolverá los

factores de descuento a través del bootstrapping de la curva swap. El desarrollo de la

valoración de un FRA y de un swap está basado en el capítulo 13 ‘Interest Rate Derivatives’ del

libro ‘The Concepts and Practice of Mathematical Finance’ [JOSH03].

4.1 VALORACIÓN DE UN FRA

Un FRA es un acuerdo de tipo forward (Forward Rate Agreement), y es el derivado

más simple de tipos de interés. Todos los productos de tipos de interés se podrán valorar

replicando los cashflows a través de los bonos cupón cero. El bono cupón cero que se utilizará

para replicar estos productos es aquel descrito en la sección 2.3.1.

El FRA es un acuerdo para pagar un tipo fijo sobre un nominal durante dos periodos

de tiempo fijados por el contrato. El FRA tiene una relación directa con los Forward Rates de

la sección 1.2.1.

Para simplificar los cálculos se tomará el valor de la unidad para el nominal del FRA. El

tiempo para el cual discurre el contrato será entre y . El tipo de interés fijo que se pagará

sobre el nominal se denomina .


-54-

En el flujo de caja que recibirá el dueño del acuerdo será la unidad monetaria dado

que estamos utlizando el nominal igual a la unidad monetaria. En el dueño del FRA tendrá

que pagar un flujo de caja igual a ( ( ) ), devolverá el nominal entero 1 más el

interés acordado ( ) .

Para poder calcular el valor del FRA se tendrá que replicar el valor de los flujos de caja

con los bonos cupón cero. Para ello se aplicará el método de present-valuing que permite

calcular el valor presente de los flujos de caja utilizando estos productos. La notación que se

utilizará será la misma que en la sección 2.3.1. El valor del bono cupón cero a día de hoy que

vence en se denotará como ( ).

Teniendo los valores de los bonos cupón cero para y , se puede expresar

matemáticamente la transacción del FRA de la siguiente manera:

( ) ( ( ) ) ( )

Para que no exista arbitraje en la transacción la ecuación tiene que igualarse a 0.

Arbitraje es que exista una oportunidad de mercado de sacar un beneficio de una operación de

forma gratuita. Estas oportunidades ocurren cuando existe un mercado imperfecto. Igualando

la ecuación a cero queda un tipo forward tal que:

( ) ( )

Durante el proyecto se calculará de esta misma manera los tipos forward para el

modelo de Black, utilizando los bonos cupón cero. Está forma de calcular el tipo forward

difiere de la mostrada en la sección 1.2.1 pero se llegará al mismo resultado. Los bonos cupón

cero serán los factores de descuento que se calcularán a continuación en la sección 4.3

haciendo un bootstrapping de la curva swap y cuando se implemente el LMM haciendo un

bootstrapping de la curva de forwards.

Por último se añadirá de forma breve como valorar el FRA una vez calculado el tipo

forward . Se supondrá un contrato FRA con un strike y un tipo forward entre y , .

Para valorar el FRA se supondrá que el valor del contrato es para alguien que toma prestado el

nominal y compra el FRA. Matemáticamente la transacción se expresa de la siguiente forma:


-55-

( ) ( ( ) ) ( )

Sustituyendo en la ecuación la condición de no arbitraje con el tipo forward :

( ) ( ( ) ) ( )

Nos queda la siguiente ecuación que definirá el valor del FRA:

( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )( ) ( )

El valor del FRA por lo tanto será ( )( ) ( ).

4.2 VALORACIÓN DE UN SWAP

Un swap de tipos de interés es un producto muy líquido dentro de los derivados de

tipos de interés. El swap tendrá una gran relevancia en el proyecto ya que servirá para la

valoración de swaptions que son opciones sobre un swap, esto se explicará en el capítulo 6.

Aunque de forma más significativa al ser un producto de tipos tan líquido servirá como un

producto de cobertura para la Swaption Bermuda que se valorará al final del proyecto. Uno

de los objetivos del proyecto es poder cubrir derivados más complejos e ilíquidos con

derivados más simples.

El concepto de swap de tipos (IRS) se introduce brevemente en la sección 1.2.1. En

esta sección se comentará como valorar este producto. El tipo de swap que se valorará es un

intercambio de flujos de caja durante ciertos periodos de tiempo a lo largo de la vida del swap.

Este intercambio incluirá una pata fija y una pata flotante. La pata fija del swap pagará a la pata

flotante un porcentaje fijo sobre un nominal mientras que la pata flotante pagará a la pata fija

un valor que es variable en el tiempo, que suele estar fijado al valor de un índice como el Libor

a un cierto tiempo o el Euribor a un cierto tiempo. Este intercambio de flujos de caja no

involucra el intercambio de los nominales como en los FRAs por lo tanto los flujos de caja son

más pequeños y de pesos más equitativos.

Se supondrá que el swap tiene acordado el intercambio de flujos de caja a lo largo de

unos periodos de tiempo fijados:


-56-

La pata fija quedará definida de la siguiente forma:

∑ ( )

Es el tipo fijo sobre el nominal. A este tipo se le llamará swap rate.

Se denomina el day count fraction. Mide los intervalos de tiempos entre los que se realiza el

intercambio de flujos de caja.

∑ ( ) Está ecuación es el valor a día de hoy de los flujos de caja de la pata fija del

contrato swap, se descuenta con los bonos cupón cero para llevar los flujos de caja futuros al

presente.

La pata fija es la que denomina el tipo de contrato swap: si se paga tipo fijo en el

intercambio de flujos de caja se llamar payer’s swap si es al revés y recibes tipo fijo se

denominará receiver’s swap.

Se necesitará valorar la pata flotante para valorar el contrato swap. La pata flotante se

definirá a continuación:

∑

( )

Es el tipo forward para cada intervalo de tiempo.

Esta ecuación calcula el valor a día de hoy de todos los flujos de caja de la pata

flotante. Teniendo el valor presente de la pata flotante y la pata fija y aplicando la condición de

no arbitraje para el contrato swap, se puede calcular el swap rate o tipo swap igualando la

pata fija con la pata flotante:

∑ ( )

∑ ( )


-57-

Dividiendo para despejar :

∑

( )

∑ ( )

Los pesos tienen la siguiente propiedad:

∑

De esta propiedad y la ecuación con el swap rate despejado se puede deducir que el

tipo swap es una media ponderada de los tipos forward. Como los tipos forward se pueden

expresar utilizando bonos cupón cero:

( )

( )

Se sustituirá por lo tanto esta ecuación para valorar el tipo swap con los bonos cupón cero:

∑ ( )

Concluiremos por lo tanto que con los bonos cupón cero somos capaces de valorar el tipo

swap.

Por último se expondrá como valorar el propio contrato swap. Aplicando la condición

de no arbitraje como con el FRA se puede ver que el contrato vale 0 inicialmente. Aunque

durante la vida del swap como durante la vida del FRA el contrato tendrá un cierto valor.

Se supondrá un contrato swap con un strike . Este strike quiere decir que el tipo fijo

sobre el nominal en el intercambio de flujos de caja se hará a un tipo fijo . Se tomará como

el tipo swap calculado anteriormente y que irá variando y por último se tendrá en cuenta lo que


-58-

se denominará las anualidades del swap también conocido como PV01: ∑ ( ) . El

PV01 se denotará con la letra . La ecuación matemática queda de la siguiente manera:

( )

4.3 BOOTSTRAPPING DE LA CURVA SWAP

Para la valoración de derivados de tipos de interés, es muy importante que se conozcan

los factores de descuento. Los factores de descuento que serán los bonos cupón cero

permitirán replicar cualquier tipo de flujo de caja. Para poder sacar estos factores de descuento

se necesitará aplicar el método de bootstrapping que se expondrá en esta sección.

Se implementará una función para hacer un bootstrapping de la curva swap. Haciendo

el bootstrapping de esta curva se sacarán los factores de descuento de esta curva. Cuando se

implemente el Libor Market Model se hará un bootstrapping de la curva de forwards y se

aplicará la misma metodología.

En primer lugar se definió la curva swap con un vector donde cada elemento

Gráfica 13.- Curva Swap


-59-

representaba el tipo swap para un tiempo concreto. Se realizó un vector de tiempos con la

misma longitud que el vector de tipos swap. Con estos dos vectores se construyó la curva swap

para la cual se aplicó el método bootstrapping para sacar los factores de descuento.

La curva swap tiene una forma creciente, ‘upward sloping’. La curva swap suele tener

esta forma, a medida que el swap tiene mayor vencimiento la pata flotante suele exigir a la pata

fija un tipo más alto por asumir el riesgo de tener el swap durante más tiempo. Este tipo de

curva tiene también una forma similar a la curva de forwards y a la curva de un bono. Aunque

es cierto que las curvas de tipos pueden ser decrecientes si se cree que los tipos van a bajar en

el futuro, pero no es lo normal.

Una vez definida la curva swap se procedió a hacer el bootstrapping de la curva. Para

ello se utilizaron dos funciones diferentes. Las dos funciones devuelven un vector de factores

de descuento y otro vector de tiempos definido para cada factor de descuento calculado. La

diferencia de las dos funciones es el método de cálculo para sacar estos factores de descuento.

Las funciones que se utilizaron fueron ‘Bootstrapping’ y ‘BootstrappingRoot’. El

código de estas dos funciones se presenta a continuación:

function [DiscountFactors, DiscountFactorTimes] = Bootstrapping (Swaptimes,

Swaprates)

DiscountFactorTimes = Swaptimes;

DiscountFactors = zeros(1, size(Swaprates,2));

PV01=0;

for i = 1:size(Swaptimes,2)

dt = Swaptimes(i);

if (i > 1)

dt = Swaptimes(i)-Swaptimes(i-1);

endif

DiscountFactors(i) = (1-Swaprates(i)*PV01) / (1+Swaprates(i)*dt);

PV01 += DiscountFactors(i) * dt;


-60-

endfor

return

El método de bootstrapping se utiliza para la construcción de la curva zero. Esta

construcción se hace calculando el valor de los bonos cupón cero para cada periodo de tiempo.

En primer lugar se calculará el bono cupón cero con el primer tipo swap para el primera

vencimiento. A partir de ahí se irá calculando el valor de los otros bonos cupón zero para los

demás vencimiento componiéndolos con el primer valor. La función ‘Bootstrapping’ utiliza la

valoración del tipo swap para resolver los factores de descuento. La función

‘BootstrappingRoot’ por el contrario utiliza un método iterativo utilizando la ecuación de

valoración del tipo swap para encontrar las raíces de la ecuación que serán los factores de

descuento:

function [DiscountFactors, DiscountFactorTimes] = BootstrappingRoot (Swaptimes,

Swaprates)

DiscountFactorTimes = Swaptimes;

DiscountFactors = zeros(1, size(Swaprates,2));

for i = 1:size(Swaptimes,2)

[x, fval, info] = fsolve (@(DFValue) SwapRateDiff(DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, i, Swaprates(i), DFValue), 1.0);

DiscountFactors(i) = x;

endfor

disp(DiscountFactors)

disp(DiscountFactorTimes)

return


-61-

Por último se pintó la curva de los factores de descuento. Teóricamente la curva de

factores de descuento de esta curva swap tiene que tener una forma decreciente. El factor de

descuento a día de hoy tiene el valor de la unidad monetaria, igual que el valor del bono cupón

cero a día de hoy que vence en . La información que se obtiene de esta curva es el valor de

los flujos de caja a día de hoy. A medida que pasa el tiempo los flujos de caja valen menos

dinero y por lo tanto el factor necesario para traer los flujos de caja al presente es menor. El

valor de los factores de descuento por lo tanto tendrá un valor entre 1 y 0.

Se puede ver que la forma de la gráfica de los factores de descuento es correcta. Por lo

tanto cualquiera de las dos funciones son válidas para hacer el bootstrapping de la curva swap

Gráfica 14.-Curva de Factores de Descuento de la Curva Swap


-62-

ya que devuelven los mismos resultados. Si se hiciese un Swap Market Model en vez de un

Libor Market Model se podrían utilizar estas funciones para sacar los factores de descuento.

En este proyecto se implementará un Libor Market Model y por lo tanto se ajustará la función

‘Bootstrapping’ para aplicar este método sobre una curva de forwards.

Finalmente, para asegurar que los factores de descuento se calcularon de forma

correcta se implementó una función, ‘SwapRate’, para calcular los tipos swap utilizando los

factores de descuento calculados. Esta función se implementó a modo de comprobación, ya

que si los tipos swap que devuelve esta función cuadraban con los de la curva swap inicial,

entonces los factores de descuento estaban calculados correctamente. La función se presenta a

continuación y el resultado que devuelve efectivamente cuadra con el vector de tipos swap y

con el vector de tiempos:

function Swaprate = SwapRate(DiscountFactorTimes, DiscountFactors)

PV01=0;

for i=1:size(DiscountFactorTimes,2)

dt= DiscountFactorTimes(i);

if(i>1)

dt= DiscountFactorTimes(i)-DiscountFactorTimes(i-1);

endif

PV01+=(DiscountFactors(i)*dt);

Swaprate(i)= (1-DiscountFactors(i))/(PV01);

endfor

return


-63-

5. VALORACIÓN DE CAPS Y CAPLETS

Las primeras opciones de tipos de interés que valorará el proyecto son los denominados

caps y caplets. Un caplet es equivalente a la opción europea de tipo call que se valoró en la

primera parte del proyecto, la diferencia es que el activo subyacente de un caplet es un forward

como por ejemplo el Libor a 6 meses. Por otro lado, la opción de venta de tipos de interés

equivalente a una opción europea de tipo put se denomina floorlet.

El nombre de caplet viene porque con esta opción se limita el valor al alza del forward a

través del precio de ejercicio de la opción. En inglés ‘cap’ significa limitar, y esa es la función

de este tipo de opciones limitar el riesgo que el valor foward se dispare. En cambio el floorlet

es una opción que limita el valor por abajo del forward a través del precio de ejercicio. El

floorlet pone un ‘suelo’ al forward, pudiendo cubrir el riesgo de una posible bajada del forward

por debajo del precio de ejercicio.

Los otros dos productos, cap y floor, son distintos a cualquier otro producto valorado

anteriormente en el proyecto. Estos productos son cestas de opciones, el cap es una cesta de

opciones caplets y el floor una cesta de opciones caplets. Por lo tanto para valorar el estas

cestas se debe valorar antes las opciones que las conforman.

Esta parte del proyecto se implementará antes de realizar el Libor Market Model para

simular la curva de tipos de interés y servirá para implementar el modelo analítico de Black y

posteriormente compararlo con la valoración de caplets utilizando el Libor Market Model.

5.1 VALORACION DE UN CAPLET

En esta sección se comentará como valorar un caplet teóricamente y posteriormente

como se han desarrollado las funciones para valorar este producto con la herramienta.

Un caplet como se ha comentado en la introducción del capítulo tiene muchas

similitudes con una opción call europea. Se puede decir que el caplet es una opción sobre un

FRA de tipo call sobre el forward. Como el activo subyacente de un caplet es un forward, no

se podrá valorar con el modelo de Black-Scholes sino que habrá que utilizar el modelo de

Black para poder valorarlo.

Una diferencia importante con respecto a las opciones call sobre acciones es que para

las opciones call solamente había que fijarse en la fecha de vencimiento de la opción. En esta


-64-

fecha la opción call fijaba el payoff y pagaba el payoff, por lo tanto para descontar los flujos de

caja al presente se hacía con respecto al vencimiento de la opción. Por el contrario los caplets

tendrán una fecha donde se fije el payoff y otra fecha posterior donde se pague este payoff al

dueño del caplet. En términos de valoración del producto, el cálculo del payoff se hará de la

misma manera para los caplets que para las opciones call, pero el descuento de los flujos de

caja será diferente. Los caplets descontarán con respecto a la fecha de pago del payoff y no en

la que se fija el payoff.

Se implementará el modelo de Black en la herramienta y valorará el precio de un caplet.

Otra peculiaridad de los caplets es que su precio está dado en términos de su volatilidad. Los

traders de caps y de caplets que ponen precio a estos productos lo hacen en función de un

valor de su volatilidad.

Se supondrá un caplet cuya fecha de vencimiento sea y pague en , donde

. Este caplet es la opción sobre un FRA que justo empieza en y vence en . Se

puede decir por lo tanto que un caplet es una opción que da el derecho de poder entrar en un

FRA en la fecha de vencimiento del caplet. El strike del caplet será el mismo strike del FRA y

se denominará con la letra . El valor del payoff que paga el caplet en se expresa de la

siguiente manera:

( ) ( ) ( )

Representa el forward desde hasta . Se puede observar que el payoff es muy

parecido al de una opción call pero en vez de hacer la diferencia entre el precio de la acción el

día de vencimiento y el strike de la opción se hace con el foward y el strike. En el caso de que

sea negativo el payoff no se ejercería el caplet como en el caso de las opciones call. El caplet

paga el payoff en y por lo tanto habrá que descontar el payoff para llevarlo a tiempo

presente con el siguiente factor de descuento: ( ) ( ).

Hasta ahí el payoff del caplet, a partir de aquí se expondrá como valorar caplets

utilizando un método probabilístico que será utilizado más adelante para valorar las swaptions

y las swaptions bermudas. Todo el desarrollo viene del capítulo 13.3 ‘Caplets and swaptions’

del libro ‘The Concepts and Practice of Mathematical Finance’[JOSH03].


-65-

Se supondrá que el tipo forward sigue una distribución log-normal. El tipo forward ,

no es un producto negociable en el mercado. Aunqe un FRA si que es un producto negociable

en el mercado y por lo tanto se podrá aplicar el concepto de numerario expuesto en el capítulo

2. El valor del FRA es:

( ) ( )

Se analizarán los componentes del FRA: es un constante y ( ) es un producto negociable

en el mercado. Consecuentemente ( ) es un producto negociable en el mercado.

Tomando ( ) como numerario y aplicando el concepto de martingala que dice que el

cociente en cualquier producto negociable de mercado entre el numerario es martingala

entonces:

( )

( )

Se puede observar que es martingala como se dijo precedentemente cuando se expuso el

modelo de Black en la sección 2.2.2. Las martingalas no tienen deriva y por lo tanto la

ecuación diferencial estocástica que sigue el tipo forward será:

El valor del caplet vendrá dado por la siguiente ecuación, que será de gran importancia

para valorar cualquier producto financiero:

( ) (

( ))

Donde la denota el valor del caplet. Desarrollando esta ecuación, finalmente queda:

( ) ( ( ))( )

Sabiendo el valor de los factores de descuento y las fechas de vencimiento y de pago

del caplet, la ecuación se reduce a resolver solamente ( ( )). Esta parte de la

ecaución es equivalente a valorar una call option sobre una acción sin dividendos y con el tipo

de interés libre de riesgo a 0, ya que el forward no tiene deriva.

( )( ) ( )


-66-

( ) ( ) ( )

Donde y vienen definidas en la sección 2.2.2. Las ecuaciones presentadas son

por lo tanto el modelo de Black. Este modelo se utiliza para valorar los caplets y los floorlets y

se implementó la siguiente función que desarrolla el modelo.

function PCaplet = CapletPrice(FixingTime,PayTime,DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, Strike, vol)

Fwd = F(DiscountFactorTimes, DiscountFactors, FixingTime, PayTime);

assert(vol > 0)

assert(FixingTime > 0)

d1 = (log(Fwd/Strike)+(((vol^2)/2)*FixingTime))/(vol*sqrt(FixingTime));

d2 = d1-vol*sqrt(FixingTime);

dt = PayTime-FixingTime;

assert(dt > 0)

DF = DiscFactor(DiscountFactorTimes, DiscountFactors, PayTime);

PCaplet = DF*dt*(Fwd*normcdf(d1)-Strike*normcdf(d2))

return

Esta función solamente valorará caplets, para la valoración de floorlets se utilizaría la

misma analogía para valorar una opción put. El modelo de Black implementado llama a una

función llamada ‘F’ para calcular el forward entre y , y una función ‘DiscFactor’ el valor

del bono cupón cero en la fecha de input de la función, en este caso es en el ‘PayTime’ o . El

código de las dos funciones se presenta a continuación:

function DF = DiscFactor(DiscountFactorTimes, DiscountFactors, T)

pos = FindPos(DiscountFactorTimes, T);

if (pos == 1)

r = -log(DiscountFactors(1))/(DiscountFactorTimes(1));


-67-

DF = 1*exp(-r*T);

else

r = -log(DiscountFactors(pos)/DiscountFactors(pos-

1))/(DiscountFactorTimes(pos)-DiscountFactorTimes(pos-1));

DF = DiscountFactors(pos-1)*exp(-r*(T-DiscountFactorTimes(pos-1)));

endif

return

function Fwd = F(DiscountFactorTimes, DiscountFactors, T1, T2)

DF1 = DiscFactor(DiscountFactorTimes, DiscountFactors, T1);

DF1

DF2

dt = T2-T1;

Fwd = (DF1/DF2-1)/dt;

return

5.2 VALORACIÓN DE UN CAP

Este capítulo termina con la valoración de caps. Un cap es una cesta de caplets y por lo

tanto su valor depende de los caplets que ponen la cesta. El precio de los caps se pone en

función de la volatilidad como con los caplets.

El precio del cap se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

∑

Donde es la fecha de vencimiento del cap. Para valorar el precio del cap se implementaron

tres funciones ‘CapPrice’, ‘CalibrateVols’ y ‘CapError’ que juntas valoran el precio de los caps.


-68-

function [CalibTimes, CalibVols] = CalibrateVols(DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, CapletFreq, CapTimes, CapVol, Strikes)

CalibTimes = CapTimes;

CalibVols = zeros(size(CapTimes, 2),1);

for i = 1:size(CapTimes,2)

VolTimes = [100.0];

Vols = [CapVol(i)];

i

MarketCapPrice = CapPrice(VolTimes, Vols, DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, CapletFreq, CapTimes(i), Strikes(i));

MarketCapPrice;

[x, fval, info] = fsolve (@(Vol) CapError(CapTimes(i), DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, CalibTimes, CalibVols, CapletFreq, MarketCapPrice, Vol, Strikes(i),

i), 1.0);

CalibVols(i) = x;

ModelCapPrice = CapPrice(CalibTimes, CalibVols, DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, CapletFreq, CapTimes(i), Strikes(i));

ModelCapPrice;

endfor

return

La función ‘CalibrateVols’ utiliza como variable de input las volatilidades de los caps

denominada ‘CapVol’. Esta variable es un vector de volatilidades de los caps que se valorarán.

La función utiliza un método iterativo para valorar los caps y para ello utiliza un bucle for. El

bucle for irá recorriendo el vector de tiempos de los caps ‘CapTimes’, este vector tiene como

elementos las fechas de vencimiento de los caps que se valorarán. El vector ‘CapVol’ tendrá la


-69-

misma longitud que el vector de fechas de vencimientos de los caps, habrá una volatilidad para

cada cap.

Según se entra en el bucle for se calcula para la primera fecha de vencimiento del vector de

tiempos con la volatilidad apropiada el valor equivalente del precio del cap utilizando la

función ‘CapPrice’ que se expondrá a continuación. El valor que devuelve la función

‘CapPrice’ se denomina ‘MarketCapPrice’.

Después se llama a la función ‘CapError’, esta función lo que hará es a través de un

método iterativo comparar el valor ‘MarketCapPrice’ con el una variable que llamaremos

‘CapPrice’ que viene del resultado que devuelve la función ‘CapPrice’ cuando se le inserta una

volatilidad nula. Esta función hará el número de iteraciones necesarias hasta que la

comparación entre los dos valores sea exacta, es decir hasta que la resta de los dos valores sea

0. Una vez conseguido esto la función devolverá la volatilidad necesaria que se metió como

input en la función ‘CapPrice’ para conseguir que las variables ‘CapPrice’ y ‘MarketCapPrice’

sean iguales.

Por último con la volatilidad obtenida de la función ‘CapError’ se calculará el precio del

cap utilizando de nuevo la función ‘CapPrice’. Para ello se utilizará como input de esta función

la volatilidad calculada con la función ‘CapError’.

Las funciones ‘CapError’ y ‘CapPrice’ se presentan a continuación para un mejor

entendimiento de su funcionamiento. La función ‘CapPrice’ utiliza la fórmula expuesta

anteriormente para calcular el precio de los caps utilizando el precio de los caplets.

function CapPrice = CapPrice(VolTimes, Vols, DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, CapletFreq, CapTime, Strike)

CapletTimes = CapletFreq:CapletFreq:CapTime;

CapletFixTimes = CapletTimes(1:(size(CapletTimes,2)-1));

CapletPayTimes = CapletTimes(2:size(CapletTimes,2));

CapPrice = 0.0;

for i = 1:size(CapletPayTimes,2)

vol = PWCInterpol(VolTimes, Vols, CapletFixTimes(i));


-70-

assert(vol>0)

CapPrice +=

CapletPrice(CapletFixTimes(i),CapletPayTimes(i),DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, Strike, vol)

endfor

function Error = CapError(CapTime, DiscountFactorTimes, DiscountFactors,

CalibTimes, CalibVols, CapletFreq, MarketCapPrice, Vol,Strikes, i)

if (Vol <= 0)

Error = 9999

else

CalibVols(i) = Vol;

CapPrice = CapPrice(CalibTimes, CalibVols, DiscountFactorTimes,

DiscountFactors, CapletFreq, CapTime, Strikes);

Error = MarketCapPrice - CapPrice;

endif

return


-71-

6. LIBOR MARKET MODEL

El Libor Market Model es la parte más compleja y probablemente más importante del

proyecto junto con el Montecarlo americano. Se denotará el Libor Market Model con las siglas

LMM. Hasta este punto del proyecto se han implementado varios programas que conforman la

herramienta del proyecto. Pero todavía no se ha llegado a cumplir el objetivo del proyecto que

es valorar opciones de tipos de interés simulando la evolución de los tipos de interés.

Todos los programas implementados anteriormente tienen una gran importancia para

construir nuestro modelo final. Se utilizarán varias funciones de la herramienta no solo de

forma teórica sino de forma práctica para abordar la valoración de las opciones de tipos. El

Montecarlo americano, bootstrapping de la curva swap, el modelo de Black son solo algunas

de las funciones que se reutilizarán para finalmente poder valorar las opciones de tipos de

interés. Otras funciones servirán solamente de forma teórica para entender mejor el

funcionamiento de las opciones que se valorarán a partir de esta parte del proyecto. Aunque su

código se podrá utilizar, ya que son modelos perfectamente válidos de valoración, y formarán

parte de la herramienta final.

6.1 INTRODUCCIÓN

Si se quiere utilizar un modelo de Montecarlo para poder valorar opciones se necesitará

construir un número elevado de escenarios aleatorios. En las anteriores funciones de la

herramienta, menos en la valoración de caplets y caps que se valoraban con el modelo analítico

de Black, se generaban unos escenarios de la evolución del precio del activo subyacente. En el

caso de estas opciones el activo subyacente era el precio de una acción. El proyecto se centra

en la valoración de opciones de tipos de interés y por lo tanto se debe poder simular la

evolución en el futuro de los tipos de interés.

La complejidad de la valoración de estas opciones viene dada por la gran dificultad de

simular la curva de tipos de interés de una forma consistente. Para ello se implementará el

LMM, que hará posible la construcción de los escenarios de la curva de Líbores. La curva de

Líbores se refiere a una curva de forwards sobre el índice LIBOR, así que siempre que el

proyecto se refiere a los Líbores se está refiriendo a tipos forward.

La generación de los escenarios para el precio de una acción es mucho más simple que

la generación de escenarios para la curva de tipos de interés. Para simular el precio de una


-72-

acción solamente hay que resolver la ecuación diferencial estocástica de la acción que sigue un

movimiento browniano geométrico. Un escenario de la evolución del precio de la acción es un

solo vector que cada elemento es el precio de la acción para un intervalo de tiempo. Todos los

escenarios juntos forman una matriz de escenarios de dos dimensiones. Cada fila es un vector

que representa a un escenario.

Por otro lado un solo escenario de la curva de tipos de interés es una sola matriz.

Entonces para generar varios escenarios se necesitarán varias matrices o lo que es lo mismo

una sola matriz de tres dimensiones. La dificultad no solamente se halla en añadir una

dimensión más a la matriz de escenarios sino que además se debe tener en cuenta la

correlación entre Líbores y sus derivas o drifts. Por último se añadirá una función en la

implementación del LMM que permita simular más de un factor estocástico en el modelo.

Añadiendo varios factores se podrá comprobar la fiabilidad y solidez del modelo. Un aumento

de factores de simulación no debería influir significativamente en el precio para que el modelo

sea sólido.

La primera parte del LMM es el cálculo de las derivas para los Líbores. Se introducirá

teóricamente el cálculo de las derivas de los Líbores que posteriormente se implementarán en

la función de generación de escenarios. Después se llevará a cabo la función para simular

varios factores estocásticos.

A continuación se hará una primera prueba del modelo con un solo factor. Utilizando

un modelo Montecarlo se valorarán los factores de descuento de la curva de Líbores generada

por el LMM y se compararán con los factores de descuento generados utilizando el modelo de

Black. La siguiente parte es valorar los caplets utilizando el LMM y compararlos con el modelo

de Black y con un modelo de simulaciones parecido al implementado para las opciones de una

sola variable estocástica. La última parte será la valoración de las swaptions implementando la

correspondiente función de payoff.

Para comprobar la fiabilidad del LMM se modificarán las variables de entrada, como el

número de factores a simular y la matriz de correlaciones de los Líbores y se analizarán los

resultados.


-73-

6.2 GENERACIÓN DE ESCENARIOS

El fin del LMM es simular el comportamiento de la curva de Líbores de una forma

consistente. La curva de Líbores será el activo subyacente de las opciones que se valorarán y

por lo tanto será esencial generar un número de escenarios de la curva de tipos para

posteriormente poder utilizar el ‘motor’ Montecarlo.

En esta sección se comentará como se lleva a cabo la implementación del LMM.

Inicialmente se comentará la estructura de la matriz de Líbores y las variables necesarias para

simular el LMM paso a paso. Por último se comentará el cálculo de las derivas de los Li bores

y se expondrá el código necesario para la generación de escenarios del LMM.

6.2.1 ESTRUCTURA DE LA MATRIZ

El LMM generará una matriz por cada escenario simulado. La idea es tener un número

grande de matrices para que el Montecarlo del menor error posible. En esta sección se

comentará la forma que tiene la matriz de un solo escenario, como se llevará a cabo la

simulación y las variables de entrada necesarias para simular la curva de Líbores.

La implementación del LMM tiene una gran dificultad por la estructura de la matriz de

la curva de Líbores. Las filas de la matriz representan el tiempo en el futuro. Se construirán

unos intervalos de tiempo para simular los Líbores en el futuro. Las columnas corresponden

con el Libor simulado. Se crearán unos intervalos de tiempo también para simular los Líbores

que se quieren. En general el número de columnas suele coincidir con el número de filas,

quedando una matriz cuadrada y diagonal. La matriz será diagonal ya que a medida que

saltemos de fila los Líbores anteriores no existen. Por ejemplo el Libor a 6 meses no existirá

cuando se simule 6 meses en el futuro. La matriz de Líbores por lo tanto quedará de la

siguiente manera:


-74-

Donde represente el tiempo del futuro que se simulará y el tiempo de vencimiento

de cada forward simulado. La matriz de cada escenario que se generará en la herramienta

tendrá la misma forma que está matriz. Para la construcción de un LMM no es necesario que la

matriz de Líbores sea cuadrada, se pueden simular otras fechas futuras que no coincidan con

los vencimientos de los Líbores. Aunque lo más lógico es hacer la matriz de Líbores cuadrada y

diagonal porque por lo general se querrá simular siempre cada Libor en el futuro para su fecha

de fijación.

Las flechas de la matriz muestran la dirección en la que se llevará a cabo la simulación.

Por lo tanto se simulará ‘hacía abajo’ de la matriz, es decir los saltos se darán hacía el futuro

teniendo en cuenta las derivas de los Líbores. Para mejorar la comprensión de la estructura de

la matriz se utilizará un ejemplo. El primer elemento de la matriz, denotado por , es el

Libor que figura entre hoy y el tiempo . Si se da un salto hacía el futuro de , se

puede observar que este Libor ya no existe, ya que habrá vencido. Por lo tanto la primera

columna de la matriz solamente tendrá un elemento no nulo, porque a medida que se dan

saltos hacía el futuro este Libor deja de existir. Cuando se salta en el futuro a el primer


-75-

Libor no nulo que tenemos es el denotado por . Este Libor es aquel que figura entre el

tiempo y el tiempo . En el tiempo el valor de este Libor es el denotado por

.

La simulación del LMM está basada en un curso sobre la implementación del Libor

Market Model que se dio al equipo de quants de tipos de interés del Banco Banesto.

A continuación se enumerarán y se explicarán las variables necesarias para la

construcción del LMM. Las variables necesarias para la construcción de la curva de tipos son

parecidas a las variables que se necesitaban para simular la evolución del precio de una acción.

La diferencia es la estructura matricial de las variables. Se necesitará las volatilidades de cada

Libor, las correlaciones entre cada Libor, un vector de tiempos de vencimiento de los Líbores,

un vector de tiempos para simular hacía el futuro, una ‘semilla’ que genere los mismos

números aleatorios siempre para que el modelo sea consistente, el número de escenarios que

será equivalente al número de matrices que se generarán de la curva de tipos y por último una

matriz de covarianzas y el número de factores estocásticos que se quieren simular, estas dos

variables se explicarán en la sección 6.3.

Las volatilidades de cada Libor ya no se computarán como un escalar sino que habrá

que construir una matriz de volatilidades de las mismas dimensiones que los Líbores. Cada

elemento de esta matriz representa la volatilidad que tiene cada Libor simulado de la curva de

tipos. La matriz de correlaciones se denomina ‘rho’ y es una matriz de igual dimensiones que la

matriz de Líbores. El valor de la diagonal de la matriz es la unidad, ya que la correlación entre

los Líbores de la diagonal de la matriz es de 100%. Los demás elementos de la matriz tienen

correlaciones diferentes y en la sección 6.4.4. se explicará en más detalles como se construirá la

matriz. Por último comentar que el vector de tiempos de vencimiento de los Líbores se

denotará por ‘simultimes’ y el vector de tiempos futuros para realizar los saltos se denotará por

‘tenors’. Los dos vectores tendrán el mismo número de elementos para conseguir una matriz

de Líbores cuadrada y diagonal.

6.2.2 CÁLCULO DE LAS DERIVAS O DRIFTS

La parte del cálculo de las derivas y la simulación de varios factores estocásticos es la

parte más compleja de la implementación del LMM. El cálculo de las derivas de los Líbores


-76-

está basado en el Capítulo 14 ‘Libor Market Model I’ del libro ‘Interest Rate Modeling: Volume

II: Term Structure Models’ de los autores Vladirmir V. Piterbarg y Leif B.G. Andersen.

La sección 6.2.1 explicaba la estructura de la implementación del LMM y las variables

necesarias para llevar a cabo la simulación. A partir de esta sección se explicará el desarrollo

matemático para implementar el modelo.

Las matemáticas que se utilizarán para el cálculo de las derivas son muy complejas y

por lo tanto se harán referencias a algunos teoremas que no están explicados en el proyecto.

Para simplificar la comprensión del desarrollo matemático se intentará hacer un resumen lo

más sencillo posible.

El Libor es una martingala en en su medida forward y por lo tanto no tiene

deriva en esta medida.

( ) ( ) ( )

Por otro lado se sabe que en en la medida si que tiene deriva el Libor.

( ) ( )( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ( )

( ) ( ) ( ))

Una vez desarrolladas las dos ecuaciones diferenciales estocásticas del Libor en las dos medidas

y , habrá que relacionar las dos medidas para sacar una expresión general de las

derivas. A través de la función de densidad ( ).

( ) (

)

( )

( ) ( )⁄

( ) ( )

⁄


-77-

( ) ( ( )) ( )

( )

Si derivamos la ecuación de la función de densidad nos queda:

( ) ( ) ( )

( )

Si sustituimos el valor de ( ) como martingla la ecuación queda:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Se sabe que la variable es un movimiento Browniano de dimensión en la medida

. A continuación se aplica el proceso de Girasnov (Este proceso no está explicado en el

proyecto) y se puede

( ) ( ) ( )

( )

Si se aplica este proceso de forma iterativa se puede hallar el drift o la deriva de en

cualquiera que sea la medida probabilística que se quiera.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ∑ ( )

( )


-78-

Se supondrá que el Libor se halla en la medida , que es la medida que se utilizará en el

proyecto para implementar el LMM. Aplicando el desarrollo anterior y la ecuación diferencial

estocástica inicial del Libor en :

( ) ( )( ∑ ( )

( )

( ))

Por lo tanto ya se tiene una expresión para las derivas de los Líbores. Cada Libor tendrá una

deriva diferente menos en el tiempo donde no tendrán deriva el Libor ya que es

martingala. La expresión de las derivas queda de la siguiente manera:

( ) ∑ ( )

( )

Una vez obtenidas las derivas ya se podrá utilizar la expresión general que se utilizará

para llevar a cabo la simulación de los escenarios. Está ecuación se obtiene resolviendo la

ecuación diferencial propuesta con las derivas obtenidas.

( ) ( ) ( )( ∑ ( )

( )

√ )

Donde son unas normales aleatorias de media 0 y varianza 1. Estas normales aleatorias se

generarán de manera diferente a las utilizadas para simular la evolución del precio de la acción.

El movimiento Browniano del precio de la acción era unidimensional, para el LMM se

implementará una función que permita añadir más dimensiones al movimiento Browniano.

Inicialmente se implementó el LMM utilizando esta ecuación que viene de un

desarrollo de Euler, pero se quiso afinar algo más el modelo y finalmente el modelo se

construye con la ecuación log-Euler:

( ) ( ) { ( )

( )( ( )

( )

( )) √ }

Se acabará por comentar la notación de la matriz de volatilidad de los Líbores. ( )

no es la matriz de volatilidades de los Libors sino que es la matriz de volatilidades multiplicada


-79-

por una función que depende del Libor. Se denotará ( ) como la matriz de volatilidades,

por lo tanto ( ) es equivalente a:

( ) ( ) ( ( ))

Donde la función que depende del Libor ( ( )) podrá tomar los siguientes valores de la

tabla dependiendo de la distribución que se quiera tener para el activo subyacente.

Esta tabla está sacada directamente del Capítulo 14 ‘Libor Market Model I’ del libro ‘Interest

Rate Modeling Volume II: Term Structure Models’.

Para implementar el LMM en este proyecto se supondrá una distribución log-normal

para los Líbores, y por lo tanto la función que depende del Libor será:

( ( )) ( )

6.2.3 COMPONENTES PRINCIPALES DE CORRELACIÓN (CORRELATION PCA)

Se ha explicado la estructura de la simulación del LMM, las variables necesarias para

implementar el modelo y el cálculo de las derivas de los Líbores. La última parte para construir

la matriz de Líbores es el desarrollo de la componente aleatoria de la ecuación y la correlación

de los Líbores.

Anteriormente para simular la evolución del precio de una acción se implementaba la

componente aleatoria a través de una matriz de normales de media 0 y varianza 1 que se

generaba aleatoriamente. Se generaban siempre los mismos números aleatorios para hacer

Name ( )

Log-Normal

CEV

LCEV ( )

Displaced log-normal


-80-

consistente el modelo a través del uso de la variable ‘seed’. El movimiento Browniano del

precio era unidimensional y por lo tanto solo habría que simular un solo factor.

La componente aleatoria de los Líbores para desarrollar el LMM tiene mayor

complejidad. En primer lugar el movimiento Browniano que describen las ecuaciones

diferenciales estocásticas podrá tener más de una dimensión y por lo tanto se tendrá que

implementar una función que permita simular el número de factores que se requieran. En

segundo lugar se tendrá que tener en cuenta la matriz de correlación de los Líbores que a su

vez será fundamental incorporarla en esta función ya que los movimientos Brownianos de

varias dimensiones tienen una componente de correlación entre sí.

Para añadir un número de dimensiones a los movimientos Brownianos de los Líbores

se utilizó el modelo conocido por ‘Poor Man’s Correlation PCA’. Existen modelos más finos

que este para conseguir el mismo objetivo de simular varios factores como por ejemplo el

‘Correlation PCA’. Finalmente se utilizó este debido a su mayor sencillez y rapidez de

implementación. Se implementó la función siguiendo el desarrollo teórico del capítulo 14.3.4.2

‘Poor Man’s Corrleation PCA’ del libro ‘Interest Rate Modeling Volume II: Term Structure

Models’.

La idea del modelo ‘Poor Man’s Correlation’, es generar una matriz tal que

multiplicandola por una matriz de normales aleatorias de media 0 y varianza 1, genere una

matriz de componente aleatoria que simule el número de factores que se requiera. Este número

de factores representa las dimensiones del movimiento Browniano de los Líbores.

Las variables de entrada a la función serán la matriz de correlaciones de los Líbores

‘rho’ y el número de factores a simular. La matriz de correlaciones ‘rho’ tiene las mismas

dimensiones que la matriz de Líbores . La matriz que devolverá la función será una

matriz que tenga el mismo número de filas que la matriz de correlaciones y el número de

columnas igual al número de factores que se vayan a simular. Para obtener la matriz se sigue

el siguiente razonamiento matemático:

es una matriz cuadrada de dimensiones igual al número de factores que se simularán, .

Todos los elementos de esta matriz son nulos, excepto los elementos de su diagonal que está


-81-

formada por los autovalores más grandes de la matriz de correlaciones ‘rho’. es una

matriz de autovectores. Los autovectores de esta matriz son aquellos generados por los

autovalores de la matriz .

( ) = √( )

√

Este modelo es un modelo aproximado y será más fino cuando los elementos de la

diagonal de la matriz valgan lo más próximo a la unidad. La matriz tendrá unas

dimensiones . Posteriormente se multiplicará está matriz por una matriz de normales

aleatorias de media 0 y varianza 1 que tenga unas dimensiones . La multiplicación de estas

dos matrices generará un vector de longitud . Si se realiza este proceso en un bucle for de

tamaño igual a , se podrá construir una matriz de dimensiones añadiendo a cada fila

los vectores de dimensión .

Finalmente está matriz se introducirá en la resolución de la ecuación diferencial de los

Líbores. La matriz generada será la componente aleatoria de la generación de escenarios y se ha

denotado como en la ecuación que simula la evolución de los Líbores. A continuación se

presentará el código de la generación de escenarios del LMM y la función ‘CorrelationPCA’

que simula Brownianos de varias dimensiones. En el código la matriz es equivalente a la

matriz ‘Covars’.

function Covars = CorrelationPCA(rho, numparams)

lambda = eig(rho);

values = sort(lambda, 'descend');

[V,D] = eig(rho);

autovectores = V(:,size(V,2)-(numparams-1):size(V,2));

numparams;

autovalores = values(1:numparams);

A = diag(autovalores);


-82-

E = autovectores(:,end:-1:1);

R = E*A*E';

r = diag(sqrt(diag(R)));

Covars = inv(r)*E*sqrt(A);

return

function Scenarios =

SimulateScenariosLMM(tenors,Covars,simultimes,sigma,libors0,numscenarios,numfac

tors,seed,rho)

Scenarios = zeros(size(tenors,2), size(simultimes,2));

randn("state", seed);

for j = 1:numscenarios

Scenarios = zeros(size(tenors,2), size(simultimes,2));

dt = zeros(1,size(tenors,2)-1);

dt = diff(tenors);

daycountfraction = dt;

tenorsize = size(tenors,2)-1;

timesize = size(simultimes,2)-1;

Sigmas = sigma(:,2:end);

Covars = CorrelationPCA(rho, numfactors);

Nrandom = zeros(size(tenors,2),size(simultimes,2));

for i = 1:size(tenors,2)

N = randn(numfactors,1);

Nrandom(i,:) = Covars*N;

end


-83-

Nrandom(1:end-1,:) = Nrandom(1:end-1,:).*sqrt(repmat(dt',1,size(dt,2)+1));

Scenarios(1,:) = libors0;

timeinterv = repmat(dt',1,size(dt,2)+1);


aux = sigma(i,:);

denominador = ones(1,timesize)+daycountfraction.*Scenarios(i-

1,2:end);

numerador = daycountfraction.*Sigmas(i-1,:).*Scenarios(i-1,1:end-1);

drift = numerador.*dt./denominador;

drift = drift(end:-1:1);

drift = cumsum(drift);

drift = drift(end:-1:1);

drift = [drift 0];

expterm = -0.5*sigma(i,:).*timeinterv(i-1,:)+Nrandom(i-1,:);

expterm = sigma(i,:).*expterm - drift;

Scenarios(i,:) = Scenarios(i-1,:).*exp(expterm);

end

Scenarios(:,:,j) = triu(Scenarios);

end

Scenarios = Libors;

return


-84-

6.3 RESULTADOS

La implementación del LMM es la parte más compleja de la herramienta de valoración,

pero es fundamental para la valoración de opciones de tipos de interés. El LMM combinado

con un ‘motor’ Montecarlo es capaz de simular una gran variedad de productos de tipos de

interés. En el Capítulo 7 se combinará el LMM con un Montecarlo americano, las dos

herramientas juntas son capaces de valorar opciones muy complejas que tengan cualquier tipo

de payoff.

En este capítulo la herramienta se ceñirá a valorar productos que tengan una sola fecha

de payoff y por lo tanto se puedan valorar con el LMM y el ‘motor’ Montecarlo.

Antes de exponer los resultados más significativos de la herramienta se comprobará

que los Líbores generados siguen una distribución log-normal. Para ello se tomará el logaritmo

del último elemento de la matriz de Líbores de cada una de las matrices generadas y se

analizará si la distribución que sigue el Libor es una distribución normal. La última columna de

la matriz de Líbores no tiene deriva ya que el Libor en su medida terminal es martingala y por

lo tanto los Líbores tendrán que seguir una distribución log-normal.

Si la distribución del último elemento de la matriz de Líbores sigue una distribución

log-normal entonces la gráfica de su logaritmo tendrá que ser lineal. La gráfica que se pintará a

continuación está en una escala especial, donde una distribución normal quedará representada

por una recta.


-85-

La gráfica efectivamente tiene una forma lineal y por lo tanto se cumple la premisa que

efectivamente los Líbores en su medida terminal siguen una distribución log-normal. La

primera prueba para ver si el modelo es válido para construir la curva de Líbores ha sido

exitosa y a continuación se podrán empezar a valorar los factores de descuento y

posteriormente las opciones de tipos de interés.

6.3.1 VALORACIÓN DE LOS FACTORES DE DESCUENTO

El LMM tiene que valorar los productos más simples antes de poder valorar las

opciones de tipos. Los productos más simples que se conocen y que pueden replicar cualquier

Gráfica 6-3-1 Distribución Log-Normal de los Líbores en la medida terminal t=9.5 años con 10 000 simulaciones Gráfica 15.- Q-Q plot de los Líbores en la Medida Terminal t= 9.5 años con 10 000 simulaciones


-86-

tipo de opción con cualquier payoff son los bonos cupón cero y consecuentemente los

factores de descuento.

El LMM tiene que valorar de una forma precisa los factores de descuento, ya que

servirán posteriormente para llevar el payoff de las opciones a tiempo presente. Los factores de

descuento también sirven para replicar el payoff de las opciones y por lo tanto podrían tener

también este uso. En el proyecto los factores de descuento solamente tendrán el fin de

descontar los flujos de caja a tiempo presente.

Los resultados de la valoración de los factores de descuento son positivos. Se puede

observar que la curva del modelo de simulaciones Montecarlo (curva verde) se ajusta

Gráfica 16.- Comparación de las Curvas de Factores de Descuento: Curva de Bootstrapping de la curva de Forwards a Día de Hoy VS Curva de

Factores de Descuento Con el Modelo de Montecarlo de Los Escenarios del LMM 10 000 Escenarios


-87-

prácticamente a la curva generada por los factores de descuento de hacer el bootstrapping de la

curva de Líbores a día de hoy. La curva de Líbores al que se ha aplicado el bootstrapping es

una curva constante. Esta curva inicial es la que se ha utilizado como variable de entrada para

el LMM para generar los escenarios. La curva de Líbores a día de hoy no suele tener una forma

constante pero la herramienta permite modificarla. La utilizada por la herramienta es de

para todos los Líbores a día de hoy.

Es cierto que la valoración de los factores del descuento por el modelo de Montecarlo

tiene cierta convexidad pero no hay mucha diferencia entre las dos curvas. Al tratarse de

simulaciones con un modelo Montecarlo, si se aumentase el número de escenarios el error

disminuiría y la curva de factores de descuento valoradas con el LMM se ajustaría más a la

curva teórica de factores de descuento. La gráfica representada se ha hecho con 10 000

escenarios debido a que no está muy depurado el código y las simulaciones no son tan rápidas

como se querrían. Se comentará este problema en las conclusiones y se dará una solución para

poder mejorar la herramienta en un futuro.

6.3.2 VALORACIÓN DE UN CAPLET

Para la valoración de caplets se comparará el LMM con otros dos modelos. Los otros

dos modelos con los que se valorarán los caplets serán el modelo analítico de Black y un

modelo de simulaciones de Montecarlo pero cuya generación de escenarios se hace utilizando

la ecuación de la evolución del precio de una acción. El modelo que simula la evolución del

precio de una acción se denominará el modelo de renta variable.

El modelo de renta variable no es un modelo adecuado para valorar caplets. Aunque si

es cierto que como la generación de escenarios de este modelo sigue una distribución log-

normal en su medida terminal, el precio de los caplets se podrá ajustar a la valoración del

modelo analítico de Black. Este modelo parte de la premisa que el forward sigue una

distribución log-normal y por lo tanto la valoración de los caplets de ambos modelos podrá ser

parecida. Cuando el vencimiento del caplet esté más cerca de su medida terminal el precio de

Black se parecerá aún más al precio valorado con el modelo de renta variable.

Por otro lado, el modelo de Black para valoración de caplets se presenta en el capítulo

5. En el capítulo 5 se implementa el modelo de Black para la valoración de caplets y será el

precio que teóricamente esté correcto para los caplets. Se querrá que el LMM valore el precio


-88-

de los caplets lo más parecido posible al modelo de Black. A continuación se presentan los

resultados de la valoración del precio de los caplets para los diferentes modelos.

Gráfica 17.- Comparación Precios de los Caplets para diferentes Vencimientos con 10 000 simulaciones: Modelo Log -normal (azul), Modelo de

Black(Rojo) y Model LMM (verde)


-89-

La primera gráfica muestra el resultado de los diferentes modelos para diferentes

caplets de diferentes vencimientos. La segunda gráfica corresponde a la diferencia en valor

absoluto del precio de los caplets valorados con el modelo de renta variable y con el LMM con

respecto a los caplets valorados con el modelo de Black.

De estas dos gráficas podemos sacar las primeras conclusiones del LMM

implementado. Más adelante se analizarán estos resultados en las conclusiones en el Capítulo 8.

Se puede observar que existen diferencias en la valoración de caplets entre el LMM y el modelo

de Black. Para ciertos vencimientos es cierto que el LMM se va ajustando al valor del modelo

de Black pero hay otros vencimientos para los que existe una diferencia considerable entre los

dos modelos.

Analizando la gráfica de los factores de descuento se puede observar que existe cierta

divergencia en la valoración de los factores de descuento para el LMM y el modelo de Black

Gráfica 18.- Diferencias de Precios de los Caplets en Valor Absoluto con el Modelo de Black para diferentes Vencimientos: Modelo de Equity

(azul) y Modelo LMM (verde)


-90-

para ciertos vencimientos. Sobretodo cerca de los últimos vencimientos. Existe una analogía

entre la gráfica de valoración de caplets y la de los factores de descuento ya que los factores de

descuento forman parte de la valoración de los caplets y por lo tanto afectan directamente al

precio a día de hoy. En la gráfica de las diferencias de precios se puede ver como la mayor

diferencia de precios se da para los últimos vencimientos. Por lo tanto se puede concluir que

esta diferencia de precios viene causada por los factores de descuento.

Otra causa de las diferencias en los precios de los caplets entre el LMM y el modelo de

Black es el número de simulaciones del Montecarlo. Se explicó en el capítulo 2 que sí se

aumentaba el número de simulaciones del modelo Montecarlo aumentaba la convergencia del

modelo para calcular el resultado esperado. No solamente mejoraría el ‘tuido’ debido al

Montecarlo en la valoración de caplets sino también la convergencia de la valoración de

factores de descuento. Para estas pruebas se utilizaron 10 000 simulaciones que a pesar de ser

un número elevado puede que no sean suficientes para una convergencia absoluta del modelo.

El problema de aumentar las simulaciones para el LMM es que el código implementado en la

herramienta es muy complejo y al aumentar mucho el número de simulaciones aumenta de

forma considerable el tiempo de cálculo. Esto se discutirá más adelante en las conclusiones.

Por último comentar como el LMM se ajusta mejor a los precios del modelo de Black

que el propio modelo de renta variable. El modelo de renta variable parte de la premisa que el

forward sigue una distribución log-normal y por lo tanto se debería ajustar de forma

aproximada al modelo de Black que sigue la misma premisa. A pesar de esto se ven diferencias

en los modelos, otra vez debido en su mayoría al ‘ruido’ de la simulaciones del Montecarlo.

Como el LMM se ajusta mejor que el modelo de renta variable se puede concluir que el

modelo implementado es satisfactorio aunque existe un margen de mejora que se comentará en

el capítulo 8.

6.3.3 VALORACIÓN DE UNA SWAPTION

El último producto de tipos de interés que se valorará con el LMM y el modelo

Montecarlo es una swaption. Una swaption como su propio nombre indica es una opción

sobre un contrato swap. El dueño de una swaption tiene el derecho de poder entrar en un

contrato swap. Será óptimo valorar las swaptions con un Swap Market Model (SMM), ya que el

SMM es capaz de generar diferentes escenarios para la curva swap. Utilizando un LMM

también se pueden valorar swaptions y de una forma precisa.


-91-

Para valorar las swaptions se necesita hacer una función de payoff de la opción. Como

una swaption es una opción sobre un swap se tendrá que conocer como valorar un contrato

swap. Estás nociones se adquieren de la sección 4.2 del proyecto, ‘Valoración de un Swap’. En

esta sección viene explicado teóricamente como valorar un contrato swap y se utilizarán las

mismas ecuaciones para implementarlas en una función.

Aunque el swap sea el activo subyacente de la opción, la función de payoff tendrá que

tener en cuenta otros factores como la condición de ejercicio de la opción. Teóricamente la

función de payoff de la swaption será:

( )

Donde la pata fija y la pata flotante pertenecen al intercambio de flujos de caja del swap de

tipos que figura como activo subyacente de la swaption. El código implementado de la función

de la swaption quedará de la siguiente manera:

function NPVSwaption = SwaptionPayoff(Scenarios, Times, pos, K,numscenarios)

dt = diff(Times);

dt = [dt dt(end)];

for i = 1:numscenarios

DF = (ones(1,size(dt,2)+1-pos))./((ones(1,size(dt,2)+1-

pos))+dt(1,pos:end).*Scenarios(pos,pos:end,i));

DF = cumprod(DF);

DFijo = cumsum(DF);

DF = DF(end);

DFTo(i) = DF;

PataFija = K*dt(end)*DFijo(end);

PataFlotante = 1-DF;

payoff(i) = max(PataFlotante - PataFija,0);

Bermuda(i) = payoff(i)/DF;


-92-

end

DF1 = (ones(1,size(dt,2)))./(ones(1,size(dt,2))+dt.*Scenarios(1,:,i));

DF1(1) = 1;

DF1 = cumprod(DF1);

DF1 = DF1(end);

NPVSwaption = mean(Bermuda)*DF1;

Return


-93-

Por último se expondrán y se comentarán los resultados obtenidos para la valoración

de las swaptions en función de su vencimiento. Se representará el precio de las swaptions en

función de su vencimiento con un strike o precio de ejercicio de la opción y se

generarán 10 000 escenarios diferentes de la curva de Líbores. La matriz de volatilidades será

‘flat’, todos los elementos de la matriz tendrán una volatilidad de . La matriz de

correlación de los Líbores quedará con la diagonal principal igual a la unidad y el

resto de elementos de la matriz .

La forma de la gráfica de las swaptions en función de su vencimiento coincide con la

forma teórica. Los swaps de las swaptions que se valoran son co-terminales. Es decir a medida

que el vencimiento de la swaption aumenta el swap tiene menor vencimiento. El swap siempre

Gráfica 19.- Precios de Swaptions con el LMM para diferentes Vencimientos 10 000 simulaciones


-94-

vence en el año 10 y por lo tanto si aumenta el vencimiento de la swaption el contrato swap

tendrá un vencimiento menor. Esto es debido a que el contrato swap comienza el día de

ejercicio de la swaption.

Hasta aquí lo lógico sería pensar que las swaptions con menor tiempo de vencimiento

fuesen las opciones más caras ya que su activo subyacente, el swap, tiene mayor tiempo de

vencimiento. Esto de todas formas no es del todo correcto ya que el valor de la swaption, no

sólo depende del tiempo de vencimiento. Se podrá aproximar el precio del contrato swap por

la siguiente fórmula:

√

Donde se puede ver como a mayor vencimiento el valor de la swaption aumenta pero

su valor también depende del valor de . Es la variable que representa el . El

disminuye a medida que el swap tiene menor vencimiento y por lo tanto al ir en sentido

opuesto al tiempo de vencimiento, la gráfica que nos queda tiene la forma convexa donde

tanto los swaps de mayor vencimiento como los de menor vencimiento tienen menor precio y

son aquellos que tienen vencimientos ‘medios’ los que tienen mayor valor.

6.3.4 VARIACIÓN DE LA MATRIZ DE CORRELACIÓN

La matriz de correlaciones se ajustará a través de una variable . La matriz de correlación

anterior no es muy realista ya que el factor de correlación de los Líbores no es constante a lo

largo de la matriz sino que disminuye a medida que los elementos se alejan de la diagonal. En la

diagonal de la matriz la correlación es del 100% pero a medida que nos alejamos de la diagonal

tendremos un factor que disminuirá esa correlación pero de una forma más suave.

La matriz de correlación se implementará teóricamente como [JOSH03]:

( )

El factor ‘suaviza’ el factor de correlación de los Líbores. Cuanta más correlación tenga los

Líbores mayor será la volatilidad de los swaps. Por lo general para valorar swaptions la =0.1

suele ser el factor que mejor se ajusta al mercado. La matriz con tendrá la siguiente

forma en función del vencimiento. Esta gráfica se saca ‘cortando’ por la mitad de la matriz. Es


-95-

decir se puede ver la correlación entre un Libor que vence en 5 años con respecto a un Libor

que vence en tiempo .

Gráfica 20.- Forma de la Matriz de Correlación para un Beta = 0.1


-96-


-97-

7. VALORACIÓN DE SWAPTIONS BERMUDA

Como objetivo final y reto del proyecto, se valorará una Swaption Bermuda. La Swaption

Bermuda será el producto estrella que valorará la herramienta y el más complejo. Para ello se

mezclarán varios conceptos desarrollados durante el proyecto. Se demostrará que combinando

un LMM y un Montecarlo americano, se pueden valorar casi cualquier opción de tipos de

interés sin importar la complejidad del payoff.

En esta sección se utilizarán diversas funciones de la herramienta y se modificarán

ligeramente para poder valorar la Swaption Bermuda. A continuación se analizarán los

resultados obtenidos y por último la sensibilidad de este producto a través de un análisis de

griegas.

El análisis de griegas consistirá en calcular tanto la delta como la vega para poder cubrir

este derivado tan complejo e ilíquido con otros más sencillos y líquidos como los swaps. Esta

última parte del proyecto tendrá una gran utilidad en las mesas de trading. Los traders de

productos exóticos manejan sensibilidades todo el rato. El poder tener una herramienta fiable

que les realice una estrategia de cobertura de estos productos, será de gran importancia.

7.1 INTRODUCCIÓN

Una Swaption Bermuda es un producto muy ilíquido y complejo de valorar. La

dificultad de valorar este producto viene dada por dos razones: Su activo subyacente es un

swap y por lo tanto habrá que construir diferentes escenarios de la curva swap o de la curva de

Líbores en este caso. En segundo lugar, al tratarse de un opción bermuda, tendrá varias

posibles fechas de ejercicio lo que complicará su valoración.

Para la valoración de la Swaption Bermuda se tienen todos los ‘ingredientes’ necesarios.

Los escenarios de la curva de Líbores se realizarán con el LMM. En el capítulo 6 se valoró una

opción swaption y por lo tanto la función de payoff de la swaption y la Swaption Bermuda

será el mismo. Por último se tendrá en cuenta la condición de la fecha de ejercicio óptima

utilizando el Montecarlo americano implementado en el capítulo 3 para las opciones con varias

fechas de ejercicio.

La Swaption Bermuda es un producto de tipos de interés, cuyo activo subyacente es

un swap. Esta opción tiene varias fechas de ejercicio a lo largo del vencimiento de la opción. El

dueño de la opción tendrá el derecho de poder entrar en un contrato swap. Por lo tanto


-98-

cuando se ejercite la swaption , el dueño de esta opción entrará en un contrato swap con otra

contrapartida especificada por el contrato. El payoff de la Swaption Bermuda queda igual que

el payoff de una swaption y por lo tanto se utilizará la misma función:

( )

Matemáticamente se podrá replicar la Swaption Bermuda con una combinación de un

swap cancelable y un contrato swap. A continuación se presenta como estos dos productos

pueden replicar el valor de la Swaption Bermuda.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

El matiz entre paréntesis hace referencia al tipo de contrato swap. El tipo de contrato

swap se comenta en la sección 4.2 ‘Valoración de un Swap’. El tipo de contrato está

relacionado con la pata fija del swap. Si un swap es ‘payer’ significa que el dueño de ese

contrato swap paga tipo fijo a la otra pata del swap y recibe tipo flotante. Si un swap es

‘receiver’, entonces el dueño de ese contrato swap recibe el tipo fijo de la otra pata y paga

flotante.

Está fórmula es una particularidad de la fórmula Put-Call Parity para opciones

europeas. La fórmula Put-Call Parity relaciona el precio de una opción call con una opción put.

A continuación se expondrá su expresión matemática pero no se entrará en detalle a

desarrollarla.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Donde ( )son los dividendos y ( ) el precio spot de la acción. Los demás tienen la

misma nomenclatura que en el resto del proyecto.

7.2 MONTECARLO AMERICANO

El Montecarlo americano es el modelo que se utilizará para poder valorar opciones con

varias fechas de ejercicio. Este modelo tendrá en cuenta las diferentes fechas de ejercicio y

tomará la decisión de ejercicio para la fecha de ejercicio óptima.


-99-

Este modelo se implementó anteriormente cuando se valoró la opción bermuda sobre

una acción. Para poder valorar la Swaption Bermuda se ajustará aplicando las modificaciones

correspondientes al modelo. Aun así los elementos principales y la estructura del Montecarlo

americano quedarán intactos.

Se seguirá utilizando el modelo de regresión lineal de Longstaff-Schwartz y se irá

retrocediendo a través de un bucle for a lo largo de las fechas de ejercicio de la opción para

decidir si es mejor ejercer la opción o esperar.

Las diferencias más significativas entre el Montecarlo americano que valorará la

swaption y la opción sobre una acción es por la diferencia de dimensiones de los escenarios del

activo subyacente. Para ajustar de forma correcta las dimensiones para realizar la regresión

lineal y la condición de fecha de ejercicio óptima se implementaron las siguientes funciones:

function theta = BermudaCalcRegression(Scenarios,index,NPV,numscenarios)


x(i) = Scenarios(index,index,i);

end

m = length(x);

k = ones(m,1);

X = [k x'];

theta = (pinv(X'*X))*X'*NPV;

return

function NPVBermuda =

BermudaMontecarlo(index,Scenarios,numscenarios,NPVold,theta,times,intrinsic)


x(i) = Scenarios(index,index,i);

end


-100-

N = theta(2)*x'+theta(1);

dt = times(index+1)-times(index);

value = N./(1+dt*x');

NPVBermuda = (value<intrinsic).*intrinsic + (value>=intrinsic).*NPVold./(1+dt*x');

return

7.3 VALORACIÓN DE UN SWAPTION BERMUDA

A continuación se expondrán los resultados de la herramienta de la valoración de una

Swaption Bermuda. Para analizar si la valoración es correcta compararemos la Swaption

Bermuda con una cesta de swaptions y con el malor maxímo de las swaptions. La Swaption

Bermuda tendrá un límite superior y otro inferior que se representarán matemáticamente:

( ) ∑

Esta ecuación se debe cumplir para que la valoración sea correcta. Esto es debido a que

La Swaption Bermuda tiene varios derechos ya que tiene varias fechas de ejercicio y por lo

tanto tendrá que valer más que el máximo valor de cualquier de las swaptions con una sola

fecha de ejericio con fecha de ejercicio igual o inferior al vencimiento de la Swaption Bermuda.

Por el otro lado si se construye una cesta de swaptions cuyo valor sea la suma de todas las

swaptions con una sola fecha de ejercicio y cuyas fechas de ejercicio sean iguales o inferiores al

vencimiento de la Swaption Bermuda, entonces habrá el mismo derecho de ejercicios por parte

de la cesta que por la Swaption Bermuda. Aun así el precio de este cesta tendrá que ser mayor

PORQUE ES MAYOR.

La Swaption Bermuda que se valorará tiene una fecha de vencimiento años y

un strike con posibilidad de ejercer la opción cada año. Esta Bermuda ofrece a su

dueño entrar en un contrato swap de tipo ‘payer’, pagará el tipo fijo a la pata flotante, se

denomina a esta Swaption Bermuda como una opción ‘call’ u opción de compra. Se valorará la

bermuda para diferentes correlaciones de los Líbores que se modificarán con el parámetro .

Por último se modificará el número de factores a simular y se evaluará el comportamiento. Los


-101-

resultados de la valoración de la Swaption Bermuda se harán siempre comparándolos con su

límite inferior (máximo valor de las swaptions) y su límite superior (la cesta de swaptions).

Antes de mostrar las gráficas realizadas con la herramienta se expondrá el código

implementado para valorar la bermuda:

function test

T = 9.5;

numscenarios = 5000;

step = 0.5;

simultimes = [0:step:T];

tenors = simultimes;

libors0 = ones(1,size(simultimes,2)) * 0.05;

K = 0.07;

paytime = 9;

paytimes = [0.5:step:paytime]

fixtime = 21;

L0 = 0.05;

vol = 0.2;

r = 0;

d = 0;

dtimes = 0;

paytime = 9;

paytimes = [0.5:step:paytime];

numsteps = size(tenors, 2);

sigma = 0.2 * ones(numsteps);


-102-

numfactors = 1;

beta = 0.1;

m=1;

for beta = 0:0.1:0.5


for j = 1:size(simultimes,2)

rho(i,j) = exp(-beta*abs(tenors(i)-simultimes(j)));

end

end

rho

% rho = (ones(numsteps) - eye(numsteps)) * 0.8 + eye(numsteps);

pos = FindPos(tenors,paytime)

Covars = CorrelationPCA(rho, numfactors);

seed = randn("state");

Scenarios =

SimulateScenariosLMM(tenors,Covars,simultimes,sigma,libors0,numscenarios,numfac

tors,seed,rho);

NPV = max(SwapPayoff(Scenarios, simultimes, pos, K,numscenarios),0);

for time = pos-1:-1:2

time

theta = BermudaCalcRegression(Scenarios,time,NPV,numscenarios)

intrinsic = max(SwapPayoff(Scenarios, simultimes, time, K,numscenarios),0);

NPV =

BermudaMontecarlo(time,Scenarios,numscenarios,NPV,theta,simultimes,intrinsic);


-103-

end

value = mean(NPV);

dt = diff(simultimes);

dt = dt(2)-dt(1);

NPVBermuda(m) = value/(1+dt*L0)

% tendré que descontar ahora para el resultado en la posición 1

for i = 1:size(paytimes,2)

pos = FindPos(tenors,paytimes(i));

NPVSwaption(i) = SwaptionPayoff(Scenarios, simultimes, pos, K,numscenarios);

end

NPVSwaption

MaxSwaption(m) = max(NPVSwaption)

NPVSwaption = cumsum(NPVSwaption);

SumadeSwaptions(m) = NPVSwaption(end)

m = m+1;

end

beta = [0:0.1:0.5]

plot(beta,NPVBermuda)

hold on

plot(beta,MaxSwaption,'r')

hold on

plot(beta,SumadeSwaptions,'g')


-104-

A continuación se presentan las gráficas de la valoración de las Bermudas con el LMM

para 1, 3 y 5 factores estocásticos en función de la correlación.

Gráfica 21.- Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda con su Precio en función de la correlación (1 Factor

Estocástico): Swaption Bermuda (azul), Cesta de Swaptions (verde), Máximo valor de la cesta de Swaptions(rojo)


-105-

Gráfica 22.- Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda con su Precio en

función de la correlación (3 Factores Estocásticos): Swaption Bermuda (azul), Cesta de Swaptions (verde),

Máximo valor de la cesta de Swaptions(rojo)

A partir de estas gráficas se pueden sacar las primeras conclusiones acerca de la

valoración de Swaptions Bermuda con la herramienta. En primer lugar se puede observar que

son los factores estocásticos los que afectan al precio de la Bermuda en función de la

correlación. Se realizaron tres simulaciones distintas: una simulación con un solo factor

estocástico, otra con tres factores estocásticos y otra gráfica con cinco factores estocásticos (a

continuación).

Si se analizan las gráficas se puede ver que la simulación con un solo factor estocástico no

afecta al precio de la Bermuda, ni tampoco de la cesta de swaptions ni al valor máximo de las

swaptions. Se ve que las tres curvas son prácticamente constantes. La teoría nos dice también

que a medida que se aumenta el número de factores variando a su vez la correlación la curva de


-106-

la Bermuda debería variar, mientras que las otras dos se deberían mantener prácticamente

constantes. Al ser la Bermuda una call debería tener una variación decreciente. En los

resultados se puede ver como la curva del valor máximo de la cesta de swaptions es

prácticamente constante mientras que la curva de la cesta de swaptions tiene una fuerte

tendencia decreciente a medida que se aumenta el número de factores simulados. Esto puede

ser debido a algún problema de implementación en el código por una parte y por otra parte

puede que haya tenido efecto el número de simulaciones del Montecarlo americano.

Aumentando estas simulaciones se hubiese conseguido unos resultados que se hubiesen

ajustado mejor a la teoría.

Gráfica 23.-Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda con su Precio en función de la correlación (5

Factores Estocásticos): Swaption Bermuda (azul), Cesta de Swaptions (verde), Máximo valor de la cesta de Swaptions(rojo)


-107-

La última prueba para saber la fiabilidad de la herramienta será ver si la Bermuda

cumple con su límite superior e inferior.

La Bermuda tiene que tener como límite superior una cesta de swaptions que se

construye a base de sumar las swaptions con vencimiento igual a las fechas de ejercicio de la

Bermuda. Por el otro lado, la Bermuda puede valer como poco el valor máximo de las

swaptions de la cesta. Si se analizan las gráficas se ve que para un factor estocástico se cumple

que variando la correlación la Bermuda está entre estos dos límites. Al ir aumentando el

número de factores estocásticos se puede ver que la Bermuda cumple con su límite superior

pero que su curva en función de la correlación se cruza ligeramente con la curva de su límite

inferior. El problema viene del Montecarlo americano y de la forma de tomar la decisión de

fecha de ejercicio óptima. Esto se comentará en las conclusiones y se darán posibles soluciones

para que se pueda ampliar el proyecto.

A pesar de este problema, lo normal es valorar swaptions con un ya que las

swaptions en mercado suelen tener este factor de correlación. Para este factor se observa que la

Bermuda está entre sus límites y por lo tanto el modelo es válido para este factor de

correlación.

Se concluye que la herramienta es capaz de valorar Swaptions Bermuda aunque existe

el riesgo que con esta herramienta si se aumentan los factores estocásticos de simulación y se

coge un factor de correlación grande la precisión disminuya. En las conclusiones se

propondrán soluciones para mejorar la herramienta para la valoración de Swaptions Bermuda

a través de la mejora del Montecarlo americano. Esto posibilita una futura ampliación sobre

este proyecto.

7.4 ANÁLISIS DE GRIEGAS

El análisis de griegas corresponde con el análisis de sensibilidades de un derivado. La

herramienta está preparada para analizar la sensibilidad de diversos derivados de tipos de

interés pero en este caso se analizará la sensibilidad de la Bermuda que se valora en el capítulo

7.


-108-

Teóricamente se puede hacer un análisis de sensibilidad con respecto a cualquier

variable para la que depende el precio de un producto. Aun así el proyecto solamente se

centrará en calcular la delta y la vega de la Swaption Bermuda . Estas dos griegas son las más

importantes y pueden aportar mucha información a los traders.

El análisis de griegas se realiza para que los traders se puedan cubrir de ciertos

derivados que son muy ilíquidos. La Swaption Bermuda es un producto muy ilíquido en el

mercado y por lo tanto habrá que conocer las sensibilidades del producto para poder cubrirlo

con productos más líquidos que tengan más disponibilidad en el mercado. La función de los

traders de productos exóticos, como la Swaption Bermuda, es cubrirse dinámicamente de los

riesgos de sus libros para poder ganar dinero. Por lo tanto el cálculo de las griegas será de gran

importancia y una parte esencial de la herramienta.

Existe una variedad de métodos para poder calcular las griegas de un producto. En la

herramienta se calculará la delta y la vega utilizando el método de ‘bampeo’ que se explicará a

continuación.

7.4.1 DELTA

La delta que se calculará será la delta de tipos de interés. La delta de tipos de interés se

define como la primera derivada del precio de la opción respecto a la curva de tipos de interés.

Los traders trabajan siempre con puntos básicos, y por lo tanto para facilitar la

interpretación de los datos, se calculará la herramienta calculará la delta como la variación del

precio del derivado con respecto a la variación de un punto básico de la curva de tipos de

interés. La variación de un punto básico sobre la curva de tipos de interés se refiere a un

movimiento paralelo de un punto básico de la curva de tipos de interés. Por lo tanto la delta de

la herramienta queda de la siguiente manera:

La delta de la Swaption Bermuda se cubrirá con un swap que tenga una delta parecida.

Los swaps son productos muy líquidos y por lo tanto son muy accesibles en el mercado.


-109-

Dependiendo de la delta de la Bermuda swaption, se elegirá un swap con la misma delta que

suele coincidir con el vencimiento del contrato swap. Esto se explicará mejor analizando el

gráfico de barras a continuación.

La forma de cálculo por ‘bampeo’ es la siguiente:

1. En primer lugar se generan unos escenarios de la curva de Líbores con el LMM

2. A través de un bucle for se va añadiendo un punto básico, , a cada elemento de

la curva inicial de Líbores y manteniendo el incremento del punto básico.

3. Se aplica el Montecarlo americano para valorar la Swaption Bermuda dentro de ese

bucle for

4. Se calcula la variación del precio de la Swaption Bermuda con respecto al anterior

precio dentro del bucle for. Esta diferencia nos da un vector de deltas por la variación

de cada elemento de la curva de Líbores.

Gráfica 24.- Delta de Swaption Bermuda ( 10 000 simulacions)


-110-

La Swaption Bermuda tiene delta a lo largo de la vida de la opción. Se puede ver que la

tendencia de la delta es creciente a medida que se acerca al vencimiento de la swaption. Esto es

debido a que se ha ido subiendo un punto básico sucesivamente a cada Libor de la curva a día

de hoy y manteniendo los niveles. Por lo tanto al final se tiene toda la curva inicial al

que es equivalente a tener un movimiento paralelo a la cruva de tipos y entonces la Bermuda

tendrá mayor sensibilidad cuando más cerca este de su vencimiento.

En el gráfico de barras se puede ver como hay algunas fechas que tienen delta negativa esto

significa que un movimiento de un punto básico causa que el precio de la Bermuda decrezca el

valor de la delta. La teoría nos dice que la delta de la Bermuda es creciente a medida que se

acerca a su vencimiento y por lo tanto la herramienta es capaz de calcular su sensibilidad a

movimientos a la curva de tipos de forma precisa.

Por último se comentará como cubrir la delta de la Bermuda que se ha valorado en el

capítulo 7. Para cada delta en cada fecha se buscará un swap de un vencimiento parecido y con

una delta similar a la de las barras. Por lo tanto la Bermuda se cubrirá con un portfolio de

swaps de diferentes vencimientos y con unas deltas similares a las de las barras del gráfico de

barras. La estrategia de cobertura se hará siempre realizando la operación opuesta a la que se

hace con el producto. En este caso se está comprando una Bermuda que da derecho a entrar

en un contrato swap de tipo ‘payer’. Los productos de cobertura para esta Bermuda serán

swaps de tipo ‘receiver’ que son opuestos a los swaps de tipo ‘payer’.

7.4.2 VEGA

La vega también tiene una gran importancia dentro del análisis de sensibilidades de un

derivado. Esta griega representa la primera derivada del precio de un derivado con respecto a la

volatilidad de su activo subyacente.

La herramienta utilizará otra vez un método de ‘bampeo’ para calcular la vega que en

realidad calculará la variación del precio de una Swaption Bermuda frente a una variación de un

punto porcentual de la matriz de volatilidades del LMM.


-111-

El LMM no es el mejor modelo para cubrir la vega de las swaptions, ya que utiliza caps y

caplets como elementos de cobertura. El modelo adecuado para cubrir la vega de las swaptions

es un Swap Market Model. A pesar de esto es posible cubrir la vega con los caps y caplets del

LMM y por lo tanto el modelo será válido. A continuación se presentarán dos gráficos de

superficie de la vega de la Swaption Bermuda. Estas dos gráficas representan la matriz de vegas

del producto para 700 simulaciones de la curva de Líbores.

Gráfica 25.- Matriz de Vegas de la Bermuda Swaption para 700 simulaciones (Vista 1)


-112-

Se puede observar que la matriz de vegas es diagonal a través del gráfico de superficie ya

que no hay cambios de pendiente en una parte del gráfico (coincide con el triángulo inferior de

la matriz). Esto es debido a que la matriz de Líbores es diagonal.

La forma de interpretar la matriz de vegas, es similar a la interpretación del gráfico de

barras de la delta. Para cubrir la vega de la Bermuda Swaption se utilizará productos como

caplets y caps con vencimientos similares a los picos de vega. Se utilizarán los productos

adecuados, con la vega adecuada, y se realizará la operación opuesta, a la realizada por el

producto que se cubre.

Gráfica 26.-Matriz de Vegas de la Bermuda Swaption para 700 simulaciones (vista 2)


-113-

8. CONCLUSIONES Y FUTURAS

INVESTIGACIONES

Las conclusiones de este proyecto son una recopilación de los resultados obtenidos de la

herramienta de valoración de opciones de tipos de interés que se ha implementado. Todos los

resultados vienen expuestos en cada uno de los capítulos del proyecto.

Los capítulos 1 y 2 sirven a modo de introducción para facilitar la comprensión del lector.

Estos capítulos ayudan a entender algunos derivados de tipos de interés y productos de

mercado como nociones básicas del cálculo estocástico que utiliza la herramienta.

Los capítulos del 3 al 7 explican de forma detallada el desarrollo de la herramienta y

exponen los resultados más importantes de cada sección. Este proyecto tiene una forma

piramidal y cada sección de la herramienta sirve como base para construir la siguiente parte. La

‘pieza final de la pirámide’ es la valoración de Swaptions Bermuda.

A pesar de que la herramienta se vea reflejada en 4 capítulos del proyecto, en realidad tiene

6 partes diferentes:

1. Valoración de opciones europeas con un modelo Montecarlo, se calibra con el

modelo analítico Black-Scholes

2. Una vez calibrado el modelo de simulaciones de Montecarlo para opciones con

una sola fecha de ejercicio, se construye un Montecarlo americano para valoración

de opciones con varias fechas de ejercicio

3. Valoración de los primeros derivados de tipos de interés (caplets,caps y swaps) y la

curva de factores de descuento.

4. Implementación del Libor Market Model (LMM) que permite construir la curva de

tipos de interés (activo subyacente).

5. Valoración de swaptions y posteriormente combinación del LMM con el

Montecarlo americano para la valoración de Swaptions Bermuda

6. Finalmente se calculan las griegas (delta y vega) que son equivalentes a realizar un

análisis de sensibilidades para la Swaption Bermuda y sirven para cubrir los

riesgos financieros en la práctica


-114-

En la sección 8.1 se irán recogiendo los resultados más importantes de cada capítulo y se

analizarán las posibles ampliaciones para la herramienta y se dará una valoración general de la

herramienta para valorar opciones de tipos de interés.

8.1 CONCLUSIONES GENERALES

Las gráficas y resultados que se irán utilizando en esta sección serán los mismos que los

expuestos en los capítulos 3 a 7. Antes de resumir las conclusiones generales, se comentará

que los resultados que se presentan en esta memoria son casos particulares de opciones pero

que la herramienta es apta para cualquier tipo de modificaciones de las variables de entrada y

poder valorar una amplia gama de opciones.

8.1.1 MONTECARLO PARA OPCIONES EUROPEAS

El capítulo 3 se divide en tres partes:

1. Valoración de opciones europeas con un modelo de simulación de

Montecarlo y compararlo con el modelo analítico Black-Scholes

2. Valoración de opciones asiáticas que son un tipo de multi-look options. Su

precio depende del valor que vaya tomando el activo subyacente a lo largo

de la opción

3. Implementación de un Montecarlo americano para poder valorar opciones

con varias fechas de ejercicio.

En esta sección se comentarán los puntos 1 y 2 y el punto 3 se dejará para la sección

8.1.2.

La primera ‘pieza de la pirámide’ es la construcción de un motor de valoración de

Montecarlo fiable para valorar opciones con una sola fecha de ejercicio. El proyecto se centra

en la valoración de opciones de tipos de interés pero para facilitar la construcción del modelo

se utiliza un modelo analítico de comparación, el modelo de Black-Scholes, y por lo tanto se

empezarán valorando opciones europeas de renta variable.


-115-

Se implementó un modelo de simulaciones de Montecarlo y se compararon los precios

de las opciones europeas obtenidos con este modelo y con el modelo analítico de Black-

Scholes. El modelo se calibró con las volatilidades de mercado. Los resultados para una opción

‘call’, opción de compra y para una opción ‘put’, opción de venta son los siguientes:

Gráfica 3.- Precio de una Opción Call Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte Carlo y para el

Modelo Black-Scholes con 100 000 Simulaciones

Se puede observar de las dos gráficas como el modelo implementado de simulaciones

de la herramienta se ajusta a los precios a los del modelo analítico de Black-Scholes. Por lo

tanto se concluye que el modelo de Montecarlo implementado es válido y podrá ser utilizado

para valorar otras opciones. Este modelo será el modelo base para seguir desarrollando la

herramienta por eso es muy importante que esté perfectamente calibrado.


-116-

Gráfica 5.-Precio de una Opción Put Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte Carlo y para el Modelo

Black-Scholes con 100 Simulaciones

La otra conclusión que se puede sacar de esta primera parte del proyecto es cómo

afecta el número de simulaciones del Montecarlo a la convergencia del precio de la opción. Las

dos gráficas anteriores se realizaron con 100 000 escenarios diferentes del precio del activo

subyacente. A continuación se presenta una gráfica con solamente 100 simulaciones del precio

del activo subyacente, siendo la curva la misma opción call con los mismos parámetros de

entrada que la de la primera gráfica.

Comparando la primera gráfica con la gráfica de abajo se puede ver que para la misma

opción call el modelo se ajusta mejor a medida que aumenta el número de escenarios. Esta

conclusión es muy interesante ya que coincide con la teoría del modelo de Montecarlo:

∑

( )


-117-

Si se aumenta , siendo el número de simulaciones, aumenta la convergencia del

modelo. El número de simulaciones afectará a las demás partes de la herramienta y se intentará

utilizar siempre el máximo número posible de simulaciones para aumentar la convergencia del

modelo.

Gráfica 4.- Precio de una Opción Call Europea en Función del Strike Para el Modelo Monte Carlo y para el

Modelo Black-Scholes con 100 Simulaciones

8.1.2 MONTECARLO AMERICANO

El motor de valoración de Montecarlo de la primera parte de la herramienta servirá

para valorar opciones con una sola fecha de ejercicio. El objetivo del proyecto es valorar

opciones de tipos de interés pero no solamente aquellas con una sola fecha de ejercicio sino

también con varias fechas de ejercicio. Para ello hará falta implementar un Montecarlo

americano.

El Montecarlo americano que se implementó, propuesto por Longstaff-Schwartz,

utiliza un modelo de regresión lineal para tomar la decisión de la fecha de ejercicio óptima. La


-118-

teoría dice que la fecha óptima para ejercer una opción con varias fechas de ejercicio de renta

variable sin dividendos es su fecha de vencimiento. El Montecarlo que se implementó es para

opciones con varias fechas de ejercicio cuyo activo subyacente es la renta variable.

Posteriormente se utilizará este modelo para valorar las Swaptions Bermuda.

A continuación se expondrán los resultados del Montecarlo americano y se comentarán

las posibles mejores de este modelo que afectará a la valoración de Swaptions Bermuda.

Gráfica 12.- Número de escenarios que se ejercerían para cada posible fecha de ejercicio. Opción Bermuda put

(rojo) y Opción Bermuda call(azul) con 100 000 simulaciones.


-119-

Gráfica 10.- Regresión Lineal para el Payoff Generado por 100 000 Escenarios en T = 0.5 Años (Primera Fecha de

Ejercicio) con Strike $110

La primera gráfica muestra el número de escenarios en los que se deberían ejercer para

cada posible fecha de ejercicio de la opción. La curva roja es una opción put y la curva roja una

opción call. Se puede ver claramente como a medida que estamos más cerca del vencimiento

de la opción el número de escenarios que se deberían ejercer es mayor. Estas curvas se

realizaron utilizando 100 000 escenarios diferentes del precio del activo subyacente. El eje x

representa el tiempo de vida de la opción y las posibles fechas de ejercicio, siendo 0 el tiempo

de vencimiento de la opción y 20 la primera fecha de ejercicio de la opción.

Este resultado es muy importante ya que la tendencia del modelo es ejercer la opción

en su fecha de vencimiento y por lo tanto coincide con la teoría. La condición de fecha de

ejercicio óptima está correctamente implementada y se podrá utilizar para valorar Swaptions

Bermuda.

A pesar de que los resultados del Montecarlo americano son positivos y distingue bien

a la hora de ejercer la opción, se podría mejorar el modelo. El problema viene dado por la

regresión lineal. En realidad no es un problema sino un defecto.


-120-

Si se analiza la segunda gráfica se podrá ver el defecto. Esta gráfica representa la

regresión lineal propuesta por Longstaff-Schwartz. El modelo hace un ajuste de la nube de

puntos que representa el payoff o flujo de caja generado por los escenarios para cada fecha de

ejercicio teniendo en cuenta la condición de fecha de ejercicio óptima. En el capítulo 3 se

pueden ver tres gráficas del ajuste de la regresión lineal: una gráfica para la fecha anterior al

vencimiento de la opción, otra para una de las fechas de ejercicio intermedias de la opción y

otra gráfica (misma gráfica que la expuesta en esta sección) para el ajuste de la regresión lineal

para la primera fecha de ejercicio posible. Se ha visto que la condición de fecha de ejercicio

óptima está bien implementada y por ello a medida que la fecha de ejercicio de la opción se

acerca a su vencimiento la nube de puntos se parecerá más a la función de payoff de una

opción europea con una sola fecha de ejercicio. A medida que la fecha de ejercicio se aleja del

vencimiento de la opción la nube de puntos es más dispersa y aleatoria. Todo esto coincide

con los resultados del modelo pero existe un defecto.

En la gráfica se pueden ver dos nubes prácticamente (vienen señaladas). Esto es debido

a que la regresión lineal se ha hecho para una fecha de ejercicio muy alejada del vencimiento de

la opción. Pero no es solamente por esta razón. Una regresión lineal es la parametrización más

básica para recoger información estadística. Lo que se pretende hacer con este modelo de

regresión lineal es recoger información del precio del activo subyacente para valorar la opción

y tomar la decisión de ejercicio. El defeco viene porque puede ser que un modelo de regresión

lineal no sea suficiente para recoger toda la información necesaria del activo subyacente. Existe

una variedad muy amplia de técnicas para sacar información estadística de las variables. Lo

óptimo para afinar el Montecarlo americano es sacar la máxima información posible del activo

subyacente para que sea eficiente a la hora de tomar la decisión de ejercicio. Esta es una de las

razones por las cuales se forman dos nubes, porque hay poca información disponible a medida

que las fechas de ejercicio se alejan de la fecha de vencimiento. Otra de las razones por las

cuales se forman las dos nubes es debido a que los datos se agrupan en conjuntos discretos de

escenarios, o dicho de otro modo, por la digitalidad introducida por las opciones de ejercicio

en el futuro.

Este defecto afectará al modelo, que a pesar de tener unos resultados satisfactorios se

podría afinar más. Se utilizó un modelo de regresión lineal para la realización del Montecarlo

americano porque la herramienta está diseñada para las mesas de trading que necesitan una

gran velocidad a la hora de analizar y de obtener resultados. El modelo de regresión lineal


-121-

permite mayor velocidad aunque puede quedarse corto a la hora de recoger toda la

información necesaria del activo subyacente. Otra de las razones por las cuales se implementó

un modelo de regresión lineal es debido a que los precios de la opción son más conservadores.

Se deja la posibilidad de mejorar el modelo aplicando algún método estadístico que recoja más

información del activo subyacente y ajuste los resultados aún más.

8.1.3 L IBOR MARKET MODEL

El Libor Market Model (LMM) es probablemente la parte más importante y más

compleja del proyecto. El LMM es la ‘última pieza de la base de la pirámide’. Con un motor de

cálculo Montecarlo se podían llegar a simular opciones europeas de renta variable. Más tarde se

amplió el campo de valoración a opciones con varias fechas de ejercicio con la implementación

del Montecarlo americano. La única ‘pieza’ que faltaba para valorar opciones de tipos de

interés era la simulación de la curva de tipos es decir la simulación del activo subyacente. Eso

se consigue a través del LMM.

El LMM combinado con un Montecarlo americano es capaz de valorar cualquier tipo

de derivado de tipos con cualquier tipo de payoff. Ese es uno de los objetivos del proyecto y

para abordarlo habrá que implementar el LMM.

El LMM construye la curva de Líbores en el futuro como viene indicado en el Capítulo

6. El modelo de Black es capaz de simular cualquier índice de tipos pero no puede construir la

curva de tipos de forma consistente por eso para simular la evolución de los tipos de interés

hace falta un LMM.

Se hicieron diversas pruebas para ver la validez del LMM. En primer lugar la valoración

de los factores de descuento con respecto al modelo de Black. Se muestra la gráfica que

compara la valoración de los factores de descuento del LMM con respecto al modelo de Black.

Para la realización de esta gráfica se simularon 10 000 escenarios de la curva de Líbores. Se

observa que las dos gráficas convergen hacía los mismos valores menos para algunos

vencimientos (especialmente los vencimientos más altos). Estas diferencias en la valoración de

factores de descuento, aunque son pequeñas, afectarán directamente a la valoración de los

caplets por parte del LMM.


-122-

Una de las conclusiones que se puede sacar de esta gráfica es que 10 000 simulaciones

no son suficientes para lograr que el LMM ajuste la valoración de los factores de descuento a

las del modelo de Black. Se vio anteriormente que para que un motor de valoración

Montecarlo converja a su valor esperado, hace falta aumentar el número de simulaciones. El

problema con el LMM implementado en la herramienta, es que el código es muy denso y hace

falta depurarlo. Esto causa que la velocidad de cálculo no sea la óptima, ya que en las mesas de

trading es esencial que los datos lleguen rápido. Por lo tanto si se aumenta mucho el número

de simulaciones disminuirá la velocidad de cálculo aunque aumentará la precisión. Se deja

abierta la posibilidad también a poder realizar mejoras en el código de la herramienta para

mejorar la velocidad de cálculo y así poder aumentar el número de simulaciones para afinar los

resultados.

Gráfica 16.- Comparación de las Curvas de Factores de Descuento: Curva de Bootstrapping de la curva de

Forwards a Día de Hoy VS Curva de Factores de Descuento Con el Modelo de Montecarlo de Los Escenarios del

LMM 10 000 Escenarios


-123-

El siguiente paso para verificar la validez del LMM es la valoración de caplets y

compararlos con el modelo de Black. Para ello se utilizaron 10 000 simulaciones de nuevo de la

curva de Líbores. Al haber ciertas divergencias con el modelo de Black en la valoración de los

factores de descuento, el LMM no valorará de forma tan precisa los caplets. De nuevo la

solución es aumentar el número de simulaciones para conseguir la convergencia de los factores

de descuento que repercutirán de forma positiva en la valoración de los caplets por parte del

LMM. A continuación se presenta la gráfica de los precios de los caplets para distintos

vencimientos.

Gráfica 17.- Comparación Precios de los Caplets para diferentes Vencimientos con 10 000 simulaciones: Modelo

Log-normal (azul), Modelo de Black(Rojo) y Model LMM (verde)

Se puede observar que existen diferencias de precios entre el modelo de Black (rojo) y

el LMM (verde). Aun así los resultados son satisfactorios ya que el modelo Log-Normal (azul)

que parte de la misma premisa que el modelo de Black (activo subyacente, forward, sigue

distribución log normal) se ajusta menos que el LMM. Siendo los dos modelos de simulaciones


-124-

el LMM se ajusta mejor a los precios de Black para los caplets y sabiendo que gran parte de la

imprecisión viene del ‘ruido’ de las simulaciones del Montecarlo, existe un margen de mejora

para la herramienta.

Por último se valoraron swaptions con distintos vencimientos con el LMM. Esta

prueba es esencial ya que el ‘producto estrella’ del proyecto es la valoración de una Swaption

Bermuda. Antes de valorar la Swaption Bermuda hará falta que el LMM valore de forma

adecuada las swaptions con una sola fecha de ejercicio. A continuación se muestra la gráfica del

precio de swaptions para varios vencimientos.

Gráfica 19.- Precios de Swaptions con el LMM para diferentes Vencimientos 10 000 simulaciones

La forma de la gráfica es correcta ya que tiene que tener una forma convexa en teoría.

Esto es debido a que el activo subyacente de estas swaptions, swaps, son co-terminales. Eso

quiere decir lo siguiente: Una swaption es una opción que da un derecho de entrar en un


-125-

contrato swap en el día de ejercicio de la opción. Todos los swaps vencen en el año 10 (para

esta swaption), pero el día de comienzo del contrato swap depende del vencimiento de la

swaption que es cuando se ejerce la opción. A medida que la swaption tiene mayor

vencimiento el swap a su vez tiene menor duración. Hasta aquí todo es lógico, pero la parte

compleja viene dada por la valoración de un swap. El valor de una swaption no solamente

depende de su vencimiento sino que se puede definir como:

√

Donde el se puede ver como a mayor vencimiento el valor del contrato swap aumenta

pero su valor también depende del valor de . es la variable que representa el . El

disminuye a medida que el swap tiene menor vencimiento y por lo tanto al ir en sentido

opuesto al tiempo de vencimiento, la gráfica que nos queda tiene la forma convexa donde

tanto los swaps de mayor vencimiento como los de menor vencimiento tienen menor precio y

son aquellos que tienen vencimientos ‘medios’ los que tienen mayor valor.

8.1.4 SWAPTIONS BERMUDA

El producto ‘estrella’ del proyecto es la Swaption Bermuda. Una Swaption Bermuda

es un derivado de tipos de interés con un ‘payoff’ complejo. Para valorar este producto se

deber combinar un LMM con un Montecarlo americano ya que no solamente es una opción de

tipos de interés sino que tiene varias fechas de ejercicio. A parte de la valoración de este

producto se aborda otro de los objetivos del proyecto a través del análisis de griegas del

producto. El objetivo es poder replicar y cubrir derivados complejos e ilíquidos con otros

derivados más líquidos que son más fáciles de acceder en el mercado secundario.

Para poder analizar como de fiable es el modelo para la valoración de swaptions se

analizaron cuáles son los límites superior e inferior de este producto. El desarrollo de cómo se

sacan los límites para la Bermuda viene en el capítulo 7. Como límite superior una Bermuda

tiene una cesta de swaptions que se construye con la suma de swaptions con vencimientos

igual a las fechas de ejercicio de la Bermuda. Por el otro lado, la Bermuda valdrá como poco el

valor máximo de las swaptions que componen la cesta. A continuación se presentan las

gráficas de la valoración de la Bermuda comparándola con su precio superior e inferior,

variando la correlación y para la simulación de 1, 3 y 5 factores estocásticos.


-126-


función de la correlación (1 Factor Estocástico): Swaption Bermuda (azul), Cesta de Swaptions (verde), Máximo

valor de la cesta de Swaptions(rojo)


función de la correlación (3 Factores Estocásticos): Swaption Bermuda (azul), Cesta de Swaptions (verde),



-127-

Gráfica 23.-Comparación de Límites Superior e Inferior del Precio de una Swaption Bermuda con su Precio en

función de la correlación (5 Factores Estocás ticos): Swaption Bermuda (azul), Cesta de Swaptions (verde),


A partir de estas gráficas se pueden sacar las primeras conclusiones acerca de la

valoración de Swaptions Bermuda con la herramienta. En primer lugar se puede observar que

son los factores estocásticos los que afectan al precio de la Bermuda en función de la

correlación. Se realizaron tres simulaciones distintas: una simulación con un solo factor

estocástico, otra con tres factores estocásticos y otra gráfica con cinco factores estocásticos (a

continuación).

Si se analizan las gráficas se puede ver que la simulación con un solo factor estocástico no

afecta al precio de la Bermuda, ni tampoco de la cesta de swaptions ni al valor máximo de las

swaptions. Se ve que las tres curvas son prácticamente constantes. La teoría nos dice también

que a medida que se aumenta el número de factores variando a su vez la correlación la curva de


-128-

la Bermuda debería variar, mientras que las otras dos se deberían mantener prácticamente

constantes. Al ser la Bermuda una call debería tener una variación decreciente. En los

resultados se puede ver como la curva del valor máximo de la cesta de swaptions es

prácticamente constante mientras que la curva de la cesta de swaptions tiene una fuerte

tendencia decreciente a medida que se aumenta el número de factores simulados. Esto puede

ser debido a algún problema de implementación en el código por una parte y por otra parte

puede que haya tenido efecto el número de simulaciones del Montecarlo americano.

Aumentando estas simulaciones se hubiese conseguido unos resultados que se hubiesen

ajustado mejor a la teoría.

La última prueba para saber la fiabilidad de la herramienta será ver si la Bermuda

cumple con su límite superior e inferior.

La Bermuda tiene que tener como límite superior una cesta de swaptions que se

construye a base de sumar las swaptions con vencimiento igual a las fechas de ejercicio de la

Bermuda. Por el otro lado, la Bermuda puede valer como poco el valor máximo de las

swaptions de la cesta. Si se analizan las gráficas se ve que para un factor estocástico se cumple

que variando la correlación la Bermuda está entre estos dos límites. Al ir aumentando el

número de factores estocásticos se puede ver que la Bermuda cumple con su límite superior

pero que su curva en función de la correlación se cruza ligeramente con la curva de su límite

inferior. El problema viene del Montecarlo americano y de la forma de tomar la decisión de

fecha de ejercicio óptima. Esto se comentará en las conclusiones y se darán posibles soluciones

para que se pueda ampliar el proyecto.

A pesar de este problema, lo normal es valorar swaptions con un ya que las

swaptions en mercado suelen tener este factor de correlación. Para este factor se observa que la

Bermuda está entre sus límites y por lo tanto el modelo es válido para este factor de

correlación.

Se concluye que la herramienta es capaz de valorar Swaptions Bermuda aunque existe

el riesgo que con esta herramienta si se aumentan los factores estocásticos de simulación y se

coge un factor de correlación grande la precisión disminuya

Finalmente se puede decir que la precisión de la valoración de la Bermuda viene dada

por el problema del Montecarlo americano y por qué se han realizado las gráficas para un


-129-

número reducido de simulaciones. Si se mejora la recogida de información estadística por parte

del Montecarlo americano se conseguirá un mejor ajuste del precio de las Bermudas.

Igualmente si se aumenta el número de simulaciones para reducir el ruido del Montecarlo.


-130-


-131-

9. BIBLIOGRAFÍA

[ANDE00] L.B. Andersen “A simple approach to the pricing of Bermudan

swaptions in the multi-factor Libor Market Model”, 2000

[BANE04] Presentación Power Point Banco Banesto “Curso de Implementación

BGM”, 2004

[BRIG01] D.Brigo, F.Mercurio “Interest Rate Models-Theory and Practice”, 2001

[GRIM92] G. Grimmett, D. Stirzaker “Probability and Random Processes”

Second Edition,1992

[HULL09] John C.Hull “Options, Futures, and Other Derivatives”, Seventh

Edition, 2009

[JOSH03] Mark S. Joshi “The Concepts and Practices of Mathematical Finance”,

2003

[JOSH09] Mark S. Joshi, Chao Yang “Fast and Accurate Pricing and Hedging of

Long-Dated CMS Spread Options”, December 8,2009

[LUEN98] David G.Luenberger “Investment Science”, Standford University, 1998

[MORI06] Massimo Morini “The Implementatiion of BGM LIBOR Market

Models”, 2006

[PITE10] Vladimir V. Piterbarg , Leif B.G. Andersen “Interest Rate Modeling

Volume II: Term Structure Models”, 2010

[REB098] R.Rebonato “Interest Rate Option Models”, 1998

Valoración de Opciones de tipo de interés con modelos de ... · desarrollo de este modelo, ya que...

Documents

Transcript of Valoración de Opciones de tipo de interés con modelos de ... · desarrollo de este modelo, ya que...