V Seminário da Pós-graduação em Engenharia Mecânica

CAOS E CONTROLE DE MICROVIGA EM BALANÇO DE UM MICROSCÓPIO DE FORÇA ATÔMICA, OPERANDO EM MODO INTERMITENTE, NA RESSONÂNCIA

Kleber dos Santos Rodrigues Aluno do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica – Unesp – Bauru

Prof. Dr. José Manoel Balthazar

Orientador – Departamento de Matemática Aplicada e Computacional – Unesp – Rio Claro

RESUMO Desde 1986, quando Binnig et al (1986) criaram o microscópio de força atômica (AFM), esse aparelho se tornou um dos mais importantes microscópios de varredura (SPM), sendo usado para análise de DNA, nano tubos, etc. (Rützel et al, 2006). O AFM tem como componente principal uma microviga, com uma ponteira em uma das extremidades, que vibra próximo de sua frequência de ressonância para mandar sinais a um fotodetector que traduz esse sinal e gera as imagens da superfície da amostra. O modo de operação tapping é o mais usado e o comportamento caótico é muito comum nesse modo de operação, por esse motivo, AFM se tornou um assunto muito interessante no mundo científico. Nesse trabalho, a microviga é modelada usando a equação de Bernoulli, enquanto que as interações entre ela e a amostra são modeladas usando o potencial de Lennard Jones. Simulações numéricas detectam movimento caótico no sistema e a necessidade de estabilizá-lo nos leva a usar os seguintes métodos: Método do Balanço Harmônico, sincronização de sistemas não lineares, método das equações de estado dependentes de Riccati (SDRE), método de realimentação atrasada. Por fim, a aplicação dos métodos se mostra eficiente, com pequeno erro e fácil aplicação. PALAVRAS-CHAVE: Caos, Microscopia De Força Atômica, Ressonância, SDRE, Sincronização, Realimentação Com Sinal Atrasado. 1 INTRODUÇÃO Desde sua criação, em meados do século XV, os microscópios sofreram enorme evolução e recentemente uma das áreas da microscopia que mais se desenvolveu foi a microscopia por varredura (SPM). Seu início se deu no ano de 1981, quando Gerd Binnig e Heinrich Rohrer, dois pesquisadores, a serviço da IBM Suíça, inventaram o Microscópio de Tunelamento (STM), que é capaz de analisar e manipular amostras de tamanho atômico (IEEE Global History Network, 2010). Após essa invenção, outros tipos de microscópios de varredura foram desenvolvidos, tais como Microscópio de Força Atômica (AFM), o Microscópio Óptico de Campo Próximo (SNOM), entre outros. Esse tipo de microscópio funciona basicamente com uma sonda guiada por um braço robótico sobre a superfície de uma amostra microscópica (Tusset e Balthazar, 2010). Neste trabalho estuda-se o Microscópio de Força Atômica (AFM), que usa como braço robótico uma microviga, de aproximadamente 449µm e uma sonda em sua ponta livre com aproximadamente o tamanho de um átomo (Bowen e Hilal, 2009). No AFM, existem três

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modos de operação para a microviga: o modo sem contato, contato e modo de toques rápidos (tapping), sendo o último modo o mais usado (Rützel et al, 2006). Na figura 1.1, há um esquema de funcionamento do AFM, ao vibrar, a sonda situada na ponta da microviga possui seu movimento detectado por um laser, que envia sinais para um fotodetector, e assim as imagens da amostra são obtidas.

Figura 1.1-Esquema de funcionamento do AFM (Kuroda et al (2008))

Na literatura científica, vale mencionar Sebastian et al (2001) que utilizou um modelo de um grau de liberdade, com coeficientes lineares para descrever as forças atrativas e repulsivas. Garcia e San Paulo (2000) usaram a equação de massa-mola para descrever o comportamento da microviga, a descrição utilizada por DMT e van der Waals para descrever as interações ponteira-amostra, em Rützel et al (2006). A microviga é modelada usando as equações de Bernoulli, as interações entre ponteira-amostra são modeladas usando o potencial de Lennard Jones, sem mencionar as várias outras publicações existentes na literatura específica. Este trabalho se originou após estudo do modelo proposto Rützel et al (2006), no qual encontra-se a modelagem matemática, feita para obter as equações governantes do sistema, e as simulações numéricas para entender o comportamento do mesmo. Além disso, com o uso do diagramas de bifurcação analisa-se o sistema com a variação da amplitude, e a partir dessa análise, usa-se os expoentes de Lyapunov para garantir a instabilidade do sistema. Por fim, o estudo de imagens como retratos de fase, mapas de Poincaré, entre outros, possibilita afirmar que o sistema tem comportamento caótico. Num outro estágio do trabalho, duas soluções periódicas são encontradas, uma usando o Método do Balanço Harmônico e outra com a mudança de parâmetros do sistema. Ao final do trabalho, para garantir a estabilidade e performance do sistema, usa-se o método SDRE, levando o movimento caótico para a solução encontrada com o Método do Balanço Harmônico, e o método de Pré-alimentação para manter o sistema controlado. Em outra situação, o método SDRE também é usado para fazer a sincronização de sistemas não lineares, e o método de Realimentação Atrasada é usado para encontrar uma órbita periódica instável e manter o sistema controlado.

2 MODELAGEM MATEMÁTICA

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O modelo físico utilizado nesse trabalho é baseado no modelo proposto por Rützel, Lee e Raman (2003), neste trabalho, representa-se a deflexão da microviga com as equações de Euller-Bernoulli-Lagrange, e as interações entre ponteira e amostra são representadas pelo potencial de Lennard Jones. Na modelagem surge uma EDP que é adimensionalizada e aproximada a uma EDO pelo método de Galerkin (Rützel et al, 2006). Após esse processo, a equação diferencial ordinária que representa o modelo fica:

Figura 2 – Um esquema de (a) inicial, (b) intermediário, e (c) configurações da

deformação da microviga. (Qin-Quan, Chen, 2006).

No modelo estudado, após modelagem matemática obtém-se a equação diferencial parcial que representa o movimento de flexão da microviga e as interações entre ponteira e amostra.

1 28 2

( , *) ( ( , *) * ( ))

. ( )180( * ( , *) sin *) 6( * ( , *) sin *)

Au x t EI u x t x

A R A Rx L

u L t Y t u L t Y t

ρ ω

δη η

′′′′ ′′′′+ + =

= − + − +

− − Ω − − Ω

&&

2 sin * A Y tρ+ Ω Ω

(1)

Onde Z é a distância entre a ponteira e a amostra, w*(L) mostra a deflexão da ponta da microviga em relação ao seu comprimento L, * * ( )Z w Lη = − é a distância de equilíbrio entre a ponteira e a amostra considerando a deflexão w*(L). A deflexão da microviga é representada por u(x,t*) e a densidade de massa por ρ, E é o módulo de Young e A representa uma secção de área com momento de inércia I. A microviga está presa em x=0 e livre em x=L. Na figura 2a, as forças de interação entre ponteira e amostra estão inoperantes, em 2b, a deflexão w*(L) ocorre devido as forças de atração e repulsão existentes entre amostra e ponteira, nesse caso, existem não linearidades no movimento da ponta da microviga. A figura 2c, representa a atuação das forças de interação na microviga, e sua deflexão, que já está representada por u(x,t*). Por fim, a vibração do atuador piezoelétrico é representada pela equação ( )y t Ysen t= Ω , onde Ω e Y são a frequência e amplitude da excitação respectivamente. A1 e A2 são as constantes de Hamaker, e representam simultaneamente, o

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potencial atrativo e repulsivo. As constantes de Hamaker são dadas pelas expressões:

21 1 2 1A cπ ρ ρ= e 2

2 1 2 2A cπ ρ ρ= .

Ao usar o método de Galerkin, e após adimensionalização, obtém-se uma equação diferencial

ordinária que aproxima a equação (1):

211 12

1 1 18 2(1 ) (1 )

C Cy d y y B E sen t

y sen t y sen tη

η η= − − + + + + Ω Ω

− − Ω − − Ω&& &

(2)

Na equação 2, y é o deslocamento da ponta da microviga através da amostra, η é a amplitude adimensional da vibração do atuador PZT, ambos adimensionalizados pela distância de equilíbrio entre a amostra e a ponta da microviga, no caso em que a frequência de excitação da microviga é próxima à frequência natural, Ω =1. 3 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS:

Ao considerar o sistema 2 escrito na forma de estados e com as seguintes trocas de variáveis,

1x y= , 2x y= & , temos:

1 2

6211 12 1

2 1 1 2 1 181

(1 sin( ))sin( )

(1 sin( ))

x x

C C x tx x d x B E t

x t

ηη

η

=

+ − − Ω= − − + + + Ω Ω

− − Ω

&

& (3)

Os parâmetros obtidos após a adimensionalização realizada no capítulo anterior e análise de estabilidade da seção anterior são:

1 0.01d = , 1 0.148967D = − , 511 4.59118 10C

−= − × , 12 0.149013C = , 1 1.57367E = , e 1ω =

Na figura 3, tem-se o diagrama de bifurcação com η variando de 0 a 2:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

y

n

Figura 3 - Diagrama de Bifurcação com variação do parâmetro η.

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Para 0 0.613η≤ < observa-se que o comportamento do sistema é periódico, para 0.613η = , observa-se a primeira bifurcação e o sistema se torna 2-periódico, para 0.99η ≥ o comportamento do sistema é caótico. Em seguida, os expoentes de Lyapunov são calculados, e a figura 4 mostra o comportamento dos mesmos ao longo do tempo.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 105

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Lyapunov

Figura 4 – Estabilidade de Lyapunov.

Os valores para os expoentes de Lyapunov são: 1 0.062205λ = , 2 0λ = , e 3 0.072190λ = − . A

simulação foi realizada com 52 10t = × e o valor do expoente positivo manteve-se estável. A figura 5 é o retrato de fase do sistema, essa figura mostra o comportamento do mesmo e faz um gráfico da posição x(t) pela velocidade ( )x t& , na figura gerada é possível observar comportamento irregular do sistema e a presença de vários períodos e de atratores estranhos. Nas figuras 5 e 6, obtém-se o retrato de fase com movimento irregular e o histórico de deslocamento sem período aparente. Na figura 7, observa-se o espectro irregular da FFT do sistema, por fim, na figura 8, observa-se o mapa de Poincare com a presença de atrator estranho.

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-4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

dx

/dt

RETRATO DE FASE

Figura 5 - Retrato de fase com

comportamento irregular.

0 50 100 150-4

-3

-2

-1

0

1

2

Tempo

De

slo

ca

me

nto

Figura 6 – Histórico de deslocamento sem período aparente.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

100

200

300

400

500

600

700

frequency (Hz) Figura 7 – FFT com espectro irregular e picos

de ressonância.

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

x

dx/d

t

Figura 8 – Mapa de Poincaré com

presença de atrator estranho.

Ao analisar as figuras de 3 a 8é possível afirmar que para 0.99η = e com os outros parâmetros usados, o sistema representado pela equação 2 é caótico.

4 SOLUÇÕES PERIÓDICAS Nesta seção dois métodos são utilizados para encontrar soluções periódicas para o sistema, o método do balanço Harmônico e a mudança de parâmetros do sistema para encontrar um sistema periódico.

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4.1 Método do Balanço Harmônico O Método do Balanço Harmônico consiste em encontrar uma órbita periódica através de harmônicos obtidos de uma solução em série muito parecida com a série de Fourier().

0

( ) cos( ) ( )N

n n

n

y t A n t B sen n tω ω=

= +∑ (3)

Escolhe-se o primeiro harmônico na busca da solução periódica:

0 1 1( ) cos( ) ( )y t A A t B sen tω ω= + + (4)

Ao aplicar no sistema 2, obtemos a seguinte solução:

0.148967 0.348967cos( )y t= − + (5)

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dx/d

t

Figura 9 – Solução periódica encontrado com

HBM.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

t

dis

pla

cem

ent

Figura 10 – Deslocamento da órbita

periódica. 4.2 Mudança de parâmetros Nesta seção a busca por uma resposta periódica do sistema será através da mudança de alguns parâmetros. Como visto na figura 3, quando 0 0.2η≤ ≤ , o sistema é periódico. Ao adotar os

parâmetros 1 50E = e 0.01η = obtemos as figuras 5.7 e 5.8 que são o retrato de fase e

histórico de deslocamento respectivamente:

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

Figura 11 – Retrato de fase da órbita periódica.

900 910 920 930 940 950 960 970 980 990 1000-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

x1

a Figura 12 – Histórico de deslocamento da órórbita periódica.

5 Métodos de controle Nesta seção o método SDRE é aplicado ao sistema para levar o sistema com comportamento caótico até a órbita encontrada através do HBM, em seguida, o mesmo método é usado para fazer a sincronização dos sistemas não lineares. Por fim, o método de realimentação atrasada é aplicado a fim de levar o comportamento caótico a uma órbita periódica instável. 5.1 Método SDRE A figura 13 e 14, mostram o retrato de fase e histórico de deslocamento com controle e sem controle

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dx

/dt

Figura 13 – Órbita controlada do

sistema.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

t

De

slo

ca

me

nto

Sem controle

Com controle

Figura 14 – Sistema comcontrole e

sem controle.

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE

Na figura 15, o retrato de fase mostra o controle aplicado ao sistema, no centro, observamos a órbita controlada juntamente com o retrato de fase do movimento caótico.

-4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x

dx/d

t

Sem controle

Com controle

Figura 15 – Sistema com controle e sem controle.

Por fim, a comparação entre a órbita de controle e a órbita periódica é mostrada nas figuras 16 e 17.

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dx/d

t

HBM

Controle

Figura 16 – Órbita periódica comparada à órbita de controle.

-0.3732 -0.3731 -0.3731 -0.373 -0.373 -0.3729 -0.3729 -0.3728

0.2673

0.2673

0.2674

0.2674

0.2675

0.2676

0.2676

0.2677

x

dx

/dt

órbita periódica

Figura 17 – Ampliação da figura 16.

Ao analisar as figuras 16 e 17, é possível observar que o controle foi efetivo, já que o erro

obtido foi *max 0.000015x x− = , com tempo de simulação 100t s≤ .

5.2 Sincronização de sistemas não lineares A seguir, as figuras 18 e 20 mostram a sincronização dos dois sistemas, com comportamento caótico e com comportamento periódico, as figuras 19 e 21 mostram as respectivas ampliações para melhor visualização.

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t

x1

master

slave

Figura 18 – Deslocamento do sistema mestre e escravo

6.5012 6.5013 6.5014 6.5015 6.5016 6.5017 6.5018 6.5019 6.502-1.25

-1.25

-1.2499

-1.2498

-1.2498

-1.2498

-1.2497

-1.2496

-1.2496

-1.2496

-1.2495

t

x1

master

slave

Figura 19 – Ampliação da figura 18

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x2

master

slave

Figura 20 – Sistema com caos e sistema periódico

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.20.0384

0.0385

0.0386

0.0387

0.0388

0.0389

x1

x2

master

slave

Figura 21 – Ampliação da figura 20

Observa-se nas figuras 17, 18, 19 e 20 que a sincronização foi realizada com sucesso no sistema. 5.3 – Método de realimentação do sinal atrasado Nas figuras 22, 23 e 24, observa-se a aplicação do sistema de controle de sinal atrasado.

APLICAÇÃO DOS MÉTODOS DE CONTROLE

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-3

-2

-1

0

1

2

t

x1

without control

control

Figura 22 – Deslocamento com controle (vermelho) e sem controle (preto)

-4 -3 -2 -1 0 1 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

without control

control

Figura 23 – Retrato de fase com controle (vermelho) e sem controle (preto) 6 CONCLUSÕES Ao término do trabalho, conclui-se que a modelagem se mostrou eficiente e com as simulações numéricas foi possível encontrar movimento caótico no sistema. Em seguida, a busca por soluções periódicas obteve sucesso e os métodos de controle aplicados mostraram-se eficazes e de fácil aplicação. 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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