地球惑星科学基礎V演習 -...

地球惑星科学基礎V演習

第6回瀬⼾雄介

http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto

3次元の空間群

2次元空間群 3次元空間群• 2次元空間群

– 格⼦並進 (p, c)– 回転 (1, 2, 3, 4, 6)– 鏡映 (m)– 映進 (g)

• 3次元空間群– 格⼦並進(P, I, F, A, B, C, R)– 回転 (1, 2, 3, 4, 6)– 回反* (-1 [= i], -2 [= m], -3 = [3・i], -4, -6 [= 3/m])– らせん操作* (21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65)– 映進操作 (a, b, c, n, e, d)

*は3次元でのみ現れるもの

41らせん 62回らせん

2/6周期

1周期1周期

1/4周期

N M らせん: 軸の周りに 360/N ° 回転したあと、軸⽅向にM/N周期だけ平⾏移動して図形を不変に保つ操作

表記: 21, 31, 32, …

らせん軸の例

41 61 64

1周期

1/2周期

鏡映に引き続き、ある⽅向に1/n周期平⾏移動して図形を不変に保つ操作

並進を伴うもの

⾯の⽅向、平⾏移動の⽅向と距離によって、以下の6つに分類される表記⾯の⽅向⽅向と距離a a軸に平⾏ a軸の⽅向に1/2周期b b軸に平⾏ b軸の⽅向に1/2周期c c軸に平⾏ c軸の⽅向に1/2周期n a,b,c軸などに垂直⾯の法線と直交する2本の軸(あるいは合成軸)

の対⾓線⽅向に1/2周期e a,b,c軸などに垂直⾯の法線と直交する2本の軸(あるいは合成軸)

の⽅向にそれぞれ1/2周期d a,b,c軸などに垂直⾯の法線と直交する2本の軸(あるいは合成軸)

の対⾓線⽅向に1/4周期

映進⾯の例

a/2 c/2

a/2+c/2

a 映進⾯:b軸に垂直な鏡映の後、a軸⽅向に1/2進む

b軸に垂直な映進⾯の場合

b

a

c

c 映進⾯:b軸に垂直な鏡映の後、c軸⽅向に1/2進む

n 映進⾯:b軸に垂直な鏡映の後、a+cの合成ベクトルの⽅向に1/2進む

a/2

c/2

a/2

c/2

b

a

c

(a+c)/4

(a+c)/4

(a+c)/4

b

a

c

映進⾯の例 b軸に垂直な映進⾯の場合

e 映進⾯:b軸に垂直な鏡映の後、a軸⽅向に1/2進む

+b軸に垂直な鏡映の後、c軸⽅向に1/2進む

d 映進⾯:b軸に垂直な鏡映の後、a+c の合成ベクトルの⽅向に1/4進む

並進を含む対称操作平⾏移動操作 (格⼦並進 P, I, F, A, B, C, R)回転操作 (2, 3, 4, 6)回反操作 (-1 = i, -2 = m, -3, -4, -6 = 3/m)らせん操作 (21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65)映進操作 (a, b, c, n, d)

の集合

組み合わせによって230個に分類されるP1 P-1 P2 P21 C2 Pm Pc Cm Cc P2/mP21/m C2/m P2/c P21/c C2/c P222 P2221 P21212 P212121 C2221C222 F222 I222 I212121 Pmm2 Pmc21 Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2Pmn21 Pba2 Pna21 Pnn2 Cmm2 Cmc21 Ccc2 Amm2 Aem2 Ama2Aea2 Fmm2 Fdd2 Imm2 Iba2 Ima2 Pmmm Pnnn Pccm PbanPmma Pnna Pmna Pcca Pbam Pccn Pbcm Pnnm Pmmn PbcnPbca Pnma Cmcm Cmce Cmmm Cccm Cmme Ccce Fmmm FdddImmm Ibam Ibca Imma P4 P41 P42 P43 I4 I41P-4 I-4 P4/m P42/m P4/n P42/n I4/m I41/a P422 P4212P4122 P41212 P4222 P42212 P4322 P43212 I422 I4122 P4mm P4bmP42cm P42nm P4cc P4nc P42mc P42bc I4mm I4cm I41md I41cdP-42m P-42c P-421m P-421c P-4m2 P-4c2 P-4b2 P-4n2 I-4m2 I-4c2I-42m I-42d P4/mmm P4/mcc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/mnc P4/nmm P4/nccP42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm I4/mmm I4/mcmI41/amd I41/acd P3 P31 P32 R3 P-3 R-3 P312 P321P3112 P3121 P3212 P3221 R32 P3m1 P31m P3c1 P31c R3mR3c P-31m P-31c P-3m1 P-3c1 R-3m R-3c P6 P61 P65P62 P64 P63 P-6 P6/m P63/m P622 P6122 P6522 P6222P6422 P6322 P6mm P6cc P63cm P63mc P-6m2 P-6c2 P-62m P-62cP6/mmm P6/mcc P63/mcm P63/mmc P23 F23 I23 P213 I213 Pm-3Pn-3 Fm-3 Fd-3 Im-3 Pa-3 Ia-3 P432 P4232 F432 F4132I432 P4332 P4132 I4132 P-43m F-43m I-43m P-43n F-43c I-43dPm-3m Pn-3n Pm-3n Pn-3m Fm-3m Fm-3c Fd-3m Fd-3c Im-3m Ia-3d

3次元の空間群の種類

すべての結晶は、230種類の空間群のどれかに所属している

3次元空間群の表記⽅法• (最⼤)四つのパーツ W X Y Z で構成される

– Wには格⼦並進要素を記⼊する (必須)– Xには、主軸に平⾏な回転・回反・らせん軸あるいは主

軸に垂直な鏡映・映進⾯を記⼊する (必須)– 主軸以外(副軸)に対称要素が存在する場合は、Y, Zに記

⼊する– 軸に垂直な鏡映・映進⾯があるときは、軸の表記に続

けて/□と記す– 主軸、副軸のセッティング(順番)は結晶系に準拠する

W X Y Z

回転操作 (2, 3, 4, 6)回反操作 (-1 = i, -2 = m, -3, -4, -6 = 3/m)らせん操作 (21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64, 65)映進操作 (a, b, c, n, d)

格⼦並進: P, I, F, A, B, C, R

空間群 ⇒ 点群

W X Y Z らせん軸 ⇒ 回転軸映進 ⇒ 鏡映格⼦並進: 除去

• 空間群が属している点群を知るためには– 格⼦並進成分を除去 (最初の⼀⽂字を消す)

– らせん軸を同じ次数の回転軸に変換 (下付き数字を消す)

– 映進⾯を鏡映⾯に変換 (すべての⼩⽂字アルファベットをmに変える)

例:空間群点群C 2/c ⇒ 2/mI 21 21 21 ⇒ 2 2 2P 63/m c m ⇒ 6/m m mI 4 3 d ⇒ 4 3 m

⽤語の整理• 「軸に垂直な(直交する)⾯」あるいは

「⾯に垂直な(直交する)軸」とは– 軸の⽅向と、⾯の法線が平⾏である– 「ある軸に対称⾯が存在する」といったと

きは、軸に垂直な対称⾯を意味する

• 「軸に平⾏な⾯」あるいは「⾯に平⾏な軸」とは– 軸の⽅向と、⾯の法線が垂直である

• 「⾯に平⾏な⾯」あるいは「軸に平⾏な軸」とは– 法線の⽅向が⼀致する、あるいは軸の⽅向

が⼀致する

軸

⾯

軸⾯

軸

⾯

空間群の例その1

• P 1– 格⼦並進は P (単純格⼦)– 主軸には1回回転軸 (恒等変換)

平⾏移動のみが、この空間群に所属する図形を不変に保つ操作となる

• P m– 格⼦並進は P (単純格⼦)– 主軸に垂直な鏡映⾯

平⾏移動に加えて、主軸に垂直な鏡映操作が存在する

鏡映⾯

鏡映⾯

鏡映⾯


• P 4/m– 格⼦並進は P (単純格⼦)– 主軸に4回回転軸と主軸に垂直な鏡映⾯

鏡映⾯

鏡映⾯

鏡映⾯


• C 2– 格⼦並進は C (底⼼格⼦)– 主軸に2回回転軸

2回回転軸

b

a

c

底⼼格⼦


3次元空間群の図⽰⽅法その1

対称要素⼀般位置

例: P 2 (単斜晶系)主軸であるb軸に2回回転軸が存在している

単位格⼦を表す平⾏四辺形

a

b

+

・「+」はその⼀般点の⾼さ (紙⾯に垂直な⽅向)が「+z」であることを⽰す

・任意の相対的な⾼さと考える (0とか1/2のように特殊ではない)

+

+

+

+

+

+

+

c

紙⾯に垂直な2回軸

β



例: P m (単斜晶系)主軸であるb軸に垂直な鏡映⾯が存在

a

b

+

「-」はその⼀般点の⾼さが「-z」であることを⽰す(zは任意)

c

– +

++– –

–

左⼿鏡で映る関係

右⼿: 重なったとき

紙⾯に平⾏な鏡映⾯

3次元空間群の図⽰⽅法その2の2

例: P m (単斜晶系)主軸であるb軸に垂直な鏡映⾯が存在

a

b

+

c

– +

++– –

–

紙⾯(=鏡⾯)⾼さ 0

+z

–z

1+ z = (+z)

1–z (= -z)b

a

c




例: P 41 (正⽅晶系)主軸であるc軸に41らせん軸が存在している

a

b+

n + ⇒その⼀般点の⾼さが「 n+ z 」であることをしめす(nは周期に対する割合を⽰す & zは任意)

¼+c

½+

¾+

+

¼+½+

¾+

+

¼+½+

¾+

+

¼+½+

¾+

¼+z

3次元空間群の図⽰⽅法その3の2

⼀般位置

例: P 41 (正⽅晶系)主軸であるc軸に41らせん軸が存在している

+

¼+½+

¾+

+

¼+½+

¾+

+

¼+½+

¾+

+

¼+½+

¾++z

c

a

b

½+z

¾+z

1+z



例: C 2 (単斜晶系)底⼼格⼦をもち、主軸であるb軸に2回軸が存在

単位格⼦を表す平⾏四辺形

ab

+

+

+

+

+

+

+

+c

紙⾯に垂直な2回軸

½+

½+

½+

½+

Cによって再⽣

Cによって再⽣



例: P 2 2 2 (斜⽅晶系)a, b, c軸に2回回転軸を持つ

a

b +

c

–+ –

+–+ –

+–+ –

+–+ –

紙⾯に平⾏な2回軸を表す



例: P m c 21 (斜⽅晶系)a軸に垂直な鏡映⾯, b軸に垂直なc映進⾯, c軸に21らせん軸を持つ

紙⾯に平⾏な21らせん軸を表す

a

b

c


b軸に垂直な軸映進⾯があり、その並進⽅向が紙⾯に沿った⽅向(c軸の⽅向)に1/2であることをしめす

+– +–

+– +–

–+

–+

3次元空間群の図⽰⽅法その6補⾜

対称要素

例: P m c 21 (斜⽅晶系)a軸に垂直な鏡映⾯, b軸に垂直なc映進⾯, c軸に21らせん軸を持つ

紙⾯に平⾏な21らせん

a

b

c


b軸に垂直な軸映進⾯があり、その並進⽅向が紙⾯に沿った⽅向(c軸の⽅向)に1/2であることをしめす

+– +–

+– +–

–+

–+

b

a

c

鏡映⾯

映進⾯

c映進

c映進

21

m

c

m mらせん 21

+z

–z

+z

–z


対称要素

⼀般位置

例: P 42/n (正⽅晶系)c軸に垂直な42らせん軸とそれに垂直な n 映進⾯

c

b

a

紙⾯に平⾏で、⾼さが1/4にあるn 映進⾯

¼

¼ ¼

¼¼

+

½-

½-

½+ -

+-

½+

+

++

-

+

½+

⾼さが1/4に対称⼼4回回反

42らせん

+

+


¼

½

¾

+z ½- z

+z 鏡映⾯or

映進⾯

紙⾯に平⾏な対称⾯(鏡映or映進)あるいは対称軸(回転、回反、らせん)が存在する場合は、その対称操作の近くに⾼さを表す数字を書く。(何もない場合は⾼さ0)

紙⾯に平⾏で、⾼さが0の位置に鏡映⾯

紙⾯に平⾏で、⾼さが1/4の位置に鏡映⾯

¼

紙⾯に平⾏で、⾼さが1/4の位置に21らせん軸

¼

¼ ¼

¼

紙⾯(⾼さ0)

空間群/点群/結晶系/ブラベー格⼦の関係

空間群(格⼦並進を含む対称要素が作る群)

点群(並進を伴わない対称操作が作る群)

結晶系(単位格⼦の形

状の分類) 並進成分を除去

並進成分を伴う対称要素を付与

対称性を満たす格⼦の形状を抽出

格⼦の形状を保つように、並進を伴わない対称要素を付与

ブラベー格⼦(複合格⼦並進を考慮した格⼦の分類)

格⼦並進のみを残す

格⼦並進以外の対称要素を付与単純格⼦(P)

のみを残す

複合格⼦成分を付与

＊複合格⼦: 底⼼(A,B,C), 体⼼(I), ⾯⼼(F), 菱⾯(R)

講義はここまでA4プリントの問題に答えてください。

時間内にレポートを提出できなかった⼈は、来週の授業までにA312号室のドアに設置するレポートボックスに提出してください。

表記⽅法のまとめ

左⼿鏡で映る関係

右⼿

: 重なったとき

+:⾼さが「+z」の位置にある右⼿

⼀般位置の例

¼+ :⾼さが「¼+z」の位置にある左⼿

対称要素の例

紙⾯に平⾏な2回回転紙⾯に平⾏な2回らせん

¼ ⾼さが¼の位置にある対称⼼

紙⾯に平⾏で、⾼さが1/4にあるn 映進⾯¼

紙⾯に垂直な軸映進⾯(並進⽅向が紙⾯に沿った⽅向の1/2)

紙⾯に垂直な鏡映⾯

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