CÍRCULO DE MOHR

PARA TENSÕES

CÍRCULO DE MOHR

PARA TENSÕES

Resistência dos Materiais XI

x

y

zσσσσx

σσσσx

σσσσy

σσσσy

ττττyx

τxy

Num certo ponto da superfície de um corpo carregado são conhecidas as tensões em dois planos

perpendiculares

Estado Plano de Tensões

Trace um eixo horizontal para marcar as tensões normais σσσσ

σσσσ

ττττ

Trace um eixo vertical para marcar as tensões tangenciais ττττ

Representação Gráfica das Tensões no Plano de Mohr

σσσσ

ττττ

0

Marque as tensões normais de tração à direita da origem

Marque as tensões normais de compressão à esquerda da origem

σσσσ

ττττ

0

Marque para CIMA as tensões tangenciais que giram

o elemento no sentido HORÁRIO

Marque para BAIXO as tensões tangenciais que giram

o elemento no sentido

ANTI-HORÁRIO

σσσσ

ττττExemplo 1: σx = + 50MPa; σy = - 10MPa; τxy = τyx - 40MPa

50 50

-10

-10

-40

-40

50

40

-10

40

Plote no plano σ σ σ σ x τ τ τ τ os valores das tensões apresentadas xy

σσσσ

ττττ

50

40

-10

40

Unindo os dois pontos obtém-se a posição do centro do círculo de Mohr σσσσC = ½ (σσσσx + σσσσy)

Observe o triângulo assinalado

Observe o triângulo assinalado

Trace o círculo com centro em C e passando

pelos dois pontos

Trace o círculo com centro em C e passando

pelos dois pontos

20

C

ττττ

50

40

-10

40

20

Os catetos do triângulo valem:

ττττxy = 40ττττxy = 40

½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30

σσσσC

ττττ

50

40

-10

40

A hipotenusa valerá:

ττττxy = 40ττττxy = 40

½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30½ (σσσσx – σσσσy) = ½ [50-(-10)] = 30

1 2 22

[ ( )]x y xyσ σ τ− +2 230 40 50+ >

σσσσ

ττττ

50

40

-10

40

20

A hipotenusa é o raio R do Círculo de Mohr

R = 50 σmáx= σc + R = 70

σmáx= σc + R = 70

σσσσ

τmáx = R = 50τmáx = R = 50

PORTANTO:

σmín= σc - R = -30

σmín= σc - R = -30

As tensões principais ficam assim determinadas:

τmáx = [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 50τmáx = [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 50

σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70σp1 = σc + R = ½ (σx + σy ) + [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20+50=70

σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30σp2 = σc – R = ½ (σx + σy ) - [½ (σx - σy )]2 + (τxy)2 = 20-50=-30

40

Observe ainda na figura formada:

Ponto que representa o

estado de tensão no plano que tem o eixo “x” como perpendicular

Ponto que representa o

estado de tensão no plano que tem o eixo “x” como perpendicular

40

-10

ττττ

20 50 σσσσ

x40

50

y40

10

Ponto que representa o

estado de tensão no plano que tem o eixo “y” como perpendicular

Ponto que representa o

estado de tensão no plano que tem o eixo “y” como perpendicular

A interseção dessas direções é o chamado PÓLO

x40

50

y

ττττ

σσσσ50

40

-10

40

20

4010 A direção que une o pólo ao ponto do círculo

correspondente à tensão σ1 é a direção 1

170

A direção que une o pólo ao ponto do círculo correspondente à tensão σ2 é a direção 2

2

-20

ττττ

σσσσ

x40

50

y

50

40

-10

40

20

4010

170

Observe que o ângulo inscrito, entre as direções “1” e “x”, mostrado na figura :

θθθθ1

... é igual à metade do ângulo central assinalado:

2θ2θ2θ2θ1111

Sendo: tg 2θθθθ1111 = τ= τ= τ= τxy / ½ (σσσσx – σσσσy)

ττττxy

½ (σσσσx – σσσσy)

ττττ

σσσσ

x40

50

y

50

40

-10

40

20

4010 No caso em estudo: τxy = - 40, σx = 50 e σx = -10

tg 2θθθθ1111= = = = −−−−1,331,331,331,33θθθθ1

2θθθθ1111= = = = −−−−59,059,059,059,0ºθθθθ1111= = = = −−−−29,529,529,529,5º

Para o estado de tensão em análise teremos portanto

x

y

5050

-40

-40

-10

-10

θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0θ = 0

70

70-30

-30

θ = θ = θ = θ = −−−− 29,529,529,529,5ºθ = θ = θ = θ = −−−− 29,529,529,529,5ºθ = θ = θ = θ = −−−− 74,574,574,574,5ºθ = θ = θ = θ = −−−− 74,574,574,574,5º

20

20

50

50

2020 ττττ

50

40

-10

40

70-20σσσσ

P

20

Alguns exemplos de estados de tensão comuns

Tração Pura

Compressão Pura

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

τ

Semi hidrostático

σ

τ

σ

τ

Corte Puro

Flexão Simples

Vaso de pressão

σ

τ

Tubo sob pressão e

torção

Tarefa: em cada caso exemplificado indique a posição ocupada pelo pólo.

Exercício proposto: para o estado de tensões esquematizado na figura e utilizando o Círculo de Mohr, pede-se:

48 MPa

72 MPa

36 MPa

x

y

z

1) As tensões máximas de tração e de compressão. Indicar os planos onde ocorrem;

2) As tensões máximas de cisalhamento. Indicar os planos em que ocorrem;

3) As componentes normal e tangencial da tensão ocorrente no plano “P” assinalado na figura

P

30º

fim