UUČK programski

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

SVEUILITE U ZAGREBU

Programski zadaci iz kolegija

Uvod u vrstou konstrukcija

Prof. dr. sc. Jurica Sori

Doc. dr. sc. Igor Karaj

Dr. sc. Ivica Skozrit

Tomislav Breki

0035191278

Zagreb, 2014/2015.

Fakultet strojarstva i brodogradnje Uvod u vrstou konstrukcija

Tomislav Breki I

Sadraj:

1. Zadatak 1-81 ........................................................................................... 1

2. Zadatak 2-38 ........................................................................................... 5

2.1 Osnovne jednadbe ................................................................................. 5

2.2 Odnos Fourierovih koeficijenata ........................................................... 6

2.3 Progib ....................................................................................................... 7

2.3.1 Rubni uvjeti ....................................................................................... 8

2.3.2 Fourierov koeficijent za optereenje .............................................. 8

2.4 Izraun progiba pomou tablica iz Inenjerskog prirunika........... 10

3. Zadatak 3-59 .......................................................................................... 11

3.1 Unutarnje sile i momenti ...................................................................... 12

3.2 Cilindrina ljuska ................................................................................. 13

3.2.1 Provjera uvjeta duge i tanke ljuske .............................................. 13

3.2.2 Radijalni pomak i kut zakreta toke A ........................................ 13

3.3 Konusna ljuska...................................................................................... 14

3.3.1 Provjera uvjeta strme i duge ljuske .............................................. 14

3.3.2 Radijalni pomak i zakret toke B ................................................. 16

3.4 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila ................................................................................... 19

3.4.1 Openiti izrazi za raspodjelu izraunatih veliina ...................... 19

3.4.2 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na cilindrinoj ljusci ....................................... 19

3.4.3 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na konusnoj ljusci ........................................... 22

3.5 Prikaz deformiranog stanja konstrukcije .......................................... 25


Tomislav Breki II

Popis slika:

Slika 1. Zatvoreni tankostjeni presjek s pripadajuom analognom membranom .......................................... 1 Slika 2. Raspodjela tokova posminih sila po presjeku ..................................................................................... 3

Slika 3. Raspodjela posminih naprezanja po presjeku, i / MPa ..................................................................... 4 Slika 4. Optereenje pravokutne ploe ................................................................................................................ 5

Slika 5. Aksonometrijski prikaz deformiranja pravokutne ploe za zadano optereenje .............................. 9 Slika 6. Prikaz optereenja posude i mjesto prorauna sila i naprezanja ...................................................... 11 Slika 7. Prikaz geometrije konusne ljuske u opem sluaju ............................................................................ 16

Slika 8. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici cilindrine ljuske ......................................................... 20 Slika 9. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici cilindrine ljuske .................................................................... 20

Slika 10. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici cilindrine ljuske ....................................................... 21 Slika 11. Raspodjela normalne sile po izvodnici cilindrine ljuske................................................................. 21

Slika 12. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici konusne ljuske ........................................................... 22 Slika 13. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici konusne ljuske ...................................................................... 23 Slika 14. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici konusne ljuske ........................................................... 23

Slika 15. Raspodjela normalnih sila po izvodnici konusne ljuske ................................................................... 24 Slika 16. Radijalni pomak sredinje linije tankostjene konstrukcije.............................................................. 26


Tomislav Breki III

Popis tablica:

Tablica 1. Sile. momenti i pomaci za slobodno oslonjene pravokutne ploe optereene konstantnim

povrinskim optereenjem ............................................................................................................................ 10

Tablica 2. Vrijednost radijalnog pomaka cilindrine i konusne ljuske ....................................................... 25


Tomislav Breki IV

Popis oznaka:

ZADATAK 1: ZADATAK 3: E - modul elastinosti a,b - dimenzije prstena Mt - moment torzije E - modul elastinosti t - debljina stjenke h - debljina stjenke - Poissonov koeficijent R,l - dimenzije posude A - povrina p - unutarnji tlak p - tlak - Poissonov koeficijent h1,h2 - visina fiktivnih membrana - meridijalni kut N - uzduna sila wc - radijalni pomak cilindra It - torzijski moment tromosti ur

p - radijalni pomak prstena V0 - volumen ispod fiktivne membrane urk - radijalni pomak konusa G - modul smicanja c - kut zakreta cilindra - kut zakreta p - kut zakreta prstena q - tok posminih sila k - kut zakreta konusa - tangencijalno naprezanje 11,12,21,22 - uplivni koeficijenti - geometrijsko-materijalna znaajka ZADATAK 2: M - moment na stjenku a,b - dimenzije ploe N - meridijalna sila h - debljina ploe N - cirkularna sila q0 - maksimalan tlak Q - poprena sila na stjenku - Poissonov koeficijent Xi - unutarnje poopene sile E - modul elastinosti Qrm - membranska radijalna sila q - optereenje D - fleksijska krutost w - progib s - meridijalna koordinata D - fleksijska krutost r - radijalna koordinata qjk - Furierov koeficijent za optereenje wjk - Furierov koeficijent za progib


Tomislav Breki 1

1. Zadatak 1-81

Za tap zatvorenog tankostjenog presjeka prema slici potrebno je odrediti relativni kut uvijanja , tokove posminih sila po presjeku tapa qi, posmina naprezanja po presjeku tapa i i maksimalno posmino naprezanje max primjenom membransko-torzijske analogije. Prikazati raspodjelu tokova posminih sila i posmina naprezanja po presjeku tapa.

Zadano: E = 180 GPa, Mt = 30 Nm, t = 3 mm i = 0,3

Slika 1. Zatvoreni tankostjeni presjek s pripadajuom analognom membranom

Suma svih sila u smjeru osi x, Fx = 0 za prvu ploicu:

1 1 2 11 30 50 40

2 2

h h h hp A N t t t

t t t

(1.1)

Suma svih sila u smjeru osi x, Fx = 0 za drugu ploicu:

2 2 2 2 12 39,5 40 39,5 40

2 2

h h h h hp A N t t t t

t t t t

(1.2)


Tomislav Breki 2

Povrina ploica A1 i A2 :

2 21 600 5400 mmA t (1.3)

2 22 1580 14220 mmA t (1.4)

Kod membransko-torzijske analogije vrijedi:

2p

N (1.5)

Iz (1.1) slijedi:

1 1 22 80 40A h h (1.6)

21 21200 80 40t h h (1.7)

21 230 2t h h (1.8)

Iz (1.2) slijedi:

2 2 12 198,5 40A h h (1.9)

22 17320 198,5 40t h h (1.10)

22 1158 4,9625t h h (1.11)

Jednadbe (1.8) i (1.11) predstavljaju sustav od dvije jednadbe s dvije nepoznanice

21 24,9625 158h h t (1.12)

Ako uvrstimo (1.12) u (1.8) dobivamo:

2 22 230 9,925 316t h t h (1.13)

22346 8,925t h (1.14)

Iz (1.14) slijedi:

2 2 22 38,767507 38,767507 3 348,908 mmh t (1.15)

Vraanjem dobivene vrijednosti u (1.12) dobivamo:

2 21 4,9625 348,908 158 3 309, 456 mmh (1.16)

Iz dobivenih vrijednosti moemo zakljuiti da je poetna pretpostavka apsolutnih vrijednosti

visina ploica tona.


Tomislav Breki 3

Moment tromosti presjeka It :

0 1 1 2 22 2 ( )tI V A h A h (1.17)

7 42 (5400 309,456 14220 348,908) 1,3265 10 mmtI (1.18)

Modul smicanja G :

18069,2308 GPa

2 (1 ) 2 (1 0,3)

EG

(1.19)

Relativni kut uvijanja :

38

3 7

30 103,2667 10 rad/mm

69,2308 10 1,3265 10t

t

M

G I

(1.20)

Tokovi posminih sila qi :

3 81 1

N309, 456 69, 2308 10 3, 2667 10 0,69985

mmq h G (1.21)

3 82 2

N348,908 69, 2308 10 3,2667 10 0,78908

mmq h G (1.22)

3 2 1

N0,78908 0,69985 0,08923

mmq q q (1.23)

Slika 2. Raspodjela tokova posminih sila po presjeku


Tomislav Breki 4

Slika 3. Raspodjela posminih naprezanja po presjeku, i / MPa

Maksimalno posmino naprezanje max:

maxmax

min

0,789080,26302 MPa

3

q

t (1.24)


Tomislav Breki 5

2. Zadatak 2-38

Pravokutna ploa zadana i optereena prema slici slobodno je oslonjena du rubova. Potrebno je odrediti izraz za progib elastine plohe ploe primjenom Navierove metode i vrijednost progiba u toki A. Vrijednost progiba u toki A takoer odrediti primjenom tablica iz Inenjerskog prirunika, te usporediti dobivene vrijednosti.

Zadano: a = 300 mm, b = 300 mm, E = 200 GPa, h = 5 mm, q0 = 0,1 MPa, = 0,3,

A(x = 0,5a i y = 0,5b)

Na dimenzije i deformacije ploe postavljamo sljedea ogranienja:

Ploe su tanke min

1

20

h

l

Progibi su mali max1

5

w

h

gdje je lmin najmanja dimenzija ploe u njenoj ravnini, a h je debljina ploe.

2.1 Osnovne jednadbe

Diferencijalna jednadba savijanja ploe glasi:

4 ( , )z zq q x ywD D

(2.1)

Slika 4. Optereenje pravokutne ploe


Tomislav Breki 6

Prema Navieru optereenje qz se zajedno sa promatranim pomakom w prikazuje kao suma

dvostrukih trigonometrijskih redova sinusa jer zadovoljavaju rubne uvjete na slobodno

oslonjenim rubovima.

Za pravokutnu plou prema Slika 4. optereenje se prikazuje u obliku:

1 1

( , ) sin sinjkz zj k

x yq x y q j k

a b

(2.2)

gdje je jkzq Fourierov koeficijent za optereenje koje se odnosi na lan (j, k).

Za pravokutnu plou prema Slika 4. optereenje se prikazuje u obliku:

1 1

( , ) sin sinjk

j k

x yw x y w j k

a b

(2.3)

gdje je jkw Fourierov koeficijent za optereenje koje se odnosi na lan (j, k).

2.2 Odnos Fourierovih koeficijenata

Lijeva strana izraza (2.1) moe se napisati:

4 4 44

4 2 2 4

w w ww

x x y y

(2.4)

Nadalje, iz izraza (2.4) je vidljivo da je potrebno izraunati navedene etvrte parcijalne

derivacije. te mjeovitu parcijalnu derivaciju dva puta po x, i dva puta po y.

Ako izraz (2.3) deriviramo etiri puta po x dobiva se:

44

41 1

( , )sin sinjk

j k

w x y x j yw j k

x a a b

(2.5)

Ako izraz (2.3) deriviramo etiri puta po y dobiva se:

44

41 1

( , )sin sinjk

j k

w x y x y kw j k

y a b b

(2.6)

Ako izraz (2.3) deriviramo dva puta po x i dva puta po y dobiva se:

2 24

2 21 1

( , )sin sinjk

j k

w x y x y y kw j k

x y a a b b

(2.7)


Tomislav Breki 7

Uvrtavanjem izraza (2.5), (2.6), (2.7) u (2.4) i naknadnim sreivanjem dobiva se:

22 2

4 4

1 1

sin sinjk

j k

j k x yw w j k

a b a b

(2.8)

Uvrtavanjem izraza (2.8) i (2.2) u (2.1) dobiva se:

22 2

4

1 1 1 1

sin sin sin sinjk

jk z

j k j k

qj k x y x yw j k j k

a b a b D a b

(2.9)

Iz ega slijedi da za odgovarajui (j , k) vrijedi:

22 2

4jk

jk zqj k wa b D

(2.10)

Fourierov koeficijent za optereenje dan je izrazom:

0 0

4( , )sin sin d d

a bjk

z z

x yq q x y j k x y

ab a b (2.11)

Iz izraza (2.10) dobiva se izraz za Fourierov koeficijent pomaka:

24 2 2

1 jkjk zqwD j k

a b

(2.12)

2.3 Progib

Uvrtavanjem izraza (2.12) u (2.3) dobiva se konaan izraz za progib:

24 2 21 1

1( , ) sin sin

jkz

j k

q x yw x y j k

D a bj k

a b

(2.13)


Tomislav Breki 8

2.3.1 Rubni uvjeti

Za slobodno oslonjenu plou du rubova progib i moment savijanja moraju biti jednaki nuli:

0w (2.14)

2 2

2 20x

w wM

x y

(2.15)

2 2

2 20y

w wM

y x

(2.16)

Kako je progib du ruba y y jednak nuli, tada su i parcijalne derivacije progiba po rubu

jednake nuli.

2

20

w

x

(2.17)

2

20

w

y

(2.18)

Iz izraza (2.17) i (2.18) slijedi:

2 22

2 20

w ww

x y

(2.19)

2.3.2 Fourierov koeficijent za optereenje

Iz Slike 4. vidljivo je da se vanjsko optereenje mijenja linearno du osi x :

00 ( , )zx

x a q x y qa

(2.20)

Integriranjem izraza (2.11) s uvrtenim izrazom (2.20) dobiva se konaan izraz za Fourierov

koeficijent optereenja:

00 0

4sin sin d d

b ajkz

x x yq q j k x y

ab a a b

(2.21)

2 202 3

8sin sin 2sin 1

2 2jkz

q k jq j j

j k

(2.22)

Iz izraza (2.22) je vidljivo da e jkzq poprimiti vrijednost nula za sve parne vrijednosti j i k.


Tomislav Breki 9

Uzimajui u obzir prethodnu injenicu, te uvrtavanjem izraza (2.22) u (2.13) dobiva se:

2 2

22 2

07

1,3 1,32

sin sin 2sin 12 2

, sin s8

inj k

k jj j

x yw x y j k

D a bj k

q

j ka b

(2.23)

Fleksijska krutost ploe D :

39 33

2 2

200 10 5 102289,377 Nm

12(1 ) 12(1 0,3 )

EhD

(2.24)

Aproksimacijom dobivenih suma iz izraza (2.23) na prvih 5 lanova dobivamo vrijednost

progiba toke A:

, 0,65411 mm2 2

a bw

(2.25)

Slika 5. Aksonometrijski prikaz deformiranja pravokutne ploe za zadano optereenje


Tomislav Breki 10

2.4 Izraun progiba pomou tablica iz Inenjerskog prirunika

Tablica 1. Sile. momenti i pomaci za slobodno oslonjene pravokutne ploe optereene konstantnim povrinskim optereenjem

Iz tablice 1. oitava se:

14

03

/ 1 0,0443w

a bp a

Eh

(2.26)

Iz izraza (2.26) uz pretpostavku da je 0 00,5 0,05 MPap q slijedi:

6 44

1 39 3

0,05 10 0,30,0443 7,1766 10 m 0,7177 mm

200 10 5 10w

(2.27)

Usporeivanjem dobivenih analitikih rezultata (2.25) i rezultata dobivenih pomou tablica iz

Inenjerskog prirunika (2.27), moe se vidjeti da se iznosi progiba razlikuju za 8,86% to

nije prihvatljiva aproksimacija iznosa progiba na sredini ploe, no takoer treba uzeti u obzir

da su ti isti progibi vrlo male veliine, te da za okvirni proraun razlika od 10-ak % na stranu

sigurnosti je vrlo prihvatljiva.


Tomislav Breki 11

3. Zadatak 3-59 Za posudu zadanu i optereenu prema slici na mjestu definiranom krunicom izraunati sve

unutarnje sile i momente savijanja na spojevima razliitih dijelova posude. Odrediti izraze za

raspodjelu i prikazati dijagrame raspodjele radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta

savijanja i normalnih sila od mjesta definiranog krunicom po konturi razliitih dijelova

posude. Na mjestu definiranom krunicom prikazati deformirani oblik posude i dobivene

vrijednosti pomaka

Zadano: a = 200 mm, b = 150 mm, E = 200 Gpa, h = 4 mm, l = 2,5 m

p = 0,05 Mpa, R = 1,25 m i = 0,3

Slika 6. Prikaz optereenja posude i mjesto prorauna sila i naprezanja


Tomislav Breki 12

3.1 Unutarnje sile i momenti

Slika 7. Pretpostavljeni smjerovi djelovanja sila i momenata na presjeku

Naprezanje koje se javlja u ljuskama zbroj je membranskog i naprezanja uslijed lokalnog

savijanja na spoju dviju ljusaka. Na slici 6. prikazani su pretpostavljeni smjerovi djelovanja

sila koji izazivaju prethodno spomenuta naprezanja. Navedeni indeksi na slikama k i c,

oznaavaju redom sile na konusu i cilindru, te m predstavlja membransku komponentu sile.

Uvjeti kompatibilnosti:

0 1cQ X (3.1)

0 1 2c kM M X (3.2)

Na mjestu spoja cilindrine i konusne ljuske vrijede sljedee relacije:

c kA rBw u (3.3)

c kA B (3.4)


Tomislav Breki 13

3.2 Cilindrina ljuska

3.2.1 Provjera uvjeta duge i tanke ljuske

Da rubni uvjeti proraunske toke nebi utjecali na rubne uvjete sljedee cilindrina ljuska mora zadovoljavati:

32,5 100,01817 11,356 3 Zadovoljava!

4c cH

(3.5)

Da bi se ljuska mogla smatrati tankom mora vrijediti:

3

3

43,2 10 0,05 Zadovoljava!

1,25 10ch

r

(3.6)

3.2.2 Radijalni pomak i kut zakreta toke A

Uvjet ravnotee za cilindrinu ljusku u smjeru koordinatne osi x :

22 0cx xF N R pR (3.7)

Iz jednadbe (3.7) slijedi iznos meridijalne sile cxN :

30,05 1, 25 10 N31,25

2 2 mmcx

pRN

(3.8)

Fleksijska krutost cilindrine ljuske cD :

3 9 3 36

22

200 10 (4 10 )1,172 10 Nmm

12(1 0,3 )12 1

EhD

(3.9)

Geometrijsko-materijalna znaajka c :

2

4 42 2 2 2

3(1 ) 3(1 0,3) 10,01817

1250 4 mmc

R h

(3.10)

Uplivni koeficijent 11c :

2

11 3 6 3

1 1 mm0,071

2 ( ) 2 1,172 10 0,01817 Nc

c cD

(3.11)


312 2 6 2

1 1 mm1,2908 10

2 ( ) 2 1,172 10 0,01817 Nc

c cD

(3.12)


Tomislav Breki 14


522 6

1 1 14,6959 10

2 1,172 10 0,01817 Nc

c cD

(3.13)

Izrazi za pomak i zakret cilindrine ljuske:

11 1 12 2c c c cA pAw X X w (3.14)

12 1 22 2

d

d

cpAc c c

A

wX X

x (3.15)

Izraz za membranski radijalni pomak cilindra cpAw :

cpA xR

w N NEh

(3.16)

Izraz za odreivanje cirkularne sile N :

N0,05 1250 62,5

mmN pR (3.17)

Uvrtavanjem (3.17) u (3.16) dobiva se membranski pomak cilindra u toki A:

31250

62,5 0,3 32,5 0,08301 mm200 10 4

cpAw

(3.18)

Deriviranjem izraza (3.18) dobiva se iznos membranskog kuta zakreta cilindra:

d0

d

cpAw

x (3.19)

Uvrtavanjem izraza (3.11), (3.12), (3.13) u izraze (3.14) i (3.15) dobivaju se konani izrazi za radijalni pomak i kut zakreta toke A, za x = 0:

31 20,071 1,2908 10 0,08301

cAw X X

(3.20)

3 51 21,2908 10 4,6959 10

cA X X

(3.21)

3.3 Konusna ljuska

3.3.1 Provjera uvjeta strme i duge ljuske Uvjet strme ljuske:

0 gr (3.22)

0

2arctan 45

3

R

R R

(3.23)


Tomislav Breki 15

2

0

1,251,7678 m

sin sin 45

Rr

(3.24)

3

32

42,263 10 25,5

1,7678 10gr

h

r

(3.25)

Ako se usporede dobivene vrijednosti (3.25) i (3.23) moe se vidjeti da ljuska zadovoljava

uvjet strme ljuske.

Geometrijsko-materijalna znaajka konusne ljuske k :

24

2

3 1k

r h

(3.26)

Uvjet duge ljuske:

2

1

( )d 3s

k

s

s s (3.27)

Granice integracije su:

1

0

1,251,7678 m

cos cos 45

Rs

(3.28)

2

0

3 3 1,255,3033 m

cos cos 45

Rs

(3.29)

Cirkularni glavni polumjer zakrivljenosti dobiva se iz:

2

0tan

sr

(3.30)

Uvrtavanjem (3.28), (3.29), (3.30) u (3.27) slijedi:

0

0

3

cos 23

cos0

3(1 )d 39.563 3 Zadovoljava!

tan

R

R

ssh

(3.30)


Tomislav Breki 16

3.3.2 Radijalni pomak i zakret toke B

Slika 7. Prikaz geometrije konusne ljuske u opem sluaju

Iz Slike 7. slijedi:

0 45 (3.31)

tanr x (3.32)

2

tan

cosr x

(3.33)

Uvjet ravnotee u smjeru osi x na proizvoljnom presjeku ljuske:

22 cos 0kxF N r pr (3.34)

Iz (3.34) slijedi izraz za raunanje meridijanske sile kN :

tan

2cos 2 cosk pr pxN x

(3.35)

Iz slike 6. slijede vrijednosti x koordinate za toku B i C:

Bx R (3.36)

3Cx R (3.37)

Uvrtavanjem (3.36) u (3.35) dobiva se vrijednost meridijalne sile u toki B:

3tan 0,05 1,25 10 tan 45 N

44,194 2 cos 2 cos 45 mm

k pRN R

(3.38)


Tomislav Breki 17

Jednadba ravnotee konusne ljuske:

1 2

kk NNp

r r

(3.39)

Kod konusnih ljusaka meridijanski polumjer tei u beskonanost iz ega slijedi:

tan( )

cosk aN x px

(3.40)

Iznos cirkularne sile u toki B:

3tan tan 45 N(R) 0,05 1,25 10 88,388 cos cos 45 mm

kN pR

(3.41)

Iznos radijalne komponente meridijalne sile na konusu u toki B:

1

N( ) (R)cos 44,194 cos 45 31,25

mmk krmN R N (3.41)

Openito partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe kod savijanja konusnih ljusaka za

radijalni pomak odgovara membranskom radijalnom pomaku kpu :

tan( ) ( )k k k k k kp mr x

u x u x N N N NEh Eh

(3.41)

Openito partikularno rjeenje diferencijalne jednadbe kod savijanja konusnih ljusaka za

zakret odgovara membranskom zakretu kp :

0cot d1d

k k k k kp N N s N N

Eh s

(3.42)

Uvrtavanjem (3.35) i (3.40) u (3.42) dobiva se:

00 0

cot 2( ) 1

2sin 2 sinkp

px pxx

Eh

(3.43)

Uvrtavanjem poznatih veliina u (3.41) i (3.43) dobivaju se partikularna rjeenja radijalnog

pomaka i zakreta toke B:

3

3

1,25 10 tan 45(R) 88,388 0,3 44,194 0,1174 mm

200 10 4kpu

(3.44)

34

3

cot 45 1 0,3 2 0,3 0,05 1,25 10 rad(R) 1,809 10

200 10 4 2 sin45 mmkp

(3.45)


Tomislav Breki 18

Fleksijska krutost konusne ljuske kD :

3 3 36

2 2

200 10 41,172 10 Nmm

12(1 ) 12(1 0,3 )k EhD

(3.46)

Geometrijsko-materijalna znaajka konusne ljuske k :

24 241

32

3 1 3(1 0,3 )0,015289 mm

1,767 10 4

k

r h

(3.47)

Uplivni koeficijent 11k :

2 2 20

11 3 6 3

sin sin 45 mm0,0597

2 ( ) 2 1,172 10 0,015289 Nk

k kD

(3.48)


3012 2 6 2

sin sin 45 mm1,2908 10

2 ( ) 2 1,172 10 0,015289 Nk

k kD

(3.49)


522 6

1 1 15,5808 10

1,172 10 0,015289 Nk

k kD

(3.50)

Izrazi za pomak i zakret konusne ljuske:

11 1 1 12 2( )k k k k kA rm pBw X Q X w (3.51)

12 1 22 2( )k k k k kA rm pBX Q X (3.52)

Uvrtavanjem poznatih veliina dobiva se konaan izraz za pomak i zakret toke B:

3

1 20,05971 1,2908 10 1,74855kAw X X

(3.53)

3 51,2908 10 5,5808 10 0,04017kA (3.54)

Iz uvjeta kompatibilnosti progiba i zakreta dobiva se sustav od dvije jednadbe s dvije nepoznanice X1 i X2,:

1 20,1307 0,0012908 1,8302976 0X X (3.55)

1 20,00037826 0,000023465 0,0286760 0X X (3.56)


Tomislav Breki 19

Rjeavanjem sustava dobivaju se iznosi poprene sile i momenta savijanja:

1

N14,0124

mmX (3.57)

2 391,0115 NX (3.58)

3.4 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila

3.4.1 Openiti izrazi za raspodjelu izraunatih veliina

Prema [3.] vrijede slijedei izrazi potrebni za izraunavanje raspodjele progiba i optereenja:

0

( )s

s

s ds (3.59)

1( ) (cos sin )f e (3.60)

2 ( ) sinf e (3.61)

3( ) (cos sin )f e (3.62)

4 ( ) cosf e (3.63)

3.4.2 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na cilindrinoj ljusci

Za cilindrinu ljusku vrijedi:

24 3(1 ) 1. 0,0182

mmc konst

Rh

(3.64)

Uvoenjem (3.60), (3.61), (3.62) i (3.63) u (3.14) i (3.15) dobivaju se izrazi za raspodjelu

radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila:

1 24 33 2( ) ( )

2 ( ) 2 ( )c cr pAc c c c

X Xu f f w

D D

(3.65)

1 21 43 2( ) ( )

2 ( ) ( )c

c c c c

X Xf f

D D

(3.66)

12 2 1( ) ( )c

XM f X f

(3.67)

1 3 2 2( ) 2 ( )c

rQ X f X f (3.68)


Tomislav Breki 20

Slika 8. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici cilindrine ljuske

Slika 9. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici cilindrine ljuske

urc, mm

x, mm

c, rad

x, mm


Tomislav Breki 21

, NM

x, mm

N

, mm

rQ

x, mm

Slika 10. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici cilindrine ljuske

Slika 11. Raspodjela normalne sile po izvodnici cilindrine ljuske


Tomislav Breki 22

Slika 12. Raspodjela radijalnog pomaka po izvodnici konusne ljuske

3.4.3 Raspodjela radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila na konusnoj ljusci

Za konusnu ljusku vrijedi:

24

0

3(1 )( )

tan

k ssh

(3.69)

Uvoenjem (3.60), (3.61), (3.62) i (3.63) u (3.51) i (3.52) dobivaju se izrazi za raspodjelu

radijalnog pomaka, kuta zakreta, momenta savijanja i normalnih sila:

21 1 0 2 0

4 33 2

( (s)) sin sin( ) ( ) ( )

2 ( ) 2 ( )

kk kmrr pk k k k

X Q Xu f f w s

D D

(3.70)

1 1 0 21 42

( (s)) sin( ) ( ) ( )

2 ( )

kk kmr

pk k k k

X Q Xf f s

D D

(3.71)

12 2 1( ) ( )k

XM f X f

(3.72)

1 3 2 2 1( ) 2 ( ) ( )k k

r mrQ X f X f Q s (3.73)

uk, mm

x, mm


Tomislav Breki 23

Slika 13. Raspodjela kuta zakreta po izvodnici konusne ljuske

Slika 14. Raspodjela momenta savijanja po izvodnici konusne ljuske

, radk

x, mm

, NM

x, mm


Tomislav Breki 24

Slika 15. Raspodjela normalnih sila po izvodnici konusne ljuske

N

, mm

rQ

x, mm


Tomislav Breki 25

3.5 Prikaz deformiranog stanja konstrukcije Uvrtavanjem razliitih vrijednosti varijabli x u (3.65) i (3.70) dobivaju se vrijednosti

radijalnog pomaka sredinje linije tankostjene konstrukcije, a prikazani su u tablici ispod.

Vrijednost varijable x prikazuje pomak u smjeru osi, iji smjer se vidi na slici 7.

Tablica 2. Vrijednost radijalnog pomaka cilindrine i konusne ljuske

x, mm uc, mm uk, mm x, mm uc, mm uk, mm

0 -0,40721 -0,40721 250 0,08917 0,16911

10 -0,39507 -0,39996 260 0,08742 0,17001

20 -0,36029 -0,35584 270 0,08596 0,1714

30 -0,31168 -0,29 280 0,08479 0,1732

40 -0,25614 -0,21425 290 0,08387 0,17531

50 -0,19884 -0,13724 300 0,08319 0,17767

60 -0,14347 -0,06487 310 0,0827 0,1802

70 -0,0925 -0,00077 320 0,08238 0,18285

80 -0,04739 0,05323 330 0,08219 0,18555

90 -0,00885 0,09663 340 0,08211 0,18829

100 0,02301 0,12987 350 0,0821 0,19104

110 0,04846 0,15397 360 0,08214 0,19377

120 0,06806 0,17028 370 0,08222 0,19648

130 0,08251 0,18025 380 0,08232 0,19917

140 0,09258 0,18535 390 0,08242 0,20182

150 0,09905 0,18688 400 0,08253 0,20444

160 0,10267 0,18599 410 0,08263 0,20705

170 0,1041 0,18365 420 0,08272 0,20963

180 0,10394 0,18059 430 0,0828 0,2122

190 0,10267 0,17739 440 0,08287 0,21476

200 0,1007 0,17445 450 0,08292 0,21732

210 0,09836 0,17201 460 0,08296 0,21988

220 0,09589 0,17023 470 0,08299 0,22244

230 0,09346 0,16917 480 0,08303 0,22502

240 0,09119 0,16881 490 0,08304 0,2276


Tomislav Breki 26

Slika 16. Radijalni pomak sredinje linije tankostjene konstrukcije


Tomislav Breki 27

Literatura:

[1.] Linearna analiza konstrukcija, Ivo Alfirevi, FSB, Zagreb

[2.] Inenjerski prirunik 1, ''7.12. Ljuske i ploe'', prof. dr. sc. Jurica Sori, kolska knjiga, Zagreb

[3.] Predavanja iz kolegija Uvod u vrstou konstrukcija, prof.dr. sc. Jurica Sori

[4.] Vjebe iz kolegija Uvod u vrstou konstrukcija, dr. sc. Ivica Skozrit

UUČK programski

Documents

Transcript of UUČK programski