Utilização de Métodos de Cálculo Numérico em … · Aerodinâmica Mestrado Integrado em...
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Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Utilização de Métodos deCálculo Numérico em Aerodinâmica
• Erro Numérico:
- Erro de arredondamento
- Erro iterativo
- Erro de discretização
• Três componentes do erro numérico têmcomportamentos diferentes com o aumentodo número de graus de liberdade (refinamentoda malha)
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• Erro de arredondamento:
- Devido à precisão finita dos computadores
- Pode ser minorado utilizando precisão dupla
- Pode ser o erro dominante em problemas mal condicionados (pequenas diferenças entre números várias ordens de grandeza superiores)
- Aumenta com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha)
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• Erro iterativo:
- Não linearidade das equações a resolver (convecção nas equações de balanço de quantidade de movimento)
- Desacoplamento das equações(modelo de turbulência resolvido para um campo de velocidade fixo e equações de Reynolds resolvidas com viscosdade turbulenta conhecida)
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• Erro iterativo:
- Esquemas de discretização com correcçõesexplícitas para os termos de ordem superior
- Solução dos sistemas de equações algébricos com métodos iterativos(Jacobi, Gauss-Seidel, Gradientes Conjugados,GMRES, ...)
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• Erro iterativo:
- Em princípio, pode ser reduzido até ao nível de precisão da máquina (se não existirem problemas com o erro de arredondamento)
- Aumento do número de graus de liberdade(refinamento da malha) tende a dificultar aredução do erro iterativo. Técnicas “Multigrid”podem evitar problemas com a dimensão dosistema de equações a resolver
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• Erro iterativo:
- É importante definir (conhecer) o significadode 1 iteração
- Estimativas do erro iterativo baseadas nas diferenças (resíduo) obtidas na última iteração realizada não são fiáveis
- Para estimativas do erro iterativo, a norma L∞
é mais indicada que as normas L1e L2
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• Erro iterativo:
- Cálculo do escoamento turbulento num canalcom as equações de Reynolds em média temporal (+modelo de viscosidade turbulenta)
- Estimativa inicial da solução é obtida copiandoos perfis de entrada para toda a malha
- Solução convergida até à precisão da máquina(10-14)
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• Erro iterativo:
- Critério de convergência baseado na diferençamáxima entre iterações sucessivas, et
- Erro iterativo calculado pela diferença para a solução convergida até à precisão da máquina
- Exemplo para a componente horizontal dovector velocidade, U1
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• Erro iterativo:
• Erro iterativomáximo 2 ordens degrandeza maior do que et
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• Erro de discretização:
- Consequência da transformação da(s)equação(ões) do meio contínuo para umsistema de equações algébrico
- Pode ter uma componente geométrica, quepode até ser dominante em domínios com superfícies de elevada curvatura
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• Erro de discretização:
- Habitualmente é o erro numérico dominante
- Determinação do erro de discretização requero conhecimento da solução exacta
- Tende a diminuir com o refinamento da malha
- Estimativa do erro de discretização pode serfeita com refinamentos sistemáticos da malha
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• Erro de discretização:
- Teoria da Linha Sustentadora com o métodode Glauert
- Asa rectangular sem torção com alongamentoΛ=6
- Perfil simétrico com
- Convergência de e com o número determos da série, n
o
lC 2,2' ==∞
απ
LCiDC
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• Erro de discretização:
- Neste exemplo não há erro iterativo
- O erro de arredondamento em precisão dupladeixa de ser desprezável para séries com maisde 35 termos
- Solução “exacta” obtida com 35 termos na série
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• Erro de discretização:
n
Lo
g1
0(|
"Err
o"
CL|)
Lo
g1
0(|
"Err
o"
CD
i|)
0 2 4 6 8 10-6
-5
-4
-3
-2
-1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
CL
CDi
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• Erro de discretização
- Em estudos de refinamento de malha admite-se
φ – Variável local ou integralφexacto – Solução exactaα – Constante relacionada com o nível do errohi – Dimensão caraterística da malhap – Ordem de convergência
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
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• Erro de discretização
- Região assimptótica, i.e. termos de ordem superiorsão desprezáveis
- Dimensão típica da malha, hi, pode ser difícil dedefinir (malhas multi-bloco, não estruturadas)
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
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• Erro de discretização
- Número mínimo de malhas para determinarα e φexacto : 2.
- Não é aconselhável utilizar apenas duas malhas.Não há garantia que os resultados estão na “regiãoassimptótica”, pelo que p não é conhecido
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
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• Erro de discretização
- Número mínimo de malhas para determinarα, p e φexacto : 3
- Em aplicações práticas pode existir ruído nosresultados (definição de hi, interpolações, integrações,...), pelo que 3 malhas não garantemfiabilidade dos resultados
p
iexacto he αφφφ ≅−=)(
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• Erro de discretização
- Cálculo da área de uma superfície cilíndricacom uma regra de Gauss com 1 ponto pordirecção
- Dois tipos de malha:
A. Distâncias equidistantes em x
B. Distâncias equidistantes em s
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• Erro de discretização
XZ
Y XZ
Y
Malha A Malha B
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• Erro de discretização
hi/h
1
Err
o(S
)
0 2 4 6 8 1010-6
10-5
10-4
Malha A
Malha B
Log
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Verificação :
“Resolver as equações correctamente”
Validação :
“Resolver as equações correctas”
Roache, 1998
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• Verificação inclui duas fases:
- Verificação de códigosGarantir que o programa não tem erros.Avaliação de erros, pelo que requer oconhecimento da solução exacta
- Verificação de soluções/cálculosEstimar a incerteza numérica de uma soluçãoda qual se desconhece a solução exacta
(Estimativa de erros)
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• Verificação de códigos
- O “Method of Manufactured Solutions” é uma alternativa para a Verificação de códigos quandonão há soluções analíticas disponíveis
- Em algumas aplicações práticas não existemsoluções exactas disponíveis. Por exemplo,as equações de Reynolds em média temporalnão têm soluções exactas
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• “Method of Manufactured Solutions”
1. Escolher o domínio computacional
2. Escolher a solução para as variáveis dependentesdo problema
3. Determinar termos de fonte para as equações diferenciais a resolver de tal forma que soluçãoescolhida satisfaz o “novo” sistema de equaçõesdiferenciais
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• “Method of Manufactured Solutions”
- As equações de Reynolds não formam um sistema fechado
- As equações adicionais também devem fazer parte da solução fabricada
- Convergência numérica pode depender dasequações de fecho, i.e. do modelo deturbulência
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• “Method of Manufactured Solutions”
- Exemplo para o modelo de uma equação de Spalart & Allmaras
- Solução “fabricada” inclui a variável dependentedo modelo de turbulência ou alternativamente a especificação da viscosidade turbulenta
- Campo de velocidade semelhante a uma camada limite em gradiente de pressão nulo
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• “Method of Manufactured Solutions”
hi/h
1
RM
S[e
(ux)]
×1
05
0 1 2 3 40
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
M S 2p= 1 .3M S 2 , N o da m ping function (f
v1= 1 )
p= 2 .1M S 2 , M a nufa ctu re d ν
t
p= 2 .0
Spalart & Allmaras one-equation model
MS
Lisbon
Workshop
2006
RMS error
of ux
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• Verificação de soluções/cálculos
- A solução exacta não é conhecida
- Estimativa do erro numérico admite habitualmente que o erro de discretizaçãoé dominante
- Métodos baseados em estudos de refinamentode malha são uma das alternativas
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com um grau de confiança de 95%
• Verificação de soluções/cálculos
- Estimar a incerteza, U, de um cálculo numérico para o qual a solução exacta é desconhecida
Objectivo:
)()( φφφφφ UU exact +≤≤−
Factor de segurança
Estimativa do erro
→SF( )φφ eFU S=)(
( ) →φe
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p
iREoii he αδφφφ ==−=)(
• Verificação de soluções/cálculos
φi � Solução numérica de uma variável local ou integral
φo � Estimativa da solução exacta
δRE � Estimativa do erro
αj � Constante relacionada com o nível de erro
hi � Dimensão característica da malha
pj � Ordem de convergência observada
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• Verificação de soluções/cálculos
X
X
X
hi
φ
φo
( )
( )( )
01
1
1
12
23
1
2
12
23
12
121
=−
−
−
−
−
−
−==−
p
pp
pREo
hh
hh
h
h
hh
φφ
φφ
φφδφφ
- 3 Malhas necessárias para calcular φo, α, p
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• Verificação de soluções/cálculos
- Convergência ou divergência aparente paratrês malhas com h2/h1=h3/h2!
Razão de Convergência :
0 < R <1 � Convergência Monotónica-1 < R <0 � Convergência OscilanteR > 1 � Divergência MonotónicaR <-1 � Divergência Oscilante
23
12
φφ
φφ
−
−=R
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• Verificação de soluções/cálculos
- Escoamento turbulento sobre uma placaplana
- Equações de Reynolds em média temporal commodelos de turbulência de viscosidadeturbulenta
- Exemplos de convergência do coeficiente deresistência (de atrito) com o refinamento da malha
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• Verificação de soluções/cálculos
hi/h
1
CF×
10
3
0 1 2 3 42.92
2.94
2.96
2.98
3
3.02
k-ω BSL
1,2
2,3
k-ω Wilcox
2,3
p= 1.9
ReL=10
7
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• Verificação de soluções/cálculos
hi/h
1
CF×
10
3
0 1 2 3 42.08
2.1
2.12
2.14
2.16
2.18
k-ω BSL
2,3
2,3
k-ω Wilcox
2,3
p= 1.8
ReL=10
8
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• Verificação de soluções/cálculos
hi/h
1
CF×
10
3
0 1 2 3 41.54
1.56
1.58
1.6
1.62
1.64
k-ω BSL
2,3
2,3
k-ω Wilcox
p= 2.0
p= 1.7
ReL=10
9
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• Validação
- Comparação com resultados experimentais
- Diferença entre a solução numérica e a mediçãoexperimental, |E|
- Incertezas numérica e experimental, Uval
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• Validação
- Erro de modelação maior do que os errosnumérico e experimental. Modelo precisa de sermelhorado
- Erro de modelação inferior ao ruído originado pelos erros experimental e numérico
valUE >
valUE <
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• Validação
- Escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo
- Comparação da velocidade axial
- Equações de Reynolds com um modelo deviscosidade turbulenta
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y/LPP
z/L
PP
-0.01 0 0.01 0.02
-0.065
-0.06
-0.055
-0.05
-0.045
-0.04
-0.035
-0.03
Ux
0.90.850.80.750.70.650.60.550.50.450.40.350.30.250.20.150.1
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• ValidaçãoExperimental Numérico
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• Validação
ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 180-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Experimental
SST
Comparaçãohabitual
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ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 180-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Experimental
SST
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• Validação
Introduçãoda incertezaexperimental
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ϕ
Ux
0 30 60 90 120 150 180-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Experimental
SST
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• Validação
Introduçãoda incertezanumérica