UTILISATION DES DIFFERENTS REPERES ASTRONOMIQUES …
Transcript of UTILISATION DES DIFFERENTS REPERES ASTRONOMIQUES …
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
FACULTE DES SCIENCES
MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MASTER EN
ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE
DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE
MENTION : PHYSIQUE ET APPLICATION
PARCOURS : ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE
UTILISATION DES DIFFERENTS REPERES
ASTRONOMIQUES POUR DEFINIR LE
TEMPS ET LES CALENDRIERS
Présenté par :
RAKOTOARISOA Heriniaina Hasina
Devant la commission d’examen composée par :
Présidente : Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo
Rapporteur : Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo
Examinateurs : Monsieur RANAIVONOMENJANAHARY Flavien
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo
Monsieur RANDRIANANDRAINA Hery Zo
Maître de Conférences à l’Université d’Antananarivo
Présenté le 23 Juin 2016
UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
FACULTE DES SCIENCES
MEMOIRE EN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLOME DE MASTER EN
ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE
DOMAINE : SCIENCES ET TECHNOLOGIE
MENTION : PHYSIQUE ET APPLICATION
PARCOURS : ASTRONOMIE ET ASTROPHYSIQUE
UTILISATION DES DIFFERENTS REPERES
ASTRONOMIQUES POUR DEFINIR LE
TEMPS ET LES CALENDRIERS Présenté par :
RAKOTOARISOA Heriniaina Hasina
Devant la commission d’examen composée par :
Présidente : Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo
Rapporteur : Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo
Examinateurs : Monsieur RANAIVONOMENJANAHARY Flavien
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo
Monsieur RANDRIANANDRAINA Hery Zo
Maître de Conférences à l’Université d’Antananarivo
DEDICACES
Que le créateur soit loué et glorifié
A ma famille
A mes proches et mes amis
REMERCIEMENTS
Premièrement, je tiens à adresser mes sincères remerciements à Monsieur
RAHERIMANDIMBY Marson, Responsable du domaine Sciences et Technologie
de la Facultés des Sciences de l’Université d’Antananarivo et Monsieur
RAKOTONDRAMIARANA Hery Tiana, Responsable de la Mention Physique et
Application pour leur gestion sage et les bonnes conditions d’études qu’ils nous ont
procurées.
Le travail de préparation et d’élaboration d’un mémoire de fin d’études est toujours
un exercice fastidieux et difficile mais rendu plus aisé dans mon cas grâce à la
bienveillance de :
-Monsieur RANDRIANANDRAINA Hery Zo. Maître de conférences à l’université
d’Antananarivo, Responsable du parcours Astronomie et Astrophysique qui fait
partie des membres du jury pour la présentation de ce mémoire en tant
qu’examinateur.
-Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina. Professeur Titulaire à
l’université d’Antananarivo, Responsable de Formation et de la Recherche à l’Institut
pour la Maîtrise de l’Energie (IME) et fondateur du parcours Astronomie et
Astrophysique au sien du département de Physique, à qui, je tiens à exprimer mes
vifs remerciements et ma profonde gratitude d’avoir bien voulu être mon encadreur
et pour les précieux conseils qu’il m’a prodigués.
J’aimerai également adresser mes profondes gratitudes à tous les enseignants du
département de physique qui, durant mes années d’études, m’ont généreusement
transmis leurs savoirs. Qu’il me soit permis de citer en particulier :
-Madame RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo. Professeur Titulaire à
l’université d’Antananarivo, qui m’a soutenu depuis le début de ce parcours et qui
me fait l’honneur d’être la Présidente du jury pour la présentation de ce mémoire.
-Monsieur RANAIVONOMENJANAHARY Flavien. Professeur Titulaire à
l’université d’Antananarivo, lui aussi, il m’a soutenu durant ce parcours et qui siège
parmi les membres du jury en tant qu’examinateur.
Enfin, je voudrais témoigner ma sympathie envers ma famille, mes amis et autres
personnes qui m’ont soutenu et aidé, de quelque façon que ce soit, durant la
préparation de ce mémoire. Qu’ils reçoivent ici mes sincères remerciements.
TABLES DES MATIERES
Liste des figures
INTRODUCTION…………………………………………………………………..1
CHAPITRE I : METHODOLOGIE………………………………………………...3
SYSTEME DE REPERE EN ASTRONOMIE…………………………….4
CALCUL DE DISTANCE EN ASTRONOMIE ET LES LOIS DES
MOUVEMENTS….................................…………………………………12
LA MESURE DU TEMPS EN ASTRONOMIE………………………….20
DEFINITION DES CALENDRIERS……………………………………..23
CHAPITRE II : RESULTATS…………………………………………………….29
APPLICATION SUR LES COORDONEES EQUATORIALES ET
ECLIPTIQUE……………………………………………………………..30
APPLICATION SUR LES COORDONNEES TERRESTRES…………31
APPLICATION SUR LES REPERE LOCAUX………….......................31
APPLICATION SUR LA MESURE DE DISTANCES…………..........32
APPLICATION SUR LE CHANGEMENT DE CALENDRIER………..33
CHAPITRE III : DISCUSSIONS…………………………………………………34
CONCLUSION…………………………………………………….......................38
BIBLIOGRAPHIE ET WEBOGRAPHIE………………………………………...39
LISTES DES FIGURES
Figure 1.1 : figure du repère écliptique……………………………………………….4
Figure 1.2 : figure du repère équatorial………………………………………………5
Figure 1.3 : schéma du triangle sphérique……………………………………………6
Figure 1.4 : figure illustrant le changement de coordonnées ………………………...7
Figure 1.5 : schéma des repères locaux……………………………………………..11
Figure 1.6 : figure illustrant la méthode de la parallaxe…………………………….12
Figure 1.7 : figure de la trajectoire planétaire……………………………………….14
Figure 1.8 : figure illustrant la 2eme loi de Kepler…………………………………...14
Figure a.1 : figure illustrant le centre de masse entre deux astres…………………..18
Figure a.2 : figure qui montre la rotation d’une masse fictive autour de la masse
totale…………………………………………………………………………………18
1
INTRODUCTION
De nos jours, le calendrier est quelque chose de banale dont l’aspect extérieur et
décoratif (belles photos de couverture, belles images de pages, qualité de reliure,
etc.) l’emportent sur le contenu. Cette banalité est devenue telle que la question sur la
façon dont il a été conçu n’effleure même pas les esprits. Pourtant, c’est un objet
chargé d’histoires, le produit d’un long processus de recherches et d’observations et
dont l’évolution a pris des millénaires car, à travers les âges, l’homme a toujours
senti le besoin d’un repère pour se situer dans le temps.
En effet, la mesure du temps était une préoccupation très importante dans les
civilisations anciennes, afin d’organiser la vie économique et religieuse dans une
société. Dans les milieux où l’homme vivait, il s’est toujours rendu compte de
l’existence de phénomènes périodiques, comme le retour des saisons, le déplacement
de l'ombre, le cycle lunaire… Ces phénomènes ont été utilisés comme des références.
Au cours du temps, l'homme a toujours focalisé son attention sur ces phénomènes
physiques périodiques, dans le but de mettre en place des dispositifs de mesure de
plus en plus précise du temps, avec des unités adaptées. Dans un premier temps, il
s’est intéressé à la succession des jours et des nuits, ce qui le conduit à étudier les
phénomènes périodiques terrestres, c'est-à-dire la rotation de la terre sur elle-même,
puis la rotation de la terre autour du soleil. De ces observations, il a pu déduire qu’à
peu près, la période de rotation de la terre autour du soleil valait 365 jours. D’où la
naissance des calendriers.
Comme nous venons de citer, il s’agit bien d’étudier les mouvements des corps
célestes tels que les planètes, les étoiles afin de bien comprendre la notion de temps
et des calendriers ; nous avons donc affaire à la mécanique céleste, d’où le but de
notre travail : « La définition de la notion de temps et de calendriers à partir des
différents repères astronomiques ».
Dans ce travail, nous allons voir dans une première partie toutes les notions sur les
repères d’espace et de temps utilisés en astronomie. La deuxième partie sera
2
consacrée à l’étude dynamique des corps célestes à partir de quelques lois, et enfin,
nous allons définir la notion de temps et des calendriers existants.
3
CHAPITRE I :
METHODOLOGIE
4
CHAPITRE I : METHODOLOGIE
I.1- SYSTEME DE REPERE EN ASTRONOMIE
La notion de repère est surtout nécessaire en astronomie pour décrire le mouvement
d’un astre et pour évaluer la distance entre la terre et un objet céleste.
I.1.1- LE REPERE CELESTE ECLIPTIQUE
Le repère céleste écliptique est formé par un trièdre directe (Oxyz) tel que (Oxy)
forme le plan de l’orbite Terre-Lune (plan de l’écliptique), l’axe Oz est normale à ce
plan et le mouvement du barycentre Terre-Lune se fait dans le sens directe par
rapport à Oz. L’axe Ox indique la direction du point vernale noté γ (l’une des deux
points d’intersection du plan de l’écliptique et le plan équatorial, cf repère céleste
équatorial). Les coordonnées écliptiques sont : la longitude écliptique notée λ,
comptée de 0 à 360º par rapport à l’axe Ox et la latitude écliptique notée β, comptée
de -90 à 90º par rapport à l’axe Oz. (Figure 1.1)
Figure 1.1 : repère écliptique
x
Y
z Pôle écliptique
Astre
Υ
𝜆
𝛽
Plan de l’écliptique
5
I.1.2- LE REPERE CELESTE EQUATORIAL
Le repère céleste équatorial est formé par un trièdre directe (Oxyz) tel que (Oxy)
forme le plan de l’équateur Terrestre (plan équatorial), l’axe Oz est normale à ce plan
et le mouvement de rotation de la Terre se fait dans le sens directe par rapport à Oz.
L’axe Ox indique la direction du point vernale noté γ (l’une des deux points
d’intersection du plan de l’écliptique et le plan équatorial). Les coordonnées
équatoriales sont : l’ascension droite notée α, comptée de 0 à 24h par rapport à l’axe
Ox et la déclinaison notée δ, comptée de -90 à 90º par rapport à l’axe Oz.
(Figure 1.2)
I.1.3- CHANGEMENT DE REPERE
Nous pouvons constater alors que les deux repères ont un axe en commun, qui est
l’axe Ox, le plan de l’écliptique et le plan équatorial forment un angle suivant cet
axe. Cet angle est appelé l’obliquité de l’écliptique et noté ε, sa valeur est de 23° 26'
21". Nous pouvons passer alors du repère céleste écliptique au repère céleste
équatorial en faisant une rotation autour de l’axe Ox.
Figure 1.2 : repère équatorial
x
Y
z Pôle céleste nord
Astre
Υ
𝛼
𝛿
Plan de l’équateur
6
I.1.4- LES FORMULAIRES TRIGONOMETRIQUES ET LES RELATIONS
ENTRE LES COORDONNEES ECLIPTIQUES ET LES COORDONNEES
EQUATORIALES
Comme il s’agit des coordonnés polaires, nous allons utiliser donc les formules de
trigonométriques sphériques classiques. Soit le triangle sphérique suivant.
(Figure 1.3)
A partir de cette figure, nous aurons les relations suivantes :
𝑠𝑖𝑛𝑎
𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝑠𝑖𝑛𝑏
sin 𝐵=
𝑠𝑖𝑛𝑐
𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑐𝑜𝑠𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑐 + 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑐𝑜𝑠𝑏 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑐𝑜𝑠𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑐 − 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐴
𝑠𝑖𝑛𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑐 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑐. 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑏. 𝑠𝑖𝑛𝑎 − 𝑠𝑖𝑛𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝑎. 𝑐𝑜𝑠𝐶
(1)
Figure 1.3 : triangle sphérique
A
B
C
a
b
c
7
Considérons maintenant un astre en un point A quelconque de la sphère céleste
(Figure 1.4)
Figure 1.4 : exemple pour un astre quelconque
Nous pouvons constater à partir de cette figure que le point A, le pôle de l’écliptique
E, et le pôle nord céleste P forment un triangle sphérique(𝐸𝑃𝐴).
Nous avons :
L’obliquité, qui est l’arc 𝐸𝑃
la latitude écliptique à partir de son complémentaire qui est l’arc 𝐸𝐴 =𝜋
2− 𝛽
la déclinaison à partir de son complémentaire qui est l’arc 𝑃𝐴 =𝜋
2− 𝛿
la longitude écliptique à partir de son complémentaire qui est l’angle entre
L’arc 𝐸𝑃 et l’arc 𝐸𝐴 =𝜋
2− 𝜆
L’angle entre les deux colures plus l’ascension droite vaut : 𝜋
2+ 𝛼
Calculons par exemple les coordonnées équatoriales en fonction des coordonnées
écliptiques :
A
E
P 휀
𝛿
𝛽
𝛼
8
𝑠𝑖𝑛(𝜋
2−𝛿)
𝑠𝑖𝑛(𝜋
2−𝜆)
=𝑠𝑖𝑛(
𝜋
2−𝛽)
𝑠𝑖𝑛(𝜋
2+𝛼)
𝑐𝑜𝑠 (𝜋
2− 𝛿) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2− 𝛽) 𝑐𝑜𝑠휀 + 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
2− 𝛽) 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2− 𝜆)
𝑠𝑖𝑛 (𝜋
2− 𝛿) 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2+ 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2− 𝛽) 𝑠𝑖𝑛휀 − 𝑠𝑖𝑛 (
𝜋
2− 𝛽) 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2− 𝜆)
Nous aurons après simplification :
𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜆
𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆
𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆
Et
𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜆 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛿
𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑠𝑖𝑛𝛿. 𝑐𝑜𝑠휀 − 𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑖𝑛𝜆 = 𝑠𝑖𝑛𝛿. 𝑠𝑖𝑛휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝛼
I.1.5- LES COORDONNEES TERRESTRES
Nous distinguons deux types de coordonnées terrestres qui sont : les coordonnées
géographiques et les coordonnées géocentriques. Dans ces deux types de
coordonnées, la terre est assimilée à un ellipsoïde de révolution. Les coordonnées
géographiques sont constituées par la latitude géographique, notée φ (c’est l’angle
entre la normale à l’ellipsoïde de référence et le plan de l’équateur terrestre), et la
longitude notée L (c’est l’angle formé par le méridien de Greenwich et le méridien
du lieu considéré). Les coordonnées géocentriques sont constituées par la latitude
géocentrique, notée φ’ (c’est l’angle entre la direction allant du centre de la Terre au
(2)
(3)
(4)
9
lieu considéré et le plan de l’équateur terrestre), et la même longitude des
coordonnées géographiques.
Soit φ la latitude géographique, φ' la latitude géocentrique et h l’altitude du lieu, a est
le rayon équatorial terrestre, f est l’aplatissement de l’ellipsoïde terrestre, ρ la
distance entre le centre de la Terre et le lieu exprimé en rayon terrestre équatorial.
Nous avons les relations suivantes :
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 𝑐𝑜𝑠𝑢 +ℎ
𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑′ = (1 − 𝑓)𝑠𝑖𝑛𝑢 +ℎ
𝑎𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑡𝑎𝑛𝑢 = (1 − 𝑓)𝑡𝑎𝑛𝜑
I.1.6- LES REPERES LOCAUX
a- LE SYSTEME DE COORDONNEES EQUATORIALES HORAIRES
Auparavant nous avons vu des repères fixes qui ne tiennent pas compte du
mouvement de l’observateur. Considérons maintenant le repère équatorial horaire,
formé par le plan (Oxy) qui est le plan de l’équateur et un axe Oz normale à ce plan,
tel que Oz indique le pôle Nord. Sachons que l’axe Ox indique la direction du
méridien local et que ce système est lié à la Terre.
Avec le repère équatorial horaire, on a les coordonnées équatoriales horaires, qui
sont composées de l’angle horaire, noté H, compté positivement en heures
sexagésimales de 0h à 24h vers l’Ouest à partir du méridien du lieu et la déclinaison,
qui n’est autre que l’angle du repère équatorial.
(5)
10
b- LE TEMPS SIDERAL
Le temps sidéral local, noté TL est l’angle entre la direction du point vernal et le
méridien du lieu considéré. Cet angle est compté positivement vers l’Ouest à partir
du méridien local et exprimé en Heure sexagésimale.
D’où la relation entre l’angle horaire, l’ascension droite et le temps sidéral local :
𝐻 = 𝑇 − 𝛼 (6)
c- L’EFFET D’UN CHANGEMENT DE LONGITUDE
Si nous changeons de longitude, la formule donnant le temps sidéral local TL en un
lieu de longitude L par rapport au temps sidéral à Greenwich TG est :
𝑇𝐿 = 𝑇𝐺 +1
15𝐿 (7)
d- LE REPERE AZIMUTAL
Le repère azimutal est un repère local que nous pouvons définir à n’importe quel
endroit de la terre. Si nous considérons par exemple un lieu de latitude géographique
φ et de longitude géographique L. Nous pouvons avoir en ce lieu un repère azimutal,
tel que le plan (Oxy) est le plan horizontal local et l’axe Oz est la normale à ce plan.
La direction indiquée par l’axe Oz est appelée la direction du zénith et l’axe Ox est
l’intersection du plan horizontal local et le plan du méridien du lieu considéré.
Avec le repère azimutal, nous avons le système de coordonnées azimutales, qui sont
composées par l’azimut, noté a, un angle compté positivement à partir de Ox vers
l’Ouest de 0 à 360º et la hauteur, noté h, qui est compté positivement vers le zénith
de 0 à 90º. Parfois, nous utilisons l’angle entre la direction du zénith et la direction de
l’astre à la place de la hauteur. Cet angle est appelé distance zénithale, noté z, et
compté de 0 à 180º à partir du zénith (Figure 1.5)
11
e- FORMULAIRE LIANT LES COORDONNEES LOCALES
En utilisant la trigonométrie sphérique :
𝑐𝑜𝑠𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝛿 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝛿𝑐𝑜𝑠𝐻
𝑠𝑖𝑛𝑧𝑠𝑖𝑛𝑎 = 𝑐𝑜𝑠𝛿𝑠𝑖𝑛𝐻
𝑠𝑖𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑎 = −𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝛿 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝛿𝑐𝑜𝑠𝐻
𝑧 =𝜋
2− ℎ
La relation inverse
𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑧 − 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛿𝑠𝑖𝑛𝐻 = 𝑠𝑖𝑛𝑧𝑠𝑖𝑛𝑎
𝑐𝑜𝑠𝛿𝑐𝑜𝑠𝐻 = 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝑧𝑐𝑜𝑠𝑎
z
h
a x
y
Z (zénith)
X’
Z’ (Pôle nord céleste)
Sud
Nord
Plan de l’équateur
Plan horizontal
Figure 1.5: figure des repères locaux
(8)
(9)
12
f- QUELQUES DEFINITIONS LIEES AU REPERE AZIMUTAL
La direction du vertical, vers le haut, d'un lieu donné porte le nom de zénith,
et la direction opposée, vers le bas, porte le nom de nadir.
Le demi-cercle reliant le zénith au nadir de la sphère céleste est appelé demi-
cercle d’égal azimut.
Le demi-cercle qui relie le pôle céleste Nord au pôle céleste Sud de la sphère
céleste et contenant le zénith est appelé le méridien supérieur.
Le demi-cercle reliant le pôle céleste Nord au pôle céleste Sud de la sphère
céleste et contenant le nadir est appelé le méridien inférieur.
I.2- CALCUL DE DISTANCE EN ASTRONOMIE ET LES LOIS DES
MOUVEMENTS
I.2.1- CALCUL DE DISTANCE PAR LA METHODE DE LA PARALLAXE
En astronomie, la parallaxe est l’angle sous lequel on pourrait voir une longueur
connue, depuis un astre quelconque. La parallaxe est utilisée pour les étoiles
(proches) : c’est l’angle sous lequel on voit le demi-grand axe de l’orbite terrestre
depuis une étoile. Cette parallaxe d’étoiles a été mise en évidence pour la première
fois en 1838 par F. Bessel.
Soit le figure suivant :
Figure 1.6 : figure illustrant la méthode de la parallaxe
E S
T
𝜛
13
Le demi-grand axe de l’orbite terrestre ST (S pour Soleil et T pour Terre) est vu
depuis une étoile E sous un angle ϖ, appelé parallaxe annuelle de E.
Le triangle STE est rectangle en S. Nous pouvons écrire : tan ϖ = 𝑆𝑇
𝑆𝐸 ,
où ST est le demi-grand axe de l’orbite terrestre et SE la distance cherchée (nous
pouvons considérer que SE et TE sont égales, vu la petitesse de ϖ). Par ailleurs, la
mesure d’angle ϖ, exprimée en radians, est elle aussi très petite, donc tan ϖ = ϖ.
Nous pouvons en déduire :
𝜛 =𝑆𝑇
𝑆𝐸 𝑜𝑢 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑟𝑒 ∶ 𝑆𝐸 =
𝑆𝑇
𝜛 (10)
Nous pouvons exprimer ST en Unités Astronomiques (UA). Donc on obtient :
SE = 1
𝜛 avec ϖ en radian.
Introduisons une nouvelle unité de distance qui est le parsec (pc). On dira qu’une
étoile est située à 1 pc si sa parallaxe est égale à 1 seconde d’arc. En d’autres termes,
depuis cette étoile (située à 1 pc), on verra le demi-grand axe de l’orbite terrestre (1
UA, c’est-à-dire 150 millions de km) sous un angle de 1" (seconde d’arc, 3 600e
partie du degré).
Déduisons de cette définition la valeur de 1 pc en UA
Nous savons que 1 rad = 180
𝜋degrés ; or 1° = 3600″ ;
d’où 1rad = 180 × 3600"
𝜋 = 260 265 ″
Nous pouvons donc en déduire que :
𝑆𝐸 =1
𝜛(𝑟𝑎𝑑)=
1
𝜛(")× 206 265 𝑈𝐴,
en notant avec ϖ (rad) et ϖ (″) respectivement les mesures en radians et en secondes
d’arc de la parallaxe.
Si ϖ = 1″, on obtient SE = 206 265 UA. D’où par définition 1pc = 206 265 UA.
Enfin, la définition précédente permet d’écrire que si SE est exprimée en pc, on
aura :
𝑆𝐸 =1
𝜛(") (11)
14
I.2.2- LES TROIS LOIS DE KEPLER
1ere loi de Kepler
Le mouvement d’une planète autour du Soleil est plan et son trajectoire est une
ellipse, avec le soleil se trouvant sur l’un des foyers de l'ellipse (Figure 1.7)
Figure 1.7 : Figure d’une trajectoire d’une planète autour du soleil
Remarque
Périhélie : c’est la position de la planète la plus proche du soleil
Aphélie : c’est la position de la planète la plus éloignée du soleil
2eme loi de Kepler
Une ligne reliant une planète au soleil balaie des aires égales en des intervalles de
temps égaux
𝐴1
𝐴2
à 𝑡1
à 𝑡2
à 𝑡3
à 𝑡4
𝑑′𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝐾𝑒𝑝𝑙𝑒𝑟, 𝑠𝑖 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡4 − 𝑡3
⇒ 𝐴1 = 𝐴2
F1 F2
Soleil
Planète
Périhélie Aphélie
Figure 1.8: figure illustrant la 2eme loi de Kepler
15
3eme loi de Kepler
Le carré des périodes de révolution des planètes est proportionnel au cube des demi
grands axes de leurs orbites. Donnée par l’équation :
𝑃3 = 4𝜋2𝑟3
𝐺𝑀 (12)
Démonstration des lois de Kepler :
1ere loi et 2eme loi:
Montrons que le moment cinétique L de la planète est constant
𝐿 = 𝑚𝒗 ∧ 𝒓
𝑑𝐿
𝑑𝑡= 𝑚
𝑑𝒗
𝑑𝑡∧ 𝒓 + 𝑚𝒗 ∧
𝑑𝒓
𝑑𝑡= 0 + 0 = 0
D’où la première partie de la première loi de Kepler, le mouvement d’une planète
autour du soleil est plan. Nous allons maintenant démontrer la deuxième partie
après avoir démontré la loi des aires, qui est la deuxième loi de Kepler.
Considérons la figure suivante :
𝑑𝜃
𝑟𝑑𝜃
𝑑𝑟
𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑑𝐴
16
𝑑𝐴
𝑑𝑡=
1
2𝑟2
𝑑Ө
𝑑𝑡
𝑑𝐴
𝑑𝑡=
1
2𝑟𝑣Ө
Etant donné que 𝑟 et 𝑣Өsont perpendiculaires
𝑟𝑣Ө = │𝑟 × 𝑣│ = │𝐿
µ│ =
𝐿
µ
D’où la deuxième loi de Kepler
𝒅𝑨 = 𝑳
𝟐𝒎𝒅𝒕 (𝟏𝟑)
Au cours du mouvement d’une planète autour du soleil, son rayon vecteur varie
constamment, mais l’énergie totale reste constante.
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝
Avec 𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 𝑒𝑡 𝐸𝑝 = −𝐺
𝑀𝑚
𝑟
Où 𝑀: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑖𝑙, 𝑚: 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛è𝑡𝑒
Avec 𝑣2 = (𝑑𝑟
𝑑𝑡)
2
+ 𝑟2 (𝑑𝜃
𝑑𝑡)
2
𝑑′𝑜ù 𝐸 = 1
2𝑚 [(
𝑑𝑟
𝑑𝑡)
2
+ 𝑟2 (𝑑𝜃
𝑑𝑡)
2
] − 𝐺𝑀𝑚
𝑟
D’après la deuxième loi de Kepler,
𝑑𝐴
𝑑𝑡=
1
2𝑟2
𝑑Ө
𝑑𝑡= 𝑐𝑡𝑒
D’où 𝑑𝜃
𝑑𝑡=
𝐾
𝑟2
𝑑′𝑜ù 𝐸 =1
2𝑚 [(
𝑑𝑟
𝑑𝑡)
2
+ 𝑟2 (𝐾
𝑟2)
2
] − 𝐺𝑀𝑚
𝑟
𝐸 =1
2𝑚 [(
𝑑𝑟
𝑑𝑡)
2
+𝐾2
𝑟2] − 𝐺
𝑀𝑚
𝑟
Avec 𝑑𝑟
𝑑𝑡=
𝑑𝑟
𝑑𝜃×
𝑑𝜃
𝑑𝑡=
𝐾
𝑟2×
𝑑𝑟
𝑑𝜃
17
𝑑′𝑜ù 𝐸 =1
2𝑚
𝐾2
𝑟2[
1
𝑟2× (
𝑑𝑟
𝑑𝜃)
2
+ 1] − 𝐺𝑀𝑚
𝑟
Posons 𝑢 =1
𝑟,
𝑑𝑢
𝑑𝑟= −
1
𝑟2
𝑑𝑟
𝑑𝜃 𝑑′𝑜ù
𝑑𝑟
𝑑𝜃= −𝑟2 𝑑𝑢
𝑑𝜃
𝑙′𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐸 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠, 𝐸 =1
2𝑚𝐾2 [(
𝑑𝑢
𝑑𝜃)
2
+ 𝑢2] − 𝐺𝑀𝑚𝑢
En dérivant membre à membre par rapport à 𝜃 et en tenant compte que l’énergie est
constante, nous obtenons l’équation différentielle suivante :
𝑑2𝑢
𝑑𝜃2+ 𝑢 = 𝐺
𝑀
𝐾2
Cette équation a pour solution,
𝑢 =1
𝑟= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃 − 𝜃0) + 𝐺
𝑀
𝐾2
Avec 𝜃0 = 0
𝑑′𝑜ù 𝑢 =1
𝑟= 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝐺
𝑀
𝐾2
𝑑′𝑜ù 𝑟 =1
𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐺𝑀
𝐾2
On reconnait donc l’équation polaire d’une conique de paramètre 𝜌, et 𝑒
𝑟 =𝜌
𝑒𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1 (14)
Avec 𝜌 =𝐾2
𝐺𝑀 𝑒 = 𝐴𝜌
D’où l’expression de r démontre bien la deuxième partie de la première loi de
Kepler, qui affirme que la trajectoire d’une planète est une ellipse, avec le soleil se
trouvant sur l’un des deux foyers de l’ellipse.
3eme loi
Considérons un système de masse, m1 et m2, de telle sorte que la masse m1 orbite
autour de m2. Soit H le centre de gravité des deux masses et considérons maintenant
qu’ils tournent autour de ce centre de gravité, tels que leurs distances par rapport à G
sont r1 et r2
18
H
m1 m2
Figure a.1 : Figure illustrant le centre de masse entre deux astres
La force de gravitation entre les deux masses est
𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2
(𝑟1 + 𝑟2)2
Multiplions le numérateur et le dénominateur par 𝑚1+ 𝑚2
𝑚1+ 𝑚2
𝐹 = 𝐺𝑀µ
(𝑟1 + 𝑟2)2
Où M = m1 + m2 et µ = 𝑚1𝑚2
𝑚1+ 𝑚2
Nous avons alors l’équation d’un système avec une masse fictive M qui représente la
masse totale du système
Figure a.2 : figure qui montre la rotation d’une masse fictive autour de la masse
totale
Dans un système circulaire, nous avons la relation entre µ et la vitesse angulaire, qui
est donnée par
𝑎µ = 𝜔µ2(𝑟1 + 𝑟2) = 𝐺
𝑀
(𝑟1 + 𝑟2)2
Avec 𝜔µ = 2𝜋
𝑃 où P est la période orbitale
M
𝜇
𝑟1 + 𝑟2
19
Nous obtenons donc 𝑃2
(𝑟1+ 𝑟2)3 = 4𝜋2
𝐺𝑀
D’où la troisième loi de Kepler
𝑃3 = 4𝜋2𝑟3
𝐺𝑀
I.2.3- LA LOI DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE DE NEWTON
Enonçons tout d’abord les trois lois de mouvement de Newton
1ere loi de Newton
En l’absence des forces extérieures, la vitesse d’un système ne change pas :
𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 (15)
2eme loi de Newton
La force agissant sur un objet est proportionnelle à la masse de l'objet et son
accélération résultante. Si l’objet est soumis à n forces :
𝐹 = ∑ 𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑚𝑎 (16)
3eme loi de Newton
Pour chaque action il y a une réaction égale et opposée. Dans cette loi, l'action et la
réaction sont interprétées comme des forces agissant sur différents objets.
Considérons la force F12 exercée sur un objet 1 par un second objet 2. La troisième
loi de Newton indique que la force F21 exercée sur l'objet 2 par l'objet 1 doit
nécessairement être de la même intensité mais dans le sens opposé.
Mathématiquement, la troisième loi peut être représentée comme suit :
𝐹12 = − 𝐹21 (17)
20
Grâce à ces lois du mouvement, combinées à la troisième loi de Kepler, Newton a
réussi à trouver une expression décrivant la force qui maintient les planètes dans
leurs orbites : La loi de la gravitation universelle de Newton
Cette loi est définie par l’équation :
𝐹 = 𝐺𝑀𝑚
𝑟2 (18)
I.3- LA MESURE DU TEMPS EN ASTRONOMIE
Auparavant, les mouvements de la Terre autour de son axe et autour du Soleil
semblent uniformes, constants, réguliers et paraissent parfaits pour définir une
échelle de temps qui doit être, elle-aussi, uniforme, régulière et constante. Par
conséquent, la rotation de la Terre autour de son axe définit le jour et la révolution de
la Terre autour du Soleil définit l'année.
I.3.1- DEFINITION DU JOUR
En choisissant une direction fixe dans l’espace, il faut 23h 56mn 4s à un observateur
pour se retrouver dans la même direction après un tour complet de la Terre autour de
son axe (c’est le jour sidéral). Mais cette durée n’est pas facile à mesurer, c’est pour
cela qu’on a choisi le soleil comme repère. C’est le retour du soleil dans la même
direction qui définit le jour, cette rotation dure en moyenne 24 heures. Mais sachons
que pendant la rotation de la terre autour de son axe, il s’est aussi déplacé sur son
trajectoire autour du soleil, ce qui implique que le soleil ne suit pas une direction
fixe. Nous allons donc définir le jour comme étant la durée qui sépare deux passages
consécutifs du Soleil par le méridien local considéré.
Cette durée du jour varie tout au long de l’année à cause de l’inclinaison de l’axe de
la terre par rapport au plan de l’écliptique, l’excentricité de l’orbite terrestre et la
variation de la vitesse de déplacement de la terre sur son orbite. Ainsi, on a défini
une position moyenne du soleil qui va définir le temps solaire moyen par rapport à la
position vraie du soleil, qui détermine le temps solaire vrai.
21
I.3.2- L’EQUATION DU TEMPS
On définit le temps solaire vrai d’un lieu à partir d’un cadran solaire. Par exemple, le
midi indiqué par le cadran solaire est appelé le midi vrai du lieu. On définit ainsi
l’équation du temps comme l’écart entre le midi moyen et le midi vrai. Si l’équation
du temps est positive, cela signifie que le soleil vrai est en retard sur le soleil moyen
et inversement si sa valeur est négative. Par exemple, si on considère que l’équation
du temps en un lieu et à une date donnée vaut +10 minutes, cela signifie qu’il est 12h
10mn du temps solaire moyen lorsque le cadran solaire indique midi vrai.
Comme nous l’avons dit précédemment, la variation de l’équation du temps provient
du faite de l’ellipticité de l’orbite terrestre et de l’obliquité de la terre. En première
approximation, le retard du soleil vrai par rapport au soleil moyen varie
sinusoïdalement avec une période d’une année, et est donné par
l’expression suivante :
Δ𝑇𝐶(𝑑) = 7,678. sin(𝐵(𝑑) + 1,374) (19)
Où 𝐵(𝑑) =2𝜋(𝑑−81)
365 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚é 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
𝑒𝑡 𝑑 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜 𝑑𝑢 𝑗𝑜𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑛𝑛é𝑒.
Le retard dû à l’obliquité de la terre est donné par l’expression suivante :
Δ𝑇𝑅(𝑑) = −9,87. sin(2𝐵) (20)
D’où la première approximation de l’équation du temps qui est donnée par la somme
des deux expressions précédentes :
Δ𝑇(𝑑) = (9) + (10) (21)
En utilisant ses 1ere et 2eme loi, Kepler a défini l’équation du temps par l’expression
suivante :
22
𝑡 =𝑇
2𝜋(𝜙 − 𝑒. sin(𝜙)) (22)
𝑜ù 𝜙 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑎𝑛𝑜𝑚𝑎𝑙𝑖𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑡é 𝑒𝑡 𝑇 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒
𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛.
I.3.3- LES CONSEQUENCES DU MOUVEMENT DE PRECESSION SUR LA
MESURE DU TEMPS
Au cours de son déplacement autour du soleil, la rotation de la terre autour de son
axe n’est pas régulière. Du fait des perturbations gravitationnelles de la lune, du
soleil et des autres planètes, l’axe de rotation de la terre ne reste pas immobile.
Premièrement, il suit un mouvement oscillatoire, périodique et rapide de faible
amplitude autour d’une position moyenne. Ce mouvement est appelé la nutation.
Deuxièmement, l’axe effectue un mouvement de rotation lent tout en restant incliné
par rapport à l’écliptique, ce mouvement est appelé la précession. Dans 26 000 ans,
l’axe de rotation de la terre aura effectué un tour complet.
Comme le plan de l’équateur est lié à cet axe, il subit aussi le mouvement de nutation
et de précession. Par conséquent, la précession va entraîner le déplacement
rétrograde du point vernal le long de l'équateur céleste. En outre, l’origine des
ascensions droites que nous avons choisies sur notre sphère céleste est mobile. De ce
fait, on a choisi un point vernal origine pour pouvoir repérer les étoiles sur notre
sphère céleste en apportant une correction à chaque observation.
I.3.5- DEFINITION DE L’ANNEE
A première vue, l’année est la durée que met la terre pour faire un tour complet du
soleil. Mais il faut savoir qu’il existe quatre types d’année selon la direction choisie
comme origine.
Si on choisit une direction fixe dans l’espace, la terre mettra
365jours 6h 9mn 10s pour revenir dans la même direction. Cette
durée est appelée l’année sidérale.
23
Si on choisit la direction du point vernal, la terre mettra 365jours 5h
48mn 45s pour revenir à ce point. On voit bien que cette durée n’est
pas la même que l’année sidérale, parce que le point vernal s’était
déplacé pendant que la terre tournait (A cause du mouvement de
précession). Cette durée est appelée l’année tropique.
Si on choisit la direction du périhélie de la terre (point de l’orbite de
la terre la plus proche du soleil), la terre mettra 365 jours 6h 13mn
53s pour revenir dans cette direction. Cette durée est appelée l’année
anomalistique.
Si on choisit la direction du nœud de l’orbite de la lune, la terre va
mettre 346 jours 14h 24 mn pour revenir dans cette direction. Cette
durée est appelée l’année draconitique.
Nous venons de voir la mesure de la durée d’une année, mais nous n’avons pas
encore établi la désignation des années. Depuis J.Cassini, en 1696, les astronomes
ont commencé à utiliser une notation algébrique. Ils ont appelé année 0 l’an 1 avant
J.C, et ont compté négativement les années antérieures. Par exemple : l’an 1 avant
J.C = année 0 ; la deuxième année après J.C = année 2… Ce système de
numérotation des années offre deux grands avantages : d’abord, il conserve la règle
de divisibilité par quatre des années bissextiles (par exemple les années -8, -4, 0, 4,
8…), ensuite avec ce système de numérotation, le nombre d’années entre une année
négative et une année positive s’obtient de façon algébrique, par exemple le nombre
d’années entre le 1er janvier -65 et le 1er janvier 2001 est égale à 2001- (-65) = 2066.
I.4- DEFINITION DES CALENDRIERS
Un calendrier est un système de repère pour repérer des dates en fonction du temps.
Il existe trois catégories de calendrier :
Le calendrier lunaire :
Le calendrier lunaire a été fondé à partir des phases lunaires. La durée moyenne
d’un mois doit être approximative d’une lunaison qui est de 29, 5305882 jours
24
(période synodique : c’est le temps mis par la lune pour revenir à la même place dans
le ciel, c'est-à-dire les phases lunaires).
La période sidérale de la lune (période mesurée par rapport à une étoile fixe) peut
être calculée à partir de la troisième loi de Kepler :
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑛𝑒,𝑇2
𝑎3= 9,78632 × 10−14 𝑠2. 𝑚−3
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 384 × 106𝑚
𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑇 = 27,32𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
En utilisant les relations entre la période synodique et la période sidérale :
𝑆 =𝑇 × 𝑃
𝑇 − 𝑃
S : la période synodique de la lune à chercher
T : le période sidérale de lune que nous venons de calculer
P : le période sidérale de la Terre, qui est égale à 365,26 jours
Nous obtenons la période synodique de la lune,
𝑆 = 29,53 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
Le calendrier luni-solaire :
Cette catégorie de calendrier est basée à la fois sur les phases de la lune et sur le
mouvement de la terre par rapport au soleil. En effet, ce sont des calendriers lunaires
qui sont ajustés à l’année solaire à partir des mois intervallaires.
Le calendrier solaire :
Le calendrier solaire est basé sur le mouvement de la terre autour du soleil. Pour la
plupart des calendriers solaires, la durée d’une année est celle de l’année tropique,
qui est environ 365,242201 jours. Cette durée peut être calculée en sachant la durée
d’une année par rapport à une direction fixe (année sidérale).
En effet, l’année sidéral se calcule à partir da la troisième loi de Kepler :
𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒,𝑇𝑠
2
𝑎3= 3,98483. 10−11𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠2. 𝑘𝑚−3
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 = 149600. 103𝑘𝑚
25
𝑑′𝑜ù, 𝑜𝑛 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑇𝑠 = 365,26 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
Cette durée est la durée d’une année par rapport à une direction fixe, mais l’année
que nous cherchons est la durée d’une année par rapport à la direction du point
vernal. Or nous savons que le point vernal se déplace à cause du mouvement de
précession. De ce fait, l’année tropique s’obtient en diminuant 28,8 mn l’année
sidérale, d’où :
𝑇 = 365,24 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠
Il existe plusieurs types de calendriers selon ces catégories, et nous allons voir
quelques-uns, après avoir défini brièvement la période Julienne.
I.4.1- LA PERIODE JULIENNE
La période julienne est une façon de numéroter sans discontinuité les jours depuis le
lundi -4712 à 12 h. On appelle date julienne la durée écoulée depuis le 1er janvier
-4712 à 12h. On exprime cette durée en jour et en fraction décimale de jour. C’est la
partie entière qu’on nomme date julienne. Il est nécessaire de connaitre la période
julienne pour pouvoir passer d’un calendrier à un autre.
I.4.2- LE CALENDRIER JULIEN
Il faut tout d’abord noter qu’il n’y a aucun rapport entre les datations en jours Juliens
et les dates du calendrier julien.
Le calendrier julien est un calendrier solaire introduit par Jules César en 46 avant J.C
afin de remplacer le calendrier romain républicain. Le calendrier Julien est composé
de deux sortes d’années : 365 jours d’années communes divisées en 12 mois et 366
jours d’années bissextiles. Les années bissextiles sont divisibles par quatre. Les mois
du calendrier juliens sont : janvier (31 jours), février (28 jours ou 29 jours si l’année
est bissextile), mars (31 jours), avril (30 jours), mai (31 jours), juin (30 jours), juillet
(31 jours), août (31 jours), septembre (30 jours), octobre (31 jours), novembre (30
jours), et décembre (31 jours).
26
I.4.3- LE CALENDRIER GREGORIEN
Pour le calendrier Julien, la durée moyenne d’une année est de 365,25 jours, alors
que la vraie durée pour l’année tropique est de 365,242190 jours. De ce fait, les dates
des saisons se décalent de 3 jours environ tous les 400 ans. Pour cette raison, le
calendrier Grégorien a été mis en place afin d’apporter une correction sur le calcul
des années bissextiles du calendrier julien.
Le calendrier Grégorien a gardé une grande partie de la structure du calendrier
Julien et la règle de divisibilité par quatre des années bissextiles, à l’exception des
années séculaires qui ne sont bissextiles que si leur millésime est divisible par 400.
Ainsi, 1600 et 2000 sont des années bissextiles tandis que 1700, 1800 et 1900 ne le
sont pas.
I.4.4- LE CALENDRIER MUSULMAN
L’an un du calendrier musulman est le 16 juillet 622 après J.C (le premier jour de
l’hégire). C’est un calendrier lunaire comportant 12 mois de 29 ou 30 jours. Une
année de ce calendrier compte 354 jours (une année comportant ce nombre de jour
est appelée année commune) ou 355 jours (une année comportant ce nombre de jour
est appelée année abondante).
Il faut noter que le calendrier musulman est tranché par cycle. Un cycle compte 30
ans de telle sorte qu’il comprenne 19 années communes et 11 années abondantes.
En effet, le mois lunaire débute lorsque la lune se situe sur une ligne droite entre la
terre et le soleil. Un an est défini comme étant la durée qui sépare deux nouvelles
lunes. Cette durée varie selon la saison. Par exemple, au solstice d’été, la durée d’un
mois est de 29,27 jours tandis qu’elle est de 29,84 au solstice d’hiver. En moyenne,
cette durée vaut 29,53 jours. Depuis des millénaires, les astronomes se sont convenus
du faite que les mois de 30 jours et de 29 jours se succédaient en alternance. Ce qui
fait qu’en deux mois, la durée de jours écoulés est de 59. Comparant cette valeur à la
valeur moyenne, on peut constater qu’il y a une différence de 44 minutes entre les
deux valeurs en un mois. Cet écart atteint un jour en 2,73 ans. Donc pour compenser
cet écart, il faut ajouter un jour au dernier mois de l’année : cette année est une année
27
abondante. Dans un cycle, les années abondantes sont les années numérotées 2, 5, 7,
10, 13, 16, 18, 21, 24, 26, 29.
I.4.5- LES DEMARCHES A SUIVRE POUR PASSER D’UN CALENDRIER A UN
AUTRE
Il y a deux grandes étapes à suivre pour passer d’un calendrier à un autre :
Convertir la date donnée d’un calendrier en jours juliens
Convertir ces jours juliens en date d’un autre calendrier
Exemple d’algorithme pour passer du calendrier grégorien au calendrier
musulman et inversement
Algorithme 1 : Algorithme de changement d’une date du calendrier
grégorien en jours juliens
Soit A l’année, M le numéro du mois et Q le numéro du jour du mois
Si M > 2, A et M sont inchangés
Si M = 1 ou 2, on remplace A par A-1 et M par M + 12
S = partie entière de (A/100)
B = 2 – S + parie entière de (S/4)
Et enfin, jours juliens = partie entière de (365,25(A + 4716)) + parie entière
de (30,6001(M+1)) + Q + B - 1524
Algorithme 2 : Algorithme de changement d’une date du calendrier
musulman en jours juliens
Jours juliens = partie entière de ((10631*A + 58442583)/30) + partie entière de
((325*M – 320)/11) + Q - 1
28
Algorithme 3 : Algorithme de changement des jours juliens en une date du
calendrier grégorien
Appelons jj les jours juliens, et soit Z la partie entière de jj et F la partie
fractionnaire :
Si Z < 2 299 161, on fait S = Z
Si Z >= 2 299 161
Y = partie entière de ((Z – 1867216,25)/36524,25)
S = Z + 1 + Y – partie entière de (Y/4)
On calcul ensuite
B = S + 1524
C = partie entière de ((B – 122,1)/365,25)
D = parie entière de (365,25*C)
E = partie entière de ((B – D)/30,6001)
Le numéro du jour est donné par
Q = B – D – partie entière de (30,6001*E) + F
Le numéro du mois est donné par
M = E – 1 si E < 14
M = E – 13 si E = 14 ou 15
L’année est donnée par
A = C – 4716 si M > 2
A = C – 4715 si M = 1 ou 2
Algorithme 4 : Algorithme de changement des jours juliens en une date du
calendrier musulman
A = partie entière de ((30*jj – 58442554)/10631)
X = jj – partie entière de ((10631*A + 58442583)/30)
M = partie entière de ((11*X + 330)/325)
Y = X – partie entière de ((325*M – 320)/11)
Q = Y + 1
29
CHAPITRE II :
RESULTATS
30
CHAPITRE II : RESULTATS
II.1- APPLICATION SUR LES COORDONEES EQUATORIALES ET
ECLIPTIQUE
Dans cette application, nous allons calculer les coordonnées équatoriales du soleil le
1er janvier 2012 à 0h UTC, en sachant ses coordonnées écliptiques. Pour cela,
supposons que la latitude du soleil β soit nulle. Tout d’abord rappelons-nous les
formules qui lient les coordonnées équatoriales aux coordonnées écliptiques.
𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜆
𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆
𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑠𝑖𝑛휀 + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆
Si β est nulles, ce système devient :
𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝜆
𝑠𝑖𝑛𝛿 = 𝑠𝑖𝑛휀. 𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠𝛿. 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠휀. 𝑠𝑖𝑛𝜆
La longitude apparente λ du soleil est de 279º 57’ 30’’ et l’obliquité de l’écliptique à
cet instant est de 23º 26’ 12,7’’. Il faut noter que l’ascension droite doit être exprimée
en heure, minute, et seconde d’angle, et la déclinaison en degré, minute et seconde
d’angle :
𝜆 = 279° 57′30′′ = 293, 375°
휀 = 23° 26′12,7′′ = 29,552916°
D’où 𝑠𝑖𝑛𝛿 = −0,4527d’où 𝛿 = 26,9170° = 26° 3′ 40,08′′
𝑡𝑎𝑛𝛼 = 0,8699 d’où 𝛼 = 41,0200° = 2ℎ 44′ 4,8′′
31
II.2- APPLICATION SUR LES COORDONNEES TERRESTRES
Cette application consiste à calculer les coordonnées géocentriques de la ville
d’Antananarivo, connaissant ses coordonnées géographiques (latitude géographique :
18°54′49″ Sud, longitude : 47°32′10″ Est, et altitude : 1274 m). Rappelons tout
d’abord les relations qui lient les coordonnées terrestres :
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑′ = 𝑐𝑜𝑠𝑢 +ℎ
𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑′ = (1 − 𝑓)𝑠𝑖𝑛𝑢 +ℎ
𝑎𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑡𝑎𝑛𝑢 = (1 − 𝑓)𝑡𝑎𝑛𝜑
Sachons que
f = 1/298 ,257222 et a = 6378137 m
𝜑 = 18°54′49″ Sud = 18.9136800 𝑆𝑢𝑑
𝐿 = 47°32′10″Est = 47.5361300 Est
En utilisant les relations qui lient les coordonnées terrestres, on a
𝑡𝑎𝑛𝑢 = −0,00114854 𝑑′𝑜ù 𝑢 = −0,06580
𝑡𝑎𝑛𝜑′ = −0,3426
d’où 𝜑′ = 18,9114599° 𝑆𝑢𝑑
II.3- APPLICATION SUR LES REPERE LOCAUX
Dans cette application, nous allons calculer le temps sidéral local à Antananarivo le
30 mars 2010 à 18h 3mn 42s UTC, l’heure UTC étant le temps moyen de Greenwich.
Sachons que le temps sidéral à Greenwich à 0h UTC est de 12h 29min 7s et la
longitude d’Antananarivo est de 47°32′10″ Est.
Le calcul va se faire en deux étapes. D’abord, nous allons calculer le temps sidéral
local à Greenwich à 18h 3mn 42s UTC. Ensuite, nous allons appliquer la formule
32
𝑇𝐿 = 𝑇𝐺 +1
15𝐿
Où 𝑇𝐿 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 temps sidéral local à Antananarivo le 30 Mars 2010 à 18h 3mn 42s,
𝑇𝐺 est le temps sidéral local à Greenwich le 30 Mars 2010 à 18h 3mn 42s,
L est la longitude d’Antananarivo.
Sachons que le temps sidéral local varie de 24h en 23h 56mn 4s de temps moyen
(23h 56mn 4s = 23,9344h).
18h 3mn 42s étant égales à 18, 0616h. En 23,9344h, le temps sidéral local varie de
24h. Donc en 18,0616h, il varie de 18,1111h. D’où le temps sidéral local de
Greenwich à 18h 3mn 42s :
𝑇𝐺 = 12ℎ 29𝑚𝑛 7𝑠 + 18,1111ℎ = 12,4852ℎ + 18,1111ℎ = 30,5963ℎ
et
𝑇𝐿 = 30,5963ℎ + 1
1547.5361300ℎ = 33,7653ℎ
II.4- APPLICATION SUR LA MESURE DE DISTANCES
Dans cette application, nous allons calculer le demi-grand axe d’Uranus en utilisant
la troisième loi de Kepler. D’après la troisième loi de Kepler, le cube du demi-grand
axe « a » d’une orbite planétaire, divisé par le carré de la période de révolution
sidérale «T» est une constante pour toutes les planètes du système solaire.
𝑎3
𝑇2= 𝑐𝑡𝑒 =
𝑎𝑡3
𝑇𝑡2 𝑜ù 𝑎𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑖 − 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑎𝑥𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒 𝑒𝑡 𝑇𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒
D’où 𝑎𝑢3 = 𝑇𝑢
2 ×𝑎𝑡
3
𝑇𝑡3
Donc 𝑎𝑢 = √𝑇𝑢2 ×
𝑎𝑡3
𝑇𝑡3 ,
𝑎𝑢 Désignant le demi-grand axe d’Uranus, et 𝑇𝑢 sa période de révolution.
Numériquement, 𝑎𝑢 = 2 870 658 186 𝑘𝑚.
33
II.5- APPLICATION SUR LE CHANGEMENT DE CALENDRIER
Convertissons par exemple la date 21 Avril 2016 du calendrier Grégorien en une date
du calendrier Musulman. Pour cela, nous allons utiliser l’algorithme 1 et 4 que nous
avons vu dans le chapitre consacré à la méthodologie.
En suivant l’algorithme 1, nous avons:
M = 4, A = 2016, Q = 21
S = partie entière de (A/100) = 20
B = 2 – S + parie entière de (S/4) = 486
Et nous obtenons: jours Juliens = partie entière de (365,25(A + 4716)) + parie entière
de (30,6001(M+1)) + Q + B – 1524 = 2458863 + 153 + 21 + 486 – 1524 = 2457999.
En suivant maintenant l’algorithme 4, nous avons:
A = partie entière de ((30*jj – 58442554)/10631) = 1438
X = jj – partie entière de ((10631*A + 58442583)/30) = 334
M = partie entière de ((11*X + 330)/325) = 12
Y = X – partie entière de ((325*M – 320)/11) = 9
Q = Y + 1= 10
D’où, 21 Avril 2016 du calendrier Grégorien = 10 décembre 1438 du calendrier
musulman.
34
CHAPITRE III :
DISCUSSION
35
CHAPITRE III : DISCUSSION
Dans ce dernier chapitre, nous allons mettre en valeur l’essence de ce livre. Pour ce
faire, nous allons apporter notre analyse et notre discussion sur le concept du temps
et des calendriers à partir de la mécanique céleste. En effet, nous allons voir les
variations sur la mesure du temps en fonction des repères choisies.
Comme notion de temps astronomiques, nous avons vu la durée d’un jour, le mois et
l’année. Dans tous les concepts de temps que nous avons vu auparavant, nous avons
pu constater deux grandes catégories de temps : le temps mesuré à partir d’une
direction fixe (temps sidéral) et le temps mesuré à partir d’une direction mobile.
Nous allons apporter notre discussion alors sur la différence entre les deux catégories
de temps du point de vu de la mécanique céleste. Considérons en premier la durée
d’un jour, nous avons vu le jour sidéral et le jour solaire. Sachons que le jour sidéral
vaut 23h 56mn 4s, soit 23.934h et le jour solaire vaut en moyenne 24h.
L’augmentation pour la valeur du jour solaire est due au fait que la terre se déplace
par rapport au soleil pendant qu’elle tourne sur elle-même. Tandis que pour le jour
sidéral, sa valeur peut être trouvée à partir des lois de Kepler. Nous avons dit aussi
que la valeur de 24h pour le jour solaire est une valeur moyenne. La variation de
cette valeur est surtout causée par l’ellipticité de l’orbite terrestre, du point de vu de
la mécanique céleste, la terre tourne vite quand elle est proche du soleil.
Nous allons voir maintenant la durée d’un mois, nous avons vu deux types de durés
pour le mois : le mois sidéral qui vaut 27,32jours (durée mesurée à partir d’une
direction fixe) et le mois synodique qui vaut 29, 5305882jours. L’augmentation de la
valeur pour le mois synodique est causée par le déplacement de la terre sur son orbite
autour du soleil, mais ce déplacement est négligeable par rapport à la direction d’une
étoile fixe dans le ciel.
Nous allons voir maintenant la durée d’une année. A ce propos, nous avons vu quatre
types d’années : l’année sidérale, qui vaut 365jours 6h 9mn 10s, l’année tropique qui
vaut 365jours 5h 48mn 45s, l’année anomalistique qui vaut 365 jours 6h 13mn 53s et
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l’année draconitique qui vaut 346 jours 14h 24 mn. Nous pouvons constater que ces
quatre types d’années sont tous différents en fonction de la direction choisie pour
faire la mesure. Nous allons nous intéresser au plus sur l’année tropique, car c’est
l’année utilisée dans les calendriers solaires. L’année tropique est une durée mesurée
à partir de la direction du point vernal, alors que le point vernal se déplace. Ce
déplacement est causé par le mouvement de précession et de nutation, donc nous
devons apporter une correction sur la mesure de l’année tropique. En brefs alors la
mesure du temps dépend du repère choisi et que toute durée mesurée à partir d’une
direction fixe dans l’espace peut être calculée à partir des lois de Kepler.
Comme nous venons de parler des notions de temps, dans le cadre de la mécanique
céleste classique, nous pouvons aussi parler des notions de temps du point de vu un
peu plus théorique en parlant de la relativité restreinte. Par exemple, la définition de
la durée d’un jour, la durée d’un mois, la durée entre les deux passages du soleil par
le méridien, la durée entre la succession répétitive d’un phénomène astronomique
(éclipse, phase lunaire, etc.), la notion de temps utilisée était universelle et constante,
c’est à dire que la mesure du temps est indépendante du référentiel dans lequel on fait
la mesure, ou encore, la vitesse de rotation d’une horloge est toujours la même
quelque soit le référentiel de mesure de temps. Nous pouvons donc dire par exemple
que la durée d’une heure sur terre est la même que la durée d’une heure sur la lune.
Mais vers la fin du 19eme siècle, suite à une découverte sur la confrontation entre la
mécanique classique et l’électromagnétisme, Albert Einstein a réussi à établir la
théorie de la relativité, dans laquelle il affirme la relativité entre le temps et l’espace,
c'est-à-dire que le temps et l’espace sont dépendants l’un de l’autre. Dans le chapitre
méthodologie, nous avons défini la notion de temps interprété par la relativité
restreinte à l’aide la transformation de Lorentz :
𝑥′ = Γ(𝑥 − 𝑣𝑡)
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ = Γ(𝑡 −𝑣
𝑐2𝑥)
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𝑎𝑣𝑒𝑐 Γ =1
√1 −𝑣2
𝑐2
Dans les transformations classiques 𝑡 = 𝑡′, ce qui est différent de celle de la
transformation de Lorentz. Nous avons vu également, dans le chapitre méthodologie
sur cette notion de temps défini par la relativité restreinte, que si on considère deux
événements se passant au même endroit mais à deux instants différents, on peut
constater que la durée entre ces deux événements n’est pas la même selon le
référentiel de mesure.
Nous pouvons donc dire que d’après cette théorie, le temps mesuré dans un
référentiel au repos n’est pas le même que celui qui est mesuré dans un référentiel en
mouvement. Autrement dit, le temps et l’espace sont donc relatifs.
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CONCLUSION
Cette étude nous a permis de mettre en évidence les notions de temps et des
calendriers à partir de la mécanique céleste. En effet, l’homme a mesuré le temps
auparavant à l’aide de la périodicité des phénomènes naturels tels que le lever du
soleil, les phases lunaires, la répétition des saisons chaque année etc. tout en sachant
que ces phénomènes sont tous d’origine astronomique, c'est-à-dire qu’ils trouvent
leurs origines dans les mouvements des astres : d’où la définition du temps et des
calendriers à partir de la mécanique céleste.
Ainsi nous avons défini la durée d’un jour en un lieu donné comme étant la durée
écoulée entre les deux passages successifs du soleil par le méridien du lieu. Cette
durée varie tout au long de l’année selon les saisons ou plus précisément selon les
différentes positions de la terre par rapport au soleil sur sa trajectoire. Nous avons
aussi défini la durée d’un mois comme étant la durée écoulée entre deux nouvelles
lunes successives. Cette durée varie aussi tout au long de l’année à cause de la
variation de la distance de la terre par rapport au soleil, car d’après les lois de Kepler,
la trajectoire de la terre autour du soleil est une ellipse dont le soleil occupe l’un des
deux foyers. En outre, nous avons défini la durée d’une année comme étant la durée
écoulée pendant que la terre ait fait un tour complet du soleil. C’est ainsi qu’on peut
distinguer quatre types d’années selon l’origine à partir de laquelle on compte le
début de l’année : l’année sidérale, l’année tropique, l’année anomalistique et l’année
draconitique.
Une fois les notions de temps définies, on a pu définir ensuite les calendriers. Nous
avons vu qu’il existe deux grandes catégories de calendriers, à savoir les calendriers
lunaires qui sont établis à partir des phases lunaires, et les calendriers solaires qui
sont basés sur les mouvements de la terre autour du soleil. La durée d’une année
utilisée dans les calendriers est celle de l’année tropique, qui est de 365j 5h 48mn
45s.
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BIBLIOGRAPHIE
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[4] H. Goldstein: Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, 1980;
[5] Tisserand, Traité de mécanique céleste, Gauthier-Villars, 1960 ;
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Editions frontières, 1990
WEBOGRAPHIE
[1] https://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_mctc/impression.html
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[2] https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_c%C3%A9leste
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[3] http://astronomie.coursgratuits.net/mecanique-celeste/
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[4] http://www.astrosurf.com/quasar95/exposes/mecanique_celeste.pdf
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[5] https://lagrange.oca.eu/IMG/pdf/Meca1_-_L1_-_Ch-_Benoist_-_notes.pdf
Consultée le 01/06/16
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TITRE : Utilisation des repères astronomiques pour définir le temps et les
calendriers
RESUME :
Le présent mémoire a pour but de définir les notions de temps et de calendriers à
partir de la mécanique céleste. Nous avons défini le temps selon les aspects
dynamiques du mouvement de la terre, c'est-à-dire la nature de sa trajectoire, la
variation de sa vitesse de rotation, les mélanges de mouvements tels que la
précession et la nutation. Ces aspects dynamiques sont démontrés à partir de lois
physiques telles que les lois de Kepler. Une fois le temps défini, on a défini les
calendriers.
Mots clés : temps et calendriers, mouvement de précession, lois de Kepler, lunaison,
année.
TITLE: Use of astronomical markers to set time and calendars
ABSTRACT:
This memory aims to define the notions of time and calendars from celestial
mechanics. We have defined the notion of time according to the dynamic aspects of
the movement of the earth, that is to say, the nature of its trajectory, the change of its
rotation speed, the mixture of movements such as precession and nutation. These
dynamic aspects are demonstrated from the physical rules such as Kepler's laws.
Once the time has been set, calendars were defined.
Keywords: time and calendars, precession motion, Kepler's laws, lunation, year
L’impétrant :
Nom : RAKOTOARISOA
Prénom : Heriniaina Hasina
Téléphone : +261331160094
E-mail : [email protected]
L’encadreur :
Monsieur RAKOTOMALALA Minoson Sendrahasina
Professeur Titulaire à l’Université d’Antananarivo