1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ – CERES

Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas – DCEA

Programa Institucional de Iniciação à Docência – PIBID/CERES

Área: Matemática

USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO RECURSO DIDÁTICO PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DA

MATEMÁTICA

Davidson Paulo Azevedo Oliveira – IFMG

Maria Maroni Lopes – UFRN

Local: Laboratório de Matemática – CERES/UFRN

17/04/2013

2

USO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO RECURSO

DIDÁTICO PARA O ENSINO APRENDIZAGEM DA

MATEMÁTICA

APRESENTANDO O SOFTWARE GEOGEBRA

O GeoGebra é um software dinâmico, para ser utilizado em ambiente

de sala de aula, que reúne Geometria, Álgebra, Cálculo e Estatística. Foi

desenvolvido por Markus Horenwarter e Judith Preiner para ser empregado

principalmente no ensino de Matemática nas escolas básicas e secundárias na

universidade Atlantic University - Florida. O GeoGebra reúne as

características de um software de Geometria Dinâmica, admite construir

vários objetos como pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas,

gráficos de funções e curvas parametrizadas, os quais podem, depois, serem

modificados dinamicamente. Permite, ainda, a introdução de equações e

coordenadas, digitando-se diretamente na sua caixa de entrada. O software

apresenta três diferentes janelas: gráfica, algébrica ou numérica, e a folha de

cálculo. Elas permitem mostrar os objetos matemáticos em três diferentes

representações: graficamente (pontos, gráficos de funções), algebricamente

(coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Assim,

todas as representações do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e

adaptam-se automaticamente às mudanças realizadas em quaisquer delas,

independentemente da forma como esses objetos foram inicialmente

construídos.

TELA INICIAL DO GEOGEBRA.

Site para download: http://www.geogebra.org/cms.

1.1 TUTORIAL

Site para download: http://www.geogebra.org/cms.

Recursos:

Barra de Ferramentas

Caixa de

Entrada

Janela

Algébrica

Janela Gráfica

Planilha.

3

Visualização interativa entre as janelas algébrica (geométrica) e

gráfica

Construções dinâmicas que permitem ao usuário interagir com o

objeto de estudo.

Criação de Applets

Alguns Comandos Definidos

Comandos Função do Comando

* Multiplicação

^ Potenciação

sin( x) Traça o gráfico da função seno

cos(x) Traça o gráfico da função cosseno

tan( x) Traça o gráfico da função

tangente

abs( ) Módulo

exp(x) Calcule e elevado a x

PI Utiliza o valor numérico de PI

! Fatorial

log(b, x) Logaritmo de x na base b

sqrt( ) Raiz quadrado

Quadro 1 – Comandos do GeoGebra.

Fonte: Arquivo da professora.

1.2 COMO INSTALAR DO SOFTWARE GEOGEBR

Acesse o site: http://www.geogebra.org/cms.

Faça o download do GeoGebra, de acordo com o sistema

operacional presente no computador, salvando o arquivo

GeoGebra.

Execute o arquivo GeoGebra e siga as instruções de instalação.

1.3 UTILIZANDO AS FERRAMENTAS DO GEOGEBRA

Ao iniciar o software, será aberta uma tela inicial com a

interface de trabalho. Essa interface do GeoGebra apresenta

elementos comuns aos softwares que funcionam em ambiente

Windows.

4

O menu principal, apresenta acesso a várias ferramentas,

conforme quadro 2. Ao se clicar sobre cada uma dessas opções,

aparecerá uma caixa de diálogo contendo novos comandos a serem

escolhidos.

Quadro 2: Barra de Ferramentas do GeoGebra

Abaixo do menu principal existem onze botões de desenho.

Cada um deles, quando selecionado em seu canto inferior direito, dá

acesso a uma novo grupo de ferramentas.

Figura 2 – Ferramentas de desenho

Construção do gráfico da função afim sendo fornecidos os

valores dos parâmetros a e b.

a) Construa, no GeoGebra, as funções afim a seguir.

xxf 2)( 1)( xxg xxh 2)(

Observe que as funções estão variando. Como esta variação afeta

a representação gráfica? Como sua observação poderia ser

confirmada?

Construindo gráficos da Função Afim.

a) Insira os parâmetros a e b. Para isso, clique no botão . Após

clicar nesse botão, aparecerá a seguinte janela:

Arquivo Editar Exibir Opções Ferramenta janela Ajuda

ATIVIDADES

ATIVIDADE 1

5

Nesta janela, deve-se indicar o intervalo de variação para os parâmetros

e também o incremento (o incremento é a variação dos parâmetros, neste

caso ela varia de 0.1 em 0.1, mas você pode indicar o valor que desejar

podendo este incremento ser um número natural, inteiro, real). Proceda

da mesma forma para inserir o parâmetro b.

b) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a

cor de cada um dos coeficientes. Dando dois cliques sobre cada

parâmetro, aparecerá a seguinte janela.

Selecione a opção Cor e defina a cor desejada. Além disso, pode-

se mudar a espessura do parâmetro, para isso, clique em Estilo e

selecione a espessura desejada. Depois clique no botão Fechar. Ao fazer

isso, os parâmetros modificarão suas cores e espessura.

c) Insira no campo de entrada a função baxxf )( .

Para inserir a função, clique no campo de entrada

(o campo de entrada encontra-se na

parte inferior da interface do GeoGebra) e digite a função

baxxf )( , utilizando a seguinte sintaxe f(x)=a*x + b . (OBS.: a

multiplicação é indicada por asterisco “*”).

6

d) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore as

propriedades (cor e estilo). Varie cada um dos parâmetros e anote o que

acontece. (Para variar os parâmetros, clique em ). Logo após,

clique sobre a “bolinha” e deslize.

e) Movimente um parâmetro variável por vez (fixe b e movimente a,

fixe a e movimente b). O que acontece quando fixamos o parâmetro b e

variamos o a? O que acontece quando fixamos o parâmetro a e variamos

o b? Quais as características das retas representadas?

f) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos,

separadamente:

i) Digite “Função Crescente”; ii) “Função Constante”; iii) “Função

Decrescente”. Para INSERIR TEXTO, clique em . Em seguida,

abrirá a janela:

Feito isso, selecione a opção Inserir Texto. Depois clique com o botão

esquerdo do mouse sobre a janela gráfica do GeoGebra. Ao clicar sobre

a janela gráfica, aparecerá a seguinte janela:

Digite nesta janela que abriu “Função Crescente”. Em seguida, clique no

botão aplicar. Ao clicar no botão aplicar, a expressão “Função

7

Crescente” aparecerá escrita na janela gráfica do GeoGebra. A figura a

seguir ilustra essa situação.

Depois clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função

Crescente” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite na

condição para mostrar objeto “a>0”. Em seguida, clique com o botão

direito do mouse sobre o texto “Função Constante” vá até propriedades e

selecione a opção Avançado e digite na condição para mostrar objeto

“a=0” (OBS: para este caso a opção” ” deverá ser selecionada, que

está no menu e representa a Relação entre dois objetos). E por

último, clique com o botão direito do mouse sobre o texto “Função

Decrescente” vá até propriedades e selecione a opção Avançado e digite

na condição para mostrar objeto “a<0”. Agora, movimente os

coeficientes e veja que conforme as variações sofridas pelo coeficiente

a, teremos uma função crescente, constante ou decrescente.

Construindo gráficos da Função Quadrática

1) Insira os parâmetros a, b e c. Para inserir os parâmetros, proceda

como na Atividade anterior.

2) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a

cor de cada um dos coeficientes bem como suas espessuras (estilo).

3) Insira no campo de entrada a função cbxaxxf ²)( . (OBS:

Digite no campo de entrada a função utilizando a seguinte sintaxe:

f(x)=a*x^2 + b*x + c.

4) Clique com o botão direito do mouse sobre a representação gráfica da

função e explore as propriedades (cor e estilo).

5) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece. Qual o

comportamento da representação gráfica quando o coeficiente a assume

ATIVIDADES 2

8

valores: positivos, nulo e negativos? OBS: Lembre-se que para variar os

parâmetros, basta arrastar a “bolinha” para a direita ou para a esquerda.

6) Movimente um coeficiente por vez (fixe b e c e movimente a, fixe a e

c e movimente b e fixe a e b e movimente c). O que acontece em cada

um dos casos?

7) Utilizando o recurso INSERIR TEXTO, insira os seguintes textos,

separadamente: i) Digite “Concavidade voltada para cima”; ii)

“Concavidade voltada para baixo”. Dica: Faça como na atividade

anterior, ao inserir Função Crescente, Constante e Decrescente. Além

disso, lembre-se de indicar as condições que determinam quando a

parábola tem concavidade voltada para cima ou concavidade voltada

para baixo.

Construção do gráfico da função exponencial sendo

fornecidos os valores da base

a) Construa no GeoGebra as funções exponenciais a seguir.

xxf 2)( xxg 3)(

xxh 4)(

Para isso, digite no campo de entrada as funções utilizando a seguinte

sintaxe: f(x) = 2^x; g(x) 3^x; h(x) = 4^x.

Observe que as bases das funções estão variando. Como esta

variação afeta a representação gráfica? Como sua observação poderia ser

confirmada?

b) Agora, construa as funções a seguir.

x

xf

2

1)(

x

xh

3

1)(

x

xg

4

1)(

Observe que as bases das funções estão variando. Como esta variação

afeta a representação gráfica? Justifique.

Comparando as atividades a e b, escreva as semelhanças e diferenças

encontradas nos gráficos.

Por que você acha que ocorrem estas diferenças?

ATIVIDADES 3

9

Analise o que acontece com os gráficos das funções, em que

ponto as funções cortam o eixo das ordenadas?

Marque a intersecção entre o gráfico e o eixo dos y e exiba nome e valor

do ponto de intersecção.

Para isso, selecione na barra de tarefas a opção Interseção de Dois

Objetos conforme ilustrado na figura a seguir.

O item selecionado deverá ficar conforme mostrado a seguir.

Para destacar o ponto de interseção faça como sugestão do software,

selecione a função e o eixo das ordenadas.

O valor é o mesmo para todos os gráficos? Justifique porque isso

acontece?

Represente graficamente as funções abaixo, num mesmo

plano cartesiano.

a) xxf 2)( 12)( xxg 22)( xxh

Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças

encontradas. O que você observou? Por que ocorrem essas diferenças?

Como sua observação poderia ser confirmada?

b) xy 2

xy 22 xy 23

Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças

encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças?

Como sua observação poderia ser confirmada?

c) xy 2

xy 22 xy 32

ATIVIDADES 4

10

Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças

encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças?

Como sua observação poderia ser confirmada?

d)

x

y

2

1 1

2

1

x

y 22

1

x

y

Comparando os gráficos, escreva as semelhanças e diferenças

encontradas. Por que você acha que ocorrem essas diferenças?

Como sua observação poderia ser confirmada?

e) Considere a função xay , o que acontece com ela quando

você varia o valor de a?

f) Considere a função xaky , o que acontece quando você

varia o valor de k?

g) Considere a função caky x , o que acontece quando

você varia o valor de c?

.

Construa o gráfico da função baxf )(

(Para construir esse gráfico utilizaremos um recurso do software

chamado controle deslizante).

Na barra de tarefas selecione o item controle deslizante.

Faça como está indicado no GeoGebra, ou seja, clique na área de

trabalho para especificar a posição do seletor.

Aparecerá a seguinte imagem.

ATIVIDADES 5

11

Altere o intervalo mínimo e máximo, variando-os com um intervalo

maior.

Faça o mesmo para o parâmetro b.

Definidos os parâmetros e representada a função graficamente reflita:

a) Se movimentarmos o seletor e variarmos o valor de a o que

acontece com o comportamento da função?

b) Marque a interseção entre o gráfico e o eixo das ordenadas

como ensinado anteriormente, movimente novamente o seletor

a e veja o que você pode observar. Justifique sua resposta.

c) Quais as alterações acontecem se movimentarmos o seletor b?

Justifique.

d) Observe se os gráficos construídos cortam o eixo das

abscissas? Justifique sua resposta.

Uma substância se decompõe, aproximadamente, segundo a lei

tktQ 5,02)( em que k é uma constante, t indica o tempo (em

minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em gramas) no

instante t.

a) Faça, no GeoGebra, o gráfico que representa essa situação e que

se encontra a seguir.

b) Qual a quantidade de substância (em gramas) após 6 minutos de

iniciado o processo de decomposição?

c) Se na representação algébrica, a base é um número maior do que

1, como você explica o fato da função ter como representação

gráfica uma curva decrescente?

ATIVIDADES 6

12

Criando gráficos de Função Logarítmica

1) Insira os parâmetros a e b.

2) Explore as propriedades do objeto (botão direito do mouse), mude a

cor de cada um dos coeficientes (ou parâmetros)

3) Insira no campo de entrada a função f(x)=a*log(b*x)

4) Clique com o botão direito do mouse sobre a função e explore as

propriedades (cor e estilo).

5) Varie cada um dos parâmetros e anote o que acontece.

6) Com o botão direito sobre o gráfico de f habilite a opção

HABILITAR RASTRO.

7) Movimente um coeficiente por vez (fixe b e movimente a, fixe a e

movimente b).O que acontece quando variamos o parâmetro b ? O que

acontece quando variamos o parâmetro a?

REFERÊNCIAS

ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C. C.. Explorando tópicos de

matemática do ensino fundamental e médio através do GeoGebra.

Disponível em: <http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/60.pdf>. Acesso em:

08 jun. 2009.

KENSKI, V. M. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. 5.

ed. Campinas, SP.Papirus, 2009. 141 p.

ATIVIDADES 7

13

HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J.. Ajuda GeoGebra: Manual

Oficial da Versão 3.2. Tradução e adaptação para português António Ribeiro,.

Disponível em: <http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf>. Acesso em:

12 jul. 2009.

LOPES. M. M. Construção e Aplicação de uma Sequência Didática para o

Ensino de Trigonometria Usando o software GeoGebra. 123 f. Dissertação

(Mestre) - Curso de Ensino de Ciências Naturais e Matemática, Departamento

de Matemática, UFRN, Natal, 2010.

OLIVEIRA, D. P. A ;LOPES, M. M. O uso do software GeoGebra como

recurso didático para o ensino e aprendizagem de função. In:

Conferência latino-americana de GeoGebra, PUC,São Paulo, 2011.