USMP guia de trigo y geo pre
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Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes
CICLO REGULAR 2014 – II
PUEBLO LIBRE 2014
MANUAL DE LA ASIGNATURA
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
2
ÍNDICE DE CONTENIDO
UNIDAD DE APRENDIZAJE I: ÁNGULOS, TRIÁNGULOS, LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Y CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS PRIMERA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Ángulos: Clasificación. Teoremas y propiedades elementales ............................. 4 SESIÓN 02: Seminario Práctico ............................................................................................................ 8
SEGUNDA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Triángulos: clasificación. Teoremas elementales ............................................... 12 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 14
TERCERA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Líneas notables en un triángulo. ........................................................................ 18 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 21
CUARTA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Congruencia de triángulos. ................................................................................ 23 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 27
UNIDAD DE APRENDIZAJE II: CUADRILÁTEROS, CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO,
PERÍMETRO, ÁREA Y POLIEDROS
QUINTA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Cuadriláteros: paralelogramos, trapecios ........................................................... 30 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 33 SEXTA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Circunferencia y círculo: elementos y propiedades. ........................................... 36 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 43 SÉPTIMA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Perímetro y área: circunferencia, triángulos, círculos y cuadriláteros ................. 49 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 56
3
OCTAVA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Poliedros: ángulos diedro y triedro. .................................................................... 60 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 65 UNIDAD DE APRENDIZAJE III: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOVENA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Razones trigonométricas ................................................................................... 67 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 70 DÉCIMA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Reducción al primer cuadrante. ......................................................................... 78 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 83 DÉCIMA PRIMERA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Identidades trigonométricas ............................................................................... 84 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 92 DÉCIMA SEGUNDA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Resolución de triángulos rectángulos................................................................. 95 SESIÓN 02: Seminario Práctico ......................................................................................................... 100
4
UNIDAD I: ÁNGULOS, TRIÁNGULOS, LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Y CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
PRIMERA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: ÁNGULOS
DEFINICIÓN.
Se llama ángulo, a la reunión de dos rayos
que tienen el mismo origen sin que se
encuentren en la misma línea recta.
Elementos: Vértice : O
Lados :
OA y
OB
Notación:
AOB: se lee, ángulo AOB
1.1. MEDIDA DE UN ÁNGULO. Un ángulo se mide con un instrumento llamado transportador, el cual señala la cantidad de grados sexagesimales
que indican su medida. (mAOB = )
1.2. DE UN ÁNGULO. BISECTRIZ
Es el rayo que divide al ángulo en dos, de igual medida.
𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =Bisectriz
1.3. CLASIFICACIÓN. 1.3.1. Según su medida:
Ángulo Agudo: Su medida es menor
que 90°.
Ángulo Recto: Su medida es igual a
90°.
Ángulo Obtuso: Su medida es mayor
que 90°
Recto Agudo Obtuso
Observaciones:
1) La medida de un ángulo
geométrico es mayor que 0° y
menor que 180°.
2) Cuando los lados del ángulo están
en sentidos contrarios, éste
degenera en recta.
1.3.2. Según la suma de sus medidas:
Ángulos Complementarios: Son dos
ángulos cuya suma de medidas es 90°.
0° << 180°
5
Ángulos Suplementarios: Son dos
ángulos cuya suma de medidas es 180°.
Observaciones:
1) El complemento de un ángulo se
denota como C .
2) El suplemento de un ángulo se
denota como S .
Ejemplo (1): El complemento de 41°es
Resolución: C41° = 90°- 41°= 49°
Ejemplo (1): El suplemento de 120°es
Resolución: S120° = 120° - 60° = 60°
1.3.3. Según su posición:
Ángulos adyacentes: Tienen el mismo
vértice, un lado común y los otros en
semiplanos distintos.
Ángulos Consecutivos: Son los que se
encuentran uno a continuación de otro.
Par Lineal: Son dos adyacentes, cuyas
medidas suman 180º.
Ángulos opuestos por el vértice: Son
aquellos en que los lados de uno son los
opuestos de los lados del otro.
Ángulos adyacentes
Los ángulos AOB y BOC son
adyacentes.
Ángulos Consecutivos
Los ángulos AOB, BOC, COD y
DOE son consecutivos
Par Lineal
α+β=180°
Ángulos opuestos por el vértice
x = y
x =y
+ = 180°
6
Observación:
a)
b)
y
xz
w
1.4. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS
PARALELAS Y UNA SECANTE A
ELLA.
Si las rectas L1 y L2 son paralelas y L3
es una secante a ellas, tendremos las
relaciones entre pares de ángulos:
1.4.1. Ángulos alternos
Ubicados a uno y otro lado de la
secante, en su intersección con
cada paralela; tienen igual medida.
Pueden ser:
. Alternos internos: = = .
. Alternos externos: = = .
1.4.2. Ángulos correspondientes
Los que tienen sus lados dirigidos
en el mismo sentido. Miden igual:
= ; = ; = ; = .
1.4.3. Ángulos conjugados
Ubicado a un mismo lado de la recta
secante y en su intersección con
cada paralela. Son suplementarios.
. Conjugados internos:
+ = 180° ; + = 180°.
. Conjugados externos:
+ = 180° ; + = 180°.
1.5. TEOREMAS.
1.5.1. Si
21 LL // , entonces:
1.5.2. Si
21 LL // , entonces:
+ + + = 180°
x + y + z + w = 360°
x = +
x = 2y
7
1.5.3. Si
21 LL // , entonces:
1.5.4. Si
21 LL // , entonces:
1.6. ÁNGULOS DE LADOS
PARALELOS.
Si estos están dirigidos en el mismo
sentido o en sentidos contrarios, son
congruentes.
Si estos están dirigidos unos en el
mismo sentido y los otros dos en
sentidos contrarios, son
suplementarios.
1.7. ÁNGULOS DE LADOS
PERPENDICULARES.
Si ambos son obtusos o agudos, tienen
igualmedida. Si uno es agudo y el otro
obtuso, son suplementarios.
+ + + + = 180°
x + y = + +
=
+ = 180°
=
=
= =
=
+ = 180°
8
PRIMERA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ÁNGULOS QUE SE INDICAN A
CONTINUACIÓN:
01.- De la figura calcule el valor de “x”, si la mAOD = 120º y la mBOC = 20’.
02.- En la figura mAOX = 130º y OX es bisectriz del ángulo BOC. Calcule la mAOB.
03.- Del gráfico determine el valor de “x”
04.- Si: mAOC + mBOD = 130º, calcule “x”
x°
A B
C
D O
x° 2°
5°
D
C
B A
O
3x° 2x°
C
X B
O A
ÁNGULOS
ACTIVIDAD N°1
9
05.- Calcule “x”, si - = 6º
06.- Si el complemento de “” y el suplemento de “” suman 70°, calcule “x”.
07.- En la figura, calcule el ángulo “x”, si: mBON=22°, ON es bisectriz de AOX y OM es
bisectriz de AOX’.
08.- Calcule “x” en la figura, si: mPOR=100°
09.- En la figura, calcule “+”; si el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90º.
°
°
x°
x° °
°
120°
10
B. A PARTIR DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS PROCEDA A PLANTEAR LOS
PROBLEMAS Y RESUELVA.
10.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuyas medidas son proporcionales
a 4; 3 y 5 respectivamente, tal que la mAOD=120º. Calcule la mAOC.
11.- Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC de manera que OM es bisectriz del ángulo
BOC.
Si la mAOB + mAOC = 136º. Calcule la mAOM.
12.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC en donde se trazan las bisectrices OM y
ON de los ángulos AOB y MOC respectivamente, halle la mNOB, si:
mAOC – 3mAOM = 36º. ( BOC >AOB)
13.- Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan OX, OY y OZ bisectrices de
los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Halle mBOZ, si: mBOY - mAOX =
36°.
14.- Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan la bisectriz OM y ON de
AOC y BOD. Halle mMON, si: mAOB + mCOD = 152°.
15.- Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento resulta 20º. ¿Cuánto mide
dicho ángulo?
16.- Las medidas de dos ángulos complementarios están en la relación de 4 a 5. Calcule el
suplemento del mayor.
17.- La suma de las medidas de dos ángulos es 60º y si el complemento del primero es el
doble del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
18.- Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye su complemento para
agregárselo al otro: éste nuevo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda del primero.
Calcule el menor de dichos ángulos suplementarios.
19.- Si: se cumple: x 2xCCC SSSSS 210º
Halle el complemento de “x”
20.- Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento. ¿Cuál es la medida
del ángulo?
11
C. RESUELVA LOS PROBLEMAS DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS QUE SE
INDICAN A CONTINUACIÓN:
21.- Halle “x”
22.- Halle “”
23.- Halle “x”
24.- Halle “x”
25.- Halle “x”
26.- Si: L1//L2 , halle “”
27.- Halle “x”
28.- Halle “y”
29.- Si: L1// L2 , halle “x”
30.- Halle “x” en la figura:
12
SEGUNDA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN.
El triángulo es la figura formada por la
unión de los tres segmentos determinados
al unir tres puntos no colineales.
Elementos:
Vértice : A, B y C
Lados : CA y BC AB,
Notación:
ABC: se lee, triángulo ABC
Observación:
El perímetro del triángulo indica la suma
de longitudes de los lados y se simboliza
generalmente como 2p.
Así: 2p = AB + BC + AC, de donde:
AB BC AC
2p
es el semiperímetro.
1.1. CLASIFICACIÓN.
1.1.1. POR SUS LADOS
Triángulo Escaleno: No tiene lados
congruentes.
Triángulo Isósceles: Tiene dos lados
congruentes; el tercero se llama base y los
ángulos en la base son congruentes.
Triángulo Equilátero: Tiene sus tres lados
congruentes. Cada ángulo interior mide
60°.
Triángulo Triángulo Triángulo
Escaleno Isósceles Equilátero
1.1.2. POR SUS ÁNGULOS
Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo
recto. El mayor lado se llama hipotenusa
y los otros, catetos.
Triángulo Oblicuángulo: No tiene
ángulo recto. Se llama acutángulo si sus
tres ángulos interiores son agudos y
obtusángulo si un ángulo interior es
obtuso.
Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
13
x
1.2. TEOREMAS BÁSICOS.
a) Las medidas de los tres ángulos
interiores suman 180°
b) Cada ángulo exterior mide igual
que la suma de dos interiores no
adyacentes a él.
c) Las medidas de los tres ángulos
exteriores, uno por cada vértice,
suman 360°.
d) Cualquier lado es mayor que la
diferencia de los otros dos y menor
que la suma de ellos.
Si a b c,
entonces:
e) En un mismo triángulo: A mayor
ángulo se opone mayor lado, y
viceversa.
Si
entonces:
1.3. TEOREMAS AUXILIARES.
+ + = 180°
= +
+ + = 360°
c – a< b < c + a
>
b > a
x = + +
+ = +
14
SEGUNDA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS QUE SE INDICAN A
CONTINUACIÓN:
01.- Halle: m ABC
02.- Si: AB=BC=BD, calcule "x+y"
03.- De la figura, determine entre qué
valores se encuentra “x”
04.- Halle: m RBC. Si: BR=BC.
05.- En la figura, halle: m ABC.
06.- En la figura AP es bisectriz del ángulo
"A". Halle: m ABC.
TRIÁNGULOS
ACTIVIDAD N°1
15
07.- En un triángulo ABC, se traza BP ("P"
está en ÁC) de tal manera que: BP=PC.
Halle la medida del ángulo ABC, sabiendo
además que:
m ABP – m BAC = 40°
08.- Calcule "++"
09.- Calcule "x"
10.- En la figura el triángulo ABC es
equilátero. Calcule su perímetro, si:
AB = 2x + 1 y BC = 3x - 2.
11.- Calcule el mayor valor impar de "x'".
12.- Calcule el menor valor entero de "x".
13.- Calcule "x"
14.- Calcule "x"
15.- Calcule "x'", si: AC = BC
16.- Los lados de un triángulo isósceles
miden 5u y 13u. Halle su perímetro.
17.- Calcule "x"
16
18. Calcule "x'", si: AB = BC = AD.
19.- En un triángulo las longitudes de dos
lados son 7u y 8u respectivamente. Halle el
perímetro del triángulo, si la longitud del
tercer lado es el doble de la longitud de uno
de los otros lados.
20.- Dos lados de un triángulo miden 8 y
15. Determine el mínimo valor entero del
tercer lado; si su ángulo interior opuesto es
obtuso.
21.- Si en el gráfico: AB=BD=DE=EC,
calcule “x”
22.- Las longitudes de los lados de un
triángulo están en progresión aritmética de
razón 11. Halle el mínimo valor entero que
puede asumir el perímetro del triángulo.
23.- Halle “x”
24.- En el gráfico, x+y = 260º, calcule
aº+bº+cº+dº
25.- En el gráfico el triángulo ABC es
equilátero. mBCD = 90º y BC = CD.
Calcule mADB
26.- Calcule “” de la figura, si: AB=BC=BD
27.- En el gráfico, halle “x”.
Si: AB = BC = AD
17
28.- En el gráfico: DE = EC = CF = FG.
Calcule: “”
29.- En el gráfico, calcule x – y
30.- Según la figura AD y BE son
bisectrices de los ángulos BAC y HBC
respectivamente y mAPB = 3mBCA,
calcule: m BCA
m BAC
18
TERCERA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: LÍNEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
1.1. Mediana: Segmento que une un
vértice con el punto medio del
lado opuesto.
B
A C
BM: mediana
1.2. Mediatriz: Recta perpendicular a
un lado, en su punto medio.
B
A C
L : mediatriz
1.3. Bisectriz interior: Segmento de
bisectriz de un ángulo interior,
limitado por el lado opuesto.
1.4. Bisectriz exterior: Segmento de
bisectriz de un ángulo exterior,
limitado por la prolongación del
lado opuesto.
B
A C E
BE : bisectriz exterior
1.5. Altura: Segmento perpendicular
a un lado o a su prolongación,
trazado desde el vértice opuesto.
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo
Triangulo obtusángulo
1.6. Ceviana: Es aquel segmento que
parte de un vértice y cae en
cualquier punto del lado opuesto
o de su prolongación.
L
M
B
α α
D
BD: Bisectriz exterior
19
B
1.7. TEOREMAS AUXILIARES
a. Ángulo entre la bisectriz
interior y exterior de un
ángulo de un triángulo
b. Ángulo entre bisectrices
interiores en un triángulo.
c. Ángulo entre bisectrices
exteriores en un triángulo.
d. Ángulo entre bisectrices
interior y exterior:
e. Ángulo en el pie de la
Bisectriz interior:
f. Ángulo entre Altura y
Bisectriz interior:
x = 90°+2
Bm
φ=90°2
m A
2x
A
2
m B
A C
B
X
α
α
B
α α
β β
X
α α θ θ
M N
B
A C
mMBN=90°
20
PROBLEMAS RESUELTOS
01.- Calcule “x” en la figura, si: mB=90°,
AE es bisectriz del ángulo BAC y HE
bisectriz del ángulo BHC.
Resolución
Luego:
Propiedad: x = 2
42= 21°
02.- En la figura mostrada, halle “x”, si: a+b
= 260°
Resolución:
f) En el ABC
a+b+2 = 360°
260°+2 = 360 = 50°
g) Luego: en el CPL
Por propiedad : x = 2
x = 2
50x = 25°
03.-En la figura, calcule Xº
Resolución
Por Angulo externo
x = y + 25º ........ (I)
y = 35º + 20º .....(II)
(II) en (I)
x = 35º + 20º + 25º x = 80°
04.- En la figura, EFGH es un cuadrado.
Halle el valor de x
Resolución
En el triángulo PAH
75º + 45º + y = 180º
y = 60º ..... (I)
En ABC
x + y = 90 ...... (II)
(I) en (II)
x + 60º = 90º
x = 30º
20°
35° 25°
x
y
75°
E
F H
G
x
75°
E
F H
G
x
P
A
C y
45°
45°
21
TERCERA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE LÍNEAS NOTABLES QUE SE
INDICAN A CONTINUACIÓN:
01.- SI: BH y CD son alturas y
mB+mC=110º. Calcule “x”.
02.- SI CH es altura y AD es bisectriz y
mB+mC=118º. Calcule “x”.
03.- Halle “x”
04.- Halle “x”
05.- Halle “x”
06.- Halle “x”
07.- Halle “x”
08.- Halle “x”
LÍNEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
ACTIVIDAD N°1
22
09.- En la figura, halle GM, si “G” es
baricentro del triángulo ABC y BM = 12
10.- En la figura halle GM + GN, si BM=27
y AN = 36
B. A PARTIR DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS PROCEDA A PLANTEAR LOS
PROBLEMAS Y RESUELVA.
11.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH. La bisectriz del HBC
intersecta en P a HC. Si AB=5, calcule el máximo valor entero de BP.
12.- En un triángulo ABC, mB = 90° la bisectriz del ángulo exterior A intersecta en P y Q a
las prolongaciones de CB y de la altura BH respectivamente, si BP=13 y HQ=7. Calcule BH.
13.- En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la altura AH. Calcule la mHAC, si
mB=80°.
14.- En un triángulo ABC: mA = 20° y mC = 40°. Calcule la medida del menor ángulo
formado por las alturas que parten de A y C.
15.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior
AD, las cuales se intersectan en P. Si BP=6 y DC=13, Calcule BC.
16.- En un triángulo ABC, si I es el incentro y la suma de las medidas de los ángulos exteriores
de A y B es 290°, calcule la mAIB.
17.- En un triángulo ABC la bisectriz exterior en A y la bisectriz interior en C se intersectan en
E. Si el ángulo AEC mide 12° menos que el ángulo ABC, calcule la medida del ángulo ABC.
18.- En un triángulo ABC las bisectrices exteriores en B y C se intersectan en E. Si la medida
del ángulo BAC es el triple de la medida del ángulo BEC, calcule la medida del ángulo BEC.
19.- En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana BM, tal que AH =
5 y HC = 11. Calcule HM.
20.- En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD.
Si: mA=2mC ; AB=8 ; BC=13. Calcule AD.
23
CUARTA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
En general, dos figuras congruentes tienen
la misma forma e igual tamaño. En
particular, dos triángulos congruentes tienen
sus lados y ángulos respectivamente
congruentes, de tal manera que:
A lados congruentes se oponen
ángulos congruentes y viceversa.
ABC DEF
1.1. POSTULADOS DE LA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos serán congruentes si tienen
tres pares de elementos congruentes siendo
uno de ellos por lo menos un lado. Así, los
postulados de la congruencia indican que
dos triángulos serán congruentes, si tienen...
a. Postulado ALA:
Un lado y los ángulos adyacentes,
respectivamente congruentes.
b. Postulados LAL:
Dos lados y el ángulo comprendido,
respectivamente congruentes.
c. Postulado LLL:
Los tres lados congruentes
d. Caso Particular ALL o LLA:
Dos lados congruentes y congruente el
ángulo que se opone al lado congruente
mayor
e. Distancia de un punto a una recta
o segmento:
Es la perpendicular trazada de dicho punto
a la recta o segmento.
F D A
E
C
B
d
P
A
B d
P
24
1.2. TEOREMAS DE LA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
a. TEOREMA DE LA BISECTRIZ
Cualquier punto de la bisectriz de un
ángulo, equidista de los lados del
ángulo.
B
F
P y
A H C P, equidista de
AB y
AC
b. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ
Todo punto situado en la mediatriz de
un segmento, equidista de sus
extremos.
P
P, equidista de
A y B.
A M B
c. TEOREMA DE LA BASE MEDIA
En todo triángulo, el segmento que
une los puntos medios de dos lados
es paralelo al tercer lado y mide la
mitad de este último.
Si: AM = MB
y BN = NC
entonces:
y
d. TEOREMA DE LA MEDIANA EN
EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
En cualquier triángulo rectángulo, la
mediana relativa a la hipotenusa mide
la mitad de dicha hipotenusa.
C
M
A B
e. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES
Llamamos así a aquellos triángulos en los
que son conocidas las medidas de los
ángulos agudos y las relaciones entre las
longitudes de los lados. Algunos de estos
ángulos que vamos a estudiar tienen dichas
medidas exactas y otros, aproximadas.
a. Triángulo rectángulo isósceles (45°,
45°)
45°
a 2 a
45°
a
b. Triángulo rectángulo de 30° y 60°
PF = PH
AF = AH
PA = PB
ACMN //
2
ACMN
2
ACBM
MCBMAM
B
M N
A C
Hipotenusa =(cateto)x 2
hipotenusacateto=
2
2a
a
a 3
60°
30°
25
c. Triángulo rectángulo de 15° y 75°
C
A 15°
A H B
d. Triángulo rectángulo de 37° y 53°
(Aproximado)
53°
5k
37° 3k
4k
e. Otros casos aproximados:
2
53 = 26,5° = 26°30´
4a
4
ABCH
18,5° 3a
a
4ª
a
14°
8° 7a
a
a
2a
74° 7a 25a
16° 24a
26
PROBLEMAS RESUELTOS
01.- En la figura: AE=BC, BE=AD. Calcule
x.
Resolución:
En la figura: EAD EBC(LAL)
Luego: mBCE= mAED=β
mBEC= mEDA=α
EC=ED
BEC: α+β=90°
En “E”:
α+β+ mCED=180°
90°+ mCED=180°
mCED=90°
DEC(isósceles):
2x+90°=180°
x=45°
02.-En el triángulo ABC, donde mA+
mC=58°, se trazan las mediatrices
de los lados AB y BC que interceptan
al lado AC en “P” y “Q”. Calcule
mPBQ.
Resolución:
Por mediatriz de AB:
AE=EB
mA= mABE=α
Por mediatriz de BC:
BQ=QC, mC= mQBC=β
Por dato: α+β=58°
En “B”: α+β+x=180°-58°
58°+x=122°
x=64°
03.-En el triángulo ABC se traza la ceviana
AN que interseca a la mediana BM en su
punto medio “E”. Calcule AE si EN=2m.
Resolución:
Se traza MP paralelo a AN.
MBP: Por base media:
MP=2(EN)=2(2)=4
ANC: Por base media:
AN=2(MP)
X+2=2(4)…….X+2=8
X=6m
04.-En el triángulo escaleno ABC se trazan
las bisectrices de los ángulos A y B que
se intersecan en E, además
mABC=120°. Calcule BE si la
distancia del punto E al lado AC es 6m.
Resolución:
2θ=120°…..θ=60°
Por bisectriz del A:
EP=EQ=6
BPE: 60°:
BE=2(6/ 3)
BE=4 𝟑m
05.- En el triángulo rectángulo ABC donde
mABC=90°, mBCA=22,5° y
AC=12m. Calcule la medida de la altura
BH.
Resolución:
Se traza la mediana BM, tal que:
BM=AM=MC=6m
BMC es isósceles y 2α=45°
BHM, por ángulo de 45°……x=3 𝟐
a
x E
A
C
D
B
α
α
β
β
a
b
b
x E
A
C
D
B
2
M
P x E
A C
N
B
b b
a
a
x
Q
α α β
β
E A C
B
x
Q
α α
θ P
E
A C
B
6
θ
C
6 6
A
B
H M
α
π
α
π
2α
π
6 α=22.5°
dato
27
CUARTA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS QUE SE INDICAN A
CONTINUACIÓN:
01.- Calcule “x”
02.- Halle QT, si: PQ = 5 ; ST = 12 y PR =
RS
03.- Calcule “x+y”
04.- Calcule “x”
05.- Si : AC = EC , AB = 6 ; ED = 9. Calcule
BD
06.- Halle “PQ”, Si AB = 17 y AH = 8.
07.- Calcule “”, si: AP = BC y PM es
mediatriz de AC.
08.- Halle PQ, si: AB = 8 y BC = 15
20° 20°
x°
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULO
ACTIVIDAD N°1
28
09.- En la figura, calcule “x”; 2BP = PC
10.- Si: L es mediatriz de AC, calcule “x”
11.- BM es mediatriz de AD; BN es
mediatriz de DC y AB = 0,9
Halle “BC”
12.- Halle “AB” , si: NC = 12
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
13.- Calcule “x”
14.- Calcule “x”
15.- Calcule “x”
16.- Calcule “x”
17.- En un triángulo rectángulo, calcule la
mediana relativa a la hipotenusa si los
catetos miden 7 y 24.
18.- En un triángulo ABC (B=90º) se traza
la mediana BM. Si mABM=70º, calcule:
mACB
19.- Se tiene un triángulo rectángulo ABC
(B=90º), se traza la mediana BM y la altura
BH, tal que mHBM=50º. Calcule: mC.
20.- Si: (AB)(NR) = 32cm2. Halle “AB”
29
21.- Halle “BQ”, si: AC=16
22.- Halle “MN”, si: AB=8cm y AC=18cm
23.- Si: AM=MC y HN = k . Halle: AC
24.- Si: AB=9cm; BC=13cm y AC=14cm.
Halle MN
25.- Halle MH.
26.- Si: AC=24u y BC=16u. Halle MH
27.- Si: MN//BE y MN=6cm. Halle “BF”
28.- En un triángulo ABC: m∢A=105
m∢C=25º y AB=9. Si la mediatriz de
interseca a en “P”. Calcule “PC”
29.- En un triángulo rectángulo ABC recto
en “B”; sobre la hipotenusa se ubica un
punto “D” tal que m∢ABD=24º y m∢C=38º.
Calcule “AC” si además BD=5
30.- Dado un triángulo equilátero ABC, sea
“P” punto de y “Q” un punto exterior
relativo al lado de modo que los
triángulos BP y BQC son equiláteros.
Calcule la m∢CAQ.
30
UNIDAD II: CUADRILÁTEROS, CIRCUNFERENCIA Y
CIRCULO, PERÍMETRO, ÁREA Y POLIEDROS
QUINTA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: CUADRILÁTEROS
DEFINICIÓN. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser: convexos y no convexos.
°
Convexo No convexo
+ + = 360 x = + +
1.1. CLASIFICACIÓN
Considerando el paralelismo de sus lados los cuadriláteros se clasifican en:
a. TRAPEZOIDE
Es un cuadrilátero en el que ningún par de lados opuestos son paralelos.
Un caso particular de los trapezoides, es el trapezoide simétrico o bisósceles.
OBSERVACIÒN:
Trapezoide simétrico: Es aquel trapezoide en el cual una diagonal es mediatriz de la otra diagonal.
En la figura AC es mediatriz de BD;
luego AB = AD y BC = CD.
b. TRAPECIO
Es un cuadrilátero en el que un solo par de lados opuestos son paralelos. Estos lados paralelos se llaman bases del trapecio.
El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana del trapecio o base media; el segmento perpendicular entre las bases viene a ser la altura del trapecio.
Base menor Altura
Mediana
Base mayor
1.2. TEOREMAS
a. TEOREMA
En todo trapecio, la mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la
β
° β°
α θ α إل°
x
D
B
C A
31
semisuma de las longitudes de las bases.
2
BCADMN
b. TEOREMA
En todo trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases.
PQ = 2
BCAD
1.3. CLASES DE TRAPECIOS
a) Trapecio escaleno.-Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos no congruentes.
b) Trapecio rectángulo.- Un trapecio escaleno se llama trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.
Altura
c) Trapecio isósceles.- Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos congruentes. En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.
1.4. PARALELOGRAMO Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que dos pares de lados opuestos son paralelos.
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ //𝑪𝑫̅̅ ̅̅
𝑩𝑪̅̅ ̅̅ //𝑨𝑫̅̅ ̅̅
a. TEOREMA
En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.
b. TEOREMA
Los diagonales de un paralelogramo se bisecan.
a
B C
A D
M N
B C
A D
M N
P Q
B C
A D
α β
°
α
B C
A D θ
B C
A
C B
A D
B C b
β
° α a
α β
°
A D
b
D
32
1.4.1. CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS
a) Rectángulo.-Es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos.
Las diagonales del rectángulo son congruentes.
o
b) Rombo.- Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes entre sí. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.
° °
° °
° °
° °
c) Cuadrado.-Es un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes. Es el cuadrilátero regular.
45° 45°
45° 45°
45° 45°
d) Romboide.-Es el paralelogramo que no es cuadrado, rectángulo ni rombo es el paralelogramo propiamente dicho.
𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≠ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ ,𝒎𝑨 ≠ 𝒎𝑩
A
B C
D
B C
A D
B C
A D
B
A C
D
33
QUINTA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
01.- Halle “x”
02.- Calcule “x”
03.- Si ABCD es un romboide, calcule “x” 04.- Calcule “x”, si ABCD es un trapecio isósceles 05.- Si ABCD es un cuadrado, DM = MC y AQ = 6. Calcule MQ.
CUADRILÁTEROS
ACTIVIDAD N°1
34
06.- Si: ABCD es un romboide, calcule “x”:
07.- Si ABCD es un trapecio rectángulo y CM = MD. Calcule “x”. 08.- En el trapecio isósceles ABCD, calcule “x”, si: AP = PC = BD P 09.- En un trapecio isósceles, las bases miden 8 y 14cm respectivamente. Si los lados no paralelos determinan con la base ángulos de 53° ¿Cuánto mide la altura?
10.- La mediana de un trapecio mide 8cm y el segmento determinado por los puntos medios de las diagonal es mide 2 cm. ¿Cuánto miden las bases del trapecio?
11.- En la figura, calcule BQ si ABCD es un paralelogramo.
12.- Se tiene un cuadrado ABCD y DECF de modo que F es exterior al cuadrado ABCD.
Calcule la mAFB.
35
13.- Si: AD=6, BC=10 y CD=8. Calcule “MN” sabiendo que AB=4AM.
14.- En la figura: JKMN es un cuadrado y KL=KM .Calcule “” 15.- Si “G” es baricentro del triángulo ABC. Halle GH. Si: AE=5 y CF=4 16.- En la figura: ABCD es un cuadrado. CDE: triángulo equilátero. Halle “x”. 17.- En la figura AE+DG = 16. Calcule SF 18.- Siendo “o” centro del cuadrado y si EF=10cm, halle “x”
36
SEXTA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
DEFINICIONES.
1.1. CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de los infinitos puntos del plano que equidistan de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.
1.2. CÍRCULO Parte del plano limitada por la circunferencia y los puntos de ella.
En la circunferencia se observan:
Centro : O
Radio : R
Cuerda : EF
Diámetro : AB
Flecha : PQ
Arco : FB
Recta secante:
sL
Recta tangente:
TL
P F
E Q
R
A B O
Lt
N
Ls
37
1.3. POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO.
a) B, pertenece a la circunferencia. b) A y C, no pertenece a la circunferencia. c) A, no pertenece al círculo. d) B y C, pertenecen al círculo.
1.4. POSICIONES RELATIVAS DEDOS CIRCUNFERENCIAS
1.4.1. CONCÉNTRICAS: Si tienen el mismo centro.
1.4.2. EXCÉNTRICAS: Si no tienen el mismo centro. Las excéntricas pueden ser:
a) EXTERIORES:
𝑶𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒅(distancia entre centros)
d > R + r
b) TANGENTES EXTERIORES:
d = R + r
A B
C
r R
O O1
O1
R r O
38
c) SECANTES:
d< R + r
d > R – r
d) TANGENTES INTERIORES:
d = R – r
e) INTERIORES:
d < R – r
1.5. ÁNGULOS RELACIONADOS CON ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
1.5.1. ÁNGULO CENTRAL:
x =
1.5.2. ÁNGULO INSCRITO:
αx=
2
1.5.3. ÁNGULO INTERIOR:
α+θx=
2θ
R r
O O1
O1 O
d
R r
d
x
α
O
x
α
x α
θ
39
1.5.4. ÁNGULO SEMINSCRITO:
αx=
2
tangente
1.5.5. ÁNGULO EXTERIOR:
a) Dos secantes:
2
x
b) Tangente y Secante:
2x
c) Dos tangentes:
2
x
Además:
x + = 180°
- x = 180°
α
x
x
α
x
θ
α
x
α
θ
40
1.6. TEOREMAS BÁSICOS
1.6.1. El radio trazado al punto de tangencia con una recta, es perpendicular a ella.
x= 90°
1.6.2. Los segmentos tangentes trazados desde el mismo punto, son congruentes.
PA = PB
A y B: Puntos bde tangencia
PO biseca el APB
1.6.3. En la misma circunferencia, arcos congruentes subtienden cuerdas congruentes y recíprocamente.
Si: AB CD,
entonces: CDAB
1.6.4. Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide dicha cuerda y a los arcos en partes congruentes.
AB : diámetro
Si AB CD ,
entonces:
MDCM y CB BD
A
O
T
x
O P
α
B
B
A
C
D
D
C
A
B
O
M
41
1.6.5. En la misma circunferencia, cuerdas paralelas determinan arcos congruentes.
Si ABCD// , entonces
AC BD
1.6.6. Los ángulos inscritos en cualquier semicircunferencia, son rectos.
diámetroAB :
x = 90°
= 90°
1.7. TEOREMAS AUXILIARES
1.7.1. Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de los catetos es igual a la suma de longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.
r
r: inradio del ABC
AB + BC = AC + 2r
1.7.2. Teorema de Pitoth
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de longitudes de los otros dos.
AB + CD = AD + BC
C
D
A
B
A
B
C
r
A
B
C
D
B
A
O
α
x
42
OBSERVACION: Teorema de la Circunferencia Exinscrita a un Triángulo
p: semiperímetro
del ABC
AT = AF = p
1.8. CUADRILÁTERO INSCRITO Tiene sus cuatro vértices en la misma circunferencia. Se cumple que:
a) Los ángulos interiores opuestos son suplementarios.
+ = 180°
b) Las diagonales determinan ángulos congruentes con los lados opuestos.
=
c) Cada ángulo exterior mide igual que el ángulo interior opuesto.
=
Nota:Un cuadrilátero será inscriptible en una circunferencia
si cumple con cualquiera de las propiedades del cuadrilátero
inscrito
A
B
F
E
T
A
B
C
D
α
β
α
ω
θ
α
43
SEXTA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
01.- Halle “x” 02.- ABC: equilátero. Calcule “x” 03.- En la figura, calcule “x”:
04.- Halle “”
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
ACTIVIDAD N°1
44
05.- Calcule “x”
06.- Halle “x”, el punto “O” centro. mA=80°, mC=40°
07.- Siendo “P” y “Q” puntos de tangencia, halle “x”
08.- Hallar “x”, si: m AB = 110º y mCD = 50º
09.- Si: “B” es punto de tangencia, halle mCBP
45
10.- Si "O" es centro, mBAC = 24°. Halle: mABC.
11.- Si: m AB = 80°, mCD = 40° Calcule "x"
12.- Halle "x", si: m AB = 72°
13.- Halle "", si: "A" y "B" son puntos de tangencia.
14.- Si: "P", "Q", "N" y "T" son puntos de tangencia, calcule “x”
46
15.- Calcule “”, si "P" y "T" son puntos de tangencia.
16.- Si: mB + mC = 124°, halle "x". ("P", "Q" y "T" son puntos de tangencia).
17.- Hallar "x", si "P" es punto de tangencia. BM = CM . Halle “x”.
18.- Calcule el inradio de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12.
19.- Calcule el perímetro del cuadrilátero circunscrito.
20.- En la figura, calcule x
B
A D
C
8
13
20
x
47
21.- Halle el diámetro de la circunferencia mostrada
22.- Si: BC//AD; AB = CD = 13, calcule el valor de la mediana del trapecio mencionado.
23.- Del gráfico R = 6 ; r = 2 . Halle “x”. 24.- Halle AB 25.- Calcule el inradio de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 y 24.
26.- Calcule "x" de la figura mostrada.
48
27.- Calcule "x" en la figura.
28.- En la figura mostrada, calcule "x".
29.- Calcule "x".
30.- Si: BC = 8 , calcule "CD".
49
SÉPTIMA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: PERÍMETRO Y ÁREA
1.1. REGIÒN TRIANGULAR
Es una figura geométrica (conjuntos de
puntos) que consiste en un triángulo más
su interior.
1.2. REGION POLIGONAL
Es una figura geométrica formada por la
reunión de un número finito de regiones
triangulares en un plano, de modo que si
dos cualesquiera de ellas se intersecan, su
intersección es o bien un punto o un
segmento.
Dos regiones cualesquiera que tienen igual
área se llaman equivalentes,
independiente de la forma que tenga cada
región. Ejemplo: el triángulo y el rectángulo
que tiene igual área, son equivalentes.
1.3. ÁREA DEL CUADRADO
El área de un cuadrado es igual a la longitud
de su lado al cuadrado; o sea:
S = L2
1.4. ÁREA DEL RECTÀNGULO
El área de un rectángulo es el producto de su base por
S= a.b
1.5. ÁREA DE UN TRIÀNGULO CUALQUIERA
El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.
S = Area (ABC) S = 2
h.b
m+n = b
1.6. ÁREA DE UN TRIÀNGULO EQUILÀTERO
El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud del lado
multiplicado por el factor 4
3.
S = Area (ABC
S = 4
3L2
8m2 < > 8m2
S L
L
b
a
30º30º
hLL
60º60ºA CL
2L2 L
B
h
HCA
B
nm
b
50
b
a
DEFArea
ABCArea=
)Δ(
)Δ(
1.7. FÒRMULA TRIGONOMÈTRICA
En todo triángulo, el área se puede
expresar como el semiproducto de dos
lados, por el seno del ángulo comprendido
entre ellos.
S=Área (ABC)
S= Sen2
c.b
1.8. ÀREA DEL TRIÀNGULO EN
FUNCIÒN DE SUS LADOS
S = Área (ABC)
p :semiperimetro
p = 2
cba
S = )cp)(bp)(ap(p
1.9. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO:
El área de todo triángulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio.
S = Área (ABC)
r :Inradio S = p.r
P: semiperimetro
1.10. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DEL CIRCUNRADIO
El área de todo triángulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del circunradio
S = Área (ABC) S =R4
abc
R :Circunradio
1.11. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DE UN EXRADIO
El área de todo triangulo es igual al producto del exradio relativo a un lado y la diferencia entre el semiperímetro y dicho lado.
S = (p-a) ra
ra: Exradio relativo al lado a
1.12. COMPARACIÒN DE REGIONES TRIANGULARES, PROPIEDADES
12.1. Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus respectivasbases.
c
Ab
C
h
B
c
Ab
C
ha
B
r
rr I
CA
B
A C
B
c a
h
R
b
E
ra
CbA
B
ca
ra
ra
aA C
B
b
E
FD
h
51
12.2. Relación de áreas al trazar una ceviana
b
a
S
S
2
1
12.3. Si dos triángulos tienen igual base, sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas.
2
1
2
1
h
h
S
S
12.4. En todo triángulo, una mediana
cualquiera determina dos triángulosparciales equivalentes.
BM= Mediana S1 = Area (ABM), S2 = Area (MB
S1 = S2 = 2
h.b
12.5. En todo triángulo, al unir los puntos
medios de los tres lados, se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes.
12.6. En todo triángulo, al trazar las tres medianas se determinan seis triángulos parciales equivalentes
G:BARICENTRO
x = y = z
12.7. Si dos triángulos tienen un ángulo congruente o suplementario entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman ese ángulo que mide igual o esos ángulos suplementarios.
Àrea( AFE) AF.AE
Àrea( ABC) AB.AC
12.8. Si dos triángulos son semejantes entonces sus áreas son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de elementos homólogos.
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1 Kr
r
a
a
h
h
b
b
S
S
S1
S2
A C
B
h
a Db
bA C
B
S1h1
S2
E
FD
h2
b
S1 S2
A CMb b
B
h
B
CA
M N
P
S2
S3
S4
S1
M N
B
CAP
x
x
y
G
y
zz.
.
B
C
F
EA
B
CA b1
S1
h2
B´
C´A´ b2
S2
a1
h1
a2
52
1.13. ÁREA DELPARALELOGRAMO(S)
S = b. h b : base
h : altura
1.14. ÁREA DEL ROMBO (S)
S = 2
BD.AC
1.15. ÁREA DEL TRAPECIO (S)
S = h.2
ba
S = m.h
1.16. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
(S)
S = 2
SenBD.AC
1.17. ÁREA DEL CUADRILÁTERO
CIRCUNSCRITO
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, el área es igual al producto del semiperímetro y el radio de dicha circunferencia.
S =p.r
1.18. TEOREMA
Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.
S = Área (CMD
S Àrea(ABCD)
2
1.19. Si en un cuadrilátero convexo se
trazan las diagonales se determina
cuatro triángulos parciales y cumple
que los productos de las áreas de
los triángulos opuestos son iguales.
S1 . S3 = S2 . S4
b
b
h h
b
b
h
0
LL
D
CA
B
LL
C
D
N
B
M
Aa
b
mh
.
.
0
h1 h2
A
B
C
D
r
r
r
r
b
c
DAd
cB
a
I
C
NM
B
DA
m
X
X.
.h
h2
h2
C
D
B
A
S1
S2
S3
S4
b
a
53
1.20. En todo trapecio, las áreas de los
triángulos laterales determinados al
trazar las dos diagonales, son
iguales. Es decir dichos triángulos
son equivalentes.
1.21. CÍRCULO: El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio
S: Área del Círculo C: Longitud de la circunferencia
C = 2 R
S=πr2
1.22. SECTOR CIRCULAR: Es la porción del círculo limitada por dos radios. El área de todo sector circular de radio R y ángulo
central “” es:
S: Área del Sector Circular
º360
RS
2
S =2
Rl
1.23. SEGMENTO CIRCULAR: Es la
porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco.
S =
Sen
1802
R2
1.24. ZONA O FAJA CIRCULAR Es la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas.
S = SAD
segmento – SBCsegmento
1.25. CORONA CIRCULAR: Se llama
así a la región del plano exterior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor
S = (R² - r²)
S = 4
AB2
1.26. TEOREMA: Si se une el punto
medio de un lado no paralelo de un
trapecio con los extremos del otro
lado no paralelo, se forma un
triángulo cuya área es igual a la
mitad del área del trapecio.
S=2
)ABCD(Area
S = Área (CMD)
1.27. Si en un cuadrilátero convexo se
trazan las diagonales se determina
cuatro triángulos parciales y cumple
que los productos de las áreas de
los triángulos opuestos son iguales.
Do
R
o
R
R
S
A
B
C
D
Ro
AB
S
rRoR
o
R R
S
l
C
NM
B
DA
m
X
X.
.h
h2
h2
Z
S1S2
A D
CB
b
h
54
S1 . S3 = S2 . S4
1.28. En todo trapecio, las áreas de los
triángulos laterales determinados al
trazar las dos diagonales, son
iguales. Es decir dichos triángulos
son equivalentes.
S1 = S2
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Calcule el área de la región limitada por
un rombo donde el perímetro y las
medidas de sus diagonales suman
102m, además el lado y la diagonal
menor están en la relación de 5 es a 6.
Resolución:
Del dato: a/AC=5/6
A=5k y AC=6k
Del dato:
4a+ BD+ AC=102
4(5k) + 8k + 6k=102
34k=102 k=3
Àrea total= (6k)x(8k)/2
= (48) (3)2=72m2
2) En el triángulo rectángulo ABC recto en
B donde AB=6cm y BC=4cm, se
construye exteriormente el cuadrado
AMNC. Calcule el área del triángulo
ABM.
Resolución:
ABC: α+θ=90°
ABC= AHC
(ALA)
HM=AB=6
Área ABM=(AB.MH)/2
= 6x6/2= 18cm2
3) Calcule el área de la figura sombreada
si el lado del cuadrado mide 6cm.
Resolución:
Àreasom= AsecBAE - AsegAE
Asom=π62(30°)/360°-AsegAE
AsegAE=
=π62(60°)/360°- 62 3/4
=6π-9 3
Asom=3π-(6π-9 3)
Asom=9 3-3π= 3(3 𝟑-π) cm2
4) En un triángulo rectángulo la circunferencia inscrita determina en la hipotenusa dos segmentos que miden 13m y 8m. Halle el área de la región triangular.
A
B
C
N M
H α α
θ
θ
*
*
*
*
6 4
6
B C
DA
B C
DA
E
60° 60°
60°
30° 30°
6
6
6
6
6 6
a=5k
A
B
C
D
O
a= 5k
a a
3k 3k
H 4k
4K
C
D
B
A
S1
S2
S3
S4
b
a
Z
S1S2
A D
CB
b
h
55
Resolución:
Área ABC= A
ABC(Pitágoras):
AB2+BC2=AC2
(13+r)2+ (8+r)2= (13+8)2
(169+26r+r2)+ (64+16r+r2)=441
2r2+42r-208=0 r2+21r=104
A=(ABxBC)/2 A=(13+r)(8+r)/2
2A=r2+21r+104 2A=104+104
A=104m2
A
B
C T
F
E
O 13
13
r r
r r
8
8
56
SEPTIMA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
01.- El largo de un rectángulo excede al ancho en 2m. Si el perímetro es 16m. Halle el área del rectángulo.
02.- Las diagonales de un cuadrado suman 12m. El área del cuadrado es: 03.- Dos lados consecutivos de un romboide se diferencian en 8m.; el perímetro es de 64m.
y la altura correspondiente al lado mayor mide 10m. Calcule el área del romboide. 04.- La base de un triángulo mide 40cm y su altura relativa es los 35/4 de dicha base. El área
del triángulo es: 05.- En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50cm. y donde un cateto es el doble del otro.
Calcule su área. 06.- Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden: 10m; 17m y 21m. 07.- Las diagonales de un rombo son proporcionales a 2 y 3 respectiva-mente. Calcule la
diagonal menor, si el área del rombo es 48m2. 08.- Calcule la altura de un trapecio de bases 4m y 12m si es "equivalente" (igual área) a un
cuadrado de lado 6m.
09.- Halle el área de la región del triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la
circunferencia inscrita mide 2cm.
10.- Halle el área de la región triangular ABC, si: AB=13u y BC=14u y AC= 15u
PERÍMETRO Y ÁREA
ACTIVIDAD N°1
57
11.- Halle el área del triángulo equilátero ABC, si: BH = 3u.
12.- Los lados de un triángulo ABC miden AB = 5 u, BC = 8 u y AC = 11 u. Halle el área de
la región triangular.
13.- El perímetro de un hexágono regular es 12 m. Halle el área de la región del hexágono.
14.- Halle el área de la región rectangular ABCD cuyo perímetro es 42 m. Además: 4AB =
3BC.
15.- Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que su perímetro mide 46 u siendo su
diagonal igual a 17 u. Halle el área de la región del terreno.
16.- En la figura el triángulo ABC es equilátero y MN//AC. Halle el área de la región del
triángulo ABN, si: AC = 12m y AM=10m.
17.- Si el área del DEC=15u2. Halle el área del paralelogramo ABCD.
18.- Halle el área de paralelogramo ABCD.
19.- Halle el área sombreada.
58
20.- Halle el área de la región sombreada, r=2cm. "O" y "O1" son centros.
21.- El lado de un cuadrado inscrito en un círculo mide 6cm. Calcule el área del círculo.
22.- Halle el área de la región sombreada. Si AB, BC y AC son diámetros.
23.- Halle el área de la región sombreada. Si: ABCD es un cuadrado de lado 2m.
24.- En el siguiente cuadrado ABCD cuyo lado mide 4cm, determine el área de la región sombreada. 25.- Halle el área de la superficie sombreada si el lado del triángulo equilátero es:
26.- Halle el área de la región sombreada
59
27.- El cuadrado ABCD tiene 10 cm de lado. Calcule el área de la región sombreada.
28.- Halle el área sombreada
29.- Halle el área indicada
30.- Halle el área de la región sombreada
60
OCTAVA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: POLIEDROS
1.1. GEOMETRÍA DEL ESPACIO OESTEREOMETRÍA
Estudia la forma y extensión de las figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano (espacio tridimensional)
PLANO: Figura geométrica que no tiene definición, pero nos da la idea de una figura ilimitada de dos dimensiones, en donde dos puntos cualesquiera de ella determinan una recta contenida en dicho plano.
1.2. DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Un plano queda determinado por:
a. Tres puntos no colineales.
b. Una recta y un punto exterior a ella.
c. Dos rectas secantes.
d. Dos rectas paralelas.
1.3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
a. Rectas secantes.- Cuando se intersecan y tiene por tanto un punto común. Las rectas secantes son coplanares.
L1
L2
0
R
B
C
P
A.
..
L1
L2
U
L
E
A.
L1 L2
P
P
A B
61
b. Rectas paralelas.- Cuando se encuentran en un mismo plano y no se intersecan.
c. Rectas alabeadas.- Llamado también rectas que se cruzan, son aquellas rectas que no están en un mismo plano y no tiene ningún punto común.
1.4. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
Dados una recta L y un plano M, que pueden estar situadas de tres distintas maneras.
a. Secantes.- Cuando se intersecan, la recta y el plano sólo tienen un punto común.
b. Contenida en el plano.- En cuyo caso todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Para lo cual, basta que la recta y el plano tengan dos puntos comunes.
c. Paralelos.- En cuyo caso no tienen punto común alguno.
Propiedad: Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea paralela a una recta del plano.
R
L1
L2
L1 L2
E
L
M
L
MA
B
L
M
62
1.5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
a. Planos secantes.- Cuando se intersecan y tiene por tanto una recta común llamada
intersección de dos planos.
b. Planos paralelos.- Son aquellos que no tienen punto común alguno.
1.6. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS
Es el ángulo que forma una de ellas con una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera.
: Es el ángulo que forman las rectas que se cruzan L1 y L2
1.7. RECTAS PERPENDICULARES Son aquellas dos rectas que al interceptarse o al cruzarse en el espacio forman ángulo recto.
1.8. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Si una recta es perpendicular a un plano entonces es perpendicular a todas las rectas
contenidas en el plano.
Propiedad: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano.
L
P
O
L3
L2
L1
P
63
D
C
B
A
P
M
1.9. ÀNGULO DE UNA RECTA SECANTE CON UN PLANO Es el ángulo que hace la recta con su proyección sobre el plano.
1.10. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. La longitud del segmento de perpendicular trazada del punto al plano.
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
Si desde el pie de una perpendicular a un plano trazamos una segunda perpendicular a una recta del plano, entonces toda recta que une el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la perpendicular al plano será perpendicular a la recta del plano.
mPDC = 90º
1.11. ÀNGULO DIEDRO Es la figura formada por dos semiplanos que tienen la misma recta de origen común.
A los semiplanos se les denominan caras y a la recta común arista
a. La medida de un ángulo diedro está dada por la medida de su ángulo plano o
rectilíneo que es aquel ángulo determinado al trazar por un punto cualquiera de la
arista AB, dos rectas perpendiculares a la arista, una contenida en cada cara.
b. Los diedros se clasifican similarmente a los ángulos en el plano
P EB
A
P
α
θ
64
1.12. PLANOS PERPENDICULARES Son aquellos planos que al interceptarse forman diedros rectos.
a. Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular
al primero.
b. Si dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta contenida en uno de ellos y
perpendicular a su intersección, es perpendicular al otro plano.
1.13. ÀNGULO TRIEDRO El triedro es un ánguloide de tres caras, tres aristas y tres diedros; es el ángulo poliedro de menornúmero de carasque puede haber, no pudiendo ser más que convexo.
- Caras: a, b, c
- Vértice: El punto V
- Aristas: VA, VB, VC.
- Diedros: , ,
Notación : Triedro V-ABC
1.14. POLIEDROS Son aquellas figuras geométricas limitados por cuatro o más regiones poligonales no
coplanares llamadas caras, que da el nombre al poliedro.
Elementos:
- Caras: Son polígonos
- Aristas: OA, OB, AB,.....
- Vértices: O, A, B,....
-Diagonal: Es el segmento que une dos vértices que no están en la misma caras.
- Diedros
- Ángulos poliedros
EP
R
a bc
C
B A..
V
65
1.14.1. CLASES DE POLIEDROS
a. Poliedros Convexos.-
Cuando al considerar cualquiera de las caras, todo el sólido queda a un mismo lado de él.
b. Poliedros Cóncavos.-
Cuando al considerar alguna de las caras, todo el poliedro queda repartido a uno y otro
lado de la cara considerada.
1.14.2. TEOREMAS DE LOS POLIEDROS CONVEXOS
a. TEOREMA DE EULER: En todo poliedro se cumple que su número de caras más el
número de vértices es igual al número de aristas más 2.
C + V = A + 2
b. TEOREMA: En toda poliedro la suma de los ángulos en todas sus caras es igual a 360º por el número de vértices menos 2.
S Ang. = 360º (V-2) caras
c. POLIEDROS REGULARES: Son aquellos poliedros convexos que tienen todas sus
caras y ángulos congruentes. Solamente existen 5 poliedros regulares: Tetraedro,
Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.
d. Tetraedro regular: 4 triángulos equiláteros.
- Arista=L
- OG=h=L 6/3
- Área=L2 3
- Volumen=L3 2/12
A
B
C
O
G
l
D
C
B
A
O
66
e. Hexaedro regular: 6 cuadrados
-Arista=L - BH=diagonal
BH=L 3 - - Área= 6L2 - - Volumen=L3
f. Octaedro regular: 8 triángulos equiláteros
-Arista=L
-AC= diagonal
AC=L 2
-Area=2L2 3
-Volumen=V V= 2L3 3/3
g. Dodecaedro
12 pentágonos
Regulares
h. Icosaedro Regular
20 triángulos equiláteros
l
B C
D A
M
N
lB
A
G
C
E
D
F
H
l
l
67
PROBLEMAS RESUELTOS
01.-En la figura, el segmento BP es perpendicular al plano del cuadrado ABCD si: CE=6m,
ED=2m y BP=2 11m. Calcule PE.
Resolución
h. En el BCE: (BC)2=62+82 BC=10
i. En el PBE:
PE2=102+(2 11)2 PE=12
02.-En el plano P, se tiene el segmento AB y Q un punto exterior, tal que BQ=16m, además los segmentos BQ y AQ forman con el plano ángulos de 30° y 53° respectivamente. Calcule AQ.
Resolución:
j. En el BHQ por 30° QH=8
k. En el AHQ por 45° AQ=10
03.-Por un punto B de una circunferencia de diámetro AB contenida en un plano, se traza el segmento BD perpendicular al plano y luego se ubica un punto C en la circunferencia tal que: BD=6cm, BC=8cm y mABC= 37°. Calcule el área de la región triangular ACD.
A D
B C
E
P
A D
B C
E
P
2 11
2
6
8
8
10
A
B
Q
P
A
B
Q
P
H
16 8
X
53°
30°
68
Resolución:
l. Por diámetro AB,
lamACB=90° m. Por el teorema de
3 perpendiculares
lamACD=90° n. En el DBC:
CD=10 o. En el BCA, por ángulo de 37°, AC=6 p. Área del ACD=(AC)(CD)/2
X=(6)(10)/2 X=30
04.-En el tetraedro regular cuya altura mide 12m. Calcule su área. Resolución
q. OG=L 6/3
12= L 6/3
L= 6 6 r. Área=A
A=4(L2 3)/4
A=216
A
B
C
O
G
l
A
C B
D
37°
6 10
8
6 180°
69
OCTAVA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
01. Si: AB = 13 y la distancia del punto “A” al plano “P” es 12. Halle la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano “P”.
02. Si la proyección de AB sobre el plano “Q” es 24 y la distancia de “A” al plano es 7, calcule
“AB”.
03. Desde “p” se traza perpendicular a un plano, "Q" está en el plano. Haciendo centro en Q,
se traza una circunferencia de radio 9m, por un punto B de esta, se traza la tangente BC
de 8m.
Halle "PC" si: PQ = 12.
04. En la figura, OA es perpendicular al plano “P”. Si: OA = 4u; OB = 3u.
AD = 29 u. Calcule “DB”.
POLIEDROS
ACTIVIDAD N°1
70
05. Las distancias de “A” y “B” al plano mostrado son 6 y 2 cm respectivamente. Halle la
distancia entre “A” y “B” si la proyección del segmento AB sobre el plano mide 15cm.
06. Si: L es perpendicular al plano “P”. Calcule “AD”, si: AB=2 ; BC=2 3 y CD = 3
07. En un cubo la suma de las longitudes de todas sus aristas es de 144 cm. Halle la diagonal
del cubo.
08. El área total de un tetraedro regular es 9 3 m2. Calcule el volumen de dicho tetraedro.
09. En un tetraedro regular el segmento que une los puntos medios de dos aristas
concurrentes mide “a”. Halle el área de dicho tetraedro regular.
10. Calcule el área total del sólido que se forma al unir los puntos medios de las caras de un
cubo de 8m3 de volumen.
11. La altura de la cara de un tetraedro regular mide 1cm. Halle el valor de su área.
12. Calcule el volumen de un octaedro regular cuya área es igual al área de un cubo de aristas
igual a 2 cm.
13. Se da un octaedro regular y un tetraedro regular, donde la arista del segundo es el triple
de la arista del primero. Halle la relación de áreas de estos sólidos.
14. ¿Cuál es el área total de un tetraedro regular de 4m de arista?
71
UNIDAD III: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOVENA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
1.1. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Es el cociente que resulta de dividir dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo;
para ello se toma como referencia a uno de los ángulos agudos. Estas razones
trigonométricas son seis, cuyos nombres son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente,
Secante y Cosecante y que se representan por : Sen , Cos , Tan , Cot , Sec y Cs c
respectivamente.
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo A en un triángulo rectángulo ABC (recto
en C) se definen de la siguiente manera:
EJEMPLOS
a) En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:
E = senAsecC + cosCcscA
Resolución:
Del gráfico:
a
bx
b
a
a
bx
b
aE
E = 1 + 1 E = 2
a
c=
opuestoCateto
Hipotenusa=CscA
b
c=
adyacenteCateto
Hipotenusa=SecA
a
b=
opuestoCateto
adyacenteCateto=CotA
b
a=
adyacenteCateto
opuestoCateto=TanA
c
b=
Hipotenusa
adyacenteCateto=CosA
c
a=
Hipotenusa
opuestoCateto=SenA
B
C b A
a c
ELEMENTOS:
a: Cateto opuesto
b: Cateto adyacente
c: Hipotenusa
A B
C
a
c
b
72
b) Si: es un ángulo agudo tal que 3
1cos . Calcule tg.
Resolución:
Del dato: 3
1cos
“” debe estar dentro de un triángulo rectángulo.
Por Pitágoras:
222 BC13
22BC
Piden: 221
22tg
1.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
Los triángulos rectángulos notables son aquellos triángulos donde conociendo las medidas
de sus ángulos agudos (ángulos notables), se puede saber la proporción existente entre
sus lados.
Como por ejemplo:
Triángulo Notable de 45º y 45º
Triángulo Notable de 30º y 60º
TRIÁNGULO APROXIMADO
cateto adyacente hipotenusa
2 2
A B
C
1
3
a a
a
a
45º
45º
2a 2a
60º 60º
30º 30º
a a
2a
60º
30º
a
a
a
45º
45º
a
73
De los triángulos anteriores:
Ángulo
R.T. 30º 37º 45º 53º 60º
sen 1
2
3
5 2
2
4
5 3
2
cos 3
2
4
5 2
2
3
5
1
2
tg 3
3
3
4 1
4
3 3
ctg 3 4
3 1
3
4 3
3
sec 2 3
3
5
4 2
5
3 2
csc 2 5
3 2
5
4 2 3
3
EJEMPLOS
a) Calcular: E = sen230º + tg37º
Reemplazando valores: 1E4
3
4
1
4
3
2
1E
2
b) Evaluar: º30csc
º60cosº45senE
2
Reemplazando: 2
1
221
42
2
21
22
2
5a 3a
37º
53º
4a
74
NOVENA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
01.- Siendo “” agudo, y además:
Tg = 12
5. Calcule: E =
2
1Sen+4Cos
02.- Si: SecA = 13
5, calcule:
E =2SenA 3CosA
4SenA 9CosA
03.- Calcule: Sen, si Tg = 1
2
04.- Si “” es agudo, además:
3Tg - 2 = 0.
Halle: E = Sen . Cos
05.- Si: Sen = 0,75 0° << 90°. Calcule: 3 7 Ctg
06.- Si: Csc =2
3 ; Cos =
5
7
Halle:E = 3(Tg.Ctg+Cos.Sec) 07.- En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); reduzca: L = tanAtanC +1
08.- Si se tiene que: “” es agudo y Sec=4/3. halle el valor de:
E = Csc2 + 7
4Ctg
09.- Calcule mediante construcción Tg2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
ACTIVIDAD N°1
75
10.- Del gráfico mostrado, calcule: “Cos2”
11.- En un triángulo ABC, recto en “A”, reduzca:
E = 2 1 CosC(a b) 2bc.
1 CosC
12.- En un ABC, recto en B, se cumple que: TgA . Cos C = 3 Calcule el valor de:
E = 2Sec A 3CscC
13.- En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcule el valor de la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. 14.- En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); reduzca:
b(1 senA senC)S
2p
Siendo: 2p: perímetro 15.- En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); reduzca:
K = c .CscC + C .tan A + C .cotB
2
Si su perímetro es 20m.
B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
01.- Evalúe: 2 4sen 60 sen 45
L2
02.- Evalúe: 2 2tan 60 sec 45
L4sec37
03.- Halle el valor entero de “x” en:
2 2x Csc30º 3xSec53º Tg 60º 0
04.- Del gráfico, halleCtg
76
05.- A partir del gráfico, halle “BN”
06.- En la figura, calculeTg, siendo ABC triángulo equilátero 07.- Encuentre el valor de “x” en: x.Cos60° – 2cos45° = (1–Sen45°)2
08.- Si:P(x) =
2
2
(Sen4x cos2x)
1 Cos 3x
Calcule el valor numérico de P(15°) 09.- Calcule:
2 4 212sen 45 tan 60 sec 45
2Lsec60 4tan37
10.- Del gráfico calcule el valor de Tg
11.- Del gráfico, calcule “tan”
77
12.- Calcule:
4 4
2
tan 60 sec 45J
sec30 cot60
13.- Sabiendo que:
cos60º . cot45ºP tan45º . sen30º
Q = 2 csc245º - 3sec230º
Calcule: P2 + Q4
78
DÉCIMA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Definición.
Como las funciones trigonométricas son periódicas, los valores que toman dichas funciones son repetitivos, por lo tanto basta con conocer los valores que toma en el primer cuadrante para conocer los valores en los demás cuadrantes, ya que el valor numérico se repite en todos los cuadrantes variando únicamente su signo. Este tema tiene como objetivo encontrar el equivalente de la R.T. de un ángulo cuya medida
difiera a la de un ángulo agudo en términos de la R.T. (puede ser la misma o su R.T.
complementaria) de un ángulo por lo general agudo.
1.1. CASOS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE.
1.1.1. Reducción de ángulos positivos menores de una vuelta.
COMPROBACIÓN.
cosr
b
r
y)º90(sen
senr
a
r
x)º90cos(
cota
b
x
y)º90(tg
Nótese que la R.T. original cambia a su R.T. complementaria toda vez que aparece 90º ó 270º y el signo + ó – depende de la R.T. original según el cuadrante donde actúa. Ejemplo:
IC IIC IIC IVC
m∢
R.T. 90º- 90º+
270º-
270º+
sen +cos +cos -cos -cos
cos +sen -sen -sen +sen
tg +cot -cot +cot -cot
cot +tg -tg +tg -tg
sec +csc -csc -csc +csc
csc +sec +sec -sec -sec
x
y (-a; b)
90º+
a
b r
En el
79
Reducir la siguiente expresión: E = cos(90º + A) + cos(270º + A)
Resolución:
Recomendamos seguir el siguiente orden:
1. Primero señalamos el cuadrante.
2. Luego indicamos el signo de la R. T. Original en ese cuadrante.
E = cos(90º + A) + cos(270º + A)
E = [-senA] + [+senA]
E = -senA + senA E = 0
COMPROBACIÓN .
senr
b)º–180(sen
cosr
a)º180cos(
tga
b)º180(tg
Nótese que la R.T. original no cambia toda vez que aparece 180º ó 360º y el signo +
ó – depende de la R.T. original.
Ejemplo: Reducir: E = csc(180º - x) + csc(360º - x)
Resolución:
Siguiente los pasos del ejemplo anterior.
IIC – IVC
+
“En ambos cambiamos a su R.T.
complementaria por el 90º y 270º”
IC IIC IIC IV
m∢
R.T. 180º- 180º+
360º-
sen +sen -sen -sen
cos -cos -cos +cos
tg -tg +tg -tg
cot -cot +cot -cot
sec -sec -sec +sec
csc +csc -csc -csc
En el
x
y
(-a;b)
180º -
a
b r
80
E = csc(180º - x) + csc(360º - x)
E = [+cscx] + [-cscx]
E = cscx – cscx E = 0
Ejemplo:
Calcular: E = 8sen150º + sec240º + 3cot315º
Resolución: Para este tipo de medidas se sugiere relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego continuar
con los pasos del ejemplo anterior.
E = 8sen(180º - 30º) + sec(180º + 60º) + 3cot(360º - 45º)
E = 8 [+sen30º] + [-sec60º] + 3[-cot45º]
E = 8 .2
1 - 2 - 3 .1 = 4 - 2 - 3 E = -1
1.1.2. Reducción de ángulos mayores de una vuelta.
Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre
360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:
360º = 360º . n + R.T. = R.T.
n
También podríamos decir que el #entero (n) de vueltas (360º) se elimina
Ejemplo:
Calcular: “tg1223º”
Resolución:
Realizamos la operación mencionada.
1223º 360º 1223º = 360º .3 + 143º
1080º 3
143º
tg1223º = tg143º
IIC + IVC
–
IVC –
IIIC –
IIC +
supuesto
81
Observamos que 143º es menor a una vuelta pero falta reducir al primer cuadrante.
tg143º =tg(180º - 37º) = - tg37º = -4
3
4
3º1223tg
1.1.3. Reducción de ángulos negativos.
COMPROBACIÓN .
senr
b
r
b)(sen
cosr
a)cos(
tga
b)(tg
El signo negativo de la Medida Angular es colocado adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en las cuales el signo de la medida angular puede obviarse.
Ejemplo:
Calcular: E = tg(sen20º) + tg(sen340º)
Resolución:
1. Primero reducimos: sen340º = sen(360º - 20º) = -sen20º
2. Reemplazando:
E = tg(sen20º) + tg(-sen20º)
E = tg(sen20º) –tg(sen20º) E = 0
IIC –
sen(-) = -sen
cos(-) = cos
tg(-) = -tg
cot(-) = -cot
sec(-) = sec
csc(-) = -csc
x
y
(a; b)
(a; -b) r
r
-
IVC –
82
1.2. ARCOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS
1.2.1. ARCOS COMPLEMENTARIOS
Si dos ángulos suman 90º ( x + y = 90 º ) se cumple:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Sen x Cos y Cot x Tan y
Cos x Sen y Sec x Csc y
Tan x Cot y Csc x Sec y
En general : )y.(T.F.C)x.(T.F
1.2.2. ARCOS SUPLEMENTARIOS
Si dos ángulos suman 180º ( x + y = 180 º ) se cumple:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Sen x Seny Cot x Cot y
Cos x Cosy Sec x Sec y
Tan x Tany Csc x Csc y
En general: )y.(T.Fsigno)x.(T.F
En donde: [ signo ] es positivo si la Función Trigonométrica es Seno ó Cosecante y negativo con cualquier otra función.
83
DÉCIMA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE REDUCCIÓN AL
PRIMER CUADRANTE QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
01.- Calcule el valor de: E = cos210°- tan120° + cot330° + sen240° 02.- Calcule el valor de:
E sen240 .sen120 .cos330 .cos150
03.- Calcule el valor de: E = sen225°. Cos210°. Tan120°. Cot330° 04.- Calcule el valor de: E = sec135°. csc150°. tan240°. Cot210° 05.- Calcule el valor de:
E = sen120 cos240 tan150
cot240 sen210 cos330
06.- Simplifique:
E = sen(270º x) cos(90º x)
cos(360º x) sen(180º x)
07.- Simplifique:
E = tan(270º x) cot(90º x)
cot(180º x) tan(360º x)
08.- Simplifique:
E =
3tan x .sec -x .sen x
2 2
cos x
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
ACTIVIDAD N°1
84
09.- Halle: Cos2850° 10.- Halle: Tg3000° 11.- Halle: Sec1500°
12.- Halle: Sec79
3
13.- Halle: Sec1845° 14.- Halle: Sen2100° 15.- Calcule: E = Cos60°.Cos600° . Cos6000° 16.- Halle el valor de:
E = Sen750 Cos1500 Tg945
Sen1420 Cos1510 Sec1140
17.- HalleCtg(-2917°) 18.- Halle:Sen(-1770°) 19.- Calcule el valor de :
E = cos( 750º) sen( 1020º)
cot( 210º)
20.- Calcule el valor de:
E= csc( 240º) sec( 150º) cos( 120º)
cot( 315º) sen( 135º) cos( 225º)
85
DÉCIMA PRIMERA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
1.1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA
Es una igualdad de expresiones conformadas por funciones trigonométricas que se verifica para todo valor permitido del ángulo. Ejemplos:
Cos1Cos1Cos1 2 , para todo
2Tan θ-1
= Tanθ + 1Tanθ - 1
, para todo Tan 1
1.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
1.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
1.4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS POR DIVISIÓN
1.5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS
86
1.6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
1 Tgx+ Ctgx = Secx .Cscx
2 Sec2x + Csc2x = Sec2x . Csc2x
3 Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2x . Cos2x
4 Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2x . Cos2x
5 (Senx + Cosx)2 = 1 + 2Senx .Cosx
6 (Senx – Cosx)2 = 1 – 2Senx .Cosx
7 (1 SenxCosx)2 = 2 (1 Senx)(1 Cosx)
8
Si : Secx + Tgx = n Secx – Tgx = 1
n
Si : Cscx + Ctgx = m Cscx – Ctgx = 1
m
Observación: Al resolver ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas es recomendable tener en cuenta lo siguiente: a) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que se relacionan
directamente, entonces es recomendable trabajar con dichas relaciones. b) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que no se relacionan
directamente, entonces se sugiere escribir los términos de la expresión en función Seno y Coseno.
Los ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas que se presentan son de 4 tipos. 1. Demostraciones 2. Simplificaciones 3. Condicionales 4. Eliminación angular
EJERCICIOS DE DEMOSTRACIÓN Demostrar una identidad, implica que el primer miembro se pueda reducir al segundo miembro o viceversa o que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma. La verificación de identidades se efectúa usando las diferentes transformaciones tanto algebraicas o trigonométricas. No existe desgraciadamente una regla única que sirva como norma para verificar identidades. Por lo general de los dos miembros se procura reducir del más complicado al más simple; en efecto, el estudiante debe tener presente la expresión a la que pretende llegar; pensar en todas las relaciones fundamentales (identidades) y seleccionar aquellas que le permitan obtener la expresión deseada. 01.- Demuestre que: Tg2x.Cosx.Cscx = Tgx
87
Resolución: En este problema, la idea es reducir el miembro de la igualdad más complicada y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y por ello es bueno recordar:
Cscx =
Tanx =
En este problema: Tan2x.cosx.cscx = tanx ; note que:
Tan2x=
Reduciendo:
Lo que queda demostrado
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas.
01.- Reduzca: E (Secx + Tgx – 1)(Secx – Tgx + 1) Resolución: Si bien, el pasar a senos y cósenos, es un criterio muy generalizados; no siempre es necesario tales cambios; sino también el manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo: E = (Sec x + Tgx – 1 )(Secx – Tgx + 1) Operando: E = Sec2x-Secx.Tgx+Secx+Tgx.Secx-Tg2x+Tgx-Secx+Tgx-1
Reduciendo: E = Sec2x – Tg2x + 2Tgx – 1
E = 1 + 2Tgx - 1 E = 2Tgx
cosx
1secx ;
senx
1
senx
cosxcotx ;
xcos
senx
xcos
xsen
2
2
xtansenx
1.xcos.
xcos
xsen
2
2
tanxtanx tanxcos
senx
88
02.- Simplifique: H = Tgx.Cos2x - Ctgx.Sen2x Resolución: Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así: H = Tgx.Cos2x - Ctgx.Sen2x
2 2Senx CosxH .Cos x .Sen x
Cosx Senx
Reduciendo: H = Senx.Cosx - Cosx.Senx H = 0 03.- Reduzca: L = (Secx - Cosx) (Cscx - Senx) Resolución: Pasando a senos y cosenos:
L=
Operando: ; pero:1-Cos2x = Sen2x
1-Sen2x = Cos2x Remplazando:
L= L = senx.cosx
EJERCICIOS DE TIPO CONDICIONAL Si la condición es complicada debemos simplificarla hasta llegar a una expresión que puede ser la pedida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión pedida. 01.- Sabiendo que: Tgx + Ctgx = 4 ; calcule: C = Senx.Cosx Resolución: De la condición: Tgx + Ctgx = 4 ; piden: C = Senx.cosx Pasando a senos y cosenos:
Operando:
02.- Siendo: Tgx + Ctg = 3 ; Calcular: C = Tg2x + Ctg2x Resolución: A partir del dato: Tgx + Ctgx = 3 Elevando al cuadrado: (Tgx + Ctgx)2 = 32
Tg2x + 2Tgx.Ctgx + Ctg2x = 9
senx
senx
1xcos
xcos
1
senx
xsen1
xcos
xcos1L
22
senx
xcos.
xcos
xsen 22
4senx
xcos
xcos
senx
4senx.xcos
xcosxsen 22
4
1C 4
C
1
89
Tg2x + Ctg2x + 2 = 9
C + 2 = 9 C = 7 03.- Siendo:
; calcule: C = Tgx + Ctgx
Resolución: Recuerde que: a3+b3 = (a+b)(a2 – ab + b2) En la condición: sen3x + cos3x = (Senx+cosx)(Sen2x-Senx.Cosx + cos2x) Luego:
Reduciendo:
Sen2x - Senx.Cosx + cos2x =
1 - Senx.cosx =
Piden: C = Tgx + Ctgx =
Operando: C = C = 8
EJERCICIOS DE ELIMINACIÓN ANGULAR Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. 01.- Elimine “x”, si: Tgx = a ; Ctgx = b Resolución: Los problemas de eliminación de variable; permiten encontrar relaciones entre los parámetros diferentes de la variable a eliminar que intervienen en el problema. Este problema, es el caso mas simple, ya que se conocen dos razones trigonométricas de la variable “x”; y lo único que haremos es buscar una relación entre estas R.T.
Tenemos: Tgx = a Ctgx = b
Sabemos: Tgx.Ctgx = 1 ab = 1 02.- Elimine: “x”, si: Secx = m ; Cscx = n Resolución:
De las condiciones: Secx = m
Cscx = n
Pero: Sen2x + Cos2x = 1
Operando:
8
7
xcossenx
xcosxsen 33
8
7
)xcossenx(
)xcosxcos.senxxsen)(xcossenx( 22
2 27; pero : sen x cos x 1
8
8
1xcos.senx
8
7
senx
xcos
xcos
senx
xcos.senx
1
senx.xcos
xcosxsen 22
1cosx
m
n
1senx
1m
1
n
1
22
2 22 2 2 2
2 2
m n1 m n m n
n m
90
1.7. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE
1.7.1. SENO DEL ÁNGULO DOBLE.
Sen2x = 2Senx.Cosx
Por ejemplo:
Sen2 = 2Sen.Cos
Sen40° = 2Sen20°.Cos20°
Sen80° = 2Sen40°.Cos40°
Sen4 = 2Sen2.Cos2
Sen =2Sen.Cos
2Sen.Cos = Sen2
2Sen4°.Cos4° = Sen8°
2Sen3.Cos3 = Sen6
1.7.2. COSENO DEL ÁNGULO DOBLE.
Cos2x = Cos2x - Sen2x 1 - x2coscos2x
x2sen-1cos2x2
2
Por ejemplo:
Cos2 = Cos2 - Sen2
Cos2 = Cos2 - Sen2 = 1 – 2Sen2
= 2Cos2 - 1
Cos40° = Cos220° - Sen220° = 1 – 2Sen220° = 2Cos220° - 1
1.7.3. TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE.
Tg 2x = 2
2tanx
1 - tan x
1.8. IDENTIDADES DE DEGRADACIÓN
De las identidades básicas del coseno del ángulo doble se deducen las siguientes identidades:
1.9. IDENTIDADES AUXILIARES
2Sen2x = 1 – Cos2x 2Cos2x = 1 + Cos2x
Cotx + Tanx = 2Csc2x Cotx – Tanx = 2Cot2x
91
1.10. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO TRIPLE 1.10.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE
DEL ÁNGULO TRIPLE
xTg31
xTgTgx3x3Tg
Cosx3xCos4x3Cos
xSen4Senx3x3Sen
2
3
3
3
1.10.2. FÓRMULAS ESPECIALES
1x2Cos2
1x2Cos2Tgxx3Tg
)1x2Cos2(Cosxx3Cos
)1x2Cos2(Senxx3Sen
1.10.3. FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN
x3CosCosx3xCos4
x3SenSenx3xSen43
3
1.11. PROPIEDADES
x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg
x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4
x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4
Observación:
4
1536Cos
4
1518Sen
92
DÉCIMA PRIMERA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
DEMOSTRACIONES
01.- Demuestre:
02.- Demuestre:
03.- Demuestre:
04.- Demuestre:
05.- Demuestre:
SIMPLIFICACIONES
06.- Simplifique:
L =
07.- Simplifique:
08.- Simplifique:
L = 09.- Simplifique:
10.- Simplifique:
1 SenSec Tg
1 Sen
Senx Senx2Cscx
1 Cosx 1 Cosx
4 4 2Sen x Cos x 2Sen x 1
2 2
1 11
1 Cos x 1 Sec x
2 2 2Sen x.Ctg x 1 Sen x
xcosxcossenx
xcosxsen 44
1 1E
Csc Ctg Csc Ctg
4 4 2Sec x Tg x 2Tg x
1 1E
1 Cosx 1 Cosx
2 2L Ctg Cos . 1 Tg
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
ACTIVIDAD N°1
93
CONDICIONALES
11.- Si: Senx .Cosx = , halle:
K =
12.- Si Sen + Cos = ; halle
E = Sec.Csc + 1 13.- Si: Cosx + Secx = 2 ; halle
E =
14.- Si se cumple que: Sec . Csc = 5
Calcule R = Tg2 + Ctg2
15.- Siendo: Sen + Cos =
Calcule: E = Tg + Ctg
ELIMINACIONES
16.- Elimine “”
17.- Elimine “”
18.- Elimine “” Sen Cos aSen Cos b
19.- Elimine “x”
20.- Elimine “x”
B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE Y TRIPLE QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
ÁNGULO DOBLE
01.- Si: Senx = 0,6666….. ; 0º < x < 90º
Calcule: Sen2x
2
02.- Reduzca:
E = Sen2x
Senx -
Cos2x
Cosx
1
44 4Sen x Cos x
6
2
3 3Cos x Sec x
4
3
Cos 1 x
Sec 1 y
2 2
2 2
Sen Csc a
Cos Ctg b
Cscx m
Tgx n
2 2
Tgx Ctgx m
Tg x Ctg x n
94
03.- Simplifique:
E = 1 Cos2 Sen
Sen2 Cos
04.- Simplifique: P = Csc2x . (1-2Sen2x).Tg2x 05.- Halle:
M = 6Sen22º30'.Cos22º30'
(Cos15º Sen15º)(Cos15º Sen15º)
06.-Siendo: Tgx = 0,5 . Halle: W = Tg2x .Ctgx 07.- Encontre el valor de “x” 08.- Halle:
B = 2
2Tg67º30'
1 Tg 67º30'
09.- Reduzca:
2 2sen2x sen2x
Jcosx senx
10.- Simplifique:
sen2x 2senxJ
1 cosx
ÁNGULO TRIPLE
11.- Si: 3
2Senx ,
Calcule: Sen3x 12.- Simplifique:
22 CosSen
3SenSen
13.- Reduzca:
x4Sen
x3xSenCosx3xCosSen 33
14.- Indique el valor de P . Q de la siguiente identidad: SenxCos2x = PSenx + QSen3x
95
15.- Reduzca: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1 16.- Calcule: P = 8Cos320° – 6Cos20° 17.- Si: Sen3x = mSenx
Halle: Cos2x en función de “m”
18.- Del gráfico, calcule la longitud de AB
2
B
A C
6
2
M
96
DÉCIMA SEGUNDA SEMANA
SESIÓN 1
TEMA 01: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
DEFINICIÓN.
Resolver un triángulo significa encontrar las medidas de todos sus elementos básicos conociendo la medida de dos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Esto quiere decir que, para resolver un triángulo rectángulo sólo necesitamos dos datos de los cuales uno de ellos debe ser un lado. Se nos pueden presentar cualquiera de los dos casos siguientes: a. Si los dos datos conocidos son dos lados. El tercer lado se calcula con el Teorema de
Pitágoras y los ángulos agudos, con cualquier razón trigonométrica.
b. Si los dos datos conocidos son un lado y un ángulo agudo. Aplicamos:
Lado Incógnita
. .lado dato
R T de agudo
De la relación anterior se puede calcular con facilidad los otros dos lados; para ello tomaremos en cuenta las siguientes observaciones o casos:
Caso 1 (Si el lado conocido es la hipotenusa)
Caso 2 (Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido)
m
m
mcos
msen
m
m
mctg
mcsc
97
Caso 3 (Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido) Observaciones:
EJEMPLO:
Halle el perímetro del triángulo ABC en función de “m” y “”
Resolución:
Analizando la figura:
En el BHC: Sec = BC
m BC = mSec
En el ABC: Tg = AB
m Secα AB = m TgSec
Sec = AC
m Sec α AC = m Sec2
m
mtg
m
msec
a a
2acos
a S
b
sen2
abS
a
a
2sena2
x
B
H
A
mSec2
C m
mTg.Sec m.Sec
B
H
A m
C
98
Hallamos el perímetro del ABC: 2p = AC + AB + BC
2p = m Sec2 + m Tg Sec + mSec
2p = m Sec (Sec + Tg + 1)
1.1. APLICACIÓN DE LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN
PROBLEMAS DE ÁNGULOS VERTICALES.
1.1.1. Ángulos Verticales
Son aquellos ángulos que están ubicados en el plano vertical imaginario; que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal como consecuencia de una observación y se les mide con instrumentos de ingeniería, llamados “teodolitos”. a. Línea visual: Es la línea recta que une el ojo de un observador con un objeto que
se observa.
b. Línea horizontal: Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial,
que pasa por el ojo del observador.
c. Ángulos de elevación: Es un ángulo formado por la línea visual y la línea
horizontal cuando el objeto se halla por encima de la línea horizontal.
d. Ángulo de depresión: Es el ángulo formado por la línea visual y la línea horizontal
cuando el objeto se halla por debajo de la línea horizontal.
y : ángulos verticales por su ubicación, se clasifican en :
: Ángulo de elevación
: Ángulo de depresión
NOTA: En todo problema donde no se mencione la altura del observador, entonces se considera un punto fijo sobre la superficie de la tierra.
99
EJEMPLOS:
1. Desde un punto “P” en tierra se observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20 m en línea recta se observa el punto anterior con un ángulo de elevación de 45°. Determine la altura del edificio.
2. Desde un helicóptero que se encuentra a 100 3 cm sobre el nivel del mar, los ángulos
de depresión de dos botes que están situados a la dirección sur del observador son 15° y 75°; halle la distancia que separa a los dos botes. Resolución De la figura:
100 3 ctg75° + x = 100 3 ctg15°
x = 100 3 (Ctg15° - Ctg75°)
x = 100 3 (2 + 3 - 2+ 3 )
x = = 100 3 (2 3 ) :.X = 600 cm
¡No olvides!
* tg 15° = ctg 75° = 2 - 3 y * tg 75° = ctg 15° = 2 + 3
3. Desde un punto en el suelo un observador mira la parte superior de un poste de luz
con un ángulo de elevación “” pero si se acerca una distancia igual a la mitad de la distancia que lo separa del poste, observaría el foco con un ángulo de elevación que
es complemento de “”. Halle: tg”. Resolución:
Resolución:
De la figura:
AP = hCtg 30°
AP’ = hCtg 45°
AP – AP’ = h ( 3 ) - h(1)
20 = h ( 3 - 1)
h = 20/( 3 -1)
h = 10( 3 +1)m
x
15°
75°
75° 15°
1003
1003 ctg15°
En el menor:
tg = 𝑎
2𝑎𝑡𝑔𝜃tg =
1
2
tg = 2
2
* tg 1° = ctg 75°
= 2 -
* tctg 15° = 2 +
20 P P’
30° 45°
h
A
2a a a
90 -
2a tg
100
DÉCIMA SEGUNDA SEMANA
SESIÓN 2
SEMINARIO PRÁCTICO
A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RESOLUCIÓN DE
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:
01.- Halle “x” del gráfico mostrado en función de “y” “” y “”
02.- Halle “x” en función de “m” “” y “”
03.- Calcule “x” en función de “L” y “” en la figura mostrada a continuación
04.- Calcule “x” de la figura mostrada, si se conocen “b”, “” y “”
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
ACTIVIDAD N°1
101
05.- Halle “x” en función de “a”, “” y “”
06.- Calcule “x” en la figura mostrada, si se conocen “k” y “”
07.- Calcule “x” en función de “a”, “b” “” y “” en la figura mostrada a continuación
08.- En el rombo mostrado calcule “x”, si se conocen “L” y “”.
09.- En el paralelogramo mostrado, calcule “x”, si se conocen “a” “b” y “”
102
10.- Halle la suma de longitudes de los catetos del triángulo rectángulo ABC en función de “R”
y “”
B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ÁNGULOS VERTICALES
APLICANDO RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:
01.- Una persona observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º y luego de alejarse 40m observa nuevamente con un ángulo de elevación de 15º. Halle la altura del edificio
02.- Un niño de estatura 1 m observa los ojos de una señorita de estatura 3 m con un
ángulo de elevación . Halle la distancia que los separa sabiendo que: ctg = 13
03.- Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 60º y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 30º. Si la altura del pedestal es de 2m. Halle la altura de la estatua
04.- Desde las azoteas de dos edificios de 20 y 12m de altura, se observa un punto en
el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente.
Calcule la distancia entre ambos edificios.
05.- Desde la parte superior de un edificio se observa un punto en el suelo con una depresión
angular “”. Determine la altura sabiendo que la línea visual mide “a”
06.- Desde un punto en el suelo se ubica la parte superior de un árbol con una elevación
angular de 37º, nos acercamos 5m y la nueva elevación angular es 45º. Halle la altura del
árbol.
07.- En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera, a 5m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de
elevación y respectivamente. Halle la altura del asta si: tg = 1,4 y tg = 1,7m
08.- Desde lo alto de dos torres de 12 m y 314 m de altura respectivamente, se observa un
punto en el suelo entre ambas torres con ángulos de depresión de 37º y 60º respectivamente.
Calcule la distancia entre dichas torres.