Usmeni automatsko

5/16/2018 Usmeni automatsko

1/62

Baterije

~ ~ Obrtni stoZadavanje PojacavacZeljene '------~jednosmeme !---~brzine struie

jednosmemestruje

a)

Upravl jacki Aktuator ObjekatZel jena Motor Stvamabrzina uredjaj 1- jednosmeme 1-- upravljanja brzina(napon) Pojacavac struje Obrtni sto

b)Slika 1.7 a) Otvoreni sistem upravljanja brzinom obrtnog stoia b) blok dijagram

Baterije

~ Obrtni stoPojacavac

jednosmemestruie

jednosmemeTahometar

a)

Upravl jacki Aktuator ObjekatZel jena +,c Motor Stvamabrzina '


2/62

---

, ..

+Da bi se formirao sistem upravljanja sa povratnom spregom potrebno je da se u

sistem doda senzor koji ce da meri ugaonu brzinu i da daje napon proporcionaJanugaonoj brzini obrtnog stoIa. U tom cilju je uveden tahomatar. Zatvoreni sistem jeprikazan na slici 1.8.a dokje njegov blok dijagram prikazan na slici 1.8.b.Osnovne sprege ij)I

Na slici 1.9. je prikazan sistem koji se sastoji od dve komore S I i S2 ipneumatskog sabiraca S3 . Ulazni pritisak x je isti za obe komore a njihovi izlaznipritisci YI i Y2 deluju u istom smeru na elasticne bakame membrane I i 2. Namembranu I sa druge strane deluje atmosferski pritisak Pa' a na membranu 2 izlazniprtisaky.

S IY I

-PaX- Pneumatski

Y i S; sabirac5 2

Y 2-Pn

x

Slika 1.9 Paralelna veza (sprega) elemenataNa osnovu jednacine ravnoteze sila koje deluju na membrane i posto su povrsine

membranajednake, dobija se:Y =YI + Y2

Na slici 1.10 komore 51 i 52 su tako povezane da je pritisak Y I u prvoj komoriistovremeno ulazni pritisak x2 u drugu komoru. Ulaz u sistem je uJazni pritisak u prvukomoru aizlaz je pritisak u drugoj komori.

6


3/62

II '------L,I x==x , , I s, I y , = X 2 ~ I S 2 I Y 2 = Y ~Stika 1.10 Redna veza elemenata \j(./I Ovo je primer redne veze izmedju pod sistema S I iS2' Konacno, ako se sabirac nalazi

na ulazu u pneumatski sistem koji sacinjavaju komore S I i S2 u odvojenim granamakao sto je prikazano na slici 1.11 onda je to sistem sa povratnom spregom. Na ulaz Asabiraca se dovodi vazduh pritiska x ana ulaz B pritisak Y2 koji vlada u komori S2'Pritisak vazduha koji ulazi u komoru S I je X I a izlazni prtisak iz komore YI jeistovremeno izlaz iz sistema y. Taj pritisak se dovodi u komoru 5 2 'III YI

P a-x-

Y+

Slika 1.11 Pneumatski sistem sa povratnom spregom

I~ Na taj nacin ulazna velicina sistemaje jednaka algebarskom zbiru ulaznog pritiska Xlizlaznog pritiska Y2 :7


4/62

+e ,

e, e o

a) b)Stika 2.5. Kompenzacija pojacavaca povratnorn spregorn

a) Elektricna sema b) Blok dijagrarn

Po pretpostavci, vrednosti otpora su dovoljno tacne i konstantne pa se pojacanjeR21R1 moze smatrati tacnirn. Druga verzija koristi tzv. operacioni pojacavac, To jepojacavac sa vrlo velikim pojacanjern (A=105 -10\ kroz koji prot ice zanemarljivastruja. Ako su otpomici redno povezani a pararelno oko operacionog pojacavaca kaosto je pokazano na slici 2.S.b., relacija izrnelu izlaza i ulaza je

R2eo::::--e- Rl IOvo moze da se pokaze ako se napisu odgovarajuce jednacine za kolo. posto je

struja i2 zanemarljiva, napon e, je priblizno jednaka nuli, i i) = = i2. Kako je

Posto je e) = = 0 , moze da se napise:

Ovo je ekvivalentno sa izrazom za rad operacionog pojacavaca.r 2.4. Redukcija poremecajaPosmatra se otvoreni sistem upravljanja na koji deluje poremecaj u prikazan na

slici 2.6.a. Kao i u prethodnom razmatranju vrednost izlaza je y = lOx. Medjutim,ukoliko je u :f. 0 ova relacija vise ne vazi, odnosno

12


5/62

I IIII

+y :::5(2x - u ) :::lOx - 5u

Ovo moze da se poboljsa uvolenjem povratne spregepojacanjima B iK kako je prikazano na slid 2.6.b. dva elementa sa

u

a)

x + y5

b)Slika 2.6. Koriscenje povratne sprege za smanjenje dejstva poremecajaaj Orginalno otvoreno kola b) Kolo sa povratnom spregomPrincip superpozicije moze da se iskoristi za nalazenje izlaza y u funkciji od x i

u. Prvo se pretpostavlja da je u=O i resava se y kao f-ja od x.

lO By i u " , o : : : 1+ 10BK xSada se zamenjuje u i stavlja x=O, Res~vajuei po y u zavisnosti od u dobija se:

-5y ! x = o : : : 1+ lOBK U

Na osnovu principa superpozicije, dobija se

lOB 5y:: : 1+lOBKx-l+10BKu

Zeli se da poremecaj u nema uticaja na y ali ovo ne moze da se ostvari zakonacne vrednosti B i K. Prema tome maze da se zahteva npr. da uticaj poremecaja nebude veci od 10% izlaza y, odnosno

13


6/62

, +__ 5__ =0.11+10BK

Sa druge strane na osnovu relacije y=l Ox dobija se uslov -,~lOB := 101+ 10BK

Iz ovih uslova se dobija sistem od dye jednacine:50 = = 1+ 10BKlO B = = 10+ 100BK

cijirn resavanjern se dobija 8=50 i K=49/500. Na ova] nacin se uticaj porernecaja svodina 0.1 vrednosti izlaza y.

14


7/62

I

+4. L INEARIZ AC IJA NEL INEARN IH MATE MATICKIH

MODELAU najve ce rn broju slu caje va m ate maticki m ode li koji opisu ju ponasan]e i proce se

re alnih sis te ma su ne line arni. Postu pak line arizacije je znacajan, je r line arizovanje mne line arnih siste ma m ogu da se prim ene brojni m etodi line arne analize kojim a ce da seopise ponasanje ne line am ih sis tem a. Postu pak line arizacije se u glavnom zasniva narazvijanju ne fine am e fu nkcije ponasanja sis te ma u Tay lor-ov re d. Posto se zane maru juclanovi vise g re da u Tay lor-ovom redu , oni moraju da bu du dovoljno mali, odnosnoprom enfjive m ogu da variraju sarno u m al om opse gu oko radnog polozaja.

Linearna aproksimacija nelinearnih matematickih modelaDa bi se dobio line arizovan mode l ne fine arnog sis tema pre dpostavlja se da

prom enljive im aju sarno m ala odstu panja od nom inalnih (radnih) vre dnosti. Posm atra sesis te m sa je dnim u lazom x(t) i je dnim izlazom y(t). R elacija izm edju izlaza i u laza jed ata fu nk cijom o blik a:

y = f{x) (4.1)Neka su nom inalne vre dnosti u laza i izlaza X o i Yo ' Tay lor-ov re d oko ovih

tacaka je:y==f(xo)+ Of(xo)(x_xo)+l.o2f(xo\x_xO)2 +...o x 2 ! o x 2 (4.2)

gde su izvodi sracu nati za x =x n . Ako je o ds tu pan je x - X o malo mogu da se zanemareclanovi vise g re da koji sadrze x - XI) . O nda je dnacina (4.2 ) m oze da se napise U obfiku:y=yo+K(x-xo) (4.3)

gde je Yo = = f{x 0 ) i K = of (x 0 ) , odnosno m oze da se napise :oxy- Yo = = K(x-xo) (4.4)

sto znaci d aje y- Yo proporcionalno x-xo' Je dn aC in a(4 .4 ) d aje lin eam i m ate rn atic kim od el n elin earn og sis te m a (4 .1 ) U o ko lin i ra dn e ta ck e x = = Xo i Y = = Yo '

Ako se posmatra sistem sa dva u laza XI(t ) iX2(t ) i je dn im izla zom y(t ) tako daje :

(4.5)pn cemu je f (X l,x2 ) ne line arna fu nkcija. Dobijanje line am e apraksim acije ovogne line amog sistema se takodje vrsi razvijanjem u Tay lor-ov re d aka nominafnihvrednosti XIO iX20. Ond a je dn ac in a (4 .5 ) p os ta je :

19


8/62

+y = f(X IO ,X 20)+[ Of (X I - xIO)+ o f (X2 - X20 )]

O x l Ox 21 [ 0 2 f 2 o 2 f (l2 f 2]+- - - 2 (X I -xIO ) +2 ( X I-X IOX X 2 - X 2J+--2 ( X 2 -x20 ) +...21 O x l O x lO X 2 o X 2

gde se parcijalni izvodi sracunavaju za Xl =XIO i X2 =X20. U okolini radne tacke clanoviviseg reda mogu da se zanemare. Linearni matematicki model U okolini nominalnogpolozaja bice:

(4.6)

(4.7)

Treba da se naglasi da ovakva linearizacija vazi same u okolini radnog polozaja,Primer ~-------Iz rezervoara na slici povrsine poprecnog preseka A slobodno istice tecnost

(zapreminski protok q2 ), dok se kolicina tecnosti koja dot i ce u rezervoar ql mozeslobodno podesavati. U ustaljenom stanju ulazni i izlazni zapreminski protoci su jednakiqOI=q02=qO a visina tecnosti u rezervoaru je ho . Promene protoka od ustaljenog stanjasu Sq, i I1q2 a promena nivoa tecnosti u rezervoaru je 11h . Potrebno je da se dobijelinearizovani matematicki model proticanja tecnosti kroz rezervoar.

Slika 4.1. Hidraulicki rezervoarResenje: Promena zapremine u rezervoaru jednaka je razlici protoka:

dV dh{t)-=A-=qj(t)-q2(t) .dt dt

20


9/62

1- +Protoci q 1 ( t ) iq2 ( t) iznose:

q;(t) = qo + c.q;(t), j = 1,2gde su c.ql ( t ) i c .q2 ( t) male promene protoka u odnosu na nominalni protok

qo. Brzina isticanja je posledica gravitacije i prema Bernoulli-jevoj jednacini2P + pv + pgh = const , za preseke 1 i 2 bice:2

pv2P +pgh Pa +--=> V =~2gh(t)2Zapreminski protok q2 (r), bice: q2 (t ) = C ~2gh(t), (C je konstanta koja zavisi

od tecnosti ioblika otvora), odnosno:A dh(t) + k J l i V 5 = q l ( t )dt

gde je k =C fii. Znaci jednacina proticanja tecnosti kroz rezervoar jenelineama diferencijalna jednacina zbog clana k J l i V 5 . .Treba da se uoci da je ustacionarnorn stanju qo = k F a .

Posta je visina tecnosti u rezervoaru h(t) = ho + c.h(t) moze da se napise:I

q2 (t ) = kfii[iJ = k F a ( 1+ c.~;t) J 2IKoriscenjem relacije: (1+ a)2 ;::;; , ako je a, dobija se:2

() M h(t)q2 t = 2FoKonacno se dobija linearizovani model ponasanja sistema:

A d t1 h(t) + kt1h(t) = L l ( t )dt 2jh; qlRezultat moze da se dobije i preko Taylor-ove formule. Ako se napise:

q l =qo+c .q ( t)= iJ (~~)+ I2 (h )gde su: I I ( dh ) =A dh , 1 2 (h ) = k fli[i). Razvijanjem funkcija f i f 2 u Tay lor-dt dt

ov red i ogranicavajuci se na prva dva clana dobija se:

21


10/62

--+

Konacno se dobija isti rezultat:C l (t) = A d 6h (t) + kc. .h (t ) .q ] dt 2.jJi;

Kao primer linearizacije funkcije dye promenljive ovde je prikazan postupaklinearizacije hidraulickog servomotora.

Primer: Linearizovati matematicki model hidraulickog servomotora koji jeprikazan na slici 4.2. Pr i izvodjenju maternatickog modela smatrati da je servorazvodniksimetrican, da su siJe pritiska na klipove servorazvodnika u toku kretanja u ravnotezi ida su dovodni vodovi servorazvodnika veci od debljine klipova. Predpostavlja se da jepritisak u dovodnom vodu hidraulickog servorazvodnika Pd mnogo veci od odvodnogpritiska po - Takodje predpostavlja se da su sile hidraulickog pritiska na klip radnogcilindra toliko vece od sile inercije klipa i opterecenja tako da se one mogu zanemariti.

x-x

Detafj A2 +5

Stika 4.2. Hidraulicki servomotor \ \Resenje: Povrsine slobodnih delova otvora na ulazima u servoventil su A I, A2,A), A4 . Protoci kroz njih su: qJ. q2, qs. q4 . Posto je po predpostavci servoventil

, simetrican, sa sl ike sledi: A I =A )= k( R +x) i A2=A4= k ( f -x). Dalje, pretpostavlja se da je/ pritisak u povratnom vodu Po mali i da moze da se zanemari. Protoci k oz otvore su:/

22


11/62

I + gI I I. ;. 15. LAPLACE-OVA TRANSFORMACIJA

Mogucnost da se dobije linearna aprokcimacija nelineamih sistema omogucujeda se ponasanje sistema opise pomocu linearnih diferencijalnih jednacina, Resavanjeovih jednacina nije uvek lako. Metoda Laplace-ove transformacije zamenjuje ovediferencijalne jednacine relativno prostijim algebarskim jednacinama.

Pod Laplace-ovom transformacijom funkcije f (t) podrazumeva se nesvojstveniintegral oblika:

coF(s) = .i{t(t)} = ft(t).e-S'dt (5.1 )o

gde je s - kompleksna promenljiva (s = a + J O Y ) , f (t ) - original (funkcija uvremenskom domenu), F (s ) - Laplace-ova transformacija originala f (I) iii komleksnilik originala. Funkcija e-SI nazi va se jezgro Laplace-ove transformacije. Jednacina (5.1)predstavlja definiciju jednostrane transforrnacije. Posto je parametar 1 vremepretpostavlja se da je t(t) = 0 za 1


12/62

+.t'{h(t-T)} = fh(t-T).e-Sldt = fO. e- Sl dt+ f l. e-S ld t = _e-sll'"

o 0 T S T S

Jedinicna impulsna funkcija (Dirac-ova' 0 funkcija),A ko se posm atra razlika dy e odskocne fu nkcije h (t )/ T i h(t - T)/T prikazana naslici S .2 .a, njihovim slaganjem dobija se pu lsna fu nkcija prikazana na slici S .2 .b.R ezu ltu ju ca pu lsna fu nkcija je pravou gaonik visine 1IT i s irine T tako da nje govapovrsina povrsina iznosi 1 . Ako se nastavi sm anjivanje inte rvala T , u z is to vrem e nozadrZavanje vre dnosti ogranice ne povrsine konstantnom , dobija se je dinicna im pu lsnafunkcija iii 0 fu nkcija kao granicna vre dnost s lika 5 .2 . c:

O(t)

t

h(t)liT1

0 'T tI-1 I.ur 1 _ _ _ _

a)

(l/T)[h (T)-h (t-T)]1

o T o

b) c)

Stika 5.2. a) Razlika dye odskocne funkcije b.) Dijagram pulsne funkcije J Jc.) Jedinicna impulsnafunkcija.o{t) = lim h{t)- h{t - T)

T->O T

{o{t)} = l i I i n h(t)- h { t - T ). e-sl d t = jim [ _!_ { h(t)} -.t{ h(t - T )} ]oT->O T T . .. . O T

(1 1 1 e-TS ) 1-e-Ts{o(t)}= lim _ ._ -_ ._ = / im- -

T . .. . O T S T s T ....0 TsP rim enom L 'H ospital-ovog pra vila dobija se :

{o( t ) }=/ im _ ( - S ) e - T s = 1T -40 S

J F iz ic ar P ,M , D ira c je d efin is ao o vu fu nk ciju .

28


13/62

+Egzistencija Laplace-ove transformacije je zadovoljena kada integral

transformacije konvergira. Prema tome da bif(t) bilo transfonnabilno dovoljno je daje:coJ \f(t ~ . e-u,1 d t < coo

za neko realno i pozitivno 0"1' Ako je apsolutna vrednost \f(t ~ 0limsF(s); onda vazi:,)'400 l im f (t) := ; l im sF( s)

(--to S - t O C l

4. Teorema konacne vrednosti. Ako postoje granicne vrednosti: lim f {t)1~7,l imsF(s) ondaje:

, )"-+0 l im f (t) = = l im sF( s)l-too .5-+0

29


14/62

- 1 : -~r

5. Laplace-ova transformacija izvoda.Neka funkcija f (t) ima kontinualne izvode: df (t )/d t, d?f (t)/ d t' ... d" f (t)/ d t" .Laplace ova transfonnacija prvog izvoda je:

:f.{df(t)}= Idf(t) .e -s td td t 0 d tResenje ovog integrala moze da se dobije parcijalnom integracijom:

b bJUdv=u vl: - JVdua ;I

stavljajuci da je u = e -st onda je du = -se-Sl dt i dv = df (t) pa je V = f ( t ) i dobijadtse:

{d f(t)} ",.:f . - - - - ; ; t =f(t).e-st l : +s } f ( t )e-stdt=SF(S)- f (O+)clan f ( 0 + ) predstavlja granicnu vrednost funkcije f ( t ) u tacki t = 0 kada se u tackudolazi sa desne strane. Na slican nacin primenom parcijalnog integraljenja dobija seLaplace-ova transfonnacija drugog izvoda:

:f.{d 2 f(f)} = "'fd 2 f(f) .e -s td fd t2 dt?ouvodjenjem smena: ii= c?": du+=se+dt i dV=!!_ [d f(t)]d t. V= df(t), d t dt ' dt

dobija se:Z{d 2 f(f)} =e-st d f(t)I'" + s Idf ( t ) .e-stdf =_ d f (O+) +S : f .{d f( t) }dt' dt 0 0 dt dt. d t

=s'F(s ) - [ S [ ( 0)+ d[~~.) 1Odnosno za k - ti izvod se dobija:

: f .{dfk (t)} = s' F(s)- ~ S I-I dlk-I (0 )dt" i: : ai':U slucaju nultih pocetnih uslova nema drugog clana (sume), u gomjoj relaciji.6. Laplace-ova transformacija integral a:

:f.{jf(r)dr} = F~S )7. Pomeranje kompleksnog lika:

:f.[e-atf(t)] = Ie -a t f (t) e -s td t =1f (t ) e - (s+a)tto 0

30


15/62

+uvodjenjem smene: /l , = S + a dobija se:

.:e[e-3( I(t)] = I/ ( t ) . e:" d t = F(/l,) = F(s + a)oPrimenom ove osobine se lako odredjuje kompleksni lik prigusene iii rastuce periodicneoscilacije .

. 8) Konvolucija originala,"Predpostavlja se daje original dat u obliku konvolucionog integrala:II(t) = J 1 1 (t - t /2 (r )d r

oiii konvolucijom funkcijajj(t ) ih(t). Tada je:

. : e {I ( t ) } =I e:" [ I I; (t - r) 1; (r ) dt]dtF(s)= Je-S([J I ;( t- r) t; (r )d r ]d t

gde je u drugom integraJu s obzirom na to da t moze da tezi 00, promenjena granica .Promenom redosleda integracije dobija se:

?O ""F(s) = f/2(r)f~(t-r).e-S'dtdro 0

uvodjenjem smene: /l , = t - T => t = /l , + T " d/l, = dt, dobija se:00 a: - a: 00F(s) = J 12 (r ) f ~ ( / l , ) . e-s(A+r)d/l,dr = f 12 (r). e=dr f II( / l , ) . e-s),d/l,o a 0 0F(s)::= FI( s). F 2(S )

Ako su: F ; (s ) = . : e { I I (t)} i F2 (s) = . : e { /2 (t)}, tada je:F,(s). F, (s ) ="':[}; (I - T )f, ( T ) d T ] = . : D f ; ( T v,(t - T ) < i T 1

/Primer: Naci Laplace-ovu transformaciju nagi bne funkcije f ( t ) = {O; t < 0, t; t Z 0Resenje:

'"L{t} = ft.e-Sldta-51u= t; du=dt; dv:::e-'Id t; v= -~ s

co te:" I ' " 7: e-S(" e:" I ' " 1ft.e-S(dt=-- + f----,--d t=O--2 -S2'o soos So

Primer: Naci Laplace-ovu transforrnaciju kvadratne funkcije f ( t ) : : : t2,// 3 1


16/62

8 6. INVERZNA LAPLACE-OVA TRANSFORMACIJAPod inverznom Laplace ovom transformacijom podrazumeva se nesvojstveni

integral:

t{t) = : ; e - l { F ( s ) } = ~ < T J F ( S ) . e s t d s .2 7 r 'J .0'- fit)

(6.1)Predpostavljajuci da funkcija F(s) ima konacan broj polova moguce je

koriscenjern Coshy-jeve teoreme da se odredi vrednost funkcijej{t).Kada funkcija F(s) ima oblik koji nije sadrzan u tabeli Laplace-ovih

transfonnacija, treba ga svesti na tablicni oblik rastavljanjem na proste razlomke. Tomoze da se vrsi poznatom metod om neodredjenih koeficijenata koja ce ovde da seprikaze na primeru funkcije:

Ovo moze da se napise u obliku:K A Bs+C

(s+a)(s2+b2) = s+a + s2+b2 'MnoZenjem obe strane gornje jednacine sa ( s + a ) ( S2 + b2)

koeficijenata dobija se:grupisanjem

K =S2 (A + B)+s(Ba+C) + Ab2 +CaAb2+Cb=KBa+C =0A+B=O

Odakle se dobijaju vrednosti koeficijenata:A=_K_ . B=_2_ .C = _ _ _ ! ! _ ! 5 _a2+62 ' a2+62 ' a2+62K _ _ K _ . ( _ I _ _ S_+~._b_)

(s + a)( S2 + 62) - a2 + b2 s + a S2 + b' b S2 + b2/(t) =~ ( e _ a { -cosbt +~sinbt)a +b 6

,Heaviside-ove teoreme razvoja vJ)U opstem slucaju kompleksna funkcija F(s) moze da se napise U obliku racionalne

razlomljene funkcije:

(6.2)

Interesantne su nule polinoma imenioca Q (s ). tzv. polovi:

33


17/62

Resenja jednacine (6.3), odnosno polovi, mogu da budu realni razlicitl,konjugovano kompleksni i visestruki.

F(s) = pes) ,(s - S I) (s - S2) (s -S n) (6.4)

i _ - l . Slucaj'kada su svi polovi realni i razliciti:

34

odnosno to se rnoze napisati u obliku sume:

(6.5)

Opsti clan K, ima vrednost:

. [ p e s ) ]k = = lim (s - sk )-- ;k =1,2, ... n.S-+Sk (/(s) S=Sk

(6.6)

Posto je u pitanju limes oblika % primenjuje se L' Hospital-ova teorema:

ds dsOnda moze da se napise:

F(s) = f ~(Sk) ._1_.hO (Sk) S -Sk (6.8)

Odnosno:

f(t) = : f ! : 1 {F(s)} = ;-1 [i P,(s k ) . _ 1 _ ] = =tP,(s k ) e'" ; t > O . (6.9)hO (S k) S -S k k;1 (/ (S k)

Jednacina (6.9) naziva se Heaviside-ova formula (teorema) razvoja. Znaci uslucaju realnih irazlicitih polova clanovi f ( / ) su eksponencijalno opadajuce funkcijeako su polovi negativni iii eksponencijalno rastuce funkcije ako su polovi pozitivni.

- - -~>~

/ ,2. Slucail'- Konjugovano kompleksni polovi:r . . .. , . . . .;peS) K K; k ;F(s)= =--+--. +"'+--, (6.10)(s-sd (s-S j)'''(S -Sn) S -S I S -S j S -Sn


18/62

II F( ) _ a + jb a - jb ~ K kS - + +L.--'(s+ a .)-j;) (s+ a .)+ j; ) k= 3s-S t (6.11 )II Kada se primeni inverzna Laplace-ova transformacija dobija se:IIII

Konacno se dobija:n

f(t)=2ae-Uf coscot-2be-


19/62

Uzastopnim diferenciranjem odredjuju se iostali koeficijenti K f-2 ", K I I :

(6,19)

Izrazi (1.17) - (1.19) predstavljaju reziduume (ostatke) u tackama singulariteta(s - 51 Y analiticke funkcije F (s ) na osnovu teoreme reziduuma. Smenjivanjem ovihkoeficijenata u jednacinu (1.15) dobija se:

F(s)= R ( S I ) , + ~ ' ( S I ! _ I +~ ~ " ( S I L . . . + ~ , R ~ - I J + t ~k (6.20)( S - S I ) ( 5 S I ) 2 . (s 5 1 ) (r 1), S S I k;f+IS s,Sada se primenom tabele Laplasovih transformacija dobija:

t(t) =e'" (K r:' +K tf-2 +, ..+ K )+ ~ K e'" (1.21)If lr-l 1 1 L . . . . - k k=f+1

Primer 1. Naci original funkcijeF(s)= 1 ( + 1 )' /5' 5+2

Resenje: Primer ce prvo da se resi metodom neodredjenih ko~ijenata.

F( )_ s+l _ A+Bs+D2 ~/5- - +~.S 3 (s + 2 ) S 3 5 : 1 " 2Mnoze~jem sa S 3 ( S + 2) i sredjivanjem dobija se: 7

\,+ 1=2A+ (A+2B)s+ (B+ 2cy i+(c + D}5 3 ,IZjednaCaVanje~\~govarajUCih kOefiCij/a:~obija se:

2A = \ L , , ' A +2B =1; 13+ 2C = 0)' C +D =0 ,. 1 1""" 1 / 1pa je: A = - ; B = - ; C)!,< =-/D D == - . Prema tome:2 4 8 8" " - . , f 2 tI e -21. t(t) = - ' - + - - - + - .

P . d x/k'x, . 2~H~ . ~d ~h .nmer se sa a r"e:,ava onscenjern eav~1 e-ovi teorema razvoja:

/ s+1 =KI3+KI2\&+~s3(s+2) S 3 S2 '':\ s+ 2K .: S3(S+1)1 _ 1. K _ d [(S+l)t- 1

13 - 53 (s +2) 5=0 - 2' 12 - -;;; F+ 2 ) 5+0 '" S +2/ s = o - 4'1

36

1


20/62

t

\){I

I

l

J J I7. POJAM FUNKCIJE PRENOSA

Odnos kompleksnlh likova ulaza l izlaza sistema, pri pocetnim uslovimajednakim null, naziva sefunkcija prenosa iii prenosna funkcija", 4Posm atra se siste m saje dnim u lazom i je dnim izlazom , slika 7 .1 .

x(t) ~S. (t)~~Slika 7.1. Sistem sajednim ulazom ijednim izlazom

F unkcionalna zavisnost izme dju izlaza i u laza sistema na slici 1 , moze u opstemslu caju da se pre dstavi line amom dife re ncijalnom je dnacinom sa konstantnimkoeficijentima:

d "y dn-1y d y d "x dm -1y d .xan d tn + an_1 d tn-1 + ... + al d t + aoy = bm dtm + bm _ 1 d tm -I + ... + b, d t + box(7.1)

Da bi razliciti s is temi mogli da se pore de potre bno je da se posmatranje V I'S ipodistim poce tnim u slovima. Pre dpostavlja se da je u poce tnom tre nu tku sistem bio ustanju m irovanja tj. da su pocetni uslovi :

y(O) = 0 x (O) = 0y ' (O) = 0 x ' (O) = 0 (7.2)

y(n-l)(O) = 0 x(m-l)(O) = 0Prim enom Laplace -ove transform acije na jednacinu (7.1) u z pocetne uslove (7.2)

dobija se :(ansn + an_lsll-1 + ... + als + 8or(s) = (bmsm + bm_1sm-1 + ... + qs + bo)x(s) (7.3)

gde su Y(s)=.:t'{y(t)}i X(s)=.:t'{x(t)} kom ple ksni likovi fu nkcija vre me na nau lazu i izlazu iz siste ma. 12 (7 .3 ) s le d i:

Y(s) = w(s) = bmsm +bm_1sm-1 +"'+qs+boX( )

n n-lS ans +an-ls +"'+als+8o

(7.4)Je dnacina (7 .4) pre dstavlja pre nosnu fu nkciju siste ma. Iz je dnacine (7 .4) se vidi

da pre nosna fu nkcija rnoze da se de finise i kao kom ple ksni lik je dinicnog im pu lsnogodziva siste ma. U kom ple ksnom dom enu slika 1 pre dstavlje na je na slici 7.2:

W(s) = Yes)Xes )Slika 7.2. Prenosna funkcija i blok dijagram sistema

4 * P re no sn a fu nk cijaje lo siji p re vo d iz ra za T ra ns fe r F u nctio n a li je o do rn ac en u n as oj lite ra tu ri. U o vomte k stu s e ra vn op ra vn o k or is te o ba n az i va .

46


21/62

. . . +IIIIIII I I

~'

~ .,~

~

~

~

"' - - .esenje: Za cvor 1 v'azi:~. il(f)+iz(t)-i)(f)==O." " ' ,rednosti svih struja se nalaze Iz.izraza:

U z - u l ~!J.d . . C d ( ). U z11 =~;Uz -U =C 012~=>JZ = = dt U2 -U ;1) =- RzSmenom ovih izraza u prvoj jednacini docijase:

Uz - U C d ( "') Uz--+ -U2-U1 t-=OR, dt RzPrimenom Laplace-ove transformacije uz pocetne uslov~jednake nuli dobija se:

Uz(5)-U1(5) + 0[U2(S)-UI (5)]+ 0;(5) =0R, R2Sredjivanjem se nalazi prenosna funkcija:

W ( s ) =U2( s ) = = R,RzCs+RzU 1 ( s ) R1R2Cs+R +R2

10 Objasnjenje konvolucionog integrala. .1onvolucioni integral je neophodan za odredjivanje odziva sistema. Na osno~ureladje_Q.5) Y(s) = = W( s) X (s ), sIedi:I Iy(t) = Jw (r). x (t - r}dr =:: Jw (t - r} x(r)dr W-o 0

(7.16)

Drugi integral na desnQj_graI!.Lkclnacine pn:;dstavlja odziv sistema na proizvoIjan ulazni;ignal x (I) odredjen zbirom o

Na osnovu prindpa linearne supe~icije moze da se zamisli da je sistem naslid 1. razlozen @_yise..1?odsist~~~_.~pa!~_~lnol vezi kao sto je prikazano na sIici 7.6 .

51


22/62

Slika 7.6. Koriscenje principa linearne superpozicijeAko se inte rval vre me na 1 izde li na pod inte rvale tlT, bice rk =ktsl', a u laznisignal x (I) moze da se priblizno predstavi povorkom impu lsnih signala na slici 7.7,

odnosno:(7.17)

gde je 8{t - fill T) - je dinicna im pu lsna fu nkcija. Nairne , moze da se zamisJi dase svaki blok u parale lnoj spre zi na slici 6. u klju cu je kad se pre thodni blok isklju ci i radiu i nt e rv al u tlT, posle ce ga se isktju cu je i uklju cu je se nare dni blok. Onda rnoze da sepriblizno napise:

cox{t) ~I(ktl T ). h(t - fill T) (7.18)k=O

Ako se pu sti da tlT ~ 0, onda k ~ 00 ih(t - kilT) ~ 8 (t - kilT} paje:x(t):::: lim IX(ktlT)8(t-ktlT)t J .T->O (7.19)

52

Sm enom izraza ().4) u (1.1) d ob ija s e:y(t)= lim Ix{ktlT)w{ktlT)8{t-ktlT)t J. T . .. . O (7.20)

Prom enom re dosle da m noze nja u posle dnjoj je dnacini m oze da se napise :"'y(t):::: lim I{t - ktl T). X(kt l T)

t J .T . . .. .O 0I

::::w {t - r). x{ r} dro(7.21)


23/62

+

x(O). oft)

ox( L 1 t ) . 0 (t -L 1 t )

L 1 t t

o L 1 t 2 L 1 tx ( 2 L 1 t ) . 0 ( t - 2 L 1 t )

o 2 L 1 t J L 1 t

Slika 7.7. Aproksimacijafunkcije nizom diskretnih signata

53


24/62

+

10. GRAF TOKA SIGNALA

Ovo je drugi n ac in g ra fic ko g predstavljanja rnaternatickog modela lineamihsistema. Kod blok dijagrama promenljive se prikazuju usmerenim granama, (signalima),a funkcije prenosa izmedju pojedinih promenljivih blokovima. U grafu toka signalapromenljive su prikazane cvorovima, a funkcije prenosa orijentisanim granama sapojacanjern jednakim vrednosti funkcije prenosa bloka, (slika 10.1). Kao sto se vidi saslike 10.1 cvorovi se predstavljaju kruzicima, a grane orijentisanim linijama. Peste ujednom cvoru m oze da se suceljava vise orijentisanih grana, koje u njega ulaze iIi izlaze,to cvorovi zamenjuju i oznake sabiraca i tacaka grananja iz blok dijagrama.X/s) + Xis)

a)Slika 10.1. a) Blok dijagram ib) graf toka signala.

Prema Mason-u "graf toka signata je mreia koju sacinjavaju cvorovi,medjusobno povezani orijentisanim granama." Grafovi su na sli s irok u primenu usistemima upravljanja, teoriji aktivnih i pasivnih elektricnih mreza, teoriji automata,vestacko] inteligenciji, itd. Kod grafa toka signala, na slici 10.1, za svaki Hi evervezana je promenljiva Xi koja predstavlja signal cvora, a za svaku granu izmedju cvo-rova Xi i Xj vezan je pre nos grane Wij . Veza cvorova X, i Xj orijentisanom granom wijoznacava zavisnost cvora Xi od cvora Xl' a ne obratno. Na osnovu ovoga moze da senapise:

(l0.1)Promenljive Xi i Xj mogu da budu funkcije vremena, kornpleksne ucestanosti, iii

bilo kog drugog argumenta. U najopstijern slucaju, wij predstavlja neki matematickioperator koji promenljivu Xi prevodi u Xj .

U vezi sa jednacinorn (10.1) vazne su sledece dve osobine svakog cvora,l. Svaki cvor sabira vrednosti svih cvorova vezanih za njega granama

orjentisanim ka cvoru iii ulaznim granama. Na primer za konfiguraciju na slici 10.2. amoze da se napise:

Xk = LWijXjj2. Svaki ever prenosi svoju vrednost na sve cvorove vezane za njega granama

orijentisanim od cvora ka posmatranim cvorovima. Na primer, za sliku 10.2.b vazerelacije:

(l0.2)

XI = wklxkxl=wk2xk (10.3)

75


25/62

XI =XIX2 = W12XI + w32X3 + w 42X 4X3 = W23X2 + W43X4X4 =W34X3 + W44X4X 5 = W4SX4

(10.4)

Xl

Xl X2

X2W2k Xk

Wjk W jk

Xj Xja) b)

Slika 10.2.

Treba da se uoci da ukoliko cvorovi umesto promenljivih XI , X2 ... predstavljajunjihove Laplace-ove transfonnacije, tj. X I (s ), X2 (s ) ... onda prenos Wy predstavljaprenosnu funkciju W y (s) koja definise odnos izmedju kompleksnih likova.xj (s) i X{s).

Crtanje grafa iosnovni pojmovi grafa.Na osnovu ovih osobina cvora moguce je da se nacrta graf prema nekom datom

sistemu algebarskih jednacina. Pri tome se prethodno izvrsi raspodela cvorova kojaodgovara promenljivima sistema prema redosledu uzroka i posledica. Tako rasporedjenicvorovi se zatim sukcesivno povezuju orijentisanim granama koje se obeleZavajuodgovarajucirn koeficijentima iz datog sistema jednacina. Na primer za sistemjednacina:

Postupak konstrukcije je prikazan na slici 10.3. Treba da se naglasi da oblik grafabitno zavisi od rasporeda cvorova i da ne postoji jednoznacno resenje ovog zadatka.Uobicajeno je da se cvorovi redjaju s leva na desno pocev od promenljive sa najnizimindeksom ka onoj sa najvecim indeksom.

76


26/62

+ox. la)

oX5

II X, =x,

X2 = W'2X, + WJ2X2 + W42X4b)

Il oX5I c)

III d)

Ie)

SI ika 10.3. Postupak crtanja grafa

ISlika 10.3 rnoze da posluzi za objasnjenje nekih pojrnova koji se koriste u teoriji

grafova.Putania je skup sukcesivno povezanih i u istorn smeru orijentisanih grana, duz

koje se svaki ever javlja sarno jednorn. Na primer, na slici 10.3 putanje su: X,-X;-X3-XrXj; X.rX;-X2 , itd.

I 77


27/62

+Jzyor je cvor iz koga grane sarno izlaze. Na slici 10.3 cvor X l je izvor.Ponor je cvor u koga grane samo ulaze, (poniru). Ugrafu toka signala na slid 10.3postoji ponor X5 .Direktna putanja je putanja koja direktno povezuje izvor sa ponorom. Primerdirektne putanje na slici 22 je XJ~X2-XrX.rX5 .Zatvorena putanja je putanja koja izvire i ponire u istom cvoru. Zatvorene

putanje na primer, na slici 22 su XrX3-X3 ; X2-X3-X-rX2 ; XrX-rX3 , itd.Sopstvena zatvorena putanja je poseban slucaj, to je zatvorena putanja sa sarnojednim pojacanjern. Na primer, na slici 10.3 to je putanja X.rX" sa pojacanjem W3./ Pojacanje grane je operator transformacije te grane.Pojacanje putanje je proizvod pojacanja svih grana koje sacinjavaju tu putanju.

Na primer za putanju Xj-X2-X3-X4-Xj, pojacanje putanje je w12 .w23 .w34 .W 45'U udzbenicima iz automatskog upravljanja se obicno na ovom mestu daju tzv.ekvivalentne transformacije grafa koje su dosta slicne sa ekvivalentnim transformacija-

rna blok dijagrama pri njegovoj redukciji. Ovde ce biti pomenuta sarno jednatransformacija koje nema slicnosti sa transformacijama blok dijagrama.To je postupak cepanja cvora i zasniva se na cinjenici da cvor objedinjuje ifunkciju sabiraca (diskriminatora) i tacke grananja. Postupak cepanja cvora se zasnivana tome da se svaki cvor sa vise ulaza i vise izlaza rnoze razbiti na dva cvora kojioznacavaju istu promenljivu Cpaje stoga prenos grane izmedju njih jednak jedinici) pricemu je jedan cvor tipa izvora (tacka grananja), a drugi tipa ponora (sabirac), Prekocepanja cvora se definise indeks sLoienosti grafa kao minimalan broj cvorova kojetraba rascepiti da bi se eliminisale sve zatvorene putanje.Primena ekvivalentnih transformacija grafa pri odredjivanju prenosa grafa dovodido istih teskoca kao primena pravila ekvivalentnih transformacija za redukciju blokdijagrama pri odredjivanju funkcije prenosa. Stoga se ovde ne navode pravilaekvivalentne transformacije grafa. Odredjivanje prenosa grafa se vrsi pomocu Mason-ove formule.

Mason-ova form ula

Funkcija prenosa grafa od izvora do ponoraje data relacijom:" r.s,, ,

W =....;',-'-- (10.5)!:,.gde je PI pojacanje i - te putanje, Llje determinanta grafa i odredjuje se preko izraza:

Ll=l-(-l)k+lIIP)k =1- Ip)] +Ip;2 +Ip;3 +".k ) j j )

(10.6)gde je:

78


28/62

+LPjI - z bir kru znih pojacanja s vih zatvore nih pu tanja gra fa,

jLPj2 - zbir svih proizvoda kruznih pojacanja od po dy e zatvore ne pu tanje kojej

se m edju sobno ne dodiru ju ,L P p - analogno.jLl; je L l de te rm inanta onog de la grafa koji ne dodiru je i-tu dire ktnu pu tanju

dobije na prime nom obrasca (1 0.5 ). D ete rm inanta grafa toka s ignala, ,1, ne zavisi odpolozaja i broja izvornih cvorova u grafu . O cigle dno je da je L l= 0 , k ara kte ris tic na je d-n ac in a s is tem a.

:1 1 Mason-ovo pravilo je naizgle d s loze no, m e dju tim za prakticnu prim e nu one je ~~ vrlo je dnostavno. ___PRIMER. Naci M ason-ovom formu lom fu nkciju pre nosa izm edju u laza i izlaza grafanaslici 1 0.3 .

Resenje: Za graf na slici postoji smo je dna dire ktna pu tanja XI-XrX3-X,-X5 saprenosom PI =W12W23W34W.f5 .

O va pu tanja dodiru je sve zatvore ne pu tanje paje nje n faktor L l i = I.Zatvore ne pu tanje odnosno njihovi pre nosi su :

Putanje X3-X,-X3 i XrXyX.-X2 se dodiru ju , a ne dodiru ju se pu tanje XrXyX2 i X.,-X.f,pa s le di da je de te rm inanta grafa:zl =1-(w23w32 + W34W 43 + W23W 42 + W44) + W23W32W 44

=(1- w23w32 )(1-W44) - W34W 43 - W23W34W 42P re ma tom e, fu nkcija pre nos a grafaje :

W = X4 = Pl~l = W12W23W34W45Xl ~ (1- w23w32 )(1- W 44) - W34W 43 - W23W34W 42Ukoliko graf line arnog sistema ima vise izvom ih cvorova, vre dnost signala u

izlaznom cvoru se dobija na osnovu principa line arne su pe rpozicije . N a prim er, ako suX I (s ) i X2(S ) izvorni cvorovi, (kom ple ksni likovi signal a u cvorovim a), a Xn(s) ponor,v re d no st s ig na la Xn(s) iznosi:

79


29/62

11. FREKVENTNA KARAKTERISTIKA SISTEMA

Frekventni odziv predstavlja odziv sistema u ustaljenom stanju na sinusoidalniulaz. Frekventna analiza sistema podrazumeva menjanje ucestanosti sinusnog ulaza uodredjenom opsegu i proucavanje rezultujucih odziva. Oznaka za Fourrier-ovutransformaciju velicine x(t ) je F {x(t)} koja predstavlja integral:

+


30/62

III

+A(w) c p ( w)

o toa) b)

Slika 11. 1. a) Amplitudno frekventna karakteristika i b)fazno frekventnakarakteristika.

Eksperimentalno odredjivnje frekventne karakteristikeAko se na ulaz stabilnog lineamog sistema (Slika 11.2), dovede sinusni ulazni

signal odredjene amplitude xo i ucestanosti O J odziv sistema ce takodje da bude sinusdruge amplitude Y o ali iste ucestanosti c a i bice fazno pomeren gde e predstavlja fazni(ugaoni) pomeraj.

xC! ) = Xo s i n o J t yet) =Y a sin ( O J t + ( ( J )Slika 11. 2. Stabilni linearni sis/em

Nekaje ulazna velicina zadata u obliku sinusnog signala:x(t)=xosinOJ(Neka su pocetni uslovi jednaki nuli. Odziv sistemaje definisan izrazom:

y(t)= rlW ( s ) X ( s ) }Prenosna funkcija je u obliku kolicnika dva polinoma po kompleksnoj

promenljivoj s :W(s)=P(s)/Q(s). Laplace-ova transformacija sinusnog ulaza je :X(s)=xoai(i+a?). Proizvod kolicnika ovih polinoma koji figurisu u Laplace-ovojtransformaciji konvolucije mogu da se prikazu u obliku zbira:

p(s) OJxo a(s) OJxo-- . =-- + -0-----''--7-Q(s) s2 +a/ Q(s) s2 + (U 2Polinom a(s) odredjuje se izjednacavanjern koeficijenata uz iste stepene po s izjednacine:

ovime je odredjen a(s), pa rnoze da se napise:

83


31/62

Homoge no re se nje je dnacine .Yh( t ) odre dje no je nu iam a karakte risticnogpolinoma Q(s) tj. polovima fu nkcije pre nosa W(s). Partiku lamo re se nje je oblikaYp(t)=YoSin(OJt+B) je r p re d sta vlja tablicn i slu caj in ve rz ne L ap la ce -o ve tra ns fo rm ac ije .Ako se u svoji pre dpostavka da homoge ni de c re se nja isce zava tokom vrem ena,odnosno:

lim Y h ( t ) = 0t-'>JDokaz ove pre dpostavke bice dat u te ks tu 0 s ta biln os ti s is tem a. Na ovojpredpostavci se zasniva eksperimentalno odredjivanje frekventne karakteristike.

Nairne , ne posre dna posle dica ove pre dpostavke su sledece os obine fre kve ntnekarakterist ike:

Modul A(w) frekventne karakteristike sistema W(jw) je koliiinik amplitude yopartikularnog resenja i amplitude Xo sinusnog ulaza.A ( w ) = Y O ( w )

x oArgument fJ(w) frekventne karakteristike W(jw) jednak je faznom pomeranju6 \w)partikularnog resenja y p.D okaz. P re ma E ule r-ovorn obrasc u:

s i n o i t =2~ ( e J l U I - e - i O J I ) " s in ( w t + e ) = 2 1 j ( e i( N I+ O ) - e - i ( N I + O ) If/"A ko se kom pie ksne am plitu de oznace sa X o = x o / 2 j iY o : : : :Y o / 2 j / 6 n d a je :

x ( t ) = r, ( e J W I - e:J w l ) " y(t) = Y o ( e i( O J ' + O ) - e:i ( O J I + O ) / 'N jihovl izvodi s u:

d k x ( t ) "~JU' ) k iO J I ( . )* _N I ] d k y(t) - r { . . ) k } ( O J I + O ) ( . ) k j ( C J I + f ) ]dt" = x o r w e - - jW e " dt" = YolVw e - - jW eSm e nom oV IR - lz ra za u jednacini (xx.x) dobija se : /

i :a k Y O [ U w ) * e i( ': :t :. O l - : - ( - j w Y e - j( a J I + ( ) ]= f b k x o , [ 0 ; Y e j (})1 -t- j w ) * e - i ( } ) l ]k = O - , k / _ OOvo moze cia s e ra zlo zi n a.d ve je dna cin e:n m2 > * V w Y Y;'e i O J Ie" = / L > k V w Y x o e i O J I .

k~ /i~n ,'/ m. ~ , > k ( - jw Y Y o e - J W I e - J '8 = Lbk ( - ja: Y x o e - f U J I

k =O / 'k =OIz p rve je dnacine se d obija> -,_/ i.(;OJr "Y < l ej8 = k=O :::: Y o Al),L II ""~/.X o {;a kV 'w k ) x o " ' " " , ,OdaVd70 sled;

84


32/62

_ ~ " . . . , , ; z : o = = = = = = = = = = = ? p11

-f

I

(r[

Kompleksni lik jedinicnog impulsnog odziva, kao i lik njeg ~ponente kojio ovara r-tostrukom paru polova mogu se napisati u obliku: fe konyes): pes) /'

- . ( s - Sf Y ( s - Sf r o } ( s ) / /Odnosno. '< , /"'''-. r,/yes): Kr + " ~ ; + ... + Kk + ___ !Y L __+ ... + ~+ ~ (12.10)(S-SiY ( s - ~ J . t . \ . (S-Sj)k y - s ; y S-S} S-S1*gde su koeficijenti i ; ' : ;+ !_k+jbk, K : / = ak - j b k, odredjeni razvijanjem po

Heaviside-u. Inverznorn Laplace-ovom traysformacijom izraza (12.10) posle sredjivanjaodziv sistema u vremenu rnoze da se nap~e u obliku:

I "n tk -1 / "'. by(t) = = 2eO'it L : IK k I ( / ) c O S ( a ' > [ . ( + q :> k ) ; q :> k = = arctg zs.k=} k 11 !'", ak

. IRadi jednostavnosti d ov oljn o je da se razmotri uca] dvostrukog pola, kada se zar= 2 prethodna jednacina svodi nj:1yet) = = 2ecrit~KAcos(CUit + c pd + IK2ltcos(cujt 2)] (12.12)

Ako se dvostruki parftonjugovano kompJeksnih polova nal na imaginarnoj osi,tj. e.=0 zbog drugog cl'0a u jednacini (12.12) komponenta odziva neograniceno rastetj. sistem je nestabilanjLnaci visestruki polovi na imaginamoj osi imaju za posledicunestabilnost sistema. Iko se visestruki pol nalazi na levoj strani s -rav ni, 0 ",.< 0 pa jesistem stabilan a ako/je na desnoj strani s- ravni sistem je nestabilan. Sada moze da sedefinise potreban i q?voljan uslov s~bilnosti: __

Potreban i dovoljan uslov za stabilnost sistema AU je da svi polovi njegovefunkcije prenosa (koreni karakteristicne jednacine), tete na levoj strani kompleksneravni, odnosno da imaju negativne realne delove.L---------.-------- --.,I

(12.9)

(12.11 )

12.3 Potrebni uslovi stabilnosti\'\.,AVI f


33/62

gde su koreni jednacine S; , i =1, 2,...n u opstem sluca]u realni i kompleksni.Mnozenjem cinilaca u (12.14) i posle sredjivanja, posmatrana jednacina moze da senapise U obliku:

s" -(SI +s2 +",sn)sn-l + (51S2 +S153 +"'+S2S3 +-)sn-2_- (SIS 2S3 + SIS 254 + .. )s n- 3 +. . .+( - 1Y 51S2S 3 ... Sn =0 (12.15)

Koeficijenti U jednacini (12.15) direktno sJede iz generalisanih Viett-ovih praviJa.Pre nego sto se ustanovi koji su usJovi potrebni da bi svi koreni bili na Jevoj strani s -ravni, iz koeficijenata jednacine (12.15), (poslednji clan), lako se zakljucuje da sekoreni algebarskih jednacina sa realnim i konstantnim koeflcijentirna, ako sukompleksni, javljaju sarno kao konjugovano kompleksni. Posmatranjem koeficijenatajednacine (12.15) rnoze se uoeiti sledece:

1. Negativan znak imaju koeficijenti predstavljeni u obliku zbira proizvodakorenova, kao i zbirom svih korena jednacine, dok su pozitivni koeficijenti u oblikuproizvoda pamog broja korena. Ako bi svi koreni ove jednacine lezali na levoj strani s-ravni (jednacina stabilnog sistema), svi koeficijenti jednacine (12.15) bi bili pozitivni.Dakle, da bi svi koreni algebarske jednacine leiali na levo] strani potrebno je da svikoeficijenti budu istog znaka.

2. Bilo koji koeficijent u ovoj jednacini moze da bude nula sarno ako su mupredznaci realnih delova korenova razliciti, odnosno, koreni jednacine se nalaze sa obestrane s- ravni. Znaci, karakteristicna jednacina stabilnog sistema mora da ima svekoeficijente razliCite od nule.

Treba da se naglasi de su ova s amo potrebni ali ne i dovoljni uslovi stabilnosti.Odnosno, sistem cija karakteristicna jednacina ima sve koeficijente istog znaka ne morar ~ _ ~_~a~bU_d~e_st_ab_i_lan_.~----~~~==================================~.1

12.4 Routh ov kriterijum stabilnostiOvim metodom je rnoguce odrediti broj korenova algebarske jednacine na desnoj

strani kompleksne ravni. Treba naglasiti da Routh-ov metod ne ornogucava iodredjivanje samih korena.'

Posmatra se algebarska jednacina n-tog stepena sa realnim i konstantnimkoeficijentima istog predznaka, od kojih ni jedan ne nedostaje:(12.16)

Routh-ov metod odredjivanja broja korena jednacine na desnoj strani s ravni sesastoji od sledecih koraka:

U literaturi se -esto sre}e i naziv Routh - Hurwitz - ov kriterijum. Routh je ovaj kriterijum fonnulisao1877., a Hurwitz, nezavisno od njega, u ne{to druga-iioj formi 1895. godine.

94


34/62

Koeficijenti pomocnog polinoma se stavljaju u nultu vrstu inastavlja se Routh-ovpostupak.Analiza relativne stabilnosti

Routh-ov kriterijum daje odgovor sarno 0 apsolutnoj stabilnosti sistema sto uvecini prakticnih slucajeva nije dovoljno. Postupak za ispitivanje relativne stabilnosti jepomeranje imaginarne ose i primena Routh-ovog kriterijuma stabilnosti. Uvodi sesmena:

s = s - 8; 8= const.u karakteristicnu jednacinu sistema, napise se polinom po novoj kompleksnoj

promenljivoj s i na njega se primeni Routh-ov kriterijum. Broj promena znaka u prvojkoloni Routh-ove tablice novog polinoma po s jednak je broju korena koji leze desnood vertikalne Iinije s =-8.

12.5 Hurwitz-ova formulacija kriterijuma stabilnosti.

Da bi se formulisao Hurwitz-ov kriterijum, potrebno je da se od karakteristicnejednacine ansn + 8n_lSn-1 + ... + 81s + 8 0 =0, formira tzv. Hurwitz-ova determinanta.To je determinanta n - tog reda a form ira se tako sto se prva vrsta sastavljene od clanovauz najvise stepene karakteristicne jednacine an-! an sukcesivno pomera u desno za podva koeficijenta

an_I an 0 0 0 0 0 0 0 0an_3 an_2 an_I an 0 0 0 0 0 0an_5 an_4 an_3 an_2 an_I an 0 0 0 0 (12.21)an_7 : an_5 an_4 an_J an_2 an_I an 0 0an_9 an_8 an-7 an_6 an_S an-4 an_3 an_2 an_I an

Hurwitz-ov kriterijum glasi:

Algebarska jednacina ima sve korene na levoj strani s - ravni ako i samoako su, uz uslov da je koeficijent uz s", pozitivan, (an>O),svi dijagonalniminor; Hurwitz-ove determinante .,dl,.,d2,...,dnpozitivni.

98


35/62

--I-L l I = an-I> 0L l z = la n-1 an I. > 0an -3 an -2

an-I an 0L 1 3 = an -3 8n-Z an_I >0

an -5 an -4 an-3(12.22)

L 1 n_1 > 0L 1 n = a o L 1 n-I > 0 : : : : :> a o > 0

Sistem je granicno stabilan ako je poslednji dijagonalni minor jednak nuli a sviostali veci od nule L 1 n = O : : : : : > a o L 1 n-1 > 0 , odnosno a a = O iii L ln-, = O .

Za ao =0 karakteristicna jednacina poseduje jedan koren s =0, koji lezi ukoordinatnom pocetku.

U drugom slucaju, L in-! =0, karakteristicna jednacina poseduje par konjugovanokompleksnih korena xjco na imaginamoj osi i sistem se nalazi na oscilatomoj granicistab iInosti .

. ,Pri~r 3. Postupkom Hurvitz-a analizirace se uslovi stabilnosti jednacine drugogJ treceg stepena,"Re. fenje:" i . t : jednacine a2/+ ais + aD =0, sledi Hurwitz-ova tablica:

'\ a1 a2 //\ . a o''\ /odakle se dobija ,1, =.Q/ >0; i L12=a.an >0 ; sto daje uslove:az >0; a , >0; ao >0, Znaci kod jednacine drugog stepena potrebni uslovi

stabilnosti su istovremeno i dovo~i uslovi.Jednacina treceg stepena a3/+ ',a 2 / + a,s + ao =0 daje Hurwitz-ovu sernu:- ,

. a i - , a 3 0a u ' ' : : l J a2 0 p o-,Odnosno: ,1, =a2 >0;' ,12 = asai - G3aO >0>,,13 =aoL12 >0. Odavde slede sledeciuslovi stabi lnosti: -,

a: >0, a , >0, an >0 i dopunski uslov: a2G , - aiao : ; : ; Q "\Sa porastom stepena jednacine slozenost uslova stabil~~aste.U programskom paketu MATLAB ne postoje funkcije za prime~u Routh-Hurwitz-ovog

kritrerijuma. Za njima nema nikakve potrebe jer u MATLAB-u mog\ da se odrede nule\\\

\ 99


36/62

14. OSNOVNI ELEMENTI SISTEMA UPRAVLJANJAOvde je dat pregled osnovnih elemenata SAU koji se dobijaju kao osnovni

karakteristicni slucajevi iz opsteg oblika funkcije prenosa, date kao kolicnik dvakompleksna polinoma. Za svaki ad ovih elemenata daje se njegova prenosna funkcija,raspored polova i nula, hodograf frekventne karakteristike, logaritamsko frekventnifazni dijagram, jedinicni odskocni odziv i primeri realizacije elementa.

PROPORCIONALNIELEMENTNeka se opsti oblik funkcije prenosa svodi sarno na odnos konstanti bo i ai :

(14.1)gde je K tzv. faktor pojacanja. Blok dijagram P clana ima izgled:

Slika 14.1. Blok dijagram proporcionalnog elementa.Raspored polova i nula. Ova funkcija prenosa nema ni polova ni nula.Frekventni dijagram proporcionalnog elementa u kompleksnoj s-ravni predstavljen jetackom na realnoj osi na rastojanju K od koordinatnog pocetka. Bode-ov dijagrampredstavlja pravu paralelnu sa apscisnom osorn, slika 2. fazni dijagram je q;\ro)=O.

IWUro ) I [dB ]20ogK--------

Iog o:Slika 14.2. Logaritamsko-frekventna karakteristika P elementa

ledinicni odskocni oazis. Za jedinicnu odskocnu funkciju na ulazu u sistem:1

x(t):= h(t); X (s)= - sOdziv sistema je:

Y(s) = K => y(t) =Kh(t)sGrafici ulaza i izlaza iz elementa su prikazani na slici 14.3. Ocigledno je izlazproporcionalan ulazu sa faktorom proporcionalnosti K .

] 0 7


37/62

yet)K--------x(t) = h(t)11---------

oSlika 14. 3. Jedinicni odskocni odziv P elementa.

Ulaz pornnozen sa faktorom K se trenutno transformise u izlaz (bez kasnjenja) ibez karakteristika prelaznog procesa, Posto se signal prenosi bez inercije, ovaj elementse nazi va i bezinercijani tj. idealni P element.

Primeri idealnog proporcionalnog elementaPrimerima idealnog P elementa mogu, uz odredjene predpostavke, da se

smatraju poluga, potenciometar i zupcasti par, prikazani na slici 14.4. od a) do c).

a)b.-- ...~

b) c)Slika 14.4. Primeri idealnog P elementa; a) Poluga; b) Linearni potenciometar;c) Zupcasti par

APERIODICNI ELEMENT PRVOG RED A (PTI ELEMENT)

Ovaj element se naziva istatickim iIi inercijalnim elementom prvog reda.Njegova prenosna funkcija sIedi iz funkcije prenosa opsteg oblika ako se njeni clanoviredukuju na clanove uz koeficijente ao , a, i bn :

boa o K

. .s_ s+ l T s+ la o

108


38/62

+( b s + c) Y (s ) = c X ( s )W ( s ) = Y ( s ) =_c_=__X ( s ) b s+c T s + l

gde je T = b / c vremenska konstanta elementa.PROPORCIONALNI ELEMENT DRUGOG REDA

Funkcija prenosa ovog elernenta se dobija kada se iz opsteg oblika funkcijeprenosa uzmu clanovi sa koeficijentima ao , a \, a i i bo , odnosno:

K

gde je K koeficijent pojacanja a T; i T, vremenske konstante. Blok dijagramelementa rnoze da se prikaze u obliku redne veze idealnog proporcionalnog elementa ielementa kasnjenja drugog reda, slika 14.12:

___L Y(s) = X(s) _K .. .._T/s2+TJs+l T/S2+T1s+lStika 14.12. Blok dijagram proporcionalnog elementa drugog reda

Prenosna funkcija elementa drugog reda se umesto preko vremenskih konstantiobicno izrazava u drugacijern obliku.W ( s ) = = K 1 /T 22

S2 + V I /T 22 ~ + l / T /Ako se radi jednostavnosti opet predpostavi K = l i uvedu smene:

2 1 ~O Jn =-2;- =q O J nT 2 T 2prenosna funkcija dobija oblik:

W ( s ) = y(s) = O J ~X(s) 52 + 2qaJns + O J ;gde je lVn prirodna ucestanost, a t; koeficijenat prigusenja, Ponasanje elementadrugog reda bitno zavisi od vrednosti koeficijenta prigusenja pa ce se analizirati sva tri

slucaja: 0


39/62

+

r

pa se e lem e nt dru gog re da sa kriticnirn prigu se nje rn dobija re dnom ve zom dvaaper iodicna e le me nta prvog re da sa is tim vre me nskim kons tantam a.Jedinicni odskocni odziv. Posto je :

lIt { I }(s ) = = ( )2 ~ y(t) = = -2 J [.i-1 - r : - - : -2I ]d ts Ts + 1 T 0 \s + 1- )Ovo je ta blic ni s lu ca ] L ap la ce -o ve tra ns fo rm ac ije :

t.i-I {Y(s)} = = te-TO davde se dobija:

1 t .: ( t J . :y(t)==T2 Jte Tdt=l- I-T e T =l-(l-{ont)e-("n(oIDEALAN INTEGRA CION I ELEMENT (I ELEMENT)A ko u opstoj fu nkciji pre nosa figu risu sarno clanovi sa koe ficije ntim a bo i a,o na je o blik a:

B lo k d ija gram e le m en ta jeIz fu nkcije pre nosa sle di da je e le me nt opisa n dife re ncijalnom je dna cinom

ty(t) = = K If x (t)it

oodakle je i naziv e le me nta. F aktor pojacanja K, pre ds tavlja odnos iz me dju brzine

izlazne promen1 jive i promenljive na u lazu u e lem e nt. O n ima dim enziju S -I pa jeKf=\/TJ, E le me nt ne ma nu la i im a pol u koordinatnom poce tku .

N yq uist-ov dijagram ovog e le me nta je prikazan na s lic i 1 4.2 0.1m (0))

0)=00,/ Re (or]0) = 0IStika 14.20. Polarni dijagram idealnog integralnog elementa

Logaritam sko-fre kve ntna karakte ristika ide alnog inte gralnog e lem e nta jeprikazana na slici 1 4.2 \.

1 17

1


40/62

IWOw)I [dB]20

IO J Iog o :

9 ' ( a J : r - - - - - - - - ._~ ~O)rp (w)-ff/2~----~~----------------Stika 14.21. Logaritamsko-frekventna karakteristika I elementa

Jedinicni odskocni odziv

Primeri integralnog elementaElektromotor jednosmeme struje sa konstantnom pobudom na slici 14.22 mozeda se smatra integralnim elementom ukoliko se zanemari elektrornehanicka ielektromagnetna vremenska konstanta.

eft) e I lStika 14.22. Elektromotor jednosmerne struje sa konstantnom pobudomUlaz u element predstavlja napon na rotoru e(l ), a izlaz ugao obrtanja vratila () (t). Pri praznom hodu (bez opterecenja), srnatrajuci da je pad napona na rotoru jednak nulii daje ugaona brzina proporcionalna naponu rnoze da se napise:

de(t) = Ke{t )d tgde je K faktor proporcionainosti. Funkcija prenosaje:

W(s) = e(s) = KE (s) sHidraulicki cilindar sa servorazvodnikom na slici 14.23. Moze da se pododredjenim uslovima smatra integracionim elementom.

1 1 8


41/62

+. . .

Predpostavlja se da su otvori na razvodniku konstantne sirine" tako da je protokulja u cilindar proporcionalan pomeranju klipa razvodnika x, (Q = kx). Ako masa kIipahidraulickog cilindra moze da se zanemari i ako se porneranje klipa U odnosu na nekisrednji poloza j oznac i say moze da se napise:

Q = dV = Adxd r

Slika 14.23. Hidraulicki cilindar sa servo razvodnikomOdavde se izjednacavanjern izraza za protok dobija:

d y ( t ) = K x ( t )dl

' -\

glasi: gde je K=k1A faktor proporcionalnosti. Prenosna funkcija servomotora ond~W(s) = Y(s) = Kx(s) s

\IDEALAN DIFERENCIJALNI ELEMENT (D-ELEMENT)

Neka u opstern obliku funkcije prenosa postoje samo clanovi sa koeficijentimab, iao. Ondaje:

w(s) = Y(s) = bjs = KDsX ( s ) a oBlok dijagram elementaje, slika 14.24:

X(S) " I K D s I Y(S~Slika 14.24.Diferencijalni element

Diferencijalna jednacina ovog elementa je:

( ) _ K dx(t) _ T dx(t)yt- D - D ,dt dt

11 9


42/62

+je r je oc igle dno da Kf) im a dime nziju vrem e na pa moze da se obe le zi i

v re m en sk om ko ns ta ntom T/). Iz dife re ncijalne je dnacine ponasanja e le me nta se vidi daje iz laz iz ide alnog D -e le me nta proporciona la n prvom izvodu -brzini u laz ne fu nkcije .Raspored p%va i nuLa. Iz funkcije pre nosa je ocigle dno da ona ima je dan pol u

koordinatnom poce tku i da ne ma nu la.Jedinicni odskocni odziv. I zla zje o dre dje n re la cijo m:

y ( t ) = K D O (t )gde je 8,. ( ) je dinicna im pu ls na (D irac-ova) fu nkc ija, tj., izlaz pre ds tavlja ide alnu

im p ul sn u fu n kc iju in te n zite ta KD. G rafik odziva izgle da kao na slici 1 4.2 5.

y(t)r--KD 1

oSlika 14.25. Jedinicni odskocni odziv idealnog D-elementa.

O cigle dno je da re alni e le me nt ne m oze da ima ovakvo ponasanje .D ijagram ide alnog dife re ncijalnog e le me nta u komple ksnoj ravni je prikazan na

slici 1 4.2 6, a logaritam sko-fre kve ntna karakte ris tika tog e le me nta je prikazana na slici14 .27. Jm(OJ) tOJ-oo

. . . . .O J=0Rc(OJ)

Slika 14.26. Dijagram idealnog diferencijalnog elementa u kampleksnaj ravni

fW(ja I [dB ] ______20 ~.0.1 _..-f 10 102 103 log a >-20 -K = ~1

r p (a 01t/2 ({ 1 (a

o log a >Slika 14.27. Logaritamsko-frekventna karakteristika D elementa

120


43/62

+Primeri idea/nng diferenci/alnog elementaTahogenerator jednosmernog napona na slicipobudno polje obezbedjuje pomocu permanentnogpobudnom strujom. /4.28. je takav element gde se./magnetavpa nema potrebe za/"

e(t)

/ "Slika 14.28. Tahogenerator jednosmernog napona.Napon tahogeneratora u(/ ) moze da se smatra proporcionalnirn ugaonoj brzini

vratila://// () K d()(t) '"/ ut= (--/ dt

gde je K / faktar proparcionalnosti. Prenosna funkcija tahogeneratoraje:W(s) = U(s) =K ,~~==~~~~~~ ~~e=(s). . t " l : ! ~~~~=:=:i- ~::..5~==~~

DIFERENCIJALNI ELEMENT PRVOG REDAU funkciji prenosa figurisu sarno clanovi sa koeficijentima ao, a, i bi :

gde je Kr=b-Ja vremenska konstanta diferencijalnog dejstva a Tva.lavremenska konstanta kasnjenja prvog reda. Element je opisan diferencijalnomjednacinorn:

Tdy + Y = KD dxdt dtElement maze da se predstavi kao redna veza bloka idealnog diferencijalnog

elementa i bloka kasnjenja prvog reda, slika 14.29:

Slika 14.29. Blok diferencijalnog elementa prvog reda.Raspored po[ova i nula. Funkcija prenosa ima jednu nulu u koordinatnom

pocetku ijedan real an negativan pol, slika 14.30.

121


44/62

+jO J

Stika 14.30. Raspored polo va inula DT elementa.Polam i dijagrarn dife re ncijalnog e le me nta prvog re da je prikazan na slici 1 4.3 1,

a logaritam sko-fre kve ntna karakte ris tika ovog e le me nta je prikazana na slici 1 4.3 2.fm ( O J )

Re ( O J )Slika 14.31. Logaritamsko-frekventna karakteristika DT elementa

10 lo g O J

lW u O J ) I [dB]20 log KD

0.1

q ; ( O J )

Slika 14.32. Logaritamsko-frekventna karakteristika D elementa prvog redaJedinicni odskocni odziv. P os to je

K 1y(s) =w(s)x(s)= :: '--1S+-T

in ve rzn om L ap laso vom trans form ac ijom s e do bija:tK --y(t) = _f2_e T.T

1 22


45/62

G raflkje dinicnog od skoc nog od ziva za s lu ca] KD>T prikazan je na slici 1 4.3 3 .Primeri di(erencijalnog elementa I reda

U laz ni n ap on k on de nzato ra UI umanje n je za pad napona U 2 na izlazu u sle dotpora R pa su je dnacine kola:t

ul (t) - _ ! _ f i{ t )d t - R i{ t) = 0; u2 (t ) = Ri(t)CoE lim in is an je m s tru je i(t) iz ovih jednacina i prim enom L aplace -ove transform ac ijedobija se :

odnosno:

gdeje T=RC.

U2 (s ) = RCU] (s)- RCU2 (s )W(s) = U 2 (s ) = = __I !_U](s) Ts+l

yet)x(t)

1 x(t) =h(t)

Slika 14.33. Odziv diferencijalnog elernenta I reda.Bezine rcijalni mehanicki sis tem sastoji se od apsorbe ra sa koe ficije ntom

v is ko zn og tr en ja b i line arne op ru ge kru tos ti c i prikazan je na slici 1 4.3 4.x y

Slika 14.34. Bezinercijalni sis tern opruga - amortizerIz u slova ravnote ze sila U opruzi iamo rtiz e ru s le d i:

123


46/62

od nu le kada postoji promena u laza upravljanja ili porernecaja. G e ne ra lno , z ada takkontrole ra je da zadrzi u pravljanu prom enljivu blizu ze lje ne vre dnost kada se ovo de si.Preciznije , zadaci u pra vl ja nja s u :

I . M in im iz ira nje greske u s ta !j en og s tanja .2. Min im iz ira nje vre m ena do stiz anja z ada te v re dno sti.3. Postizanje drugih zahteva u pre laznom proce su , kao sto je m inim iziranjem aksim alnog pre skoka, itd.

U p ra ks i p ro je ktn i zadaci za kontrole r su znatno de taljniji. Na prime r, moze sezadati oblast sigu rnosti za granicnu stabilnost. Tacne numericke v re dn os ti p ar am e ta rasiste ma nisu nikad poznate sa potpu nom sigurnoscu i neki proje kti kontrole ra m oraju dabudu vise osetljivi na neke ne izve snosti parame tara ne go dru ga resenja, T o zahte vatacnu spe cifikaciju svih parame tara kontrole ra. Pre ovoga razmotrice se sle de ca dvazakona u pravljanja koja cine os nov m nogih sis te ma u pravljanja.

15.4.1. DVOPOZICIONO UPRAVWANJED vopoziciono u pravljanje je najce SC i tip i cesto se koristi kod ku cnih te rm ostata.

U pravljani izlaz u zim a je dnu od dy e vre dnosti. Sa kontrolerom "iskljuceno-ukljuceno"(on-off) izlaz ima sarno dve vrednosti. Takav je slu ca] sa te rmostatom pe ci. Izlazkontrole raje odre de n ve licinorn gre ske . K ontrole r ovakvog tipa se zove re gu lator.

Prim er prim ene dvopozicionog re gu !atora na re gu laciju nivoa tecnosti je prikazanna slici 15 .19.a. Vremenski odziv je prikazan na slici 15 .19.b. sa punom linijom zaide alan sistem , gde upravljacki ve ntil de lu je tre nu tno. U pravljana prome nljiva imaampiitudne ciklu se koji zavise od sirine ne u tralne zone iii zazora. Ova zona tre ba dapredupredi precesto ukljucivanje i iskljucivanje sto skracuje v ek u re da ja . Ucestanostciklu sa takodje zavisi od vre me nske konstante u pravljanog proce sa i ve licine u pravlja-ckog signala,

Pre skok i podbacaj u dvopozicionom re gu lisanju su prihvatljivi sarno onda kada jevreme nska konstanta proce sa znatno veca od vrem ena kasnjenja upravljackihe lemenata .

Drugi tip dvopozicionog kontrole ra je bang-bang kontroler, ci jije dijagramukljucivanja p rika za n n a slici 15.20.a .

Realnoh ponasanje Preskok--~-- ~~---- ------ - - - - - - - - -\. Idealno

...-. ,/ ponasanje- , f " =:: -"'~7-P~db~t~T-----/ Kriva prainjenja

Prek idac IIU

Plovakh ' I, Kriva punjenja

a) b)Stika 15.19. a) Upravljanje nivoom tecnosti sa dvopozicionim regulatorom,

b) Vremenski odziv.

J4 3


47/62

fe e

a) b)Slika 15.20. Prelazne karakteristike. a) Idealno bang-bang upravljanje,

b) Bang-bang upravljanje sa mrtvom zonom (f - upravljacki signal, e - signal greske).Ovaj kontroler se razlikuje od dvopozicionog kontrolera po tome sto smer iii znaksignala upravljanja moze da ima dye vrednosti. Motor sa konstantnim momentom kojise moze brzo obrtati unazad moze da se modelira ka o bang-bang uredjaj. Posto jeovakvo idealno upravljanje nemoguce , tacni model u klju cu je "rn rtvu zonu", Slika1 --l-5-.2-0-.b-.~K-a-d-a-je-g-r~:::~.:~.:~np:uR~ta~:~::v~~;::::~~:j::J~::::~~:~tr~:~~:~~j~::~~U~I:~N::JE:- ~Dvopoziciono upravljanje je prihvatljivo za mnoge primene u kojima zahtevi nisu

suvise ozbiljni. U nekim primenama kucnog grejanja odstupanje temperature od 1 C setesko otkriva. Zbog toga je potrebno finije upravljanje. Posmatrajmo sistem sarezervoarom na slici 15.19.a. Da bi se zamenio dvopozicioni regulator moze da sepokusa da se u pravijacki ve ntil ru cno podesava, da bi nivo protoka ornogucio da sesistem balansira na zadatom nivou. Onda se rnoze dodati kontroler koji podesavapostavljanje proporcionalno odstupanju nivoa od zeljene vrednosti. Ovo je proporcio-nalno upravljanje, algoritarn u kojem se upravljacki signal menja proporcionalnogreici. Treba se podsetiti konvencije da se blok dijagrarni za kontrolere crtaju pomocuodstupanja od ravnoteznog stanja sa nultom greskom, Primenom ove konvencije nao ps tu te rm in ol og iju na slici 15.4 . proporcionalno upravljanje rnoze da se opiserelacijom:

F(s) = = K p E (s) (15.18)gde je F(s) odstupanje signala upravljanja a Kp je proporcionalno pojacanje. Ako jeukupno pomeranje ventila y a ru c no z ad ato pomeranje x , onda je:

y(t) = = Kpe(t) + x " (15.19.a)Procentualna promena greske potrebna davse ventil pomeri za celu duzinupodesavanja je proporcionalni opseg. On se racuna preko pojacanja kao:"p = 100 " . \.. ( 1 5 . 19 .b)opseg% . "Dijagram promene izlaza kontroJera zavisno od greske je prikazan na slici 21.144


48/62

Poja s /proporc ionalnost i((t)

o e(t)SUka 15.21. P ro m ena u pra vlja cko g sig na ta u fu nkc iji g resket . 15.4.2~1.~RO!~~"~_~~~


49/62

(15.21)

5.24. Da bi se generisao uporediv signal greske, potrebno je da KI i K2 budu jednaki. Saovim uproscenjem dijagram postaje kao na Slici 15.24. gde je K=KIKpKrr lR .

njs) + n ( s )

Slika 15.24. Uprosceni blok dijagram za slu ca j K ,= K 2.Funkcije prenosa su:.0(5) K---'-:-'~=----. o d ( S ) Js+b+K

. o ( s ) -1=----Mp(s) Js+b+K

(15.20)

Promena u zeljenoj vrednosti brzine moze da se simulira odskocnim ulazom zaO)d. Za f4t(s) = lis bice K 1.0 (5)= .-Js+b+K s (15.22)

Vrednost brzine ustaljenog stanja se odreduje koriscenjern granicne teoremeLaplace-ove transformacije:

(15.23)

Znaci krajnja vrednost je manja nego zeljena vrednost 1, ali moze da budedovoljno blizu ako je viskozno prigusenje b malo. Vreme potrebno da se dostigne ovavrednost (vreme smirenja) je priblizno 4 vremenske konstante, iii 4r=4J/(b+K).lznenadna promena u momentu opterecenja rnoze takode da se mode lira jedinicnomodskocnom funkcijom Mp(s)=l/s. Odziv sistema usled opterecenja nalazi se premajednacini (15.12).

-1 1 v/0(8)= .-Js+b+K s (15.24)Vrednost odziva na jedinicni odskocni porernecaj se koriscenjern granicne

teoreme dobija daje: -1/(b+K). Ako je (b+K) veliko, greska je mala.Na osnovu ovoga performanse proporcionalnog zakona upravljanja sistemom

prvog reda, u slucaju jedinicnog odskocnog ulaza i porernecaja, su:. , . , /~

- > / ~ . I~)az nikad ne dostize zeljenu vrednost cak i pri odsustvu poremecaja ako postojio~or (b *- 0), ali moze da se ucini bliskim zeljenoj vrednosti biranjem dovoljnov~likog pojacanja K . Ovo je pocetna greska.laz se priblizava konacnoj vrednosti bez oscilacija. Vreme da se ovo dostigne jeI bmuto proporcionalno pojacanju K.

\ zlazna greska usled porernecaja pri ustaljenom stanju je obrnuto proporcionalna\- pojacanju K. Ova greska postoji cak i kad nema otpora (b = = 0 ) .

146


50/62

_ _ _ _ --- . . . .)-S lika 15 .2 5 . prikazu je dva tipa gre ske u stalje nog stanja koji mogu da postoje u

sis temu . U pokazanom prim e ru ze limo da brzina bu de co = I, tj.,n:s) :::: lis. N a slici1 5.2 5.a. ne de lu je pore me caj i prikazana je poce tna gre ska. N a slici 1 5.2 5.b. privre me nose u zima ,n:s) = 0 , da se vidi e fe kat porem e caja. Prikazana je brzina za je dinicnio ds ko cn i p ore rn e ca j Mp(s)=l/s. G re ska u stalje nog stanja u sle d pore me caja je 1/(b+K).Ako oba u laza de lu ju istovrem e no na sistem stvarna brzina se ponasa kao na slici1 5 .2S .c., tj. ona je zbir odziva na slikama 15 .25 .a. i IS .2 S .b. Ukupna grest: je zb i rpocetne greske i greske usled poremecaja. !

~ S a pove canie rn pojacanja K, vre rne nska konstanta postaje manja, a odziv brzi.I D akle , glavni ne dostatak proporcional nog u pravljanja je u tom e da se gre ska u stalje nogstanja moze smanjiti sarno onda kada se pojacanje izabe re toliko ve liko da re du ku jenajve ci odskocni porem e~Posto proporcionalno u pravljanje daje nu ltu gre sku sarnoza je dan u slov opte re ce nja, (re fe re ntna ravnote za), proizilazi da ope rator m ora ru e n o dam e nja p od eS a va nje p oja ca nja K.

;-;;;dnost proporcionalnog dejstva je da (teorijskt) signal upravljanja trenutnoreaguje na gresku, O no se karisti kod prim e na gde se zahte va brzo de lovanje . Proce s ikod kojih su vre me nske konstante mnogo manje ne go kod korisce nja dvopozicionogu pra vlja nja iz is ku ju P -d ej~

R ezu ltati ave analize mogu da se prim e ne na bilo koji sis te m prvog re da oblikakao na slici 1 5.2 3. K ontrole r te mpe ratu re i k on tro le r n iv oa te cn os ti s u p ro po rc io na ln ikontrole ri, a njihovi blok dijagrarni lako m ogu da se sve du na ovaj oblik.

-----_ ~PRIMER: Pre tpostavim o da po froje nje na slici \5 .17 im a J = 2 i b = = 3 . Naci pojacanje .K potre bno da\ daje gre sku stalje nog stanja 0 .2 , ako je co je dinic ni odskocni u lai.'O dre diti re zu ltu ju cu vrem e ku konstantu i gre sku u stalje nog stanja u sle d je dinicnog

.....dskocnog porem e caja. /ReS~nje: ~re'k/us,aljenOg stanjaje:

"


51/62

+

15.4.2.2. UNAPREDNA KOMPENZACIJA (FEEDFORWARD COMPENSA TlON)/sa slike 15.26.a., vidi se da je moguce da se "prevari" kontroler u davanju nulte

greske ustaljenog stanja davanjem zadanog ulaza O ld koji je veci nego zeljena vrednostbrzine. Posebno, ako se kontroleru da ulaz koji je (b+K)/K puta veci nego zeljenabrzina, pocetna greska ustaljenog stanja bite nula. Ovime se uvodi principkompenzacije Ulaz~

~oze da se projektuje kontroler koji samog sebe podesava tako da eliminisekonstantnu gresku ako se koristi raspored blokova kao na slid 15.26.b., gde jepojacanje Kf izabrano da elirninise konstantnu gresku , Ovaj oblik kompenzacije ulazase zove unapredna kompenzacija, Ona je ekvivalentna mnozenju odskocnog uJaza sa(b+K)/K, ali ima dodatnu prednost da rnoze da re9UkUjlJgre ku i za nagibni ulaz.Funkcija prenosa po ulazu moze da se nade iz (15.4): '.o(s) _ Kr +K -.od(S ) - Js+Ii+K . (15.25)

n,,(S)+i>iK~) lsi/' ~i;(S). ~a)

+

b)Stika 15.26. Kompenzacija ulaza. a) eliminacija greske za odskocni ulaz.b) unapredna (kaskadna) kompenzacija.

150


52/62

I

~~~

~~

~ediniCni odskocni U laz>_@ L= :,_-&!=K) /~~+!0 . .A_k o s e iz ab e:e K,r=b, onda je(/}s,,= 1 , i g re sk a je n ula . Q _'@_ kQ_r_ rJJ I:l~ nj~ _n alillrul~ kQIDpeUzaCija ne !I tj e n a o dziv~ Pore me caja. Efikasn2 .~ _lJ.n~ pr.e _dne ...k .om p.e .nzac.ije ..zaris i.Q doga kol iko,_~ ~--iatrlO~.QS.t-koeii .c.i .rent~Lp:rlg\lSe_njab"",postQ_.IDQra da se slmd_1fe.;;:Jz.... Posto l~p~ ig~~e n je t e ~ko p re c iz no od re d it. 1 _k .9 rl sL -o{ !- -Uf la ?r -e d -f :l e _komp~DzaQ_ li~_ j~_granic~a. -. _PostoJe Idru ge m etode za e lim inaciju gre ske i u napre dna kom pe nzacija se ce stok.6ris tr-- 1ft---u kom binaciji sa njim j

15.4.2.3. PROPORCIONALNO UPRAVLJANJE NA NAGIBNI liLAZ /Ulaz U oblikJ nagibne fu nkcije je dobar te s t sisobnosti sistem a u pravljanja da

'prati ravnom em o prbm enljiv u pravljacki s ignal. Jab nagibna fu nc ija ne ogran ic en oraste , u praksi nas in~ re su je odziv sis te ma dok traje pre lazni proce s . Na slid 15.27)prikazan je dan oblik \te sta koji pre dstavlja tipican profil ze lje ne u gaone brzine )'farddiska kod racu nara, U \~ ilju da se dostigne odre de na particija na disku vratilo tre 9/da sekre ce m aksimalnom b~finom , potom da se _ obrce kostantnom brZino~ i da - s e sto jen ajb rz e rn og uc e za us ta vi,

U cilju da pratizadani u laz kontrole r mora da bude u stanj da radi i saodskocnirn ik ons tan tn o prom e nljivim u lazom . Trazeneperformanse mogu da budu :brzina C O m mora da bu de 0;m a za t} s; t s ; t2 i OJ mony da zadovolji u slovO s; o ; { t 3 ) S ; b. Najpre tre ba da S y vidi kada proporconalno e Jstvo zadovoljava ovezahte ve . S a u napre dnom kornpe nzacijom kao na slid 15.26.. odnos gre ske maze da senade izjednacine (15.6) uzMp(s) = 0:-,

(s) = JSf.b-K7 f 2 ds+b,+K.. .I , / : 2 a "

m. Nagib a/( / . ; ... ~ Stvami odziv/I Y _ ~ Zeljeni profitI \ ,/ \ ,d

//".-/'/ \/ S Hka 15 .27 . Tipicni ielje~i profit brzine izahtevi tacnosti.I Za a,(s ) =~ . g re s ka u s ta lje n og s ta nja \ie :S2, .\ \

. . . . .

( 15.26)

a(t)

tI ' 3

l S I


53/62

15/ 15.4.2.4. PROPORCIONALNO UPRAVUANJE SISTEMOM DRUGOG REDAProporcionalno upravljanje neutral no stabilnog postrojenja drugog reda jepredstavljeno pozicionim kontrol~rom na slici 4, a.~o je funkcija pojacavaca usvoje~a~t:%:::.kao konstanta Ga(s) = K; Neka je prenosna funkcija motora Gm(s) = K/R, kao sto Je--t;;7"---napred usvojeno. Modifikovani blok dijagram je dat na slici 15.29, gde je K =K/KaK7IR.

Slika 15.29. Pozicioni servomehanizam sa proporcionalnim upravljanjemPrenosne funkcije su:

8(s) K8d(s) Js2+bs+K ( 15.27)

8(s) -1Md(S)c Js2+bs+K ~ ( 15.28)

Zatvoreno kolo upravljanja je stabilno ako su koeficijenti karakteristicne jednacineJ, b iK pozitivni". Za slucaj da nema prigusenja (b = 0), sistem je granicno stabilan. /Odziv ustaljenog stanja na jedinicni odskocni ulaz 8d(s ) = 1/s (i bez poremecajaj je: 1 / - :

( K )lK (Ie ss = I im s .- = - = 1. / v---s-+o Js2 + bs + K s K V~ta greska je, prema tome, nula ako je sistem stabilan (K > 0). Odstupanje izlaza

od ustaljenog stanja usled jedinicnog odskocno~ uF je -11K, pa se prema tome mozeredukovati izborom dovoljno velikog pojacanja i < ; .

Treba napomenuti da nulta greska ustaljen~ra sistema drugog reda nije uveknula. Ako je prenosna funkcija objekta, um~0 (late, na primerl/(Js2 +bs+K), ondace nulta greska da bude k/(k+K). Nulta~r{ska u posmatranom primeru je bila nuJa zatosto je K = 0; sto znaci da prenp-a f4nkcija objekta sadrzi cisti integrator. (Ovajintegrator je prikazan u cisto fakrorisanornebliku na slici 15.29).

(15.29)

r-Karakteristicna jednacina u funkciji '. prenosa rnoze da se izrazinonnalizovanom obliku:

u tzv.

S Kod s is te m a d ru g og r ed a p otre b ni u s lo vi s ta biln os ti s u is to vrem e no i d ov oljn i u s lo vi.

153


54/62

- +. a ( 5 ) K. a d ( 5 ) = J S 2 +bs +K = 2 b K = 5 2 + 2~tVn5 + tVn2S +-s+-J J

K K

gde je oi, sopstvena ucestanost sistema a ~ koeficijent prigusenja.Prelazni proces jeokarakterisan koeficijentom prigusenja: , r - = _ b _ / J.i-: ." 2 - ! J K '/ Za malo prigusenje, odziv na jedinicni odskocni ulaz ce da bude oscilatoran savelikim preskokom. Situacija se pobo'fava ako se pojacanje K ucini dosta velikim, daredukuje odstupanje usled poremecaja.i

Greska ustaljenog stanja ovog~stema, za jedinicni nagibni signal je ess = . ! ! _ . [ ~hn:Ci, ako je b veliko, sistem je oscilatoran, ali nagibna greska je velika. Prema t!emoze da se zakljuci da proporcionalno upravljanje ovakvirn objektom nije dobar izbor.

~ Sada ce biti pokazano kako se ovo moze poboljsati. j

. 15.4.3. INTEGRA7 'O UPRAVLJANJEPocetna greska k~a se javlja pri pr6porcionalnom upravljanju je rezultat dostizanja

ravnoteze sistema pri [cernu se upravljackl signal ne menja. Ovo dozvoljava da postojikonstantna greska, Ako se kontroier modifikuje tako da proizvodi signal koji se

J /povecava sve dotle dok je greska razlicita od nule, pocetna greska rnoze da se eliminise,Ovo je princip integralnog uprf,~ljanja. U ovom modu, promena upravljackog signalaje proporcionalna integralu g~ske. Prema terminologiji sa slike 15.4., bice:/ K/ F(s)=-J E(s) (15.30)

',! 5gde je F(s) prom~nly~ignala upravljanja, a K, je integral no pojacanje, U vremen-

skorn domenu ova relacjja je:If" t/\ t(t)= KJ Je(t)d t ;(1(0)= 0) (15.31)

/ \ 0

Iz ovog oblika se vidi da integracija ne moze da se produzava neograniceno, jer biteoretski proizvfla beskonacno veliku vrednost f(t). Ovo uslovljava da posebna paznjamora da se obrati na resetovanje (ponovnu inicijalizaciju) kontrolera.

E- ~ . = ~~~=~~=~==-== ::!i3 !5;f;o- ...... .._,,/,/15.4.3.1. INTEGRALNO UPRAVWANJE SISTEMOM PRVOG REDAIntegralno upravljanje brzinom motora jednosmeme struje prikazano je blok

dijagramomnaslici 15.30.,gdeje K =KJKfKr /R .

154


55/62

+

1 B

njS);~)L~f _ _ ~JS+b~Slika 15.30. Brzinski servomotor sa integralmim upravljanjem.

Prenosne funkcije zatvorenog kola su:. o ( s ) K. o d ( S ) = Js2 + bs + K.0(5) -s--"-;'-;- =-----c::----Mp(s) Js2 +bs + K (15.33)

(15.32)

~/ Sistem upravljanja je stabilan za J, b j K pozitivno. Za jedinicni odskocni ulazO J ss = K / K = 1; pa je staticka poziciona greska nula. Za jedinicni odskocni porernecaj,odstupanje od ustaljenog stanja je nula pa je sistem stabilan. Prema tome, performanseustaljenog stanja na jedinicni odskocni ulaz ovakvog objekta, pri integralnomupravljanju, su odlicn~

Koeficijent prigusenja se kao i rnalocas nalazi na isti nacin:

~ slabom

bq =2mprigusenju, odziv sistema ce da bude vise oscilatoran nego

eksponencijaJan, kao sto je bilo kod proporcionalnog upravljanja. Poboljsanaperform ansa ustaljenog stanja je dobijena na teret pogorsanja performanse prelaznogprocesa. Ovaj konflikt izmedu odziva ustaljenog stanja i zahteva prelaznog procesa jeuobicajena tema pri projektovanju sistema upravljanja. Sve dok je sistem neprigusen,vremenska konstantaje 1 " = 2J /2b i pojacanje K na nju nema uticaja posto i one u tomslucaju utice samo na ucestanost ovih oscilacija. Fizicki jemoguce da se K ucini toliko malim da bude S ~ 1, i ponovo se javlja neoscilatorni ka-rakter proporcionalnog upravljanja, ali odziv sistema postaje los. Prelazna specifikacijaza brz odziv cesto zahteva S < 1. Teskoca sa S < 1 je u tome da je 1 " odredjeno sa b i 1.Ako su b iJ takvi da je S < 1, ondaje Jveliko, za slucaj daje J c~~--15.4.3.2. INTEGRALNO UPRA VLJANJE SISTEMOM DRUGOG REDA

Proporcionalno poziciono upravljanje servomehanizmom na slici 15.29 daje nenul-to odstupanje ustaljenog stanja us led poremecaja. Integralno upravljanje primenjeno naovaj sistemje prikazano blok dijagramom na slid 1 5 . 3 1 . Prenosne funkcije su:

155


56/62

- _ -

Ojs)+

Slika 15.31. Pozicioni servomehanizam sa integralnim upravljanjem

O(s ) K0A s) :: J s3 + bs2 + K (15.34 )

, e ((s)):: 3 -s2 / ; 0 ' (15.35)O d s J s + bs + KIz imenioca u funkcijama prenosa (15.34) i (15.35) se vidi da nedostaje clan uz S, pasistem nije stabilan jer ne ispunjava ni potrebne uslove stabilnosti. Ovo moze da sepotvrdi i primenom Routh-ovog kriterijuma/)/

s3 J 0S2 b Ks l JK 0bs O K_ ! I J o 1 : : - JK. b K ~/__1 I an an_21 = 1 =K---- d, ::-- JKI- 8n_1 8n_1 8n_3 b b K b ' C1 0b

Odavde se vidi da se znak u prvoj koloni Routh-ove tabIice menja dva puta pa sledi daje sistem nestabilan jer par konjugovano kompJeksnih korenova ima realni deo nadesnoj strani kompleksne ravni .

~

/ Integralno upravljanje je korisno u poboljsavanju performanse ustaljenog stanja, aligeneralno ne poboljsava, a rnoze cak i da pogorsa, performansu prelaznog stanjasistema. Nepravilno primenjeno, one moze da proizvede nestabilan sistem upravljanja.Najbolje je da se koristi zajedno sa nekim drugim nacinorn upravljanja.

-:= - - ,~=:;:;=--==--"""",,,,,-~,._""L.1 5 . 4 . 4 . PROPORCIONALNO,LUS /NTEGRALNO UPRAVLJANJElntegralno upravljanje u prethodno~ p~meru povecava redsistema za jedan, ali ne

daje karakteristicnu jednacinu sa dovQ1jno felksibilnosti da se postigne prihvatljivprelazni proces. Trenutna promena 0dzi'va pri proporcionalnom dejstvu omogucujepromenljivost koeficijenata karakteristicne jednacine, uz istovremeno zadovoljavanje/

156


57/62

Slika 15.33. PI dejstvo

PI upravljanje primenjeno na kontroler brzine prikazano je blok dijagramom naslici 15.34.

Slika 15.34. Brzinski servomehanizam sa PI upravljanjem.Funkcije prenosa su:

~ . Q ( s ) ,:,- - '- :- '- : - = ----=-----------. Q d ( S ) Js2 +(b+Kp)s+K[rJ-;;(s) = -sr Mp(s) Js' +(b+Kp)s+K}

gde se koeficijenti K i K, odnose na pojacanja odgovarajucih komponenti kao i

(15.38)

(15.39)

ranije.Sistem je stabilan za pozitivne vrednosti Kp i K, . Za . Q d ( s ) : : ; : 1 / s , bice

OJ ss = K [ / K [ = 1 i staticka greska sistema je nula, kao i sa sarno integralnimdejstvom. Slicno, odstupanje usled jedinicnog odskocnog poremecaja je nula zaustaljeno stanje. Koeficijent prigusenja je:

b+Kp I~= 2~JKI_~

(15.40)

15 8


58/62

I~

P ris us tv o p oja ca nja KI' ornogu cava da se koe ficije nt prigu se nja izabe re be zfiks iranja vre dnosti dom inantne vre me nske konstante siste ma. N a prim er, ako je siste mne prigu se n, vre me nska kons tanta je2Jt= r (~< 1 )s-:, (15.41)

Pojacanje Kp moze da se izabe re da se dobije ze lje na vrem e nska konstanta, dok seK, koris ti za pode savanje prigu se nja sistema. S licna tle ks ibilnost postoji za ~ = 1.K om ple tan opis pre laznog odziva zahte va pre dstavIjanje dinam ike brojioca u pre nosnojf un kc iji r ad i n je g ov og s ra cu na va nja ,

"-Primer: ~ ~ e dp ~ sta \ir :n 0 d ~~ e ~=b=l i z ada ta p :r f~ n nans a ueva daje r = 72.~"- a) Naci vrednost! pojacanja za PI upravljanje t e da je I) < ; = 0.707 2 )-, ~=l. \~ " b) D isku tov~ ,i p(O je ktovanje za < ; > I i je dinj ni odskocni odziv za va tri'""" slucaja. \ ' /""~ ) Za oba slu caja \ ! ) i 2) , j e dnac ina (3.23) da j!,"


59/62

///

stvamog pre skoka i vreme na u sponasa onim predvidenim za mode l drugog re da be zdinamike brojioca. . IU zaklju cku treba re ci dadati prime r pokazu je da dinamika brojioca fu nkcijep re no sa , u ve de na P I u pr~ vlja pJe m , d aje ve ci p re sko k ikrace vreme u spona u odnosu nasiste m be z dinam ike u br~ j~ ocu . Inte gralno de jstvo izaziva dinam iku u brojiocu ali dajenu ltu gre sku u stalje nog st5 lhja za odskocni u laz. M e du tim , karakte ristike PI u pravljanjanisu tako dobre pri nagibnom u lazu . Pri nagibnom u lazu gre ska u stalje nog stanja jeess = b l K / s to d aje nyfu sarno kada ne ma prigu se nja, Izbor kontrole ra uve k mora da seiz vrs i na o sno vu z ah ;v an ih pe rform an si i zada tih og ran~enj a.

~L~~~~~~2E~~~~/ 15.4.4.2. PI UPRA VLJNJE SISTEMOM II REDA

20/ Inte gralno upravljanje pozicionim se rvomehanizmom na slici 15 .24. dajekarakte risticnu je dnacinu tre ce g re da ne stabilnog siste ma. D odavanje m proporcinalnogclana, blok dijagram postaje kao na slici 1 5.3 6. cije su pre nosne fu nkcije : (? 8(s) = Kp s+K , I ' /~': 8A s) J s3+ bs2+ K ps+ K / ~//.Y 8(s)Mp(s )

(15.42)-S (15.43)

8J.5) +

i--- Slika 15.36.Pozicioni servomehanizam drugog reda sa PI upravljanjem.Pe rformanse u stalje nog stanja su prihvatljive , kao i ranije , ako je siste m stabilan.

O vo je tacno ako je zadovolje n R ou th-ov krite riju m stabilnosti, to je st ako su J, b, KI' iK, pozitivni i ako je b K p - JK / > O . O vde se javlja te skoca ako je prigu se nje b malo,je r onda K mora biti dovoljno ve liko da zadovolji ovaj u slov, a ovo te sko m oze fizicklda se ostvari. O vaj u slov moze takodje da u zroku je ne zadovoljavaju cu vreme nskukonstantu , ali de taljna analiza kubne je dnacine je za sada izvan nase paznje, Metodage ome trijskog me sta kore na (GMK) obe zbe dju je alat za analiziranje dalje gprojektovanja.

' 1 Inte gralno de jstvo te zi da proizve de signal u pravljanja cak i posto je gre ska ne stalasto suge rise da kontrole r tre ba da "zna" kada se gre ska priblizava nu li radi pre kidanjaovog de jstva. Je dan nacin da se ovo ostvari u proje ktovanju kontrole ra je da on de lu jepre ma izvodu gre ske sa diferencijalnim zakonom upravljanja:

F(s) = KDSE(s) (15.44)gde je Ki, koe ficije nt dife re ncijalnog pojacanja. O vaj algoritam se takode zove i dejstvobrzine promene. O n se koristi da se prigu se oscilacije izlaza. Posto zavisi isklju civo od

161


60/62

brzine promene greske, diferencijalno dejstvo ne treba nikad da se koristi sarno. Kada sekoristi zajedno sa proporcionalnim dejstvom, dobija se PD algoritam upravljanja:

F(s) = (K p + KDS)(S) = Kp(l + TDS)(S) (15.45)gde je TD =K D / K p vremenska konstanta izvoda iii vremenska konstanta brzinepromene.

,,f(t) :\f"l/\....1 \//, \/ / i - ' - ' - , ; - ' - - -/ \/,/ \

/ \~ @ ,

e - :Slika 15.37. Gresko izlaz kontrolerapri PD upravljanjuKada je ukljuceno i integralno dejstvo - PID upravljacko dejstvo, odnosno zakonupravljanja, dobija se:

F(s) = ( tc; + ~J + KDs )(S )Ovo je kontroler sa tri dejstva. i,

(15.46)

11 15.4.5.1. PD UPRAVLJANJE SISTEMOM DRUGOG REDAProjektovanje kontrolera sa sva tri delovanja povecava cenu sistema (izuzev rnozdakod digitaInih sistema, gde se jedino vrsi promena softvera). Postoje primene upozicionom servomehanizmu u kojem odstupanje usled porernecaja, razlicito od nulernoze da se tolerise, ali se zeli poboljsanje u prelaznom procesu u odnosu naproporcionalno upravljanje. Integralno dejstvo se ne zahteva, i brzina promene dejstvamoze da se nameni da poboljsa prelazni odziv sistema. Primena PD upravljanja na ovajsistem je data blok dijagramom na slici 15.38.

) e(s) = Kp +KDs V (15.47)eD(s) Js2 +(b+KD)S+Kpt?~ e(s) -1 ~ (15.48)Mp(s) Js2 + (b + K D )s + K p

162


61/62

+

Slika 15.38. Pozicioni servomotor sa PD upravljanjem '\/.I/ Sistem je stabilan za pozitivne vrednosti K f) i KI'. Prisustvo promene brzine dejstvane utice na ustaljeno stanje odziva za je d in ic ni o ds ko cn i ulaz i rezultati ustaljenog stanjas u id e ntic ni onima za P upravljanje. Koe fic ij e nt p ri gu s en ja je:

b+KD~= 2~JKpZa P upravljanje je S =b/2~ JK p . Uvodjenje dejstva brzine promene omogucava

da se bira dovoljno veliko proporcionalno pojacanje K da se smanji odstupanjeustaljenog stanja, dok Kf) moze da se iskoristi za dostizanje prihvatljivog koeficijentaprig~n~r Izvodljivost diferencijalnog uredjaja u konstruisanju je u kontradikciji sa principomintegralne uzrocnosti. U sadasnjern primeru ekvivalent diferencijalnog (izvodnog)dejstva moze da se dobije koriscenjern tahometra za merenje ugaone brzine motora.Blok dijagram sistemaje prikazan na slici 15.39.

fJ js) + fJ(s)

Slika 15.39. Realizacija tahometarske povratne sprege _za zamenu PD upravljanja pozicionim servomehanizmom

Pojacanje sprege pojacavac - motor - potenciometar je K /metra. Prenosne fULJkC'jesu:Iv 8 (s) K J

8D(s) = Js2+(b+KJK2)S+KJe(s)Mp(s) Is2+(b+KJK2)s+KJ

a K 2 je pojacanje taho-

(15.49)

-1 (15.50)r:/ Poredjenje sa (15.47) i (15.48) pokazuje da sistem sa tahometarskom povratnomspregom ne poseduje nikakvu dinamiku u brojiocu. Ovaj sistem ce, prema tome, dabude nesto sporiji nego sistem sa cistirn PD upravljanjem. Sa druge strane, tahometarskapovratna sprega daje istu (slicnu) karakteristicnu jednacinu. Pojacanja K J i K 2 mogu dase izaberu tako da daju zeljeni koeficijent prigusenja i odstupanje od ustaljenog stanja,kao sto je vee radjeno sa K I' i KJ) . Tahometarski kompenzovan sistem ima vecu gresku

163


62/62

ustaljenog stanja na nagibni ulaz i oba sistema daju beskonacno veliku greskuustaljenog stanja za nagibni porem ec aj, '\23 15.4.6. P ID UPRAVLJANJE

. - Pozicioni servomehanizam sa PI upravljanjem nije potpuno zadovoljavajuci usledteskoca koje se srecu kadaje viskozno prigusenje b malo. Ovaj problem rnoze da se resikoriscenjem kompletnog PID upravljackog zakona, slika 15.40. Pozicioni servornehani-zam sa PID upravljanjem je prikazan na slici 15.41. Signal upravlanja je dat relacijom(15.4.28). paje: \~ .>:

F (s ) K ( 1{/ K S J ( 1 )-=Kp+-'-+KDs s,)A/-'-+-/)- =Kp l+-+TDs(s) s, -: K ps , T ,sgde su: T/ =Kpj K/; TD=Ko/X\ -:/ '\//' 1

Slika 15.40. Blok dijagram PID kontrolera ~

lYejS) + s,+ - ! f ' - +KD S ,----~.A.,---,L:...\..C-"---..::..L-I

Slika 15.41. Pozicioni servomehanizam sa PID upravljanjemSa slike 15.41 dobijaju se sledece prenosne funkcije:,/J(s) KDS2 +Kps+KJ

eAs) = Js3+(b+KD)s2+Kps+K[!jl/e(s) -s\ 1 ' Mp(s) = Js3+(b+KD)s2+Kps+KJ

(15.51)

(15.52)

Sistemje stabilan ako su sva pojacanja pozitivna i ako je ispunjen uslov:(15.53)/Prisustvo KD donekle smanjuje zahtev da K bude veliko da se obezbedi

stabilnost. Greske ustaljenog stanja su nula, a prelazni proces moze da se poboljsa takoda se biraju tri koeficijenta u karakteristicnoj jednacini prenosne funkcijej

164

Usmeni automatsko

Documents

Transcript of Usmeni automatsko