ushtrime matlab

Ing. dip.Ramiz Kastrati

Detyra të Zgjidhura me Programin MATLAB® (Versioni 7.0.0)

Prishtinë Janar 2010

Print to PDF without this message by purchasing novaPDF (http://www.novapdf.com/)

http://www.novapdf.com/


Ing. dip.Ramiz Kastrati Detyra të zgjidhura në Programin MATLAB

2/224

Përmbajtja:

1. Llojet e fajllave në programin Matlab 2. Operatorët: Logjikë, Relacionet dhe aritmtikë 3. Numrat komplekës 4. Vektorët dhe Matricat 5. Ekuacionet algjebrike dhe transandente 6. Paraqitjet grafike, funksionet me një të panohur 7. Kushtëzimet dhe unazat 8. Llogaritja e shumës 9. Llogaritja e limitit 10. Ekuacionet Diferenciale 11. Llogaritja e |Integralit 12. Ekuacionet e Laplasit 13. Inversi i Laplasit, Funksionet Transmetuese 14. Ekuacionet e gjendjes 15. Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit 16. Simulink 17. S- Function 18. Rrjetat Fuzzy Neurale





3/224

Llojet e fajllave në programin Matlab

Gjatë përdorimit të programit Matlab, kemi mundësi ti përdorim dy mënyra të shkrimit të kodit:

Përmes linjës komanduese Command window dhe M – fajllave.

Përdorimi i linjës komanduese ka përparësi e veta por edhe mangësitë sepse me përdorimin e kësaj forme kodet e shkruara dhe rezultatet humben pas përfundimit dhe mbylljes së programit Matlab. Për këtë arsye paraqitet nevoja e formimit të fajllave në të cilët mundemi ti fusim kodet programore , rezultatet numerike , grafikën dhe strukturat etj.të cilat mbesin të ruajtura në këto fajlla dhe mundë të thirren sa herë që na nevojiten. Varësisht se çka dëshirojm të ruajmë programi Matlab gjeneron dhe shfrytëzon këto fajlla me këto ekstensione: M, MAT dhe MEX. Ekzistojnë dy lloje të M fajllave : Komandues (script) dhe funksione (function). Ne për shkuarjen e kodit programor po përdorim formën linjore pra comman windows, por të gjithë shembujt janë të realizuar edhe duke përdor M fajllat.

Operatorët Logjikë, Relacionit dhe aritmtikë Në vazhdim po paraqesim tabelat për operacione Logjike, Relacionale dhe aritmetike.

& DHE | OSE ~ JO

Tabelat me vlerat e operacioneve logjike

A B ~A A&V A|B 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0





4/224

Vërejtje: MATLAB e trajton çdo vlerë jo zero si vlerë të sakët, kurse vlerën zero si vlerë te pa sakët Operatoret e relacionit janë operator binar dhe shfrytëzohen për krahasimin e shprehjeve. Krahasimi i shprehjeve është i sakët ( true ) me shenjë 1 ose jo i sakët ( false ) me shenjen 0.

Tabelat me vlerat e operacioneve relacionit

Shprehjet aritmetike shfrytëzojnë operacionet e zakonshme aritmetike

+ mbledhja - zbritja * shumëzimi / pjesëtimi ^ fuqizimi \ Pjesëtim nga ana e djathët

Tabelat me vlerat e operacioneve aritmetike Shembull 1: Llogarit vlerën e shprehjes: >> 2+4-6

ans = 0

Vërejtje : Nga ky Shembull shohim se MATLAB- i vet e krijon shprehjen me emër ans (answer-përgjigjeje )

< Më e vogël <= bartë ose më e vogël se > Më e madhe <= Më e madhe ose e barabartë = = E barabartë ~ = Jobarabartë





5/224

Shembulli 2:

Te llogaritet

1422x

. >> x=2+(2*4-pi)

x = 27.1327 Vërejtje: Numri je si madhësi konstante në MATLAB. Mjafton ta shtypim simbolin pi ( e jo 3.14) Shembulli 3: Të llogaritet vlera e shprehjes y=3x për x=32 : >> x=3^2; >> y=3*x

y = 27

Vërejtje : Nëse nuk duam menjëherë të paraqitet në ekran, atëherë në fund të komandës vendosim ; (pikëpresje). Shembulli 4: Të llogariten shprehjet :

1. 2 + 4 + 6 2. 4*25+6*22+2*99 3. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6 4. E=B*25+C*22+A*99 për A=2 , B=4 , C=6 5. D=A+B+C për A=2 , B=4 , C=6

% llogaritja e shprehjes a >> 2 + 4 + 6

Ans = 12

% llogaritja e shprehjes b >> 4*25+6*22+2*99

ans = 430





6/224

% llogaritja e shprehjes c >> A=2

A = 2

>> B=4; >>C=6

C = 6

>> D=A+B+C

D = 12

% Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c: % llogaritja e shprehjes d >> E=B*25+C*22+A*99

E = 430

% llogaritja e shprehjes e % Vrejtje : Vlerat për A,B,C i marrim nga shembulli nën c: >>A=2; >>B=4; >>C=6; >>D=A+B+C

D= 12

Shembull 5: >> %shembulli 5.a





7/224

>> ~4 ans = 0

>> %shembulli 5.b >>5 <=9

ans= 1

>> %shembulli 5.c >>9<=5

ans= 0

>> %shembulli 5.d >> 2*5

ans = 10

>> %shembulli 5.e >> 3*8 ; % për shkak‘;’ rezultati nuk do të paraqitet.

ans = 24

shembull 6: >> a=1; b=3; % vlerat për variabla >> if a==b % shprehja logjike për vlerat a dhe b disp ('a më e madhe se b') else disp ('b më e madhe se a') end Rezultati nga kompjuteri b me e madhe se a Shembulli 7: Llogarit vlerën e shprehjes: 5<3





8/224

>> 5<3

ans = 0

Numrat komplekës

Pjesa Imagjinare është e definuar si vlerë e përhershme. Shfrytëzohet zakonisht shprehja

1i ose 1j . >> i=sqrt(-1)

i = 0 + 1.0000i

Numrat kompleksë munden sikurse në matematikë të definohen në dy mënyra. z x iy Forma algjebrike ku x pjesa reale , kurse pjesa imagjinare e numrit kompleks.

irew Forma eksponenciale. Ku r moduli, kurse b argumenti i numrit kompleks. Shembulli 8: Të shkruhet numri 2 3z i . >> z=2+3*i

z = 2.0000 + 3.0000i

Shembulli 9:

Të shkruhet numri 62i

ew . >> w=2*exp(i*pi/6)

w = 1.7321 + 1.0000i

Sqarim:





9/224

Moduli, argumenti, pjesa reale dhe imagjinare e numrit kompleks fitohet duke shfrytëzuar urdhërat abs, angle, real, imag, conj. Shembull 10: c = a + b për : 3i 2 a dhe i - 1 b >> % shprehja për mbledhjen e dy numrave kompleks. >> format short >> a = 2 + 3i; >> b = 1 - i; >> c = a + b

c = 3.0000 + 2.0000i

Shembull 12: >> c1=1-2i

c1 = 1.0000 - 2.0000i

Shembull 13: Të llogaritet shprehja

a. 3*)1(2(31 c

b. )2(2 c

c. )5.0sin(63 ic d. )5.0sin(64 jc %ekuacioni duke përdor numrat kompleks shprehja a. >> c1= 3*( 2-sqrt ( -1 ) *3 )

c1= 6.0000 - 9.0000i

%llogaritja e shprehjës b





10/224

» c2=sqrt ( -2 ) c2 = 0 + 1.4142i

%llogaritja e shprehjes c >> c4=6+sin( .5 )*i

c4 = 6.0000 + 0.4794i

%llogaritja e shprehjes d >> c5=6+sin( .5 )*j

c5 = 6.0000 + 0.4794i

Sqarim: Për caktimin e moduli dhe argumentit të numrave kompleks shfrytëzojmë shprehjen:

jMeiba ku M-moduli , kurse - argumenti për shprehjen e më poshtme vlen :

sincos

)(

22

MbMa

abarctg

baM

Kalimi nga koordinatat e dekartit në polare dhe anasjelltas i realizojmë duke përdor urdhrat : abs, angle, real i imag : Shembull 14: >>c1=1-2i; % shprehja >>mag_c1=abs(c1) % moduli i numrit kompleks

mag_c1 = 2.2361

>>angle_c1=angle(c1) % argumenti i numrit kompleks angle_c1 = -1.1071

>>deg_c1=angle_c1*180/pi % këndi në grad





11/224

deg_c1 = -63.4349

>>real_c1=real(c1) % pjesa reale real_c1 = 1

>>imag_c1=imag(c1) % pjesa imagjinare imag_c1 = -2

Shembull 15: >> z = 3 + 4 * i % pjesa reale 3, pjesa imagjinare 4

z = 3.0000 + 4.0000i

>> z = 3 + 4 * j z = 3.0000 + 4.0000i

>> z = 3 + 4 * sqrt(-1) z = 3.0000 + 4.0000i

Forma polare >> z=5*exp(i*0.927295218) % kendi i dhene ne radiana

z = 3.0000 + 4.0000i

Shembull 16: >> E=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8]; >> E=[1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]





12/224

E = 1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Funksionet kuadratike

02 cbxax Forma m,matematikore e zgjidhjes

aacbbx , 2

42

21

Shembull 17: Për a=1, b=5 dhe c=6, zgjidhja do të jepet në formën e më poshtme . % detyra për funksionin kuadrarik >>a=1; b=5; c=6; >>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x1 = -2

>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = -3

>>a*x1^2+b*x1+c % vërtetimi i rezultatit ans = 0 >>a*x2^2+b*x2+c % vërtetimi i rezultatit

ans = 0

Shembull 18:





13/224

Po i zgjedhim vlerën e koeficientet të ekuacionit të detyrës 02 cbxax a=1, b=4 i c=13. atëherë zgjidhjet e ekuacionit do të jenë. %detyra për funksionin kuadrarik për a=1, b=4 i c=13 >>a=1; b=4; c=13; >>x1=(-b+sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a)

x1 = -2.0000+3.0000i

>>x2=(-b-sqrt(b^2-4*a*c))/(2*a) x2 = -2.0000-3.0000i

Vrejtje : Rrënjët janë komplekse të konjuguara me rezultat x1 =-2.0000+3.0000i Dhe x2 =-2.0000-3.0000i





14/224

Vektorët dhe Matricat Shembull 19: Shkruani vektorin x=(1, 2, ... , 10). >> x=1:10

x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Urdhri length llogaritë gjatësinë e vektorit. Shembull 20.a: >> x=1:10

x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

>> length(x)

ans = 10

Shembull 20.b: Shkruani vektorin x=(1, 3, 5,7). >> x=1:2:8

x = 1 3 5 7

Shembull 21: >>A=[1; 4; 5 ]; >>B=[2; 3; 3 ]; >>D=[A; B]

D=1 4 5 2 3 3





15/224

Shembulli 22: Të gjinden vlerat max dhe min të vektorëve >> A = [8 4 4 1 7 11 2 0]; >> max(A)

ans = 11

>> min(A)

ans = 0

Shembull 23: Produkti i vektorit me vetveten >>J=[0; 3; 4 ]; >>J.*J

a= 25

>>a=sum(J.*J) ans= 0 9 16

Shembulli 24: Të paraqitet matrica A >> A = [-2 2; 4 1 ]

A= -2 2 4 1

Shembulli 25:





16/224

Të llogaritet prodhimi i matricës (A )me skalar (2). >> A = [-2 2; 4 1 ] >>C=2*A

C= -4 4 8 2

Shembull 26: Matrica e transformuar e matricës A >> A = [-1 2 0; 6 4 1 ]

A= -1 2 0 6 4 1

>> B=A’

B = -1 6 2 4 0 1

Shembull 27: Numri i ai antarëve të matricës >> A = [2;3;3;4;5]; >> length(A)

ans = 5

>> B = [1;1]; >> length(B)

ans =

2 Shembull 28:





17/224

Numri max i vektorit të dhënë >> A = [8 4 4 1 7 11 2 0]; >> max(A)

ans = 11

>> min(A) ans =

0 Shembull 29.a: >> u = [i; 1 + 2i; 4]; >> sum(u.*u)

ans = 12.

Shembull 29.b: Matrica e transformuar e matricës u >> u = [i; 1 + 2i; 4]; >> v = u'

v =

0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000

Shembull 29.c: >> v = conj(u)

v =

0 – 1.0000i 1.0000 – 2.0000i 4.0000

Shembull 29.d: >> b = sum(v.*u)

b =

22





18/224

>> magu = sqrt(b)

magu =

4.6904

Shembull 30: Gjetja e antarit ai të vektorit të dhënë A >> A = [12; 17; –2; 0; 4; 4; 11; 19; 27]; >> A(2)

ans =

17 >> A(8)

ans =

19 Matrica është fushë e numrave e cila definohet me dy indekse mxn, ku indeksi i parë m nënkupton numrin e rreshtit , kurse i dyti n numrin e kolonës. Elementet zakonisht vendosen në rreshta, kurse në kllapa [ , ] vendosen lista e elementeve. Lista e elementeve ndahet me presje apo me pikëpresje. Tasteri Enter ose pikëpresje ( ; ) shfrytëzohet për ndarjen rreshtave të matricës. Shembull 31: shkruaje matricën :

247586421

A

>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2]

A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2

Forma e dytë për shkrimin e matricës është : >> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2]





19/224

A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2

Matricat me strukturë speciale Urdhri eye na jep matricën njësi (tabela 1).

Urdhri Përshkrimi eye(n) Matrica njësi me dimensione nxn eye(m,n) Matrica njësi me dimensione mxn eye(size(A)) Matrica njësi me dimensione të matricës A

Shembull 35: Të Formohet matricën me dy rreshta dhe tri kolona elementet e së cilës në diagonalen kryesore janë 1, kurse elementet tjera janë 0 . >> X=eye(2,3)

X = 1 0 0 0 1 0

Shembull 32: Të formohet matricën njësi, dimensionet e matricës janë dhënë nga shembulli i latë shënuar. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; >>X=eye(size(A))

X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Urdhëri ones i jep matricës elementet e së cilës janë të gjithë zero (tabela 2).

Urdhëri Përshkrimi

ones(n) Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet janë një 1





20/224

ones(m,n) Matrica me dimensione mxn nxn ku të gjithë elementet janë një 1

ones(size(A)) Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn ku të gjithë elementet janë një 1

Shembull 33: Të formohet matricën kuadratike të rendit 2 ku të gjithë elementet janë një. >> X=ones(2)

X = 1 1 1 1

Urdhëri zeros i jepet matricës ku elementet e së cilës janë zero (tabela 3).

Urdhëri Përshkrimi

zeros(n) Matrica me dimensione nxn ku të gjithë elementet janë zero

zeros(m,n) Matrica me dimensione mxn ku të gjithë elementet janë zero

zeros(size(A)) Matrica me dimensione të matricës së dhënë A nxn ku të gjithë elementet janë zero

Shembull 34: Të formohet matricën me dy rreshta dhe dy kolona ku të gjithë elementet janë të njëjtë pra . >> X=zeros(2,3)

X = 0 0 0 0 0 0

Shembull 35: Të formohet matrica e rendit të tretë duke shfrytëzuar urdhrin magic Urdhri magic(n) i jepen matricës me elemente të plotë në mesë 1 dhe n2, dimensioni nxn, duke marrë parasysh që mbledhja e elementeve në rreshta dhe kolona është konstante





21/224

>> X3=magic(3)

X3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2

Shembull 46: Urdhri diag(A) fiton matricën diagonale të matricës së dhënë A. Të formohet matrica duke shfrytëzuar urdhrin diag. >> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A))

A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 X1 = 1 -3 -6 X2 = 1 0 0 0 -3 0 0 0 -6

Në operacionet bazike me matricat hyjnë:

mbledhja





22/224

zbritja shumëzimi pjesëtimi

Mbledhja dhe zbritja e matricave Mbledhja dhe zbritja e matricave realizohet duke u mbledhur respektivisht duke u zbritur elementet e caktua të matricës. Në këto raste duhet të kihet parasysh që matricat të jenë të njëjtit dimension. Shembull 37: Të mblidhen matricat A dhe B, ku matrica C është matrica e fituar. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; >>B=[2, 3,-4; 1, -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B

B = 2 3 -4 1 -1 1 3 2 -1 C = 3 5 -1 3 -4 2 -1 -3 -7

Shembull 38: Nga matrica A të zbritet skalari 1 për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> D=A-1

D = 0 1 2 1 -4 0 -5 -6 -7

Vërejtje : Në Shembullin paraprak, skalarin 1 MATLAB-i automatikisht e kupton si matricë me dimensione të njëjta sikurse matrica A me të gjithë elementet e barabartë me 1





23/224

Shumëzimi i matricave Shumëzimi i matricave me skalar realizohet ashtu që secili element i matricës e shumëzojmë me vlerën e skalarit të dhënë. Duhet të kihet parasysh që vlen ligji. kA=Ak. Shembull 39. Nëse k=5, cakto F=5A. Për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A , F=5*A

A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 F= 5 10 15 10 -15 5 -20 -25 -30

Shumimi i dy matricave : Prodhimi i matricës A={ jia , } (dimensione mxr) dhe B={ jib , } (dimensione rxn) është matrica e re C (dimensione mxn) elementet e së cilës janë :

, ,1

r

ij i k k jk

c a b

.

Shembull 40: Shumëzo matricën A dhe A1, për A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1

A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 A1 = 1 2





24/224

2 -3 1 6 P= 8 14 -3 19 -20 -29

Shembull 41: Nëse kishim dëshiruar që të shumëzojmë matricën me rend jo të njëjtë A1*A, atëherë do të fitojmë mesazhin >> A1*A

??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree.

Matrica e transponuar Transponimi i matricave me koeficient real është ndërrimi i rreshtave me shtyllat e matricës . Realizohet me përdorimin e operatorit ' . Shembull 42: Është dhënë matrica e transponuar A, ku E është matrica e fituar për %vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> E=A'

A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 E = 1 2 -4 2 -3 -5 3 1 -6

Shembull 43:





25/224

Tek matricat e transponuar ku si elemente të matricës janë numrat kompleksë, MATLAB-i kryen të ashtu quajturën transponimin kompleksë, ku njëherësh e transponon matricën dhe njëkohësisht e konjugon çdo element të tij. >> Z=[1+2*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] , W=Z'

Z = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i W = 1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 7.0000i 2.0000 + 6.0000i 4.0000 - 8.0000i

Determinanta Determinanta e matricës kuadratike është numri i cili llogaritet duke përdor operatorin det. Shembull 44: Të llogaritet determinanta A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> D=det(A)

A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 D= -27

Nëse është në pyetje matrica me elemente komplekse mundemi njëkohësisht të shfrytëzojmë dy format e shkrimit të matricës . Shembull 45: Shkruani matricën .





26/224

iiii

Z84736251

Matricën e shënojmë ashtu që në formë të veçanta pjesën reale dhe në formë tjetër pjesën , pra i ndajmë pjesën reale nga ajo imagjinare. >> a=[-1, 2; 3, 4] ; b=[5, -6; 7, 8] ; Z=a+b*i

Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Shembull 46: Shkruaje matricën Z nga shembulli paraprak ashtu që elementet i vendosim menjëherë edhe pjesën reale edhe atë imagjinare. >> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i]

Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Në shembujt e më sipërm pamë se si bëhet shkruarja e matricave në programin Matlab. Tani do të njihemi me matrica speciale, operacionet me matrica dhe veprimet tjera me matrica Elementet e matricës A të cilat ndodhen në rreshtin e i-së dhe kolonës j-mundë të fitohen me përdorimin e urdhrit A(i,j). Shembull 47:

654132321

A

Nga matrica ndaj elementin në rreshtin e dytë dhe kolonën e tretë. >> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ;





27/224

>> A(2 , 3)

ans = 1

Nëse dëshirojmë të ndajmë të gjithë rreshtin apo kolonën shfrytëzojmë komandën A(k,:), A(:,k), ku k paraqet rreshtin e kërkuar, ose kolonën. Shembull 48: Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm, duke shfrytëzuar urdhrin size. >> size(A)

ans = 3 3

Shembull 49: Të caktohet dimensionet e matricës së dhënë A nga shembulli i më sipërm , duke shfrytëzuar urdhrin [m,n]=size(A). >> [m, n]=size(A)

m = 3 n = 3

Shembull 50: >> A = [-1,6; 7, 11]; >>B = [2,0,1;-1,7,4; 3,0,1] >>A = [-2 2; 4 1]

B =

2 0 1 -1 7 4

3 0 1





28/224

A = -2 2 4 1

>> C = 2*A

C = -4 4 8 2

Shembull 51.: >> A = [5 1; 0 9]; >> B = [2 –2; 1 1]; >> A + B

ans = 7 –1 1 10

>> A – B ans = 3 3 –1 8

Shembull 52.a: >> A = [-1 2 0; 6 4 1]

A = –1 2 0 6 4 1

>> B = A' B = –1 6 2 4 0 1

Shembull 52.b: >> C = [1 + i, 4 -i; 5 + 2*i, 3 -3*i]





29/224

C = 1.0000 + 1.0000i 4.0000 – 1.0000i 5.0000 + 2.0000i 3.0000 – 3.0000i

>> D = C'

D = 1.0000 – 1.0000i 5.0000 – 2.0000i 4.0000 + 1.0000i 3.0000 + 3.0000i

Shembull 52.c: >> A = [12 3; –1 6]; B = [4 2; 9 1]; >> C = A.*B

C = 48 6 –9 6

Shembull 52.d: >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A.*B

ans = 6 4 5 12

>> A*B

ans = 11 14 13 16

Shembull 52.f: >> A = [1 4; 8 0; –1 3]; B = [–1 7 4; 2 1 –2]; >> C = A*B

C = 7 11 –4 –8 56 32 7 –4 –10





30/224

Shembull 52.g: >> A = [1 2 3 4]; >> b = 2; >> C = b + A

C = 3 4 5 6

Shembull 52.h: >>A = [2 4 6 8]; B = [2 2 3 1]; >> C = A./B

C = 1 2 2 8

>> C = A.\B

C = 1.0000 0.5000 0.5000 0.1250

Shembull 52.i: >> B = [2 4; -1 6]

B = 2 4 –1 6

>> B.^2 ans = 4 16 1 36

Shembull 53:





31/224

Caktimi i anëtarit te matricës >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> A(2,3)

ans = 6

>> A(:,2)

ans = 2 5 8

>> A(:,2:3)

ans = 2 3 5 6 8 9

>> A(2:3,1:2)

ans = 4 5 7 8

Matrica inverse





32/224

Nga definim matematikë adjA

AA

)det(11

. Matrica inverse 1A , matrica e dhënë A në MATLAB caktohet me ndihmën e operatorit inv(A). Shembull 54: Gjeni matricën inverse, të matricës së dhënë A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A ; Ai=inv(A)

Ai = -0.8519 0.1111 -0.4074 -0.2963 -0.2222 -0.1852 0.8148 0.1111 0.2593

Fuqizimi i matricës Nëse A matricë kuadratike , kurse p numër i plotë pozitiv, fuqizimin e matricës mundë

ta definojmë në formën vijuese:

p

p

A AAAA AAAA L1 4 4 2 4 43.

Për matrica rregullare (determinanta e ndryshueshme prej zeros) A, vlen pp AA 1 . Fuqizimi i matricave kuadratike realizohet me ndihmën e operatorit ^ , ashtu që

shprehja pA^ dhe )(^ pA jep p -në dhe p -në shkallën e matricës A .

Shembull 55:

Për matricën rregullare A të caktohet 2 2,A A

dhe të vërtetohet a vlen IAA 22 , ku I matrica njësi me dimensione të njëjta sikurse matrica A. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M

J = -7 -19 -13 -8 8 -3 10 37 19





33/224

M = 0.3608 -0.1646 0.2209 0.1674 -0.0041 0.1139 -0.5158 0.0947 -0.2853 I = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000

Pjesëtimi i matricave Në llogaritjet për matrica operacioni i pjesëtimit nuk është i definuar kurse në MATLAB ekzistojnë dy operator për pjesëtim: \ nënkupton “pjesëtim ” nga e majta / nënkupton “pjesëtim ” nga e djathta Le të jetë A matricë rregullare kuadratike

1\ *A B A B 1/ *A B B A

Rezultati fitohet direkt, pa llogaritjen e matricës inverse. Shembull 56: Në shembullin e ardhshëm mundë të shohim ndryshimin në mesë operatorit “pjesëtimi” nga e majta \ dhe nga e djathta /. % vlera e matricës A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6], B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] >> A , B , K=A\B , K1=A/B

A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 B = 2 3 -4 1 -1 1





34/224

3 2 -1 K = -2.8148 -3.4815 3.9259 -1.3704 -1.0370 1.1481 2.5185 2.8519 -3.4074 K1 = -2.2000 -3.0000 2.8000 0.9000 3.5000 -1.1000 4.6000 6.0000 -6.4000

Po theksojmë se X=A\B (X= 1A B) paraqet zgjedhjen e ekuacionit AX=B, kurse X=A/B (X=B 1A ), paraqet zgjedhjen e ekuacionit XA=B. Shembull 57: Të zgjidhet ekuacioni i matricës AX=B.

Ku matricat e dhëna janë:

654132321

A

dhe

221

B

. (vërejtje :

1AX B X A B ) >>A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] >>B=[1; 2; -2] >> A ; B ; X=inv(A)*B

X = 0.1852 -0.3704 0.5185

%Ose forma tjetër >> X=A\B

X = 0.1852 -0.3704 0.5185

Shembull 58:





35/224

Të pjesëtohet matrica A me skalarin 2, nga ana e majta dhe e djathta . % pjesëtimi nga ana e majtë >> A\2

??? Error using ==> \ Matrix dimensions must agree.

% pjesëtimi nga ana e djathtë >> A/2

ans = 0.5000 1.0000 1.5000 1.0000 -1.5000 0.5000 -2.0000 -2.5000 -3.0000

Shembull 59.a: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [12 3; -1 6]; B = [4 2; 9 1]; >> C = A.*B

C = 48 6 -9 6

Shembull 59.b: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A.*B

ans =

6 4 5 12

Shembull 59.c:





36/224

Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [2 1; 1 2]; B = [3 4; 5 6]; >> A*B

ans = 11 14 13 16

Shembull 60: Shumëzimi i matricës A dhe matricës B >> A = [1 4; 8 0; -1 3]; B = [-1 7 4; 2 1 -2]; >> C = A*B

C =

7 11 –4 –8 56 32 7 –4 –10

Ekuacionet algjebrike dhe transandente Shembull 61.a: Të zgjidhet ekuacioni x+5=0 duke përdor urdhrin (solove). % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> eq1='x+5=0'; >> solve(eq1)

ans = -5 Shembull 61.b: % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> solve('x+5=0')





37/224

>> syms x

ans = -5 Shembull 61.c: >> % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> solve(x+5) ans = -5 Shembull 61.d: >> % zgjidhet ekuacioni x+5=0 >> syms x >> x=solve(x+5)

x = -5 Shembull 62: Të zgjidhet ekuacioni >> solve('exp(2*x)+3*exp(x)=54')

ans = log(6) log(9)+i*pi Shembull 64:

Të zgjidhet ekuacioni 0232 yy

>> eq2='y^2+3*y+2=0';

5432 xx ee





38/224

>> solve(eq2)

ans = [-2] [-1] Zgjidhja do të jetë për y1=-2 dhe y2=-1 Shembull 65: >> eq3='x^2+9*y^4=0‘; >> solve(eq3) % Note that x is presumed to ve the unknown variable

ans = [3*i*y^2] [-3*i*y^2]





39/224

Paraqitjet grafike funksionet me një të panohur Njëra ndër përparësitë ndoshta më të mëdha të programit Matlab është mundësia shumë e madhe e paraqitjeve grafike. Në Programin Matlab ekzistojnë shumë komanda përmes së cilave paraqiten format grafike e të dhënave 2D ose 3D. Forma grafike e fituara mundë të ruhen në formate të tilla ashtu që mundë të ruhen dhe të përdoren ne programet tjera.

MATLABI posedon mundësi të mëdha të paraqitjeve grafike. Urdhri bazikë për vizatimin është plot. Mënyra më e lehtë e paraqitjes grafike në boshtin kordinativ është shfrytëzimi i i urdhrit plot(x). Me rastin e vizatimit bëhet hapja e dritarja për grafikë në të cilën vlejnë të gjitha rregullat sikurse edhe në dritaret e sistemit operativ Windows. Lista e urdhrave dhe funksioneve të shfrytëzuar plot vizatimi linear zplot grafiku i funksionit fplot grafiku i funksionit subplot ndarja në pjesë e dritares grafike figure dritarja për vizatim title emërtimi i grafikut xlabel teksti nën boshtin x ylabel teksti nën boshtin y zlabel teksti nën boshtin z text përshkrimi tekstual gtext vendosja e tekstit me prekjen me mi grid rrjeta hold on mbajtja e grafikut (figurës) në dritare hold off heqja e grafikut (figurës ) nga dritarja syms definohet ndryshorja simbolike meshgrid Shfrytëzohet për vizatim tre dimensional





40/224

Shembull 66: Të vizatohet vektori me koordinatat e dhëna . >> x=[1,2,4,8,16]; >> plot(x)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16

Nga ky shembull mundemi të shohim se MATLABI për vlera të ndryshores x ka fituar shumë vlera, kurse grafiku ka vlerat e x-it njashtu pikat e grafikut të vizatuar kanë

koordinatat 1, 1 , 2, 2 ....x x Në rastin e përgjithshëm urdhri plot(x) vizaton grafikë duke i lidhë pikat (i, x(i)), i=1, 2, 3,…, N, ku N gjatësia e vektorit. Vlerat e ndryshores mundë të jepen në formë të pa mvarura. Në këtë rast shfrytëzohet urdhri plot(x,y).





41/224

Shembull 67: Të vizatohet vekori me koordinatat e dhëna. x=[1,2,4,8,16]; >> x=[1,2,4,8,16]; >> plot(x) >> x=[1 2 3 4 5]; >> y=[-2,3,4,-5,6]; >> plot(x,y)

Figura 7. 1

Shembull 68:

Të paraqitet grafikisht funksioni 2sin xxxy në kufijtë e dhënë. - >> x=-4:.1:4; >> y=x.*sin(pi*x).^2; >> plot(x,y)





42/224

Vrejtje: Në sistemin e njëjtë kordinativ mundë të vizatohen më shumë funksione. Shembull 69:

Të paraqitet grafikisht funksioni xy 2 dhe xy xe në sistemin e njëjtë kordinativ

>> x1=-1:1:1;y1=2*x1; >> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,x2,y2)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3





43/224

Forma e paraqitjes dhe vijave mundë të përdorin urdhrin plot. Për caktimin e llojit të vijave dhe formën mundë të shfrytëzojmë urdhrin plot(x,y,'lloji i vijave'). Tabela 7. 1 Mundëson zgjedhjen e llojit të vijave.

Simboli I vijave pershkrimi

. Pika o rrethi h h-shenja + plusi * ylli - Vija e plotë -. pikë – vijë : dypika -- Vija me ndërprerje

Tabela 7. 1 Tabela 7. 2 Mundëson zgjedhjen e llojit të ngjyrës së vijës. Tabela me anën e e së cilës mundemi të caktojm ngjyrat e lakoreve në Matlab.

Ngjyra Simboli Bardhe w E zeze k E kalter b E kuqe r E verdhe y vjollce c E gjelber g

Tabela 7. 2

Shembull 70: Nëse shfrytëzojmë shembullin 69 dhe vendosim për llojin e vijave dhe ngjyrën e tyre. >> x1=-1:1:1;y1=2*x1; >> x2=-1:.1:1;y2=x2.*exp(x2); >> plot(x1,y1,'g',x2,y2,'r+')





44/224

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Për paraqitje grafike të funksioneve mundemi ta shfrytëzojmë edhe urdhrin fplot(f,xmin,xmax).

Funksionin që e vizatojmë ka formën f x , ku x është vektor ku elementi i parë xmin, kurse elementi i fundit xmax. Në urdhrin fplot funksioni jepet me shkurtesën ' f '. Shembull 71:

Të paraqiten grafikisht funksioni 92 xy në domenin [-3 , 3]. >> f='x^2-9'; >> fplot(f,[-3,3])





45/224

-3 -2 -1 0 1 2 3-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Urdhri ezplot mundëson vizatatimin e funksioneve në domenin e definuar:

2 2x .

Për vizatimin e funksioneve të dhëna implicite ,f f x y përdorim urdhrin ezplot(f).

Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit , 0f x y në domenin fikës 2 2x dhe 2 2y .

Nëse është e nevojshme të ndërrohet domeni i funksionit atëherë mundë të nderohet dhe

urdhri ka formën ezplot(f,[a,b]). Me këtë urdhër vizatohet grafiku i funksionit f x në intervalin a x b .

Urdhri ezplot(f,[a,b]) bën vizatimin e grafikut të funksionit , 0f x y në domenin a x b dhe a y b . Shembull 72:

Të vizatohet grafiku i funksionit xy xe .

>> y='x*exp(x)';ezplot(y)





46/224

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

x

x exp(x)

Vrejtje: Mënyra tjetër që simbolikisht ta paraqesim funksionin është që së pari definojmë ndryshoret e pa varura x si ndryshore simbolike duke shfrytëzuar urdhrin syms. Shfrytëzimin e këtij urdhri mundë ta shohim në shembullin e më poshtëm. Shembull 73: Të vizatohet grafiku i funksionit nga shembulli i më sipërm duke përdor urdhrin sym. >> syms x >> y=x*exp(x);ezplot(y)





47/224

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

x

x exp(x)

Shembull 74: Të vizatohet grafiku i funksionit implicit .

2 2

12 4x y

.

>> ezplot('x^2/2+y^2/4-1')

x

y

x2/2+y2/4-1 = 0

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6





48/224

Shënimet në boshtet e grafikut Programi Matlab mundëson vendosjen e shënimeve në boshte si tekste të ndryshme dhe forma të ndryshme të paraqitjes plotësuese me qëllim të sqarimeve më të mira. Disa nga ato janë paraqitur në tabelën 7. 3.

shënjimi përshkrimi title Emri i grafikut xlabel Emri i boshtit x ylabel Emri i boshtit y text Emetimi i tekstit në grafikë

gtext Teksti në pozicionin e vendosjes së miut

grid Vizatimi i vijave të rrjetës

Tabela 7. 3 Teksti në urdhëratë e lartshënuara (tabelë) futet në kllapa dhe mbyllet në shojza . Urdhri hold on e mbanë foton në ekran. E kundërta me atë është urdhri hold off . Shembull 75: Të vizatohet grafiku i funksionit siny x dhe të shfrytëzohen urdhëratë nga tabela 3 >> syms x >> y=sin(x); >> ezplot(y) >> hold on >> title('sinus') >> xlabel('boshti x') >> ylabel('boshti y') >> text(0,0,'zero') >> gtext('max') >> grid





49/224

-6 -4 -2 0 2 4 6

-1

-0.5

0

0.5

1

boshti x

sinus

bosh

ti y

zero

Shembull 76:

Të vizatohet grafiku i funksionit 2 2y a x .

>> x=-5 : .5 : 5; >> a=1 : 5; >> [xx , aa]=meshgrid(x .^ 2 , a .^ 2); >> plot(x , xx-aa , 'k')

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25





50/224

Me shfrytëzimin e urdhrit meshgrid i cili transformon vektorin x dhe y në fusha dy dimensionale të cilat mundë të shfrytëzohen për vizatimin edhe në fusha tre dimensionale Urdhri subplot(m,n,p) nderon dimensionin e grafikut e cila mundëson në formimin e më shumë grafikeve në dritare. Dritarja ndahet në m n pjesë, kurse grafiku vizatohet në përpjesën p të ndarjes së dritares. Shembull 77: Me shfrytëzimin e urdhrit subplot të vizatohet grafiku i katër funksioneve: y1=x1 y2=x2*exp(x2) y3=cos(x3) z=exp(x4*i)

Zgjidhje >> x1=-1:1:1;y1=x1; >> x2=0:0.5:1;y2=x2.*exp(x2); >> x3=-pi:pi;y3=cos(x3); >> x4=0:pi/8:2*pi;z=exp(x4*i); >> subplot(221), plot(x1,y1) >> subplot(222), plot(x2,y2) >> subplot(223), plot(x3,y3) >> subplot(224), plot(z)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 10

1

2

3

-4 -2 0 2 4-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1





51/224

Paraqitjet grafike e funksioneve të ndryshme. Shembull 78: Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2 . Së pari duhet të definohet numri i pikave në intervalin 0 dhe 2 . >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> plot ( x, y )

Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Shembull 79: y=x 2 në intervalin prej -2 deri 2. >> x = -2 : 0.01 : 2 ; >> y=x.^2 ; >> plot ( x , y )





52/224

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Shembull 80: Me shfrytëzimin e komandës plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë funksione. y=sin ( x ); z=cos ( x ); >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> z=cos ( x ); >>plot ( x, y, x, z )





53/224

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Shënimi i grafikës dhe boshteve duke përdor urdhrat : title, xlabel dhe ylabel Shembull 81: >> x=-4*pi : pi/100 : 4*pi ; >> y=sin ( x ); >> plot ( x , y ) >> title ( ' Grafiku i funksionit y=sin ( x ) ' ) >> xlabel ( ' vlera e ndryshores x ' )





54/224

-15 -10 -5 0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 Grafiku i funksionit y=sin ( x )

vlera e ndryshores x

Shembull 82: Të vizatohet grafiku me pika në vendet e prerjes >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> plot ( x , y , x , y , '+' )

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Në shembujt e deritanishëm grafiku është paraqitur në një ekran të plotë, por ka mundësi që të paraqiten më shumë forma grafike të ndryshme në më shumë ekrane (maksimalisht 4) për çka përdoret komanda subPLOT. Forma e përgjithshme e kësaj komande është subplot(mnp).





55/224

Forma tre dimensionale e grafikut Siç thamë më lartë funksionet grafike në Matlab mundë të paraqiten edhe në formë 3D Shembull 83: Të paraqitet grafikisht funksioni Z=cos(x)sin(x) >> [x,y] = meshgrid(-2*pi:0.1:2*pi); >> z = cos(x).*sin(y); >> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

-10-5

05

10

-10-5

0

510-1

-0.5

0

0.5

1

xy

z

Shembull 84: Të paraqitet grafikisht funksioni

22 yxyeZ

>> [x,y] = meshgrid(-2:0.1:2); >> z = y.*exp(-x.^2-y.^2); >> mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') >> surf(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')





56/224

-2-1

01

2

-2-1

0

12

-0.5

0

0.5

xy

z

Shembull 85: Të paraqesim funksionin y=sin(x) për x prej 0 deri 2 . Së pari duhet të definohet numri i pikave në intervalin 0 dhe 2 . >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >>y=sin ( x ); >>plot ( x, y ) Pas së cilës paraqitet grafiku i më poshtëm.

Shembull 86: Ose për shembull funksioni y=x 2 në interval prej -2 deri 2. >>x =-2 : 0.01 : 2 ; >> y=x.^2 ; >> plot ( x , y )





57/224

Shembull 87: Me shfrytëyimin e komandes plot mundë ti paraqesim funksionet për më shumë funksione. >> x = linspace ( 0, 2*pi, 30 ); >> y=sin ( x ); >> z=cos ( x ); >> plot ( x, y, x, z )





58/224

Shembull 88: )sin()( tetf t Per kufijt 0 deri në 4 me hap 0,01

Zgjidhje

>> t = [0:0.01:4]; >> f = exp(-2*t).*sin(t); >> plot(t, f)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Shembull 89: Të vizatohen dy funksione

t

t

etgetf

2)()(

për intervalin 0 ≤t≤5: Zgjidhje

% se pari definohet intervali i perkufizimit >> t = [0:0.01:5]; % pastaj definohen te dy funksionet : >> f=exp(-t); >> g = exp(-2*t); %paraqitja grafike >> plot(t,f,t,g,'--')





59/224

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Shembull 90: Të definohen funksionet trigonometrike dhe hiperbollike y = sinh(x); z = cosh(x); per kufijte 0<x<2 për hapin 0,01

Zgjidhje

% se pari e definojm vlerat per x: >> x = [0:0.01:2]; >> y = sinh(x); >> z = cosh(x); % po paraqesim formen e paraqitjes grafike >> plot(x,y,x,z,'-.'),xlabel('x'),ylabel('Potenciali'),legend('sinh(x)','cosh(x)')

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

Pot

enci

ali

sinh(x)cosh(x)





60/224

Shembull 91: y = sinh(x); z = cosh(x); Për vlera -5<x<5.

Zgjidhje >> x = [-5:0.01:5]; >> y = sinh(x); >> z = cosh(x); %forma e paraqitjes se grafikut permes ngjyrave te kuqe >> plot(x,y,'r',x,z,'b') %forma e paraqitjes se grafikut me nderprerje permes ngjyrave te kalter >> plot(x,y,'r',x,z,'b--')

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80





61/224

Shembull 92: Të paraqitet grafiku për funksionin y = sin(2x + 3) për 0 <x <5.

Zgjidhje >> x = [0:0.01:5]; >> y = sin(2*x + 3); >> plot(x,y), axis([0 5 -1 1])

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Shembull 93: x(t) = t y(t) = t2 z(t) = t3 0 ≤ t ≤ 2.0

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2,100) ; >> x = t ; y = t.^2 ; z = t.^3; >> plot3(x, y, z), grid





62/224

00.5

11.5

2

01

2

340

2

4

6

8

Shembull 94: Të vizatohet grafiku i funksionit xexy x sin)( 7.0 Nëse w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hap rritje prej 0.1.

Zgjidhje >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 15; >> y = exp(- 0.7*x).*sin(w*x); >> plot(x, y) >> title('y(x) = e^-^0^.^7^x sin\omega x') >> xlabel('x') >> ylabel('y')





63/224

0 5 10 15-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1y(x) = e-0.7x sin x

x

y

Shembull 95: Të vizatohet grafiku i funksionit xexy x cos)( 6.0 Nëse ω =10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. me hapë të rritjes prej 0.05.

Zgjidhje >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 10; >> y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x); >> plot(x, y) >> title('y(x) = e^-^0^.^6^x cos\omega x') >> xlabel('x') >> ylabel('y')





64/224

0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1y(x) = e-0.6x cos x

x

y

Shembull 96: Te vizatohet grafiku i funksionit y(x) = e–0.7x sin x nese w = 15 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet per 0,1

Zgjidhje . >> x = [0 : 0.1 : 15]; >> w = 15; >> y = exp(– 0.7*x).*sin(w*x); >> plot(x, y)

0 5 10 15-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1





65/224

Shembull 97: Te vizatohet grafiku i funksionit y(x) = e–0.6x cos x Nëse = 10 rad/s, dhe 0 ≤ x ≤ 15. x rritet për 0.05. Zgjidhje . x = [0 : 0.1 : 15]; w = 10; y = exp(- 0.6*x).*cos(w*x); plot(x, y)

0 5 10 15-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Shembull 98: Të vizatohet grafiku i funksionit polar.

tr 3cos52 për 0≤t≤2π

Zgjidhje >> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> r = sqrt(abs(5*cos(3*t))); >> % forma polare e grafikut >> polar(t, r)





66/224

0.5

1

1.5

2

2.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Shembull 99: Të vizatohet grafiku i funksionit polar.

tr 3cos52 për 0≤t≤2π trx cos try sin

Zgjidhje

>> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> r = sqrt(abs(5*cos(3*t))); >> polar(t, r) >> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> r = sqrt(abs(5*cos(3*t))); >> x = r.*cos(t); >> y = r.*sin(t); >> fill(x, y,' k'), >> axis('square')





67/224

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Shembull 100: Të vizatohet grafiku i funksionit

xey x cos.21

për 0≤t≤20 .2

1xey

Zgjidhje

>> x = 1 : 0.1 : 20; >> y1 = exp(- 2*x).*cos(x); >> y2 = exp(2*x); >> Ax = plotyy(x, y1, x, y2); >> hy1 = get(Ax(1), 'ylabel'); >> hy2 = get(Ax(2), 'ylabel'); >> set(hy1, 'string', 'exp(- 2x).cos(x) ') >> set(hy2, 'string', 'exp(-2x) ');





68/224

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

exp(

- 2x)

.cos

(x)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

17

exp(

-2x)

Shembull 101: Të vizatohet grafiku i funksionit

tef t cos5/3 për 0≤t≤2π

Zgjidhje >> t = linspace(0, 2*pi, 200); >> f = exp(- 0.6*t).*sin(t); >> stem(t, f)

0 1 2 3 4 5 6 7-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6





69/224

Kushtëzimet dhe unazat

Programi Matlab në paketën e tij ka edhe urdhëra për kushtëzim dhe unaza si : if, for, while, else, break, error, while... Urdhëri if Shfrytëzohet për realizim (përfundim )të programit me kushtë . Forma e kushtit :

Forma I: if kushti urdhëri end

Forma II: if kushti

urdhëri 1 else urdhëri 2 end

Forma III: if kushti 1 urdhëri 1 elseif kushti 2 urdhëri 2 else urdhëri 3 end Vlera e ndryshores së pa mvarur mundë të futet duke shfrytëzuar urdhrin input(‘teksti’).





70/224

Psh. >> x=input('sheno vlerën e ndryshores x='); >> y=input(''shëno vlerën e ndryshores y='); Për paraqitjen e rezultateve në ekran përdorim urdhrin disp(‘tekst’). Forma e unazës for: for ndryshorja=shprehja

urdhri end Forma e unazës While: While unaza e përfundon programin deri sa të plotësohen më parë kushtet. while shprehja urdhri end





71/224

Shembull 102: Për moshën e dhënë merrni këto vendime : Nëse mosha është më e re se 21 vjet paraqit në dalje 'ndalohet alkoholi ', në të kundërtën dil nga programi .

Fillimi

Sh;no vitet

Nëse vitet janë më

pakë se 21

Dalje, nuk ka alkohol

Fundi

>> vitet = input('vitet janë :')

vitet janë :20 >> if vite <21

disp(' ndalohet alkoholi') end

ndalohet alkoholi

Vërejtje : Për moshen më të re se 21 vjeqare paraqitet shprehja ndalohet alkoholi , kurse për moshat më të mëdha se 21 vjeqare nuk na paraqitet shprehje sepse sipas algoritmit kemi vetem një degë. Shembull 103: Për moshën e përsonit vendos: Nëse mosha është më e vogël se 21 vjet shkruaj në dalje 'ndalohet alkoholi', në të kundërtën 'lejohet alkoholi'.





72/224

% .m fajlli mosha =input('mosha eshte:'); if mosha <21

disp( 'ndalohet alkoholi' ) else

disp( 'lejohet alkoholi' ) end % sheno moshen % shprehja e paraqitur ne ekran

Rezultati në Command Window:

>> mosha eshte: 25 >> lejohet alkoholi

Si rezultat na paraqitet shprehja e më poshtme : mosha eshte: 25 dhe ne kemi zgjedhur 17 dhe në dalje do të fitojm shprehjen lejohet alkooli





73/224

Shembull 104: Për vlerat e ndryshoreve të dhëna x, y llogaritën vlerat e ndryshores c, ashtu që venë për x y , yxc 2

, përndryshe, ln /c y x % .m fajlli x =input(x=:'); y =input(y=:'); if x>=y c=x^2-y; elseif y/x>0.0 c=log(y/x); else disp( 'c nuk eshte e definuar' ) end %shprehja e kërkuar ne dalje c For unaza mundëson përsëritjen e pjesëve të programit disa herë. Përfundon me komandën end. Rezultatet e paraqitura në Command Window:

x=:1 y=:2

c =

0.6931 Ose nëse japim vlera tjera:

x=:2 y=:1 c = 3





74/224

Shembull 105: Me shfrytëzimin e urdhrit for mundemi të njoftohemi në shembullin e më poshtëm.

% .m fajlli for i=1:5 a(i)=sin(2*i); end %shprehja e kërkuar ne dalje a Nëse e aktivizojm .m fajllin dhe në command window fitojm rezultatin

a = 0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 -0.5440





75/224

Shembull 106: Të shkruhet matrica A elementet e së cilit janë llogariten sipas ligjit

1,

2 2a i j

i j

, e cila ka 4 rreshta dhe 3 kolona. % .m fajlli for i=1:4 for j=1:3 A(i,j)=1/(2*i+j-2); end end % shprehja e kërkuar ne dalje A Nëse e aktivizojm .m fajllin dhe në command window fitojm rezultatin >> A

A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1429 0.1250 0.1111

Në këtë shembull shfrytëzojmë urdhrin e dyfishtë të unazës for. Me shfrytëzimin e urdhrit while mundë të shohim shembullin e më poshtëm. >> x=1; while x > 0.01 x=x/2; end >> x

x = 0.0078





76/224

Shembull 107: Për të parë më mirë se si funksionon urdhri në shembullin e njëjtë i provojmë të gjitha rezultatet për ndryshoren x . >> x=1; while x>0.01 x=x/2 end

x = 0.5000 x = 0.2500 x = 0.1250 x = 0.0625 x = 0.0313 x = 0.0156 x = 0.0078

Vrejtje: Një pjesë e programit në mes while dhe end kryhet vetëm atëherë kur shprehja e cila vije pas urdhrit WIHLE është e sakët.





77/224

Shembull 108: Të gjenerohet matrica 5x5 ashtu që të gjithë elementet në diagonalen kryesore janë të njejtë pra 2 , kurse të tjerat elemente ku mbledhja e indekseve (i+j=6) janë 6 kurse të gjithë elementet tjera të barabarta me zero % 2 0 0 0 6 % 0 2 0 6 0 % 0 0 2 0 0 % 0 6 0 2 0 % 6 0 0 0 2 n=5; a=ones(5,5); for i = 1:n for j = 1:n if i == j a(i,j) = 2; elseif (i + j) == 6 a(i,j) = 6; else a(i,j) = 0; end end end % shprehja e kërkuar ne dalje a Rezultatet e paraqitura në Command Window: a = 2 0 0 0 6 0 2 0 6 0 0 0 2 0 0 0 6 0 2 0 6 0 0 0 2





78/224

Shembull 109: Të gjenerohet matrica e cila elementet e diagonales janë 2, kurse të gjithë elementet e tjera të rendit të parë janë 1 kurse elementet tjera janë zero. n=5; for i=1:n for j=1:n if i==j a(i,j)=2; elseif abs(i)==1 a(i,j)=1; else a(i,j)=0; end end end % shprehja e kërkuar ne dalje a Rezultatet e paraqitura në Command Window: a = 2 1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2





79/224

Llogaritja e shumës

Shuma (E) Forma e përgjithshme e llogaritjes së shumës S = symsum (E, a, b) Shembull 110.: Të llogariten shprehjet për shumë. 108.a. 108. b. 108.c. Shembull 110.a. %Shprehja nën a >> syms k n >> symsum(k,0,10)

ans =

55 Shembull 110.b: >> %Shprehja nën b >> symsum(k,0,n-1)

)1()2()1()0()(1

0

xEEEExEx

x

)()2()1()()( bEaEaEaExEb

ax

55109321010

0

k

k

nnnkn

k 21

2113210 2

1

0

30169414

1

2 k

k





80/224

ans =

1/2*n^2-1/2*n

Shembull 110.c: >> %Shprehja nën a >> symsum(k^2,1,4)

ans =

30

Shembull 111: Të llogaritet shuma e serisë për sakësinë 10-4. % permes .m fajllit s=0; n=1; while abs((-1)^n/n^2)>10^(-4) s=s+(-1)^n/n^2; n=n+1; end Në command Windows shkruajm : >> s Dhe fitohet rezultati :

s = -0.8225

12

)1(n

n

n





81/224

Llogaritja e limitit

Shembull 112: Të llogaritet shprehja për limitin e dhënë: >> syms a x >> limit(sin(a*x)/x) ans = a

Shembull 113:

Të zgjidhen limitet e dhëna sipas formës së përgjithshme të dhënë limiti (E, v, a) për limitin

61

93lim 23

xx

x

Zgjidhje

>> syms h x >> limit((x-3)/(x^2-9),3) ans = 1/6 Shembull 114:

>> limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)

ans = cos(x)

axax

)sin(lim

av

hxhx )sin()sin(lim

0h





82/224

Ekuacionet Diferenciale

Zgjidhja simbolike duke përdor funksionin dsolove Shembull 115:

Të llogaritet ekuacioni diferencial

Zgjidhja analitike është kurse ajo përmes softuerit Matlab është paraqitur si më poshtë: >> dsolve('Dy+2*y=12')

ans =

6+exp(-2*t)*C1 Shembull 116:

Të llogaritet ekuacioni diferencial duke përdor formën :

dsolve(‘eqn’,’cond1’,’cond2’) Zgjidhja analitike është: Kurse ajo përmes softuerit Matlab është paraqitur si më poshtë: >> Dsolve('D2y=c^2*y','y(0)=1','Dy(0)=0')

ans =

1/2*exp(-c*t)+1/2*exp(c*t)

teCty 216)(

22

2 , (0) 1, (0) 0d y c y y ydt

&

2/)()( ctct eety





83/224

Shembull 117:

Të zgjidhet shprehja >> syms n x y >> diff(x^n)

ans = x^n*n/x

Shembull 118: Të zgjidhet shprehja

>> diff(log(x))

ans = 1/x

Shembull 119:

Të zgjidhet shprehja

>> diff((sin(x)^2))

ans =

2*sin(x)*cos(x)

1 nn

nxdxdx

xdxxd 1ln

xxdx

xd cossin2sin 2





84/224

Shembull 120:

Të zgjidhet shprehja >> diff((sin(y))

ans = cos(y)

Shembull 121:


>> diff(sin(x*y))

ans = cos(x*y)*y

Shembull 122:


>> syms x y >> diff(x*sin(x*y),y)

ans =

x^2*cos(x*y)

ydy

yd cossin

)sin(),( xyyxf

)cos()]sin([ 2 xyxy

xyx





85/224

Shembull 123: Të zgjidhet shprehja

>> syms x >> diff(x^3,2)

ans =

6*x Shembull 124:


>> syms x y >> diff(x*sin(x*y),y,2)

ans = -x^3*sin(x*y)

xdx

xd 6)(2

32

)sin()]sin([ 32

2

xyxy

xyx





86/224

Llogaritja e integralit Shembull 125:

Të zgjidhen integralet e më poshtme duke përdor softuerin Matlab

a. b.

c.

d. Shembull 125.a: >> % shembulli a >> syms n x y >> int(x^n)

ans =

x^(n+1)/(n+1) Shembull 125.b: % shembulli b >> int(1/x)

ans =

log(x) Shembull 125.c: % shembulli c >> int(cos(x))

1

1

nxdxx

nn

xdxx

ln1

xxdx sincos

yydy cossin





87/224

ans =

sin(x)

Shembull 125.d >> % shembulli d >> int(sin(y))

ans =

-cos(y) Shembull 126: Të zgjidhet integrali Përdorim formën int (E, a, b) >> syms n x >> int(x^n,n)

ans =

1/log(x)*x^n

Shembull 127:

Të zgjidhet integrali Për integralet të cilët kanë kufijt e integrimit përdorim formën int (E, v, a, b)

>> syms x y >> int(x*y^2,y,0,5)

ans =

125/3*x

xxdnx

nn

ln

xyxdyxy3

1253

50

35

0

2





88/224

Shembull 128: Të zgjidhet integrali

>> syms a b x >> int(x^2,a,b)

ans = 1/3*b^3-1/3*a^3

Shembull 129: Të zgjidhet integrali

Përdorim formën int (E, v, a, b)

>> syms x y >> int(x*y^2,y,0,5)

ans =

125/3*x

Shembull 130: Të zgjidhet integrali >> syms a b x >> int(x^2,a,b)

ans = 1/3*b^3-1/3*a^3

33

332 abdxx

b

a

xyxdyxy3

1253

50

35

0

2

33

332 abdxx

b

a





89/224

Shembull 131:

Të zgjidhet integrali

>> syms t x >> int(x,1 ,t)

ans = 1/2*t^2-1/2

Shembull 32:

texxdx te

t

et

tt

cos)cos(cossin

>> int(sin(x),t,exp(t))

ans = -cos(exp(t))+cos(t)

Shembull 133: Të zgjidhet integrali >> syms x >> int(1/(x-1))

ans =

log(x-1) >> int(1/(x-1),0,2)

21

21

22

1

2

1 txdxx tt

1ln1

1

xdxx





90/224

ans =

NaN





91/224

Ekuacionet e Laplasit

MATLAB mund te ndarjen e polinomit ne pjese ; Shprehja për polinomin B(s)/A(s) po e paraqesim me shembujt në vazhdim . Gjetja e poleve dhe zerove të funksioneve për B(s)/A(s)

Komanda e Programit Matlab [z, p, k] = tf2zp(num,den) e cila mundë ta gjejë polet , zerot dhe përforcimin K të B(s)/A(s). Shembull 134:

Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab

f(t) = - 7te- 5t

Zgjidhje >>syms t x >>f = -7*t*exp(-5*t); >> laplace(f, x)

ans =

- 7/(x + 5)^2 Shembulli 135: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab

f(t) = - 3 cos 5t

>>syms t x >>f = - 3*cos(5*t); >> laplace(f, x)

ans = - 3*x/(x^2 + 25)





92/224

Shembull 136: Të grindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab

f(t) = t sin 7t

>>syms t x >>f = t*sin(7*t); >> laplace(f, x)

ans = 1/(x^2 + 49)*sin(2*atan(7/x))

Shembull 137: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab

f(t) = 5 e–2t cos 5t

>>syms t x >>f = 5*exp(– 2*t)*cos(5*t); >> laplace(f, x)

ans =

5*(x + 2)/((x + 2)^2 + 25) Shembull 138: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab

f(t) = 3 sin(5t + 45º) >>syms t x >>f = 3*sin(5*t + (pi/4)); >> laplace(f, x)

ans = 3*(1/2*x*2^(1/2) + 5/2*2^(1/2))/(x^2 + 25)





93/224

Shembull 139: Të gjindet transformimet e Laplasit për funksionin e dhënë duke përdor programin Matlab .

f(t) = 5 e–3t cos(t – 45º) >>syms t x >>f = 5*exp(- 3*t)*cos(t - (pi/4)); >> laplace(f, x)

ans =

5*(1/2*(x + 3)*2^(1/2)+1/2*2^(1/2))/((x + 3)^2 + 1) Shembull 140: Të shkruhet programi i cili me metodën e Transformimeve të Laplacit të caktohet dhe të

vizatohet odziv të ekuacionit diferencial të dhënë: xydt

yd 32

2

ku )()( ttx ,

]20,0t kurse hapi është: 0.01 >> syms s t; >> Y=-(s^2+3*s+1)/(s+1)/(s^2+s+5)

Y = (-s^2-3*s-1)/(s+1)/(s^2+s+5)

>>y=ilaplace(Y)

y = -6/5*exp(-1/2*t)*cos(1/2*19^(1/2)*t)-14/95*19^(1/2)*exp(- 1/2*t)*sin(1/2*19^(1/2)*t)+1/5*exp(-t)

>>t=0:0.01:20; >>x=exp(-t); >>plot(t,x,t,y);





94/224

y=-6/5*exp(-1/2*t).*cos(1/2*19^(1/2)*t)-14/95*19^(1/2)*exp(- 1/2*t).*sin(1/2*19^(1/2)*t)+1/5*exp(-t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Shembull 141: Të shkruhet programi i cili me metodën e Transformimeve të Laplacit të caktohet dhe të vizatohet pergjigjeja të ekuacionit diferencial të dhënë:

teydtdy

dtyd 52

2

për y(0)=y,(0)=-1: ]20,0t ; për hapin 0,01 në të njëjtin grafik të

vizatohet edhe

>>syms s t; >>Y=3/(s^2+1)

Y =

3/(s^2+1) >>y=ilaplace(Y)

y =

3*sin(t)

>>t=0:0.01:20; >>y=3.*sin(t);





95/224

plot(t,y);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Shembull 142: Të shkruhet programi ashtu që përmes metodës së transformimit të laplasit të caktohet

dhe vizatohet pergjigjeja sistemi i ekuacionit diferencial të dhënë. )(352

2

txydt

yd

ku )sin()( ttx

]20.0[t me hap 0,01 Në grafikun e njëjtë të paraqitet dhe pergjigjeja nëse kushtet fillestare janë zero. Zgjidhje: >>syms s t; Y=

3/(s^2+1)/(s^2+5) >>y=ilaplace(Y)

Y =

-3/20*5^(1/2)*sin(5^(1/2)*t)+3/4*sin(t)

>>t=0:0.01:20;





96/224

>>x=sin(t); Y=

-3/20*5^(1/2).*sin(5^(1/2)*t)+3/4.*sin(t); >>plot(t,x,t,y);

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

]





97/224

Inversi i Laplasit

Shembull 143: Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna .

)6)(2()(

sssssF

>> syms s >> f = s/(s*((s + 2)*(s + 6))); >> ilaplace(f)

ans = 1/2*exp(– 4*t)*sinh(2*t)

Shembull 143.b: Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna

)5(1)( 2

ss

sF

>> syms s >> f = 1/((s^2)*(s + 5)); >> ilaplace(f)

ans = 1/3*t – 2/9*exp(– 3/2*t)*sinh(3/2*t)

Shembull 143. c. Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna

)92(13)( 2

ssssF

>>syms s >> f = (3*s + 1)/(s^2 + 2*s + 9); >> ilaplace(f)





98/224

ans = 3*exp(– t)*cos(2*2^(1/2)*t) – 1/2*2^(1/2)*exp(– t)*sin(2*2^(1/2)*t)

Shembull 143.d: Të llogaritet transformimet inverze të Laplasit për funksionet e dhëna

)203(25)( 2

sssssF

>>syms s >> f = (s – 25)/(s*(s^2 + 3*s + 25)); >> ilaplace(f)

ans = 5/4*exp(– 3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(– 3/2*t)*sin (1/2*71^(1/2)*t) – 5/4

Shembull 144: Të gjindet transformimi invers i Laplasit për funksionin e dhënë.

)15012)(3)(2()7)(79()( 2

2

ssss

ssssG

Zgjidhje

% Programi ne matlab >> syms s % s është simbol >> % definimi i funksionit >>G = (s^2 + 9*s +7)*(s + 7)/[(s + 2)*(s + 3)*(s^2 + 12*s + 150)]; >>pretty(G) % funksioni pretty e printon simboliken ne dalje. (s2 + 9 s + 7) (s + 7) --------------------------------- (s + 2) (s + 3) (s2 + 12 s + 150)





99/224

>> g = ilaplace(G); % transformimi invers i Laplasit >>pretty(g)

Shembull 144: Caktoje transformimet inverse te laplasit për funksionin transmetues duke përdor programin Matlab . Shembull 144.a.

)6)(2(

)(

sss

ssF

>> syms s >> f = s/(s*((s + 2)*(s + 6))); >> ilaplace(f)

ans = 1/2*exp(-4*t)*sinh(2*t)

2915 1/2 889 1/2 1/2 ---- exp(-6 t) cos(114 t) + ----- 114 exp(-6 t) sin(114 t) 3198 20254 44 - 7/26 exp(-2 t) + --- exp(-3 t) 123





100/224

Shembull 144. b.

)5(1)( 2

ss

sF

>> syms s >> f = 1/((s^2)*(s + 5)); >> ilaplace(f)

ans = 1/5*t-2/25*exp(-5/2*t)*sinh(5/2*t)

Shembull 144.c.

)92(13)( 2

ssssF

>>syms s >> f = (3*s + 1)/(s^2 + 2*s + 9); >> ilaplace(f)

ans = 3*exp(– t)*cos(2*2^(1/2)*t) – 1/2*2^(1/2)*exp(– t)*sin(2*2^(1/2)*t)

Shembull 144.d.

)203()( 2

sssssF

>>syms s >> f = (s – 25)/(s*(s^2 + 3*s + 20); >> ilaplace(f)

ans = 5/4*exp(– 3/2*t)*cos(1/2*71^(1/2)*t)+23/284*71^(1/2)*exp(– 3/2*t)*sin (1/2*71^(1/2)*t) – 5/4





101/224

Shembull 145: Caktoje transformimet inverse te laplasit për funksionin transmetues të dhënë.

)15012)(3)(2()7)(79()( 2

2

ssss

ssssF

Zgjidhje : % Programi MATLAB >> syms s % i tregohet programit Matlab se “s” është një simbol. >>G = (s^2 + 9*s +7)*(s + 7)/[(s + 2)*(s + 3)*(s^2 + 12*s + 150)]; % definimi i funksionit. >>pretty(G) % funksioni ne dalje i paraqitur ne forme matematikore

>> g = ilaplace(G); % forma inverse e laplasit >>pretty(g) Shembull 146: The MATLAB program for determining the partial-fraction expansion is given below:

Zgjidhje

44 2915 1/2 --- exp(-3 t) + ---- exp(-6 t) cos(114 t) 123 3198 889 1/2 1/2 + ----- 114 exp(-6 t) sin(114 t) - 7/26 exp(-2 t) 20254

(s2 + 9 s + 7) (s + 7) --------------------------------- (s + 2) (s + 3) (s2 + 12 s + 150)





102/224

>> b = [0 0 5 3 6]; >> a = [1 3 7 9 12]; >> [r, p, k] = residue(b, a)

r = – 0.5357 – 1.0394i – 0.5357 + 1.0394i 0.5357 – 0.1856i 0.5357 + 0.1856i p = – 1.5000 + 1.3229i – 1.5000 – 1.3229i – 0.0000 + 1.7321i – 0.0000 – 1.7321i k = [ ]

Rezultatet e fituara nga programi matlab i zëvendësojm më poshtë do të fitojm:

)732.10(1856.05357.0

)732.10(1856.05357.0

)3229.1500.1()039.15357.0(

)3229.1500.1(0394.15357.0)(

jsj

jsj

isj

jsjsF

Programi matlab për caktimin e fitimin e transormimit invers të Laplasit do të fitojmë: >> syms s >> f = (5*s^2 + 3*s +6)/(s^4 + 3*s^3 + 7*s^2 + 9*s +12); >> ilaplace(f)

ans = 11/14*exp(– 3/2*t)*7^(1/2)*sin(1/2*7^(1/2)*t) – 15/14*exp (– 3/2*t)*cos(1/2*7^(1/2)*t) + 3/14*3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t)+15/14*cos(3^(1/2)*t)

)()()()()(

4

4

3

3

2

2

1

1

psr

psr

psr

psrsF





103/224

Shembull 147: Për funksionin e dhënë F(s) përmes programit Matlab të bëhet particioni i funksionit , pra të gjindet transformimi invers i Laplasit për këtë funksion.

454020525753)( 234

234

ssss

sssssF

Zgjidhje >> num = [ 1 3 5 7 25]; >> den = [1 5 20 40 45]; >> [r, p, k] = residue(num, den)

r = – 1.3849 + 1.2313i – 1.3849 – 1.2313i 0.3849 – 0.4702i 0.3849 + 0.4702i p = – 0.8554 + 3.0054i – 0.8554 – 3.0054i – 1.6446 + 1.3799i – 1.6446 – 1.3799i k = 1

Nga paraqitja ne dalje e programit për ndarjen e funksionit dotë shkruajm.

1)3779.16446.1(

)4702.03849.0()3799.16446.1(

)4702.03849.0)005.38554.0()2313.13849.1(

)005.38554.0()2313.13849.1()(

jsj

jsj

jsj

jsjsF

)()()()()(

4

4

3

3

2

2

1

1

psr

psr

psr

psrsF





104/224

Shembull 148: Për funksionin e dhënë F(s) përmes programit Matlab të bëhet particioni i funksionit , pra të gjindet transformimi invers i Laplasit pëtr këtë funksion.

2)6)(4)(2()3)(1(8)(

ssssssF

Zgjidhje

)3612)(86()3)(88(

)6)(4)(2()3)(1(8)( 222

ssss

sssss

sssF

Ndarja e funksionit përmes programit Matlab është. >> num = conv([8 8], [1 3]); >> den = conv([1 6 8], [1 12 36]); >> [r, p, k] = residue(num, den)

r = 3.2500 15.0000 -3.0000 -0.2500 p = -6.0000 -6.0000 -4.0000 -2.0000 k = []

Nga rezultatet e fituara nga programi matlab do të kemi këtë vijim të zgjerimit të funksionit.

)()()()()(

4

4

3

3

2

2

1

1

psr

psr

psr

psrsF





105/224

tttt eeeesF 25.03156 25.031525.3)(

0)25.0(

25.0)3(

3)15(

15)6(

25.3)(4

pssss

sF





106/224

Funksionet Transmetuese

Urdhërat për caktimin e funksioneve transmetuese të sistemit:

PRINTSYS SERIES, PARALLEL, CLOOP, FEEDBACK PRINTSYS():




Sqarim: SERIES(): [num,den]=series(num1,den1,num2,den2): Llogaritja e lidhjes serike të dy funksioneve transmetuese, ku në këtë rast num1,den1 është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues G1(s), num2,den2 është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues G2(s). Ndërsa num,den është emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues e lidhjes serike të funksioneve transmetuese G1(s) dhe G2(s) Shembull 149

21)(1

sssG 2500

1)(2 ssG

Zgjidhje

>> num1=[1 1]; den1=[1 2]; >> num2=[1]; den2=[500 0 0]; >> [num,den]=series(num1,den1,num2,den2); >> printsys(num,den)

num/den = s + 1 ------------------ 500 s^3 + 1000 s^2

Shembull 150: Sqarim: PARALLEL(): [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2): Bëhet llogaritja e lidhjës paralele të dy funksioneve transmetuese ku me num1,den1 emruesi dhe numruesi i funksioni transmetues G1(s) , me num2,den2 emruesi dhe numruesi i funksioni transmetues G2(s). Ndërsa num,den lidhja e dy funksioneve transmetuese G1(s) dhe G2(s)





108/224

21)(1

sssG

43)(2

sssG

>> num1=[1 1]; den1=[1 2]; >> num2=[1 3]; den2=[1 4]; >> [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2); >> printsys(num,den)

num/den = 2 s^2 + 10 s + 10 ----------------- s^2 + 6 s + 8

Shembull 151: CLOOP(): Sqarim: [num,den]=cloop(num1,den1,sign): Bën llogartitjen e funksionit transmetues të qarkut të mbyllur me riveprim njësi, ku na paraqiten num1,den1 emruesi dhe numruesi i degës direkte G(s) , me sign parashenjsa e qarkur riveprues (–1 ose +1) e nënkuptueshme -1 num,den emruesi dhe numruesi i qarkut të mbyllur

11)( 21

ss

sG

>> %funksioni i qarkut direkt të shembullit : >> num1=[1]; den1=[1 1 1]; >> [num,den]=cloop(num1,den1); >> printsys(num,den)

num/den = 1 ------------ s^2 + s + 2

Shembull 152: FEEDBACK():





109/224

Sqarim: [num,den]=feedback(num_G,den_G,num_H,den_H,sign): Llogaritja e funksionit transmetues me lidhje rivepruese ku num_G,den_G paraqitet emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues i degës direkte G(s) ndërsa num_H,den_H emruesi dhe numruesi i i degës rivepruese të funksionit transmetues. Me sign parashenjsa e qarkur riveprues (–1 ose +1) e nënkuptueshme -1. ndërsa num,den emruesi dhe numruesi i funksionit transmetues i qarkut të mbyllur. Të llogaritet funksioni transmetues i qarkut të mbyllur me lidhje rivepruese.

25001)(

ssG kurse qarku riveprues

21)(

sssH

>> num_G=[1]; den_G=[500 0 0]; >> num_H=[1 1]; den_H=[1 2]; >> [num,den]=feedback(num_G,den_G,num_H,den_H); >> printsys(num,den)

num/den = s + 2 --------------------------- 500 s^3 + 1000 s^2 + s + 1

Urdhërat për caktimin e POLEVE, ZEROS PZM AP Shembull 153: PZMAP() Llogaritja dhe vizatimi i poleve dhe zeros të funksionit transmetues në rrafshin komplekës .





110/224

pzmap(num,den): Vizatimi [P,Z]=pzmap(num,den): Logaritja e zeros dhe poleve të funksionit transmetues në rrafshin komplekës ku : P: polet e matricës, Z Zerot e matricës Të llogaritet polet dhe zerot e funksionit transmetues

>> num=[1 5 4]; den=[1 7 13 9]; >> [P,Z]=pzmap(num,den) >> % te llogaritet P = -4.5987 -1.2007 + 0.7180i -1.2007 - 0.7180i Z = -4 -1 >> pzmap(num,den) Pamja e vendosjes se zero dhe poleve ne rrafshin komplekes: P = -4.5987 -1.2007 + 0.7180i -1.2007 - 0.7180i Z = -4 -1

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Pole-Zero Map

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Shembull 154:

913745)( 23

2

sss

sssG





111/224

11s 2

1s

1224

2

sss

142

ss

a. Duke përdor programin Matlab të reduktohen blloqet dhe të llogariten funksionet transmetuese

W(s)=Y(s)/X(s). b. Të vizatohet për zerot dhe polet e funksionit transmetues duke përdor urdhërin pzmap(). c. të vizatohen zerot dhe polet e funksionit transmetues duke shfrytëzuar urdhërin rots( ). >> nr_A1=[1]; emr_A1=[1 1]; >> nr_A2=[1 0]; emr_A2=[1 2]; >> [nr_A,emr_A]=series(nr_A1,emr_A1,nr_A2,emr_A2); >> printsys(nr_A,emr_A)

num/den = s ------------- s^2 + 3 s + 2

>> nr_A=[1 0]; emr_A=[1 3 2]; >> nr_H1=[4 2]; emr_H1=[1 2 1]; >> [nr_B, emr_B]=feedback(nr_A, emr_A,nr_H1, emr_H1); >> printsys(nr_B, emr_B)

num/den = s^3 + 2 s^2 + s ------------------------------ s^4 + 5 s^3 + 13 s^2 + 9 s + 2

>> nr_C=[1]; emr_C=[1 0];





112/224

>> nr_H2=[50]; emr_H2=[1]; >> [nr_D,emr_D]=feedback(nr_C,emr_C,nr_H1,emr_H1); >> printsys(nr_D,emr_D)

num/den = s^2 + 2 s + 1 --------------------- s^3 + 2 s^2 + 5 s + 2

>>nr_B=[1 2 1 0]; emr_B=[1 5 13 9 2]; >>nr_D=[1 2 1]; emr_D=[1 2 5 2]; >> [nr_E,emr_E]=series(nr_B,emr_B,nr_D,emr_D); >>printsys(nr_E,emr_E)

num/den = s^5 + 4 s^4 + 6 s^3 + 4 s^2 + s ---------------------------------------------------------- s^7 + 7 s^6 + 28 s^5 + 62 s^4 + 95 s^3 + 75 s^2 + 28 s + 4

>> nr_E=[1 4 6 4 1 0]; emr_E=[1 7 28 62 95 75 28 4]; >> nr_H3=[1 2]; emr_H3=[1 14]; >> [nr_F,emr_F]=feedback(nr_E,emr_E,nr_H3,emr_H3); >>printsys(nr_F,emr_F)

num/den = s^6 + 18 s^5 + 62 s^4 + 88 s^3 + 57 s^2 + 14 s

-------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 21 s^7 + 127 s^6 + 460 s^5 + 977 s^4 + 1421 s^3 + 1087 s^2 + 398 s + 56 >> nr_F=[1 18 62 88 57 14 0]; emr_F=[1 21 127 460 977 1421 1087 398 56]; >> nr_G=[4]; emr_G=[1]; >> [nr_I,emr_I]=series(nr_F,emr_F,nr_G,emr_G); >>printsys(nr_I,emr_I)





113/224

num/den =

4 s^6 + 72 s^5 + 248 s^4 + 352 s^3 + 228 s^2 + 56 s --------------------------------------------------------------------------------------------- s^8 + 21 s^7 + 127 s^6 + 460 s^5 + 977 s^4 + 1421 s^3 + 1087 s^2 + 398 s + 56 >>nr_I=[4 72 248 352 228 56 0]; emr_I=[1 21 127 460 977 1421 1087 398 56]; >> [P,Z]=pzmap(nr_I,emr_I)

P = -13.9265 -2.0730 + 2.2500i -2.0730 - 2.2500i -0.7873 + 1.9007i -0.7873 - 1.9007i -0.4465 + 0.1461i -0.4465 - 0.1461i -0.4599 Z = 0 -14.0000 -1.0002 + 0.0002i -1.0002 - 0.0002i -0.9998 + 0.0002i -0.9998 - 0.0002i

>>pzmap(nr_I,emr_I)





114/224

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Real Axis

Imag

Axi

s

Pole zero map

Shembull 155: Funksioni transmetues i Sistemit me degës direkte dhe degës rivepruese është?

10641)( 23

sssssG

Duke shfrytëzuar programin Matlab të caktohen zerot dhe polet e funksioni transmetues. >> nr_G=[1 0]; emr_G=[1 4 6 10]; >> [nr_W,emr_W]=cloop(nr_G,emr_G); >> printsys(nr_W,emr_W)

num/den =





115/224

s ---------------------- s^3 + 4 s^2 + 7 s + 10

>>nr_W=[1 0]; emr_W=[1 4 7 10]; >> [P]=residue(nr_W,emr_W)

P = -0.3509 0.1755 - 0.0670i 0.1755 + 0.0670i

Shembull 156:

Është dhënë funksioni transmetues 12

1)( 23

ssssT

Të llogariten polet e funksionit transmetues , e pastaj të vizatohen pergjigjeja kur në hyrje sjellim : a. step funksioni. b. Impulsin e dirakut c. Sinjalin sinusoidal x(t)=5sin(3t)

>> nr_T=[1]; emr_T=[1 2 1 1]; >> [P]=pzmap(nr_T,emr_T)

P = -1.7549 -0.1226 + 0.7449i -0.1226 - 0.7449i

>>step(nr_T,emr_T);





116/224

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6From: U(1)

To: Y

(1)

>> impulse(nr_T,emr_T);

Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6From: U(1)

To: Y

(1)

>> t=0:0.01:5; >> u=5*sin(3*t); >> y=lsim(nr_T,emr_T,u,t); >> plot(t,u,t,y)





117/224

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Shembull 157.a: Përcakto polet e funksionit transmetues përmes programit Matlab.

1211951576

)()(

2345

23

sssss

ssssRsC

Zgjidhje . >> % Programi MATLAB >> den = [1 1 -5 -9 11 -12]; >> A = roots (den) Shembull 157.b:

A = -2.1586 + 1.2396i -2.1586 - 1.2396i 2.3339 0.4917 + 0.7669i 0.4917 - 0.7669i





118/224

>> den=[1 1 -5 -9 11 -12 ]; >> A = roots (den) Shembull 158: Përcakto polet e funksionit transmetues përmes degën kthyes përmes programit Matlab.

)11)(9)(7)(5(150)(

sssssG

Zgjidhje . >> % Programi MATLAB >> numg = 150

numg = 150

>> deng = poly([-5 -7 -9 -11]); >> 'G(s)'

ans =

G(s) >> G = tf (numg, deng)

A = -2.1586 + 1.2396i -2.1586 - 1.2396i 2.3339 0.4917 + 0.7669i 0.4917 - 0.7669i

Transfer function: 150 -------------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 374 s^2 + 1888 s + 3465





119/224

>> 'polet e G(s)'

ans =

polet e G(s) >> pole (G) >> 'T(s)'

ans =

T(s) >> T = feedback (G, 1) >> pole (T) Shembull 159:

ans = -11.0000 -9.0000 -7.0000 -5.0000

Transfer function: 150 -------------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 374 s^2 + 1888 s + 3615

ans = -10.9673 + 1.9506i -10.9673 - 1.9506i -5.0327 + 1.9506i -5.0327 - 1.9506i





120/224

Për qarkun me riveprim si në figurë Fig. Blloku , G(s) ka vlerën )5)(4)(2)(1(

)35(30)(2

ssss

sssG

Të caktohet përmes programit Matlab reagimi i qarkut të mbyllur

Zgjidhje .

>> % Programi MATLAB >> numg =30*[1 -5 3 ]; >> deng = poly([-1 -2 -4 -5 ]); >> G = tf(numg,deng); >> T = feedback(G,1) >> step(T) Përgjigjja përmes kompjuterit:

Fig.

Transfer function: 30 s^2 – 150 s + 90 ---------------------------------- s^4 + 12 s^3 + 79 s^2 - 72 s + 130





121/224

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2

0

2

4

6

8

10Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Ekuacionet e gjendjes Shembull 160: Sistemi i kontrollit është i dhënë më anë të ekuacionit të gjendjes.

uxx

xx

31

3214

2

1

2

1

2

121xx

y

Të gjindet funksioni transmetues i sistemit G(s)përmes programit Matlab.

Zgjidhje .

3214

A

31

B 21C





122/224

Funksioni transmetues G(s) për sistemin e dhënë.

147

491224512

21147

1

52

4213

2)3)(4(121

31

3214

21)()(

22

1

sss

ss

ss

ss

ssss

BAsICsG

>> A = [-4 -1 ; 2 -3]; >> B = [1 ; 3]; >> C = [1 2]; >> D = 0; >> [num, den] = ss2tf(A, B, C, D) Rezultati është i njëjtë sikurse ai i derivimit, i zgjidhur në fillim. Shembull 161: Llogarit funksionin transmetues G(s) = Y(s)/R(s), për sistemin pasues i prezantuar nga ekuacioni i gjendjes.

rxx

2750

5965100001000730

num = 0 7.0000 28.0000 den = 1.0000 7.0000 14.0000

a = x1 x2 x3 x4 x1 0 3 5 0 x2 0 0 1 0 x3 0 0 0 1 x4 -5 -6 8 5 b = u1 x1 0 x2 5 x3 7 x4 2 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 3 7 5 d = u1 y1 0





123/224

xy 5631

Zgjidhje . >> A = [0 3 5 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1; -5 -6 8 5]; >> B = [0; 5; 7; 2]; >> C = [1 3 7 5]; >> D = 0; >> statespace = ss(A, B, C, D)

Vazhdueshmëria e sistemit . >> [A, B, C, D] = tf2ss(num,den); >>G = tf(num, den)

Shembull 162: Të gjindet ekuacioni i gjendjes për funksionin në vijim përmes programit MATLAB.

)7365735

)()(

23

sss

ssRsC

Zgjidhje . >>% MATLAB programi >> num = [0 0 35 7];

Transfer function: 7 s + 28 -------------- s^2 + 7 s + 14





124/224

>> den = [1 5 36 7]; >> g = tf(num,den) >>%paraqitja e rezultateve për caktimin e ekuacionit te gjendjes >> [A, B, C, D] = tf2ss(num, den)

Transfer function: 35 s + 7 ---------------------- s^3 + 5 s^2 + 36 s + 7

A = -5 -36 -7 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C = 0 35 7 D = 0





125/224

Përmes rezultateve të marra nga programi Matlab në mundë të shkruajm ekuacionin e gjendjeve si më poshtë.

uxxx

xxx

001

0100017365

3

2

1

3

2

1

uoxxx

y

37350 2

1

Shembull 163: Të llogaritet ekuacioni gjendjes phase-variable për sistemin e dhënë .

Zgjidhje . >>% MATLAB Program >> den = [1 7 10 8 1 25]; >> G = tf(num, den)

Transfer function: 50 ------------------------------------- s^5 + 7 s^4 + 10 s^3 + 8 s^2 + s + 25

>> [AC, BC, CC, DC] = tf2ss(num, den); >>Af = flipud(AC)

Af = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -7 -10 -8 -1 -25





126/224

>>A = fliplr(Af)

A = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 -25 -1 -8 -10 -7

>>B = flipud(BC)

B = 0 0 0 0 1

>>C = fliplr(CC)

C = 28.0000 7.0000 0 0 0

Shembull 164: Përmes Programit Matlab të shkruhet ekuacioni i gjendjes dhe ekuacioni dalës për Variablat e Gjendjes për sistemet e paraqitura më

poshtë.

Zgjidhje . Shembull 164.a: >>num = [5 7]

num =

5 7

>> den = [1 7 3 9 8]

den =





127/224

1 7 3 9 8

>> G = tf(num,den)

Transfer function: 5 s + 7

----------------------------- s^4 + 7 s^3 + 3 s^2 + 9 s + 8

>> [Ac, Bc, Cc, Dc] = tf2ss(num, den); >> Af = flipud(Ac)

Af = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -7 -3 -9 -8

>> A = fliplr(Ac)

A = -8 -9 -3 -7 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

>> B = flipud(Bc)

B = 0 0 0 1

>> C = fliplr(Cc)

C = 7 5 0 0





128/224

Shembull 164. b:

%Pjesa e dyte >> num = [1 3 10 5 6]; >> den = [1 7 8 6 0 0]; >> G = tf(num, den)

Transfer function: s^4 + 3 s^3 + 10 s^2 + 5 s + 6 ------------------------------ s^5 + 7 s^4 + 8 s^3 + 6 s^2

>> [Ac, Bc, Cc, Dc] = tf2ss(num,den); >> Af = flipud(Ac); >> A = fliplr(Af)

A = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -6 -8 -7

>> B = flipud(Bc)

B = 0 0 0 0 1

>> C = fliplr(Cc) C = 6 5 10 3 1





129/224

Shembull 165: Të gjindet funksioni transmetues për sistemin e dhënë përmes Matlabit.

uxxx

xxx

0513

00

620025010

3

2

1

3

2

1

3100001

2

1

xxx

y

Zgjidhje . Nga matricat e dhëna të caktohet shprehja G(s)=C[sI-A]-1B

0513

00B

100001

C

0513

00

62002501

100001

)(s

ss

sG

>> %Programi Matlab >> syms s >> C = [1 0 0; 0 0 1]; >> M=[s -1 0 ; 5 s+2 0; 0 -2 s+6];

620025010

A

ans = [ 3/(s^2+2*s+5), -1/(s^2+2*s+5)] [ 6*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)+5/(s+6), -2*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)]





130/224

>> B = [0 0; 3 -1; 5 0 ]; >> C*inv(M)*B

Shembulli 166: Modeli i sistemit të dhënë në ekuacionet e gjendjes është:

211052006

A ;

111

b ; 81616 td ; 8h

>> A=[-6,-2,-1;0,-5,-1;0,0,-2]; >> B=[1;1;1];D=[-16,-16,-8]; >> H=8; >> [Z,p,k]=ss2zp(A,B,D,H) Rezultati i fituar : Z = -4.0000 -1.0000 -3.0000 p = -6 -5 -2 k = 8 Atëherë funksioni transmetues do të jetë:

ans = [ 3/(s^2+2*s+5), -1/(s^2+2*s+5)] [ 6*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)+5/(s+6), -2*s/(s^3+8*s^2+17*s+30)]





131/224

)6)(5)(2()4)(3)(1(8)(

sssssssW

Shembulli 167: Të bëhet shndërrimi i funksionit transmetues në model të ekuacionit të gjendjes:

653124)( 23

23

sssssssW

>>NUM=[8,4,2,1];den=[1,3,5,6]; >> [A,B,D,H]=tf2ss(NUM,den)

A = -3 -5 -6 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 D = -20 -38 -47 H = 8





132/224

uxxx

x

x

x

001

010001653

3

2

1

3

2

1

uxxx

c 8473820

3

2

1

Shembulli 168: Të bëhet shndërrimi i funksionit transmetues në model të ekuacionit të gjendjes:

)6)(5)(2()4)(3)(1(8)(

sssssssW

>>z=[-1;-3;-4]; >>p=[-2;-5;-6]; >>k=8; >> [A,B,D,H]=zp2ss(z,p,k) A = -2.0000 0 0 -1.0000 -11.0000 -5.4772 0 5.4772 0 B = 1 1 0 D = -8.0000 -32.0000 -26.2907





133/224

H = 8

Pra modeli i ekuacioni të gjendjeve do të jetë:

uxxx

x

x

x

011

04772.504772.5111002

3

2

1

3

2

1

uxxx

c 82907.26328

3

2

1





134/224

Diagrami i Bodeu dhe Nikvistit Shembull:169: Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues

)57.0)(3(15)(

ssssG

Zgjidhje

>> % Programi ne Matlab >> %diagrami i bodeut >> clf >> num = 15; >> den = conv([1 0], conv([1 3],[0.7 5])); >> bode(num, den) Paraqitja grafike nga programi :

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)





135/224

Shembulli 170: Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues

)11070128()807157()( 234

23

ssss

ssssG

Zgjidhja >> %MATLAB Program >> %Bode plot >> clf >> num=[0 7 15 7 80]; >> den=[1 8 12 70 110]; >> bode(num,den) Paraqitja grafike nga programi :

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)





136/224

Shembull 171: Të shkruhet programi në Matlab që mundëson të vizatohet diagrami i Bodeut për funksioniet transmetues të dhënëna.

)57.0)(3(15)(

sssG

Zgjidhje . >> % Program ne MATLAB >> % diagrami i bodeut >> clf >> num = 15; >> den = conv([1 0], conv([1 3],[0.7 5])); >> bode(num, den) Rezultati i fituar në formë grafike për diagramin e Bodeut.

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Shembull 172:





137/224

>> %Programi ne Matlab >> %Vizato diagramin e Bodeut >> clf >> num=[0 7 15 7 80]; >> den=[1 8 12 70 110]; >> bode(num,den) Rezultati i fituar në formë grafike për diagramin e Bodeut.

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Shembulli 173: Për sistemin e dhënë të funksionit transmetues me qark të hapur të vizatohet diagrami amplitudor dhe i Bodeut .

)11070128()807157()( 234

23

ssss

ssssG





138/224

)5)(2(20)(0

sss

sW

Zgjidhje

Forma e zgjidhjes në formë matematike:

12.01*

15.01*1*2

)12.0)(15.0(2

)12.0)(15.0(5220

)5)(2(20)(0

ssssssssssss

sW

Në grafikun e njëjtë do të vizatojmë diagramin e bode-ut për të gjitha funksionet elementare pra për të gjitha funksionet W0. % duke përdor .m fajllin num_K=[2]; emr_K=[1] % Definimi elementar i funksionit K num_W1=[1]; emr_W1=[1 0]; % Definimi elementar i funksioni W1 num_W2=[1]; emr_W2=[0.5 1]; % Definimi elementar i funksioni W2 num_W3=[1]; emr_W3=[0.2 1]; % Definimi elementar i funksioni W3 num_Wo=[20]; emr_Wo=conv([1 2 0],[1 5]) % definim i funksionit transmetues % i qarkut te hapur Wo % vizatimi i diagramit te bode-ut: bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdhe bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te kuqe bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze Si rezultat i programit përfundimtar kemi fituar diagramin për amplitudë dhe fazën në diagramin e bodeut.

emr_K = 1 emr_Wo = 1 7 10 0





139/224

-150

-100

-50

0

50

100M

agni

tude

(dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Shembulli 174: Të vizatohet karakteristika amplitudo fazo, frekuencore e funksionit transmetues të dhënë përshkruar në funksionin transmetues:

2)5(2)(

ssssW

% duke përdor .m fajllin num_K=[2]; emr_K=[25] num_W1=[1]; emr_W1=[1 0]; num_W2=[0.5 1]; emr_W2=[1]; num_W3=[1]; emr_W3=conv([0.2 1],[0.2 1]); num_Wo=[1 2]; emr_Wo=conv([1 0],conv([1 5],[1 5])) % definimi i qarkut te hapur Wo % vizatimi i diagramit te bode-ut: bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdh bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te zeze bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze Rezultati i fituar:





140/224

emr_K = 25 emr_Wo = 1 10 25 0

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Shembulli 175: Të vizatohet diagrami i bodeut për karakteristika amplitude dhe karakteristika fazo frekuencore e sistemit të dhënë me funksionin transmetues të qarkut të hapur.

)15.0()133.0)(12.0()11.0(10)( 20

sssssW

% duke përdor .m fajllin num_K=[10]; emr_K=[1]





141/224

num_W1=[0.1 1]; emr_W1=[1]; num_W2=[1]; emr_W2=[0.2 1]; num_W3=[1]; emr_W3=conv([0.33 1],[0.33 1]); num_W4=[1]; emr_W4=[0.5 1]; num_Wo=[1 10]; % Definimi i F.T. te qarkut te hapur Wo emr_Wo=conv(emr_W2,conv(emr_W3,emr_W4)) % vizatimi i diagramit te bodeut: bode(num_K,emr_K,'y'); hold on % grafiku me ngjyre te verdhe bode(num_W1,emr_W1,'r'); % grafiku me ngjyre te kuqe bode(num_W2,emr_W2,'b'); % grafiku me ngjyre te kalter bode(num_W3,emr_W3,'g'); % grafiku me ngjyre te gjelber bode(num_W4,emr_W4,'m'); % grafiku me ngjyre vjollce bode(num_Wo,emr_Wo,'k'); % grafiku me ngjyre te zeze

Rezultati i fituar : emr_K = 1 emr_Wo = 0.0109 0.1422 0.6709 1.3600 1.0000





142/224

-100

-50

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270-225-180-135-90-45

04590

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Shembulli 176 Të shkruhet programi dhe te paraqitet diagrami i Bodeut duke marre parasysh funksionin transmetues

)11070128()807157()( 234

23

ssss

ssssG

Zgjidhja % duke përdor .m fajllin % Program ne MATLAB % diagrami i bodeut clf num=[0 7 15 7 80]; den=[1 8 12 70 110]; bode(num,den) Paraqitja grafike nga programi :





143/224

-30

-20

-10

0

10M

agni

tude

(dB)

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Shembull 177:





144/224

Kontrolleri PID është dhënë me :

sssGc

2)057(125.29)(

Të vizatohet diagrami i bodeut duke përdor programin Matlab

Zgjidhje

ssss

sssGc

4627.92025.33125.29

)3249.014.1(125.29)(

2

2

>> % Programi ne Matlab >> %Bode diagram >> num= [29.125 33.2025 9.4627]; >> den= [0 1 0]; >> bode (num, den) >> title ('Diagrami i Bodeut G(s)')

30

40

50

60

70

Mag

nitu

de (d

B)

10-2 10-1 100 101 102-90

-45

0

45

90

Pha

se (d

eg)

Diagrami i Bodeut G(s)

Frequency (rad/sec) Shembulli 178: Të konstruktohet diagrami i bodeut për amplitude dhe faze të sistemit me që rastë funksioni idegës këthyesë është:





145/224

)4)(5.0()2(10)(

sssssW

Të shqyrtohet stabiliteti i sistemit: Në Matlab, analiza mundet të realizohet me ndihmen e funksionit bode dhe margin. Funksioni bode vizaton sakësisht amplituden dhe fazën e diagramit të bodeut, ndërsa margin llogaritë pikat e stabilitetit. % programi ne Matlab sys1=zpk(-2,[0 -0.5 -4],10); bode(sys1); hold on plot([0.1 0.5 2 4 10], [40 26.0206 1.9382 -4.0824 -20],'r') [d,Fpf,wpi,wpf]=margin(sys1); hold off % po i paraqesim rrjetën grid on

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Rezultati i stabilitetit: d = Inf wpi = Inf Fpf = 30.2997 wpf = 2.5981 ddB=20log(d)=Inf





146/224

Shembulli 179:

Të vizatohet diagrami i bodeut për amplitud dhe fazë për sistemin me degë këthyese dhe të shqyrtohet stabiliteti.

)16)(4(256)(

SSsSw

% programi ne Matlab sys2=zpk([ ],[0 -4 -16],256); bode(sys2); [d2,Fpf2,wpi2,wpf2]=margin(sys2); ddB2=20*log10(d2); grid on

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) d2=5.0000 wpi2=8.0000 Fpf2=41.2246 wpf2=3.1028 ddB2=13.9794 Fpf2>0 dhe ddB2>0 → Sistemi është stabil edhe kur mbyllet dega këthyese.





147/224

Shembulli 180: Të vizatohet diagrami i bodeut për amplitudë dhe fazë nëse funksioni transmetues i të cilit është.

)14

)4

((

110)(22

sss

ssW

Dhe të caktohen kufijt e stabilitetit. sys3=tf([10 10],[1/16 1/4 1 0 0]); bode(sys3) [d3,Fpf3,wpi3,wpf3]=margin(sys3); ddB3=20*log10(d3) % vendosja e rrjetes ne grafike grid on

-100

-50

0

50

100

150

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) d3=0.3000 wpi3=3.4641 Fpf3= -46.1198 wpf3=5.7239 ddB3= -10.4577 Fpf3<0 dhe ddB3<0 → sistemi është jo stabil kur të mbyllet dega këthyese.





148/224

Shembull 181: Të shkruhet programi në Matlab që të fitohet diagrami i Nyquist-it dhe Nichols-it për funksionin transmetues në vijim për k=30.

)73)(73)(3)(1()73)(73)(1()(

isisssisissksG

Zgjidhje .

>> %MATLAB Programi >> %shembull i diagramit te nikvistit dhe nikollsit >> % Program MATLAB >> numg = 15*[1 3 7]; >> deng = conv([1 3 7],poly([-1 -3])); >> G = tf(numg,deng); >> T = feedback(G, 1); >> step(T) Përgjigjja nga kompjuteri

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude





149/224

>> clf >> z = [-1 -3+7*i -3-7*i]; >> p = [-1 -3 -5 -3+7i -3 -7*i]; >> k=30; >> [num, den] = zp2tf (z', p', k'); >> subplot (211), nyquist (num, den) >> subplot (212), Nichols (num, den) >> ngrid >> axis ([50 360 -40 30])

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8-1

-0.5

0

0.5

1Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

90 135 180 225 270 315 360-40

-20

0

20

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB 0.25 dB

-1 dB

-3 dB -6 dB

-12 dB -20 dB

-40 dB

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB)

Shembull 182:

Sistemi i kontrollit është definuar me.

2

1

2

1

2

1

1011

73010

uu

xx

x

x





150/224

2

1

1

1

1001

xx

y

y

Të vizatohen katër forma të caktuara të diagramin e Bodeut për sistemin [dy për input1,dhe dy për input 2]përmes Matlabit. Zgjidhje . >> %Diagrami i Bodeut >> A = [0 1;-30 -7]; >> B = [1 1; 0 1]; >> C = [1 0; 0 1]; >> D = [0 0; 0 0]; >> bode(A, B, C, D)

-100

-50

0From: In(1)

To: O

ut(1

)

-135

-90

-45

0

To: O

ut(1

)

-100

0

100

To: O

ut(2

)

100

102

-180

0

180

To: O

ut(2

)

From: In(2)

100

102

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Mag

nitu

de (d

B) ;

Phas

e (d

eg)

Shembull 183: Të vizatohet diagrami i Nyquist-it për sistemin e definuar me.

uxx

x

x

300

73010

2

1

2

1 uxx

y 0012

1





151/224

Përmes programit Matlab . Zgjidhje . Diagrami i nikuistit mundë të fitohet përmes komandës nyquist (A, B, C, D) ose nyquist (A, B, C, D, 1). >> %MATLAB Programi >> A = [0 1; - 30 7]; >> B = [0; 30]; >> C = [1 0]; >> D = [0]; >> nyquist(A, B, C, D) >> grid >> title('Diagrami i nikuistit')

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

10 dB

-20 dB

-10 dB

-6 dB

-4 dB-2 dB

20 dB

10 dB

6 dB

4 dB2 dB

Diagrami i nikuistit

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Shembull 184: Kontrolleri komplekes eshte dhene permes funksionit transmetues

)257(5)( 2

sssG

Te gjinden lokusi i rrënjëve përmes programit Matlab.





152/224

Zgjidhje . >> %MATLAB Programi >> clf >> num = [1 5]; >> den = [1 7 25]; >> rlocus(num, den); Rezultatin është dhëne ne Figurë.

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y Ax

is

Shembull 185: Të vizatohet diagrami për lokusin e rrënjeve për sistemin e hapur të funksionit transmetues e dhën G(s) dhe H(s)

)72)(73()3()()( 22

sssssKsHsG

)2829175()3(

)72)(43()3()()( 23422

ssss

sKssss

sKsHsG

>> %MATLAB Programi >> num = [0 0 0 1 3]; >> den = [1 5 17 29 28]; >> K1 = 0:0.1:2; >> K2 = 2:0.02:2.5; >> K3 = 2.5:0.5:10; >> K4 = 10:1:50;





153/224

>> K5 = 50:5:800; >> K = [K1 K2 K3 K4 K5]; >> r = rlocus(num, den, K); >> plot(r, 'o') >> v = [-10 5 -8 8]; >> axis(v) >> grid >> title('llokusi i rrenjeve per G(s)H(s)') >> xlabel('boshti real') >> ylabel('boshti imagjinar ')

-10 -5 0 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8llokusi i rrenjeve per G(s)H(s)

boshti real

bosh

ti im

agjin

ar

Shembull 186: Sistemi i kontrollit është dhënë me .

2

1

3

2

1

3

2

1

100220

540010003

uu

xxx

x

x

x

3

2

1

010021

xxx

y

Të caktohet kontrollabiliteti dhe observabilitetit përmes programit Matlab.

Zgjidhje :





154/224

>> %MATLAB Programi >> A = [3 0 0; 0 1 0; 0 4 5]; >> B = [0 2; 2 0; 0 1]; >> C = [1 2 0; 0 1 0]; >> D = [0 0; 0 0]; >> rank ([B A*B A^2*B])

ans = 3

>> rank ([C' A*C' A^2*C'])

ans = 3

>> rank ([C*B C*A*B C*A^2*B])

ans = 2

Nga paraqitja sistemi është në gjendje të kontrollabilitetit por nuk është komplet observatibil. Dalja e tijë është e kontrollueshme.

Shembull 187: Të konsiderohet sistemi

3

2

1

3

2

1

230010003

xxx

x

x

x

Dalja e tijë është :

3

2

1

111xxx

y

Të shqyrtohet observabiliteti i sistemit me programin Matlab.

3

2

1

2

1

231111

xxx

yy





155/224

Zgjidhje . >> % Programi ne Matlab >> A = [3 0 0; 0 1 0; 0 3 2]; >> C = [1 1 1]; >> rank ([C' A' *C' A'^2*C'])

ans = 3

Nga rezultati ne shohim se sistemi është observabil dhe i kontrollueshem.

Shembull 188:

1211951576

)()(

2345

23

sssss

ssssRsC

Zgjidhje

>> %Programi ne Matlab >> den = [1 1 - 5 - 9 11 -12]; >> A = roots (den)

A = 12.1776 0.4112 + 0.9035i





156/224

0.4112 - 0.9035i0.4917 – 0.7669i Shembull 189: Të përcaktohet me sakësi ekuacioni i rendit të dytë i përafërt me Programin Matlab dhe të simulohet sistemi këthyesë .

)3)(1)(73()73(15)( 2

2

ssss

sssG

Zgjidhje.

>> % Programi ne Matlab >> numg = 15*[1 3 7]; >> deng = conv([1 3 7],poly([-1 -3])); >> G = tf(numg,deng); >> T = feedback(G, 1); >> step(T)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude





157/224

Shembull 190: Është dhënë sistemi me lidhje rivepruese si në figurë. a. Të llogaritet përmes Matlab-ut funksioni transmetues i qarkut të mbyllur dhe të paraqitet rezultati duke përdor urdhërin printsys

Zgjidhje % m-fajlli: sistemi transmetues.m nr_G1=[1]; emr_G1=[1 1]; nr_G2=[1 -2]; emr_G2=[1 10]; [nr_G,emr_G]=series(nr_G1,emr_G1,nr_G2,emr_G2); % funksioni transmetues i degës direkte [nr_W,emr_W]=cloop(nr_G,emr_G); % funksioni transmetues I sistemit printsys(nr_W,emr_W) step(nr_W,emr_W); title('funksioni transmetues me dege njesi') xlabel('t(s)') ylabel('y(t)') Rezultati :

num/den = s - 2 –------------- s^2 + 12 s + 8





158/224

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1funksioni transmetues me dege njesi

t(s) (sec)

y(t)





159/224

Shembull 191: Është dhënë sistemi mekanik i dhënë në figurë. Të llogaritet dhe të vizatohet çvendosja e masës nëse në të veprojm:

a. Forcë konstante prej 5N. b. Forcën në formë f(t)=3sin(t)

Janë dhënë : M=10kg; k=1N/m; b=0.5Ns/m

Zgjidhje: Funksionin transmetues do ta caktoj si : Mx''(t)=f(t)-kx(t)-bx'(t) / L s

2MX(s)=F(s)-kX(s)-bsX(s)

X(s)[s

2M+bs+k]=F(s)

15.01011

)()(

22

sskbsMssFsX

Për caktimin e emruesit të sistemit do ta përdorim urdhërin lsim x=lsim[nr,emr,u,t]; % m-fajlli: nr=[1]; emr=[10 0.5 1]; t=1:0.1:200; % zgjidhja nen a): u=5*ones(1,length(t)) % vektori ku te gjithe elementet jane =5; y_a=lsim(nr,emr,u,t);





160/224

% zgjidhja nen b): u=3*sin(t); y_b=lsim(nr,emr,u,t); % vizatimi i emruesit subplot(211); plot(t,y_a); title('forca qe vepron f(t)=5N'), ylabel('x(m)') subplot(212); plot(t,y_b); title(' forca qe vepron f(t)=3sin(t)'), xlabel('t(s)'), ylabel('x(m)')

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10forca qe vepron f(t)=5N

x(m

)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1 forca qe vepron f(t)=3sin(t)

t(s)

x(m

)





161/224

Simulink Shembulli 193: Të simulohet ekuacioni duke përdor Simulinkun e programit Matlab intervali 0 ≤ t ≤ 13. Zgjidhja e së cilit është :

Modeli i Simulinkut

Sine Wave Scope

1s

Integrator

10

Gain

Parametrat për bllokun Sine Wave: Amplitude= 1, Frequency= 1, Phase= 0, Sample time= 0

)sin(10.

ty

)sin(10 tdtdy

0)0( y

)cos1(10)( tty





162/224

Parametrat për bllokun Gain:

Hapi i simulimit është : 25 Pas simulimit klikojm dy here në Scope block fitohet paraqitja grafike.





163/224

Shembulli 194: Funksioni transmetues i dhënë me ekuacionin:

952146

23

sss

sG

Të vizatohet sistemi i dhënë përmes variablave të gjendjes dhe dhe bllok diagrami duke përdor funksioni STEP Duke i bërë zëvendësimet e më poshtëme:

)()(

9521

)()(*

)()(

952146

2323 sUsZ

ssssUsZ

sZsY

ssssG

uzzzzsZsYs 9'5''2''')()(146





164/224

zzy 14'6 1.

I vendosim variablat e gjendjeve në formë:

ZxZx 11 2.

122 xZxZx

dhe 12 xx

3.

233 xZxZx

dhe 23 xx

4. Me kombinimin e ek. 1 dhe ek. 2 do të kemi :

uxxxx

3211 952 ek. 5 Nga ekuacioni 2 , 3, 4 do të paraqesim në formë matricore:

uxxx

x

x

x

001

*010001952

3

2

1

3

2

1

3

2

1

32 *4160146xxx

yxxy

Modeli në Simulink për ekuacionet e gjendjës:

1Out1

1s

ntegratori 3

1s

ntegratori 2

Step Scope1s

Integratori 1

14

Gain5

6

Gain4

6

Gain3

2

Gain2

5

Gain1

9

Gain Add1

Add





165/224

Paraqitja e simulimit është dhënë në figurën e më poshtme :

Shembulli 195

Sistemi dinamik është dhënë me 8147

623

sss

Gp

Të zgjidhet sistemi i dhënë përmes variablave të gjendjës. Variablat e gjendjës janë dhënë

yx1

yx2 yx Të gjenerohet ndryshimi i kohës i variablave përmes Simulinkut

)()(

81476

23 sUsY

sssGp

UYYYsYs 68147 23

uYYYY 68'14''7''' ek.1

yxyx 11 ek.2





166/224

122 xyxyx

dhe 12 xx

ek.3

233 xyxyx

dhe 23 xx

ek.4 Me kombinimin e ekuacionit m1 dhe ekuacionit 2 do të kemi:

uxxxx 68147 3211 ek 5 Ekuacionet 2 ,3 dhe 4 do ti shkruajm në formën matricore:

uxxx

x

x

x

006

*0100018147

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3 *0100xxx

yxy

Modeli në Simulink për ekuacionet e gjendjës:

1Out1

1s

ntegratori 3

1s

ntegratori 2

Step Scope1s

Integratori 1

6

Gain3

7

Gain2

14

Gain1

8

Gain

Add

Parametrat për bllokun e ngacmimit :





167/224

Paraqitja e simulimit është dhënë në figurën e më poshtme :





168/224

Shembulli 196: Përmes metodës së variablave të gjendjës: Për një qark elektrik pas ekujvalentimit ekuacioni i tijë është :

)(0 tuvdtdiLRi c

Ll

1)1(41

cLcL viv

dtdi

444 cLc

L vidtdi 1

Më pastaj po definojm variablat e gjendjës: Lix 1 dhe cix 2 2

dtdix L

1 dhe dtdvx c

2 .3





169/224

Atëher: dtdvCi c

L

221 34

xxCdtdvCix c

L

Ose

1243 xx

.4

Nga ekuacionet e lartëshënuara do të shprehim ekuacionet e gjendjës:

444 211

xxx

1243 xx

Kurse forma matricore është:

)(04

04/344

02

1

2

1 tuxx

xx

.5

Atëher zgjidhja e ekuaciuonit 5 do të jetë:

tt

tt

eeee

xx

3

3

2

1

25.075.01

Atëherë:

ttL eeix 3

1

tt

c eevx 32 25.075.01

Detyra për ekuacionet diferenciale do të zgjidhet përmesë simulink-ut në dy mënyra: Mënyra e parë: Duke shfrytëzuar ekuacione e më sipërme formojm modelin në Simulink i cili ka formën si më poshtë:





170/224 simout

To Workspace

Step

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space Scope

Step

Scope

1s

Integrator1

1s

Integrator

-3

Gain5

-4

Gain1

3

Gain

Add

Paraqitja grafike për hapë simulimi 10 është paraqitur në figurën e më poshtëme.

Mënyra e dytë përtmes ekuacionit të gjendjeve: Nga ekuacioni 5 do të kemi

)(04

04/344

02

1

2

1 tuxx

xx

duCxy ose uxx

y 0102

1

Modeli i simulinkut ka këtë formë :





171/224

Atëher në bllokun për parametrat e funksionit do të shenojmë: Shenojmë vlerën në command window: >> x1=0;x2=0.5;





172/224

Shembulli 197: Është dhënë ekuacioni diferencial :

)()(012

2

23

3

34

4

tutyadt

ydadt

ydadt

ydadt

yd





173/224

Nëse me y(t) marrim madhësin dalëse kurse me u(t) atë hyrëse y(0)=y’(0)= y’’(0)= y’’(0)=0 nga forma matematike dihet se zgjidhja e ekuacionit diferencial është:

ttydt

yddt

yd sin)(2 3

3

4

4

duke përdor vlerat fillestare y(0)=y’(0)= y’’(0)= y’’(0)=0

]cos3)3[(125.0)( 2 tttty Për ta shëndërruar ekuacionin ek. 2 përmes variablave të gjendjës duhet të përdorim katër variabla, pra do të përdorim variablat e gjendjës x1 x2 x3 dhe x4 ekuacionet diferenciale do të jenë:

)(1 tyx dt

tyx )(2 2

2

3)(

dttyx 3

3

4)(

dttyx

Ne vijmë në përfundim se

21 xx

32 xx

43 xx

)(4332211044

4

tuxaxaxaxaxdt

yd

Kurse forma matricore është:

)(

1000

100001000010

4

3

2

1

32104

3

2

1

tu

xxxx

aaaax

x

x

x

duAxx





174/224

duxy

4

3

2

1

x

x

x

x

x

3210

100001000010

aaaa

A

4

3

2

1

xxxx

x

1000

b u=u(t)

1)( xty

)(00001

4

3

2

1

tu

xxxx

y

Duke zëvendësuar ekuacionet e lartëposhtëm në ekuacionin 1 do të fitojmë. 03 a 22 a 01 a 10 a ttu sin)(

t

xxxx

ax

x

x

x

sin

1000

020100001000010

4

3

2

1

04

3

2

1

4

3

2

1

x

x

x

x

x

020100001000010

0a

A

4

3

2

1

xxxx

x

1000

b u=sint

y(t)=x1





175/224

t

xxxx

y sin00001

4

3

2

1

Modeli i simulinkut ka këtë formë :


State-SpaceSignalGenerator

Scope

0

Display

Amplitude: 1 Frequency: 2 Units: Hertz Parametrat në bllokun State –Space





176/224

Shkruajm ne : Command windows >> a0=1; a1=0; a2=2; a3=0; x0=[0 0 0 0]'; Paraqitja grafike për modelin e simulinkut është dhënë në figurën e më poshtëme:

Shembulli 198





177/224

Është dhënë funksioni transmetues:

1)()()( 2

sss

sVsVsG

h

d

Duke përdor Programin Matlab të vizatohet modeli dhe të paraqitet grafikisht funksioni nëse në hyrje vepron sinjali Step. Modeli duke u bazuar në shprehjen e funksionit transmetues.

s

s +s+12

Transfer FcnStep Scope

Parametrat për bllokun STEP.





178/224

Parametrat për bllokun Transfer Fcn

Paraqitja grafike e funksionit

Shembulli 199:





179/224

Për funksionin e dhëne )4)(2)(1(

)3(5)(

ssssssG

Duke i marrë parasysh tre modelet e me poshtme të modelit supozojm se vlerat fillestare të gjendjes janë: -0,1,0 dhe 0. Ne mundë ti caktojm matricat A,B,C dhe D përmesë Programit Matlab me funksionin zp2ss. Modeli i simulinkut ka këtë formë :

5s(s+3)

(s+1)(s+2)(s+4)

Zero-Pole1

5s(s+3)

(s+1)(s+2)(s+4)

Zero-Pole

Step


State-Space

Scope3

Scope2

Scope1

Për këtë shembull funksioni transmetues në variabla të gjendjes është paraqitur përmes shprehjës. Shprehja në: Command Window >> z=[0 -3]; p=[-1 -2 -4]'; k=5; [A B C D]=zp2ss(z,p,k) Kurse rezultati eshtë: A = -1.0000 0 0 1.0000 -6.0000 -2.8284 0 2.8284 0 B = 1





180/224

0 0 C = 5.0000 -15.0000 -14.1421 D = 0 Parametrat në bllokun Step

Parametrat në bllokun Zero-Pole

Parametrat në bllokun State – Space





181/224

Parametrat në bllokun Zero- Pole1

Paraqitja grafike e simulinkut për tri modelet është paraqitur në figurat e më poshtme.





182/224





183/224

Shembulli 200: Le të jetë dhënë ekuacioni diferencial i një osilatori të thjeshtë.

02

2

bydtdya

dtyd

Ose

02

2

bydtdya

dtyd

Duke u bazuar në ekuacionet e më sipërme fitojm modelin:

Scope1

1s

Integrator1

1s

Integrator

b

Gain2

a

Gain1Add

Në Command Window: >> a=0.1; >> b=3;





184/224





185/224

Shembulli 2001:

Modelet me funksione diferenciale te rendit të dytë për figuren e më poshtme të llogariten përmes Simulinkut të programit Matlab :

f(t) – k x – b x’ – m x” = 0 Përmes veprimeve matematikore fitojm shprehjen: x" = 1/m[bx' + kx + f(t)]

b

perforcuesi1

1/m

perforcuesi 3

k

perforcuesi 2

1s

integratori 1Step

Scope

1s

Integratori 2





186/224

Përgjigjëja për sinjalin step ka këto vlera:

Simulation time =10s Në: command windows:

>> m = 2;

>> b = 5;

>> k = 3;

Ku fitohet grafiku për ekuacionin e rendit të dytë , ku si ngacmim kemi marrë sinjalin step.





187/224

Shembulli 202:

))((1 kxxcxf

mx

Modeli simulues.

k

vlera per 'k'

c

vlera per 'c'

m

masa1s

integrali x''

1s

integral i x'Step

Scope

Parametrat e bllokut Step:





188/224

Vlerat e dhena në Command Window: >> m=0.5; >> c=0.35; >> k=0.5; Paraqitja grafike:





189/224

Shembulli 203: Të simulohet sistemi i dhënë në Simulink. Me këto vlera: m1=5, m2=3, c1=4, c2=8, k1=1, dhe k2=4

m 1

m 2

k 1

k 2

c 1

c 2

x 1

x 2

f

Ekuacioni i lëvizjës është: Ekuacioni i më sipërm mundë ta shndërrojmë në ekuacione të gjendjes:

Forma matricore:

)(48483

0485125

11222

22111

....

....

tfxxxxx

xxxxx

)4(31.

)5(51.

)(848

8412

43214

43212

tfzzzzz

zzzzz

43

21

.

.

zz

zz

)(.

tBfAzz

2

2

1

1

.

.

x

x

x

x





190/224

m 1

m 2

k 1

k 2

c 1

c 2

x 1

x 2

f

Të dhënat inicuese janë: Ekuacionet dalëse: Modeli për variablat e gjendjes:

Step


State-Space Scope

Parametrat për bllokun Step:

0)0(2,5.0)0(2,0)0(1,2.0)0(1..

xxxx

)(tBfCzy





191/224

Parametrat për bllokun State Space:

Paraqitja grafike e ekuacionit të gjendjes:





192/224

S- Function Shembulli 204: Zgjidhja e një ekuacioni diferencial të rendit të dytë në funksion të kohës.

)sin(2'' txx ose në Mekanikë: )sin(2 txx

ekuacioni (1) Për kushtet fillestare t=0, x=0, 5.0'' x

Duke ditur se problemet reale përshkruhet me ekuacione diferenciale mjaft të komplekse dhe në të shumtën e rasteve “të pazgjidhshme me dorë” në vijim le të realizojmë zgjidhjen e ekuacionit paraprak në Matlab. Së pari bëjmë uljen e rendit të ekuacionit diferencial, pra marrim këto shënime:

)1()2(

)1(

dxxx

xx

ekuacioni (2)

Prej nga :

)1()2()2(

xxdxx Ekuacionin fillestar do ta shprehim si :

)sin(*2 txx

ekuacioni (3)

Në këtë ekuacion hyrje (ngacmim) në funksion të kohës është M=sin(t), e cila brenda nën-programit të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale do të identifikohet me u, atëherë ekuacionet (2) dhe (3) paraqesin dy ekuacione diferenciale të rendit të parë të rrjedhura nga ekuacioni diferencial i rendit të dytë (1). Një veprim i tillë shpesh quhet edhe paraqitje e ekuacioneve diferenciale nëpërmjet variablave të gjendjes. Kështu ekuacionet që duhet të shkruhet në nën-programin zgjidhja.m do kenë formën:

uxdx

xdx

)1(*2)2(

)2()1(





193/224

Scope

zgjidhja

S-Function

[t,M]

FromWorkspace

Listingu i nën-programit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale zgjidhja.m është dhënë në vijim: function [dx,x0,str,ts] = int(t,x,u,flag) switch flag case 0 dx=[2, % 0, 2, 1, 0, 2, 1]; x0 = [0,0.5]; str=[]; ts=[0 0]; case 1 dx(1)=x(2); dx(2)=-2*x(1) + u; case 2 dx=[]; case 3 dx=x; case 9 dx=[]; otherwise error(['unhndled flag = ' ,num2str(flag)]) ; end Commande Window: >> t = ( 0 : 0.01 : 10 )'; >>M = sin( t );





194/224

Pas hapjes së Simulinkut, hapim modelin e ri në dritaren modeli.mdl, vendosim modulim për lexim të të dhëna nga “Command Window” përkatësisht modulin “From Workspace” dhe aty shënojmë se ky modul duhet të lexoj funksionin M.





195/224

Shembulli 205: Të zgjidhet qarku i më poshtëm për i1 , i2, Vc dhe të paraqitet ndryshimi i këtyre madhësive në raport me kohën dhe këto të paraqiten grafikisht duke përdor Programin Matlab.

Janë dhënë këto vlera: Lp=0.1H, Ls=0.2H, Rp=1Ω, Rs=2Ω,R1=1Ω,Mi=0,1H, C=1μF, V=10V Sinjali hyrës STEP

Metoda I

Vetem me kodin ne MATLAB % Vetem me kodin ne MATLAB clear all Lp = 0.1; Ls = 0.2; Mi = 0.1; Rp = 1; Rs = 2; R1 = 1; C = 1e-6; V = 10; alpha = 0.1; R = [-Rp 0 0; 0 -(Rs+R1) -1; 0 1 0] D = [1;0;0] L = [(Lp+Mi) -Mi 0; -Mi (Ls+Mi) 0; 0 0 C] Linv = inv(L); A = Linv*R; B = Linv*D; X = [0;0;0]; U = V; T = 0.0001; % Koha e ngacmimit





196/224

for n = 1:10000 n1(n) = n; Xest = X + T*(A*X + B*U); Xdotest = A*Xest + B*U; alpha1 = 1 + alpha; alpha2 = 1 - alpha; term1 = alpha1*Xdotest; termint = A*X + B*U; term2 = alpha2 + termint; X = X + (T/2)*(term1 + term2); i1(n) = X(1); i2(n) = X(2); Vc(n) = X(3); end figure (1) subplot(3,1,1) plot(n1*T,i1) grid ylabel('i_1 [A]') title('i_1 vs time') subplot(3,1,2) plot(n1*T,i2) grid axis([0 1 -0.01 0.01]) ylabel('i_2 [A]') title('i_2 vs time') subplot(3,1,3) plot(n1*T,Vc) grid axis([0 1 -5 10]) xlabel('Time') ylabel('V_c [V]') title('V_c vs time')

Rezultati





197/224

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10i 1 [A

]i1 vs time

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.01

0

0.01

i 2 [A]

i2 vs time

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

0

5

10

Time

Vc [V

]

Vc vs time





198/224

Metoda II Matlab + Simulink: S-function

Vc

To Workspace3

i2

To Workspace2

i1

To Workspace1

time

To Workspace

Scope

funksioni

S-Function

10

Constant

Clock

Parametrat për bllokun To Workspace:





199/224

% fajlli funksioni function [sys, x0]=prob1(t,x,u,flag) Lp = 0.1; Ls = 0.2; Mi = 0.1; Rp = 1; Rs = 2; Rl = 1; C = 1e-6; V = 10; alpha = 0.1; R = [-Rp 0 0; 0 -(Rs+Rl) -1; 0 1 0] D = [1;0;0] L = [(Lp+Mi) -Mi 0; -Mi (Ls+Mi) 0; 0 0 C] Linv = inv(L); A = Linv*R; B = Linv*D; if abs(flag)==1 sys(1:3)=A*x(1:3)+B*u; elseif abs(flag)==3 sys(1:3)= x(1:3); elseif flag==0 sys(1)=3; sys(2)=0; sys(3)=3; sys(4)=1; sys(5)=0; sys(6)=0; x0= [0; 0; 0]; else sys=[]; end; Parametrat për bllokun S- Function





200/224

% fajlli plot_1 figure(1) subplot(3,1,1) plot(time,i1) grid ylabel('i_1 [A]') title('i_1 Vs koha') subplot(3,1,2) plot(time,i2) grid ylabel('i_2 [A]') title('i_2 Vs koha') subplot(3,1,3) plot(time,Vc) grid xlabel('koha') xlabel('V_c [V]') title('V_c Vs koha') Parametrat për bllokun Scope:





201/224

Vetitë e modelit:





202/224

Paraqitja Grafike e Simulimit të modelit:





203/224

Shembulli 206: Të shkruhet S funksioni i cili e modelon sistemin nga figura e më poshtme. Së simulohet puna e sistemit për 8 sekonda në vazhdim për sinjalin e paraqitur.

1)0(3.0)0(

54

pp

epppp p3

2s

Zgjidhje

1)0(3.0)0(

54

pp

epppp

21

2

1

xx

px

px

21132

3

45)2(

2

xxxxux

xue

313

13

2112

32

323

2

45

xxx

xpqyx

yqysQ

Y

xxxex





204/224

Modeli në Simulink i cili është i përbër edhe nga blloku S- Function

Scope1

Scope

sistem

S-Function

sinjal

FromWorkspace

Listingu i nën programit sistem.m % .m fajlli me emertim sistem.m function [sys,x0] = sistem2(t,x,u,flag) if flag == 0 sys = [3;0;1;1;0;0]; x0 = [-0.3;1;0]; elseif flag == 1 sys(1) = x(2); sys(2) = (u-2*x(3))-5*x(1)-4*x(1)*x(2); sys(3) = 2*sqrt(abs(x(1)))-3*x(3); elseif flag == 3 sys = x(3); else sys =[]; end Sinjali: Në Command Window: t=0:0.01:8; u=min(abs(2*sin(t)),(t<4).*(1/2).*t+(t>=4).*(4-t/2)); sinjal=[t' u'];





205/224

Paraqitja grafike e simulimit të modelit në Simulink.





206/224

Shembulli 207:

Është Dhënë ekuacioni për lavjerrës sin2

2

mgLdtdc

dtdJM

Ose

)sin(12

2

mgLdtdcM

Jdtd

Le të jetë 1x dhe 2/ xdtd

Atëher : 21 xx

dhe )(1/ 1222

2 mgLxcxMJ

dtdx

Per: J=2, M=1, c=0.2, mgL=2

Ekuacioni i gjendjes është: 21 xx

5.01.0 212

xxx

uxx

x

x

10

1.0110

2

1

2

1

Nese u=M=hyrje Ateher:

DuCxyBuAxx

1.01

10A

10

B

11C

10

D





207/224

Modeli në Simulink i cili është i përbër edhe nga blloku S- Function

Scope

lavjerresi

S-Function

1

Constant

Listingu i nenprogramit: function [sys,x0,str,ts]=lavjerresi(t,x,u,flag) % A=[0 1; -1 -0.1]; B=[0; 1]; C=[0 1]; D=[0; 1]; % switch flag case 0 [sys, x0,str, ts]=mdlInitializeSizes(A,B,C,D); % Derivimi case 1 sys=mdlDerivatives(t,x,u,A,B,C,D); % % daljet % case 3 sys=mdlOutputs(t,x,u,A,B,C,D); case 9 end % S-funksionet function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes(A,B,C,D) sizes=simsizes; sizes.NumContStates=size(A,1); sizes.NumDiscStates=0;





208/224

sizes.NumOutputs=size(D,1); sizes.NumInputs=size(D,2); sizes.DirFeedthrough=any(any(D~=0)); sizes.NumSampleTimes=1; sys=simsizes(sizes); x0=ones(size(A,1),1); str=[]; ts=[0 0]; function sys=mdlDerivatives(t,x,u,A,B,C,D) sys=A*x+B*u; function sys=mdlOutputs(t,x,u,A,B,C,D) sys=C*x+D*u; % % fundi Paraqitja grafike e simulimit të modelit i cili pëmban edhe S- Function





209/224

Rrjetat Fuzzy Neurale

Shembulli 208: Llogaritja e vlerës mesatare në dalje në disa intervale për funksionin Y(t)=4sin(t).

Zgjidhje

Në detyrën tonë ne do të zbatojmë metodën Sugeno ku fillimisht e bëjmë definimin e hyrjeve apo intervaleve të vlerave hyrëse në nënintervale. Amplituda e funksionit është -4 dhe 4 dhe këtë e ndajmë në nënintervalet e që do të jenë: [-4 -2] , [-1 0] , [0 0] , [0 2] , [2 4]. Me zbatimin e paketës MATLAB 7.4.0 (R2007) ne do të zbatojmë metodën Sugeno. Me fillimin e programit dhe me zgjedhjen Start, Toolboxes, Fuzzy Logic, Fis Editor Viewer dhe do të fitojmë dritaren e Fis Editor Viewer. Pasi kemi ndar nën intervalet dhe kemi filluar punën me zgjedhjen e metodës Sugeno dhe përcaktimit të hyrjeve dhe daljeve ne fillojmë futjen e të dhënave një nga një për hyrje dhe dalje të veçanta. Më pastaj fillojmë definimi i rregullave ku bëjmë lidhjen e hyrjeve me daljet e caktuara ku secilës hyrje i korrespondon nga një nëninterval e cila lidhet me daljen përkatëse. Me pastaj do të shohim se si ndërron dalja e caktuar në varshmëri të hyrjes së caktuar dhe pamja rules dhe surface për rastin e daljes 1 deri te dalja 5. Dhe në fund me paraqitjen e skemën në Simulink ku modeli i paraqitur do të na mundësoj pamjen grafike të ndryshimeve e në rastin tonë kemi pesë paraqitje të grafikut për intervalin kohor prej 10s. Në pjesën e më poshtme po paraqesim procedurën e zgjidhjes së detyrës së dhënë hap pas hapi duke e ilustruar me pamje.





210/224

Me startimin e editorit FIS dhe caktimit të daljeve sipas intervaleve të parapërcaktuara (pesë) fillimisht përcaktojmë amplitudën e që në rastin tone, është -4 dhe 4.

Figura.2.1. Fis Editor Sugeno me parametra e caktuar me hyrje dhe pesë daljet Intervalin e parë [-4 -2]

Figura.2.2. Definimi i hyrjes së parë me intervalin e parë [-4 -2]





211/224

Intervalin e dytë [-2 0]

Figura 2.3. Definimi i hyrjes së dytë, në intervalin e dytë [-2 0]

Intervalin e tretë [0 0]





212/224

Figura 2.4. Definimi i hyrjes së tretë, në intervalin e tretë [0 0] Intervalin e katërt [0 2]

Figura 2.5. Definimi i hyrjes së katërt, në intervalin e katërt [0 2] Intervalin e pestë [2 4]





213/224

Figura 2.6. Definimi i hyrjes së pestë, në intervalin e pestë [2 4] Pas caktimit të intervaleve për hyrje fillojmë caktimin e definimi i daljeve për secilin rast veç e veç .

Definimi i vlerës së parë dalëse (D1) është marrë mesi i intervalit [-4 -2] respektivisht (-3).

Figura 2.7. Definimi i daljes së parë.

Definimi i vlerës së parë dalëse (D2) është marrë mesi i intervalit [-2 -0] respektivisht (-1).

Figura 2.8. Definimi i daljes së dytë.





214/224

Definimi i vlerës së parë dalëse (D3) është marrë mesi i intervalit [0 0] respektivisht (0).

Figura 2.9. Definimi i daljes së tretë.


Figura 2.10. Definimi i daljes së katërt.






215/224

Figura 2.11. Definimi i daljes së pestë.

Hapi i tretë më radhë është definimi i kushteve ku zgjedhim edits rule dhe paraqitet pamja dhe

nga forma zgjedhim kushtet e me poshtme të paraqitura në figurën 2.16

Figura 2.12. Definimi i rregullave.





216/224

Për pamje të varshëmëris së daljes nga hyrja kemi marrë hyrjen e katërt dhe daljen e katërt.

Figura 2.13. Ndërrimi i daljes së katërt në varshmëri të hyrjes së katërt.

Figura 2.14. Ndërrimi i daljes së dytë në varshmëri të hyrjes së dytë.





217/224

Pamja surface viewer për secilin rast të intervalit.

Figura 2.15. dalja e parë .

Figura 2.16. dalja e dytë.





218/224

Figura 2.17. dalja tretë.

Figura 2.18. dalja katërt.





219/224

Figura 2.19. dalja pestë.

Me zgjedhjen e menynë Edit, Anfis do të fitojmë dritaren si në figurën 2.21. dhe me zgjedhjen e opcionit Structure do të fitojmë pamjen si në figurën e më poshtme.

Figura 2.20. Dritarja Anfis Editori.





220/224

Kurse me zgjedhjen e opcionit Anfis model structure, na paraqitet pamja e lidhjes së hyrjeve dhe daljeve.

Figura 2.21. Dritarja Anfis Model Structure. Dhe në fund kemi paraqitur modelin e SIMULINK-ut ku janë paraqitur grafikisht hyrja dhe daljet e modelit si dhe blloku kryesor Fuzzy Logic Controller me anë të secilit është bërë lidhja e fis editorit me modelin .

Figura 2.22. Pamja e modelit në Simulink





221/224

Dhe me ekzekutimin e modelit paraqiten format grafike të intervaleve në dalje .

Figura 2.23. Grafiku për daljen: [-3]

Figura 2.24. Grafiku për daljen: [-1]





222/224

Figura 2.25. Grafiku për daljen: [0]

Figura 2.26. Grafiku për daljen: [1]





223/224

Figura 2.27. Grafiku për daljent: [3]





224/224

Literatura:

[1]: Prof Dr. Sc.Ramë Likaj “Simulimi i Sistemeve Mekanike /” shembuj të zgjidhur / Dispencë

U.Prishtinës. [2]: Dr. sc. Ahmet SHALA “Softuerët Aplikativë “ Dispencë PRISHTINË, 2004 [3]: Brian D. Hahn and Daniel T. Valentine “Essential MATLAB For Engineers and Scientists “,

Butterworth-Heinemann 2007 [4]: Dingy¨u Xue, YangQuan Chen, Derek P. Atherton “Linear Feedback Control analysis

and Design with MATLAB”, pringer-Verlag 2002. [5]: Sergey E. Lyshevsk,” Engineering and Scientific Computations Using MATLAB”, A John

Wiley & Sons, Inc., Publication 2003 [6]: O. BEUCHER and M. WEEKS “ INTRODUCTION TO MATLAB® & SIMULINK” , Infinity

Science Press LLC 2006 [7]: Jamal T. Manassah , “ELEMENTARY MATHEMATICAL and Computational Tools For

Electrical and Computer Engineers Using Matlab®”, CRC Press 2001 [8]: Jaan Kiusalaas, “Numerical Methods In Engineering With Matlab® “ , Cambridge

university press 2005 [9]: Rao V. Dukkipati, “ANALYSIS AND DESIGN OF CONTROL SYSTEMS USING MATLAB”,

PUBLISHING FOR ONE WORLD 2006 [10]: Steven T. Karris, “ Introduction to Simulink® with Engineering Applications”, Orchard

Publications 2008 [11]: Won Young Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris, “APPLIED Numerical

Methods Using Matlab”, A John Wiley & Sons, Inc., Publication 2005 [12]: Ionut Danaila, Pascal Joly, Sidi Mahmoud Kaber, Marie Postel” An Introduction to

Scientific Computing”, Springer 2006 [13] Dr.Sc Ahmet Shala, “Rrjetat Fuzzy Neurale”, EALGA, Prishtinë 2006 [14[ www.mathworks.com, “Fuzzy Logic Toolbox” [15] Gyla Mester “ Intelegentni Roboti i Sistemi’’ Subotica 2001 [16] Huaguang Zhang“ Fuzzy Modeling and Fuzzy Control’’ 2006 Boston


http://www.mathworks.com,



ushtrime matlab

Documents

Transcript of ushtrime matlab