US_-_Statisticke_metode_-_praktikum_2010_0

UNIVERZITET SINGIDUNUM

STATISTIČKE METODE

- PRAKTIKUM -

B d 2010

STATISTIKA

1. PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH PODATAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. STATISTIČKE SERIJE I TABELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. GRAFIČKO PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH SERIJA . . . . . . . . . . . . . 6

2. SREDNJE VREDNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.1. IZRAČUNATE SREDNJE VREDNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.1.1. Aritmetička sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.1.2. Geometrijska sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.1.3. Harmonijska sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. POZICIONE SREDNJE VREDNOSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.1. Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212.2.2. Medijana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232.2.3. Kvartili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.3. MERE VARIJACIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 cijent varijacije . . . . . . . . .32

2.4. POKAZATELJI OBLIKA RASPOREDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.4.1. Mera asimetrije i spljoštenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

3. DINAMIČKA ANALIZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413.1. VREMENSKI INDEKSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

3.1.1. Bazni indeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413.1.2. Verižni (lančani) indeksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.2. GRUPNI (AGREGATNI INDEKSI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.2.1. Indeksi količine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.2.2. Indeks cena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .543.2.3. Indeks vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .603.2.4. Indeks troškova života . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623.2.5. Indeks plata (zarada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633.2.6. Indeks produktivnosti rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

SADRŽAJ

I - DEO

3.3. TREND 77 3.3.1. Linearni trend 77 3.3.2. Parabolični trend 80 3.3.3 Eksponencijalni trend 84 3.4. SEZONSKE VARIJACIJE 90 3.5. CIKLIČNE VARIJACIJE 112

II - DEO

ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE

4. ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE 119 4.1. VEROVATNOĆA “A PRIORI” 119 4.2. VEORVATNOĆA “A POSTERIORI” 119 4.3. ZBIRNA VEROVATNOĆA 120 4.4. SLOŽENA VEROVATNOĆA 121 4.5. USLOVNA VEROVATNOĆA 122 4.6. BAJERSOVA VEROVATNOĆA 123 4.7. BINOMNA VEROVATNOĆA 125 4.8. PUASONOVA VEROVATNOĆA 127 4.9. ZAKON VELIKIH BROJEVA 129 4.9.1. Nejednačina Čebiševa 129 4.9.2. Teorema Čebišova 131 4.9.3. Teorema Bernulija 132 4.10. CENTRALNA GRANIČNA TEOREMA 133 4.11. JEDNODIMENZIONALNA PREKIDNA SLUČAJNA PROMENLJIVA 135

5. METOD UZORKA 140 5.1. VELIČINA UZORKA 140 5.2. OCENE NA OSNOVU UZORAKA 142 5.3. STATISTIČKI TESTOVI NA OSNOVU UZORAKA 150 5.3.1. Testovi na osnovu „T“ raspodela 150 5.3.2. Testovi na osnovu „F“ raspodele 157 5.3.3. Testovi na osnovu χ2 rasporeda 169

6. REGRESIJA I KORELACIONA ANALIZA 174 6.1. LINEARNA I KORELACIONA ANALIZA 174 6.1.1. Parcijalna korelacija 179 6.1.2. Korelacija ranga 186

7. STATISTČKE TABLICE 189

Literatura 215

I - DEO Statistika

1. PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH PODATAKA

1.1. STATISTIČKE SERIJE I TABELE

ZADATAK 1.

Na pismenom ispitu iz statistike 30 studenata dobilo je sledeće bodove:

36 41 47 51 61 65 71 79 80 81 65 70 70 77 84 87 91 95 100 91 41 45 50 57 61 65 70 81 95 100

a) Grupisati podatke u obliku numeričke serije

b) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serije

Rešenje:

a) Za grupisanje podataka u obliku numeričke serije uoči se najmanja vrednost obeležija, a zatim se vrednosti ređaju po rastućem nizu u tabeli. Zatim se prebrojavaju koliko se puta pojavljuju pojedinačne vrednosti obeležija pa se te brojke upisuju u tabelu.

Tabela 1. – Grupisanje studenata prema broju bodova

Broj bodova (x)

Broj studenata (f)

Broj bodova (x)

Broj studenata (f)

36 1 71 1 41 2 77 1 45 1 79 1 47 1 80 1 50 1 81 2 51 1 84 1 57 1 87 1 61 2 91 2 65 3 95 2 70 3 100 2

UKUPNO: 30

b) Za grupisanje podataka u obliku intervalne numeričke serije potrebno je odrediti broj grupnih intervala (K) i širinu tih intervala (i).

Broj grupnih intervala određuje se Stuges-ovim pravilom pomoću formule:

1 3,3 logK N 1

a širina intervala pomoću izraza:

max minX Xi

K�

�

1 3,3 log 301 3,3 1,477121 4,87455,8745

KKKK

� � ��

100 366

64 10,666

i

i

��

� �

6K � (intervala) 11i � (širina intervala)

Tabela 2. – Grupisanje studenata prema broju bodova

Broj bodova (x) Broj studenata (f) 35-46 4 47-57 4 58-68 5 69-79 6 80-90 5

91-101 6 UKUPNO: 30

ZADATAK 2.

Broj stabala jabuka po domaćinstvima u jednom naseljenom mestu bio je:

11 20 16 20 16 15 15 25 17 11 16 10 17 10 20 16 20 15 11 13 25 11 15 16 10 20 17 25 13 17

a) Grupisati podatke u obliku numeričke serije

b) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serije

Rešenje:

a)

Tabela 3. – Grupisanje domaćinstava prema broju stabala

Broj stabala (x) Broj domaćinstava (f) 10 3 11 4 13 2 15 4 16 5 17 4 20 5 25 3

UKUPNO: 30

2

b)

1 3,3 log 301 3,3 1,477121 4,87455,8745

KKKK

� � ��

25 106

15 2,56

i

i

��

� �

6K � (intervala) 3i � (širina intervala) Tabela 4. – Grupisanje domaćinstava prema broju stabala

Broj stabala (x) Broj domaćinstava (f) 10-12 7 12-15 6 15-18 9 18-21 5 21-24 0 24-27 3

UKUPNO: 30

ZADATAK 3. Na 28 parcela zasejano je suncokreta u t/ha:

17 19 19 21 24 24 29 11 11 12 12 14 14 15 7 7 11 11 14 15 15

13 13 17 19 19 24 29 a) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serije b) Izračunati kumulativ „ispod“ i kumulativ „iznad“ Rešenje: a)

1 3,3 log1 3,3 log 281 3,3 1,44711 4,775625,77562

K NKKKK

� � ��

max min

29 76

3,6

X XiK

i

i

��

��

�

6K � 4i � Tabela 5. – Grupisanje parcela prema zasejanim površinama

Zasejane površine (x) Broj parcela (f) 7-10 2

11-14 11 15-18 5 19-22 5 23-26 3 27-30 2

UKUPNO: 28 3

b) Kumulativ „iznad“ izračunava se tako što krećemo od n-zbirne frekvencije i oduzimamo frekvencije najpre prvog, pa zatim svakog narednog intervala do početne frekvencije:

28, 28-2, 28-2-11, 28-2-11-5, itd

Kumulativ „ispod“ izračunava se tako što se kreće od frekvencije početnog intervala pa se redom sabiraju frekvencije

2, 2+11, 2+11+5, 2+11+5+5, itd.

Tabela 6. – Grupisanje parcela prema zasejanim površinama

Zasejane površine (x)

Broj parcela (f)

Kumulativ „ispod“

Kumulativ „iznad“

7-10 2 2 28 11-14 11 13 26 15-18 5 18 15 19-22 5 23 10 23-26 3 26 5 27-30 2 28 2

UKUPNO: 28 / /

ZADATAK 4.

U jednom plasteniku 27 radnika ubralo je povrća u kilogramima za 8 časova rada.

34 41 47 51 61 65 71 79 81 41 47 34 75 78 91 92 65 47 41 61 47 79 81 65 75 91 51

a) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serije

b) Izračunati kumulativnu frekvenciju u procentima

Rešenje: a)

1 3,3 log1 3,3 log 271 3,3 1,431361 4,72355,7235

K NKKKK

� ��

��

6K �

max min

92 346

9,66

X XiK

i

i

��

��

�

10i �

4

Tabela 7. – Grupisanje radnika prema količini ubranog povrća

Ubrano povrće (x) Broj radnika (f) 34-43 5 44-53 6 54-63 2 64-73 4 74-83 7 84-93 3

UKUPNO: 27

b) Kumulativna frekvencija u procentima izračunava se po obrascu:

Kumulativna frekvencija u % 100kumulativna frekvencijaf

��

�

Za prvi interval: 5 100 18,52%27

�� ;

Za drugi interval: 11 100 40,72%27

�� ; itd.

Tabela 8. – Grupisanje radnika prema količini ubranog povrća

Ubrano povrće (x)

Broj radnika (f)

Kumulativna frekvencija

Kumulativna frekvencija u %

34-43 5 5 19 44-53 6 11 41 54-63 2 13 48 64-73 4 17 63 74-83 7 24 89 84-93 3 27 100

UKUPNO: 27 / /

ZADATAK 5.

Potrošnja mleka u 24 domaćinstva u litrima iznosila je: 17 9 9 20 24 30 30 13 9 9 10 12 12 14 15 13 7 7 9 9 14 15 15 17

a) Grupisati podatke u obliku intervalne numeričke serije

b) Izračunati relativnu i kumulativnu frekvenciju u procentima

Rešenje:

a)

1 3,3 log1 3,3 log 241 3,3 1,38021 4,554695,55469

K NKKKK

� ��

��

max min

30 76

3,83

X XiK

i

i

��

��

�

6K � 4i �

5

b) Tabela 9. – Domaćinstva prema potrošnji mleka

Potrošnja mleka (x)

Broj domaćinstava (f)

Kumulativna frekvencija

Relativna frekvencija u %

Kumulativna frekvencija u %

7-10 7 7 29 29 11-14 6 13 25 54 15-18 5 18 21 75 19-22 3 21 13 87 23-26 1 22 4 92 27-30 2 24 8 100

UKUPNO: 24 / / /

1.2. GRAFIČKO PRIKAZIVANJE STATISTIČKIH SERIJA

ZADATAK 6.

U jednom trgovinskom preduzeću u toku jednog dana ostvaren je promet po prodavnicama:

Promet (Xi) 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120

Broj prodavnica (fi) 6 12 15 10 8 9 7 4

Seriju prikazati u obliku:

a) Histograma frekvencija

b) Poligona frekvencija

c) Poligona kumulativnih frekvencija

Rešenje:

Tabela 10. – Promet po prodavnicama u 310 din.

Kumulanta Promet (Xi)

Broj prodavnica

(fi) Rastuća Opadajuća

40-50 6 6 71 50-60 12 18 65 60-70 15 33 53 70-80 10 43 38 80-90 8 51 28

90-100 9 60 20 100-110 7 67 11 110-120 4 71 4

UKUPNO: 71 / /

6

a)

Slika 1. – Ostvaren promet po prodavnicama (histogram frekvencija)

b)

Slika 2. – Promet po prodavnicama (poligon frekvencija)

c)

Slika 3. – Poligon kumulativnih frekvencija

7

ZADATAK 7.

Utrošeno radnih časova po pogonima za izradu tri proizvoda je:

POGONI I II III IV V VI

Proizvod „A“ 3 2 4 3 4 2

Proizvod „B“ 6 3 5 2 3 4

Proizvod „C“ 4 5 2 4 3 3

Seriju grafički prikazati u obliku:

a) Histograma frekvencija

b) Poligona frekvencija

c) Polulogaritamskog dijagrama

Rešenje:

Tabela 11. – Utrošeno radnih časova po pogonu

Proizvod „A“ Proizvod „B“ Proizvod „C“ POGO-

NI Časovi (Xi)

Log Xi Časovi

(Xi) Log Xi

Časovi (Xi)

Log Xi

I 3 0,47712 6 0,77815 4 0,60205

II 2 0,30103 3 0,47712 5 0,69897

III 4 0,60205 5 0,69897 2 0,30103

IV 3 0,47712 2 0,30103 4 0,60205

V 4 0,60205 3 0,47712 3 0,47712

VI 2 0,30103 4 0,60205 3 0,47712

a)

Slika 4. – Utrošeno radnih časova po pogonu (histogram)

8

b)

Slika 5. – Utrošeno radnih časova po pogonu (poligon)

c)

Slika 6. – Utrošeno radnih časova po pogonu (polulogaritamski dijagram)

ZADATAK 8.

U jednom plasteniku proizvedeno je povrće:

Vrsta povrća Krompir Grašak Luk Kupus Boranija

Količina 850 610 530 730 680

Seriju prikazati:

a) Histogramom frekvencija

b) Strukturom kruga

9

Rešenje:

Grafički prikaz u obliku histograma

Slika 7. – Količina proizvedenog povrća

b) Grafički prikaz u obliku strukture kruga

1

2

3

4

850 850Krompir: 100 25% 360 903400 3400

610 610Grašak: 100 17,94% 360 653400 3400

530 530Luk: 100 15,58% 360 563400 3400

730 730Kupus: 100 21, 48% 360 773400 3400

680Boranija: 1003400

�

�

�

�

� � �

� � �

� � �

� � �

�

� �

� �

� �

� �

� 568020% 360 72

3400� � � �

Slika 8. – Količina proizvedenog povrća

10

2. STATISTIČKA ANALIZA

2.1. IZRAČUNATE SREDNJE VREDNOSTI

2.1.1. Aritmetička sredina

a) Prosta aritmetička sredina

ZADATAK 9. Prinos povrća na 8 parcela iznosio je u kilogramima 820; 750; 840; 780; 720; 630; 680; 590. Izračunati prosečan prinos povrća na osam parcela. Rešenje:

1 2 3 4 5 6 7 81 ;8

n

ixi

x x x x x x x xX Xn

820 750 840 780 720 630 680 590 5810 726,2588

726,25

X

X

Odgovor: Prosečan prinos povrća na 8 parcela je 726,25 kilograma

ZADATAK 10. Za osmočasovno radno vreme 10 radnika spakovalo je kutije sa kafom: 52; 58; 60; 48; 53; 65; 74; 76; 59; 64. Izračunati prosečan broj spakovanih kutija sa kafom u uzorku od 10 radnika. Rešenje:

60,9;X kutija

ZADATAK 11.

U jednom industrijskom pogonu 10 radnika imalo je radni staž:

15,2; 10,3; 8,4; 5,8; 12,2; 16,1; 6,5; 11,6; 10,8; 9,2.

Izračunati prosečan radni staž u uzorku od 10 radnika. 11

Rešenje:

� �10,6X godina�

ZADATAK 12.

U jednoj štampariji 8 radnika primilo je plate u jednom mesecu u dinarima:

850,6; 1100; 2340,5; 1800,4; 2100; 3650; 3460; 3100.

Izračunati prosečnu platu u uzorku od 8 radnika.

Rešenje:

� �2300X dinara�

b) Ponderisana aritmetička sredina

ZADATAK 13.

U uzorku od 130 domaćinstava mesečna potrošnja mlečnih proizvoda iznosila je:

Potrošnja u kg. (X): 6 12 18 10 11 8 13

Broj domaćinstava (f): 10 20 32 15 21 11 21

Izračunati prosečnu mesečnu potrošnju po domaćinstvu. 111,19%Ip �

Rešenje:

Tabela 12. – Potrošnja mlečnih proizvoda

Potrošnja u Kg (Xi) Broj domaćinstava (fi) Xi � fi 6 10 60

12 20 240 18 32 576 10 15 150 11 21 231 8 11 88

13 21 273

UKUPNO: 7

1301fii

� ��

7

16181Xi fii

� � ��

1

1

161812, 45130

nXi fi

in

fii

X��

�

��

� � �

Prosečna mesečina potrošnja mlečnih proizvoda po domaćinstvu je 12,45 kg.

12

ZADATAK 14.

Merenjem mase 150 komada ki�i u uzorku od 100 grama dobijene su vrednosti:

Masa u gr. (Xi): 98 99 97 100

Komada (�): 25 80 15 30

Izračunati prosečnu masu ki�e.

Rešenje:

98,8 [ .]X gr

ZADATAK 15.

Ispitivanje čvrstoće čelika u uzorku proizvedenog u jednoj čeličani dalo je sledeće rezultate:

Opterećenje u 2/ ( )kg cm X : 4,5-6 6,5-8 8,5-10 10,5-12

Broj proba (�): 8 15 35 21

Izračunati prosečnu čvrstoću čelika.

Rešenje:

Tabela 13. – Ispitivanje čvrstoće čelika

Opterećenje u 2/ ( )kg cm X :

Broj proba (�):

Razredna sredina (Xi) Xi �

4,5-6 8 5,25 42 6,5-8 15 7,25 108,75

8,5-10 35 9,25 323,75 10,5-12 21 11,25 236,25

UKUPNO: 79fi / 710,75Xi fi

4

1

1

710,75 8,9979

in

i

Xi fiX

fi

Prosečna čvrstoća čelika u uzorku od 79 proba iznosi 8,99 2/kg cm .

ZADATAK 16.

Raspored 60 radnika u uzorku prema učinku o montaži monitora za kompjutere je:

Učinak (kom.) (X): 115-120 121-126 127-132 133-138 139-144

Broj radnika (f): 8 14 15 13 10

Izračunati prosečan učinak montaže.

13

Rešenje:

129,8X [ komada] ZADATAK 17. Raspored 300 domaćinstava u uzorku prema mesečnoj potrošnji brašna u kg. je:

Mesečna potrošnja brašna (Xi): 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 39-43 43-47

Broj domaćinstava (�): 40 28 30 98 51 29 16 8

Izračunati prosečnu mesečnu potrošnju brašna. Rešenje:

28,773 [ ]X kg

2.1.2. Geometrijska sredina

a) Prosta geometrijska sredina

ZADATAK 18.

Proizvodnja toaletnog sapuna u jednoj fabrici po godinama bila je:

Godine: 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja u 000 kom. 75 98 135 161 205 236 285

Izračunati geometrijsku sredinu. Rešenje:

Tabela 14. – Radna tabela za izračunavanje geometrijske sredine

Godine: (Xi) Proizvodnja u 000 kom. log Xi 60578,1 57 2002 32199,1 89 2003 33031,2 531 4002 38602,2 161 5002 57113,2 502 6002 19273,2 632 7002 48454,2 582 8002

UKUPNO: 59243,51 /

1log

log

15,34295log 2,191857

2,19185

155,543

n

ii

XG

n

G

G

G

Prosečna proizvodnja toaletnog sapuna u toku 7 godina iznosi 155,543 komada. 14

ZADATAK 14.

Na 6 radnih mesta u jednoj čeličani ostvarena je vrednost proizvodnje u 510 dinara.

Radno mesto: 1 2 3 4 5 6 Vrednost proizvodnje (Xi): 45 58 69 64 83 91

Izračunati geometrijsku sredinu

Rešenje:

dinara].G

ZADATAK 15.

Produktivnost kod 8 radnika u komadima po radniku iznosila je:

Radnik: 1 2 3 4 5 6 7 8

Proizvodnja u komadima (Xi): 35 47 21 28 16 39 41 45

Izračunati geometrijsku sredinu

Rešenje:

32,051 [komada].

b) Ponderisana geometrijska sredina ZADATAK 16.

U 100 na slučajan način izabranih domaćinstava dobijen je raspored prema mesečnoj potrošnji mesa u kg:

Potrošnja (Xi): 5 8 12 15 18 20 25 Broj domaćinstava (�): 25 18 10 19 15 8 5

Izračunati geometrijsku sredinu.

Rešenje: Tabela 15. – Radna tabela za izračunavanje ponderisane geometrijske sredine

Potrošnja mesa u kg. (Xi)

Broj domaćinstava (�) log Xi logfi Xi

5 25 0,69897 17,47425 8 18 0,90309 16,25562

12 10 1,07918 10,79180 15 19 1,17609 22,34573 18 15 1,25527 18,82908 20 8 1,30103 10,40824 25 5 1,39794 6,98970

UKUPNO: 100fi / 103,09442

5

15

1

1

loglog

103,09442log 1,03094100

1,03094

10,738

n

ii

n

ii

f XiG

f

G

G

G

�

�

�

� �

�

�

�

�

�

Prosečna potrošnja mesa u 100 domaćinstava tokom jednog meseca je 10,738 kg.

ZADATAK 17.

Na slučajan način izabrano je 150 seoskih domaćinstava u kojima je prinos raži u t/ha bio:

Prinos raži u t/ha (Xi): 3,5-5,5 5,5-7,5 7,5-9,5 9,5-11,5 11,5-13,5 Broj domaćinstava (fi): 26 20 58 35 11

Izračunati geometrijsku sredinu.

Rešenje:

Tabela 16. – Radna tabela za izračunavanje ponderisane geometrijske sredine

Prinos raži u t/ha (Xi) Broj domaćinstava (fi) Razredna sredina Xi log Xi logfi Xi�

3,5-5,5 26 4,5 0,65321 16,98346 5,5-7,5 20 6,5 0,81291 16,25826 7,5-9,5 58 8,5 0,92942 53,90629

9,5-11,5 35 10,5 1,02118 35,74162 11,5-13,5 11 12,5 1,09691 12,06601

UKUPNO: 150fi �� / / 134,95564

1

1

log134,95564log 0,89970

150

0,89970

7,938

n

ii

n

ii

f XiG

f

G

G

�

�

� � �

�

�

�

�

�

Prosečan prinos raži po jednom domaćinstvu je 7,938 t/ha.

ZADATAK 18.

Kontrolom 120 paketa od po 100 komada crepova broj oštećenih crepova bio je:

Broj oštećenih crepova (Xi): 0 1 2 3 4 5 6 7 Broj paketa (fi): 15 10 32 26 14 11 8 4

Izračunati geometrijsku sredinu. 16

Rešenje:

2,5 [crepova]

ZADATAK 19.

Vrednost investicija u 610 dinara u 40 pogona za proizvodnju nameštaja bio je.

Vrednost investicija (Xi): 325-355 355-385 385-415 415-445 445-475 475-505Broj pogona ( ): 7 12 6 8 4 3

Izračunati prosečnu vrednost investicija po pogonu metodom geometrijske sredine.

Rešenje: 6397[10 dinara]

ZADATAK 20.

U fabrici za proizvodnju automobila za 8 časova radnog vremena 100 radnika ugradilo je sledeći broj motora:

Broj motora (Xi): 6 8 7 9 11 15 Broj radnika ( ): 25 12 15 28 11 9

Izračunati prosečan broj ugrađenih motora po jednom radniku metodom geometrijske sredine.

Rešenje: G=8,26 [komada motora].

2.1.3. Harmonijska sredina

a) Prosta harmonijska sredina

ZADATAK 21.

U 4 preduzeća utrošeno je časova za proizvodnju jedinice proizvoda:

Preduzeća: I II III IV Utrošeno časova (Xi): 45 25 38 43

Izračunati prosečnu produktivnost rada u ova 4 preduzeća.

Rešenje:

1 1

1n

i

nH

X

1 2 3 4

4 41 1 1 1 1 1 1 1

45 25 38 43

H

x x x x

17

4 4 35,770,0222 0,04 0,0263 0,0233 0,1118

H

35,77H

Prosečna produktivnost rada u ova 4 preduzeća je 35,77 časova.

ZADATAK 22.

U 6 meseci prodajna cena šporeta bila je u 310

Meseci: I II III IV V VI Cena (Xi): 25 28 31 36 41 45

Izračunati prosečnu cenu šporeta za 6 meseci.

Rešenje: 332,93[10 dinara]

ZADATAK 23.

U jednom selu na 500 stanovnika dolazi 10 traktora, u drugom 8, u trećem 9, u četvrtom 11 a u petom 13.

Sela: I II III IV V Broj traktora (Xi): 10 8 9 11 13

Izračunati prosečan broj traktora u ovih 5 sela.

Rešenje:

9,92 [Traktora]

ZADATAK 24.

Pet radnika u proizvodnji košulja su za 8 časova rada proizveli:

Radnik: I II III IV V Broj košulja (Xi): 25 32 38 46 50

Izračunati prosečan utrošak vremena za izradu košulja.

Rešenje:

Za 8 časova rada radnici su pojedinačno utrošili minuta:

I radnik 8 60 25 19, 20 minuta

II radnik 8 60 32 15 minuta

III radnik 8 60 38 12,63 minuta

IV radnik 8 60 46 10, 43 minuta

V radnik 8 60 50 9,6 minuta

18

5 51 1 1 1 1 0,052 0,0666 0,0791 0,0958 0,104

19, 2 15 12,63 10,63 9,6

H � ��

5 12,570,3976

H � �

Prosečno vreme izrade jedne košulje iznosi 12,57 minuta.

b) Ponderisana harmonijska sredina

ZADATAK 25.

Na jednom prodajnom mestu prodato je meda u Kg po ceni:

Med u kg (fi): 50 150 120 80

Cena u din. (Xi): 210 250 280 310

Izračunati srednju kupovnu moć dinara izraženu cenom 1 kg meda.

Rešenje:

1

1

n

in

i

fiH

fiXi

�

�

��

�

50 150 120 80 400 40050 150 120 80 0, 238 0,6 0,428 0, 258 1,524210 250 280 310

H � � ��

� � ��

262, 467H �

Prosečna cena meda je 267,467 dinara po jednom kilogramu.

ZADATAK 26.

U jednom voćnjaku 60 radnika je za 8 časova ubralo šljiva u kilogramima:

Šljive u kg (Xi): 120-130 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190

Broj radnika (fi): 5 6 3 12 15 7 12

Izračunati prosečnu količinu ubranih šljiva u kilogramima za 8 časova rada, primenom har-monijske sredine.

Rešenje:

Radna tabela za izračunavanje:

19

Tabela 17. – Ponderisane harmonijske sredine

Ubrane šljive u kg (Xi)

Broj radnika (�)

Razredna sre-dina (Xi)

fiXi

120-130 5 125 0,04

130-140 6 135 0,044

140-150 3 145 0,021

150-160 12 155 0,077

160-170 15 165 0,091

170-180 7 175 0,04

180-190 12 185 0,065

/ 60fi / 0,378

60 158,7300,378

H

Za 8 časova rada 60 radnika prosečno je ubralo 158,730 kilograma šljiva.

ZADATAK 27.

Potrošnja električne energije u KWh u toku jednog meseca kod 50 domaćinstava iznosila je:

Utrošak struje (Xi): 100-250 250-400 400-550 550-700 700-850 850-1000

Broj domaćinstava (�): 6 8 15 10 7 4

Izračunati prosečnu potrošnju električne energije po domaćinstvu metodom harmonijske sredine.

Rešenje:

417,014[ ]H KWh

ZADATAK 28.

U jednom rudniku olova prva brigada od 25 rudara za jednu tonu iskopane rude utroši 51 minut, druga od 35 rudara 49 minuta, treća od 45 rudara utroši 31 minut, a četvrta od 50 ru-dara utroši 21 minut.

Koliko je prosečno utrošeno vreme po jednoj toni iskopanog olova.

Rešenje:

30,77 [minuta/t]H

20

2.2. POZICIONE SREDNJE VREDNOSTI

2.2.1. Modus

ZADATAK 29.

Na jednom fakultetu visina studenata i broj studenata bio je:

Visina studenata (Xi): 165 170 175 180 185 190 Broj studenata (�): 85 160 210 190 36 12

Izračunati (očitati) modus.

Rešenje:

175[ ]Mo cm

Najčešća visina studenata je 175 cm.

ZADATAK 30.

U fabrici za proizvodnju soli 160 radnika primilo je plate u dinarima:

Plate u dinarima (Xi): 750 800 980 1100 1150 1200 Broj radnika (�): 20 38 35 42 15 10

Izračunati (Mo) najčešću platu.

Rešenje:

1100 [dinara]

ZADATAK 31.

Proverom pakovanja čokolade mase 100 grama na slučajan način izabranih 150 čokolada do-bijen je raspored:

Masa u gr (Xi): 96 97 98 99 100 101 Broj čokolada (�): 15 7 42 58 25 3

Rešenje:

99 [grama]

ZADATAK 32.

U 50 prodavnica mešovite robe ostvaren je dnevni promet u 310 dinara.

Promet (Xi): 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 Broj prodavnica (�): 5 6 28 8 3

Utvrditi najčešći promet ( Mo ) po prodavnici.

21

Rešenje: Tabela 18. – Radna tabela za izračunavanje modusa:

Promet u 310 (Xi) Broj prodavnica (�)

15-25 5 25-35 6 35-45 28 45-55 8 55-65 3

2 11

2 1 2 3

( )( ) ( )

f ff f f f

(28 6)35 10(28 6) (28 8)

1

2

1

3

352868

10

xfffi

22 2235 10 35 *1022 20 42

35 0,5248*1035 5,24840,248

Najčešći promet po prodavnici je 340,248*10 dinara.

ZADATAK 33.

Raspored 100 domaćinstava prema visini mesečnih prihoda u dinarima je:

Mesečni prihodi u dinarima (Xi)

Broj domaćinstava (�)

4500 - 5000 16 5000 - 5500 20 5500 - 6000 35 6000 - 6500 18 6500 - 7000 11

Utvrditi najčešći mesečni prihod po domaćinstvu.

Rešenje:

5734,375 [dinara]

ZADATAK 34.

U jednoj fabrici duvana 160 radnika spakovalo je za 8 časova rada sledeći broj boksova cigareta.

22

Broj boksova (Xi) Broj radnika (�)

50-100 40 100-150 35 150-200 25 200-250 42 250-300 10 300-350 8

Utvrditi najčešći broj spakovanih boksova cigareta

Rešenje:

217,35 [boksova]

2.2.2. Medijana

a) Negrupisani broj podataka (prosta serija)

ZADATAK 35.

U jednom mesecu 7 studenata primilo je stipendije u dinarima:

2500, 3400, 3200, 2800, 2100, 3600, 3100

Odredi medijanu.

Rešenje: 2100 2500 2800 3100 3200 3400 3600

1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X

Mesto medijane ( Me ):

1 7 1 8 42 2 2

nMe x x x x

3100Me

Polovina studenata primilo je stipendije manje od 3100 dinara a polovina veće.

ZADATAK 36.

Merenjem 9 kutija laka za parket dobijeni su rezultati:

990, 1000, 995, 1009, 998, 1000, 996, 1005, 1006.

Utvrditi medijanu ( Me ).

Rešenje:

1000 [grama]

23

ZADATAK 37.

Na jednoj farmi 11 ovaca u toku jednog dana dalo je mleko u litrima:

5, 8, 7, 6, 9, 6, 4, 8, 7, 5, 8.

Odredi medijanu.

Rešenje:

7 [litara]Me

ZADATAK 38.

U 10 domaćinstava mesečna potrošnja hleba u kilogramima iznosila je:

29, 30, 28, 31, 32, 35, 34, 37, 39, 40

Odredi medijanu.

Rešenje:

33 [kilograma]

Grupisani podaci (složena serija) - Neintervalna numerička serija -

ZADATAK 39.

Na zelenoj pijaci prodano je 895kg krompira po cenama i to:

Cena din/kg (Xi): 25 31 32 35 38 40 Prodano (�): 65 160 310 230 90 40

Izračunati medijanu.

Rešenje:

Radna tabela za određivanje medijane:

Tabela 19.

Cena din/kg (Xi) prodato (�) kumulanta

25 65 65 31 160 225 32 310 535 35 230 765 38 90 855 40 40 895

Ukupno 895 /

24

Mesto medijane 1 895 447,52 2

n

ifi

32 [dinara]

Polovina prodatih jabuka je po ceni nižoj od 32 dinara, a druga polovina je prodata po ceni višoj od 32 dinara.

ZADATAK 40.

Na slučajan način izabrano je 160 domaćinstava koji su imala mesečnu potrošnju mleka u litrima:

Potrošnja mleka (Xi): 15 18 25 28 31 35 Broj domaćinstava (�): 10 15 21 51 30 33


Rešenje:

28 [litara]Me

ZADATAK 41.

U šest uzastopnih dana 140 prodavnica bele tehnike prodato je frižidera:

Prodato frižidera (Xi): 3 4 5 7 8 9 Broj prodavnica (�): 4 21 42 30 25 18


Rešenje:

7 [frižidera]

- Intervalna numerička serija-

ZADATAK 42.

Prinos ječma na 39 parcela u t/ha iznosio je:

Prinos (Xi): 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 Broj parcela (�): 6 7 10 11 3 2

Odrediti medijanu.

25

Rešenje:

Tabela 20. – Radna tabela za izračunavanje medijane:

Prinos t/ha (Xi) Broj parcela ( ) Kumulanta rastuća

3-5 6 6 5-7 7 13 7-9 10 23

9-11 11 34 11-13 3 37 13-15 2 39

Ukupno 39 /

2 111

2 1 2fix x

w w

Mesto 39 19,52 2

fiMe

9 7 27 19,5 13 7 *6,5 8,323 13 10

Me

Me 8,3

Polovina parcela ima prinos ječma manji od 8,3 t/ha, a polovina parcela prinos veći od 8,3 t/ha.

ZADATAK 43.

U jednom preduzeću 50 radnika imalo je godine starosti:

Godine (Xi): 18-23 23-28 28-33 33-38 38-43 43-48 48-53 Broj radnika ( ): 8 7 10 9 5 7 4


Rešenje:

33, 27 [godina]

ZADATAK 44.

Na slučajan način izabrano je 30 domaćinstava prema broju dece:

Broj dece (Xi): 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 Broj domaćinstava ( ): 2 8 12 4 1 3


Rešenje:

2, 45 [dece]

26

ZADATAK 45.

U jednoj banji izabrano je na slučajan način 100 turista i popisan broj dana boravka:

Broj dana (Xi): 5-8 8-11 11-14 14-17 17-20 20-23 Broj turista (�): 18 9 10 40 15 8


Rešenje:

15,01 [ d a n ]

2.2.3. Kvartili

- negrupisani podaci –

ZADATAK 46.

Na sedam stabala oraha ostvaren je prinos u kilogramima:

30, 26, 31, 45, 37, 40, 42

Izračunati kvartile 1Q i 3Q .

Rešenje:

Rastući niz podataka je: (neparan broj podataka)

26 30 31 37 40 42 45

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x

Mesto prvog kvartila 1Q :

1 1 7 1 24 4

nQ x x x

1 30Q

Jedna četvrtina (25%) stabala ima prinos 30 kilograma i manje.

Mesto trećeg kvartila 3( 1) 3(7 1)63 4 4

nx xQ x

3 42Q

Tri četvrtine stabala (75%) oraha ima prinos 42 kilograma i više.

ZADATAK 47.

U jednom preduzeću 9 radnika primilo je platu u hiljadama dinara:

10, 21, 15, 12, 28, 24, 23, 31 i 30.

Izračunati kvartile: prvi ( 1Q ) i treći ( 3Q ).

27

Rešenje:

1 13,5 [hiljada dinara]Q

3 29 [hiljada dinara]Q

ZADATAK 48.

Na deset parcela ostvaren je prinos ječma u t/ha:

56, 41, 50, 45, 75, 59, 60, 83, 78, 80.

Izračunati prvi ( 1Q ) i treći kvartil ( 3Q ). (paran broj podataka)

Rešenje:

Rastući niz podataka je: 41 45 50 56 59 60 75 78 80 83

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x

Mesto prvog kvartila ( 1Q ):

10 101 1 2,5 3,54 4 4 41

45 50 50 5647,5 532 2

2 2 2 2 2

n nx x x xx x

Q

1 50,25Q

Jedna četvrtina (25%) parcela imala je prinos ječma 50,25 t/ha i manje.

Mesto trećeg kvartila ( 3Q ):

3 3 3*10 3*10 11 7,5 8,54 4 4 43

75 78 78 8076,5 792 2

2 2 2 2 2

n nx x x xx x

Q

3 77,75Q

Tri četvrtine (75%) parcela imalo je prinos 77,75 t/ha i više.

ZADATAK 49.

U deset prodavnica u toku jednog dana prodato je integralnog hleba u kg:

300, 275, 410, 310, 170, 251, 401, 320, 260, 250

Izračunati prvi kvartil ( 1Q ) i treći kvartil ( 3Q ).

Rešenje:

1 253[ ]Q kg

3 337,75[ ]Q kg

28

- Numerička serija sa grupisanim podacima – a) Neintervalna

Zadatak 50.

Prodajna cena jednog artikla u 25 prodavnica iznosila je:

Cena u dinarima (Xi): 1250 2610 3400 4100 4600 5100 Broj prodavnica (�): 7 5 4 3 4 2

Izračunati:

a) kvartile 1Q i 3Q

b) interkvartilnu razliku

Rešenje:

Tabela 21. Radna tabela za izračunavanje kvartila:

Cena (Xi) Broj prodavnica (�) Kumulanta rastuća

1250 7 7 2610 5 12 3400 4 16 4100 3 19 4600 4 23 5100 2 25

Ukupno 25 /

a) Mesto 1Q i 3Q naćićemo u koloni kumulante po formuli:

Mesto prvog kvartila: 1

14fi

Q

1

25 1 6,504

Q

1 1250 [dinara]

Jedna četvrtina proizvoda prodata je po ceni od 1250 dinara.

Mesto trećeg kvartila: 13

3* 1

4

n

ifi

Q

3

3*25 1 194

Q

3 4100 [dinara]

Tri četvrtine artikala prodato je po ceni od 4100 dinara.

29

b) 3 1QI Q Q

4100 1250QI

2850QI

Interkvartalna razlike iznosi 2850 dinara.

ZADATAK 51.

Za proizvodnju jednog proizvoda 35 radnika utrošili su časova: Broj časova (Xi): 2 4 6 8 9

Broj radnika (�): 5 9 12 4 5

Izračunati:

a) kvartile 1Q i 3Q


Rešenje:

a) 1 4 [časa] , 3 8 [časova]

b) 4 [časa]Q

ZADATAK 52.

Prinos šećerne repe na 180 parcela u t/ha ostvaren je:

Prinos (Xi): 3,5 3,9 4,2 4,5 5,6 5,9

Broj parcela (�): 11 9 92 20 38 10

Izračunati:

a) kvartile 1Q i 3Q


Rešenje:

a) 1 4, 2[ / ]Q t ha , 3 5,6[ / ]Q t ha

b) 1,4[ / ]QI t ha

b) Intervalna numerička serija

ZADATAK 53.

Raspored 100 kesica kafe prema izmerenoj masi je:

Masa u gramima (Xi): 95,1-97 97,1-99 99,1-101 101,1-103 103,1-105 Broj kutija (�): 23 21 32 18 6

30

Izračunati:

a) kvartile 1Q i 3Q


Rešenje:

Tabela 22. – Radna tabela:

Masa u gramima (Xi) Broj kesa (�) Kumulanta rastuća

95,1-97 23 23 97,1-99 21 44

99,1-101 32 76 101,1-103 18 94 103,1-105 6 100 Ukupno 100 /

a) Mesto 11

1100 1 25, 25

4 4

n

ifi

Q

1

1

1 1

1

25,25 234 * 97,1 *1,921

n

i

Q

fifi

Q x if

1 97,3Q

Jedna četvrtina kesica kafe ima 97,3 grama i manje.

Mesto 3

3* 1 3*(100 1) 75,754 4

fiQ

Tri četvrtine kesica kafe ima 100,9 grama i više.

b) 3 1QI Q Q

100,9 97,3QI

3,6QI

Interkvartilna razlika iznosi 3,6 grama.

ZADATAK 54.

U fabrici za proizvodnju piva mesečna zarada 80 radnika iznosila je:

Zarada (Xi): 500-550 550-600 600-650 650-700 700-750 750-800

Broj radnika (�): 4 10 18 28 17 3

3

1

3 1

3 175,75 444 99,1 1,9 100,9

32

i

Q

ff

Q x if

⋅ +− −

= + ⋅ = + ⋅ =

∑ ∑

31

Izračunati:

a) kvartile 1Q i 3Q


Rešenje:

a) 1 617,36 [dinara]Q , 3 702,21 [dinara]Q

b) 84,85 [dinara]QI

2.3. MERE VARIJABILITETA

2.3.1. Varijansa, standardna devijacija i koe�cijent varijacije

- negrupisani podaci –

ZADATAK 55.

U 10 prodavnica u toku jednog dana prodata je sledeća količina testenina:

8, 11, 13, 15, 18, 21, 22, 25, 28, 30.

Izračunati:

a) Interval varijacije

b) Varijansu i standardnu devijaciju

c) Koe�cijent varijacije

Rešenje:

a) max minI X X

30 8 22I

Razlika između prodavnice koja je prodala najviše testenina (30 kg) i prodavnice koja je prodala najmanje testenina (8 kg) iznosi 22 kg.

b)

2

2 1

n

ii

x x

n varijansa

2

1

n

ii

x x

n standardna devijacija

32

Tabela 23. Radna tabela:

Količina (Xi) ( )ix x 2( )ix x

8 -11,1 123,21 11 -8,1 65,61 13 -6,1 37,21 15 -4,1 16,81 18 -1,1 1,21 21 1,9 3,61 22 2,9 8,41 25 5,9 34,81 28 8,9 79,21 30 10,9 118,81

191 / 488,90

1 191 19.1

10

n

iXi

Xn

Prosečno prodata testenina u 10 prodavnica je 19,1kg.

2 488.90 48.890

10

Prosek kvadrata odstupanja pojedinačne prodaje testenine po jednoj prodavnici i pro-sečne prodaje testenina je 48,890kg.

2 48.89 6.992

Srednja mera pojedinačne prodaje testenina od prosečne prodaje testenina iznosi 6,992 kg.

c) 100KvX

6.992 100 36.61%19.1

Kv

Standardna devijacija iznosi 36,61% od aritmetičke sredine.

ZADATAK 56.

Na slučajan način izabrano je 8 radnika u fabrici tekstila koji su u jednom mesecu primili plate:1750, 2100, 1860, 2350, 2200, 2090 ,2210 i 3210.

Izračunati:



c) Koe�cijent varijacije

33

Rešenje:

a) 600[ ]; 2108, 7[ ]dinara X dinara

b) 2 196,30[ ]; 14,01[ ]dinara dinara c) 0,66%

ZADATAK 57. Na 9 čokota vinove loze ostvaren je prinos grožđa u kg. 8, 5, 7, 6, 10, 9, 11, 8 i 12 Izračunati: a) Interval varijacije b) Varijansu i standardnu devijaciju c) Koe�cijent varijacije Rešenje:

a) 7[ ]; 8, 44[ ]kg X kg

b) 2 4,687[ ]; 2,165[ ]kg kg c) 25,65%

- numerička serija sa grupisanim podacima -

ZADATAK 58.

U jednom preduzeću raspored radnika prema starosti bio je:

Godine starosti (Xi): 18-26 26-34 34-42 42-50 50-58 58-66 Broj radnika (�): 10 18 32 20 15 8

Izračunati: a) Interval varijacije b) Varijansu i standardnu devijaciju c) Koe�cijent varijacije Rešenje: Radna tabela:

Tabela 24.

Godine (Xi) Broj radnika (�)

Raz-red. sred.

*Xi fi Xi x 2Xi x 2*( )fi Xi x

18-26 10 22 220 -18,79 353,06 3511,85 26-34 18 30 540 -10,79 116,42 2084,84 34-42 32 38 1216 -2,79 7,78 246,30 42-50 20 46 920 5,21 27,14 548,09 50-58 15 54 810 13,21 174,50 2630,77 58-66 8 62 496 21,21 449,86 3620,12

/ 103 / 4202 / / 12641,97

σ

34

a) max minI x x� �

66 18 48I � � � Razlika između najstarijeg radnika (66) i najmlađeg radnika (18 god.) je 48 godina.

b)

2

2 1

1

( )n

in

i

fi Xi x

fi� �

�

��

�

1

1

*4202 40,79103

n

in

i

Xi fix

fi

�

�

� � ��

�

Prosečna starost radnika je 40,79 godina.

2 12641,97 122,73

103� � �

Prosek kvadranta odstupanja pojedinačnih godina starosti radnika od prosečne starosti iznosi 122,73.

� �2

1

1

122,73 11,07

n

in

i

fi Xi x

fi� �

�

��

�

�

Srednja mera odstupanja pojedinačnih godina starosti radnika od prosečne starosti iz-nosi 11,07.

c) 11,07*100 *100 27,14%40,79VK

x�

� � �

Standardna devijacija iznosi 27,14% od aritmetičke sredine.

ZADATAK 59.

Mesečna potrošnja mlečnih proizvoda kod 100 domaćinstava, na slučaj izabranih, iznosila je:

Mesečna potrošnja (Xi): 5,1-8 8,1-11 11,1-14 14,1-17 17,1-20 20,1-23 Broj domaćinstava (fi): 12 8 17 30 23 10

Izračunati:



c) Koeficijent varijacije

Rešenje:

a) 17,9[ ]I kg�

b) 14,78x � , 2 19,14� � , 4,37� �

c) 29,60%VK �

35

2.4. POKAZATELJI OBLIKA RASPOREDA

2.4.1. Mera asimetrije i spljoštenosti

- negrupisani podaci -

ZADATAK 60.

U toku jednog meseca osam porodica u uzorku potrošilo je mleka u litrima:

10, 12, 9, 15, 25, 20, 28, 17

Izračunati meru asimetrije i spljoštenosti.

Rešenje:

Tabela 25. Radna tabela:

Potrošnja (Xi) � �Xi x� � �2Xi x� � �3

Xi x� � �4Xi x�

10 -7 49 -343 2401 12 -5 25 -120 625 9 -8 64 -512 4096

15 -2 4 -8 16 25 8 64 512 4096 20 3 9 27 81 28 11 121 1331 14641 17 0 0 0 0

136 / 336 887 25956

1 136 178

n

iXi

xn

��

Prosečna potrošnja mleka kod 8 porodica u uzorku je 17 litara.

� �2

336 6,921 8 1

Xi x

n�

��

� ��

Srednja mera odstupanja pojedinačne potrošnje mleka od prosečne potrošnje mleka je 6,92.

33 3

M��

� Koeficijent asimetrije

� �3

13

887 110,8758

n

iXi x

Mn

�

��

3 3

110,875 110,875 0,3346,92 331,37

� � � �

3 0� � Serija ima desnu pozitivnu asimetriju

36

- Koeficijent spljoštenosti -

44 4

M��

�

� �4

14

25956 3244,58

n

iXi x

Mn

�

��

4 4

3244,5 3244,5 1,4156,92 2293,11

� � � �

4 3� �

Serija ima spljošten oblik.

ZADATAK 61.

U jednom ispitnom roku 9 studenata su dobili ocenu iz matematike: 8, 7, 8, 6, 9, 10, 6, 7, 6


Rešenje:

7, 44x � ; 1,342� �

3 1,3107M � � ; 3 0,5423� � �

4 6,8936M � ; 4 2,125� �

ZADATAK 62.

U 10 prodavnica u toku jednog dana prodato je 30, 26, 41, 31, 16, 25, 39, 40, 35, 32 kg jednog proizvoda. Izračunati koeficijent asimetrije i spljoštenosti.

Rešenje:

31,5[ ]x kg� ; 7,39� �

3 223, 2M � � ; 3 0,553� � �

4 7710, 46M � ; 4 2,585� �

- Numerička serija sa grupisanim podacima -

ZADATAK 63.

Mesečna potrošnja mleka u 30 domaćinstava iznosila je:

Potrošnja u l (Xi): 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 Broj domaćinstava (fi): 3 7 10 6 4

Izračunati meru asimetrije i spljoštenosti. 37

Rešenje: Tabela 26. Radna tabela:

1

1

*530 17,6630

in

i

Xi fix

fi

Prosečna potrošnja mleka kod 30 domaćinstava je 17,66 litara

2

1

1

1023,686 34,122 5,84130

n

in

i

fi Xi x

fi

Srednja mera odstupanja pojedinačne potrošnje mleka od prosečne potrošnje mleka je 5,841 litar.

3

13

1

*383,6024 12,786

30

n

in

i

fi Xi xM

fi

4

14

1

*77716,2 2590,54

30

n

in

i

fi Xi xM

fi

33 3 3

12,786 12,786 0,064165,841 199,279

M

Koe�cijent asimetrije 3 0,06416 pokazuje da je raspored frekvencija o potrošnji mleka u litrima asimetričan u desno.

Potr. ( ix )

Br. dom. ( if ) iX i iX f⋅ iX x− ( )2

iX x− ( )2i if X x⋅ − ( )3

i if X x⋅ − ( )4i if X x⋅ −

5-10 3 7,5 22,5 -10,16 103,22 299,52 -3146,14 31963,10 10-15 7 12,5 87,5 -5,16 26,62 186,38 -961,51 4960,37 15-20 10 17,5 175 -0,16 0,026 0,096 -0,0416 0,0067 20-25 6 22,5 135 4,84 23,425 140,55 680,262 3292,38 25-30 4 27,5 110 9,84 96,825 397,14 3811,032 37500,323

/ 30 / 530 / / 1023,686 383,6024 77716,2

38

44 4 4

2590,54 2590,54 2, 2255,841 1163,988

M

Koe�cijent spljoštenosti 4 2, 225 pokazuje da je ovaj raspored niži u odnosu na normalni raspored.

ZADATAK 64.

U jednoj prodavnici dečijih cipela u toku jednog dana prodao je cipela po cenama:

Cena u 102 dinara (Xi): 17 19 20 23 Prodato pari (�): 8 15 19 21


Rešenje: Tabela 27. Radna tabela:

Cena Xi

Prodato fi

*Xi fi

Xi x

2

Xi x

2

*fi Xi x

3

*fi Xi x

4

*fi Xi x

17 8 136 -3,38 11,42 88,015 -308,79 1043,33 19 15 285 -1,38 1,90 27,186 -39,33 54,15 20 19 380 -0,38 0,14 2,3636 -1,0108 0,3724 23 21 483 2,62 6,86 146,772 377,4372 988,2516

Ukupno 63 1284 / / 264,3366 28,3064 2086,104

4

4

*1284 20,38

63

n

in

i

Xi fix

fi

Prosečna cena kod prodatih 63 pari dečijih cipela iznosi 2038 dinara.

2

1

1

264,3366 4,1958 2,04863

n

in

i

fi Xi x

fi

Srednja mera odstupanja pojedinačnih prodajnih cena od prosečne cene iznosi 204,8.

3

13

1

28,3064 0, 449363

n

in

i

fi Xi xM

fi

4

14

1

2086,104 33,11263

n

in

i

fi Xi xM

fi

39

33 3 3

0, 4493 0,4493 0,05232,048 8,589

M��

� � � �

Koeficijent asimetrije 3 0,0523� � pokazuje da je raspored frekvencija o prodaji dečijih cipe-la po različitim cenama asimetričan u desno.

44 4 4

33,112 33,112 1,88222,048 17,5921

M��

� � � �

Koeficijent spljoštenosti 4 1,8822� � pokazuje da je raspored niži u odnosu na normalan ra-spored.

ZADATAK 65.

Na 30 merenja mase nekog proizvoda utvrđena su odstupanja u gramima:

Odstupanja (Xi): 4,1-6 6,1-8 8,1-10 10,1-12 12,1-14 14,1-16 Broj proizvoda (fi): 9 4 7 3 5 2


Rešenje:

8,85[ ]x �� ; 3,32� �

3 30,9537� � ; 3 0,845� �

4 218,0467M � ; 4 1,795� �

40

3. DINAMIČKA ANALIZA

3.1. VREMENSKI INDEKSI

3.1.1. Bazni indeksi

ZADATAK 66.

U jednom rudniku uglja proizvedeno je uglja u tonama u periodu od 1999. do 2008. godine:

Godina (Xi): 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja (Yi): 720 702 620 650 630 640 730 790 820 830

a) Izračunati indekse sa bazom u 1999. god;

b) Dobijene indekse sa bazom u 1999. god. preračunati na bazu 2003.

c) Izračunati indekse na bazi prosečne proizvodnje u posmatranom periodu.

Rešenje:

a) Izračunavanje baznih indeksa vrši se na osnovu formule:

0

*100YiIiY

( 1, 2,..., )i n

Tabela 28. Radna tabela: Bazni indeksi sa bazom u 1999. god.

Godine Proizvodnja

Yi Bazni indeksi u % (baza 1999=100%

( Ii ))

1999 720 1 1 2: (720 : 720) 100 100,00I Y Y

2000 702 1 2 1: (702 : 720) 100 97,50I Y Y

2001 620 1 3 1: (620 : 720) 100 86,11I Y Y

2002 650 1 4 1: (650 : 720) 100 90,27I Y Y

2003 630 1 5 1: (630 : 720) 100 87,50I Y Y

2004 640 1 6 1: (640 : 720) 100 88,88I Y Y 2005 730 1 7 1: (730 : 720) 100 101,39I Y Y 2006 790 1 8 1: (790 : 720) 100 109,72I Y Y 2007 820 1 9 1: (820 : 720) 100 113,88I Y Y 2008 830 1 10 1: (830 : 720) 100 115,27I Y Y

10n 2317

41

Proizvodnja uglja u 2000. godini u odnosu na 1999. god. bila je za 2,5% manja, u 2001. god. u odnosu na 1999. god. za 13,89% manja, u 2002. god. u odnosu na 1999. za 9,73% manja, u 2003. god. u odnosu na 1999. god. za 12,5% manja, u 2004. god. u odnosu na 1999. god. Za 11,12% manja, u 2005 god. u odnosu na 1999. god. za 1,39% veća, u 2006. god. u odnosu na 1999. god. za 9,72% veća, u 2007. god. u odnosu na 1999. god. za 13,88% veća i u 2008. god. u odnosu na 1999. god. za 15,27% veća.

b) Izračunavanje, već izračunatih baznih indeksa, na indekse sa novom bazom vrši se na osnovu izraza:

0

,,100 , ( 1, 2, ... , ),

ii

II i nI

Tabela 29. Preračunati indeksi sa bazom u 1999. god. na bazu 2003.

Godine Bazni indeksi Ii(%)

Preračunati indeksi sa bazom u 1999. , (%)iI

1999 100,00 ,1 1 5: (100 :87,50) 100 114, 28I I I

2000 97,50 ,2 2 5: (97,50 :87,50) 100 111,42I I I

2001 86,11 ,3 3 5: (86,11:87,50) 100 98, 41I I I

2002 90,27 ,4 4 5: (90, 27 :87,50) 100 103,16I I I

2003 87,50 ,5 5 5: (87,50 :87,50) 100 100,00I I I

2004 88,88 ,6 6 5: (88,88 :87,50) 100 101,57I I I

2005 101,39 ,7 7 5: (101,39 :87,50) 100 115,87I I I

2006 109,72 ,8 8 5: (109,72 :87,50) 100 125,39I I I

2007 113,88 ,9 9 5: (113,88 :87,50) 100 130,15I I I

2008 115,27 ,10 10 5: (115,27 :87,50) 100 131,73I I I

Proizvodnja uglja u 1999. godini u odnosu na 2003. god. bila je za 14,28% veća, u 2000. god. u odnosu na 2003. god. bila je za 11,42% veća, u 2001. god. u odnosu na 2003. bila je za 1,59% manja, u 2002. god. u odnosu na 2003. god. bila za 3,16% veća, u 2004. god. u odnosu na 2003. god. bila za 1,57% veća, u 2005. god. u odnosu na 2003. god. bila za 15,87% veća, u 2006. god. u odnosu na 2003. god. bila za 25,39% veća, u 2007. god. u odnosu na 2003. god. bila za 30,15% veća i u 2008. god. u odnosu na 2003. god. bila za 31,73% veća.

c) Prosečna proizvodnja u posmatranom periodu izračunava se na osnovu izraza:

1 7132 713,2

10

n

ii

Y

nY

Prosečna proizvodnja uglja u periodu 1999. god. do 2008. god. iznosi 713,2 tone.

Indeksi na bazi prosečne proizvodnje izračunavaju se na osnovu izraza:

100, ( 1, 2, ... , )i

iYI i nY

42

Tabela 30. Indeksi na bazi prosečne proizvodnje

Godine Proizvodnja u

t Yi Indeksi na bazi prosečne proizvodnje

od 713,2 tone , (%)iI

1999 720 1 1 : (720 : 713,2) 100 100,95I Y Y

2000 702 2 2 : (702 : 713,2) 100 98,43I Y Y

2001 620 3 3 : (620 : 713, 2) 100 86,93I Y Y

2002 650 4 4 : (650 : 713, 2) 100 91,13I Y Y

2003 630 5 5 : (630 : 713,2) 100 88,33I Y Y

2004 640 6 6 : (640 : 713, 2) 100 89,74I Y Y

2005 730 7 7 : (730 : 713, 2) 100 102,35I Y Y

2006 790 8 8 : (790 : 713, 2) 100 110,77I Y Y

2007 820 9 9 : (820 : 713, 2) 100 114,97I Y Y

2008 830 10 10 : (830 : 713, 2) 100 116,38I Y Y

Proizvodnja uglja u odnosu na prosečnu u 1999. god. bila je za 0,95% veća, u 2000. god. za 1,57% manja, u 2001. god. bila za 13,07% manja u 2002. god. bila je za 8,87% manja, u 2003. god. bila za 11,67% manja, u 2004. god. bila za 10,26% manja, u 2005. god. bila za 2,35% veća, u 2006. god. bila za 10,77% veća, u 2007. god. bila za 14,97% veća i u 2008. god. bila za 16,38% veća.

ZADATAK 67.

U jednoj fabrici štofa proizvedeno je štofa u hiljadama metara u periodu od 2001. god. do 2008. god.

Godine 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja 21 25 34 38 45 48 53 56

a) Izračunati indekse sa bozom u 2001. god. b) Indekse sa bozom u 2001. god. preračunati na bazu 2007. god. c) Izračunati indekse na bazi prosečnog prometa u posmatranom periodu.

Rešenje: a) 100,00 % ; 119,05 % ; 161,90 % ; 180,95 % ; 214,28 % ; 228,57 % ; 252,38 % ; 266,6 % b) 39,62 % ; 47,17 % ; 64,15 % ; 71,69 % ; 84,90 % ; 90,56 % ; 100,00 % ; 105,66 % c) 52,50 % ; 62,50 % ; 85,00 % ; 95,00 % ; 112,50 % ; 120,00 % ; 132,50 %; 140,00 %

ZADATAK 68.

Na farmi za tov pilića u periodu od 2001. do 2008. god. proizvedeno je mesa u tonama:

Godine 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja mesa (Yi) 210 208 230 190 203 185 240 260

[ ⋅ 3Y = 40 10 metara]

43

a) Izračunati indekse sa bazom u 2001. god.

b) Indekse sa bazom u 2001. god. preračunati na bazu 2005. god.

c) Izračunati indekse na bazi prosečnog prometa u posmatranom periodu.

Rešenje:

a) 100,00 % ; 99,04 % ; 109,52 % ; 90,47 % ; 96,6 % ; 88,09 ; 114,28 % ; 123,81 %

b) 103,45 % ; 102,46 % ; 113,30 % ; 93,59 % ; 100,00 % ; 91,13 % ; 118,23 % ; 128,08 %

c) 215,75[ ]Y ; 97,33 % ; 96,41 % ; 106,60 % ; 88,06 % ; 94,09 % ;85,74 % ; 111,23 % ; 120,51 %

3.1.2. Verižni (lančani) indeksi

ZADATAK 69.

Potrošnja brašna u jednom regionu, u tonama u periodu od 2000. god. do 2008. god. iznosila je:

Godine 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Potrošnja (Yi) 210 250 286 310 350 290 270 276 306

a) Izračunati verižne (lančane) indekse

b) Verižne indekse preračunati na indekse sa bazom u 2000. god.

c) Verižne indekse preračunati na indekse sa bazom u 2004. god.

d) Indekse sa bazom u 2000. god. preračunati na verižne.

e) Indekse sa bazom u 2004. god. preračunati na verižne.

Rešenje:

a) Verižni (lančani) indeksi izračunavaju se na osnovu formule.

1

100, ( 1, 2, ... , ).ii

i

YV i nY

Tabela 31. Verižni indeksi potrošnje brašna

Godine Potrošnja

Yi Verižni indeksi iV (%)

2000 210 1 2001 250 2 2 1: (250 : 210) 100 119,05V Y Y 2002 286 3 3 2: (286 : 250) 100 114, 40V Y Y 2003 310 4 4 3: (310 : 286) 100 108,39V Y Y 2004 350 5 5 4: (350 :310) 100 112,90V Y Y 2005 290 6 6 5: (290 : 350) 100 82,85V Y Y 2006 270 7 7 6: (270 : 290) 100 93,10V Y Y 2007 276 8 8 7: (276 : 270) 100 102,22V Y Y 2008 306 9 9 8: (306 : 276) 100 110,86V Y Y

44

Potrošnja brašna u 2001. god. u odnosu na 2000. god. bila je za 19,05% veća, u 2002. god. u odnosu na 2001. god. za 14,40% veća, u 2003. god. u odnosu na 2002. god. za 8,39% veća, u 2004. god. u odnosu na 2003. god. za 12,90% veća, u 2005. god. u odnosu na 2004. god. za 17,15% manja, u 2006. god. u odnosu na 2005. god. za 6,9% manja, u 2007. god. u odnosu na 2006. god. za 2,22% veća, u 2008. god. u odnosu na 2007. god. za 10,86% veća.

b) Verižni indeksi se na bazne indekse preračunavaju za godine koje slede na osnovu formule:

1( ) :100, ( 1,2, ... , )i i iI I V i n

Tabela 32. Preračunati verižni indeksi na bazne indekse sa bazom u 2000. god.

Godine Varežni indeksi (Vi)

Preračunati verižni indeksi u bazne indekse sa bazom u 1991. god. Ii (%)

2000 1 /V 1 100,00I

2001 2 119,05V 2 1 2 100 1,1905 119,05I I V

2002 3 114, 40V 3 2 3 119,05 1,1440 136,19I I V

2003 4 108,39V 4 3 4 136,19 1,0839 147,62I I V

2004 5 112,90V 5 4 5 147,62 1,1290 166,66I I V

2005 6 82,85V 6 5 6 166,66 0,8285 138,07I I V

2006 7 93,10V 7 6 7 138,07 0,9310 128,54I I V

2007 8 102,22V 8 7 8 128,54 1,0222 131,39I I V

2008 9 110,86V 9 8 9 131,39 1,1086 145,66I I V

Potrošnja brašna u odnosu na 2000. god. u 2001. god. bila je za 19,05% veća, u 2002. god. za 36,19% veća, u 2003. god. za 47,62% veća, u 2004. god. za 66,66% veća, u 2005. god. za 38,07% veća, u 2006. god. za 28,54% veća, u 2007. god. za 31,39%, u 2008. god. za 45,66% veća.

c) Za godine koje prethode verižni indeksi se na bazne indekse preračunavaju na os-novu relacije:

1 100, ( 1, 2, ... , )i

ii

II i nV

Tabela 33. Preračunati verižni indeksi na bazne indekse sa bazom u 2004. god.

Godine Varežni indek-si (Vi)

Preračunati verižni indeksi u bazne indekse sa bazom u 1995. god. Ii (%)

2000 1 /V 1 2 2 (71,42 :119,05) 100 59,99I I V

2001 2 119,05V 2 3 3 (81,71:114,40) 100 71,42I I V

2002 3 114, 40V 3 4 4 (88,57 :108,39) 100 81,71I I V

2003 4 108,39V 4 5 5 (100 :112,90) 100 88,57I I V

2004 5 112,90V 5 100,00I

2005 6 82,85V 6 5 6 100 0,08285 82,85I I V

2006 7 93,10V 7 6 7 82,85 0,9310 77,13I I V

2007 8 102,22V 8 7 8 77,13 1,0222 78,84I I V

2008 9 110,86V 9 8 9 78,84 1,1086 87,40I I V

45

Potrošnja brašna u odnosu na 2004. god. u 2000. god. bila je za 40,01% manja, u 2001. god. za 28,85% manja, u 2002. god. za 18,29% manja, u 2003. god. za 11,43% manja, u 2005. god. za 17,15% manja, u 2006. god. za 22,87% manja, u 2007. god. za 21,16% ma-nja, i u 2008. god. za 12,6% manja.

d) Indeksi sa bazom preračunavaju se na verižne indekse na osnovu formule:

1

100, ( 1, 2, ... , )ii

i

IV i nI

Tabela 34. Preračunati bazni indeksi sa bazom u 2000. god. na verižne indekse

Godine Bazni indeksi (Ii)

Preračunati bazni indeksi sa bazom u 2000. god. na verižne indekse Vi (%)

2000 1 100,00I 1

2001 2 119,05I 2 2 1: (119,05 :100,00) 100 119,05V I I

2002 3 136,19I 3 3 2: (136,19 :119,05) 100 114,39V I I

2003 4 147,62I 4 4 3: (147,62 :136,19) 100 108,50V I I

2004 5 166,66I 5 5 4: (166,66 :147,62) 100 112,89V I I

2005 6 138,07I 6 6 5: (138,07 :166,66) 100 82,84V I I

2006 7 128,54I 7 7 6: (128,54 :138,07) 100 93,09V I I

2007 8 131,39I 8 8 7: (131,39 :128,54) 100 102,22V I I

2008 9 145,66I 9 9 8: (145,66 :131,39) 100 110,86V I I

e) Tabela 35. Preračunati bazni indeksi sa bazom u 2004. god. na verižne indekse

Godine Bazni indeksi (Ii)

Preračunati bazni indeksi sa bazom u 1995. god. na verižne indekse Vi (%)

2000 1 59,99I 1

2001 2 71, 42I 2 2 1: (71,42 : 59,99) 100 119,05V I I

2002 3 81,71I 3 3 2: (81,71: 71,42) 100 114,41V I I

2003 4 88,57I 4 4 3: (88,57 :81,71) 100 108,39V I I

2004 5 100,00I 5 5 4: (100,00 :88,57) 100 112,90V I I

2005 6 82,85I 6 6 5: (82,85 :100,00) 100 82,85V I I

2006 7 77,13I 7 7 6: (77,13:82,85) 100 93,09V I I

2007 8 78,84I 8 8 7: (78,84 : 77,13) 100 102, 23V I I

2008 9 87, 40I 9 9 8: (87,40 : 78,84) 100 110,85V I I

ZADATAK 70.

Proizvodnja dečijih čarapa u periodu od 2001. god. do 2008. god., u hiljadama pari iznosila je:

Godine 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja (Yi) 580 520 610 750 738 780 765 810

46

a) Izračunati verižne (lančane) indekse

b) Dobijene verižne indekse preračunati na indekse sa bazom u 2001. god. i 2005. god.

Rešenje:

a) 54321 / ; 89,65%; 117,31%; 122,95%; 98,40%;V V V V V

876 105,69%; 98,07%; 105,88%V V V

b) Za 2001. god.:

1 2 3 4 5100%; 89,65%; 105,17%; 129,31%; 127,24%;I I I I I

6 7 8134,48%; 131,88%; 139,63%I I I

Za 2005. god.:

1 2 3 4 578,58%; 70, 45%; 82,65%; 101,62%; 100%;I I I I I

6 7 8105,69%; 103,65%; 109,74%I I I

ZADATAK 71.

Proizvodnja jedne vrste vina u hektolitrima iznosila je u periodu od 2000. god. do 2008. god.

Godine 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja (Yi) 490 505 580 530 810 790 820 840 860

a) Izračunati verižne indekse

b) Dobijene verižne indekse preračunati na indekse sa bazom u 2000. god. i 2002. god.

Rešenje:

a) 1 2 3 4 5; 103,06%; 114,85%; 91,38%; 152,83%;

9876 97,53%; 103,79%; 102,43%; 102,38%V V V V

b) Za 2000. god.:

1 2 3 4 5100%; 103,06%; 118,36%; 108,16%; 165,30%;I I I I I

6 7 8 9161,22%; 167,33%; 171,39%; 175,47%I I I I

Za 2002. god.:

1 2 3 4 584,48%; 87,07%; 100%; 91,38%; 139,65%;I I I I I

6 7 8 9136,20%; 141,36%; 144,79%; 148,23%I I I I

ZADATAK 72.

U jednom regionu potrošnja mleka po godinama u 310 litara iznosila je:

Godine 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Potrošnja (Yi) 2600 2850 3010 2900 3200 3360 4100 4600

a) Izračunati verižne indekse

b) Dobijene verižne indekse preračunati na indekse sa bazom u 2005. god.

nema

47

Rešenje:

a) 54321 ; 109,61%; 105,61%; 96,34%; 110,34%;

6 7 8105,00%; 122,02%; 112,19%V V V

b) 1 2 3 4 584,90%; 93,06%; 98,28%; 103,79%; 100%;I I I I I

6 7 8105%; 128,12%; 143,73%I I I

3.2. GRUPNI (AGREGATNI) INDEKSI

3.2.1. Indeksi količine

ZADATAK 73.

Prosečne cene i prodane količine žitarica bile su: Ovas Raž Ječam

Godine količina (q) cena (p) količina (q) cena (p) količina (q) cena (p)

2006 4800 1( )q 24

1( )P 5200 1( )q 18

1( )P 9800 1( )q 8

1( )P

2007 7000 0( )q 28

0( )P 6400 0( )q 15

0( )P 12600 0( )q 10

0( )P

2008 10000 2( )q 26

2( )P 8000 2( )q 16

2( )P 14200 2( )q 9

2( )P

Na osnovu ovih podataka izračunati:

a) individualne indekse količina prodaje za 2006. god. i 2008. god. (baza 2007: god.)

b) Grupne indekse prodaje za 2006. god. i 2008. god. u odnosu na 2007. god. (baza je 2007. god. = 100), metodom agregata Laspaerov i Pašeov indeks

c) Grupni indeks prodaje za 2006. god. i 2008. god. u odnosu na 2007. god. (baza 2007. god. = 100) metodom prosečnih vrednosti Laspaerov i Pašeov indeks

Rešenje:

Individualni indeksi prodaje izračunavaju se na osnovu formule:

0

100 ( 1, 2, ... , )iq

qI i nq

Za 2006. god. u odnosu na 2007. god.

Ovas: 1

0

4800100 100 68,57%7000q

qIq

Raž: 1

0

5200100 100 0,8125 81,25%6400q

qq

Ječam: 1

0

9800100 100 0,7777 77,77%12600q

qq

ili

ili

48

Prodane količine ovsa u 2006. god. u odnosu na 2007. god. bile su manje za 31,43%, ra-ži manje za 18,75% i ječma manje za 22,23%


Ovas: 2

0

10000100 100 1, 4286 142,86%7000q

qq

Raž: 2

0

8000100 100 1, 25 125%6400q

qq

Ječam: 2

0

14200100 100 1,1269 112,69%12600q

qq

Prodane količine ovsa u 2008. god. u odnosu na 2007. god. bile su veće za 42,86%, raži veće za 25% i ječma za 12,69% veće.

b) Grupni indeks količine metodom agregata Laspaerov izračunava se po formuli:

0

0 0

100 , ( 1,2, ... , )iq

q PI i n

q P


0

0 0

100iq

q PI

q P

4800 28 5200 15 9800 10 1007000 28 6400 15 12600 10qI

134400 78600 98000 310400100 100196000 96000 126000 418000qI

0,7425 100qI

74, 25%qI

U 2006. god. u odnosu na 2007. god. prodane količine ovsa, raži i ječma bile su u pro-seku za 25,75% manje.

Grupni indeks količine metodom agregata Pašeov izračunava se po formuli:

1

0 1

100iq

q PI

q P

4800 24 5200 18 9800 8 115200 93600 78400 0010017000 24 6400 18 12600 8 168000 115200 100800qI

287200 100 0,7479 100384000qI

74,79%qI

U 2006. god. u odnosu na 2007. god. prodane količine ovsa, raži i ječma bile su u pro-seku za 25,21% manje.


ili

ili

ili

49

Laspaerov

2 0

0 0

100q

q PI

q P

10000 28 8000 15 14200 10 280000 120000 1420001007000 28 6400 15 12600 10 196000 96000 126000qI

542000 100 1, 29665 100418000qI

129,665%qI

U 2008. god. u odnosu na 2007. god. prodane količine ovsa, raži i ječma bile su u pro-seku za 29,665% veće.

Pašeov

2 2

0 2

100q

q PI

q P

10000 26 8000 16 14200 9 260000 128000 1278001007000 26 6400 16 12600 9 182000 102400 113400qI

515800 100 1, 29663 100397800qI

129,663%qI

U 2008. god. u odnosu na 2007. god. prodane količine ovsa, raži i ječma bile su u pro-seku za 29,663% veće.

c) Grupni indeks količine metodom prosečnih odnosa Laspaerov izračunava se po for-muli:


10 0

0

0 0

100q

q P qqI

P q

4800 5200 98007000 28 6400 15 12600 107000 6400 12600 100

28 7000 15 6400 10 12600qI

0,6857 196000 0,8125 96000 0,7777 126000 100

196000 96000 126000qI

134397, 2 78000 97990, 2 310387, 4100 100

418000 418000qI

0,7425 100qI

74, 25%qI

Rezultat je isti kao i odgovor.

50

Grupni indeks količine metodom prosečnih odnosa Pašeov izračunava se po formuli:

1 1

01 1

1

100q

q PI q q P

q

4800 24 5200 18 9800 8 1007000 6400 126004800 24 5200 18 9800 84800 5200 9800

qI

115200 93600 78400 1001, 4583 115200 1, 23077 93600 1, 2857 17840qI

287200 100167996,16 115200,07 100798,88qI

287200 100 0,7479 100383995,11qI

74,79%qI



Laspaerov

20 0

0

0 0

100q

q P qqI

P q

10000 8000 142007000 28 6400 15 12600 107000 6400 12600 100

28 7000 15 6400 10 12600qI

1, 4286 196000 1, 25 96000 1,12698 126000 100

196000 96000 126000qI

280005,6 120000 141999, 48 100

418000qI

542005,08 100 1, 29666 100

418000qI

129,666%qI


Pašeov

2 2

02 2

2

100q

q PI q P q

q

26 10000 16 8000 9 14200 1007000 6400 1260026 10000 16 8000 9 1420010000 8000 14200

qI

51

260000 128000 127800 1000,7 260000 0,8 128000 0,8873 127800qI

515800 100

182000 102400 113400qI

515800 100397800qI

1, 2963 100qI

129,63%qI


ZADATAK 74.

Proizvedene količine i cene obuće u jednoj fabrici obuće bile su:

Tabela 37. Proizvodnja i cene obuće

Dečije cipele Ženske cipele Muške cipele Godine

količina cena količina cena količina cena 2007 4100 28,5 2600 31,5 3400 29,5 2008 3600 31,6 3200 43,5 4200 38,6

a) Izračunati individualne indekse količine za 2008. god. baza (2007. = 100)

b) Izračunati grupne indekse količine metodom agregata Laspaerov i Pašeov, baza 2003. godina

Rešenje:

a) Dečije cipele: 87,80%qI

Ženske cipele: 123,07%qI

Muške cipele: 123,53%qI

b) Laspaerov: 109,45%qI

Pešov: 111,01%qI

ZADATAK 75.

Jedna ribarnica u 2006. god., 2007. god. i 2008. god. proizvela je riba u tonama po cenama:

Tabela 38. Proizvodnja i cene ribe

Količine Cene Proizvodi

2006 2007 2008 2006 2007 2008 Skuša 950 1100 1500 119 138 145

Sardela 630 760 700 85 95 105 Oslić 520 800 1200 140 155 160

Murine 210 310 450 240 280 310

52

a) Izračunati individualne indekse količine za 2006. god. i 2008. god., baza 2007. godina.

b) Izračunati grupne indekse količine metodom prosečnih odnosa Laspaerov i Pašeov za 2006. god. i 2008. god. baza 2007. godina.

Rešenje:

a) Skuša: za 2006. god. 86,36%qI

za 2008. god. 136,36%qI

Sardela: za 2006. god. 82,89%qI

za 2008. god. 92,11%qI

Oslić: za 2006. god. 65%qI

za 2008. god. 150%qI

Murine: za 2006. god. 67,74%qI

za 2008. god. 129,16%qI

b) Laspaerov: za 2006. god. 75,97%qI ; za 2008. god. 131, 46%qI

Pašeov: za 2006. god. 75,88%qI ; za 2008. god. 134,33%qI

ZADATAK 76.

Jedno trgovinsko preduzeće imalo je promet mlečnih proizvoda u 2007. god. i 2008. god.

Tabela 39. Promet mlečnih proizvoda

2007 2008Proizvodi

Količina Cena Količina Cena

Mleko 820 50 1200 55

Pavlaka 340 110 500 150

Jogurt 750 52 800 58

Ke�r 610 80 750 83

a) Izračunati individualne indekse količine za 2008. god. baza 2007 god.

b) Izračunati grupne indekse količine metodom agregata Laspaerov i Pašeov, baza 2007. godina.

Rešenje:

a) Za mleko: 146,34%qI ; pavlaka: 147,06%qI ; jogurt: 106,66%qI ; ke�r: 122,95%qI

b) Laspaerov: 130,32%qI ; Pašeov: 131, 24%qI .

53

3.2.2. Indeks cena

ZADATAK 77.

U jednoj fabrici za preradu mesa proizvedeno je mesa u kg. po cenama:

Tabela 40. Proizvodnja i cene mesa

Svinjsko meso Teleće meso Jagnjeće meso Mesec

Količina Cena Količina Cena Količina Cena

Januar 2000 1( )q 450 1( )P 2500 1( )q 490 1( )P 1200 1( )q 580 1( )P

Februar 1800 0( )q 430 0( )P 2800 0( )q 510 0( )P 1600 0( )q 560 0( )P

Mart 1900 2( )q 410 2( )P 2600 2( )q 480 2( )P 1100 2( )q 530 2( )P

a) Izračunati individualne indekse cena (baza februar)

b) Grupni indeks cena metodom agregata, Pašeov i Laspaerov indeks (baza februar)

c) Grupni indeks cena metodom prosečnih odnosa, Laspaerov i Pašeov indeks (baza februar)

Rešenje:

a) Individualni indeksi cena izračunavaju se na osnovu izraza:

0

100 (1, 2, ... , )ip

PI i nP

Za januar u odnosu na februar: 1

0

100pPIP

Svinjsko meso: 450 100 1,0465 104,65%430p

Teleće meso: 490 100 0,9607 96,07%510p

Jagnjeće meso: 560 100 0,9655 96,55%580p

Cene u januaru u odnosu na februar kod svinjskog mesa su bile veće za 4,65%, kod te-lećeg mesa za 3,93% i kod jagnjećeg mesa za 3,45% manje.

Za mart u odnosu na februar:

Svinjsko meso: 2

0

410100 100 0,9534 95,34%430p

PP

Teleće meso: 480 100 0,9411 94,11%510p

Jagnjeće meso: 530 100 0,9464 94,64%560p

Cene svinjskog mesa u martu u odnosu na februar za 4,66% niže, kod telećeg mesa za 5,36% niže i kod jagnjećeg mesa niže za 5,36%

ili

ili

ili

ili

ili

ili

54

b) Grupni indeks cena metodom agregata Laspaerov:

0

0 0

100 1,2, ... ,1p

P qI i n

P q

Za januar u odnosu na februar:

1 0

0 0

100p

P qI

P q

450 1800 490 2800 580 1600 100430 1800 510 2800 560 1600pI

810000 1372000 928000 3110000100 100774000 1428000 896000 3098000pI

1,0038 100pI

100,38%pI

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u januaru u odnosu na februar su porasle za 0,38%


2 0

0 0

100p

p qI

p q

410 1800 480 2800 530 1600 100430 1800 510 2800 560 1600pI

738000 1344000 848000 2930000100 100774000 1428000 896000 3098000pI

0,9457 100pI

94,57%pI

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u martu u odnosu na februar smanjene su za 5,43% - Pašeov indeks cena -

0

100 (1,2, ... , )i ip

i

q pI i n

q p Za januar u odnosu na februar:

1 1

1 0

100p

q pI

q p

450 2000 490 2500 580 1200 1002000 430 2500 510 1200 560pI

55

900000 1225000 696000 2821000100 100860000 1275000 672000 2807000pI

� ��

� ��

1,0049 100pI � �

100,49%pI �

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u januaru u odnosu na februar porasle su za 0,49%


2 2

2 0

100p

q pI

q p� ��

��

�

1900 410 2600 480 1100 530 1001900 430 2600 510 1100 560pI

� ��

� ��

779000 1248000 583000 2610000100 100817000 1326000 616000 2759000pI

� ��

� ��

0,9459 100pI � �

94,59%pI �

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u martu u odnosu na januar su opale za 5,41%

c) Grupni indeks cena metodom srednjih vrednosti: Laspaerov –

0 00

0 0

100 (1, 2, ... , )

i

p

P p qPI i np q

� ��

� ��

� Za januar u odnosu na februar:

10 0

0

0 0

100p

P p qPIp q

��

� ��

�

450 490 580430 1800 510 2800 560 1600430 510 560 100

430 1800 510 2800 560 1600pI� �

��

� � � � � ��

� � �

1,0465116 774000 0,9607843 1428000 1,0357143 896000 100774000 1428000 896000pI

� ��

� ��

810000 1372000 928000 3110000 100774000 1428000 896000 3098000pI

� ��

� ��

1,0038 100pI � �

100,38%pI �

56

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u januaru u odnosu na februar u proseku su bile veće za 0,38%


20 0

0

0 0

100p

P p qPIp q

��

� ��

�

410 480 530430 1800 510 2800 560 1600430 510 560 100

430 1800 510 2800 560 1600pI� �

��

� � � � � ��

� � �

0,9534884 774000 0,9411765 510 2800 0,9464286 560 1600 100430 1800 510 2800 560 1600pI

� ��

� ��

� � �

738000 1344000 848000 2930000 100774000 1428000 896000 3098000pI

� ��

� ��

0,9457 100pI � �

94,57%pI �

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u martu u odnosu na februar u proseku su bile niže za 5,43% - Pašeov indeks cena -

Za januar u odnosu na februar:

0

100 (1, 2,..., )i ip

i ii

P qI i nP P q

P

� ��

��

� �

1 1

01 1

1

100p

P qI P P q

P

� ��

��

� �

2000 450 2500 490 1200 580 100430 510 5602000 450 2500 490 1200 580450 490 580

pI� �

��

� � � ��

900000 1225000 696000 1000,9555556 900000 1,0408163 1225000 0,9655172 696000pI

� ��

� ��

� � �

900000 1225000 696000 100860000 1275000 672000pI

� ��

� ��

2821000 1002807000pI � �

1,0049 100pI � �

100,49%pI �

57

Cene svinjskog, telećeg i jagnjećeg mesa u januaru u odnosu na februar u proseku su porasle za 0,49%

Za mart u odnosu na februar

2 2

02 2

2

100p

p qI p p q

p

� ��

��

� �

1900 410 2600 480 1100 530 100430 510 5601900 410 2600 480 1100 530410 480 530

pI� �

��

� � � ��

779000 1248000 583000 1001,0487805 779000 1,0625 1248000 1,0566038 583000pI

� ��

� ��

� � �

779000 1248000 583000 100817000 1326000 616000pI

� ��

� ��

2610000 1002759000pI � �

0,9459 100pI � �

94,59%pI �

Cene svinjskog mesa, telećeg i jagnjećeg mesa u martu u odnosu na februar u proseku su niže za 5,41%.

ZADATAK 78.

U jednoj trgovini u toku 3 dana prodato je južnog voća u kilogramima po cenama:

Tabela 41. Prodato južnog voća po cenama

Prvi dan Drugi dan Treći dan Južno voće

Količina Cena Količina Cena Količina Cena Banane 200 95 180 86 130 90

Kivi 150 120 80 125 40 100 Ananas 50 210 30 240 20 190

a) Izračunati individualne indekse cena, baza prvi dan.

b) Izračunati grupne indekse, cena metodom agregata, Laspaerov i Pašeov indeks, baza prvi dan.

Rešenje:

a) Drugi dan u odnosu na prvi dan: 1

0

100pPIP

� �

banane: 90,52%pI �

kivi: 104,16%pI �

ananas: 114, 28%pI �

58

Treći dan u odnosu na prvi dan: 2

0

100pPIP

banane: 94,74%pI

kivi: 83,33%pI

ananas: 90, 48%pI

b) Laspaerov indeks

Drugi dan u odnosu na prvi dan: 1 0

0 0

100p

p qI

p q

100,94%pI

Treći dan u odnosu na prvi dan: 2 0

0 0

100p

p qI

p q

89, 47%pI

Pašeov indeks

Drugi dan u odnosu na prvi dan: 1 1

0 1

100p

p qI

p q

99,03%pI

Treći dan u odnosu na prvi dan: 2 2

0 2

100p

p qI

p q

107, 44%pI

ZADATAK 79. U jednom marketu prodato je 3 vrste kafe:

Tabela 42. Prodato kafe po cenama

I kvartal II kvartal Vrsta kafe

Količina Cena Količina Cena “grand” 20 42 43 40 “c kafa” 15 40 21 39

“don kafa” 35 45 40 42

a) Izračunati individualne indekse cena, baza I kvartil b) Grupni indeks cena, metodom prosečnih odnosa Laspaerov i Pašeov, baza I kvartil. Rešenje:

a) “grand” kafa: 95, 24%pI

“c kafa”: 97,5%pI

“don kafa” 93,3%pI

b) Laspaerov: 94,69%pI ; Pašeov: 94,89%pI

59

ZADATAK 80.

Na jednom poljoprivrednom dobru proizvedeno je povrće u kg. po cenama:

Tabela 43.Proizvodnja i cene povrća

2007 2008 Vrsta povrća

Količina Cena Količina Cena krompir 1500 28 1800 25 kupus 1000 8 1200 10

Crni luk 800 15 1100 18

a) Izračunati individualni indeks cena, baza 2007. god.

b) Grupni indeks cena metodom agregata, Laspaerov i Pašeov, baza 2007. godina.

Rešenje:

a) krompir: 89, 28%pI

kupus: 125%pI

crni luk: 120%pI

b) Laspaerov: 99,83%pI ; Pašeov: 100,39%pI

3.2.3. Indeks vrednosti

ZADATAK 81.

Fabrika za proizvodnju keksa proizvodi tri vrste keksa u kilogramima i uz prosečnu cenu:

Tabela 44. Proizvodnja keksa po cenama

Proizvodnja u 1000kg Prosečna cena Vrsta keksa

2007 2008 2007 2008 Sa čokoladom 85 120 95 110 Sa kokosom 30 80 105 130

Mlečni 150 210 65 75

Izračunati indeks vrednosti, baza 2007. godina. Rešenje: Indeks vrednosti izračunava se na osnovu izraza:

0 0

100i iW

p qI

p q; 1,2,3,...,i n

1 1

0 0

100W

p qI

p q

110 120 130 80 75 210 10095 85 105 30 65 150WI

60

13200 10400 15750 39350100 1008075 3150 9750 20975WI

1,8760 100WI

187.60%WI

Vrednost proizvodnje keksa sa čokoladom, keksom i mlečni u 2008. god. u odnosu na 2007. god. bila je za 87,60% veća. ZADATAK 82. U fabrici za proizvodnju štofa proizvedeno je štofa u 1000 m po prosečnim cenama:

Tabela 45. Proizvodnja štofa po cenama

Proizvedeno u 1000 m Prosečne cene Vrsta štofa

2006 2007 2008 2006 2007 2008 Od vune 10200 18400 17300 82 79 91

Od sintetike 15600 12800 14100 54 63 58 Od pamuka 9800 10400 13500 101 94 100

Izračunati indeks vrednosti, baza 2006. godina Rešenje:

Indeks vrednosti za 2007. god. u odnosu na 2006. god. 121,32%WI

Indeks vrednosti za 2008. god. u odnosu na 2006. god. 140,23%WI

ZADATAK 83. Fabrika za proizvodnju keramičkih pločica proizvela je pločica po prosečnim cenama:

Tabela 46. Proizvedene pločice po cenama

Januar Februar Vrsta pločica

Količ. Cena Količ. Cena Podne 25400 26,5 42300 28,6 Zidne 31800 21,4 39600 24,3

a) Izračunati indeks vrednosti baza januar.

Rešenje:

160, 46%WI

ZADATAK 84.

Fabrika za proizvodnju papira proizvedeno je tri vrste papira po prosečnim cenama:

Količina Prosečne cene Vrsta papira

April Maj Juni April Maj Juni Foto papir 104300 120100 150200 10,3 10,8 11 Flis papir 85200 84100 75400 32,4 34,2 31,5 Pak papir 15400 16200 10600 8,3 8,6 8,5

61

Izračunati indeks vrednosti, baza maj mesec. Rešenje: Indeks vrednosti za april u odnosu na maj 91, 29%WI

Indeks vrednosti za juni u odnosu na maj 95,47%WI

3.2.4. Indeks troškova života

ZADATAK 85.

U oktobru 2005. god. i novembru 2005. god. prosečne cene za nekoliko artikala ishrane za četvoročlanu porodicu iznosile su:

Artikal Prosečne cene oktob. 2008 (P )

Cena u novembru (P )

Količine u tipskom budžetu (q)

Hleb Ulje

Meso Šećer Mleko

20,5 70,5 270 48 28

22 75

310 51 30

55 kg. 6 l

9 kg. 3 kg. 15 l

Izračunati indeks troškova života u novembru u odnosu na oktobar 2008. godine. Rešenje:

Troškovi života u novembru u odnosu na oktobar 2008. god.za četvoročlanu porodicu, bili su za 11,19% veći ZADATAK 86.

Prosečne cene za nekoliko artikala u 2007. godini i 2008. god. za četvoročlanu porodicu su iznosili:

Artikal Količina ( q ) po tipskom budžetu

Cene 2007. g ( 0p ) Cene 2008. g ( 1p )

Pasulj 145 kg 150 155 Sir 4 kg 180 195 Jaja 25 kom. 5 6

Brašno 3 kg 35 40

Izračunati indeks troškova života u 2008. godini u odnosu na 2007. godinu.

Rešenje: 103,63%pI

0 1

1

1

01

22 55 75 6 310 9 51 3 30 1520,5 55 70,5 6 270 9 48 3 28 151210 450 2790 153 450 5053 1,1119 111,19%

1127,5 423 2430 144 420 4544,5

n

in

i

P qI p

P q

I p

I Ip p

=

=

⋅=

⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +

= = = =+ + + +

∑

∑

62

ZADATAK 87. Ako troškovi za ishranu četvoročlane porodice u 2007. godini iznose 28000 dinara, a u 2008. godini 29800 din, izračunati indeks troškova života. Rešenje:

106,43%pI ZADATAK 88. Prosečne cene za nekoliko artikala četvoročlane porodice u januaru 2008. god. i septembru 2008. godine, u dinarima iznosile su:

Artikal Cene januar Cene septembar Količine po tipskom budžetu

Mast 40 45 5 kg Krompir 30 28 17 kg

Hleb 20 23 60 kg Mleko 25 32 15 l

Izračunati indeks troškova života u septembru u odnosu na januar 2008. godine. Rešenje:

112,07%pI ZADATAK 89. U martu 2008. godine troškovi života za četvoročlanu porodicu su iznosili 29500 dinara. Pro-cena je da će indeks troškova života u septembru biti 118%, koliko četvoročlana porodica mora u septembru da ima novca za život? Rešenje:

29500 1,18pI

34810[ ]pI dinara

3.2.5. Indeks plata (zarada)

ZADATAK 90.

U fabrici za proizvodnju bele tehnike plate u 103 dinara i broj zaposlenih bili su:

Broj radnika Ukupan iznos isplaćenih plata

Prosečna mesečna zarada po kategorijama Stručna

sprema 2007( 0L ) 2008( 1L ) 2007( 0X ) 2008( 1X ) 2007 0

0

0

XXL

2008 00

0

XXL

Visoka 5 4 1900 2400 380 600 Viša 8 10 1000 1300 125 130

Kvalif. 78 96 800 960 10,25 10 Ukupno 91 110 3700 4660 / /

63

Na osnovu podataka izračunati (baza 2007. god.)

a) individualne indekse nominalnih plata za pojedine kategorije radnika

b) grupni indeks nominalnih plata promenjenog sastava zaposlenih

c) grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz baznog perioda

d) grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz tekućeg perioda

e) indeks uticaja promena u kvali�kacionom sastavu zaposlenih na promene opšteg pro-seka plata

f) indeks dinamike zaposlenih

g) indeks mase ukupno isplaćenih plata

h) objasni koji su faktori i koliko uticali na promene mase ukupno isplaćenih plata

i) koliko iznosi indeks nominalnih plata, a koliko indeks realnih plata radnika sa visokom stručnom spremom, ako indeks troškova života za 2008. god. u odnosu na 2007. god. iznosi 170%.

Rešenje:

a) Individualni indeksi nominalnih plata izračunavaju se na osnovu formule:

( )

0

ijpl

XIX

(i=1,2,3,...,n j=1,2,3,...,n),

-za visoku stručnu spremu: (1) 600 1,5789380plI ili 157,89%

-za višu stručnu spremu: (2) 130 1,04125plI ili 104%

-za kvali�kovanog radnika: (3) 10 0,975610,25plI ili 97,56%

Nominalna plata u 2008. god. u odnosu na 2007. god. kod radnika visoke stručne spreme bila je za 57,89% veća, kod radnika više stručne spreme bila je za 4% veća, i kod kvali�kovanog radnika bila je za 2,44% manja.

b) Grupni indeks nominalnih plata promenjenog sastava zaposlenih izračunava se na os-novu izraza:

0

1 1

01 1

4660 3700: : 42,3636 : 40,6593110 91

n n

ii i

pl n n

ii i

X XI

L L

1,0419plI ili 104,19%

Opšti prosek plata po zaposlenom u celoj fabrici u 2008. godini u odnosu na 2007. go-dinu bio je veći za 4,19%. Na ovaj indeks uticale su ne samo promene u visini plate, već i promene u kvali�kacionoj strukturi.

64

c) Grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz baznog perioda izračunava se na osnovu formule:

0

10

0 01

600 5 130 8 10 78 3000 1040 780380 5 125 8 10,25 78 1900 1000 799,5

n

ii

pl n

i

X LI

X L

04820 1,3028

3699,5plI ili 130,28%

Plate zaposlenih u 2008. god. u odnosu na 2007. god. su u proseku bile za 30,28% veće. Na njih nisu uticale promene u kvali�kacionoj strukturi zaposlenih, već samo promene u visini plate.

d) Grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz tekućeg perioda izračunava se po obrascu:

' 11

01

600 4 130 10 10 96380 4 125 10 10,25 96

n

i ii

pl n

ii

X LI

X L

'1

2400 1300 960 4660 1,24131520 1250 984 3754plI ili 124,13%

Plate zaposlenih u 2008. god. u odnosu na 2007. god. bile su u proseku veće za 24,13%. Na njih nisu uticale promene u kvali�kacionoj strukturi zaposlenih, već samo promene u visini plata.

e) Indeks uticaja promena u kvali�kacionom sastavu zaposlenih na promene opšteg pro-seka plata, izračunava se na osnovu izraza:

0

104,19 0,7997130, 28

plsp

pl

III

ili 79,97%

Promene u kvali�kacionoj strukturi zaposlenih uticale su na smanjenje opšteg nivoa plata u 2008. god. u odnosu na 2007. god. za 20,03%.

f) Indeks dinamike zaposlenih izračunava se na osnovu formule:

1

01

110 1,208791

n

ii

r n

i

LI

L ili 120,87%

Broj zaposlenih u 2008. god. u odnosu na 2007. god. veći je za 20,87%.

g) Indeks mase ukupno isplaćenih plata izračunava se po formuli:

1

01

4660 1,25943700

n

ii

x n

i

XI

X ili 125,94%

Masa ukupno isplaćenih plata u 2008. god. u odnosu na 2007. god. bila je veća za 25,94%.

65

h) Indeks mase ukupno isplaćenih plata može se izračunati i na osnovu relacije:

0 1,3028 0,7997 1,2087 1,2593x pl spI I I I ili 125,93%.

Znači da se masa ukupno isplaćenih plata u 2008. god. u odnosu na 2007. god. povećala za 25,93%. Na ovo povećanje uticali su faktori: I prosečno povećanje visine plata po ka-tegorijama radnika za 30,28% uticalo je da je suma ukupno isplaćenih plata za 30,28% bila veća nego što bi bila da povećanja nije bilo; II promene u kvali�kacionoj strukturi radnika uticale su na smanjenje opšteg proseka plata za 20,03% a samim tim i na sma-njenje ukupne sume isplaćenih plata za 20,03%; III povećanje broja zaposlenih za 20,87% uticalo je tako da je ukupna suma isplaćenih plata za 20,87% veća nego što bi bila da nije bilo povećanja broja zaposlenih. Prema tome, relativno najveći uticaj na po-većanje mase ukupno isplaćenih plata imalo je povećanje visine plata.

i) Indeks nominalne plate radnika sa visokom stručnom spremom iznosi (1) 157,89%plI

Indeks realne plate izračunava se na osnovu izraza:

147,62 0,8683170,00

plpl

p

IIRI

ili 86,83%

Radnik visoke stručne spreme je u 2008. godini primio nominalno više novca za 57,89%, ali za taj novac može da kupi za 13,17% manje roba i usluga.

ZADATAK 91.

U jednom preduzeću u 2003. i 2004. godini broj zaposlenih i isplaćene ukupne mesečne plate u 103 din iznosili su:

Broj radnika Ukupan iznos isplaćenih plata Stručna sprema 2007( 0L ) 2008( 1L ) 2007( 0X ) 2008( 1X )

Srednja 380 410 3900 4100 VK 250 280 3200 3800

NKV 140 120 2600 2100

Na osnovu podataka izračunati (baza 2007. god.)



c) grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz baznog perioda

d) indeks uticaja promena u kvali�kacionom sastavu zaposlenih na promene opšteg pro-seka plata

e) indeks dinamike zaposlenih

f) indeks mase ukupno isplaćenih plata

g) objasni koji su faktori i koliko uticali na promenu mase ukupno isplaćenih plata

h) koliko iznosi indeks nominalne plate radnika sa srednjom stručnom spremom, a koliko indeks realne, ako indeks troškova života za 2008. god. u odnosu na 2007. god. iznosi 120%.

66

Rešenje:

a) (1) 97,43%plI ; (2) 106,01%plI ; (3) 94,23%plI

b) 98,01%plI

c) '0 99,41%plI

d) 98,59%spI

e) 105,19%rI

f) 103,09%xI

g) 0,9941 0,9857 0,9801xI ili 98,01%

h) 97,43%plI 81,67%plIR

ZADATAK 92.

U fabrici za proizvodnju cementa u januaru i oktobru 2008. god. broj zaposlenih i ukupno is-plaćene mesečne plate u 103 dinara iznosile su:

Broj radnika Ukupan iznos isplaćenih plata Stručna sprema Januar ( 0L ) Oktobar ( 1L ) Januar ( 0X ) Oktobar ( 1X )

Viša 90 95 3820 5240 Srednja 130 142 3210 4100

Kvali�kovani 185 198 2400 3150

Na osnovu podataka izračunati (baza januar 2008. god.) a) individualne indekse plata za pojedine kategorije radnika b) grupni indeks nominalnih plata promenjenog sastava zaposlenih c) grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz

baznog perioda d) indeks uticaja promena u strukturi zaposlenih na promene opšteg proseka plata e) indeks dinamike zaposlenog osoblja f) indeks mase ukupno isplaćenih plata i objasniti koji su faktori i koliko uticali na pro-

menu mase ukupno isplaćenih plata g) koliko iznosi indeks nominalne plate radnika sa srednjom stručnom spremom, a koliko

indeks realne, ako indeks troškova života u oktobru u odnosu na januar iznosi 165%. Rešenje:

a) (1) 1, 2997plI ili 129,97%; (2) 116,93%plI ; (3) 122,67%plI

b) 123,32%plI

c) '0 123,67%plI

d) 99,72%spI

e) 107,41%rI

f) 132,45%xI

g) (2) 116,93%plI 70,87%plIR

67

ZADATAK 93.

Na jednom poljoprivrednom dobru broj zaposlenih i ukupno isplaćene mesečne plate u 103 dinara u martu i aprilu 2004. godine iznosili su:

Broj radnika Ukupan iznos isplaćenih plata Kvali�kacija radnika Mart ( 0L ) April ( 1L ) Mart ( 0X ) April ( 1X )

VKV 105 110 8500 14300 KV 98 80 12300 19820

NKV 120 140 6200 7800

Na osnovu podataka izračunati (baza mart=100%)

a) individualne indekse plata za pojedine kategorije radnika


c) grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz tekućeg perioda

d) indeks uticaja promena u strukturi zaposlenih na promene opšteg proseka plata

e) indeks dinamike zaposlenih

f) indeks mase ukupno isplaćenih plata i objasniti koji su faktori i koliko uticali na pro-menu mase ukupno isplaćenih plata

g) koliko iznosi indeks nominalne plate i indeks realne plate kvali�kovanog (KV) radnika, ako indeks troškova života u aprilu u odnosu na mart iznosi 190%.

Rešenje:

a) (1) 160,59%plI ; (2) 197,39%plI ; (3) 107,83%plI

b) 151,96%plI

c) '1 160,13%plI

d) 94,89%spI

e) 102,16%rI

f) 1,6013 0,9489 1,0216 1,5523xI ili 155,23%

g) (2) 197,39%plI 103,89%plIR

ZADATAK 94.

U fabrici automobila u maju i decembru 2008. god. broj zaposlenih i ukupno isplaćen iznos mesečnih plata u 103 dinara iznosile su:

Broj radnika Ukupno isplaćene plate Stručna sprema Maj ( 0L ) Decembar ( 1L ) Maj ( 0X ) Decembar ( 1X )

Visoka 90 118 15800 17200 Viša 100 103 9300 9800 VKV 230 250 5250 5860

68

Na osnovu podataka izračunati (baza maj=100%)


b) grupni indeks nominalnih plata nepromenjenog sastava zaposlenih sa ponderima iz baznog perioda

c) grupni indeks nominalnih plata promenjenog sastava

d) indeks uticaja promena u strukturi zaposlenih na promene opšteg proseka plata

e) indeks dinamike zaposlenog osoblja

f) indeks mase ukupno isplaćenih plata

g) koliko iznosi indeks realne plate radnika sa višom stručnom spremom, ako indeks tro-škova života u decembru u odnosu na maj iznosi 153,5%.

Rešenje:

a) (1) 83,05%plI ; (2) 102,30%plI ; (3) 102,72%plI

b) 0 92,35%plI

c) 96,54%plI

d) 104,53%spI

e) 112,14%rI

f) 0,9235 1,0453 1,1214 1,0825xI ili 108,25%

g) 62,89%plIR

3.2.6. Indeks produktivnosti rada

ZADATAK 95.

Utrošeni rad i iskop uglja u jednom rudniku tokom 2007. god. i 2008. god. bili su:

Proizvodnja u 103 t Utrošeno radnih časova u 103

Proizvod (j)

2007. ( 0Q ) 2008. ( 1Q ) 2007. ( 0T ) 2008. ( 1T )

Stalna ce-na (p)

Mrki ugalj 105 110 75 69 86 Kameni ugalj 90 95 86 91 102

Lignit 120 145 45 48 94 Ukupno 315 350 206 208 282

Na osnovu ovih podataka (baza 2007. god. =100%) izračunati:

a) individualne indekse produktivnosti rada, ako je produktivnost rada izražena sa prose-čnim vremenom za izradu jedinice proizvoda,

b) individualne indekse produktivnosti rada, ako je produktivnost rada izražena preko proizvedenih količina u jedinici vremena,

69

c) grupni indeks produkivnosti rada promenljivog sastava proizvodnje, ako je produktiv-nost rada izražena sa prosečnom proizvodnjom za jedinicu vremena,

d) grupni indeks produktivnosti rada promenljivog sastava proizvodnje, ako je produkti-vnost rada izražena sa prosečnim vremenom za izradu jedinice proizvoda,

e) grupni indeks produktivnosti rada nepromenjenog sastava proizvodnje sa ponderima iz baznog perioda,

f) grupni indeks produktivnosti rada nepromenjenog sastava proizvodnje sa ponderima iz tekućeg perioda,

g) indeks uticaja stranih promena,

h) indeks dinamike ukupno utrošenog rada,

i) Grupni indeks �zičkog obima proizvodnje.

Rešenje:

a) Individualni indeksi produktivnosti rada, ako je produktivnost rada izražena sa prose-čnim vremenom za izradu jedinice proizvoda, izračunavaju se na osnovu formule:

( ) 00

0

: :j iit

i

T TIP t tQ Q

(i=1,2,...,n; j=1,2,...,m),

za mrki ugalj: (1) 69 75 0,6272: 0,8781110 105 0,7143tIP ili 87,81%

Produktivnost rada u iskopu mrkog uglja u 2008. godini u odnosu na 2007. god. je po-rasla jer je za 12,19% utrošeno manje časova u iskopu mrkog uglja.

za kameni ugalj: (2) 91 86 0,9579: 1,002595 90 0,9555tIP ili 100,25%

Produktivnost rada u iskopu kamenog uglja u 2008. godini u odnosu na 2007. god. je opala za 0,25%.

za lignit: (3) 48 45 0,3310: 0,8827145 120 0,375tIP ili 88,27%

Produktivnost rada u iskopu lignita u 2008. godini u odnosu na 2007. god. je porasla jer je za 11,73% utrošeno manje časova u iskopu lignita.

b) Individualni indeksi produktivnosti rada, ako je produktivnost rada izražena preko proizvedenih količina u jedinici vremena, izračunavaju se na osnovu formule:

( ) 00

0

: :j iiq

i

Q QIP q qT T

(i=1,2,...,n; j=1,2,...,m),

ili na osnovu izraza ( )( )

1jq j

t

IPIP

; j=1,2,...,m

za mrki ugalj: (1) 1 1,13880,8781qIP ili 113,88%

Produktivnost rada u iskopu mrkog uglja u 2008. godini u odnosu na 2007. god. je po-rasla za 13,88%.

70

za kameni ugalj: (2) 1 0,99751,0025qIP ili 99,75%

Produktivnost rada u iskopu kamenog uglja u 2008. godini u odnosu na 2007. god. je opala za 0,25%.

za lignit: (3) 1 1,13280,8827qIP ili 113,28%

Produktivnost rada u iskopu lignita u 2008. godini u odnosu na 2007. god. je porasla za 13,28%.

c) Grupni indeks produkivnosti rada promenljivog sastava proizvodnje, ako je produkti-vnost rada izražena sa prosečnom proizvodnjom za jedinicu vremena, izračunava se na osnovu izraza:

0

1 1

01 1

:

n n

ii i

q n n

ii i

Q p Q pIP

T T

(110 86 95 102 145 94) (105 86 90 102 120 94):602802

qIP

(9460 9690 13630) (9030 9180 11280):208 206

qIP

32780 29490: 157,5961:143,1553208 206

qIP

1,1008qIP ili 110,08%

Ukupna produktivnost rada u 2008. god. u odnosu na 2007. god. u iskopu mrkog, ka-menog i lignit uglja porasla je u proseku za 10,08%. Na ove promene uticale su i pro-mene u produktivnosti rada i promene u strukturi (sastavu) proizvodnje.

d) Grupni indeks produktivnosti rada promenljivog sastava proizvodnje, ako je produkti-vnost rada izražena sa prosečnim vremenom za izradu jedinice proizvoda, izračunava se na osnovu formule:

0

1 1

01 1

208 206: : 0,00634 : 0,0069832780 29490

n n

ii i

t n n

ii i

T TIP

Q p Q p

0,9083tIP ili 90,83%

ili na osnovu izraza:

1 1 0,90831,1008

tq

IPIP

ili 90,83%

Ukupna produktivnost rada u 2008. god. u odnosu na 2007. god. u iskopu mrkog, kamenog i lignit uglja porasla je za 9,17% jer je utrošeno manje ukupnog vremena, u proseku.

71

e) Grupni indeks produktivnosti rada nepromenjenog sastava proizvodnje sa ponderima iz baznog perioda, izračunava se na osnovu izraza:

0

' 10

0 01

69 91 48105 90 120110 95 14575 86 45105 90 120

105 90 120

n

ii

t n

i

t QIP

t Q

'0

65,86 86,21 39,72 191,79 0,931075 86 45 206tIP ili 93,10%

Pod pretpostavkom da se struktura proizvodnje nije promenila, odnosno da je bila kao u baznom periodu (2007. god.) ukupna produktivnost rada je porasla jer se ukupan ut-rošak rada u proseku smanjio za 6,9%.

Pravi grupni indeks produktivnosti rada izračunava se na osnovu izraza:

'0 '

0

1 1 1,074110,9310q

t

IPIP

ili 107,41%.

Ukupna produktivnost rada u proseku je porasla za 7,41%. Na ovaj indeks nisu uticale promene u strukturi proizvodnje.

f) Grupni indeks produktivnosti rada nepromenjenog sastava proizvodnje sa ponderima iz tekućeg perioda, izračunava se na osnovu formule:

' 11

01

69 91 48110 95 145 69 91 48110 95 14575 86 45 78,57 90,77 54,37110 95 145

105 90 120

n

i ii

t n

ii

t QIP

t Q

'1

208 0,9297223,71tIP ili 92,97%

Pod pretpostavkom da se struktura proizvodnje nije promenila, odnosno da je bila sta-lna kao u tekućem periodu (2008. god.) ukupna produktivnost rada je porasla jer se ukupan utrošak rada u proseku smanjio za 7,03%.

Pravi grupni indeks produktivnosti rada izračunava se na osnovu izraza:

'1 '

1

1 1 1,07560,9297q

t

IPIP

ili 107,56%.

g) Indeks uticaja strukturnih promena izračunava se na osnovu formule:

'

110,08 1,0248107,41

qsp

q

IPIIP

ili 102,48%

To znači da su promene u produktivnosti uticale na promenu produktivnosti rada. h) Indeks dinamike ukupno utrošenog rada se izračunava na osnovu relacije:

1

01

208 1,0097206

n

ii

r n

i

TI

T ili 100,97%

U 2008. god. u odnosu na 2007. god. utrošeni rad se povećao za 0,97%.

72

i) Grupni indeks �zičkog obima proizvodnje se izračunava na osnovu izraza:

' 1,0741 1,0248 1,0097 1,1114q q sp rII IP I ili 111,14%

ili na osnovu formule:

1

01

110 86 95 102 145 94 9460 9690 13630105 86 90 102 120 94 9030 9180 11280

n

ii

q n

i

Q PI

Q P

32780 1,111429490qI ili 111,14%

Na promenu ukupnog �zičkog obima proizvodnje uticali su sledeći faktori: 1) poveća-nje ukupne produktivnosti rada za 7,41%, uticalo je na �zički obim proizvodnje tako da je on za 7,41% veći nego što bi bio da nije došlo do prosečnog povećanja produktiv-nosti rada u iskopu uglja kamenog, mrkog i lignita; 2) promene u strukturi proizvodnje uticale su na promenu �zičkog obima proizvodnje; 3) povećanje broja zaposlenih za 0,97% uticalo je da je �zički obim proizvodnje za 0,97% veći nego što bi bio da nije bilo povećanja zaposlenosti.

ZADATAK 96.

U fabrici za proizvodnju čarapa u 2007. i 2008. godini proizvedeno je čarapa u 103 pari, a broj zaposlenih je bio:

Proizvodnja Prosečan broj zaposlenih Vrsta čarapa (j) 2007.( 0Q ) 2008.( iQ ) 2007.( 0T ) 2008.( iT )

Muške 320 450 180 195 Ženske 750 970 140 160 Dečije 980 1100 210 230

Ukupno: 2050 2520 530 585

a) izračunati individualne indekse produktivnosti rada u 2008. godini u odnosu na 2007. godinu.

b) grupni indeks produkivnosti rada promenljivog sastava proizvodnje,

c) grupni indeks produktivnosti rada nepromenjenog sastava proizvodnje sa ponderima iz baznog perioda,

d) grupni indeks produktivnosti rada nepromenjenog sastava proizvodnje sa ponderima iz tekućeg perioda,

e) grupni indeks �zičkog obima proizvodnje,

f) grupni indeks dinamike ukupno utrošenog rada,

g) indeks uticaja strukturnih promena u proizvodnji čarapa na promene ukupne produk-tivnosti u celoj fabrici,

h) Objasniti koji su faktori i koliko uticali na promene �zičkog obima proizvodnje čarapa u celoj fabrici.

73

Rešenje:

a) (1) 129,81%qIP ; (2) 113,17%qIP ; (3) 102,49%qIP

b) 0

1 1

01 1

: 111,36%

n n

ii i

q n n

ii i

Q QIP

T T

c) 0

1'0

00

1 0

88,16%

ni

i it n

i

T QQIPT QQ

; '0 '

0

1 1 1,13430,8816q

t

IPIP

ili 113,43%

d) 1'1

0

1 0

87,32%

ni

ii i

t n

ii

T QQIPT QQ

; '1 '

1

1 1 1,14520,8732q

t

IPIP

ili 114,52%

e) 1

01

122,92%

n

ii

q n

i

QI

Q

f) 1

01

110,38%

n

ii

r n

i

TI

T

g) '0

98,17%qsp

q

IPIIP

h) '0 122,91%q q sp rII IP I

ZADATAK 97.

U fabrici za proizvodnju opeke u martu i septembru 2008. godine proizvedeno je u 103 ko-mada, pri čemu je kod proizvodnje utrošeno časova rada:

Proizvodnja Utrošeno časova Vrsta

opeke (j) Mart ( 0Q ) Septembar

( iQ ) Mart ( 0T ) Septembar ( iT ) Stalna cena u dinarima (p)

Puna 55 78 158 192 0,25 Šuplja 67 92 195 210 0,28

Ukupno 122 170 353 402 /

Na osnovu ovih podataka (baza mart=100%) izračunati:

a) individualne indekse produktivnosti rada za pojedine vrste opeke,

b) grupni indeks produkivnosti rada promenljivog sastava proizvodnje, 74

c) grupni indeks produktivnosti rada promenjenog sastava proizvodnje ako je produktiv-nost rada izražena sa prosečnom proizvodnjom za jedinicu vremena,

d) grupni indeks �zičkog obima proizvodnje,

e) grupni indeks dinamike ukupno utrošenog rada,

f) indeks uticaja strukturnih promena u proizvodnji opeke na promene ukupne produk-tivnosti u celoj fabrici,

h) Objasniti koji su faktori i koliko uticali na promene �zičkog obima proizvodnje opeke u celoj fabrici.

Rešenje:

a) (1) 78 55: 1,1669192 158qIP ili 116,69%

(2) 92 67: 1,2754210 195qIP ili 127,54%

b) 170 402: 1,2235122 353

qIP ili 122,35%

c) (78 0,25 92 0,28) (55 0,25 67 0,28): 1,2216402 353qIP ili 122,16%

'0

192 21055 6778 92 0,8167158 19555 6755 67

tIP ; '0

1 1,22440,8167qIP ili 122,44%

c) 170 1,3934122qI ili 139,34%

d) 402 1,1388353rI ili 113,88%

e) 1,2235 :1,2244 0,9992spI ili 99,92%

f) 0,9992 1,2244 1,1388 1,3932qI ili 139,32%

ZADATAK 98.

U jednom trgovinskom preduzeću promet po godinama u 105 i prosečan broj zaposlenih bio je:

Godine (x) Promet ( pQ ) Grupni indeks cena

( pI ) Prosečni broj

zaposlenih (T)

2006. 2750 98 320

2007. 3310 105 405

2008. 4805 151 430

ukupno 10865 / 1155

75

Na osnovu ovih podataka izračunati:

a) Grupni indeks produktivnosti rada promenjenog sastava prometa za 2007. god. u od-nosu na 2006. godinu,

b) Grupni indeks produktivnosti rada promenjenog sastava prometa za 2008. god. u od-nosu na 2006. godinu,

c) Grupni indeks �zičkog obima prometa,

d) Grupni indeks dinamike ukupno utrošenog rada.

Rešenje:

a) 3310 : 2750 1,2036;wI 3310 1052750 98: 1,1234;qI 405

320 1, 2656rI

^

1,12341,2656 0,8876qIP

b) 4805 : 2750 1,7472;wI 4805 1512750 98: 1,1339;qI

430 : 320 1,3437;rI ' 1,1339 :1,3437 0,8438qIP

c) 1,1234;qI 1,1339;qI

d) 1,2656;rI 1,3437;rI

ZADATAK 99.

Proizvodnja i utrošeni rad u dva pogona jedne čeličane u 2007. i 2008. godini iznosili su: Proizvodnja u 103 t Utrošeno časova u hiljadama

POGONI 2007.(Qo) 2008.(Q1)

Stalna cena(p)2007.(To) 2008.(T1)

I II

2800 3200

2980 3540

5600 4200

2250 1650

3280 1490

Na osnovu ovih podataka izračunati (baza 2007. god.)

a) Individualne indekse produktivnosti rada, po pogonima

b) Grupni indeks produktivnosti rada promenjenog sastava proizvodnje.

Rešenje:

a) (1) 73,01%;qIP (2) 122,51%;qIP

b) ^

88,60%qIP

76

3.3.1. Linearni trend

ZADATAK 100.

Godišnji promet u jednom trgovinskom preduzeću u 810 dinara iznosio je:

Godina: 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Promet (Yi ): 20 30 26 32 24 36 39

a) Izračunati jednačinu linearnog trenda

b) Izračunati trend za svaku godinu

c) Izračunati standardnu grešku trenda

d) Izvršiti ekstrapolaciju za 2012. godinu

e) Prikazati na gra�ku originalne podatke i izvršiti interpolaciju trenda

Rešenje: Tabela 48. Radna tabela za izračunavanje linearnog trenda

Godine Promet Yi Xi Xi Yi 2Xi y ˆYi y 2ˆYi y

2002 20 -3 -60 9 22,94 -2,94 8,6436 2003 30 -2 -60 4 25,15 4,85 23,5225 2004 26 -1 -26 1 27,36 -1,36 1,8496 2005 32 0 0 0 29,57 2,43 5,9049 2006 24 1 24 1 31,78 -7,78 60,5284 2007 36 2 72 4 33,99 2,01 4,0401 2008 39 3 117 9 36,20 2,80 7,84

n=7 207 0 67 28 / 112,3291

a) Jednačina linearnog trenda u opštem obliku

ˆ iy a bx 1, 2,...,i n

Parametri a i b izračunavaju se metodom najmanjih kvadrata:

Yia

n; 2

Yi Xib

Xi

207 29,577

a ; 62 2, 2128

b

ˆ 29,57 2,21 iy x

b) 2002ˆ 29,57 2, 21( 3) 22,94y

2003ˆ 29,57 2,21( 2) 25,15y

2004ˆ 29,57 2,21( 1) 27,36y

2005ˆ 29,57 2,21(0) 29,57y

3.3. TREND

77

2006ˆ 29,57 2,21(1) 31,78y

2007ˆ 29,57 2,21(2) 33,99y

2008ˆ 29,57 2,21(3) 36,20y

Standardna greška:

2

ˆ

ˆiy

y yS

n

ˆ112,391 16,0558

7yS

ˆ 4,006yS

Prosečno apsolutno odstupanje originalnih podataka od linije trenda iznosi 84,006 10 dinara prometa.

Ekstrapolacija trenda za 2012. god. iznosi:

2012ˆ 29,57 2, 21(7)y

2012ˆ 45,04y

Očekivani promet u 2012. godini biće 845,04 10 dinara.

e) Gra�čki prikaz originalnih podataka i trenda

ZADATAK 101.

U jednom institutu proizvedeno je semenskog kukuruza po godinama:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Proizvodnja (yi): 61 65 102 110 95 105 120





e) Gra�čki prikazati originalne podatke i izvršiti interpolaciju trenda

2002 20

0320

0420

0520

0620

0720

08

78

Rešenje:

a) 94a ; 8,93b

ˆ 94 8,93y x

b) 2002 2003 2004 2005ˆ ˆ ˆ ˆ67,93; 76,14; 85,07; 94;y y y y 2006ˆ 102,93;y

2007 2008ˆ ˆ111,92; 120,79y y

c) ˆ 10,802yS

d) 2014ˆ 174,37y

ZADATAK 102.

U jednoj banci devizna štednja u 510 evra bila je po godinama:

Godine (x): 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Štednja (yi): 31 33 32 30 27 26 25 24 28






Rešenje:

a) 28, 44, 0,95a b

ˆ 28, 44 0,95y x

b) 2000ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ32,24; 31,29; 30,34; 29,39; 28,44y y y y y ;

ˆ ˆ ˆ ˆ27, 49; 26,54; 25,59; 24,64y y y y

c) ˆ 1,767yS

d) evra

ZADATAK 103.

U jednom ugljenokopu iskopano je uglja u 510 tona po godinama:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Iskop uglja (yi): 60 81 75 87 103 87 94




d) Izvršiti ekstrapolaciju trenda za 2013. godinu


2007 2008

2001 2002 2003 2004

2005 2006 2007 2008

52014ˆ 18,94 10y = ⋅

79

Rešenje:

a) 83,86; 5,07a b

ˆ 83,86 5,07y x

b) 2002ˆ ˆ ˆ ˆ68,65; 73,72; 78,79; 83,86y y y y

2006ˆ ˆ ˆ88,93; 94; 99,07y y y

c) ˆ 7,789yS

d) tona

3.3.1. Parabolični trend

ZADATAK 104.

Proizvodnja tapeta u 310 2m po godinama iznosila je:

Godine (x): 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja (yi): 106 112 120 125 131 135

a) Izračunati jednačinu paraboličnog trenda (kvadratnog);

b) Izračunati trend za svaku godinu;

c) Izračunati standardnu grešku trenda;

d) Izvršiti ekstrapolaciju za 2014. godinu;


Rešenje:

a) Jednačina paraboličnog (kvadratnog) trenda u opštem obliku glasi:

2ˆ i iy a bx cx ( 1, 2,3,..., )i n

Parametri a , b , c izračunavaju se metodom najmanjih kvadrata iz sistema jednačina:

2

1 1

n n

i ii i

y n a c x

2

1 1

n n

i i ii i

x y b x

2 2 4

1 1 1

n n n

i i i ii i i

x y a x c x

2003 2004 2005

2007 2008

52013ˆ 124,42 10y = ⋅

80

Tabela 49. Radna tabela za izračunavanje paraboličnog trenda

God. Proizv i

y ix 2ix 4

ix i ix y 2i ix y y ˆ

iy y 2

ˆi

y y

2003 106 -2,5 6,25 39,0625 -265 662,5 103,78 2,22 4,9284 2004 112 -1,5 2,25 5,0625 -168 252 110,97 1,03 1,0609 2005 120 -0,5 0,25 0,0625 -60 30 117,52 2,48 6,1504 2006 125 0,5 0,25 0,0625 62,5 31,25 123,43 1,57 2,4649 2007 131 1,5 2,25 5,0625 196,5 294,75 128,70 2,3 5,29 2008 135 2,5 6,25 39,0625 337,5 843,75 133,33 1,67 2,7889

6n 729 0 17,50 88,375 103,5 2114,25 / 22,6835

729 6 17,50a c

103,5 17,50b

2114,25 17,50 88,375a c

17,5 103,5b

103,517,5

b

5,91b

729 6 17,5 / 17,5a c

2104, 25 17,5 88,375 / (6)a c

12757,5 105 306, 25a c

12685,5 105 530, 25a c

72 224c

72224

c

0,321c

729 6 17,5a c

6 729 17,5(0,321)a

6 729 5,6175a

6 723,3825a

723,38256

a

120,56a

2ˆ 120,56 5,91 0,321y x x

81

b) 2003ˆ 120,56 5,91( 2,5) (0,321)(6, 25) 103,78y

2004ˆ 120,56 5,91( 1,5) 0,321(2,25) 110,97y

2005ˆ 120,56 5,91( 0,5) 0,321(0,25) 117,52y

2006ˆ 120,56 5,91(0,5) 0,321(0,25) 123,43y

2007ˆ 120,56 5,91(1,5) 0,321(2,25) 128,70y

2008ˆ 120,56 5,91(2,5) 0,321(6,25) 133,33y

Standardna greška paraboličnog trenda izračunava se po formuli:

2

1ˆ

ˆn

ii

y

y yS

n

ˆ22,6835 3,7805

6yS

Prosečno apsolutno odstupanje originalnih podataka od linije trenda iznosi 3 21,94 10 m .

d) 22014ˆ 120,56 5,91 0,321y x x

2014ˆ 120,56 5,91(7,5) 0,321(56,25)y

2014ˆ 146,829y

Očekivana proizvodnja u 2014. godini biće 146,829

e)

ZADATAK 105.

Proizvodnja vina u 610 hektolitara po godinama iznosila je:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 Proizvodnja (yi): 140 161 149 172 193 180 175

a) Izračunati jednačinu paraboličnog (kvadratnog) trenda; b) Izračunati trend za svaku godinu; c) Izračunati standardnu grešku kod trenda; d) Izvršiti ekstrapolaciju trenda za 2015. godinu; e) Gra čki prikazati originalne podatke i izvršiti interpolaciju trenda.

2003

2004

2005

2006

2007

2008

82

Rešenje:

a) 2ˆ173,74; 6,67; 1,65; 173,74 6,67 1,65i ia b c y x x

b) 2002ˆ ˆ ˆ ˆ138,88; 153,8; 165,42; 173,74y y y y ;

ˆ ˆ ˆ178,76; 180,48; 178,90y y y

c) ˆ 8,815yS

d) 2015ˆ 173,74 6,67(10) 1,65(100)y

ZADATAK 106.

Potrošnja električne energije u jednoj fabrici u 710 KWh iznosila je:

Godine (x): 2001

Proizvodnja (yi): 85 90 81 88 83 68 66 59

a) Izračunati jednačinu paraboličnog trenda





Rešenje:

a) 2ˆ81,82; 4,12; 0,823; 81,82 4,12 0,823a b c y x x

b) 2001ˆ ˆ ˆ ˆ86,16; 86,98; 86,15; 83,69y y y y ;

ˆ ˆ ˆ79,55; 73,79; 57,32y y y

c) ˆ 3,603yS

d) 2012ˆ 81,82 4,12(7,5) 0,823(56,25)y

KWh

ZADATAK 107.

U jednoj šećerani prerađeno je šećerne repe u 510 kilograma po godinama:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Proizvodnja (yi): 6 8 11 15 120 24 30

a) Izračunati parabolični (kvadratni trend)





2003 2004 2005

2006 2007 2008

62015ˆ 75,44 10y = ⋅

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

2002 2003 2004

2006 2007 2008

72012ˆ 4,63 10y = ⋅

83

Rešenje:

a) 2ˆ15; 3,75; 0,321; 15 3,75 0,321a b c y x x

b) 2002ˆ ˆ ˆ ˆ6,64; 8,78; 11,57; 15;y y y y

ˆ ˆ ˆ19,07; 23,78; 29,14y y y

c) ˆ 0,654yS

d) 2013ˆ 15 3,75(8) 0,321(64)y

3.3.3. Eksponencijalni trend

ZADATAK 108.

Proizvodnja celuloza u jednoj fabrici po godinama u vagonima iznosila je:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Proizvodnja (yi): 470 455 450 440 430 410 390

a) Izračunati jednačinu eksponencijalnog trenda


c) Izračunati standardnu grešku kod trenda

d) Izvrši ekstrapolaciju trenda 2013. godinu


Rešenje:

a) Jednačina eksponencijalnog trenda u opštem obliku glasi:

ˆ ixy a b

U logaritamskom obliku glasi:

ˆlog log logiy a x b , 1, 2,3,...,i n

Vrednost log a i log b izračunavaju se na osnovu formula, metodom najmanjih kvad-ratnih:

1

loglog

n

ii

ya

n

1

2

1

loglog

n

i ii

n

ii

x yb

x

2003 2004 2005

2006 2007 2008

52013ˆ 65,5 10y = ⋅

⋅

84

Tabela 50. Radna tabela za izračunavanje eksponencijalnog trenda

God. Proizvi

y ix 2ix log

iy log

iix y ˆlog y y ˆiy y 2ˆiy y

2002 470 -3 9 2,67209 -8,01629 2,67558 473,78 -3,78 14,2884 2003 455 -2 4 2,65801 -5,31602 2,66296 460,21 -5,21 27,1441 2004 450 -1 1 2,65321 -2,65321 2,65034 447,03 2,97 8,8209 2005 440 0 0 2,64345 0 2,63772 434,23 5,77 33,2929 2006 430 1 1 2,63346 2,63346 2,62510 421,79 8,21 67,4041 2007 410 2 4 2,61278 5,22556 2,61248 409,71 0,29 0,0841 2008 390 3 9 2,59106 7,77319 2,59986 397,97 -7,97 63,5209

7n 3045 0 28 18,46406 -0,35331 / / / 214,5554

ˆlog log logiy a x b

18, 46406log 2,63772

7a 0,35331log 0,01262

28b

b) ˆlog 2,63772 0,01262 ˆ 434,23 0971iXiy X Y

2002ˆlog 2,63772 0,01262 3 2,67558y

2003ˆlog 2,63772 0,01262 2 2,66296y

2004ˆlog 2,63772 0,01262 1 2,65034y

2005ˆlog 2,63772 0,01262 0 2,63772y

2006ˆlog 2,63772 0,01262 1 2,6251y

2007ˆlog 2,63772 0,01262 2 2,61248y

2008ˆlog 2,63772 0,01262 3 2,59986y

Eksponencijalni trend u logaritamskom obliku antilogaritmujemo:

2002ˆ 2,67558 473,78Y

2003ˆ 2,6696 460, 21Y

2004ˆ 2,65034 447,03Y

2005ˆ 2,63772 434, 23Y

2006ˆ 2,6251 421,79Y

2007ˆ 2,61248 409,71Y

2008ˆ 2,59986 397,97Y

85

c) Standardna greška trenda:

2

ˆ

ˆy

Yi YS

n

ˆ

214,5554 30,65077yS

ˆ 5, 53yS

Prosečno apsolutno odstupanje originalnih podataka od linije trenda je 5,53 vagona

celuloze

d) 2013ˆlog 2,63772 0,01262(8) 2,53676y

2013ˆ 2,53676y

2013ˆ 344,16 Vagona celulozey

Očekivana proizvodnja celuloze u 2008. god. biće 344,16 vagona.

e) Gra�čki prikaz:

ZADATAK 109.

Proizvodnja povrća na jednoj plantaži u tonama po godinama iznosila je:

Godine (x): 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Proizvodnja (yi): 40 50 62 80 99 120 151 190




d) Izračunati ekstrapolaciju za 2013. godinu


2003

2004

2005

2006

2007

2008

2002

86

Rešenje:

a) log 1,94113; 1,94113 87,32a a

log 0,9631; 0,9631 1,248b b

ˆlog 1,94113 0,9631 iy X

b) 2001ˆˆlog 1,60404 1,60404 40,18y Y

ˆˆlog 1,70035 1,70035 50,16y Y

ˆˆlog 1,79668 1,79668 62,61y Y

ˆˆlog 1,89297 1,89297 78,16y Y

ˆˆlog 1,98923 1,98923 97,56y Y

ˆˆlog 2,08559 2,08559 121,78y Y

ˆˆlog 2,18191 2,18191 152,02y Y

ˆˆlog 2,27821 2,27821 189,79y Y

c) ˆ 1,126 [tona povrća]y

d)

2008ˆ 574,03 [tona povrća]

ZADATAK 110.

Potrošnja brašna u jednom gradu u tonama iznosila je:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Proizvodnja (yi): 120 151 182 230 290 352 360






ˆ 87,32 1,248 iXy = ⋅

2001

2002 2002

2003 2003

2004 2004

2005 2005

2006 2006

2007 2007

2008 2008

8,52013ˆ 87,32 1,248Y = ⋅

87

Rešenje:

a) log 2,34931; log 0,08460a b

2,34931 0,08460a b

223,51 1, 215a b

ˆlog 2,34931 0,0846 iy X

b) ˆˆlog 2,09551 2,09551 124,59y Y

ˆˆlog 2,18011 2,18011 151,39y Y

ˆˆlog 2,26471 2,26471 183,95y Y

ˆˆlog 2,34931 2,34931 223,52y Y

ˆˆlog 2,43391 2,43391 271,58y Y

ˆˆlog 2,51851 2,51851 329,99y Y

ˆˆlog 2,60311 2,60311 400,96y Y

c) ˆ 19,18yS tona brašna

d)

2014ˆ 719,04Y tona brašna

ZADATAK 111.

Proizvodnja videorekordera u 310 komada iznosila je:

Godine (x): 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Proizvodnja (yi): 99 102 109 112 121 125 131





e) Gra čki prikazati originalne podatke i izvršiti interpolaciju trenda

ˆ 223,51 1,215 iXY = ⋅

92014ˆ 223,51 1,215Y = ⋅

2003 2003

2002 2002

2004 2004

2005 2005

2006 2006

2007 2007

2008 2008

88

Rešenje:

a) log 2,05540; 2,05540 113,60a a

log 0,02096; 0,02096 1,049b b

ˆlog 2,05540 0,02096 iy X

b) ˆˆlog 1,99252 1,99252 98,29y Y

ˆˆlog 2,01348 2,01348 103,15y Y

ˆˆlog 2,03444 2,03444 108,25y Y

ˆˆlog 2,07636 2,07636 113,60y Y

ˆˆlog 2,09732 2,09732 119,22y Y

ˆˆlog 2,11828 2,11828 131,30y Y

c) 3ˆ 1,08 10yS komada

d)

32015ˆ 183,28 10Y komada

ˆ 113,60 1,049 iXy = ⋅

102015ˆ 113,60 1,049Y = ⋅

2002 2002

2003 2003

2004 2004

2005 2005

2006 2006

2007 2007

89

3.4 SEZONSKE VARIJACIJE ZADATAK 112. Proizvodnja putera u tonama po godinama i po kvaralima iznosila je (paran broj)

kvartal 2005 2006 2007 2008 I 10 11 9 12 II 12 13 10 15 III 15 16 14 16 IV 18 19 17 19

a) Pokažite koliko i kako utiče sezona na obim proizvodnje putera. b) Izvršite desezoniranje podataka o proizvodnji putera.

Rešenje:

a) Potrebno je izračunati sezonske indekse. Primeniće se metod odnosa prema pokretnim sredinama. Postupak se sastoji u nekoliko koraka:

• Izračunaju se pokretni procesi (sredine) na osnovu izraza: −

+ +=− +

⋅ + +=

∑1

1

2y

4

h

j k j kk h

j

yj h y y

h

= + + −1, 2,...,j h h n h

za paran broj podataka h=2d • Izvrši se centriranje proseka tako što se vrši sabiranje dva susedna pokretna

proseka i podeli sa dva. • Izračunavaju se sezonski indeksi na osnovu izraza:

= ijij

ij

YI

Y =1,2,...,i n =1,2,...,j m

• Izračunavaju se sezonski kvartalni indeksi na osnovu formule:

==−

∑1

1

n

iji

j

II

n

=1,2,...,i m

• Ako zbir indeksa jI nije 400% ili 1200% izvrši se korigovanje na osnovu

relacije:

=

=

∑1

n

kj

mC

I

90

i na osnovu formule: = ⋅'

j jI I C =1,2,...,j m

gde je m broj kvartala (4) ili meseca (12).

Tabela 3‐1: Izračunavanje pokretnih proseka (paran broj) i sezonskih indeksa

godine (i)

kvartal (j)

proizvodnja robe ( ijY )

pokretni proseci ( ijY )

centralni pokretni proseci ( '

ijY ) =

'ij

ijij

YI

Y

2005 (1)

I 10

13,75 14,00 14,25 14,50 14,75 14,25 13,50 13,00 12,50 13,25 14,50 15,00 15,50

/ / II 12 / / III 15 13,87 1,081 IV 18 14,12 1,274

2006 (2)

I 11 14,37 0,765 II 13 14,62 0,889 III 16 14,50 1,103 IV 19 13,87 1,369

2007 (3)

I 9 13,25 0,679 II 10 12,75 0,784 III 14 12,87 1,087 IV 17 13,87 1,225

2008 (4)

I 12 14,75 0,813 II 15 15,25 0,983 III 16 / / IV 19 / /

+ + + + + +

= = =

+ + + + + += = =

1 2 3 42,3

2 3 4 53,4

10 12 15 1813,75

4 412 15 18 11

144 4

y y y yy

y y y yy

itd. + +

= = =

+ += = =

2,3 3,43

3,4 4,54

13,75 1413,87

2 214 14,25

14,122 2

y yy

y yy

itd.

= =

= =

13

14

151,081

13,8718

1,27414,12

I

I

itd.

91

Da bi se izdvojila čista sezonska komponenta izračunavanje se vrši na osnovu tabele 3‐1. Tabela 3‐2: Izračunavanje sezonskih indeksa

kvartal (j)

godina (i) indeksi ijI ukupno

=∑

1

n

iji

I ==−

∑1

1

n

iji

j

II

n 2005

(1) 2006 (2)

2007 (3)

2008 (4)

I (1) ‐ 0,765 0,679 0,813 2,257 0,753 II (2) ‐ 0,889 0,784 0,983 2,565 0,885 III (3) 1,081 1,103 1,087 ‐ 3,271 1,090 IV (4) 1,274 1,369 1,225 ‐ 3,868 1,289

ukupno 4,017 Kako je zbor indeksa = >4,017 4ijI , mora se izvršiti korigovanje indeksa:

= =4

0,99576794,017

C

= ⋅ ='1 0,753 0,9957679 0,750I

= ⋅ ='2 0,885 0,9957679 0,882I

= ⋅ ='3 1,090 0,9957679 1,085I

= ⋅ ='4 1,289 0,9957679 1,283I

Ukupno: 4,000 ili 400%

Proizvodnja maslaca u prvim kvartalima bila je u proseku 25% ispod normale, u drugim kvartalima bila je u proseku za 11,8% ispod normale, u trećim kvartalima bila je u proseku za 8,5% iznad proseka i u četvrtim kvartalima bila je za 28,3% iznad proseka. To znači da je u prvim kvartalima usled uticaja sezone proizvodnja maslaca u proseku bila za 25% manja nego što bi bila kada nema uticaja sezone itd. Normalu u ovom slučaju predstavljaju pokretni procesi. b) Desezoniranje podataka vrši se na osnovu formule:

=''ij

ijj

YY

I =1,2,...,i n =1,2,...,j m

= = =' 1111 '

1

1013,33

0,750Y

YI

= = =' 1212 '

2

1213,60

0,882Y

YI

= = =' 1313 '

3

1513,82

1,085

YY

I = = =' 14

14 '4

1814,02

1,283Y

YI

92

Tabela 3‐3: Desezonirani podaci o proizvodnji maslaca

kvartal (j) godina (i)

2005 2006 2007 2008 I (1) 13,33 14,66 12,00 9,00 II (2) 13,60 14,73 8,82 13,23 III (3) 13,82 14,74 15,19 17,36 IV (4) 14,02 14,03 21,81 24,37 ukupno 54,77 58,16 57,82 63,96

Podaci u tabeli 3‐3 pokazuju kakva bi bila proizvodnja maslaca kada ne bi bilo uticaja sezone. Na primer, u prvom kvartalu 2005. godine proizvodnja maslaca iznosila je 10 tona, a da nije bilo uticaja sezone ona bi iznosila 13330 kilograma. ZADATAK 113. Prodaja kaputa u jednoj robnoj kući po godinama i kvartalima iznosila je (neparan broj):

kvartali godine

2006 2007 2008 I 18 15 12 II 12 9 10 III 5 7 4 IV 9 18 11

a) Izračunati sezonske indekse. b) Izračunati desezonske podatke o prodaji kaputa

Rešenje:

a) + + + +

= = =

+ + + += = =

+ + + += = =

1 2 31

2 3 42

3 4 53

18 12 511,66

3 312 5 9

8,663 3

5 9 159,66

3 3

y y yy

y y yy

y y yy

itd.

93

Tabela 3‐4: Izračunavanje pokretnih proseka (neparan broj) i sezonskih indeksa

godine (i)

kvartal (j)

prodaja robe ( ijY )

pokretna sredina ( ijY )

='ij

ijij

YI

Y

2006 (1)

I 18 ‐ ‐ II 12 11,66 1,029 III 5 8,66 0,577 IV 9 9,66 0,931

2007 (2)

I 15 11,00 1,363 II 9 10,33 0,871 III 7 11,33 0,617 IV 18 12,33 1,459

2008 (3)

I 12 13,33 0,900 II 10 8,66 1,154 III 4 8,33 0,480 IV 11 ‐ ‐

= =

= =

12

13

121,029

11,665

0,5778,66

I

I

itd. Tabela 3‐5: Izračunavanje sezonskih indeksa

kvartal (j)

godina (i) indeksi ijI ukupno

=∑

1

n

iji

I ==−

∑1

1

n

iji

j

II

n 2006

(1) 2007 (2)

2008 (3)

I (1) ‐ 1,363 0,900 2,263 1,131 II (2) 1,029 0,871 1,154 3,054 1,527 III (3) 0,577 0,617 0,480 1,674 0,837 IV (4) 0,931 1,459 ‐ 2,390 1,195

ukupno 4,690 Kako je zbor indeksa = >4,690 4ijI , mora se izvršiti korigovanje indeksa:

= =4

0,85287854,690

C

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= = = =

'1

'2

'3

'4

' ' ' '1 2 3 4

1,131 0,8528785 0,965

1,527 0,8528785 1,302

0,837 0,8528785 0,714

1,195 0,8528785 1,019

0,965; 1,302; 0,714; 1,019

I

I

I

I

I I I I

94

b)

= = =' 1111 '

1

1818,65

0,965Y

YI

= = =' 1212 '

2

129,22

1,302Y

YI

= = =' 1313 '

3

518,65

0,714

YY

I = = =' 14

14 '4

98,83

1,019Y

YI

= = =' 2121 '

1

1515,54

0,965Y

YI

= = =' 2222 '

2

96,91

1,302Y

YI

= = =' 2323 '

3

79,80

0,714

YY

I = = =' 24

24 '4

1817,66

1,019Y

YI

= = =' 3131 '

1

1212,43

0,965

YY

I = = =' 32

32 '2

107,68

1,302

YY

I

= = =' 3333 '

3

45,60

0,714

YY

I = = =' 34

34 '4

1110,79

1,019

YY

I

Tabela 3‐6: Desezonirani podaci o prodaji odela

kvartal (j) godina (i)

2006 2007 2008 I (1) 18,65 15,54 12,43 II (2) 9,22 6,91 7,68 III (3) 7,00 9,80 5,60 IV (4) 8,83 17,66 10,79

ZADATAK 114. Potrošnja povrća u jednom gradu u tonama po godinama i kvartalima iznosila je:

kvartalgodina

2004 2005 2006 2007 2008I 4 5 3 6 2 II 6 7 5 4 3 III 15 12 16 17 15 IV 7 4 6 5 4

a) Izračunati sezonske indekse b) Izračunati desezoniranje podataka o potrošnji povrća

Rešenje:

a) 1 2 3 4

' ' ' '0,561; 0,538; 2,222; 0,738I I I I= = = =

b) 11 12 13 147,13; 11,15; 6,75; 9,48y y y y= = = =

95

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

51 52 53 54

8,91; 13,01; 5,40; 5,42

5,34; 9,29; 7,20; 8,10

10,69; 7,43; 7,65; 6,77

3,56; 5,57; 6,75; 5,42

y y y y

y y y y

y y y y

y y y y

= = = == = = == = = == = = =

ZADATAK 115. Prodaja džempera u jednoj prodavnici u komadima po godinama i kvartalia iznosila je:

kvartalgodine

2006 2007 2008I 120 110 150 II 60 50 45 III 10 8 9 IV 80 100 130

a) Izračunati sezonske indekse b) Izračunati desezoniranje podataka o potrošnji povrća

Rešenje:

a) ' ' ' '1 2 3 41,289; 1,112; 0,221; 1,378I I I I= = = =

b) ' ' ' '11 12 13 1493,09; 53,95; 45,24; 58,05y y y y= = = = ' ' ' '21 22 23 24

' ' ' '31 32 33 34

58,33; 44,96; 36,20; 72,56

116,36; 40,46; 40,72; 94,34

y y y y

y y y y

= = = =

= = = =

ZADATAK 116. U jednom gradu potrošnja sladoleda, po kvartalima, u periodu od 2004. do 2008. godine bila je:

kvartal(j) godine(i)

ukupno 2004 2005 2006 2007 2008

I 186 192 183 184 207 952II 220 234 415 202 241 1312III 241 251 209 230 233 1164IV 190 198 179 196 197 960

ukupno 837 875 986 812 878 4388 Na osnovu ovih podataka:

a) Izračunati sezonske indekse po metodu odnosa prema opštem kvartalnom proseku.

b) Izvršiti desezoniranje podataka za 2004. Godinu. c) Prognozirati potrošnju sladoleda, po kvartalima, u 2009. godini

96

Rešenje:

a) 4

1

1 2 3 4

;

952 1312 1165 960191,5; 262,4; 233; 192;

5 5 5 5

ij

j

x

xn

x x x x

==

= = = = = = = =

∑

[ ]1 1 4388219,4 log ;

4 4 5

iji j

ij

x

x ki raman

= == = =⋅

∑∑

;jj

ij

xI

x=

1 2

3 4

191,5 262,40,8728; 1,1959;

219,4 219,4233 192

1,0619; 0,8751;219,4 219,4

I I

I I

= = = =

= = = =

Odgovor: Potrošnja sladoleda u prvim kvartalima bila je u proseku za 12,72% ispod normale, u drugim kvartalima bila je u proseku za 19,59% iznad normale, u trećim kvartalima bila je u proseku za6,19% iznad normale i u četvrtim intervalima bila je u proseku za 12,499% ispod normale. Normala u ovom slučaju prdstavlja opšti kvartalni

prosek [ ]219,4 logijx ki rama=

b)

' ,ijij

j

YY

I= za 2004.godinu desezoniranje podataka vrši se na sledeći način:

[ ]

' '11 12

' '13 14

186 220213,10; 183,96;

0,8728 1,1959241 190

226,95; 217,111,0619 0,8751

y y

y y kg

= = = =

= = = =

Odgovor: Desezonisani podaci u 2004.godini pokazuju kakva bi potršnja sladoleda bila kada ne bi bilo uticaja sezone.

c) Jednačina linearnog trenda

Godine Yi Xi Xi2 XiYi

20042005 2006

837875 986

‐2‐1 0

41 0

‐1674‐875 0

97

20072008

812878

12

14

8121756

Ukupno 4388 0 10 19

2; ;i i i

i

y x yy a bx a b

n x= + = =∑ ∑

∑

KVARTALI

( ) ( )2009 220,884 0,1187 2 220,6466Iy = + − = I(‐2)

( ) ( )2009 220,884 0,1187 1 220,7653IIy = + − = II(‐1)

( ) ( )2009 220,884 0,1187 0 220,884IIIy = + = III(0)

( ) ( )2009 220,884 0,1187 1 221,0027IVy = + = IV(1)

4

20091

883,2986j

y=

=∑

Prognozirana potrošnja sladoleda po kvartalima, u 2009.godini izračunava se na osnovu izraza:

' '

'

2009,

'

2009,

'

2009,

'

2009,

;

220,6466 0,8728 192,58;

220,7653 1,1959 264,01;

220,884 1,0619 234,55;

220,0027 0,8751 192,52;

ijij j

I

II

III

IV

y Y I

y

y

y

y

= ⋅

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

Odgovor: Očekivana potrošnja sladoleda pod uticajem sezone u prvom kvartalu 2009.godine bila bi 192,58 kilograma, u drugom kvartalu 264,01 kilograma, u trećem kvartalu 234,55 kilograma i u četvrtom 192,52 kilograma.

4388 19

877,6; 1,9; 877,6 1,9 ;5 10 ia b y x= = = = ⇒ = +

Jednačina linearnog trenda potrošnje sladoleda, na godišnjem nivou glasi:

( )2009

2009

877,6 1,9 3 877,6 5,7 883,3;

883,3 1,9 i

y

y x

= + = + =

= +

Ishodište: 30.03.2006.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: kilogram sladoleda

98

Jednačina linearnog trenda potrošnje sladoleda, na kvartalnom nivou, za 2009.godinu glasi:

4 4 4 4 16883,3 1,94 16

220,825 0,1187

0,1187220,825 0,1187

2

220,884 0,1187

i i i

i i

i i

i i

i i

a b a by x x

y x

y x

y x

y x

= + = +⋅

= +

= +

⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

Ishodište: 15.08.2009.god. jedinica za X: jedan kvartil jedinica za Y: kilogram sladoleda ZADATAK 117. Poseta turista, u stotinama, u jednom turističkom mestu na moru u periodu 2005 do 2009.godine je:

kvartal(j) godine(i)

ukupno 2005 2006 2007 2008 2009

I 80 110 150 65

98 118 162 68

105 125 171 72

112131 175 75

120142 181 81

515626 839 361

IIIIIIV

ukupno 405 446 473 493 524 2341Na osnovu ovih podataka:

a) Izračunati sezonske indekse po metodu odnosa prema opštem kvartalnom proseku.

b) Izračunati sezonske indekse po korigovanom metodu odnosa prema opštem kvartalnom proseku.

c) Izračunati sezonske indekse po metodu odnosa prema pokretim sredinama.

d) Izvršiti desezoniranje podataka, na osnovu indeksa pod c), za 2009.godinu.

e) Prognozirati posetu turista po kvartalima, u 2010.godini, na osnovu indeksa pod b).

99

Rešenje:

a)

1 2 3 4

5; 4; ; 1,2,3,4.

515 626 839 361103; 125,5; 167,8; 72,2;

5 5 5 5

ij

xn j x j

n

x x x x

= = = =

= = = = = = = =

∑

1 1 22341117,05 10 ;

4 4 5

iji j

ij

x

x turistan

= = ⎡ ⎤= = = ⎣ ⎦⋅

∑∑

; 1,2,..., 1,2,3,4.jj

ij

xI i n j

x= = =

1

2

3

4

1030,8799 87,99%;

117,05125,5

1,0721 107,21%;117,05167,8

1,4335 143,35%;117,0572,2

0,6168 61,68%.117,05

I ili

I ili

I ili

I ili

= =

= =

= =

= =

Odgovor: Poseta turista u prvim kvartalima bila je u proseku za 12,01% ispod normale, u drugim kvartalima bila je u proseku za 7,21% iznad normale, u trećim kvartalima bila je u proseku za 43,35% iznad normale i u četvrtim intervalima bila je u proseku za 38,32% ispod normale. Normala u ovom slučaju predstavlja opšti kvartalni

prosek 2117,05 10ijx turista⎡ ⎤= ⎣ ⎦

b)

'4

1

4; 1,2,3,4.j

j j j

jj

j

xI j C I I C

Y I=

= = = = ⋅

∑

Godine Poseta

turistaXi XiYi Xi

2

20052006 2007 2008 2009

405446 473 493 524

‐2‐1 0 1 2

‐810‐446 0

493 1048

41 0 1 4

Ukupno 2341 0 285 10

100

2

;

2431486,2;

5

28528,5

10

486,2 28,5

i

i i

i

y a bx

ya

nx y

bx

y x

= +

= = =

= = =

= +

∑

∑∑

Odgovor: jednačina linearnog trenda posete turista, od 2005 do 2009.godine glasi:

486,2 28,5 1,2,3,4,5.iy x i= + = Ishodište: 30.06.2007.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: stotine turista Odgovor: jednačina linearnog trenda posete turista, na kvartalnom nivou, od 2005 do 2009.godine glasi:

4 4 4 4 16486,2 28,54 16

121,55 1,78 1,2,3,4.

i i i

i i

i i

a b a by x x

y x

y x i

= + = +⋅

= +

= + =

Ishodište: 15.08.2007.god. jedinica za X: jedan kvartal (tromesečje) jedinica za Y: stotine turista Pojedinačne kvartalne vrednosti trenda u 2007.godini su:

( )( )( )( )

121,55 1,78 2 117,99;

121,55 1,78 1 121,55 1,78 119,77;

121,55 1,78 0 121,55 0 121,55;

121,55 1,78 1 121,55 1,78 123,33.

I

II

III

IV

y

y

y

y

= + − =

= + − = − =

= + = + =

= + = + =

1 21 2

1 2

3 43 4

3 4

4

1

103 125,50,8729 ; 1,0478;

117,99 119,77

167,8 72,213805; 0,5854

121,55 123,33

3,8866.jj

X XI I

Y Y

X XI I

Y Y

I=

= = = = = =

= = = = = =

=∑

101

Kako je jI∑ manja od četiri, nije potreban korektivni factor C.

Odgovor: Poseta turista u prvim kvartalima bila je u proseku za 12,71% ispod normale, u drugim kvartalima bila je za 4,78% iznad normale, u trećim kvartalima bila je za 38,05% iznad normale i u četvrtim intervalima bila je za 41,46% ispod normale. Normala u ovom slučaju predstavljaju kvartalne vrednosti trenda.

c)

'1' ; 1,2,..., 1,2,..., ;

1

n

ijij i

ij j j jij

IY

I i n j m I I C InY

== = = = = ⋅−

∑

Pokretne sredine se izračunavaju na sledeći način:

11

12

13

80 110 150 65 405101,25;

4 4110 150 65 98 423

105,75;4 4

150 65 98 118 431107,75;

4 4

Y

Y

Y

+ + += = =

+ + += = =

+ + += = =

Centralne pokretne sredine se izračunavaju na sledeći način:

'13

'14

101,25 105,75103,5;

2105,75 107,75

106,75;2

Y

Y

itd

+= =

+= =

Specifični sezonski indeksi se izračunavaju na sledeći način:

13 14

150 651,4492; 0,6088;

103,5 106,75I I itd= = = =

102

Tabela 3‐7: Izračunavanje specifičnih sezonskih indeksa Godina (i)

Kvartal (j)

Poseta turista (Yij)

Pokretne

sredine ijY

Centralne pokretne

sredine 'ijY

Specifični sezonski indeksi

'

ijij

ij

YI

Y=

2005 (1)

I II III IV

80 110 150 65

‐ 101,25 105,75 107,75 110,75 111,5 113,25 115,0 117,25 118,25 120,0 121,5 122,5 123,25 125,25 128,0 129,5 131,0

‐

‐ ‐

103,5 106,75

‐ ‐

1,4492 0,6088

2006 (2)

I II III IV

98 118 162 68

109,25 11,25

112,375 114,125

0,8970 1,0606 1,4416 0,5958

2007 (3)

I II III IV

105 125 171 72

116,125 117,75 119,125 120,75

0,9041 1,0615 1,4354 0,5962

2008 (4)

I II III IV

112 131 175 75

122,0 122,875 124,25 126,625

0,9180 1,0661 1,0484 0,5923

2009 (5)

I II III IV

120 142 181 81

128,75 130,25

‐ ‐

0,9320 1,0902

‐ ‐

Tabela 3‐8: Izračunavanje tipičnih sezonskih indeksa Godina

(i) Kvartal (j)/ specifični indeksi (Iij) I (1) II(2) III(3) IV(4)

2005(1)2006(2) 2007(3) 2008(4) 2009(5)

‐0,89700,90410,91801,9320

‐1,06061,06151,06611,0902

1,44921,44161,43541,4084

‐

0,60880,59580,59620,5923

‐ Ukupno

Iij3,7111 4,2784 5,7346 2,3931

Tipični indeksi

5

1

5 1

iji

j

II ==

−

∑

0,9277 1,0696 1,4336 0,5982

103

( )4

1

0,9277 1,0696 1,4336 0,5982 4,0291jj

I=

= + + + =∑

Kako je 4,0291 4jI = > radi se korektivni factor C

4 4

0,99274,0291j

CI

= = =∑

' '1 2

' '3 4

0,9277 1,06960,9345; 1,0775;

0,9927 0,99271,4336 0,5982

1,4441; 0,6025.0,9927 0,9927

I I

I I

= = = =

= = = =

Odgovor: Poseta turista u prvim kvartalima bila je u proseku za 7,23% ispod normale, u drugim kvartalima bila je u proseku za 7,75% iznad normale, u trećim kvartalima bila je za 44,41% iznad normale i u četvrtim intervalima bila je za 39,75% ispod normale.

d) Za 2009.godinu desezoniranje podataka se vrši na sledeći način:

''ij

ijj

YY

I=

' 5151 '

1

' 5252 '

2

' 5353 '

3

' 5454 '

4

120128,4109;

0,9345

142131,7865;

1,0775

181125,3375;

1,4441

81134,4398.

0,6025

YY

I

YY

I

YY

I

YY

I

= = =

= = =

= = =

= = =

Odgovor: Desenzonirani podaci u 2009.godini, pokazuju kakva bi poseta bila turista kada ne bi bilo uticaja sezone.

e) Jednačina linearnog trenda posete turista, na godišnjem nivou za 2010.godinu glasi:

( )2010

2010

486,2 28,5 3 571,7

571,7 28,5 i

y

y x

= + =

= +

Ishodište: 30.06.2010.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: stotine turista

104

Jednačina linearnog trenda posete turista, na kvartalnom nivou za 2010.godinu glasi:

571,7 28,5142,925 1,7812

4 161,7812

142,925 1,78122

143,8156 1,7812 1,2,3,4.

i i i

i i

i i

y x x

y x

y x i

= + = +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + =

Ishodište: 15.08.2010.god.(treći kvartal) jedinica za X: jedan kvartil jedinica za Y: stotina turista

( )( )( )( )

4

20101

143,8156 1,7812 2 140,2532;

143,8156 1,7812 1 142,0344;

143,8156 1,7812 0 143,8156;

143,8156 1,7812 1 145,5968.

571,7 57,7

I

II

III

IV

jj

y

y

y

y

y y=

= + − =

= + − =

= + =

= + =

= = =∑

Prognozirana poseta turista po kvartalim au 2010.godini izračunava se na osnovu izraza:

' '

'2010,

'

2010,

'

2010,

'2010,

;

140,2532 0,9345 131,066;

142,0344 1,0775 153,042;

143,8156 1,4441 207,684;

145,5968 0,6025 87,722.

ij jij

I

II

III

IV

y Y I

y

y

y

y

= ⋅

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

Odgovor: Očekivana poseta turista pod uticajem sezone, u prvom kvartalu 2010. godine bila bi 13106 turista, u drugom kvartalu 15304, u trećem kvartalu 20768 turista i u četvrtom kvartalu 8772 turista.

105

ZADATAK 118. Proizvodnja zimske obuće u hiljadama para u jednoj fabrici, po kvartalima i godinama bila je:

Kvartal (j) Godine(i)

Ukupno 2005 2006 2007 2008 2009

I 40 50 50 40 40 220 II 50 90 100 120 120 480 III 80 70 120 110 130 510 IV 30 40 40 50 40 200

Ukupno 200 250 310 320 330 1410 Na osnovu ovih podataka: a) Izračunati sezonske indekse po metodu odnosa prema pokretnim sredinama. b) Prognozirati proizvodnju zimske obuće, po kvartalima za2010.godinu. c) Izvršiti desezoniranje podataka u 2007.godini. Rešenje:

a)

Pokretne sredine su ijY (‐;50; 52,5; 62,5; 60; 62,5; 62,5; 65; 77,5; 77,5; 75; 80; 77,5; 80; 80; 80; 85; 82,5;‐)

Centralne pokretne sredine 'ijY , su:

(‐; ‐; 51,25; 57,5); (61,25; 61,25; 62,5; 63,75); (71,25; 77,5; 76,25; 77,5); (78,75; 78,75; 80,0; 80,0); (82,5; 83,75; ‐;‐) Specifični sezonski indeksi ijI , su:

(‐; ‐; 1,5609; 0,5217); (0,8169; 1,4693; 1,12; 0,6274); (0,7017; 1,2903; 1,5737; 0,5161); (0,5079; 1,5238; 1,375; 0,625); (0,4848; 1,4328; ‐; ‐)

5

,1

2,5107i Ii

I=

=∑ 1 2,5107: 4 0,6276I = =

5

,1

5,7162i IIi

I=

=∑ 2 5,7162: 4 1,4290I = =

5

,1

5,6296i IIIi

I=

=∑ 3 5,6296: 4 1,4074I = =

5

,1

2,2902i IVi

I=

=∑ 4 2,2902: 4 0,5725I = =

Ukupno: 4,0365

106


4 4

0,99094,0365j

CI

= = =∑

'1

'2

'3

'4

0,6275 0,9909 0,62188 62,188%;

1,4290 0,9909 1,41599 141,599%;

1,4074 0,9909 1,39459 139,459%;

0,5725 0,9909 0,56729 56,729%.

I ili

I ili

I ili

I ili

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

b)

godine (x) 2005 2006 2007 2008 2009proizvodnja (yi) 200 250 310 320 330oznaka ‐2 ‐1 0 1 2

5 5 5

2

1 1 1

1410; 10; 330;i i i ii i i

Y x x Y= = =

= = =∑ ∑ ∑

1410 330282; 33

5 10

282 33 ; 1,2,3,4,5i i

a b

y x i

= = =

= + =

Ishodište: 30.06.2007.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: hiljadu pari obuće

( )282 33 3 282 99

381 33 ; 1,2,3,4,5,6.

i

i i

y

y x i

= + = +

= + =

Ishodište: 30.06.2010.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: hiljadu pari obuće Po kvatalima:

381 3395,25 2,06

4 162,06

95,25 2,062

95,28 2,06 1,2,3,4.

i i i

i i

i i

y x x

y x

y x i

= + = +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + =

107

Ishodište: 15.08.2010.god.(treći kvartal) jedinica za X: jedan kvartil jedinica za Y: hiljadu pari obuće

( )

( )

( )

( )

'2010,

'

2010,

'

2010,

'2010,

96,28 2,06 2 92,16;

96,28 2,06 1 94,22;

96,28 2,06 0 96,28;

96,28 2,06 1 98,34.

I

II

III

IV

y

y

y

y

= + − =

= + − =

= + =

= + =

Prognozirana proizvodnja po kvartalima: ' 'i i iY Y I= ⋅

'2010,

'2010,

'2010,

'2010,

92,16 0,62188 57,312;

94,22 1,41599 133,414;

96,28 1,39459 134,271;

98,34 0,56729 55,787.

I

II

III

IV

y

y

y

y

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

[hiljadu pari zimske obuće] c)

Desezoniranje podataka u 2007.godini ''ij

iji

YY

I=

31 32

33 34

50 10080,40; 70,62;

0,62188 1,41599120 40

86,05; 70,51.1,39459 0,56729

Y Y

Y Y

= = = =

= = = =

ZADATAK 119. Prodaja muške letnje konfekcije, u stotinama komada, po kvartalima i po godini bila je:

Kvaril (j) Godine(i)

Ukupno 2004 2005 2006 2007 2008 2009

I 152 176 185 190 198 196 1097 II 210 220 231 235 242 240 1378 III 184 190 205 210 215 211 1215 IV 75 78 80 91 110 109 543

Ukupno 621 664 701 726 765 756 4233 Na osnovu ovih podataka izračunati:

a) Izračunati sezonske indekse po korigovanom metodu odnosa prema opštem kvartalnom proseku, za 2004.godinu.

108

b) Izvršiti desezoniranje podataka u 2004.godini c) Prognozirati prodaju muške letnje konfekcije po kvartalima u 2010.godini

Rešenje:

a)

Godine Yi Xi Xi2 XiYi

2004 2005 2006 2007 2008 2009

621 664 701 726 765 756

0 1 2 3 4 5

0 1 4 9 16 25

0 664 1402 2178 3060 3780

Ukupno 4233 15 55 11084

2

;i i

i i

i i i i

y a bx

y n a b x

x y a x b x

= +

= ⋅ +

= +∑ ∑∑ ∑ ∑

4233 6 15 633,87

11084 15 55 28,65

633,87 28,65 1,2,3,4,5,6.i i

a b a

a b b

y a x i

= + == =

= + =

Ishodište: 30.06.2004.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: stotine komada letnje konfekcije Trend po kvatalima:

633,87 28,65158,46 1,79

4 161,79

158,46 1,792

159,355 1,79

i i i

i i

i i

y x x

y x

y x

= + = +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

Ishodište: 15.08.2004.god.(treći kvartal) jedinica za X: jedan kvartil (tromesečje) jedinica za Y: stotina komada

109

( )

( )

( )

( )

'2004,

'

2004,

'

2004,

'2004,

159,355 1,79 2 155,775;

159,355 1,79 1 157,565;

159,355 1,79 0 159,355;

159,355 1,79 1 161,145.

I

II

III

IV

y

y

y

y

= + − =

= + − =

= + =

= + =

Aritmetičke sredine kvartila:

1 2

3 4

1097 1378182,83; 229,66;

6 61215 543

202,5; 90,5.6 6

X X

X X

= = = =

= = = =

Sezonski indeksi po kvartilu:

'

1 2

3 4

1,2,3,4

182,83 229,661,1736; 1,4575;

155,775 157,565202,5 90,5

1,2707; 0,5616.159,355 161,145

ij

i

XI j

Y

I I

I I

= =

= = = =

= = = =


4 4

0,89614,4634j

CI

= = =∑

'1

'2

'3

'4

1,1736 0,8961 1,05166

1,4575 0,8961 1,30606

1,2707 0,8961 1,13867

0,5616 0,8961 0,5032

I

I

I

I

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

b) Desezonirani podaciu 2004.godini:

' '11 12

' '13 14

152 210144,5334; 160,7889;

1,05166 1,30606184 75

161,5920; 149,0461;1,13867 0,5032

Y Y

Y Y

= = = =

= = = =

[stotine komada] c)

( )2010 633,87 28,65 6 805,77

805,77 28,65 1,2,3,4,5,6,7i i

y

y x i

= + =

= + =

110

Ishodište: 30.06.2010.god. jedinica za X: jedna godina jedinica za Y: stotina komada

805,77 28,65201,44 1,7906

4 161,7906

201,44 1,79062

202,33 1,7906

i i i

i i

i i

y x x

y x

y x

= + = +

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

Ishodište: 15.08.2010.god.(treći kvartil) jedinica za X: jedan kvartil jedinica za Y: stotina komada

( )

( )

( )

( )

'2010,

'

2010,

'

2010,

'2010,

202,33 1,7906 2 198,7488;

202,33 1,7906 1 200,5394;

202,33 1,7906 0 202,33;

202,33 1,7906 1 204,1206.

I

II

III

IV

y

y

y

y

= + − =

= + − =

= + =

= + =

Prognozirana prodaja muške konfekcije

[ ]

'2010,

'2010,

'2010,

'2010,

198,7488 1,1736 233,2551;

200,5394 1,4575 292,2861;

202,33 1,2707 257,100;

204,1206 0,5616 114,6314.

I

II

III

IV

y

y

y

y stotine komada

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

111

4 ELEMENTI TEORIJE VEROVATNOĆE

4.1 Verovatnoća "a priori" ZADATAK 124. Kolika je verovatnoća da će bacanjem novčića pasti glava? Rešenje: m=1; n=2

( )m

P An

= 1

( ) 0,52

P A = = ili 50%

Verovatnoća da će bavanjem novčića pasti glava iznosi 50%. ZADATAK 125. Kolika je verovatnoća da će se na gornjoj strani bačene kocke pojaviti broj 3? Rešenje: m=1; n=6

1( ) 0,1666

6m

P An

= = = ili 16,66%

ZADATAK 126. Kolika je verovatnoća da će se na slučajan način od 30 slova na pisaćoj mašini pojaviti slovo M? Rešenje: m=1; n=30 ( ) 0,03333P A = ili 3,33%

4.2 Veorvatnoća "a posteriori" ZADATAK 127. Na slučajan način od 300 studenata izabrano je 40 od kojih su 8 položili statistiku. Kolika je verovatnoća položenih ispita iz statistike?

119

Rešenje: m=8; n=40

8( ) 0,2

40m

f An

= = = ili 20%

ZADATAK 128. Proizvedeno je 800 akumulatora. Na slučajan način izabrano je 70 akumulatora i ustanovljeno je da su 3 neispravna. Kolika je verovatnoća neispravnih proizvoda? Rešenje: m=3; n=70

3( ) 0,04

70m

f An

= = = ili 4%

ZADATAK 129. U preduzeću je zaposleno 1000 radnika u procesu proizvodnje. U jednom mesecu od 100 radnika na slučajan način 5 radnika je imalo prebačaj norme. Kolika je verovatnoća radnika koji su prebacili normu? Rešenje: m=5; n=100

5( ) 0,05

100m

f An

= = = ili 5%

4.3 Zbirna verovatnoća ZADATAK 130. Bacaju se dve kocke istovremeno. Kolika je verovatnoća da će pasti ili zbir 3 ili zbir 8? Rešenje: m1=2; m2=5; n=36

1 2 2 5 7( )

36 36 36 36 36m m

P A = + = + =

( ) 0,19444P A = ili 19,44% ZADATAK 131. Kolika je verovatnoća da će bacanjem dve kocke istovremeno pasti broj 3 ili 5?

120

Rešenje: m1=1; m2=1; n=6

1 1 2( )

6 6 6P A = + =

( ) 0,333P A = ili 33,3% ZADATAK 132. Od 100 studenata 60 je položilo metode, 40 matematiku i 10 modele. Kolika je verovatnoća da će na slučajan način izvući ime studenta koji je položio metode ili ime studenta koji je položio modele? Rešenje: m1=60; m2=10; n=100

60 10 70( )

100 100 100P A = + =

( ) 0,7P A = ili 70%

4.4 Složena verovatnoća ZADATAK 133. Kolika je verovatnoća da će u dva istovremena bacanja dve kocke i na jednoj i na drugoj kocki pasti zbir 5? Rešenje:

4 4( ) 0,01234

36 36P A = ⋅ = ili 1,234%

ZADATAK 134. U jednoj kutiji nalazi se 10 crnih i 8 crvenih kuglica a u drugoj se nalazi 6 crnh i 5 žutih kuglica. Kolika je verovatnoća da će se iz prve ili iz druge kutije izvući crna kuglica? Rešenje:

10 6( ) 0,30300

18 11P A = ⋅ = ili 30,30%

ZADATAK 135.

121

Na jednoj polici nalazi se 50 vekni hleba od 600 grama i 30 vekni hleba od 590 grama. Na drugoj tezgi nalazi se 60 vekna težine 600 grama i 40 vekni težine 590 grama. Kolika je verovatnoća da će kupac istovremenim uzimanjem i sa jedne i sa druge police uzeti veknu tešku 600 grama? Rešenje:

50 60( ) 0,375

80 100P A = ⋅ = ili 37,5%

4.5 Uslovna verovatnoća ZADATAK 136. U kutiji se nalazi 5 crvenih i 5 zelenih kuglica. Kolika je verovatnoća da će se u drugom izvlačenju izvući crvena kuglica, ako je u prvom izvlačenju izvučena crvena kuglica, pri čemu se kuglice ne vraćaju u kutiju? Rešenje:

5 4( ) 0,2222

10 9P A B⋅ = ⋅ = ili 22,22%

ZADATAK 137. U jednoj pošiljci ima 900 proizvoda a sadrži više od 4% neispravnih proizvoda. Kolika je verovatnoća da u uzorku od 3 proizvoda budu svi ispravni? Rešenje:

864 865 866( ) 0,88461

900 899 898P A B C⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ili 88,46%

ZADATAK 138. U kutiji se nalazi 50 proizvoda, kod kojih su 15 nestandardni. Kolika je verovatnoća da će kontrolor na slučajan način iz dva puta jedan za drugim izvući nestandardan proizvod? Rešenje:

15 14( ) 0,08571

50 49P A B⋅ = ⋅ = ili 8,571%

122

4.6 Bajersova verovatnoća ZADATAK 139. U jednom marketu se prodaje margarin, i to dve vrste: "Dobro jutro" 68% i "Dijamant" 32%. Margarin "Dobro jutro" ispunjava 95% standarda, a margarin "Dijamant" 90%. Kolika je verovatnoća da će kupac kupiti margarin "Dobro jutro"? Rešenje:

1 1

2 2

( ) 0,68 ( / ) 0,95

( ) 0,32 ( / ) 0,90

p D p A D

p D p A D

= == =

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

( ) 0,68 0,95 0,32 0,90

( ) 0,934

p A p D p A D p D p A D

p A

p A

= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅=

1 11

1

( ) ( / )( / )

( )0,68 0,95

( / )0,934

p D p A Dp D A

p A

p D A

⋅=

⋅=

1( / ) 0,6916p D A = ili 69,16% Odgovor: Verovatnoća da će kupac kupiti margarin "Dobro jutro" koji odgovara standardu je 69,16%. ZADATAK 140. Na četiri mašine, u fabrici za proizvodnju čarapa, proizvode se ženske čarape i to: 25% na prvoj mašini, 30% na drugoj, 28% na trećoj i 17% na četvrtoj. Na mašinama se pojavljuje škart i to: 1,5%, 1,8%, 2% i 1% respektivno. Kolika je verovatnoća da će izabrane čarape biti škart i da je proizveden na prvoj, drugoj, trećoj ili četvrtoj mašini? Rešenje:

1 1

2 2

3 3

4 3

( ) 0,25 ( / ) 0,015

( ) 0,30 ( / ) 0,018

( ) 0,28 ( / ) 0,02

( ) 0,17 ( / ) 0,01

p D p A D

p D p A D

p D p A D

p D p A D

= == == == =

( ) 0,25 0,015 0,30 0,018 0,28 0,02 0,17 0,01

( ) 0,01645

p A

p A

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅=

1

0,25 0,015( / ) 0,2279

0,01645p D A

⋅= = ili 22,79%

123

2

0,30 0,018( / ) 0,3282

0,01645p D A

⋅= = ili 32,82%

3

0,28 0,02( / ) 0,3404

0,01645p D A

⋅= = ili 34,04%

4

0,17 0,01( / ) 0,1033

0,01645p D A

⋅= = ili 10,33%

ZADATAK 141. U jednom supermarketu rade tri kase. Prilikom naplate prave greške i to: 40% prva, 35% druga i 25% treća. Uslovne verovatnoće su: 0,019, 0,03 i 0,02 respektivno. Ako je pri naplati učinjena greška, kolika je verovatnoća da je to počinjeno na drugoj kasi? Rešenje:

1 1

2 2

3 3

( ) 0,4 ( / ) 0,019

( ) 0,35 ( / ) 0,03

( ) 0,25 ( / ) 0,02

p D p A D

p D p A D

p D p A D

= == == =

( ) 0,4 0,019 0,35 0,03 0,25 0,02

( ) 0,0231

p A

p A

= ⋅ + ⋅ + ⋅=

2

0,35 0,03( / ) 0,4545

0,0231p D A

⋅= = ili 45,45%

ZADATAK 142. Tri fabrike proizvode usisivače iste snage i istih karakteristika. Fabrika D1 isporučuje tržištu 20% usisivača, D2 38% i D3 42%. Od kupava stižu reklamacije da usisivača od proizvođača D1 sa greškom ima 1,5%, od D2 0,08% i od D3 1,7%. Ako su usisivači sa greškom, kolika je verovatnoća da će to biti proizvodi iz fabrike D1, D2 ili D3? Rešenje:

1 1

2 2

3 3

( ) 0,20 ( / ) 0,015

( ) 0,38 ( / ) 0,008

( ) 0,42 ( / ) 0,017

p D p A D

p D p A D

p D p A D

= == == =

( ) 0,20 0,015 0,30 0,008 0,42 0,017

( ) 0,01318

p A

p A

= ⋅ + ⋅ + ⋅=

1

0,20 0,015( / ) 0,2276

0,01318p D A

⋅= = ili 22,76%

2

0,38 0,008( / ) 0,2306

0,01318p D A

⋅= = ili 23,06%

3

0,42 0,017( / ) 0,5417

0,01318p D A

⋅= = ili 54,17%

124

4.7 Binomna verovatnoća ZADATAK 143. Od 300 proizvedenih sijalica utvrđeno je da ima 20 neispravnih. Kolika je verovatnoća da od 5 slučajno izabranih proizvoda bude 0, 1, 2, 3, 4 i 5 neispravnih?

a) Izračunati očekivanu vrednost. b) Izračunati varijansu. c) Izračunati standardnu devijaciju. d) Prikazati binomski raspored u obliku histograma i poligona verovatnoća.

Rešenje: n=5 20

0,066300

p = = q=0,934 x=0, 1, 2, 3, 4, 5

( ) x x n xp x Cn p q −= ⋅ ⋅ 0 5(0) 1 0,066 0,934 0,710778

5 0 0,066(1) 0,71778 0,25113

0 1 0,9345 1 0,066

(2) 0,25113 0,0354891 1 0,9345 2 0,066

(3) 0,035489 0,00250762 1 0,9345 3 0,066

(4) 0,0025076 0,00008853 1 0,9345 4

(5)4 1

p

p

p

p

p

p

= ⋅ ⋅ =−

= ⋅ ⋅ =+−

= ⋅ ⋅ =+−

= ⋅ ⋅ =+−

= ⋅ ⋅ =+−

=+

0,0660,0000885 0,000000125

0,934⋅ ⋅ =

Odgovor: Verovatnoća da će od 5 izabranih proizvoda biti svi ispravni iznosi 0,710778 ili 71,0778%, da će biti 1 neispravan 0,25113 ili 25,113%, dva neispravna 0,035489 ili 3,4589%, tri neispravna 0,0025076 ili 0,25076%, četiri neispravna 0,0000885 ili 0,00885% i pet neispravnih 0,000000125 ili 0,0000125%.

a) Očekivana vrednost izračunava se na osnovu formule: ( ) 5 0,066 0,33E x n p= ⋅ = ⋅ =

Očekivana vrednost slučajne promenljive iznosu 0,33.

b) Varijansa se izračunava iz relacije 2x n q pσ = ⋅ ⋅

125

2

2

5 0,066 0,934

0,30822x

x

σ

σ

= ⋅ ⋅

=

Varijansa slučajne promenljive iznosi 0,30822 c) Standardna devijacija se izračunava iz izraza:

5 0,066 0,934 0,555n p qσ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Standardna devijacija slučajne promenljive iznosi 0,555.

d) Grafički prikaz binomnog rasporeda

Slika 2: Histogram i poligon verovatnoća

ZADATAK 144. Ako se eksperiment koji realizuje događaj B s verovatnoćom ( ) 0,6p B = ponovi n=8 puta.

a) Izračunati verovatnoću da će događaj B ponovi 3 puta. b) Izračunati očekivanu vrednost. c) Izračunati varijansu i standardnu devijaciju.

Rešenje:

a) 3 58(3) 0,6 0,4

3p

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3) 56 0,216 0,01024 0,123863p = ⋅ ⋅ = ili 12,3863% b) ( ) 8 0,6 4,8E x = ⋅ =

c) 2 8 0,6 0,4 1,92xσ = ⋅ ⋅ = 1,3856σ =

126

ZADATAK 145. Proizvedene sijalice od 40W pakuju se u kutiji od 50 komada. Poznato je da se u proizvodnji proizvodi 5% neispravnih sijalica.

a) Kolika je verovatnoća da će se u jednoj kutiji naći 3 neispravne sijalice? b) Kolika je verovatnoća da će se u kutiji naći najviše 3 neispravne sijalice? c) Kolika je verovatnoća da će se u kutiji naći najmanje 3 i najviše 5 neispravnih

sijalica? Rešenje:

a) 1 4750(3) 0,1 0,9

3p

⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3) 19600 0,001 0,00706965 0,138565p = ⋅ ⋅ = ili

13,8565% b) ( 3) (0) (1) (2) (3)p x p p p p≤ = + + + ( 3) 0,2502937p x ≤ = ili 25,02937% c) (3 5) (3) (4) (5)p x p p p< < = + + (3 5) 0,5043941p x< < = ili 50,43941%

4.8 Puasonova verovatnoća ZADATAK 146. U jednoj fabrici mašine sa automatskom obradom u toku rada od 36 dana imale su zastoje u satima:

zastoji (χi) 0 1 2 3 4 5 broj dana (fi) 15 8 6 4 2 1

a) Izračunati verovatnoće da će se u toku 36 radnih dana dogoditi 0, 1, 2, 3, 4 i 5

sati zastoja mašine. b) Izračunati parametre Pusonovog rasporeda 2

3 4, , , ,xμ σ σ α α . Rešenje:

a) Tabela 4‐1: Radna tabela za izračunavanje Pusonovih verovatnoća

zastoji (χi) broj dana (fi) i ifχ ⋅

0 15 0 1 8 8 2 6 12 3 4 12 4 2 8 5 1 5

ukupno 36 45

127

451,25

36x = =

Prosečan zastoj automatske mašine u toku 36 dana iznosu 1,25 časova.

n=5 1,25x = x=1, 2, 3, 4, 5 1,25

0,255

p = = 1,25m x= =

( )!

xmm

p x ex

−= ⋅

01,25

11,25

21,25

31,25

41,25

1,25(0) 1 0,286504 0,286504

0!1,25

(1) 1,25 0,286504 0,3581301!

1,25(2) 0,78125 0,286504 0,2238312

2!1,25

(3) 0,3255208 0,286504 0,093263013!

1,25(4) 0,10

4!

p e

p e

p e

p e

p e

−

−

−

−

−

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

0

172526 0,286504 0,029144

(5) 1 ( ) 1 0,99087221 0,00912779n

x

p p x=

⋅ =

= − = − =∑

Verovatnoća da će mašina raditi bez zastoja iznosi 0,286504 ili 28,6504%, da će imati jedan čas zastoja iznosi 0,358130 ili 35,8130%, dva časa zastoja iznosi 0,2238312 ili 22,38312%, tri časa zastoja 0,09326301 ili 9,326301%, četiri časa zastoja 0,03827179 ili 3,827179% i pet časova zastoja 0,00912799 ili 0,912779%.

b) ( ) 5 0,12 1,25E x n p mμ = = ⋅ = = ⋅ = 2

3

4

5 0,25 1,25

1,25 1,118

1 1 10,89445

1,25

1 13 3 3,8

1,25

x

x

n p m

n p m

n p m

n p

σ

σ

α

α

= ⋅ = = ⋅ =

= ⋅ = = =

= = = =⋅

= + = + =⋅

ZADATAK 147. Raspored domaćinstava u jednom selu prema broju dece bio je:

broj dece (χi) 0 1 2 3 broj domaćinstava (fi) 5 30 16 10

a) Izračunati Pausonove verovatnoće. b) Izračunati parametre ovog rasporeda.

128

Rešenje:

a) 1,51; 3x m n= = = (0) 0,220909; (1) 0,333574; (2) 0,2518473; (3) 0,1936697p p p p= = = =

b) 23 4( ) 1,51; 1,51; 1,228; 0,8143; 3,6622x xE xμ σ σ α α= = = = = =

ZADATAK 148. Pakuje se kafa u kesicama od 100 grama. Kontrolom je ustanovljeno da se u proseku mronađe 8 kesica manje mase od 100 grama.

a) Izračunati verovatnoće da sve kesice imaju masu 100 grama. b) Izračunati verovatnoću da više od 3 kesice imaju masu manju od 100 grama. c) Izračunati verovatnoću da kesica manje od 100 grama bude između 3 i 5.

Rešenje:

a) 8; 0x m x= = = 0

88(0) 0,0003354

0!p e−= ⋅ = ili 0,03354%

b) [ ]( 3) 1 (0) (1) (2) (3)p x p p p p> = − + + + ( 3) 0,95762p x > = ili 95,762%

c) (3 5) (3) (4) (5) 0,177448p x p p p< < = + + = ili 17,7448%

4.9 Zakon velikih brojeva

4.9.1 Nejednačina Čebiševa ZADATAK 149. Trgovini se isporučuje kafa u kesicama mase 200 grama u paketima u kojima se isporučuju po 100 kesica. Na slučajan način izabrana je jedna kesica iz svakog isporučenog paketa. Oceniti verovatnoću da odstupanje prosečne mase izabranih kesica kafe, od prosečne mase svih kesica kafe, ne prelazi 8 grama, ako standardna devijacija mase kod svih kesica kafe ne prelazi 10 grama. Rešenje: n=100 10δ = 8ε =

( )2

2( ) 1p x E x

nδε

ε− < ≥ −

⋅

( )2

2

10( ) 8 1 0,9843

100 8p x E x− < ≥ − =

⋅ ili 98,43%

129

Odgovor: Verovatnoća da prosečno odstupanje mase kesice kafe, kod izabranih kesica kafe, od prosečne mase svih isporučenih kesica kafe, ne prelazi 8 grama iznosi 98,43%. ZADATAK 150. Slučajna promenljiva x ima matematičko očekivanje E(x)=3, i standardnu devijaciju

0,18xδ = . Oceniti verovatnoću da će se vrednost slučajne promenljive x naći u intervalu 2,5<x<3,5. Rešenje:

( ) 2,5 3 2,5 0,5E xε = − = − = ili 3,5 ( ) 3,5 3 0,5E xε = − = − = 0,18xδ =

( )2

2( ) 1 xp x E x

δεε

− < ≥ −

( )2

2

0,183 0,5 1 0,8704

0,5p x − < ≥ − = ili 87,04%

ZADATAK 151. U fabrici za proizvodnju paste za zube, iz iskustva se zna da je varijansa 2 4,5δ = . Ha slučajan način je izabrano 30 tuba. Kolika je verovatnoća da prosečna masa 30 tuba ne odstupa od prosečne mase, kod svih pasta za zube, za više od 2,5 grama. Rešenje:

2,5ε = 30n = 2 4,5δ =

( )2

2 2

4,5( ) 1 1 0,976

30 2,5xp x E x

nδε

ε− < ≥ − = − =

⋅ ⋅ ili 97,6%

ZADATAK 152. Odstupanje svake od 2000 nezavisno, slučajno izabranih, boca vina, prema zapremini, iznosi 2 4δ = . Oceniti verovatnoću da odstupanje aritmetičke sredine zapremine boca vina, u uzorku, od aritmetičke sredine njihovih matematičkih očekivanja, ne prelazi 0,2 dl. Rešenje:

0,2ε = 2000n = 2 4δ =

( )2

2 2

4( ) 1 1 0,95

2000 0,2xp x E x

δεε

− < ≥ − = − =⋅

ili 95%

130

4.9.2 Teorema Čebišova ZADATAK 153. Na slučajan način izabrano je 300 miksera. Oceniti verovatnoću, da prosečna dužina rada bez kvara svih 300 miksera, odstupa od prosečne dužine rada svih proizvedenih miksera, ne više od 2 časa, ako je poznato da standardna devijacija, kod svih proizvedenih miksera nije veća od 5 časova. Rešenje:

2ε = 300n = 5δ =2

1 2 3 1 2 32

... ( ) ( ) ( ) ... ( )1n nx x x x E x E x E x E x

pn n n

δεε

⎛ ⎞+ + + + + + + +− < ≥ −⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

21 2 3 300 1 2 3 300

2

... ( ) ( ) ( ) ... ( ) 52 1 97,92%

300 300 300 2x x x x E x E x E x E x

p⎛ ⎞+ + + + + + + +

− < ≥ − =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

Odgovor: Verovatnoća da prosečna dužina kvara kod izabranih 300 miksera ne odstupa više od 2 časa od prosečne dužine rada svih proizvedenih miksera iznosi 97,92%. ZADATAK 154. Ako je ocenjena verovatnoća da je prosečna masa nekog proizvoda 0,99, pri čemu je odstupanje od prosečne mase dve jedinice, sa standardnom devijacijom od 4 jedinice, izračunati koliko proizvoda treba uzeti u uzorak, u cilju posmatrane mase? Rešenje:

2ε = 0,99p = 4δ = 2

21 p

nδ

ε− ≥

⋅

2

2

41 0,99

2n− =

⋅16

1 0,994n

− =⋅

160,99 1

4 n− = −

⋅

164

0,01n⋅ = 4 1600n⋅ =

16004

n = 400n =

Odgovor: U cilju posmatranja mase, u uzorak treba uzeti 400 komada proizvoda. ZADATAK 155. Na slučajan način izabrano je 200 tovljenika na jednoj farmi za tov. Oceniti verovatnoću da prosečna telesna masa tovljenika kod svih 200 tovljenika odstupa od prosečne telesne mase kod svih tovljenika na farmi ne više od 15 kilograma, ako je

131

poznato da standardna devijacija kod svih tovljenika na farmi nije veća od 9 kilograma. Rešenje:

15ε = 200n = 9δ =2 2

2 2

91 1 0,9989

200 15p

nδ

ε≥ − ≥ − =

⋅ ⋅ ili 99,82%

4.9.3 Teorema Bernulija ZADATAK 156. Ako je verovatnoća pojavljivanja neispravnih auto guma jednaka 0,01, oceniti verovatnoću da je apsolutna vrednost razlike frekvencija neispravnih auto guma manja od 0,003, ako je u jednom danu proizvedeno 20000 auto guma. Rešenje:

20000n = 0,01p = 0,003ε = 0,99q =

21

x p qp p

n nε

ε⎛ ⎞ ⋅

− < > −⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

2

0,01 0,990,01 0,003 1 0,945

20000 20000 0,003x

p⎛ ⎞ ⋅

− < > − =⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ili 94,5%

Odgovor: Verovatnoća da je apsolutna vrednost razlike frekvencija neispravnih auto guma manja od 0,003 iznosi 94,5%. ZADATAK 157.

Ako je verovatnoća nejednakosti 0,12x

pn

− ≤ i da ne bude manja od 0,99, pri čemu

je 0,4p = , koliko se mora izabrati nezavisnih jedinica u uzorak. Rešenje:

0,4p = 0,6q = 0,12ε =

21 0,99

p qn ε

⋅− ≥

⋅

0,4 0,61 0,99

0,12n⋅

− ≥⋅

0,4 ,06

1 0,990,12n⋅

− =⋅

200n = (jedinica)

132

ZADATAK 158. Verovatnoća broja ponavljanja kifli mase manje od 100 grama je 20%. Izračunati granicu apsolutne vrednosti odstupanja broja kifli od njegove verovatnoće, koja se može očekivati sa verovatnoćom od 0,95, ako je proizvedeno 20000 kifli. Rešenje:

0,2p = 0,8q = 20000n =

21 0,95

p qn ε

⋅− >

⋅

2

0,2 0,81 0,95

20000 ε⋅

− >⋅

2

0,161 0,95

20000 ε− >

⋅

0,012ε =

4.10 Centralna granična teorema ZADATAK 159. Slučajna promenljiva yn je aritmetička sredina 4900, na slučajan način, izabranih radnika kod čijih je zarada matematičko očekivanje 311,8 10⋅ dinara i varijansa

525 10⋅ . Kolika je verovatnoća da će prosečna zarada radnika biti u intervalu 311,6 10⋅ do 311,9 10⋅ ?

Rešenje:

1 11,6μ = 1 11,9μ = 2 25δ = ( ) 11,8iE x = 4900n =

25 5 170 144900

ix

n

δδ = = = =

1 1

2

1

( )( ) ( )

n n

i ii i

n

x ii

x E xp a b F b F a

xδ

= =

=

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟< < = −⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑

[ ]4900 4900

1 1

( )11,6 11,8 11,9 11,8

11,6 11,91 1 1490014 14 14

i i ii i

x x E xp p= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟< < = < <

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

[ ]4900

1

( )2,8 1,4 (1,4) ( 2,8)

114

i ii

x E xp F F=

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎜ ⎟− < < = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

133

[ ]0,9192 1 0,9974 0,9166p = − − = ili 91,66%

Odgovor: Verovatnoća da će prosečna plata biti u intervalu 311,6 10⋅ do

311,9 10⋅ iznosi 91,66%. ZADATAK 160. Ako je prosečan prinos suncokreta 5,65 t/ha, sa varijansom 0,36, kolika je verovatnoća da prinos suncokreta na 324 hektara ne bude manji od 5,7 t/ha. Rešenje:

1 5,7μ > 2 0,36δ = ( ) 5,65iE x = 324n =

0,36 0,6 118 30324

xδ = = =

5,7 5,65(1,5) 0,9332

130

p F

⎛ ⎞⎜ ⎟−

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ili 93,32%

ZADATAK 161. Na slučajan način izabrano je 225 turista koji su imali očekivan broj dana boravka 8, sa varijansom 25. Kolika je verovatnoća da će prosečan boravak turista biti u intervalu od 6 do 9 dana. Rešenje:

1 6μ = 1 9μ = 2 25δ = ( ) 8iE x = 225n =

25 5 115 3225

xδ = = =

[ ]225 225

1 1

( )6 8 9 8

6 91 1 12253 3 3

i i ii i

x x E xp p= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟< < = < <

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

(3) ( 6) 0,9987p F F= − − = ili 99,87% ZADATAK 162. U jednom tovilištu bilo je 64 teladi sa očekivanom telesnom masom 52 kilograma, sa varijansom 144 kilograma. Kolika je verovatnoća da će se prosečna masa teladi nalaziti u intervali od 49 do 587 kilograma.

134

Rešenje:

1 49μ = 1 58μ = 2 144δ = ( ) 52iE x = 64n =

144 12 38 264

xδ = = =

[ ]64

1

( )49 52 58 52

3 3 32 2 2

i ii

x E xp =

⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎜ ⎟< <

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

[ ](4) ( 2) 1 1 0,9772 0,9772p F F= − − = − − = ili 97,72%

4.11 Jednodimenzionalna prekidna slučajna promenljiva ZADATAK 163. Na slučajan način izabrano je 200 radnika u jednoj fabrici, koji su u toku jedne godine imali povrede na radu:

broj povreda (xi) 1 2 3 4 5 broj radnika (fi) 70 50 40 30 10

Na osnovu ovih podataka:

a) Odrediti zakon rasporeda verovatnoća. b) Odrediti nove prekidne slučajne promenljive 2Y X= ⋅ ; 2Z X= ; 4E X= + ;

3K X= − ; 2 2H X= ⋅ + ; 22 2G X= ⋅ + . c) Izračunati očekivanu vrednost ( )E x . d) Izračunati (3 )E x⋅ ; ( 2)E x + .

e) Izračunati 2xδ ; xδ ; xV i xU za x=2.

f) Izračunati 2(3 )x xδ ⋅ .

g) Izračunati 3M ; 4M ; 3( )xα i 4( )xα . Rešenje:

a) 1

1

; 200K

ii iK

ii

i

fp f

f =

=

= =∑∑

1

700,35

200p = = 2

500,25

200p = = 3

400,2

200p = =

4

300,15

200p = = 5

100,05

200p = =

135

5

1

1 2 3 4 5; 1

0,35 0,25 0,2 0,15 0,05 ii

X p=

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

b) 5

1

2 2 2 2 2 52

1

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 4 6 8 102 ; 1

0,35 0,25 0,2 0,15 0,05 0,35 0,25 0,2 0,15 0,05

1 4 9 16 251 2 3 4 5; 1

0,35 0,25 0,2 0,15 0,050,35 0,25 0,2 0,15 0,05

1 4 24

0,35

ii

ii

Y X p

Z X p

E X

=

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎧ ⎫ ⎧ ⎫= ⋅ = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

+ += + =

∑

∑5

1

5

1

4 3 4 4 4 5 4 5 6 7 8 9; 1

0,25 0,2 0,15 0,05 0,35 0,25 0,2 0,15 0,05

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 2 1 0 1 23 ; 1

0,35 0,25 0,2 0,15 0,05 0,35 0,25 0,2 0,15 0,05

2 1 2 2 2 2 2 32 2

0,35 0,25

ii

ii

p

K X p

H X

=

=

+ + +⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭− − − − − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= − = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⋅ + ⋅ + ⋅= ⋅ + =

∑

∑5

1

2 2 2 2 2 52

1

2 2 4 2 2 5 2 4 6 8 10 12; 1

0,2 0,15 0,05 0,35 0,25 0,2 0,15 0,05

4 10 20 34 522 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 22 2 ; 1

0,35 0,25 0,2 0,15 0,050,35 0,25 0,2 0,15 0,05

ii

ii

p

G X p

=

=

+ ⋅ + ⋅ +⎧ ⎫ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⎧ ⎫⎪ ⎪= ⋅ + = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

∑

∑

c) 1

( ) 1 0,35 2 0,25 3 0,2 4 0,15 5 0,05 2,3n

i ii

E x x p=

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑

Odgovor: Prosečan broj povreda na radu kod svih zaposlenih u jednoj fabrici je 2,3 dana.

d) ( ) ( ) ; (3 ) 3 2,3 6,9E K x E x K E x⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = [povreda na radu] ( ) ( ) ; ( 2) ( ) 2 2,3 2 4,3E x C E x C E x E x+ = + + = + = + = [povreda na radu]

e) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

( ) 1 0,35 2 0,25 3 0,2 4 0,15 5 0,05 2,3 1,51n

x i ii

x p E xδ=

= ⋅ − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − =∑Odgovor: Prosek kvadrata odstupanja pojedinačnog broja povreda od očekivanog prosečnog broja povreda u osnovnom skupu je 1,51.

2 1,51 1,228x xδ δ= = =

Odgovor: Srednja mera odstupanja pojedinačnog broja povreda od očekivanog prosečnog broja povreda u osnovnom skupu je 1,228.

1,228100 100 53,39%

( ) 2,3x

xV E xδ

= ⋅ = ⋅ =

Odgovor: Standardna greška iznosi 53,39% od očekivane vrednosti. ( ) 2 2,3

0,24421,228x

x

X E xU

δ− −

= = = −

Odgovor: Broj od dve povrede na radu odstupaju od očekivane vrednosti za 0,2442 standardnih grešaka ispod očekivane vrednosti.

f) 2 2 2 2 2( ) ( ); (3 ) 3 1,228 11,052x x xK x K x xδ δ δ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =

g) 1

nr

r i ii

m x p=

= ⋅∑

136

1

2 2 2 2 22

3 3 3 3 33

4 4 4 4 44

1 0,35 2 0,25 3 0,2 4 0,15 5 0,05 2,3

1 0,35 2 0,25 3 0,2 4 0,15 5 0,05 6,8

1 0,35 2 0,25 3 0,2 4 0,15 5 0,05 23,6

1 0,35 2 0,25 3 0,2 4 0,15 5 0,05 90,2

m

m

m

m

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

3 33 3 1 2 1

2 44 4 1 3 1 2 1

2 4

3 2 23,6 3 2,3 6,8 2 2,3 1,014

4 6 3

90,2 4 2,3 23,6 6 2,3 6,8 3 2,3 4,9597

M m m m m

M m m m m m m

= − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

33 3 3

1,014( ) 0,5475

1,228xx

Mα

δ= = =

Odgovor: Raspored verovatnoća broja povreda na radu ima pozitivnu asimetriju.

44 4 4

4,9597( ) 2,18

1,228xx

Mαδ

= = =

Odgovor: Raspored verovatnoća broja povreda na radu je više spljošten u odnosu na normalni raspored.

ZADATAK 164. U fabrici za preradu voća 100 radnika preradi voće u kilogramima u jednoj smeni:

prerada voća u kg (xi) 30 50 70 40 60 broj radnika (fi) 40 15 5 30 10


a) Odrediti zakon rasporeda verovatnoća. b) Odrediti nove prekidne slučajne promenljive 2Y X= ⋅ ; 2Z X= ; 22 1K X= ⋅ + . c) Izračunati očekivanu vrednosti ( )E x ; (4 )E x⋅ i ( 2)E x − .

d) Izračunati 2xδ ; 2 (3 )x xδ ⋅ .

e) Izračunati 4( )xα . Rešenje:

a) 5

1

30 50 70 40 60; 1

0,4 0,15 0,05 0,3 0,1 ii

X p=

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

b) 5

1

60 100 140 80 1202 ; 1

0,4 0,15 0,05 0,3 0,1 ii

Y X p=

⎧ ⎫= ⋅ = =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

137

52

1

52

1

900 2500 4900 1600 3600; 1

0,4 0,15 0,05 0,3 0,1

1801 5001 9801 3201 72012 1 ; 1

0,4 0,15 0,05 0,3 0,1

ii

ii

Z X p

K X p

=

=

⎧ ⎫= = =⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫

= ⋅ + = =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

∑

c) ( ) 30 0,4 50 0,15 70 0,05 40 0,3 60 0,1 41E x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = [kilogram] (4 ) 4 ( ) 4 41 164E x E x⋅ = ⋅ = ⋅ = [kilograma] ( 2) ( ) 2 41 2 39E x E x− = − = − = [kilograma]

d) 2 2 2 2 2 2 230 0,4 50 0,15 70 0,05 40 0,3 60 0,1 41 139xδ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = 2 2 2 2(3 ) 3 3 139 1251x xxδ δ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2 1251 35,37x xδ δ= = = [kilograma]

e) 1 30 0,4 50 0,15 70 0,05 40 0,3 60 0,1 41m = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 33

4 4 4 4 44

30 0,4 50 0,15 70 0,05 40 0,3 60 0,1 1820

30 0,4 50 0,15 70 0,05 40 0,3 60 0,1 87500

30 0,4 50 0,15 70 0,05 40 0,3 60 0,1 4526000

m

m

m

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 44 4526000 4 87500 41 6 1820 41 3 41 55237M = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

44 4 4

55237( ) 2,868

11,78xx

Mαδ

= = =

ZADATAK 165. U junskom ispitnom roku 100 studenata je položilo ispit iz Statistike. Raaspored studenata prema dobijenim ocenama na ispitu je:

ocene (xi) 6 7 8 9 10broj studenata (fi) 30 40 15 5 10


a) Odrediti zakon rasporeda verovatnoća. b) Odrediti nove prekidne slučajne promenljive 4Y X= ⋅ ; 4Z X= ; 33 2K X= ⋅ + . c) Izračunati očekivanu vrednosti ( )E x ; (5 )E x⋅ i ( 3)E x − .

d) Izračunati 2xδ ; 2(3 )x xδ ⋅ .

e) Izračunati 3( )xα i 4( )xα . Rešenje:

a) 5

1

6 7 8 9 10; 1

0,3 0,4 0,15 0,05 0,1 ii

X p=

⎧ ⎫= =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

b) 5

1

24 28 32 36 404 ; 1

0,3 0,4 0,15 0,05 0,1 ii

Y X p=

⎧ ⎫= ⋅ = =⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

138

54

1

52

1

1296 2401 4096 6561 10000; 1

0,3 0,4 0,15 0,05 0,1

650 1031 1538 2189 30023 2 ; 1

0,3 0,4 0,15 0,05 0,1

ii

ii

Z X p

K X p

=

=

⎧ ⎫= = =⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫

= ⋅ + = =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑

∑

c) ( ) 6 0,3 7 0,4 8 0,15 9 0,05 10 0,1 7,25E x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = (5 ) 5 ( ) 5 7,25 36,25

( 3) ( ) 3 7,25 3 4,25

E x E x

E x E x

⋅ = ⋅ = ⋅ =− = − = − =

d) 2 2 2 2 2 2 26 0,3 7 0,4 8 0,15 9 0,05 10 0,1 7,25 1,4875xδ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = 2 2 2 2(3 ) 3 3 1,4875 13,383x xxδ δ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2 1,4875 1,2196x xδ δ= = =

e) 1 6 0,3 7 0,4 8 0,15 9 0,05 10 0,1 7,25m = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 33

4 4 4 4 44

6 0,3 7 0,4 8 0,15 9 0,05 10 0,1 54,05

6 0,3 7 0,4 8 0,15 9 0,05 10 0,1 415,25

6 0,3 7 0,4 8 0,15 9 0,05 10 0,1 3291,65

m

m

m

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

33

2 44

415,25 3 7,25 54,05 2 7,25 1,82

3291,65 4 7,25 415,25 6 54,05 7,25 3 7,25 6,9698

M

M

= − ⋅ ⋅ + ⋅ =

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

3 3

4 4

1,82( ) 1,003

1,21966,9698

( ) 3,151,2196

x

x

α

α

= =

= =

139

5 METOD UZORKA

5.1 Veličina uzorka ZADATAK 166. U jednom mestu ima 200 domaćinstava. Koliko domaćinstava treba uzeti za uzorak sa verovatnoćom od 95%, u cilju provere mesečne potrošnje ulja, ako se zna da je standardna devijacija osnovnog skupa 4 litrara uz interval poverenja od 2 litre? Rešenje:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 200 1,9647,19 47

( 1) (200 1) 1 1,96 4N u

nN E u

σσ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ≈

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

Odgovor: U uzorak treba uzeti približno 47 domaćinstava. ZADATAK 167. U jednom šljiviku ima 800 stabala šljiva. Koliko stabala šljiva treba uzeti za uzorak sa verovatnoćom od 95,45% u cilju ocene prosečnog prinosa, ako se zna da je varijansa osnovnog skupa 4 kg uz interval poverenja od 2 kg? Rešenje:

800N = 95,45% 2u = = 4σ = 1E = 2 2E⋅ =15,7 16n = ≈ [stabala šljiva]

ZADATAK 168. Na jednoj farmi ovaca ima 200 ovaca. Koliko ovaca treba uzeti za uzorak sa verovatnoćom od 99,73% u cilju ocene prosečne mlečnosti ako se zna da je standardna devijacija osnovnog skupa 2 litre uz interval poverenja od 1,5 litara? Rešenje:

200N = 99,73% 2,98u = = 2σ = 1,5E =48,21 48n = ≈ [ovaca]

140

ZADATAK 169. U jednom preduzeću zaposleno je 400 radnika. Koliko radnika treba uzeti za uzorak uz verovatnoću 90% sa ciljem izračunavanja prosečne plate u dinarima, ako se zna da je standardna devijacija osnovnog skupa 1500 dinara uz interval poverenja 100 dinara? Uzorak je sa ponavljanjem. Rešenje:

400N = 1,6u = 1500σ = 500E =2

un

Eσ ⋅⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 221500 1,6 2475

4,95 24,5500 500

n⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

24n ≈ [radnika] ZADATAK 170. Koliko treba uzeti u uzorak domaćinstava radi ocene prosečne potrošnje mesa po domaćinstvu u celom gradu, ako se želi da interval poverenja ne bude šira od 1,5 kg i ako je standardna devijacija osnovnog skupa 3 kg. Uzorak je sa ponavljanjem.

a) Izračunati veličinu uzorka sa verovatnoćom od 95%. b) Izračunati veličinu uzorka sa verovatnoćom od 99%.

Rešenje:

a) 3; 0,75; 95% 1,96E uσ = = = = 64,46 64n = ≈ [domaćinstava]

b) 3; 0,75; 99% 2,58E uσ = = = = 106,50 107n = ≈ [domaćinstava]

ZADATAK 171. Koliko treba uzeti u uzorak domaćinstva radi ocene prosečne potrošnje mleka u litrima u celom gradu ako se zna da je standardna devijacija osnovnog skupa 2,3 litra uz interval poverenja od 0,5 litara? Veličinu uzorka odrediti za verovatnoću od 99% uz pretpostavku da je uzorak sa ponavljanjem. Rešenje:

2,3; 0,5; 99% 2,58E uσ = = = = 563,397 563n = ≈ [domaćinstava]

141

ZADATAK 172. U jednom mestu od 10000 porodica treba oceniti udeo domaćinstva koja idu u bioskop uz verovatnoću od 99,73%. Iz iskustva se zna da je proporcija tih domaćinstava 60%, koliko treba uzeti porodica za uzorak uz interval poverenja od 3%? Uzorak je bez ponavljanja. Rešenje:

10000N = 99,73% 2,98u = = 0,6P = 0,015E = 0,4Q =

( )2

2 2 1N u Q

nu Q E N P

⋅ ⋅=

⋅ + ⋅ − ⋅

( )2

2 2

10000 2,98 0,47234,5

2,98 0,4 0,015 10000 1 0,6n

⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅ − ⋅

7234n ≈ [porodica] ZADATAK 173. U jednoj fabrici za proizvodnju kafe proizvodi se 50000 pakovanja jedne fake mase 200 g. Koliko treba uzeti za uzorak pakovanja radi kontrole tačnosti ase, ako se zna da mašina puni 95% ovih pakovanja tačne mase od 200 g? Veličinu uzorka treba odrediti uz verovatnoću od 99% sa intervalom poverenja 5%. Uzorak je bez ponavljanja. Rešenje:

50000N = 2,58u = 0,95P = 0,025E = 0,05Q =554,36 554n = ≈ [paketića kafe]

5.2 Ocene na osnovu uzoraka

5.2.1.1 Ocena aritmetičke sredine osnovnog skupa na osnovu uzorka

ZADATAK 174. U fabrici čarapa 30 radnika proizvelo je čarapa (uzorak sa ponavljanjem):

18 10 15 15 10 18 10 16 18 18 13 10 12 21 19 19 10 11 12 16 10 15 15 19 20 11 19 12 12 14

a) Odrediti interval poverenja uz verovatnoću 95% u kome se nalazi prosečan

broj proizvedenih čarapa u celom preduzeću.

142

b) Izračunati uz istu verovatnoću interval poverenja u kome se nalazi ukupan broj proizvedenih čarapa u celom preduzeću, ako u proizvodnji radi 100 radnika.

Rešenje:

1 43814,6

30

n

ii

xx

n== = =∑

Odgovor: Prosečan broj proizvedenih čarapa u uzorku od 30 radnika iznosi 14,6 čarapa.

( ) ( )

2 22

1 6776 30 14,60,66193

1 30 30 1

n

ii

x

x n xS

n n=

− ⋅− ⋅

= = =⋅ − ⋅ −

∑

Odgovor: Ocena srednje mere odstupanja aritmetičkih sredina uzorka od aritmetičke sredine osnovnog skupa iznosi 0,66193 komada.

a) x xx u S x u Sμ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ 14,6 1,96 0,66193 14,6 1,96 0,66193

13,3027 15,8973

μμ

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅≤ ≤

Odgovor: Uz verovatnoću 95% može se očekivati da se prosečan broj proizvedenih čarapa u celom preduzeću nalazi negde u intervalu od 13,3027 do 15,8973.

b) ( ) ( )x xN x u S N N x u Sμ⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ + ⋅ 100 13,3027 100 15,8973

1330 1589

N

N

μμ

⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅≤ ⋅ ≤

Odgovor: Uz rizik greške 5% može se očekivati da će u celom preduzeću biti proizvedeno čarapa u intervalu od 1330 do 1589 komada.

ZADATAK 175. Na slučaj izabranih 35 studenata Ekonomskog fakulteta dobili su ocenu iz matematike (uzorak sa ponavljanjem):

6 7 9 8 10 6 7 8 6 10 8 7 6 9 6 7 8 6 9 10 8 8 10 6 7 6 7 8 7 6 8 7 9 6 9

Odrediti interval poverenja uz verovatnoću 99% u kome se može očekivati prosečna ocena iz matematike na celom fakultetu.

143

Rešenje:

7,6x = 0,1987xS = 7,08735 8,11264μ≤ ≤

ZADATAK 176. Na slučajan način izabrano je 20 prodavnica koje su u toku jednog dana prodale majce (uzorak sa ponavljanjem):

5 8 6 4 9 10 9 5 7 11 5 8 6 6 9 7 12 4 5 6

a) Izračunati interval poverenja u kome se može naći prosečan broj prodatih majci u celom trgovinskom preduzeću uz verovatnoću od 99%.

b) Kolika se ukupna prodaja može očekivati uz datu verovatnoću ako preduzeće ima 200 prodavnica?

Rešenje:

a) 7,1x = [komada]; 0,51809xS = [komada]; 6,407 8,436μ≤ ≤ [komada] b) 1281,49 1687,20N μ≤ ⋅ ≤ [komada]

ZADATAK 177. Radi ocene mesečne potrošnje ulja na slučajan način je izabrano 25 porodica koje su imale potrošnju (uzorak ponavljanja):

5 1 2 2 3 4 5 5 2 2 3 1 4 1 3 3 4 1 3 2 2 2 3 3 2

a) Izračunati interval poverenja u kome se može naći prosečna mesečna

potrošnja ulja po domaćinstvu uz verovatnoću od 99%. b) Kolika se ukupna mesečna potrošnja ulja može naći u celom gradu koji ima

400 domaćinstava uz istu verovatnoću? Rešenje:

1 682,75

25

n

ii

xx

n== = =∑

144

Odgovor: Prosečan mesečna potrošnja ulja u uzorku od 25 porodica iznosi 2,75 litara.

Kako je odnos 25

0,0625 6,25% 4%400

nN

= = = > za izračunavanje ocene standardne

greške aritmetičke sredine koristi se formula:

( ) ( )

2 22

1 262 25 2,75 400 250,3223

1 1 25 25 1 400 1

n

ii

x

x n xN n

Sn n N

=

− ⋅− − ⋅ −

= ⋅ = ⋅ =⋅ − − ⋅ − −

∑

Odgovor: Ocena srednje mere odstupanja aritmetičkih sredina uzorka od aritmetičke sredine osnovnog skupa iznosi 32,23 litara.

a) x xx u S x u Sμ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

2,75 2,58 0,3223 2,75 2,58 0,3223

1,9185 3,5815

μμ

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅≤ ≤

Odgovor: Uz verovatnoću 99% može se očekivati da će se prosečna mesečna potrošnja ulja nalaziti negde u intervalu od 1,9185 do 3,5815 litara.

b) ( ) ( )x xN x u S N N x u Sμ⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ + ⋅

( ) ( )400 2,75 2,58 0,3223 400 2,75 2,58 0,3223

767,4 1432,6

N

N

μμ

⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ + ⋅

≤ ⋅ ≤

Odgovor: Potrošnja ulja u celom gradu kretaće se u intervalu od 767,6 litara do 1432,6, uz rizik greške od 1%.

ZADATAK 178. Na 30 parcela, izabranih na slučajan način, ostvaren je prinos suncokreta u t/ha (uzorak bez ponavljanja):

4,6 3,1 2,8 8,5 5,2 4,6 6,2 5,4 5,6 7,2 3,1 3,2 7,4 7,5 4,5 3,6 5,4 8,1 5,3 5,2 6,1 6,3 4,7 5,6 4,8 5,1 7,4 6,1 5,3 5,1

a) Odrediti interval poverenja uz verovatnoću 95% u kome se može naći

prosečan prinos suncokreta po hektaru. b) Izračunati uz istu verovatnoću interval poverenja u kome se može naći

ukupna količina suncokreta uz istu verovatnoću ako je zasejano 900 parcela.

145

Rešenje:

a) 5,4x = [t/ha]; 0,28242xS = [t/ha]; 4,8465 5,95709μ≤ ≤ [t/ha];

303,33% 4%

900= <

b) 4361,85 5361,38N μ≤ ⋅ ≤ [t/ha] ZADATAK 179. U jednoj fabrici za proizvodnju patika 25 radnika u toku godine bilo je na bolovanju (uzorak be ponavljanja):

3 2 1 6 10 12 11 9 8 10 9 8 5 10 0 4 2 3 5 9 3 8 7 4 11

a) Izračunati interval poverenja u kome se može naći prosečan broj dana

bolovanja u celoj fabrici uz verovatnoću od 99%. b) Koliki je ukupan broj dana bolovanja uz istu verovatnoću ako fabrika

zapošljava 1500 radnika? Rešenje:

a) 6,4x = [dana]; 0,6833xS = [dana]; 3,863 8,936μ≤ ≤ [dana];

251,666% 4%

1500= <

b) 5794,5 13404N μ≤ ⋅ ≤ [dana]

5.2.1.2 Grupisani podaci (uzorak sa ponavljanjem)

ZADATAK 180. U jednom preduzeću za proizvodnju lepka, na slučajan način izabranih 45 radnika u toku jedne smene spakovano je kutija sa po 50 lepka (uzorak sa ponavljanjem):

spakovano kutija (xi) 25 32 45 48 51 55 broj radnika (fi) 6 15 10 4 7 3


prosečan broj spakovanih kutija na celoj liniji.

146

b) Izračunati uz istu verovatnoću interval poverenja u kome se može očekivati da se nađe ukupan broj spakovanih kutija ako na liniji za pakovanje radi 300 radnika.

Rešenje:

Tabela 5‐1: Radna tabela za izračunavanje standardne greške

spakovano kutija broj radnika i ix f⋅ 2i ix f⋅

25 6 150 3750 32 15 480 15360 45 10 450 20250 48 4 192 9216 51 7 357 18207 55 3 165 9075

ukupno 45 1794 75858

1

1

179439,68

45

n

i ii

n

ii

x fx

f

=

=

⋅= = =

∑

∑

Odgovor: Prosečan broj spakovanih kutija lepka u uzorku iznosi 39,86 komada.

( ) ( )

2 22

1 75858 45 39,861,4841

1 45 45 1

n

i ii

x

x f n xS

n n=

⋅ − ⋅− ⋅

= = =⋅ − ⋅ −

∑

Odgovor: Ocena srednje mere odstupanja aritmetičkih sredina uzoraka od aritmetičke sredine osnovnog skupa iznosi 1,4841 kutija.

a) x xx u S x u Sμ− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ 39,86 1,94 1,4841 39,86 1,94 1,4841

36,951 42,768

μμ

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅≤ ≤

Odgovor: Uz verovatnoću 95% može se očekivati da će se prosečan broj spakovanih kutija lepka na celoj liniji nalaziti negde u intervalu od 36,951 do 42,768 litara.

b) ( ) ( )x xN x u S N N x u Sμ⋅ − ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ + ⋅

300 36,951 300 42,768

11085,3 12830,4

N

N

μμ

⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅≤ ⋅ ≤

Odgovor: Uz rizik greške 5% može se očekivati da se ukupan broj spakovanih kutija nađe negde u intervalu od 11085,3 do 12830,4 komada.

147

ZADATAK 181. Kontrolom, na slučaj izabranih 120 tabli čokolada od 100 g, dobijen je raspored tabli prema masi (uzorak sa ponavljanjem):

masa u gramima (xi) 94,5 96,5 98,5 100,5 102,5 104,5 broj tabli (fi) 4 9 25 31 48 3


prosečna masa table čokolade u celom osnovnom skupu. b) Izračunati uz istu verovatnoću interval poverenja u kome se može naći

ukupna proizvedena količina čokolade ako je proizvedeno 500 tabli. Rešenje:

a) 100,48x = [grama]; 0,2227xS = [grama]; 2,58u = ; 99,9054 101,0545μ≤ ≤ [grama]

b) 499527 505272,5N μ≤ ⋅ ≤ [tabli] ZADATAK 182. U 50 prodavnica ostvaren je dnevni promet u 103 dinara (uzorak sa ponavljanjem): promet ( iχ ) 10,1‐15 15,1‐20 20,1‐25 25,1‐30 30,1‐35 35,1‐40 40,1‐45

broj prodavnica (fi) 2 4 6 5 10 15 8

a) Izračunati, uz verovatnoću 95% da se može naći, prosečan dnevni promet u celom osnovnom skupu.

b) Izračunati total osnovnog skupa uz istu verovatnoću, ako u posmatranom regionu ima 200 prodavnica.

Rešenje:

Tabela 5‐2: Radna tabela za izračunavanje standardne greške

promet ( iχ ) broj

prodavnica ( if )ix i ix f⋅ 2

i ix f⋅

10,1‐15 2 12,5 25 312,5 15,1‐20 4 17,5 70 1225 20,1‐25 6 22,5 135 3037,5 25,1‐30 5 27,5 137,5 3781,25 30,1‐35 10 32,5 325 1056,25 35,1‐40 15 37,5 562,5 21093,75 40,1‐45 8 42,5 340 14450 ukupno 50 ‐ 1595 54462,5

148

1

1

159531,9

50

n

i ii

n

ii

x fx

f

=

=

⋅= = =

∑

∑

Odgovor: Prosečan promet u 50 prodavnica iznosi 31900 dinara.

( ) ( )

2 22

1 54462,5 50 31,91,20914

1 50 50 1

n

i ii

x

x f n xS

n n=

⋅ − ⋅− ⋅

= = =⋅ − ⋅ −

∑

Odgovor: Ocena srednje mere odstupanja aritmetičkih sredina uzoraka od aritmetičke sredine osnovnog skupa iznosi 1209 dinara.

a)

μμ

μ

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅

− ⋅ ≤ ≤ + ⋅≤ ≤

31,9 1,96 1,20914 313,9 1,96 1,20914

29,530 34,269

x xx u S x u S

Odgovor: Uz verovatnoću 95% može se očekivati prosečan dnevni promet u celom regionu u intervalu od 29530 do 34269 dinara.

b)

( ) ( )μ

μ

− ⋅ ≤ ⋅ ≤ + ⋅

≤ ⋅ ≤5906 6856,8x x

N x u S N N x u S

N

Odgovor: Može se očekivati uz rizik greške 5% da se ukupan promet u celom regionu nađe negde u intervalu od 5906000 do 6853800 dinara.

ZADATAK 183. Na površini od 51 hektar ostvaren je prinos suncokreta u t/ha (uzorak sa ponavljanjem)

Prinos ( iχ ) 2,01‐2,5 2,51‐3 3,01‐3,5 3,51‐4 4,01‐4,5

Površina(fi) 9 7 15 12 8

a) Izračunati prosečan prinos suncokreta na ukupnoj zasejanoj površini uz verovatnoću 99%.

b) U kom intervalu se može naći ukupna proizvedena količina suncokreta ako je zasejano 500 hektara, uz istu verovatnoću.

149

Rešenje:

a)

[ ] ( )[ ]μ

= = =

≤ ≤

3,28 / ; 2,58; 0,0927 /

3,0408 3,5191 /x

x t ha u S t ha

t ha

b)

μ≤ ⋅ ≤1520,4 1759,5 /N t ha .

5.3 Statistički testovi na osnovu uzoraka

5.3.1 Testovi na osnovu „T“ raspodela

5.3.1.1 Testiranje razlike između aritmetičke sredine uzoraka i hipotetične vrednosti aritmetičke sredine osnovnog skupa (negrupisai podaci)

ZADATAK 184. Od 130 prodavnica nameštaja na slučajan način izabrano je 12 i popisan je dnevni promet u 103 dinara: 25, 28 ,31 ,34, 41, 29, 38, 42, 30, 39, 45, 40.

a) Da li se može prihvatiti hipoteza, da prosečan dnevni promet kod svih 130 prodavnica bude 36.103 dinara, uz verovatnoću 97,5%.

b) Da li se može prihvatiti hipoteza, da prosečan dnevni promet kod svih 130 prodavnica nije veći od 33.103 dinara, uz verovatnoću 95%.

c) Da li se može prihvatiti hipoteza, da prosečan dnevni promet kod svih 130 prodavnica nije manji od 38,5.103 dinara, uz verovatnoću 90%.

Rešenje:

== = =∑

1 42235,16

12

n

ii

x

xn

Odgovor: Prosečni dnevni promet u uzorku od 12 prodavnica iznosi 35160 dinara.

= = =12

0,09231 9,23% 4%130

nN

150

( ) ( )=

−− − ⋅ −

= ⋅ = =− − − −

=

∑ 222

1 15302 12 35,16 130 121 1 12 12 1 130 1

1,79948313.

n

ii

x

x

x nxN n

Sn n N

S

Odgovor: Ocena prosečnog odstupanja aritmetičke sredine uzoraka od aritmetičke sredine osnovnog skupa iznosi 1799 dinara.

a)

μ− −= = = −0

035,16 36

0,46680.1,79948313

x

xt

S

2,685t =

( )f t

t

1,25%2α

=

0 0, 466t =

48,75%

97,5%

1,25%2α

=

2,685t =

48,75%

Slika 3: Područje prihvatljivih odbacivanja μ μ=0 0:H

Odgovor: Kako je ispunjena relacija − < ≈ − <02,685 0,466 2,685t nulta hipoteza H0 se prihvata uz verovatnoću od 97,5% i može se smatrati da je razlika

μ− = − = ⋅ 30 35,16 36 0,84 10x slučajna. To znači, da je prosečan dnevni promet u svih

130 prodavnica 35160 dinara.

b)

μ− −= = =0

035,16 33

1,200344.1,79948313

x

xt

S

151

0 1, 2003=t

90%

( )f t

t

2 10%=a

5%=a

1,833=t

50% 48,75%

Slika 4: Oblasti prihvatanja i odbacivanja ≥0 0:H m m

Odgovor: Kako je 0 1, 20034 1,833t t≈ = ,uz verovatnoću 95% hipoteza H0 se

prihvata a razlika 30 35,16 33 2,16 10x m− = − = ⋅ može se smatrati slučajnom. To

znači, da prosečan dnevni promet u svih 130 prodavnica nije veći od 33000 dinara. c)

μ− −= = = −0

026,82 31

1,89059.2,210948

x

xt

S

1,856=t

( )f t

t

40%

0 1,383=t

10%=a 50%

90%

2 20%=a

Slika 5: Granice prihvatanja i odbacivanja μ μ≤0 0:H

Odgovor: Pošto je ≈ = −0 1,856 1,383t t , hipoteza H0 se uz rizik greške 10%

odbacuje a razlika − = − = − ⋅ 30 35,16 38,5 3,34 10x m dinara može se smatrati

152

statistički značajnom. To znači, da prosečan dnevni promet u svih 130 prodavnica manji od 38500 dinara. ZADATAK 185. U liniji za proizvodnju čarapa postoje 20 mašina. Na slučajan način izabrano je 6 mašina i popisan škart u toku 8 sati rada: 3, 5, 7, 4, 6 i 8 pari.

a) Da li uz verovatnoću 99% može prihvatiti hipoteza H0 , da je prosečan škart kod svih 20 mašina 7 pari?

b) Da li uz verovatnoću 90% može prihvatiti hipoteza H0 , da prosečan škart kod svih 20 mašina nije veći od 5 pari?

c) Da li se moze prihvatiti hipoteza H0 , uz verovatnoču 95% da prosečan škart kod svih 20 mašina nije veći od 6 pari?

Rešenje:

[ ]α

= ÷ = =

= = − = − = == −0

5,5 , 6 20 30% 4%; 0,655235

0,01; 1 6 1 5; 4,030

2,892

xx pari S

r n t

t

a) − ≈ −04,0310 2,892 4,030;t H0 se prihvata.

b) ≈ =0 0,7631 2,020;t t H0 se prihvata.

c) ≈ = −0 0,76308 2,78;t t H0 se prihvata.

5.3.1.2 Grupisani podaci ZADATAK 186. U fabrici za proizvodnju tapeta zaposleno je 200 radnika. Na slučajan način izabrano je 22 radnika koji su imali sledće plate u 102 dinara.

Zarade ( iχ ) 10‐20 20‐30 30‐40 40‐50 50‐60

broj radnika (fi) 6 10 3 2 1

a) Da li se može prihvatiti nulta hipoteza H0 , da je prosečna mesečna plata kod svih 200 radnika 3100 dinara, uz rizik greške 0,005?

b) Da li se može uz verovatnoću 95% prihvatiti hipoteza H0 , da je prosečna mesečna plata kod svih 200 radnika nije veća od 3200 dinara?

153

c) Da li se može prihvatiti hipoteza H0, da prosečna mesečn plata kod svih 200 radnika nije manja od 3400 dinara, uz verovatnoću 97,5%?

Rešenje:

Tabela 5‐3: Radna tabela za izračunavanje standardne greške Mesečna plata u

102dinara broj radnika ( if ) ix i ix f⋅ 2

i ix f⋅

10‐10 6 15 90 1350 20‐30 10 25 250 6250 30‐40 3 35 105 3675 40‐50 2 45 90 4050 50‐60 1 55 55 3025 ukupno 22 ‐ 590 18350

=

=

⋅= = =∑

∑1

1

59026,82.

22

n

i ii

n

ii

x f

x

f

Odgovor: Prosečna mesečna plata kod 22 radnika u uzorku iznosi 2682 dinara.

= =22

0,11200

nN

ili 11% 4%

( ) ( )=

⋅ − ⋅− − ⋅ −

= ⋅ = ⋅ =− − − −

∑ 222

1 18350 22 26,82 200 222,210948

1 1 22 22 1 200 1

n

i ii

x

x f n xN n

Sn n N

Odgovor: Ocena srednje mere odstupanja aritmetičkih sredina uzoraka aritmetičke sredine osnovnog skupa iznosi 221,1 dinara.

a)

μ− −= = = −0

026,82 31

1,89059.2,210948

x

xt

S

154

3,09=t 3,09=t

( )f t

t

0,25%2α

=

49,75%

0 0,1890=t

0,25%2α

=

49,75%

99,5%

Slika 6:Granice prihvatanja i odbacivanja μ μ=0 0:H

Odgovor: Kako se izračunato ≈ −0 1,890t nalazi u području prihvatanja nulte hipoteze, H0 se prihvata uz verovatnoću od 99,5% i može se smatrati da je

razlika μ− = − = − ⋅ 20 26,82 31 418 10x slučajna. To znači, da je prosečan plata

svih 200 radnika 3100 dinara. b)

μ− −= = = −0

026,82 32

2,34228.2,210948

x

xt

S

0 2,343=t

95%

( )f t

t

2 10%=a

5%=a

1,721=t

50% 45%

Slika 7: Granice prihvatanja i odbacivanja μ μ=0 0:H

155

Odgovor: Kako je ≈ − =0 2,343 1,721t t ,uz verovatnoću 95% hipoteza H0 se

prihvata a razlika μ− = − = − ⋅ 20 26,82 32 5,182 10x dinara je slučajna. To

znači, da je prosečan plata svih 200 radnika nije veća od 3200 dinara.

c)

μ− −= = = −0

026,82 34

3,24747.2,210948

x

xt

S

3,247=t

( )f t

t

47,5%

0 2,080=t

2,5%=a50%

97,5%2 5%=a

Slika 8: Granice prihvatanja i odbacivanja μ μ≥0 0:H

Odgovor: Pošto je ≈ = −0 3,247 2,080t t , hipoteza H0 se odbacuje uz rizik

greške 2,5%, a razlika μ− = − = − ⋅ 20 26,82 34 7,18 10x dinara može se

smatrati statistički značajnom. To znači, da je prosečna plata manja od 3400 dinara.

ZADATAK 187. Od 150studenta Ekonomskog fakulteta na slučajan način izabrano je 10 i potpisane ocene iz Statistike:

Ocene ( iχ ) 6 7 8 9 10

broj studenata (fi) 2 1 3 3 1

a) Da li se može prihvatiti hipoteza H0, da je prosečna ocena kod svih 150 studenata 9, uz verovatnoću 95%?

b) Da li se uz verovatnoću 90% može prihvatiti hipoteza H0 , da prosečna ocena nije veća od 7,5?

c) Da li se može prihvatiti hipoteza H0, uz verovatnoću 97,5%? da prosečna ocena kod svih 150 studenata nije manja od 8,5?

156

Rešenje:

= ÷ = =8,10 1500 6,6% 4%; 0,408683x

x S

a)

≈ − = −0 2,447 2,262;t t H0 se odbacuje. b)

≈ =0 1,223 1,833;t t H0 se prihvata. c)

≈ − = −0 1,223 2,685;t t H0 se prihvata.

5.3.2 Testovi na osnovu „F“ raspodele

5.3.2.1 Analiza jednog faktora varijabiliteta ZADATAK 188. Na dvanaest parcela zemljišta istog kvalieta zasejane su c3 sorte pšenice. Ostvaren je prinos u t/ha:

Sorta Prinos u t/ha B1

B2 B3

2,43,2 2,2

3,13,8 3,1

3,53,7 2,7

3,74,7 ‐

3,2‐ ‐

a) Uz verovatnoću 95% proveriti da li su razlike u prinosu s obzirom na sortu

slučajne ili statistički značajne? b) Izvršiti testiranje najmanje zajedničke razlike.

Rešenje:

a) Potrebni podaci su: m=3; n1=5; n2=4; n3=3; n=12

Proizvoljna aritmetička sredina = 3 /x t ha

157

Tabela 5‐4: Odstupanje 0ijx x=

Sorte pšenice(i=1,2,3)

−3ijx iS

j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 B1(i=1) B2(i=2) B3(i=3)

‐0,60,2 ‐0,8

0,10,9 0,1

0,50,7 ‐0,3

0,71,1 ‐

0,2‐ ‐

0,9 2,9 ‐1,0

S=2,8 Totalna disperzija St izračunava se na osnovu izraza:

( )= =

= −∑∑2

2

1 1

inm

t iji j

SS x

n,

( )( ) ( )

⎡ ⎤− + + + + + + + + +⎢ ⎥= − =⎢ ⎥− + + −⎣ ⎦

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 22

0,6 0,1 0,5 0,7 0,2 0,2 0,9 0,7 1,1 2,83,786

120,8 0,1 0,3tS

Disperzija po faktoru B (između sorti pšenica, odnosno između redova

izračunava se na osnovu formule: =

= −∑2 2

1

mi

Bii

S SS

n n,

= + + − =2 2 20,9 2,9 1,0 2,8

1,9445 4 3 12BS

Rezidualna disperzija (unutar sorte pšenice), izračunava se na osnovu relacije:

= − = − =3,786 1,944 1,842R T BS S S .

Tabela 5‐5: Analiza varijanse Suma

kvadratnih odstupanja

Broj stepeni slobode

Ocena varijanse Odnos varijanse Tablična vrednost F

=

=

=

1,944

1,842

3,786

B

R

T

S

S

S

m‐1=3‐1=2

n‐m=12‐3=9

n‐1=12‐1=11

= =

= =

= =

1,9440,972

21,842

0,2049

3,7860,344

11

B

R

T

V

V

V

= =

=

00,9720,204

4,764

F ( ) =0,05;2;9 4,26F

Odgovor: Kako je ( )= =0 0,05;2;94,764 4,26F F , nulta hipoteza se odbacuje uz rizik

greške, α = 0,05 i može se smatrati da su razlike u prinosu pšenice statistički značajne, obzirom na različitost sorte.

158

99%

( )f F

1%α =

F

0( ) 0,0360=AF 10,92=F

Slika 9: Oblasti prihvatanja i odbacivanja μ μ μ= =0 1 2 3:H

Aritmitička sredina uzoraka ix i opšti proseka ix izračunavaju se na osnovu izraza:

= + + + + + + + + + + =∑∑ 2,4 3,1 3,5 3,7 3,2 3,8 3,7 4,1 2,2 3,1 2,7 38,7ijx

= =

=

= = =∑∑

∑1 1

1

38,73,225

12

inm

iji j

m

ii

x

x

n

Odgovor: Prosečan prinos pšenice na svih 12 parcela iznosi 3,225 t/ha.

=

=

=

= = =

∑

∑1

1

11

11

,

15,93,18

5

in

ijj

ii

n

jj

x

xn

x

xn

Odgovor: Prosečni prinos pšenice B1 na 5 parcela iznosi 3,18 t/ha.

== = =∑

2

21

22

14,83,7

4

n

jj

x

xn

Odgovor: Prosečni prinos pšenice B2 na 4 parcela iznosi 3,7 t/ha.

== = =∑

3

31

33

82,66

3

n

jj

x

xn

Odgovor: Prosečni prinos pšenice B3 na 3 parcela iznosi 2,66 t/ha

Razlike između aritmetičkih sredina 1 2 3, ,x x x i uzoraka (raznih sorti psenice) su toliko velike da se uz rizik greške od 5% mogu smatrati značajnim.

159

b) Pošto je nulta hipoteza H0 odbačena može se vršiti testiranje najmanje značajne razlike, na osnovu izraza:

( ) ( )α− +

= ⋅2 1,

i ix xNZR t r S

Kako je ≠ ≠2n n n vrednosti ( )− +1i ix xS računa se na osnovu formule:

( )

( )

( )

− +

−

−

⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⋅ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2

2 3

1

1 11

1 10,204 0,329

5 3

1 10,204 0,345

4 3

i iRx x

i i

x x

x x

S Vn n

S

S

Vrednost ( ) =0,05;9 2,262t čita se iz tablice.

Prema tome, najmanje značajne razlike iznose:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

α

α

α

−

−

−

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

1 2

1 3

2 3

1 2

2 2

1 2

; 2,262 0,303 0,685

; 2,262 0,329 0,6744

; 2,262 0,345 0,780

x x

x x

x x

NZR t r S

NZR t r S

NZR t r S

Aposlutne razlike između aritmetičkih sredina +− 1i ix x iznose:

− = − = =

− = − = =

− = − = =

1 2 1

1 3 2

2 3 3

3,18 3,7 0,520 0,685

3,18 2,66 0,520 0,744

3,7 2,66 1,04 0,780

x x NZR

x x NZR

x x NZR

Odgovor: Postoji samo jedna značajna razlika između sorte B2 i B3. To znači da se sorta B3 ne treba uopšte sejati jer je najmanji prosečan prinos po hektaru. Za izvođenje testa najmanje značajne razlike najčešće se formira tabela aritmetičkih sredina.

160

Tabela 5‐6: Analiza varijanse

Grupe (sorte pšenice)

Aritmetička sredina

( )ix Razlike između aritmetičkih sredina

−2,66ix −3,18ix B1

B2 B3

3,7 3,18 2,66

1,04 0,52 ‐

0,52 ‐ ‐

ZADATAK 189. Fabrika za proizvodnji električnih šporeta plasira u 3 regiona preko robnih kuća. Kod 5, na slučajan način izabranih robnih kuća mesečn aprodaja bila je:

Region Prodato šporeta A1 21 22 25 23 36 A2 18 20 23 28 31 A3 20 27 29 30 32

a) Uz verovatnoću 955 i 99% proveriti da li su razlike u broju prodatih šporeta, s

obzirom na različite regione, slučajne ili statistički značajne. b) Testirati najmanje značajne razlike.

Rešenje:

a) = = = = =0287; 7,2; 3,6; 22,06; 0,163T A A RS S V V F

( )= =0 0,05;2;120,163 3,88;F F H0 se prihvata,

( )= =0 0,01;2;120,16 6,03;F F H0 se prihvata,

b)

[ ] [ ] [ ] [ ]= = = =1 2 325 ; 23,4 ; 24 ; 27,6 ;x kom x kom x kom x kom

( )− +

⋅= = =

1

2 2 22,062,970

5i i

Rx x

i

VS

n

( ) = =0,05;2;12 2,179; 6,471t NZR

− = − = − =1 3 1 2 2 34,2 6,471; 0,6 6,471; 3,6 6,471x x x x x x

161

5.3.2.2 Analiza dva faktora varijabiliteta ZADATAK 190. Fabrika za proizvodnji konzerviranog povrća nabavila je od tri proizvođača kutije od lima zapremine od 1‐og kilograma, koje se proizvode od četiri vrste lima. U cilju donošenja odluke od koga kupiti kutije i od koje vrste lima, izvršena je proba na savijanje, na uzorcima od 500 komada, od svake vrste lima i od svakog proizvođača. Rezultati ispitivanja su:

Proizvođač Vrsta lima B1 B2 B3 B4

A1 30 40 30 40 A2 20 20 40 50 A3 30 20 30 40

Uz verovatnoću 99% i 95% proveriti:

a) Da li su razlike u kvalitetu kutija s obzirom na proizvođača slučajne ili statistički značajne?

b) Da li su razlike u kvalitetu kutija u odnosu na vrstu lima, slučajne ili statistički značajne?

c) Izvršiti testiranje najmanje značajnih razlika. d) Izračunati relevantan uticaj pojedinih faktora na kvalitet kutija.

Rešenje: Za ovo testiranje potrevno je:

03; 4; ; 3 4 12; 30m S n m S n x komada= = = ⋅ = ⋅ = = .

Tabela 5‐7: Analiza varijanse Proizvođač kutija

Ai(i=1,2,3) Vrste kutija Bj (j=1,2,3,4) iS

30ijx −

B1(j=1) B2(j=2) B3(j=3) B4(j=4) A1(i=1) A2(i=2) A3(i=3)

0 ‐1 0

10 ‐10 ‐10

0 10 0

10 20 10

20 10 0

jS ‐10 ‐10 10 40 S=30

Totalna disperzija se izračunava na osnovu formule:

( )2

2

1 1

m S

T iji j

SS x

n= =

= −∑∑

162

22 2 2 2 2 2 2 2 30

10 10 10 10 10 20 10 10 102512TS = + + + + + + + − =

Disperzija u odnosu na grupu faktora A(između redova, tj. Između proizvođača kutija) izračunava se na osnovu izraza:

22 2 2 2

1 20 10 3050

4 12

m

ii

A

SS

SS n

= += − = − =

∑

Disperzija u odnosu na grupu faktora B (između kolona, odnosno Između vrsta lima) izračunava se na osnovu izraza:

22 2 2 2 2 2

1 10 10 10 40 30558,32

3 12

S

ji

B

SS

Sm n

= + + += − = − =∑

Rezidualna disperzija izračunava se na osnovu izraza:

1025 50 558,32 416,67R T A BS S S S= − − = − − =

Tabela 5‐8: Analiza varijanse Suma

kvadratnih odstupanja

Broj stepeni slobode

Ocena varijanse Odnos varijanse Tablična vrednost F

50

558,33

416,67

A

B

R

S

S

S

=

=

=

m‐1=3‐1=2 S‐1=4‐1=3 (m‐1)(S‐1)= (3‐1)(4‐1)=6

5025

2558,33

3186,11

416,676

69,44

A

B

R

V

V

V

= =

=

=

=

=

( )

( )

0

0

2569,440,360

186,1169,442,680

A

B

F

F

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )

0,05;2;6

0,01;2;6

0,05;3;6

0,01;3;6

5,14

10,92

4,76

9,78

F

F

F

F

=

=

=

=

1025tS = 1 11n− = ‐ ‐ ‐

a)

Kako je ( ) ( )0 0,05;2;60,360 5,14AF F= = i ( ) ( )0 0,01;2;60,360 10,92AF F= = , nulta

hipoteza se prihvata uz rizik greške 0,05α = i 0,01α = i može se smatrati da su razlike u kvalitetu kutija, s obzirom na proizvođača. To znači, da na kvalitet kutija ne utiče izbor proizvođača.

163

95%

( )f F

5%α =

F

0( ) 0,0360=AF 5,14=F

Slika 10: Područja prihvatanja i odbacivanja za 5%α =

99%

( )f F

1%α =

F

0( ) 0,0360=AF 10,92=F

Slika 11: Područja prihvatanja i odbacivanja H0 za 1%α =

b) Kako je ( ) ( )0 0,05;3;62,68 4,16BF F= = i ( ) ( )0 0,01;3;62,68 9,78BF F= = , nulta

hipoteza se prihvaza uz rizik greške 0,05α = i 0,01α = i može se smatrati da su razlike u kvalitetu kutija, s obzirom na vrstu lima slučajne. To znači, da na kvalitet kutija ne utiče vrsta lima od kog su pravljene.

95%

( )f F

5%α =

F

0( ) 2,68=BF 4,16=F


164

99%

( )f F

1%α =

F

0( ) 2,68=AF 9,78=F


c)

Opšti prosek izračunava se na osnovu izraza:

1 1 30 40 30 40 20 20 40 50 30 20 30 4012

39032,5

12

m S

iji j

x

xn

x

= = + + + + + + + + + + += =

= =

∑∑

Opšti prosek savijanja kutija iznosi 32,5 komada na 500 komada.

Aritmetičke sredine redova ix izračunavaju se na osnovu izraza:

1

9

S

iji

i

x

x ==∑

( )1

1

11

30 40 30 40 14035

4 4 4

n

ii

A

x

x = + + += = = =

∑

Prosečno savijanje kutija proizvođača A1 iznosi 35 komada na 500 komada.

( )2

4

121

220 20 40 50 130

32,54 4 4

jA

x

x = + + += = = =∑

Prosečno savijanje kutija proizvođača A2 iznosi 32,5 komada na 500 komada.

( )3

131

330 20 30 40 120

304 4 4

n

jA

x

x = + + += = = =∑

Prosečno savijanje kutija proizvođača A3 iznosi 30 komada na 500 komada. Standarnde greške razlike između aritmetičkih sredina izračunavaju se na osnovu izraza:

165

( )12 2 69,44

5,8924i i

Rx x

i

VS

n− +

⋅= = =

( ) ( )0,05;6 0,01;62,447; 3,707;t t= =

( ) ( )( )( )

, 1

0,05 2,447 5,892 14,417

0,01 3,707 5,892 21,841

i ir x x

NZR t S

NZR

NZR

α

α

α

− += ⋅

= = ⋅ =

= = ⋅ =

Apsolutne razlike između aritmetičkih sredina izračunavaju se na osnovu izraza:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 3

2 3

1 2

1 3

2 3

35 32,5 2,5 14,417 21,841

35 30 2,5 14,417 21,841

32,5 30 2,5 14,417 21,841

A A

A A

A A

x x i

x x i

x x i

− = − =

− = − =

− = − =

Vidi se da su dve visoko značajne i jedna značajna a da fabrika treba da se orijentiše za proizvođača A3 jer u proseku ima najmanje škarta

( )( )33 30Ax = komada

Aritmetičke sredine kolone jx izračunava es na osnovu formula:

1

m

iji

j

x

xm

==∑

( )1

3

11

30 20 30 8026,66

3 3 3

iji

B

x

x = + += = = =

∑

Prosečno savijanje kutija proizvođača B1 iznosi 26,66 komada na 500 komada.

( )2

3

21

240 20 20 80

26,663 3 3

ii

B

x

x = + += = = =

∑


( )3

3

31

330 40 30 100

33,333 3 3

ii

B

x

x = + += = = =

∑


( )4

3

41

440 50 40 130

43,333 3 3

ii

B

x

x = + += = = =

∑

166

Prosečno savijanje kutija proizvođača B4 iznosi 43,33 komada na 500 komada. Standarnde greške razlike između aritmetičkih sredina izračunavaju se na osnovu izraza:

( )12 2 69,44

6,803i i

Rx x

i

VS

n− +

⋅= = =

( ) ( )0,05;6 0,01;62,447; 3,707;t t= =

( ) ( )( )( )

, 1

0,05 2,447 6,80 16,639

0,01 3,707 6,80 25,076

i ir x x

NZR t S

NZR

NZR

α

α

α

− += ⋅

= = ⋅ =

= = ⋅ =

Apsolutne razlike između aritmetičkih sredina izračunavaju se na osnovu izraza:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

3 4

1 2

1 3

1 4

2 3

2 4

3 4

26,66 26,66 0

26,66 33,33 6,67 16,639 25,076

26,66 43,33 16,67 16,639 25,076

26,66 33,33 6,67 16,639 25,076

26,66 43,33 16,67 16,639 25,076

33,33

B B

B B

B B

B B

B B

B B

x x

x x i

x x i

x x i

x x i

x x

− = − =

− = − =

− = − =

− = − =

− = − =

− = 43,33 10 16,639 25,076i− =

d)

Da bi se ocenio relativan značaj uticaja pojedinih faktora (proizvođači vrste lima) na kvalitet lima koriste se formule:

( ) ( )

( ) ( )

1 50 3 1 69,440,0931 9,31%

1025 69,44

1 558,33 4 1 69,440,3663 36,63%

1025 69,44

A RA

T R

B RB

T R

S m VR ili

S V

S S VR ili

S V

− − ⋅ − − ⋅= = =

− ⋅

− − ⋅ − − ⋅= = =

− ⋅

Odgovor: To znači da faktor B (vrsta lima) ima veći relativni uticaj na kvalitet kutija jer je RB=36,63%, nego faktor A (Proizvođač) koji nema značaj.

ZADATAK 191. Zasejane su 4 sorte kukuruza na istom kvalitetu zemljišta pri čemu su upotrebljene iste količine 3 vrste mineralnih đubriva. Dobijeni su prinosi u t/ha:

Vrsta đubriva Sorte

167

kukuruza B1 B2 B3 B4

A1 3,2 3,8 4,4 5,2 A2 3,5 4,2 4,6 4,3 A3 4,3 4,5 4,8 5,3

Uz verovatnoću 95% i 99% proveriti:

a) Da li su razlike u prinosu kukruza s obzirom na vrstu đubriva slučajne ili statistički značajne?

b) Da li su razlike u prinosu kukuruza obzirom na sortu kukuruza slučajne ili statistički značajne?

c) Testiratati najmanje značajne razlike. Rešenje:

3; 4; 12;m S n= = = 4,289; 0,882; 2,71; 0,697;

0,441; 0,903; 0,116;T A B R

A B R

S S S S

V V V

= = = == = =

a)

( ) ( ) ( )0 0,05;2;6 0,01;2;63,801 5,14 10,92AF F F= = = H0 se prihvata

b)

( ) ( )0 0,05;2;67,787 5,14BF F= = H0 se odbacuje

( ) ( )0 0,01;2;67,787 10,92BF F= = H0 se prihvata

c)

( ) [ ]1 0,241 /i ix xx t ha− + =

( ) ( )

( ) ( )

0,05;6 0,01;6

0,05 0,01

2,447; 3,707;

0,589; 0,893;

t t

NZR NZRα α= =

= =

= =

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]1 2 3 41 2 3 43,66 / ; 4,16 / ; 4,6 / ; 4,93 / ;B B B Bx t ha x t ha x t ha x t ha= = = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 1 431 2 1 1 43

2 2 4 43 32 2 4 43 3

0,5; 0,94; 1,27;

0,44; 0,77; 0,33.

B B B B BB

B B B BB B

x x x x x x

x x x x x x

− = − = − =

− = − = − =

168

5.3.3 Testovi na osnovu χ2 rasporeda

5.3.3.1 Testiranje jednakosti originalnih i teorijskih frekvencija ZADATAK 192. U fabrici za proizvodnju roto papira na slučajan način izabrano je 130 radnika, od kojih 10 prebacuje normu 30%. Da li se uz verovatnoću 99% može prihvatiti hipoteza da 10% radnika u celoj fabrici prebacuje normu za 30%? Rešenje:

Tabela 5‐9: Radna tabela za izračunavanje 20χ

Prebačaj norme ( )if

Očekivani

rezultati ( ) fif ( ) ( )ti if f− ( ) ( )2t

i if f⎡ ⎤−⎣ ⎦ ( ) ( )

2

20

ti i

f

f f

fχ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=

Veći od 30%

10 0,1 130 13⋅ = ‐3 9 0,692

Manji od 30%

120 0,9 130 117⋅ = 3 9 0,076

Ukupno 130 130 0 ‐ 0,786

Za 1 2 1 1r m= − = − = i 0,01α = iz tablice ( )20,01;1 6,635χ =

99%

2( )χf

1%α =

2χ2

0 0,768χ = 20 6,635χ =

Slika 14: Područja prihvatanja i odbacivanja H0

Odgovor: Kako je ( )2 2

0 0,01;10,786 6,635χ χ= = nulta hipoteza H0 se prihvata uz

verovatnoću 99% i moće se smatrati da su razlike između empirijskih i teorijskih frekvencija slučajne. To znači, da u celoj fabrici ima 10% radnika koji prebacuju normu za 30%.

169

ZADATAK 193. Kod proizvodnje jedne vrste proizvoda, od 200 na slučajan način izabranih proizvoda, 175 su bila ispravna. Da li se može prihvatiti hipoteza da je u celoj proizvodnji zastupljen odnos 90%:10% (ispravan prema neispravan) uz verovatnoću 95%? Rešenje:

( )2 2

0 0,05;11,38 3,841;χ χ= = H0 se prihvata.

5.3.3.2 Test homogenosti skupa

ZADATAK 194. Proizvođač mesa isporučuje meso u tri različita grada. Anketiranjem 1065 četvoročlanih porodica o mesečnoj potrošnji mesa u kilogramima dobijeni su rezultati:

Grad Mesečna potrošnja mesa

10‐15 15‐20 20‐25 25‐30 A 71 110 85 100 B 63 175 71 95 V 41 129 45 80

Uz verovatnoću 99% proveriti da li se potrošnja mesa statistički značajno razlikuje s obzirom na grad u kome porodica živi? Rešenje: U ovom primeru govori se o testu homogenosti, jer se testira nulta hipoteza o jednakosti različitih skupova različiti gradovi.

Potrebni podaci za izračunavanje teorijskih frekvencija ( )tijf nalaze se u tabeli:

Tabela 5‐10: Mesečna potrošnja mesa u odnosu na gradove

Grad Mesečna potrošnja mesa

Ukupno 10‐15 15‐20 20‐25 25‐30

A 71 110 85 100 366 B 63 175 71 95 404 V 41 129 45 80 295

Ukupno 175 414 201 275 1065

Teorijske frekvencije se izračunavaju na osnovu formule:

170

( ) 1 1

1 1

,

m n

j it i j

ij m n

iji j

f f

f

f

= =

= =

⋅

=∑ ∑

∑∑

11

12

13

14

175 36660,14

1065414 366

142,271065

201 36669,07

1065275 366

94,511065

f

f

f

f

⋅= =

⋅= =

⋅= =

⋅= =

21

22

23

24

175 40466,38

1065414 404

157,041065

201 40476,25

1065275 404

104,321065

f

f

f

f

⋅= =

⋅= =

⋅= =

⋅= =

31

32

33

34

175 29548,47

1065414 295

114,671065

201 29555,67

1065275 295

76,171065

f

f

f

f

⋅= =

⋅= =

⋅= =

⋅= =

171

Tabela 5‐11: Orginalne i teorijske frekvencije

Orginalne frekvencije

ijf

Teorijske frekvencije

( )fijf

( )tij ijf f− ( ) 2

tij ijf f⎡ ⎤−⎣ ⎦

( )

( )

2

20

tij ij

tij

f f

fχ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=

71 110 85 100

60,14142,27 69,07 94,51

10,86‐32,27 15,93 8,49

117,93961041,3529 253,7649 30,1401

1,961 7,319 3,674 0,319

63 175 71 95

66,38157,04 76,25 104,32

‐3,3817,96 ‐5,25 ‐9,32

11,4244322,5616 27,5616 86,8624

0,172 2,054 0,361 0,832

41 129 45 80

48,47114,67 55,67 76,17

‐7,4714,33 ‐10,67 3,83

55,8009205,3489 113,8489 14,6689

1,151 1,791 2,045 0,192

1065 ‐ ‐ 21,871 Za broj stepeni slobode ( )( ) ( )( )1 1 3 1 4 1 6r m n= − − = − − = i rizik greske 0,01α = iz

tablice, očitava se ( )20,01;6 16,812χ =

99%

2( )χf

1%α =

2χ2

0 16,812χ = 20 21,871χ =

Slika 15: Područja prihvatanja i odbacivanja H0

Odgovor: Kako je 2 20 21,871 16,812χ χ= = nulta hipoteza H0 se odbacuje i može

se smatrati da između gradova postoji statistički značajna razlika u potrošnji mesa. To znači da skupovi iz kojih su izvučeni uzorci nisu homogeni. ZADATAK 195. Fabrika za proizvodnju metalnih delova u tri svoja pogona proizvodi jednu vrstu proizvoda. U cilju utvrđivanja zavisnost produktivnost rada u odnosu na pogone na slučajan način popisan je časovni učinak 225 radnika.

172

Pogon Učinak u komadima

55‐60 60‐65 65‐70 70‐75 A1 21 15 11 22 A2 18 17 19 21 A3 20 21 15 25

Uz verovatnoću 99% testirati hipotezu, da produktivnost ne zavisi od vrste pogona. Rešenje:

( )= =2 20 0,01;62,9139 16,812χ χ ; H0 se prihvata.

173

6 REGRESIJA I KORELACIONA ANALIZA 6.1 Linearna i korelaciona analiza ZADATAK 196. Prodaja jednog proizvoda u 310 komada i troškovi za reklamu u iznosila je:

Proizvodnja ( iy ): 10 5 8 12 19 13 20

Troškovi za reklamu ( )x : 15 7 10 17 21 18 25

a) Prikazati ove podatke u dijagramu rasturanja, utvrdi da li postoji korelaciona veza i kakva je po jačini i smeru, pri čemu za promenljivu ( iY ) uzeti prodaju, a

za nezavisno promenljivu ( iX ) troškove za reklamu.

b) Izačunati jednačinu linearne regresije c) Izačunati standardnu grešku

d) Odrediti očekivanu proizvodnju za 530 10i dinara reklame

e) Izračunati koeficijent korelacije f) U dijagramu rasturanja ucrtaj liniju regresije

Rešenje: Tabela 6‐1: Radna tabela za izračunavanje linearne regresije

Prodaja ( iY )

Troškovi zareklamu ( iX )

2iY 2

iX i iY Xi cY ( )ciY Y− ( )2

ciY Y−

10 15 100 225 150 14,44 ‐2,07 4,2998

5 7 25 49 35 4,54 ‐0,46 0,2116

8 10 64 100 80 7,13 0,87 0,7569

12 17 144 289 204 13,17 ‐1,17 1,3689

19 21 361 441 399 16,62 2,38 5,6644

13 18 169 324 234 14,04 ‐1,04 1,0816

20 25 400 625 500 20,07 ‐0,07 0,0049

87 113 1263 2053 1602 13,3881

a)

174

Slika 16: Dijagram rasuranja

Iz dijagrama rasturanja uočavamo da između prodaje jednog proizvoda i troškova za njegovu reklamu postoji pozitivna korelaciona veza (tačke se grupišu od donjeg levog ugla ka gornjem desnom uglu), što znači da sa porastom troškova za reklamu povećava se i prodaja proizvoda. Što se tiče jačine korelacione veze može se reći da je ona jaka jer se tačke grupišu oko zamišljene prave linije interpolirane između tačaka u dijagramu rasturanja.

b) Jednačina linearne regresije: c xY a b= +

Parametri a i b izračunavaju se iz sistema jednačina:

i iY na b X= +∑ ∑

2i i i iX Y a X b X+=∑ ∑ ∑

87 7 113 / ( 113)a b= + − 7 113 87a b+ = 1602 113 2053 / (7)a b= + 7 87 113(0,863)a = −

9831 791 12769a b− = − − 7 10,519a = −

11214 791 14371a b= + 1,503a = −

1383 1602b= 0,863b = 1,503 0,863c iY X= − +

( )1

1,503 0,863 15 11,44cY = − + =

( )2

1,503 0,863 7 4,54cY = − + =

( )3

1,503 0,863 10 7,13cY = − + =

175

( )4

1,503 0,863 17 13,17cY = − + =

( )5

1,503 0,863 21 16,62cY = − + =

( )6

1,503 0,863 18 14,04cY = − + =

( )7

1,503 0,863 25 20,07cY = − + =

c) Standardna greška regresije je:

( )2

1 13,3881 1,91257

n

i ci

Yc

Y YS =

−= = =

∑

1,383YcS =

Srednja mera odstupanja prodaje od linije regresije iznosi 31,383 10i komada.

d) 1,503 0,863c iY X= − +

( )1,503 0,863 30cY = − +

24,387cY =

Očekivana prodaja za troškove reklame od 530 10i dinara je 324,387 10i komada.

e) Koeficijent korelacije:

Tabela 6‐2: Radna tabela

iY iX ( )iY Y− ( )2iY Y− ( )iX X− ( )2

iX X− ( )( )i iX X Y Y− −

10 15 ‐2,43 5,9049 ‐1,14 1,2996 2,7702

5 7 ‐7,43 55,2049 ‐9,14 83,5396 67,9102

8 10 ‐4,43 19,6249 ‐6,14 37,6996 27,2002

12 17 ‐0,43 0,1849 0,86 0,7396 ‐0,3698

19 21 6,57 43,1649 4,86 23,6196 31,9302

13 18 0,57 0,3249 1,86 3,4596 1,0602

20 25 7,57 57,3049 8,86 79,4996 67,0702

87 113 ‐ 181,7143 ‐ 229,8572 197,5714

176

12

87 12,437

n

iiY

Yn

== = =∑

Prosečna prodaja je 312,43 10i komada

1 113 16,147

n

iiX

Xn

== = =∑

Prosečna ulaganja u reklamu je 516,14 10i dinara

( )( )

( ) ( )2 1

2 2

1 1

n

ii

n n

ii i

i

i

X X Y Yr

X X Y Y

=

= =

− −= ±

− −

∑

∑ ∑i

2 197,5714 197,5714229,8572 181,7143 41768,34

r = =i

2 197,5714 0,9667204,3730

r = =

2 0,9667 100r = i

2 96,67%r =

Korelaciona veza između prodaje jednog proizvoda i troškova za reklamu je 96,67% (pozitivna i jaka). ZADATAK 197. Prinos suncokreta u t/ha i količina vodenog taloga na jednom poljoprivrednom dobru po godinama iznosili su:

Godine: 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Prinos: 6 8 5,6 7 7,5 7,8

Vodeni talog u cm: 7 15 9 10 13 11

a) Prikazati ove podatke u dijagramu rasturanja i utvrditi da li postoji

korelaciona veza i ako postoji kakvog je smera i jačine b) Odrediti jednačinu linearne regresije i ucrtaj u dijagramu rasturanja c) Izračunati standardnu trešku regresije d) Izračunati koeficijent korelacije

177

Rešenje: a=3,86; b=0,288 3,86 0,288 icY X= +

[ ]0,490 /YcS t ha=

2 83,51%r = ZADATAK 198. U osam opština, izabranih na slučajan način, broj zaposlednih u hiljadama i društveni proizvod u 810 dinara su:

Broj zaposlenih: 16 4 58 27 19 125 130 141

Društveni proizvod: 8 2 25 11 3 55 56 58

a) Prikazati ove podatke u obliku dijagrama pasturanja i utvrditi da li postoji

korelaciona veza i kakva je po jačini i smeru b) Odrediti jednačinu linearne regresije i ucrtati je u dijagram rasturanja c) Izračunati standardnu grešku regresije

d) Oceniti društveni proizvod za 3110 10i zaposlenih

e) Izračunati koeficijent korelacije Rešenje: a) Samostalno uraditi b) a=0,635 ; b=0,421 ; 0,635 0,421c iY X= +

c) 81,063 10YcS динара⎡ ⎤= ⎣ ⎦

d) 0,635 0, 421(110)cY = +

846,945 10cY динара⎡ ⎤= ⎣ ⎦

e) 65; 28;i iX Y= =

2 0,9989 100r = i

2 99,89%r =

178

6.1.1 Parcijalna korelacija ZADATAK 199. Prinos šećerne repe, dubina oranja i utrošeni je minimalno đubrivo na 5 parcela zemljišta istog kvaliteta:

Prinos šećerne repe ( )1Yt x : 5 3 6 9 11

Dubina oranja u cm (x2) 25 21 20 38 39

mineralno đubrivo u kg (x3) 610 280 710 860 910

a) Izračunati koeficijente proste linearne korelacije. b) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između prinosa

šećerne repe i dubine oranja, ako se isključi utrošeno mineralno đubrivo. c) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije, pa vezu između

prinosa šećerne repe i mineralnog đubriva, ako se isključi dubina oranja. d) Izračunati parcijalni koeficijent korelacije i koeficijent determinacije za vezu

između dubine oranja i utorešenog mineralnog đubriva ako se isključi prinos šećerne repe.

Rešenje:

Tabela 6‐3: Radna tabela

Prinos (x1)

Dubina (x2)

đubrivo(x3)

( )1 2x x⋅ ( )1 3x x⋅ ( )2 3x x⋅ ( )21x ( )22x

( )23x

5

3

6

9

11

25

21

20

38

39

610

280

710

860

910

125

63

120

342

429

3500

840

4260

7740

10010

15250

5880

14200

32680

35490

25

9

36

81

121

625

441

400

1444

1521

372100

78400

504100

739600

82810

34 143 3370 1079 25900 103500 272 4431 2522300

a)

[ ]

11

1

345

6,8

xx

n

x t

= =

=

∑

Prosečan prinos šećerne repe na 5 parcela je 6,8 t

179

22

2

1435

28,6

xx

n

x cm

= =

=

∑

Prosečna dubina oranja je 28,6cm.

33

3

33705

674

xx

n

x kg

= =

=

∑

Prosečna količina utrošenog mineralnog đubriva je 674kg. Kovarijacije

1 21 212

1 31 313

2 32 323

10796,8 28,6 215,8 194,48 21,32

5

259006,8 674 5180 4583,2 596,8

5

10350028,6 674 20700 19276,4 1423,6

5

x xC x x

nx x

C x xnx x

C x xn

= − ⋅ = − ⋅ = − =

= − ⋅ = − ⋅ = − =

= − ⋅ = − ⋅ = − =

∑

∑

∑

Varijanse i standarnde devijacije:

2212 211

1

2726,8 54,4 46,24 8,16

5

8,16 2,8

xx

nσ

σ

= − = − = − =

= =

∑

2

222 222

2

443128,6 886,2 817,96 68,24

5

68,24 8,26

xx

nσ

σ

= − = − = − =

= =

∑

2

232 233

3

2522300674 504160 454276 50184

5

50184 224,01

xx

nσ

σ

= − = − = − =

= =

∑

Koeficijenti proste linearne korelacije:

1212

1 2

21,32 21,320,9218

2,8 8,26 23,128

Cr

σ σ= = = =

⋅ ⋅

180

Odgovor: Korelaciona veza između prinosa šećerne repe i dubine oranja je pozitivna i veoma jaka.

1313

1 3

596,8 596,80,9514

2,8 224,01 627,228

Cr

σ σ= = = =

⋅ ⋅

Odgovor: Korelaciona veza između prinosa šećerne repe i količine đubriva je pozitivna i veoma jaka.

2323

2 3

1423,6 1423,60,7693

8,26 224,01 1850,32

Cr

σ σ= = = =

⋅ ⋅

Odgovor: Korelaciona veza između dubine oranja i količine utrošenog mineralnog đubriva je pozitivna jaka. Parcijalni koeficijent korelacije i koeficijent determinacije b) Parcijalni koeficijent korelacije za vezu između prinosa šećerne repe i dubine

oranja ako se isključi uticaj utrošenog mineralnog đubriva, izračunava se na osnovu obrasca:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

12 13 2312 3

2 22 213 23

12 3

12 3

0,9218 0,9514 0,7693

1 1 1 0,9514 1 0,7693

0,9218 0,7319 0,1899 0,1899

0,0948 0,4082 0,196711 0,90516 1 0,5918

0,9653

r r rr

r r

r

r

⋅

⋅

⋅

− ⋅ − ⋅= =

− ⋅ − − −

−= = =

⋅− −

=

Parcijalni koeficijent korelacije 123 0,9653r = pokazuje da je veza između prinosa šećerne repe i dubine oranja, ako se isključi uticaj količine utrošenog mineralnog đubriva, pozitivna i veoma jaka Koeficijent determinacije

( )22

123

2123

0,9653 0,9318

0,9318 100 93,18%

r

r

= =

= ⋅ =

Odgovor: To znači , ako se iključi uticaj utrošeog mineralnog đubriva, da na prinos šećerne repe 93,18% utiču dubina oranja, 6,82% je uticaj ostalih faktora i slučajnosti.

181

c) Parcijalni koeficijent korelacije za vezu između prinosa šećerne repe i utrošenog mineralnog đubriva, ako se usključi dubina oranja izračunava se na osnovu obrasca:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

13 12 23132

2 22 212 23

12 3

12 3

0,9514 0,9218 0,7693

1 1 1 0,9218 1 0,7693

0,9514 0,7091 0,2423 0,2423

0,1503 0,4082 0,24771 0,8497 1 0,5918

0,9782

r r rr

r r

r

r

⋅

⋅

⋅

− ⋅ − ⋅= =

− ⋅ − − −

−= = =

⋅− −

=

Odgovor: Parcijalni koeficijent korelacije 132 0,9782r ⋅ = pokazuje da je veza između prinosa šećerne repe i utrošenog mineralnog đubriva, ako se isključi dubina oranja pozitivna i veoma jaka Koeficijent determinacije

( )22

132

2132

0,9782 0,9568

0,9568 100 95,68%

r

r

⋅

⋅

= =

= ⋅ =

Odgovor: To znači , ako se iključi uticaj dubine oranja na prinos sećerne repe, da na prinos šećerne repe 95,68% utiču utrošeno mineralno đubrivo, a 4,32% je uticaj ostalih faktora i slučajnosti. d) Parcijalni koeficijent korelacije za vezu između dubinu oranja i utrošenog

mineralnog đubriva, ako se isključi prinos šećerne repe, izračunava se na osnovu obrasca.

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

23 12 13231

2 22 212 13

231

231

0,7693 0,9218 0,9514

1 1 1 0,9218 1 0,9514

0,7693 0,8770 0,1077 0,1077

0,1503 0,0949 0,11941 0,8497 1 0,9051

0,9020

r r rr

r r

r

r

⋅

⋅

⋅

− ⋅ − ⋅= =

− ⋅ − − −

− − −= = =

⋅− −

=

Odgovor: Ovaj koeficijent pokazuje da je veza između dubine oranja i utrošenog mineralnog đubriva, ako se isključi prinos šećerne repe, negativna i jaka.

182

Koeficijent determinacije

( )22

231

2132

0,9020 0,8136

0,8136 100 81,36%

r

r

⋅

⋅

= − =

= ⋅ =

Odgovor: To znači , ako se iključi uticaj prinosa sećerne repe, na dubinu oranja 81,36% utiče količina utrošenog mineralnog đubriva a 18,64% je usticaj ostalih faktora slučajnosti. ZADATAK 200.

Zagađenost vazduha ugljen dioksidom SO2 3/g mμ , utrošena sredstva u 105 dinara za

zaštitu životne sredine i broj obolelih od disajnih puteva u 5 opština bio je:

Emisija SO2 : 11 8 4 6 3

Utrošena sredstva 6 4 2 3 1

broj obolelih 15 9 5 7 4

a) Izračunati koeficijente proste linearne korelacije. b) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između emisije

SO2 i utrošenih sredstava ako se isključi uticj obolelih. c) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između emisije

SO2 i broja obolelih,ako se isključi uticaj utrošenih sredstava d) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između

utrošenih sredstava i broja obolelih ako se iskljuci uticaj emisije SO2 Rešenje:

a) [ ]3 51 2 2 36,4 / ; 3,2 10 ; 8x SO g m x din x broj obolelihμ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

12 13 234,92; 11; 6,6;C C C= = =

1 2 32,87; 1,72; 3,89;σ σ σ= = =

12 13 230,9979; 0,9856; 0,9865r r r= = = b)

212 3 12 30,9277; 86,06%r r⋅ ⋅= =

c)

2132 1320,1132; 1,28%r r⋅ ⋅= =

d)

2231 2310,2752; 7,57%.r r⋅ ⋅= =

183

ZADATAK 201. Posmatrano je sedam radnika u jednom proizvodnom pogonu i dobijeni su sledeći podaci:

dužina radnog staža (god) : 1 3 5 7 9 11 13

broj škarta proizvoda (kom) 12 18 9 6 5 4 2

zarada radnika (102 din) 210 230 250 270 290 310 360

a) Izračunati koeficijente proste linearne korelacije. b) Izračunati parcijalni koeficijent . Rešenje:

a) [ ] [ ] 21 2 37 ; 8 ; 274,28 10x godina x komada x dinara⎡ ⎤= = = ⎣ ⎦

12 13 2317,72; 185,75; 202,82;C C C= − = = −

1 2 34; 5,099; 47,19;σ σ σ= = =

12 13 230,8687; 0,9840; 0,8429r r r= − = = − b)

212 3 12 30,4098; 16,72%r r⋅ ⋅= − =

2132 1320,9448; 89,27%r r⋅ ⋅= =

2231 2310,1349; 1,82%.r r⋅ ⋅= =

ZADATAK 202. Vrednost opreme po radniku u mil. dinara, broj radnika i zaradi u m.dinara u jednoj kompaniji bili su:

vrednost opreme 3 4 6 8 9 11

broj radnika 4 5 7 9 11 13

zarade 2 3 5 10 14 17

a) Izračunati koeficijente proste linearne korelacije. b) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između

vredosti opreme i broja radnika ako se isključuje zarada. c) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između

vrednosti opreme i zarade ako se isključi broj radnika d) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između broja

radnika i zarade ako se isključi vrednost opreme

184

Rešenje:

a) [ ] [ ] [ ]1 2 36,83 . ; 8,16 ; 8,5 .x mil din x br radnika x mi din= = =

12 13 238,93; 15,45; 17,47;C C C= = =

1 2 32,8; 3,20; 5,62;σ σ σ= = =

12 13 230,9966; 0,9822; 0,9716r r r= = = b)

212 3 12 30,9527; 90,76%r r⋅ ⋅= =

c)

2132 1320,7638; 54,29%r r⋅ ⋅= =

d)

2231 2310,4705; 22,14%.r r⋅ ⋅= − =

ZADATAK 203. U jednom preduzeću tražnja cena i ponuda jednog proizvoda bila je:

tražnja 17 16 15 11 2

cena 14 17 19 22 24

ponuda 19 26 31 34 39

a) Izračunati koeficijente proste linearne korelacije. b) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između tražnje i

cene ako se isključi ponuda c) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između tražnje i

ponude ako se isključi cena d) Izračunati parcijalni koeficijent i koeficijent determinacije za vezu između cene i

ponude ako se isključi tražnja Rešenje:

a) 1 2 312,2; 19,2; 29,8x x x= = =

12 13 2317,24; 32,36; 24,04;C C C= − = − = −

1 2 35,49; 3,54; 6,85;σ σ σ= = =

12 13 230,8872; 0,8606; 0,9913r r r= = = b)

212 3 12 30,5074; 25,74%r r⋅ ⋅= − =

c)

2132 1320,3092; 9,56%r r⋅ ⋅= =

d)

2231 2310,9694; 93,96%.r r⋅ ⋅= =

185

6.1.2 Korelacija ranga

A) Spermanov koeficijent korelacije ranga ZADATAK 204,. Vrednosti proizvedene opreme po radniku i broju izrađenih komada na čas u 5 pogona bio je:

pogoni: I II II IV V

vrednost proizvodnje: 32 41 58 63 39

broj komada 18 25 32 36 28

Izračunati koeficijent korelacije ranga. Rešenje:

Tabela 6‐4: Radna tabela za određivanje koeficijenta korelacije ranga

pogoni vrednostobeležja

rang di 2di

X1 X2 X1 X2III III IV V

3241 58 63 39

1825 32 36 28

53 2 1 4

54 3 1 2

0‐1 0 0 1

01 0 0 1

ukupno ‐ ‐ 15 15 0 2 Kontrola da li je dobro izvršeno rangiranje vrši se na osnovu izraza:

( ) ( )1 5 5 1' 15

2 2

n nZR

+ ⋅ += = =

Koeficijent korelacije ranga izračunava se na osnovu izraza

( ) ( )

2

112 2 2

12

66 2 12

' 1 1 1 1 0,15 241 5 5 1

' 0,90.

n

i

di

rn n

r

= ⋅= − = − = − = −

⋅− −

=

∑

Odgovor: Korelaciona veza između ranga vrednosti proizvodnje i ranga izrađenih broja komada je pozitivna i jaka.

186

ZADATAK 205. U jednom preduzeću za proizvodnju jedne vrste proizvoda (izraženo u godinama) i napravljenog škarta iskazano je u komadima:

radni staž 1 2 3 4 5 6 7 8škart 20 18 18 10 8 8 5 4

Izračunati koeficijent korelacije ranga. Rešenje:

Tabela 6‐5: Radna tabela za određivanje koeficijenta korelacije ranga vrednostobeležja

rang di 2di

X1 X2 X1 X212 3 4 5 6 7 8

2018 18 10 8 8 5 4

87 6 5 4 3 2 1

12,5 2,5 4 5,5 5,5 7 8

74,5 3,5 1

‐1,5 ‐2,5 ‐5 ‐7

4920,2512,251

2,25 6,25 25 49

‐ ‐ 36 36 0 165

( ) ( )

2

112 2 2

66 165

' 1 1 0,96421 8 8 1

n

i

di

rn n

= ⋅= − = − =

− −

∑

B) Kendallov koeficijenat korelacije ranga

ZADATAK 206. U sedam preduzeća za proizvodnju šampona z akosu u litrima, vrednost proizvodne opreme u 105 dinara i udeo kvalifikovanih radnika iznosili su:

proizvodnja: 152 164 180 152 175 164 190 vrednost opreme: 150 138 189 145 160 189 191 udeo KV radnika: 28 31 41 41 46 44 42

Izračunati koeficijenat korelacije ranga.

187

Rešenje: Tabela 6‐6: Radna tabela za određivanje Kendalovog koeficijenta

proizvodnja X1

vrednost opreme X2

udeo KV radnika X3

rangSi 2Si

X1 X2 X3152 164 180 152 175 164 190

150138 189 145 160 189 191

2831 41 41 46 44 42

6,54,5 2 6,5 3 4,5 1

57 2,5 6 4 2,5 1

76 4,5 4,5 1 2 3

18,517,5 9 17 8 9 5

342,25 306,25 81 289 64 81 25

‐ ‐ ‐ 28 28 28 84 1188,5 Koeficijent korelacije se izračunava na osnovu formule:

2

2

21 1

12 2 3 2 3

12

12 12 7 1188,5 8,4''

3 7 7 7'' 0,7144.

n n

i i

n Si Si

rm n n n

r

= =

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⋅ −⎝ ⎠= ⋅ = ⋅⋅ − ⋅ −

=

∑ ∑

Odgovor: Kandall‐ov koeficijenat korelacije ranga pokazuje da je korelaciona veza između rangova proizvodnje, vrednost opreme i udeo Kv radnika pozitivna i značajna. ZADATAK 207. Kod šest poljoprivrednih preduzeća, broj poljoprivrednih mašina, broj zaposlenih, broj hektara i prinos kukuruza iznosili su :

broj mašina: 31 42 29 45 47 50 broj zaposlenih 116 120 131 110 140 145 broj hektara: 1200 1500 2100 1800 2500 2300 prinos kukuruza t/ha: 4,6 3,5 5,5 6,0 7,1 7,5

Izračunati koeficijenat korelacije ranga. Rešenje:

12'' 0,7571.r =

188

US_-_Statisticke_metode_-_praktikum_2010_0

Documents

Transcript of US_-_Statisticke_metode_-_praktikum_2010_0