Určování struktury krystalů
50
Určování struktury krystalů Malé molekuly Velké molekuly )) ( 2 cos( ) ( ) ( ) ( | | 1 1 2 2 k j N j N k j k j j f f f I r r H H H H F H H ná intenzita (bez korekčních faktorů) Atomové rozptylové faktory Polohové vektory ato ????
description
Určování struktury krystalů. Malé molekuly. Velké molekuly. Měřená intenzita (bez korekčních faktorů). Polohové vektory atomů ????. Atomové rozptylové faktory. Strukturní faktor. Experimentální veličiny. Elektronová hustota r. Fázový problém. Monokrystalová strukturní analýza. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Určování struktury krystalů
Určování struktury krystalů
Malé molekuly Velké molekuly
))(2cos()()()(||1 1
22kj
N
j
N
kjkjj fffI rrHHHHFHH
Měřená intenzita (bez korekčních faktorů)
Atomové rozptylové faktoryPolohové vektory atomů
????
Strukturní faktor
N
jjj ifdi
1
)2exp()()2exp()( HrHrHrrFH
N
jnnnnhkl lzkyhxifF
1
))(2exp(
Experimentální veličinyElektronová hustota
Fázový problém
Monokrystalová strukturní analýza
• Příprava krystalů vhodných k difrakčnímu měření• Sběr difrakčních dat• Řešení fázového problému• Upřesnění struktury
Malé vzorky (~ 0.1 mm), nejlépe kulový tvar
Biologické vzorky - v mateřském roztoku, molekuly solvátu(30-70 %)
Mezní rozlišení atomů - Rmin = 0.92 dmin max= 25° pro Mo K
Omezení pro makromolekuly
Určení symetrie krystalové struktury
Bijvoetovy páry lkhhkl
n
nnnnhkl lzkyhxfF )(2cos
n
nnnnlkhlzkyhxfF )(2cos
Centrosymetrický krystal
hkllkhFF
Necentrosymetrický krystal
n
nnnnhkl lzkyhxfF )](2exp[
n
nnnnlkhlzkyhxfF )](2exp[
*hkllkh
FF Friedelův zákon
hkllkhII
Intenzita závisí pouze na velikosti strukturních faktorů
Difrakční obraz je vždy centrosymetrický Vážená reciproká mříž každého krystaluje centrosymetrická
2''
22'
21221 cosicoscos fffffFhkl
Anomální disperze
)cos(i)cos( 2''
22'
21 fffFlkh
Centrosymetrický krystal
Necentrosymetrický krystal
)2/(exp)exp( 2''
22'
21 ififfFhkl
)2/(exp)(exp 2''
22'
21 ififfFlkh
Intenzita difraktovaných svazků závisí pouze na velikosti strukturních faktorů a nezávisí na jejich fázi
Laueova grupa symetrie 10 možných typů lauegramůLze určit pouze makroskopické prvky symetrie
Vyhasínání reflexí
Subtranslace -šroubové osyskluzové roviny
centrování mříže
Př. 21 podél c (x,y,z)
2
1,, zyx
m
mmmmmmmhkl lzkyhxilzkyhxifF )}]2/1(2exp{)}(2[exp{
Pro 00l ])exp(1}[2exp{00 m
mml ililzfF Pro l liché, F00l = 0
Šroubové osy se projevují vyhasínáním – h00, 0k0, 00l, hh0
Skluzové roviny se projevují vyhasínáním – 0kl, h0l, hhl, hk0
Možné difrakce Typ mříže
h + k + l = 2n I
h + k = 2n C
h + l = 2n B
l + k = 2n A
h + k = 2nh + l = 2nl + k = 2n
F
-h + k + l = 3n R
Vyhasínání vlivem centrování buňky
Urcčení typu mříže a přítomnost šroubových os nebo skluzových rovin
Obecné a speciální vyhasínací podmínky
Renningerův jev – vícenásobná difrakce
Komplikace při hledání prvků symetrïe
Určení
Laueho grupy symetrieTypu mřížePřítomnosti šroubových os a skluzových rovin
Difrakční symboly
mmmI---mmmI-a-mmmIbca
122 symbolů
Daný atom nepřispívá k pozorované intenzitě
Metody řešení struktur
Iterativní metody - struktury určené symetrií krystalu jednoparametrové struktury
Pattersonovské metody
Přímé metody
Př. CsCl, NaCl, KCl, U [Valvoda, str. 292]
CsCl Jedna vzorcová jednotka na buňku Primitivní buňka
Difrakční symbol m-3P--- nebo m-3mP---
P23, Pm-3, P432, P-43m, Pm-3m
Ekvivalentní polohy 1a: 0 0 0, 1b: ½ ½ ½
Pattersonovské metody
Pattersonova funkce xuxxxxu dPV )()()(*)()(
N
jjjP
1
)()()( urru
)2exp(||)(2
uHFuH
H iP Maxima odpovídají všem možným meziatomovým vektorům spojujícím atomy v elementární buňce.
Tato maxima mají stejnou periodicitu a symetrii jako krystalová mřížka.Výška píku je úměrná součinu protonových čísel atomů spojenýchvektorem u vynásobeném multiplicitou tohoto vektoru (N2 maxim)
Výrazná maxima v Pattersonově funkci
1. Řada vektorů se stejnou délkou a směrem 2. Limitovaný počet těžkých atomů s protonovým číslem výrazně větším než zbývající atomy
Vždy centrosymetrická funkcezachovává centraciprvky symetrie s translační složkou jsounahrazeny prvky bez této složky
)(2cos1
)( 22
lzkyhxFV
xyzPh k l
hkl
Použití projekcí Pattersonovy funkce
)(2cos1
)( 22
kyhxFAV
xyPh k
hkl
těžký atom – těžký atom – výrazné maximum na mapě
těžký atom – lehký atom – střední maximum na mapělehký atom – lehký atom – výrazné maximum na mapě
Harkerovy řezy a přímky Nakupení maxim (od atomů spjatých operacemi symetrie)
Pětiatomová molekula
Všechny možné meziatomové vektory
Pattersonova mapa
Maxima elektronové hustoty
Pattersonova funkce
Rozdělení elektronové hustotyFourierova řada
aXxnxAx n /,2cos)( periodicita
1
0
2cos)( dxnxxAn
h k lhkl a
Zl
a
Yk
a
XhiA
VXYZ 2exp
1)(
dXdYdZabc
V
a
Zl
a
Yk
a
XhiXYZ
VA
a b c
hkl
0 0 0
2exp)(1
dVrSirSFV
}2exp{)()(
VFA hklhkl /
Fourierova syntéza, mapy elektronové hustoty
h k lhkl a
Zl
a
Yk
a
XhiF
VXYZ 2exp
1)(
Dvojrozměrné řezy
h k lhkl a
Yk
a
XhiF
VXY 2exp)(
1)0(
Projekce
h khk a
Yk
a
XhiF
AXY exp
1)( 0
Projekce vážené reciproké mříže do roviny l = 0
Translační perioda
a b ca b
dXdYdZabc
VXYdXdY
ab
AXY
0 0 00 0
)()(
h khk
l
c
hklh k
c
h k lhkl
c
b
Yk
a
XhiF
A
dZc
ZilF
b
Yk
a
Xhi
Ac
dZc
Zl
b
Yk
a
XhiF
VAc
V
dZXYZabc
V
A
abXY
0
0
0
0
1
2exp2exp1
2exp1
)()(
Metoda těžkého atomu
nN
jjj
THH fFF
1
2cos Hr
Polohy těžkých atomů známé (např. z Pattersonovy funkce)
Postupná Fourierova syntéza se startovacím souborem FH
o stejných znaménkách jako FHT
.
Rozptyl na těžkých atomech dominuje a určuje znaménka většiny strukturních faktorů
n těžkých atomů
-4/60 4/60-12/60-17/60-25/60
Příklad
12/60 17/60 25/60
m1/m2 = 3/8
f1 ~ 3·(-2 sin2/2)
f2 ~ 8·(-2 sin2/2)h F(h) FT(h)
0 34 16
1 4 5
2 -11 -10
3 -7 -13
4 5 3
5 11 14
6 -6 6
7 -6 -9
8 -16 -11
9 -4 1
Pattersonova funkce
Fourierova syntéza se znaménkyurčenými z poloh těžkých atomů
Fourierova syntéza se znaménkyurčenými z poloh těžkých atomů a vynecháním nejistě určených faktorů
Fourierova syntéza se správnými znaménky
Fourierova syntéza s váženými koeficienty
xT = 0,196 ~ 12/60
Substituční metody
MIR - Multiple Isomorphous ReplacementSIR- Single Isomorphous ReplacementSIRAS - Single Isomorphous Replacement and
Anomalous Scattering
Příprava derivátů. Nahrazení několika atomů ve známých polohách jinými atomy (např. lehkých atomů těžkými)
Hlavní užití – při studiu makromolekul
nN
jjjHA
AH fSfF
1
2cos Hr
Příklad pro centrosymetrický krystal:
nN
jjjHB
BH fSfF
1
2cos Hr
HBAB
HA
H SffFF )(
2,20,12
10||,8||,78||,92|| 2211
HBA
Bh
Ah
Bh
Ah
Sff
FFFF
10,8,78,92 1211 Bh
Ah
Bh
Ah FFFF
Faktory symetrie
známéPř.
Následná Fourierova syntéza
Izomorfní deriváty A, B
Metoda anomální disperze
MAD - Multi-wavelength Anomalous Diffraction
Centrosymetrický krystal '''hhh
ah FFFF
změřené hodnoty
FH je pro centrosymetrický krystalreálná veličina
v blízkosti absorpční hrany těžkého atomu
Přímé metody
Statistické metody, využití obecných informací o elektronové hustotě, nerovností
j j
jj
jjj baba 222 ||||||Cauchy
j j
jj
jjj ffiHrf 2|2exp|
j
jhkl FfF 2000
22 ||||||
Střed symetrie
j
jjhkl fF rH2cos
})2(2cos1{
2
12cos|| 22
jf
jj
jjf
jj
jhkl ffffF rHrH
N
jjf
1
)(
||||
H
FU H
HJednotkové strukturnífaktory
)2exp(; 2/12/1jjjjj ifbfa rH
Centrosymetrický krystal
)2cos(2)]2exp()2[exp(2/
1
2/
1j
N
j
N
jjjjjH rHifrHirHifF
Součet N/2 nezávislých náhodných veličin
)2cos(2 rHfx jj
se střední hodnotou
)2cos(2 jjj rHfx
Náhodné rozdělení souřadnic
0 jx 02/
1
N
jjxF
Rozptyl
N
jj
N
jj ffFF
1
22/
1
2222 2
Distribuční funkce F )2/exp(2
1)( 2
1
FFP
)2/||exp(2
)(2|)(| 211
FFPFP
Necentrosymetrický krystal
HHH iBAF
2/1;0 2AA
2/1;0 2BB
)/exp(1
)( 2
AAP
)/exp(1
)( 2
BBP
Celková pravděpodobnost, že A leží mezi A a A+dA a B mezi B a B+dB jeP(A).P(B)
)/||exp(||2
|)(| 21
F
FFP
0
..
..
..
..
21
2122
1211
21
0HHHHH
HH0HHH
HHHH0H
HHH0
UUUU
UUUU
UUUU
UUUU
nnn
n
n
n
Karle, Hauptman
Pro střed symetrie
)1(2
1|| 2,2,22
lkhhkl UU
Dvojčetná osa ve směru c
)1(2
1|| 20,2,22
khhkl UU
Elektronová hustota musí být nezáporná a soustředěná dokonečného počtu diskrétních atomů
||,0 000000 HFFF
)1(2
1|| 20,2,02
khkl UU
Rovina zrcadlení kolmá k ose c
N
jjf
1
2 )(
||||
H
FE
H
HH
Normalizované strukturní faktory
Počet identických příspěvkůk FH od symetricky ekvivalentních atomůN... Počet atomů v základní buňce
N
jjjj
jj
iZZ 1
22exp
1HrE
H
H
Atomové číslo Rozptyl na bodovém nekmitajícím atomu, úhlově nezávislý
Mapa s ostrými maximy
Součet fází h1¡+ h2+ h3 je strukturní invariant (nezávislý na volbě počátku mříže), pokud h1 + h2 + h3 = 0 (součet tří difrakčních vektorů je nulový)
Strukturní invariantyFáze obecně závisí na volbě počátku buňky
H = K + (H - K)
Strukturní invarianty
Triplety, kvartety, F000
1212121
...(exp|...|... HHHHHHHHH iFFFFFFmm
obecně
H1 + H2 + … + Hn = 0
321
3213321
3
33
2
22
1
11
)()(2exp
)(2exp2exp2exp
jjjjjjjjjj
jjj
jjj
jjjKHKH
ifff
ifififFFF
rrKrrH
rKHKrHr
Pro podobné sin
321
1232312
21
1212
32
3223
31
1331
)()(2exp;
||)(2exp;
||)(2exp;
||))((2exp;
;
321
222132
222231
222321
3321
jjjjjjjjjj
jj
jjjjjj
jj
jjjjjj
jj
jjjjjj
jj
rrrrifffjjj
fFrriffjjj
fFrriffjjj
fFrriffjjj
fjjjj
RHK
H
K
KH
H
K
KH
Elektronové hustoty jsou nezáporné
> 0
> 0
> 0
> 0
Pro velká |F|
Součet kladnýcha záporných hodnotmalé číslo
0||3|||||| 22223 RFFFFKfFFF KHKHj
jKHKH
Pro velké strukturní amplitudy
)sgn()sgn()sgn( KHKH FFF
Pro silné reflexe k a h - k, určuje součin těchto reflexí v Sayreho vztahu znaménko
)sgn()sgn()sgn( KHKH EEE )sgn()sgn( K
KHKH EEE
Sayreho rovnice K
KHKH EEECentrosymetrické krystaly
Pravděpodobnost, že určené znaménko je kladné
KKHKHH EEEE )||tanh(
2
1
2
1)( zP
N
j
N
jjj ZZz
1 1
2/323 )/(
Čím větší jsou hodnoty Eh, Ek, Eh-k, tím větší je pravděpodobnostsprávného určení znaménka
4 2 0 2 40
0.2
0.4
0.6
0.8
11
3.354 104
0.5 1 tanh x( )( )
44 x
KHKH
KHKH
~
~Nejpravděpodobnější hodnota strukturníhoinvariantu je rovna nule
Střední hodnota pro různá K
Necentrosymetrické krystaly
Tangentová formule
H
H
KHKKHK
KHKKHKH C
S
EE
EE
)cos(||
)sin(||tan
S variancí správné hodnoty fáze H
1
20
22 )(
)1()(
4
3 n
nn
n
J
IH
HH
2/122 )(||2 HHHH CSEz
Nejpravděpodobnější hodnota H
2/12/1
1
1
1
1||
KH
KH
K
KKHKH U
U
U
UUUU
Postup při určování struktury
Sběr dat
Orientační matice OVztah mezi souřadným systémem krystalu (C)(goniometrické hlavičky) a systémem reciproké mříže*
),,();,,();,,( lkhzyxzyx LLLLcccc HXX
Souřadnice vektoru h popisujícího nějakou veličinu v reciprokém prostoru
systém krystalu laboratorní systém reciproký systém
GGLL AAA XXHh *COAA *
OAA CC HHX 1)(*
Pro určení orientační matice stačí znalost přesných hodnot Millerových indexůa reciprokých souřadnic pro tři nekoplanární difrakční vektory
„Peak hunting“ – orientační reflexe, ve středu Braggových úhlů
Indexace píkůVolba vhodné počáteční reciproké buňky
Tři nejkratší nezávislé vektory vybrané z tabulky difrakčních vektorůa rozdílů difrakčních vektorů, pomocí nichž se podaří přiřadit Millerovyindexy všem vstupním orientačním reflexím
Indexace v přímém prostoru
Koncové body libovolných nezávislých uzlových vektorů v reciprokémprostoru definují rovinu, jejíž normála splývá s nějakým vektorem v přímém prostoru
Projekce všech uzlových bodů reciprokého prostoru do směruvektoru odpovídajícího přímého prostoru tvoří jednodimenzionálnímřížku.
Upřesňování orientační matice
p
q
qCi
iki
qi
p
q
qCi
i
qCi XOHobsXcalcXS
1
23
11
23
1
][)]()([
Počet orientačních reflexí
minimalizace
Měření integrálních intenzit
sken sken
Rotační metoda Vhodná pro velké buňky (velké množství reflexí)
Krystal rotuje nebo osciluje kolem osy kolmé na dopadající paprsek
Difrakční podmínka je splněna pro úseky rovin v reciprokém prostoru,které mají nenulový průnik s lunetami vymezenými Ewaldovými koulemiodpovídajícími krajním polohám.Reflexe obsažené v každém z párů lunet mají společný jeden z indexů
Zakázaná oblastNutnost více os
Monokrystalový difraktometr s plošným detektorem
Rmax = /2 sin max
Rmin = /2 sin min
2max = c + tan-1(a/2D)
2min = c - tan-1(a/2D)
Korekce na Lorentzův faktor a polarizaci
Korekce na absorpci
Transmisní koeficient T
dvqpV
dvxV
T ))(exp(1
)exp(1
Dráhy dopadajícíhoa difraktovaného svazku
i
imix
Hmotový absorpční koeficient
Hmotnostní frakce
Analytické korekce:Koule, válec, čtyřstěn
Empirické korekce
Postup při určování struktury
Měřené intenzity korigované na Lp faktor, případně absorpční faktor, určení škály
sin
,)(
)(
)(0
1
2
s
sI
sf
sK
N
jj
Hodnoty strukturních faktorů přibližně korigované na vliv teplotních kmitů
Výpočet normalizovaných strukturních faktorů
)2exp(|||| 2202 BsFKF HobsH
Statistická analýza v souboru reflexí
N
jjs
s
sobsH fsBKF
1
2022
;2ln||
ln
Hodnoty atomovýchfaktorů pro s = <s2>-(1/2)
N
jj
obsHH
fBsK
FE
1
202
2
)2exp(
||||
Iterativní určování fází
Roztřídění reflexí do skupin podle kombinací sudých a lichých indexůSetřídění podle hodnot normalizovaných strukturních faktorůVýběr tří vhodných skupin a v nich max. |Eh|Přiřazení fází těmto hodnotámVýběr dalších reflexí s velkými |Eh| a přiřazení symbolických fází
Startovací soubor reflexí
Fourierova syntéza s koeficienty Eh
Schema určování fází přímými metodami
Normalizace |Fobs|
Nalezení strukturních invariantů
Volba optimální počáteční množiny fází
Výpočet fází strukturních faktorů Eobs
Test fází
Výpočet Fourierovy mapy
Interpretace Fourierovy mapy
1
eH
H
HH
A
AMABS
eH
HH AR /||100
Upřesňování struktury
V přímém nebo v reciprokém prostoru
)exp(||'
)exp(||
co
cc
iF
iF
Modelová struktura
Upřesněná struktura
Elektronová hustota azidopurinu
a) Rozlišení 0,55 nm – 7 reflexíb) 0,25 nm – 27 reflexíc) 0,15 nm - 71 reflexí d) 0,08 nm – 264 reflexí
Rozdílová Fourierova syntéza
h k l
cc lzkyhxiFFV
xyz 00 )}(2exp{)(1
)(
Elektronová hustota spočtenábez neznámých poloh
Upřesňování v reciprokém prostoru
monokrystal polykrystal
Metoda nejmenších čtvercůSimulované žíháníGenetický algoritmus
Faktor spolehlivosti
Porovnávání spočtených a naměřených strukturních faktorů
HH
H
cHHH
w
HH
H
cHH
Fw
FFwR
F
FFR
||
||||||nebo
||
||||||
0
0
10
0
HHH
H
cHHH
w
HH
H
cHH
Fw
FFwR
F
FFR 220
2220
2220
2220
)(
)()(nebo
)(
)()(
Problémy v makromolekulární strukturní analýze
Velký počet určovaných parametrůŠum
Hledání minima E = Echem + Rw
úhly páryatomvazbybchem crrbarkrrkE
.
161220
20 ...)()()(
Empirické informace o rovnovážné kovalentní vazebné geometrii,o molekulových vibracích, vodíkových můstcích a nevazebných interakcích
