UP. Bez Nomera - ToT. TMO Lekcii Ch.2

Бухмиров В.В. Лекции по ТМО декабрь, 2008_часть2_в7 1

РАЗДЕЛ 3. Конвективный теплообмен в однофазных средах

§3.1. Основные понятия и определения

Конвекция теплоты осуществляется за счет перемещения макрообъемов среды из об-

ласти с одной температурой в область с другой температурой. Конвекция протекает совмест-

но с процессом теплопроводности. Сочетание конвекции и теплопроводности, наблюдаемое

в текучих средах, называют конвективным теплообменом. Поэтому плотность теплового по-

тока при конвективном теплообмене рассчитывается по формуле:

hwTqqq конвкондкто ,

где ктоq – плотность теплового потока при конвективном теплообмене, Вт/м2; кондq – плот-

ность теплового потока при кондуктивном (за счет теплопроводности) теплообмене, Вт/м2;

конвq – плотность теплового потока за счет конвекции текучей среды, Вт/м2; – коэффици-

ент теплопроводности флюида, Вт/(м2·К); T – градиент температур, К/м; – плотность

флюида, кг/м3; w – скорость движения флюида, м/с; Tch p – удельная энтальпия флюи-

да, Дж/кг; T – температура, ºC или К.

Таким образом, для расчета теплового потока, передаваемого в неизотермической теку-

чей среде необходимо предварительно рассчитать температурное поле и поле скорости.

В зависимости от причины, вызывающей движение текучей среды, различают конвек-

цию при вынужденном движении или вынужденную конвекцию и конвекцию при свободном

движении или свободную конвекцию. При вынужденной конвекции движение текучей среды

происходит под действием внешней силы – разности давлений в потоке, которую создает ка-

кое-либо транспортирующее флюид устройство, например, вентилятор, насос и т.п. При сво-

бодной конвекции движение среды происходит без приложения внешней силы, а вследствие

разности плотностей различных объемов среды, которая может возникать из-за переменного

поля температуры, т.к. плотность )T(f . Переменное поле температур вызывает перемен-

ное поле плотности и, вследствие этого, в поле земного тяготения происходит перемещение

масс с разной плотностью ( легкие слои поднимаются вверх, тяжелые опускаются вниз). В

этом случае говорят о свободной тепловой или естественной конвекции. Заметим, что пере-

менная по объему плотность текучей среды может быть создана и путем механического пе-

ремешивания сред с различной плотностью (например, при продувке жидкой стальной ванны

кислородом).

По интенсивности движения различают два основных режима течения: ламинарный и

турбулентный. Для большинства флюидов существует и переходный от ламинарного к тур-

булентному режим течения.

Признаки ламинарного режима течения:

— частицы среды движутся по плавным взаимно непересекающимся траекториям;

— параметры течения (температура, скорость, давление и концентрация примесей) яв-

ляются гладкими функциями координат и времени;

—перенос субстанции (теплоты, импульса и массы) осуществляется за счет взаимодей-

ствия микрочастиц среды (атомов, молекул, ионов и т. п.). Поэтому коэффициенты переноса

субстанции (коэффициент температуропроводности, коэффициент кинематической вязкости

и коэффициент диффузии) являются физическими характеристиками вещества. Коэффици-

енты переноса субстанции для разных веществ определяют экспериментально и приводят в

справочных таблицах в зависимости от температуры.

Признаки турбулентного режима течения:

— частицы среды движутся по сложным, ломаным, взаимно пересекающимся траекто-

риям;


— параметры течения (температура, скорость, давление и концентрация примесей) яв-

ляются пульсирующими функциями координат и времени;

—перенос субстанции (теплоты, импульса и массы) осуществляется за счет взаимодей-

ствия макрообъемов среды (турбулентных молей). Поэтому коэффициенты переноса суб-

станции (коэффициент температуропроводности, коэффициент кинематической вязкости и

коэффициент диффузии) зависят от самого режима движения и не являются физическими

характеристиками вещества. Коэффициенты турбулентного переноса субстанции рассчиты-

вают по, так называемым, полуэмпирическим моделям турбулентности, изучение которых

выходит за рамки нашего краткого курса.

Существование ламинарного или турбулентного режима течения зависит от соотноше-

ния двух сил, действующих в текучей среде: силы инерции ( инf )и силы трения ( трf ). При

условии трин ff имеет место ламинарный режим течения и, соответственно, наоборот,

при трин ff – турбулентный режим.

§3.2. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

В общем случае однофазная химически однородная текучая среда характеризуется:

1. полем температуры ),x(T i – скалярное поле;

2. полем скорости kwjwiw),x(w zyxi

– векторное поле;

3. полем давления ),x(p i – скалярное поле,

где xi – ортогональная система координат (например, для декартовой системы координат

zx,yx,xx 321 ); – время. При этом физические свойства среды (плотность, коэф-

фициенты вязкости, коэффициент теплопроводности) должны быть известны.

Для расчета температуры, давления и, в общем случае, трех составляющих вектора

скорости необходимо решить пять дифференциальных уравнений:

— дифференциальное уравнение переноса энергии в текучей среде – уравнение Фурье-

Кирхгофа;

— три дифференциальных уравнения переноса импульса в текучей среде – уравнения

Навье - Стокса;

— дифференциальное уравнение неразрывности или сплошности.

Дифференциальное уравнение Фурье-Кирхгофа

В векторном виде уравнение переноса энергии в текучей среде имеет вид:

)w(divpqTgraddivTwT

c v

,

где /Tc – слагаемое в правой части уравнения энергии, которое отражает нестаци-

онарность процесса теплообмена; Twc – конвективный член уравнения энергии –

учитывает перенос теплоты за счет движения среды; )]T(grad[div – диффузионный член

уравнения – учитывает перенос теплоты теплопроводностью; vq – источниковый член урав-

нения – учитывает поступление или убыль энергии за счет действия внутренних источников

или стоков теплоты; Ф – слагаемое уравнения энергии, учитывающее нагрев среды

вследствие диссипации кинетической энергии движения за счет трения; – динамический

коэффициент вязкости; Ф – диссипативная функция; wdivp – слагаемое уравнения энер-

гии, учитывающее изменение энергии флюида при его сжатии или расширении.


Последние два слагаемых в уравнении переноса энергии в значительной степени зави-

сят от скорости движения и для скоростей менее 100 м/с, характерных для энергетических и

теплотехнологических агрегатов, в расчетах теплообмена не учитываются в силу их малости.

Принимая допущение о независимости физических свойств среды от температуры и отсут-

ствии внутренних источников теплоты уравнение Фурье-Кирхгофа принимает вид:

TaTwT 2

,

где )c/(a – коэффициент температуропроводности текучей среды, м2/с; ρ – плотность,

кг/м3; с – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг·К).

Заметим, что для неподвижной среды ( 0w ) уравнение Фурье-Кирхгофа переходит в

уравнение теплопроводности – уравнение Фурье.

Для решения уравнения Фурье-Кирхгофа необходимо предварительно рассчитать поле

скорости, решив уравнения Навье - Стокса.

Дифференциальные уравнения движения текучей среды

(уравнения Навье - Стокса)

Вывод уравнений Навье–Стокса основан на законе сохранения количества движения

для фиксированной массы М текучей среды, согласно которому изменение импульса равно

сумме внешних сил, действующих на элементарный объем массой М:

внешнf

d

d

,

где wM

– импульс, кг·м/с; внешнf – внешние силы, действующие на элементарный

объем флюида, Н.

Запишем без вывода уравнения Навье – Стокса в векторной форме для текучих сред с

постоянной плотностью:

wp1

gwww 2

.

В этом случае уравнение неразрывности принимает вид:

0wdiv

В уравнении движения текучей среды все слагаемые имеют размерность [Н/кг] и пред-

ставляют собой массовую плотность силы: локf/w – нестационарный член уравнения,

имеющий смысл локальной силы; инfww – конвективный член уравнения – характери-

зует силу инерции; gfg

– слагаемое, имеющее смысл объемной или массовой силы (силы

тяжести); pfp1

– характеризует силу давления; тр2 fw – диффузионный член

уравнения – характеризует силу трения.

Замечание. Знак можно читать, как «соответствует» или «характеризует».

Условия однозначности, необходимые для решения системы дифференциальных урав-

нений конвективного теплообмена

Для выделения единственного решения необходимо задать:

— геометрию расчетной области, ее размеры и время процесса;

— физические свойства текучей среды;

— закон изменения внутренних источников теплоты (в частном случае 0qv );

— начальные и граничные условия.


Начальные условия определяют распределение температуры, скорости, и давления в

начальный момент времени процесса конвективного теплообмена во всей расчетной области

i0i xT0,xT

i0i xw0,xw

i0i xp0,xp

Граничные условия для уравнения энергии могут иметь вид граничных условий I, II, III

и IV родов на твердых ограничивающих течение флюида поверхностях. Например, гранич-

ные условия IV рода в этом случае имеют вид

w

ff

w

ww

nn

,

где fw и – коэффициенты теплопроводности ограждений и флюида; n – нормаль к,

ограждающей поток, поверхности.

Скорость на твердых, ограничивающих текучую среду поверхностях, равна нулю в си-

лу условия прилипания. На свободных поверхностях расчетной области скорость должна

быть, либо задана, либо рассчитана в ходе итерационного процесса.

Для расчета поля давления на твердых ограничивающих поверхностях, как правило, за-

дают граничное условие:

0n

p

w

.

Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений конвективного тепло-

обмена с соответствующими условиями однозначности пока не получено. В настоящее время

для моделирования теплообмена в текучих средах применяют численные методы решения

вышеуказанной системы дифференциальных уравнений, оформленные в виде вычислитель-

ных комплексов (пакетов прикладных программ), изучение которых далеко выходит за рам-

ки нашего курса. Однако, не решая систему уравнений конвективного теплообмена, мы ее

тем не менее будем использовать при изучении экспериментального метода расчета конвек-

тивного теплообмена, основанного на теории подобия физических процессов.

§3.3. Основные положения теории подобия

При расчете и проектировании теплообменных устройств, как правило, требуется рас-

считать тепловой поток при конвективной теплоотдаче от флюида к стенке или, наоборот, от

стенки к флюиду. Как мы уже знаем (см. раздел 1), в этом случае тепловой поток находят по

закону теплоотдачи, который в 1701 году предложил великий английский ученый Исаак

Ньютон:

FTQ или Tq ,

где fw TTT – модуль разности температур между стенкой и флюидом, оС (К); ); Tw –

температура поверхности теплообмена (стенки), оС (К); Tf – температура текучей среды

(флюида) вдали от стенки, оС (К); Q – тепловой поток, Вт; q = Q/F – поверхностная плот-

ность теплового потока, Вт/м2; F – площадь поверхности теплообмена (площадь поверхности

стенки), м2; – средний коэффициент теплоотдачи, Вт/(м

2К).

При заданных геометрических размерах системы теплообмена, температурах стенки и

текучей среды задача расчета теплового потока сводится к определению коэффициента теп-

лоотдачи (). Заметим, что коэффициент теплоотдачи не имеет физического смысла и вы-

ступает в роли коэффициента пропорциональности в законе теплоотдачи Ньютона. Из анали-

за закона Ньютона следует, что численно равен тепловому потоку с 1 м2 поверхности теп-

лообмена при разности температур T между стенкой и текучей средой в один градус

( C1T или K1T ).


Коэффициент теплоотдачи находят, используя закон Ньютона, определив эксперимен-

тально тепловой поток и разность температур:

FT

Q

.

В этом случае для сложных систем теплообмена необходимо, в принципе, выполнить

бесконечное множество экспериментов, поскольку коэффициент теплоотдачи зависит от

многих параметров: координат, скорости, температуры, физических свойств среды и т.д.:

,,,,,w,xf i .

Для уменьшения числа независимых переменных была разработана теория подобия.

Теория подобия также дает правила моделирования и позволяет распространить результаты

ограниченного числа экспериментов на группу подобных явлений. Теория подобия базиру-

ется на трех положениях теоремы Кирпичева-Гухмана:

1. Подобные процессы должны иметь одинаковую физическую природу.

2. В модели и объекте моделирования (образце) должно выполняться подобие условий

однозначности, а именно: геометрическое подобие, кинематическое подобие (подо-

бие скоростей), динамическое (подобие сил), тепловое подобие (подобие темпера-

турных полей и тепловых потоков).

3. В модели и объекте моделирования (образце) определяющие критерии должна быть

равны. В этом случае равны и определяемые критерии.

Критерий – безразмерный комплекс, который характеризует отношение физических

эффектов, но не является этим отношением. Другими словами критерий представляет собой

меру отношения физических эффектов. Определяемые критерии также называют числами

подобия.

Все критерии можно разделить на две основные группы: определяемые и определяю-

щие. Определяемые критерии находят из эксперимента, а от определяющих критериев зави-

сит результат эксперимента. Существует и группа независимых критериев или параметров, к

которым следует отнести безразмерные координаты и безразмерное время. Однако в обрат-

ных задачах конвективного теплообмена безразмерное время может быть определяемым кри-

терием.

Любая комбинация критериев является тоже критерием.

Если процесс течения и теплообмена не зависит от какого-либо критерия, то этот про-

цесс называют автомодельным (независимым) по отношению к этому критерию.

Определяемые критерии конвективного теплообмена

Пусть флюид (f) омывает стенку произвольной формы (w). Вблизи стенки возникают

гидродинамический и тепловой пограничные слои. Внутри гидродинамического погранич-

ного слоя скорость флюида уменьшается от скорости невозмущенного потока (w0) до нуля на

стенке ( 0w0 ) в силу условия прилипания. В тепловом пограничном слое происходит из-

менение температуры от T0 – температуры за пределами пограничного слоя до Tw – темпера-

туры стенки. Пограничный слой имеет сложную структуру, которая описана в специальной

литературе, например []. Для нас важно, что в области теплового пограничного слоя, непо-

средственно примыкающей к стенке, теплота передается только теплопроводностью. Тогда

по закону Фурье:

w

fn

Tq

,

где f – коэффициент теплопроводности текучей среды.

Наиболее часто в инженерных расчетах конвективного теплообмена для расчета без-

размерного коэффициента теплоотдачи используют критерий Нуссельта (Нуссельт) и крите-

рий Стантона (Стантон).


n

Пограничный

слой

w

флюид

стенка

Рис. 3.1. К выводу критерия Нуссельта

Нуссельт характеризует отношение двух форм представления теплового потока, кото-

рым обмениваются флюид и стенка. Получим число Nu как отношение тепловых потоков:

n/T

T

q

qNu

ff,конд

конв

,

где конвq – плотность теплового потока конвективной теплоотдачей, рассчитываемая по за-

кону теплоотдачи Ньютона, а f,кондq – плотность теплового потока кондукцией в теплопро-

водной части пограничного слоя, рассчитываемая по закону Фурье. Учитывая, что градиент

температур ( n/T ) прямо пропорционален отношению ( 0R/T ) окончательно получим

выражение критерия Нуссельта:

,R

RR

T

TNu

f

0

0

f

0

f

где R0 – определяющий или характерный размер в системе теплообмена, м; f – коэффици-

ент теплопроводности текучей среды, Вт/(м∙К).

Критерий Нуссельта характеризует отношение плотности теплового потока конвек-

тивной теплоотдачей к плотности теплового потока кондукцией в слое текучей среды вблизи

стенки.

Без вывода запишем критерий Стантона или Стантон:

Pe

Nu

wcSt

0p

,

где – плотность флюида, кг/м3; ср – изобарная теплоемкость, Дж/(кгК); Pe – критерий

Пекле – критерий теплового подобия.

К группе определяемых критериев также относят критерий Эйлера (безразмерную си-

лу давления) или Эйлер:

20w

pEu

,


который характеризует отношение силы давления к силе инерции или отношение энергии

давления к кинетической энергии потока.

Замечание. Формально запись критерия Нуссельта и критерия Биó совпадают. Дей-

ствительно:

RBi – критерий Биó и

f

0RNu

– критерий Нуссельта.

Однако можно выделить три принципиальных отличия этих критериев подобия:

— во-первых, Биó относится к группе определяющих критериев, а Нуссельт – к группе

определяемых критериев;

— во-вторых, в критерий Биó входит коэффициент теплопроводности твердого тела, а в кри-

терий Нуссельта коэффициент теплопроводности текучей среды;

— в-третьих, определяющие размеры 0R , входящие в оба критерия имеют разный смысл и

разное значение, поскольку характеризуют разные расчетные области теплообмена.

Определяющие критерии конвективного теплообмена

Для вывода определяющих критериев конвективного теплообмена, запишем систему

дифференциальных уравнений конвективного теплообмена в векторной форме:

TaTwT 2

;

wp1

gwww 2

Зададим базовые или определяющие параметры расчетной области конвективного теп-

лообмена, которые характеризуют условия однозначности краевой задачи конвективного

теплообмена:

— определяющий размер – 0R ;

—время процесса в нестационарных задачах конвективного теплообмена – 0 ;

— определяющую температуру – 0T ;

— определяющую скорость – 0w ;

— давление флюида – 0p ;

— физические свойства флюида, взятые из справочника при определяющей температу-

ре: )T(f 0 – плотность, )T(fa 0 – коэффициент температуропроводности, )T(f 0 –

кинематический коэффициент вязкости).

Критерии теплового подобия получим отношением всех слагаемых уравнения Фурье-

Кирхгофа к диффузионному члену уравнения, который моделирует перенос теплоты тепло-

проводностью или кондукцией. Отношение локального теплового потока, который характе-

ризует изменение энтальпии элементарного объема, к кондуктивному тепловому потоку да-

ет:

Fo

1

a

R

Ta

RT

R

Ta

T

Ta

T

q

q

0

20

00

200

20

0

0

0

2конд

лок

,

где 200 R/aFo – критерий Фурье – безразмерное время в задачах теплообмена.

Отнесем конвективный тепловой поток к кондуктивному тепловому потоку и получим

определяющий критерий теплового подобия – критерий Пеклé:


Pea

Rw

RTa

RTw

R

Ta

R

Tw

Ta

Tw

q

q 00

00

2000

20

0

0

00

2конд

конв

.

Т.о. критерий Пеклé характеризует отношение теплового потока, переданного конвекцией к

кондуктивному тепловому потоку в данной расчетной области теплообмена.

Критерии гидродинамического подобия получим отношением членов уравнения На-

вье–Стокса к конвективному члену уравнения, который моделирует силу инерции.

Найдем отношение локальной силы к силе инерции:

Ho

1

w

R

w

Rw

R

w

w

ww

w

f

f

00

0

020

00

0

20

0

0

ин

лок

,

где 000 R/wHo – критерий гомохронности (однородности во времени) – характери-

зует отношение силы инерции к локальной силе (безразмерное время в задачах движения те-

кучей среды).

Три силы, стоящие в правой части уравнения Навье–Стокса (fg, fp, fтр) также отнесем к

силе инерции. Получим:

Frw

Rg

R/w

g

ww

g

f

f

20

0

020ин

g

;

Euw

p

wR

Rp

R

w

R

p

ww

p1

f

f

200

0

2000

00

0

20

00

0

ин

p

;

Re

1

RwRw

Rw

R

w

R

w

ww

w

f

f

0020

20

00

0

20

20

0

2

ин

тр

.

В вышеприведенных формулах:

20

0

w

RgFr

– критерий Фруда или Фруд – характеризует отношение силы тяжести

(гравитационной силы) к силе инерции;

200

0

w

pEu

– критерий Эйлера или Эйлер – характеризует отношение силы давле-

ния к силе инерции;

00 Rw

Re – критерий Рéйнольдса или Рéйнольдс (критерий динамического подо-

бия) – характеризует отношение силы инерции к силе трения. По значению критерия Рей-

нольдса (Re) судят о режиме течения флюида при вынужденной конвекции.

В правой части уравнений Навье–Стокса стоят три критерия: Fr, Eu и Re, два из кото-

рых критерия однозначно определяют третий критерий. При моделировании, как правило,

cчитают Fr и Re определяющими критериями, а Eu – определяемым критерием.

При решении задач теплообмена при свободной конвекции скорость течения флюида

определить довольно сложно, поэтому ее исключают из критериев подобия и учитывают

косвенно, рассчитывая гравитационную силу, возникающую из-за переменного поля плотно-


сти в неоднородном поле температур. В этом случае используют критерии Галлилея (Ga),

Архимеда (Ar), Грасгофа (Gr) и Рэлея (Ra).

Используя правило о том, что комбинация критериев представляет собой тоже крите-

рий, получим:

GaRg

w

RgRwFrRe

2

30

20

0

2

20

202

,

где Ga – критерий Галилея, который характеризует отношение силы тяжести к силе вязкого

трения:

2

30Rg

Ga

.

Для учета свободной конвекции, возникающей из-за переменной плотности в данном

объеме, умножим критерий Галлилея (Ga) на параметрический критерий / и получим

критерий Архимеда:

2

30Rg

GaAr ,

где – изменение плотности флюида, а )T(f 0 – значение плотности флюида при опре-

деляющей температуре 0T .

Критерий Архимеда характеризует отношение подъемной силы из-за разности плотно-

стей к силе вязкого трения.

Если переменная плотность среды возникает вследствие процесса теплообмена, то

T/ и критерий Архимеда переходит в критерий Грасгофа:

TRg

Gr2

30

,

где T – модуль разности температур между стенкой и флюидом, °C (K); – коэффициент

объемного расширения флюида, 1/K.

Т.о. критерий Грасгофа является частным случаем критерия Архимеда и характеризу-

ет отношение термо-гравитационной силы к силе вязкого трения.

Замечание. Коэффициент объемного расширения капельных жидкостей приведен в

справочниках в зависимости от температуры флюида, а для газов его рассчитывают по фор-

муле:

0T

1 ,

где 0T – определяющая температура в Кельвинах!

По величине критерия Gr судят о режиме течения в задачах теплообмена при свобод-

ной конвекции для конкретного флюида.

Для обобщения экспериментальных данных о режиме течения флюидов разной физи-

ческой природы используют критерий Рэлея:

PrGrRa ,

где Pr – критерий Прандтля:

aPr

.

Критерий Прандтля представляет собой отношение двух характеристик молекулярно-

го переноса импульса ( ) и теплоты (a) и является физическим параметром среды, значение

которого приводят в справочниках в зависимости от температуры.

По величине критерия Прандтля (Pr) все текучие среды можно разделить на три группы:


— Pr << 1 – жидкие металлы;

— Pr 1 – газы;

— Pr > 1 – вода, минеральные масла и органические жидкости.

Уравнения подобия

Функциональную связь между определяемыми и определяющими критериями называ-

ют уравнениями подобия. Для расчета безразмерного коэффициента теплоотдачи – критерия

Нуссельта в стационарных задачах конвективного теплообмена используют следующие

уравнения подобия:

Pr),Gr(fuN – свободная конвекция;

Pr)Re,,Gr(fuN – вынужденная конвекция (ламинарный режим течения);

Pr)(Re,fuN – вынужденная конвекция (переходный и турбулентный режимы тече-

ния),

где Nu – среднее по всей поверхности теплообмена значение критерия Нуссельта.

Уравнения подобия получают в два этапа. На первом этапе строят физическую модель

процесса, соблюдая правила моделирования, и выполняют эксперимент на модели. В модели

и объекте моделирования добиваются равенства определяющих критериев. Например:

обрмодобрмодобрмод PePe,GrGr,ReRe и т.д.,

где индекс "мод" означает "модель", а индекс "обр" – "образец" или объект моделирования.

На втором этапе моделирования выполняют статистическую обработку результатов

эксперимента, рассчитывают коэффициент теплоотдачи по закону Ньютона и получают кон-

кретный вид уравнений подобия или т.н. критериальные уравнения, используя правило тео-

рии подобия:

обрмод NuNu или обрмод StSt .

При построении модели и обработке результатов эксперимента в виде критериальных

формул необходимо задать определяющие параметры, которые прямо или косвенно входят в

критерии подобия. В стационарных задачах конвективного теплообмена к определяющим

параметрам относят: определяющий размер ( 0R ), определяющую температуру ( 0T ) и в за-

дачах вынужденной конвекции – определяющую скорость (w0). Теория подобия не дает од-

нозначного ответа на вопрос: "Какие величины принимать в качестве определяющих пара-

метров?" Поэтому эту задачу решает сам ученый – автор критериального уравнения.

В качестве определяющего размера принимают тот размер системы конвективного теп-

лообмена, от которого зависит конвекция. Например, при свободной конвекции около верти-

кальных поверхностей в качестве 0R логично принять высоту объекта ( HR0 ), а при вы-

нужденном течении в трубах – внутренний диаметр трубы ( вн0 dR ).

В качестве определяющей температуры, как правило, принимают температуру, кото-

рую несложно измерить или рассчитать. За определяющую температуру чаще всего прини-

мают средние температуры в системе теплообмена (в трубах и каналах, в трубных пучках и

т.д.) – TT0 , температуру флюида за пределами теплового пограничного слоя – f0 TT и

среднюю температуру пограничного слоя – )TT(5,0T fw0 .

Определяющую скорость находят из уравнения неразрывности:

)f/(Gw0 ,

где G – расход флюида, кг/c; – плотность, кг/м3; f – площадь поперечного сечения для

прохода теплоносителя, м2.

Внимание! При использовании критериальных уравнений определяющие параметры

необходимо принимать точно так же, как это сделал автор формулы. Назначенные автором


характерные или определяющие параметры 0R , 0T и 0w указывают в комментариях к кри-

териальной формуле.

Конкретный вид функциональной зависимости в уравнениях подобия задает ученый –

автор формулы. В принципе для аппроксимации экспериментальных данных можно исполь-

зовать любую полиноминальную зависимость. В отечественной литературе, как правило, в

качестве аппроксимирующих уравнений применяют степенные функции вида:

— tmn PrGrcNu – свободная конвекция;

—

n

1i

itmnk PrReGrcNu – вынужденная конвекция (ламинарный режим тече-

ния);

—

n

1i

itmn PrRecNu – вынужденная конвекция (переходный и турбулентный

режимы течения),

где с, n, m, k – эмпирические коэффициенты, которые находят путем статистической обра-

ботки экспериментальных данных; t – поправка, учитывающая зависимость физических

свойств флюида от температуры; i – поправка, учитывающая особенности течения и тепло-

обмена в заданной системе тел.

§3.4. Основные критериальные уравнения

(справочные данные)

Критериальные уравнения для расчета коэффициента теплоотдачи и физические свой-

ства некоторых текучих сред приведены Методических указаниях "Расчет конвективной

теплоотдачи", которые находятся на кафедре ТОТ ИГЭУ и представлены на сайте

www.tot.ispu.ru. Ниже приведены фрагменты этого справочника.

3.4.1. Конвективная теплоотдача при свободном движении

текучей среды 7,0Pr,Pr),Gr(fNu

Теплоотдача при свободном движении текучей среды вдоль вертикальной пластины или

вертикальной трубы

(критериальные уравнения В.П. Исаченко [2])

По данным профессора В.П. Исаченко:

а) ламинарный режим (103 < Gr·Pr < 10

9):

t25,0

fh,f Ra75,0Nu ;

б) переходный и турбулентный режимы (Gr·Pr 109):

t333,0

ff Ra15,0Nu ,

где 25,0wft )Pr/(Pr – поправка, учитывающая зависимость физических свойств текучей

среды от температуры.

Определяющие параметры:

R0 = h – высота вертикальной поверхности);

T0 = Tf – температура текучей среды вдали от поверхности теплообмена (за пределами теп-

лового пограничного слоя).


Теплоотдача при свободном ламинарном движении текучей среды около горизонтальных

цилиндров (труб)

(критериальная формула И.М. Михеевой [4])

Средний коэффициент теплоотдачи при ламинарном режиме течения 83d,f 1010Ra

по данным [4]:

t25,0d,fd,f Ra5,0Nu ,




f0 TT – температура текучей среды вдали от поверхности теплообмена (за пределами теп-

лового пограничного слоя);

н0 dR – наружный диаметр трубы (цилиндра).

Теплоотдача при свободном движении среды около вертикальных пластин и труб, горизон-

тальных пластин и труб и шаров

(критериальное уравнение М.А. Михеева)

По данным академика М.А. Михеева средний коэффициент теплоотдачи при свобод-

ном движении текучей среды около вышеуказанных тел можно рассчитать по формуле nmm RaCNu ,

где коэффициенты C и n в зависимости от режима течения

mmm PrGrRa Режим течения C n

10-3

÷ 5·102 Переходный от пленочного

к ламинарному 1,18 1/8

5·102

÷ 2·107

Ламинарный и переходный

к турбулентному 0,54 1/4

> 2·107 Турбулентный 0,135 1/3


)TT(5,0TT wfm0 – средняя температура пограничного слоя;

н0 dR – наружный диаметр горизонтальных труб и шаров;

R0 = h – высота вертикальной плоской поверхности или вертикальной трубы;

)b,amin(R0 , где a,b- размеры прямоугольной плиты. При этом, если поверхность тепло-

обмена обращена вверх, то расчетгор 3,1 , а если поверхность теплообмена обращена

вниз, то расчетгор 7,0 .

Теплообмен при свободном движении текучей среды в ограниченном пространстве

В узких щелях, плоских и кольцевых каналах, прослойках различной формы средняя

плотность теплового потока условно вычисляют по формулам стационарной теплопровод-

ности через плоскую стенку, вводя при этом понятие эквивалентного коэффициента тепло-

проводности [4]:

кfэкв

где εк – коэффициент конвекции – поправка, учитывающая усиление теплообмена вслед-

ствие свободной конвекции [4]:


f

эквк

,

f – табличное значение коэффициента теплопроводности текучей среды.

Коэффициент конвекции определяется величиной критерия Рэлея:

а) при значениях 3f 10Ra

1к ;

б) при значениях 6f

3 10Ra10 3,0

fк Ra105,0 ;

в) при значениях 10f

6 10Ra10 2,0

fк Ra40,0 .

В приближенных расчетах вместо двух последних уравнений для всей области значений ар-

гументов 3f 10Ra можно применять зависимость [4]:

25,0fк Ra18,0 .


)TT(5,0TT 2,w1,wf0 – средняя температура текучей среды;

0R – ширина прослойки.

3.4.2. Конвективная теплоотдача при вынужденном движении текучей среды в трубах и

каналах

7,0Pr,Pr),Gr,Pe(Re,fNu

В зависимости от значения критерия Рейнольдса существует ламинарный

( 2300Re d,f ), турбулентный ( 4d,f 10Re ) и переходный ( 4

d,f 10Re2300 ) от ламинарно-

го к турбулентному режимы течения.

Определяющие параметры для расчета критерия Рейнольдса:

вых,fвх,f0 TT5,0TTf

; вн0 dR - внутренний диаметр трубы;

f/Gw0 - средняя по сечению трубы скорость движения флюида.

Теплоотдача при ламинарном движении текучей среды в трубах (Re2300)

При ламинарном режиме движения в прямых гладких трубах и наличии участков гид-

родинамической и тепловой стабилизации для более точной аппроксимации эксперимен-

тальных данных выделяют два подрежима – ламинарный вязкостный и ламинарный вяз-

костно-гравитационный. Ламинарный вязкостный режим течения имеет место при числах

Рэлея Ra < 8105, а ламинарный вязкостно-гравитационный режим при числах Рэлея Ra

8105.

Определяющие параметры для расчета критерия Рэлея:

f

TT5,0T w0 , где вых,fвх,f TT5,0Tf

; вн0 dR - внутренний диаметр трубы.

А. Ламинарный вязкостный режим движения флюида в трубах (R e 2300; Ra < 8105)

Средняя по длине теплоотдача определяется по формуле Б.Г.Петухова 3 , получен-

ная при 05.0)dPe( и :150007.0fw

14.0wf

31вн )()dPe(55,1Nu .



f

TT5,0T w0 , где вых,fвх,f TT5,0Tf

; вн0 dR – внутренний диаметр трубы;

f/Gw0 - средняя по сечению скорость движения флюида.

Замечание. Значение w выбирают для флюида при температуре стенки Tw.

Величина – поправка на начальный участок гидродинамической стабилизации потока. Эта

поправка вводится, если перед обогреваемым участком трубы отсутствует участок гидроди-

намической стабилизации):

если 1,0)d(Ref ,то dRe5,21)d(Re6,071

;

если ,1,0)d(Ref то 1 ,

где – длина трубы.

Определяющие параметры в формулах для расчета :


; вн0 dR - внутренний диаметр трубы;


Б. Ламинарный вязкостно-гравитационный режим движения текучей среды в трубах

(Re 2300; Ra > 8105)

Приближённая оценка среднего коэффициента теплоотдачи может быть произведена по

критериальному уравнению, полученному М. А. Михеевым [4]:

t1,0

fd,f33,0

f33,0d,fd,f )PrGr(PrRe15,0Nu ,





– средняя температура флюида в трубе;

вн0 dR - внутренний диаметр трубы;


Поправочный коэффициент учитывает влияние начального участка тепловой и гид-

родинамической стабилизации потока:

если 50d , то 1 ;

если 50d , то значение определяется по таблице

Таблица. Значение при вязкостно-гравитационном режиме

d 1 2 5 10 15 20 30 40 50

1,9 1,7 1,44 1,28 1,18 1,13 1,05 1,02 1

Теплоотдача при турбулентном режиме течения (Re > 104)

Средняя теплоотдача при турбулентном течении несжимаемой жидкости с числами

Pr>0,7 и Re>104 в прямых гладких трубах рассчитывается по формуле М. А. Михеева [4]:

t43,0

f8,0d,fd,f PrRe021,0Nu ,




Величина – поправка, учитывающая изменение коэффициента теплоотдачи на

начальном участке гидродинамической и тепловой стабилизации:

при d >50 =1;

при d <50 d21 .




вн0 dR – внутренний диаметр трубы;

f/Gw0 – средняя по сечению скорость движения флюида.

Теплоотдача при переходном режиме течения флюида (2300 ≤Re ≤ 104)

Переходный режим течения характеризуется перемежаемостью ламинарного и турбу-

лентного течений. Приближённо коэффициент теплоотдачи можно рассчитать по формуле [4]:

t43,0d,f0 PrKNu

d,f,


среды от температуры; значение комплекса K0 зависит от числа Рейнольдса и приведено в

таблице; поправка на начальный участок рассчитывается также как и при турбулентном

режиме течения флюида.

Таблица. Зависимость комплекса К0 от числа Рейнольдса

Re·10-3

2,2 2,3 2,5 3,0 3,5 4,0 5 6 7 8 9 10

K0 2,2 3,6 4,9 7,5 10 12,2 16,5 20 24 27 30 33




вн0 dR - внутренний диаметр трубы;


Переходный режим течения флюида в прямых гладких трубах также можно рассчитать

и по методике, изложенной в [10]:

ламтурб Nu)1(NuNu ,

где ламNu и турбNu числа Нуссельта, рассчитанные по формулам ламинарного и турбулентно-

го режимов соответственно, γ – коэффициент перемежаемости равный

)2300Re/1exp(1 .

Теплоотдача при движении газов в трубах


Для газов температурная поправка 25,0wft )Pr/(Pr 1, а 0,17,0Prf и вышеприведенные

критериальные формулы приводится к виду:

ламинарный режим 1,0d,f

33,0d,fd,f GrRe146,0Nu ;

турбулентный режим 8,0d,fd,f Re018,0Nu ;

переходный режим 0d,f K86,0Nu .

Теплоотдача при движении текучей среды в каналах

произвольного поперечного сечения

Все вышеприведенные критериальные формулы для расчета теплоотдачи в круглой

трубе применимы и для каналов другой формы сечения (прямоугольной, треугольной, коль-

цевой), при продольном омывании пучков труб (в трубе большого диаметра расположено

несколько труб меньшего диаметра и флюид движется вдоль труб), а также при движении

жидкости, не заполняющей всего сечения канала. При этом в качестве характерного размера

следует применять эквивалентный или гидравлический диаметр

Pf4dR экв'0 ,

где f- площадь поперечного сечения потока, м2; P – смоченный периметр потока (независимо

от того, какая часть периметра участвует в теплообмене), м.

3.4.3. Конвективная теплоотдача при вынужденном внешнем обтекании тел

7,0Pr,Pr)(Re,fNu

Продольное обтекание плоской поверхности

Толщина динамического пограничного слоя на расстоянии x от передней кромки пла-

стины (трубы) при течении жидкости с постоянными физическими свойствами вдоль плос-

кой поверхности или вдоль поверхности трубы [3]:

5x 105Reпри 5,0

xRe/64,4x/ ;

5x 105Reпри 2,0

xRe/376,0x/ .



лового пограничного слоя);

xR0 – продольная координата;

w0 – скорость невозмущенного потока (за пределами гидродинамического пограничного

слоя).

Ламинарный режим течения

Местный и средний по длине коэффициенты теплоотдачи при ламинарном течении

флюида (Re<5105) с постоянными физическими свойствами вдоль плоской поверхности или

трубы по данным [1] и [6]:

при Tw=const 25,0wf

315.0xx PrPrPrRe332,0Nu ;

25,0wf

315.0 PrPrPrRe664,0Nu ;


при qw=const 25,0wf

315,0xx PrPrPrRe46,0Nu ;

25,0wf

315,0 PrPrPrRe69,0Nu .

Турбулентный режим течения

Местный и средний коэффициенты теплоотдачи при турбулентном течении жидкости

(Re5105) с постоянными физическими свойствами при Tw = const и при qw = const [2]:

25,0wf

43,08,0xx PrPrPrRe0296,0Nu ;

25,0wf

43,08,0PrPrPrRe037,0Nu .




xR0 – продольная координата в формулах для расчета локального значения Нуссельта;

0R – длина плоской пластины в формулах для расчета среднего значения Нуссельта;

w0 – скорость невозмущенного потока (за пределами гидродинамического пограничного

слоя).

Поперечное обтекание одиночной трубы

Средний по поверхности трубы или цилиндра коэффициент теплоотдачи по данным [5]:

40Re1 , qt37,04,0 PrRe76,0Nu ;

310Re40 , qt37,05,0 PrRe52,0Nu ;

53 102Re10 , qt37,06,0 PrRe26,0Nu ;

75 10Re102 , qt4,08,0 PrRe023,0Nu ,



Поправка q учитывает сужение потока в самом узком сечении канала (см. рис.4.2) и

рассчитывается по формуле

8,02q Hd1

Поправка εφ учитывает величину угла атаки набегающего потока (угол атаки – угол

между вектором скорости и осью трубы). Значения поправки в зависимости от угла атаки φ

приведены в таблице [3]:

Таблица. Поправка на угол атаки набегающего потока

φº 90 80 70 60 50 40 30

εφ 1,0 1,0 0,99 0,93 0,87 0,76 0,66

Для приближенного расчета εφ предложены формулы, аппроксимирующие эксперимен-

тальные данные:


— по данным [1] 2cos54,01 ;

— по данным [5] sin .




н0 dR – наружный диаметр трубы;

minmax0 f/Gww – максимальная скорость потока в самом узком поперечном сечении

канала в ограниченном потоке (см. рис.4.2, а) или скорость набегания в неограниченном по-

токе (см. рис.4.2, б).

dd

w0

H

wmax

wmax

а) б)

Рис.3.2. Обтекание одиночной трубы в ограниченном (а) и неограниченном потоке (б).

Теплоотдача при поперечном обтекании трубного пучка

Средний коэффициент теплоотдачи α3 для третьего ряда труб и всех последующих ря-

дов труб в пучке по направлению потока флюида при 103Re210

5 [3]:

s25,0

wf31n PrPrPrReCNu

3 ,

где 26,0C и 65,0n – при коридорном расположении труб в пучке (рис.4.3, а);

где 41,0C и 60,0n – при шахматном расположении труб в пучке (рис.4.3, б);

Поправка εφ учитывает величину угла атаки набегающего потока (угол атаки – угол

между вектором скорости и осью трубы) и рассчитывается по формулам для поперечного

обтекания одиночной трубы. Более точное значение поправки εφ приведено в [3] в виде таб-

личных данных:

Таблица. Поправка на угол атаки набегающего потока в трубном пучке

φº 90 80 70 60 50 40 30 20 10

εφ 1,0 1,0 0,98 0,94 0,88 0,78 0,67 0,52 42

Поправка εs учитывает взаимное расположение труб в пучке:

— для глубинных рядов коридорного пучка

15,02s Sd ;

— для глубинных рядов шахматного пучка

6121s SS , если S1/S2 2,

s = 1,12, если S1/S2 2;

где S1 – поперечный шаг; S2–продольный шаг труб в пучке.



.вых,f.вх,f0 TT5,0TTf

– средняя температура флюида в пучке;

н0 dR – наружный диаметр трубы;

minmax0 f/Gww – максимальная скорость потока в самом узком поперечном сечении

пучка, проходящем через оси поперечного ряда труб.

Коэффициент теплоотдачи для труб первого ряда по направлению потока в коридорных

и шахматных пучках:

31 6,0 .

Коэффициент теплоотдачи для труб второго ряда в коридорных и шахматных пучках

соответственно:

— коридорный пучок 32 9,0 ;

— шахматный пучок 32 7,0 ,

где 3 - коэффициент теплоотдачи для труб третьего ряда.

Средний коэффициент теплоотдачи при обтекании пучка труб жидкостью или газом

(Re=103210

5) в зависимости от числа рядов по ходу движения флюида (n3):

23221 n2n ,

где n2 – число рядов труб по направлению потока флюида (жидкости или газа).

d

w

Т f , вх

s2

s1 w

Т f , вых

а)

w

d

s1

s2

Т f , вх

w

Т f , вых

б)

Рис.3.3. Геометрические параметры шахматного (а) и коридорного (б) пучков

§3.5. Алгоритм расчета коэффициента теплоотдачи

по критериальным уравнениям

Примерный алгоритм расчета коэффициента теплоотдачи по критериальным формулам

заключается в следующем.


1. Определяют вид конвективного теплообмена: свободная или вынужденная конвек-

ция и объект, где она происходит. Затем в справочной литературе находят критериальные

формулы данного вида конвекции.

2. Согласно требованиям, изложенным в комментариях к критериальным формулам,

находят определяющие параметры:

— определяющий размер;

— определяющую температуру, по которой из справочных таблиц находят физические

свойства текучей среды (, , Pr и т.д.);

— при вынужденном течении жидкости в трубах и каналах по интегральному уравне-

нию неразрывности рассчитывают определяющую скорость течения флюида.

3. Определяют режим течения среды:

— при вынужденном движении по критерию Рейнольдса (Re);

— при свободном движении по критерию Рэлея (Ra)

и уточняют критериальную формулу в зависимости от режима течения.

4. По критериальному уравнению находят безразмерный коэффициент теплоотдачи –

число Нуссельта (Nu) или число Стантона (St).

5. Рассчитав значение безразмерного коэффициента теплоотдачи, находят коэффициент

конвективной теплоотдачи :

0RNu

или wcSt p .

РАЗДЕЛ 4. Конвективный теплообмен при конденсации паров

и кипении жидкостей

В зависимости от фазового состояния флюида различают конвективный теплообмен в

однофазной среде и конвективный теплообмен при фазовых превращениях, к которому от-

носят теплообмен при конденсации (переход пара в жидкость) и теплообмен при кипении

(переход жидкости в пар).

Процесс теплообмена при изменении агрегатного состояния вещества (при конденса-

ции и кипении) относят к конвективному теплообмену и рассчитывают по закону теплоотда-

чи Ньютона:

FTQ , (4.1)

где – коэффициент теплоотдачи при конденсации или кипении, Вт/(м2·К); F – площадь

поверхности теплообмена, м2; T – разность температур (температурный перепад) между

флюидом и стенкой, ºC (K).

Процесс конденсации возможен при условии нw TT , поэтому при конденсации пере-

пад температур равен:

wн TTT (4.2)

При кипении, наоборот, температура стенки должна быть перегрета относительно тем-

пературы насыщения при данном давлении и, в этом случае

нw TTT (4.3)

Изменение агрегатного состояния вещества происходит при постоянной температуре и

характеризуется выделением (при конденсации) или поглощением (при кипении) теплоты

фазового перехода (скрытой теплоты парообразования для воды)– r, Дж/кг (см. рис.4.1).


Т

s

r

к

1

2 3

5

4

р

х=1х=0

Рис.4.1. Фазовая (T, s) – диаграмма водяного пара

При стационарном процессе конденсации или кипения тепловой поток фазового пере-

хода равен:

rGQ , (4.4)

где Q – тепловой поток от пара к стенке при конденсации или от стенки к кипящей жидкости

при кипении, Вт; G – расход конденсата или паровой фазы, кг/с.

Сравнивая формулы (4.1) и (4.4) получаем основное уравнение расчета теплообмена

при фазовых превращениях вещества – уравнение теплового баланса:

FTrGQ . (4.5)

По уравнению теплового баланса в зависимости от постановки задачи находят расход

(G), разность температур ( T ) или температуру стенки (Tw), площадь поверхности теплооб-

мена (F) и тепловой поток (Q). Расчет теплоотдачи сводится к определению коэффициента

теплоотдачи ( ), т.к., входящие в уравнение теплового баланса скрытая теплота парообразо-

вания (r) и температура насыщения при данном давлении (Tн) – величины, принимаемые по

справочным данным ["Таблицы водяного пара"].

§4.1. Теплоотдача при конденсации паров

Конденсация – процесс перехода пара (газа) в жидкое или твердое состояние (десубли-

мация). При конденсации пара выделяется теплота фазового перехода (скрытая теплота па-

рообразования), поэтому процесс конденсации неразрывно связан с теплообменом.

Условия протекания стационарного процесса конденсации:

1) температура стенки должна быть ниже температуры насыщения при данном давлении ( нw TT );

2) отвод теплоты от поверхности, на которой образуется конденсат.

Различают три вида конденсации: пленочную, капельную и смешанную. Пленочная кон-

денсация возможна при условии смачивания конденсирующейся жидкостью данной поверх-

ности. При этом конденсат стекает с поверхности теплообмена в виде пленки. На плохо сма-

чивающихся (загрязненных) поверхностях наблюдается капельная конденсация, при которой

конденсат образуется в виде капель разных размеров. При смешанной конденсации на раз-

ных участках поверхности теплообмена одновременно происходит и капельная и пленочная

конденсация. Интенсивность теплоотдачи при пленочной конденсации ниже, чем при ка-

пельной из-за термического сопротивления пленки конденсата. В теплообменных устрой-

ствах пленочная конденсация наблюдается значительно чаще, чем капельная, поэтому в

нашем кратком курсе рассмотрим только расчет теплоотдачи при пленочной конденсации

водяного пара.

Критерий Рейнольдса при конденсации


Интенсивность теплоотдачи при пленочной конденсации зависит от режима течения

пленки конденсата, который определяется по значению критерия Рейнольдса – определяю-

щему критерию гидродинамического подобия:

плпл

0 wRwRe

, (4.6)

где w – средняя скорость течения пленки в данном сечении, м/с; 0R – толщина конден-

сатной пленки, м; пл – кинематический коэффициент вязкости пленки, м2/с.

При течении пленки конденсата различают три режима: ламинарный, волновой и тур-

булентный. Волновой режим течения характеризуется наличием волн на поверхности лами-

нарной конденсатной пленки. Экспериментально установлено критическое число Рéйнольдса

при течении пленки конденсата Reкр 400. При Re < Reкр наблюдается ламинарный режим

течения пленки, а при Re Reкр – волновой и турбулентный режимы течения.

Получим определяемый критерий при конденсации – безразмерный коэффициент теп-

лоотдачи. Для этого запишем уравнение теплового баланса (4.5) для процесса конденсации

на вертикальной плоскости высотой H и шириной z (см. рис.4.2):

FТTrGQ wн , (4.7)

где zHF – площадь поверхности теплообмена.

Расход конденсата найдем по уравнению неразрывности

zплпл wfwG , (4.8)

где пл – плотность пленки, кг/м3; – толщина пленки, м; zf – площадь поперечного

сечения конденсатной пленки.

Подставляя значение расхода в уравнение теплового баланса, получим

HТTrw zwнzпл ,

откуда

r

HТTw

пл

wн

. (5.9)

Заменив произведение w в формуле критерия Рéйнольдса (4.6) выражением (4.9),

окончательно находим:

r

HT

r

HTRe

плплпл

, (5.10)

где плплпл – динамический коэффициент вязкости конденсата, Па·с.

Анализируя формулу (4.10) можем сделать вывод о том, что при пленочной конденса-

ции пара критерий Рейнольдса является и определяющим и определяемым критерием.

Замечание. Рассуждая аналогично, несложно получить определяемый критерий Рей-

нольдса при конденсации на горизонтальной трубе:

r

DTRe

пл

тр

, (4.10

’)

где Dтр – наружный диаметр трубы.

Пленочная конденсация на вертикальной поверхности

Схема движения пленки и теплоотдачи при пленочной конденсации пара на вертикаль-

ной поверхности показана на рис. 4.2. Без вывода запишем формулы для расчета основных


гидродинамических параметров пленки и коэффициента теплоотдачи при ламинарном ре-

жиме течения.

Средняя в данном сечении скорость движения пленки

пл

2пл

3

xgxw

, (4.11)

где 8,9g м/с2 – ускорение свободного падения; x – координата, отсчитываемая от верхней

точки поверхности, м; )x( – толщина пленки конденсата в данном сечении

42пл

wнплпл

rg

xТТ4x

. (4.12)

0

x

y

w

z

Н

l z

f

Тн

Тw

Gп

Q

Рис. 4.2. К расчету пленочной конденсации пара на вертикальной поверхности

Локальный коэффициент теплоотдачи рассчитывается по формуле

4

wнпл

3

пл

2

пл

42

пл

wнплпл

плпл

xТТ4

rg

rg

xТТ4)x()x(

. (4.13)

где пл – коэффициент теплопроводности пленки конденсата, Вт/(м·К).

Анализ формул (4.12) и (4.13) показывает, что толщина конденсатной пленки увеличи-

вается вниз по течению по закону 4

1

x~ , а коэффициент теплоотдачи – уменьшается по за-

кону 4

1

x~

.

Найдем средний по всей поверхности коэффициент теплоотдачи

4

wнпл

3пл

2пл

H

0

4

wнпл

3пл

2пл

H

0HТТ4

rg

3

4dx

xТТ4

rg

H

1dx)x(

H

1

Или вычислив значение числового коэффициента 4 4/13/4 , окончательно получим:

4

wнпл

3пл

2пл

HТТ

rg943,0

. (4.14)

Формула (4.14) предложена немецким ученым Нуссельтом в 1916 году и носит его имя.


Внимание! Физические свойства жидкой пленки находят в справочнике по температу-

ре насыщения при данном давлении.

Из последней формулы видно, что коэффициент теплоотдачи уменьшается с увеличе-

нием температурного перепада по закону 25,0T~ . Однако тепловой поток растет с уве-

личением разности температур wн TTT , хотя и более медленно, чем при конвективной

теплоотдаче в однофазных средах. Действительно: 75,025,0 TTT~Tq .

Для учета зависимости физических свойств конденсата от температуры и волнового те-

чения пленки в расчет вводят соответствующие поправки t и в

вtNu , (4.15)

где Nu

– коэффициент теплоотдачи, рассчитываемый по формуле Нуссельта (4.14).

Поправку, учитывающую зависимость физических свойств пленки от температуры,

рассчитывают по формуле

8

1

w

н

3

н

w

t

, (4.16)

в которой н и н

коэффициенты теплопроводности и динамической вязкости, найденные

из справочника по температуре насыщения (Tн), а w и w – те же коэффициенты, найден-

ные по температуре стенки (Tw).

Поправка на волновое число имеет вид: 04,0

в Re . (4.17)

Пленочная конденсация на наклонной поверхности

Средний коэффициент теплоотдачи на наклонной поверхности (рис. 5.3) рассчитывают

по формуле:

4вертикнакл cos , (4.18)

где вертик – коэффициент теплоотдачи, рассчитываемый по формуле Нуссельта для верти-

кальной поверхности; – угол между направлением силы тяжести и осью Ox, направленной

вдоль поверхности теплообмена.

0

g

w

x

y

Н

Рис. 4.3. К расчету пленочной конденсации пара на наклонной поверхности

Пленочная конденсация на горизонтальной трубе


Средний коэффициент теплоотдачи при пленочной конденсации на горизонтальной

трубе (рис. 4.4) при ламинарном течении пленки конденсата рассчитывают по формуле Нус-

сельта, которая в этом случае имеет вид

4

трwнпл

3

пл

2

пл

d)TT(

rg728,0

, (4.19)

где dтр – наружный диаметр трубы, м.

Формула (4.19) справедлива для ламинарного режима течения пленки, который суще-

ствует, если выполняется условие: 5,0

пл

плтр

g20d

, (4.20)

где пл – сила поверхностного натяжения пленки, Н/м, принимаемая по справочным данным

при температуре насыщения.

Dтр

Тн

Тw

Рис. 4.4. К расчету пленочной конденсации пара на горизонтальной трубе

Критериальная форма записи выражений для расчета среднего коэффициента

теплоотдачи при пленочной конденсации

А. Вертикальная поверхность

При ламинарном течении пленки конденсата, который имеет место при Z < 2300 без-

размерный коэффициент теплоотдачи – критерий Рейнольдса равен

Re = 0,943 Z3/4

, (4.21)

где r

HTRe

пл

; H – высота вертикальной стенки или вертикальной трубы; Z – приведен-

ная высота стенки:

r

TGa

r

TgHZ

пл

пл3

1

пл

пл3

1

2пл

,

в которой, 2пл

3НgGa

– критерий Галилея.


Для расчета процесса конденсации на стенках большой высоты в технической литера-

туре рекомендуют следующую формулу:

3

4

5,0н

25,0

w

н 2300ZPrPr

Pr024,089Re

, (4.22)

где Prн и Prw критерии Прандтля, найденные по справочным данным для конденсата по тем-

пературе насыщения и температуре стенки соответственно.

При Z = 2300 из формулы (4.22) получаем Re = 894/3

400 – критическое число Рейноль-

дса. При Z < 2300 по формуле (4.22) рассчитывают при пленочной конденсации для ла-

минарного режима течения пленки, а при Z > 2300 – для волнового и турбулентного режи-

мов.

Б. Горизонтальная труба

Критериальные уравнения для расчета безразмерного коэффициента теплоотдачи при

пленочной конденсации пара на горизонтальной трубе для ламинарного режима течения

( 3900Z ) пленки имеют вид: 75,0Z25,3Re , (4.23)

где r

R4TRe

пл

тр

– критерий Рейнольдса; Rтр – наружный радиус трубы; Z – приве-

денный расчетный размер трубы

r

TgRZ

пл

пл3

1

2пл

тр

. (4.24)

Факторы, влияющие на процесс пленочной конденсации неподвижного пара

А. Влияние скорости движения пара

Все вышеуказанные формулы расчета теплообмена при конденсации пара получены

при допущении малой скорости движения пара в теплообменном устройстве. В этом случае

пар можно считать неподвижным. Если скорость пара достаточно велика и поток пара ока-

зывает влияние на течение конденсатной пленки, то это явление учитывают при помощи по-

правочного коэффициента на движение пара

w0ww ,

где )w(fw – поправочный коэффициент, расчет которого приводится в справочной лите-

ратуре, например [], для конкретного типа теплообменного устройства.

Б. Влияние влажности и перегрева пара

Все вышеуказанные формулы были получены для расчета теплоотдачи при пленочной

конденсации сухого насыщенного водяного пара (т.4 на рис.4.1). В теплообменник пар мо-

жет поступать, как в перегретом (т.5 на рис.4.1), так и во влажном насыщенном состоянии

(т.3 на рис.4.1). Отличие состояния пара от сухого насыщенного учитывают при расчете теп-

лового потока фазового перехода, входящего в уравнение теплового баланса.

Для влажного насыщенного водяного пара

xrGQ ,


где Q – тепловой поток от пара к стенке при конденсации, Вт; G – расход конденсата, кг/с; r

– скрытая теплота парообразования, Дж/кг; x – степень сухости пара.

Для перегретого пара:

)]hh(r[G)Tcr(G)qr(GQ 45перппер ,

где перq – удельная теплота перегрева, Дж/кг; cп – теплоемкость перегретого пара,

Дж/(кг·K); 5h и 4h – удельные энтальпии перегретого пара (точка 5) и сухого насыщенного

водяного пара (точка 4), Дж/кг.

В. Влияние неконденсирующихся газов в паре

Если в водяном паре присутствуют неконденсирующиеся газы (например, воздух), то

теплоотдача резко снижается. В этом случае воздух на поверхности пленки конденсата со-

здает воздушную прослойку, препятствующую конденсации пара (см. рис. 4.5). Эксперимен-

тально получено, что присутствие в паре 1% воздуха уменьшает теплоотдачу приблизитель-

но в два раза. Поэтому воздух необходимо удалять из теплообменных аппаратов.

0

Р

y

w

см=п+вз

вз

рсм

рвз

рп

Рис. 4.5. Схема конденсации смеси пар-воздух:

см – поток смеси; вз – поток воздуха; п – поток пара;

смp – давление смеси; взp – давление воздуха; пp – давление пара

§4.2. Теплоотдача при кипении жидкостей

Кипение – процесс интенсивного образования пара внутри объема жидкости при тем-

пературе насыщения или выше этой температуры.

При кипении поглощается теплота фазового перехода, поэтому для осуществления ста-

ционарного процесса кипения необходим повод теплоты (см. формулу (4.4)).

Различают поверхностное и объемное кипение. Объемное кипение жидкости встреча-

ется достаточно редко (например, при резком уменьшении давления) и, в этом случае, тем-

пература жидкости становится больше температуры насыщения при данном давлении. В

нашем курсе будем рассматривать только теплообмен при кипении на твердых поверхностях

или поверхностное кипение.

Процесс кипения зависит от граничных условий теплообмена, давления среды, физиче-

ских свойств жидкости, пара и твердой стенки, состояния твердой поверхности, геометрии

системы, режима движения жидкости и т.д. Поэтому разработать математическую модель


процесса кипения не представляется возможным и все сведения о механизме кипения полу-

чены опытным путем. При этом используется следующая классификация видов кипения:

— по роду или режиму кипения – пузырьковое или пленочное;

— по типу конвекции – при свободной (в большом объеме) или при вынужденной (в ограни-

ченном пространстве);

— по расположению поверхности кипения – у вертикальной, наклонной или горизонтальной

поверхности;

— по характеру – неразвитое, неустойчивое, развитое.

В процессе теплоотдачи в кипящей жидкости формируется температурное поле (рис.4.6 ,б).

При этом жидкость оказывается перегретой выше температуры насыщения, соответствую-

щей давлению в жидкости.

При кипении на твердых поверхностях можно выделить две области с разным по ха-

рактеру изменением температурного поля: тепловой пограничный слой и тепловое ядро в

жидкости.

Тепловой пограничный слой – весьма тонкий слой жидкости, прилегающий непосред-

ственно к поверхности стенки, в пределах которого сосредоточено практически все измене-

ние температуры жидкости: от температуры поверхности до температуры в ядре потока (см.

рис.4.6).

Тепловое ядро жидкости – вся остальная жидкость за пределами теплового погранич-

ного слоя.

В зависимости от конкретных условий теплообмена перегрев жидкости вблизи стенки

или перегрев стенки может составлять величину T 5 ÷ 35 °C. Дело в том, что паровые пу-

зырьки зарождаются не в любой точке поверхности теплообмена, а только в, так называе-

мых, центрах парообразования – микровпадинах (трещинах, кавернах и т.п.), в которых сила

поверхностного натяжения жидкости минимальна.

Q

GпX,м

Y,м 100 104 108 112 T,0C

Tw

Tж(х)

Tн=1000C

Tпов.ж=100,40С

1

4

2

3

Tж(х)

5

пс

Tw

Рис.4.6. Пример распределения температуры в объеме кипящей воды

(Tw=111,80C, pн=1 бар):

а – картина процесса кипения; б – распределение температуры; 1 – поверхность теплообмена

(стенка); 2 – насыщенный водяной пар; 3 – поверхность воды; 4 – всплывающие паровые пу-

зыри; 5 – внешняя граница пограничного слоя; Tпов.ж – температура поверхности жидкости;


Tw – температура поверхности теплообмена (стенки); Tн – температура насыщения жидкости

при заданном давлении; pн – давление насыщения; δпс – толщина пограничного слоя; Q –

тепловой поток от стенки к воде; Gп – массовый расход пара

Для того чтобы паровой пузырь образовался в микровпадине, необходимо, чтобы ее

размеры были больше некоторого минимального или критического радиуса пузырька:

p

2R кр

, (4.25)

где – сила поверхностного натяжения жидкости при температуре насыщения, Н/м; p –

перепад давления между паром в пузыре (pп) и окружающей его жидкостью (pн). Перепад

давления рассчитывают по формуле:

2нг

ннп

TR

Tprppp

, (4.26)

в которой r – скрытая теплота парообразования, Дж/кг; pн – давление насыщения пара , Па;

нw TTT – перепад температур между стенкой и жидкостью, ºC (K); Rг – газовая посто-

янная, Дж/(кг·К); Tн – температура насыщения, К.

Заметим, что с увеличением перегрева стенки нw TTT и ростом давления насы-

щения pн критически радиус парового пузыря уменьшается и впадины меньших размеров

могут служить центрами парообразования, что в итоге приводит к интенсификации кипения.

Режимы кипения в большом объеме

(кривая кипения)

Для анализа процесса кипения широко используют экспериментально полученную за-

висимость плотности теплового потока q, подводимого к обогреваемой поверхности от тем-

пературного перепада нw TTT , график которой показан на рис. 4.7. Это график в науч-

но-технической литературе называют "кривой кипения". На этой кривой выделяют несколь-

ко интервалов T , соответствующих различным режимам теплоотдачи, название которых

приведено в тексте, поясняющем рис. 4.7.

Пузырьковый режим кипения наблюдается при значениях T соответствующих вто-

рой области на кривой кипения. Радиус межфазной поверхности пузырька – зародыша про-

порционален размеру образующей его микрошероховатости на поверхности стенки. Поэтому

в начале пузырькового режима кипения, при незначительном перегреве жидкости, "работа-

ют" лишь крупные центры парообразования, поскольку пузырьки - зародыши малых центров

парообразования имеют радиус меньше критического. В этом случае происходит неустойчи-

вое или слаборазвитое пузырьковое кипение. С увеличением перегрева жидкости активизи-

руются более мелкие центры парообразования, поэтому количество образующихся пузырей

и частота их отрыва возрастают. В результате интенсивность теплоотдачи чрезвычайно

быстро увеличивается (см. рис.4.7, область 2).

Интенсивность теплоотдачи обусловлена термическим сопротивлением теплопровод-

ности тонкой жидкой пленки, которая смачивает твердую поверхность и находится под об-

ластью паровых пузырей. С увеличением количества и частоты отрыва пузырей жидкая про-

слойка разрушается (турбулизируется) и ее термическое сопротивление уменьшается.

Коэффициент теплоотдачи () при развитом пузырьковом кипении достигает десятков

и даже сотен тысяч Вт/(м2·

К) (при высоких давлениях). Это обусловлено большой удельной

теплотой фазового перехода и интенсивным перемешиванием жидкости растущими и отры-

вающимися пузырьками пара.

Режим пузырькового кипения обеспечивает наиболее эффективную теплоотдачу. Этот

режим кипения применяется в парогенераторах тепловых и атомных электростанций, при


охлаждении двигателей, элементов конструкции энергетических, металлургических и хими-

ческих агрегатов, работающих в условиях высоких температур.

При дальнейшем увеличении перегрева стенки равном перегреву жидкости в погранич-

ном слое ( нw TTT ) интенсивность теплоотдачи, достигнув максимума в критической

точке "кр1", начинает снижаться из-за слияния все возрастающего количества пузырей в па-

ровые пятна (см. рис.4.7, область 3). Площадь паровых пятен возрастает по мере увеличения

T и охватывает в итоге всю стенку, превращаясь в сплошную паровую пленку, плохо про-

водящую теплоту. Таким образом, происходит постепенный переход от пузырькового режи-

ма кипения к пленочному, сопровождающийся снижением интенсивности теплоотдачи.

Начало такого перехода называют первым кризисом кипения. Под кризисом понимают

коренное изменение механизма кипения и теплоотдачи.

При дальнейшем увеличении перегрева (T) интенсивность теплоотдачи, достигнув

минимума во второй критической точке "кр2", снова начинает возрастать в области пленоч-

ного режима кипения (см. рис.4.7, области 4 и 5). Такую перемену характера влияния пере-

грева на теплоотдачу называют вторым кризисом кипения.

2 3 4 5

lg(q)

q кр

1

qкр2

кр1

кр2

кр2

кр1

q( T)

( T)

lg( T)Tкр1 Tкр2

lg()

1

Рис. 4.7. Изменение плотности теплового потока и коэффициента теплоотдачи от перегрева

жидкости в пограничном слое

1 – конвективная область без кипения; 2 – область пузырькового кипения; 3 – переходная об-

ласть; 4 – область пленочного кипения; 5 – участок пленочного кипения со значительной до-

лей передачи тепла излучением; кр1, кр2 – соответственно точки первого и второго кризи-

сов кипения

В пленочном режиме кипения сплошная пленка пара оттесняет жидкость от поверхно-

сти, и условия теплообмена стабилизируются, а коэффициент теплоотдачи перестает сни-

жаться, оставаясь практически постоянным. Тепловой поток согласно закону Ньютона (4.1)

снова начинает увеличиваться из-за возрастания температурного напора T. Заметим, что

увеличение теплового потока в области развитого пленочного кипения (при больших T)

происходит и из-за возрастания переноса теплоты излучением в паровой прослойке.

Интенсивность теплоотдачи при пленочном режиме кипения весьма низка, что приво-

дит к сильному перегреву поверхности теплообмена.

Два вида перехода от пузырькового режима к пленочному


В зависимости от граничных условий теплообмена на поверхности теплообмена пере-

ход от пузырькового режима к пленочному может происходить, либо следуя кривой кипения

(рис. 4.8, а), либо скачкообразно (рис. 4.8, б). Постепенный переход от развитого пузырько-

вого кипения к пленочному имеет место при регулируемой температуре стенки (граничные

условия I рода), а скачкообразный – при постоянном тепловом потоке, поступающем от

стенки к жидкости (граничные условия II рода).

Для объяснения этого явления запишем формулу для расчета плотности теплового по-

тока через тепловой пограничный слой (см. рис. 4.6):

пспспс,t /

T

R

Tq

, (4.27)

где нw TTT – перепад температур в пограничном слое; пс,tR – термическое сопротив-

ление пограничного слоя; пс – толщина пограничного слоя (см. рис. 4.6); пс – коэффици-

ент теплопроводности пограничного слоя.

При заданной постоянной температуре стенки (Tw) перепад температур ( нw TTT )

не зависит от процесса теплообмена.. Поэтому при увеличении термического сопротивления

пограничного слоя в переходной области вследствие ухудшения теплопроводных свойств

пристенного слоя ( пс,tпс R ), тепловой поток начинает уменьшаться ( q ) (см. рис. 5.8, а).

qкр1

qкр2

lg q

lg

qкр1

qкр2

lg q

lg

а) ГУ I рода б) ГУ II рода

Рис. 4.8. Два вида перехода от пузырькового режима кипения к пленочному

При заданном постоянном тепловом потоке ( постq ) увеличение термического со-

противления ( пс,tпс R ) приводит к скачкообразному росту перепада температур в

пограничном слое ( T ) и, следовательно, к перегреву стенки ( wT )и возможному ее раз-

рушению.

При снижении тепловой нагрузки переход к пузырьковому кипению произойдет скач-

ком при минимальной тепловой нагрузке.

Расчет теплоотдачи при кипении

Все формулы расчета теплоотдачи при кипении получены на основе обработки много-

численных экспериментальных данных учеными разных научных школ. Поскольку условия

проведения опыта у разных экспериментаторов точно не совпадали, то и , рассчитанные по

формулам разных авторов, могут существенно отличаться. Поэтому ниже приведем только


простейшие по форме, но достаточно апробированные расчетные формулы по теплоотдаче

при кипении.

А. Пузырьковое кипение в большом объеме

Теплоотдача при пузырьковом режиме прямопропорциональна количеству действую-

щих центров парообразования и частоте отрыва пузырей, которые, в свою очередь, пропор-

циональны максимальному перегреву нw TTT жидкости и давлению pн. В силу этого

средний коэффициент теплоотдачи может быть рассчитан по формуле zн

n1 pTC . (4.28)

С другой стороны, выражая перепад температур из закона теплоотдачи Ньютона /qT и

подставляя в формулу (4.28), получим: kн

m2 pqC , (4.29)

где C1, C2, k, z, m, n – коэффициенты, полученные в результате статистической обработки

экспериментальных данных.; T – перегрев стенки, 0С (K); рн – давление насыщения (внеш-

нее давление жидкости), бар; q – поверхностная плотность теплового потока, Вт/м2.

Для расчета теплоотдачи при кипении воды формулы (4.28) и (4.29) принимают вид: 5,0

н33,2 pT7,38 (4.30)

15,0н

7,0 pq0,3 , (4.31)

где pн – давление насыщения, бар; q – плотность теплового потока, Вт/м2;

Формулу (4.30) используют в расчетах пузырькового кипения при граничных условиях

первого рода. В этом случае регулируемой (заданной) величиной является температура стен-

ки и, следовательно, перегрев жидкости ( T ), а формулу (4.31) применяют в расчетах кипе-

ния при граничных условиях второго рода (заданная величина – плотность теплового потока

(q) на поверхности стенки). Определив по формуле (4.31), несложно найти перегрев стен-

ки (перегрев жидкости в пограничном слое) и температуру стенки:

qTT

qT нw (4.32)

Б. Пленочное кипение в большом объеме

Схема пленочного кипения показана на рис. 4.9. Из рисунка видно, что наблюдается

Н

0

х

y

жидкостьпар

Gп

Q


Рис. 4.9. К расчету пленочного кипения

аналогия процессов конденсации и пленочного кипения. Поэтому формулы для расчета ко-

эффициента теплоотдачи при пленочном кипении имеют вид:

— кипение на вертикальной поверхности

4

п

3ппжп

HT

rg943,0

; (4.33)

— кипение на горизонтальной трубе

4

трп

3ппжп

dT

rg728,0

, (4.34)

где ппп и, плотность, коэффициент теплопроводности и динамический коэффициент

вязкости пара; ж – плотность жидкости; r – скрытая теплота парообразования.

В качестве определяющей температуры в формулах (4.33) и (4.34) принята температура

насыщения при данном давлении.

В. Расчет первого кризиса кипения

Расчет максимальной плотности теплового потока при пузырьковом режиме кипения

(критической тепловой нагрузки) проводят по формуле

4 2

ппж1,кр gr14,0q , (4.35)

в которой – сила поверхностного натяжения жидкости; пж и – плотности жидкости и

пара; r – скрытая теплота парообразования.

Г. Расчет теплоотдача при кипении в трубах и каналах

Теплоотдача при кипении в трубах и каналах существенно отличается от теплоотдачи

при кипении в большом объёме, потому что процесс непрерывного парообразования оказы-

вает существенное влияние на гидродинамику течения, а, следовательно, и на теплообмен.

При кипении в трубах с постоянным подводом теплоты происходит непрерывное увеличение

паровой и уменьшение жидкой фазы. Гидродинамическая структура двухфазного потока

также зависит от расположения труб и каналов в пространстве.

В настоявшее время математическое моделирование течения и теплообмена двухфаз-

ных потоков чрезвычайно сложная и трудоемкая задача, поэтому информацию об уровне

теплоотдачи при кипении в трубах и каналах получают из эксперимента. На рис.4.10. изоб-

ражена зависимость коэффициента теплоотдачи в зависимости от плотности теплового пото-

ка, поступающего на внешнюю поверхность трубы и скорости течения двухфазного флюида.

При малых скоростях течения коэффициент теплоотдачи не зависит от скорости, а зависит

только от теплового потока (тепловой нагрузки), поступающего к пароводяной смеси (уча-

сток 1). В этом случае расчет теплоотдачи при кипении в трубах аналогичен расчету при ки-

пении в большом объеме. При больших скоростях двухфазного потока, наоборот, теплоотда-

ча зависит только от скорости течения флюида – наблюдается турбулентный режим конвек-

тивного теплообмена (участок 3). Существует и переходный участок от режима кипения во-

ды в большом объеме до режима конвективного теплообмена при турбулентном течении в

трубах.

Методика расчета коэффициента теплоотдачи при кипении и движении двухфазных

потоков в трубах и каналах заключается в следующем. На первом этапе расчета находят ко-

эффициент теплоотдачи при кипении в большом объеме по формуле 15,0

н7,0

кип pq0,3 . (4.36)


Затем рассчитываю коэффициент теплоотдачи при вынужденном турбулентном течении в

трубах и каналах по критериальной формуле М.А. Михеева:

t43,0

f8,0d,fd,f PrRe021,0Nu и d/Nuw , (4.37)

где d – внутренний диаметр трубы или эквивалентный диаметр канала. В качестве опреде-

ляющей температуры в формулах (4.36) и (4.37) необходимо принимать температуру насы-

щения при данном давлении.

1

2

3

q1

q2

q3

lg w

lg α

Рис. 4.10. К расчету теплоотдачи при кипении в трубах и каналах

Определив кип и w , окончательный расчет коэффициента теплоотдачи выполня-

ют следующим образом:

а) если 2/ wкип , то кип ;

б) если 5,0/ wкип , то w ;

в) если 2/5,0 wкип , то кипw ,

где поправочный коэффициент на теплоотдачу при кипении рассчитывается по формуле:

кипw

кипwкип

5

4

. (4.38)

UP. Bez Nomera - ToT. TMO Lekcii Ch.2

Documents

Transcript of UP. Bez Nomera - ToT. TMO Lekcii Ch.2