UČME APLIKOVAŤ MATEMATIKU · Prv ako urobíme ukážky, treba zdôrazniť, že hľadanie...

FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA

UČME APLIKOVAŤ MATEMATIKU

Zborník z vedeckého seminára Učme aplikovať matematiku organizovaného Katedrou matematiky

dňa 17. októbra 2007

NITRA 2008

Názov: UČME APLIKOVAŤ MATEMATIKU Zostavovatelia: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. RNDr. Dušan Vallo, PhD. Jednotlivé príspevky boli recenzované, recenzent je uvedený na konci príspevku. Technická spolupráca: PaedDr. Janka Melušová RNDr. Kitti Vidermanová Edícia: Prírodovedec č. 298 Vydané s finančnou podporou grantu KEGA 3/4038/06 „Učme matematiku na 2. stupni ZŠ zaujímavejšie, učme matematiku aplikovať“. Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa 15. 1. 2008 Rukopis neprešiel jazykovou úpravou. © UKF v Nitre 2008 ISBN 978-80-8094-290-8 EAN 9788080942908

FACULTY OF NATURAL SCIENCES CONSTANTINE THE PHILOSOPHER UNIVERSITY NITRA

UČME APLIKOVAŤMATEMATIKU

3

ZVYŠOVANIE EFEKTÍVNOSTI VYUČOVANIA MATEMATIKY PROSTREDNÍCTVOM APLIKÁCIÍ MATEMATIKY

ONDREJ ŠEDIVÝ

Abstract: In this contribution we characterize a need to teach students mathematical applications. We also describe a sequence of solving problems from practice. In conclusion, we present demonstrations from the mathematical curriculum at the second stage of elementary schools

Vo výskume PISA sa zisťuje ako žiaci dokážu využiť to, čo sa v škole naučili, a nie to,

či vedia zreprodukovať naučené. Aj Svetový kongres ICME-10 konaný v roku 2004 veľký dôraz kládol na vyučovanie matematiky a hlavne na zefektívňovanie vyučovania matematiky.

Henk van der Kooij v článku Mathematics and Key Skills for the Working Place (Matematika a kľúčové zručnosti v zamestnaní1) hovorí: „v nie ďalekej minulosti zamestnávateľa zaujímala odpoveď na otázku: Aké technické vedomosti má môj potenciálny zamestnanec? V súčasnosti sa otázka zmenila, v jej formulácii zaznieva diskusia o opise zručností a kompetencií profesionálneho uplatnenia“.

Už Svetový kongres ICME v roku 1997 vo svojich dokumentoch uviedol päť dôvodov,

prečo sa svet začal intenzívne zaujímať o vyučovanie matematiky: • zmeny v pedagogických prístupoch a obsahu vyučovania matematiky, uskutočnené

na úrovniach základného a stredného vzdelávania, • zvyšujúci sa počet študentov študujúcich na univerzitách, • zväčšujúce sa rozdiely medzi obsahom vyučovania matematiky

na základných, stredných školách a na univerzitách, • rapídny technologický rozvoj, • posilnenie zodpovednosti univerzít za vzdelanie. Matematické vzdelanie si vyžaduje od žiakov a študentov: • flexibilitu, • schopnosť analyzovať problémy, • schopnosť kriticky posudzovať riešenia a ich výsledky. Pri vyučovaní matematiky je potrebné zohľadniť hlavné postuláty strategického

programu vo výchovno-vzdelávacej oblasti, a to konkrétne požiadavku na posilnenie trendu aplikačných úloh, požiadavku tvorivosti a požiadavku medzipredmetových vzťahov. Z toho vyplývajú konkrétne ciele:

• osvojenie si matematického aparátu – poznať (úroveň zapamätania) a ovládať (úroveň porozumenia) základné pojmy, metódy a algoritmy vo vybraných témach,

1 Dostupné na http://www.alm-online.org/ICME/Abstracts.html

ONDREJ ŠEDIVÝ

4 4

• nadobudnúť a rozvíjať schopnosti a zručnosti, rozvíjať schopnosti žiakov a študentov matematiky, formulovať a riešiť problémy praxe, rozvíjať tvorivé matematické myslenie,

• vedieť aplikovať nadobudnuté matematické poznatky, metódy a algoritmy v odborných predmetoch a pri riešení technických problémov (prípadne špecifických projektov), to znamená vedieť matematizovať reálne situácie a technické problémy, t.j. vedieť sformulovať problém, vyjadriť ho v matematickej forme, vyjadriť efektívny algoritmus riešenia a v numerickej, resp. grafickej podobe ho vyriešiť a nakoniec verifikovať, teda konfrontovať s realitou,

• vytvárať, rozvíjať a upevňovať samostatnosť, kreativitu, húževnatosť, rozhodnosť, kritickosť, sebakritickosť, dôveru vo vlastné sily, atď.

Pri vyučovaní matematiky na všetkých typoch a druhoch škôl platí zásada: motivácia má rovnocenný význam ako schopnosť. Charakteristickou črtou pedagogického majstrovstva učiteľa matematiky je umenie vyvolať záujem o prácu s matematickým textom, umenie strhnúť, zapáliť žiakov a študentov pre matematickú činnosť, pre riešenie matematických i nematematických problémov prostredníctvom matematiky, vyvolať snahu rozšíriť matematické poznatky a zručnosti. Tu veľký význam zohráva motivácia. Treba využívať všetky formy motivácie: motiváciu matematickými úlohami, motiváciu rozborom problémov, motiváciu s akcentom použiteľnosti matematiky v riešení nematematických problémov v iných predmetoch a najmä v spoločenskej praxi (aplikácie).

Podľa R. Fischera2 miestom, kde sa prevažne uskutočňuje konfrontácia medzi človekom a matematikou, sú aplikácie, kde matematika pomáha riešiť problémy spoločenskej praxe. To robí pomocou modelov, pričom matematický model je abstraktný model používajúci matematický zápis na opísanie konkrétnej situácie.

Obr. 1

Tento model úplne (alebo sčasti) „zastupuje“ danú reálnu situáciu. Pri hľadaní modelu danej situácie teda riešiteľ musí stanoviť východiská, nájsť vhodné matematické pojmy, štruktúry alebo reprezentácie súvisiace s riešeným problémom, postupne prechádzať od reality k matematickej reprezentácii (matematizácii reálnej situácie), t.j. matematicky formulovaný problém riešiť, výsledok riešenia matematického problému opäť vrátiť do reálnej situácie.

Najčastejšie túto činnosť pri vyučovaní matematiky uskutočňujeme riešením slovných úloh. Pri riešení úloh, ktoré vedú na vytvorenie matematického modelu sa používa schéma na obr. 1.

2 Fischer, R. – Malle, G.: Človek a matematika. Slovenský preklad, SPN, Bratislava 1992, str. 83

ZVYŠOVANIE EFEKTÍVNOSTI VYUČOVANIA MATEMATIKY PROSTREDNÍCTVOM …

5

Tvorbe matematických modelov (aplikáciám) treba učiť žiakov a študentov. Vzniká didaktická otázka: Kedy začať učiť aplikáciámvo vyučovaní matematiky? Odpoveď je jednoznačná, postupne od 1. ročníka ZŠ. Tu však musí učiteľ dbať na to, aby bola vytvorená určitá báza vedomostí a zručností. Je nebezpečie, ak žiak nemá vytvorené podmienky pre pochopenie problému a vytvorenie dostatočného a vhodného matematického aparátu na vyjadrenie problému. Učenie aplikáciám (tvorba matematického modelu) je proces, ktorý treba sústavne uskutočňovať a zdokonaľovať – zdôrazňujeme, že učiť aplikáciám vo vyučovaní môžeme len vtedy, keď budú vytvorené k tomu optimálne podmienky. Na jednej strane aplikácie sú možné len pri zvládnutí učiva matematiky, na druhej strane aplikácie veľmi výrazne ovplyvňujú záujem o matematiku, pomáhajú zvyšovať efektívnosť vyučovania matematiky. Na možnosť učeniu aplikáciám matematiky treba vytvárať podmienky už pri osnovaní matematiky, pri používaní metód a prostriedkov, ktoré možno použiť. Teda aplikačný charakter matematiky možno posilniť hlavne v oblasti týchto zložiek vzdelávacieho procesu:

• obsah (do učiva zaraďovať také témy, ktoré neskôr nájdu uplatnenie pri učení aplikáciám),

• metódy (zaraďovanie aplikačných úloh, zlepšiť komunikáciu medzi učiteľom a žiakom za účelom rozvíjania matematického myslenia, argumentácie, možností matematizácie reálnych situácií),

• prostriedky vyučovania (učebné pomôcky a neskôr zaraďovanie počítača do vyučovania matematiky).

Prv ako urobíme ukážky, treba zdôrazniť, že hľadanie matematického modelu pri

riešení problémov je rôznej obtiažnosti, závisí od toho, či aplikačnú úlohu zaradíme bezprostredne po prebratí určitého matematického celku alebo zaradíme do súhrnného opakovania. Ukazuje sa, že žiaci v prvom prípade nájdu model oveľa rýchlejšie ako v druhom prípade. Z hľadiska efektívnosti vyučovania je potrebné zaraďovať aplikačné úlohy vo všetkých fázach vyučovania matematiky.

Ukážka 1 Rebrík treba oprieť o múr do výšky 7,5m tak, aby mohol byť použitý

na prácu. Pre bezpečnosť dolný koniec má byť od múra vzdialený najmenej 1,5m. Ako dlhý rebrík môže byť použitý?

Riešenie: Zápis: ma 5,7= mb 5,1= mc ...= Matematický model: 222 bac += Numericky: 222 5,15,7 +=c mc 6,7=

Odpoveď: Dĺžka rebríka musí byť väčšia ako 7,6 m.

ONDREJ ŠEDIVÝ

6 6

Ukážka 2 Chlapci púšťajú šarkana. Nevedia sa dohodnúť o výške šarkana

nad rovným terénom. Pomôžme im, keď daná situácia je nasledovná: Papierového šarkana drží Miško na lanku dlhom 80m a šarkan sa vznáša nad miestom M. Miesto M je vzdialené 25m od stanoviska S, kde stojí Miško.

Riešenie:

Zápis: mm 80= mn 25= mv ...= Matematický model: 222 vnm += Numericky: 222 2580 v+= mv 76= Odpoveď: Šarkan je od vodorovného terénu

vzdialený približne 76 m.

Ukážka 3 Podložka z plechu má tvar ako na obrázku. Odnesie pracovník v jednej ruke 1 000

kusov takýchto podložiek, keď 1m2 plechu má hmotnosť 10kg? Riešenie:

Obsah kruhovej podložky vypočítame ako rozdiel

obsahov 1S , 2S dvoch kruhov s priemermi mmr 301 =

a mmr 152 = . Zjednodušene: Matematický model:

21 SSS −= ( )2

22

12

22

1 rrrrS −=−= πππ Numericky:

( ) 5,2119153014,3 22 =−=S Obsah jednej podložky je približne 2119,5mm2. Obsah 1 000 kusov podložiek je potom

2 119 500 mm2 = 2,12m2. A hmotnosť podložiek je 2,12m2 . 10 = 21,2kg. Odpoveď: Keďže hmotnosť podložiek je 21,2kg, tieto pracovník odnesie v jednej ruke.

ZVYŠOVANIE EFEKTÍVNOSTI VYUČOVANIA MATEMATIKY PROSTREDNÍCTVOM …

7

Ukážka 4 Podnikateľ si požičal banke 425 000 Sk pri úrokovej miere 18% ročne. Dlh splatí za 10

mesiacov. a) Ako veľké úroky zaplatí? b) Akú veľkú čiastku podnikateľ splatí? Riešenie: a) základ 425000=z (Sk)

počet % 18=p (%) čas 10=t (mesicov) úrok ?=u

Matematický model: 12100tpzu ⋅

⋅=

Numericky: 1210

10018425000

⋅⋅

=u

63750=u (Sk) Odpoveď: Úrok za 10 mesiacov činí 63 750 Sk.

b) 425000 + 63750 = 488750 Sk

Odpoveď: Podnikateľ vyrovná dlh čiastkou 488 750 Sk. Ukážka 5 Násypník na betonárke má tvar pravidelného štvorbokého ihlana s dĺžkou podstavnej

hrany 3,2m a stenová výška s príslušnou strednou priečkou podstavy určuje uhol s veľkosťou 60°. Možno násypník naplniť štrkom dovezeným nákladným autom s nákladným priestorom 6m, 1,8m, 0,9m?

Riešenie: Je potrebné vypočítať objem násypníka a objem ložného priestoru auta a porovnať ich

objemy.

Matematický model pre objem násypníka:

vaV 21 3

1= (objem ihlana)

Matematický model pre objem ložného

priestoru auta: rqpV ⋅⋅=2 (objem kvádra)

ONDREJ ŠEDIVÝ

8 8

Pre výpočet objemu 1V potrebujeme vypočítať výšku v ihlana a potom vypočítame 2V . mSX 6,1=

60=α mv ...=

SXvtg =60

60tgSXv ⋅=

77,2=v

ma 2,3= mv 77,2= 3

1 ...mV =

vaV 21 3

1=

45,91 =V

Objem násypníka je 9,45m3.

Výpočet objemu 2V . mp 6= mq 8,1= mr 9,0=

32 ...mV =

rqpV ⋅⋅=2 9,08,162 ⋅⋅=V

72,92 =V Objem ložného priestoru auta je 9,72m3

Odpoveď: Násypník možno naplniť jedným otočením uvedeného nákladného auta. Z ukážok je vidieť, že v učive matematiky na základnej škole sú predpoklady učiť

žiakov vytvárať modely reálneho problému. Treba poznamenať, že je to len vstup do problematiky aplikácií matematiky v spoločenskej praxi, pretože sú obmedzené poznatky žiakov z rôznych technických, ekonomických a iných odborov. Treba vo vyučovaní aplikáciám v matematike pokračovať na gymnáziách, stredných školách a stredných odborných učilištiach, kde sú už lepšie podmienky pre aplikácie.

Učiť aplikáciám v matematike má dva významy, a to vzbudenie záujmu o matematiku a vedieť používať matematiku na riešenie problémov praxe. Aplikačná (modelová) koncepcia vyučovania matematiky je už výrazom určitého stupňa odrazu použitia matematiky, ktorý je charakterizovaný predovšetkým tým, že rozlišujeme reálnu situáciu a matematiku. Treba poznamenať, že bolo by nesprávne, keby sme učili riešiť takmer každú úlohu zdôrazňovaním primeraného modelu.

LITERATÚRA

[1] Fischer, R. – Malle, G.: Mensch und Mathematik. Slovenský preklad: Človek a matematika. SPN, Bratislava 1991, ISBN 80-08-013095

[2] Šedivý, O. – Križalkovič, K. : Didaktika matematiky. SPN, Bratislava 1990, ISBN 80-08-00378-2

[3] Fulier, J. – Ďuriš, V.: O niektorých aspektoch využitia programov počítačovej algebry (CAS) vo vyučovaní matematiky. In: IKT vo vyučovaní matematiky 2. UKF, Nitra 2006, ISBN 80-8094-087-6

Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK - 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. e-mail: [email protected]



9

MATEMATIKA V PROSTREDÍ MATLAB®

VILIAM ĎURIŠ

Abstract. In this paper our aim is to point out a special use of the Matlab® programme environment at presenting a certain mathematical problem in a maths class or in a class where a mathematical software is used. In the article we start to consider an alternative of teaching mathematics by way of algorithmization.

1 Úvod

V príspevku je naším cieľom poukázať na špeciálne využitie programového prostredia Matlab pri vyučovaní (resp. riešení) istého matematického problému priamo na hodinách vyučovania matematiky alebo aj hodinách práce s matematickým softvérom. V článku tak otvárame pohľad na možnosť vyučovania matematiky pomocou algoritmizácie (teda prezentujeme „silu“ programovania), keďže každý matematický problém sa dá algoritmicky riešiť pokiaľ vieme daný problém správne formulovať a charakterizovať nájdením „predpisu“ jeho riešenia.

2 Hľadanie minima

V prostredí Matlab je niekoľko implementovaných optimalizačných funkcií [1], z ktorých veľmi významnou je funkcia fminsearch. Funkcia fminsearch slúži na hľadanie globálneho minima funkcie viacerých premenných. Premenné funkcie (ktorej globálne minimum hľadáme) sú zapísané do vektora a naviac špecifikujeme tzv. počiatočný vektor 0x , z ktorého sa vyhľadávanie minima začne. Počiatočný vektor 0x musí byť dostatočne blízky globálnemu minimu (nemusí tak byť pri jednomodálnych „nie obtiažnych“ funkciách), lebo rôzne odhady počiatočného vektora môžu spôsobiť nájdenie rôznych lokálnych miním (nie však globálneho). Keďže algoritmus fminsearch je založený na simplexovej metóde [2], môže sa stať, že riešenie nebude nájdené vôbec. Inak funkcia fminsearch vráti vektor x, čo je bod, v ktorom je globálne minimum danej matematickej funkcie.

Príklad.

Uvažujme pre jednoduchosť Prvú De Jongovu funkciu v tvare ( ) 2

1,

d

ii

f x x d N=

= ∈∑ , kde d

je dimenzia prehľadávaného priestoru, ako m-súbor. function y = dejong(x) y = sum(x.*x); Teraz nájdeme minimum x tejto funkcie stanovením 0x napr. ako >> x0 = [-0.3 0.25 -1.1];

VILIAM ĎURIŠ

10 10

Nastavme ešte formát plávajúcej rádovej čiarky >> format short e Potom >> x = fminsearch('dejong', x0) x = 3.0268e-006 -3.4533e-005 -3.1680e-006 Niektoré optimalizačné parametre vyhľadávania globálneho minima sa dajú špecifikovať (nastaviť) v tzv. štruktúre options pomocou funkcie optimset (pozri nápovedu Matlabu). Význam parametrov volieb options sú uvedené v nasledujúcej tabuľke (Tab. 1).

Parameter Význam

options.Display

Určuje, či sa jednotlivé výsledky krokov výpočtu zobrazujú na obrazovke. Ak je nastavený na 'iter', zobrazujú sa všetky medzivýsledky, pre 'off' sa nezobrazuje žiadny výsledok, pri nastavení 'final' len posledný výsledok.

options.TolX Tolerancia ukončenia výpočtu pre vektor x. Prednastavená hodnota je 1.e-4.

options.TolFun Tolerancia funkčnej hodnoty pre ukončenie výpočtu. Prednastavená hodnota je 1.e-4.

options.MaxIter Maximálny počet povolených iterácií.

options.MaxFunEvals Maximálny povolený počet vyhodnotenia funkcie. Preddefinovaná hodnota je 200*length(x0).

Tab. 1: Význam parametrov štruktúry options

Potom všeobecný príkaz volania funkcie fminsearch má tvar [x, fval, exitflag, output] = fminsearch(fun, x0, options), kde fun je reťazec, pomocou ktorého je zapísaná daná matematická funkcia, x0 počiatočný vektor, options voľby nastavenia vyhľadávania, x je výsledný vektor globálneho minima, fval funkčná hodnota v bode x, exitflag je hodnota, ktorá určuje typ ukončenia vyhľadávania (popísané ďalej) a output je štruktúra, ktorá obsahuje potrebné informácie o optimalizácii (použitý algoritmus, počet vyhodnotení funkcie, počet iterácií).

Pre každý algoritmus musíme rozlišovať štyri typy ukončenia prehľadávania [2]. Typ 1 je korektné ukončenie algoritmu pri nájdení (dostatočnom priblížení sa) globálneho minima, typ 2 značí, že algoritmus je ukončený dosiahnutím maximálneho povoleného počtu iterácií (i keď konverguje ku globálnemu minimu), typ 3 je predčasnou konvergenciou (algoritmus skončil prehľadávanie v lokálnom minime) a typ 4 znamená ukončenie prehľadávania dosiahnutím maximálneho povoleného počtu iterácií, ale nebol nájdený bod blízky minimu.


ONDREJ ŠEDIVÝ




Henk van der Kooij v článku Mathematics and Key Skills for the Working Place (Matematika a kľúčové zručnosti v zamestnaní) hovorí: „v nie ďalekej minulosti zamestnávateľa zaujímala odpoveď na otázku: Aké technické vedomosti má môj potenciálny zamestnanec? V súčasnosti sa otázka zmenila, v jej formulácii zaznieva diskusia o opise zručností a kompetencií profesionálneho uplatnenia“.




11

3 Aproximácia koreňa

Ak je daná algebraická rovnica ( ) 0f x = s reálnymi koeficientami majúca v intervale

( ),a b práve jeden reálny koreň k, môžeme ho aproximovať s vopred žiadanou presnosťou ε pomocou funkcie fzero implementovanej priamo v prostredí Matlab, ktorá sá „pokúša“ nájsť riešenie danej rovnice. Funkciu fzero je možné zavolať buď s dvojprvkovým vektorom reprezentujúcim interval ( ),a b alebo len s počiatočným bodom

0x , z ktorého sa má vyhľadávanie začať. V tomto prípade funkcia fzero najskôr vyhľadá taký interval okolo počiatočného bodu, v ktorom funkcia ( )f x mení znamienko. Pokiaľ taký interval nenájde, vráti NaN. Ak však vopred poznáme vhodný interval ( ),a b , je zaručené, že funkcia fzero úspešne vráti hodnotu blízku koreňu danej rovnice. Príklad.

Nájdime koreň rovnice 3 25 16 53 0x x x− − + = v intervale ( )2,3 . >> f = inline('x^3 - 5*x^2 - 16*x + 53'); >> k = fzero(f, [2 3]) k =

VILIAM ĎURIŠ

12 12

2.3835

Informácie o tom, ako funkcia fzero postupuje, je možné si nechať zobraziť nastavením parametra Display štrutúry options. >> nastav = optimset('Display', 'iter'); >> k = fzero(f, [2 3], nastav) Func-count x f(x) Procedure 2 2 9 initial 3 2.40909 -0.582363 interpolation 4 2.38423 -0.0171312 interpolation 5 2.38348 9.38838e-006 interpolation 6 2.38348 -6.6612e-010 interpolation 7 2.38348 -7.10543e-015 interpolation 8 2.38348 0 interpolation Zero found in the interval [2, 3] k = 2.3835 Poznámka. Presnosťou ε je rovnako možné nastaviť funkciou optimset.

Okrem vstavanej funkcie fzero je možné aproximovať koreň využitím nejakej metódy. My sme na porovnanie vybrali tzv. metódu tetív [3] a implementovali do prostredia Matlab.

Metóda tetív spočíva v tom, že funkciu ( )f x nahradíme v intervale ( ),a b tetivou

danou bodmi ( )( ) ( )( ), , ,A a f a B b f b , ktorej rovnica je

( ) ( ) ( ) ( )axab

afbfafy −−−

=− (Obr. 1).

Obr. 1

Položíme 0=y a vypočítame priesečník ( ) ( ) ( )af

afbfabax

−−

−=1 s osou x. Ak

znamienko ( )1xf sa rovná znamienku ( )af , položíme 11 ax = . Takto postupujeme ďalej

a získavame aproximácie ( ) ( ) ( )1

1

112 af

afbfab

aa−−

−= , 3a , 4a , …, ktoré konvergujú ku


ONDREJ ŠEDIVÝ




Henk van der Kooij v článku Mathematics and Key Skills for the Working Place (Matematika a kľúčové zručnosti v zamestnaní) hovorí: „v nie ďalekej minulosti zamestnávateľa zaujímala odpoveď na otázku: Aké technické vedomosti má môj potenciálny zamestnanec? V súčasnosti sa otázka zmenila, v jej formulácii zaznieva diskusia o opise zručností a kompetencií profesionálneho uplatnenia“.




13

koreňu k. Ak znamienko ( )1xf sa rovná znamienku ( )bf , položíme 11 bx = , teda

( ) ( ) ( )afafbf

abab−−

−=1 , a rovnako ďalším postupom získavame aproximácie

( ) ( ) ( )afafbf

abab−−

−=1

12 , 3b , 4b , … konvergujúce ku koreňu.

Algoritmus metódy tetív ako funkcia zapísaná v Matlabe potom na základe vyššie

uvedeného vyzerá nasledovne: function regula_falsi(interval, presnost, f) a = interval(1); b = interval(2); fa = feval(f, a); fb = feval(f, b); while (abs(fa) > presnost) && (abs(fb) > presnost) x1 = a - (b - a)/(fb - fa)*fa; fx1 = feval(f, x1); if fx1 * fa > 0 a = x1 else b = x1 end

VILIAM ĎURIŠ

14 14

fa = feval(f, a); fb = feval(f, b); end Príklad.

Nájdime koreň rovnice 053165 23 =+−− xxx v intervale ( )3,2 metódou tetív. >> format long >> f = inline('x^3 - 5*x^2 - 16*x + 53'); >> regula_falsi([2 3], 1.e-4, f) b = 2.40909090909091 b = 2.38422863191320 b = 2.38349865412789 b = 2.38347756851597

LITERATÚRA

[1] MathWorks®: Using Matlab – Version 6. USA, The MathWorks, Inc. 2000

[2] Tvrdík, J.: Evoluční algoritmy. Skriptum, Ostrava, OU 2004

[3] Palumbíny, D.: Algebra 1 – Lineárna algebra. Skriptum, Nitra, UKF 1997, ISBN 80-8050-138-6

RNDr. Viliam Ďuriš Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. e-mail: [email protected]



15

PREČO APLIKOVAŤ MATEMATIKU V CHÉMII?

SOŇA FÁNDLYOVÁ

Abstract: We present some possibilities how to include mathematical skills in chemistry and how to make chemistry more interesting for the students

Úvod

Článok poukazuje na nevyhnutnosť syntézy matematiky a chémie už na druhom stupni základnej školy a osemročných gymnáziách. Vo vyučovaní chémie v 8. ročníku ZŠ a v tercii je téma hmotnostný zlomok zložky v roztoku. Zo skúsenosti vieme, že samotný názov vyvoláva u žiakov negatívne pocity.

Táto téma je časovo zaradená tak, že žiaci majú už absolvovaný tematický celok percentá v matematike. Lenže samotný žiak „nevycíti“ prepojenie. Je úlohou učiteľa sprístupniť mu nový druh cesty poznania.

V učebnici chémie [2] sa začína s odvolaním sa na skúsenosti žiakov z bežného života. Napr.: „Čo znamená údaj, že peroxid vodíka je 3 % prípadne ocot je 8 %?“

Na hodinách matematiky sa berie celok „Jedno percento. Percentová časť“, kde sa žiaci oboznamujú s pojmom jedno percento...„značku percento každý z nás už iste videl. Stretávame sa s ňou pri vyjadrovaní rôznych údajov. Základ (celok) rozdelíme na 100 rovnakých častí, jedna časť predstavuje: 1/100 = 0,01 = 1 %....“(Matematika, Šedivý a kol.).

Žiakom pripomenieme preberané učivo a pomocou zlomkov vysvetlíme:

3 %...... 100

3 peroxidu vodíka, čiže hmotnostný zlomok peroxidu vodíka

v jeho vodnom roztoku

8 %...... 100

8octu, čiže hmotnostný zlomok octu v jeho vodnom roztoku

Ak žiaci pochopia vyjadrenie počtu percent, prichádza na rad vzorec na výpočet

hmotnostného zlomku zložky v roztoku podľa vzťahu:

w = )m`(roztoku

m(zložky). 100 %

m – hmotnosť rozpustenej látky (zložky)

m`– hmotnosť celého roztoku Príklady na precvičenie sú uvedené v klasickom „chemickom prevedení“. Uvádzame

tri typy znenia jednej úlohy:

SOŇA FÁNDLYOVÁ

16 16

a) klasické chemické prevedenie

Aký je hmotnostný zlomok chloridu sodného v jeho vodnom roztoku, ktorý sme pripravili rozpustením 20 g NaCl a 380 g vody? b) znenie z oblasti kuchynskej chémie

Aký je hmotnostný zlomok sirupu v jeho vodnom roztoku, ktorý sme pripravili rozpustením 20 g sirupu a 380 g vody? c) aplikácia matematiky

V 380 g vody sme rozpustili 20 g sirupu. Koľko percent v roztoku predstavuje sirup? Prax ukazuje, že žiakom sa najbližšou a najjednoduchšou zdá úloha po c). Nemusia

rozmýšľať nad názvami chemických zlúčenín, v otázke majú jasne dané, čo majú vypočítať. Mali by sme žiakom prezentovať čo najväčší počet riešení, aby sa naučili vidieť matematiku v týchto úlohách a tým rozvíjali svoje tvorivé myslenie.

Uvedieme iné praktické príklady z [1]. Príklad 1. Ako si včelár pripraví 3 kg 50 % roztoku cukru na kŕmenie včiel? Riešenie: a) Rýdzo chemický postup „podľa učebnice“. Použijeme vzorec na výpočet

hmotnostného zlomku zložky v roztoku, dosadíme za premenné a vypočítame

w = 50 % ⇒ 0,5 w = )m`(roztoku

m(zložky). 100 %

m`= 3 kg roztoku

m = ? kg cukru 0,5 = kg 3

m(cukru)

0,5 . 3 kg = m(cukru) 1,5 kg = m(cukru) Odpoveď: Včelár bude potrebovať 1,5 kg cukru a (3 kg – 1,5 kg) vody. b) Riešenie z pohľadu matematiky logickou úvahou:

Ak 50 % je polovica zo základu, znamená to, že 3 kg . 21

= 1,5 kg cukru a rovnako

bude potrebovať také isté množstvo vody.

PREČO APLIKOVAŤ MATEMATIKU V CHÉMII?

17

Príklad 2. Na postrek rastlín proti ich škodcom si záhradkár pripravil roztok tak, že v 3800 g vody rozpustil 200 g modrej skalice. Aký bude približne hmotnostný zlomok modrej skalice v roztoku?

Riešenie: a) Chemický postup:

w = ? % w = )m`(roztoku

m(zložky). 100 %

m = 200 g modrej skalice

m`= (3800 + 200) g roztoku w = g 4000 g 200

. 100 %

w = 5 % Odpoveď: Hmotnostný zlomok modrej skalice v roztoku bude 5 %. b) Matematický postup podľa tematického celku v učebnici [3] „Jedno percento.

Percentová časť.“ základ ... (3800 + 200) g celého roztoku zložka ... 200 g modrej skalice Máme vypočítať koľko percent z roztoku tvorí modrá skalica. základ 100 % ... 4000 g 1 % ... 4000 g : 100 = 40 g zložka 200 g ... 200 g : 40 g = 5 % ... počet percent Odpoveď: Modrá skalica tvorí 5 % z celého roztoku. c) Logická úvaha:

200 g je 201

zo 4000 g , to znamená, že w = 201

zo 100 % a to je 5 %.

Odpoveď: Hmotnostný zlomok modrej skalice v roztoku bude 5 %. d) Použitie trojčlenky v percentovom počte podľa učebnice [3]: Pomenujeme si údaje: 100 % ......... 4000 g 4000 g je základ 100 % x % ......... 200 g percentová časť je 200 g

máme vypočítať počet percent. x = gg

4000200

. 100 %

x = 5 % Odpoveď: Hmotnostný zlomok zložky v roztoku bude 5 %.

SOŇA FÁNDLYOVÁ

18 18

Záver

Z vyššie uvedeného textu vyplýva, že aplikácie matematiky v chémii podporujú medzipredmetové vzťahy. Zdôraznili by sme ešte niekoľko poznámok:

• V prvom rade by sme mali podporiť význam matematiky v chémii.

Učitelia by mali znovu objaviť prelínanie matematiky s prírodnými vedami,

a zasvätiť žiakov do „skrytých“ tajomstiev prírodných vied. Výchovno-vzdelávací proces bude ucelený, ak žiaci uvidia súvis medzi predpísanými pravidlami v matematike a následnej aplikácii v chémii.

• Je dôležité naučiť žiakov logicky myslieť nielen na hodinách matematiky.

Ťažká, nie však nezvládnuteľná úloha. Tým, že sa žiaci naučia aplikovať matematické vedomosti aj na iných hodinách, nebude sa im matematika javiť ako zbytočná.

• Vytvárať u žiakov tvorivý prístup k práci a vniesť kreatívny prístup k získavaniu nových poznatkov a zákonitostí

Práve riešenie problémov, ktoré nemajú na prvý pohľad priamy súvis s matematikou, je tá najťažšia časť matematického vzdelávania. Žiaci nemajú prax v takomto procese a potencionálna schopnosť matematiky pomôcť im pri riešení problémov, s ktorými sa stretnú, nemusí byť plne realizovaná. Medzi najdôležitejšie zložky vo vzdelávaní patrí rozvíjanie predstavivosti a tvorivosti žiakov. Zastávame názor, že vyvrcholením tvorivej činnosti je zážitok z poznania niečoho nového.

LITERATÚRA

[1] Adamkovič, E. – Ružičková, M. – Šramko, T.: Základy chémie pre gymnáziá s osemročným štúdiom. SPN Bratislava, 2000. ISBN 80-08-02846-7

[2] Adamkovič, E. a i.: Chémia pre 8. ročník základných škôl. 8. vyd. SPN Bratislava, 2000. ISBN 80-08-01380-X

[3] Šedivý, O. – Čeretková, S. – Malperová, M. – Bálint, Ľ.: Matematika pre 7. ročník základných škôl. 2. časť. 3. vyd. SPN Bratislava, 2004. ISBN 80-10-00369-4

Mgr. Soňa Fándlyová Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: RNDr. Dušan Vallo, PhD. e-mail: [email protected]



19

VIZUALIZÁCIA V MATEMATIKE: REALISTICKÉ VERSUS PEDAGOGICKÉ ZNÁZORNENIE GRAFU FUNKCIE

JOZEF FULIER

Abstract: The paper is devoted to question of visualisation of objects and concept in mathematics and at teaching mathematics, especially problem of representation of graph functions by means of personal computer.

1 Vizuálne myslenie a význam vizualizácie v matematike

V odbornej či odborno-populárnej literatúre zo psychológie sa bežne prezentuje fakt, že myslenie človeka sa v ontogenéze vyvíja od manipulovania s predmetnými objektmi k predstavám týchto manipulácií a v užšom ponímaní samotné myslenie začína až vtedy, keď sa vonkajšia predmetná činnosť zvnútorňuje v predstavách. To je fáza tzv. obrazovo-názorného myslenia, ktorá je charakteristická najmä pre deti predškolského veku. Vizuálne, čiže obrazovo-názorné myslenie sa však stáva účinným nástrojom riešenia problémov aj u dospelých, a to nielen pri riešení praktických manipulatívnych problémov. Totiž je vhodné si uvedomiť, že pri riešení mnohých problémov, nie vždy pomôžu operácie s pojmami, pretože riešenia problémov často vyžadujú operácie s predstavami, čo je základ i samotná podstata vizuálneho myslenia. Niektorí autori hovoria aj o „non-verbálnom myslení“, čím majú na mysli spravidla „myslenie v termínoch priestorových vzťahov a možností pohybu“. Ako uvádza český psychológ M. NÁKONEČNÝ (Nákonečný, 2004), pri istom zjednodušení je možné povedať, že základnými elementmi myšlienkových operácií sú obraz a pojem, dva prvky, ktoré majú vlastnú „logiku“, ale môžu sa navzájom doplňovať (názorné vyjadrovanie abstraktného). Vizualizácia sa môže opierať nielen o predstavy konkrétnych objektov a pohybov, ale aj o predstavované schémy a štruktúrované diagramy, ktoré reprezentujú viac či menej podrobné predstavy vzťahov medzi skúmanými objektmi. Subjekt operuje v mysli s obrazmi tak, aby sa objekty tvoriace problémovú situáciu prejavovali rôznymi vlastnosťami a vzťahmi. Mentálne operácie s obrazmi môžu byť doplňované skutočnými skúšobnými manipuláciami a spravidla do konkrétnej manipulácie aj vyúsťujú. Skutočnosť reprezentujú najmä štrukturálne a funkčné vzťahy, pričom obe môžu byť reprezentované tiež predstavami: v mysli môžem mať nielen obraz danej situácie, ale môžem si aj predstaviť, čo sa stane, ak sa v danej situácii niečo zmení. Je vhodné poznamenať, že aj keď existujú aj nenázorné spôsoby myslenia, prevedenie abstraktného na názorné, niekedy aj za cenu veľkého zjednodušenia, pomáha pochopiť abstraktné.

Vizualizácia patrí k základným kognitívnym stratégiám v tvorivosti, objavovaní, vynaliezavosti a schopnosti riešiť problémy. Z ľudskej schopnosti vidieť (predstaviť si) veci vyplýva aj schopnosť induktívne myslieť. Význam vizualizácie potvrdzuje zistenie, že najväčšia časť mozgovej kôry je zameraná práve na videnie a vizuálnu analýzu – vizuálny kanál našich vnemov je neobyčajne široký. Známy francúzsky matematik JACQUES HADAMARD (1863 - 1965) už v roku 1945 zdôrazňoval, že vizuálne myslenie je veľmi dôležitou súčasťou myslenia matematikov. J. HADAMARD vo svojej knihe (Hadamard, 1945) cituje dopis od ALBERTA EINSTEINA, v ktorom EINSTEIN priznáva, že podstatou jeho

JOZEF FULIER

20

myslenia sú obrazy. EINSTEIN sa v dopise vyjadruje takto: „Zdá sa slová alebo jazyk, tak ako je ním písané alebo hovorené, nehrajú žiadnu rolu v mechanizme môjho myslenia. Psychické entity, ktoré zjavne operujú ako prvky v myšlienke, sú isté znaky a viac alebo menej jasné predstavy, ktoré môžu byť ľubovoľne reprodukované a kombinované... Vyššie zmienené prvky sú v mojom prípade vizuálneho a niekedy muskulárneho typu. Konvenčné slová či iné znaky musia byť prácne vyhľadávané až v druhej fáze, až keď zmienená asociatívna hra je dostatočne upevnená a môže byť na prianie vyvolaná.“

Aspekt vizualizácie (znázornenia) matematických objektov a vzťahov medzi nimi je veľmi bezprostredne spojený s aspektom reprezentácie a opisu v matematike. Ako konštatujú nemeckí didaktici matematiky R. FISCHER A G. MALLE (Fischer, Malle, 1992), už počítanie podľa pravidiel, ktorý je pre matematiku charakteristický, je sprevádzaný týmto aspektom. V matematike sa totiž operuje so symbolmi alebo postupnosťami symbolov, ktoré reprezentujú alebo opisujú abstraktný stav. Takéto reprezentácie sa musia vždy znovu a znovu nachádzať, a následne interpretovať. K tradičným dôležitým grafickým formám reprezentácie v matematike zaradujeme najmä: • súčasné, ale najmä minulé, spôsoby zápisu číslic a operácií medzi číslami, • algebrická symboliku: revolučným momentom bol formalizmus symbolickej

algebry3), ktorú v diele In artem analyticam isagoge ako prvý systematicky zaviedol FRANÇOIS VIÈTE (1540 -1603)

• graf funkcie: začiatky znázornenia grafu funkčnej závislosti nachádzame v diele De configuratone qualitum ( 1371), ktoré napísal NICOLE ORESME (1323 - 1382),

• symbolika diferenciálneho a integrálneho počtu, ktorú zaviedli jeho zakladatelia, najmä GOTFRIED W. LEIBNIZ (1646 - 1716) a z časti aj ISAAC NEWTON (1643 - 1727),

• matice, vrcholové grafy, vývojové diagramy, • množinovo – teoretický formalizmus, ktorý odštartoval GEORG CANTOR (1845-1918).

Tieto reprezentácie môžu byť (v primeranej miere) prostredníctvom pera a papiera, resp. kníhtlačou graficky znázornené. V súčasnosti všetky tieto formy, vrátane písomnej formy, môže nahradiť nová forma materializácie matematiky: počítač s vhodným softvérom, napríklad so systémom počítačovej algebry (CAS) typu Mathematica, Maple, Derive a pod. Bez nadsázky môžeme konštatovať, že takýto počítač predstavuje najvyvinutejšiu formu prezentácie abstraktných vzťahov, resp. procedúr v materiálnej forme. Elektronický svet v počítači, vytvorený z textov, obrázkov, databáz, matematických modelov alebo iných prístupným prostriedkov, umožňuje, podporiť a bezpochyby skvalitniť proces vyučovania.

2 Niektoré aspekty vizualizácie vo vyučovaní matematiky

O dôležitosti názornosti a význame rozvoja vizuálneho myslenia pre školskú matematiku i pre samotné vyučovanie matematiky dnes už nikto nepochybuje. Je preto dosť zaujímavé, že vizuálne metódy riešenia problémov, resp. osvetľovania matematických výsledkov prostredníctvom geometrickej analógie sú, napriek svojej vysokej účinnosti, pomerne zriedkavé v školskej matematike. Potvrdzuje to i výrok významného súčasného matematika a popularizátora matematiky IANA STEWARTA (nar. 1945): „Obrazy prenášajú omnoho viac informácií než slová. Mnoho rokov sme odvykali

3 Symbolickej algebre predchádzalo pomerne dlhé obdobie keď sa používala tzv. rétorická algebra, resp. synkopická algebra, ktoré pri zápise matematických objektov a relačných vzťahov medzi nimi (rovnice, nerovnice a pod.) používali výlučne celé gramatické vety, resp. torzá gramatických viet pozostávajúce zo skratiek slov označujúce matematické objekty a vzťahy.

VIZUALIZÁCIA V MATEMATIKE: REALISTICKÉ VERSUS PEDAGOGICKÉ…

21

žiakov používať obrázky, pretože „nie sú presné“. To je smutné nedorozumenie. Áno, obrázky nie sú presné, ale pomáhajú myslieť, a takouto pomocou by sme nemali opovrhovať.“

Existujú aspoň tri základné dôvody pre prehodnotenie postavenia a funkcie

vizuálneho myslenia v školskej matematike. • Prvým dôvodom je, že vizualizácia môže často poskytnúť jednoduchý, elegantný

a účinný prístup k objavovaniu matematických výsledkov, k riešeniu problémov a k objavovaniu samotnej štruktúry matematického modelu. Vizualizácia vzťahov a súvislostí v jednom modeli umožňuje odvodzovať nové výsledky v ďalších oblastiach a disciplínach matematiky prostredníctvom modelov, ktoré sú s daným modelom izomorfné (úplne alebo iba čiastočne).

• Druhým dôvodom je potreba a dôležitosť využívania rôznorodých učebných štýlov vo vzdelávaní v matematike. Geometrický prístup k získavaniu zručností a poznatkov, prostredníctvom názorných objektov a vizuálnych geometrických predstáv môže byť vhodným doplnkom (aj keď nie bezvýhradným základom) verbálno-logického štýlu, ktorí učitelia matematiky (spravidla v minulosti úspešní študenti matematiky v škole) inštinktívne uprednostňujú. Tento štýl však pri riešení niektorých matematických problémov nemusí byť najefektívnejší.

• Tretím dôvodom sú súčasné tendencie, ktoré stotožňujú matematiku so štúdiom modelov, vlastnosti ktorých môžu vizualizované, simulované prostredníctvom animácií a následne aj vyšetrované prostredníctvom informačných technológií, v prvom priblížení najmä prostredníctvom počítačov (osobné počítače, príp. grafické kalkulačky) s vhodným špecializovaným softvérom (napr. so systémom počítačovej algebry). Pomocou informačných technológií je možné ľahko objavovať všeobecné súvislosti a pravidlá, ktorými sa riadi daný model. Univerzálnosť informačných technológií z hľadiska ich využitia (všetky druhy výpočtov: numerické, symbolické i grafické), spojená s rýchlosťou výpočtov, jednoduchým a priateľským prostredím, u grafických kalkulačiek cenovou dostupnosťou a malými rozmery predurčuje tieto technológie za jeden z najúčinnejších didaktických prostriedkov vo vyučovaní matematiky.

Zastavme sa na chvíľu pri informačných technológiách. Informačné technológie

ponúkajú pre učiteľov a ich žiakov vo vzdelávaní v matematike skutočne veľké možnosti, najmä v podobe grafických a prezentačných nástrojov. Pri nich vidíme v posledných rokov významný posun od textovej komunikácie k vizuálnej (pomocou ikon, obrázkov, animácií či asociatívnych grafov) a toto je možné považovať za najväčší prínos nových technológií pre vzdelávanie a rozvoj tvorivého myslenia. Počítače vnášajú nové významné možnosti pre učiteľov matematiky najmä z hľadiska prezentácie učiva, prostredníctvom vizuálnych obrazov a animácií, ktoré je možné opakovane využiť pri osvojovaní zložitejších algoritmov a procedúr pre riešenie úloh daného typu.

K novým spôsobom poznania, ktoré so sebou prinášajú informačné technológie, zaujíma hlavné miesto simulácia. Krátko povedané, ide o intelektuálnu technológiu, ktorá znásobuje individuálnu predstavivosť (zvyšuje inteligenciu) a umožňuje skupinám sprostredkovať si a zdokonaľovať bežné i veľmi zložitejšie myšlienkové modely (zvýšenie kolektívnej inteligencie).

Simulačné techniky, predovšetkým tie, ktoré používajú interaktívne obrazy, nenahradzujú ľudské uvažovanie, ale rozhodne predlžujú a premieňajú schopnosti

JOZEF FULIER

22

imaginácie a myslenia. Naša dlhodobá pamäť môže totiž uskladniť veľké množstvo informácii a vedomostí. Schopnosti krátkodobej pamäte, ktorá obsahuje mentálne zobrazenia, ktorým venujeme úmyselne a vedome pozornosť, sú naopak veľmi obmedzené. Je známe, že je napríklad nemožné jasne si predstaviť viac než desať objektov vo vzájomnom vzťahu. Ak si vybavíme obraz Bratislavského hradu, pravdepodobne sa nám nepodarí „v mysli" zistiť počet všetkých jeho okien (napriek tomu, že tých okien nie je až tak veľa). Stupeň rozlíšenia mentálneho obrazu nie je postačujúci. Pre zistenie takéhoto detailu potrebujeme pomocnú vonkajšiu pamäť (rytinu, maľbu, fotografiu), vďaka ktorej sa môžeme pustiť do nových kognitívnych operácií; počítať, merať, porovnávať a pod. Simulácia je pomocníkom krátkodobej pamäte, ktorá sa netýka pevných obrazov, textov či číselných tabuliek, ale komplexnej dynamiky. Schopnosť ľahko meniť parametre modelu a bezprostredne a vizuálne pozorovať dôsledky tejto zmeny je skutočným rozšírením imaginácie.

V tejto súvislosti nemožno nespomenúť systémy počítačovej algebry. Totiž systémy počítačovej algebry je možné, bez dodatočných úprav s úspechom využiť nielen pri samoštúdiu, pri samostatnej práci študenta, ale aj priamo na vyučovacích hodinách z matematiky. Grafické možnosti týchto programov, ktoré sú spojené s pomerne jednoduchou obsluhou, umožňujú pracovať žiakom a študentom s modelmi matematických objektov (nielen s grafmi funkcie jednej či dvoch premenných, ale aj s rozličnými geometrickými krivkami a plochami a telesami) a tým rozvíjať názorné geometrické predstavy o týchto objektoch. Experimentovaním s týmito modelmi, tvorbou hypotéz, rýchlym a spravidla i pohodlným overovaním týchto hypotéz pomocou týchto programov, je možné prirodzeným spôsobom a veľmi prijateľnou formou rozvíjať experimentálnu zručnosť, túžbu po poznaní a tvorivosť študentov v matematike.

Je vhodné zdôrazniť, že geometrický prístup k získavaniu zručností a poznatkov prostredníctvom názorných objektov a vizuálnych geometrických predstáv môže byť vhodným doplnkom verbálno-logického štýlu (ako sme už spomenuli vyššie), ktorý však pri riešení niektorých matematických problémov nemusí byť najefektívnejší. Netreba zabúdať na to, že vizuálne potvrdenie matematického tvrdenia vedie u študentov k väčšej dôvere nielen pre získané presvedčenie o správnosti daného tvrdenia, ale aj k väčšej dôvere vo svoje schopnosti najmä u slabších študentov, ktorým často chýbajú skúsenosti so separovanými modelmi príslušných matematických objektov. Je vhodné si tiež uvedomiť, že využívanie oboch prístupov: názorného i abstraktného, majú svoje nezastupiteľné miesto v objavovaní matematických viet i vo vyučovaní matematiky na jednotlivých stupňoch škôl. Totiž, prehnaným zdôrazňovaním a neustálou aplikáciou abstraktného prístupu môže sa stať pedagogický proces nezaujímavý, neefektívny a neúčinný. Na druhej strane prehnané opieranie sa o geometrický názor, o geometrickú interpretáciu daného faktu môžeme u študentov potlačiť potrebu matematického dôkazu daného tvrdenia: keďže z obrázku je to „zrejmé a jasné“. Akceptáciou tohto prístupu by si študenti mohli ľahko zvyknúť na povrchné myslenie typu „vidím, teda verím“, ktoré je pre matematiku cudzie.

3 Realistické versus pedagogické znázornenie

V tejto časti si dovolíme jednu úvahu o probléme, ktorý pracovne nazveme „realistické znázornenie“ grafu funkcie (pomocou počítača) versus „pedagogické znázornenie“ grafu tej istej funkcie. Najprv uveďme jeden jednoduchý matematický príklad.


23

Príklad 1. Nájdite lokálne extrémy funkcie ( ) 1501: 24 +−= xxxff .

Riešenie. Úlohu budeme riešiť najprv graficky, s využitím grafu tejto funkcie. Graf tejto funkcie je možné opätovne ľahko získať s využitím počítača s vhodným softvérom, napr. s nejakým „kresličom grafov funkcií“ typu Graphmathica či Winplot, prípadne s CAS technológiou typu Mathematica. V takomto prípade je potrebné zadať aj časť definičného oboru (obyčajne v tvare uzavretého intervalu), v ktorom chceme znázorniť graf danej funkcie. Ak zvolíme interval 3,3− , získame prostredníctvom programu Mathematica obrázok, na základe ktorého sa zdá prirodzené tvrdiť, že uvedená funkcia je konvexná a má lokálne a pravdepodobne i globálne minimum v bode 00 =x , ktoré

sa rovná 1 (Obr. 1.). Ak však zúžime uvedený interval na interval 0.05,0.05− a necháme vykresliť graf tejto funkcie v tomto intervale, zažijeme prekvapenie. Funkcia f je konkávna v tomto intervale a v bode x = 0 nemá lokálne minimum, ale lokálne maximum (pozri Obr. 2), čo pôsobí veľmi kontraproduktívne a vzbudzuje veľkú nedôveru. Urobili sme azda nejakú chybu pri zadávaní (editácii) uvedenej funkcie, alebo azda softvér Mathematica má nejakú chybu vo svojom programe?

-3 -2 -1 1 2

20

40

60

80

-0.04 -0.02 0.02 0.04

0.99997

0.99998

0.99999

1.00000

Obr. 1.: ( ) 4 21: 150

f f x x x= − + , 3,3x∈ − Obr. 2.: ( ) 1501: 24 +−= xxxff , 0.05, 0.05x∈ −

Napriek tomu, že spravidla nie je vylúčená ani jedna z uvedených možností, vysvetlenie tohto zdanlivého paradoxu je prozaickejšie. Stačí totiž znázorniť graf našej funkcie na intervale 0.15,0.15− (pozri Obr. 3.) a vysvetlenie uvedeného paradoxu je pomerne jednoduché.

-0.15 -0.10 -0.05 0.05 0.10 0.15

0.99995

1.00000

1.00005

Obr. 3.: ( ) 4 21: 1

50f f x x x= − + , 15.0,15.0−∈x

JOZEF FULIER

24

Keďže predchádzajúce náčrtky grafov nás urobili ostražitejšími pri tvorbe našich súdov, pozrime sa bližšie na priebeh funkcie našej funkcie. Polynomická funkcia f je nekonečne krát diferencovateľná na intervale ( , )−∞ ∞ a pre jej prvú a druhú deriváciu platí:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′′

10014: 2xxxff , ( ) 2 1:́ ´ 4 3

100f f x x⎛ ⎞′ ′ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Preto jej stacionárnymi bodmi sú iba body 0=x , 110

x = ± , v ktorých funkcia f má

lokálne extrémy. Je totiž očividné, že v bode 00 =x má funkcia f ostré lokálne maximum (f(0) = 1), keďže f´´(0) < 0 a v bodoch 1.02,1 ±=x má daná funkcia ostré lokálne minimá

(f(-0.1) = f(0.1) = 0.9999), pretože f´´( 110

± ) > 0. To tiež znamená, že funkcia f je rastúca

na intervaloch <-0.10, 0>, <0.10, ∞>, a klesajúca na intervaloch <-∞ , -0.10>, <0, 0.10>, konvexná je na intervaloch <-∞ , - 3

30>, < 3

30, ∞>, a konkávna na intervale <- 3

30, 3

30>.

Teraz nám už nehrozí žiadne prekvapenie. Je totiž jasné, že ak by sme sa spoliehali iba na geometrický názor, pri zmene časti definičného oboru funkcie f , v ktorom je graf funkcie zobrazovaný, by sa mohli objaviť ďalšie extrémy tejto funkcie – vymyslieť príklad takejto funkcie by určite nebola veľmi ťažká úloha a môžeme ju ponechať na čitateľa.

Skúsme teraz porovnať grafy funkcie f znázornené na Obr. 1, Obr. 2 a Obr.3. Je azda graf na Obr. 1 a Obr. 2 počítačom zle vykreslený? Zamyslíme sa tiež nad tým, ktorý z grafov znázornený na Obr.1, Obr.2 a Obr.3 by mal zvoliť učiteľ matematiky pri výklade o vlastnostiach funkcie f s definičným oborom ( )∞∞− , . Určite by to mal byť graf na Obr.3. Na druhej strane, ak náčrtok grafu funkcie f má vyjadrovať skutočný graf funkcie f, tak vzhľadom na jej definičný obor by mal byť tento graf znázornený v nejakom intervale ( )kk,− , kde k je „dostatočne“ veľké číslo. Môže však byť dosť problematické a pre študentov ťažko akceptovateľné (aspoň pri prvom priblížení) za takéto číslo považovať číslo k blízke k 0.15. Ak však zobrazíme graf funkcie na intervale ( ) ( )3,3, −⊃ba , tak je zrejmé, že graf funkcie f pri „realistickom“ zobrazení musí nevyhnutne vyzerať ako na obr. 1. Čiže pri pedagogickom znázornení sa uchyľujeme k malému „podvodu“, ktorého podstatou je, že sa „tvárime“, že zobrazujeme graf funkcie f na dostatočne veľkom podintervale intervalu ( )∞∞− , a súčasne graf zodpovedá obr. 3.

Je zaujímavé, že na podobný problém narazíme už na strednej škole pri grafe exponenciálnej funkcie ( ) xaxff =: , kde 0, 1a a> ≠ , a následne i pri grafe logaritmickej funkcie ( ) xxff alog: 11 =−− . Je známe, že 0>xa pre všetky ( )∞∞−∈ ,x . Pozrime sa

však ako vyzerajú grafy exponenciálnej funkcie xay = pre 2=a , 10=a napríklad v intervale 5,5− ( pozri Obr.4, Obr.5). Toto znázornenie grafu exponenciálnej funkcie sa dosť odlišuje od náčrtkov grafov exponenciálnych funkcií nachádzajúcich sa v príručkách a učebniciach matematiky (zjavne zodpovedajúce viac tzv. pedagogickému znázorneniu ako skutočnej situácii). Napriek tomu, že


25

-4 -2 2 4

5

10

15

-4 -2 2 4

1000

2000

3000

4000

Obr.4: Graf funkcie xayf =: , 2=a Obr. 5: Graf funkcie xayf =: , 10=a

znázornenie je realistické, spravidla sa okamžite stáva zdrojom kritiky (a nemožno povedať, že neoprávnenej) najmä učiteľov nevyužívajúcich výpočtovú techniku vo vyučovaní matematiky. Grafy funkcií totiž vzbudzujú nesprávnu predstavu, že hodnoty exponenciálnej funkcie môžu byť v istých intervaloch rovné 0. Je však za túto nesprávnu predstavu zodpovedný počítač, resp. realistické zobrazenie grafu funkcie pomocou počítača? Asi nie, pretože iba reálne zobrazuje situáciu. Je to asi podobná situácia, ako keby sme odmietali akceptovať podobizeň človeka na fotografii či na maľbe len preto, že nevyjadruje aj jeho charakterové vlastnosti. Východisko nie je zložité. To, že žiadna z uvedených funkcií sa nule nerovná (napr. v bode 4−=x ), sa ľahko presvedčíme, ak sa bližšie pozrieme na nejaké „malé“ okolie bodu -4, napr. okolie ( )01.4,99.3 −− (pozri Obr. 6, Obr.7).

-4.005 -4.000 -3.995 -3.990

0.0624

0.0626

0.0628

-4.005 -4.000 -3.995 -3.990

0.000099

0.000100

0.000101

0.000102

Obr. 6: Graf funkcie xayf =: , 2=a Obr. 7: Graf funkcie xayf =: , 10=a

Na vážnejší rozpor medzi realistickým a pedagogickým znázornením grafu funkcie

je možné naraziť napríklad pri pokuse o znázornenie grafu funkcie v okolí bodu 0x , ktorý je tzv. odstrániteľným bodom nespojitosti (vtedy ( ) ( ) ( )0

00

limlim xfxfxfxxxx

≠=+− →→

). Takouto

funkciou je napr. funkcia ( )1, 0

:0, 0

pre xf f x

pre x≠⎧

= ⎨ =⎩, definovanou v intervale < -1, 1 >.

Realistické znázornenie grafu funkcie f pomocou počítača je vytvorené priamkou (či presnejšie úsečkou) 1=y bez nejakej akceptácie (aspoň vizuálnej) hodnoty ( ) 00 =f . Pedagogické znázornenie grafu funkcie pozostáva spravidla z úsečky 1=y , v ktorej je „diera“ (reprezentovaná prázdnym krúžkom) a z plného krúžku, ktorý reprezentuje bod grafu [ ]0,0 . V tomto prípade už ide o malý „pedagogický podvod“, pretože krúžky majú zrejme nejaký nenulový polomer r, vtedy však uvedený graf je grafom funkcie

JOZEF FULIER

26

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Obr. 8: ( )1, 0

:0, 0

pre xf f x

pre x≠⎧

= ⎨ =⎩

( ) ( )⎩⎨⎧

−∈−∉

=rrxprerrxpre

xgg,,0,,1

: , ktorá je odlišná od funkcie f. Poznamenajme, že

niekedy sa používa vhodnejšia grafická reprezentácia: prázdny krúžok je nahradený dvoma protismernými šípkami. Pri zobrazení izolovaného bodu grafu funkcie (v našom prípade bodu [ ]0,0 ) však musíme zostať pri pedagogickom znázornení, teda znázorniť ho ako plný krúžok s nenulovým polomerom.

LITERATÚRA

[1] Ďuriš, V.: Programový prostriedok NCSS pre štatistické výpočty. In: ACTA MATHEMATICA 9. Nitra, UKF 2006, s. 333-339, ISBN 80-8094-036-3

[2] Fulier, J. (ed.): Informačné a komunikačné technológie vo vyučovaní matematiky. Nitra, UKF Nitra 2005, ISBN 80-8050-925-5

[3] Fulier, J. (ed.): Informačné a komunikačné technológie vo vyučovaní matematiky 2. Nitra, UKF Nitra 2006, ISBN 80-8094-057-6

[4] Fulier, J. - Ďuriš, V. – Frantová, P.: Systémy počítačovej algebry (CAS) vo vyučovaní matematiky. Univerzita Konštantína Filozofa v Nitre, Nitra 2007, 284 strán, ISBN – 978-80-8094- 139-0.

[5] Fisher, R. – Malle, G.: Človek a matematika. Bratislava, SPN 1992. ISBN 80-08-01309-5

[6] Hadamard, J.: The Mathematician's Mind: The psychology of invention in the mathematical field. Princeton University Press 1996, ISBN 978-0-691-02931-3

[7] Malá, D.: Niektoré psychologické aspekty humanistického vyučovania matematiky. In: Humanizácia vo vyučovaní matematiky. Nitra, UKF 2004, s. 61-63, ISBN 80-8050-710-4

[8] Michalička,P.: Počítačové programy na kreslenie grafov funkcií vo vyučovaní matematickej analýzy. In: Zborník vedeckých prác z medzinárodnej konferencie „Matematika vo výučbe, výskume a praxi“. Nitra, FEM SPU 2003, s. 267-271, ISBN-80-8069-203-3


27

[9] Nákonečný, M.: Základy psychológie. Praha, Academia Praha 2004, ISBN 80-200-1290-7

[10] Kuřina, F.: O matematice a jejím vyučování. In: Obzory matematiky, fyziky a informatiky. 2002, roč.31, č.1, s.1-8

Prof. RNDr. Jozef Fulier, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: prof. RNDr. Zoltán Zalabai, CSc. e-mail: [email protected]



29

VYUŽITIE GRAFICKEJ KALKULAČKY CLASSPAD V ŠKOLSKEJ MATEMATIKE

MIROSLAV CHVÁLNY

Abstract: Minimization and maximisation task in some sense optimise quantities given explicitly or implicitly modelling different practical problems. Supported by graphic calculators it is possible to implement them into education secondary schools. There are some optimising problems with possibility of application in everyday life are presented in this article.

Úvod

Mini – maximové úlohy v istom zmysle kvantitatívne optimalizujú explicitne alebo implicitne dané veličiny modelujúce rôznorodé praktické problémy. S podporou grafických kalkulačiek je možné ich zaradiť do výučby matematiky do nižších tried SŠ, alebo do vyšších tried ZŠ. V nasledujúcom príspevku uvedieme niekoľko optimalizačných úloh s možnosťou praktickej aplikácie v praxi.

Príklad 1. Optimalizácia zastavanej plochy

Výstavba veľkokapacitných skladov podľa projektovej dokumentácie má spĺňať nasledujúce požiadavky. Každý sklad s priľahlými manipulačnými plochami má mať pôdorys obdĺžnika s celkovou rozlohou 800 m2 , pričom z troch strán skladu má byť voľný priestor šírky 5 m a zo štvrtej príjazdovej strany šírka 7 m. Aké rozmery majú mať obvodové múry skladu, aby jeho pôdorys mal maximálnu plochu ? Riešenie

Nech x, y označujú rozmery obvodových múrov. Zastavaná plocha má potom veľkosť P xy= .

Pre plochu pozemku platí ( 10)( 12) 800 x y+ + = ,

z čoho 680 12

10xy

x−

=+

.

Úlohou je nájsť maximum funkcie

2680 12

10x xP xy

x−

= =+

.

Riešením je 15,82x = . Druhý rozmer zastavanej plochy je

rovný 18,98y = . Pôdorys bude mať maximálnu plochu, ak rozmery obvodových múrov budú 15,82 m a 18,98 m.

MIROSLAV CHVÁLNY

30 30

Príklad 2. Škatuľka s vrchnákom

Z listu papiera s rozmermi 21,0 cm a 29,7 cm vystrihneme z dvoch rohov štvorce s rozmermi x krát x cm. Z druhých dvoch rohov papiera vystrihneme obdĺžniky s rozmermi x krát 15 cm. Zložíme z papiera škatuľku s vrchnákom. Pri akej hodnote x bude mať škatuľka maximálny objem?

Riešenie

V zmysle označenia na obrázku vľavo platí

2 21x A+ = 2 2 29,7x B+ = Pre objem platí V ABx=

Po dosadení

( ) 29,221 22

V x x x⎛ ⎞= − ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Úlohou je nájsť maximum tejto funkcie V . Riešením je 4,04x cm= . Maximálny objem potom je V = 564,25 cm3. Poznámka: Tento príklad dobre poslúži pre

experimentovanie, každý žiak si môže zvoliť papier s rôznymi rozmermi. Neskôr môže použiť aj iný materiál, ale to sú už medzi predmetové vzťahy.

(Zhotovenie podľa popisu som si sám aj prakticky odskúšal. Pre reálnosť stačí odstrihnúť 4 cm).

Príklad 3. Minimálny profil okna

Určte rozmery profilu okna, zloženého z obdĺžnika a priľahlého polkruhu tak, aby pri danom obsahu S bol minimálny obvod ? Riešenie.

Pre obvod profilu platí 2 2O x y xπ= + + a pre jeho obsah 2

22xS xy π

= + .

Zo vzťahu pre obsah vyjadríme 2y

22

S xyx

π= − a dosadíme do vzorca pre obvod a upravíme

VYUŽITIE GRAFICKEJ KALKULAČKY CLASSPAD V ŠKOLSKEJ MATEMATIKE

31

22

24 4

2

S xO x xx

S

O xx

π π

π π

= + − +

⎛ ⎞⎜ ⎟+ += ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Nech 2

4SAπ

=+

, potom sme dostali funkciu ( ) Af x k xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, ktorá na základe

poznámky, nadobúda minimum na intervale (0, ¶ ) pre 2 .

4Sxπ

=+

Poznámka. Pre k > 0, má Ay k xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( 0)A⟩ v intervale (-¶, 0) maximum

v bode x A=− a nemá v tomto intervale minimum. V intervale (0, ¶) nemá maximum

a má minimum v bode x A= .

Pre k < 0, má Ay k xx

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

( 0)A⟩ v intervale (-¶, 0) minimum v bode x A=−

a nemá v tomto intervale maximum. V intervale (0, ¶) nemá minimum a má maximum v bode x A= .

Voľbu hodnoty S si môžu žiaci zvoliť individuálne, alebo bude hodnota zadaná.

MIROSLAV CHVÁLNY

32 32

Napr. nech S = 4 m2, potom funkcia

84 4

2y x

xπ π

⎛ ⎞⎜ ⎟+ += ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

nadobúda minimum pre x = 1,0584. Druhý rozmer okna y = 1,058379331 1,0584.

Poznámka. Všeobecne pre minimálny obvod platí: ( )min 2 4 .o S π= +

Záver

Slovné optimalizačné úlohy sa v stredoškolskej matematike zaraďujú zväčša až do posledného ročníka, keď žiaci zvládli učivo o deriváciách a o vyšetrovaní priebehu funkcie pomocou nich. Ak máme k dispozícií vhodný nástroj, ktorý nám zobrazí graf ľubovoľnej funkcie, môžeme riešiť optimalizačné úlohy aj bez požívania diferenciálneho počtu a teda už od prvého ročníka strednej školy.

LITERATÚRA:

[1] Matejdes M.: Diferenciálny počet funkcií jednej premennej, MAT-CENTRUM, Zvolen 2000, ISBN 80-968057-5-4.

[2] Návod ku grafickej kalkulačke TI-83, TI-83 Plus.

[3] Hroník J.: Úlohy o maximech a minimech funkcií, Praha 1967.

PaedDr. Miroslav Chválny Obchodná akadémia Inovecká 2048 955 01 Topoľčany e-mail: [email protected] Recenzent: Mgr. Stanislava Beláková

e-mail: [email protected]



33

UČME VHODNE APLIKOVAŤ VEKTORY

MÁRIA KMEŤOVÁ

Abstract: In this paper we show same examples of application of position vectors in teaching of geometry of high school. These examples can be useful in refresh up of knowledge on vectors too.

Úvod

S pojmom vektora sa oboznamujú študenti stredných škôl v 3. ročníku. Vektor sa definuje ako posunutie. Okrem operácií vektorového pola sa študenti oboznamujú so základnou operáciou Weylovej výstavby analytickej geometrie, operáciou „bod plus vektor“. Aplikácia tohto učiva sa uplatňuje hlavne pri parametrickom vyjadrení lineárnych útvarov a vo výpočtoch týkajúcich sa ich metrických vlastností. Po ukončení tejto kapitoly geometrie ostáva na učiteľovi, či študent môže celkom zabudnúť na možnosť uplatnenia vektorov v iných úlohách, alebo nie.

V tomto článku sa zameriavame na ukážky aplikácie polohových vektorov, využívanie ktorých sa v našich učebniciach tradične nepreferuje.

Polohové vektory

Bod A a vektor A – O majú v ľubovoľnej súradnicovej sústave so začiatkom v bode O zhodné súradnice. Vektor A – O = a sa nazýva polohový vektor bodu A. Pomocou pojmu polohový vektor ľahko vysvetlíme spôsob výpočtu súradníc stredu úsečky AB, ak body

A a B sú dané. Súčasné učebnice obchádzajú vyjadrenie stredu S ako 2

BAS += , lebo to

evokuje nesprávne chápanie stredu ako výsledok operácie sčitovania bodov.

A

B

O

S

C

AB

T

Obr. 1

MÁRIA KMEŤOVÁ

34 34

Nech teda je daná úsečka AB. Zvoľme si ľubovoľný bod O a označme vektory A – O =

a, B – O = b. Potom vektor B – A = (B – O) – (A – O) = b – a. (1)

Označme a+b = 2s, potom s je polohový vektor stredu úsečky AB (obrázok 1). Dostali

sme teda vzťah pre vyjadrenie polohového vektora stredu úsečky 2

bas += , čo pre

zhodnosť súradníc bodov a ich polohových vektorov znamená rovnaký spôsob výpočtu

ako 2

BAS += , ale teraz operácia + je zmysluplná, znamená sčitovanie vektorov.

Analogickým spôsobom môžeme odvodiť vzťah pre vyjadrenie ťažiska trojuholníka pomocou jeho troch vrcholov.

Z obrázka 1 vidíme, že vektor – (T – A) = (T – B) + (T – C). Použitím vzťahu (1) a po

úprave dostaneme vyjadrenie polohového vektora ťažiska T: 3

cbat ++= .

Úlohy na aplikáciu polohových vektorov

1. úloha. Nech sú dané tri rôzne vektory rovnakej dĺžky a, b, c, |a|=|b|=|c|. Umiestnime ich tak, že začiatok každého vektora bude spoločný bod O. Doplnením vrcholov O, A = O + a, B = O + b a C = O + c vytvorme rovnobežnosten s rovnako dlhými hranami. Písmenom V označme vrchol ležiaci oproti vrcholu O. Ukážme, že oproti ležiace hrany štvorstena ABCV sú navzájom kolmé (obrázok 2). Poznámka: Ak vektory a, b, c sú lineárne závislé, tak dostaneme rovinný útvar zobrazený na obrázku 2.

O

C

BA

V

Obr. 2


35

Riešenie: Steny daného rovnobežnostena sú kosoštvorce. Uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé. Oproti ležiaci kosoštvorec z jedného daného kosoštvorca dostaneme posunutím, teda uhol uhlopriečok sa tým nezmení, preto

AV ⊥ BC, BV ⊥ AC a CV ⊥ AB. (3) 2. úloha. Uvažujme, že vektory dané v predchádzajúcej úlohe umiestnené do

spoločného bodu O sú komplanárne. Potom body A = O + a, B = O + b a C = O + c budú vrcholmi trojuholníka, ktorého stredom opísanej kružnice je bod O. Čo platí pre bod V?

Riešenie: Pre polohový vektor v = V – O bodu V z podmienok predchádzajúcej úlohy

platí: v = a + b + c. Z (3) vyplýva, že vektory v – a ⊥c – b, v – b ⊥ c – a a v – c ⊥ b – a. To

ale znamená, že bod V je priesečníkom výšok v trojuholníku ABC (obrázok 3). Teda pre polohový vektor vychádzajúci zo stredu opísanej kružnice ortocentra V a pre polohový vektor ťažiska trojuholníka ABC platí vzťah

v = a + b+ c = 3t. To ale znamená, že body O, T a V ležia na jednej (Eulerovej) priamke. Týmto sme

dokázali vetu o Eulerovej priamke.

O

C

BA

VT

Obr. 3

3. úloha. Nech sú dané dve navzájom kolmé tetivy jednej kružnice. Vypočítajte polohový vektor ich priesečníka, ak sú dané polohové vektory koncových bodov tetív.

MÁRIA KMEŤOVÁ

36 36

O

C

PA B

D

Obr. 4

Riešenie. Nech sú dané kolmé tetivy AB a CD, polohové vektory koncových bodov sú nech a, b, c a d. Označme priesečník tetív písmenom P a polohový vektor bodu P

písmenom p. Polohové vektory stredov tetív sú 2

ba + a

2dc +

(obrázok 4). Pretože OP je

uhlopriečka obdĺžnika, 22

dcbap ++

+= .

4. úloha. Dokážte, že obraz ortocentra v osovej súmernosti podľa ľubovoľnej strany

trojuholníka leží na opísanej kružnici trojuholníka.

Obr. 5

O

C

PA B

D

V


37

Riešenie. Označme ortocentrum trojuholníka ABC písmenom V, pätu kolmice CV na stranu AB písmenom P a priesečník výšky s opísanou kružnicou písmenom D. AB a CD sú kolmé tetivy opísanej kružnice(obrázok 5). Využijeme výsledok predchádzajúcej úlohy.

Polohový vektor bodu P je 2

dcbap +++= .

Ak bod D na kružnici má byť osovo súmerný podľa strany AB s bodom V, tak P je

stred úsečky VD. Polohový vektor stredu úsečky je 22

dcbadv +++=

+, teda dostali

sme polohový vektor bodu P. Dôkaz pre zvyšné 2 strany je analogický.

5. úloha. Označte písmenom F stred úsečky VO v trojuholníku ABC. Dokážte, že stredy troch strán, päty troch výšok a stredy úsečiek VA, VB a VC v trojuholníku ABC ležia na jednej kružnici so stredom F.

O

C

A B

D

VF

Obr. 6

Riešenie. Polohový vektor bodu F, stredu úsečky VO je 22

cbavf ++== .

Vyjadríme vektory umiestnené do bodu F vedúce k jednotlivým vymenovaným bodom (obrázok 6).

a) z bodu F do stredu strany AB vedie vektor 2222ccbabafba

−=++

−+

=−+

.

b) Z bodu F do päty výšky CV vedie vektor 22dfdcbafp =−

+++=− .

c) Z bodu F do stredu úsečky CV vedie vektor

2222ccbaccbafcv

=++

−+++

=−+

. Všetky tri vektory reprezentujú jeden

z trojice vektorov, ktoré môžeme vyjadriť rovnakým spôsobom permutáciou

MÁRIA KMEŤOVÁ

38 38

vrcholov A, B a C. Podľa predpokladu vektory a, b, c a d majú rovnakú veľkosť, teda aj vektory vyjadrené v bodoch a), b) a c) majú rovnakú dĺžku. Platí teda, že 9 bodov trojuholníka (stredy strán, päty výšok a stredy úsečiek určených ortocentrom a vrcholom) leží na jednej (Feuerbachovej) kružnici.

LITERATÚRA

[1] Božek, M., Hecht, T.: Matematika pre 3. ročník gymnázií a SOŠ, Analytická geometria, Orbis Pictus Istropolitana 1999, ISBN 80-7158-218-2

[2] Kmeťová, M., Pobešková, A., Ralík, O.: Ťažisko mnohouholníka v školskej matematike, Zborník príspevkov z vedeckého seminára Učme matematiku zaujímavejšie, učme matematiku aplikovať, UKF Nitra, 2007, 39-46, ISBN 978-80-8094-095-9

[3] Polák,J.: Přehled středoškolské matematiky, SPN Praha, 1991, ISBN 80-04-2285-2

[4] Reiman, I.: Vektorok a geometriában, Tankönyvkiadó, Budapest 1971

[5] Rumanová, L.: Vektorový počet a stereometria vo vyučovaní matematiky na strednej škole, Dizertačná práca, FMFI UK Bratislava, Bratislava 2004

doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Dušan Vallo, PhD. e-mail: [email protected]



39

ELEMENTÁRNE MATEMATICKÉ MODELY

ĽUBICA KORENEKOVÁ

Abstract. Publication Elementary Mathematical Models. Order Aplengy and a Glimpse of Chaos by Dan Kalman from Washington University is a example of textbook that tries to give students possibilities to meet real-life situations. This article deal with some aspects of connection between real-life and mathematics using mentioned book.

Úvod

Veľakrát sa u študentov na hodinách matematiky stretávame s otázkami typu: „Načo sa to mám učiť?“, „Načo mi to bude?“ alebo „Kde to môžem v živote využiť?“. Nie vždy je ľahké odpovedať na takéto otázky. Je to však dôležité, pretože je jednoduchšie a motivujúcejšie učiť sa niečo, o čom vieme, že to má naozaj význam a budeme to vedieť využiť. Aj preto je zaujímavé hľadať odpovede na tieto otázky a dávať žiakom možnosť stretávať sa s úlohami z reálneho života.

Publikácia s názvom Elementary Mathematical Models. Order Aplenty and a Glimpse of Chaos, ktorej autorom je Dan Kalman, profesor matematiky na Americkej univerzite vo Washingtone, je príkladom učebnice, ktorá sa snaží dosiahnuť presne tento cieľ. Jednoduchým spôsobom vytvára modely reálnych situácií a popisuje fakty a pojmy z reálneho života pomocou kvantifikovaných veličín. Poskytuje netradičný uhol pohľadu na výklad toho učiva matematiky, s ktorým sa vo vyučovaní bežne stretávame, ktoré je štandardné. Snahou je upozorniť na to, že vyučovať matematiku sa dá aj inak ako tradičným spôsobom, a je možné týmto spôsobom prezentácie poznatkov vzbudiť u žiakov väčší záujem o matematiku. Je to zároveň aj pohľad na iný typ učebnice matematiky. Okrem prvej, vysvetľovacej časti, sa v každej kapitole metodicky objavujú ďalšie motivujúce časti: zhrnutie učiva, cvičenia – čítanie s porozumením, matematické zručnosti, úlohy v kontexte (zaujímavé úlohy určené na aplikáciu získaných poznatkov) a skupinová práca (námety na projektové vyučovanie v matematike).

Publikácia začína predhovorom autora, kde vysvetľuje, čo ho viedlo k napísaniu takejto učebnice, a komu je určená. Ide o študentov, ktorí už majú aspoň základné vedomosti z algebry, a ktorých cieľom nie je ďalšie štúdium vyššej matematiky. Väčšinou sú to tí študenti, pre ktorých je matematika jednoducho súčasťou všeobecného vzdelania, alebo ju potrebujú využiť v ďalších predmetoch, ako fyzika, ekonómia či podnikanie.

Podľa slov autora, za vznikom Elementárnych matematických modelov stoja dve dôležité veci. V prvom rade je to snaha sprostredkovať materiál, ktorý by bol skutočne zaujímavý a hodnotný, logicky usporiadaný, a ktorý bude vyjadrovať ucelenosť a ukáže silu matematiky. S tým súvisí aj možnosť aplikovať matematické poznatky v reálnych situáciách zrozumiteľným spôsobom.

Ďalším dôležitým aspektom je dôraz na výber tém, ktoré študenti s najväčšou pravdepodobnosťou využijú v matematických aplikáciách v iných disciplínach. Ide o najzákladnejšie matematické aplikácie, v ktorých sa vychádza zo základných aritmetických a algebraických operácií: lineárne, kvadratické, polynomické a racionálne funkcie, koreňové činitele, exponenciálne a logaritmické funkcie. Tie sa využívajú v bežnom živote, v prírodných a spoločenských vedách. Snahou je podať dané učivo čo

ĽUBICA KORENEKOVÁ

40 40

najzaujímavejším spôsobom pre študentov, ktorí už niečo vedia, a zároveň prijateľne pre tých, ktorí sa s ním stretávajú prvýkrát. Publikácia je rozdelená do štrnástich kapitol, ktoré na seba logicky nadväzujú a postupne rozširujú spomínané poznatky. Nasledujúce body predstavujú typické členenie každej kapitoly:

Zavedenie základných pojmov pomocou príkladu

Ilustrácia na ďalších konkrétnych príkladoch

Ďalšie metodické časti kapitoly:

• Zhrnutie

• Cvičenia: Čítanie s porozumením

Matematické zručnosti

Úlohy v kontexte

Skupinová práca

• Riešenia k vybraným cvičeniam

Čítanie s porozumením

Prostredníctvom úloh, ktoré sú zaradené pod Čítanie s porozumením, je možné overiť si pochopenie základných pojmov a vysvetľovaného učiva danej kapitoly. Napríklad:

Vysvetlite, čo znamenajú nasledujúce pojmy: postupnosť čísel, diskrétne údaje, dolný index.

Prečo je výhodnejšie používať v dolnom indexe premennú a nie čísla? Vysvetlite, čo je parameter a uveďte príklad jeho použitia. Napíšte matematický vzťah, ktorý vyjadruje napísaný výrok:

a. V množine údajov je štvrté číslo rovné tretiemu číslu plus 0,65. b. V množine údajov je piate číslo rovné 0,85 násobku štvrtého čísla.

Vysvetlite rozdiel medzi lineárnou funkciou a lineárnou rovnicou. Opíšte proces riešenia rovnice. V odpovedi uveďte zoznam operácií, ktoré je

možné použiť na zjednodušenie rovnice.

Matematické zručnosti

V týchto úlohách sa precvičujú základné matematické zručnosti, ktoré daná kapitola zavádza, precvičuje a vyžaduje. Napríklad:

V každej časti tejto úlohy je daná postupnosť čísel. Zistite tú vlastnosť postupností, ktorá sa opakuje, vyjadrite ju slovne, a pokiaľ je to možné, tak aj pomocou rekurentného predpisu alebo predpisu funkcie. a. 2, 4, 6, 8, 10, …

b. 1, 4, 9, 16, 25, ..

c. 1, 3, 6, 10, 15, …

d. 1, 2, 4, 8, 16, 32, …


41

V každej časti tejto úlohy je daný predpis a jedna alebo viac počiatočných hodnôt. Pomocou predpisu vypočítajte uvedené výrazy. a. Vypočítajte a1, a2, a3, ak a0 = 1000 a an+1 = an + 0,006an b. Vypočítajte f3, f4, f5, ak f1 = 1, f2 = 1 a fn+2 = fn + fn+1

Ku každému rekurentnému predpisu nájdite zodpovedajúci predpis funkcie: a. an+1 = an + 2; a0 = 1 b. an+1 = an + 2; a0 = 5

Riešte nasledujúce rovnice pre x. a. 3x – 4 = 5 + 2x b. 3(x - 5) + 3 = 9x + 6(2 – x)

Úlohy v kontexte

Úlohy v kontexte sú práve tie zaujímavé úlohy, ktoré dávajú žiakom možnosť aplikovať získané poznatky na reálnu situáciu.

Príklad 1 Balón nesie rádiový vysielač poháňaný batériou, ktorý posiela na zem údaje o počasí.

Keď je balón vyslaný hore, batéria je nabitá na 30 jednotiek. Každú hodinu spotrebúva 2,4 jednotiek. Nech qn je nabitie batérie n hodín po vyslaní balóna.

a. Pomocou numerickej metódy určte q1, q2,q3 b. Aký je rekurentný predpis pre qn? c. Aký je predpis funkcie pre qn? d. Aké bude nabitie batérie 4 hodiny po vypustení? e. Nájdite vzťah, ktorý vyjadruje n ako funkciu qn f. Rádiový vysielač nemôže ďalej pracovať, keď je batéria nabitá na menej ako 4

jednotky. Po koľkých hodinách sa to stane? Riešenie

a. Začiatočné nabitie je 30. Každú hodinu nabitie klesá o 2,4. Takže po 1 hodine je nabitie 27,6, to je q1, po ďalšej hodine 25,2 = q2; a po ďalšej hodine 22,8 = q3.

b. qn+1 = qn - 2,4. c. Začíname s hodnotou 30. qn dostaneme zmenšovaním pôvodného množstva

o 2,4 za hodinu počas n hodín. Celkové zníženie je 2,4n, teda qn = 30 - 2,4n. d. Odpoveď je q4 = 30 - 2,4.4 = 20,4. e. Algebraicky upravujeme predpis funkcie:

30 - 2,42,4 30

2,4 3030

2,4

n

n

n

n

q nq n

n qqn

=+ =

= −

−=

f. Chceme vedieť, kedy je qn = 4 alebo menej. Položte qn = 4 a použite vzťah z predchádzajúcej úlohy: n = (30 – 4 )/ 2,4 = 10,833333. Takže po 10,833333 hodinách (alebo 10 hodinách a 50 minútach) bude batéria nabitá na menej ako 4 jednotky, a vysielač prestane pracovať.

ĽUBICA KORENEKOVÁ

42 42

Príklad 2 Vo Fahrenheitovej teplotnej stupnici voda mrzne pri teplote 32 stupňov a vrie pri

teplote 212 stupňov. V Celziovej stupnici je jej bod mrazu 0 a bod varu 100 stupňov. Existuje lineárna rovnica, ktorú môžeme použiť na prevod teploty z Celziovej stupnice do Fahrenheitovej. Nájdite túto rovnicu. (Návod: Znázornite do grafu body (C, F ), kde C je teplota v stupňoch Celzia zodpovedajúca teplote vo Fahrenheitovej stupnici F. Grafom bude priamka. Budete hľadať rovnicu tejto priamky.) Je možné, aby mala teplota rovnaké číslo v Celziovej aj Fahrenheitovej stupnici?

Riešenie Nakreslite graf s vodorovnou osou C a zvislou osou F. Keď je 0 stupňov Celzia, tak je

to 32 stupňov Fahrenheita. Tak dostaneme jeden bod (C, F ) = (0, 32). Je to vlastne priesečník priamky s osou F. Ďalší bod je (C, F ) = (100, 212). Pomocou nich vieme vypočítať smernicu. Z (0, 32) na (100, 212) je nárast 212 - 32 = 180 a 100 – 0 = 100. Smernica je teda 180/100 = 1,8. Dostaneme rovnicu F = 1,8C + 32. Predpokladajme, že existuje teplota, ktorá má rovnaké číselné hodnoty v obidvoch stupniciach. Nazvime ju teplota T. Teda (T, T ) je jedným z bodov grafu. Dosadíme do rovnice a dostaneme T = 1,8T + 32. Vyriešením rovnice pre T získame výsledok: - 40. Ak je teplota 40 stupňov pod nulou v Celziovej stupnice, tak je 40 stupňov pod nulou aj vo Fahrenheitovej stupnici.

Skupinová práca

Úlohy v tejto časti sú námetmi pre projektovú prácu, ktoré opäť umožňujú aplikovať teoretické vedomosti a zručnosti na konkrétne situácie.

Príklad

Nájdite v novinách alebo časopise graf, ktorý vyzerá takmer ako priamka pre všetky alebo časť z daných údajov. Vytvorte model aritmetickej postupnosti pre tento graf a opíšte ho. Definujte čo sa modeluje, aké predpoklady boli urobené, a pre aký rozsah údajov by mal model platiť. Tiež uveďte druhy predpokladov, ktoré sa dajú pomocou modelu urobiť, a na čo by sa dali využiť.

Použite údaje z vášho článku a nájdite najlepšiu priamku pre dané údaje. Urobte to odhadom. Aký je rekurentný predpis pre body na tejto priamke? Aký je predpis funkcie? Každý z uvedených typov úloh pomáha žiakom lepšie pochopiť a osvojiť si preberané

učivo. Učebnica je písaná beletrizovaným štýlom, číta sa jednoducho a nie je ťažké pochopiť

myšlienku vysvetľovaného učiva. Z tohto dôvodu nie je náročná ani pre bežného človeka, ktorý sa chce naučiť v matematike niečo nové z vlastnej iniciatívy.

Aj keď je učenie vo všeobecnosti väčšinou to, čo robíme preto, lebo musíme, práve pomocou rôznych zaujímavých úloh, ktoré sa vždy a vo všetkých predmetoch, teda aj v matematike, určite dajú nájsť, môžeme učenie zmeniť na niečo, čo robíme radi, lebo jasne vidíme jeho zmysel v aplikáciách v bežnom živote.


43

LITERATÚRA

[1] Kalman, D. Elementary Mathematical Models. MAA, 1997. Softcover, 360 pp., ISBN 0-88385-707-3

Mgr. Ľubica Koreneková externý doktorand Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD. e-mail: [email protected]



45

REZY KOCKY S PODPOROU POČÍTAČA

MILAN MAROŠ

Abstract: In this article we are dealing with using mathematical software in mathematical lessons. We are trying to point out the importance of these problematic, their advantages and disadvantages. Our theoretical analysis is also confirmed with concrete research work

Úvod

Žijeme v informačnom veku, ktorý je charakteristický predovšetkým zvyšovaním množstva a globalizáciou informácií a s dôrazom na ich efektívne využitie. Informačné a komunikačné technológie závažne ovplyvňujú mnohé odvetvia ľudskej činnosti, vzdelávanie nevynímajúc. Myslíme si, že je žiaduce, aby každý budúci učiteľ ovládal prácu s modernou technikou aspoň na takej úrovni, aby ju mohol bez problémov pravidelne využívať na vyučovaní, pri príprave na hodinu alebo pri akejkoľvek činnosti súvisiacej s jeho povolaním a zvyšovať tak efektivitu vyučovacieho procesu a svojej práce. Najviac možností pre efektívnu prácu na vyučovaní, ale aj v príprave na vyučovaciu hodinu matematiky dokáže ponúknuť skupina programov, ktorú môžeme označiť ako špeciálny matematický softvér. Túto skupinu programov reprezentujú predovšetkým tzv. CAS systémy (Computer algebra systems), ktoré disponujú bohatým aparátom matematických metód. Sú určené na numerické výpočty s veľkou presnosťou, symbolickú manipuláciu s údajmi, vizualizáciu matematických objektov a procesov umožňujúcu koncentrovať modelovacie činnosti. Ich súčasťou sú aj vlastné programovacie jazyky pre programovanie vlastných aplikácií. Medzi najznámejšie profesionálne CAS systémy patria napríklad Mathematica, Derive, MuPAD. Veľmi dôležitým predstaviteľom vzdelávacích programov sú dynamické geometrické systémy (napr. Cabri Geometry). Umožňujú zostrojovať presné konštrukcie geometrických útvarov a zmenou niektorých prvkov konštrukcie skúmať ich vlastnosti a vzťahy medzi objektmi.

To bol stručný prehľad kvalitného softvéru, ktorého používanie na vyučovaní môže priniesť celé množstvo výhod oproti klasickej hodine. Vyučovanie sa môže stať zaujímavejším, efektívnejším, názornejším, atď. To pravdepodobne uzná väčšina pedagógov. Mnohí však budú namietať, že uvedené programy sú síce dobré, ale finančne veľmi náročné a pre školy sú v dnešnej dobe práve z tohto dôvodu ťažko dostupné. Podľa našich skúseností využíva počítač a špeciálne výukový softvér na vyučovaní len veľmi málo pedagógov. Ich najčastejším argumentom je už spomínaná skutočnosť, že tieto programy sú príliš drahé. Avšak kupovať drahý program nie je zďaleka jediné riešenie. V rámci projektu Infovek bol na školy dodávaný aj balík výučbových programov. Okrem toho existuje množstvo elektronických materiálov, ktoré sú vytvorené v štandardných aplikačných programoch, ako sú napríklad MS Word, MS Excel, MS Power Point, ktoré sú dostupné prakticky na každej škole. Ďalšou nemenej významnou možnosťou, je voľne šíriteľný špeciálny matematický softvér, ktorého je k dispozícii tiež veľké množstvo. Stačí sa napríklad pozrieť na stránku www.infovek.sk a nájdeme tu množstvo veľmi zaujímavých programov. Jeden z týchto programov sme testovali na vybraných stredných školách.

MILAN MAROŠ

46 46

Výskum

V našom výskume sme použili program „Rezy kocky“ zo stránky www.infovek.sk.

V programe si môžeme vybrať niektoré z preddefinovaných zadaní, alebo vytvoriť vlastné zadanie, t.j. zadať na kocke 3 body roviny rezu. Pri tvorbe rezu môžeme používať tieto nástroje: nástroj na zostrojenie priamky danej dvoma bodmi, nástroj na zostrojenie rovnobežky s danou priamkou prechádzajúcou daným bodom, farebné vyznačenie rezu. Kocku môžeme zväčšovať, zmenšovať, otáčať podľa všetkých troch osí oboma smermi. Môžeme si nechať poradiť - prezradí sa vždy jeden krok riešenia, ak si necháme poradiť viackrát, dostaneme postupne celý rez. Môžeme si ho dať zobraziť aj naraz tlačidlom „Celý rez“. Súčasťou programu je „pomocník“ a bohatá dokumentácia.

Obrázok 2 Ukážka programu „Rezy kocky“

Výskum prebiehal na štyroch gymnáziách na vzorke 94 študentov. Časť študentov (kontrolná skupina) absolvovala vyučovanie v triede, kde sa vyučovalo klasicky pomocou kriedy a tabule. Druhá časť študentov (experimentálna skupina) absolvovala vyučovanie v počítačovej učebni. Potom boli obidve skupiny testované a študenti experimentálnej skupiny odpovedali na otázky v dotazníku. Prostredníctvom dotazníka sme zisťovali ich názory na vyučovanie pomocou programu.


47

Vyhodnotenie dotazníka 1) Vaše znalosti a zručnosti práce s počítačom sú:

veľmi dobré 17% dobré 31% priemerné 48% slabé 2% veľmi slabé 2%

2) Vyučovanie rezov kocky klasicky pomocou kriedy a tabule je:

veľmi zaujímavé 6% zaujímavé 27% ani zaujímavé, ani nezaujímavé 44% nezaujímavé 17% veľmi nezaujímavé 6%

3) Vyučovanie rezov kocky pomocou počítačového programu je:


4) Učivo týkajúce sa rezov kocky je pre Vás s použitím počítačového programu:

oveľa jednoduchšie 17% jednoduchšie 35% ani jednoduchšie, ani zložitejšie 31% zložitejšie 13% oveľa zložitejšie 4%

5) Učivo matematiky je pre Vás vo všeobecnosti:


6) Poznáte nejaké počítačové programy (matematický softvér) na výučbu

matematiky? (áno/nie). áno 29% nie 71%

7) Počítače a výučbový softvér používame na vyučovaní matematiky:

stále 0% veľmi často 0% často 0% občas 44% nikdy 56%

MILAN MAROŠ

48 48

8) Aké vyučovanie matematiky by ste uprednostnili? stále s kriedou a tabuľou 6% viac s kriedou a tabuľou ako pri počítači 19% rovnako s kriedou a tabuľou a pri počítači 40% viac pri počítači ako s kriedou a tabuľou 27% stále pri počítači 8%

9) Doma pri štúdiu matematiky používam počítač:

stále 0% veľmi často 0% často 6% občas 36% nikdy 58%

10) Myslíte si, že pri riešení úloh s rezmi kocky ste si na počítači precvičili

v porovnaní s klasickou hodinou: oveľa viac úloh 38% viac úloh 48% ani viac, ani menej úloh 10% menej úloh 0% oveľa menej úloh 4%

11) Keď vyučovanie matematiky prebieha s použitím počítača, tak Váš záujem

o matematiku je: oveľa väčší 10% väčší 44% ani väčší ani menší 38% menší 6% oveľa menší 2%

Pozitívne skúsenosti s vyučovaním pomocou počítačového programu:

viac vyriešených príkladov vyučovanie pomocou programu považujú študenti za zaujímavejšie vyučovanie pomocou programu u väčšiny študentov zvyšuje záujem o matematiku individuálny prístup ku každému študentovi študenti mali záujem zobrať si program domov

Negatívne skúsenosti s vyučovaním pomocou počítačového programu:

program nedokáže kresliť čiarkované čiary u neviditeľných hrán program dokáže pracovať iba s obmedzeným typom príkladov (kocka, zadanie iba

na hranách kocky) pre študentov s menšou počítačovou gramotnosťou je to náročné v počítačovej učebni si študenti neprecvičili manuálne rysovacie zručnosti


49

Záver

Vzhľadom na prevažujúce pozitívne odpovede študentov v kľúčových otázkach dotazníka, považujeme zaradenie programu „Rezy kocky“ do vyučovania za prínos. Odporúčame však vyučovanie v počítačovej učebni kombinovať s klasickým vyučovaním v triede.

LITERATÚRA

[1] MAROŠ, M.: Využívajú učitelia výučbový softvér? In VII. vedecká konferencia doktorandov a mladých vedeckých pracovníkov: zborník z medzinárodnej konferencie. Nitra: FPV UKF, edícia Prírodovedec č. 206, 2006, s. 644-647. ISBN 80-8050-960-3.

[2] http://www.infovek.sk

PaedDr. Milan Maroš Pedagogická fakulta UKF v Nitre Ústav technológie vzdelávania Drážovská cesta 4 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent PaedDr. Marek Varga, PhD. e-mail: [email protected]



51

KVANTIFIKÁTORY VO VYUČOVANÍ MATEMATIKY NA ZÁKLADNEJ ŠKOLE

SLÁVKA MELICHOVÁ – ANNA TIRPÁKOVÁ – DAGMAR MARKECHOVÁ

Abstract: In this paper I describe background theories and structure of the workshop model. In the second part I used the model to prepare a sample lesson from statistic with topic „Making histogram“. In the end I discuss some difficulties with using a workshop model in the classroom.

Úvod

V predloženom príspevku sa zaoberáme problematikou vyučovania kvantifikátorov na základnej škole. Našim cieľom bolo zistiť, ako sú žiaci schopní naučiť sa pracovať s kvantifikovanými výrokmi a negovať ich a do akej miery sú žiaci schopní porozumieť ich symbolickému vyjadreniu a vedieť aplikovať poznatky o kvantifikátoroch v príslušných úlohách.

Doposiaľ je otvorená problematika tzv. základného učiva - súboru vedomostí, ktoré by mali žiaci zvládnuť. Pedagógovia sa usilujú vytvoriť akýsi „balík“ vedomostí, ktorý by obsahoval základné poznatky jednotlivých vedných disciplín. Táto snaha je stále aktuálna. Veľa sa už napísalo o preťaženosti žiakov množstvom učiva. Nie je jednoduché rozhodnúť, ktoré poznatky sú pre jedinca vzhľadom na jeho ďalšie vzdelávanie dôležité a ktoré nie. Rovnaká situácia je aj v matematike. Učebnice matematiky pre základné školy obsahujú v každom ročníku okrem povinného učiva i učivo rozširujúce, ktorého prebratie sa odporúča, nie je však záväzné. Práve v druhej časti učebnice matematiky pre 8. ročník základnej školy je v rámci rozširujúceho učiva uvedený aj celok „Elementárne poznatky z logiky“. V rámci tohto celku sa žiaci oboznamujú s výrokmi, pravdivostnou hodnotou výroku, negáciou elementárnych výrokov a s výrokmi s údajmi o počte. Podľa našich skúseností žiakom spôsobujú problémy negácie niektorých výrokov, najmä kvantifikovaných výrokov a tiež majú problémy so správnou formuláciou matematických tvrdení. Preto sme navrhli experimentálny spôsob vyučovania tematického celku Kvantifikované výroky, ktorého cieľom bolo odstrániť tieto problémy. Vypracovali sme modelové hodiny zamerané na výučbu kvantifikátorov. Navrhnutú experimentálnu výučbu sme zaradili do vyučovania matematiky žiakov 8. ročníka po prebratí rozširujúceho učiva „Elementárne poznatky z logiky“.

Výsledky experimentu sme vyhodnotili pomocou neparametrických štatistických metód. Výsledky potvrdili, že navrhnutý vyučovací model je efektívny.

Ciele výskumu a metodický postup

Cieľom experimentálneho spôsobu výučby bolo: - poukázať na význam a využitie matematickej logiky a kvantifikátorov nielen

v predmete matematika, ale aj v bežnom živote, komunikácii, v hovorenej, či písomnej podobe;

- poukázať na vplyv matematickej logiky a kvantifikátorov pri rozvoji myšlienkových operácií;


52 52

- vhodne zvolenými úlohami prispieť k rozvoju logického myslenia žiakov; - ozrejmiť žiakom význam slov „všetci“, „každý“, „niektorý“, „aspoň jeden“, ktoré

napriek tomu, že sa v každodennej komunikácii vyskytujú bežne, pri práci s matematickými úlohami môžu spôsobovať problémy;

- naučiť žiakov správne používať kvantifikované výroky a negovať ich; - naučiť žiakov správne a presné vyjadrovanie a správne formulovanie myšlienok; - poukázať na nepresnosti a nejednoznačnosti vo vyjadrovaní a s tým súvisiace

ťažkosti, problémy či nedorozumenia v bežných životných situáciách; - naučiť sa predchádzať chybám v usudzovaní a vyjadrovaní; - zostaviť zbierku logických úloh s dôrazom na kvantifikátory, ktoré by boli využiteľné

tak pri vyučovaní matematickej logiky a tiež aj ako motivačné úlohy v iných tematických celkoch matematiky;

- priblížiť dejiny logiky ako motivačného prvku vyučovacieho procesu.

Experiment bol realizovaný v školskom roku 2005/2006 na dvoch základných školách v Trnave a v Šali. Celkovo sa experimentu zúčastnilo 96 žiakov 8. ročníkov, z toho 49 z Trnavy a 47 zo Šale. Žiakov sme náhodne rozdelili do štyroch skupín - dvoch experimentálnych a dvoch kontrolných. Prvá experimentálna skupina bola vytvorená z 25 žiakov 8. ročníka ZŠ v Trnave a druhá experimentálna skupina z 22 žiakov 8. ročníka ZŠ v Šali. Prvá kontrolná skupina bola vytvorená z 24 žiakov 8. ročníka ZŠ v Trnave a druhá kontrolná skupina z 25 žiakov 8. ročníka ZŠ v Šali. Pred začiatkom experimentu sme všetkým žiakom experimentálnych aj kontrolných skupín zadali kontrolný test, ktorého cieľom bolo zistiť, či je úroveň vedomostí žiakov kontrolných a experimentálnych skupín rovnaká. Štatisticky významné rozdiely v úrovni vedomostí by výsledok experimentu značne skreslili.

Kontrolný test pozostával zo 7 úloh, za ktoré bolo možné získať maximálne 31 bodov. Úlohy boli vybrané z 2. časti učebnice matematiky pre 8. ročník ZŠ (Šedivý, 2003). Obsahom kontrolného testu bolo učivo matematiky 8. ročníka ZŠ - nerovnice (6 bodov); množina bodov danej vlastnosti (4 body); konštrukčná úloha s využitím množiny všetkých bodov danej vlastnosti (7 bodov); funkcie (6 bodov); pravdepodobnosť (4 body) a dve jednoduché logické úlohy (2 + 2 body). Uvedený kontrolný test bol vyhodnotený najskôr percentuálne (tab. č.1).

Tab.1. Výsledky kontrolného testu v %

Škola Skupina Výsledky kontrolného testu v %

Experimentálna skupina 65,2 1. škola Kontrolná skupina 66,9 Experimentálna skupina 69,8 2. škola Kontrolná skupina 67,2

Z tabuľky vyplýva, že medzi výsledkami testu v jednotlivých skupinách nie sú rozdiely,

čiže vedomostnú úroveň žiakov kontrolných a experimentálnych skupín z matematiky môžeme považovať za rovnakú.

So všetkými skupinami žiakov bolo prebraté rozširujúce učivo Elementárne poznatky z logiky. Po prebratí rozširujúceho učiva bol žiakom zadaný pretest, ktorý pozostával z 5 úloh, v ktorý bolo treba:

1. rozhodnúť, ktoré z uvedených viet sú výrokmi; 2. daným výrokom priradiť ich pravdivostnú hodnotu;


53

3. vytvoriť negáciu daného výroku; 4. zistiť, ktoré z daných kvantifikovaných výrokov sú pravdivé a ktoré nepravdivé ; 5. negovať kvantifikované výroky. Za pretest bolo možné získať maximálne 17,5 bodov. Maximálny počet bodov

za jednotlivé úlohy v preteste bol nasledovný: 1.úloha: 1,5; 2.úloha: 1,5; 3.úloha: 4,5; 4.úloha: 3; 5.úloha: 7.

V tabuľke 2 sú uvedené priemerné hodnoty získaných bodov v preteste za jednotlivé

úlohy v experimentálnych a kontrolných skupinách. Tab.2. Priemerné hodnoty získaných bodov v preteste

Priemerné hodnoty získaných bodov v preteste v percentách sme znázornili aj graficky.

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

1.úloha 2.úloha 3.úloha 4.úloha 5.úloha

Priemerné hodnoty získaných bodov v preteste v %

1. Škola-EXS 1. Škola -KS 2. Škola-EXS 2. Škola-KS

Graf 1. Priemerné hodnoty získaných bodov v preteste v percentách

Kým priemerné hodnoty získaných bodov v prvých 4 úlohách sú v porovnaní s maximálnymi bodovými hodnotami relatívne vysoké, o 5. úlohe to neplatí. Práve 5. úloha bola zamerané na negovanie kvantifikovaných výrokov. Potvrdila sa tým naša skúsenosť, že najväčšie problémy robia žiakom práve úlohy o kvantifikátoroch.

Priemerné hodnoty získaných bodov Škola

Skupina 1.úloha 2.úloha 3.úloha 4.úloha 5.úloha Experimentálna skupina 1,36 1,07 3,50 1,84 1,13

1. škola Kontrolná skupina 1,38 1,16 3,48 2,00 0,96 Experimentálna skupina 1,40 1,14 3,70 2,32 1,08

2. škola Kontrolná skupina 1,37 1,18 3,58 1,94 1,04


54 54

Hypotézu o rovnosti vedomostnej úrovne žiakov experimentálnej a kontrolnej skupiny vo výsledkoch pretestu na vybraných školách sme overovali pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu. Wilcoxonov dvojvýberový test je jednou z najpoužívanejších neparametrických metód matematickej štatistiky. Používa sa ako neparametrická alternatíva parametrického t-testu pre dva nezávislé výberové súbory. Testovanou hypotézou je nasledujúca nulová hypotéza:

0H : Výberové súbory pochádzajú z toho istého základného súboru, t. j. medzi oboma skupinami žiakov nie je štatisticky významný rozdiel vzhľadom na dosiahnuté výsledky v teste.

Nulovú hypotézu budeme testovať oproti alternatívnej hypotéze: 1H : Výberové súbory nepochádzajú z toho istého základného súboru, t. j. medzi

oboma skupinami žiakov je štatisticky významný rozdiel vzhľadom na dosiahnuté výsledky v teste.

Test sme realizovali pomocou programu STATISTICA. Po zadaní vstupných údajov vo výstupnej zostave počítača dostaneme pre zvolený Wilcoxonov dvojvýberový test tieto výsledky: hodnotu testovacieho kritéria z a hodnotu p, čo je pravdepodobnosť chyby, ktorej sa dopustíme, keď zamietneme testovanú hypotézu. Ak je vypočítaná hodnota p dostatočne malá (p < 0,05 resp. p < 0,01), testovanú hypotézu 0H zamietame (na hladine významnosti 0,05 resp. 0,01). V opačnom prípade hypotézu 0H nemôžeme zamietnuť, pozorované rozdiely nie sú štatisticky významné. Po zadaní výsledkov vstupného testu sme dostali výsledky, ktoré sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Tab. 3. Výsledky Wilcoxonovho dvojvýberového testu

Hodnota testovacieho kritéria z Hodnota pravdepodobnosti p 1. škola -0,0746 0,940 2. škola 0,37 0,711

Keďže hodnota pravdepodobnosti p je veľké číslo, testovanú hypotézu 0H nemôžeme

zamietnuť. Výsledky, ktoré boli získané pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu potvrdili, že medzi experimentálnou a kontrolnou skupinou v obidvoch školách nebol pred začatím experimentu štatisticky významný rozdiel vo vedomostnej úrovni žiakov z matematiky.

Následne sme pristúpili k samotnej realizácii experimentu. V experimentálnych skupinách sme rozšírili učivo z logiky o kvantifikované výroky. V rámci štyroch seminárnych hodín sme žiakov experimentálnych skupín naučili pracovať s kvantifikovanými výrokmi a negovať ich.

Po skončení experimentu sme žiakom oboch skupín, experimentálnej a kontrolnej, zadali ten istý test – postest. Postest pozostával z troch úloh, v ktorých bolo potrebné:

- rozhodnúť, ktoré z uvedených tvrdení je pravdivé; - doplniť kvantifikátory do viet tak, aby vytvorené tvrdenie bolo pravdivé; - negovať kvantifikované výroky. Výsledky, ktoré žiaci v postteste dosiahli ukázali, že u žiakov experimentálnych skupín

došlo k výraznejšiemu zlepšeniu práce s kvantifikovanými výrokmi v porovnaní so žiakmi kontrolnými skupín.


55

V tabuľke 4 sú uvedené priemerné hodnoty získaných bodov za jednotlivé úlohy postestu.

Tab.4. Priemerné hodnoty získaných bodov v posteste

Priemerné hodnoty získaných bodov Škola

Skupina 1.úloha 2.úloha 3.úloha Experimentálna skupina 3,5 3,63 5,81 1. škola

Kontrolná skupina 2,76 3,32 1,12 Experimentálna skupina 3,56 3,72 5,6 2. škola

Kontrolná skupina 3,21 3,5 1,04

Pomocou Wilcoxonovho dvojvýberového testu realizovaného v programe STATISTICA sme zisťovali, či je štatisticky významný rozdiel medzi žiakmi experimentálnych a kontrolných skupín v úrovni vedomostí o kvantifikátoroch. Výsledky testu sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Tab. 5. Výsledky Wilcoxonovho dvojvýberového testu

Hodnota testovacieho kritéria z Hodnota pravdepodobnosti p 1. škola 5,042 0,0000 2. škola 4,94 0,000001

Keďže hodnota pravdepodobnosti p je malé číslo, testovanú hypotézu 0H zamietame

na hladine významnosti α = 0,01. To znamená, že medzi žiakmi kontrolnej a experimentálnej skupiny v obidvoch školách je štatisticky významný rozdiel vo výsledkoch postestu. Po realizácii experimentu sú rozdiely medzi žiakmi experimentálnej a kontrolnej skupiny vo vedomostnej úrovni štatisticky významné.

Záver

Štatisticky bolo dokázané, že realizovaný experiment priniesol očakávané výsledky, ktoré sa prejavili v značnom zlepšení práce s kvantifikátormi. Žiaci sa naučili kvantifikované výroky nielen správne používať, ale prácou s nimi sa naučili aj odhaľovať časté nedokonalosti a nepresnosti vo vlastnom vyjadrovaní. Zistili tiež, že matematika zasahuje aj do oblastí, ktoré s ňou nemajú na prvý pohľad nič spoločné a matematická logika to nie sú len zábavné úlohy a hry. Prostredníctvom kvantifikátorov a negovania kvantifikovaných výrokov sa pred žiakmi odokryla malá časť zo zložitého formalizmu, symboliky a vysokej miery abstrakcie, ktorú matematická logika v sebe skrýva.

LITERATÚRA

[1] Chajdiak, J.- Rubliková, E.- Gudába, M.: Štatistické metódy v praxi,

[2] STATIS, Bratislava, 1994, ISBN 80-85659-02-6

[3] VRÁBELOVÁ, M. - MARKECHOVÁ, D.: Pravdepodobnosť a štatistika, Fakulta prírodných vied UKF v Nitre, 2001, ISBN 80-8050-429-6

[4] CLAUSS, G. - EBNER, H.: Základy štatistiky pre psychológov, pedagógov a sociológov, SPN, Bratislava, 1988


56 56

[5] TIRPÁKOVÁ, A.- MARKECHOVÁ, D.: Štatistika pre psychológov, pedagógov, sociológov archeológov, FPV UMB, Banská Bystrica, FPV UKF, Nitra, 2001 (vydané v rámci riešenia projektu TEMPUS PHARE AC-JEP-13425-98), 147 strán

[6] SLEZÁKOVÁ, T.: Úloha učiteľa pri uvádzaní žiaka 1. ročníka do vyučovacieho procesu, Komenský 124, 1999, č.1-2, 14-15

Mgr. Slávka Melichová externý doktorand Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Doc. RNDr. Anna Tirpáková, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. e-mail: [email protected]



57

POČIATKY ŠIFROVANIA A TEÓRIA ČÍSEL

JANKA MELUŠOVÁ – MICHAL PRÁZNOVSKÝ


Úvod

Ľudí už od nepamäti priťahovali tajomstvá a utajené informácie. Rôzne vojenské tajomstvá, tajné dokumenty, ktoré sa nesmeli za žiadnu cenu dostať do rúk neoprávneným osobám (a už vôbec nie nepriateľom) dali podnety na vznik kryptografie, čiže šifrovania. Takmer súčasne s kryptografiou vznikla aj kryptoanalýza, čiže dešifrovanie zašifrovanej správy bez akýchkoľvek bližších alebo len s malým množstvom informácií o spôsobe šifrovania. Obe tieto vedné disciplíny zahŕňa kryptológia.

Scytale

Prvé známe šifry majú pôvod v antickom Grécku a starovekom Ríme. Scytale – má povôd v Sparte. Prvá písomná zmienka o scytali sa pripisuje gréckemu žoldnierovi a básnikovi Archilochusovi (680 – 645 p.n.l.). Neskôr bola spomínaná ďalšími antickými autormi, ale až Plutarchos (50 – 120) osvetlil princíp jej fungovania.

Scytale je valec alebo viacboký hranol, okolo ktorého sa ovinie koža, pergamen alebo v súčasnosti textil, papier a pod.. Po takomto ovití sa naň napíše správa (sprava doľava). Po rozvinutí dostaneme pás materiálu, na ktorom je kryptovaný text. Na dekryptovanie potrebujeme valec (viacboký hranol) s rovnakým obvodom podstavy.

Obr. 1 Scytale (http://en.wikipedia.org/wiki/Scytale)


58 58

Šifrovanie pomocou scytalu

Ukážeme si, ako by vyzeralo zašifrovanie vety pomocou pomôcky scytale. Použijeme valec, na ktorého obvod môžeme umiestniť 4 znaky. Zašifrujeme vetu „Cogito Roma fieri deflagro“ (Usudzujem, že Rím musí byť zničený). Najprv ju zapíšeme na valček (reprezentovaný tabuľkou), potom by stačilo odmotať pergamen. V našom prípade prepísať text „po stĺpcoch“.

Pôvodná veta: Cogito Roma fieri deflagro Šifrovacia tabuľka:

C o g i t o R o m a f i e r i d e fl a g r o

Zašifrovaný text: CRelooragmigia rt doofe if Ak by sme chceli zašifrovať text metódou scytale bez použitia tabuľky alebo valčeka,

môžeme tak urobiť. Vypočítame pozíciu znaku pôvodnej vety v zašifrovanej vete. Najprv musíme zistiť „počet závitov“ valčeka:

počet znakov šifrovaného textupočet závitovobvod podstavy šifrovaciehovalčekav znakoch⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎢ ⎥

.

C o g i t o R o m a f i e r i d e f l a g r o 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

C o g i t o 0 1 2 3 4 5 6 R o m a f i 7 8 9 10 11 12 13e r i d e f

14 15 16 17 18 19 20l a g r o

21 22 23 24 25 26 27 Čísla vyjadrujúce poradie znaku v šifrovanej vete závisia od počtu závitov. Vydelíme

so zvyškom všetky poradia v tabuľke. C o g i t o

0.7 0+ 0.7 1+ 0.7 2+ 0.7 3+ 0.7 4+ 0.7 5+ 0.7 6+ R o m a f i

1.7 0+ 1.7 1+ 1.7 2+ 1.7 3+ 1.7 4+ 1.7 4+ 1.7 6+ e r i d e f

2.7 0+ 2.7 1+ 2.7 2+ 2.7 3+ 2.7 4+ 2.7 4+ 2.7 6+ l a g r o

3.7 0+ 3.7 1+ 3.7 2+ 3.7 3+ 3.7 4+ 3.7 4+ 3.7 6+ Vidíme, že v každom stĺpci tabuľky sú čísla, ktoré dávajú po delení 7 (počet závitov)

rovnaký zvyšok. V prvom stĺpci je zvyšok rovný nule, v druhom rovný jednej atď. To znamená, že v n -tom stĺpci bude zvyšok rovný 1n − . Čísla v riadkoch sú zase zoskupené podľa celočíselného podielu siedmimi (počtom závitov). Pre číslo v m-tom riadku platí:


59

1k mpočet závitov

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦.

Všeobecne, ak má znak v pôvodnej vete pozíciu .pp r počet závitov s= + , potom v šifrovacej tabuľke bude v 1r + -vom riadku a v 1s + -vom stĺpci. Pri dodržaní označenia

1r + riadok a 1s + stĺpec, v ktorom sa daný znak nachádza, v zašifrovanej vete bude mať pozíciu . 1kp s obvod valčeka r= + + .

Algoritmus na šifrovanie pomocou scytalu sme realizovali v programovacom v jazyku Python:

""" Inicializacia premennych """ povodna_veta = "Cogito Roma fieri deflagro" zasifrovana_veta = "" a = 4 #Sirka valceka je 4 znaky c = len(povodna_veta) b = divmod(c,a)[0] #Pocet zavitov je dopocitany """ Kontrola ci je matica uplna, ak nie doplnenie medzerami """ if a*b < c: for i in range(0,a-divmod(c,a)[1]): povodna_veta+=" " b+=1 """ Sifrovanie """ for i in range(0,b): for k in range(0,a): zasifrovana_veta+=povodna_veta[(k*b)+i] print zasifrovana_veta

Dešifrovanie pomocou scytalu

Ak máme k dispozícii valec s rovnakým obvodom podstavy, ako má šifrovací, dešifrovanie správy je jednoduché. Správu stačí obmotať okolo valčeka a text prečítať „po riadkoch“.

Čo však v prípade, že nemáme dešifrovací valček? Ak poznáme obvod podstavy pôvodného valčeka (v znakoch), stačí obrátiť šifrovací algoritmus. V prípade, že obvod podstavy šifrovacieho valčeka nepoznáme, musíme ho zistiť. Možné obvody sú všetky (netriviálne) delitele dĺžky zašifrovaného textu. Dešifrovací algoritmus sme realizovali v programovacom jazyku Python:

""" Pomocna funkcia ktora vrati zoznam delitelov """ def properDivisors(N): return [x for x in range(2,N-2) if not divmod(N,x)[1]] """ Desifrovanie """ for a in properDivisors(len(zasifrovana_veta)): b = len(zasifrovana_veta)/a desifrovana_veta = "" for i in range(0,a): for k in range(0,b): desifrovana_veta+=zasifrovana_veta[(k*a)+i] print desifrovana_veta


60 60

Zašifrovaná veta z hore uvedeného príkladu „CRelooragmigia rt doofe if “ má vrátane medzier dĺžku 28 znakov. Všetky delitele čísla 28 sú { }28 1,2,4,7,14,28D = , vynecháme triviálne delitele, čísla 1 a 28. Dostaneme nasledujúce možnosti:

2 Ceorgii tdoe fRloamgar of i 4 Cogito Roma fieri deflagro 7 Ca fRgreemt li ogdioiofrao 14 C Rretl odooroafgem i giifa

Správna bola druhá možnosť, obvod podstavy 4, veta „Cogito Roma fieri deflagro“.

Využitie scytalu vo vyučovaní matematiky

Deti sa rady hrajú na hľadanie pokladu, hľadajú vianočné darčeky, vymýšľajú si rôzne tajné abecedy. Niekde hlboko v nás je zakorenená potreba niečo skrývať, ale aj objavovať nové, nepoznané a hlavne zakázané alebo skôr pred nami ukryté predmety a informácie. Scytale teda môže slúžiť ako silný motivačný faktor.

Scytale sa dá využiť pri vyučovaní delenia so zvyškom vo štvrtom ročníku základnej školy alebo pri preberaní deliteľnosti v šiestom ročníku. Uveďme si niekoľko príkladov využívajúcich scytale.

Príklad

Správa pre zásahovú jednotku Agent je ubytovaný v hoteli Castle. bola zašifrovaná pomocou valčeka s obvodom podstavy 5. Medzičasom však ústredie dostalo správu, že agent sa presťahoval do hotela Hilton. Valček už však bol zamknutý v trezore. Nahraďte názov hotela v zašifrovanej vete AevhCg aoaeuntsnbýetty ll tviejo. Riešenie

Najprv zistíme počet závitov pergamenu na valčeku. Počet znakov celej vety je 33, obvod podstavy valčeka 5, 33:5 6zv.3= . Zvyšok je nenulový, počet závitov teda bude 6 + 1 = 7.

C a s t l e28 29 30 31 32 33

Zistime teda pozície písmen názvu hotela v zašifrovanej vete a čiastočný podiel číslom 7, počtom závitov.

28 4.7 0, 4, 029 4.7 1, 4, 130 4.7 2, 4, 231 4.7 3, 4, 332 4.7 4, 4, 433 4.7 5, 4, 5

C r sa r ss r st r sl r se r s

= + = == + = == + = == + = == + = == + = =

………………

Teraz už môžeme zistiť pozíciu v zašifrovanej vete pomocou vzťahu . 1kp s obvod valčeka r= + +


61

4, 0, 0.5 4 1 54, 1, 1.5 4 1 104, 2, 2.5 4 1 154, 3, 3.5 4 1 204, 4, 4.5 4 1 254, 5, 5.5 4 1 30

C r s pa r s ps r s pt r s pl r s pe r s p

= = = + + == = = + + == = = + + == = = + + == = = + + == = = + + =

………………

Vyznačíme pozície v zašifrovanej vete AevhCg aoaeuntsnbýetty ll tviejo a môžeme zmeniť názov hotela: AevhHg aoieuntlnbýetty lo tvinjo.

V ďalších úlohách môžeme zisťovať pozície znakov v pôvodnej alebo zašifrovanej

vete, či úplne dešifrovať vetu. Ak nepoznáme obvod podstavy šifrovacieho valca, musíme hľadať všetky netriviálne delitele čísla vyjadrujúceho dĺžku vety.

Záver

Teória čísel bola dlhodobo považovaná za teoretickú časť matematiky. V dvadsiatom storočí však našla mnohé aplikácie v kryptológii. Faktorizácia prirodzeného čísla je súčasťou dekryptovania pri viacerých kryptovacích metódach, scytale je jednou z najjednoduchších z nich.

LITERATÚRA

[1] HORA, J. 2006. O prvočíslech a počítačích. In DID Za 3. Žilina : Žilinská univerzita, 2006. s. 1-8. ISBN 80-8070-557-7

[2] Scytale, wikipedia. [citované 30. 9. 2007] dostupné na: http://en.wikipedia.org/wiki/Scytale

PaedDr. Janka Melušová Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Mgr. Michal Práznovský Ústav manažmentu a informačných technológií Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: PaedDr. Marek Varga, PhD.




63

APLIKAČNÉ ÚLOHY VO VÝUČBE TEÓRIE GRAFOV

DANIEL PALUMBÍNY

Abstract: The paper deals with possibilities of use application problem in graf theory tuition.

Pri vyučovaní matematiky na všetkých stupňoch škôl sa učiteľ matematiky často

stretáva s otázkami typu: „Načo nám to v živote bude?“ „Aké je praktické použitie toho, čo sa práve učíme? Ja to v živote potrebovať

nebudem.“ „Má táto teória nejaký praktický význam? Či bola vymyslená „len tak“? “ Učiteľa takéto otázky často podráždia, lebo z nich zaznieva podtón pochybnosti

o užitočnosti matematiky ako takej, a tým aj o užitočnosti učiteľovej práce. Nič menej, otázky sú legitímne a učiteľ matematiky sa musí naučiť s nimi vyrovnať. Mal by sa na ne osobitne pripraviť. Tu málo pomôže teoretizovanie o tom, že matematika vychováva k logickému mysleniu, a že študent, ktorý si pri štúdiu matematiky osvojí exaktný spôsob myslenia, bude ho môcť uplatniť v rôznych (bližšie nedefinovaných) životných situáciách. Najlepšie je uviesť prípad, keď matematika bez akýchkoľvek pochýb priniesla úžitok praxi. Napríklad, keď Boole v devätnástom storočí vymyslel svoju algebru, mnohí si mysleli, že ide o len o neužitočnú hračku bez praktického významu. Dnes sa však pri zostavovaní len trochu zložitejšieho programu pre počítač neobídeme bez použitia booleovských funkcií. Našťastie, o takéto prípady nie je núdza. Cieľom tohto článku je poukázať na možnosti, ktoré v tomto smere máme pri vyučovaní teórie grafov.

Teória grafov patrí nepochybne medzi najviac aplikované matematické teórie. Veď aj pri prvom výsledku z teórie grafov (Euler v roku 1736) išlo o praktickú úlohu (i keď len rekreačného charakteru) prejsť každým zo siedmich mostov na rieke Pregel v meste Kráľovec len raz a vrátiť sa na miesto, z ktorého sme vyšli. Pri vážnejších problémoch objavili grafy Kirchhoff v r. 1847 pri skúmaní elektrických sietí a Cayley pri teórii izomérov organických zlúčenín v roku 1895 (pozri [4, str. 2-3]). Veľkým úspechom bolo vyriešenie problému minimálnej kostry (Borůvka v r. 1926) spojeného s praktickým využitím pri stavbe elektrovodnej siete na južnej Morave. Dnes má teória grafov mnohé praktické využitie v technickej a ekonomickej praxi, v logistike, v sociológii, dokonca aj v lingvistike (pozri [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 , 2 , 3 , 6 , 7 ). Spomeňme maximálny tok v sieti (algoritmus Forda a Fulkersona z roku 1956), metódu kritickej cesty v sieťovej analýze, problém minimálnej cesty, dopravný problém, či problém obchodného cestujúceho.

Pri výučbe teórie grafov je potrebné oboznámiť študentov s metódami teórie grafov, ktoré sú využiteľné pri riešení konkrétnych problém z praxe. Najlepšie tak, že ich necháme samostatne riešiť takéto problémy v rámci domáceho cvičenia. Inou možnosťou je zadať ich ako tému diplomovej práce.

Nasledovná ukážka riešenia problému z praxe je diplomovej práce absolventky našej fakulty Denisy Kondrčkovej (pozri [ ]5 z roku 2002), v ktorej je riešený „problém

DANIEL PALUMBÍNY

64 64

poštového doručovateľa“ známy tiež ako „problém čínskeho poštára“. Ide o to nájsť pre poštového doručovateľa takú pochôdzku jeho rajónu, pri ktorej prejde najmenšiu možnú dráhu. D. Kondrčková problém riešila pre rajóny obce Gajary. Je jasné, že k danému rajónu sa dá zostrojiť graf s vyznačením ulíc ich dĺžok a miestom (najbližším k pošte), kde pochôdzku začne, aj končí. Ak tento graf má všetky vrcholy párneho stupňa, vec rieši ľubovoľný uzavretý Eulerov ťah začínajúci v mieste štartu pochôdzky (takýto graf nemá mosty). Vec sa trochu komplikuje, keď graf má vrcholy nepárneho stupňa. Vieme, že v tomto prípade vrcholov nepárneho stupňa je párny počet a graf môže obsahovať aj mosty.

Na nasledujúcom obrázku je graf jedného rajónu doručovateľa z obce Gajary.

Graf je hranovo ohodnotený dĺžkami príslušných ulíc v metroch. Poloha pošty (miesto štartu) je vyznačená písmenom P. Vidieť, že graf rajónu má dva mosty PA, LM a obsahuje vrcholy nepárneho stupňa. Je zrejmé, že každý most musí doručovateľ prejsť dvakrát. Preto hneď zdvojíme hrany PA i LM. Tým dosiahneme, že vrcholy A, M budú mať stupeň dva a vrcholy P, L stupeň štyri. Zostane šesť vrcholov nepárneho stupňa C, D, E, F, G, J. V takom grafe uzavretý eulerovský ťah neexistuje, t.j. doručovateľ musí aj niektoré ďalšie ulice prejsť dvakrát. Na grafe to vyznačíme zdvojením príslušnej hrany. Aby sme zabezpečili, že v novom grafe budú všetky vrcholy párneho stupňa, a tým aj existenciu uzavretého eulerovského ťahu, rozdelíme

Obr. 1

vrcholy nepárneho stupňa do dvojíc a pre každú takúto dvojicu zdvojíme hrany cesty medzi nimi. Tým tieto vrcholy (koncové vrcholy ciest) nadobudnú párny stupeň, pričom stupeň každého vnútorného vrcholu ciest (ak takéto existujú) sa zvýši o dva (zostane im párny stupeň). Touto operáciou získame eulerovský graf, ktorý má uzavretý eulerovský ťah. Aby sme náš problém vyriešili, musíme zo všetkých možných rozdelení vrcholov nepárneho stupňa do dvojíc vybrať to rozdelenie, pri ktorom je súčet dĺžok pridaných hrán minimálny. To urobíme tak, že zostrojíme všetky možné rozdelenia a pre každé rozdelenie určíme vzdialenosť vrcholov v každej dvojici a vypočítame súčet týchto vzdialeností.

Určíme minimum týchto súčtov a zdvojíme hrany ciest pri tom rozdelení, kde je súčet vzdialeností minimálny. Ľahko vypočítame, že ak máme 2k vrcholov nepárneho stupňa, tak počet rozdelení je

( )2 !2 !k

kk

.

APLIKAČNÉ ÚLOHY VO VÝUČBE TEÓRIE GRAFOV

65

V našom prípade máme šesť vrcholov, tak 3k = . Máme 15 nasledovných rozdelení

ED FG CJ 126 95 170 391 ED FC GJ 126 485 441 1052 ED FJ CG 126 536 390 1052 EF DG CJ 73 45 170 288 EF DC GJ 73 345 441 859 EF DJ CG 73 486 390 949 EG DF CJ 168 140 170 478 EG FC DJ 168 485 486 1139 EG FJ CD 168 536 345 1049 EC FG DJ 471 95 486 1052 EC FD GJ 471 140 441 1052 EC FJ DG 471 536 45 1052 EJ FG CD 609 95 345 1049 EJ FC DG 609 485 45 1139 EJ FD CG 609 140 390 1136

V každom riadku je rozdelenie vrcholov do dvojíc, tri čísla pred zvislou čiarou sú

vzdialenosti vrcholov príslušnej dvojice a za čiarou súčet týchto vzdialeností. Vidieť, že pre rozklad EF, DG, CJ dostaneme minimálny súčet vzdialeností. Preto musíme zdvojiť okrem mostov aj hrany EF, DG, CJ. Dostaneme graf na nasledujúcom obrázku.

Minimálna pochôdzka môže byť daná ľubovoľným eulerovským ťahom začínajúcim

a končiacim vo vrchole P. Napríklad P-A-P-B-C-J-L-M-L-K-I-J-C-D-G-I-H-F-E-F-G-D-E-P. Čo povedať na záver? Snáď toto: Mnoho ľudí sa díva na matematiku ako na nástroj na

riešenie problémov z praxe a zastáva názor, že matematika sa má obmedziť len na riešenie praxou nastolených problémov. Isteže, praktická činnosť ľudí vždy dávala a stále dáva silné podnety pre rozvoj matematiky. Matematika však má okrem vonkajších aj vlastné (vnútorné) impulzy rozvoja. Bez nich by sa vývoj matematiky spomalil, ak nie zastavil. Aj výsledky takto získané môžu mať v budúcnosti významné praktické aplikácie. Príkladom je na začiatku spomínaná Booleova algebra.

DANIEL PALUMBÍNY

66 66

LITERATÚRA

[1] Alferovová, Z.V. – Ježová, V.P.: Aplikácie teórie grafov v ekonomických výpočtoch, Alfa, Bratislava, 1974

[2] Bosák, J.: Grafy a ich aplikácie, Alfa, Bratislava, 1980

[3] Fronc, M.,B.: Kvantitatívne metódy, EDIS vydavateľstvo ŽU Žilina, 1998

[4] Harary, F.: Graph Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts -Menlo park, california _London – Don Milis, Ontario, 1969

[5] Kondrčková, D.: Hranovo ohodnotené grafy, diplomová práca, FPV UKF, Nitra , 2002

[6] Matoušek, J. – Nešetřil, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky, Naladatelství Karolinium, UK Praha, 2002

[7] Nečas, J.: Grafy a jejich použití, SNTL, Praha, 1978

Doc. RNDr. Daniel Palumbíny, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. Janka Melušová e-mail: [email protected]



67

MOTIVUJME ŽIAKOV K RIEŠENIU SLOVNÝCH ÚLOH

GABRIELA PAVLOVIČOVÁ - VALÉRIA VASKOVÁ

Abstract: This article is about motivation in teaching word problems. There are ten problems, which topics are from the live. This problems are formulate for pupils of 6 to 9 years old.

Úvod

Riešenie slovných úloh patrí u žiakov k menej obľúbeným činnostiam z matematiky či už na základnej, strednej alebo vysokej škole. S ich výučbou sa začína už na prvom stupni základnej školy, preto je potrebné budovať pozitívny vzťah k ich riešeniu už u najmladších žiakov. Zároveň je dôležité žiakov naučiť správne chápať slovnú úlohu a naučiť ich postup pri jej riešení. Žiak musí vedieť slovné zadanie úlohy dôsledne prečítať s porozumením a následne úlohu matematizovať, teda vytvoriť z nej úlohu matematickú – riešiteľnú využitím potrebného matematického aparátu. Po vyriešení matematickej úlohy sa musí vrátiť k jej slovnému zadaniu, prípadne zistiť, či matematické riešenie je vhodným výsledkom pre pôvodné zadanie úlohy. Veľmi dôležitú rolu tu zohráva motivácia, ktorá stojí na začiatku poznávacieho procesu žiakov. Tá pramení z troch vonkajších zdrojov, a síce z poznávacích, sociálnych a výkonových potrieb. Silnejšie pôsobenie vo vyučovacom procese má vnútorná motivácia. Jednou zo zásad ako motivovať a aktivovať žiakov pomocou úloh je okrem prekvapivosti a náročnosti aj ich prepojenie so životom. Súčasné učebnice a pracovné listy z matematiky na 1. stupni základnej školy obsahujú prevažne slovné úlohy s rozprávkovým motívom. Chýbajú tu práve úlohy, ktoré by nie len pramenili z reálnych životných situácií, ale zároveň ich vyriešenie poskytlo žiakom skutočné reálne údaje. Podľa nášho názoru, dieťa v predškolskom veku je dosť realistické a práve tu vidíme priestor na motiváciu žiakov riešením slovných úloh so zadaním prameniacim zo života. Uvádzame niekoľko slovných úloh s rozmanitou tematikou zadania, ktoré sú síce formulované pre žiakov na 1. stupni základnej školy, ale ich myšlienka môže byť motiváciou na vytváranie i náročnejších slovných úloh.

Slovné úlohy

Úloha 1: Vyber sa na predstavenie do divadla Boli ste už niekedy v divadle? Prehliadnite si plán sedadiel a riešte nasledujúce

úlohy:

CENY VSTUPENIEK A......80 SK D......80 SK B......70 SK E......70Sk C......60 Sk


68 68

a) Koľko divákov sa zmestí do hľadiska? b) Koľko radov je v hľadisku? c) Koľko cenových kategórií lístkov je na predstavenie? d) Koľko sedadiel je v jednotlivých cenových kategóriách? e) Koľko korún by stáli vstupenky pre vašu rodinu, ak by ste sedeli

v desiatom rade? f) Koľko by stáli vstupenky pre 26 detí, ak by polovica sedela v sektore B,

štvrtina v sektore C a štvrtina v sektore D? Vymysli a rieš ďalšie úlohy.

Úloha 2: Spoznaj prírodu a orientuj sa na mape Máš rád prechádzky po lese? Spoznaj prírodu u našich českých susedov a splň nasledujúce úlohy:

a) O koľko metrov je vyšší Praděd než Medvedí hřbet?

b) Vyhľadaj nadmorskú výšku najbližšieho vrchu západne od Kurzovní chaty.

c) Zoraď podľa nadmorskej výšky tieto vrchy: Praděd, Malý Děd, Jelení hřbet, Železný vrch, Studený vrch a spočítaj ich nadmorské výšky.

d) Ktorým smerom ide cesta od

Karlovej studánky do Vrbny pod Pradědem? Vymysli a rieš ďalšie úlohy.

Úloha 3: Spoznaj svetové stavby Priraď jednotlivým stavbám na obrázku ich výšky a zoraď ich podľa nich.

- Cheopsova pyreamída.........146m - Empire State Building…….448m - World Trade Center……… 411m - Eiffelova veža …………… 300m - Chrám sv.Petra…………….138m - CN Tower……………….....555m - Sears Tower……………… 443m - Chrám sv. Bartolomeja……..103m

a) Turista sa rozhodol ísť na Eiffelovu vežu po schodoch. Jedným krokom zdolá 2 schody. Po 448 krokoch je v polovici cesty. Koľko schodov má Eiffelová veža?

b) Koľko podlaží má budova Sears Tower, ak každé podlažie má výšku 400cm a prvé je 300cm nad zemou?

c) Otočná reštaurácia na CN Tower v Toronte je vo výške 348m. Koľko metrov je od reštaurácie k vrcholu veže?

d) O koľko metrov je nižší Chrám sv.Bartolomeja v Plzni než rímska bazilika sv.Petra? Vytvor ďalšie úlohy.


69

Úloha 4: Vieš koľko energie denne potrebuješ? Pre normálny harmonický vývoj človeka je potrebná

denná dávka energie. Potrebu energie na 1kg hmotnosti v kilodžauloch (kJ) udáva nasledujúca tabuľka.

Veková skupina Potrebná

energia Kojenci do 6 mesiacov 460 Kojenci nad 6 mesiacov 420 Deti od 2 do 5 rokov 380-340Deti od 6 do 10 rokov 340-400Deti od 11 do 14 rokov 300-250Dospievajúci od 15 do 18 rokov 250-170

Dospelí 170-110Vyšší vek 110-80

a) Podľa svojho veku a hmotnosti vypočítaj, akú energickú dávku potrebuje tvoje telo denne.

b) Vypočítaj energickú dávku potrebnú na deň pre tvojich rodičov.

c) Vypočítaj energickú dávku pre Janka, ktorý má 4 roky, 13-ročného Peťka a Tomáška, ktorý má 7mesiacov. Vymysli a vypočítaj ďalšie úlohy.

Úloha 5: Zabojuj s vitamínom C proti chrípke Jedným z najdôležitejších vitamínov pre človeka je

vitamín C. Jeho obsah v niektorých potravinách udáva táto tabuľka.

Potraviny (100 g)

Vitamín C(v mg)

Potraviny(100 g)

Vitamín C(v mg)

citróny 24 paprika 90 cibuľa 9 pomaranče 37 grapefruit 26 čierne

ríbezle 97

jablká 6 šípky 270 jahody 58 špenát 32 chren 170 uhorky 6 mrkva 5 červená

kapusta 32

a) Vyber také potraviny, aby bol v nich obsah vitamínu C spolu od 80mg do 100mg. Koľko gramov potravín pritom musíme skonzumovať?

b) Usporiadaj uvedené potraviny od potravín s najmenším obsahom vitamínu C po potraviny s najväčším obsahom vitamínu C.

Úloha 6: Spoznaj Pantanal, americkú divočinu Pantanal je vodná divočina v srdci

Ameriky. Jej plocha 180 000 kilometrov štvorcových je popretkávaná 175 riekami, potokmi, ostrovmi a lagúnami. Žije tu najviac druhov zveri z celej Ameriky,: • 650 druhov vtákov • 240 druhov rýb • 800 druhov cicavcov • 50 druhov hadov a nespočetné množstvo hmyzu.

Medzi nimi žije 13 druhov najohrozenejších cicavcov na zemi.

a) Koľko druhov živočíchov (bez

hmyzu) žije na tomto území? b) Koľko vodnej plochy pripadá

približne na 1 kilometer štvorcový? c) Koľko druhov živočíchov žije

približne na ploche 100 kilometrov štvorcových?


70 70

Úloha 7: Hor sa do zberu Pomáhať životnému prostrediu je veľmi dôležité, a to

robíme i pri zbere druhotných surovín. Tabuľka uvádza množstvo nazbieraných recyklačných látok v jednotlivých okresoch na Slovensku.

Okres Papier Sklo Plasty Kovy

Bratislava- mesto

18 230 6 583 6 785 3 472

Banská Bystrica

4 925 2 496 1 897 1 084

Košice – mesto

5 971 4 519 3 144 1 769

Martin 2 434 2 213 1 106 758 Michalovce 2 592 1 685 1 475 560 Nitra 7 061 3 367 3 742 1 724 Poprad 6 363 3 255 2 293 1 205 Prešov 7 133 3 669 2 609 1 118 Trebišov 3 091 2 092 1 665 203 Trnava 8 064 2 688 4 300 1 843 Žilina 6 308 3 487 2 283 1 423

Oboduj okresy pri každej zložke odpadu bodmi od 1 do 11, teda 5 krát. Obodované okresy usporiadaj od najväčšieho po najmenší počet bodov. Koľko bodov získal víťazný okres?

Úloha 8: Zoznám sa so zvieratkami – bábätkami Určite poznáš tieto zvieratká. Každé z nich malo pri narodení rôznu váhu. Zebra-300dg Kengura-2000g Delfín-100dg Koala-1000g Slon-

100kg

Usporiadaj tieto zvieratká - bábätká podľa ich pôrodnej váhy od

najmenšieho po najväčšie. Úloha 9: Morseova abeceda Morseovka je univerzálnym jazykom pre všetky národy. Spoznaj ju aj ty. Skús rozlúštiť správy napísané Morseovou abecedou, ak: /// znamená začiatok a koniec vety, // znamená koniec slova / oddeľuje jednotlivé písmená


71

a) ///⋅⋅⋅ /- ⋅ - ⋅ / ⋅⋅ / - / ⋅ - / ⋅ - - - // ⋅ - // - - -/ - ⋅⋅ / - ⋅ - ⋅ /⋅⋅/-/⋅ -/⋅ - - - /// ⋅⋅⋅ -

/-⋅ - - /⋅⋅⋅ / ⋅ - ⋅⋅ /⋅/ - ⋅⋅ /- - - /- ⋅ -// - - ⋅⋅ /⋅ -/⋅ - - ⋅/⋅⋅/⋅⋅⋅ // - - /- - -/ ⋅ - ⋅ /⋅⋅⋅ /⋅/- - -/ ⋅⋅⋅ - /- - -/ ⋅⋅ - // ⋅ - / - ⋅⋅⋅ /⋅/- ⋅ - ⋅ /⋅/ - ⋅⋅ /- - -/ ⋅⋅ - /// (Preklad: Sčítaj a odčítaj. Výsledok zapíš Morseovou abecedou) / ⋅ - - - - / ⋅⋅⋅ - - - / + / ⋅⋅⋅⋅ - / ⋅⋅⋅⋅⋅/ = / ⋅⋅⋅⋅ - / ⋅⋅⋅⋅⋅/ - / ⋅ - - - - - / = /⋅⋅ - - -/ - - - ⋅⋅/ + / ⋅⋅⋅ - -/- ⋅⋅⋅⋅ / = /- - - ⋅⋅/ ⋅⋅⋅⋅ -/ - /⋅⋅⋅⋅ -/ ⋅⋅⋅⋅ -/ = b) ///-⋅/⋅-/⋅ - - ⋅/⋅ ⋅/⋅⋅⋅ //- - -/- ⋅ ⋅/ ⋅ - ⋅/⋅-

/- - ⋅⋅// ⋅⋅⋅/⋅⋅ - /⋅⋅⋅/⋅/- ⋅⋅/- - -/⋅⋅⋅ -/⋅⋅/// (Preklad: Napíš odkaz susedovi)

Úloha 10: Spoznaj staroveké civilizácie Okrem arabských číslic, ktorými píšeme dnes, existujú aj iné zápisy čísel.

Sú to zápisy starých civilizácií, no všetky v sebe skrývajú určitý princíp. Skús ho odhaliť a doplň chýbajúce čísla v tabuľke podľa jednotlivých zápisov.

LITERATÚRA

[1] Šedivý O.-Križalkovič K.: Didaktika matematiky pre štúdium učiteľstva I. stupňa ZŠ, Bratislava, SPN, 1990, ISBN 80-08-00378-2

[2] Lokšová I.-Lokša J.: Pozornost, motivace, relaxace a tvořivost detí ve škole, Praha, Portál, 1999, ISBN 80-7178-205-X

[3] Molnár J.-Mikulenková H.: Zajímavá matematika pro třeťáky, 0lomouc, Prodos, 1995, ISBN 80-85806-35-5

[4] Molnár J.-Mikulenková H.: Zajímavá matematika pro 4.ročník, 0lomouc, Prodos, 1997, ISBN 80-85806-36-3


72 72

PaedDr.Gabriela Pavlovičová, PhD. PaedDr.PhDr.Valéria Vasková Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] [email protected]

Recenzent: prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.




73

BARYCENTRUM V GEOMETRICKÝCH ÚLOHÁCH

LUCIA RUMANOVÁ

Abstract: In teaching of mathematics we are spending a little time for application tasks in other subjects (physics, geology …). In this paper we exploitation of barycenter in geometric problems.

Úvod

Dlhotrvajúcim problémom v súvislosti s vyučovaním matematiky na strednej škole je otázka riešenia medzipredmetových vzťahov. Náväznosť obsahu vyučovania matematiky a obsahu vyučovania ostatných vyučovacích premetov je minimálna. My sa budeme venovať vyučovaniu geometrie na strednej škole.

Veľmi málo priestoru sa vo vyučovaní geometrie venuje aplikačným úlohám z iných vyučovacích predmetov (fyzika, geografia, ...). U študentov je problém aplikovať nadobudnuté vedomosti pri riešení konkrétneho geometrického problému, väčšinou sa však o to ani nepokúšajú. V učebniciach matematiky sa taktiež nachádza veľmi málo úloh unifikačného charakteru, ktoré by podporovali odstránenie uvedených nedostatkov, čo tiež len prehlbuje daný problém.

Určite je vhodné zaradiť aplikačné úloh do vyučovacieho procesu, či už ako ukážky pri opakovaní učiva po prebratí konkrétneho tematického celku alebo aspoň pri súhrnnom opakovaní učiva.

V našom článku uvedieme na ukážku aplikácie barycentra v geometrických úlohách. Vybrané úlohy sa dajú riešiť niekoľkými spôsobmi, ale my sa sústredíme na riešenie s využitím práve barycentra. Niekedy to riešenie môže byť aj efektívnejšie.

Študenti sa s pojmom hmotný bod, ťažisko stretnú vo fyzike, kde je dané učivo zaradené do 1. ročníka.

Uvedieme konkrétne riešenie planimetrickej a stereometrickej úlohy. Úlohy sú vybrané zo stredoškolského učiva tak, aby sa v nich dala aplikovať najmä definícia barycentra, ktorú ďalej vyslovíme. Uvedieme i niektoré základné vlastnosti a vety barycentra systému n bodov, ktoré môžu taktiež uľahčiť geometrické konštrukcie. Definícia, ako aj vlastnosti sú platné pre body roviny, a tiež pre body priestoru.

Barycentrum

Reálne čísla a, b, ... priradené bodom A, B, ... budeme nazývať váhy bodov A, B, ... . Konečnú množinu bodov s priradenými váhami budeme nazývať systém vážených bodov (stručne, systém bodov budeme označovať: ( ) ( ){ },A a B b ).

Definícia. Dané sú dva rôzne body A, B a dve reálne čísla a, b, ktorých súčet je rôzny

od 0. Potom existuje jediný bod G, pre ktorý platí: 0=+ GBbGAa a ABba

bAG+

= .

LUCIA RUMANOVÁ

74 74

Pre ľubovoľný bod M platí: ( )MBbMAaba

MG ++

=1 . Bod G sa nazýva barycentrum

systému vážených bodov ( ) ( ){ }bBaA , . Podobne definujeme barycentrum pre ľubovoľný počet bodov. Napr. Barycentrum systému bodov ( ) ( ) ( ){ }cCbBaA ,, , pričom 0≠++ cba , je bod G,

pre ktorý platí: 0=++ GCcGBbGAa alebo ( )MCcMBbMAacba

MG ++++

=1 .

Poznámky: • Barycentrum – snaha o zjednodušenie konštrukcie vektora aMA bMB+ . • Barycentrum G systému bodov ( ) ( ){ }bBaA , je bod kolineárny s bodmi A, B. • Barycentrum G systému bodov ( ) ( ) ( ){ }cCbBaA ,, je bod komplanárny s bodmi A, B, C • Čím vyššia váha bodu, tým je ťažisko úsečky bližšie k tomu bodu.

Veta 1. 1 2, ,..., nA A A je n bodov (nie nutne rôznych) a 1 2, ,..., na a a je n reálnych čísel. Ak 1 2 ... 0na a a+ + + ≠ , potom existuje jediný bod G taký, že

0...2211 =+++ nn GAaGAaGAa .

Veta 2. ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, ,..., n nA a A a A a je systém n vážených bodov. Ak

1 2 ... 0na a a+ + + ≠ , potom pre každý bod M platí:

( )MGaaaMAaMAaMAa nnn ...... 212211 ++=+++ , kde G je barycentrum daného systému.

Veta 3. ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, ,..., n nA a A a A a je systém n vážených bodov. Ak

1 2 ... 0na a a+ + + = , potom pre ľubovoľné dva body M a N platí:

1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n na MA a MA a MA a NA a NA a NA+ + + = + + + .

[Vektor 1 1 2 2 ... n na MA a MA a MA+ + + je konštantný.]

V prípade, že 1 0a ≠ platí ( ) GAaaaMAaMAaMAa nnn 1212211 ...... ++=+++ ,

kde G je barycentrum systému ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, ,..., n nA a A a A a .

Veta 4. Pre každé reálne nenulové číslo k systém ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, ,..., n nA a A a A a

a systém ( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2, ,..., n nA ka A ka A ka majú spoločné barycentrum. Poznámky:

• Barycentrum G systému ( ) ( ){ }1 , 1A B je stred úsečky AB, pretože ABAG21

=

• Barycentrum G systému ( ) ( ) ( ){ }1 , 1 , 1A B C je ťažisko trojuholníka ABC, pretože

pre barycentrum daného systému bodov platí 0111 =++ GCGBGA a pre ťažisko

trojuholníka ABC platí 0TA TB TC+ + = .


75

Planimetrická úloha

Dané sú dva body A, B. Zostrojte vektor MBMA 53 + pre ľubovoľný bod M. Riešenie: Priradíme jednotlivým bodom A, B váhu. Bod G je barycentrum systému bodov ( ) ( ){ }5,3 BA a platí nasledujúci vzťah ( ) MGMGMBMA 85353 =+=+ .

Bod G zostrojíme podľa definície barycentra, pre ktorý platí ABAG85

= (viď obr. 1).

B

A

B´

A´

M

M´

3

8

G

Obr. 1

Stereometrická úloha

Daná je kocka ABCDEFGH a body K, L, M, N tak, že bod K je stred úsečky AB, bod L

je stredom podstavy EFGH, bod M patrí úsečke AE tak, že platí AEAM31

= a bod N

patrí úsečke BG, kde BGBN31

= . Dokážte, že body K, L, M, N ležia v jednej rovine.

Riešenie: Priradíme váhu jednotlivým vrcholom kocky ABCDEFGH podľa obrázku (obr. 2).

LUCIA RUMANOVÁ

76 76

Obr. 2

Zvyšné body sú barycentrá systémov: K je barycentrum ( ) ( ){ }2,2 BA , L je barycentrum ( ) ( ){ }1,1 GE , M je barycentrum ( ) ( ){ }1,2 EA , N je barycentrum ( ) ( ){ }1,2 GB . Uvažujme teraz barycentrum G systému bodov ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 , 2 , 1 , 1A B E G .

Bod R je barycentrum systému ( ) ( ){ }4 , 2K L , preto bod R patrí úsečke KL a platí

KLKLKR31

242

=+

= .

Bod R je však aj barycentrum systému ( ) ( ){ }3 , 3M N , preto bod R patrí úsečke MN

a platí MNMNMR21

333

=+

= .

Priamky MNKL, majú teda spoločný bod R, z čoho vyplýva, že body K, L, M, N musia ležať v jednej rovine.

Záver

V článku sme uviedli ukážky geometrických úloh, v ktorých sa sústreďujeme na aplikácie barycentra. Určite sa dané úlohy dajú riešiť spôsobom bližším študentom, no našou snahou bolo navrhnúť také riešenie, v ktorom by sa dali využiť základné poznatky z fyziky, a tým by sa posilnili aj medzipredmetové vzťahy.


77

LITERATÚRA

[1] KMEŤOVÁ, M. – POBEŠKOVÁ, A. – RALÍK, O.: Ťažisko mnohouholníka v školskej matematike. In: Učme matematiku zaujímavejšie, učme matematiku aplikovať – zborník príspevkov z vedeckého seminára, Nitra 2007, s. 39 – 46.

[2] RUMANOVÁ, L.: Vektorový počet a stereometria vo vyučovaní matematiky na strednej škole. Dizertačná práca, Bratislava 2004, s. 157.

[3] TRENČANSKÝ, I. – REPÁŠ, P.: Barycentrum ako prostriedok na riešenie niektorých planimetrických a stereometrických úloh – 1. časť. In: Obzory matematiky, fyziky a informatiky, Bratislava 1998, č. 53, s. 1-11.

[4] TRENČANSKÝ, I. – REPÁŠ, P.: Barycentrum ako prostriedok na riešenie niektorých planimetrických a stereometrických úloh – 2. časť. In: Obzory matematiky, fyziky a informatiky, Bratislava 1998, č. 54, s. 1-7.

PaedDr. Lucia Rumanová, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Janka Drábeková, PhD.




79

VYUČOVANIE ŠTATISTIKY POMOCOU WORKSHOP MODELU

JÁN ŠUNDERLÍK


Úvod

V súčasnej dobe sa vo vyučovaní matematiky kladie veľký dôraz na spájanie teoretických poznatkov s ukážkami ich praktického použitia. Taktiež sa kladie dôraz na motivovanie študenta, upúšťa sa od prílišného memorovania a viac sa kladie dôraz na konštruktivistický prístup vo vyučovaní matematiky, na aktivitu žiaka na vyučovacej hodine, na samostatnosť v myslení, ale aj na schopnosť vedieť spolupracovať pri riešení problémov – úloh v skupine a na schopnosť obhájiť svoje názory a tiež na schopnosť podložiť svoje tvrdenia dôkazom alebo vhodnými argumentmi. Tieto požiadavky sa kladú na súčasného mladého človeka, otázkou však je, či sú žiaci na to v škole na uvedené situácie dostatočne pripravovaní. Či vedia použiť to, čo sa naučili aj v praxi. V nasledujúcom príspevku by som chcel v krátkosti predstaviť model, ktorý sa zameriava na konštruktivistické vyučovanie niektorých pojmov v tematickom celku štatistika na základnej škole.

Teoretické východiská

Workshop model je postavený na viacerých teóriách. Jednou z nich je teória Howarda Gardnera viacnásobných inteligencií, pozostáva z definovania pôvodne sedem oddelených, relatívne nezávislých ľudských inteligencií - lingvistickej, logicko-matematickej, hudobnej, telesno-kinestetickej, priestorovej, interpersonálnej a intrapersonálnej. Vo workshop modeli sa na hodinách matematiky sústreďuje na rozvíjanie štyroch inteligencií:

• lingvistickej • logicko-matematickej • Interprersonálnej • intrapersonálnej O lingvistickej inteligencii hovoríme pri dobrých výsledkoch z čítania, písania

porozumenia/rozprávania a komplexnej slovnej zásoby. Vo workshop modeli sa snažíme identifikovať nedostatky v tých oblastiach, v ktorých sa študent v rámci rozvoja verbálnej inteligencie môže ešte zlepšiť.

Počas hodín matematiky sa posilňuje logicko-matematická inteligencia. Tu učiteľ matematiky povzbudzuje svojich študentov k uplatňovaniu získaných matematických vedomostí, posilňuje ich schopnosť riešiť problémy, pokúša sa doviesť žiakov k metódam určovania vzorov niektorých matematických zákonitostí a upevňuje zručnosti v logickom zdôvodňovaní. Každý jeden žiak z triedy je priamo zapojený, spolu so svojimi

JÁN ŠUNDERLÍK

80 80

spolužiakmi, do riešenia problémov. Žiakom je poskytnutá možnosť objavovania jednotlivých zákonitostí týkajúcich sa danej témy v matematike spôsobom, ktorí ich zaujme.

Pri interpersonálnej inteligencii sa žiaci učia adekvátne reagovať na rôzne situácie a rešpektovať aj iný pohľad na riešenie úlohy, prípadne rešpektovať opačný názor v rámci problému a jeho riešenia.

Ďalšou teóriou, na ktorej je workshop model postavený, je Bloomova taxonómia

kognitívnych funkcií. Bloomova taxonómia požaduje na každej hodine rozvíjať u každého žiaka všetkých šesť kognitívnych oblastí, ktorými sú:

1. vedomosť 2. pochopenie 3. aplikácia 4. analýza 5. syntéza 6. hodnotenie Skupina psychológov pod vedením Benjamina Blooma ukázali už v päťdesiatych

rokoch 20. storočia, že 95% testov bolo zameraných na najnižšiu úroveň myslenia, ktorou je reprodukcia vedomostí. Aj v súčasnej dobe sa vedú diskusie o potrebe rozvíjania vyšších kognitívnych funkcií vo vyučovaní ako je analýza, syntéza a hodnotenie. Workshop model pomáha študentom zlepšiť schopnosť analyzovať konkrétne problémy v matematike. Namiesto toho, že by učiteľ jednoducho povedal, čo majú žiaci robiť a ako, dovolí im, aby mohli odpozorovať a objaviť sami čo sa vyžaduje. Analýzou slovných úloh môžu žiaci sami rozhodnúť, aké operácie vykonajú a akým spôsobom resp. výpočtom dosiahnu správne výsledky.

Syntéza vyžaduje od žiakov aby rozvinuli nové myšlienky, založené na predchádzajúcich poznatkoch. Vyžaduje, aby generalizovali a spájali vedomosti z iných predmetov, predpovedali a načrtávali závery.

Hodnotenie (evaluácia) je najvyššia forma myslenia. Pomáha žiakom v adekvátnom vyjadrovaní a tiež v rozlišovaní medzi dvomi myšlienkami. Vyhodnocovanie zahŕňa procesy: porovnanie a zhodnotenie dvoch rôznych myšlienok, reprezentuje hodnotu teórie a vytváranie názoru na základe argumentov, zhodnotení vierohodnosti dôkazov a miery subjektivity. Používaním vyhodnocovania vo workshop modele sa umožňuje študentom, ale aj učiteľovi, odborne diskutovať na danú tému. Podľa [3]

Štruktúra workshop modelu

Workshop model má svoju štruktúru, v ktorej je čas rozdelený do jednotlivých častí. Prvou časťou je rozcvička. Je to opakovanie už zvládnutých alebo čerstvo získaných vedomostí. Rozcvička celkovo trvá asi 3-5 minút. Po tejto časti nasleduje časť, v ktorej učiteľ predostrie svoj cieľ hodiny a vysvetlí základné poznatky k danej problematike. Na úvod predostrie problém dňa, ktorý by žiaci mali ku koncu hodiny zvládnuť. Celkovo tento krátky výklad trvá asi 10-12 minút. Po výklade nasleduje skupinová práca žiakov. Tá trvá 25 -30 min Počas skupinovej práce žiaci riešia rôzne problémy väčšinou divergentného charakteru. Žiaci sedia po skupinách väčšinou štvorčlenných alebo vo dvojiciach. Riešia zadané úlohy. Úloh je viac a môžu sa v rámci jednotlivých skupín líšiť. Úlohy jednotlivcov v skupinách sú rozdelené a každý, okrem svojej funkcie ako napr. vedúci, časomerač, zapisovač, ... sa aktívne podieľa na riešení úloh. Po skupinovej práci nasleduje opäť verejná časť, kde žiaci prezentujú svoje riešenia a výsledky. Forma prezentácie je


81

rôznorodá, od ústnej prezentácie jedného člena skupiny, cez prezentácie na posteroch až po prezentovanie pomocou vhodného softvéru na počítači. Prezentácia celkovo trvá 10- 15 minút. Po nej nasleduje zosumarizovanie hodiny a vydiskutovanie si nejasností, prípadne prehĺbenie vedomostí. Záverečné 2-3 minúty sa venujú zadaniu domácej úlohy.

Takýmto spôsobom žiaci získavajú nové vedomosti a učia sa ich aplikovať v praxi na riešení konkrétnych úloh a problémov.

Na prípravu ukážky vyučovacej hodiny bola použitá učebnica Impact mathematics,

kurz 1. Táto učebnica uvádza veľa námetov na projekty pre študentov, a často používa

aplikačné úlohy, ktoré pomáhajú rozvíjať konkrétny matematický obsah v danom učive. Tak sa učiteľ môže venovať viacerým celkom, ktoré sú poprepájané a nestrácajú sa vedomosti, ktoré už boli získané. Takýmto spôsobom sú získané matematické vedomosti ucelené.

Príklad prípravy hodiny zo štatistiky

Téma: Analýza štatistických údajov Podtéma: Histogram Cieľ hodiny: Žiaci si na základe predošlých vedomostí o stĺpcovom grafe osvoja ako

zostrojiť histogram a nájdu spoločné a rozdielne vlastnosti v porovnaní histogramu so stĺpcovým grafom.

Rozcvička Nasledovný graf znázorňuje počet zlatých medailí na LOH 2000 . Určte, ktorá krajina

získala A) najviac zlatých medailí B) najmenej zlatých medailí C) práve 12 zlatých medailí Aký typ grafu sme použili na zistenie výsledkov?

zlato na LOH 2000

05

1015202530354045

Nem

ecko

Rus

koHo

land

sko

Aust

rália

USA

Fran

cúsk

oTa

lians

ko

Kuba

krajina

poče

t med

ailí

JÁN ŠUNDERLÍK

82 82

Krátky výklad učiva

V tejto časti sa stručne učiteľ vyjadrí k novej problematike a poskytne nutné informácie pre ďalšiu prácu.

Poznáme veľa druhov grafov. Vybrať však graf, ktorý najlepšie popisuje danú situáciu závisí od údajov, ktoré máme znázorniť.

Na predchádzajúcich hodinách sme sa učili ako zostrojiť kruhový, spojnicový a stĺpcový graf.. Na dnešnej hodine sa naučíme zostrojovať histogram a používať ho pri analýze údajov.

V tejto časti je potrebné si uvedomiť, ktoré informácie žiakom poskytneme a na ktoré chceme aby prišli sami. Nakoľko chceme, aby žiaci sami prišli na rozdiel medzi histogramom a stĺpcovým grafom a na rozdiel v ich použití, necháme tieto informácie až na konkrétny príklad.

Skupinová práca

Skupina problémov A Nasledovný stĺpcový graf znázorňuje účastníkov na zimných olympijských hrách

v behu na lyžiach na 10 km.

Beh na lyžiach na 10 km

20

25

30

35

40

45

Čes

káre

publ

ika

Finl

and

Gré

cko

Japo

nsko

Kan

ada

Kaz

achs

tan

Keň

a

Litv

a

Mac

edón

sko

Nem

ecko

Nór

sko

1

Nór

sko

2

Rak

úsko

1

Rak

úsko

2

Rus

ko

Slo

vens

ko

U.S

.A. 1

U.S

.A. 2

krajina pôvodu

čas

(min

)

Nájdite odpoveď na nasledovné otázky 1. Koľko rôznych časov účastníkov sa nachádza v danom grafe? Koľko krajín

znázorňuje daný graf? 2. Ktorá krajina získala zlatú medailu? 3. Koľko účastníkov skončilo v časovom intervale od 31 min do 32 min 59 s? 4. Stĺpce v grafe sú usporiadané podľa abecedy. Porozmýšľajte o tom ako by sme

dané hodnoty (stĺpce) mohli inak usporiadať. Na aký druh otázok by sme pomocou takého grafu ľahšie našli odpoveď?


83

Riešenie: Na zodpovedanie týchto otázok je potrebné orientovať sa v informáciách zo

stĺpcového grafu. 1. V danom grafe je znázornených 18 účastníkov z 15 krajín. 2. Zlatú medailu získalo Nórsko. 3. Medzi 31 a 33 minútou skončili traja pretekári.

Odpoveď žiaci získajú spočítaním jednotlivých časov, ktoré patria do daného intervalu.

4. Odpovede môžu byť rôzne. O tomto bode necháme žiakov diskutovať, ak neprídu so žiadnymi nápadmi, skúsime ich naviesť už v skupinách na to, by si uvedomili usporiadanie údajov na osi x.

Diskusia vedie k pomenovaniu grafu, ktorý by zjednodušil určenie relatívnych početností na stanovených intervaloch. Zavedie sa pojem histogram.

Slovník

Histogram: • je typ grafu, pomocou ktorého znázorňujeme frekvenciu (koľko krát sa hodnota

vyskytuje) na určitom intervale • intervaly majú rovnakú veľkosť • výška jednotlivých stĺpcov určuje počet prvkov, ktoré sa v intervale vyskytujú. Ďalej sa pokračuje prácou v skupinách. Skupina úloh B V tomto probléme si vytvoríme tabuľku jednotlivých intervalov a ich frekvencií.

(Frekvencia znázorňuje počet prvkov ktoré patria do istého intervalu.) 1. Skopírujte si tabuľku a pomocou stĺpcového grafu z predošlej úlohy určite v ktorom

intervale športovci skončili. Zaznamenajte tieto informácie do stĺpca „frekvencia“

Čas (minúty:sekundy) Frekvencia

27:00 - 28:59 1 29:00 - 30:59 9 31:00 - 32:59 3 33:00 - 34:49 3 35:00 - 36:59 0 37:00 - 38:59 1 39:00 - 40:59 0 41:00 - 42:59 0 43:00 - 44:59 1

JÁN ŠUNDERLÍK

84 84

2. Vytvorte histogam zakreslením jednotlivých stĺpcov znázorňujúcich počet účastníkov, ktorí skončili v danom časovom intervale. Interval medzi 31 a 33 minútou je už znázornený.

ZOH 1998 beh na lyžiach 10 km

0

2

4

6

8

10

27 29 31 33 35 37 39 41 43 45More

čas (min)

Frek

venc

ia

3. V ktorom intervale skončili najlepší lyžiari? 4. Tvar histogramu znázorňuje rozdelenie jednotlivých hodnôt. Môžeme vidieť, kde

sú voľné miesta, kde je veľa hodnôt a kde ich je len niekoľko. Čo môžeme povedať o rozdelení časov v tejto úlohe?

Riešenie: Na riešení žiaci pracujú vo dvojiciach, každý však zostrojuje graf samostatne. 1.

Čas (minúty:sekundy) Frekvencia

27:00 - 28:59 1 29:00 - 30:59 9 31:00 - 32:59 3 33:00 - 34:49 3 35:00 - 36:59 0 37:00 - 38:59 1 39:00 - 40:59 0 41:00 - 42:59 0 43:00 - 44:59 1


85

2. Pri zostrojovaní grafu treba dávať pozor na to, ako žiaci pomenúvajú osi a usmerňovať tých, ktorí s tým majú problémy. .

Časi bežcov v behu na lyžiach OH 1998

0

2

4

6

8

10

27 29 31 33 35 37 39 41 43 45More

čas (min)

Frek

venc

ia

3. Najlepší bežci skončili v prvom intervale. 4. Odpovede môžu byť rôzne, ale prevažne by mali popisovať, že najviac bežcov sa

nachádza v druhom až štvrtom intervale. Najviac ich je v druhom intervale. Piaty, siedmy a ôsmy interval je prázdny.

Slovník

Relatívna početnosť: je podiel prvkov zastúpených na jednom intervale k celkovému počtu prvkov.

Kumulatívna početnosť: predstavuje súčet relatívnych početností od začiatku triedenia po daný interval vrátane.

Kumulatívna relatívna početnosť: je podiel kumulatívnej početnosti k celkovému počtu prvkov.

Ďalej môžu nasledovať iné príklady, na ktorých si žiaci osvoja zhotovovanie

histogramu a jeho analýzu.

Prezentovanie výsledkov

V tejto časti v priebehu 7 – 10 minút žiaci prezentujú svoje výsledky. Dôraz sa kladie na to, aby žiaci správne používali terminológiu, zdôvodňovali svoje riešenie a popisovali myšlienkové postupy.

JÁN ŠUNDERLÍK

86 86

Zhrnutie hodiny

• Aké údaje znázorňujeme pomocou histogramu? Uveďte príklad, v ktorom by malo zmysel použiť histogram.

• Na hodine sme sa zaoberali stĺpcovým grafom a histogramom znázorňujúcim výsledky v behu na lyžiach na ZOH. Ktoré údaje boli lepšie viditeľné na stĺpcovom grafe a ktoré na histograme?

Spolu si odpovieme na tieto otázky a zopakujeme čo sme sa dnes naučili. Na záver nasleduje zadanie domácej úlohy.

Skúsenosti s vyučovaním pomocou workshop modelu

Pomocou workshop modelu som učil matematiku v rokoch 2005 - 2007 v New Yorku City. Na viacerých školách bol tento model povinný. Predpokladalo sa, že by mohol zlepšiť nepriaznivú situáciu vedomostí žiakov v NYC. Vedú sa však viaceré diskusie o jeho výhodách a nevýhodách. Uvádzam niektoré nedostatky, ktoré sa vyskytli počas praxe nielen z vlastnej skúsenosti, ale aj skúseností iných učiteľov. Spomeniem ešte to, že časová dotácia hodín matematiky pre základnú školu je vyššia ako na Slovensku, sú to dve hodiny denne, spolu 10 hodín týždenne.

Poznatky a skúsenosti učiteľov s aplikáciou workshop modelu v praxi v NYC. Workshop model • je problematický pre študentov, ktorí nevedia pracovať v skupinách, • neodporúča sa používať sústavne na každej hodine, • nevyhovuje, keď je potrebné preberať veľké množstva učiva, • jeho použitie je problematické, ak žiaci ešte nemajú dostatok vedomostí, aby sa

mohli zapojiť do diskusií a do práce na riešení úloh.

Záver

V snahe zachytiť rýchle napredovanie vývoja spoločnosti sa celkovo vo vyučovaní snažíme uplatňovať nové prístupy a modely. Niekedy sú však tieto modely nevhodne prezentované, nesystematicky používané a preceňuje sa ich sila na dosiahnutie požadovaných výsledkov. Samotný model ešte nie je zárukou úspechu. V konečnom dôsledku je potrebné, aby učitelia neupadali do nekritickosti v aplikovaní iných, netradičných modelov vyučovania matematiky. Taktiež nie je na mieste úmyselne sa vyhýbať novým prístupom, metódam a modelom, a tak zaostávať za vývojom spoločnosti. Z tohto hľadiska si myslím, že o to väčšia náročnosť sa bude klásť aj na vysoké školy a univerzity pripravujúce učiteľov, aby kurzy, najmä didaktických predmetov, dobre pripravili budúcich učiteľov na ich prácu.


87

LITERATÚRA

[1] Braunfeld P. a kol.: Impact mathematics course 1, učebnica, New York, Glencoe/McGraw-Hill, 2004, ISBN 0-070860909-7

[2] Šedivý O., Čeretková S., Malperová M., Bálint Ľ.: Matematika pre 9. ročník základných škôl 2. časť, učebnica ZŠ, druhé vydanie, Nitra, Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 2004, ISBN 80-10-00397-2

[3] http://www.math.uiuc.edu/MeritWorkshop/uriModel.html

[4] http://www.tqnyc.org/NYC041160/credits.html

Mgr. Ján Šunderlík Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e – mail: [email protected]

Recenzent: doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD.




89

APLIKÁCIE MATEMATIKY V CHÉMII

DUŠAN VALLO

Abstract: In this paper we present some math techniques in chemistry applications. We solve a few concrete chemical problems with applying the techniques of linear algebra, graph of logarithmic function and differential calculus.

Úvod

Mnohokrát sa učiteľ ocitne v situácii, kedy sa mu zo strany študentov položí otázka, kde môžu danú teóriu použiť, resp. sa objaví argumentácia typu „toto nebudem v živote potrebovať “. Absencia záujmu o predmet, podstatu a pochopenie princípov odovzdávaných poznatkov má za následok nielen formalizmus vo vyučovacom procese, ale aj deformáciu rozvoja osobnostných a charakterových čŕt študenta. V snahe motivovať študentov sa často zdôrazňuje potreba prepojenia teórie s praxou. Preložené do jazyka výchovno- vzdelávacieho procesu ide na jednej strane o vyhľadávanie takých podnetov a problémov z bežného života, ktoré možno úspešne vyriešiť pomocou teoretických poznatkov z daného vedného odboru a na strane druhej zase použitie odhalených zákonitostí prírody a spoločenského života v praxi. V tomto príspevku sa zameriame na niektoré aplikácie matematiky v chémii, ktoré budeme prezentovať na príkladoch doplnených o stručný komentár.

Problém 1

Príprava roztokov, resp. zmesí, ktorých zložky majú známe zloženie, sú časté a typické úlohy pre chemické výpočty.

Príklad 1. Kvapalná zmes D sa má zmiešať zo zložiek A, B, C, z ktorých každá

obsahuje prvky dusík N, fosfor P a draslík K. Percentuálne zastúpenie prvkov v zmesiach udáva tabuľka. Koľko litrov zo zmesí A, B, C treba na prípravu 10 litrov zmesi D ?

N P K A 25 % 15 % 10 % B 15 % 15 % 5 % C 20 % 10 % 10 % Výsledná D 20 % 13 % 8,5 %

Riešenie. Zostavíme vektor ( ), ,i i i iv N P K= , 1,2,3i = vyjadrujúci percentuálny obsah prvkov a napíšeme vektorovú rovnicu

( ) ( ) ( ) ( )25;15;10 . 15;15;5 . 20;10;10 . 20;13;8,5 .10x y z+ + = , kde , ,x y z sú postupne litre zmesí A, B, C. Vektorová rovnica vedie k sústave

DUŠAN VALLO

90 90

25 15 20 20015 15 10 13010 5 10 85

3; 3; 4

x y zx y zx y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

= = =

Na výrobu 10 litrov zmesi D potrebujeme 3 litre zmesi A, 3 litre zmesi B a 4 litre zmesi C.

Problém 2

Vyrovnávanie chemických rovníc patrí medzi dôležité vedomosti, ktoré by študenti mali vedieť. Avšak, nie vždy je vie študent vyriešiť zložitejšie chemické rovnice (dôvody sú rôzne- neznalosť chemického názvoslovia, problém s oxidačnými číslami, ...) : na nasledujúcom príklade ukážeme, ako sa vyriešiť problém pomocou matíc a Gaussovej eliminačnej metódy.

Príklad 2. Doplňte koeficienty v rovnici

2 2 7 2 4 2 2 2 4 2 4 2. . . . . . .K Cr O NaCl H SO Crda b e fO Cl K SO Na H Oc SO g+ + → + + + . Riešenie. Zrejme podľa zákona zachovania hmotnosti musí platiť 2 2a e= ; 2a d= ; 7 4 2 4 4a c d e f g+ = + + + ; 2b f= ; 2b d= ; 2 2c g= ; c e f= + . Získali sme sústavu siedmych rovníc s neznámymi a, b, c, d, e, f, g . Zapíšeme

pomocou rozšírenej matice a upravujeme

2 0 0 0 2 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0

1 2 3 0 0 0 0 07 0 4 2 4 4 1 01 2 3 0

4 1 0 0 0 0 0 00 1 0 0 2 0 0 00 3 4 0

10 1 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 020 0 2 0 0 2 0 00 0 1 0 1 1 0 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟ −− − − − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟−− ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟− ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ ⎠−⎜ ⎟

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∼ ∼ ∼ ∼

Dostávame parametrické riešenie

4 1, , ;3 3

c t b t a t t R= = = ∈ . Keďže koeficienty a, b, c majú byť prirodzené čísla

a podľa možnosti najmenšie, ktoré vyhovujú rovnici, položíme parameter 3t = . Potom 1, 4, 3, 2, 1, 2, 3a b c d e f g= = = = = = = a rovnica je v tvare

2 2 7 2 4 2 2 2 4 2 4 21 4 3 2 1 2 3. . . . . . .K Cr O NaCl H SO CrO Cl K SO Na SO H O+ + → + + + .

Problém 3

Určenie kyslosti, resp. zásaditosti roztokov je jedna z typických záležitostí experimentálnej chémie. Z pohľadu matematiky ide o výpočet funkčnej hodnoty dekadického logaritmu.

APLIKÁCIE MATEMATIKY V CHÉMII

91

Príklad 3. Záporný dekadický logaritmus koncentrácie ionóv 3H O+ nazývame

pH . Píšeme 3logpH H O+⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ a určujeme podľa neho kyslosť a zásaditosť

vodných roztokov. Ak je pH z intervalu 0,7)< , roztok je kyslý, pri 7pH = je neutrálny a pre pH z intervalu ( )7,14 je prostredie zásadité. Vypočítajte

koncentráciu 3H O+⎡ ⎤⎣ ⎦ , ak

a) 1,7pH = b) 12,4pH = Riešenie. a)

( )1,73 31,7 log 10pH H O H O −+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − ⇔ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Výpočtom sme dostali 3

3 0,02 .H O mol dm+ −⎡ ⎤⎣ ⎦

b)( )12,4

3 312,4 log 10pH H O H O −+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − ⇔ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Výpočtom sme dostali 3

3 3,981 .H O mol dm+ −⎡ ⎤⎣ ⎦

Poznámka. Logaritmické funkcie majú v chémii široké uplatnenie – termodynamické vlastnosti molekúl, chemická kinetika , tepelná závislosť rovnovážnej konštanty, ... .

Problém 4

Na ďalších príkladoch si ukážeme praktické použitie diferenciálneho počtu v kinetike chemických reakcií a iných praktických odboroch chemickej technológie.

Príklad 4. Za podmienok, keď je reakcia 2 22 2NO O NO+ prakticky nevratná, je jej rýchlosť vyjadrená vzťahom ( )2 3. 100v k x x= − , kde x je koncentrácia NO , k je

konštanta rýchlosti reakcie závislá len od teploty. Aká je maximálna rýchlosť oxidácie, ak položíme 1k = ?

Riešenie. Ak chceme nájsť maximálnu rýchlosť oxidácie (extrém), zderivujeme funkciu ( )2 31. 100v x x= − a položíme deriváciu rovnú nule.

Dostaneme 2200 3 0v x x′ = − = . Riešením kvadratickej rovnice sú dva stacionárne

body - čísla 1 0x = a 2200

3x = . Tabuľkou určíme maximum.

x ( ),0−∞ 0 ( )2000, 3200

3 ( )200 ,3 ∞

( )f x′ min max

Maximálna rýchlosť bude pri koncentrácii 22003

x = a jej hodnota bude

( ) ( ) ( )2 34 3 1200 200 200100 44,4.10 . .3 3 3v mol dm s− −⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Príklad 5

Je daná funkcia 1

1 1

n

n

x xyx

+

+

−=

−. V prípade absorpcie pri systéme s konštantným

koeficientom rozloženia predstavuje y časť v plyne rozpustnej látky, absorbovanej vo veži s n teoretickými prepážkami , a x je podiel rýchlosti kvapaliny a rýchlosti plynu vydelený koeficientom rozloženia. Aká je hodnota funkcie pre 1x → ?

DUŠAN VALLO

92 92

Riešenie. Vypočítame ako limitu podľa L ´Hospitalovho pravidla ( )( )

( )( )

1

1 11 1

11

1 . 10lim lim1 0 1 . 0

1 . 1lim

1 . 1

nn

n nx x

n

nx

n xx xx n x

n x nn x n

+

+ +→ →

+→

+ −−= =

− + −

+ −= =

+ +

Hodnota funkcie sa pre 1x → približuje k hodnote 1

nn +

.

Záver

K aplikáciám, ktoré chce vyučujúci učiť prostredníctvom matematiky, poznamenáme záverom niekoľko poznámok

• v prvom rade by mal byť učiteľ matematiky dosť zdatný v danom vednom odbore, aby na prípadné otázky študentov vedel odborne odpovedať a reagovať.

• učiteľ matematiky potrebuje prehľad v potenciálnych znalostiach študentov a nemal by predkladať k riešeniu také úlohy, v ktorých nielen matematický aparát prekračuje rámec učiva, ale značne aj vedomosti o danom prírodnom, resp. spoločenskom jave.

• Študentov treba upozorniť, že v mnohých prípadoch sa riešenie aplikačnej úlohy obmedzuje iba na reálne existujúce podmienky, preto je potrebné rozlíšiť riešenie z pohľadu matematiky a riešenie aplikovateľné do praxe.

LITERATÚRA

[1] Cockett, M. C. R., Doggett, G.: Maths for Chemists I, II, The Royal Science of Chemistry, Cambridge, 2003, ISBN: 0–85404-677-1

[2] Krajňáková, D. : Matematika I, II, scriptum Chemicko – technologickej fakulty STU Bratislava, 1977

[3] Vallo, D.: Matematika pre chemikov – pracovné listy z vybraných kapitol, scriptum, Edícia Prírodovedec č. 223, FPV UKF, Nitra, 2006, ISBN: 80-8094-049-5 , str. 126

RNDr. Dušan Vallo, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: PaedDr. Marek Varga, PhD. e-mail: [email protected]



93

DERIVÁCIA OKOLO NÁS

MAREK VARGA

Abstract: We know, that derivation of function was found by solving problems like tangent lines to the graph or instanteneous velocity. In this artisle we showthat derivation of function we can find in other different branches of real life – physics, biology, medicine...

Úvod

Medzi základné pojmy matematickej analýzy patrí derivácia. Je dostatočne známe, že derivácia je limita istého špeciálneho tvaru, konkrétne:

( ) ( )limx a

f x f ax a→

−−

, resp. ( ) ( )0

limh

f a f f ah→

+ −.

Pri zavedení pojmu derivácia funkcie obyčajne využívame dve cesty – Newtonove hľadanie okamžitej rýchlosti telesa, resp. Leibnizov výpočet smernice dotyčnice. V článku ukážeme okrem týchto známych postupov aj ďalšie motivačné príklady vedúce k zavedenie pojmu derivácia funkcie.

Derivácia funkcie

Problém 1. Okamžitá rýchlosť telesa Nájdite vzťah na výpočet okamžitej rýchlosti telesa. Riešenie. Na problematiku určenia okamžitej rýchlosti telesa sa pozrieme čisto z matematickej

stránky, preto si dovolíme podstatné zjednodušenie – uvažujme len priamočiary pohyb.

Tento pohyb môže byť rovnomerný alebo nerovnomerný. Ako už názov naznačuje,

v prvom prípade je rýchlosť v (čo sa týka veľkosti aj smeru) konštantná. To znamená, že za rovnaké časové úseky ∆t prejde teleso rovnakú dráhu ∆s. Okamžitú rýchlosť telesa preto ľahko určíme ako podiel

okamsvt

∆=∆

.

Táto jednoduchosť sa nezopakuje pri nerovnomernom pohybe – teleso za rovnaké časové okamihy ∆t totiž prejde rôzne dlhé úseky dráhy ∆s. Vyššie uvedeným podielom tu môžeme definovať len tzv. priemernú rýchlosť, tj.

priemsvt

∆=∆

.

Ako určiť okamžitú rýchlosť?

MAREK VARGA

94 94

Okamžitou rýchlosťou je rýchlosť telesa v istom konkrétnom okamihu t0. Predpokladajme, že teleso prešlo do tohto okamihu dráhu

s(t0). Ďalej predpokladajme, že prejdená dráha v čase t0 + ∆t mala veľkosť s(t0 + ∆t). Za čas ∆t teda teleso prešlo dráhu ∆s = s(t0 + ∆t) – s(t0), preto pre jeho priemernú rýchlosť platí

( ) ( )0 0priem

s t t s tsvt t

+ ∆ −∆= =∆ ∆

.

Ak budeme sledovať veľké časové úseky ∆t, rýchlosť telesa sa môže počas nich veľmi meniť. Preto pri určovaní okamžitej rýchlosti musíme zobrať čo najmenší časový úsek ∆t, počas ktorého je rýchlosť v „takmer konštantná“. Matematicky tento fakt zapíšeme

( ) ( )0 00 0

lim limokam priemt t

s t t s tv v

t∆ → ∆ →

+ ∆ −= =

∆.

Problém 2. Zostrojenie dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode Nech je daná spojitá funkcia y = ƒ(x). Zostrojte dotyčnicu t ku grafu tejto funkcie

v jej bode A[a; ƒ(a)]. Riešenie. Hľadajme našu dotyčnicu t ku grafu funkcie ƒ v bode A (pozri obr. 1)

v smernicovom tvare, tj. hľadajme rovnicu priamky t: y = kt x + q.

Číslo kt nazývame smernicou priamky. Pre smernicu platí kt = tg α,

kde α je uhol, ktorý zviera priamka t s kladnou časťou súradnicovej osi ox. Ako budeme postupovať?

Obr. 1. Smernica dotyčnice

Zvoľme na grafe funkcie ƒ bod Q[x; ƒ(x)] a zostrojme sečnicu AQ = p;

p: y = kpx + q.


95

Pre smernicu kp zrejme platí

( ) ( )tgpf x f a

kx a−

= α =−

.

Sečnica je priamka, ktorá graf funkcie pretína v dvoch bodoch. Dotyčnica je priamka, ktorá pretína graf (ako isto intuitívne tušíme) v jednom bode. Sečnica p sa preto „stane“ dotyčnicou práve vtedy, keď body A a Q „splynú“. Tento proces „blíženia sa“ a „splynutia“ bodu Q a bodu A zapíšeme pomocou limity funkcie – pre smernicu dotyčnice t preto platí

( ) ( )lim limt px a x a

f x f ak k

x a→ →

−= =

−.

Problém 3. Rozpad rádioaktívnej látky

Nájdite vzťah pre rýchlosť rozpadu rádioaktívnej látky.

Riešenie.

Jadrá niektorých chemických prvkov sa samovoľne rozpadajú – hovoríme o nich, že sú rádioaktívne. Fyzici nám prezradia, že tento rozpad je nerovnomerný. Ako definovať jeho rýchlosť?

Označme čas tradične – t, hmotnosť rádioaktívnej látky v čase t označme m(t);

v čase t + ∆t nech je hmotnosť látky m(t + ∆t).

Priemernou rýchlosťou rádioaktívneho rozpadu wp potom rozumieme podiel zmeny hmotnosti látky ∆m a času ∆t, za ktorý táto zmena nastala, tj.

pmwt

∆=∆

.

Okamžitú rýchlosť jadrového rozpadu zrejme dostaneme, ak budeme uvažovať časový úsek ∆t blízky nule, resp. ∆t → 0. Tj. pre rýchlosť w rádioaktívneho rozpadu platí

( ) ( ) ( )0 0 0

lim lim limpt t t

m t t m tmw w m tt t∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ −∆ ′= = = =∆ ∆

.

Problém 4. Rýchlosť rastu populácie baktérií

Počet členov populácie baktérií v čase t označme P(t). Ako určíme okamžitú rýchlosť r rastu spoločenstva baktérií?

Riešenie.

Jedným zo základných prejavov živých organizmov je schopnosť rozmnožovať sa. Preto sa v čase mení aj počet jedincov populácie baktérií. Rýchlosť prírastku baktérií je daná podielom nových členov a času, za ktorý tento prírastok nastal.

Keďže rast populácie nie je rovnomerný, definujeme priemernú rýchlosť rastu rp podielom

pPrt

∆=∆

.

MAREK VARGA

96 96

Zmena počtu jedincov populácie ∆P je daná rozdielom počtu baktérií v čase t0 + ∆t, tento počet označme

P(t0 + ∆t), a v čase t0, tento počet označme

P(t0). Potom dostávame

( ) ( )0 0P t t P tPt t

+ ∆ −∆=

∆ ∆.

Pre okamžitý rast počtu členov spoločenstva baktérií potom zrejme platí ( ) ( ) ( )0 0

00 0 0lim lim limpt t t

P t t P tPr r P tt t∆ → ∆ → ∆ →

+ ∆ −∆ ′= = = =∆ ∆

.

Problém 5. Šírenie vírusu

Označme počet ľudí infikovaných smrteľným vírusom v čase t symbolom N(t). Aká je rýchlosť šírenia nákazy q?

Riešenie.

Ak je počet chorých v čase t popísaný funkciou N(t), pod priemernou rýchlosťou šírenia nákazy qp rozumieme podiel novo nakazených jedincov ∆N a času ∆t, za ktorý sa nákaza rozšírila, tj.

pNqt

∆=∆

.

Označme počet infikovaných jedincov v čase t1 symbolom N(t1),

a počet infikovaných jedincov v čase t2 symbolom N(t2).

Potom platí ∆t = t2 – t1,

a počet novo nakazených jedincov môžeme vyjadriť rozdielom ∆N = N(t2) – N(t1).

Pre okamžitú rýchlosť šírenia vírusu v populácii potom dostávame

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1

2 11

2 1lim lim limpt t t t t t

N t N tNq q N tt t t→ → →

−∆ ′= = = =∆ −

.

Záver

V texte sme uviedli sériu piatich problémov, ktoré nás privedú k definícii derivácie funkcie. Okrem tradičných úloh – výpočtu okamžitej rýchlosti či hľadania smernice dotyčnice – sme ponúkli aj ďalšie možnosti. Študent tak vidí, že derivácia funkcie (diferenciálny počet, či matematika všeobecne) nie je len nepotrebným matematickým pojmom, ale má využitie aj v mnohých oblastiach nášho života – fyzika, biológia, medicína...


97

LITERATÚRA

[1] Fichtengoľc, G. M.: Kurs differenciaľnogo i integraľnogo isčislenija; Nauka, Moskva, 1962

[2] Mendelson, E.: Calculus; McGraw-Hill, New York, 1988, ISBN 0-07-041480-7

[3] Varga, M.: Niektoré aspektyproblémového vyučovania matematickej analýzy; dizertačná práca

PaedDr. Marek Varga, PhD. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD. e-mail: [email protected]



99

VZORCE V PRAXI

KITTI VIDERMANOVÁ

Abstract: This paper deals with the appearance of mathematics in everyday life. We introduce some examples about the solids, their volume and surface.

Úvod

Spojenie teórie s praxou v školskej matematike je požiadavka kladená na pochopenie významu matematických teórií pre prax, pre konkrétne úlohy v živote spoločnosti. Jednou z hlavných zložiek matematiky je riešenie problémov a matematizácia reálnych situácií. Poznatky a zručnosti z matematiky získané v škole patria k všeobecnému vzdelaniu každého jednotlivca a v konečnom dôsledku majú slúžiť jeho praktickej činnosti. Praktická aplikácia patrí aj k hlavným metódam zabezpečujúcich trvanlivosť matematických vedomostí. [1]

V príspevku uvádzame vybrané slovné úlohy, zamerané na objem a povrch telies. Pomocou nich poukazujeme na výskyt matematiky v každodennom živote.

Príklad 1

Akú hĺbku musí mať betónová nádrž tvaru kvádra o šírke 245 cm a dĺžky 325 cm, ak žiadame, aby hladina pri obsahu 120 hl vody bola (približne) 10 cm pod horným okrajom nádržky?

Riešenie

Zápis: 245š cm= 325d cm= 120 10V hl v h cm= ⇒ = − ?h =

Náčrt:

Premeníme zadané údaje na rovnaké jednotky:

3120 12000 12000V hl l dm= = = , 325 32,5d cm dm= = , 245 24,5š cm dm= = .

KITTI VIDERMANOVÁ

100 100

Vypočítame výšku vody pri danom objeme V: . .V d š v=

12000 32,5.24,5.12000 796,25.

15

vv

v dm

==

Hľadaná hĺbka bazéna je 1 15,07 1 16h v dm= + = + = .

Odpoveď: Betónová nádrž musí mať hĺbku približne 16 dm.

Príklad 2

Komín tvaru dutého rotačného zrezaného kužeľa má výšku 28 m. Určte váhu muriva, ak spodné priemery sú 3,7 m a 2,2 m a horné priemery 1,8 m a 1,2 m (1 3m tehlového muriva váži 1,8 t).

Riešenie

Zápis:

1

2

3

4

3 71 82 21 2

,,,,

d md md md m

=

=

=

=

28v m= 31 m tehlového muriva ... 1 8, t hmotnosť ?m =

Náčrt (priečny rez komínom):

Vypočítame objem tehlového muriva ako rozdiel objemov vonkajšieho ( 1V )

a vnútorného ( 2V ) zrezaného kužeľa, t.j. 1 2V V V= − . Objem vonkajšieho zrezaného kužeľa počítame

2 21 1 1 2 2

13

( )V v r r r rπ= + + , kde 11 1 85

2,dr m= = , 2

2 0 92

,dr m= = .

2 21

1 28 1 85 1 85 0 9 0 93

. . .( , , . , , )V π= + +

31

1 28 5 8975 172 9243

. . . , ,V mπ= =

VZORCE V PRAXI

101

Objem vnútorného zrezaného kužeľa počítame

2 22 3 3 4 4

13

( )V v r r r rπ= + + , kde 33 1 1

2,dr m= = , 4

4 0 62

,dr m= = .

2 22

1 28 1 1 1 1 0 6 0 63

. . .( , , . , , )V π= + +

32

1 28 2 23 65 3873

. . . , ,V mπ= =

Objem tehlového muriva je 31 2 172 924 65 387 107 537, , ,V V V m= − = − = .

Hľadaná hmotnosť je 1 8 107 537 1 8 193 57. , , . , ,m V t= = = .

Odpoveď: Hmotnosť muriva je približne 193,57 t.

Príklad 3

Koľko metrov nite je približne v klbku tvaru gule o priemere 5 cm, ak je priemer nite 0,4 mm?

Riešenie

Zápis: 5 500 4,?

D cm mmd mmv

= ===

Ak rozvinieme niť, dostaneme valec s priemerom 0,4 mm a výškou valca je hľadaná dĺžka nite v klbku, pričom objem nite a objem klbka je zhodný.

Objem klbka: 31

43

V Rπ= , kde R je polomer klbka, 252DR mm= = ,

3 31

4 25 65449 853

. . ,V mmπ= = .

Objem nite: 22V r vπ= , kde r je polomer nite, 0 2

2,dr mm= = ,

2 32 0 2 0 126. , . , .V v v mmπ= = .

Z rovnosti objemov dostávame vzťah 1 2

65449 85 0 126519443 25 520

, , .,

V V

vv mm m

=

==

Odpoveď: V klbku o priemere 5 cm je približne 520 m nite.

Príklad 4

Koľko metrov balónového hodvábu šírky 0,5 m treba na zhotovenie balóna tvaru gule, ak jeho priemer je 6 m, a na odpad sa počíta 12,5 %.

KITTI VIDERMANOVÁ

102 102

Riešenie

Zápis: 0 56

12 5

,

... , %

š md modpad

==

dĺžka hodvábu ... ?x m=

Povrch balóna vypočítame ako povrch gule s polomerom 32dr m= = , dostaneme:

2 24 4 9 36 113 1. . ,P r mπ π π= = = Obsah hodvábu vypočítame ako obsah obdĺžnika so stranami 0,5 a x:

0 5, .S x= Počítame na odpad 12,5 %, takže hodvábu potrebujeme

1 125 0 5, . , .S x= . Povrch balóna sa musí rovnať potrebnému množstvu hodvábu, dostávame vzťah

131 1 1 125 0 5113 1 0 5625

201 1

, , . , ., , .

,

xx

x m

===

Odpoveď: Na zhotovenie balóna potrebujeme 201,1 m balónového hodvábu.

Záver

Obsahom vybraných slovných úloh sme sa snažili poukázať na potrebu matematiky a základných vzorcov a vzťahov v bežnej praxi. Každodenná činnosť ľudí prináša nové požiadavky na vedomosti a zručnosti z matematiky.

LITERATÚRA

[4] Gábor, O. a kol.: Teória vyučovania matematiky 1. Prvé vydanie, Slovenské pedagogické nakladateľstvo, Bratislava, 1989. ISBN 80-08-00285-9.

[5] Vyšín, J. a kol.: Geometria pre 9.-11. postupný ročník všeobecnovzdelávacích škôl. Druhé vydanie, Slovenské pedagogické nakladateľstvo, Bratislava, 1955.

RNDr. Kitti Vidermanová Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: RNDr. Dušan Vallo, PhD. e-mail: [email protected]



103

PERCENTÁ, ÚROKY, AKCIE

PETER VRÁBEL

Abstract: The simple applications of percentage calculus in financial estimates are presented in the paper. These applications tasks can be used in training of mathematics on primary or secondary schools.

Úvod

Tematický celok Percentá je zaradený do základného učiva siedmeho ročníka základnej školy. Pri vyučovaní tohto celku sa okrem iného kladú aj takéto ciele: vedieť riešiť jednoduché slovné úlohy z oblasti finančníctva i výchova k ekonomickému spôsobu správania, šetrenia a podnikania.

Poznatky o percentách možno využiť pri rôznych bežných finančných kalkuláciách, ktoré sa týkajú takmer každého. Stačí spomenúť napríklad čo najvýhodnejšie uloženie finančných prostriedkov v nejakej banke alebo nákupy rôzneho tovaru pri tzv. akciách.

Úlohy o úrokoch a zľavách

Banky poskytujú rôzne úročené finančné produkty s rôznymi sankciami pri predčasnom výbere vkladu. Pri stabilizovanom finančnom trhu je úroková sadzba vkladu s dlhšou dobou viazanosti obyčajne väčšia. Nevýhodou pravda je dlhšia doba viazanosti.

Príklad 1. VÚB pri ročnom termínovanom vklade poskytuje úrokovú sadzbu 4%. Pri

predčasnom výbere sa znížia úroky z vyberanej sumy o 60 dní. V Istrobanke pri produkte 1-ročná maxiknižka poskytujú úrokovú sadzbu 4,2%. Pri predčasnom výbere sa úrokové sadzby z vyberanej sumy menia takto:

Doba uloženia od-do (počet dní) úrok. sadzba 0 – 29 0,00% 30 – 89 0,50% 90 – 179 1,00% 180 – 269 1,50% 270 – 364 2,00% 365 – 539 4,20%. Rodina Juraja Sporivého uložila do Istrobanky sumu 300 000 Sk na produkt 1-ročná

maxiknižka s tým, že peniaze nebudú počas celého roka vyberať. V priebehu roka však nečakane predajne áut značky Renault poskytli zľavu pri predaji typu Renault Thalia 20 000 Sk, pričom autá boli vybavené navyše klimatizáciou. Juraj Sporivý vybral po 260 dňoch všetky peniaze z Istrobanky a kúpil auto zo spomínanej akcie.

Bolo výhodnejšie pre rodinu Sporivých mať uložené peniaze vo VÚB alebo v Istrobanke?

Riešenie. Ak by mala rodina Sporivých uložené peniaze vo VÚB, tak by za nedodržanie uloženia mala úrok počítaný iba za 200 dní. Za rok by bola dostala úrok

PETER VRÁBEL

104 104

Sk 000124100

000300=⋅ , za 200 dní Sk 34,6575200

36500012

=⋅ . V Istrobanke podľa

tabuľky mala úročený vklad úrokovou sadzbou 1,5% a teda dostala úrok

.48,32053652605004 Sk =⋅

Pre rodinu Sporivých sa situácia vyvinula tak, že by bolo výhodnejšie mať uložené peniaze vo VÚB.

Príklad 2. Ak uvažujeme rovnaké finančné produkty z príkladu 1, pri akej dobe

výberu vkladu 300 000 Sk by bolo výhodnejšie uloženie peňazí v Istrobanke? Riešenie. Funkcia rozdielu úroku v Istrobanke a vo VÚB je definovaná na množine

(dní) { }365,2,1 , …=M nasledujúcimi predpismi:

(1) 0)( =xf pre { }29,,2,1 …∈x ,

(2) xxf ⋅=3655001)(

pre { }60,,31,30 …∈x ,

(3) )60(365

000123655001)( −−⋅= xxxf

pre { }89,,62,61 …∈x ,

(4) )60(365

000123650003)( −−⋅= xxxf

pre { }179,,91,90 …∈x ,

(5) )60(365

000123655004)( −−⋅= xxxf

pre { }269,,181,180 …∈x ,

(6) )60(365

000123650006)( −−⋅= xxxf

pre { }364,,271,270 …∈x ,

(7) .6000001260012)365( =−= f Treba riešiť nerovnicu 0)( >xf . V prípade (1) je v oboch bankách nulový úrok. Vyhovuje prípad (2). V prípade (3)

riešime po jednoduchej ekvivalentnej úprave nerovnicu 0)60(12015 >−− xx (teda

57,681052007,2007105 =<< xx ) na množine { }89,,62,61 … . Takto našej úlohe

vyhovujú aj dni výberu s číslom 61 až 68. Funkcia f je osobitne na množinách { }179,,91,90 … , { } , 269,,181,180 …

{ }364,,271,270 … klesajúca.

PERCENTÁ, ÚROKY, AKCIE

105

Dôležité hodnoty funkcie f:

f(30) = 123,29, f(60) = 246,58 , f(61) = 217,81, f(68) = 16,44, f(69) = -12,33 , f(89) = -587,67 , f(90) = –246,58 , f(179) = -2441,10 f(180) = -1726,03 ,

f(269) = -3554,80 , f(270) = -2465,75 , f(364) = -4011 , f(365) = 600. Našej úlohe teda vyhovujú výbery po dodržaní 30 až 68 dní uloženia vkladu a 365 dní.

Obchody často ponúkajú tovar v tzv. akciách. Na reklamnom letáčiku obchodu

MODERNA sme prečítali ponuku: za nákup akéhokoľvek tovaru okrem tričiek a pulóvrov poskytujeme zľavy: za nákup dvoch rovnakých kusov zľava 10% za nákup troch rovnakých kusov zľava 20% za nákup štyroch a viac kusov zľava 30% za nákup každých troch tričiek štvrté zdarma za nákup dvoch pulóvrov tretí zdarma za nákup v celkovej cene aspoň 2500 Sk zľava 40%. Príklad 3. V MODERNE sme nakúpili päť párov rovnakých ponožiek po 40 Sk, tri

košele po 350 Sk (nevšimli sme si, že jedna sa trochu líšila od ostatných dvoch rovnakých), štyri tričká po 90 Sk a dve rovnaké čiapky po 150 Sk. Koľko sme za nákup zaplatili a o koľko sme ušetrili za celý nákup (vyjadrite aj v percentách)?

Riešenie. Za ponožky sme zaplatili 200⋅0,7 = 140 Sk, za košele sme zaplatili 700⋅0,9 + 350 = 980 Sk, za tričká sme zaplatili 270 Sk ( iný variant posúdený výkladom predávajúceho: 360 a tričko zadarmo) a za čiapky 300⋅0,9 = 270 Sk. Za celý nákup sme zaplatili 140 + 980 + 270 + 270 = 1660 Sk.

Nákup bez zľavy by stál celkove 1910 Sk. Ušetrili sme teda 250 Sk, čo je približne 13,09%.

Príklad 4. Pani Kupecká nechcela pôvodne nakúpiť v MODERNE tovar za 2500 Sk.

Zľava 40% ju však lákala. Dohodla sa s priateľkou Peniažkovou, že spoja svoje finančné prostriedky a nakúpia tovar za 2500 Sk. Pani Kupecká vložila do spoločnej kasy 900 Sk a pani Peniažková 600 Sk. Dohodli sa, že obe nakúpia tovar za 1250 Sk. Ako sa majú spravodlivo vyrovnať?

Riešenie. Za kritérium spravodlivého rozdelenia môžeme považovať to, že poskytnuté zľavy (dosiahnuté zvýhodnenia) oboch priateliek budú v rovnakom pomere ako ich vložené peniaze, teda 3 : 2. Už predtým si spočítali, že ak kúpia celkove tovar za 2500 Sk, tak im bude stačiť 2500⋅0,6 = 1500 slovenských korún. Obe mali zľavu 1250⋅0,4 = 500 Sk. Spravodlivosti bude urobené zadosť, ak pani Peniažková dá pani Kupeckej takú čiastku, aby ich celkove ušetrené peniaze boli v pomere 3 : 2. Mali by sme vlastne riešiť rovnicu

23

500500

=−

+x

x .

Jej riešením dostávame, že pani Peniažková dá ako vyrovnanie pani Kupeckej 100 Sk, čo by sme pravda boli aj uhádli.

Poznámka. Spôsob vyrovnania v príklade 4 navrhla a presadila pani Peniažková.

Najjednoduchší spravodlivý spôsob vyrovnania by vzhľadom na nákup tovaru oboch

PETER VRÁBEL

106 106

priateliek v rovnakej hodnote bol, aby prispeli do spoločnej kasy rovnakou čiastkou. Toto by sa dosiahlo tak, že pani Peniažková dá pani Kupeckej 150 Sk. Pravda bola ale taká, že pani Peniažková do tejto spoločnej akcie nechcela ísť. Preto ju pani Kupecká prehovorila s tým, že sa vyrovnajú tak, ako navrhne priateľka. Pani Peniažková bola chodiaca kalkulačka. Spôsob vyrovnania možno nechať aj na diskusiu žiakov.

Príklady ďalších úloh

1. V obchode VARIANT poskytujú pri predaji pulóvrov rovnakú zľavu ako v Moderne. Za celkový nákup viac ako 2000 Sk dávajú zľavu 30%. Ak nakúpime sedem pulóvrov po 300 Sk, pri uplatnení ktorej zľavy ušetríme viac?

2. V MODERNE s hore uvedenou akciou chceme nakúpiť buď štyri rovnaké košele po 400 Sk, alebo v celkovej cene 1600 Sk osem tričiek po 80 Sk a tri pulóvre po 320 Sk. Pri ktorom nákupe by sme viac ušetrili?

3. V MODERNE chceme kúpiť tri rovnaké kravaty po 250 Sk a dve rovnaké saká po 900 Sk. Priateľ by chcel, aby sme mu kúpili jednu takú istú kravatu a jedno také isté sako, ale aby sme to zaplatili spolu kvôli väčšej zľave. Na- vrhnite spôsob „spravodlivého“ vyrovnania.

doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected]

Recenzent: RNDr. Marta Urbaníková, CSc. e-mail: [email protected]



107

VYUČOVANIE PRAVDEPODOBNOSTI A ŠTATISTIKY S DÔRAZOM NA ICH APLIKÁCIE

MARTA VRÁBELOVÁ

Abstract. The questions related to the teaching probability and statistics at the junior school and at the high school with emphasis to the knowledge utilization in the real live are discussed in this paper.

1 Obsah vyučovania pravdepodobnosti a štatistiky na ZŠ a gymnáziách

Učebné osnovy z matematiky pre 5. - 9. ročník základnej školy (z r. 1997), v súlade so svetovým trendom, obsahujú aj propedeutiku kombinatoriky, štatistiky a pravdepodobnosti (6. ročník - Kombinatorika v úlohách (10 h), 7. ročník - Kombinatorika (6 h), 8. ročník - Kombinatorika a pravdepodobnosť (7 h), 9. ročník - Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika (7 h)).

Obsah učiva v 8. ročníku je nasledovný: Pravdepodobnostné pokusy. Početnosť. Relatívna početnosť. Výpočet relatívnej

početnosti. Využívanie kombinatorických poznatkov žiakov pri výpočte relatívnej početnosti.

Obsah učiva v 9. ročníku: Štatistický súbor, jednotka, znak, početnosť javu, výpočet aritmetického priemeru,

relatívna početnosť, pravdepodobnosť. Riešenie úloh s pravdepodobnostnou tematikou. Osnovy pre osemročné gymnáziá obsahujú kombinatoriku vo 4. a 6. ročníku

a štatistiku v 8. ročníku, ktorej obsah tvorí: Štatistický súbor. Početnosť, skupinové rozloženie početnosti Charakteristiky

štatistického súboru, charakteristiky polohy, charakteristiky variability. Korelačný koeficient.

2 Ako sa vedomosti z pravdepodobnosti a štatistiky prejavili v praxi

Na www stránke [3] sa môžme dozvedieť ako Slovensko obstálo v hodnotení PISA, čo je Program medzinárodného hodnotenia žiakov, najväčší a najdôležitejší pedagogický výskum výsledkov vzdelávania na svete. V trojročných cykloch v krajinách OECD a ďalších partnerských krajinách skúma vedomosti a zručnosti 15-ročných žiakov. Tento výskum je zameraný skôr na zručnosti a ich aplikáciu pri riešení reálnych problémov. Slovensko sa do tohto testovania prvýkrát zapojilo až v druhom cykle, teda v roku 2003. Zúčastnili sa ho žiaci narodení v r. 1987, teda tí, ktorí mali byť vyučovaní podľa vyššie uvedených osnov. Slovensko v oblasti matematickej gramotnosti dosiahlo priemernú úroveň a slabinou boli práve úlohy, ktoré súvisia najmä s používaním a interpretáciou pravdepodobnostných pojmov. Z toho vyplýva, že aj keď sa pravdepodobnosť a štatistika na ZŠ učí, pravdepodobne vyučovanie tohto učebného celku nemá dostatočnú úroveň a nie je dostatočne zamerané na aplikáciu pravdepodobnosti a štatistiky pri riešení reálnych problémov.

MARTA VRÁBELOVÁ

108 108

Uvedená www stránka [3] obsahuje aj niekoľko námetov pre vyučovanie tejto v oblasti, ktoré teraz uvedieme.

Pri vyučovaní štatistiky by bolo dobré zaraďovať úlohy na čítanie údajov z grafov, tabuliek a diagramov, ktoré vychádzajú z reálneho života, boli získané meraním, výskumom, prieskumom a pod., a zaraďovať aj také úlohy, ktoré nevyžadujú výpočet, ale vyvodenie záverov z graficky zadaných štatistických údajov, napríklad porovnávanie dvoch alebo viacerých grafov, tabuliek alebo diagramov, v prípade grafov aj porovnávane takých grafov, ktoré sú dané v rôznych mierkach, štatistiku by bolo treba zaradiť (spolu s kombinatorikou a propedeutikou pravdepodobnosti) aj do nižších ročníkov ZŠ, napr. do piateho alebo šiesteho; podobne v stredných školách do prvého ročníka a v osemročných gymnáziách do povinného základného učiva (v súčasnosti patrí len do rozširujúceho učiva), z časového hľadiska do kvinty. Pri vyučovaní pravdepodobnosti by sa malo v ZŠ postupovať tak, aby žiak nemusel počítať pravdepodobnosť nejakého javu, ale aby chápal, čo znamená, že nejaký jav má napr. 30-percentnú pravdepodobnosť, aby vedel porovnať, ktorý z dvoch javov je pravdepodobnejší, aby vedel správne usúdiť, či zmenou jednotlivých činiteľov, ktoré pravdepodobnosť javu ovplyvňujú, sa pravdepodobnosť zväčší alebo zmenší.

3 Zmena prístupu k vyučovaniu pravdepodobnosti a štatistiky

Slovenskí učitelia si potrebu zmeny prístupu k vyučovaniu, nie len pravdepodobnosti a štatistiky, uvedomujú. Napr. Marián Lapitka na www stránke [4] v článku Pretrvávajúce nejasnosti okolo výkonových štandardov presadzuje autentické učenie, pri ktorom sa žiaci učia čo najviac na reálnych situáciách života pre reálny život to, čo žiak bude v živote potrebovať, a takým spôsobom ako to bude v živote potrebovať. Poznanie, ktoré žiak v škole získa, nemá slúžiť na to, aby bolo odprednášané a odskúšané, ale na to, aby bolo použité v reálnom živote.

Na stránke [4] je popísaný aj jeden pokus o zmenu vyučovania pravdepodobnosti prostredníctvom projektového vyučovania. Článok má názov O skúsenosti s projektovým vyučovaním a jeho autorkou je Eva Rosíková. Autorka píše, že projektové vyučovanie by malo byť aplikačne orientované, projekt musí vychádzať z problému reálneho života Tento by mal byť mierne nad sily žiakov, ale zároveň by mal byť pre nich výzvou (na otestovanie vlastných schopností či invencie). Mal by byť čímsi výnimočný, s otvoreným koncom, na jeho vyriešení by mali byť žiaci doslova osobne zainteresovaní (napríklad aj tým, že na záver budú musieť svoje návrhy obhájiť pred ostatnými). Ako tému projektu si autorka vybrala hazardné hry. Projekt bol zrejme vydarený. Musíme priznať, že aj hazardné hry patria do reálneho života a teda išlo o aplikácie pravdepodobnosti, a metóda, pomocou ktorej sa žiaci dopracovali k pravdepodobnostným pojmom bola pre nich iste zaujímavá. Avšak úlohy riešené na vyučovaní boli typické úlohy teórie pravdepodobnosti (guľky, kocky, zámky,..), ktoré poznáme z prednášok resp. kníh prof. Płockého (pozri napr. [1]).

Novým prístupom k vyučovaniu pravdepodobnosti sa zaoberá článok From Frequency to Probability. Some Questions posed by the new French senior high school Curricula, ktorého autorom je Bernard Parzysz ([5]). Autor odporúča vychádzať zo štatistickej definície pravdepodobnosti. Začať však treba generovaním výsledkov pokusov, ktoré majú rovnakú pravdepodobnosť, overiť, že relatívne početnosti konvergujú k pravdepodobnosti. Potom na základe opakovaných pokusov skúmať relatívnu početnosť javu A a na základe skúsenosti s pokusmi s rovnako pravdepodobnými javmi usúdiť, že aj v tomto prípade pri veľkom počte pokusov relatívna početnosť odhaduje pravdepodobnosť daného javu. Takýto postup zavedenia pravdepodobnosti tiež nie je nový, použila ho napr. Ventceľová


109

vo svojej knihe [2]. Autor článku ďalej podotýka, že tento proces prináša niektoré didaktické problémy. Zdá sa, že ani vo Francúzku nie je jasné ako pravdepodobnosť a štatistiku učiť, aby študenti získali dobrý teoretický pohľad na reálne existujúce problémy.

4 Príklady

Úlohy na čítanie údajov z grafov, tabuliek a diagramov, ktoré vychádzajú z reálneho života možno vytvoriť z rôznych štatistík, napr. zo Štatistickej ročenky SR. Uvedieme aspoň dve jednoduché úlohy.

Úloha 1. Graf 1 obsahuje histogram intervalového rozdelenia početností veku mužov a veku žien žijúcich v SR v roku 2006.

a) Je viac mužov alebo žien mladších ako 30 rokov?

b) Je viac mužov alebo žien starších ako 60 rokov?

c) V akej vekovej kategórii je približne rovnako veľa mužov a žien?

d) Najviac ľudí bolo v akej vekovej kategórii? Asi koľko ich bolo?

e) V akej vekovej kategórii bol najväčší rozdiel v počte mužov a žien? Asi o koľko?

Histogram rodelenia početností veku mužov a žien v SR v roku 2006

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

05 –

9

15 –

19

25 –

29

35 –

39

45 –

49

55 –

59

65 –

69

75 –

7990

-94

95 - 9

9

vek

poče

tnos

ť Vek mužovVek žien

Graf 1 Vek mužov a žien

Úloha 2. Graf 2 obsahuje údaje o vekovom zložení obyvateľstva ku koncu roku 1994

a roku 2004. a) Asi koľko 60 ročných ľudí bude v SR v roku 2014? b) Porovnaj počet 25-29 ročných mužov v roku 2006 (z grafu 1) a v roku 1994 (z

grafu 2).

MARTA VRÁBELOVÁ

110 110

c) Je väčšia pravdepodobnosť, že sa muž dožije 80 rokov, alebo, že sa žena dožije 80 rokov?

d) Je väčšia pravdepodobnosť, že sa narodí chlapec, alebo že sa narodí dievča? e) Platí pre niektorú vekovú kategóriu, že počet ľudí tohto veku sa zvýšil v roku 2004

oproti roku 1994 o viac ako o 100%?

Graf 2 Zdroj: Štatistická ročenka Slovenskej republiky 2005


111

LITERATÚRA

[1] Płocki, A.: Pravděpodobnost kolem nás. Počet pravdepodobnosti v úlohách a problémech, Acta Universitatis Purkynianae 68, Studia Matematica IV, Ústí nad Labem, 2001

[2] Ventceľová, J. S.: Teória pravdepodobnosti, Alfa, Bratislava, 2007

[3] http://www.cpvp.sk/dokumenty/pisa.pdf (10.10.2007)

[4] http://rozhlady.pedagog.sk/cisla/pr2-2001.pdf (10.10.2007)

[5] http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/publications/3/3193.pdf (10.10.2007)

[6] Štatistická ročenka Slovenskej republiky 2005, Štatistický úrad Slovenskej republiky, Veda, Bratislava, 2005

Doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc. Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 01 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: RNDr. Marta Urbaníková, CSc. e-mail: [email protected]



113

RIEŠENIE SLOVNÝCH ÚLOH S VYUŽITÍM ZLOŽENEJ TROJČLENKY

JÚLIA ZÁHORSKÁ

Abstract. In the article we deal with the tasks formulated verbally which can be solved with the use of knowledge about the composite rule of proportion. The procedures are suitable for students from 7th till 9th grade of elementary schools with average mathematical competence.

Slovné úlohy v učive matematiky umožňujú aplikovať teoretické vedomosti na

praktických situáciách. Overujú hĺbku pochopenia učiva. Často sú dôležitým motivačným prvkom vo vyučovacom procese. Prax ukazuje, že žiakom robia často problémy. Majú dostatok teoretických vedomostí, ale nevedia nájsť vhodný spôsob na vyriešenie konkrétnej praktickej situácie. V tomto zmysle by sme mohli, na základe vlastnej dlhoročnej praxe vyučovania matematiky na základnej škole, rozdeliť žiakov do troch skupín:

do prvej skupiny žiakov, ktorí nemajú problémy s pochopením úloh a samostatne, alebo len s malou pomocou, dokážu riešiť na základe logického úsudku aj praktické resp. aplikačné úlohy,

do druhej skupiny žiakov, ktorých logické myslenie nie je na takej úrovni, aby samostatne vyriešili úlohy s kontextom v každodennom živote, ale, poznajúc algoritmy riešenia, sú schopní rozpoznať situácie, kde môžu nacvičené algoritmy aplikovať s malou pomocou alebo bez pomoci úlohy vyriešiť,

do tretej skupiny patria žiaci, ktorí k riešeniu slovných úloh potrebujú výdatnú pomoc a aj tak často nie sú schopní takéto situácie samostatne vyriešiť.

My sa budeme venovať v tomto článku druhej skupine žiakov a poukážeme na možnosť, ako môžu aj oni zvládnuť riešenie slovných úloh na zloženú trojčlenku.

Žiaci 7. ročníka základnej školy sa v matematike v 5. tematickom celku: „Pomer. Priama nepriama úmernosť“ učia využívať teoretické poznatky o pomere a úmernosti v riešení rôznych úloh. Ide o úlohy jednoduchšie, ako napríklad rozdelenie nejakých celkov v určitom pomere. V učebniciach a zbierkach úloh sa vyskytujú aj zložitejšie úlohy. K nim patria také, ktoré si vyžadujú pochopenie rozdielov medzi priamou a nepriamou úmernosťou a správne použitie algoritmov riešenia. Úspešnosť v riešení je podmienená schopnosťami žiakov a množstvom času, ktoré venovali naučeniu a precvičeniu potrebných postupov. V učebniciach matematiky pre základné školy je uvedené množstvo príkladov na pochopenie a precvičenie štandardných úloh. Štandardné úlohy možno riešiť mechanicky použitím algoritmu. Ďalšie typy štandardných úloh umožňujú overiť, či žiaci ovládajú pojmy, základné vzťahy, postupy, symboly a ich význam. Neštandardné úlohy môže žiak vyriešiť na základe myslenia, tvorivosti, dobrého nápadu. Často ide o originálne riešenia. Tieto úlohy bývajú zaujímavejšie, ich riešenie prináša aj nové spôsoby riešenia úloh. Pomocou nich sa rozvíjajú poznávacie schopnosti žiakov. (Fulier, J., Šedivý, O., 2001)

Ako je to s riešením slovných úloh s využitím zloženej trojčlenky v základných školách? Učebné osnovy matematiky pre 5. až 9. ročník základnej školy (1997) v obsahu

JÚLIA ZÁHORSKÁ

114 114

5. tematického celku: „Pomer. Priama a nepriama úmernosť“ majú v základnom učive uvedenú aj jednoduchú a zloženú trojčlenku. Rovnako aj „Vzdelávací štandard s exemplifikačnými úlohami z matematiky pre 2. stupeň základnej školy (2002) uvádza v 6. časti jednoduchú a zloženú trojčlenku. V ďalšej časti uvádzame príklady a ich riešenia, v ktorých je možnosť použiť vedomosti o zloženej trojčlenke, s uvedením zdroja.

1 Monitor 9 – 2007, testová forma A (hlavné testovanie), úloha č. 16: Znenie úlohy: Desať rovnakých nákladných áut odvezie na stavbu priehrady za 3

pracovné dni 240 t betónu. O koľko ton betónu viac odvezie na stavbu priehrady sedem nákladných áut za 5 dní?

Žiaci si mohli vybrať z odpovedí: A 40

B 56 C 48

D 168 Riešenie: 1. krok 2. krok 10 áut..........3 dni........240 ton 10 áut ......5 dní.......400 ton 7 áut........↑...5 dní.........x ton ↑ ↑ 7 áut........ 5 dní..........y ton

X = ( 5 . 240 ) : 3 y = ( 7 . 400 ) : 10 X = 400 ton y = 280 ton

3. krok: 280 – 240 = 40

Správna odpoveď: A Na tomto príklade sme ukázali, že riešenie takejto pomerne zložitej úlohy, môže

zvládnuť aj žiak s priemernými schopnosťami, použitím daného algoritmu. Učitelia matematiky mali výhrady k zaradeniu tohto príkladu do Monitora 9 – 2007. Výhrady je možné vzhľadom k tomu, že náročnosť riešenia úlohy je v súlade s učebnými osnovami a vzdelávacím štandardom, považovať za neopodstatnené. Vyhodnocovacia správa Monitora 9 2007 zatiaľ nie je k dispozícii, celkovú úspešnosť riešenia úlohy zatiaľ verejnosť nemá k dispozícii.

2 Vzdelávací štandard s exemplifikačnými úlohami z matematiky pre 2. stupeň

základnej školy (2002, s. 44): a) Úloha: Dvanásť robotníkov zarobilo na stavbe za 10 dní 60 000 Sk. Koľko zarobí pri

rovnakom priemernom dennom plate 14 robotníkov za 8 dní? Riešenie: 1. krok: 2. krok: 12 robotníkov.......10 dní.......60 000 Sk 12 robotníkov ......8 dní.......48 000 Sk 14 robotníkov.......↑.8 dní...........x Sk ↑ ↑ 14 robotníkov ......8 dní..........y Sk ↑ X = ( 8 . 60 000 ) : 10 y = ( 14 . 48 000 ) : 12 X = 48 000 Sk y = 56 000 Sk

Odpoveď: 14 robotníkov zarobí za daných podmienok 56 000 Sk.


115

b) Úloha: Z nádrže vytečie 100 hl vody 3 rovnakými rúrami za 8 hodín. Koľko hektolitrov vody vytečie 4 takými istými rúrami za 10 hodín? Riešenie:

1. krok: 2. krok: 100 hl vody.......3 rúry..........8 hodín 400/3 hl vody ......4 rúry.......8 hodín ↑ x hl vody........4 rúry ↑......10 hodín ↑ y hl vody...... 4 rúry......10 hodín ↑ X = (100 . 4) : 3 y = ( 400/3 . 10 ) : 8 X = 400/3 hl vody y = 500/3 hl

Odpoveď: Štyrmi takými rúrami vytečie za 10 hodín 500/3 hl vody, čo je približne 167 hl. 3 Učebnica matematiky pre 8. ročník základnej školy, 1. časť (2002, s. 19): Cvičenie: V Kanade na meranie objemu používali jednotky gallon a pint. Pint (pt) má 8

gallonov (gal) a gallon má objem 4,5 l. Farmár predal 500 000 pint pšenice. Koľko m3 pšenice predal? Riešenie:

1. krok: 1 pint................. 8 gallonov....... X m3 pšenice

↑. 1 gallon............4,5 l = 0,0045 m3 pšenice ↑ 500 000 pint.......... ........................ y m3 pšenice X = ( 8 . 0,0045 ) : 1 X = 0,036 m3 pšenice 2. krok: 1 pint ..................0,036 m3 pšenice ↑ 500 000 pint.........y m3 pšenice ↑ y = ( 500 000 . 0,036 ) : 1 y = 18 000 m3 pšenice

Odpoveď: Farmár predal 18 000 m3 pšenice. Komentár: Takéto riešenie nie je optimálne, vyhovovalo by viac riešenie úsudkom.

Uvedené riešenie je len jednou z možností. 4 Učebnica matematiky pre 9. ročník základnej školy, 2. časť (2004, s. 105-106): a) Cvičenie: 800 grošov má rovnakú hodnotu ako 100 dukátov. 100 grošov má rovnakú

hodnotu ako 250 toliarov. Koľko dukátov má rovnakú hodnotu ako 100 toliarov? Riešenie: 1. krok: 800 grošov..................... 100 dukátov.............. ↑ 100 grošov...................... X dukátov.... ↑..........250 toliarov .......................................... y dukátov.................100 toliarov X = ( 100 . 100 ) : 800 X = 12,5 dukátov 2. krok: 12,5 dukátov ..................250 toliarov ↑ y dukátov.......................100 toliarov ↑ y = ( 12,5 . 100 ) : 250 y = 5 dukátov

Odpoveď: 5 dukátov má rovnakú hodnotu ako 100 toliarov.

JÚLIA ZÁHORSKÁ

116 116

b) Cvičenie: Deti si medzi sebou vymieňali ceruzky, gumy a perá tak, že za 15 ceruziek boli dve perá a za 2 gumy boli 3 ceruzky. Koľko gúm bolo za jedno pero?

Riešenie: 1. krok: 15 ceruziek....................... 2 perá.............. ↑ 3 ceruzky.........................X pier....↑..........2 gumy ...........................................1 pero.................y gúm X = ( 3 . 2 ) : 15 X = 0,4 pera 2. krok: 0,4 pera ..................2 gumy ↑ 1 pero.....................y gúm ↑ y = ( 1 . 2 ) : 0,4 y = 5 gúm

Odpoveď: Za jedno pero bolo 5 gúm. Komentár: 0,4 pera je nereálny údaj, v tomto príklade ho možno akceptovať ako

vyjadrenie jeho hodnoty a tak to vysvetliť aj žiakom. c) Cvičenie: Z jedného hektára sa pozbieralo 3000 kg raže, z čoho sa potom namlelo 2

500 kg múky. Z troch kilogramov múky sú štyri kilogramy chleba. Vypočítajte, na koľkých štvorcových metroch pôdy sa urodilo také množstvo raže, ktoré je potrebné na jeden dvojkilogramový bochník chleba?

Riešenie: 1. krok: 1 hektár = 10 000 m2 pôdy........3000 kg raže........... 2 500 kg múky.............. 3 kg múky...............4 kg chleba y m2 pôdy............................................................... ↑ X kg múky ..........2 kg chleba ↑ X = ( 3 . 2 ) : 4 X = 1,5 kg múky 2. krok: 10 000 m2 pôdy ..................2 500 kg múky ↑ y m2 pôdy ..........................1,5 kg múky ↑ y = ( 10 000 . 1,5 ) : 2 500 y = 6 m2

Odpoveď: Potrebné množstvo raže sa urodilo na 6 m2 pôdy.

5 Matematika. Príklady na prijímacie skúšky na stredné školy (2002, s. 6): Úloha: Päť sliepok znesie za 6 dní 7 vajíčok. Koľko vajíčok znesie 9 sliepok za 10 dní? Riešenie: 1. krok: 2. krok: 5 sliepok........6 dní..........7 vajíčok 5 sliepok ......10 dní.......35/3 vajíčok 9 sliepok......↑ 10 dní....... x vajíčok ↑ ↑ 9 sliepok......10 dní...........y vajíčok ↑ X = (10 . 7) : 6 y = ( 35/3 . 9 ) : 5 X = 35/3 vajíčok y = 21 vajíčok


117

Odpoveď: 9 sliepok znesie za 10 dní 21 vajíčok. Komentár: Pri riešení tohto príkladu je potrebné upozorniť žiakov, že 35/3 vajíčka je

nereálny počet vajíčok a jednotlivé číselné údaje by mali byť dané tak, aby sa takéto nereálne údaje nevyskytli ani v priebehu riešenia úlohy. V tejto zbierke príkladov sa nachádza ešte jedna slovná úloha na zloženú trojčlenku, ktorá však už bola uvedená ( o grošoch...).

V uvedených zdrojoch sa prakticky nenachádza viac príkladov, ktoré je možné riešiť

s využitím zloženej trojčlenky. Dostupná literatúra je na tento typ úloh chudobná. Je na učiteľovi, aké úlohy si vytvorí sám. Vhodné je zaradenie úloh s využitím priamej i nepriamej úmernosti v jednej úlohe. Napríklad využitie vzťahu maliari – množstvo vykonanej práce – čas.

Načrtli sme možnosť, ako úlohy uvedeného typu riešiť zloženou trojčlenkou. Učiteľ sa však rozhoduje v závislosti od schopností žiakov a jeho majstrovstvo sa ukáže, ak sa mu podarí naučiť riešiť zložitejšie praktické úlohy aj žiakov menej matematicky zdatných.

LITERATÚRA

[1] Fulier, J., Šedivý, O. 2001. Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky. Nitra: UKF FPV, 2001. 270 s. ISBN 80-8050-445-8.

[2] Hrdina, Ľ., Maxian, M. 2002. Matematika. Príklady na prijímacie skúšky na stredné školy. Bratislava: SPN, 2002. 202 s. ISBN 80-08-03319-3.

[3] Šedivý, O. a kolektív. 2002. Matematika pre 8. ročník základných škôl, 1. časť. Bratislava: SPN, 2002. 143 s. ISBN 80-08-03441-6.

[4] Šedivý, O. a kolektív. 2004. Matematika pre 9. ročník základných škôl, 2. časť. Bratislava:

[5] SPN, 2004. 142 s. ISBN 80-10-00397-2.

[6] Učebné osnovy: Matematika pre 5. až 9. ročník základnej školy. 1997. Bratislava: MŠ SR,

[7] 1997. Výmer č. 1640/1997-151. Platnosť od 1. 9. 1997.

[8] Vzdelávací štandard s exemplifikačnými úlohami z matematiky pre 2. stupeň základnej školy.

[9] 2002. Bratislava: MŠ SR, 2002. Číslo 117/2002-41. Platnosť od 1. 9. 2002.

Mgr. Júlia Záhorská Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD. e-mail: [email protected]



119

AKÉ SÚ SCHOPNOSTI ŽIAKOV APLIKOVAŤ VYBRANÉ MATEMATICKÉ NÁSTROJE V STREDOŠKOLSKÝCH ÚLOHÁCH?

LUCIA ZÁHUMENSKÁ

Abstract. The term “mathematical tools” is an umbrella term for plenty of such mathematical tricks, which can be used effectively while solving mathematical problems of various kinds. In this article we provide the results of research aimed at detection of the level of abilities of students to apply such tools within the process of solving mathematical tasks of different types.

1 Úvod

Problémy nie je možné riešiť bez vedomostí. Mnohí študenti však vyriešia iba rovnaké alebo podobné úlohy, aké už videli vyriešené, respektíve ktoré už niekedy sami riešili, kým iní študenti sa i pri pre nich neznámych a dosiaľ neriešených matematických problémoch pokúsia „vymyslieť“ riešenie danej úlohy len s pomocou ich aktuálnych vedomostí a schopností. Podobný kreatívny prístup by mali študenti zaujímať i pri používaní matematických stratégií, taktík a nástrojov – využívať nielen svoje poznatky, ale aj matematický dôvtip, svojím riešením nielen mechanicky kopírovať naučený postup, ale vedieť aj dôkladne rozanalyzovať matematické situácie a byť invenčný. Takéto zručnosti a ich aplikovanie samozrejme súvisia s dostatkom skúseností a dobrou znalosťou matematiky. Nejde však iba o znalosť štandardných riešení, ale aj o efektívne experimentovanie s jednoduchými technikami riešenia, pokusy urobiť rozumné algebrické úpravy, a podobne. Na zistenie takýchto schopností u žiakov, respektíve ich úrovne, bol zameraný aj výskum popísaný na nasledujúcich stranách. Jeho cieľom bolo zistiť, či žiaci štvrtého ročníka gymnázia poznajú metódy riešenia úloh využívajúce dva matematické nástroje pripočítaj nulu4 a násobenie jednotkou5, nakoľko sú schopní tieto špecifické matematické metódy sami aplikovať, a či za pomoci tejto techniky dokážu dospieť aj ku konečnému výsledku úlohy. Popri uvedených primárnych cieľoch bol výskum zameraný aj na diagnostikovanie úrovne schopnosti žiakov matematizovať problém, prepájať poznatky z jednotlivých tematických celkov, ako aj preveriť odhad študentov a ich zručnosť v práci s číslami i zložitejšími matematickými výrazmi.

Realizácia výskumu

Výskumu sa zúčastnili tri triedy gymnázia (70 študentov štvrtého ročníka). Vzorka výskumu bola špecifická tým, že v jednej zo zapojených tried vyučuje matematiku iný pedagóg ako vo zvyšných dvoch triedach, ktoré sa výskumu zúčastnili. Každý z vyučujúcich pritom uplatňuje iné vyučovacie metódy a na vyučovaní uprednostňuje iný

4 Princíp tohto matematického nástroja spočíva v pripočítaní a následnom odpočítaní rovnakého čísla, respektíve členu od základného výrazu, čo riešiteľovi umožní upraviť daný výraz do jednoduchšieho, alebo z hľadiska riešenia úlohy výhodnejšieho tvaru. 5 Ide o multiplikatívnu analógiu nástroja pripočítaj nulu, ktorá má podobu vynásobenia daného výrazu číslom jeden vo vhodnom tvare tak, aby sa riešenie problému zjednodušilo; t.j. aby sa napríklad určitý výraz eliminoval, alebo aby sa celkový výraz upravil z hľadiska riešenia do výhodného tvaru.

LUCIA ZÁHUMENSKÁ

120 120

spôsob riešenia úloh, ktoré boli zvolené ako úlohy určené pre žiakov na vyriešenie. Očakávalo sa preto, že tieto rozdiely sa prejavia aj v samotných výsledkoch, ktoré študenti v rámci výskumu dosiahnu, pričom táto hypotéza sa napokon, ako je uvedené ďalej, aj potvrdila. Výskum sa uskutočnil v priebehu jedného dňa v každej z tried samostatne počas jednej vyučovacej hodiny, t.j. študenti mali k dispozícii 45 minút na písomné vypracovanie riešenia nasledujúcich štyroch úloh, z ktorých dve boli zamerané na aplikovanie matematického nástroja pripočítaj nulu, a dve na použitie matematického nástroja násobenie jednotkou:

Úloha č. 1 Akú rovnicu bude mať kružnica 02168: 22 =+−−+ yxyxk , ak ju zobrazíme

v stredovej súmernosti so stredom v bode [ ]2,1=P ? Úloha č. 2 Bez vyčísľovania odmocnín zistite, či číslo:

1234

3214

−−+

++=S

je kladné alebo záporné. Vypočítajte ho! Akými spôsobmi by bolo možné úlohu riešiť? Úloha č. 3 Ktorá z uvedených funkcií má jednu z asymptot rovnakú ako funkcia

173:

+−

=xxyg ?

a) 1310:1 −

−=

xxyf b)

73:2 +

−=

xxyf c)

113:3 −

−=

xxyf

Uveďte, aké spôsoby riešenia tejto úlohy poznáte. Úloha č. 4 Bol raz jeden výnimočný rod trpaslíkov. Jeho najstarším, a zároveň najvyšším, 1

meter vysokým členom bol staručký trpaslík Bilbo. Všetci ostatní trpaslíci boli od neho nielen mladší, ale aj nižší. Ba čo viac, trpaslík – kronikár prišiel pravidelným meraním na

to, že každý novonarodený trpaslík má výšku iba −−2

13násobku výšky

predchádzajúceho člena rodu. Zdesil sa - hrozí trpasličiemu rodu zánik? Mohol by určiť, ako vysoko by dosiahol súčasný najmladší trpaslík rodu, keby sa všetci trpaslíci od najstaršieho po najmladšieho postavili na seba? Ak áno, dosiahol by vyššie ako do výšky troch metrov?

Posudzovanie žiackych prác pozostávalo, ako už bolo uvedené, z hodnotenia viacerých

faktorov. Znalosť, respektíve neznalosť testovaných matematických nástrojov sa prejavila nielen v odpovediach študentov na otázky v druhej a tretej úlohe, ale predovšetkým v samotných postupoch ich riešení. Hoci totiž niektorí žiaci nevedeli matematické nástroje presne pomenovať, dokázali ich popísať a pri riešení zadaných úloh aj použiť. Svedčí to o tom, že majú vedomosť o ich existencii (hoci nie exaktne definovanú) a v prípade

AKÉ SÚ SCHOPNOSTI ŽIAKOV APLIKOVAŤ VYBRANÉ MATEMATICKÉ NÁSTROJE…

121

potreby ich vedia uplatniť. Počet žiakov, ktorí tieto techniky riešenia poznajú, tak na základe dôkladnej analýzy žiackych prác dosiahol hodnoty uvedené v Grafe 1.

Pripočítaj nulu

4564%

2536%

Poznajú matematický nástrojNepoznajú matematický nástroj

Násobenie jednotkou

5173%

1927%

Graf 1. Prehľad znalosti matematických nástrojov u respondentov.

Ďalej, úlohy č. 2 a č. 3 sú riešiteľné rôznymi spôsobmi. Okrem toho, či študenti

poznajú matematické nástroje ako spôsob riešenia týchto úloh nás preto zaujímalo, aké ďalšie techniky ich riešenia poznajú. Práve tieto odpovede študentov (a okrem nich samozrejme aj celková úspešnosť vyriešenia úloh) odrážajú rôzny metodický prístup vyučujúcich matematiky výberového súboru. Zhrnutie týchto odpovedí žiakov preto kvôli možnosti porovnania uvádzame dovedna pre triedy 8. D a 4. B (1. skupina), ale osve pre triedu 4. C (2. skupina) vedenú iným pedagógom matematiky (Graf 2).

3532

12

00

10

20

30

40

1. skupina 2. skupina

Úloha č. 2

Úprava na spoločného menovateľa

Usmernenie zlomkov

21

30 29

13

0 00

10

20

30

40

1. skupina 2. skupina

Úloha č. 3

Riešenie použitím vzorca

Delenie mnohočlena mnohočlenom

Pripočítaj nulu

Graf 2. Odpovede žiakov na „teoretické“ otázky Úloh č. 2 a č. 3

Ako je vidieť z uvedeného znázornenia, študenti 1. skupiny poznajú pre druhý príklad jeden až dva možné postupy riešenia, t.j. riešenie usmernením zlomkov alebo úpravou na spoločného menovateľa, a pre tretí jeden až tri spôsoby, ktorými je možné dospieť

LUCIA ZÁHUMENSKÁ

122 122

k odpovedi na otázku úlohy – doplnením výrazu v čitateli a následným rozkladom lomeného výrazu na súčet konštanty a nepriamej úmernosti, vydelením mnohočlena mnohočlenom, alebo využitím koeficientov v zápise lineárnych lomených funkcií za účelom odvodenia rovníc asymptot. Tento údaj je však pre nás zaujímavý predovšetkým z hľadiska porovnania – kým žiaci týchto tried uviedli v odpovedi na „teoretickú“ otázku druhej úlohy jeden až dva (respektíve v prípade Úlohy č. 3 jeden až tri) možné postupy riešenia alebo žiaden, t.j. úlohu nevedeli vyriešiť; študenti z 2. skupiny výberového súboru v odpovedi na otázku druhej úlohy (ak na ňu pravda vedeli odpovedať) uviedli zhodne iba možnosť výpočtu úpravou na spoločného menovateľa (hoci dvaja žiaci sa pri riešení pokúsili použiť aj násobenie jednotkou, z toho jeden úspešne) a v prípade tretej úlohy

rovnako iba jeden spôsob riešenia – využitím „vzorcov“ pre rovnice asymptot cdx −= ,

cay = . To sa samozrejme následne prejavilo aj vo voľbe metódy riešenia - žiaci, ktorí

poznajú iba jeden spôsob riešenia úlohu mohli riešiť iba touto metódou, ostatní si mohli vybrať z im známych tú, ktorá im vyhovuje najviac. Preferované postupy riešenia pre dané Úlohy č. 2 a č. 3 v dvoch menovaných skupinách vystihujú Grafy 3 a 4:

1. skupina

33%

52%

15%

Úprava naspoločnéhomenovateľaUsmerneniezlomkov

Nevedelivypočítať

2. skupina

44%

8%

48%

Graf 3. Prehľad metód, ktorými žiaci riešili Úlohu č.2

1. skupina

24%

28%37%

11%

Riešeniepoužitím vzorca

DeleniemnohočlenamnohočlenomPripočítaj nulu

Nevedelivypočítať

2. skupina

52%

0%0%

48%

Graf 4. Prehľad metód, ktorými žiaci riešili Úlohu č. 3

Ak ďalej vezmeme do úvahy celkovú úspešnosť vyriešenia druhého a tretieho matematického problému týmito skupinami (Grafy 5 a 6), je zrejmé, že vyššiu dosiahli žiaci so znalosťou väčšieho počtu techník riešenia; t.j. 1. skupina.


123

15

24

15

17

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Použili uvedenýpostup

Získali správnyvýsledok

Úloha č. 2

Usmernenie zlomkov


11

13

17

9

13

17

0%

20%

40%

60%

80%

100%



Úloha č. 3

Pripočítaj nulu

Delenie mnohočlena mnohočlenom


Graf 5. Úspešnosť žiakov 1. skupiny pri riešení Úloh č. 2 a č. 3 jednotlivými metódami

11

2

51

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Použiliuvedenýpostup

Získalisprávnyvýsledok

Úloha č. 2

Usmernenie zlomkov


13

12

9

16

0%

20%

40%

60%

80%

100%



Úloha č. 3


Graf 6. Úspešnosť žiakov 2. skupiny pri riešení Úloh č. 2 a č. 3 jednotlivými metódami

LUCIA ZÁHUMENSKÁ

124 124

Okrem práve zhodnotených dvoch úloh žiaci však v rámci výskumu riešili ďalšie dva matematické problémy. Pri ich riešení sa spravidla aplikuje jeden zaužívaný postup, a preto sú ďalšie výsledky skúmania uvádzané súhrnne pre celú výskumnú vzorku.

Úloha č. 1 študentom zjavne pôsobila najmenšie problémy a pomerne veľká časť z nich ju dokázala vyriešiť. Bez väčších ťažkostí až 90% všetkých študentov pritom aplikovalo zaužívaný postup úpravy všeobecnej rovnice kružnice; t.j. využili matematický nástroj pripočítaj nulu. Nie všetci z nich však už rovnako ľahko dospeli aj k riešeniu úlohy – žiaci, ktorí nedokázali prepojiť svoje poznatky z tematického celku Kužeľosečky a z tematického celku geometrie o stredovej súmernosti k výsledku nedospeli. Zdá sa preto, že títo žiaci použili pripočítanie nuly v tejto úlohe iba mechanicky, automaticky ako štandardný postup úpravy danej všeobecnej rovnice do stredového tvaru bez dôkladnejšej strategickej analýzy matematického problému, ktorý mali vyriešiť, a bez zamyslenia sa nad tým, čo vykonanou úpravou sledujú, respektíve získajú.

Poslednou úlohou, ktorú študenti riešili bola slovná úloha vedúca na výpočet súčtu nekonečného radu, pri výpočte ktorého bolo potrebné využiť matematický nástroj násobenie jednotkou. Ešte predtým však žiaci museli odhaliť typ matematického problému, separovať zo slovného zadania základné údaje a spomenúť si na potrebný vzťah – to znamená matematizovať slovnú úlohu. Dá sa povedať, že i v tejto úlohe boli žiaci relatívne úspešní – takmer 76% respondentov slovnú úlohu úspešne matematizovalo, takmer 63 % zúčastnených študentov aplikovalo matematický nástroj násobenie jednotkou a približne 56% aj získalo správny výsledok a odpovedalo na otázku úlohy, ktorú náležite zdôvodnili. Na základe týchto výsledkov sa teda dá povedať, že schopnosť žiakov matematizovať slovnú úlohu je na veľmi dobrej úrovni a na dobrej úrovni bola aj schopnosť žiakov aplikovať matematický nástroj násobenie jednotkou. Menej úspešní však už boli žiaci pri vykonávaní matematických operácií s iracionálnymi číslami, konkrétne s odmocninami, čo znížilo percento dosiahnutia správneho výsledku. Popísané výsledky žiakov v Úlohách č. 1 a č. 4 reprezentuje Graf 7.

63

45

0

10

20

30

40

50

60

70

Úloha č. 1

Použili matematický nástroj

Získali správny výsledok

53

4439

0

10

20

30

40

50

60

70

Úloha č. 4

Matematizovali slovnú úlohu

Použili násobenie jednotkou

Správny výsledok

Graf 7. Úspešnosť žiakov pri riešení Úloh č. 1 a č. 4.


125

Záver

Úlohy pre popísaný výskum, ktorého sa zúčastnili žiaci troch tried maturitného ročníka gymnázia boli volené tak, aby sa nimi nezisťovala iba mechanická schopnosť žiakov „bezhlavo“ aplikovať naučené vzorce a nebol im vnútený špecifický postup riešenia, ale bol im poskytnutý priestor pre voľbu vlastného postupu riešenia, zároveň však boli zostavené tak, aby žiaci pri ich riešení prejavili svoju schopnosť (alebo jej absenciu) aplikovať matematické nástroje pripočítaj nulu a násobenie jednotkou. Celkovo pritom v rámci riešenia každej z úloh využila matematický nástroj zakaždým viac než polovica respondentov – v prípade druhej a tretej úlohy hovoríme o 1.skupine – čo je výsledok vcelku uspokojivý. Za významnejší údaj však považujeme percento žiakov, ktorí matematické nástroje dokážu aplikovať (asi 64% pre nástroj pripočítaj nulu a približne 73% pre násobenie jednotkou – Graf 1) než počet tých študentov, ktorí matematické nástroje, respektíve ich použitie dokázali aj slovne popísať (Graf 2).

Vo výskumnej vzorke sa stretli dve skupiny študentov: 1. skupina majúca veľmi dobrý prehľad o využívaných metódach riešenia matematických úloh, ako aj poznatky o matematických nástrojoch; a 2. skupina, ktorých podmienky boli sťažené tým, že ich schopnosť používať matematické nástroje bola značne obmedzená. Tieto rozdiely pramenili hlavne z uprednostňovania odlišných postupov riešenia v rámci vyučovania matematiky. Aj na základe výsledkov dosiahnutých respondentmi si myslíme, že by bolo osožné, aby žiaci pod vedením učiteľa spoznávali rôzne techniky riešenia, a sme tiež toho názoru, že čím viac ich žiaci poznajú, tým väčšia je ich šanca zvoliť si, a zdokonaliť sa v aplikovaní toho spôsobu, ktorý im je najbližší. Tým vzrastá aj pravdepodobnosť ich úspechu. Nie je samozrejme nutné, aby týchto informácií bolo až príliš veľa, čo by v konečnom dôsledku mohlo pôsobiť kontraproduktívne a študentov iba zmiasť a popliesť. Za jeden z vhodných kompromisov preto osobne považujeme zoznámiť žiakov s heuristickým riešením matematických úloh. Ako náhle takéto stratégie, taktiky či nástroje totiž uvidia študenti v riešiteľskej v praxi, stávajú sa pre nich vhodným prostriedkom riešenia veľkého množstva rôznych typov úloh. Nespornou výhodou rôznorodých heuristických metód je i to, že pri ich použití si žiaci nepotrebujú pamätať vzorce (ak to, samozrejme, nevyžaduje typ úlohy, ktorú riešia) a takéto metódy riešenia vedú navyše žiakov skôr k tvorivosti ako k memorovaniu, k snahe vymýšľať nové a nové riešenia, a často počítanie príkladu riešiteľovi aj zjednodušia. Oboznamovaním študentov s heuristickými metódami by sa predišlo napríklad aj tomu, aby žiaci iba mechanicky a bezmyšlienkovite používali určitú úpravu bez hlbšej analýzy a zamyslenia sa nad charakterom matematického problému a zmyslu operácie, ktorú vykonávajú, ako sa to stalo niektorým respondentom tohto výskumu počas riešenia prvej úlohy. Študenti totiž potrebujú vedieť nielen prečo je výhodné v určitej situácii k výrazu pripočítať nulu napríklad v tvare 4-4, a v inej napríklad v tvare 9-9; ale aj dôvod, prečo túto úpravu vlastne robia, čo sa pre nich zjednoduší, resp. ako môžu tvar získaný touto úpravou ďalej využiť. Poskytnutie takejto informácie pritom učiteľovi zaberie iba niekoľko minút, môže však trvácnosť vedomostí predĺžiť aj o niekoľko rokov. A práve trvalé vedomosti, ktoré je študent schopný aplikovať v rôznych, často i nematematických situáciách, by predsa mali byť cieľom každého pedagóga.

LUCIA ZÁHUMENSKÁ

126 126

LITERATÚRA

[1] BURJAN, V. – HRDINA, Ľ. – MAXIAN, M.: Prehľad matematiky 1. časť, Bratislava, SPN, 1997, ISBN 80-08-00277-8

[2] BURJAN, V. – HRDINA, Ľ. – MAXIAN, M.: Prehľad matematiky 2. časť, Bratislava, SPN, 1998, ISBN 80-08-02490-9

[3] ZÁHUMENSKÁ, L.: O niektorých matematických nástrojoch a ich použití, písomná práca k dizertačnej skúške, Nitra, UKF, 2007

Mgr. Lucia Záhumenská Katedra matematiky Fakulta prírodných vied Univerzita Konštantína Filozofa Trieda A. Hlinku 1 SK – 949 74 Nitra e-mail: [email protected] Recenzent: doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc. e-mail: [email protected]

PRÍLOHY

Seminár Učme aplikovať matematiku

Katedra matematiky FPV UKF v Nitre

17. október 2007

miestnosť M-5 Program

Otvorenie a príhovor prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc:

Zvyšovanie efektívnost vyučovania matematiky prostredníctvom aplikácií v matematike

RNDr. Viliam Ďuriš: Matematika v prostredí MatLab

doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD.: Učme vhodne aplikovať vektory

PaedDr. Lucia Rumanová, PhD.: Barycentrum v geometrických úlohách

PaedDr.Gabriela Pavlovičová, PhD., PaedDr. PhDr. ValériaVasková: Motivujme žiakov k riešeniu slovných úloh

Mgr. Slávka Melichová, doc. RNDr. Anna Tirpáková, CSc., doc. RNDr. Dagmar Markechová, CSc.:

Kvantifikátory vo vyučovaní matematiky na základnej škole Mgr. Soňa Fándlyová:

Prečo aplikovať matematiku v chémii? doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc.:

Percentá, úroky, akcie doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc:

Vyučovanie pravdepodobnosti a štatistiky s dôrazom na ich aplikácie Mgr. Ján Šunderlík:

Vyučovanie štatistiky pomocou workshop modelu Mgr. Milan Maroš:

Rezy kocky pomocou počítača doc. RNDr. Daniel Palumbíny, CSc.:

Teória grafov a jej využitie v aplikačných úlohách Mgr. Júlia Záhorská:

Riešenie slovných úloh s využitím zloženej trojčlenky PaedDr. Janka Melušová, Mgr. Michal Práznovský:

Počiatky šifrovania a deliteľnosť Mgr. Anna Pobešková, RNDr. Oliver Ralík:

Výber praktických úloh geometrie základnej školy RNDr. Dušan Vallo, PhD.:

Aplikácie matematiky v chémii PaedDr. Marek Varga, PhD.:

Derivácia okolo nás

OBSAH

ŠEDIVÝ, O.: Zvyšovanie efektívnosti vyučovania matematiky prostredníctvom aplikácií matematiky .............................................................................................................3

ĎURIŠ, V.: Matematika v prostredí Matlab®........................................................................9

FÁNDLYOVÁ, S.: Prečo aplikovať matematiku v chémii? ...............................................15

FULIER, J.: Vizualizácia v matematike: realistické versus pedagogické znázornenie grafu funkcie........................................................................................................................19

CHVÁLNY, M.: Využitie grafickej kalkulačky ClassPad v školskej matematike .............29

KMEŤOVÁ, M.: Učme vhodne aplikovať vektory.............................................................33

KORENEKOVÁ, Ľ.: Elementárne matematické modely ...................................................39

MAROŠ, M.: Rezy kocky s podporou počítača ..................................................................45

MELICHOVÁ, S. – TIRPÁKOVÁ, A. – MARKECHOVÁ, D.: Kvantifikátory vo vyučovaní matematiky na základnej škole ..........................................................................51

MELUŠOVÁ, J. – PRÁZNOVSKÝ, M.: Počiatky šifrovania a teória čísel .......................57

PALUMBÍNY, D.: Aplikačné úlohy vo výučbe teórie grafov............................................63

PAVLOVIČOVÁ, G. – VASKOVÁ, V.: Motivujme žiakov k riešeniu slovných úloh .....67

RUMANOVÁ, L.: Barycentrum v geometrických úlohách................................................73

ŠUNDERLÍK, J.: Vyučovanie štatistiky pomocou workshop modelu................................79

VALLO, D.: Aplikácie matematiky v chémii .....................................................................89

VARGA, M.: Derivácia okolo nás ......................................................................................93

VIDERMANOVÁ, K.: Vzorce v praxi ...............................................................................99

VRÁBEL, P.: Percentá, úroky, akcie ................................................................................103

VRÁBELOVÁ, M.: Vyučovanie pravdepodobnosti a štatistiky s dôrazom na ich aplikácie ............................................................................................................................107

ZÁHORSKÁ, J.: Riešenie slovných úloh s využitím zloženej trojčlenky ........................113

ZÁHUMENSKÁ, L.: Aké sú schopnosti žiakov aplikovať vybrané matematické nástroje v stredoškolských úlohách? .................................................................................119

Prílohy

Program vedeckého seminára Učme aplikovať matematiku

Názov diela: UČME APLIKOVAŤ MATEMATIKU Vydavateľ: Fakulta prírodných vied UKF v Nitre Edícia: Prírodovedec č. 298 Schválené: Vedením FPV UKF v Nitre dňa Vedeckí redaktori: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc. RNDr. Dušan Vallo, PhD. Technická spolupráca: PaedDr. Janka Melušová RNDr. Kitti Vidermanová Rok vydania: 2008 Poradie vydania: prvé vydanie Počet strán titulu: 131 strán Počet výtlačkov: 100 kusov Sadzba: Použitím textového editora Microsoft© Office Word Tlač: Vydavateľstvo Michala Vašku, Námestie Kráľovnej pokoja 3, 080 01 Prešov © UKF v Nitre 2008 ISBN 978-80-8094-290-8 EAN 9788080942908

UČME APLIKOVAŤ MATEMATIKU · Prv ako urobíme ukážky, treba zdôrazniť, že hľadanie...

Documents

Transcript of UČME APLIKOVAŤ MATEMATIKU · Prv ako urobíme ukážky, treba zdôrazniť, že hľadanie...