UNIVERZITET U NIŠU

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU

PRIMENA NEKIH PROGRAMSKIH PAKETA ZA VIZUALIZACIJU U GEOMETRIJI

MASTER RAD

Mentor : Student:

Prof. dr Ljubica Velimirović Rašić Sandra

Niš, Oktobar 2012

Sadrzaj

1 Uvod 3

2 Programski paket AutoCad 42.1 Osnovni opis rada programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Trodimenzionalni rezim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Dvodimenzionalni rezim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 Rad u slojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Blokovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 Uvodni koraci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Kreiranje 2D objekata u ravni 103.1 Crtanje linije (Line) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Crtanje prave ili poluprave (Construction line) . . . . . . . . . 113.3 Crtanje polilinije (Polyline) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Crtanje poligona - jednakostranicnih mnogougaonika (Polygon) 133.5 Crtanje pravougaonika (Rectangle) . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 Crtanje luka (Arc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.7 Crtanje kruga (Circle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.8 Crtanje iskrivljene glatke linije (Spline) . . . . . . . . . . . . . 153.9 Crtanje elipse(Ellipse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.10 Crtanje luka elipse (Ellipse Arc) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 AutoCad i povrsi 184.1 Povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Razni nacini zadavanja povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Pravolinijske povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5.1 Jednokrilni hiperbolid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5.2 Dvokrilni hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6.1 Elipticki paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6.2 Hiperbolicki paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.7 Konusna povrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Cilindarska povrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.9 Povrs Apple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.10 Povrs Lemon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.11 Povrs Spindle torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.12 Elipticki torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

4.13 Kruzni torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.14 Pseudosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.15 Konoidna povrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Geodezijska krivina krive na povrsi i geodezijske linije 485.1 Definicija i geometrijsko tumacenje geodezijske krivine . . . . 485.2 Izracunavanje geodezijske krivine krive . . . . . . . . . . . . . 505.3 Geodezijska krivina koordinatnih linija i Liuvilova teorema . . 515.4 Geodezijske linije na povrsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Razlike u vizualizaciji izmedu AutoCAD i Mathematica 586.1 Programski paket Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Razlike u vizualizaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 Zakljucak 63

8 Biografija 65

2

1 Uvod

U ovom radu predstavljena je vizualizacija u geometriji primenom pro-gramskog paketa AutoCAD.

U prvoj glavi su dati osnovni podaci o programu AutoCAD i njegovomfunkcionisanju, o dvodimenzionalnom, zatim trodimenzionalnom nacinu rada,o radu u slojevima i blokovi.U drugoj glavi je predstavljeno kreiranje 2D objekata u ravni.U trecoj glavi je izvrsena vizualizacija povrsi kao sto su:elipsoid, paraboloid,hiperboloid, konoidna povrs, cilindarska povrs, konusna povrs, povrsi apple,lemon, pseudosfera i torus.U cetvrtoj glavi su definisane geodezijska krivina i geodezijske linije, data jeLiuvilova teorema i predstavljena vizualizacija geodezijskih linija.U petoj glavi su predstavljene razlike u vizualizaciji izmedu programa Auto-CAD i Mathematica i primeri u arhitekturi koji se oslanjaju na matematickestrukture.Posebno bih se zahvalila svom mentoru Prof. dr Ljubici Velimirovic napodrsci i pomoci pri izradi rada.

3

2 Programski paket AutoCad

AutoCad je jedan od najpoznatijih racunarskih programa za racunarskoprojektovanje. Autor programa je kompanija AutoDesk koja nudi preko 75specijalizovanih softverskih alata i pomagala za razlicita ekspertska podrucjakao sto su : masinogradnja, elektrika, elektronika, gradevinarstvo,arhitektura, kartografija, geodezija itd.

2.1 Osnovni opis rada programa

Osnovni program AutoCad je sofisticirani projektantski alat siroke, mozese reci univerzalne namene, koji podrzava dvodimenzionalno projektovanje,kojim se prakticno zamenjuje klasicno projektovanje na papiru, odnosnotablu za crtanje, sestar i lenjir, i trodimenzionalno modelovanje slozenih ob-jekata koji se u modelnom prostoru (engl. model space) mogu proizvoljnozumirati, naginjati, okretati, prikazivati u projekcijama, pogledima i presec-ima iz svih smerova, proizvoljno osvetljavati i renderovati, tako da trodi-menzionalni prikaz imitira fotografiju virtuelnog objekta koji postoji samo umemoriji racunara.

Za razliku od alternativnih softverskih proizvoda za 2D i 3D modelovanje,AutoCad je specifican po sofisticiranom, mozda malo i prekomplikovanomsistemu merila i visoke preciznosti koja moze ici i ispod milimikrona.Radni prostor AutoCad-a cini prostor za trodimenzionalno modelovanje iproizvoljan broj radnih prostora koji se mogu koristiti u rezimima ”papir” i”model”. U rezimu ”model” na radnim listovima se mogu otvarati projekcijei pogledi (engl. viewport) na trodimenzionalni model napravljen u prostoruza modeliranje. U rezimu ”papir” radni prostori nemaju nikakve korelacijesa trodimenzionalnim modelom i u tom se rezimu pogledi ne mogu aktivirati.Modelni i papirni prostor se u nacelu koriste odvojeno, odnosno ne organizujuse u istom radnom prostoru.

2.2 Trodimenzionalni rezim

Prostor za modelovanje i radni prostori u rezimu ”model” cine ”modelni pros-tor” u kojem se definise jedan trodimenzionalni model,koji medutim moze bitiveoma slozen i sadrzati veliki broj sastavnih elemenata. U radnim prostorimau rezimu ”model” mogu se otvarati projekcije na bilo koju ravan ili preseci

4

i pogledi iz bilo kog smera na trodimenzionalni model. Prostor za mode-lovanje i projekcije u radnim prostorima automatizovano saraduju, tako dase svaka promena u bilo kom radnom prostoru ili na modelu u prostoru zamodeliranje reflektuje na model, tj. automatski se azurira na svim ostalimradnim listovima. Prostor za modelovanje je neogranicen a model se mozeneograniceno zumirati bez gubitka preciznosti razmere ili rezolucije.

2.3 Dvodimenzionalni rezim

U rezimu ”papir” radni prostori predstavljaju nezavisne papire medu ko-jima nema nikakve povezanosti, pa se koriste na nacin uobicajen u klasicnompapirskom projektovanju za crtanje dvodimenzionalnih projekcija i preseka.Takve projekcije su pljosnate, tj. ne mogu se okretati u prostoru i nemajupromenljiv ugao gledanja. Na svakom radnom listu se moze prikazati drugiobjekat ili drugi element slozenog objekta ciji je sastavni crtez sadrzan ujednom ili vise radnih prostora. Skup radnih prostora u rezimu ”papir”predstavlja ”papirni prostor” AutoCad-a (engl. paper space) . Pogledi i pro-jekcije trodimenzionalnog modela ne mogu se aktivirati u papirnom prostoru,a objekti ucrtani u papirni prostor se ne prikazuju u prostoru za trodimen-zionalno modelovanje.

2.4 Rad u slojevima

U oba rezima u svim radnim prostorima i pogledima ili projekcijamacrtanje se izvodi na proizvoljnom broju prozirnih slojeva (engl. layers) .Pojedini objekti ili grupe crteznih elemenata (kote, srafure, pomocne kon-struktivne linije i sl.) mogu se iscrtati u zasebnim slojevima. Svaki sloj semoze zasebno formatirati (debljina, vrsta i boja linija) i po potrebi sakriti,tj. na njemu sadrzani objekti mogu se uciniti nevidljivim u jednom ili viseradnih prostora.

2.5 Blokovi

Blokovi su objedinjene grupe objekata ili grupe crteznih elemenata kojicine zasebnu celinu i ponasaju se kao jedan element ili objekat. Blokovinapravljeni u jednom radnom prostoru ili projektu mogu se koristiti u drugomradnom prostoru ili projektu, mogu se kopirati, brisati itd. kao jedan element.Mogu se ponovo rastaviti na elemente od kojih su sacinjeni.

5

Cesto koriscene elemente ili objekte (vijci, instalacijski elementi, masinskisklopovi, arhitektonski detalji, namestaj itd.) zgodno je spremiti kao imen-ovane blokove,pa ih se po potrebi moze pozvati i uklopiti u bilo koji radniprostor ili projekat. Kolekcije blokova stede konstruisanje istih konstruk-tivnih detalja i znacajno skracuju vreme projektovanja.

2.6 Uvodni koraci

Pokazacemo najpre kako pokrenuti program, zatim od cega se sastoji ko-risnicki interfejs i objasniti te sastavne delove.

1. Pokrenuti ikonu na desktopu AutoCad

2. Na novom prozoru pritisnite na AutoCAD Classic tako da bude uokviren

Kada pritisnete na OK pojavljuje se korisnicki interfejs koji se sastoji iz 5korisnickih delova:

1. Prostor za crtanje

2. Zona padajucih menija

3. Paleta sa alatkama

4. Komandna linija

5. Statusna linija

Slika 2.1. Korisnicki interfejs

• Prostor za crtanje-Kao sto ime kaze koristi se za crtanje. Pozadina jeobicno crna.

6

• Zona padajucih menija-Zona gde se nalaze sve komande koje se odnosena program.

• Paleta sa alatkama -Koristi se za brze i preglednije koriscenje osnovnihkomandi. Da bi dodali dodatne alatke desnim tasterom misa pritisnemona paletu sa alatkama i pojavice se kao na slici ispod

Slika 2.2. Paleta sa alatkama

• Komandna linija-Pri dnu ekrana nalazi se horizontalna povrsina kojasluzi za ispisivanje tekstualnih poruka vaznih za rad i pracenje izvrsavanja komandi pa otuda i nosi naziv komandna linija. Kada je na njojispisano samo command znaci da je AutoCAD spreman da prihvati ko-mandu. Preko nje AutoCAD ustvari komunicira sa vama. Komandnalinija sluzi i za belezenje toka prethodno izvrsenih komandi. Takodesvaka komanda moze da se pokrene iz komandne linije.

Slika 2.3. Komandna linija

7

• Statusna linija-Statusnom linijom nazivamo horizontalnu traku koja senalazi na samom dnu ekrana. Na njoj se vrsi prikaz trenutnog stanjapojedinih pomocnih aktivnosti. Pored toga na levom kraju statusnelinije mozemo procitati koordinate trenutnog polozja kursora.

Slika 2.4. Statusna linija

Statusi su dosta bitni i sada cemo objasniti najbitnije statuse:

• Osnap -Ukoliko zelite da uskljucite pritisnite levi taster misa na ime. Saovom funkcijom imacete mogucnost da svaku liniju koju povlacite au-tomatski vezete za neku karakteristicnu tacku. Opcije vezivanja mozetedobiti desnim pritiskom na osnap i dobicete prozor kao na slici ispod.Selektujte kao na slici da bi mogli lakse da radite.

Slika 2.5. Osnap

• Orto je takode bitna funkcija i ona predstavlja da sve sto se crta budeprikazano ili po horizontali ili po vertikali.

8

• Grid predstavlja pomocnu mrezu.

• Din predstavlja dinamicko unosenje podataka, odnosno da dok crtatemozete u okviru radnog dela da napisete duzinu linija.

• Lwt predstavlja prikaz debljina linija.

9

3 Kreiranje 2D objekata u ravni

Svaki 2d crtez sastoji se od pojedinacnih i slozenih objekata. U jednos-tavnije objekte spadaju: linije, kruznice, kruzni lukovi, elipse, elipticni lukovi,tacke i prave. Smatra se da su oni zastupljeni sa vise od 50 procenata u sas-tavu slozenijih objekata. U slozenije spadaju: pravougaonici, mnogougaonici(poligoni) , multilinije, polilinije, splajn (glatke krive). U sustini, najveci deoza crtanje se nalazi u paleti Draw :

Slika 3.1. Opcija Draw

3.1 Crtanje linije (Line)

Procedura za crtanje linije:1. Draw/Line

2. Izaberite pocetnu tacku ( mozete koristiti mis ili da ukucate koordinateu komandnoj liniji)

3. Zavrsite prvu liniju tako sto cete definisati kraj linije

4. Desni taster misa i enter

Svaki pojedinacni segment linije moze biti editovan nezavisno od ostalihsegmenata u seriji. Mozete da zatvorite sekvencu linijskih segmenata tako daprvi i poslednji segment budu spojeni. Mozete da dodelite svojstva linijamakao sto je boja, tip linije i debljina linije. Postoje i druge metode za kreiranjeprecizne linije. Veoma efikasne tehnike su offset (udaljenje) od vec postojecelinije, a kasnije trim (odsecanje) ili extend (produzenje) do zeljene duzine.Koristiti polyline umesto line u slucaju da zelite da segmenti budu povezaniu jedinstven objekat.

Slika 3.2. Line

10

3.2 Crtanje prave ili poluprave (Construction line)

Procedura je sledeca:Konstrukcijska linija oznacena dvema tackama

1. Draw/Construction line

2. Izaberite tacku koja ce da definise koren konstrukcijske linije

3. Definisite drugu tacku kroz koju konstrukcijska linija treba da prode

4. Nastaviti konstruisanje novih konstrukcijskih linija ukoliko je potrebno

5. Enter

Konstruisanje Ray (zrak ili poluprava)

1. Draw/Ray

2. Definisite startnu tacku zraka

3. Definisite tacku kroz koju treba da prode zrak

4. Enter

Linije koje su beskonacne u jednom ili dva pravca poznate su kao rays (zraci,poluprave) i construction line (prave).

Slika 3.3. Construction line

11

3.3 Crtanje polilinije (Polyline)

Procedura za crtanje je sledeca :Polilinija sa pravim segmentima

1. Draw/Polyline

2. Definisati prvu tacku polilinije

3. Definisati krajnju tacku prvog segmenta polilinije

4. Nastaviti konstruisanje novih segmenta koliko je potrebno

5. Enter

Polilinija kombinacije lukova i linija

1. Draw/Polyline

2. Definisati pocetnu tacku segmenta polilinije

3. Definisati krajnju tacku segmenta polilinije: Prebaciti na lucni modkucanjem a na komandnoj liniji, vratiti na linijski mod kucanjem l nakomandnoj liniji.

4. Enter

Sledeca slika ilustruje ovaj potupak

Slika 3.4. Polilinija

12

3.4 Crtanje poligona - jednakostranicnihmnogougaonika (Polygon)

Procedura za crtanje poligona je :1. Draw/Polygon

2. Na komandnoj liniji ukucati broj stranica poligona

3. Definisati centar poligona

4. Definisati da li poligon da bude upisan ili opisan krugom

5. Odrediti poluprecnik kruga

Na sledecoj slici su prikazani pravilni sestougao, petougao, cetvorougao ijednakostranicni trougao koristeci opciju Polygon.

Slika 3.5. Poligon

3.5 Crtanje pravougaonika (Rectangle)

Postupak za crtanje je sledeci :1. Draw/Rectangle

2. Definisati prvi ugao pravougaonika

3. Definisati drugi ugao pravougaonika

Ovom komandom iscrtavamo poliliniju oblika pravougaonika. Ako hocemopravougaonik odredenih dimenzija posle 2. ukucati d zatim duzinu pa enter,zatim sirinu pa enter. Ukoliko zelimo da krajevi budu zaobljeni koristitinaredbu fillet, gde se zadaje radijus zakrivljenja.

13

Slika 3.6. Pravougaonik

3.6 Crtanje luka (Arc)

Crtanje luka definisanjem tri tacke:1. Draw/Arc/3Points

2. Definisati pocetnu tacku

3. Definisati tacku na luku

4. Definisati krajnju tacku

Crtanje luka koristeci pocetnu tacku, centar i krajnju tacku :

1. Draw/Arc/Start, Centar, End

2. Definisati pocetnu tacku

3. Definisati centralnu tacku

4. Definisati krajnju tacku

Mozete da kreirate lukove na vise nacina. Sa izuzetkom u prvoj metodilukovi se crtaju suprotno od kazaljke na satu od pocetne tacke ka krajnjojtacki. Mozete da ih crtate: definisanjem 3 tacke, definisanjem starta, centrai kraja (centar je centar kruga ciji je luk deo) , definisanjem starta, kraja iugla (kada ne mozete da nadete centar), definisanjem starta, centra i duzinebisektrise, definisanjem starta, kraja, pravca/radijusa.

Slika 3.7. Crtanje luka

14

3.7 Crtanje kruga (Circle)

Crtanje kruga definisanjem centra i poluprecnika1. Draw/Circle/Center, Radius

2. Definisati centar kruga

3. Definisati poluprecnik

Crtanje kruga definisanjem centra precnika

1. Draw/Circle/Center, Diametar

2. Definisati centar kruga

3. Definisati precnik

Na sledecoj slici je prikazan krug, zatim krug koriscenjem opcije Gradient iopcijom Hatch.

Slika 3.8. Krug

3.8 Crtanje iskrivljene glatke linije (Spline)

Nacrtacemo spline definisanjem tacaka1. Draw/Spline

2. Definisati pocetnu tacku spline-a (1)

3. Definisati tacke od 2 do 5 da bi kreirali spline i pritisnite enter

4. Definisati pocetne i krajnje tangente 6, 7

15

Slika 3.9. Spline

Sledeci spline koristi iste tacke ali drugacije pocetne i krajnje tangente.

Slika 3.10. Crtanje glatke iskrivljene linije sa drugacijim tangentama

3.9 Crtanje elipse(Ellipse)

Procedura za crtanje elipse je sledeca :1. Draw/Ellipse/Axis, End

2. Definisati prvu tacku kraja prve ose (1)

3. Definisati drugu tacku kraja prve ose (2)

4. Povlaciti misa van sredine i pritisnuti da definisete rastojanje (3)

Oblik elipse ogranicen je dvema osama koje definisu duzinu i sirinu. Duzaosa se zove major osa, a kraca osa je minor osa.

Slika 3.11. Elipsa

16

3.10 Crtanje luka elipse (Ellipse Arc)

Postupak je sledeci:1. Draw/Ellipse/Arc

2. Definisati prvu tacku kraja prve ose

3. Definisati drugu tacku kraja prve ose

4. Definisati rastojanje da se definise polovina druge ose

5. Definisati pocetak ugla

6. Definisati kraj ugla

Elipticni luk se crta u smeru suprotnom od kazaljke na satu izmedu pocetnei krajnje tacke.

Slika 3.12. Luk elipse

17

4 AutoCad i povrsi

U ovoj glavi ce biti reci o pojedinim povrsima kao sto su : cilindarska povrs,rotaciona povrs, konusna povrs, konoid, jednokrilni hiperboloid, hiperbolickiparaboloid, helikoid itd. i njihovoj vizualizaciji u AutoCad.

4.1 Povrsi

Neka je data jednacina u obliku

z = f(x, y) (1)

Pretpostavimo da se x menja u intervalu a ≤ x ≤ b, y u intervalu c ≤ y ≤ btj. da tacka M(x, y) pripada pravougaonoj oblasti D. Pomocu jednacine(1) za svako M ∈ D mozemo odrerditi neku vrednost promenljive z. Akouzmemo pravougli Dekartov koordinatni sistem Oxy tako da se oblast Dnalazi u ravniOxy, onda u svakoj tackiM oblastiD postavljamo normalu cijace duzina MP biti jednaka odgovarajucem z odredenom pomocu jednacine(1). Tako svakoj tacki M(x, y) ∈ D odgovara pomocu jednacine (1) jednatacka P (x, y, f(x, y)), (obicno se posmatraju jednacine kod kojih je funkcijajednoznacna i neprekidna funcija u oblasti D). Skup svih tacaka P obrazujeneku povrs, a jednacina (1) jeste jednacina te povrsi. Napomenimo da oblastne mora biti pravougaona vec ona moze biti deo ravni ogranicen ma kojomlinijom.

Uocimo sada opstiju jednacinu

F (x, y, z) = 0. (2)

Jednacina (1) je specijalan slucaj prethodne jednacine.

Skup svih tacaka u prostoru, cije koordinate zadovoljavaju jednacinu (2),zovemo povrs, a (2) je jednacina te povrsi. Moze se desiti da jednacinu

(2) zadovoljavaju koordinate samo konacnog broja tacaka, ili da ne postojini jedna tacka prostora, cije koordinate zadovoljavaju jednacinu (2). Naprimer, jednacina x2 + y2 + z2 = 0 zadovoljena je samo tackom (0, 0, 0), ajednacina x2 + y2 + z2 + 1 = 0 ne moze biti zavodoljena nikakvom tackom,cije su koordinate realni brojevi. Pokazimo da se jednacina

F1(x, y) = 0 (3)

18

u odnosu na (pravougli) Dekartov koordinatni sistem Oxyz moze protumacitikao jednacina jedne povrsi.

Cilindarsku povrs definisemo, kao geometrijsko mesto pravih (izvodnica)koje su paralelne datoj pravoj (pravcu)i koje prolaze kroz datu krivu (vodilju)K.

Neka su izvodnice paralelne osi Oz, a kriva K neka lezi u ravni Oxy i nekaje odredjena jednacinom (3). Da bi proizvoljna tacka P lezala na cilindarskojpovrsi, potrebno je i dovoljno da njena projekcija M na ravan Oxy budeuvek na krivoj K. Prema tome, da bi P (x, y, z) bila na cilindarskoj povrsi,potrebno je i dovoljno da njene koordinate x i y zadovoljavaju jednacinu(3)(treca koordinata z je proizvoljna). Drugim recima, jednacina (3), ako jeposmatramo kao jednacinu koja vezuje koordinate tacaka u prostoru, pred-stavlja jednacinu gornje cilindarske povrsi.

Ako je u jednacini (2) funkcija F (x, y, z) polinom n-tog stepena popromenljivim x, y, z onda se odgovarajuca povrs zove algebarska povrs n-togreda.

Povrsi koje nisu algebarske zovu se transcedentne povrsi.Mi cemo se u ovim izlaganjima uglavnom zadrzati na

algebarskim jednacinama prvog i drugog stepena.

Neka je u prostoruR3 zadat neki pravougli koordinatni sistem sa pocetkomO i ortovima i, j, k (jedinicni koordinatni vektori, vektori baze u R3).

Definicija 4.1. Funkcija r:U→R3, gde je U⊂R2, definisana na sledeci nacin

r(u, v) = (x (u, v), y(u, v), z (u, v)) (4)

pri cemu su x, y, z realne funkcije dveju promenljivih naziva se vektorskafunkcija dvaju argumenata, dok su x, y, z odgovarajuce koordinatnefunkcije.Kazemo da je vektorska funkcija r klase Ck, k ≥ 1 ukoliko su ko-ordinatne funkcije klase Ck.

Definicija 4.2. Parametrizovana povrs u R3 je vektorska funkcija r:U→R3

klase Ck, gde je U otvoren podskup u R2.

Pod parametrizovanom povrsi se podrazumeva odredjeno preslikavanjeotvorenog skupa U ⊂ R2 u R3. Prema klasicnoj definiciji-povrs je skuptacaka u R3 koje se dobijaju u funkciji dva realna parametra. Ovde cemotakav skup zvati nosacem parametrizovane povrsi. Preciznije imamo sledecudefiniciju:

19

Definicija 4.3. Neka je U ⊂ R2 otvoren skup. Slika

r(U) = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ⊂ R3

pri preslikavanju (4) je nosac parametrizovane povrsi (4)

Definicija 4.4. Parametrizovana povrs r : U −→ R3 klase Ck je regularnaparametrizovana povrs klase Ck ako je ru × rv 6= 0 za sve (u, v) ∈ U ,gde su ru i rv parcijalni izvodi vektorske funkcije r po u i po v. Za k = 1povrs je glatka.

Smatracemo da je klasa regularnosti k dovoljno veliki prirodni broj kakavzahteva doticno razmatranje.

Definicija 4.5. Neka su r:U→R3 i ρ:U→R3 dve regularne parametrizovanepovrsi klase Ck u R3. One su ekvivalentne, u oznaci r∼ρ, ako postojidifeormofizam Φ:V→U klase Ck takav da je ρ= r Φ. Difeomorfizam Φ se utom slucaju naziva smena parametra (reparametrizacija).

Odnos ekvivalentnosti parametrizovanih povrsi je relacija ekvivalencije naskupu svih parametrizovanih povrsi.

Definicija 4.6. Klasa ekvivalencije [r] je neparametrizovana (geometri-jska) povrs.

Klasa ekvivalencije parametrizovane povrsi r:U −→ R3 je u sistini odred-jena skupom slika r(U). Preciznije vazi

Teorema 4.7. Neka su r:U→R3 i ρ:V→R3 parametrizovane povrsi takve daje r(U)=ρ(V).Za sve a ∈ U i b ∈ V takve da je r(a)=ρ(b) postoje njihoveokoline U1 ⊂ U i V1 ⊂ V takve da su r|U1 i ρ|V1 ekvivalentne povrsi.

Dakle, pojam ”nosac parametrizovane povrsi” i ”povrs” mozemo lokalnoidentifikovati. Posto ce dalja izlaganja imati uglavnom lokalni karakter, po-drazumevacemo lokalnu identifikaciju ovih pojmova i necemo razlikovati ekvi-valentne parametrizovane povrsi, vec cemo ih smatrati razlicitim parametrizaci-jama iste povrsi.

20

4.2 Razni nacini zadavanja povrsi

Povrs u R3 se moze zadati na sledece nacine:-vektorski parametarski oblik

r = r(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ R2 (a)

-skalarani parametarski oblik

x = x(u, v)

y = y(u, v) (b)

z = z(u, v)

(u, v) ∈ U ⊂ R2;

-Eliminacijom parametara u i v iz prethodnih jednacina dobijamo ek-splicitni skalarni oblik

z = f(x, y), (x, y) ∈ U (c)

gde je f(x, y) ∈ Ck, mozemo staviti

x = u, y = v, z = f(x, y), (u, v) ∈ U, (c’)

pa dobijamo oblik b odnosno

r = (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ U, (c”)

sto predstavlja globalnu parametrizaciju i povras je prosta. Ona je u ovomslucaju klase Ck, jer je u c” r ∈ Ck, kad je f(x, y) ∈ Ck, a regularna je zbog

ru × rv = (1, 0, fu)× (0, 1, fv) = (−fu,−fv, 1) 6= 0.

Dakle, iz oblika c smo dobili c’, odnosno c”, sto se svodi na b, odnosno naa.

Obrnuto, pretpostavimo da je data povrs b regularna u okolini neke tacke(u0, v0) tj. ru(u0, v0)× rv(u0, v0) 6= 0. To znaci da je u = u0, v = v0:

ru × rv = (xu, yu, zu)× (xv, yv, zv) = (yuzv − yvzu, zuxv − zvxu, xuyv − xvyu) =(∂(x, y)

∂(u, v),∂(z, x)

(u, v),∂(x, y)

∂(u, v)

)6= 0.

21

To znaci da je bar jedna od koordinata ovog vektora razlicita od nule. Neka je,npr. ∂(x,y)

∂(u,v)6= 0. Tada se prve dve jednacine (b) prema teoremi o implicitnoj

funkciji u okolini tacke (u0, v0) mogu resiti po u, v:

u = u(x, y), v = v(x, y) (d)

sto zamenom u trecu jednacinu (b) daje z = z[u(x, y), v(x, y)] = f(x, y) tj.oblik (c).

-Ako je dat skup

S = (x, y, z) ∈ E3|F (x, y, z) = 0 ∧ gradF 6= 0, (e)

tada je S povrs, pri cemu obicno pisemo samo:

S : F (x, y, z) = 0 (e’)

i (d’) zovemo implicitni oblik jednacine povrsi.

Ustvari, ako je u nekoj tacki gradF = (Fx, Fy, Fz) 6= 0 tada je bar jednaod koordinata ovog vektora razlicita od nule. Neka je npr., Fx 6= 0. Poteoremi o implicitnoj funkciji u okolini te tacke postoji resenje jednacine(d’):z = f(x, y) tj. ovaj slucaj se svodi na eksplicitni skalarni oblik.

Prema (b) svakoj tacki (u, v) ∈ U odgovara tacka (x, y, z) ∈ S, a prema(d) tacki (x, y, z) ∈ S, odgovara tacka (u, v) ∈ U , pri cemu je preslika-vanje (u, v)↔ (x, y, z) bijekcija. Zato se parametri u i v zovu krivolinijske(Gausive) koordinate na povrsi. Ako tacki M ′(u, v) ∈ U odgovara tackaM(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ S, onda pisemo takode M(u, v) ∈ S.Lema 4.8. Povrs (b) je regularna ako i samo ako vazi

rang

[∂x∂u

∂y∂u

∂z∂u

∂x∂v

∂y∂v

∂z∂v

]= 2

Takode, jednacina povrsi u R3 moze se zadati i u odnosu na cilindarske,odnosno sferne koordinate jednacinama koje odgovaraju prethodnim.

22

4.3 Pravolinijske povrsi

Opsta jednacina neke prave L

−→r ×−→a =−→b (1)

se moze predstaviti u oblik

y = mx+ n, z = px+ q, (2)

i to pokazuje da se jednacina prave odredje sa cetiri nezavisna parametra: m,n, p, q. Ako posmatramo svaku od jednacina (2) u koordinatnoj ravni Oxy,odnosno Ozx kao tragove (u tim koordinatnim ravnima) dveju ravni ciji jepresek prava L, onda vidimo da velicine 1, m, p odreduju pravac prave, avelcine o, n, q tacku kroz koju prava prolazi. Na osnovu takvog geometrijskogznacenja parametara m, n, p, q jasno je da su oni bitni za odredivanje praveL i da promena svakog od njih povlaci za sobom promenu polozaja te prave.

S druge strane jednacina (1) moze biti smenjena sledecom jednacinom

−→r = −→r0 + u−→a , (3)

gde je −→r0 = (−→a ×−→b ) : a2 vektor polozaja jedne stalne tacke M0 i gde svakoj

tacki prave odgovara neka odredena vrednost parametra u. Jednacina (3)dozvoljava da se prede na tzv. dvojni opsti oblik

x− x0a1

=y − y0a2

=z − z0a3

(= u). (4)

U ovoj jednacini parametri su x0, y0, z0, a1, a2, a3. Polozaj ove prave necese izmeniti ako mesto tacke (x0, y0, z0) uzmemo neku drugu tacku, na primertacku (0, n, q) preseka prave L sa ravni Oyz, a osim toga velicine a1, a2, a3koje odreduju pravac prave, mogu se zameniti proporcionalnim velicinama,na primer: 1, a2

a1= m, a3

a1= p. Dakle, mesto sest parametara x0, y0, z0, a1,

a2, a3 mozemo uzeti cetiri n, q, m, p

x− o1− y − n

m− z − q

p, (5)

a da se pri tome polozaj prave nije izmenio. Pomenute cetiri velicine potpunoodreduju pravu.

Isto tako, ako je jednacina prave zadata kao presek ma koje dve ravni

Aix+Biy + Ciz +Di = 0, (i = 1, 2) (6)

23

onda od osam parametara Ai, Bi, Ci, Di mozemo uzeti svega cetiri nezavisnaparametra, na primer parametre m, n, p, q, jer se pod odredenim uslovima,jednacine (6) mogu svesti na obilk (2).

Menjajuci cetiri takva parametra m, n, p, q na sve moguce nacine dobicemo sve moguce prave u prostoru.

Ako ovde postoji jedna veza izmedu tih paramtara: fi(m,n, p, q) = 0,onda ce svega tri parametra biti nezavisna. Kada ti parametri uzimaju svemoguce vrednosti, jednacine (2), uz postojecu vezu f1 = 0, nece predstavljatisve moguce prave u prostoru, vec samo jedan deo skupa tih pravih. Taj deoskupa pravih zovemo kompleks pravih.

Ako postoje dve veze fi(m,n, p, q) = 0,(i=1,2), tada jednacine predstavl-jaju skup pravih koji zovemo kongruencija pravih.

Ako postoje tri veze fi(m,n, p, q) = 0, (i=1,2), onda jednacine (2) pred-stavljaju skup pravih koji zavisi samo od jednog parametra. Eliminacijomtog parametra iz jednacina pravih dobijamo jednu vezu po x, y, z. Ta veza,kao geometrijsko mesto pravih, predstavlja povrs koja se zove pravolinijskapovrs. Pomenute prave se zovu generatrise pravolinijske povrsi.Definicija 4.9. Posmatrajmo krivu

C0 : ρ = ρ(u)

i kroz svaku tacku te krive jedinicni vektor e = e(u) i skup pravih sa vek-torima pravca e(u). Skup tacaka pravih toga skupa zove se pravolinijskapovrs. Kriva C0 je direktisa (vodilja), a pomenute prave su generatrise(izvodnice) dobijene povrsi.

Do pojma pravolinijskih povrsi dolazimo i polazeci od jednacine (3). Akose u toj jednacini vektori −→r0 i −→a0 promenljivi i zavise od jednog nezavisnogparametra v, onda u tom slucaju jednacinu (3), kojoj vektor polozaja −→rma koje tacke zavisi sada od dva parametra u i v, smatramo kao jednacinupravolinijske povrsi. Zaista, tacka M0, posto je njen vektor polozaja −→r0 (v), tj.zavisi od jednog parametra, opisuje neku krivu u prostoru-direktrisu povrsi,a nasa prava-generatrisa povrsi-uvek prolazi kroz neku tacku te krive i menjasvoj pravac, tj. vektor −→a0(v) zavisi od jednog parametra. Dakle, geometrijskomesto promenljive prave jeste pravolinijska povrs:

−→r = −→r0 (v) + u−→a0(v). (7)

Moze se dati sledece geometrijsko tumacenje parametrima u i v.

Neka je −→r0 = −→r0 (v) jednacina prostorne krive L0L, direktrise pravolinijskepovrsi. Vektor polozaja svake tacke te krive neka je funkcija odstojanja te

24

tacke od stalne tacke L0. Dakle, v uzimamo kao duzinu luka merenog odpocetne tacke L0,

−→a0(v) je promenljiv vektor generatrise, a u uzimamo dabude duzina odsecka generatrise PM , gde je M ma koja tacka povrsi. Vektorpolozaja −→r te tacke pravolinijske povrsi prema tome se odreduje jednacinom(7).

Primeri pravolinijskih povrsi su: cilindarska povrs, rotaciona povrs, konusna povrs, konoid, jednokrilni hiperboloid, hiperbolicki paraboloid, helikoiditd.

25

4.4 Elipsoid

U koordinatnoj ravni Oxz postavimo elipsu E1 sa stalnim poluosama a i c,i u koordinatnoj ravni Oyz elipsu E2, sa stalnim poluosama b i c. U pokret-noj ravni Ω, stalno paralelnoj ravni Oxy, uocimo elipsu E sa promenljivimpoluosama α i β. Ta pokretna elipsa E, kao generatrisa, krece se tako dabude stalno u ravni Ω, njen centar na osi Oz i njena temena klize duz elipseE1 i E2. Elipse E1 i E2 igraju ulogu direktrise. Povrs koja nastaje ovakvimkretanjem elipse E naziva se elipsoid.

Jednacinu elipsoida cemo izvesti na sledeci nacin. Ako sa M(x, y, z)oznacimo koordinate ma koje tacke elipsoida, onda one moraju da zado-voljavaju jednacine elipse E:

x2

α2+y2

β2= 1, z = y (1)

gde je linija E predstavljena kao presek elipticke cilindarske povrsi i ravni Ω:z = γ. Jednacine elipse E1 i E2 jesu

x2

a2+z2

c2= 1, y = 0;

y2

b2+z2

c2= 1, x = 0,

i zato promenljivi parametri α, β, γ, prema navedenom kretanju linije E,moraju zadovoljavati uslove

α2

a2+γ2

c2= 1,

β2

b2+γ2

c2= 1 (2)

Rezultat eliminacije tri parametra α, β, γ iz cetiri jednacine (1) i (2)daje nam kanonski (ili kanonicku) jednacinu elipsoida:

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (3)

Velicine a, b, c zovu se poluose elipsoida. Iz same jednacine (3), kao i izopisanog nacina nastajanja elipsoida, sledi da nivoske linije elipsoda, kojeodgovaraju svakoj koordinatnoj ravni, predstavlja skupove elipsa. Poluoseovih elipsa zavise od poluosa elipsoida i odstojanja -od koordinatne ravni-ravni kojima se vrse preseci ove povrsi.

Elipsoid u AutoCad-u crtamo na sledeci nacin: Na liniji menija izaberemoopciju Tools/Toolbars/AutoCAD i ukljucimo opciju Draw. Ova opcija je

26

ukljucena ukoliko se ispred nje pojavi simbol za tacno. U okviru ove opcijemi mozemo da nacrtamo pravu liniju, krivu liniju, pravougaonik, mnogougao,krug, elipsu, deo elipse. Da bi nacrtali elipsoid nacrtacemo najpre pola elipsepomocu opcije Ellipse Arc. Prve dve tacke Ellipse Arc odreduju lokaciju iduzinu prve ose. Treca tacka odreduje rastojanje izmedu centra Ellipse Arci krajnje tacke druge ose. Cetvrta i peta tacka odreduju pocetak i krajugla. Sada selektujemo to sto smo nacrtali klikom misa i izaberemo opcijuRevolve koja se nalazi u Tools/Toolbars/AutoCAD/Modeling. Opcija Revolvesluzi za stvaranje 3D objekta od 2D i to rotacijom 2D objekta oko odredeneose, za odredeni ugao koji mi izaberemo, ovde je to 360 stepeni, ali ukolikoizaberemo manji ugao dobicemo neku otvorenu povrs. Na ovaj nacin smonacrtali elipsoid.

Slika 4.1. Elipsoid

Slika 4.2. Elipsoid

Definicija 4.10. Neka su a, b, c > 0 dati realni brojevi. Realni elipsoid sapoluosama a, b, c je skup svih tacaka M ∈ R3 cije koordinate (x, y, z) uodnosu na neki pravougli koordinatni sistem Oxyz zadovoljavaju jednacinu

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

Ako dve poluose imaju istu duzinu, onda ellipsoid zovemo sferoid, a akosu sve tri poluose jednake, u pitanju je sfera. Sfera se definise kao skup

27

tacaka u trodimenzionalnom euklidskom prostoru na rastojanju r (radijus)od date tacke(centar). Dvostruki radijus se naziva precnik.Sferu u programu AutoCAD crtamo jednostavnije nego elipsoid, zato stoprogram ima vec ponudenu opciju za crtanje sfere i to je opcija Sphere kojase nalazi u Tools/toolbars/AutoCAD/Modeling. Da bi nacrtali sferu programod korisnika zahteva da odredi centar sfere i poluprecnik sfere. Postupak jesledeci :

1. Ukljucimo opciju Sphere

2. Prva tacka koju unesemo je centar sfere

3. Druga tacka je poluprecnik sfere

Slika 4.3. Sfera

4.5 Hiperboloid

Ovde cemo razmatrati jednokrilni i dvokrilni hiperboloid.

4.5.1 Jednokrilni hiperbolid

Rotacijom hiperbole oko simetrale duzi ciji krajevi predstavljaju zize datehiperbole nastaje jednokrilni kruzni hiperboloid. Ako za osu rotacijeuzmemo z-osu, jednokrilni kruzni hiperboloid ima kanonsku jednacinu

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 (8)

28

i parametarsku jednacinu

x = a√

1 + u2 cos v

y = a√

1 + u2 sin v

z = cu

(9)

v ∈ [0, 2π) Druga parametrizacija je

x(u, v) = a(cosu± v sinu)

y(u, v) = a(sinu± v cosu)

z(u, v) = ±cv(10)

ilix(u, v) = a cosh v cosu

y(u, v) = a cosh v sinu

z(u, v) = sinh v

(11)

Prirodna generalizacija jednokrilnog kruznog hiperboloida bice jednokrilnielipticki hiperboloid.

Jednokrilni kruzni hiperboloid koristeci program AutoCAD dobijamo nasledeci nacin:

1. Iz opcije Draw izaberemo Arc i nacrtamo jednogranu hiperbolu

2. Zatim selektujemo odgovarajucu hiperbolu

3. Ukljucimo opciju Revolve

4. Izaberemo osu oko koje ce hiperbola rotirati

5. Izaberemo ugao od 360 stepeni

6. Enter

Na taj nacin smo nacrtali jednokrilni hiperboloid.

29

Slika 4.4. Jednokrilni hiperboloid

4.5.2 Dvokrilni hiperboloid

Rotacijom hiperbole oko ose koja sadrzi zize te hiperbole nastaje dvokrilnikruzni hiperboloid. Njegova kanonska jednacina je

x2

a2+y2

a2− z2

c2= −1 (14)

ili u parametarskom obliku

x = a sinhu cos v

y = a sinhu sin v)

z = c coshu

(15)

gde je u ∈ (−∞,+∞) i v ∈ [0, π)

Uopstenje dvokrilnog kruznog hiperboloida je dvokrilni elipticki hiper-poloid.Definicija 4.11. Neka su dati pozitivni realni brojevi a, b, c. Dvokrilnielipticki hiperboloid u R3, je skup svih tacaka u R3 cije koordinate (x, y, z)zadovoljavaju jednacinu

x2

a2+y2

a2− z2

c2= −1 (16)

Za razliku od jednokrilnog hiperboloida, dvokrilni hiperboloid nije pravolin-ijska povrs. Dvokrilni hiperboloid se takode moze nacrtati u programskompaketu AutoCAD.

30

1. Nacrtati deo hiperbole

2. Ukljuciti opciju Revolve

3. Enter

Slika 4.5. Dvokrilni hiperboloid

4.6 Paraboloid

Prikazacemo vizualizaciju eliptickog paraboloida, kruznog paraboloida (kojije specijalan slucaj eliptickog paraboloida) i hiperbolickog paraboloida.

4.6.1 Elipticki paraboloid

Definicija 4.12. Neka su p i q pozitivni realni brojevi. Skup tacaka iz R3

cije koordinate u odnosu na neki pravougli koordinatni sistem Oxyz zado-voljavaju jednacinu

x2

p+y2

q= 2z (20)

naziva se elipticki paraboloid (s parametrima p i q).

Parametarske jednacine eliptickog paraboloida su:

x = a√u cos v

y = b√u sin v

z = u

(18)

Iz jednacine (20) se zakljucuje da je elipticki paraboloid smesten u polupros-tor z ≥ 0 i da su njegovi preseci ravnima z = h > 0 realne elipse; kadaje p = q ti preseci su kruznice, iz cega se zakljucuje da je tada paraboloidrotacioni (dobijen rotacijom parabole x2 = 2pz, y = 0 oko Oz ose). Kruzni

paraboloid u AutoCAD mozemo konstruisati na sledeci nacin:

31

1. Uz pomoc opcije Spline konstruisacemo jednu granu parabole

2. Ukljucimo opciju Revolve

3. Selektujemo parabolu

4. Enter

5. Oznacimo pravac rotacije za ugao od 360 stepeni

6. Enter

Slika 4.6. Kruzni paraboloid

Slika 4.7. Kruzni paraboloid

4.6.2 Hiperbolicki paraboloid

Definicija 4.13. Neka su p i q pozitivni realni brojevi. Hiperbolicki paraboloid(sa parametrima p i q) je skup tacaka iz R3 cije koordinate u odnosu na nekipravougli koordinatni sistem Oxyz zadovoljavaju jednacinu

x2

p− y2

q= 2z. (23)

32

Presek hiperboloida (23) i ravni x = h je parabola

(Ph) y2 = −2q(z − h2

2p

), x = h

u ravni paralelnoj ravni x = h i sa osom paralelnom Oz osi. Teme te parabole

je T(h, 0, h

2

2p

)i pripada paraboli x2 = 2pz, y = 0, sto se lako proverava.

Otuda zakljucak da hiperbolicki paraboloid (23) nastaje tako sto (pokretna)parabola (P0) : y2 = −2qz, x = 0 (otvorena ka negativnom smeru Oz ose)klizi po nepokretnoj paraboli (P ) : x2 = 2pz, y = 0 (otvorenoj ka pozitivnomsmeru Oz ose) tako da (prolazeci kroz polozaje (Ph)) osa i ravan parabole(P0) ostaju paralelni polaznoj poziciji i da joj teme klzi po paraboli (P ). Nataj nacin se zakljucuje da hiperbolicki paraboloid ima izgled sedla. Postupak

za vizuelizaciju hiperbolickog paraboloida u obliku sedla je:

1. Konstruisati uz pomoc opcije Spline 3 parabole od kojih su 2 iste,atreca manja i uza od njih

2. Postaviti ih tako da raspored bude veca-manja-veca i to u istoj ravni

3. Zarotirati sve 3 parabole za 90 stepeni

4. Ukljuciti opciju Loft

5. Selektovati sve 3 parabole odgovarajucim redosledom

6. Enter

Slika 4.8. Hiperbolicki paraboloid

Slika 4.9. Hiperbolicki paraboloid

33

4.7 Konusna povrs

U principu, konus je piramida sa kruznom osnovom. Pravi konus je konuskod koga je teme konusa iznad centra svoje baze. Medutim, kada se koristibez prefiksa ”pravi” obicno se podrazumeva da se radi o pravom konusu.U diskusijama o konusnim presecima, rec konus se koristi u smislu ”duplikonus” tj. dva konusa ciji su vrhovi postavljeni jedan na drugi.Definicija 4.14. Neka su a,b,c pozitivni realni brojevi. Elipticki konus jeskup svih tacaka u R3 cije koordinate u odnosu na neki pravougli koordinatnisistem zadovoljavaju kanonsku jednacinu

x2

a2+y2

b2=z2

c2

Parametarske jednacine eliptickog konusa visine h i poluosa a, b su

x = ah− uh

cos v

y = bh− uh

sin v

z = u

(26)

gde je v ∈ [0, 2π), u ∈ [0, h]U slucaju a = b konus nazivamo kruznim slike 4.10 i 4.11

Slika 4.10. Kruzni konus

Slika 4.11. Kruzni konus

34

Za konus u AutoCAD imamo opciju Cone koja iscrtava konus odredenogpoluprecnika i odredene visine. Medutim ukoliko zelimo dupli konus da nacr-tamo postupak je drugaciji.

1. Iscrtacemo izvodnice oba konusa

2. Ukljuciti opciju Revolve

3. Selektovati osu rotacije koja prolazi kroz tacku dodira izvodnica

4. Uneti ugao rotacije 360 stepeni

4.8 Cilindarska povrs

Unija pravih, paralelnih nekoj unapred zadatoj pravoj tj. osi, koje sekuelipsu, hiperbolu ili parabolu naziva se redom (realni) elipticki, hiperbolickiodnosno parabolicki cilindar. Preciznije uvodimo sledecu definiciju:Definicija 4.15. Neka su a, b pozitivni realni brojevi. Skup tacaka u R3

koje zadovoljavaju kanonsku jednacinu

(27)x2

a2+y2

b2= 1

(28)x2

a2− y2

b2= 1

(29) y2 = 2px

naziva se redom naziva se redom elipticki , hiperbolicki i parabolicki cilindar

Parametarskim jednacinama mozemo predstaviti elipticki cilindar visineh i poluosa a, b:

(30)

x = a cosu

y = b sinu

z = v

gde je u ∈ [0, 2π), v ∈ [0, h].i hiperbolicki:

(31)

x = a coshu

y = b sinhu

z = v

Formirajmo cilindarsku povrs cija je direktrisa krug poluprecnika R i cijesi generatrise normalne na ravan kruga, u programskom paketu AutoCAD:

35

1. Ukljucimo opciju Line i nactrajmo liniju odredene duzine

2. Selektujemo liniju

3. Ukljucimo opciju Revolve

4. Na odredenom rastojanju od prave selektujemo osu rotacije paralelnusa datom pravom

5. Unesemo ugao rotacije od 360 stepeni

6. Enter

Slika 4.12. Cilindarska povrs

Slika 4.13. Cilindarska povrs

Slika 4.12 je prikazana opcijom Realistic Visual Style,a slika 4.13 opcijom3D Wireframe Visual Style.Na sledecim slikama su prikazani elipticki, hiperbolicki i parabolicki cilindar,koji su u progamu AutoCad dobijeni na sledeci nacin:

1. Draw/Ellipse/Ellipse Arc

2. Selektovati objekat

3. Extrude

36

4. Enter

Slika 4.14a. Elipticki cilindar

Na slican nacin koriscenjem opcije Extrude dobijamo hiperboicki i parabolickicilindar, koji su prikazani na slikama 4.14b. i 4.14c.

Slika 4.14b. Hiperbolicki cilindar

Slika 4.14c. Parabolicki cilindar

4.9 Povrs Apple

Ovu povrs je definisao Kepler. Sastoji se od vise od polovine kruznogluka koji rotira oko ose koja prolazi kroz krajnje tacke luka. Ova povrs jejako interesantna i ima izgled jabuke, otuda je i dobila naziv apple (jabuka).Postupak predstavljanja ove povrsi u programskom paketu AutoCAD je :

1. Ukljucimo opciju Circle da konstruisemo krug

37

2. Odredimo klikom misa na ekranu tacku koja ce biti centar kruga ipoluprecnik kruga

3. Ukljucimo opciju Modify/Break

4. Selektujemo deo kruga koji zelimo

5. Enter

6. Ukljucimo opciju Revolve

7. Selektujemo vise od polovine kruznog luka

8. Izaberemo osu rotacije kroz krajnje tacke luka

9. Enter

Izgled povrsi Apple je dat na slikama 3.15 i 3.16. Slika 3.15 je prikazanaopcijom Realistic Visual Style, a slika 3.16 opcijom 3D Wireframe VisualStyle.

Slika 4.15. Apple povrs Realistic Visual Style

Slika 4.16. Apple povrs opcijom 3D Wireframe Visual Style.

38

4.10 Povrs Lemon

Ova povrs je definisana od strane Keplera. Sastoji se od manje odpolovine kruznog luka koji rotira oko ose koja prolazi kroz krajnje tackeluka. Ova povrs ima oblik limuna pa je po tome i dobila naziv. Americkifudbal je u obliku lemon povrsi.

Ovu povrs dobijamo sledecim postupkom :1. Ukljucimo opciju Circle da konstruisemo krug

2. Odredimo klikom misa na ekranu tacku koja ce biti centar kruga ipoluprecnik kruga

3. Ukljucimo opciju Modify/Break

4. Selektujemo deo kruga koji zelimo, manje od polovine

5. Enter

6. Ukljucimo opciju Revolve

7. Selektujemo manje od polovine kruznog luka

8. Izaberemo osu rotacije kroz krajnje tacke luka

9. Enter

Sledece 3 slike predstavljaju povrs lemon u programu AutoCAD u 3 razlicitavidenja: 3D Wireframe Visual Style, Realistic Visual Style i ConceptualVisual Style redom.

Slika 4.17. Lemon povrs 3D Wireframe Visual Style

39

Slika 4.18. Lemon povrs Realistic Visual Style

Slika 4.19. Lemon povrs Conceptual Visual Style

4.11 Povrs Spindle torus

Ova povrs je jedna od tri standardna torusa.Dat je parametarskom jednacinom

x = (c+ acosv)cosu

y = (c+ acosv)sinu

z = asinv

Spoljasnjost povrsi zovemo apple, a unutrasnjost lemon. Na prvoj slici jeprikazan Spindle torus, na drugoj presecen sa xz ravni, dok je na trecoj sliciprikazan spindle torus primenom opcije 3D Wireframe Visual Style.

Slika 4.20. Povrs Spindle torus

40

Slika 4.21. Povrs Spindle torus presecen sa ravni

Slika 4.22. Povrs Spindle torus 3D Wireframe Visual Style

4.12 Elipticki torus

Elipticki torus je generalizacija kruznog torusa. Nastaje rotacijom elipsekoja ima horizontalnu poluosu a, vertikalnu poluosu b u xz ravni i nalazi sena daljini c od ose z (oko ose z rotira). Elipticki torus dat je parametarskomjednacinom:

x = (c+ acosv)cosu

y = (c+ acosv)sinu

z = bsinv

Elipticki torus dobijamo na sledeci nacin:1. Ukljucimo opciju Ellipse

2. Izaberemo osu a, osu b i radijus

3. Ukljucimo opciju Revolve

41

4. Selektujemo elipsu

5. Enter

6. Na odredjenom rastijanju od elipse izaberemo osu rotacije

7. Enter

Na sledecoj slici je prikazan elipticki torus.

Slika 4.23. Povrs Elipticki torus Conceptual Visual Style

4.13 Kruzni torus

U geometriji torus je obrtna povrs koja se dobija kada se rotira kruznicau trodimenzionalnom prostoru oko ose komplanarne sa kruznicom, a koja nedodiruje krug. Primeri torusa su krofna sa rupom u sredini ili unutrasnjaguma. Na slici 3.24 je prikazan torus dobijen na sledeci nacin:

1. Odaberimo opciju Torus koja se nalazi u Tools/Toolbars/AutoCAD/Modeling

2. Unesimo klikom misa centar i radijus Torusa

3. Enter

Slika 4.24. Povrs Kruzni torus Realistic Visual Style

42

4.14 Pseudosfera

Kriva zadata jednacinom :x = 0

y = asint

z = a(lntgt/2 + cost)

gde je a>0, 0 < t < π naziva se traktrisa. Povrs koja nastaje njenomrotacijom oko Oz ose zove se povrs Beltramija ili pseudosfera. Na njoj serealizuje geometrija Lobacevskog. Parametarska jednacina ove povrsi je:

x = asinusinv

y = acosusinv

z = a(lntgv/2 + cosv)

Postupak crtanja pseudosfere u programu AutoCAD je:1. Nacrtati krivu koja ima izgled traktrise uz pomoc opcije Spline

2. Selektovati krivu

3. Izabrati opciju Revolve

4. Izabrati osu rotacije

5. Uneti vrednost za ugao rotacije

6. Enter

Na sledecim slikama je prikazana pseudosfera sa razlicitim uglovima rotacijei u razlicitim vizuelnim stilovima:

Slika 4.25. Pseudosfera Realistic Visual Style, ugao rotacije 360 stepeni

43

Slika 4.26. Pseudosfera 3D Wireframe Visual Style, ugao rotacije 360stepeni

Slika 4.27. Pseudosfera 3D Wireframe Visual Style, ugao rotacije 90 stepeni

4.15 Konoidna povrs

Definicija 4.16. Pravolonijska povrs se zove konoidna povrs ili konoida akoje generisana pravom paralelnom datoj ravni - direktorna ravan i sece fik-siranu pravu - osu konoida i fiksiranu (stalnu) krivu - direktrisu konoidnepovrsi. Na sledecoj slici imamo slucaj konoidne povrsi kada je direktrisasinusoida.

Slika 4.28. Konoid generisan sinusoidom, Conceptual Visual Style

44

Slika 4.29. Konoid generisan sinusoidom, 3D Wireframe Visual Style

Slika 4.30. Konoid generisan sinusoidom, Realistic Visual Style

Procedura crtanja konoida generisanog sinusoidom:

1. Draw/Spline za crtanje sinusoide

2. 3D Rotate za ugao od 90 stepeni

3. Draw/Line za crtanje linije

4. Tools/Toolbars/Modeling/Loft

5. Selektovati sinusoidu i liniju

6. Enter

Hiperbolicki paraboloid je najprostiji konoid. Generisan je kretanjem praveparalelno ravni tako da preseca dve prave. Te dve prave su ose konoida.Prav helikoid je primer konoidne povrsi kojoj je osa koordinatna osa Oz,direktorna ravan Oxy ravan i direktrisa kruzna cilindarska zavojnica cija jejednacina :

x = acosu

y = asinu

45

z = bu

Jednacina pravog helikoida u parametarskom obliku je :

x = vcosu

y = vsinu

z = bu

Nacin na koji mozemo nacrtati pravi helikoid je sledeci:

1. Tools/Toolbars/Modeling/Helix

2. Odrediti poluprecnik donje osnove, poluprecnik gornje osnove i visinuheliksa

3. Draw/Line

4. Odrediti pocetnu i krajnju tacku prave tako da jedan kraj heliksa budepocetak prave

5. Tools/Toolbars/Modeling/Sweep

6. Selektovati pravu

7. Enter

8. Selektovati heliks

9. Enter

Ukoliko se prvo selektuje heliks a zatim prava nista se nece dobiti, zato jebitan redosled selektovanja.

Prav helikoid je prikazan na slikama ispod.

Slika 4.31 Prav helikoid, Conceptual Visual Style

46

Slika 4.32. Prav helikoid, Realistic Visual Style

47

5 Geodezijska krivina krive na povrsi i

geodezijske linije

U ovom delu cemo definisati geodezijske linije, geodezijsku krivinu i prikazativizualizaciju uz pomoc programskog paketa AutoCad.

5.1 Definicija i geometrijsko tumacenje geodezijskekrivine

Slika 5.1.

Posmatrajmo na povrsi (Slika 5.1)

S : r = r(u1, u2)

krivu

C : r = r[u1(s), u2(s)].

Vektor krivine ove krive mozemo napisati u obliku

K = r′′ = Kn = Kν + λ1r1 + λ2r2 = Kν + λprp = Kν + Kg =−−→MP

gde je vektor normalne krivine

Kν = Kν =−−→MN

a vektor geodezijske krivine

Kg = λprp =−−→MG

48

koji predstavlja normalnu projekciju vektora K na tangentnu ravan u tackiM . Dalje imamo

t⊥ν i t⊥n⇒ t⊥ravan(ν, n)⇒ t⊥−−→MG = Kg

jer−−→MG lezi u ravni (ν, n). Normalni vektor ν orijentisimo na onu stranu od

tangentne ravni, na koju je orijentisan vektor glavne normale krive r′′

=−−→MP = Kn. Vektor

−−→MG = Kg orijentise se tako da se orijentacija triedra

t,Kg, ν poklapa sa orijentacijom triedra r1, r2, ν.

Intenzitet vektora geodezijske krivine se zove geodezijska krivina krive napovrsi :

Kg = ‖Kg‖ = ‖−−→MG‖

Sada je

K = ‖−−→MN‖ = ‖

−−→MP‖cosθ, Kg = ‖

−−→MG‖ = ‖

−−→MP‖sinθ

tj.

K = Kcosθ, Kg = Ksinθ

gde je K krivina krive C. U vezi sa geometrijskim tumacenjem geodezijskekrivine vazna je sledeca teorema

Teorema 5.1. Vektor geodezijske krivine Kg krive C na povrsi u datoj tackipoklapa se sa vektorom krivine normalne projekcije C0 krive C na tangentnuravan povrsi u toj tacki.

Dokaz: Projektujmo C normalno na tangentnu ravan τ u krivu C0. Projek-tujuce prave cine cilindricnu povrs Z, pa je

Z ∩ S = C, Z ∩ τ = C0

Posmatrajmo C i C0 kao krive na Z. One imaju zajednicku tangentu t.

Tangentna ravan cilindra u tacki M je odredena sa t i ν, pa je−−→MG normala.

Kriva C0 je normalni presek Z u pravcu t. Ako C posmatramo kao krivu

na Z, onda je−−→MG vektor normalne krivine za C, odnosno vektor krivine

normalnog preseka C0, koji odgovara pravcu t. Ili Kg =−−→MG je vektor krivine

ravne krive C0 normalne projekcije krive C na τ .

49

5.2 Izracunavanje geodezijske krivine krive

Teorema 5.2. Za geodezijsku krivinu krive r = r[u1(s), u2(s)] na povrsir = r(u1, u2) vazi obrazac

Kg = [r′, r′′, ν] = [t,Kn, ν]

gde su izvodi po luku, K je krivina (fleksija) krive, t ort tangentne krive,n ort glavne normale, ν ort normale povrsi.

Dokaz: Ako sa g obelezimo ort vektora geodezijske krivine, bice

Kg = Kgg

pa

r′′ = Kν +Kgg, g = ν × t

odakle mnozenjem prve jednacine sa g:

Kg = r′′ ·g = r′′ ·(ν × t) = [t, r′′, ν].

Teorema 5.3. Geodezijska krivina krive na povrsi je objekat unutrasnje ge-ometrije te povrsi i izrazava se jednacinom

Kg =√g(u1

′λ2−u2′λ1)

gde je g = g11g22 − (g12)2, ui = ui(s) su unutrasnje jednacine krive i

λi = ui′′

+ Γijkuj ′uk

′

Dokaz: Posmatrajmo krivu r = r[u1(s), u2(s)] na povrsi r = r(u1, u2).Odredicemo λi u obrascu

Kg = λiri , (i = 1, 2)

Diferenciranjem jednacine krive po s i primenom derivacionih formula:

r′= r1u

1′ + r2u2′ = rju

j ′ ,

r′′ = rjkuj ′uk

′+ rju

j ′′ = (Γijkri + bjkν)uj′uk

′+ rj u

j ′′ ,

50

U clanu rj uj ′′ nemi indeks j zamenimo sa i u cilju grupisanja:

r′′ = K = ( ui′′

+ Γijkuj ′uk

′) ri + bjku

j ′uk′ν,

Ovde je koeficijent uz ν normalna krivina krive

K = duj

dsduk

ds=

bjkdujduk

(ds)2= II

I

Za tangentnu komponentu λiri dobijamo λi = ui′′

+ Γijkuj ′uk

′i

Kg = λiri = ( ui′′

+ Γijkuj ′uk

′) ri

Zamenom r′ i r′′ = λiri +Kν u Kg = [r′, r′′, ν] :

Kg = [r′, r′′, ν] = [r1u

1′+ r2u

2′, λ1r1 + λ2r2 +Kν, ν]

= [r1u1′, λ2r2, ν] + [r2u

2′ + λ1r1, ν]= u1

′λ2[r1, r2, ν]− u2′λ1[r1, r2, ν]

= u1′λ2(r1 × r2) · ν − u2

′λ1(r1 × r2) · ν

Kako je r1 × r2 = ν√g i ‖ν‖ = 1 to se dobija trazena jednakost. Da je Kg

objekat unutrasnje geometrije vidi se iz pokazane jednakosti, jer osimkrivolinijskih koordinata ui(s) figurisu samo gij

.

5.3 Geodezijska krivina koordinatnih linija i Liuvilovateorema

Za koordinatne linije u2 = const. i u1 = const. vrednosti Kg ce nam bitipotrebne u daljem, pa cemo izvesti odgovarajuce obrasce.

Teorema 5.4. Za geodezijsku krivinu koordinatnih linija u2 = const. i u1 =const. vaze respektivno obrasci

Kg1 = (Kg)u2=const. =√gΓ2

11/g11√g11

Kg2 = (Kg)u1=const. = −√gΓ122/g22

√g22

Dokaz: Polazeci od obrasca za geodezijsku krivinu krive na povrsi

51

Kg =√g(u1

′λ2−u2′

λ1)

gde je

λ1 = u1′′

+ Γ1jku

j ′uk′

= u1′′

+ Γ111(u

1′)2 + 2Γ1

12u1′u2

′+ Γ1

22(u2′)2

pa za u2 = const. dobijamo

Kg1 =√gu1

′λ2 =

√gu1

′(0 + Γ2

jkuj ′uk

′) =√gΓ2

11(u1′

)3

u1′= du1

ds= du1

|dr| = 1

| drdu1| = 1

r1= 1√

g11

jer je dr = r1du1 + r2du

2 = r2du1 za u2 = const.

Teorema 5.5. (J.Liouville) Neka je C kriva na povrsi S : r = r(u, v), nakojoj su koordinatne linije ortogonalne. Ako je θ(s) ugao, koji C gradi sa u-linijom u posmatranoj tacki M∈C, Kg1, Kg2 geodezijske krivine u, odnosnov-linije u M , tada za geodezijsku krivinu krive C u tacki M vazi Liuvilovaformula:

Kg = dθds

+Kg1cosθ +Kg2sinθ

Dokaz:

Neka su redom t, t1, t2 ortovi tangenata krive C u- i v-linije, pri cemu, kakot1, t2, ν, tako i t, g, ν cine desni triedar. Svi vektori (t1, t2, t, g) leze utangentnoj ravni, jer su normalni na ν i t1⊥t2, t⊥g.

Iz obrasca

r′′ = K = Kν +Kgg

mnozenjem sa g dobijamo

Kg = r′′ ·g = dtds· g ...(5.1)

Dalje imamo

t = t1cosθ + t2sinθg = t1cos(π/2 + θ) + t2cosθ = −t1sinθ + t2cosθ ...(5.2)⇒ dt

ds= dt1

dscosθ − t1sinθ dθds + dt2

dssinθ + t2cosθ

dθds

52

tj.

dtds

= dt1dscosθ + dt2

dssinθ + g dθ

ds

Treba naci dt1 i dt2 kako bismo ih zamenili u prethodno navedenoj formuli.Imamo

dt1ds

= ∂t1∂u

duds

+ ∂t1∂v

dvds

...(*)

Ako sa s1, s2 obelezimo luk u-, odnosno v-linije, bice duds2

= 0, jer se duz

U-linija menja sano s1 i analogno dvds1

= 0. Iz tog razloga je

duds

= duds1

ds1ds

, dvds

= dvds2

ds2ds

sto zamenom u (*) daje

dt1ds

= ∂t1∂u

duds1

ds1ds

+ ∂t1∂v

dvds2

ds2ds

...(**)

Zbog dvds1

= 0 je dt1ds1

= ∂t1∂u

duds1

+ ∂t1∂v

dvds1

= ∂t1∂u

duds1

i dt1ds2

= ∂t1∂v

dvds2

, sto smenom u(**) daje

dt1ds

= dt1ds1

ds1ds

+ dt1ds2

ds2ds

...(***)

Kako je

dr = rudu+ rvdv = dur + dvr,ds = ‖dr‖, ds1 = ‖dur‖, ds2 = ‖dvr‖,

sinθ = ‖dvr‖/‖dr‖ = ds2/ds,

to (***) i analogna jednacina za t2 daju

dtαds

= dtαds1cosθ + dtα

ds2sinθ (α = 1, 2)

dtds

= dt1ds1cos2θ + ( dt1

ds2+ dt2

ds1)sinθcosθ dt2

ds2sin2θ + g dθ

ds...(5.3)

a zatim prema (5.1), (5.2), (5.3):

Kg = dt1ds1cos2θ(−t1sinθ + t2cosθ) + ( dt1

ds2+ dt2

ds1)sinθcosθ(−t1sinθ + t2cosθ) +

dt2ds2sin2θ(−t1sinθ + t2cosθ) + (g · g)dθ

ds,

pa posto je dtα/dsβ⊥tα (tα je jedinicni vektor) i g · g = 1:

Kg = dt1ds1t2cos

3θ + dt1ds2t2cos

2θsinθ − dt2ds1t1sin

2θcosθ − dt2ds2t1sin

3θ + dθds

,

53

Dalje imamo

t1 · t2 = 0⇒ dt1ds1· t2 + t1 · dt2ds1

= 0 ⇒ t1 · dt2ds1= − dt1

ds1· t2

i analogno diferenciranjem po s2 : t2 · dt1ds1= −t1 dt1ds2

, pa

Kg = dt1ds1· t2cos3θ − dt2

ds2· t1cos2θsinθ + dt1

ds1· t2cosθsinθ − dt2

ds2· t1sin3θ + dθ

ds

Ali prema (5.1), ako umesto t zamenimo t1, treba g zameniti sa t2, s sa s1 iKg sa Kg1 . Analogno, Kg, t, s, g u (5.1) zamenjujemo redom saKg2 , t2, s2,−t1, pa dobijamo

Kg1 = dt1ds1· t2, Kg2 = dt2

ds2· (−t1)

sto zamenom u poslednju jednacinu za Kg daje

Kg = Kg1cos3θ +Kg2cos

2θsinθ +Kg1cosθsin2θ +Kg2sin

3θ + dθds⇔ Kg =

dθds

+Kg1cosθ +Kg2sinθ .

5.4 Geodezijske linije na povrsi

Geodezijska linija se moze definisati na vise ekvivalentnih nacina. Mipolazimo od sledece definicije:

Definicija 5.6. Geodezijska linija je kriva na povrsi, u cijoj je svakoj tackigeodezijska krivina nula.

Teorema 5.7. Kriva C : r = r[u1(s), u2(s)] je geodezijska linija na povrsir = r(u1, u2), akko je ispunjen bilo koji od uslova:

1. C je prava ili je u svakoj tacki glavna normala krivine kolinearna sanormalom povrsi;

2. [r’,r”, ν] = 0

3. u1′λ2 − u2′λ1 = 0, gde su λi = ui

′′+ Γijku

j ′uk′;

4. Oskulatorna ravan krive sadrzi normalu povrsi;

54

5. I krivina (fleksija) krive po apsolutnoj vrednosti poklapa se sa normal-nom krivinom.

Dokaz: Po definiciji C je geodezijska linija akko Kg = 0

1. Kg = 0 ⇔ Ksinθ = 0 ⇔ K = 0 (C je prava) ∨ sinθ = 0 (θ∈0, π),tj. r′′ (n) i ν su kolinearni.

2. Na osnovu (5.2)

3. Na osnovu (**)

4. Na osnovu 2), jer r′, r′′, odreduju oskulatornu ravan

5. Kako je K = Kn = Kν +Kgg to:Kg = 0 ⇔ Kn = Kν (n i ν su kolinearni) ⇔ K = ±K.

Na osnovu definicije geodezijskih linija ili na osnovu nekog drugogpotrebnog i dovoljnog uslova, mogu se dobiti diferencijalne jednacinegeodezijskih linija na povrsi.

• Ako je zadata jednacina povrsi r = r(u1, u2) uslov 2) u prethodnoj teo-remi je diferencijalna jednacina geodezijskih linija. Kako je r

′= dr/ds,

r′′ = d2r/ds2, to se uslov 2) moze napisati u obliku

[dr, d2r, ν] = 0

Ako iz jednacine povrsi nademo dr, d2r, ν prethodna jednacina postaje

φ(u1, u2, du1, du2, d2u1, d2u2) = 0.

Geodezijska linija kao kriva na povrsi odredena je jednacinom povrsi ivezom medu parametrima

λ(u1, u2) = 0

ako smatramo ovde u2 kao funkciju od u1:

u2 = u2(u1),

bice d2u1 = 0 pa je

φ1(u1, u2, du2/du1, d2u2/(du1)2) = 0

Integracijom ove jednacine dobija se jednacina

55

f(u1, u2, C1, C2) = 0

koja zajedno sa jednacinom povrsi odreduje familiju geodezijskih linija.

• Uslov 3) u prethodnoj teoremi u1′λ2 − u2′λ1 = 0 takode daje diferen-

cijalnu jednacinu geodezijskih linija. Zamenom λ1, λ2 u ui′= dui/ds

ui = d2ui/ds2 iz prethodnog reda sledi

du1

ds= [d

2u2

ds2+ Γ2

jkduj

dsduk

ds]− du2

ds[ d

2u1

(ds)2+ Γ1

jkduj

dsduk

ds] = 0

Ovde imamo jednu diferencijalnu jednacinu, a dve nepoznate funkcijeu1(s) i u2(s). Druga jednacina je

ds2 = gijduiduj ⇔ gij

dui

dsduj

ds= 1

Medutim, umesto resavanja ovog sistema, pogodnije je postupiti nasledeci nacin. Prethodnu jednacinu pomnozimo sa (ds)3 i geodezijskelinije potrazimo u obliku u2 = u2(u1). Tako dolazimo do jednacineoblika φ1(u

1, u2, du2/du1, d2u2/(du1)2) = 0. Medutim, u ovom slucajune mora se znati jednacina povrsi, dovoljno je znati I kvadratnu formui dobija se resenje f(u1, u2, C1, C2) = 0. U tom slucaju kazemo da smoodredili geodezijske linije date metrike (ds)2 = gijdu

iduj. U slucajuu2 = u2(u1) dolazi se do jednacine

d2u2

(du1)2= Γ1

22(du2

du1)3 + (2Γ1

12 − Γ222)(

du2

du1)2 − (2Γ2

12 − Γ111)

du2

du1− Γ2

11

...(5.4)

• Iz Kg = 0 ⇔ Kg = λiri = 0 dobijamo λ1 = 0, tj.

d2ui

ds2+ Γi11(

dui

ds)2 + 2Γi12

du1

dsdu2

ds+ Γi22(

du2

ds)2 = 0, i = 1, 2

Ovo je sistem diferencijalnih jednacina po nepoznatim funkcijama u1(s),u2(s). Dokazacemo da se ovaj sistem moze svesti na sistem (5.4). Kakoje u1 = u1(s), u2 = u2(s) za funkciju u2 = u2(u1)

du2

du1=

du2

dsdu1

ds

, d2u2

(du1)2=

d2u2

(ds)2du1

ds− d

2u1

(ds)2du2

ds

( du1

ds)2

.

Zamenom d2ui

(ds)2i = 1, 2 u drugu od ovih jednacina imacemo

d2u2

(du1)2(du

1

ds)3 = −du1

ds[Γ2

11(du1

ds)2 + 2Γ2

12du1

dsdu2

ds+ Γ2

22(du2

ds)2] +

du2

ds[Γ1

11(du1

ds)2 + 2Γ1

12du1

dsdu2

ds+ Γ1

22(du2

ds)2]

56

odakle se deljenjem sa (du1/ds)3 dobija (5.4).

Primer. Naci geodezijske linije povrsi

r = (ucosv, usinv, u) ...(5.5)

Resenje. Ovde je u1 = u, u2 = v, pa iz (5.4) dobijamo

d2vdu2

= Γ122(

dvdu

)3 + (2Γ112 − Γ2

22)(dvdu

)2 − (2Γ112 − Γ1

11)dvdu− Γ2

11 ...(5.6)

Iz (5.5) je ru = (cosv, sinv, 1), rv = (−usinv, ucosv, 0), g11 = (ru)2, g12 = 0,

g22 = (u)2, Γ122 = −u/2, Γ2

12 = 1/2, a ostali Kristofelovi simboli su 0.Jednacina (5.6) daje

d2v(du)2

= −u2( dvdu

)3 − 2udvdu

...(5.7)

Ova jednacina je zadovoljena za dv = 0 ⇒ v = C = const., sto zajedno sajednacinom povrsi odreduje prvu familiju geodezijskih linija. To su pravex = ucosC, y = usinC, z = u, tj.

xcosC

= ysinC

= z

Iz (5.5) se dobija (x)2 + (y)2 = (z)2 odakle vidimo da se radi o konusnojpovrsi. Potrazimo sada drugu familiju geodezijskih linija na povrsi (5.5).Smenom dv

du= p u (5.7) dobijamo Bernulijevu jednacinu

dp(du)

= − 2up− u

2(p)3

⇒ p = (C1(u)4 − 12(u)2)−

12 = dv

du, odakle je

v =∫

du√C1(u)4− 1

2()2

= −√

2arcsin(C1/u) + C2

Ova jednacina zajedno sa jednacinom povrsi definise drugu familiju geodez-ijskih linija. Na sledecoj slici su prikazane geodezijske linije na konusu.

Slika 5.4 Geodezijske linije na konusu, AutoCad

57

6 Razlike u vizualizaciji izmedu AutoCAD i

Mathematica

6.1 Programski paket Mathematica

Od devedesetih godina proslog veka paket Mathematica se razvija i postajekoristan alat za mnoga istrazivanja u oblasti matematike, prirodnih nauka,ali i drugih nauka, narocito tehnike. Mathematica je razvijena u softverskojkompaniji Wolfram Research i predstavlja programski paket za matematickei druge primene (tehnologija, finansije, medicina, istrazivanje, obrazovanje).Posebno je pogodna za obradu numerickih podataka, za simbolicka procesir-anja, kao i za graficko prikazivanje podataka i funkcija. Za rad u program-skom paketu Mathematica koriste se dokumenta koja se zovu beleznici (note-books). Beleznici se sastoje od celija koje mogu sadrzati tekst, izracunavanjaili grafikone. Celija se prepoznaje po zagradama sa desne strane ([ ]). Ulaznipodaci na osnovu kojih se vrsi izracunavanje u paketu Mathematica se un-ose u ulaznim celijama. Da bi se kreirala nova ulazna celija, treba pritisnutivan postojece celije i poceti sa kucanjem. Nakon unosa podataka treba pri-tisnuti taster SHIFT u kombinaciji sa tasterom ENTER. Mathematica vrsiizracunavanje na osnovu unetih podataka i daje izlazni rezultat u izlaznojceliji odmah ispod ulazne celije. Prekid racunanja se postize tasterima [Alt][,]ili [Alt][.]. Celije In[n]:= i Out[n]= dodaju se automatski.Crtanje preciznih slika krivih i povrsi je vazan zadatak geometrije. Upotrebaracunara omogucuje jednostavno izracunavanje nekih geometrijskih velicinakoje se komplikovano odreduju rucno. Na taj nacin se omogucuje uvid u kom-pleksne odnose i njihovo graficko predstavljanje. Takav pristup je omoguciorazvoj geometrije i otvorio nove mogucnosti za istrazivanje. Moze se reci daMATHEMATICA podrzava funkcionalni stil programiranja. Ona dopustasamo poziv parametara po adresi. Nedostatak poziva po adresi nadok-naduje se objektima koji se pamte u globalnom okruzenju. MATHEMATICAposeduje mnoge funkcije od kojih su neke veoma mocne i resavaju slozeneprobleme. Medutim, postoje problemi koji se ne mogu resiti samo pomocuugradenih funkcija. Tada je potrebno uraditi vise operacija ili postupati ponekom algoritmu, tj. potrebno je programirati.

58

6.2 Razlike u vizualizaciji

Vizualizacija kao nacin da se apstraktni pojmovi priblize ljudskom umu odu-vek je bila povezana sa geometrijom, ali tek razvojem savremenih racunaradobija ogromne primene. Sustina vizualizacije u racunarskoj grafici je cen-tralno projektovanje prostora na ekran racunara, matematicki receno, projek-cija euklidskog prostora na euklidsku ravan. Ovde cemo, konkretno, uocavatirazlike u vizuelizaciji krivih i povrsi u paketu Mathematica i paketu Auto-CAD. Prednosti AutoCAD su sto je brzi i jednostavniji za rad. Recimoukoliko zelimo da nacrtamo krug u AutoCAD iz opcije Draw klikom misaizaberemo Circle, kliknemo za centar kruga, a zatim za poluprecnik i krug jenacrtan. Ovde ne moze da dode do greske da se ne nacrta krug,d ok u Mathe-matici moze. Kada crtamo krug u Mathematici moramo znati naredbu kojomda nacrtamo krug. Ovde je to circle[x, y,r] ,gde su x i y koordinate centraa r duzina poluprecnika. Medutim ukoliko zaboravimo neku od zagrada ilineki simbolicki znak, krug se nece nacrtati. Zato Mathematica kao programzahteva veliku preciznost i obimno matematicko predznanje. Za AutoCADnije potrebno neko veliko matematicko predznanje cak i neko ko ne zna staje krug, mogao bi prateci uputstva u AutoCAD da ga nacrta.Za odredene krive i povrsi Mathematica zahteva poznavanje jednacina krivihi povrsi da bi ih nacrtala, dok se u AutoCAD to realizuje sa par opcija. Naprimer, elipsoid u Mathematici se iscrtava nakon ukucavanja

ParametricPlot3D[Cos[v]Cos[u], 2 ∗ Sin[u]Cos[v], 3 ∗ Sin[v],u, 0, 2Pi,v,−Pi/2, P i/2]U AutoCAD ga mozemo isctati koristeci Ellipse Arc i Revolve.Nedostatak AutoCad je sto u njemu uvek crtamo proizvoljnu krivu ili povrs,dok je Mathematica precizniji program koji u zavisnosti od parametarskejednacine iscrtava odredjenu povrs.Zahvaljujuci vizualizaciji matematickih povrsi, mnogi umetnici, arhitekte iinzinjeri su nasli nepresusan izvor inpiracije u matematickim povrsima. Takona primer Vladimir Shuhkov (1853 - 1939) je inspirisan izgledom hiperboloidanapravio zgradu prikazanu na slici ispod

59

Slika 6.1. Zgrada hiperboloid

Sledeci primer pokazuje kako je hiperbolicki paraboloid iskoriscen da se napravilezalka koja se u Americi veoma skupo prodaje.

Slika 6.2. Hiperbolicki paraboloid

Muzej u Montrealu ima strukturu sfere. Prikazan je na slici ispod :

Slika 6.3 Montreal, muzej sferne strukture

Mnoge povrsi je lakse nacrtati u Mathematica, nego u AutoCAD, a u arhitek-turi bi bile od velikog znacaja. Zato koristimo opciju EXSPORT, da pre-bacimo povrs iz Mathematica u AutoCAD, kako bi je mogli iskoristiti zakonstrukciju odredenog objekta (kuca, zgrada, poslovni prostor, muzej, skolaitd. ). AutoCad podrzava dxf fajl, zato eksportovanje izvodimo na sledecinacin :

• Nacrtamo povrs odgovarajucom naredbom

60

• Export[”test.dxf”, %]

Medjutim tu povrs AutoCAD prepoznaje kao objekat sastavljen od preko3000 malih objekata i linija pa se zato sa tim objektom ne moze nesto posebnouraditi, tj. ne moze se mnogo modifikovati, vec se u arhitekturi moze koristitikao originalan objekat, bez nekih dodataka.Pored AutoCad koji se koristi u arhitekturi, postoji i program 3D Max kojije po funkcionisanju i opcijama slican AutoCad. Autodesk 3ds Max, tj. 3DStudio Max je 3D kompjuterski graficki softver za pravljenje 3D animacija,modela i slika. Ovaj program takode proizvodi kompanija AutoDesk kojaproizvodi i AutoCad. Navescemo sada primer kako povrs koju nacrtamou Mathematica eksportujemo u dxf file i realizujemo uz pomoc 3D Max ukonkretan objekat koji ima svoju namenu. U programskom paketu Mathe-matica posle ukucavanja naredbe :

SphericalP lot3D[1 + 1/5Sin[3v], u, 0, P i, v, 0, 2Pi]dobicemo povrs prikazanu na slici 6.4

Slika 6.4. Povrs u Mathematica

Zatim cemo kao u gore navedenom postupku eksportovati ovu povrs u dxffajl i otvoriti je u programu 3D Max. Posle izvrsavanja odredenih naredbidobicemo objekat prikazan na slikama 6.5 i 6.6 cija namena bi bila za trznicentar.

Slika 6.5. Gotov objekat, 3D Max

61

Slika 6.6. Bocni prikaz objekta

Ovaj trzni centar se sastoji od staklenog dela i betonskog dela, koji suprikazani na slikama 6.7 i 6.8

Slika 6.7. Stakleni deo

Slika 6.8. Betonski deo

Ovim se dobija na ustedi vremena pri izradi projekata. Za objekat prikazanna slici 6.5 je potrebno oko 1h da se iscrta, dok bi bez poznavanja Mathe-matica trebalo cak do 5 puta vise vremena.

62

7 Zakljucak

Vizualizacija kao nacin da se apstraktni pojmovi priblize ljudskom umu odu-vek je bila povezana sa geometrijom, ali tek razvojem savremenih racunaradobija ogromne primene. U ovom radu smo pokazali nacin funkcionisanjaprograma AutoCad, zatim vizualizaciju 2D objekata u ravni, vizualizacijupovrsi i vizualizaciju geodezijskih linija. Zatim smo izvrsili vizualizacijuodredjenih povrsi u programskom paketu Mathematica i eksportovali u dxffajl, kako bi u 3D Max pretvorili povrs u neki gradjevinski objekat. Ideja celevizualizacije je da se u drugim oblastima, kao sto su arhitektura i gradevinarstvo, koriste matematicke povrsi kao inspiracija, pri cemu se znatno dobija naustedi vremena ukoliko se koristi i program Mathematica. Dalja istrazivanjabi mozda mogla u tom pravcu da se odvijaju.

63

Literatura

[1] Ljubica Velimirovic, Predrag Stanimirovic, Milan Zlatanovic, Geometrijakrivih i povrsi uz koriscenje paketa Mathematica, Prirodno matematickifakultet Nis, 2007

[2] George Omura, Mastering AutoCAD 2011 and AutoCAD LT 2011, 2010

[3] Zoran Koneski i Milan Gocic, Uputstvo za AutoCAD 2007 InformatikaI, Gradevinsko-arhitektonski fakultet u Nisu, 2007

[4] Svetislav M. Mincic, Ljubica S. Velimirovic: Diferencijalna geometrijakrivih i povrsi, Prirodno matematicki fakultet Nis, 2006

[5] http//:mathematica.stackexcange.com/questions

[6] http//:WolframMathWord/Geometry/Surface/ClosedSurface

[7] http//:WolframMathWord/Geometry/Surface/SurfaceOfRevolution

[8] http//:reference.wolfram.com/mathematica/howto/ImportAndExport3Dgraphics.htlm

64

8 Biografija

Sandra Rasic je rodena 03.08.1988 godine u Nisu, Republika Srbija.Osnovnu skolu ” Sreten Mladenovic Mika ” je zavrsila u Nisu kao nosilacVukove diplome.Gimnaziju ” Bora Stankovic ”, prirodno-matematicki smer, zavrsila je 2007.godine sa odlicnim uspehom.Prirodno-matematicki fakultet u Nisu, Odsek za matematiku i informatikuupisala je skolske 2007/2008., smer matematika. Osnovne akademske studijezavrsila je 2010. godine sa prosecnom ocenom 6, 88. Iste godine upisujediplomske akademske studije na smeru Matematika. Prosecna ocena nadiplomskim akademskim studijama je 7, 83.

65