Univerza v Mariboru Optimiranjein simulacija · 2019-03-20 · 12.10.2010 1 Univerza v Mariboru...

12.10.2010

1

Univerza v MariboruFakulteta za organizacijske vede

Optimiranje in simulacija sistemov

doc. dr. Andrej Škraba

Laboratorij za kibernetiko in sisteme za podporo odločanju

Vsebina• Osnove simulacij

– Koncept sistema– Modeliranje sistemovj– Definicija dogodkovne simulacije– Vrednotenje simulacije

• Simulacijski jeziki• Statistične osnove simulacije

– Stohastična spremenljivka– Generiranje naključnih števil

• Modeli strežbe in vrst– Modeli strežbe– Distribucija časov med prihodi

• Simulacija diskretnih dogodkov– Diskretni dogodki

• GPSS– Osnove, bloki, funkcije, primeri

• Planiranje eksperimenta– Optimiranje sistemov

12.10.2010

2

Literatura

• M. Kljajić, I. Bernik, A. Škraba: Skripta: Dogodkovna simulacija sistemov, 1999

• M. Kljajić: Teorija sistemov, Moderna organizacija, Kranj, 1994

• G. Gordon: System Simulation, Prentice‐Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Yersey, 1969

• A. M. Law in D. W. Kelton: Simulation Modeling and Analysis, McGraw‐Hill, Boston MA, 2000

• J. Banks (ur.): Handbook of Simulation, Wiley, New York NY, 1998

• F. L. Severance: System Modeling and Simulation, Wiley, New York NY, 2001

Sistem

• Je množica elementov in povezav:

• Ob tem mora obstajati cilj oz. namen sistema.• Sistem je skupina po določenih zakonih, ki so odvisni od namena, povezanih, soodvisnih enot,

},{ RES =

odvisni od namena, pove anih, soodvisnih enot,ki sestavljajo zaključeno celoto.

• Vsakemu elementu pripadajo določene lastnosti oz. atributi in dejavnosti oz. aktivnosti.

12.10.2010

3

Stanje sistema

• Spremenljivke stanj so množica med seboj d i ih d ti t b ih ineodvisnih vrednosti potrebnih za opis

dinamike sistema

• Stanje sistema je vrednost spremenljivk stanj v določenem času

Dogodek

• Dogodek je sprememba stanja sistema

• Pri diskretnem sistemu, opisanem z diskretnimi dogodki, se spremenljivke stanj spremenijo v trenutku v časovno ločenih točkah

• Npr “banka” – število strank v banki seNpr. banka število strank v banki se spremeni le ob vstopu ali izstopu nove stranke

12.10.2010

4

Zvezni sistem

• Pri zveznem sistem se spremenljivke stanj spreminjajo zvezno glede na časspreminjajo zvezno glede na čas

• Npr. pozicija letala predstavlja zvezni sistem; spremenljivke stanj pozicije in hitrosti se spreminjajo zvezno

• Le malo sistemov iz prakse je v celoti zveznih ali v l ti di k t ihceloti diskretnih

• Običajno je sisteme moč klasificirati glede na dominantni karakter sistema (zvezni ali dogodkovni)

Simulacija

• Simulacija je proces razvoja računalniškega d l b i t i i dbmodela obravnavanega sistema in izvedba

eksperimentov s pomočjo modela z namenom razumevanja delovanja sistema ali evalvacije različnih strategij upravljanja oz. kontrolnih strategij, ki jih izvedemo na sistemu.

12.10.2010

5

Simulacija (nad.)

• Simulacija je dinamična ponazoritev odziva i tsistema z namenom:– Opisa sistema (delni ali v celoti)

– Razlage odziva sistema v preteklosti

– Predvidevanja odziva sistema

– Razumevanja zakonitosti sistemaRazumevanja zakonitosti sistema

Klasifikacija sistemov

• Stanje sistema je vrednost spremenljivk klasifikacija sistemov

stanja ob določenem času. Stanje sistema opišemo z elementi sistema; njihovimi lastnostmi in aktivnostmi.

• Proces je sprememba stanja sistema pod

naravni tehnični organizacijski

stanja sistema pod vplivom vhodnih spremenljivk ali notranjih dogodkov v sistemu

umetni

12.10.2010

6

Odziv sistema

• Odziv (reakcija) sistema na vhodne signale (d žlj j ) j d lj di ik i t(dražljaje) je opredeljen z dinamiko sistema

x(t)

0 t

Model

• Model sistema je poenostavljena ponazoritev (k t) l i t(koncept) realnega sistema

• Model je približek (abstrakcija) realnosti

• Pri modelu izločimo lastnosti realnosti ki nam v danem trenutku ne koristijo in se osredotočimo na lastnosti ki so za nasosredotočimo na lastnosti, ki so za nas pomembne

12.10.2010

7

Optimiranje

• Izbor najboljše rešitve iz nabora možnih šitrešitev

• Preprost primer – minimum, maksimum

• Uporaba simulacijskega modela – analiza kaj‐če

• Določitev kriterijske funkcije• Določitev kriterijske funkcije

• Postopek določitve simulacijskih scenarijev

• Izbor najboljše rešitve

Primer funkcije

10 10 2 2 10 cos 2 2 10 cos 2

12.10.2010

8

Uporaba simulacije

• V enostavnih primerih je moč razviti matematični model in pridobiti analitično rešitevmodel in pridobiti analitično rešitev

• Večina problemov iz realnega sveta je preveč kompleksna, da bi bilo možno pridobiti analitične rešitve

• V primeru kompleksnosti obravnavanih sistemov uporabimo postopke simulacije

• Izvedemo evalvacijo modela s pomočjo numeričnih metod

Uporaba – primer

• Proizvodno podjetje želi povečati proizvodne kapacitetekapacitete

• Negotovost glede povečanja učinkovitosti in stroškov izgradnje

• Možnost (postaviti; če ni v redu odstraniti?)• Dobro zasnovana simulacijska študija lahko osvetli vprašanja, ki se zastavljajo ob strateških akcijah

• Primerjava obstoječega stanja in novega, predvidenega stanja

• Podrobna analiza produkcijskih in stroškovnih učinkov

12.10.2010

9

Načini analize in obravnavanja sistemovSistem

Eksperimentiranje s pravim sistemom

Eksperimentiranje z modelom

Fizični model Matematični model

Analitična rešitev

Simulacija

Področja uporabe

• Ocena učinkovitosti in zasnova storitvenih organizacij kot npr. bolnišnice, krizni centri, pošte itd.U lj j čl ški i i i čj i l ij kih d l• Upravljanje s človeškimi viri s pomočjo simulacijskih modelov

• Oblikovanje in analiza proizvodnih sistemov• Ocenjevanje logističnih sistemov• Opredeljevanje zahtev po strojni opremi ali protokolih ter

komunikacijskih mrežah• Razvoj in upravljanje transportnih sistemov kot npr. letališč,

avtocest, pristanišč in železnic• Reorganizacija poslovnih in proizvodnih procesov• Reorganizacija poslovnih in proizvodnih procesov• Določanje optimalnih dobavnih politik ter kontrola skladišč• Analiza finančnih in ekonomskih sistemov• Opredelitev učinkovitosti vojaških organizacij in sistemov oborožitve

12.10.2010

10

Klasifikacija modelov

fizični matematični

modeli

statični dinamični

numerični analitični numerični

statični dinamični

laboratorijska

operacijske igre zvezna (analogna)

diskretna (digitalna)simulacija “človek-stroj”

simulacija

računalniška

Primeri

12.10.2010

11

Opis sistema

• Na splošno opisujejo sistem:– vhodne spremenljivke

– stanja sistema

– izhodi iz sistema

{ } miXX i ...,,3,2,1; ==

{ } njZZ j ,...,3,2,1; ==

{ } lrYY r ...,,3,2,1; ==

X Yf *fX YZ

f y*: →zxf

Potek modeliranja pri dogodkovni simulaciji

• Definicija problema

• Določitev ciljev

• Osnutek študije

• Formiranje matematičnega modela

• Zapis računalniškega programa

• Validacija modela• Validacija modela

• Priprava eksperimenta (simulacijskih scenarijev)

• Simulacija in analiza rezultatov

12.10.2010

12

Relacije med sistemom in modelom

1. Sistem determinističen model determinističen. Preprosti mehanski modeli )(tUCB&&& i t

1d lmodeli.

2. Sistem determinističen model stohastičen. Način poenostavitve zapletenih funkcij (metoda Monte Carlo).

3. Sistem stohastičen model determinističen. Kongruenčni

t ji klj č ih št il

)(tUCxxBx =++ sistemD 2

3

4sistem

S

modelD

modelS

generatorji naključnih števil.4. Sistem stohastičen, model stohastičen.

Kompleksni organizacijski sistemi –reševanje s pomočjo sistemske simulacije.

Relacija med modelom in simulacijo

SIMULIRANI SISTEM

RAČUNALNIŠKI PROCES

y

• Modeliranje predstavlja relacijo med simuliranim sistemom in modelom, simulacija pa relacijo med modelom in računalniškim procesom.

• Za x rečemo, da simulira y, če a.)`x` in `y` sta sistema b.) `y`predstavlja sistem katerega simuliramo c ) `x` predstavlja

MODELmodeliranje simulacija

x

predstavlja sistem katerega simuliramo, c.) x predstavlja poenostavitev simuliranega sistema (model) in d.) veljavnost `x` v odnosu na `y` ni nujno popolna.

• Proces generiranja obnašanja modela imenujemo simulacija.• Simulacija je eksperimentiranje na modelu.

12.10.2010

13

Podobnost sistem ‐model

podobnostvhodi vhodi

SISTEM(realni

problem)podobnost

struktur MODEL

NIŠ

KAC

IJA

podobnostvhodov

para

met

ri

para

met

ri

MODELIRANJE SIMULIRANJE

RAČ

UN

ALN

SIM

ULA

C

podobnostizhodov

izhodi izhodi

Postopek modeliranja in simulacijeREALNI SISTEM MODELIRANJE SIMULACIJA

Eksperiment na Postavitev modela Preverjanje in realnem sistemu eksperimenti na modelu

VZBUJANJE

PROCESI Koncept P

RAČU

VHODNI PODATKI

realnem sistemu eksperimenti na modelu

PROCESI v realnem sistemu

ODZIV SISTEMA

TEORIJA Koncept modela

Program za računalnik

NALNIK

IZHOD

12.10.2010

14

Postopek računalniškega simuliranja in eksperimentiranja

REALNI SISTEM

VHODMODEL SISTEMAElementi, atributi, aktivnosti

SIMULACIJA

IZHOD?

SPREMEMBAAli je postopek k č

DANE

SPREMEMBA MODELA

KONEC

?

DA

NE končan

Vidik prepričljivosti“vživeti se v model”

PPrepričljivost

Imaginacija Interakcija

12.10.2010

15

Simulacijski vidik

SSimulacija

Scenarij Selekcija

Metodologija sistemske simulacije za podporo odločanju v poslovnem sistemu

želeno

PZ a predstavlja rezultatposlovanja kot posledico

uporabnik

obnašanje

model

scenarij

S 1S 2S 3...

S n

rezultatsimulacije

b

c

odločitvenega procesa, ki jeodvisen od upravljalskih izkušenjter znanja.PZ b predstavljapragmatično validacijomodela.PZ c predstavlja “vnaprejšno

odločitevposlovnisistem

rezultatposlovanja

-+

a

j jinformacijo”, ki je pomembnapri oblikovanju strategijesistema. Temelji naizvajanju eksperimentovna modelu.

12.10.2010

16

Uporaba simulacije z optimizacijoRezultati simulacijskih scenarijev

Simulacijski scenariji

Anticipative Loop

Ocena parametrov

Meje parametrov

Diskretni (zvez.)Prostor stanj sist.

Optimizacijski algoritem Izhodsimulacijskega

sistema

Odloč. skup. A

B

Referenčnavrednost

Upravljanjerealnega sistema

IzhodrealnegasistemaOdločitev

[Izbor scenarija]Realni sistem

C

Simulacijski scenarijMnožica scenarijev (struktura)

{ }SCSCSCSC =

Podan kot nabor vrednosti parametrov

Rezultati scenarija – nabor vrednosti

{ }zSCSCSCSC ,,, 21 K=

{ }ni uuuSC ,,, 21 K= ℜ∈nu

Rezultati scenarija nabor vrednosti izhodnih spremenljivk

{ }myyyY ,,, 21 K= ℜ∈my

12.10.2010

17

Dogodkovna simulacijska orodja

Operativne zahteve, ki jih mora izpolnjevati simulacijsko orodje:j

• generiranje naključnih števil za predstavitev stohastičnih procesov

• generiranje poljubne porazdelitve (analitične, uporabniško podane)

• objektno funkcioniranje• statistična obdelava rezultatov simulacijestatistična obdelava rezultatov simulacije,ki omogoča primerjavo, validacijo in izboljšavo sistema

• kontrola simulacijskega časa

Dodatne zahteve

• vizualno modeliranje

• interaktivnost:– interakcija z uporabnikom

– prikaza in obdelave rezultatov

• uporaba grafičnih objektov

d b b išk ij ik• sodoben uporabniško prijazen vmesnik

• vgrajeni simulacijski koncepti, npr. logika razvrščanja, vgrajene funkcije ipd.

12.10.2010

18

Dodatne zahteve (nad.)

• hiter razvoj modelov

• upoštevanje dimenzij objektov 1:1

• združevanje opravil in sintakse, ki se ponavlja

Dodatne zahteve (nad.)

• procesni konceptd fi i ij bj kt k t C bj kt• definicija objektov kot C objekta oz. podatkovnega objekta

• definicija in delo nad množico objektov• paralelno procesiranje• razumljiva sintaksa s podporo dokumentacijij p p j• generiranje poročil, specifikacija uporabnika

12.10.2010

19

Zgodovina

• Razvoj sistema GPSS datira v leto 1960 (G d i l t )(Gordonov simulator)

• IBM

• Razširjenost sistema z IBM računalniki

• Enostavnost uporabe tudi za netehnične študiještudije

• Primeren za simulacijo strežnih sistemov (sistemi z vrstami)

Zgodovina (nad.)

• Problemska domena orodja ~ komunikacijski i t isistemi

• Potreba po grafičnem izhodu, ki bi služil interaktivni validaciji je bila izražena že v letu 1965

• Priklop prikazovalnika (terminala) ki je bilPriklop prikazovalnika (terminala), ki je bil interaktivno povezan z GPSS (1965) ~ Boeing

12.10.2010

20

Zgodovina (nad.)

• Več verzij orodja GPSS

• 1977 – James O. Henriksen

• Verzija GPSS/H (H ~ Henriksen)

• Wolverine Software Corporation

• Prehod iz platforme IBM na platformo PC

• Najbolj razširjena verzija orodja

Standardni bloki v GPSS‐ju I/II

A, B C

A

BA

ASSIGN

A, B, C, D

ADVANCE LINKB

SEIZE ASSIGN

LOGIC

X A

TABULATETAB

A

DEPART MARK

A

TERMINATE

AA

B

ENTER

A

PRIORITY

X (C)

BA

TEST

12.10.2010

21

Standardni bloki v GPSS‐ju II/II

A B C D E

AAB

A, B, C, D, E

GENERATE RELEASE

UNLINK

ACDE

B F

LEAVE

SAVEVALUE

A, B, C, D, E

GATEXX

(LABEL)AAAA A

QUEUETRANSFER

.12 0

(LABEL B)

(LABEL A)

Tip blokov v GPSS‐ju

12.10.2010

22

C1‐ trenutna vrednost urnega časa

Standardni numerični atributi SNA

M1‐ prehodni čas transakcije

CHn – štev. trans. in verigi n

Fn‐ trenutno stanje Facility n

FNn‐ vrednost funkcije n

Kn‐ integer n

Nn‐ celotno št. tran., ki so vstopile v blok n

Pn‐ param. št. n transakcije

Qn‐ dolžina repa n

Lista SNA v GPSS II/II

Rn‐ prostor, ki je v STORAGE n

RNn‐ naključni generator n=1,2,...

Sn‐ tekoča zasedenost storage n

Vn‐ vrednost sprem. št. n

Wn‐ štev. trans. v bloku n (tekoča)

Xn‐ shranjena vrednost na lokaciji n

12.10.2010

23

SNA primer

Tip SNA označimo z eno ali dvema črkama in s številom. PR: TABLE M1PR: TABLE M1

Poljuben SNA uporabljamo s kratico TABULATE za zbiranje statistike.

Aritmetične operacije +, ‐, /, *, @,...

PRIMER:

5 VARIABLE S6+5*(Q12+Q17)

Funkcije

ZVEZNADISKRETNA

X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4

n FUNCTION RN1, C12

X1,Y1/X2,Y2/X3,Y3/... X12,Y12

m FUNCTION RN7,D5

X1,Y1/X2,Y2/... X5,Y5

Podatkovni zapis v stolpcih 1 do 71.

12.10.2010

24

Prenosni (Transfer) način v GPSS

NAČIN Polje A Polje B Polje C

j i l bl k MNnepogojni , nasl. blok MN

naključni .xy nasl. blok MN nasl. blok BM

pogojni BOTH nasl. blok. A nasl. bl. A

parametrski P param. št

funkcijski FN funk št param štfunkcijski FN funk. št. param. št.

PRIMER:ASSIGN 1,FN3

TRANSFER P,1

GPSS/Hlokacija, delovanje

• Lokacija:ftp://kib1 fov uni-mb si/GPSSH/ftp://kib1.fov.uni mb.si/GPSSH/

• GPSS/H je splošen simulacijski sistem, ki teče

v okolju MS‐DOS.

• Delovanje:

simulacijski model, ki je zapisan v ASCII

datoteki s končnico .GPS (npr.: Model1.gps)( p gp )

izvede, rezultate pa zapiše v datoteko s

končnico .LIS (npr.: Model1.lis).

Laboratorij za kibernetiko in sisteme

za podporo odločanju

Univerza v MariboruFakulteta za organizacijske vede

12.10.2010

25

GPSS/H, namestitev, zagon

• Po prenosu datoteke gpssh.zip preko omrežja uporabite program za stiskanje podatkov WinZip.p g j p p

• Vse prenešene datoteke kopiramo v isto mapo.• Program poženete z ukazom gpssh

( v DOS‐ovski vrstici oz. Command prompt ‐ u, v mapi, kjer so GPSS/H datoteke).

• Kot test vpišite v dos‐ovski vrstici: "gpssh Model1" (brez narekovajev) ki vam bo izpisala rezultate v datotekonarekovajev), ki vam bo izpisala rezultate v datoteko Model1.lis

GPSS/H - delovanje1. Model (*.gps)

3. Rezultati (*.lis)

2. Simulacijskitek

12.10.2010

26

GPSS/H, zapis modela

• Model napišemo v poljubnem urejevalniku teksta (npr. Notepad ali Beležnica).p )

• Bloke in kontrolne stavke zapišemo z velikimi črkami.• Datoteko z modelom shranimo s končnico .GPS, pri tem

mora biti dolžina imena 8.3 (pri Beležnici shranimo datoteko tako, da ime napišemo med dvema narekovajema, npr: File/Save As/File Name: "Model1.gps“)ode gps )

GPSS/H, vhodni format

12345678901234567890123456789012345678901234567890123OZNAKA OPERACIJA OPERANDI KOMENTARPRIPR ADVANCE 3 75 1 P i i ž j

Komentar je ločenod operandovz najmanj enim znakom

Operande začnemo pisati v

PRIPR ADVANCE 3.75,1 Pripravimo sveženj

Operande začnemo pisati v25 stolpcu ali v predhodne stolpce

Kodo operacije začnemo pisativ 8 stolpec ali v sledeče stolpce

Oznaka (LABEL) se začne v prvem stolpcu

12.10.2010

27

Primer – pristanišče ‐ Luka

• Opis sistema: tovorne ladje prispejo na razkladanje v pristanišče vsakih 16±5 ur. Pristanišče ima en razkladalnipristanišče vsakih 16 5 ur. Pristanišče ima en razkladalni prostor (dok).V primeru, da je dok prost, ladja odpluje na razkladanje, v nasprotnem primeru pa čaka v sidrišču. Čas razkladanja : 15+‐10 ur.

• Situacijska shema:

prihod ladij vrsta DOK izhod

Luka – Problem, naloga in kriteriji

• Problem: Zaradi dolgega časa čakanja na razkladanje in prevelikega števila ladij na sidrišču smo opazili, da gre p g j p , gdoločeno število ladij k konkurenci.

• Naloga: določi čas čakanja ladij v pristanišču, čas čakanja v sidrišču in število ladij, ki čakajo na razkladanje. Razvijte sistem, ki bo imel krajše čase čakanja.

• Kriteriji: ‐maksimalno število ladij vsidrišču: 5 + 10%%

‐maksimalen čas čakanja: 6 dni + 10%

12.10.2010

28

Pregled uporabljenih blokov

• GENERATE• QUEUE• SEIZE• DEPART• ADVANCE• RELEASE• TERMINATE

Blok GENERATE

ih di l dij id išč

GENERATE

Operand PomenPrednastavljena vrednost ali rezultat

A Povprečen čas med prihodi 0.0 (nič)

B Polovico obsega naključne spremenljivke podane z enakomerno porazdelitvijo časa med prihodi

0.0 (nič)

prihodi ladij v sidrišče16,5

med prihodiC Offset interval (čas prihoda prve transakcije) Brez prednastavljenega

offset-a

D Limitni števec (maksimalno število prihodov) Brez prednastavljenega limitnega števca

E Prioriteta transakcije 0 (nič)

12.10.2010

29

Bloka QUEUE in DEPART

ladja se postavi v vrstoQUEUE j pza razkladanjeVRSTADOKVRSTADOK

ladja zapusti vrstoVRSTADOKVRSTADOK

DEPART

PrednastavljenaOperand pomen

Prednastavljena vrednost ali rezultat

A Ime vrste v katero transakcija na bloku QUEUE ali izstopa na bloku DEPART

Napaka (error) pri prevajanju

Bloka SEIZE in RELEASE

ladja je v dokuSEIZE ladja je v dokuDOK

razkladanje je končano,dok je prost

DOKRELEASE


A Ime strežnega mesta tipa FACILITY ki ga zasedemo na bloku SEIZE ter sprostimo na bloku RELEASE

Prednastavljena vrednost ni podana

12.10.2010

30

Blok ADVANCE

ADVANCE razkladanje ladjeADVANCE

15,10


A Povprečen čas zadrževanja transakcije 0.0 (nič)

B Polovico obsega naključne spremenljivke podane z enakomerno porazdelitvijo časa zadrževanja

0.0 (nič)

Blok TERMINATE

PrednastavljenaOperand Pomen

Prednastavljena vrednost ali rezultat

A Odštevanje števca terminacij (TC –Termination Counter) v modelu

0 (nič)

ladja zapusti lukoTERMINATE

1

12.10.2010

31

Luka –blokovni diagram

prihodi ladij v sidrišče

ladja se postavi v vrstoza razkladanjeVRSTADOKVRSTADOK

QUEUE

16,5

GENERATE

SEIZE

razkladanje ladje

ladja je v doku


DEPART

ADVANCE

15 10

DOK

SEIZE



1

15,10

DOKRELEASE

GPSS/H Kontrolni stavki

• SIMULATE• START• END

12.10.2010

32

Luka ‐modelSIMULATE

** Simulacija luke*** GPSS/H blokovni del**

GENERATE 16,5 Prihod ladij v luko 15 +- 5 urQUEUE VRSTADOK Ladja se postavi v vrstoSEIZE DOK Ladja je v dokuDEPART VRSTADOK Ladja zapusti vrstoADVANCE 15,10 Čas razkladanjaRELEASE DOK Ladja zapusti dok - dok je prostTERMINATE 1 Ladja zapusti luko

** GPSS/H kontrolni stavki*

START 100 TC (Termination counter) postavimo na 100END

Sprememba parametrov na bloku

GENERATE

Prihodi Utilizacija Max Q AVG time QPrihodi Utilizacija Max Q AVG time Q20,5 0,779 1 1,35319,5 0,82 1 2,09518,5 0,872 2 3,80917,5 0,901 2 4,50416,5 0,984 6 34,56715,5 0,988 10 67,327

12.10.2010

33

Zasedenost strežnega mesta

1

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

Utili

zaci

ja

0,6

0,65

20,5 19,5 18,5 17,5 16,5 15,5

Čas med prihodi ladij

Vrsta

12

2

4

6

8

10

aksi

mal

na d

olži

na v

rste

020,5 19,5 18,5 17,5 16,5 15,5


Ma

12.10.2010

34

Čas čakanja

80[h]

20

30

40

50

60

70

čen ča

s ča

kanj

a v

vrst

i [

0

10

20,5 19,5 18,5 17,5 16,5 15,5


Povp

re

Sprememba parametrov na bloku

ADVANCE

Č k Utili ij M Q AVG ti QČas razk. Utilizacija Max Q AVG time Q15,10 0,984 6 34,56714,10 0,929 3 10,81213,10 0,866 3 4,7612,10 0,787 1 2,09511,10 0,725 1 1,35310,10 0,662 1 0,91

12.10.2010

35


1

0,60,650,7

0,750,8

0,850,9

0,951

Util

izac

ija D

OK

0,50,55

,

15,10 14,10 13,10 12,10 11,10 10,10

Čas razkladanja - blok ADVANCE

Vrsta

7

2

3

4

5

6

ksim

alna

dol

žina

vrs

te

0

1

15,10 14,10 13,10 12,10 11,10 10,10


Mak

12.10.2010

36

Čas čakanja

40h]

10

15

20

25

30

35

40

čen ča

s ča

kanj

a v

vrst

i [h

0

5

15,10 14,10 13,10 12,10 11,10 10,10


Povp

reč

Kontrola izvajanja simulacijskega teka

• Na bloku TERMINATE s parametrom A transakcija zapusti modelmodel

• Parameter A je celo število in določa vrednost, ki jo odštejemo števcu terminacij (TC – Termination Counter)

• Vrednost števca TC določimo s kontrolnim stavkom START (npr. START 100)

• Ko je vrednost števca TC enaka 0 (ali manjša) se simulacijski tek ustavitek ustavi

12.10.2010

37

Sprememba parametrov na kontrolnem stavku START

START Utilizacija Max Q AVG time Clock100 0,984 6 34,567 1617500 0,943 7 23,141 8006

1000 0,951 8 26,536 160311500 0,943 8 22,428 240502000 0 944 8 20 958 320362000 0,944 8 20,958 320362500 0,94 8 18,889 40068


0,99

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

Utili

zaci

ja D

OK

0,91

0,92

100 500 1000 1500 2000 2500

START

12.10.2010

38

Vrsta

9

23456789

ksim

alna

dol

žina

vrs

te

01

100 500 1000 1500 2000 2500

START

Mak

Čas čakanja

40[h]

10

15

20

25

30

35

ečen

čas

čak

anja

v v

rsti

0

5

100 500 1000 1500 2000 2500

START

Pov

pre

12.10.2010

39

Čas izvajanja simulacijskega teka

45000

1000015000200002500030000350004000045000

Sim

ulac

ijska

ura

05000

100 500 1000 1500 2000 2500

START

Kontrola izvajanja simulacijskega teka glede na simulacijski čas

• Primer modela z dvema blokoma

kontrolna transakcija jeuvedena ob času 120časovnih enot120

GENERATE

števec TC (termination counter)zmanjšamo za 1

TERMINATE1

12.10.2010

40

Model ‐ ura

SIMULATE** Model z dvema blokoma** GPSS/H blokovni del*

GENERATE 120 Uvedba transakcije v modelTERMINATE 1 Transakcija zapusti model


START 1 TC postavimo na 1END

Luka – simulacija 5 dni

• Koliko ladij bo raztovorjenih v petih dnevih?

• Uvedemo kontrolo simulacijskega teka glede na simulacijski čas.

12.10.2010

41



QUEUE

16,5

GENERATEkontrolna transakcija jeuvedena ob času 120časovnih enot


120

GENERATE

TERMINATE1

Luka – simulacija 5 dni,blokovni diagram

razkladanje ladje

ladja je v doku


DEPART

ADVANCE

DOK

SEIZE



15,10

DOKRELEASE

Luka – simulacija 5 dniSIMULATE

** Simulacija luke** GPSS/H blokovni del*

GENERATE 16,5 Prihod ladij v luko 15 +- 5 urQUEUE VRSTADOK Ladja se postavi v vrstoSEIZE DOK Ladja je v dokuDEPART VRSTADOK Ladja zapusti vrstoADVANCE 15,10 Čas razkladanjaRELEASE DOK Ladja zapusti dok - dok je prostTERMINATE Ladja zapusti luko

** Kontrola simulacijskega teka - uraKontrola simulacijskega teka ura*


* GPSS/H kontrolni stavki*


12.10.2010

42

Kontrolni stavek CLEAR

• Pomoč pri izvajanju več zaporednih simulacijskih tekovsimulacijskih tekov.

• Odstrani vse transakcije iz modela.• Absolutno in relativno uro postavi na nič.• Naključni generator ni ponovno nastavljen, generiranje naključnih števil se nadaljuje iz predhodnega teka.

Luka, kontrolni stavek CLEAR

SIMULATE** Simulacija luke – uporaba kontrolnega stavka CLEAR*** GPSS/H blokovni del**

GENERATE 16,5 Prihod ladij v luko 15 +- 5 urQUEUE VRSTADOK Ladja se postavi v vrstoSEIZE DOK Ladja je v dokuDEPART VRSTADOK Ladja zapusti vrstoADVANCE 15,10 Čas razkladanjaRELEASE DOK Ladja zapusti dok - dok je prostTERMINATE 1 L dj ti l kTERMINATE 1 Ladja zapusti luko


START 100 TC (Termination counter) postavimo na 100CLEAR CLEAR za drugo ponovitevSTART 100 TC (Termination counter) postavimo na 12CLEAR CLEAR za tretjo ponovitevSTART 100 TC (Termination counter) postavimo na 12END

12.10.2010

43

Luka, kontrolni stavek CLEAR,rezultati

Tek Utilizacija AVG time /Max Q AVG time Clock1. 0,984 15,906 6 34,567 16172. 0,961 15,609 3 15,986 16253. 0,867 14,197 4 7,793 1637Povprečje: 0,94 15,24 4,33 19,45 1626,33

Kontrolni stavek RESET

• Pomoč pri izvajanju statističnih eksperimentov v GPSS/H./

• Postavi vso statistiko in vrednost relativne ure na 0.• Trenutnih transakcij ne odstrani iz modela.• Vrednost absolutne ure se ne spremeni.• Aktivira se relativna ura.• Skupaj s stavkom START se uporablja za ugotavljanje

delovanja modela v pogojih stabilnega delovanja

12.10.2010

44

Luka, model, kontrolni stavek, RESET

SIMULATE** Simulacija luke – kontrolni stavek RESET** GPSS/H blokovni delGPSS/H blokovni del*

GENERATE 16,5 Prihod ladij v luko 15 +- 5 urQUEUE VRSTADOK Ladja se postavi v vrstoSEIZE DOK Ladja je v dokuDEPART VRSTADOK Ladja zapusti vrstoADVANCE 15,10 Čas razkladanjaRELEASE DOK Ladja zapusti dok - dok je prostTERMINATE 1 Ladja zapusti luko

** GPSS/H kontrolni stavki**

START 1000 TC (Termination counter) postavimo na 1000RESET RESET za drugo ponovitevSTART 1000 TC (Termination counter) postavimo na 1000RESET RESET za tretjo ponovitevSTART 100 TC (Termination counter) postavimo na 12END

Luka, kontrolni stavek RESET,rezultati

Tek Utilizacija AVG time Max Q AVG time R. Clock A. Clock

• Uporaba parametra NP – (no print)

1. 0,951 15,249 8 26,536 16031 160312. 0,937 15,002 5 15,379 16005 320363. 0,916 14,484 3 8,55 1581 33617Povprečje: 0,93 14,91 5,33 16,82

p p p

START 1000,NP TC = 1000, NP - ne izpišemo rezultatovRESET RESET za drugo ponovitevSTART 1000,NP TC = 1000, NP - ne izpišemo rezultatovRESET RESET za tretjo ponovitevSTART 100 TC = 100END

12.10.2010

45

Luka – dva doka, situacijska shema


V pristanišču odpremo šeen dok z enako kapaciteto.

vrsta

razkladanje

pKakšna bo zasedenost dokain čas čakanja v vrsti?

razkladanjeladij

ladja zapustiluko

Luka – dva doka, bloka ENTER in LEAVE

ladja je v dokuDOK

ENTER

DOK


DOKLEAVE


A Ime strežnega mesta tipa STORAGE (katerega eno ali več strežnih mest je zasedenih na bloku ENTER ter sproščenih na bloku LEAVE)


B Število strežnih mest, ki se zasedejo na bloku ENTER ter sprostijo na bloku LEAVE

1

12.10.2010

46



QUEUE

16,5

GENERATEkontrolna transakcija jeuvedena ob času 120časovnih enot


120

GENERATE

TERMINATE1

razkladanje ladje

ladja je v doku


DEPART

ADVANCE

15 10

DOK

ENTER

Luka – dva doka, blokovni diagram



15,10

DOKLEAVE

Luka – dva doka, modelSIMULATE

** Simulacija luke** Deklaracija mehanizma strežbe (STORAGE)*

STORAGE S(DOK),2** GPSS/H blokovni del*

GENERATE 16,5 Prihod ladij v luko 15 +- 5 urQUEUE VRSTADOK Ladja se postavi v vrstoENTER DOK Ladja je v enem izmed dokovDEPART VRSTADOK Ladja zapusti vrstoADVANCE 15,10 Čas razkladanjaLEAVE DOK Ladja zapusti dok - dok je prostTERMINATE Ladja zapusti luko

** Kontrola simulacijskega teka - ura*


* GPSS/H kontrolni stavki*


12.10.2010

47

Luka – dva doka, rezultati

Utilizacija AVG time Q1 DOK 0,78 0,772 DOKA 0,39 0,00

Primer – mejni prehod, uporaba bloka TRANSFER

Na mejni prehod pripelje vozilo v povprečju vsakih 30 sekund z odklonom 20 sekund, časi so enakomerno porazdeljeni. Medz odklonom 20 sekund, časi so enakomerno porazdeljeni. Med vozili je20 % avtobusov, ki jih pregleduje prvi od dveh carinikov, povprečni čas pregleda je 200 s z odklonom +‐ 80 s. Ostala vozila pregleduje drugi carinik. Čas enega pregleda je 20 s z odklonom +‐ 10 s. Napišite rešitev – program v simulacijskem jeziku GPSS/H.

12.10.2010

48

Mejni prehod – situacijska shema

prihodi vozil

vrsta -ostala vozila

vrsta -avtobusi

20 % avtobusov 80 % ostalih vozil

pregledostalih vozil

pregledavtobusov

vozila zapustijomejni prehod

Blok TRANSFER

20% vozil je avtobusov, 80% ostalihTRANSFER (OSTALI)TRANSFER

.80(OSTALI)

(AVTOB)


A Delež časa, pri katerem bo blok C – OSTALI sekvenčni oz. naslednji blok (Next Block)


B Kazalec na blok (blok B) Blok B je sekvenčni blok

C Kazalec na blok (blok C) Napaka (error) pri prevajanju

12.10.2010

49

Mejni prehod – blokovni diagram

prihodi vozil

20% vozil je avtobusov, 80% ostalih

avtobusi sepostavijo v vrsto

osebna vozilase postavijo v vrsto

30,20

GENERATE

TRANSFER.80

(OSTALI)

(OSTALI)(AVTOB)

VRSTAA VRSTAOQUEUE QUEUE

postavijo v vrsto se postavijo v vrsto

carinik pričnes pregledovanjem

carinik pričnes pregledovanjem

avtobus zapustivrsto

osebno vozilozapusti vrsto

CAR2CAR1

SEIZESEIZE

VRSTAA VRSTAODEPART DEPART

VRSTAA VRSTAO

RELEASE RELEASE

čas potrebenza pregled

čas potrebenza pregled

avtobus je pregledan,carinik je prost

osebno vozilo jepregledano, carinik je prost

ADVANCE ADVANCE

200,80 20,10

avtobus zapusticarino

osebno vozilozapusti carino

TERMINATE TERMINATE1 1

CAR1 CAR2

Mejni prehod ‐modelSIMULATE

** Primer - mejni prehod** GPSS/H blokovni del**

GENERATE 30,20 Časi prihodov vozilTRANSFER 80 AVTOB OSTALI 20% vozil je avtobusov 80% ostalihTRANSFER .80,AVTOB,OSTALI 20% vozil je avtobusov, 80% ostalih

** Pregled avtobusov*AVTOB QUEUE VRSTAA Avtobus se postavi v vrsto

SEIZE CAR1 Zaposlimo carinikaDEPART VRSTAA Zapustimo vrstoADVANCE 200,80 Čas pregledaRELEASE CAR1 Carinik je opravil pregledTERMINATE 1 Število pregledanih povečamo za 1

** Strežba ostalih*OSTALI QUEUE VRSTAO Vozilo se postavi v vrsto

SEIZE CAR2 Zaposlimo carinikaDEPART VRSTAO Zapustimo vrstoADVANCE 20,10 Čas pregledaRELEASE CAR2 Carinik je opravil pregledTERMINATE 1 Število pregledanih povečamo za 1

** GPSS/H kontrolni stavki ...*

12.10.2010

50

Sedanjost, prihodnost simulacijskih orodij

• zgodovina simulacijskih jezikov je precej bolj ib k t d i kih j ikrazgibana kot zgodovina programskih jezikov

• objektni koncept kot osnova za abstrakcijo realnega sveta upoštevan pri orodju “SIMULA”

• orodje razvito pred časom

• razvoj ni lovil koraka s časom• razvoj ni lovil koraka s časom

Sedanjost, prihodnost (nad.)

• razvoj računalniške strojne opreme in grafike

• 3d igre

• animacija

• simulatorji

• potrebe po razvoju sodobnega orodja, ki je razvito na tehnološki platformi sedanjosti

12.10.2010

51

Sedanjost, prihodnost (nad.)

• problem razvijalcev ~ obstoječe rešitve preveč kompleksne za uvedbo spremembkompleksne za uvedbo sprememb

• nezmožnost prilagajanja• neupoštevanje objektnega pristopa• neustrezen pristop k razvoju aplikacije• obremenjenost razvijalcev z “zgodovino”

i t i i j č l išk fik• na eni strani izjemna računalniška grafika, na drugi strani delo z ikonografijo ter konzolnimi aplikacijami

Flexsim

• www.flexsim.com• Orodje za dogodkovno in zvezno simulacijo sistemovOrodje za dogodkovno in zvezno simulacijo sistemov• Omogoča analizo, vizualizacijo ter optimizacijo procesov –

proizvodnja, oskrbovalna veriga, strežni sistemi, organizacijski sistemi itd.

• Flexsim je orodje, ki je zasnovano na paradigmi izgradnje 3D interaktivnih simulacijskih modelov

• 3D interaktivno delovno okolje• Uvoz in izvoz podatkov iz in v preglednico Excel• 3D interaktivni prikaz simulacijskih rezultatov kot. Npr.

izkoriščenost strežnega mesta, povprečna dolžina vrste, čas čakanja v vrsti itd.

12.10.2010

52

Simulacijska študija

• Opredelitev problema

• Izgradnja modela

• Izvedba simulacije

• Izdelava 3D predstavitve

• Izdelava datoteke s posnetkom .avi .mpg

Zasnova

• Flexsim je edino orodje, ki vključuje C++ IDE (Integrated Development Environment) s prevajalnikom v obliki grafičnega okolja za modeliranje

• C++ lahko uporabimo neposredno pri definicij logike modela• Brez DLL‐ov ter kompleksnih povezovanj z uporabniško

podanimi spremenljivkami• Zahtevni simulacijski projekti• Napredna alternativa na področju razvoja simulacijskih orodij

in izgradnje simulacijskih modelov

12.10.2010

53

Modeliranje• Uporaba visoko razvitih objektov, ki predstavljajo procesne aktivnosti ter

sisteme vrst in razvrščanja• Enostavna uporaba povleci in klikni (drag and drop)• Enostavna uporaba – povleci in klikni (drag‐and‐drop)• Izredno hiter razvoj modelov• Realizacija kompleksne logike je zajeta v objektu• Uporabniška prilagodljivost objektov• Vsak objekt je možno v izjemno velikem obsegu prilagoditi uporabniku• Objekte lahko ustvarimo, uničimo ter celo vstavimo v druge objekte• Podamo lahko unikatne lastnosti objekta in funkcionalnost ali pa določene

dele dedujemo (objektna tehnologija)• Objektna tehnologija je uporabljena za hitor in učinkovito izgradnjo

modelov• Uporaba – na področju proizvodnje ali poslovanja

Hierarhija• Flexsim omogoča hierarhično izgradnjo modela• Hierarhičnost izboljšana funkcionalnost modela ter sam proces

modeliranjamodeliranja• Dedovanje je osnovni princip izgradnje uporabniško podanih objektov• Z objektno tehnologijo pospešimo proces razvoja ter zmanjšamo potrebo

virih• Uporaba dedovanja je enostavna• Hierarhična struktura omogoča predstavitev kompleksnih sistemov• Logična ureditev objektov – hierarhija• Razumevanje modela ter istočasna delitev nalog med razvijalci• Uporaba celotnega Microsoft Visual C++ okolja ter njegovih hierarhičnih

lastnosti• Flexsimova drevesna struktura omogoča enostaven pregled in organizacijo

objektov

12.10.2010

54

Uporabniško prirejanje• Uporabniško prirejanje v orodju Flexsim je dobro podprto• Vsak del razvite programske opreme “ima v mislih” uporabnika ter

izpolnjevanje zahtev uporabnikovizpolnjevanje zahtev uporabnikov• Dostopno s strani uporabnika, npr.: objekti, pogledi, GUI, meniji, seznami

opravil, parametri objektov• Podajanje lastne logike modela – uporabniško razvite• Priredba in dopolnitev ali izgradnja modelov “od začetka”• Možnost ponovne uporabe objektov• Objekti se lahko ustvarijo ter modificirajo z uporabo jezika C++, ki je srce

FlexsimaC++ lj d i bj kt• C++ upravlja z odzivom objektov

• Izgled Flexsima, uporabniški vmesnik, opravilne vrstice, meniji in GUI so kontrolirani preko “flexscript”‐a – zmogljive C++ knjižnice

Izmenljivost

• Zaradi odprtosti objektov jih lahko izmenjujemo med uporabniki, knjižnicami in modeliuporabniki, knjižnicami in modeli

• Visoka stopnja zmožnosti uporabniškega prirejanja ter izmenljivost pomembno povečata hitrost izgradnje modela (proces modeliranja)

• Po tem, ko dodamo objekt v uporabniško knjižnico je vse, kar je potrebno za njegovo uporabo v nekem

d l l išknovem modelu le poteg miške• Izboljšan življenjski ciklus tako objektov kakor tudi modelov

12.10.2010

55

Simulacijsko jedro

• Simulacijsko jedro skrbi za vizualizacijo modela, izris 3D in ortografskih predstavitev

• Simulacijsko jedro izvede preračun simulacijskih parametrov v realnem in “pospešenem” času

• Jedro skrbi za izvajanje klicev funkcij, preračunov, generiranje naključnih spremenljivk ter generiranje simulacijskih rezultatov

• Flexscript omogoča uporabo ukazov, ki jih posredujemo i l ij k j d b i dbi i l ij k d lsimulacijskemu jedru ob izvedbi simulacijskega modela

• Omogočena uporaba simulacijskega jedra s strani uporabnika ob izvedbi simulacijskega jedra – aplikativna učinkovitost

Dodatne možnosti

• Orodje za izvajanje scenarijev “kaj‐če”• Avtomatska izvedba scenarijev in shranjevanjeAvtomatska izvedba scenarijev in shranjevanje simulacijskih rezultatov

• Analiza učinkovitosti sistema• Standardni izhodni podatki• Možnost definiranja lastnih izhodnih vrednosti• Izvoz v standardne okenske aplikacije (preglednica ipd )ipd.)

• ODBC• DDE

12.10.2010

56

Vizualizacija

• Orodje Flexsim je zgrajeno s ciljem popolne 3D interaktivnosti modelov

• 1slika = 1000besed• 1posnetek = 10003 besed• Uporabljena je trenutno najsodobnejša tehnologija na

področju računalniške grafike: OpenGL• Možnost uvoza formatov 3D modelov: (.3ds (3D Studio MAX),

.wrl (VRML), .dxf (AutoCAD), in .stl)• Možnost dodajanja izvorov svetlobe, megle in drugih vizualnih

efektov

Vizualizacija (nad.)

• Učinkoviti algoritmi za natančen preračun fikgrafike

• Možnost izvedbe površin s kovinskim leskom –krom, zlago, steklo v realnem času

• Virtualna resničnost

12.10.2010

57

Predstavitve

• Poti preleta

• Generiranje video posnetka s predstavitvijo

• Vključena poslovna grafika – grafikoni, preglednice, histogrami itd.

• Izdelava uporabniško podanih poročil

• AC3D – izdelava poljubnih 3D objektov

Expert Fit• Del simulacijskega orodja Flexsim je Expert Fit• Avtomatsko ter natančno določanje porazdelitve, ki se najbolj prilega

realnim podatkomrealnim podatkom• Pomembna metodološka točka• Podpora pri naborih podatkov, ki niso celoviti• Izvedba prilagajanja porazdelitev na področju proizvodnje, poslovanja,

organizacije, vojske itd.• Izvoz porazdelitev v ustrezen format• Porazdelitve s področja aktuarstva, kemije, okonomije, ekoloških študij,

financ, gozdarstva, hidrologije, medicine, meteorologije, rudarstva, igralništva fizike psihologije zanesljivosti inženirstva in analize tveganjaigralništva, fizike, psihologije, zanesljivosti, inženirstva in analize tveganja

• Vodilno orodje na področju prilagajanja porazdelitvenih funkcij

12.10.2010

58

GPSS ~ Flexsim

GPSS ~ Flexsim

12.10.2010

59

GPSS ~ Flexsim

GPSS ~ Flexsim

12.10.2010

60

Flexsim ~ delovna površina z realnimi dimenzijami 1m x 1m

Primerjava GPSS ~ Flexsim

12.10.2010

61

Hierarhija, objekti

• Vsak element jed fi i i ldefiniran v smisluobjekta

• Drevesna struktura

Simulacija• Ali bo proizvodna enota izboljšala prepustnost?• Kateri so vzroki za ozka grla v proizvodnji?

Ali j j ih d l d i š k fi č i či k i i i ?• Ali najemanje novih delavcev doprinaša k finančni učinkovitosti sistema?• Ali je potrebno zagotoviti višjo izkoriščenost strežnih mest?• Kakšen je vpliv organizacije sistema na njegovo učinkovitost?

• Na zgoraj navedena vprašanja lahko odgovorimo na determinističen način.• S pomočjo Flexsima in uporabe statističnih porazdelitev lahko upoštevamo

faktorje, ki pomembno vplivajo na obravnavani sistem• Zaupanja vredna rešitev – validacija modela• Izvedba pravih akcij v realnem sistemu

12.10.2010

62

Primer ~ embaliranje

• Vprašanja v zvezi s proizvodnjo (embaliranje)

Š• Število proizvodov v eni uri?

• Izvedba mešanic, tehtanja, embaliranja

• Uravnoteženost postavitve

• Organizacija dela

• Vizualizacija

12.10.2010

63

Primer ~ pristanišče (luka)

• simulacija pristanišča (luke)

• natovarjanje, razkladanje ladijskih zabojnikov

• simulacija prihodov ladij

• simulacija transporta

• analiza kombinacij transporta ~ železnica, priklopniki

• razviti objekti (žerjavi ipd.)

12.10.2010

64

Primer ~ skladiščenje

• modeliranje procesov v skladišču

• orodje je primerno za modeliranje sistemov različnih kompleksnosti

• določitev zaporedja aktivnosti

• izpolnjevanje naročil in potreb kupcev

• vizualizacija procesov v skladišču ~ 3d

12.10.2010

65

12.10.2010

66

Primer ~ upravljanje z materialom

• simulacija in optimizacija sistemov za lj j t i lupravljanje z materialom

• možnost znatnih prihrankov

• vizualizacija delovanja tekočih trakov, viličarjev, avtomatsko vodenih vozil, žerjavov, robotov in ljudirobotov in ljudi

• določitev ustreznosti kapacitete ob konicah povpraševanja

12.10.2010

67

Primer ~ proizvodnja

• Število proizvodov v eni uri?• embaliranje tehtanje• embaliranje, tehtanje• uravnoteženost proizvodnega sistema• analiza pretočnosti• določitev ozkih grl• izkoriščenost strežnih mest

li d l ih ij• analize delovnih operacij• analiza izvedljivosti in učinkovitosti proizvodnega plana

12.10.2010

68

Primer ~ uporabniško podana domena

• reševanje problemov v domeni podani s strani b ikuporabnika

• upravljanje v primeru večjih naravnih nesreč

• procesna proizvodnja

• žaga

• razvoj uporabniških knjižnic in objektov za ponovno uporabo

12.10.2010

69

12.10.2010

70

Primer ~ predstavitev

• nadomestilo za predstavitve s P P i tPowerPoint‐om

• 3d predstavitve

• preleti preko objekotv

• vstavljanje napisov ter interaktivni izpis rezultatovrezultatov

12.10.2010

71

Univerza v Mariboru Optimiranjein simulacija · 2019-03-20 · 12.10.2010 1 Univerza v Mariboru...

Documents

Transcript of Univerza v Mariboru Optimiranjein simulacija · 2019-03-20 · 12.10.2010 1 Univerza v Mariboru...