Univerza v Mariboru Fakulteta za kmetijstvo in …pripravo na izpit iz matematike. Zbirka pokriva...

Univerza v Mariboru

Fakulteta za kmetijstvo in biosistemske vede

Zbirka nalog iz matematike

TADEJA KRANER SUMENJAK

IN

VILMA SUSTAR

Maribor, 2010

Predgovor

Nekaj let ze vodim vaje iz matematike in statistike na razlicnih studijskih smerehstudija na Fakulteti za kmetijstvo in biosistemske vede Univerze v Mariboru. Studentiprograma biosistemsko inzinerstvo in studenti programa kmetijstvo-univerzitetniprogram imajo v 1.letniku predmet matematika. Studentje visokosolskih strokovnihstudijskih programov pa predmet matematika in statistika. Zbirka nalog je dopol-nitev ucbenika Matematika in je namenjena studentom za utrjevanje znanja inpripravo na izpit iz matematike. Zbirka pokriva ucni nacrt pri predmetu matem-atika in delno pokriva ucni nacrt pri predmetu matematika in statistika. Nekaterevsebine se ne predavajo na visokosolskih strokovnih studijskih programih. Nekaterenaloge v zbirki so povzete po drugi literaturi, vecina nalog pa je iz arhiva starihkolokvijev in izpitov.

V Mariboru, september 2010

Tadeja Kraner Sumenjak

iii

iv PREDGOVOR

Kazalo

Predgovor iii

I Osnove linearne algebre 1

1 Determinante 3

1.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Matrike 7

2.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Sistemi linearnih enacb 13

3.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Linearno programiranje 19

4.1 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Resive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Vektorji 23

5.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3 Resive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

v

vi KAZALO

II Osnove matematicne analize 31

6 Procentni racun 336.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 Raztopine 377.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Zaporedja 418.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9 Vrste 479.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10 Funkcije in njihove lastnosti 5110.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

11 Odvod 6311.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

12 Integral 7312.1 Formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7312.2 Naloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7412.3 Resitve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Del I

Osnove linearne algebre

1

Poglavje 1

Determinante

1.1 Formule

1. Determinanta drugega reda:

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21.

2. Determinanta tretjega reda:

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32−a13·a22·a31−a11·a23·a32−a12·a21·a33.

3. Razvoj determinante po i-ti vrstici:

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....

an1 an2 an3 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin.

1.2 Naloge

1. Izracunajte vrednost naslednjih determinant:

a)

∣∣∣∣2 −31 8

∣∣∣∣ ,

3

4 POGLAVJE 1. DETERMINANTE

b)

∣∣∣∣sinδ cosδcosδ −sinδ

∣∣∣∣ ,

c)

∣∣∣∣a + b a− ba− b a + b

∣∣∣∣ ,

d)

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 2 31 3 6

∣∣∣∣∣∣,

e)

∣∣∣∣∣∣

2 3 75 4 16 8 9

∣∣∣∣∣∣,

f)

∣∣∣∣∣∣

1 + cos α 1 + sin α 11− sin α 1 + cos α 1

1 1 1

∣∣∣∣∣∣,

g)

∣∣∣∣∣∣

−1 1 11 −1 −11 1 −1

∣∣∣∣∣∣,

h)

∣∣∣∣∣∣

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣,

i)

∣∣∣∣∣∣

2 2x 22x 2 2x2 −2x 2

∣∣∣∣∣∣.

2. Pokazite enakost determinant

∣∣∣∣∣∣

a1 − x b1 − y 1a2 − x b2 − y 1a3 − x b3 − y 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 1a2 b2 1a3 b3 1

∣∣∣∣∣∣.

3. Resite enacbe:

a)

∣∣∣∣∣∣

1 x x2

1 x2 x4

1 x3 x6

∣∣∣∣∣∣= 0,

b)

∣∣∣∣∣∣

x3 − 27 x2 − 9 x− 3x2 x 1x3 x2 x

∣∣∣∣∣∣= 0,

c)

∣∣∣∣∣∣

x 2 33x 1 −10 x 1

∣∣∣∣∣∣= 0,

1.3. RESITVE 5

d)

∣∣∣∣∣∣

x2 3 1x −1 10 1 3

∣∣∣∣∣∣= 0,

e)

∣∣∣∣∣∣

x2 4 9x 2 31 1 1

∣∣∣∣∣∣= 0.

4. Izracunajte ploscino trikotnika z oglisci

a) A(1, 3), B(2, 4), C(3, 5),

b) A(−5, 1), B(6, 2), C(−1,−3).

5. Izracunajte determinanto

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 −5 2 −4−3 4 −5 3−5 7 −7 58 −8 5 −6

∣∣∣∣∣∣∣∣.

6. Resite enacbo

∣∣∣∣∣∣∣∣

x 1 0 03 x 2 00 2 x 30 0 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0.

1.3 Resitve

1. a) 19,

b) −1,

c) 4ab,

d) 1,

e) 51,

f) 1,

g) 0,

h) 1,

i) 0.

2. Sta enaki.

3. a) x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1,

b) enacba je resljiva za vsak x iz R,

6 POGLAVJE 1. DETERMINANTE

c) x1 = 0, x2 = 12,

d) x1 = 0, x2 = −2,

e) x1 = 2, x2 = 3.

4. a) S = 0, Namig: S∆ = ±12

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣.

b) S = 24.

5. 17.

6. x1 = 3, x2 = −3, x3 = 1, x4 = −1.

Poglavje 2

Matrike

2.1 Formule

1. Matrika A:

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....

an1 an2 an3 . . . ann

.

2. Enakost matrikMatriki sta enaki, ce sta iste dimenzije in imate enake istolezne elemente.

3. Vsota matrikSestevamo lahko le matrike istih dimenzij. Dve matriki sestejemo tako, dasestejemo istolezne elemente.

4. Mnozenje matrike s skalarjemMatriko A = [aij] pomnozimo s skalarjem λ ∈ R tako, da z njim pomnozimovse elemente v matriki.

5. Produkt matrikDve matriki lahko pomnozimo natanko takrat, ko je stevilo stolpcev prve ma-trike enako stevilu vrstic druge matrike. Naj bo torej A = [aij] matrika dimen-zije m× p in B = [bij] matrika dimenzije p× n. Potem je produkt C = A · Bmatrika dimenzije m× n s splosnim elementom:

cij =

p∑

k=1

aikbkj = ai1b1j + ai2b2ij + ... + aipbpj.

7

8 POGLAVJE 2. MATRIKE

6. Transponirana matrika:

AT =

a11 a21 a31 . . . an1

a12 a22 a32 . . . an2...

......

. . ....

a1n a2n a3n . . . ann

.

7. Enotska matrika:

I =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . 1

.

Za vsako kvadratno matriko A velja:

AI = IA = A.

8. Adjungirana matrika:

A =

A11 A21 A31 . . . An1

A12 A22 A32 . . . An2...

......

. . ....

A1n A2n A3n . . . Ann

.

9. Inverzna matrika: A−1 = 1det(A)

· A, det(A) 6= 0.

2.2 Naloge

1. Dani sta matriki A =

3 0 11 1 12 −1 0

in B =

−1 0 1−1 1 −14 3 2

. Izracunajte

A−B, 12(A + B), 2A + 3B − I.

2. Izracunajte produkta AB in BA za matriki iz prejsnje naloge.

3. Resite enacbo 3(A + I) − 2X = B2 za matriki A in B iz naloge (1). X jeneznana matrika.

4. Pokazite, da velja:

5 8 −46 9 −54 7 −3

·

3 2 54 −1 39 6 5

=

11 −22 299 −27 3213 −17 26

.

2.2. NALOGE 9

5. Pokazite, da za matriki A =

[1 −12 −1

]in B =

[1 14 −1

]velja

(A + B)2 = A2 + B2.

6. Izracunajte AB in BA, kadar je mozno:

a) A =

[1 2 34 5 6

]in B =

1 1 11 2 41 3 9

,

b) A =

[2 1 −10 3 5

]in B =

1 21 −21 3

,

c) A =[

5 1 3]

in B =

−129

,

d) A =

3 −1 2 01 0 2 −31 1 2 12

in B =

1 12 33 4−1 0

.

7. Za matriki A =

5 8 −46 9 −54 7 −3

in B =

1 2 3−4 −5 −63 2 0

izracunajte A2 in

AB.

8. Danim matrikam poiscite inverzne matrike (ce obstajajo):

A =

[1 35 −2

], B =

[2 15 2

], C =

2 2 31 −1 0−1 2 1

, D =

3 2 10 0 1−1 2 4

.

9. Resite matricne enacbe:

a)

[1 23 4

]X =

[3 55 9

],

b) Y

4 3 11 −3 −2−5 2 1

=

−8 3 0−5 9 0−2 15 0

,

c)

2 −3 14 −5 25 −7 3

Z

9 7 61 1 21 1 1

=

2 0 −218 12 923 15 11

.


10. Resite matricno enacbo (A− 2I)X = A + I, ce je A =

0 1 22 3 41 0 1

.

2.3 Resitve

1. A−B =

4 0 02 0 2−2 −4 −2

, 1

2(A + B) =

1 0 10 1 03 1 1

,

2A + 3B − I =

2 0 5−1 4 −116 7 5

.

2. AB =

1 3 52 4 2−1 −1 3

, BA =

−1 −1 −1−4 2 019 1 7

.

3. X =

72−3

21

72

4 72

52−6 −1

.

4. Enakost velja.

5. Velja.

6. a) AB =

[6 14 3615 32 78

],

produkta BA ni mogoce izracunati,

b) AB =

[2 −18 9

], BA =

2 7 92 −5 −112 10 14

,

c) AB = [24] ,

BA =

−5 −1 −310 2 645 9 27

,

d) AB =

7 810 9−3 12

,

produkta BA ni mogoce izracunati.

2.3. RESITVE 11

7. A2 =

57 84 −4864 94 −5450 74 −42

, AB =

−39 −38 −33−45 −43 −36−33 −33 −30

.

8. A−1 = 117

[2 35 −1

], B−1 =

[ −2 15 −2

], C−1 =

1 −4 −31 −5 −3−1 6 4

, D−1 =

14

34

−14

18−13

838

0 1 0

.

9. a) X =

[ −1 −12 3

],

b) Y =

1 2 34 5 67 8 9

,

c) Z =

1 1 11 2 32 3 1

.

10. X = 14

1 1 23 1 6−1 1 −2

.

Poglavje 3

Sistemi linearnih enacb

3.1 Formule

1. Sistem m enacb z n neznankami

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2...

......

. . ....

...am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

.

2. Matrika sistema

A =

a11 a12 a13 . . . a1n

a21 a22 a23 . . . a2n...

......

. . ....

am1 am2 am3 . . . amn

.

3. Razsirjena matrika sistema

[A|B] =

a11 a12 a13 . . . a1n | b1

a21 a22 a23 . . . a2n | b2...

......

. . .... | ...

am1 am2 am3 . . . amn | bn

.

4. Cramerjevo pravilo (D 6= 0), xi = detAi

detA, kjer je Ai matrika, v kateri i-ti

stolpec zamenjamo s stolpcem B.

5. Gaussova eliminacijska metoda Z elementarnimi transformacijami (za-menjava dveh vrstic, mnozenje vrstice s poljubnim faktorjem, pristevanje ene

13

14 POGLAVJE 3. SISTEMI LINEARNIH ENACB

vrstice k drugi) preoblikujemo sistem enacb v ekvivalenten sistem oblike

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1

a′22x2 + a′23x3 + . . . + a′2nxn = b′2. . .

......

a′mnxn = b′m

.

6. Homogeni sistem ima desno stran v celoti enako 0.

7. Resljivost sistema glede na rang matrike

( ) ( | )rang A rang A b<sistem je protisloven

( ) ( | )rang A rang A b=sistem je rešljiv

( )ra n g A n=

določen sistem

(ena sama re )šitev

nedoločen sistem(parametrična družinarešitev)

( )rang A n<

vedno rešljiv

( )rang A n=trivialna rešitev:

(0,0,...,0)

( )rang A n<parametričnadružina rešitev

NEHOMOGENI SISTEMI HOMOGENI SISTEMI

3.2 Naloge

1. Resite sisteme enacb:

a)2x − 3y + 4z = 10

−y + z = 2−x + y = 2x + 3z = 12x + 2z = 8

,

b)2x + y − z = 1x + 2y + z = 5x − y + 3z = 6x + y + z = 4

2x − z = 0

,

c)2x − y + 3z = 0x + 2y − 5z = 03x + y − 2z = 0

,

3.2. NALOGE 15

d)2x + y + 3z = 03x + 3y − z = 0x − y + 5z = 0

,

e)x + y + z + 3t = 03x + 3y − 2z + 4t = 02x + 2y − 3z + t = 0x − y + 2z + 2t = 0

,

f)x + y − 2z = 02x + y − 3z = 06x − y − 5z = 02x + 2y − 4z = 0

,

g)2x − y + 4z = 2x + 4y − 2z = 5x − 5y + 6z = 1

.

2. Za katero vrednost parametra a bo naslednji sistem

ax + 2y + 3z = 12x − y + z = 0

x + y = 2

protisloven?

3. Za katere vrednosti parametra a ima sistem

a2x + 4y + 9z = −6ax + 2y + 3z = 0x + y + z = 1

eno samo resitev?

4. Za katere vrednosti parametra a ima naslednji sistem

x − y + 5z = 5x + 3y + 5z = 15x + y + az = 0


a) natanko eno resitev,

b) nobene resitve,

c) neskoncno mnogo resitev?

5. Pokazite, da ima sistem poleg trivialne resitve tudi netrivialno in ga resite

x − y − 2z = 02x + 5z = 0

4x − 2y + z = 0.

6. Ugotovite, za katere vrednosti parametra a ima homogeni sistem

x + y + z = 0ax + 4y + z = 06x + (a + 2)y + 2z = 0

samo trivialno resitev.

7. S pomocjo determinant (Cramerjeva metoda) resite naslednja sistema enacb:

a)2x + 3y + 5z = 103x + 7y + 4z = 3x + 2y + 2z = 3

,

b)−3x + y = 5x + y = 1

.

3.3 Resitve

1. a) R = {(0, 2, 4)},b) R = {(1, 1, 2)},c) R = {(− z

5, 13z

5, z); z ∈ R},

d) R = {(0, 0, 0)},e) R = {(−z,−z,−z, z); z ∈ R},f) R = {(z, z, z); z ∈ R},g) sistem ni resljiv.

2. a = 11.

3.3. RESITVE 17

3. a 6= 3, a 6= 2.

4. a) a 6= −5,

b) a = −5,

c) vrednost parametra a, za katero bi sistem imel neskoncno resitev, neobstaja.

5. Netrivialne resitve sistema predstavlja mnozica:R = {(−5z

2,−9z

2, z); z ∈ R}.

6. a 6= 4 in a 6= −3.

7. a) x = 3, y = −2, z = 2,

b) x = −1, y = 2.

Poglavje 4

Linearno programiranje

4.1 Naloge

1. Kmetijska zadruga zeli sejati dve kulturi. Obvezala se je, da bo posejala na-jmanj 50 povrsinskih enot prve kulture in da bo posejala drugo kulturo nanajvec dvakratni povrsini prve kulture. Za drugo kulturo ima semen za najvec200 povrsinskih enot. Nadalje mora obe kulturi gnojiti z mineralnim gnojilom.Za prvo kulturo potrebuje na enoto povrsine 2 enoti gnojila, za drugo kulturopa eno enoto gnojila na enoto povrsine. Zadruga ima na razpolago 500 enotgnojila. Dolocite plan setve tako, da bo zasejana povrsina z obema kulturamanajvecja. Koliko prve in koliko druge kulture bodo morali zasejati?

2. Kmetijska zadruga zeli sejati dve kulturi. Prvo kulturo zeli posejati na najmanjtoliksni povrsini kot drugo kulturo. Ob tem pa zeli drugo kulturo posejati nanajmanj 10 povrsinskih enotah in najvec 30 povrsinskih enotah. Obe kulturimora gnojiti z mineralnim gnojilom. Za prvo kulturo potrebuje na enotopovrsine 2 enoti mineralnega gnojila, za drugo kulturo pa 4 enote mineralnegagnojila. Zadruga ima ob tem na razpolago 160 enot gnojila. Za obdelavo obehkultur potrebujemo enako strojnih ur na enoto povrsine. Dolocite plan setvetako, da bo poraba strojnih ur najvecja. Koliko strojnih ur bodo obratovalistroji pri optimalnem programu setve?

3. Na povrsini, ki ne sme biti vecja od 50 povrsinskih enot zelimo posejati dve kul-turi. Vendar posejana povrsina ne sme biti manjsa od 20 povrsinskih enot. Zaobdelavo prve kulture potrebujemo 10 strojnih ur, za obdelavo druge kulturepa 25 strojnih ur na enoto povrsine. Ob tem imamo na razpolago 1000 strojnihur. Prvo kulturo moramo posejati na vsaj polovicni povrsini druge kulture.Pricakovani prihodek prve kulture je 5 denarnih enot, druge pa 3 denarne

19

20 POGLAVJE 4. LINEARNO PROGRAMIRANJE

enote na enoto povrsine. Naredite taksen plan setve, da bo pricakovani pri-hodek najvecji. Koliksen je ta prihodek?

4. Kmetijska zadruga zeli sestaviti krmno mesanico iz dveh krmil. Prvo krmilokupuje pri njegovem proizvajalcu, drugo pa prideluje sama. V obeh krmilih soelementi A, B in C. V krmni mesanici zelimo imeti najmanj 3200 enot elementaA, vsaj 900 enot elementa B in ne manj kot 600 enot elementa C. V enotiprvega krmila je 32 enot elementa A, 15 enot elementa B in 5 enot elementaC. V enoti drugega krmila pa je 40 enot elementa A, 10 enot elementa B in 12enot elementa C. Obvezali smo se, da bo v krmni mesanici vsaj 20 odstotkovprvega krmila. Dolocite program mesanja tako, da bo zadruga potrebovalaminimalno kolicino kupljenega krmila.

5. Za obdelavo dveh kultur potrebujemo stiri vrste strojev. Za prvo kulturopotrebujemo na enoto povrsine 10 ur prvega stroja, 20 ur drugega stroja in 10ur tretjega stroja. Za drugo kulturo pa na enoto povrsine potrebujemo 10 urprvega, 5 ur drugega in 10 ur cetrtega stroja. Ob tem smo se obvezali, da bomoizkoristili najmanj 300 ur prvega, 300 ur drugega, 100 ur tretjega in prav tako100 ur cetrtega stroja. Kaksen mora biti plan setve, da bo skupna kolicinastrojnih ur najmanjsa? Koliko strojnih ur vsakega stroja tedaj porabimo?

6. Zadruga ima dva silosa in z njima oskrbuje dvoje pitalisc. Prvi silos lahkodnevno izda 800 enot hrane, drugi pa 1000 enot hrane. Prvo pitalisce potrebuje600 enot, drugo pa 700 enot hrane na dan. Prevoz hrane od prvega silosa doprvega pitalisca stane 3 denarne enote, do drugega pitalisca pa 4 denarne enote.Prevoz hrane od drugega silosa do prvega pitalisca stane 5 denarnih enot, dodrugega pitalisca pa 4 denarne enote. Dolocite najcenejsi nacin prevoza hraneod silosov do pitalisc. Koliko denarnih enot moramo dnevno najmanj izdatiza prevoz? Dolocite se koliksna bi bila najvisja cena prevoza!

7. Dva silosa oskrbujeta dvoje pitalisc. Prvi silos lahko izda dnevno 900 enothrane, drugi pa 700 enot hrane. Prvo pitalisce potrebuje 300, drugo pitaliscepa 700 enot hrane na dan. Cena prevoza enote hrane od prvega silosa kprvemu pitaliscu je 4, do drugega pa 3 denarne enote. Prevoz enote hrane oddrugega silosa do prvega pitalisca stane 5, do drugega pitalisca pa 2 denarnienoti. Zaradi omejitev na prevozni poti, moramo iz prvega silosa pripeljati dodrugega pitalisca vsaj toliko hrane kot do prvega pitalisca. Dolocite tak nacrtprevoza hrane, da bodo prevozni stroski najmanjsi.

8. Na voljo imamo semena dveh kultur. S semeni prve kulture lahko zasejemonajvec 80 povrsinskih enot, s semeni druge kulture pa najvec 90 povrsinskih

4.2. RESIVE 21

enot. Za obe kulturi potrebujemo dve vrsti gnojil. Za prvo kulturo potrebu-jemo na enoto povrsine 80 enot prvega in 30 enot drugega gnojila. Za drugokulturo pa potrebujemo na enoto povrsine 50 enot prvega in 40 enot drugegagnojila. Ob tem imamo na voljo 8000 enot prvega in 4500 enot drugega gno-jila. Dolocite optimalni program setve, ce veste, da je razmerje dohodka obehkultur 3 : 4.

4.2 Resive

1. Zasejati bo potrebno 150 povrsinskih enot prve in 200 povrsinskih enot drugekulture.

2. Plan setve: 60 povrsinskih enot prve kulture in 10 povrsinskih enot drugekulture. Poraba strojnih ur: 70k.

3. Zasejati je potrebno 50 povrsinskih enot prve kulture in 0 enot druge kulture.Prihodek je 250 denarnih enot.

4. 16, 6 enot prvega krmila in 66, 6 enot drugega krmila.

5. Plan setve: 10 povrsinskih enot prve in 20 povrsinskih enot druge kulture.Pri tem porabimo 300 ur prvega, 300 ur drugega, 100 ur tretjega in 200 urcetrtega stroja.

6. Najcenejsi nacin prevoza: vse tocke na daljici AB, kjer je A(600,0) in B(600,200).Dnevno moramo izdati 4600 denarnih enot. Najdrazji prevoz: vse tocke nadaljici CD, kjer je C(0,300) in D(0,600). Dnevno moramo izdati 5800 denarnihenot.

7. Resitev so vse tocke na daljici AB, kjer je A(150, 150) in B(300, 300). Prevozhrane stane 2900 denarnih enot. Napisimo se prevoz npr. v tocki A: od S1 doP1 pripeljemo 150 enot, od S1 do P2 150 enot, od S2 do P1 150 enot in od S2do P2 550 enot hrane.

8. Resitev so vse tocke na daljici AB, kjer je A(30, 90) in B(55, 9, 70, 6).

22 POGLAVJE 4. LINEARNO PROGRAMIRANJE

Poglavje 5

Vektorji

5.1 Formule

1. Dolzina vektorja |~a| = √a2

x + a2y + a2

z.

2. Skalarni produkt vektorjev ~a ·~b = |~a||~b| cos ϕ.

3. Kot med vektorjema cos ϕ = ~a·~b|~a||~b| .

4. Skalarni produkt vektorjev ~a = (ax, ay, az) in ~b = (bx, by, bz)

~a ·~b = axbx + ayby + azbz.

5. Vektorski produkt vektorjev |~a×~b| = |~a||~b| sin ϕ.

6. Koordinate vektorskega produkta vektorjev ~a = (ax, ay, az) in ~b = (bx, by, bz)dobimo z determinanto:

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣

i j kax ay az

bx by bz

∣∣∣∣∣∣= (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx).

7. Ce je ~a = (ax, ay, az), ~b = (bx, by, bz) in ~c = (cx, cy, cz), tedaj mesani produktizracunamo z determinanto

(~a×~b) · ~c =

∣∣∣∣∣∣

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣

23

24 POGLAVJE 5. VEKTORJI

8. a) Enacba premice v vektorski obliki: ~r = ~r0 + t~e oziroma (x, y, z) =(x0, y0, z0) + t(a, b, c).

b) Enacba premice v parametricni obliki:x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct

.

c) Enacba premice v kanonski obliki:

x− x0

a=

y − y0

b=

z − z0

c

9. Oddaljenost tocke T1 od premice

d =|−−→T0T1 × ~e|

|~e| .

10. Enacba ravnine v prostoru

Ax + By + Cz + D = 0.

11. Razdalja tocke (x1, y1, z1) od ravnine

p = |Ax1 + By1 + Cz1 + D√A2 + B2 + C2

|.

12. Kot med ravninama:

cos ϕ =~E1 · ~E2

| ~E1|| ~E2|.

5.2 Naloge

1. Dana sta vektorja ~a = (2, 1) in ~b = (1, 2). Narisite vektorje ~a,~b,~a +~b,~a−~b.

2. Ali sta vektorja vzporedna?

a) ~a = (−32, 6, 4

3) in ~b = (9

8,−9

2,−1)

b) ~a = (2, 1, 0) in ~b = (−4,−2, 1)

3. Ali so vektorji ~a = (1, 2, 3),~b = (2, 0,−1) in ~c = (1, 1, 1) linearno neodvisni?

4. Dane so tocke A(5, 2, 1), B(−7, 1, 3) in C(2, 9, 5). Doloci tocko D tako, da boABCD paralelogram.

5.2. NALOGE 25

5. Imamo tocke A(5, 2, 7), B(−7, 1, 3) in C(2, 9, 5). Izracunajte razpolovisce stran-ice AB in tezisce trikotnika ABC.

6. Izracunajte skalarni produkt vektorjev ~a = (2, 1, 0) in ~b = (−4,−2, 1).

7. Dolocite x tako, da bosta vektorja ~a = (2, x, 1) in ~b = (x + 1, x − 1,−2)pravokotna.

8. Vektorja ~a in ~b sta linearno neodvisna. Koliksna je vrednost skalarjev x in y,ce velja

(~b− 3~a)y + 3~a = (2~a−~b)x?

9. Dan je enakostranicen trikotnik ABC s stranico 4 cm. Izracunajte skalarni

produkt−−→CB · −→AC.

10. Tocke A(2, 5, 7), B(−1, 3, 2) in C(−4, 7,−3) dolocajo trikotnik v prostoru. Izracunajtedolzine stranic tega trikotnika.

11. Poiscite kot med vektorjema ~a =~i +~j in ~b = ~j + ~k.

12. Naj bosta ~e = (3,−4,−1) in ~f = (2, 3,−6) diagonali paralelograma. Pokazite,da je paralelogram romb in izracunajte dolzino njegove stranice ter en notranjikot.

13. Dana sta vektorja ~a = (2,−3,−1) in ~b = (1, 4,−2). Izracunajte vektorska

produkta ~a×~b in ~b× ~a.

14. Naj bo ~a = (1, 1, 1),~b = (−1, 2, 3) in ~c = (1, 2, 3). Izracunajte ~a ×~b, ~b × ~a in~a× ~c

15. Za vektorje ~a = (1, 2, 1),~b = (1,−1, 0) in ~c = (1, 1,−1) izracunajte naslednjeskalarne in vektorske produkte:

a) ~a ·~b,b) ~a×~b,

c) ~a · (~b× ~c),

d) ~a · (~b · ~c),e) (~a ·~b) · ~c,f) (~a×~b) · ~c.

16. Izracunajte |~a× 2~b|, ce je |~a| = 6, |~b| = 5, kot med njima pa je π3.


17. Stranici paralelograma merita 3 in 4 cm, ploscina pa je 6 cm2. Izracunajte kotmed stranicama. Koliko resitev je moznih?

18. Paralelogram dolocata diagonali ~e = (3, 1,−2) in ~f = (1,−3, 4). Izracunajte

a) kot med diagonalama,

b) vektorje ~a +~b, ~a−~b, ~a, ~b,

c) ploscino paralelograma,

d) en notranji kot paralelograma.

19. Preverite ali tocke A(−3,−7,−5), B(0,−1,−2) in C(2, 3, 0) lezijo na isti pre-mici.

20. Dolocite volumen paralelepipeda, ki ga dolocajo vektorji ~a = (5, 1, 3),~b =(7,−1, 2) in ~c = (−1, 4, 0).

21. Ali tocke A(2,−1,−2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0) in D(5, 0,−6) lezijo v isti ravnini?

22. Dolocite volumen tetraedra, ki ga dolocajo vektorji ~a = (7, 1, 2),~b = (−3, 4, 5)in ~c = (5,−1, 3).

23. Zapisite enacbo ravnine, ki poteka skozi tocko T (4,−1, 1) in je pravokotna navektor ~a = (−1, 2, 1).

24. Zapisite enacbo ravnine, ki vsebuje tocke A(1, 0,−2), B(0, 1,−1) in C(1, 2, 0).

25. Zapisite enacbo ravnine, ki vsebuje vektor ~a = (1,−2, 3) ter tocki A(1,−1, 2)in B(0,−1, 1).

26. Pokazite, da sta ravnini x + y + z = 0 in x + y − 2z + 3 = 0 pravokotni.

27. Izracunajte kot med ravninama y −√3x− 7 = 0 in y = 0.

28. Zapisite enacbo ravnine, ki poteka skozi premico x−21

= y−32

= z+13

in tockoT (3, 4, 0).

29. Zapisite v vseh treh oblikah enacbo premice, ki gre skozi tocko T (1, 1, 1) in jevzporedna z vektorjem ~s = (2, 1,−1).

30. Zapisite enacbo premice skozi tocki A(1, 0, 1) in B(1,−1, 0).

31. Izracunajte presecisce premic ~r = (1, 2, 0)+t(1, 1, 1) in ~r = (2, 3, 1)+u(0, 3,−1);t, u ∈ R. Zapisite tudi enacbo ravnine, ki jo dolocata dani premici.

5.3. RESIVE 27

Slika 5.1: Naloga 1.

32. Zapisite ravnino, ki vsebuje premico x = y−1 = z2

in je pravokotna na ravninox + z = 0.

33. Dane so ravnina x + 2y − 4z − 1 = 0, premica x−13

= y+12

= z+21

in tockaT (1, 2, 3).

a) Poiscite premico, ki gre skozi tocko T in je vzporedna z dano premico.

b) Poiscite ravnino, ki gre skozi tocko T in je vzporedna z dano ravnino.

c) Izracunajte oddaljenost tocke T do dane premice.

5.3 Resive

1. Slika 5.1.

2. a) Ker je ~a = −43~b, sta vzporedna.

b) Vektorja nista vzporedna.

3. Vektorji so linearno neodvisni.

4. D(14, 10, 3).

5. Razpolovisce je v tocki S(−1, 32, 5). Tezisce trikotnika je tocka T (0, 4, 5).

6. ~a ·~b = −10.

7. Naloga ima dve resitvi: x1 = 0 in x2 = −1.

8. y = 3, x = −3.

9.−−→CB · −→AC = −8.


10. |−→AB| = √38, |−−→BC| = √

50, |−→AC| = √140.

11. 60◦.

12. |−→AB| = 5√

32

, α = arccos(−2375

).

13. ~a×~b = (10, 3, 11) in ~b× ~a = (−10,−3,−11).

14. ~a×~b = (1,−4, 3), ~b× ~a = (−1, 4,−3) in ~a× ~c = (1,−2, 1).

15. a) ~a ·~b = −1,

b) ~a×~b = (1, 1,−3),

c) ~a · (~b× ~c) = 5,

d) ~a · (~b · ~c) = (0, 0, 0),

e) (~a ·~b) · ~c = (−1,−1, 1),

f) (~a×~b) · ~c = 5.

16. |~a× 2~b| = 30√

3.

17. π6, 5π

6.

18. a) ϕ = 65, 2◦,

b) vektorje ~a+~b(3, 1,−2), ~a−~b = (−1, 3,−4), ~a = (1, 2,−3), ~b = (2,−1, 1),

c) S = 5√

3,

d) α = 109, 1◦.

19. Tocke lezijo na isti premici.

20. 39.

21. Tocke lezijo na isti ravnini.

22. 1196

.

23. x− 2y − z + 5 = 0.

24. y − z − 2 = 0.

25. x− y − z = 0.

26. (1, 1, 1) · (1, 1,−2) = 0.

5.3. RESIVE 29

27. π3.

28. x− 2y + z + 5 = 0.

29. Vektorska: ~r = (1, 1, 1) + t(2, 1,−1), parametricna: x = 1 + 2t, y = 1 + t, z =1− t, kanonska: x−1

2= y−1

1= z−1

−1.

30. ~r = (1, 0, 1) + t(0, 1, 1).

31. P (2, 3, 1),−4x + y + 3z + 2 = 0.

32. Namig: normalni vektor iskane ravnine je vektorski produkt smernega vektorjapremice in normalnega vektorja ravnine. Enacba ravnine je x + y− z− 1 = 0.

33. a) ~r = (1, 2, 3) + t(3, 2, 1).

b) x + 2y − 4z + 7 = 0.

c)√

35514

.

Del II

Osnove matematicne analize

31

Poglavje 6

Procentni racun

6.1 Formule

o ....... osnovad .......... delez

1. Relativni delez: r = d0.

2. Relativni delez v odstotkih: p% = do· 100.

6.2 Naloge

1. Kmetijska zadruga je povecala odkupno ceno jagod za 12 %. Po nekaj dnehpa je to ceno zmanjsala za 1 EUR ali 24 %. Koliksne so bile cene, po katerihje zadruga odkupovala jagode (navedi vse tri cene).

2. Neki izdelek smo podrazili. Pri podrazitvi pa smo ga morali poceniti na pr-votno ceno 180 EUR. S tem smo novo ceno zmansali za 11, 2 %. Za kolikoodstotkov in koliko EUR smo povecali prvotno ceno izdelka.

3. Cena nekega izdelka je bila novembra 50 EUR. Pred bozicem smo ga podraziliza 12 %, po novem letu pa se za 5 %. Koliksna je cena po zadnjem povisanjuin za koliko procentov je zadnja cena visja?

4. Pri tehtanju treh bikov smo ugotovili, da je drugi bik za 20 % lazji od prvega,tretji bik pa za 30% tezji od prvega. Skupno so vsi trije biki tehtali 2294 kg.Izracunajte teze vseh treh bikov.

33

34 POGLAVJE 6. PROCENTNI RACUN

5. Neki izdelek smo podrazili za 5 %, nato pa ga ponovno poceni za 20 %. Pritem je zadnja cena za 16 EUR nizja od prvotne cene. Koliksne so vse tri cene,po katerih smo prodajali izdelek?

6. Knjiga se je podrazila za 30 %, nato pa se enkrat za 10 %, tako da zdaj stane64, 35 EUR. Koliko je stala pred obema podrazitvama? Koliko odstotna jeskupna podrazitev?

7. Pri placilu poloznic moramo placati 1, 5 % provizije. Koliko tolarjev bo znasalaprovizija, ce moramo placati poloznico za 55 EUR?

8. Pri nakupu novega avtomobila, ki stane 9800 EUR nam ponujajo 600 EURpopusta. Koliko odstotkov znasa popust?

9. Cena ene delnice Lek C je padla s 130 EUR za delnico na 115 EUR za delnico.Koliko odstoten je bil padec delnice?

10. Pri polaganju keramicnih ploscic imamo 5 % odpad. Koliko kvadratnih metrovkeramicnih ploscic moramo kupiti, da bomo lahko z njimi oblozili tla v hod-niku, ki je pravokotne oblike s sirino 2, 75 m in dolzino 4, 15 m?

11. Liter bencina je maja stal 1, 05 EUR. Najprej se je podrazil junija za 8 %,nato pa se avgusta za 5 %. Koliksna je bila cena za liter bencina po zadnjipodrazitvi? Koliko odstotna bi morala biti enkratna pdrazitev?

6.3 Resitve

1. 3, 72; 4, 17; 3, 17.

2. 22, 70, 12, 6 %.

3. 58, 80, 17, 6 %.

4. 740, 6 kg, 592, 5 kg, 962, 8 kg.

5. 100, 105, 84.

6. 45 EUR, 43 %.

7. 0, 83 EUR.

8. 6, 1 %.

9. 11, 5 %.

6.3. RESITVE 35

10. 12 m2.

11. 1, 19 EUR, 13, 4 %.

36 POGLAVJE 6. PROCENTNI RACUN

Poglavje 7

Raztopine

7.1 Formule

1. Masa raztopine: mr = m(topljenec) + m(topilo)

2. Masni delez topljenca: ω = m(topljenec)mr

3. Mnozinska koncentracija: c = n(topljenec)V (raztopina)

4. Masna koncentracija: γ = m(topljenca)V (raztopine)

5. Mesanje raztopin:

(a) m1 + m2 = m3

(b) V1 + V2 6= V3

(c) m(topljenec 1) + m(topljenec 2) = m(topljenec 3)

(d) n(topljenec 1) + n(topljenec 2) = n(topljenec 3)

(e) ω1 ·m1 + ω2 ·m2 + . . . + ωn ·mn = ω ·m(f) c1 · V1 + c2 · V2 . . . cn · Vn = c · V(g) Razmerje mesanja dveh raztopin, da dobimo raztopino z zelenim masnim

delezem:m1

m2= (ω3−ω2)

(ω1−ω3)

6. Redcenje in koncentriranje raztopin:ω1 ·m1 = ω2 ·m2

c1 · V1 = c2 · V2

37

38 POGLAVJE 7. RAZTOPINE

7.2 Naloge

1. Mesati zelimo 120 litrov 7, 5 % raztopine s 13 % raztopino tako, da dobimo10 % raztopino. Koliko 13 % raztopine moramo imeti, da dobimo zelenomesanico?

2. Na voljo imamo 100 litrov 5 % raztopine in 200 litrov 9 % raztopine. Koliko8 % raztopine lahko dobimo z mesanjem navedenih raztopin?

3. Mesati zelimo 5 % raztopini z 12 % raztopino, tako da dobimo 200 litrov 10 %raztopine. Koliko prve in koliko druge raztopine moramo imeti, da dobimozeleno mesanico?

4. Na razpolago imamo 30 litrov 8 % raztopine in 80 litrov 15 % raztopine. Koliko4 % raztopine lahko dobimo z mesanjem teh dveh raztopin in vode?

5. Koliko vode mora izhlapeti iz 15 % raztopine soli, da dobimo 25% raztopino?

6. Na voljo imamo 200 litrov 12 % raztopine, 240 litrov 8 % raztopine in 280litrov vode. Koliksno kvaliteto mesanice dobimo z mesanjem teh treh raztopin?Koliko vode moramo se dodati, da dobimo 4 % mesanico?

7. V raztopini je 2 % soli. Koliksna je koncentracija raztopine, ce izhlapi petinavode?

8. Koliko odstotkov soli vsebuje voda, ce zmesamo 5 litrov destilirane vode in 7litrov vode, ki vsebuje 6 % soli?

9. V posodo z 2 kg slane raztopine, ki vsebuje 20 % soli, prilijemo 5 kg 50 % raz-topine soli. Koliko odstotkov soli je v nastali raztopini? Koliko vode moramopriliti ali izpareti, da bo raztopina 40 %?

10. Koliko odstotno kislino dobimo, ce zmesamo 4 litre 40 % kisline in 10 litrov25 %?

11. Koliko 30 % kisline moramo priliti k 12 litrom 40 % kisline, da dobimo 38 %kislino?

12. Koliko vode moramo priliti k 6 litrom sadnega soka s 50 % sadnim deezem, dabomo dobili sok s 30 % sadnim delezem?

13. Koliko odstotno kislino moramo priliti k 6 litrom 3 % kisline, da bomo dobili10 litrov 5 % kisline?

7.3. RESITVE 39

7.3 Resitve

1. 100 litrov.

2. 266, 7 litrov.

3. 57, 14 litrov prve in 142, 86 litrov druge.

4. 360 litrov.

5. 47% oz. 40dag, ce imamo 100 litrov raztopine.

6. 6%, 360 litrov.

7. 2, 5%.

8. 3, 5%.

9. 41, 42%; 0, 25kg.

10. 29, 28%.

11. 3 litre.

12. 4 litre.

13. 8%.

40 POGLAVJE 7. RAZTOPINE

Poglavje 8

Zaporedja

8.1 Formule

1. Lastnosti zaporedij

(a) Narascajoce: an+1 ≥ an, za vsak n ∈ N.Strogo narascajoce: an+1 > an, za vsak n ∈ N.Padajoce: an+1 ≤ an, za vsak n ∈ N.Strogo padajoce: an+1 < an, za vsak n ∈ N.Monotono zaporedje je narascajoce ali padajoce.

(b) Navzgor omejeno: ∃M ∈ R, da velja: an ≤ M, ∀n ∈ N.Navzdol omejeno: ∃m ∈ R, da velja: an ≥ m ∀n ∈ N.Omejeno zaporedje je navzgor in navzdol omejeno.

2. Aritmeticno zaporedje

(a) Diferenca: an+1 − an = d, ∀n ∈ N.

(b) Splosni clen: an = a1 + (n− 1)d.

(c) Aritmeticna sredina: an = an−1+an+1

2, ∀n ∈ N.

(d) Vsota prvih n clenov: sn =∑n

j=1 an = a1 + a2 + a3 + . . . + an.

3. Geometrijsko zaporedje

(a) Kolicnik: an+1

an= q, ∀n ∈ N.

(b) Splosni clen: an = a1 · qn−1.

(c) Geometrijska sredina: an =√

an−1 · an+1, ∀n ∈ N.

(d) Vsota prvih n clenov: sn = a1(qn−1)q−1

.

41

42 POGLAVJE 8. ZAPOREDJA

4. Limita zaporedjaDefinicija: a = lim

n→∞an ⇔ ∀ε > 0, obstaja tak N ∈ N, da ∀ n > N velja :

|a− an| < ε.

5. Lastnosti konvergentnih zaporedijNaj bosta zaporedji {an}n∈N in {bn}n∈N konvergentni z limitama lim

n→∞an = a

in limn→∞

bn = b, potem veljajo spodnje lastnosti.

(a) Ce zaporedju {an}n∈N dodamo ali odvzamemo koncno mnogo clenov, novozaporedje spet konvergira k a.

(b) Vsako neskoncno podzaporedje zaporedja {an}n∈N konvergira k a.

(c) limn→∞

kan = k · limn→∞

an = k · a.

(d) limn→∞

1an

= 1lim

n→∞an= 1

a, ce je vsak an 6= 0 in a 6= 0.

(e) limn→∞

(an ± bn) = limn→∞

an ± limn→∞

bn = a± b.

(f) limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn = a · b.

(g) limn→∞

an

bn=

limn→∞an

limn→∞bn

= ab, ce je vsak bn 6= 0 in b 6= 0.

(h) limn→∞

r√

an = r

√lim

n→∞an.

8.2 Naloge

Dolocite limito zaporedja.

1. limn→∞

√n4+1+ 3√n5−1

(2n+1)2

2. limn→∞

( n2

2+3n− n2+1

n)

3. limn→∞

√n2+n+12n+1

4. limn→∞

(4n2−12n+1

− 2n3

n2−1)

5. limn→∞

n(2n+1)1+2+...+n

6. limn→∞

(n−12− 2n2−1

4n−1)

8.2. NALOGE 43

7. limn→∞

1+n+n2

1+100n√

n

8. limn→∞

(n− 3n2−13n+1

)

9. limn→∞

1+2+...+2nn2+n+1

10. limn→∞

( n(n+1)1+2+...+n

− 2n3n+1

)

11. limn→∞

√16n3+n2+n− 3√8n5+n4+n3

6√n10+n9+n8+n−1

12. limn→∞

(√

n2 + 2n + 2− n)

13. limn→∞

2+4+6+...+2n2+3+4+...+n+(n+1)

14. limn→∞

(n−1n+1

− n+2n2−1

)

15. limn→∞

n2−n+21+2+...+n

16. limn→∞

n2

1+2+...+n

17. limn→∞

( 1n− n

n2+1)

18. limn→∞

(n2− 3n−2

6)

19. limn→∞

(n−1)2

2n2+1

20. limn→∞

( 4n2

4n+1− n3

n2−1)

21. limn→∞

1+2+...+nn2+n+1

22. limn→∞

(√

n + 2−√n)

23. limn→∞

(√

n +√

n−√n)

24. limn→∞

n!(n+1)!−n!

25. limn→∞

√n−√n−1√n−1−√n

26. limn→∞

10n−11+2+...+n


27. limn→∞

1+2+3+...+2n√n4+1

28. limn→∞

2n2−47n2+n

29. limn→∞

( n1+n

)n

30. limn→∞

1+2+...+n√n4+n2

31. limn→∞

(√

n2 + n− n)

32. limn→∞

(1+2+...+nn√

n−

√n+12

)

33. Dokazite, da tvorijo stevila 1+√

2√2−1

, 12−√2

, 12

padajoce geometrijsko zaporedje.

34. Dolocite 30. clen aritmeticnega zaporedja: (54, 51, 48, . . .). Izracunajte sevsoto vseh pozitivnih clenov tega zaporedja.

35. Dano je zaporedje s splosnim clenom: an = 3n−17n+2

.

a) Dokazite, da je dano zaporedje narascajoce. Koliko clenov je pozitivnih?

b) Izracunajte limito danega zaporedja.

c) Koliko clenov lezi izven ε-okolice limite, ce je ε = 0, 01.

36. Zapisite splosni clen zaporedja (3, 8, 15, 24, 35, . . .). In ugotovite, kateri clenzaporedja je enak 255.

37. Koliksen znesek moramo vezati, da bomo imeli po sedmih letih 15000 EUR,ce je obrestna mera 3%, letni pripis obresti in obrestno obrestovanje.

8.3 Resitve

1. 14.

2. Zaporedje divergira.

3. 12.

4. −1.

5. 4.

6. −58.

8.3. RESITVE 45

7. Zaporedje divergira.

8. 13.

9. 2.

10. 43.

11. −2.

12. 1.

13. 2.

14. 1.

15. 2.

16. 2.

17. 0.

18. 13.

19. 12.

20. −14.

21. 12.

22. 0.

23. 12.

24. 0.

25. −1.

26. 0.

27. 2.

28. 27.

29. 1e.

30. 12.


31. 12.

32. −12.

33. Namig: sredinski clen mora biti geometrijska sredina sosedov.

34. an = 54− 3(n− 1), a30 = −33. Pozitivnih je prvih 18 clenov in s18 = 513.

35. a) Preveri, da neenakost an < an+1 velja za vsak n ∈ N. Stevilo negativnihclenov zaporedja je 5.

b) Limita je 3.

c) Izven ε-okolice limite lezi 2298 clenov zaporedja.

36. an = n(n + 2), a15 = 255.

37. Vloziti moramo 1294 EUR.

Poglavje 9

Vrste

9.1 Formule

1. D’ Alambertov kriterij:Naj bo

∑∞n=1 an taka vrsta s pozitivnimi cleni, za katero obstaja lim

n→∞an+1

an, ki

jo oznacimo s q. Ce je q < 1, je vrsta konvergentna. Ce pa je q > 1, je vrstadivergentna.

2. Raabejev kriterij:Naj bo

∑∞n=1 an vrsta s pozitivnimi cleni in Rn = n( an

an+1− 1) ter lim

n→∞Rn = R.

Tedaj velja:

(a) ce je R > 1, vrsta∑∞

n=1 an konvergira.

(b) ce je R < 1, vrsta∑∞

n=1 an divergira.

(c) ce je R = 1, tudi ta kriterij ne da odlocitve.

9.2 Naloge

1. Izracunajte vsoto geometricne vrste

∞∑i=0

2

3i+1.

2. Izracunajte vsoto vrste

1

1 · 3 +1

3 · 5 +1

5 · 7 + . . . .

47

48 POGLAVJE 9. VRSTE


1

1 · 4 +1

4 · 7 +1

7 · 10+ . . . .


2

1 · 2 +2

2 · 3 +2

3 · 4 + . . . .


1

1 · 6 +1

6 · 11+

1

11 · 16+ . . . .

6. Preverite konvergenco vrste

2

1+

4

3!+

6

5!+

8

7!+ . . .

z D’ Alambertovim kriterijem.

7. Dokazite konvergenco vrste

1

2+

3

22+

5

23+

7

24+ . . . +

(2n− 1)

2n+ . . .

z D’ Alambertovim kriterijem.

8. Preverite konvergenco vrste

2

3+

4

9+

6

27+ . . .

z D’ Alambertovi kriterijem.

9. Dokazite konvergenco vrste

4!

44(1!)4+

8!

48(2!)4+

12!

412(3!)4+ . . .

z Raabejevim kriterijem.

10. Ugotovite ali je vrsta

2

3 + 4+

4

9 + 16+

8

27 + 64+

16

81 + 256+ . . .

konvergentna.

11. Ugotovite, ali je vrsta

1√3

+5√

2 · 32+

9√3 · 33

+13√4 · 34

+ . . .

konvergentna ali divergentna.

9.3. RESITVE 49

9.3 Resitve

1. 13.

2. 12.

3. 13.

4. 1.

5. 15.

6. limn→∞

an+1

an= 0. Vrsta konvergira.

7. limn→∞

an+1

an= 1

2. Vrsta konvergira.

8. limn→∞

an+1

an= 1


9. limn→∞

n( an

an+1− 1) = 3




50 POGLAVJE 9. VRSTE

Poglavje 10

Funkcije in njihove lastnosti

10.1 Formule

Splosno

1. Definicijsko obmocje funkcije: Df = {x ∈ R; f(x) ∈ R}2. Zaloga vrednosti funkcije: Zf = {f(x); x ∈ Df}3. Graf funkcije: Gf = {(x, y); x ∈ Df , y = f(x)}4. Kompozitum funkcij: (g ◦ f)(x) = g(f(x))

Linearna funkcijaPredpis: f(x) = kx + n, k, n ∈ R

1. Oblike enacbe premice

(a) eksplicitna: y = kx + n

(b) implicitna: ax + by − c = 0

(c) odsekovna: xm

+ yn

= 1; m,n 6= 0

2. Smerni koeficient: k = y2−y1

x2−x1

3. Enacba premice skozi dve tocki: y − y1 = k(x− x1)

Kvadratna funkcija

1. Oblike zapisa kvadratne funkcije

(a) splosna: f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R

51

52 POGLAVJE 10. FUNKCIJE IN NJIHOVE LASTNOSTI

(b) temenska: f(x) = a(x− p)2 + q; teme: T (p, q)

(c) za nicli: f(x) = a(x− x1)(x− x2); nicli: x1, x2

2. Vietovi formuli: x1 + x2 = − ba

in x1 · x2 = ca

3. Nicli: x1,2 = −b±√D2a

, diskriminanta: D = b2 − 4ac

4. Teme: p = − b2a

, q = −D4a

Potence in koreni

1. Pravila za racunanje s potencami, a, b ∈ R in m, n ∈ Q(a) an = a · a · a . . . a (n faktorjev)

(b) a0 = 1

(c) a−n = 1an , a 6= 0

(d) a1m = m

√a, a

nm = m

√an

(e) anam = an+m

(f) an

am = an−m, a 6= 0

(g) (an)m = anm

(h) (ab)n = anbn

(i) an

bn = (ab)n, b 6= 0

2. Pravila za racunanje s koreni

(a) 2n√

a = x ⇔ xn = a in x ≥ 0, 2n−1√

a = x ⇔ xn = a

(b) n√

am = ( n√

a)m

(c) n√

ab = n√

a · n√

b

(d) n√

ab

=n√an√

b, b 6= 0

(e) m√

n√

a = mn√

a

(f) np√

amp = n√

am

(g) a√

an = a, ce n liho in a√

an = |a|, ce n sodo

Polinomi

1. Definicija: p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0,an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ R in an 6= 0

10.1. FORMULE 53

2. Osnovni izrek o deljenju polinomov: p(x) = k(x) · q(x) + r(x),st(p) = n, st(q) = m, st(k) = n−m, m > st(r) ≥ 0

Racionalna funkcija

1. Definicija: f(x) = p(x)q(x)

= anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0

bnxn+bn−1xn−1+...+b1x+b0, q(x) 6= 0

Exponentna in logaritemska funkcija

1. Eksponentna funkcija: f(x) = ax; a > 0, a 6= 1

2. Logaritemska funkcija: f(x) = loga x; a > 0, a 6= 1

3. x = loga y ⇐⇒ ax = y, a > 0, a 6= 1

4. Pravila za racunanje z logaritmi:

(a) aloga x = x

(b) loga ax = x

(c) loga(x · y) = loga x + loga y

(d) loga

(xy

)= loga x− loga y

(e) loga xc = c loga x

(f) Prehod na novo osnovo: logb x = loga xloga b

Trigonometricne funkcije

1. Radiani/stopinje: 1rad =(

180π

)◦, 1◦ =

(π

180

)rad

2. Definicija kotnih funkcij v pravokotnem trikotnikuSinus kota je kvocient med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.Kosinus kota je kvocient med kotu prilezno kateto in hipotenuzo.Tangens kota je kvocient med nasprotno in prilezno kateto.Kotangens kota je kvocient med nasprotno in prilezno kateto.

3. Osnovne zveze med kotnimi funkcijami:sin2 x + cos2 x = 11 + tan2 x = 1

cos2 x

1 + cot2 x = 1sin2 x

4. Komplementarni kotisin(π

2− ϕ) = cos ϕ

cos(π2− ϕ) = sin ϕ

tan(π2− ϕ) = cot ϕ

cot(π2− ϕ) = tan ϕ


5. Prehod na ostri kotsin(π − ϕ) = sin ϕcos(π − ϕ) = − cos ϕsin(π + ϕ) = − sin ϕcos(π + ϕ) = − cos ϕ

6. Adicijska izrekasin(α± β) = sin α · cos β ± cos α · sin βcos(α± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β

7. Kotne funkcije dvojnih kotovsin(2ϕ) = 2 sin ϕ · cos ϕcos(2ϕ) = cos2 ϕ− sin2 ϕ

8. Krozne funkcijearcsin : [−1, 1] → [−π

2, π

2]

arccos : [−1, 1] → [0, π]arctan : R→ [−π

2, π

2]

10.2 Naloge

1. Dana je funkcija f(x) = x2+42x2+3

. Poiscite f(0), f(1), f(−1), f(2), f(x − 1),f(x)− 1.

2. Dana je funkcija f(x) = x+13x−2

. Izracunaj funkcijske vrednosti f(0), f(1),

f(−4), f(−32), f(x2), f( 1

x),

√1

f(x).

3. Dana je funkcija f(x) = sin(x + π) + cos x − 1. Koliko je f(0), f(π2), f(π),

f(π4)?

4. Dana je funkcija f(x) = 3 log x2 + 1. Poiscite f(−1), f(−0, 001), f(0, 1),f(−10), f(100).

5. Dana je funkcija f(x) = x2 + x + 1. Izracunajte f(a)− f(b).

6. Dolocite definicijska obmocja spodnjih funkcij.

a) f(x) =√

x + 2

b) f(x) =√

(9− x2)

c) f(x) =√−x +

√4 + x

d) f(x) = x+1x−1

10.2. NALOGE 55

e) f(x) = 2xx2−4

f) f(x) = 1√x2−4x+3

g) f(x) = 2x2−1

(x2+3x+2)12

h) f(x) = ln (x− 1)

i) f(x) = ln |x2 − 4|j) f(x) = log(2+x

2−x)

k) f(x) =√

ln 5x−x2

4

l) f(x) = 4√|x− 3|

m) f(x) = 3

√2

x−3

n) f(x) = tg(x− π4)

o) f(x) = 1cos 2x

7. Za naslednje funkcije ugotovite ali so lihe, sode, ali nic od tega.

a) f(x) = x(x2 + 1)

b) f(x) = ex+e−x

2

c) f(x) = |x|+ 2

d) f(x) = log(x2 + 2)

e) f(x) = ex−e−x

2

f) f(x) = x−1x+1

g) f(x) = sin xx

h) f(x) = ln 1+x1−x

i) f(x) = (x + 1)2(x− 1)2

j) f(x) = x− sin x

k) f(x) = x + x2

8. Za naslednje funkcije dolocite enacbe inverznih funkcij.

a) f(x) = x−1x+4

b) f(x) =√

x+1x−2

c) f(x) = x2−1x2+4


d) f(x) = ln x+2x−3

e) f(x) = ln√

x−1x+3

f) f(x) = e−3x+4

g) f(x) = ln(x + 1)− 4

9. V koordinatnem sistemu narisite naslednje premice:

a) y = 3x + 2,

b) y = 1− x,

c) y = x3− 1,

d) y = 2,

e) x = 12.

10. Dolocite enacbe premic, ki gredo skozi tocke

a) A(0, 0), B(−1, 2),

b) A(0,−1), B(−2, 3),

c) A(1, 2), B(1, 5).

11. Narisite parabole, ki jih dolocajo naslednje kvadratne funkcije.

a) y = x2 + 4x + 4,

b) y = −2x2 − 3x + 4,

c) y = x2

3− 2x− 1,

d) y = x2 − 4x + 3.

12. Dolocite enacbe kvadratnih funkcij, ki gredo skozi tocke

a) T1(0, 2), T2(−1, 0), T3(−2, 0),

b) A(1, 3), B(−1, 2), C(−2, 6)

13. Dolocite teme parabole, ki gre skoti tocke A(−2,−11), B(0,−3), C(1,−2).

14. Zapisite kvadratno funkcijo, ki ima najmanjso vrednost −9 pri x = −1, prix = 3 pa ima vrednost 7.

15. Zapisite kvadratno funkcijo, ki ima nicli −2 in −12

njen graf pa poteka skozitocko B(1, 9).

10.3. RESITVE 57

16. Racunsko poiscite presecisca parabol: y = x2 − 1, y = −x2 − 2x + 3.

17. Narisite grafa polinomskih funkcij.

a) f(x) = (x− 2)(x− 4)(x + 3)2

b) g(x) = (2x− 1)2(x + 3)2

18. Dana sta polinoma p(x) = x5 + 2x4 + x3 − 6x + 2 in q(x) = x2 + 1. Poiscitekvocient polinomov.

19. Narisite grafe racionalnih funkcij.

a) f(x) = x−1x+2

b) f(x) =(x+1)(x− 3

2)

x+4

c) f(x) = x−3(x2−4)(x+2)

d) f(x) = (x+2)2(x−1)3

(x+1)4(x−10)2

e) f(x) = (2x+1)(x−2)2

x3−2x2+x

f) f(x) = (x+1)2

x2−5x+4

20. Za funkcijo f(x) = ln(x−4x+1

) dolocite definicijsko obmocje in explicitno oblikoinverzne funkcije.

21. Za funkcijo f(x) = ln(x2−1) dolocite definicijsko obmocje in explicitno oblikoinverzne funkcije.

22. Dana je funkcija f(x) =√

2x+1x−3

. Dolocite definicijsko obmocje in eksplicitno

obliko inverzne funkcije.

23. Dolocite nicle, asimptote in narisite graf funkcije f(x) = (x−1)2

x+1.

10.3 Resitve

1. f(0) = 43, f(1) = 1, f(−1) = 1, f(2) = 8

11, f(x− 1) = x2−2x+5

2x2−4x+5, f(x)− 1 =

1−x2

2x2+3

2. f(0) = −12, f(1) = 2, f(−4) = 3

14, f(−3

2) = 1

13, f(x2) = x2+1

3x2−2, f( 1

x) = 1+x

3−2x,√

1f(x)

=√

3x−2x+1


3. f(0) = 0, f(π2) = −2, f(π) = −2, f(π

4) = −1

4. f(−1) = 1, f(−0, 001) = −17, f(0, 1) = −5, f(−10) = 7, f(100) = 13

5. (a− b)(a + b + 1)

6. a) Df = [−2,∞)

b) Df = [−3, 3]

c) Df = [−4, 0]

d) Df = R\{1}e) Df = R\{2,−2}f) Df = (−∞, 1) ∪ (3,∞)

g) Df = (−∞,−2) ∪ (−1,∞)

h) Df = (1,∞)

i) Df = R\{2,−2}j) Df = (−2, 2)

k) Df = [1, 4]

l) Df = Rm) Df = R\{3}n) Df = R\{3π

4+ kπ; k ∈ Z}

o) Df = R\{π4

+ kπ2

; k ∈ Z}7. a) Liha.

b) Soda.

c) Soda.

d) Soda.

e) Liha.

f) Niti liha niti soda.

g) Soda.

h) Liha.

i) Soda.

j) Liha.

k) Niti liha niti soda.

10.3. RESITVE 59

8. a) f−1(x) = 4x+11−x

b) f−1(x) = 2x2+1x2−1

c) f−1(x) =√

1+4x1−x

d) f−1(x) = 3ex+2ex−1

e) f−1(x) = 3e2x+11−e2x

f) f−1(x) = 4−ln x3

g) f−1(x) = ex+4 − 1

9. Resitve na sliki 10.1.

y=3x+

2

y=1-x

3

2-

y=x/3-1

y=2

x=1/2

Slika 10.1: Resitve naloge 9.

10. a) y = −2x,

b) y = −2x− 1,

c) x = 1.

11. Resitve na sliki 10.2.

a) Nicle: x1,2 = −2, teme: T (−2, 0), presecisce z ordinatno osjo: Ty(0, 4).

b) Nicle: x1 = 3+√

41−4

, x2 = 3−√41−4

, teme: T (−12

, 418), presecisce z ordinatno

osjo: Ty(0, 4).

c) Nicle: x1 = 3+2√

3, x2 = 3−2√

3, teme: T (3,−4), presecisce z ordinatnoosjo: Ty(0,−1).

d) Nicle: x1 = 1, x2 = 3, teme: T (2,−1), presecisce z ordinatno osjo:Ty(0, 3).

12. a) f(x) = x2 + 3x + 2

b) f(x) = 32x2 + 1

2x + 1


a) b)

c) d)


13. Enacba parabole: y = −x2 + 2x− 3, teme: T (1,−2).

14. f(x) = x2 + 2x− 8

15. f(x) = 2x2 + 5x + 2

16. P1(−2, 3), P2(1, 0)

17. Resitve so na sliki 10.3. Za natancnejso sliko je potrebno s pomocjo odvodovizracunati ekstreme.

a) b)


18. x3 + 2x2 − 2, ostanek: −6x + 4

19. Grafi so na sliki 10.4 in sliki 10.5.

a) nicla: x = 1 - liha; pol: x = 2 - lihi; asimptota y = 1

10.3. RESITVE 61

b) nicli: x1 = −1 - liha, x2 = 32

- liha; pol: x = −4 - lihi; asimptota:y = x− 9

2

c) nicla: x = 3 - liha; pola: x1 = 2 - lihi, x = −2 - sodi; asimptota: y = 0.

d) nicli: x1 = −2 - soda, x2 = 1 - liha; pola: x1 = −1 - sodi, x2 = 10 - sodi;asimptota: y = 0

e) nicli: x1 = −12

- liha, x2 = 2 - soda; pola: x1 = 0 - lihi, x2 = 1 - sodi;aslimptota: y = 2

f) nicla: x = −1 - soda; pola: x1 = 1 - lihi, x2 = 4 - sodi; asimptota: y = 1

a) b) c)

-12

3

Slika 10.4:

d) e) f)

3

Slika 10.5:

20. Definicijsko obmocje: Df = (−∞,−1) ∪ (4,∞),inverzna funkcija: f−1(x) = ex+4

1−ex .

21. Definicjsko obmocje: Df = (−∞,−1) ∪ (1,∞),inverzna funkcija: f−1(x) =

√ex + 1.

22. Definicijsko obmocje: Df =(−∞,−1

2

) ∪ (3,∞),

inverzna funkcija: f−1(x) = 3x2+1x2−2

.


23. nicla: x = 1 - soda, pol: x = −1 - lihi, asimptota: y = x− 3, glej slika 10.6

1

Slika 10.6: Resitev naloge 23

Poglavje 11

Odvod

11.1 Formule

1. (k)′ = 0 odvod konstante

2. (k · f(x))′ = k · f ′(x) (odvod produkta funkcije s konstanto)

3. (f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x) (odvod vsote dveh funkcij)

4. (f(x)− g(x))′ = f ′(x)− g′(x) (odvod razlike dveh funkcij)

5. (f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (odvod produkta funkcije s konstanto)

6. (f(x)g(x)

)′ = f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x))2

(odvod kolicnika dveh funkcij)

7. (xn)′ = nxn−1

8. (ax)′ = ax ln a

9. (ex)′ = ex

10. (loga x)′ = 1x

loga e

11. (ln x)′ = 1x

12. (sin x)′ = cos x

13. (cos x)′ = − sin x

14. (tan x)′ = 1cos2 x

15. (cot x)′ = − 1sin2 x

63

64 POGLAVJE 11. ODVOD

16. f(x) = f(x0) + (x−x0)1!

f ′(x0) + (x−x0)2

2!f ′′(x0) + (x−x0)3

3!f ′′′(x0) + . . . (Taylorjeva

formula)

11.2 Naloge

1. Izracunajte odvode naslednjih funkcij:

a) y = 2x4 + 7x2 − 3x + 11, 5

b) y = x2 + 3x√

x− 2, 5x +3√

x2 + πx− 1√

x3

c) y = x2ex

d) y = sin xx2+4

e) y = (2x+34

)3

f) y =√

x2 − 1

g) y = sin 3x + cos x5

+ tan√

x

h) y = 5e−x2

1+x2

i) y = ln a2−x2

a2+x2

j) y = ln(x +√

1 + x2)

k) y = sin3(5x) cos2 x3

l) y =√

ln x + 1 + ln(√

x + 1)

2. Izracunajte odvode implicitno podanih funkcij:

a) x2 − y2 = 4

b) ey = x + y

c) ln y + xy

= c

3. Izracunajte:

a) f ′(0), ce je f(x) = e−x cos 3x.

b) f ′(1), ce je f(x) = ln(1 + x)− ex2.

4. Za funkcijo f(x) = x4 − 6x2 poiscite f ′(0), f ′(1), f ′′(0), f ′′(1).

5. Poiscite tretje odvode funkcij:

a) y = sin2 x

11.2. NALOGE 65

b) y =√

1− x2

c) y = x2e−x

d) y = 1x2

e) y = ex2

2

f) y = arctan x2

6. Analizirajte funkcije in narisite grafe:

a) f(x) = x2 + 1x

b) f(x) = x4 − 8x2

c) f(x) = xe−x

d) f(x) = x(ln x)2

e) f(x) = xln x

f) f(x) = xe−2x2

g) f(x) = 3xx−1

+ 3x

h) f(x) = (2x− 1)(x + 3)2

i) f(x) = 1−x2

x2−6x+9

7. Dolocite tangento na krivuljo y = (2x−1)2

xv tocki x = 1 (v tocki x = −1).

8. Dana je funkcija f(x) = (3x+1)2

2x. Dolocite tocke v katerih je tangenta na

funkcijo vzporedna s premico 8x− 2y + 5 = 0.

9. V kateri tocki je tangenta na krivuljo y = 2−x vzporedna s premico 2x + 4y−12 = 0?

10. Paraboli, ki gre skozi tocke A(0,−5), B(2,−3)inC(−1, 0) poiscite tangento, kigre skozi tocko T (1, y).

11. Krivulji y = x3 in y = 7x2 − 36 se sekata v treh tockah. Poiscite te tri tocke.Zapisite tangente na krivuljo y = x3 skozi te tri tocke.

12. Zapisite enacbo tangente na graf funkcije y = 2xx2−1

v tocki T (2, y).

13. Ali ima krivulja y = xx−2

tangento z naklonskim kotom 45◦?

14. Dana je funkcija f(x) = xe−x2 . Dolocite definicijsko obmocje, nicle, ek-

streme, naravo ekstremov, konveksnost, konkavnost in narisite graf funkcije.Izracunajte tudi limito lim

x→∞x

ex2.


15. Dolocite definicijsko obmocje, nicle, pole, ekstreme in narisite graf funkcijef(x) = 1+ln x

x

16. Razdelite naravno stevilo 100 na dve naravni stevili, katerih vsota je 100 tako,da bo njun produkt najvecji.

17. Dolocite dimenzije odprtega bazena s kvadratnim dnom tako, da boste zaoblaganje sten in dna bazena porabili najmanj materiala. Volumen bazena je32m3.

18. Dani sta tocki A(1, 2) in B(−2, 4). Poiscite tisto tocko C na abcisni osi, zakatero je vsota razdalj do tock A in B minimalna.

19. Z L’Hospitalovim pravilom izracunajte naslednje limite:

a) limx→π

sin 3xx−π

b) limx→∞

x2

ex

c) limz→1

(1− z) tan πz2

d) limx→0

e2x

x3+2x−1

20. Razvijte po Taylorjevi formuli okoli tocke x = 3 do polinoma 4. stopnjefunkcijo f(x) =

√x + 1.

21. Razvijte funkcijo f(x) = e2xx2 v Taylorjev polinom stopnje 4 okoli tocke x = 0.

22. Funkcijo f(x) = ln 1+x1−x

razvijte v Taylorjevo vrsto okoli tocke x = 0 (napisitevsaj tri od nic razlicne clene).

23. Funkcijo y = cos2 2x razvijte v Taylorjevo vrsto okoli tocke x0 = 0 (napisitevsaj 4 od nic razlicne clene).

11.3 Resitve

1. a) y′ = 8x3 + 14x− 3

b) y′ = 2x + 92

√x− 2, 5 + 2

3 3√x− π

x2 + 3

2√

x5

c) y′ = ex(x2 + 2x)

d) y′ = (x2+4) cos x−2x sin x(x2+4)2

e) y′ = 32(2x+3

4)2

11.3. RESITVE 67

f) y′ = x√x2−1

g) y′ = 3 cos 3x− 15sin x

5+ 1

2√

x cos2√

x

h) y′ = −10xe−x2(2+x2)

(1+x2)2

i) y′ = 4a2xa4−x4

j) y′ = 1√1+x2

k) y′ = 15 sin2 5x cos 5x cos2 x3− 2

3sin3 5x cos x

3sin x

3

l) y′ = 12x√

ln x+1+ 1

2(√

x+x)

2. a) y′ = xy

b) y′ = 1x+y−1

c) y′ = yx−y

3. a) −1

b) 12− 2e

4. 0,−8,−12, 0

5. a) y′′′ = −4 sin 2x

b) y′′′ = −3x(1− x2)−52

c) y′′′ = −e−x(x2 − 6x + 6)

d) y′′′ = −24x−5

e) y′′′ = ex2

2 (3x + x3)

f) y′′′ = 12x2−16(x2+4)3

6. a) Nicla v x = −1 (enkratna), pol v x = 0. Definicijsko obmocje Df =R−{0}. Lokalni minimum je v E(0, 8, 1, 875). Prevoj v x = −1. Kon-veksna na (−∞,−1)

⋃(0,∞) in konkavna na (−1, 0).

b) Funkcija je soda. Nicla v x1,2 = 0 (dvakratna), v x3 =√

8 (enkratna)in v x4 = −√8 (enkratna). Definicijsko obmocje Df = R. V E1(0, 0) jelokalni maksimum, v E2(2,−16) in E3(−2,−16) sta lokalna minimuma.

Prevoj v x = −√

43

in x =√

43. Konveksna na (−∞,−

√43)⋃

(√

43,∞)

in konkavna na (−√

43,√

43).


Slika 11.1: Graf funkcije f(x) = x2 + 1x.

c) Nicla v x = 0 (enkratna). Definicijsko obmocje Df = R. V E(1, e−1) jelokalni maksimum. Prevoj v x = 2. Konkavna na (−∞, 2) in konveksnana (2,∞).

d) Nicla v x1,2 = 1 (dvakratna). Definicijsko obmocje (0,∞). Lokalni min-imum v E1 = (1, 0) in lokalni maksimum v E2 = (e−2, 4e−2). Prevoj vx = e−1. Konkavna na (0, e−1) in konveksna na (e−1,∞).

e) Nicel ni. Pol je v x = 1. Definicijsko obmocje (0, 1)⋃

(1,∞). Minimumje v E(e, e). Prevoj je v x = e2.

f) Funkcija je liha. Nicla je v x = 0 (enkratna). Definicijsko obmocje

Df = R. Lokalni minimum je v E1(−12,− e

12

2) in maksimum je v E1(

12, e

12

2).

Prevoji so v x = −√

32

, x =√

32

, x = 0.

g) Nicla je v x1,2 = 0 (dvakratna). Pol je v x = 1. Posevna asimptotay = 3x + 3. Definicijsko obmocje Df = R−{1}. V E1(0, 0) je maksimumin v E2(2, 12) je minimum.

h) Nicla v x1 = 12

(enkratna) in v x2,3 = −3 (dvakratna). Definicijskoobmocje Df = R. V E1(−3, 0) je lokalni maksimum in v E(−2

3,−12, 7)

je minimum. V x = −116

je prevoj.

i) Nicla je v x1 = −1 (enkratna) in v x2 = 1 (enkratna). Pol je v x = 3(dvakratni). Zacetna vrednost f(0) = 1

9. Definicijsko obmocje Df =

R−{3}. Vodoravna asimptota y = −1. Lokalni maksimum je v E(13, 1

8).

Grafi funkcij so na Slikah od stevilke 11.1 do stevilke 11.9.

7. y = 3x− 2

8. T1(1, 8), T2(−1,−2)

9. T (0, 47; 0, 72)

11.3. RESITVE 69

Slika 11.2: Graf funkcije f(x) = x4 − 8x2.

Slika 11.3: Graf funkcije f(x) = xe−x.

Slika 11.4: Graf funkcije f(x) = x(ln x)2.


Slika 11.5: Graf funkcije f(x) = xln x

.

Slika 11.6: Graf funkcije f(x) = xe−2x2.

Slika 11.7: Graf funkcije f(x) = 3xx−1

+ 3x.

Slika 11.8: Graf funkcije f(x) = (2x− 1)(x + 3)2.

11.3. RESITVE 71

Slika 11.9: Graf funkcije f(x) = 1−x2

x2−6x+9.

Slika 11.10: Graf funkcije f(x) = xe−x2 .

10. y = x− 7

11. T1(6, 216), T2(3, 27), T3(−2,−8) tangente: y = 108x − 432, y = 27x − 54, y =12x + 16

12. y = −109x + 32

9

13. Ne.

14. Definicijsko obmocje Df = R. Nicla je x=0 (enkratna). Prvi odvod je f ′(x) =e−

x2 (1− 1

2x) in drugi odvod je f ′′(x) = e−

x2 (−1+ 1

4x). Maksimum je v E(2, 2

e).

Konkavna je na (−∞, 4) in konveksna na (4,∞). Limita je limx→∞

x

ex2

= 0. Graf

funkcije je na Sliki 11.10.

15. Definicijsko obmocje Df = (0,∞). Nicla je x = 1e

(enkratna). Pol je x = 0(enkratni). Lokalni maksimum je v E(1, 1). Graf funkcije je na sliki 11.11.

16. 50, 50

17. a = 4, b = 2

18. C(−12, 0)

19. a) −3


Slika 11.11: Graf funkcije f(x) = 1+ln xx

.

b) 0

c) 2π

d) −1

20. f(x) = 2 + (x−3)4

− (x−3)2

64+ 3(x−3)3

1536− 15(x−3)4

49152+ . . .

21. f(x) = x2 + 2x3 + 2x4 + . . .

22. f(x) = 2x + 49x2 − 26x3

81+ . . .

23. f(x) = 1− x2

2!+ x4

4!8− x6

6!32 + . . .

Poglavje 12

Integral

12.1 Formule

1.∫

(f(x) + g(x))dx =∫

f(x)dx +∫

g(x)dx

2.∫

(kf(x))dx = k∫

f(x)dx, kjer je k konstanta

3.∫

f(t(x))t′(x)dx =∫

f(t)dt (uvedba nove spremenljivke)

4.∫

udv = uv − ∫vdu (per-partes)

5.∫

xrdx = 1r+1

xr+1 + C, r 6= −1

6.∫

1xdx = ln |x|+ C

7.∫

exdx = ex + C

8.∫

axdx = 1ln a

ax + C, a > 0, a 6= 1

9.∫

sin xdx = − cos x + C

10.∫

cos xdx = sin x + C

11.∫

1cos2 x

dx = tan x + C

12.∫

1sin2 x

dx = − cot x + C

13.∫

1√1−x2 dx = arcsin x + C = − arccos x + C1

14.∫

1x2+1

dx = arctan x + C

15.∫

1√1+x2 dx = ln(x +

√1 + x2) + C

73

74 POGLAVJE 12. INTEGRAL

16.∫

dx√x2+a

= ln(x +√

x2 + a + C

17.∫ b

af(x)dx = F (x)|ba = F (b)− F (a) (osnovni izrek integralskega racuna)

18. V = π∫ b

af 2(x)dx (racunanje prostornine vrtenin)

19. P = 2π∫ b

af(x)

√1 + (f ′(x))2dx (racunanje povrsine rotacijske ploskve)

20. s =∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx (racunanje dolzine krivulje)

12.2 Naloge

1. Izracunajte nedolocene integrale.

a)∫

(x2 + 3x− 2)dx

b)∫

( 21+x2 − 3√

1−x2 )dx

c)∫

(x2−1x2+1

)dx

d)∫

( cos 2xcos2 x sin2 x

)dx

2. Izracunajte naslednje integrale s pomocjo uvedbe nove spremenljivke ali inte-gracije po delih.

a)∫

e−xdx

b)∫

(1−2 sin xcos2 x

)dx

c)∫

( 2x+10√x2+10x−4

)dx

d)∫

sin2 x cos xdx

e)∫ √

4x− 1dx

f)∫

tan(x5)dx

g)∫ √

x ln xdx

h)∫

(2x− 3)e−xdx

i)∫

ln xx3 dx

j)∫

ln(x + 1)dx

k)∫

x2e−x2 dx

l)∫

(x2 − x) ln xdx

m)∫

x3e−xdx

12.2. NALOGE 75

3. Izracunajte naslednje integrale.

a)∫

exdx√1−e2x

b)∫

dx√3−4x2

c)∫

dx√1−2x−x2 dx

d)∫

e3xdxe2x−1

4. Izracunajte integrale racionalnih funkcij.

a)∫

x4

x2−1dx

b)∫

dx4x2−9

c)∫

2x+3x2+1

dx

d)∫

xdx(x−1)(x−4)

e)∫

dxx2−2x

f)∫

xdx√2x+1+1

5. Izracunajte naslednje dolocene integrale.

a)∫ 2

1(x2 + 1

x4 )dx

b)∫ 4

1xdx√4x+5

c)∫ π

2

0sin 4xdx

d)∫ 1

0dx√4−x2

e)∫ 1

0x2 cos xdx

f)∫ 1

0ex

1+e2x dx

g)∫ 0

−1dx√

1−2x−x2 dx

6. Izracunajte ploscino lika pod grafom funkcije.

a) f(x) = x3 + 1 na intervalu [1, 2]

b) f(x) = 1(x+1)2

na intervalu [0, 2]

c) f(x) = ln(x + 1) na intervalu [2, 5]

7. Izracunajte ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = 3− 2x− x2 in y = 0.

8. Izracunajte ploscino lika, ki ga omejuje graf funkcije f(x) = x2 − 5x + 4 inabcisna os.


9. Izracunajte ploscino lika, ki ga omejujejo krivulje y = x2 +1, y = (x− 2)2 +1,x = 0 in x = 2.

10. Izracunajte ploscino lika, ki ga omejujeta krivulji y = x3 in y = (x− 2)2 ter xos.

11. Izracunajte ploscino lika med krivuljama.

a) y = x2

4in y = 2

√x

b) y = 6x

in y = −x + 7

c) y = 4x− x2 in y = x

d) y = x2 − 4x + 3 in y = −x2 + 6x− 5

12. Izracunajte ploscino lika, ki ga s koordinatnima osema omejuje graf funkcijef(x) = x+2

x−1.

13. Del krivulje y =√

x− 1 zavrtimo nad intervalom [2, 5] za 360◦. Izracunajtevolumen nastalega telesa.

12.3 Resitve

1. a) x3

3+ 3 ln |x| − 2x + C

b) 2 arctan x− 3 arcsin x + C

c) x− 2 arctan x + C

d) − cot x− tan x + C

2. a) −e−x + C

b) tan x− 2cos x

+ C

c) 2√

x2 + 10x− 4 + C

d) 13sin3 x + C

e) 16

√(4x− 1)3 + C

f) −5 ln | cos x5|+ C

g) 23

√x3(ln |x| − 2

3) + C

h) e−x(1− 2x) + C

i) 12x2 (ln |x|+ 1

2) + C

j) (x + 1) ln |x + 1| − x + C

12.3. RESITVE 77

k) −2e−x2 (x2 + 8x + 8) + C

l) (x3

3− x2

2) ln x− x3

9− x2

4+ C

m) −e−x(x3 + 3x2 + 2x + 1) + C

3. a) arcsin ex + C

b) 12arcsin(2

√3

3x) + C

c) arcsin√

2(x+1)2

+ C

d) ex + 12ln ex−1

ex+1+ C

4. a) x3

3+ x + 1

2ln |x−1

x+1|+ C

b) 112

ln |2x−32x+3

|+ C

c) ln |x2 + 1|+ 3 arctan x + C

d) 15ln |x + 1|+ 4

5ln |x− 4|+ C

e) 12ln |x−2

x|+ C

f) (√

2x+1)3

6− 2x+1

4+ C

5. a) 258

b) 256

c) 0

d) π6

e) 2 cos 1− sin 1

f) arctan e− π4

g) π4

6. a) 443

b) 23

c) ln 3− 256

7. 1023

8. 92

9. 223

10. 712


11. a) 513

b) 352− ln 66

c) 92

d) 9

12. 3 ln 3− 2

13. 15π2

Literatura

[1] J. Lep, Matematika z vajami in nalogami - Prirocnik za samostojni studij - 1.zvezek, Fakulteta za gradbenistvo Univerze v Mariboru, Maribor (1995).

[2] J. Lep, Matematika z vajami in nalogami - Prirocnik za samostojni studij - 2.zvezek, Fakulteta za gradbenistvo Univerze v Mariboru, Maribor (1995).

[3] P. Mizori Oblak, Matematika za studente tehnike in naravoslovja, 1.del, Fakul-teta za strojnistvo, Ljubljana (1994).

[4] Minorskij Vasilij Pavlovic, Zbirka zadataka vise matematike, Tehnicka knjiga,Zagreb (1972).

79

Univerza v Mariboru Fakulteta za kmetijstvo in …pripravo na izpit iz matematike. Zbirka pokriva...

Documents

Transcript of Univerza v Mariboru Fakulteta za kmetijstvo in …pripravo na izpit iz matematike. Zbirka pokriva...