University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u...

31

Transcript of University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u...

Page 1: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

����� ���� ��� �� ������ �� �� ��

����������� ���

������� ���������� �������� �� ���������

����� �� ����

��������

�� ��������� ����� ������ �� �� ������ ��� ���������� �������

����� �� �������� ������� �� ������ � ������� �������� ��������

����� � ��� ��������� ��� �� �������� �� � ������ ������� ���

����� ������ �� �� ������ �� ��� ������ �� �� ����������� ��� � ���

���� �� ����������� ����� �� ������ ��������� �� ���� �������

����� �� ��� ����� ���! � �������� ���� "������ ����������� �� ���

#������ ��� ����� �� ��� ������� �� �$���� ��� % ���! ����� ���� ����

��� ���� ��� �� ���� ����� ��� ����������� ��&����� ���� �! ���

��������� ���� �� '�� ����������� ��� ��� ����� �� ��� (�)*+�,"- ������� ��� ��� ������ �� �� ���� ���� ��� ����� �� ���� ���

��� .��� �� �� ����� ��� ������ ���/'0� ���� ����� �� �����������

1�

� ����������

����������� ����� �� ������ �� � �� �� ����� ��� �� ���� ���������� ��� ���� ��� �� ������ �� ��� � � ������ ��� �� ��� �������� ������ ������ � ��� ��� ���� �� ��� �� ������ �� ����� �������� ��

������� ���� �� ������ ������� ������ ������������ �������� �� �����

����� � !"#$% ��� �� �& ������� '���� �����& (�������������)� ���&������) ��������� ������� ������ ��*���� ����������������� ���"

����� �� ����� ����� � !"#$% ��� �� �& ������� '���� �����& (���������+ ���� �,

�&�� ���� ��� ��� �&�) ������� -������� �� ����� ��� .���/�

Page 2: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

��� ������ �� ������ �� ��������� ������� ��� ������ ��������� ������� ����� ���� �� �� ���� �������� ��� ��������� ��� ��������������� �������� ���� !��������� ��������"# �� ����� ��� ���� ��� ��� �� �������� ����������� ������ ������� ����� ��� ������� ���� �������� $���� �� ������ ��� ��� ������� ��� ��� �����%" �� ������ ������������ �� ������� �� � ���� �� � �������� ��� �� � ������� ���� ���� ���� &��'()"* +���# ����������� ����� �� ������ �� �� ������� �� ����� �� ��� ����������� " �� ������� �� ������, �������#����� ����� ����� �� ���� �� ���������� ������� ������� ��� ��� ����&-.'/# ��'()"�

+�� ����������� ����� ����� � ����� ������� �������� ��� ���������� ������ ������ ����� ����� � �� ����� ��� ��� ���� ���������� �� �������������� +�� ��� �� ��� ������ ������� �� ��� ������� ������ ������� ������ �� &��0��'1) ��� ��!��� ��� 2��������.��������� ����� ������� �� 3�����4� 2��������.� &56�'/) ����������� ���� ��� ���� ������ ����� ����� ��� ������� �� ���� ��� �������� �� ��������� � ��� ��� !���� ��� �� ���������# ��� ����� �5���� ��5 ��� �����"� +��� ����� �� ������� ������� ��� ��� ��������� ������� &56�'/), ���� �� ��� � ����������� �� � ������ �� ��������� ������ ��� ����� � 5�����

0���� �������� �� ��� ���� ������ �� ��� ������ �� ����� � 5����� ��� ��� ��� �� ����� ���������� �� 7������ 8�9"# ���� ��� �������������� &0�':)� ;���� ����� &-.'(# ��7'') ������� �� ��������� ��������� ������� �� ����� ������� �� �����!� �������� ������� ����"�

-������ &<��'() � � �� ���� �� �� ��� ��� �� ���� �� ����� ������������ �� ����� =��" ������ ���� ������ �� ����� +������ ����������+�� ������ ����� �� &<��'() � ����� ��� 2��������. ����� ����� #���� �� �� ������.�� �� �5 �� &�<��'') �� ������� �������� �� &��''#<��''# ��7-$>>�)� ?�� �����@ �� ���� ��� �� ��� �� �������� ������� ������������� ���� ���� � ���� �� �� �� ����� ��� �� ���� ���������� � ��� ��� ���������� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��, �� �������� �� ����� ������� �� � � A ># �� ��� ��� ��-�+B ���������#�� �� ������������ 8 ����� �� �� ���� �� � ����� ����������� �� ���� ��� �� ����� ������ �� ����� �� ������ ���������� &�<��'') ��� ������# ��� ��� �� �� ��� ��� �� ���� ��52; �� ������������ 8 ��7������ 1�9 ����"�

+��� �������� �� �� ���� ������� ���� ��� �������� ��� -��������

8

Page 3: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

����� &��7-$>>�) ��� ������� ��������� �����������" ����!�� �� ����� �������� �� ������ ��� ��� ������� ��������� �� ��� �������� ������������ ��������� �� ������� ��������� +�� ������� ����� �� �� ���� ��� �� 2��� ������ �� &--':)C ����� ���� ����� ����� ����� ���@���� ����� �������� ��� �� ���@ ��� ��� ��� �� ��������� �����!�� �� ������������ �� ������� ���������

�� ���� ���� �� ! ���� �� �� ������ ������� ��������� �� �����"�� ������� ���� ���� ������ ��� �5 ���������� �� ���� ��� �� ���������� ���� �� � ��� ���������� �� �� ����� ������ ��� ���� !��� �� �������������������� � � ����� ���������# �� �� �������# ���� ��� ������ �� ��@����������� ���������� ���� ��� ��������� ��� � �" �� &<��>>) � � ������� ��� �� ��� �� �� ��������� ��� ������� �� ����� �� ������������� ���

�� �� � ��������� �� ��� ������# �� �������� ��� +������ ������������ &�<��'') �� ��� ����� �� ����@ �����# ���� ��� ��� ������� ������ � ��� A ��" �� ����� ����� ������� ���� !��� �� ������������ ����������� �� 2��� �� ��������� ��� ��� �� +������ ��������� �� ������������> ���� ;�� ���������" �� ���� ��� ���� �� ��� ���� �� !��� +�� ��� � ������ � ��� �� ��� ������# �������# �� ��� �� �� ���@ ����������� ��� !�� �� ����� �� ��� ��� ����������� ���� �� �������# �� �� ������ ��52; ���� ���� !��# ���� �� ����� ��� ���D������ ��� &��'')�

���# �� �������� ��� ��������� �������� �� ����� ������� ����� ������ ������� ��

� ���������� �� &�$'')� +��� ����� ����� ��� &-.'()��� ��� ����� �� ��������� �� ��� ����� �� ���� ��� ��� ��� ������ �� �������� ���� � � �� ��� ��� �� ���� ��@ ������ ������� ��������������� ��� &��7-$>>�) �� � ��� ����� �� �� ������������ .�������� ��� �� �� ��� �� � ���� ������ ��� ��� ���� ����� ������ ����� ������������ >" ���� �� ��� ���� ��� �� ��������� ����������

+�� ���� �� �����.�� � ������ 7������ 8 ������� ��� �������� ������������ �� ��� ��������� �� ��� ���� ����� ������� ���� �� ������ $������ ��� �� ������� ������ �� 7������ 9 �� ���� ��� � ���� ���������� �� 7������ 1� ;��� �� ������� �� � ���� �������� �� 7������ E�

9

Page 4: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

� �� ����� �

;�� � ������� !�� �� $� �� �� ���@��� �� ��� ������ ����" ����������� ��� �������� ��� ����� � ���� �&�� � � ��) �� ��� ��� ��������� �� ��� ����� �� ��� � �� �� � � � �"� 6���� �� ��� � � ����"�� ��� �� ������������� � �������� ����� � ������ ����� ������� ������ �����""# �� ��� �� ������������� � ������ �������� ���>� ���� $� �� �� ������� ��������� ���� ��������������� � ������ �� ���������� �� ���� ���� ������ ��� �������� �� ����� ��������" ���� �������� �� �� �� ��� �� � �� ���� �����

;�� ����� � � # � �����" �� ������ ��� ��� �� ��� ������� ��������� ����� �� � � �� ����� � C � �����"� �>� ���

;�� �������� ������# ���� �������� ����� �� ������ � ��������� �� ���������� �� ��� ��� �� ��� ����� +��� � ����� ��� � ������� ����� � � �� � �� ��� ���� �� � � ����������# ����� ����� �������� ���� ��� ��!��� ��� �������� ����� � �� ����� �� � � �� > �� �������� ��� � �� ���" A � �� �� � �� ���" A >

� �������� �� � �� ����� � C � �����" � �>� �� ��� $� ������ ��

��� ��� �� ��� �� ������� ������# ��� ���A ������>� ��"�� +�� �������� ��� �� �# ������� � ��# �� ��� ����� � ������� ��� � �� ������� ��� ����� ��� � � �����>� ��" �� ���"# �� ����� ��� � � �����" � ������

�� �� A ���� � ��� �� ���� �� ������# �� �� � �>� ��� ���� �� �����"�� ������ ��� �������� ����� � ����� �� � � �� � �� �� A �� �� ��

> ��������� ���� �# �����"���A�

������� � �� � �� F 8����""� +�� ��������������� �� ������� ��� ����� �� �����C

� A�

�������

�����" �� ����" ��"

��� A �� �� ��� ����������� ����� ������ �� �� �� �� ���� ����� ���������������"�

G�� �������� � ��" �� ��� ��� �������� �� ��� � ��� $� �� ������ � �� ���� ������ ����� � �������� ��� � �� �A �"# �� � � �� .��� ����� ��� �� ����� �� ��� �������� � ��" ����� � � �>� ��� �����" A A����" A >� ���" A >"# ����� � A � ������" � � � ������" � � �����""�

H����� �� �� ��� ��� �� ������ ��� ����# ����# �������� �� ��� ��� ������ ��� ���� � � �� � �� � � � � �� +�� ������ �����" �� � ��� �

�� ��� �� ��� �� ������ ��������� �� ��� G�� �� ���A �� � �� � �����" � ��#

1

Page 5: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

�� �� ��"���A ��� �� ��� ���� ���� �� �������� ����� �� ��

������ � ��� �� $� ����� � � � �� ��� � �� �������� �� ����� � ����� ����.��� ���������

;�� �������� ������� �# �� &�)���A ��� 8� � ���

��� �������� ��� ����

��������� � �� ������ 6���� ��� �� ���� ����� ������ ����� �� ��� ��� �� ����"# �� �� �� ��� ��������� ���� ���� ������ �� ����������� # �����������"C

� �

�� F ��8"

���

� �� �9"

����� �� � � ����", �� � �# �� � �� ������ ;�� ��� � ��� � �����"# ���� ����� ������ ����� �� � ���� ��� � �� �� ����� �� ���������� ����� �� �� ��� ��� � ��# �� ��� !� ����� � �� �� ����� ����� ������ ������ �� ��� � �� �� ����� � ����� ����� ��� ��� ��� � ���

5���# � �� ����� � ����� ����� ��� ��� � �� �� �� ��� ��� � �������� � ��"� �� �������# ���� � ��" �� ������� �� �� ��� ��� � �������� � ��"# �� �� �� ��� �� ���� ���� &��0�-7'/# +����� E�8)"��� ����� �� A �� A A �� A > �� �� >I� ���������

+�� ������ �� �� ������ � ���� �� �8" �� �������"� �����"�# �� ��������� �� �� ���������� � ���� �� �9" �� �����"F �� +�� ������ �� � ������� ��� �� � �� ��� ������� �� ��� �����������

��� ���������� ��� �� �� ���������

�� ���� ������� �� ��!�� ��� ����� ��������� �� ��� ���������� $� ��� ��������� �� ������� ���� ���������� �� &57((# ��7-$>>�)�

G�� ! �� � �" �" >�� ����# �� #��!"���A �$ � &�) � ��� A ���

��������� �� ������������ ;�� ��� �� ���� % � &") �� ��� ����!# �� ��!�� ��� �� ���� &��%" � ��� ��� �� $ � &�) ���� �� ����

E

Page 6: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

����� �" ���� ��� ���� � � � % � ������� ����� ��� �� $� �� ��� ! ��� ��� �� '"����� ��� �� �#��!"� � � ��� � � &") �� % � &")��%� � � ��&��%"� � ' �%�"�

+��� ������ ������.�� ��� ������ �� ������� ���������� ��� &57(()����� ���������� �������� ���� ' A �(8"� $� ������� ��� ������������ ������ �������� �� 7������ 1���

G�� )��!"���A ��� � $ � #��!"� �� ������ � ��"� � ������ � ��" ��

����� �� ���� ��� � ������" � )��!"� $� �� �� ���������� �� ��� ����� �� � ������ ��

������� � ��" A >

������ � ��" A >

�1"

&��7-$>>�) ������ ��� �� ���� ������������ ��������� �� ��� ��� �� ����� ��"��4� ������ ������ ������� �������� ��� ���������� �� ! �� ������������ �������# ���� ��� ����� �1" �� ��� ��� -��������� ���� ���� ��� ������� �������� �� &<��'(# �<��'')# ���� �� ������ ��� ��� ����� �1" �� ��� ��� ����� � 5���� ���� ��4� ���������� �� ��� ��-�+B��������� �� ��� � �A 8� �� ���� ���� �� ��������� �� ���� ���������������� �� �� ����� �� � �� ��� ���� ����� �� ��� ��� ����� �5�����

��������� �� � ����� � � �� ��� *���� � �� ��� �� ����.��� ������ � �# � �A � � ���� �����" � * � ����� �������� � �� *���� � ���� !�� �� ��� �������� ����� � �� ���� ���� !�� �� *�� ����

+��� ��!������ ��� ��� ����� � �� ��� �� �� �� �� ����������� ���� �������� �� � ������� 5���# ����� � �� *�� ��� ���� ��� �� ��� ������������ �������� �� ��� ��� �� ��� ����� �� ���

G�� �� ��� ���� � ����� ���� !��� �� �������� ������������ � ������� ������� ������C

��������� �� ��������� +�� ���� ����������� �� ����� ������������� � ��" �� ��� � ��� ������ �� ����.��� �������� ����� ������ � ��" ���� ������� ��������� ���� ��� ���" A >� ���" A > �� �#��� � � �>� ����$� ���� ��� �� ����� � �

/

Page 7: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

�� ! �" � ���� ����� ����� � ��" ���� � ���� � �� *���� � �� � �� �� �� ��� � � � ����� ������ ��� ���� ����� ����� � ��" #��$ ����%��&��Æ&����' � �A � ������� �����" � *

(���) ��� J��� ��K �� �������� ;�� ������ ���������# ������� ��� ����@� �� ������������ ��� �� � ����"# � �A �� �� ������" � *� $� ��� ��!�� � � ���� ����� � � ���� ��� � � �����������

��������� ������ ������ ��# ����� � � ��# ������������� �� ��� ����@����" ��������� �� �� +�� ��������� � �A � �� � ������ �� ��� ����� �� ���� � ������

������

�����" A > � ���" A >����� �� ���� ������� ����

������� G�� �� �� ��� ���������� �� A > ��� ��� � � ���� �����" � * ����� �A > ��� � ������� ��� �� ������� �� ��

$� ��!��� ��� ����� �� ������ ���� � ������ �� ��� ������ ����������� ��������� ����� �� ������� �� � �� ����� ��� ��� ����� ������ ��� �� �� �� ������� ���� ��������# �� ���� ������� ��!��� ���������� ��

���**!�+ �� �� � ������ � ��� �� *���� � ���� � ���� � ������ � A � + > �� � � � �� �� �� ���� ����������� �� �� ����� ��� ���� *�

�� � ������ � ��� ����� � ��" �� *���� � ���� � ���� � ��� ��� � A> �� � � � �� �� �� ������� ������ �� � � ����� ������ ��� ���� ���������� � ��" ��� � ���� ������ � ��� �� � � �>� �������" A�� ���" A >" �� � ���� *�

+���# �� �������� ������������ � ����� �� ��� � � ��� �� �������"� ��@ ������# �� ��� �� ����� ��� �� ���������� ���� ��� ��� ������� �� ������ ��� ���� �� ��� ��� J��@ ������K �� ������������ > ����&��;-'1)" �� ���� ���� ����� ���� ��� ���������

+�� ������� �� �� � ����� ��� ��� ������ �� � ����� �������� ���� ������� �� �������������

�� ! �, �� � � �� *���� � �� ! ��� � � �������� �! � �� �� �* ����"���� ��

�� "� � � � �����"! � � ����� �� ��� ����� �������� � ��� �����" A� ! � �� �� *���� �� #�� � �� *���� ��

:

Page 8: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

(���) (!�� � 7������ ��� � ������ ��� � �� �� ��� � ��# �� ��� ���� �������# ��� �� � ���� �A �# ����� � �A > �� �����" � * � �� $� ����� � ������� ��� � �����"� ���� � ��� A �� +���# ����# � �A �����" ��� �����" � �A ># �������������

(!�� �� ���� � ��� �������# ��� �� � �A �# ����� � �A > �� �����" � *����@ �� � ������� ����������� � ���� �����" A � �� ���� ��� ��� �A >�+��� � �� �A ���# ������� �� ��� ��� ����� ��� � �� �� *�� ����

��� �� �� �������� ��� �� ����� ������

2�� �� ����L� �������� ��� ��� ��� �� ����� �� ��� �� ������� ���������� �� ��� ������ �� �5 ���������� ;����# �� �� ��� �� � ������������� ��� �� ������ ���� ������ �� ��� ����� ��� �� ��� ��������""�

��������� �- �� �������� � �� �� �� ���������� ��C

�� ��� �� � ���������" � ������"� �� � ��"�

8� �� �� � �� �� � � �� ���� ��� ������ �� ������ ��� ��� ��# ������� � ����

;�� � � ������ �������� � �� ��� ;�� � � ����"# ,� ��" � �� �� �������� � ��� �� � ������ �� ��� � �� H�!������ 8�( � ���� ��� ����,� ��"" A�����"�

��������� �� ;�� � ��� � ��� ��� � �� ��� �������� �� � ������� ������� �� �� � � ������ �������� �" �� � ������� �� � ����� �� ���� ��� ,� ��" A � +�� ��� �� ���������� ��� � M �� ����� ����������� ���� � �� ��� ���� ����" �� �� ����������� � ��� ������ ��

����" A �M � �

+�� ������� �� ���D������ ���� ��� !��� ���������# ��� ������ ���������� ������� -� " �� ��� ��� � �� ��� ��� �� ����� � -� ��" � �M���� ��� ��-� ��" � �

(

Page 9: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

&56�'/) ���� ��� !��� �� �������� ����� ����� ������� �� ��� ��� ����� �� ����������# ���� ��� ��������� ����� ����� ��� ���������� ����+��� ��� �� ��� ������� ���� �� ��!��������

;�� ��� � �� � �� ��"# ������ �� �� ���� � ��" ��� ��� �� � ��� ��" ��� �� ������ ��� ��� � �� �� ����� � ����� ����� �������� � ��� �� H�� �� ��� �������� �� ��� ������� ���# �� ���� � ��"�� ���� ������� �� �� ��"� � ��� � � �� �� ��� �������� �� � A,� ��" ��� �� � � � �� ���� � ��"# �� ���������� ���������� H������� M� ���� � ��" ��� ��� �� ���������� ��� � �� �� � +�� � ��� M� ���� � ��" �� ����� ����������� ���� �� ���� ���"# �� ������� ���� ��� ����� ��� �� ��� ��� �������������

�� ��" A �M� ���� � ��"� �� ���� � ��" �E"

�� �� ��" � ��� ������ �� � H����� ��� ���D������ ���� ��� !��� ������������ ��� ������ �������" �� -� �������

�� ����� �� ����� ��� � �� �� ���� � ��" ��� �� �� ���� ���

-� ���������" �A >

;�� ����� ��� �� ����� �� ������� ��������� ���� ������� - �� �� ��"����� �� �������� ��� -� ������� �� ��� ����� ���

0���-� �������" � 0���-"

�� ���� ��� 0���-" �A �� ��"� +�� ������� � ����� ��� ���� ������@�� ��� ����

�� ! �� ���!.�-�� $����� �� ��� � �� ��� ������! � � � � �� ����� ���� � �� ��� ������� - �� > � �� ��" ��� ��%

�& � -���" A >'

�& �� �� ������" � �� -��� �" A -��� -��"""�� ���� �� � () ������ �� ���� � ��� ��� ������ ���� �� �*�� �� ��

&-.'() �������� �� ��������� ��� ������� - ��� ��� �������� � ���C

-��"���A -� ����"� �/"

'

Page 10: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

����� -� �� �� ��� ����� ��������� ������� �� ��� ������� ��� � ��"�������� �� �� � J� K ������ �� ��� � ��������� �� �� +�� �������� ��� �� ���� �� �� ��� ��� ��������� �� ����� ��������� �������� �� ��� ������ ����������# ��# ���@� ����� ����������� ��� �����������#���� �� �� �� ������� �� �� ���� ����

�� - �� �� ������� ��������� ��� ������ �� G� 8��># ���� ���������� � � A

�� ���� ������� ��� ���� � ��� �� ������ � � �� ��

��������� ����������� � ��� ��

� A��

����� �-���""

��# �������# -��" �� ����� �� �/"# ���� ��4� �� ����� ��� � �� ��� � -���""#����� �� �� �������� ������� ��� # �� ��� ����� � �� � -���" �� ������ �� J� K �� ��� �� ��� �� +��� ��� ��� �� ����� ��� ����� ����� � �� �� ���� � ��" �� �� ����������� �� ��� �� �� ���������� � �� ��� �� ��� � ������� ����� ��� � �������� ��# ����� �#������� � �� �� � ��� � ����� ������ �� �� ���� � ��� ��������

� ��� � �����

�� ���� ������� �� ����� ��� ��� �� ��� �� '"�������� ! �� *�� ��� ��4��� �5 ��������� �� ��� ����� �1" �� ������ ������ ��� ��*(1 � �� �'"" �+����� 9�("� +��� ����� ����� �� ��� * + 1�� � '" �� ���� ���� ��� ������ �� �������� ���� � ������� � �� ' $� ������ ���������� ��� ������ ���� ����� �� �'(8 �� ��� ��� ���� ��4� ��� �� � ����� � �+����� 9��9"� +��� ����� �� �� �� �� ���� ����� ������� �� ��������� �� ��� ���� ��52; ��� � � �� ��� !��� �������������� 8 �7������ 1�9"�

+�� ���� �� ��� ����� �� ��� ������� ������ �

/$���� � $����� �� �.���� �/ �� � ������ �� ���� � ���, � A � ��.���"!0 A 0���� �/" ��� ���� ������ ���� �.���� ����/ �����������! ����� 0 �� �8����F�"���� �� $����� �� � ��� ���.���" ���� �� /���������� �� �������� ���

������ �0" ���� ���� ���� ���������� ������ �� #�� � �� �������� ���

������ " ����� �� ���� ������ ��

(���) +�� ���� ��� ���� �� �� ��� � ������� �� � ������ �� ��� ��� � C �/ � �����" ����� @�� 0 �� > �� ��������� �� ��� ��������

�>

Page 11: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

� A ��-������ ����"" �� ������ " ����� �� � ������ ��� ������ �����

0 �� ����� F �"�� ��� �� ����� ���� �� �����" ���

�����"0���� A 0 ����� ������"� +��� ���� ��� ���@ �� ����� ������ ��� ������ �� �� ���� � �� -������ ����" � ������� ����� � �� ���� � ��� ��� �����"�7�� � �� ���� ���� ���� ��� ����� �� ��� ���� ��� ���� 0 �� ��� �� � ����� �G� 9��1"� ��� �� ��� ����� ��� �� ��� �� ��� ��� �� ������ �������

�� H�!������ 9�8 �� ��� ������� ���� �� � � �� ��� � ����.���� �/� � �0 ������ ��� ������ �� +����� 9��# �� ��������� ��������

�� �@�� ������ �� � !��� � ������ �������� �� G�� � ���A �����

��������� �� �01��!��� -�� +�� ���� ������� -� �� ��!��� �� �� ����� ������� ��C

-���"���A

��������

�����" -������������������"�

�� �������� �� ����" �� ��������

+�� ��������� ����� �� ��� ������� -� �� ��� �� ����� �� ������ /������� �� ��� ��� � ��� �� ������������ ������ ��� �������� �����!���� ������� ����� ���� �� ��� �� ������� .������� ������ ���� �� ������� �� 0"# ��� �� �� �� ����� ������� ��� �� ��� �� ���������

�� ! �� +�� � � ���� ����� � ! � A -���" �� �����0"�

(���) H�� �� �������# �� ��� ���� �� ����� ��� 0 �A � � -���" �������� ��� �� +��� �� ���� ��������� ���� �� �� ��� �� ��� �� ���� �� �������� � 0���� � ����

��� -���""���� A ������ � -������������������""�

�� ��� ���� ���� �@�� ����

�� ! �� � �� �����" � �/� � � �� -���" A �

(���)

��

Page 12: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

$� ���� �� ����@ ��� ��� ����� �� � �� -���" �� � �� ;�� ���� ���� ������� �� ����@ ��� � ���� �� ����� �� -���"���� A -������������������"��� ��� ���� �� � �>� ��� ��� ����� 0 �� �8� F �"�� ���# 0���� �� �� F �"�� ��� �� G� 8�:��", ��������� ��� ��� ����� �� ������ � � �� ���������� �� �����0����"�

+�� ������� � �� ��� ���� �� ��� ���� ��� ����

�� ! �" $����� �� � �� � ���� ����� � � � �0 �A � #�� � �A-���"

(���) �� ���# �� ��� ��� �� ����� ��� ��� �� ���� ��# � ���� �A-���"���� 7���� � �0 �A � # �� G� 9�9 �� ��� � �0 �A -���"� ������ ����� 0���� �A -���"�����

;�� � ������� ���� �Æ ��� �. ���� ��� � ������Æ" A >� $� ���

0���� �A -���"�������� �:"

�� �� ��� �� ���� ���-���"�������Æ

�� ���� � � �� >� ��� -���"�������Æ A -�������������� ����"����Æ� 7���� ��� � �� -�������������� ����" �� ���������� �� �����0����"# �� ��� ��� ������������ ��� � �� ����� �������# ��� � � �� ���� ���

-�������������� ����"����Æ

���� ���� �:" ���� � ���� -���"�������Æ A > �� �� ����� ��� ����� ��G� 9�E�

�� ! �� $����� �� � �A ��F�

�����/���� ����� �� �� ���� �� /�����������

#�� � �A ��

(���) ���� ��� ����������� ����� �� /� �� >�

G�� �� ��� !���� ��� ����� �� +����� 9��� G�� ����A -������ ����" ��

� ����A -���"�

�� G� 9�E# � �A -��� � �"# �� �� G� 9�1# -���" A �� +���#� �A �� � � �"� ?�� �� �� �� ���� ��� ��� � �� � � �� ������ ��� ���

�8

Page 13: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

� �� ������ �� � /�������# ���� ��� �� �� ��� G� 9�/ �� ������� � �� �� ������� �� ������ "�

G�� �� ������ ��� ��� � �� � ���� ��� ������C

1� A ��� � �� �����" � �/� � ��1� A ��� � �� �����" � �/� + ��

5������� �� � ��� � ��� � � � ���� ��� �� �������" � �/� A �� 5���#��� � -����" ��� �� � ��� �� � � �� �� � 1� ����# ����� 1� �� ������������ -� �� G� 9�1# ��� A �� � �� ���� � ��� �� � 1�� +��� �������" A�� �������" � ��� F �� �������" � �.� � � F �� �������" � �.� A � F �� ������" � �.� ��� ������" � �.�F �� ������" � �/� � ������" � �����"

+��� ��� �� �� � � ����� �� ���� �� /������� ������ �� ���������� � �� ��� ������ ��� ��� �����"� 3���� G� 9�/ � ���� ��� � ��

�������� �� � � +����� 9�� �� �������

���**!�+ �, , ��� �� ������� � �� #������ -��!

-������ ����" A -������ ���"

(���) ?�������# ��� � �� -������ ���" �� ���� �� /�������� +��������#

�� +����� 9�� �� ��� �� ���������� �� �� ������ �0"

/$���� �- ����� �� ! �� � ��� �� '"����� ���! * �� � � ���� ����� � � ��*(1� �� � '"" � � ��� � �� ��� *���� � ���� ������ ���� � �������� ���� ��� �� � ������" � )��!"� #�� � � () ������ �� ������� �� A A �� A > ��� ������ ������ �� ��*(1� ��� '""

(���) +�� ��� �� ��� ����� �� �� ��������� ���� ������� - ����������� ��� �@� ��� ��������� ������� ���� ��� ������������� ���#�� ��� G� 8��> ���� ���� +� �������� - �� �� ������� �� ��!�� �� ����� ��� �� ��� � � ���� �����" � ��*(1� ��� '""� ;���� �� ���� �� ���� �� � ��� ��������

��������� �� ���� � ��� ! �� � �" �"� ���� �� ��� � �� �� ������ �� ���� � ������" � )��!" ;�� ��� � ������ �� #��" ��� ����� ���

�$�� ������� ���� ;�� ��� �� ���� % � &") �� �����%"���A ���������� � %�"

�9

Page 14: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

2�� �� �� ���� �� ��!�� ��� ���� ������� -� ;��!� ��� � ��� �� �� '� * ��������� ��� ������ �� +����� 9�(� ;�� ��� ��� ��!�� ��� �� ��� � �2���" � &") �� ���� ������ � �� ������2���""C

��������� �� ;�� ��� � ��!�� ��� ������� ��������� ������ �� ����� ��� &") �� ���� �� !C

% �� � �#��!" �

�����

#���!" � #��"

� + *

1 �("

G�� ��� ����� �2���" �� � �� ��� ��� �� ���� ����� �� �� �������� ��

�� ��� ��� � ��� ���� H�!�� -��"���A -������������"

+�� ���� �� ��� ����� �� ������� �� ����@��� ��� - ����!�� ���������� �"�� 8" �� G� 8��>� ;���� �� ���� �� ���� �� ��� �������� �� �2���"�

�� ! � +�� � ��� � ��� �����" � ��*(1� ��� '""! ��2���"� � �

(���) ���� � ��� �������� +��� ����� ������ ��� % A ���� � ��� ���������� ���� ���� ��� ���� � ����� �� �� �� � 3 � �"� �� H�!������ 8�8 ���� � ��� '� ������� �� ����� �� �("# ��� ��� � � % �� ������� ������ �� *(1 ������� �� ���� ��� �������� �� #��"� +���# #��" �� ������ '������ *(1" A ��*(1� ��� '"" �� ����� $� ��� ������������# ����������� G� 9����

�� ! �� ����� �� � � ' � *(1! � �� � ��� � � % �� � �� �� ������� �� % � �2���" � � �%� � �� #��

-��������" A -������������"

(���) G�� �� ��� ��� �������� �������� �� ��� ��� % � �2���" �� ������ ��� � � % ��2���" ���� � ��� ' ������� �� ����� �� ����� �����#

#��!" � &����������������#���!") � �� '

���# ����� �2���" �� ����� ����� ��# �� ���

#��!" � &���������#���!" � #��") � *(1

�1

Page 15: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

��������� �� � ���� ���

#��!" � &���������#���!" � #��") � ��� '" F *(1 � *(8

G�� �� ��� ��� �� +����� 9��

�. CA ���� � ��� � #��!"�� CA #��!" � &���������#���!" � #��")

�/ CA #��!" � &���������#���!" � #��")

� CA ���� � �� � % � ����0 CA ���

�� ��� �� ���� �������� ��� 5����� 9�:� $� ������� ��� -��������" A-������������"� $� �������� ���� �� ������ ������� ���� �� ������� ��-�������"

2�� �� !���� ��� ����� �� +����� 9�(� $� ��� �������� � �������- �� ��# �� �� �������� ��� ����������� �� ������� �!��� G�� �� ����@ ����� ������ ����!�� ��� ���������� �� G� 8��>�

+� ��� ��� -���" A > ��� ��� ��� ��# �� �����A�

)��!" -�� ���������" � � � ��*(1� ��� '"" +��� ��2����"� � � ��� G� 9���" �� ����� ��� � �� �� ���� �2���" � �2����" 2���# � � �2����" �� G� 9��8#-���" A -���������" A > +��� �" �� ����!���

+� ����@ ��� ������ ���������# �������� ��� � ���� �����" � ��*(1����'""� � �� ����� ��� �� G� 9���# ��2�����"� � � �� G� 9��8#-�������" A -���"����" ;�� �� ��� �� � -�������"� �2�����

�" � �2�����" +� ��� ����# �� �� ������� �� ������ ��� #���" � �������� #���!"�#��" +���-���"�������

�" A -���"�������" ��

-���-��"" A -���"�����-���"����"" A -���"������"�

����� ��� �� � ���� ����� ��� ��� ��� ��� ��-���"����" �� ��� ��� � ���� ��� ��� ������2�����""

;���# �#��!"� � * ��� ����� � � &") ������ �� �� *�� ���"# ������2���" A � �� -��" A ��

+����� 9�( �� �������

+�� ����� ������ �� +����� 9�( �� ��� ������ �� ��� ��� ���� '�� � ���# ' � �"� $� �� ��� �� 7������ 1�� ��� ��� �������� ���

�E

Page 16: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

������� � J���� ��������K ���� ��# ���� ' ���� �� �" �� ����� ��� ��� � � ��� ������� ���� ��� ������� �� ��� ����� �1" �� ��� ���� ���� ������� ������� $��� ' �� � # �� ��������� �� ������� ���� ��������� �� ��� ���� ���# ���� �� ��� ��� �� � ����� * A �� ���� ��� �� ��� ��� ��� ��� �� ����� �� ���� �� � ����� ������������� �� ����� �� ����� ��� ��� � �����"� � � � �

/$���� �� ����� �� ! �� � ��� �� '"����� ��� � � �� ���� � �>� ��#���

�� � &")"� #�� � � () ������ �� �� ����� �������)��!"" � � � &")� ��������� ������ �� ��'(8"

(���) ������� �� ��� ����� �� +����� 9�(# ��� �� ���� ���� ������ ���� ��� �� +����� 9�� �� �� ������������ ���� ��� ����� ���� �������C

�� ! �� $����� �� �.���� �/ �� � ������ �� ���� � ���, � A � ��.���"!0 A 0���� �/" ��� ���� ������ ���� �.���� ����/ �����������! ����� 0 �� ����������� �/ � �" ��� ���� / � �/� � � �>� ��� $����� �� � ��� ���.���" ���� ��

/���������� �� �������� ��� ������ �0" ���� ���� ���� ���������� ������ ��

#�� � �� �������� ��� ������ "�

(���) 5������� �� ����� � � ���� � �0 �A � �� � A ,� ��" �������

��� ����������� / A �# �� ����� � ��� 0�� �A � �� 7���� � ���� ��� ������

�� / �� 0�� A >� � �A � ��� �� ���� � A ,� �� ��"�

2�� �� ���� ��� ������� - �� ��� � � �� � �� H�!������ 9��># ������� �� � �� ��� ������ ��������� ������ ������� ��� ���� ������ ������ �� �� ���� � �� � ����� ��� ����� ���"C

��������� �" ;�� ��� � ��!�� ��� ������� ��������� ������ �� ����� ��� &") �� ���� �� !C

% �� %� � �%�� � �(8 � &��%�" �����

#��!" � #��"

� �'"

G�� ��� ����� �2���" �� � �� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ��������

�� �� ��� ��� � ��� ���# �� -��"���A -������������"

�/

Page 17: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

�� ! �� +�� � ��� � ��� �����" � �'�(8"� ��2���"� � �(8

(���) ���� � ��� �������# �� ������ ���� �� ������� %�� � %�� ���� ��� %� � � %��� �� %� �� � �� %�� + �(8� G�� � �� ��� ������� �����

��� ����� �

�� %�

+ �(8� +���# ����# �

�� %�

� � ������ �%�� � �(8"�

+��������#&� � �

�� %�

� + ��'(8"� ?� ��� ����� ���# �'" � ���� ���

����� ��� ������� �� ��� ��� ������ ��� �������� �� �� �� � ��� ��

���� ��� ����� �� #��"# ��������� &�� �

�� %��� #��"� +��� ������������

���� ��� ��� ����� �����" � �'�(8" ������ G� 9��/�

+�� ������� �� ������ �� G� 9��8�

�� ! �, ����� �� � �� � ���! � � % �� � ���� �� ���� ��� ��% � �2���" � � �%� � �(8� #��

-��������" A -������������"

(���) 7���� �2���" ��� % � �2���"# �� �'" �� � ��� � � % � �2���" �������� �� ��� ��� &��%"�#��"� +��� �� �� �� ��� � �� G� 9��1� �� ���� �� �� ����� ����� ��� ��� �� ��� ��� � �� % � �2���"�

+�� ���� �� ��� ����� �� ���� ������ �� ��� �� +����� 9�(�

� ���������

�� ���� ������� �� �������� �� � �������� ���� ������ ��� �� �� ����������� ��� ������ �� 7������ 9�

��� ������� ���� �� ���������

&57(() �� ����� ���@ ���������� ��� ������ �� ����� ��������� ������� ��� ����� ����� ���������� �� �����# ��� �� ���������� �� ��������"��@� � �����C � �" �" >�� ���� ! �� ��� ."������� �� ��� ����� # � &�)���� �# � � �� �� ��� ��� � &") � #��!" � # �� � . �# �� +��� �� ���������� �� ������ �� ��� ��� ��� ' A �(8" ��� ������� ����������������� ������� �� �������� � �� �� �" ����� �� ��� ����.�� ��

�:

Page 18: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

&��'/# �0�7'(# ��7-$>>�)C �� �" �"�

�� !���

� �� !

������� ���� ��

����� ����� ��� ������� ����� � ���� �� � ��� �� '"��������# ��� ��������� ����� �� �� '�

&57((# G� �) ��� ������� ��������� ��� ���� �M� �" ������� ����� ����� ��� �� ����� � ����" �� �� ��� ."������� +��� ������������� ��� ��� ���� ��� �� ����� �� .�M ���� ���� �� ������� �� &57(() ��'" �� ��������� $� ���� ��� ������� �� �� ������.���� �� ����� � �

"� � �� � � ���� �� �� ! . A .��" �� � � ���� �������� ��� ���� � �". + � � � M A M��" �� � �������� � ���� �������� ������� �

M A 4����������

� ��>"

#�� � �� ��� �M� �" ����� � ����� ����� ��� ��� ������ � � �� ���=�M�����������

�� .�������� ��� ���������� �� 4��"�

+�� ����� ����� ����� ��� ����� �� &57((# G� �), �� ��� ���� ������� ��� ���� �� ����� ������ ���"� ���" ��

���"���A 5

�5

.

��

������������ M����

���"���A�� M�����������

����

+�� �������� �� ������� ���"� >� ���"�� ���� ���� ��� ��>"�

������� ������ �������� �� ������� .���A �

� !# �� ���C

�� ! � ����� �� � � 9 �� � ���� � ���� �� �� ! > � ' A '��" �� � 8 �� � �������� ���� ��������! � � M A M��" �� � �������� � ������������ ������� � M A 4

����!�����

�� #�� � �� ��� �M� �" ����� !

� ����� ���� �� � #��!" �� ����� ���� ������

�������� �� &�) � ���� �� ��

� � � �� ��� ���=�

����������

�� �� '

������ ��� ��� ���������� �� 4��"

2�� �� �� ���� �� ������ ������ �� ���� ��������� ;�� � ����������� 1 A ����" �� � � � ��

'$��� 1"���A ��

�% ��

5�6� � � 6"

�6 � �

����� 5�6�7 " �� ��� �� ��� �� ����� ������� 6 ��7 � +��� �� ���� �������.���� �� ��� ������������� �������� '$�1" A '$��� �(8� 1" ���������

�(

Page 19: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

������� �� ���� ������ ���� ���� &��'() �� ��� �������� ����� �������"�5���# ��� ��������� ���� !& �� ���� 1 �� � ��� ��1"� '$��� 1""�������� ��� � ������� � ���� &��7-$>>�# 6� �� 1)"# ����� ��1" ����� �� ������ �� �������

7������ ��� ��� ��� ���� 1 �� �������� +���# ����# '$��� 1" A� � ��% �� ���1�%"# ����� 1�% �� ��� ������� ������� �� 6 # �� �� ����� ����� ������� &�57:() ������ ��� ������� ����� �� ���� ������ ����� � �� ��� ������ �������� 8��1" �� ��� ���� 1C

���1�%" � �6 ���� 8��1""

�� � F 8��1"

+��� � ����

'$��� 1" � �

��� �

�� ��� 8��1"

-�� ��� .��� /� ����� �� ������� ���� 1 ���� 8��1" �8��� �, ������� ������������� �� ���� ����� ���� ����� �� &G�7((# N�(()�

7� ��� �� ��� ����# �� ���C

�� ! �� #�� � ���� �� ����� �� � � �������� .��� /� ����� 1 � � ������� �� � ��� �� �����(�"�8��� �"����� ��� ��� � � �������� � + >�

��� ����� ����������� ������� �����

� +������ ������� �� � ������!�� 52; �������� ��� ���� �� ��������������� ��� ��� ����� ����# ��� �� �� ������� �� �������� �� ����� +������������� ���� ������� ���� �� +������ &+��/() �� ������� ��� !��� ����������� � ���� ������ �� ��������� ��.� ��� ������ ���������� ��� ��-�������� ������ ���������"�

�� ��� �� ����� �� ���@� &<��'(# �<��''# ��'') ����� ������ ������� ���������� �� +������ ��������� ��� ����� � 5����� +��� ������� ���������� ��������� �� ��� ��� ��� ��� ��������� �� �� ������� �� ������ �� ���� � ����� +��� ��� ��� ���� �������� �� &�<��'') ����� ��!�� �� &��'')" ���� ��� �� �5���������� �� +������ ��������� �������� =��"�

&�<��'') ������.�� +������ ��������� �� ��� ��� ���� ��� �������� ��� ���� ������� ���� �������� �� ���� ��� �� ���� ����� ������������ ������ �� ��� �������� �������� 942���� +���� ��!������# �����

�'

Page 20: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

����� � �� ��� � �� L�� �� ����# ��� ��� �������C ��� ������������ 5 �� ��� ������������� ����� �' ����� ����� ���� �>� � �� ��, ������������ ����� �� �' �� ��� ��� ��� L��� ��� ��� ���� 5� +�� ���+������ �������� ��� ��� ��� �� �� L��� �� �������� �� � � �� > �� ��

+��� ��!������ �� ���� ������.���� �� ��� ��� ��� +������ ����������� &�<��'') ������ � =��" ���� ����� �� ��� ��������� ������ ������� ��������� �� ��� ������� �� ����� � 5���� �� ����� ��� ���������� � �� ��������� �� ��� ��!������ �� ����"" �� ��@���� �� ��� � ��� +����� �������� ��� ����� ������� �� �� ������� �� �������� ����� ������ ��� ��������� ���� � �� ��� $� ���� �@� �� ������� ������ ������������ ����� �� ��� ������������� �� ���� ��� ������ �� ����������

�� ��� ����� ��� ����� �' ������� �� ��� �������� ���� 5 �� ��� �������� ���� > �� �� +���� �� ��� �������� �������� :� �� :� ��� �>� � �� �� ����� ��!�� ��� ���� �� L�� ��� 5 ���� �' �� � � �� >�� � ������������ ?�� �� ���� ��� ��� ������ � �� ������� ����"��� ��� ���� ������ �� �������� �� ��� �������, ��� ��!�������� �� ���:� CA >� :� CA ��

��������� �� � ��� /'����� 2�� 3*!'� G�� 1 �� !���� �������� ������ ; C � �1" � �>� � � � �� �� � ������� ��������� ������ ������������� ����� �' �� ��� �������� ���� 5 � ��1"� ;�� � � � �1" �������� �����1� ;� �" ��� ������� ����� ��������C�

�(�)(�*�$ �

�)(�* ��

�(�)�(*�$ �

�)�(* A ;��" �� �

+�� ��� #���� ������ �� 1 �� ; �� ��!��� �

���1� ;"���A

���� &�

������1� ;� �"�

�� �� ��� �� ��� ��� ���1� ;" ��������� ���� ������� +������ ����������$� ����� ��� ��� ����� 1 ���� �������� ��� ������������� ���1� ;"�� ����� ��� ��������� ������ �� !��� � ���� ��� � �A ��

/$���� �� #�� ������ � ��� � � ��������� ����� ��� � � ��� � � �� � � � �� ��

� �� ���� � ; �� �! ����� �� � ���� � �

; � �>� �� � �� �� ��� ��������! �� � �����

����� � ���� � � ���� � ������ � �A �

8>

Page 21: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

(���) $� �� ��� � ������� �� A �� A A � � A �� � � � A A � A�� �� �� � �(8� <���� 5����� 8�/��"# ��� �� ����� ��� &<��>>) �+������ 9�1" � ���� ��� ��� ����� ; � �>� �� � ����# ����+���� � � �" ��� ������

� � � �����

��� ��� ���� �� !�� ���� ��� � �� �>� ��� �� 5�����

8�/�8"# ���� ����� �� �� �� �������� �� !��� � ���� ��� � A >� +�����

1�1 ��� ����� ��� G� 8�:�8" ����� �� ����A �� � �� � � ��

+����� 9�(# G� 1�8 �� +����� 1�1 � ��

���**!�+ �" +�� � � ���� ����� � ���� ����� � �� �� �� A ����"��� �� �� ������� � ������ � � � ��! 1 �� � �������� .��� /� ������ � ������� ����� �� ��� � �������� ���� ��� �� �� �����"! � ���� � �A �! �� ��� ����� � ��� ; ����� () ������ �� ���1� ;" ����� ��� ������ =���"�

��� !���� �"�#$ � %��� ����� �

�� ����������� ���� ��� ����������� ����� ����� �� ��� �������� �� �������� ��� ���� ������

��������� �� ��!�4� �5 627'� G�� ! ��� ������ ��� ��

���� ��52; ��� � �� � ������ �� M � �����# ������ �� ���@���M � ����� ������������ �� � ���� ��� ��� ��� ��

���

� 8� �����#���� ������������ M �� ��� ��� ����� �� ����

&57(() ������ ��� ��� ���� 9�52; ���� � ������ �� M � ������� ����� ��������� ��������� �� -��������# ��� � ������� ������� M�&��'') ������ ��� ��� ���� 9�52; �� ����� ����� � 5���� ���������� �� ������ =��" ���� �� !�� � ���� ��� � �A 8# �������� M A M��" ��� ������� +��� ���� ���� � �������� �������� �� &�<��'') �� ������ ��� ��� ���� 52; �� ���� �������� ���������� ������ �� &57(()�&��'') ���D������� ��� ��� � � ���� ����� �� ��� ������ ���� ��� 9�52;4� ���� ��� !��� � ���� ��� � A 8 � ��� $� ���� �������� ������� ����� ���D�������

O���� +����� 9��9 �� G� 1�� ���� ' A �( ��MF8" �� � ��������� ��� �������

���**!�+ �, "� ! ��� ! ����� � � 9 �� � ���� � ���� � � M A M��"

�� � �������� �������� ������� � M � 4��������

�� #�� ����� (��� �����

8�

Page 22: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

)����� ������ �� ���� � �������� ���� � ��� ������ =�

�������������

���� ���������� �� 4��"�

��� ����������� ��� ���� ��� &�� ����������

�� ���� ������� �� ��!�� ���� ��� �� ����������� ��������� �� ����� ������� ��� ������ � ������ +��� �� ��������� ��� ��� �� +������ ���������� �� ������������ .���# �� ����� ��� ������ ������� ���� ��� �������� � +�� �������� ��� ��� ��� L�� �� ��� �� �������� �� �������� ����� ����� $� � ���� � �� 0�� ���������

��������� �- � ����� �������� � �� *������������ �� ��� �� ������ �������� � � ���� � ��� ���� ��� � * ����� ������ ����������� � ��������� ������ ��� � ��������� �� ���� ��� � �� A � � ����� � ��*������������ �� ��� ������������ �������� �� ��� ��� �� ��� ����� �� �>� ��� ��*��������

�� ����� �����# ����� � � � ����" �� *������� �� ��� �� �������� �� *F � ������ �� �� ������ �� � @� � � �� >" �� �� � ������������� ����� ������ �� > �� �� �� ����� ��� ��� ������ ����� �� ��������� � ������

/$���� �� 1���� *������������ ���� ����� � �� *���� ��

(���) ���� � ��� � �A � �� �����" � *� G�� �� ������ �� ��� �

�� � �� �� ������� ������� G�� ����A � �����" �� ��� ��!������ �� *�

������ ����� �# ����� ������ ����������� � ����� ����� � ��� ������" �� > �� ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� ������� � �� ����� �� ����.����+��� ������������ ������ +����� 1�'�

?�� ���� �� �� �� ������ ��������� �� �� �� �������� ������������� �� + �� �� �������# ��� D����� �������� �!#� ��!��� �� ���

����������

�� �� + �(8 �� �(8�������� +� ��� ���# ��� � ��� ������ �� ������ � ���� ��� � �(8 �� ������ ������ ��� ���� �� �������� �# �� �� ������ ��� ��������� +���# �� ��� ����� ��� �!#� �� �(8�� ��� ���� �� !�� �������# ��� ������ ����� �� ���� ����� �� �� ������ �������� ��� ��� ����� �� &+�'/# +����� 1��)"

88

Page 23: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

2�� �� �� ���� �� ��!�� ��� ��� �� +������ �������� �� ��� �������������� >� -�� ��� �� ��� ��� �� ��� +������ ��������� �� ��� ��������� ���� 1 ���� ����� ������ ������������� �� ��� �����# �� ������ � �� ��� ������ � ����� ��� ��� L�� �� � � �� ;��" �� � �� �������� !���� ��� L�� �� � �� �� �� ��� �� �� �������� �� ��� ������# �� ���0�� ���������

��������� �� �2*�# �!3��*�%��'� G�� 1 �� !���� �������� ����� ������� �������� ����� ����� �' �� ��� �������� ���� 5 � ��1"� ;��� � � �1" ������ �� 4�: <4=�1� �" ��� ������� ����� ��������C�

�(�)(�*�$ �

��� 8�)(�*" +�

�(�)�(*�$ �

��� 8�)�(*"

+�� +��� ������ �� 1 �� ��!��� � ���� ������� ��"

: <�1"���A

���� &�

4�: <4=�1� �"

�� �� ��� �� ��� ���# �� �� ������� �� � ������# 4�: <4=�1� �"��������� ���� ��� D����� �������� �� ���" ������ �� ����� �� ���"(8�������� +��� �� +����� 1�' �� G� 1�8 �� ���

���**!�+ � � 1 �� � �������� .��� /� ����� � � ������� ���� � 8EE ����� �� ��� � �������� ���� ��� �� �� �����" �� �����() ������ �� : <�1" ���� � �������� ���� ��� ������ =���"�

��' (������� �����%��� ��� ���

�� ���� ������� �� ����� ������ ���� ������ ��� �5 ���������� �� 6���������������� �������� ��!��� �� &�$'')�

+�� ��������� �������� ���� " ������� �� � ���� ����� ��� ������� �� ��� � ��� &") �� &�)# � ��� � " + �� +��� �� �� ����� �� ��� � �� "� ������ ���# ����� ��� A � ��� ��� � �� ���� �� $�

��������� �� �� �� ��� ���D������� �� ��� ������� �����C

" ����A�

��� ��� ��� � � � � "

" ����

���A P��� # P���� ��� � � � � �� � "� � � $ � �

89

Page 24: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

+�� ����� ���� ���� ����� ��!������ �� ��� ��� ����� � �� ��� ����������� � ����� �� �� �� ������� +�� �� ��� �� ��� �� ����� �5���� ��� ���� ��������� �������� ������� �� �

� �� ����� �������� �� �� �������� JL�K ���� ��� �������� ���� ������ �� �������� ���� ��� ��� ��� ���D������� �� �� ������ ���� ���� ��������# ������� &-.'()"� +���� ��# �������# ��� ������ �� �� ���� �

� �� ������� ������� �� �� � �� �� �� ������ ����� �� ����� �� ������ ������� �� ��� �� ����@ �������� �� &��7-$>>�) �� �� ��� ������� �����

��������� �� �������� ;�� ����" ����� ��������# � ������ ����� ��� ��� �� � �� �������� ����� �." ���� ��� ����" A � �� $. ����� �." A ����������� �� ��� ����� �� ������ �� �.������� �� ��� ��� ��� �������

��� �� ������� ��� �

� �� ������� ����� ��� ��� � ������ � �������� ������� ��������� 52; ��� � �� ����� �������� ��������������� �.� ��� �������� �����

2��# �� ������� ��������� �������� � � �� �� ����� �� �� ��������� ����� ���� 9 �� ��

� ���� ��� ������������� ����� � �, 7���� �� �� �� ������ � 9�52;# ���� �� ����� ��� ����� ���� ��������� �� ��� ��

?�� �� ����� �� ���� ������� �� ��� ��� ����� �� ��� ������� ������� � +�� ������ �� ���� ��� ����� �� ��� �� ���� ��� ��� �� �����!����������

/$���� �� +�� " A ���" � � (��� ����� )����� ������ �� ���

�� ���� ������ =��"�

(���)G�� �� �������� �� � �5 ��������� % �� ��

� � 5����� �� " ���� �� '"�������� ! ���� ������� �# ' �� � A =��" ���� �� ��# �� ���@� ��� ���� ������� ��� G� 1��"� G�� �� �������� ��� ����������������� �� ��� ��� ������ � � JL�K ��� ���� ���� $ � #��!"� 2 ��#�� �� ��� �� % ��� ����������� � ��� ���� ��� A > ��� $ �� #��!"�

?�� ���� �� �� �� �� ���� ��������� ������ ��� ��� ������ ;�����# �������� ��� ��� ��������� ��� ���� �� ��� ��������� %��� �� ��!�������# �����" A � �� $�.� ������� �.�" A �� 5��� ��� ���������� �� �.� �� ���

�� �� �� ����� ������� �� ��� ����� ��� ����� ����� ��������� �>�����" ����

81

Page 25: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

�������" A � �� ���"��������>����"" A �� 7���� �� ���������� ��� � ������

�� ��� �� .���# ����� �>� �������� ������� �� � ��� � ������� G�� ������� �� ��� ����� %�� ��� ��������� ����� .�� � �.� ���� ��� ����� �� � �-�� � 5��� ��� ������ �� %�� �� ������� �� � ��� ����� �� ��+��� �� ����� �� ����� ��� ������ �� �� ������� �� ���� �� ��� ������ ������ ��� ����������

�� �� ��� �� ��� ��� ����� ����� �� ������������� �� ��� ��� � ��

�� �� ���� ���� ��� ����� �� ��� �� ����� ���������� �� ��������

���.��� ���� +��� ������� �� �� ��� � ��� ���� �� ���� ����

����� �� �����A�

��.���������" �� �� ��� �5 ��������� �� ��� �����

���� � ��� � ���� ���� � � �A ��� $ � #��!" � #���!"���� �� ������ � ��� � ����%"

�� ����� �� !���� ��� �����# �� ���� �������� ������� �� +����� 9��9 ���� &��-$>>)"� 2 ��# ������� ��� ������ �� ����� ������ ��

�� ��� �������� ������ Q�� � ��� � �� ��� �� ����������� �� ������� ����� ������ ��� A ���� � � � �" ���� ��� �������� �� ���� �����

������A �Q�� A *"� G�@� �� ��� ����� ���# ��� ���� �� � ��� � ��� ��

������� ���� � ���"���A��

����� � �"�7������ ��� � ��� ��� �� � ������ ������� � ���" A A ������� � ���" A

> ���� ��� � � ����� � ������ ��� ����� �������� ������� ��� � ������� ������� A > ��� $ � &�)� � � * � *� � �� $� �D��� H�!������ 9�' ������ �������� ��� � �����C

#��"���A �$�� �� ����� ��� ������������ ���� ����

��

�����%"���A ���������� � %� � ���������$ �

����

#��!"� � � * � *� � ��"

+��� ��� ����� �� +����� 9��9 �� ���� �������� �� ����@ ��@� �@�����C

����� �� ! �� � ��� �� '"����� ���! � � �� ���� � ��� � ��#���� #�� � � () ������ �� �� ����� �������)��!""�� � &")�����������$ � &�)� � �* � *� � �� ��� ������ ������ �� ��'(8"�

�� ���� ��� +����� 9��9 �� �� ������� ����� �� ��� ��� ���� �������� ����� Q�� ���� ���� �� � &") � $ � #��!"�"� +����� 1��1 ������

8E

Page 26: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

��) !������ ������� ���������� ��� ����

�� ���� ������� �� ������� ��� ������ ������� ��� ������� ��������� ����������� �� &��7-$>>�) �� ��� �� ��� ����� $� ���� ��� ����� ��� �"������� �������� ���� ��� ��!������ ����" �� �� ?��"�� ��� �� ��� !����� ������������ > �� A '4���� ���"� +��� ���� �� �� ����� �� ���@ ������ ���� �������� ��� ������� � ����� ����� ��������� ���� �������� ��� ������ �� �5 �����������

��������� �" ������������ � ����� �������� � �� *����� �� ���������������� � ���� ��� � �� A '4���# ����!�� ��� � *�

+��� ������ �� ���� ������� ����� ��������� �� ����� �� �� ��� ������ ����������� � ����� �� �� � ��� �������� � *���������� �� � �� � >� ���� ��� � *� +���# ����� �������� �� *������� �� �� �� *��� ���������� �� �� ��� �������� 6���� *�� ��� ����� �������� �� *��� �������� ��G� 8�:��"# ��������� ��� ������ �� � ����� �� ��������� �� ��� �� ���� ��� ���� �������� �����# �� �������� ������������ � ����� �� �� ��� �������� �� ���� ��� ��� ��� ��"�����������

�� ��� �������� ��������� ��� ������� ���� �� ����C

/$���� �� ����� �� ��� � A >� � �� � �� �� � #�� ����� ����"���������� ������ � ��� � � � ��������� ��� ��� �� ?��" ��� ����

(���) �� 5����� 8�/�8"# �� � ��� � ������� ��� � A � � $� ������ ��� ������� ����� ��!������ �� - ��� �� �����

��������� �, +�� .����� ���� -��<�� � <�" �� ��� � ��� � ������� �� ��������� �� &�) �� ������� �� � ������# ���� ����� ������ �����3 �� � *�������� �� &�) �� ����� ��������� ��� ����� 3�

G�� @���" �� ��� � ��� � ���� ��� ��� ����� ����.��� ����� � � �� &�� � � � ) ���� �����" � � ����� �� ����������� � ���� ��� ��� � ������� ��� ���� ��� ��� �>��" ������ +���# ���� �� ��� ������� �������� �� ����� �� ��������C � ��# �� � �� �� ���� ������ �� ��� ����� � �������� � �� ����"��� �������� ����� ��������"# ���� @�������"" + �� @�

8/

Page 27: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

�� ������� �� �� ���� �� ����� ��� � @���" ��� 5���# @��>" A �F��?�� ����� ����� ��� ��� ������� ��������� �����C

@���" � - �8� ��� 8� ���@���� �""

�� ����� �� ��� ����# �� � � - �8� ��� 8� ���@���� �"" �� ������� ���

�����" � �� 5���� ��������� �� &�) �� ����� ������# F��� ># �������� ����� ���� �� ��� �������� �� ����� �� ��� ������������� ��� � �� �� G���� ������ " A 8� ��� ��������� �� ��� ��!������ �� - ��� �� ����# ����� ��� ����� !'� +�� ���� " ���������! ���! ��� � ��! � �� �� � ��� �� ��

����� �� ��� % � &") ! � � � �� �� � ��� ��� �� ���� ��� � 5�������� F � ������ �� �� �� �� � �� � �� �� ����� ������ ����������� � �� ������ ������ �� �� �� �� � �� � � ���� ��� ���� ��� ��� �> � �" �����#���� ��� ��������� ����� ������ ?�������� ��� �� ����� ��� �� � �����"���� �� �� �� � �� � �� ����� ����� ���� ��� �� �� �� �� � �� � � ����� � � �� >� �� ����� �����# � ��� ��� �� ��� ���������

��"�������"���������

�� � � �� > �� ��� ������ ����� ��� ��# � �������#����������

��"�������"��������� A > �� � ��"

+���# �������# �� � ������� ����� ��� �� �� ���� % � &") ��� ������ ��"�������"��������� ���� ��� � � ����# �� ��������� ��� ��� ���

�� �� �� ����.��� �������� �� ���� �������� !'� � +�� ���� @���� �" ����������! ���! ��� � �/� ���! � �� �� �

� �� ����� �� ��� % � &@��� � �") � �� ���� ��� �� �� �� ��� ������������� �� ��� �� ����� ������ ��� ���� ��� @� � �� ����� ������������� ��� ������"# �� ���� ��� ��� ��������� ��� ������

+����� 1��/ �� �������

��������� �� ��� ���������� �� �� 7������ 8 ���� H�!������ 8�9"# ���� ��� ����� � � �� *���������� �� ��� ������������ �������� �� ������ �� ��� ����� �� ���

/$���� �- +�� � � ���� � ����� �� � ���� ����� � � ���� �� ������ � � � � ��! ��� �� � � �"����� ��� � � � ��� � �� �� � �"�������������� ������ ���� � �������� ���� �� ������������ > ��� � ������" � )��!"!� � () ������ �� �� ����� �� A A �� A > ��� ������ =��"�

8:

Page 28: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

+��� ������ ����� ��� +����� � 9�( �� 1��/� O���� ��� �������������� ���� �������� ��� G� 1�� �� �� ���� ������ � ���� �� ������������ ���� �� ��� �"��� �������� ����������

� �� � �� �����

+�� ��� ����������� �� �� ����� �������� �� ��� �� �� ��� ���� �������� �1" �� ��� ��� �� � �������� ����� ' + >* 5� ��� ���� ���������� �������� ��� �� �� �������� � ���# ���������� �� �� ��������� �� ���� ��� +����� � 9�(# 9��9 ���� ��� ����� ���� ���*

H��� ����� ����� ������ ������� ���������� �� � ����� ����������� ��� �� +����� 1��/*

� ������ �� � ���

$� �� ������ �� R� 0�DSTU��@ ��� ��� ���������� �� �������� ����������������� �� ��� �� ����@�

� � � � �

&��-$>>) N� ��@�������# 6� ����7����# �� -.�����# �� �� $���������� 7��� �� ������ �� ����������� ������ �� (������� ���� �� 98� �)2 $������� � #����� �� )���� �# ����9E(I9/:# 8>>>�

&��7-$>>�) N� ��@�������# 6� ����7����# �� -.�����# �� �� $���������� ���������� ��������� �� ����������� �� ������� ��(������� �� �� �� 1�� 111 +3)$# 8>>>�

&��'() 2� ���� 7����� ������ ��� �� ���� ������ �� �� 5� G� G�������� �� �� V� N���# �������# "���� 4��� � )����� $��� ���9(># ���� 8>/I8�E# �����# �''(� 7��������V����

&��;-'1) R� ������# -� �����# N� ;����# �� 7� -������ +�� ��������������� �� ������ ����� ��� )���� ������# �1�8"C�I�1# �''1�

8(

Page 29: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

&��0��'1) �� �� �# -� � ���..�# R� 0�DSTU��@# +� ������# �� �� ���S@�G���� ������ �� 3�����4� 2��������. �� ������������������ �� ��������� �� � � 9E� ���� ����# �''1# :'1I(>/�R���� ������� �� ���� �� (���� �� �� "� �� 2��� $���

&�0�7'() �� �� �# -� 0��# +� ������# �� N� 7@�� ?� ��� �� �������� ������!����� �� ���� @���� ��� ��� �� (������� �� �� ��9>� �)2 $������� � #����� �� )���� �# ���� E/�IE:�#�''(�

&��'/) �� �� � �� +� ������� 7� ��!�� �� � ������ ������������� ������� �� (������� �� �� �� 9:� 111 +3)$# ����8:1I8(8# �''/�

&��'() �� �� � �� +� ������� ����������� ����� �� ������C ���#������� �� ������� +������ -����� +-'(�>/:# 6�������� 5��� ��� �� 5� ������� 5� ������# �''(�

&��'') 6� ����7���� �� -� � ���..�� -��� 52;K� �� 3����� ��� ����� � 5����� �� (������� �� �� �� 1>� 111+3)$# ���� 1�EI18�# �'''�

&�$'') 6� ����7���� �� �� $��������� 7���� ������ �� ����� ���������� �� �� ��� �� (������� �� �� �� 9�� �)2 $#3)#���� E�:IE8/# �'''�

&�<��'') 7� ����# H� <��������# -� � ���..�# �� +� ������� G������� ������� ������� ��� ��� ����� � 5���� ���� ��������� ��� ��� �� (������� �� �� �� 9�� �)2 $#3)# ���� E1:IEE/# �'''�

&��0�-7'/) 7� ����# -� � ���..�# R� 0�DSTU��@# �� ���S@# �� -.�����#�� R� 7�� ����� �� ������ �� ������ ����� � �� ������������ ;���� ����� � ���� ���� ��������� )������ ��)�������� ��9" ��''/W�'':"# 8E/I8'(�

&�57:() ;� 5� ����� @��# H� N� 5���@���S�# �� R� R� 7����� <��������� �� ��������� ���� ����� �� �� �� 3D� �� V� +�7S��# �������# )���� ������! )���� 2��� $��� 5� ������! 6��� �7#���� �(EI�'�� 2�����3���# � ����� # �':(�

8'

Page 30: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

&57(() V� 5��S�# 6� 7.� ��S���� N�� ��� �� ��� ��� ����������5�� �� �� �� �)2# 9E �1"C:E'�:/(# ?������ �'((�

&56�'/) N� 5���# R� 6� ����# �� -� � ���..�� O���� ��� <����������� ������ �� !�� ������ �� ������!������ �� (������� ���� �� 8(� �)2 $#3)# �''/# �:1I�(9�

&<��>>) ;� <����� � �� ������ ��� ;������ ������ �� ��� ���� �������� ��� N?H�" ������� )������ �� )��������# '��"C�/I9(#8>>>�

&<��'() H� <��������� 2��������. ���� ������ ��� +������ ����������� �� (������� �� �� �� 9'� 111 +3)$# �''(# /1(I/E8�

&<��'') H� <��������� G���� ���� ������ �� ������� �� ���������������. ����� ������ ��� ��� ������ N��������# �'''�

&��7'') -� � ���..�# �� ���S@# �� R� 7�� G���� ������ ��� �������� � ����� �� ��� <������� ���� ������ � )������� �� )��������# (�8"C�8:I�11# �'''�

&0�':) R� 0�DSTU��@� ?� ��� ������ �� ��� � ������� ������ ��� ������ � ���� �� ����� �� ���� !���� !��� N��������#�'':�

&G�7(() �� G�����@�# -� ������# �� �� 7��@� - ��D� ������)���� ������# (C8/�I8::# �'((�

&N�(() <� �� N������ 6������ ��������������� ������������� �� �� �������� ���� �� �� ����� �������� �� ��� ������ �� ��������� �� ������������������ (������� (�������� ��������8� .���� &# 81CE�I/># �'((� 6����� �������� �� (������� �� ������� #�� ������� ! 6��� �9! ����� -:�9;�

&-.'/) �� -.������ G���� ������ ��� ����������� ������ �� ������������� ������ �� ������� ����� ����� �� ;� N���� �� ��� 3������ �� N�����# �������# (������� �� �� �� 89�� )�"(! "����4��� � )����� $��� ��! �>''# ���� 1(I/8# 2�� B��@W�����#�''/� 7��������V����

9>

Page 31: University of Chicagopeople.cs.uchicago.edu/~razborov/files/misha.pdf · & 0'1) # - ..# r 0 d s t u @# + # s @ g 3 4 2 . 9e. &57(() v 5 s # 6 7. s n 5 )2 # 9e 1"c:e' :/(# ? '(( &56

&-.'() �� -.������ G���� ������ ��� ��� ����� � ������ )������� �� )��������# :C8'�I981# �''(�

&--':) �� -.����� �� 7� -������ 2��� ������� 5�� �� �� )������ � $���� $��� ���# EE��"C81I9E# �'':�

&+�'/) 7��5� +��� G���� ������ �� ������������ ����� ��������� ������ �� �� ��� $ �2 5�� �� � <������ 2��������#'CEEI/8# �''/�

&+��/() <� +������� ?� ��� �� ������ �� ��������� �� ����������� ������� �� $���� � )� ������ 2�������� � � 2���������"����# ��� 8� 5�������� �����# 2���B��@�G�����# �'/(# �����E��8E�

9�