UNIVERSITE LOUIS PASTEUR - Hydrologie.orghydrologie.org/THE/DANQUIGNY.pdf · Spécialité :...

UNIVERSITE LOUIS PASTEUR

INSTITUT DE MECANIQUE DES FLUIDES ET DES SOLIDES

UMR CNRS 7507

THESE

Prsente en vue de lobtention du grade de

DOCTEUR DE LUNIVERSITE LOUIS PASTEUR DE STRASBOURG

Spcialit : Mcanique des Fluides

par

Charles DANQUIGNY

ETUDE EXPERIMENTALE DU TRANSFERT DE

MASSE EN MILIEU POREUX HETEROGENE

Soutenue le 17 dcembre 2003 devant le jury constitu de :

Y. Rmond Rapporteur interne

B. Noetinger Rapporteur externe

F. Stauffer Rapporteur externe

P. Ackerer Directeur de Thse

A. Guadagnini Examinateur

A Paul Dessaint, mon grand-pre

Avant-propos

Avant-propos

La premire page lue est la dernire crite, loccasion de se retourner vers le travail

accompli et les personnes qui lont rendu possible. Je pense tout dabord Monsieur Philippe

Ackerer, Directeur de Recherche au CNRS, qui ma accueilli chaleureusement au sein de

lquipe hydrodynamique et transferts en milieux poreux , ma guid, soutenu et

encourag pendant ces quatre annes. Pour toutes ces qualits qui font de lui un directeur de

thse apprci, je lui dis un grand merci.

Je remercie M. Yves Remond, Professeur lULP et Directeur de lIMFS, pour mavoir

accueilli dans son institut, avoir accept de faire partie du jury en tant que rapporteur interne

et pour tout lintrt quil a montr envers mon travail. Jexprime aussi toute ma

reconnaissance aux personnes qui ont accept dtre membres du jury :

Messieurs A. Guadagnini, professeur luniversit de Milan, B. Noetinger, chercheur

lInstitut Franais du Ptrole et F. Stauffer, professeur titulaire lcole polytechnique de

Zurich ETHZ.

Jadresse un grand merci Monsieur Claude Veit, responsable de latelier de lIMFS,

qui a construit et rpar le modle physique de laboratoire prsent dans ce mmoire. Il a su

rpondre la plupart de nos demandes, parfois farfelues mais toujours presses. Jen profite

pour mexcuser auprs de lui pour tout le matriel que jai pu cass

Je pense mes collgues et amis qui mont aid et support : mes collgues de bureau,

Luc Pierrejean (Obrother), Jean-Bernard Bardiaux et Benjamin Belfort, pour leur amiti,

leur culture, leur humour et leur patience ; Franois Lehmann, pour son soutien et toutes ces

discussions rconfortantes autour dun caf, mais aussi pour sa vision de lenseignement et

des expriences de laboratoire ; Jrome Carrayrou, pour son amiti, sa sympathie et son

apptit ; Abdel Lyazid, pour mavoir plus que bien encadr pendant mon monitorat ; Anne

Engelman, Nicolas Pquignot, Fabrice Lawniczak (un intrus dans les milieux poreux) et toute

lquipe actuelle des milieux poreux ; les anciens doctorants, Manuel de Atocha Cortazar

Hernandez etc. (El chico del Mexico), Jean-philippe Carlier, Dana Lintea, Nicola Sirbu,

Julien Tournebize ; lancien permanent qui a su me convaincre de rejoindre lquipe, Robert

Mos et enfin, M. Frdrick Delay, professeur lUniversit de Poitiers, qui a su mclairer

chacun de ses passages Strasbourg.

1

Avant-propos

Je remercie aussi mes parents, en particulier mon frre Laurent, qui les premiers mont

encourag et se sont inquits Je remercie aussi mes amies strasbourgeoises, Christine et

Stphanie, pour leur soutien durant ces derniers mois.

Ma dernire pense va ma fiance, Hlne, qui a subit lenvers du dcor

Merci pour lintrt que tu portes mon travail, ta patience, ton soutien, ta cuisine et toutes

ces lectures, certainement ennuyeuses pour une nophyte.

2

Sommaire

Sommaire Sommaire ................................................................................................................................... 3

Listes des symboles et notations ................................................................................................ 7

Liste des figures ......................................................................................................................... 9

Liste des tableaux ..................................................................................................................... 13

Introduction ............................................................................................................................ 15

Chapitre 1 : Notions de base et thorie des changements dchelle ................................... 17

1. Introduction..................................................................................................................... 17

2. Hydrodynamique et transport en milieux poreux ........................................................... 17

2.1. Proprits du milieu poreux..................................................................................... 17

2.1.1. La porosit ........................................................................................................ 17

2.1.2. La permabilit ................................................................................................. 18

2.1.3. La dispersion..................................................................................................... 19

2.2. Intgration spatiale des proprits ........................................................................... 22

2.2.1. Lapproche dterministe : le Volume Elmentaire Reprsentatif (V.E.R..)..... 22

2.2.2. Lapproche statistique : les Fonctions Alatoires Spatiales (F.A.S.) ............... 23

2.2.3. Milieux uniforme, homogne et htrogne..................................................... 24

2.3. Equations gnrales de lcoulement et du transport en milieu poreux .................. 25

2.3.1. Lhydrodynamique ........................................................................................... 25

2.3.2. Le transfert de masse ........................................................................................ 25

3. Notions dchelles et de paramtres quivalents ............................................................ 26

3.1. Classification des chelles de lcoulement ............................................................ 26

3.2. Le milieu homogne quivalent............................................................................... 27

3.3. La thorie stochastique ............................................................................................ 28

3.3.1. Prsentation ...................................................................................................... 28

3.3.2. Exemples dapplication : solutions analytiques du transport ........................... 28

3.4. Calcul thorique des paramtres quivalents........................................................... 30

3.4.1. La permabilit quivalente.............................................................................. 30

3.4.2. La macrodispersion........................................................................................... 38

4. Conclusion ...................................................................................................................... 42

3

Sommaire

Chapitre 2 : Etat de lart dans lutilisation des modles physiques de laboratoire.......... 45

1. Introduction..................................................................................................................... 45

2. Protocoles des essais de traage de laboratoire .............................................................. 46

2.1. Les milieux poreux .................................................................................................. 46

2.1.1. Les milieux fractals .......................................................................................... 46

2.1.2. Les milieux alatoires....................................................................................... 47

2.2. Influence de lhydrodynamique............................................................................... 48

2.3. Les traceurs.............................................................................................................. 49

2.3.1. Les traceurs fluorescents .................................................................................. 50

2.3.2. Les traceurs ioniques ........................................................................................ 50

2.4. Dbits et hauteurs pizomtriques ........................................................................... 51

2.4.1. Mesures de dbits ............................................................................................. 52

2.4.2. Mesures pizomtriques ................................................................................... 52

2.5. Mthodes danalyse ................................................................................................. 53

2.5.1. La mthode du t0,5............................................................................................. 53

2.5.2. La mthode des moments ................................................................................. 55

2.5.3. La modlisation numrique .............................................................................. 57

2.5.4. Lapproche stochastique ................................................................................... 58

3. Les modles physiques de laboratoires........................................................................... 59

3.1. Les expriences 1D.................................................................................................. 59

3.1.1. Qualits des expriences 1D............................................................................. 62

3.1.2. Matriels et mthodes....................................................................................... 62

3.1.3. Rsultats et conclusions.................................................................................... 62

3.2. Les expriences 2D.................................................................................................. 64

3.2.1. Qualits des expriences 2D............................................................................. 66

3.2.2. Matriels et mthodes....................................................................................... 66

3.2.3. Rsultats et conclusions.................................................................................... 66

4. Conclusions..................................................................................................................... 69

Chapitre 3 : MARCEAUS, un modle physique tridimensionnel de laboratoire............. 71

1. Introduction..................................................................................................................... 71

2. Prsentation du MARCEAUS ........................................................................................ 72

2.1. La cuve exprimentale et le systme dalimentation............................................... 72

4

Sommaire

2.1.1. Prsentation gnrale........................................................................................ 72

2.1.2. Lalimentation en eau et en traceur .................................................................. 73

2.2. Le milieu poreux...................................................................................................... 74

2.2.1. Construction du milieu poreux ......................................................................... 74

2.2.2. Loi de covariance.............................................................................................. 76

2.3. Le dispositif de mesures .......................................................................................... 77

2.3.1. Les dbits .......................................................................................................... 78

2.3.2. La pizomtrie .................................................................................................. 78

2.3.3. Les concentrations ............................................................................................ 79

3. Rsultats exprimentaux ................................................................................................. 84

3.1. Introduction.............................................................................................................. 84

3.2. Protocole exprimental ............................................................................................ 84

3.3. Expriences ralises ............................................................................................... 85

3.3.1. Lcoulement uniforme : TT1W0..................................................................... 86

3.3.2. Les pompages ................................................................................................... 88

3.3.3. Les injection pompage ............................................................................. 94

3.4. Analyse des rsultats................................................................................................ 99

3.4.1. Vrification de la conservation de la masse ..................................................... 99

3.4.2. Etude de la reproductibilit des expriences .................................................. 100

4. Conclusion .................................................................................................................... 100

Chapitre 4 : Estimation de paramtres quivalents .......................................................... 103

1. Introduction................................................................................................................... 103

2. Calcul des paramtres quivalents................................................................................ 103

2.1. Rsultats thoriques ............................................................................................... 103

2.1.1. Permabilit quivalente du MARCEAUS .................................................... 103

2.1.2. Macrodispersivit du MARCEAUS ............................................................... 104

2.2. Premiers rsultats exprimentaux .......................................................................... 104

2.2.1. Estimation de la permabilit quivalente en coulement uniforme.............. 104

2.2.2. Estimation de la vitesse de pores en coulement uniforme ............................ 105

2.3. Conclusions............................................................................................................ 105

3. Cas de lcoulement uniforme ...................................................................................... 106

4. Cas du pompage............................................................................................................ 141

5

Sommaire

4.1. Prsentation du modle numrique........................................................................ 141

4.2. Rsultats des simulations....................................................................................... 142

4.3. Analyse des rsultats.............................................................................................. 145

4.3.1. Sensibilit des paramtres fixes du modles .................................................. 145

4.3.2. Sensibilit des paramtres ajusts................................................................... 146

4.3.3. Etude de la permabilit quivalente.............................................................. 148

4.3.4. Etude de la macrodispersivit......................................................................... 149

5. Cas de linjection pompage........................................................................................ 149

5.1. Prsentation du modle numrique........................................................................ 149

5.2. Rsultats des simulations....................................................................................... 150

5.3. Analyse des rsultats.............................................................................................. 152

5.3.1. Etude de la sensibilit des paramtres ajustes .............................................. 152

5.3.2. Analyse des paramtres ajusts ...................................................................... 154

6. Effet des conditions aux limites sur les paramtres quivalents................................... 155

7. Conclusion .................................................................................................................... 156

Chapitre 5 : Modlisation tridimensionnelle des expriences .......................................... 159

1. Introduction................................................................................................................... 159

2. Modlisation par lments finis mixtes et discontinus ................................................. 159

2.1. Prsentation du modle TRACES ......................................................................... 159

2.2. Rsultats................................................................................................................. 160

3. Modlisation par marche au hasard .............................................................................. 164

3.1. Introduction............................................................................................................ 164

3.2. Simulation de lexprience TT1W0....................................................................... 165

3.3. Influence des puits sur les rsultats de simulation................................................. 168

4. Conclusion .................................................................................................................... 170

Conclusions et Perspectives ................................................................................................. 173

Rfrences bibliographiques ............................................................................................... 177

Annexe A : Cartes du remplissage du MARCEAUS ....................................................... 189

Annexe B : La marche au hasard, approche thorique................................................... 193

6

Liste des symboles et notations

Listes des symboles et notations

[ ]

[ ]

-3

0

2 -10

: le coefficient de macrodispersivit

: la concentration

: la concentration rduite -

: le coefficient de diffusion molculaire

: le coefficient de dispersion dans la direction

i

i

A L

C M

CC

D L

D

[ ][ ]

[ ]

2 -1

2

-1

i

: le coefficient d'anisotropie -

: la charge hydraulique ou hauteur pizomtrique L

: la permabilit intrinsque

: la permabilit

: la distance entre la source et le puits L

: li

L T

e

h

k L

K L

l

l

[ ]23

-1

3 -1

2 -1

a longueur de corrlation dans la direction i L

: le nombre d'Avogadro, N = 6,02310

: la vitesse de Darcy

: le dbit

: la constante des gaz parfaits, R = 8,32 kg m s K

: le coeffi

N

q L

Q L

R

s

[ ][ ][ ]

( ) [ ][ ]

-1

i

cient d'emmagasinement spcifique L

: la temprature absolue

: le temps T

' : le temps mis sous forme adimensionnelle -

: la log conductivit, ln -

: le coefficient de dispersivit localei = L, lon

T K

t

t

Y Y K

L

=

[ ]

3 1 3 2

-1 -1

-3

2

gitudinal ; i = T, transversal

: la conductivit lectrique

: la viscosit dynamique

: la masse volumique du fluide

: la variance de la logconductivit

: la porY

L M T I

M

M L

L

T

T

T

T

L T

[ ][ ]

osit

: la porosit cinmatique ou efficacec

7

Liste des figures

Liste des figures Figure 1-1 : Schma hydrodispersif dun traceur, convection et dispersion

(Bear, 1979). ....................................................................................................... 19

Figure 1-2 : Distribution des vitesses entre les pores (Bear, 1979).......................................... 21

Figure 1-3 : Evolution de la fonction porosit au voisinage dun point du milieu

poreux. Dfinition du volume lmentaire reprsentatif (Bear, 1972). .............. 23

Figure 1-4 : Configuration tudie (Carlier, 2002). ................................................................. 29

Figure 1-5 : Configuration tudie (Carlier et Ackerer, 2003). ............................................... 30

Figure 1-6 : Calcul des bornes de Cardwell et Parsons (Renard, 1996)................................... 32

Figure 2-1 : Remplissage du modle physique MARCEAUS avec des grilles de

sparation. ........................................................................................................... 48

Figure 2-2 : Dtermination des temps t0,16, t0,5, t0,84 pour le calcul de U et L......................... 54

Figure 3-1 : Vue gnrale du MARCEAUS............................................................................. 72

Figure 3-2 : Vue schmatique du MARCEAUS. ..................................................................... 73

Figure 3-3 : Vue schmatique du remplissage du MARCEAUS. ............................................ 75

Figure 3-4 : Photos des cubes de sable..................................................................................... 75

Figure 3-5 : Variogramme des couches du milieu poreux du MARCEAUS. .......................... 76

Figure 3-6 : Vue schmatique du milieu poreux htrogne du MARCEAUS. ...................... 77

Figure 3-7 : Prise et capteur de pression. ................................................................................. 78

Figure 3-8 : Localisation des puits, pizomtres et cellules de conductivit. .......................... 79

Figure 3-9 : Photo et schma des cellules de conductivits du MARCEAU'S ........................ 80

Figure 3-10 : Dtermination de la concentration relative une cellule de rfrence

TT4W1. ............................................................................................................... 83

Figure 3-11 : Hauteurs d'eau dans la cuve - TT1W0................................................................ 86

Figure 3-12 : Concentrations moyennes dans les sections 1 et 14 TT1W0. ......................... 87

Figure 3-13 : Observation de l'augmentation de la concentration dans le milieu

poreux TT1W0................................................................................................. 88

Figure 3-14 : Mesures de pression durant le rgime transitoire TT1W1. ............................. 89

Figure 3-15 : Concentrations dans les sections 1 et 14, et la sortie du puits de

pompage- TT1W1. .............................................................................................. 90

9

Liste des figures


poreux TT1W1................................................................................................. 90


pompage- TT2W1. .............................................................................................. 91

Figure 3-18 : Concentrations dans les sections 1, 14 et la sortie du puits de

pompage- TT3W1. .............................................................................................. 91


poreux TT3W1................................................................................................. 92


pompage- TT4W1. .............................................................................................. 93


poreux TT4W1................................................................................................. 93

Figure 3-22 : Concentration la sortie du puits pour les expriences de pompage. ................ 94

Figure 3-23 : Concentrations lentre du puits dinjection et la sortie du puits de

pompage- TT1W2. .............................................................................................. 95

Figure 3-24 : Observation de l'volution de la concentration dans le milieu poreux

TT1W2. ............................................................................................................... 96

Figure 3-25 : Concentrations lentre du puits dinjection et la sortie du puits de

pompage- TT2W2. .............................................................................................. 97

Figure 3-26 : Observation de l'volution de la concentration dans le milieu poreux

TT2W2. ............................................................................................................... 97

Figure 3-27 : Comparaison des rsultats exprimentaux aux solutions analytiques

TT1W2 & TT2W2. ............................................................................................. 98

Figure 3-28 : Comparaison des concentrations la sortie du puits de pompage

TT1W2 a & b .................................................................................................... 100

Figure 4-1: Schematic presentation of the setup. ................................................................... 111

Figure 4-2: Two representative layers of the channel structured porous medium. ................ 113

Figure 4-3 : Typical BTCs for the channel structured porous medium. ................................ 116

Figure 4-4: Typical BTCs for the statistical correlated structured porous medium.............. 117

Figure 4-5: Average BTCs for the channel structured porous medium. ................................ 118

Figure 4-6: Average BTCs for the statistical correlated porous medium. ............................. 119

10

Liste des figures

Figure 4-7: Normal plot for BTCs for the channel structured porous medium...................... 122

Figure 4-8: Fitted velocities (line+symbols) and analytical velocity (line) based on

the effective hydraulic conductivity.................................................................. 124

Figure 4-9: Measured (symbols) and computed (lines) average arithmetic and flux

BTCs for the channel structured porous medium. ............................................ 125

Figure 4-10: Dispersivity coefficients obtained by model fitting on arithmetic and

flux averaged BTCs. ......................................................................................... 127

Figure 4-11: Evolution of concentration distribution variance with time. ............................. 127

Figure 4-12: Normal plot for BTCs for the statistically correlated structured porous

medium.............................................................................................................. 129

Figure 4-13: Measured (symbols) and computed (lines) average arithmetic and flux

BTCs for the statistical correlated structured porous medium.......................... 130

Figure 4-14: Fitted velocities (line+symbols) and analytical velocity (line) based on

the effective hydraulic conductivity.................................................................. 131

Figure 4-15: Dispersivity coefficients obtained by model fitting on arithmetic and

flux averaged BTCs for the correlated structured medium............................... 133

Figure 4-16: Evolution of concentration distribution variance with time. ............................. 133

Figure 4-17 : Validation du maillage 140 x 25 mailles - TT4W1.......................................... 141

Figure 4-18 : Rsultats des simulation ralises avec Modflow TT1W1. .......................... 143




Figure 4-22 : Evaluation de la sensibilit de la porosit - TT1W1. ....................................... 145

Figure 4-23 : Evaluation de la sensibilit du rapport entre les dispersivits

longitudinale et transversale.............................................................................. 146

Figure 4-24 : Etude de la sensibilit de la permabilit et la dispersivit pour les

pompages. ......................................................................................................... 146

Figure 4-25 : Validation du maillage "280 x 50" pour un mme jeu de paramtres

TT1W1. ............................................................................................................. 150

Figure 4-26 : Rsultats des simulations ralises avec Modflow TT1W2.......................... 151

Figure 4-27 : Rsultats des simulations ralises avec Modflow TT2W2.......................... 152

11

Liste des figures

Figure 4-28 : Etude de la sensibilit de la permabilit et la dispersivit pour les

injection pompage. ......................................................................................... 153

Figure 5-1 : Comparaison des concentrations mesures (points) aux concentrations

simules avec TRACES (lignes) TT1W0. ..................................................... 161

Figure 5-2 : Evolution de la concentration simule x = 0, 50, 100, 150, 200, 250,

300, 350, 400 cm et t = 500 min TT1W0....................................................... 162

Figure 5-3 : Concentrations et champ de vitesses simuls dans 6 plans horizontaux et

verticaux t = 500min TT1W0....................................................................... 163


simules avec la marche au hasard (lignes), = 3,5cm TT1W0. .................. 167


simules avec la marche au hasard (lignes), = 2,5cm TT1W0. ................. 168





12

Liste des tableaux

Liste des tableaux Tableau 2.1 : Prsentation synthtique des modles physiques de laboratoire 1D. ................. 61

Tableau 2.2 : Prsentation synthtique des modles physiques de laboratoire 2D. ................. 65

Tableau 3.1 : Caractristiques des sables calibrs.................................................................... 75

Tableau 3.2 : Coordonnes des puits et pizomtres dans le MARCEAUS. ........................... 79

Tableau 3.3 : Coordonnes et sable environnant des 10 cellules tudies en

coulement uniforme........................................................................................... 87

Tableau 3.4 : Synthse des conditions aux limites des expriences de pompage. ................... 89

Tableau 3.5 : Coordonnes et sable environnant des 10 cellules tudies pour

l'injection pompage. ......................................................................................... 95

Tableau 4.1 : permabilits quivalentes thoriques (cm/min).............................................. 104

Tableau 4.2 : Paramtres quivalents simuls pour chaque pompage avec le logiciel

Modflow............................................................................................................ 142

Tableau 4.3 : Coefficients de sensibilit de la permabilit et dispersivit pour les

pompages. ......................................................................................................... 147

Tableau 4.4 : Sommes des carts relatifs au carr entre les concentrations simules et

mesures pour les pompages............................................................................. 147

Tableau 4.5 : Paramtres quivalents simuls pour chaque injection - pompage avec

le logiciel Modflow........................................................................................... 151

Tableau 4.6 : Coefficients de sensibilit de la permabilit et dispersivit pour les

injection -pompage............................................................................................ 153

Tableau 4.7 : Paramtres quivalents dtermins pour chaque exprience. .......................... 155

Tableau 4.8 : Sommes des carts relatifs au carr entre les concentrations simules et

mesures pour les injection pompage. ........................................................... 156

Tableau 5.1 : plages de permabilit ajustes pour simuler TT1W0 avec TRACES............. 160

13

Introduction

Introduction

Il existe en France environ 33 250 captages d'eau potable, 94 % d'origine souterraine.

La protection de ces captages constitue une ncessit pour assurer la sauvegarde de la qualit

des eaux distribues aux usagers. Obligatoire depuis 1935, mais rellement applique depuis

une dizaine d'annes, la dfinition de primtres de protection ncessite une bonne

connaissance des caractristiques hydrodynamiques des nappes concernes.

Paralllement, 2963 sols ou nappes pollus taient recenss en 2001 sur la mtropole. La

surveillance voire la remdiation de ces sites suppose aussi que leur fonctionnement soit

connu. La mise en uvre de pompage ou injection pompage implique une matrise de ces

techniques de dpollution et de leur dimensionnement.

L'instauration d'une injection ou dun pompage modifie lhydrodynamique de la nappe. Les

effets de cette modification du rgime d'coulement sur des caractristiques grande chelle

telles que la permabilit, le champ de vitesses ou la dispersivit sont mal connus.

Par ailleurs, le milieu naturel, fortement htrogne, est difficile caractriser. La

dfinition des paramtres comme des variables spatiales reste problmatique : quelle valeur

moyenne faut-il attribuer lchelle rgionale pour une grandeur qui varie lchelle locale ?

La gostatistique et les thories stochastiques tentent dapporter des solutions.

Faut-il encore comprendre le passage d'une chelle l'chelle suprieure pour adapter les

proprits au milieu tudi. En particulier dans la modlisation numrique, il est souvent

ncessaire d'attribuer une valeur de paramtre une maille qui reprsente un grand volume

dans lequel le paramtre varie. La mesure de ces grandeurs implique aussi la dfinition d'une

chelle de mesure, qui peut tre diffrente de lchelle de la maille de calcul. Le changement

d'chelles est donc important dans la dfinition des proprits.

La dfinition stochastique des proprits, l'application de solutions thoriques ou le

changement d'chelles ncessitent d'une part que ces mthodes aient t valides, d'autre part

que des donnes sur le milieu poreux tudi soient disponibles. L'tude exprimentale des

milieux poreux intervient alors pour fournir ces donnes.

15

Introduction

Le but de ce travail de thse est ainsi d'tudier la dtermination de paramtres

quivalents partir de rsultats exprimentaux. Il s'agit dans un premier temps de concevoir,

l'chelle du laboratoire, un milieu poreux caractris par ses proprits gostatistiques, de

l'quiper d'un dispositif de mesure adquat pour y raliser ensuite des essais de traage selon

diffrents rgimes d'coulement. Dans un deuxime temps, les rsultats exprimentaux sont

utiliss pour dterminer les paramtres tels que la permabilit, la vitesse de pores ou la

dispersivit une chelle suprieure. Les valeurs obtenues sont confrontes aux rsultats

thoriques. Enfin, les expriences ralises sont reproduites numriquement.

Cette tude fait partie du projet de recherche europen W-SAHaRA (Stochastic Analysis of

Well Head Protection and Risk Assessment) financ par le contrat n EVK1-CT-1999-00041.

Dans un premier chapitre, nous prsenterons les notions de base de l'hydrodynamique et

du transfert de masse dans un milieu poreux ainsi que les thories du changement d'chelles.

Aprs avoir dfini les paramtres intervenant dans les lois de l'hydrodynamique et du

transport de masse, nous nous intresserons aux notions d'chelles et de paramtres

quivalents.

Un tat de l'art dans l'utilisation des modles physiques de laboratoire sera ralis dans le

deuxime chapitre. Les techniques exprimentales et les protocoles d'essai de traage seront

tudis. Nous dresserons ensuite un inventaire des modles physiques de laboratoire dj

utiliss.

A partir de ces constats, nous prsenterons, dans un troisime chapitre, notre modle

physique, le MARCEAUS (Modle d'Analyse et de Recherche sur la Contamination des

EAUx Souterraines) et les expriences que nous avons ralises pour ces travaux.

Dans le quatrime chapitre, les rsultats exprimentaux seront utiliss pour dterminer les

paramtres quivalents l'aide de techniques numriques adaptes aux conditions aux limites.

Les valeurs obtenues seront compares entre elles et confrontes aux rsultats thoriques.

Enfin, dans le cinquime chapitre, nous essaierons de reproduire numriquement les

expriences raliss dans le MARCEAUS avec dune part le code TRACES (Transport

RActif de Contaminant dans les Eaux Souterraines / Transport of Radio Active Elements in

Subsurface), dautre part la mthode de la marche au hasard.

16

Chapitre 1 : Notions de bases et thorie des changements dchelle

Chapitre 1 : Notions de base

et thorie des changements dchelle

1. Introduction

Ltude des coulements et du transfert de polluants en milieu poreux repose sur la

dtermination des proprits du milieu que sont la porosit, la permabilit et la dispersivit.

Ces grandeurs apparaissent dans les quations de lcoulement et du transport qui sont

dfinies pour un milieu continu. Il faut donc les dfinir sur des volumes suffisamment grands,

i.e. macroscopiques, pour pouvoir considrer le milieu continu.

Les proprits du milieu poreux dpendent de lchelle de description considre. Elles

ont un sens physique une chelle macroscopique et leurs valeurs varient avec le volume de

mesure qui peut tre, par exemple, de la taille dune htrognit locale, dune strate ou dun

aquifre. Que ce soit dans le cadre de la modlisation numrique ou celui de la mesure des

paramtres, il est ncessaire de pouvoir changer dchelle et dduire la valeur des paramtres

dune chelle lautre. Cest dans ce but que le calcul de paramtres quivalents a fait lobjet

de plusieurs tudes thoriques.

Dans ce chapitre nous prsenterons dabord les paramtres et quations qui rgissent

lcoulement et le transport dans un milieu poreux, pour tudier ensuite les thories du

changement dchelle.

2. Hydrodynamique et transport en milieux poreux

2.1. Proprits du milieu poreux

2.1.1. La porosit

La porosit totale, [-], est le rapport entre le volume des vides et le volume total du

milieu poreux :

17


= Volume des videsVolume total

(I.1)

Une partie de leau contenue dans le milieu poreux est lie celui-ci. Elle ne peut pas

circuler. Dun point de vue hydrodynamique, elle peut tre considre comme une partie du

solide. Cela nous conduit dfinir une porosit cinmatique ou porosit efficace, c, lie la

circulation des fluides :

=cVolume des vides occups par un fluide mobile

Volume total (I.2)

c varie en gnral entre 0,25 et 0,45 en fonction du milieu poreux.

2.1.2. La permabilit

La permabilit intrinsque k [L2] est une proprit intrinsque du milieu poreux,

indpendamment des caractristiques du fluide.

La permabilit K [L/T] est le paramtre reliant la vitesse dcoulement au gradient

hydraulique dans la loi de Darcy (cf. 2.3.1). Elle dpend de la permabilit intrinsque k mais

aussi de la viscosit dynamique [M.L-1.T-1] et de la masse volumique du fluide [M.L-3] qui

y circule :

= k gK

(I.3)

Les deux grandeurs ainsi dfinies sont des proprits tensorielles :

=xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

K K KK K K K

K K K (I.4)

Dans le cas dun milieu anisotrope avec les axes principaux danisotropie parallles aux axes

du systme de coordonnes, le tenseur est diagonal. Les valeurs de K varient avec le milieu

poreux et sont en gnral comprises entre 10-9 et 10-2 m/s.

18


2.1.3. La dispersion

La dispersion se traduit par lapparition dune zone de mlange entre deux fluides

miscibles se dplaant dans un milieu poreux. Dans cette zone de transition, la concentration

passe progressivement de 100 0 %. La taille de cette zone augmente avec le temps ou la

distance parcourue par le polluant (cf. Figure 1-1).

Figure 1-1 : Schma hydrodispersif dun traceur, convection et dispersion (Bear, 1979).

La dispersion est le rsultat de deux phnomnes :

un phnomne physico-chimique, la diffusion molculaire,

un phnomne mcanique, la dispersion cinmatique.

La diffusion molculaire

La diffusion molculaire est un phnomne li lagitation molculaire. En effet, sil

existe entre deux points du fluide une diffrence de concentration, le dplacement alatoire du

lagitation brownienne aura tendance uniformiser la concentration dans le milieu. Le

transfert de matire qui en rsulte est appel diffusion molculaire et est modlis par la loi de

Fick :

0( )

= C D Ct

(I.5)

avec D0 le coefficient de diffusion molculaire [L2T-1 ] :

0 3=

m

RTDN d

(I.6)

19


R est la constante des gaz parfaits, R = 8,32 kgm2s-2K-1 ; N est le nombre dAvogadro,

N = 6,0231023 ; T est la temprature absolue [K] ; est la viscosit dynamique du fluide

[ML-1T-1] ; dm est le diamtre moyen des agrgats molculaires qui diffusent [L].

Dans un milieu poreux, la phase solide constitue un obstacle au mouvement brownien.

Le coefficient de diffusion molculaire dans le milieu poreux, Dmp, est ainsi infrieur D0. Le

rapport 0

mp

DD

est appel tortuosit et varie entre 0,1 et 0,7.

La dispersion cinmatique

La dispersion cinmatique est un phnomne de mlange essentiellement li

lhtrognit du champ des vitesses au sein du milieu poreux et ceci, quelle que soit

lchelle dobservation.

Dans un milieu homogne, trois faits sont lorigine de ce phnomne

(cf. Figure 1-2) :

a) le profil des vitesses lintrieur dun pore est parabolique ;

b) il existe des fluctuations des lignes de courant par rapport la direction principale de

lcoulement ;

c) les dimensions des pores et de leurs ouvertures tant variables, les vitesses dcoulement le

sont aussi.

Si le milieu est htrogne, il faut ajouter, une chelle suprieure, la dispersion due

aux fluctuations d'une structure gologique l'autre.

20


Figure 1-2 : Distribution des vitesses entre les pores (Bear, 1979).

La formule propose pour dcrire la dispersion est une loi de transfert analogue la loi

de Fick, o la diffusion molculaire est remplace par un tenseur de dispersion D dfini par :

( ) = = + i j

ij ij ij T L T

U UD D avec D U

U (I.7)

avec ij le symbole de Kronecker, L et T [L] les coefficients de dispersion intrinsque, ou

dispersivits, longitudinale et transversale. U est la norme de la vitesse de pore avec Ui,j la

composante de la vitesse dans les directions i, j [LT-1]

Pour un milieu isotrope, le tenseur de dispersion est diagonal dans les directions

principales de lcoulement :

0 0

00 0

L

T

T

DD D

D0

=

(I.8)

DL est le coefficient de dispersion longitudinale [L2T-1], DT le coefficient de dispersion

transversale [L2T-1]. Dans le domaine des vitesses usuelles, les relations suivantes sont

gnralement admises :

, ,=L T L TD U (I.9)

avec 5 100 LT

(de Marsily, 1981).

21


La diffusion molculaire peut aussi tre incluse dans le tenseur de dispersion (en

particulier quand la vitesse de Darcy est faible). Lquation (I.9) devient :

, = +L T mp L TD D , U (I.10)

2.2. Intgration spatiale des proprits

Nous venons de dfinir des proprits qui doivent tre moyennes sur des volumes plus

grands que le volume de pore pour respecter lhypothse de continuit du milieu poreux. Le

problme est alors de dfinir localement ces proprits. Pour cela deux approches existent,

lune dterministe et lautre statistique.

2.2.1. Lapproche dterministe : le Volume Elmentaire Reprsentatif (V.E.R..)

La notion de Volume Elmentaire Reprsentatif (V.E.R.) consiste associer un point

mathmatique les proprits dun volume suffisamment reprsentatif pour dfinir ou mesurer

des proprits moyennes du milieu (Bear, 1972).

Le V.E.R peut-tre dfini comme le fait de Marsily (1981) :

il est suffisamment grand pour contenir un grand nombre de pores, de faon que lon

puisse y dfinir une proprit moyenne globale, avec lassurance que leffet de fluctuation

dun pore lautre sera ngligeable ;

il est suffisamment petit pour que les variations de paramtres dun domaine au domaine

voisin puissent tre approches par des fonctions continues.

A cette chelle dtude, le milieu poreux est quivalent un milieu continu dans lequel

sont dfinies des grandeurs moyennes. La taille du V.E.R. est gnralement dfinie par

lapparition dun palier dans la courbe reliant une proprit du milieu la taille du volume

dobservation (cf. Figure 1-3).

22


Figure 1-3 : Evolution de la fonction porosit au voisinage dun point du milieu poreux.

Dfinition du volume lmentaire reprsentatif (Bear, 1972).

Mais rien ne permet daffirmer que ce palier existe toujours. La taille du VER reste

donc assez arbitraire (de Marsily, 1981). Zhang et al. (2000) vrifient mme

exprimentalement que cette taille varie dans lespace et en fonction de la proprit tudie.

Ils rectifient la dfinition de Bear (1972) en ajoutant la stabilisation de la valeur moyenne un

coefficient de variation de la variable qui doit tre infrieur une valeur seuil. Les variations

spatiales de la grandeur tudie sont mieux prises en compte, lalternative tant le traitement

statistique des valeurs locales.

2.2.2. Lapproche statistique : les Fonctions Alatoires Spatiales (F.A.S.)

Lintgration spatiale par des Fonctions Alatoires consiste en lutilisation dune

fonction de pondration m(x) intgrable telle que son intgrale tendue tout lespace soit

gale lunit. Une relation entre la grandeur macroscopique ( )a x et la grandeur

microscopique (locale) a(x) est alors dfinie dans un systme de coordonnes cartsiennes :

( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 1= + = a x a x x m x dx avec m x dx (I.11)

Le problme du choix de la taille du VER est ici remplac par le choix de la fonction de

pondration. Cette fonction est en fait la loi de probabilit obtenue en tudiant plusieurs

ralisations dun mme milieu. Mais, dans la ralit, une seule ralisation du milieu poreux

est, en gnral, disponible. La loi de distribution dune proprit peut nanmoins tre dfinie

dans le cas dun milieu statistiquement homogne grce aux hypothses de stationnarit et

dergodicit.

23


Lhypothse de stationnarit

Lhypothse de stationnarit permet de supposer que la loi de probabilit tudie sur un

ensemble de ralisations est invariante dans lespace, i.e. est la mme en tout point du

domaine.

Lhypothse dergodicit

Lhypothse dergodicit permet de supposer que la ralisation unique dploie dans

lespace la loi de probabilit voque.

La loi de distribution inconnue pour lensemble des ralisations possibles est ainsi

obtenue partir de la ralisation unique existante en tudiant ses variations spatiales :

( )lim

=nn V V p (I.12)

( )1= n

nn S

V V pS

dp (I.13)

avec V(p) le processus alatoire, Vn la srie mathmatique de la moyenne spatiale et Sn laire

du domaine.

2.2.3. Milieux uniforme, homogne et htrogne

Lintgration spatiale des grandeurs ncessaires lapplication des quations de

lcoulement et du transport reste problmatique lapproche dune discontinuit :

lutilisation du VER transforme une discontinuit en variation continue, lintgration avec les

fonctions alatoires ncessitent un milieu statistiquement homogne.

Il faut donc distinguer le milieu uniforme dont les proprits sont identiques en tout

point, le milieu homogne dont les proprits statistiques vrifient les conditions de

stationnarit et dergodicit et le milieu htrogne qui ne possde pas ces proprits et

comporte des discontinuits.

Le type de milieu dpend alors du volume ou de lchelle considrs : par exemple, un

milieu htrogne peut tre constitu de sous-ensembles uniformes et tre statistiquement

homogne grande chelle.

24


2.3. Equations gnrales de lcoulement et du transport en milieu poreux

2.3.1. Lhydrodynamique

Lhydrodynamique dun milieu poreux est rgie dune part par la loi de Darcy :

= q K h (I.14)

avec le vecteur de vitesse unitaire [LTq -1], K le tenseur de permabilit [LT-1] et h le

gradient de charge [-], dautre part par lquation de continuit, issue du principe de

conservation de la masse :

+ =hq s ft

(I.15)

avec s le coefficient demmagasinement spcifique [L-1], h la charge hydraulique [L] et f le

terme puits-source [T-1].

Lquation de diffusivit est obtenue, pour un fluide incompressible de masse

volumique et de viscosit dynamique constantes, en associant ces deux quations :

( ) + = hK h f st

(I.16)

Les conditions aux limites permettant dintgrer cette quation sont de trois types :

Conditions de Dirichlet, la charge est impose,

Conditions de Neumann, le flux est impos,

Conditions de Cauchy ou conditions mixtes, le flux est impos en fonction de la charge.

2.3.2. Le transfert de masse

Lcoulement dcrit ci-dessus entrane des lments en solution dans le mouvement

moyen du fluide qui se dplace : cest ladvection. Lquation qui rgit ce phnomne est

obtenue en appliquant le principe de conservation de la masse :

( ) = cCCqt

(I.17)

avec C la concentration de solut [ML-3].

25


En ajoutant le phnomne de dispersion, il est admis que toute la phase liquide est

concerne par les variations de concentration. La porosit totale remplace donc la porosit

cinmatique et l'quation d'advection dispersion est obtenue pour un solut conservatif :

( ) = CD C CUt

(I.18)

Les conditions aux limites sont du mme type que pour lcoulement.

Lintgration de ces quations implique souvent davoir une valeur unique pour les

paramtres tels que la porosit, la permabilit et la dispersivit et ce soit l'chelle du

domaine dans le cas d'une solution analytique, soit l'chelle d'une maille dans le cas d'une

modlisation numrique. Lchelle considre et la notion de paramtres quivalents prennent

alors toute leur importance.

3. Notions dchelles et de paramtres quivalents

3.1. Classification des chelles de lcoulement

Dagan (1989) propose la classification suivante pour les chelles de lcoulement :

Lchelle du laboratoire, qui caractrise les dimensions des exprimentations de

laboratoire. Elle est comprise entre 10-1 m et 100 m.

Lchelle locale, qui est en gnral de lordre de profondeur des aquifres, i.e. comprise

entre 101 m et 102 m, dans les directions verticales et horizontales. Cest lchelle des essais

de pompage et de traage, celle de ltude de lcoulement et du transport proximit des

sources de contamination. A cette chelle, ltude est souvent tridimensionnelle.

Lchelle rgionale, qui est de lordre de 104 105 m dans le plan horizontal et qui

correspond aux aquifres dont ltendue est beaucoup plus large que la profondeur. Ici, les

variables sont dfinies comme des moyennes sur la profondeur et lcoulement est considr

comme bidimensionnel.

Chaque chelle est donc de la taille dun volume lmentaire reprsentatif de lchelle

suprieure. Par exemple, une valeur ponctuelle dune grandeur lchelle locale est dfinie

par une moyenne de cette grandeur sur un volume dont les dimensions caractristiques sont de

lordre de lchelle de laboratoire.

26


Pour passer d'une chelle l'autre, certaines mthodes d'homognisation ou de prise de

moyenne volumique (Renard, 1996 ; Cherblanc, 1999) permettent de dfinir de nouvelles

quations une chelle plus grande, d'autres supposent la loi de Darcy valide grande chelle

et dfinissent les proprits d'un milieu homogne quivalent.

3.2. Le milieu homogne quivalent

En 1977, Sauty publie une srie dabaques permettant de dterminer les paramtres de

dispersion dun milieu poreux partir des essais de traage. Il observe aussi la possibilit

dassimiler un milieu htrogne un milieu homogne quivalent ds que la distance de

traage est assez grande. Il est alors question de permabilit quivalente et de

macrodispersion. La premire correspond une permabilit moyenne du milieu tandis que la

deuxime est cause par la variance des vitesses locales lies aux htrognits locales.

Il faut distinguer dans la permabilit quivalente, la permabilit effective, pour un

milieu statistiquement homogne, de la permabilit de bloc, pour un milieu htrogne

reprsent par un milieu homogne. Ce deuxime cas apparat ds lors que le milieu considr

est trop petit pour tre statistiquement homogne. Si le volume devient assez grand, la

permabilit quivalente tend vers la permabilit effective. Linconvnient de la permabilit

quivalente est quelle dpend des conditions aux limites alors que la permabilit effective

est un paramtre intrinsque du milieu poreux (Wen et Gomez-Hernandez, 1996 ; Renard et

de Marsily, 1997).

Lassimilation dun milieu htrogne un milieu homogne caractris par sa

permabilit et sa macrodispersivit ncessite donc de considrer le transport une chelle

suffisamment grande pour observer un rgime fickien et pouvoir appliquer lquation

dadvection dispersion (I.18). La taille de cette chelle est relative la taille des

htrognits et de la source du traceur. La connaissance prcise du champ des permabilits

semble alors plus intressante que la dfinition dun coefficient de macrodispersion arbitraire

pour la modlisation (Matheron et de Marsily, 1980 ; Molz et al., 1983). Une alternative la

description dterministe, impossible dans la ralit, est la description stochastique du milieu

poreux.

27


3.3. La thorie stochastique

3.3.1. Prsentation

Lapproche stochastique (e.g. Dagan, 1989) consiste considrer les htrognits

comme des variables alatoires. Lhtrognit est alors caractrise par les lois de

probabilit associes aux variables alatoires qui reprsentent les proprits du milieu poreux.

Les paramtres obtenus (vitesse de pore et dispersivit) ne sont plus alors considrs

comme des valeurs locales de ces grandeurs, mais comme un chantillonnage de la variable

associe. Des valeurs quivalentes de ces paramtres, dfinies comme les valeurs

correspondant un milieu poreux homogne soumis aux mmes conditions aux limites, sont

obtenues en moyennant ces valeurs locales.

La mise en uvre de cette mthode statistique repose sur lhypothse de stationnarit,

lhypothse dergodicit et la connaissance de la distribution de la conductivit hydraulique.

Cette dernire est, en gnral, modlise par un champ alatoire suivant une loi de distribution

log-normale compltement dtermine par mY et CY(r) avec mY la moyenne arithmtique de

la logconductivit, CY(r) sa fonction dautocorrlation, r tant la distance entre deux points de

lespace. CY est une fonction de Y2, la variance de la logconducitivit, et de lY, la longueur

de corrlation.

A partir de cette description du milieu, plusieurs dveloppements thoriques existent,

notamment quelques solutions analytiques du transport.

3.3.2. Exemples dapplication : solutions analytiques du transport

Dagan et Indelman (1999) proposent une solution analytique dans le cas d'une

injectionpompage en rgime permanent dans un milieu statistiquement homogne infini et

anisotrope (e


( ) ( )'' = tC tCo

(I.20)

avec (t') la fonction inverse de la fonction t'() suivante :

( ) 21 cot'

sin

=t

(I.21)

Ltude montre que leffet des htrognits est semblable celui de la dispersion

locale : le traceur arrive plus tt, avec une courbe de concentration la sortie du puits plus

tale quen milieu homogne.

Carlier (2002) tend cette solution en prenant en compte des conditions aux limites

flux nul. Il considre deux limites impermables parallles et quidistantes d'un doublet

d'injection pompage (cf. Figure 1-4) et introduit un paramtre adimensionnel caractrisant

cette configuration :

= la (I.22)

avec l la distance entre les puits [L] et a la distance entre les limites impermables [L].

Figure 1-4 : Configuration tudie (Carlier, 2002).

Pour un milieu faiblement htrogne et fortement anisotrope (e


Il calcule aussi de manire explicite le temps de perce, i.e. le temps d'arrive de la premire

particule de traceur au puits de pompage. Ce temps, mis sous forme adimensionnelle, n'est

fonction que du nombre :

( )( )

( )

2

2 2

2 coth 2 1 sinh'

sinh 2

=percet

(I.24)

Carlier et Ackerer (2003) s'intressent au cas de limites impermables perpendiculaires

la droite reliant les puits, ceux-ci tant colls aux limites (cf. Figure 1-5). Pour un milieu

anisotrope, ils obtiennent aussi la mme formulation que Dagan et Indelman (I.20) avec :

( ) 22'sin 2

=t

(I.25)

Figure 1-5 : Configuration tudie (Carlier et Ackerer, 2003).

En conclusion, l'approche stochastique permet de mieux quantifier les rapports

dchelles laide des dimensions caractristiques que sont les longueurs de corrlation ou les

chelles intgrales (Dagan, 1989). Il doit alors tre possible de relier respectivement la

permabilit quivalente et la macrodispersivit une moyenne et une variance des

permabilits locales.

3.4. Calcul thorique des paramtres quivalents

3.4.1. La permabilit quivalente

Le calcul de la permabilit quivalente a fait lobjet de plusieurs travaux de synthse

intressants (Wen et Gomez-Hernandez, 1996 ; Renard, 1996 ; Renard et de Marsily, 1997).

30


Ils concernent surtout les rgimes dcoulement uniforme et que peu de rsultats existent pour

les coulements radiaux.

Certains rsultats concernent la permabilit quivalente, quelle soit effective ou "de

bloc". Cest la nature du milieu poreux considr qui fait la diffrence (Renard, 1996).

Cas de lcoulement uniforme

De nombreux auteurs ont vrifi que la permabilit effective Kef est toujours comprise

entre les bornes de Wiener, i.e. la moyenne arithmtique Ka et la moyenne harmonique Kh des

permabilits locales :

h efK K Ka (I.26)

En effet, la moyenne arithmtique caractrise la permabilit quivalente des mailles en

parallle et privilgie les permabilits locales leves tandis que la moyenne harmonique

caractrise la permabilit quivalente des mailles en srie et privilgie les faibles

permabilits.

Cette ingalit fondamentale (I.26) est lorigine de plusieurs tudes dont le but est de

borner la permabilit quivalente et de proposer une formulation pour le calcul de celle-ci.

Citons tout dabord les bornes de Cardwell et Parsons (Cardwell et Parsons, 1945) :

la moyenne arithmtique des moyennes harmoniques des permabilits locales calcules

sur laxe parallle lcoulement principal (selon x) pour la borne infrieure KC.P.min (cf.

Figure 1-6) :

( )( ). .min = z y xC P a a hK (I.27) la moyenne harmonique des moyennes arithmtiques des permabilits locales calcules

pour chaque plan perpendiculaire lcoulement principal pour la borne suprieure KC.P.max

(cf. Figure 1-6) :

( )( ). .max = x y zC P h a aK (I.28)

31


Figure 1-6 : Calcul des bornes de Cardwell et Parsons (Renard, 1996)

Daprs Renard et al. (2000a), Le Loch propose de prendre la moyenne gomtrique des ces

bornes KC.P. comme estimation de la permabilit quivalente :

. . . .max . .min=C P C P C PK K K (I.29)

Il propose aussi une nouvelle mthode de renormalisation simplifie, cest--dire un

algorithme dagrgation itratif, pour calculer les termes diagonaux du tenseur de

permabilit quivalente. Il sagit de regrouper les mailles par paquets de deux et de leur

affecter la moyenne harmonique des deux valeurs locales si elles sont en srie par rapport la

direction u (u tant l'un des axes principaux danisotropie), la moyenne arithmtique si elles

sont en parallle. Lapplication de regroupements successifs, alternativement en parallle et

en srie, permet de rduire progressivement le nombre de mailles de la grille, jusqu ne plus

avoir quune seule maille, i.e. une seule valeur de permabilit. Selon que les mailles sont

dabord regroupes en srie ou en parallle, une valeur infrieure ou suprieure est

dtermine. Finalement, Renard et Le Loch (1996) calculent la permabilit quivalente dans

la direction u en composant ces deux valeurs :

minKuu uu

maxK

( ) ( )1max min

=uu uu uueK K K

(I.30)

Lexposant est fonction des rapports danisotropie et : uvauwa

32


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

{ }

( )

2

2,

1

, , ,

2 arctan

+ =

=

=

u u uv w vu u

v w u uv w

vvu uv uu

v

uwf a f a f a f aa a

f a f a

K da u v w x y zK d

f t t

(I.31)

avec du et dv les tailles de mailles de la grille dans les directions u et v, et uu

vvK

K le rapport

danisotropie des permabilits locales. Une alternative cette mthode est la mthode de

renormalisation tensorielle propose par Gautier et Noetinger (1997) qui permet de calculer

tous les termes du tenseur de permabilit. Renard et al. (2000a) montrent que ces deux

mthodes de renormalisation sont plus efficaces que dautres mthodes destimation rapide de

la conductivit quivalente.

A partir des moyennes arithmtique et gomtrique, Matheron (1967) propose une

moyenne pondre comme approximation au premier ordre de la permabilit effective dans

la direction u :

( ) [ ]1 0,1= uuuue a h uK K K avec (I.32)

Ababou (1995) exprime en fonction du nombre de dimensions de lespace D (1, 2 ou 3), de

la longueur de corrlation dans la direction u considre lu [L] et de la moyenne harmonique

des longueurs de corrlation lh [L] :

=h

ii

lD lD

(I.33)

La permabilit quivalente peut aussi tre calcule laide d'une moyenne de

puissance :

( ) [1

1 1 1,1

= =

p

pp pp

V

K K x dV avec pV

] (I.34)

33


Cette formulation inclut les bornes de Wiener : la moyenne harmonique quand p vaut 1, la

moyenne arithmtique quand p vaut 1. Ntinger (1994) utilise cette mthode et propose une

formulation de p dans le cas dun milieu statistiquement homogne et isotrope :

21= pD

(I.35)

Le rsultat est alors quivalent la conjecture de Matheron (I.32) et la formulation

gostatistique pour les milieux log-normaux tridimensionnels :

2 1 1exp2

=

e g YK K D (I.36)

avec Kg, la moyenne gomtrique des conductivits, 2Y , la variance de ln(K)

Pour les faibles variances de la logconductivit, Gutjahr et al. (1978) utilisent le

dveloppement au premier ordre :

2 1 112

= + e g YK K D

(I.37)

En tenant compte du coefficient danisotropie e, ce dveloppement devient (Dagan, 1989) :

2

2 12 2

1 11 t2 2 1 1

2

1an 1 1 = + =

e g YeK K avec

e ee e (I.38)

Ainsi, dans le cas dun milieu isotrope, e=1 et 2

16

= +

Y

e gK K

. Dans le cas dun milieu

parfaitement stratifi (e=0), la moyenne arithmtique des conductivits est retrouve pour un

coulement parallle aux strates.

Par ailleurs, dans le cas de l'coulement bidimensionnel, en particulier l'chelle de

l'aquifre, la transmissivit quivalente Tef est souvent utilise la place de la permabilit

quivalente Kef, avec la mme relation entre les paramtres locaux et les paramtres

quivalents :

=ef efT B K (I.39)

34


B est l'paisseur de l'aquifre. Tartakovsky et al. (1999a) montrent que cette relation entre la

transmissivit et la permabilit quivalentes n'est valable que pour un milieu faiblement

htrogne et une longueur de corrlation verticale l( 1Y( vl

)2

)

v ngligeable devant l'paisseur

de l'aquifre . Ils proposent un dveloppement au premier ordre de leur solution dans

le cas gnral :

B

( ) ( )( )2 2 1 1 21 21 erf exp2 = = + =ef vY v v v v

g

T lavec et1B K B

[

(I.40)

Enfin, Tartakovsky et al. (1999b) montrent que, mme avec un gradient de charge

uniforme dans un milieu gaussien isotrope, une seule valeur de permabilit quivalente ne

peut tre dfinie. Pour un milieu bidimensionnel, ils proposent une solution analytique de la

permabilit quivalente qui est, en approximation au premier ordre, un tenseur non

symtrique diagonale dominante. Le caractre non-symtrique est caus par les conditions

aux limites. Quand la taille du domaine grandit, ils retrouvent les rsultats prcdents, i.e. les

termes diagonaux du tenseur tendent vers la moyenne gomtriques des permabilits locales

tandis que les autres termes tendent vers zro.

Tartakovski et Guadagnini (2003) constatent l'incapacit des mthodes de calcul des

paramtres quivalents inclure d'importants phnomnes, tels que les coulements

prfrentiels existants dans le milieu poreux. Ils proposent ainsi de dterminer des paramtres

quivalents qui tiennent compte des incertitudes sur les proprits du milieu et les conditions

aux limites. L'tude de deux milieux alatoires, 1 et 2 ,non corrls associs en srie par

une limite 1 20; ;1 et elle-aussi alatoire (caractrise par sa moyenne ,

sa variance 2 et sa fonction de densit de probabilit p()) fournit une expression de la

permabilit quivalente au premier ordre :

] [ ]( )

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2

1 0

1 0

erf erf 1 1 1erf erf

= app

h h

u uK x

u u K K1

+hK

(I.41)

avec :

0 11

; ;2 2

= =x

u u u2

=

(I.42)

35


et la moyenne harmonique des permabilits locales du milieu ih

K i. Cette formule est

valide pour les milieux mono et bidimensionnels.

Cas de lcoulement radial

Les formulations de la permabilit quivalente prsentes ci-dessus sont valables pour

un rgime dcoulement uniforme. Dans la pratique, elles sont souvent utilises quelque soit

le type dcoulement. Cette hypothse est-elle acceptable proximit dun puits ?

Dagan (1989) explique que la convergence des lignes de courant due lcoulement

radial entrane une diminution du flux moyen, do une conductivit quivalente plus faible.

Ainsi, la permabilit quivalente tend vers la moyenne harmonique des permabilits locales

Kh proximit du puits et vers la moyenne gomtrique Kg une distance suffisamment

grande pour considrer lcoulement uniforme. Les rsultats numriques de Neuman et Orr

(1993) confirment cette thorie. Sanchez-Vila (1997) retrouve aussi ces rsultats et estime la

distance d'tablissement de la valeur asymptotique 1,5 2 chelles intgrales pour un

modle gaussien et 3 5 chelles intgrales pour un modle exponentiel.

Naff (1991) trouve que la permabilit quivalente est toujours gale la moyenne

arithmtique des permabilits locales proximit du puits. Elle est constante pour un milieu

tridimensionnel stratifi et tend vers la moyenne harmonique pour un milieu bidimensionnel

quand la distance au puits augmente.

Desbarats (1992) tudie le cas dun puits au dbit impos plac au centre dun champ

carr avec des hauteurs fixes comme conditions aux limite. Il rappelle que la conductivit

quivalente tend vers la moyenne gomtrique loin du puits, est quasi-constante et gale la

moyenne harmonique quelques chelles intgrales de celui-ci et tend vers la moyenne

arithmtique proximit de lui. Il propose une expression de la transmissivit quivalente TS,

proximit dun puits de rayon rw pour une surface S de rayon rs :

( ) ( )( )2ln1ln avec 2 ln

=

=

sS S

w

T x rT dx WW r x r

(I.43)

36


Il souligne nanmoins que cette solution est contradictoire avec les rsultats de Naff (1991). A

partir de celle-ci, il propose une expression de la transmissivit dans le cas dun doublet

dinjection pompage (Desbarats, 1993) :

1 1 1 12

= +

I SiT T T

Sp

(I.44)

avec TI, la transmissivit quivalente du systme, TSi et TSp, les transmissivits calcules en

considrant uniquement linjection dune part et uniquement le pompage dautre part.

Indelman et al. (1996) proposent une solution thorique de la permabilit quivalente

pour le cas dun coulement radial dans un milieu tridimensionnel alatoire prsentant une

anisotropie axisymtrique. La premire particularit de cette tude est de considrer une

charge constante plutt quun flux constant comme condition aux limites dans le puits, ce qui

est plus raliste. La deuxime est dexprimer la conductivit quivalente en coulement radial

Keq en fonction de la conductivit quivalente en rgime uniforme Kefu :

( )1= +eq a efuK K K (I.45)

ln0,2 1

ln

0 0

1

=


avec Tg la moyenne gomtrique des transmissivits locales, ' =rL

r le rayon normalis, lh la

longueur de corrlation et IK une intgrale dfinie par les auteurs.

Au niveau du puits cette solution est gale la moyenne harmonique des permabilits

locales. Pour des distances intermdiaires, elle crot vers la moyenne gomtrique mesure

que la taille du domaine grandit devant la longueur de corrlation. Pour les grandes distances,

elle continue de crotre et dcrot proximit de la condition au limites de Dirichlet ( r'=1)

vers une valeur suprieure la moyenne gomtrique.

Ainsi, la permabilit quivalente est bien fonction du rgime dcoulement du systme

mais aussi des conditions aux limites extrieures. Les tudes concernant lcoulement radial

restent peu nombreuses et se rduisent souvent ltude dun cas spcifique aux hypothses

simplificatrices du fait de la complexit du problme.

3.4.2. La macrodispersion

Matheron et de Marsily (1980) et Molz et al. (1983) dtaillent des proprits du

phnomne de dispersion en milieu stratifi :

La macrodispersion apparat lorsquil y a des changes entre les strates. En particulier a

proximit de la source, la dispersion locale est ngligeable devant la macrodispersion

longitudinale. Cette dernire dpend surtout des variations de vitesse entranes par les

diffrentes permabilits mais aussi de la dispersion transversale locale.

Si la dispersion transversale, ainsi que la diffusion molculaire, est nulle, le rgime fickien

ne stablit pas et la dispersion longitudinale na pas dasymptote.

Pour une valeur finie et non nulle de la dispersion transversale, la dispersion longitudinale

crot vers une valeur asymptotique quand la distance de transport tend vers linfini.

Lquation dadvection dispersion nest valable que lorsquun rgime fickien est atteint

et que la dispersion sapproche de sa valeur asymptotique, donc suffisamment loin de la

source.

Lestimation de la dispersion longitudinale laide dessais de traage et dune quation

du type advection-dispersion ne donne pas une valeur unique. La valeur de

38


macrodispersion dtermine est trs dpendante de la distance entre la source et le point

de mesure et na pas de relation particulire avec la dispersion longitudinale locale.

Ces rsultats soulignent limportance de la variance des permabilits locales et de la

distance parcourue dans la valeur de la macrodispersion, la valeur asymptotique tant atteinte

alors que le milieu est suffisamment grand pour tre statistiquement homogne. Il apparat

aussi que la relation entre la paramtre quivalent de la dispersion et sa valeur locale est

complexe. Ces conditions rendent intressant lestimation de la dispersion par les thories

stochastiques.

Cas de lcoulement uniforme

La macrodispersivit longitudinale peut sexprimer en fonction de la distance

parcourue, d, et de la variance de dplacement, 2x , i.e. la variance de la distribution des

concentrations :

2

2= xLA d

(I.48)

Dagan (1989) distingue aussi la macrodispersivit effective de la macrodispersivit

apparente. Pour une loi de covariance des logconductivits exponentielle axisymtrique, il

obtient comme approximation au premier ordre :

Macrodispersivit effective : 12

iiii

dXAdtU

= (I.49)

Macrodispersivit apparente : 12

iiii

XAtU

= (I.50)

avec Xii la variance du dplacement dans la direction i, U la vitesse moyenne dcoulement

et t, le temps de parcours. A11 est la dispersivit longitudinale, A22 et A33 sont les dispersivits

transversales.

Pour les petits temps de sjour 1 Y

tUl

, i.e. tant que le traceur na pas parcouru

suffisamment d'chelles intgrales ou longueurs de corrlation lY dans le cas d'une loi de

39


covariance exponentielle, le rgime asymptotique fickien nest pas atteint, lquation

dadvection dispersion ne peut pas tre applique et Xii prend la forme suivante :

22 2 2

11 22,338

15 15 Y

2 21 YX U t et X U t

(I.51)

Pour les temps de sjour plus grands, les deux macrodispersivits, effective et apparente,

tendent vers une mme limite asymptotique :

(I.52) 211 22,33 0 Y YA l et A

Gelhar et Axness (1983) incluent la dispersion locale dans leur calcul des valeurs

asymptotiques de la macrodispersivit. Dans le cas isotrope, ils obtiennent :

2

2

2

2 1 415

=

= +

Y YL

Y L TT

L

lA

A

(I.53)

Dans le cas anisotrope, avec et 1 2,Y Y Yl l l 3 1* 23

1= T YY

lrl

, leurs rsultats deviennent :

1 2 22* 3

11 2

2 23

22 12 2 22 *2

33 32 2*

1,311

0,599

0,656

= = =

Y Y

T

Y T Y

Y

Y T

r lA

lAl r

Ar

(I.54)

Si 1* 23

1= T YY

lrl

, alors :

40


( )2

111 *2

2 23

22 2 22

2

33 2

1

= =

=

Y Y

Y T Y

Y

Y T

lA r

lAl

A

(I.55)

avec = eg

KK

, dfini par lquation (I.38).

Zhan et Wheatcraft (1996) tendent ces rsultats aux milieux fractals en introduisant le

concept d'chelle intgrale maximale Lmax. Cette chelle de rfrence est dlimite par les

limites de flux nul :

2 2 2

max 2 2 2 2 2 2= + +x y z

x y y z z x

L L LL

L L L L L L (I.56)

avec Lx, Ly, Lz, les distances entre les limites de flux nuls dans les directions x, y et z [L]. Par

exemple, pour un aquifre infini dans les directions horizontales, Lmax est gale Lz la hauteur

de l'aquifre.

Dans le cas mono dimensionnel, la macrodispersivit longitudinale est proportionnelle Lmax2

et pour les milieux multidimensionnels, elle est du mme ordre de grandeur que Lmax. Pour les

milieux tridimensionnels isotropes, la macrodispersivit longitudinale devient :

2

max2

8 22 9 2 2

= Y

LD LAD

(I.57)

avec D la dimension fractale du milieu et avec = eg

KK

.

Cas de lcoulement radial

Comme pour les permabilits quivalentes, les formules dfinies ci-dessus sont

valables avec un rgime dcoulement uniforme mais sont souvent utilises dans le cas

gnral. Il convient de se demander quelle est leur validit en coulement radial.

41


Indelman et Dagan (1999) tudient le cas d'un puits d'injection dans un milieu

tridimensionnel et trouvent une macrodispersivit asymptotique trois fois plus petite pour un

puits vertical, cinq fois pour une source ponctuelle, que leur rsultat (I.52) en coulement

uniforme.

Maugis et al. (2002) sappuient sur des dveloppements thoriques et numriques pour

montrer que la dispersivit est trs dpendante de la proximit de conditions aux limites et des

rgimes dcoulement non-uniforme. Par exemple, dans le cas du diple dinjection

pompage, la dispersion est plus faible quand le dbit, plutt que le rabattement, est impos.

Finalement, ils observent que lhypothse de lcoulement uniforme est acceptable dans le cas

du pompage. La dispersivit longitudinale dtermine avec un pompage peut-tre utilise en

coulement uniforme. Lextension au doublet est plus problmatique : la relation entre les

paramtres obtenus avec chaque approche reste encore tablir afin de pouvoir utiliser les

rsultats dun essai de traage dans le cas gnral.

4. Conclusion

Les quations de lhydrodynamique et du transport prsentes dans ce chapitre sont

associes aux proprits du milieu poreux. Pour mettre en uvre ces quations sur un certain

volume, comme, par exemple, une maille dun modle numrique, les grandeurs doivent tre

dfinies lchelle de cette maille.

La premire difficult est de dfinir localement les proprits. La dfinition

gostatistique contient plus dinformations quune simple moyenne spatiale sur un VER. Elle

tient compte des variations spatiales de la grandeur considre, quelque soit lchelle de

variation. Cette approche est donc bien adapte au changement dchelles.

Il existe des dveloppements thoriques qui permettent de dterminer la valeur des

paramtres lchelle voulue partir des valeurs locales ainsi dfinies. Nanmoins, ces

solutions sont peu nombreuses pour les rgimes dcoulement non uniformes comme les

coulements radiaux et elles sont dautant moins valables que les conditions aux limites sont

proches.

La dfinition dun paramtre effectif, indpendant des conditions aux limites, ncessite

lobservation dun milieu statistiquement homogne, i.e. suffisamment grand pour vrifier les

conditions de stationnarit et dergodicit. Cette hypothse est incompatible avec ltude de

42


zones locales, proches des conditions aux limites. Ltude exprimentale de linfluence des

conditions aux limites sur les grandeurs caractrisant leur environnement proche est ainsi

justifie.

Enfin, pour appliquer ces formulations thoriques des cas rls, il faut disposer des

lois de distribution des proprits, i.e. les dterminer partir de mesures des paramtres.

Interviennent alors lchelle de mesure ainsi que le protocole exprimental. Cest pourquoi le

Chapitre 2 prsente un tat de lart des techniques exprimentales qui permettent de

dterminer les paramtres de lcoulement et du transport en milieu poreux.

43

Chapitre 2 : Etat de lart dans lutilisation des modles physiques de laboratoire

Chapitre 2 : Etat de lart dans lutilisation

des modles physiques de laboratoire

1. Introduction

Dans le cas du milieu naturel, fortement htrogne, les proprits dfinies

prcdemment ne sont pas mesurables directement.

Lessai de traage consiste suivre le dplacement et la dispersion dun traceur dans le

milieu poreux o est instaur un coulement particulier. Lobjectif est destimer la porosit, la

permabilit et la dispersivit partir des rsultats obtenus, le champ de vitesse et la

permabilit pouvant aussi tre dtermins par essais de pompage. Il convient alors de

dvelopper les protocoles dessais de traage : leur complexit et leur cot nous poussent

optimiser la quantit et la qualit des informations quils fournissent.

Renard et al. (2001) mettent en avant lerreur commise sur la valeur de la permabilit

lorsqu'elle est mesure avec un permamtre qui ne tient pas compte de lanisotropie du

milieu. La notion dchelle et la technique exprimentale apparaissent tre des facteurs

importants dans la valeur des paramtres dtermins. Les tudes grande chelle, dans le

milieu naturel, sont difficiles mettre en uvre, peu prcises et coteuses. Ltude du

changement dchelle, de leffet des htrognits, des phnomnes de dispersion et le

dveloppement de techniques exprimentales ont donc trouv leur place au laboratoire.

Les conditions exprimentales y sont mieux contrles (Huang et al., 1995) : les

mesures peuvent tre plus prcises et moins coteuses, les phnomnes non souhaits

(sorption, compression, ...) vits, plusieurs chelles dobservation sont possibles et les

expriences peuvent tre reproductibles. Ainsi, les expriences chelle intermdiaire

(Silliman et al., 1998) sont intressantes pour affiner une thorie avant les essais de terrain

(Sternberg et al., 1996).

Le but de ce travail est la dtermination de paramtres quivalents partir des essais de

traage raliss au laboratoire. Nous nous intresserons dabord lvolution des techniques

45

Chapitre 2 : Etat de lart dans lutilisation des modles physiques de laboratoire

exprimentales et danalyse. Ensuite, les diffrents types de modles physiques de

laboratoires seront prsents.

2. Protocoles des essais de traage de laboratoire

Lexprimentation de laboratoire permet lutilisation de divers milieux poreux, types

dcoulement, traceurs et techniques de mesure. Une fois lessai ralis, diffrentes mthodes

danalyse des rsultats sont aussi notre disposition.

2.1. Les milieux poreux

Des billes de verre (Sternberg et Greenkorn, 1994 ; Sternberg et al., 1996) la carotte

de milieu naturel intact (Khan et Jury, 1990 ; Nelson et al., 2003) en passant par les milieux

constitus de diffrentes granulomtries de sables et argiles (Huang et al., 1995), diffrents

types de milieux poreux sont utiliss, en particulier dans les installations mono-

dimensionnelles. Dun ct, les billes de verres permettent une plus grande reproductibilit et

un meilleur contrle des expriences. De lautre, les carottes prleves dans le sol assurent

une meilleure reprsentation de la ralit. Les cuves exprimentales bi ou tridimensionnelles

sont en gnral remplies avec un agencement de sables ayant les caractristiques voulues.

Le dveloppement des modles physiques de laboratoire a donn la possibilit de crer

des milieux poreux de plus en plus complexes et proches de la ralit du terrain. Aprs ltude

des milieux homognes, celle des milieux structurs (strates, fractales), il est aujourdhui

possible de crer des milieux ayant une distribution alatoire corrle des permabilits

dtermine a priori (Silliman et al., 1998).

2.1.1. Les milieux fractals

Un milieu poreux est constitu de plusieurs chelles allant de la taille reprsentative de

la phase solide la taille reprsentative de laquifre. Entre

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