UNIVERSITE CADI AYAD - F2School · 2019. 11. 24. · UNIVERSITE CADI AYAD FACULTE NNEE...
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MQ - Complément de la série 2 1/5 SMP/S4 UNIVERSITE CADI AYAD FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014 DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE MARRAKECH SMP / S4 MÉCANIQUE QUANTIQUE Exercices complémentaires de la Série 2 Exercice 1 : Evolution d’un paquet d’ondes gaussien On considère une particule libre de masse m que l’on décrit par un paquet d’ondes (à une dimension) défini par : x x x x k x k t 1 xt gk dk 2 i e . ( ) . (,) ( ) 1) Montrer que (x,t) est solution de l’équation de Schrödinger. 2) On suppose que g(k x ) est une gaussienne centrée sur k x 0 ; soit : g(k x ) =A.exp[a 2 (k x k x 0 ) 2 ]/4 avec A= 2 / 3 ) m 2 ( a et a est homogène à une distance. a) Montrer que la probabilité de présence de la particule est indépendant du temps. b) En utilisant la forme ci-dessus de g(k x ), on obtient après intégration, l’expression suivante pour (x) (à un facteur de phase près) : (x,t) = 1 2 2 4 2a xt t Zt (,) exp () () avec 0 2 x 4 2 2 k t 4t 2t α(t) a ; (x,t) x et Z(t) a i m m m i) Calculer la densité de probabilité. ii) En déduire la vitesse du groupe v g . 3) Retrouver v g en considérant la relation de dispersion (k x ). Comparer v g à la vitesse de phase v et à la vitesse v de la particule. Conclure. Exercice 2 : Puits de potentiel Soit une particule de masse m d'énergie E se trouve piégée dans un puits de potentiel carré de la figure ci-contre tel que 0<E<V 0 1) V 0 fini a) Résoudre l'équation de Schrödinger stationnaire dans les trois régions. b) Donner la signification physique de chaque terme. c) Expliciter les conditions de continuités aux points x=0 et x=a. d) Déduire la condition à la quelle doivent satisfaire les quantités k, et a, où k et sont définies comme suit : k 2 =2mE/ 2 et 2 = 2m(V 0 E)/ 2 . 2) V 0 infini Si V 0 tend vers l'infini : a) Que deviennent les solutions de l'équation de Schrödinger dans les régions (I) et (III)? b) En écrivant les conditions de continuité aux points x=0 et x=a, déduire les valeurs possibles de l'énergie E de la particule dans le puits. Conclure. c) Généraliser à trois dimensions et retrouver les énergies de la particule et les fonctions d’onde associées. Donner la dégénérescence des 5 premiers niveaux d’énergie. x a 0 (III) (II) V 0 V(x) (I)
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MQ - Complément de la série 2 1/5 SMP/S4
UNIVERSITE CADI AYAD
FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA ANNEE UNIVERSITAIRE 2013/2014
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
MARRAKECH SMP / S4
MÉCANIQUE QUANTIQUE
Exercices complémentaires de la Série 2
Exercice 1 : Evolution d’un paquet d’ondes gaussien
On considère une particule libre de masse m que l’on décrit par un paquet d’ondes (à une
dimension) défini par :
x x
x x
k x k t1x t g k dk
2
ie
. ( ) . ( , ) ( )
1) Montrer que (x,t) est solution de l’équation de Schrödinger.
2) On suppose que g(kx) est une gaussienne centrée sur kx0 ; soit :
g(kx) =A.exp[a2(kxkx0
)2]/4 avec A=
2/3)m2(
a et a est homogène à une distance.
a) Montrer que la probabilité de présence de la particule est indépendant du temps.
b) En utilisant la forme ci-dessus de g(kx), on obtient après intégration, l’expression suivante
pour (x) (à un facteur de phase près) :
(x,t) =
1
2 242a x t
t Z t
( , )exp
( ) ( )
avec 02
x4 2
2
k t4 t 2 tα(t) a ; (x, t) x et Z(t) a immm
i) Calculer la densité de probabilité. ii) En déduire la vitesse du groupe vg.
3) Retrouver vg en considérant la relation de dispersion (kx). Comparer vg à la vitesse de
phase v et à la vitesse v de la particule. Conclure.
Exercice 2 : Puits de potentiel Soit une particule de masse m d'énergie E se trouve piégée dans
un puits de potentiel carré de la figure ci-contre tel que 0<E<V0
1) V0 fini
a) Résoudre l'équation de Schrödinger stationnaire dans les trois régions.
b) Donner la signification physique de chaque terme.
c) Expliciter les conditions de continuités aux points x=0 et x=a.
d) Déduire la condition à la quelle doivent satisfaire les quantités k, et a, où k et sont
définies comme suit : k2=2mE/
2 et 2= 2m(V0E)/
2 .
2) V0 infini Si V0 tend vers l'infini :
a) Que deviennent les solutions de l'équation de Schrödinger dans les régions (I) et (III)?
b) En écrivant les conditions de continuité aux points x=0 et x=a, déduire les valeurs
possibles de l'énergie E de la particule dans le puits. Conclure.
c) Généraliser à trois dimensions et retrouver les énergies de la particule et les fonctions
d’onde associées. Donner la dégénérescence des 5 premiers niveaux d’énergie.
x a 0
(III) (II)
V0
V(x)
(I)
MQ - Complément de la série 2 2/5 SMP/S4
Corrigé des Exercices complémentaires de la série 2
MQ - Complément de la série 2 3/5 SMP/S4
MQ - Complément de la série 2 4/5 SMP/S4
MQ - Complément de la série 2 5/5 SMP/S4
