UNIVERSITE 20 A OUT - SKIKDA FACULTE DES SCIENCES ET...
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République Algérienne Démocratique Et Populaire Ministère De L'enseignement Supérieur Et De La Recherche
Scientifique
UNIVERSITE 20AOUT - SKIKDA –
FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT DE GENIE-CIVIL
MEMOIRE DE MAGISTER
Spécialité : GENIE CIVIL
Option : STRUCTURES
Présenté par :
MOKHTARI SALIM
Promotion 2006/2007
INSTABILITE PAR FLAMBAGE ELASTIQUE DES PLAQUES STRATIFIEES MUNIES DUNE
SINGULARITE GEOMETRIQUE
REMERCIMENT
Je voudrais tout d'abord exprimer ma profonde reconnaissance a monsieur,
professeur GUENFOUD MOHAMED qui m'a encadré durant ce travail et pour
ses conseils et son suivi pour l'élaboration de ce travaille qu'il trouve ici
témoignage de ma profonde gratitude.
Et je remerciée en particulier monsieur .docteur TATI Abdelouaheb, pour nous
avoir prêté ce programme de flambage des plaques stratifiée.
Je tiens a remercie également le président de jury et les membre du jury. Je
tiens aussi a remercier tous ceux qui m'ont aidés de prés ou loin pour
l'élaboration de ce travaille
Enfin mes remerciements vont à l’ensemble du corps enseignant de l'institut
génie civil et mécanique à Biskra skikda. Constantine à Guelma.
MOKHTARI.SALIM
DEDICACE
Je dédie ce travail à :
Mes très chers parents.
Toute ma famille.
Tout mes amie : Samir, Bacha, Larbi, chergui, guidiri, bellili,
daha,bouziane,
A tout ceux qui ont une bonne impression dans mon coeur.
Toute la promotion post graduation 2006
Mokhtari. Salim
Résumé
Le présent travail concerne l'analyse de l'instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées
menues de singularité géométrique.
Le flambage des plaques stratifiées en matériaux composite est un phénomène très complexe,
pour l'analyse du flambage des plaques minces stratifiées, nous avons employé un élément de
quatre nœuds 32 degré de liberté, la formulation a été basée sur la théorie de Kirchhoff étendue
au plaque stratifiées en adoptant l'approche mono couche équivalente. Nous présentons en suite la
formulation du problème d'instabilité en élisant le principe de la variation seconde de l'énergie
potentielle pour la construction des matrices de rigidité.
Une série d'exemples a été testé au flambage des plaque mince isotropes et stratifiées, les
résultats obtenus et comparés a ceux disponible dans la littérature, ont montré la rapidité de
convergence et la bonne performance de l'élément.
Une étude paramétrique a été entreprise pour mettre en évidence l'effet de certains paramètres sur
le comportement de flambage des plaques minces munies d'ouvertures carré isotrope et stratifiées
ont montre que la charge critique de flambage augmente avec l'augmentation de l'ouverture pour
certaines condition aux limites.
Mots clés : Stratifié, Composite, Flambage, Instabilité, Plaque, Singularité Géométrique, Elément fini
Abstract
This work relates to the analys is of the instability with elastic buckling small laminated
plates of geometrical singularity. The buckling of the plates laminated out of materials composite
is a very complex phenomenon, for the analysis of the buckling of the laminated thin sections, we
employed an element of four nodes 32degré of freedom, the formulation was based on the theory
of kirchoff extended to the plate laminated by adopting the mono approach sleep equivalent.
We present in continuation the formulation of the problem of instability in the principle of the
variation second of the potential energy for construction of the matrices of rigidity.
A series of examples was tested with the buckling of the thin section isotropic and
laminated, the results obtained and compared has those available in the literature, showed the
speed of convergence and the good performance of the element.
A parametric study was undertaken to highlight the effect of certain parameters on the
behavior of buckling of the thin sections provided with openings square isotropic and laminated
have watch which the critical load of buckling increases with the increase in the opening for
certain boundary condition.
Keys Words : Lamina, Composite, Buckling, Instability, Plate, Geometrical singularity, Finite Element
خالصة
عدم من ھو analys الى العمل ھذا ویتصل الطابع ذات لوحات مرقق الصغیرة التواء مرونة مع االستقرار المواد اصل من مرقق للوحات التواء فان .والتفرد الھندسي
مرقق من لإللتواء لتحلیل ، للغایة معقدة ظاھرة ھو المركبھ العقد اربعة عناصر من عنصرا العاملین ونحن ، االبواب رقیقة
32degré كیرتشوف لمدد نظریة صیاغھ الى ویستند ، للحریة .یعادلھا ما النوم آحادي نھج باعتمادھا مرقق اللوحھ
مبدأ في االستقرار عدم مشكلة صیاغھ استمرار ھذا في ونحن البناء أجل من الطاقة امكانات من الثانیة االختالف
.الصالبھ للمصفوفات رقیقة التواء مع اختبارھا تم االمثلھ من مجموعة
الحصول تم التي والنتائج ، ومرقق الخواص موحد الباب من سرعة اظھر ، االدب في لھ المتاحة تلك ومقارنة علیھا
.للعنصر الجید واالداء التقارب بعض تأثیر على الضوء لتسلیط دراسة اجریت وقد حدودي أ
الفتحات زودت ابواب من رقیقة التواء سلوك على المعالم من حمل التي الحرجھ مشاھدة وقد مرقق الخواص وموحد المربعھ
.لبعض شرطا الحدود فتح في زیادة مع تزید التواء
االستقرار وعدم ، التواء ، مركب ، lamina : الكلمات مفاتیح عناصر من محدود ، والتفرد الھندسي الطابع ذات لوحة ،
NOTATION
ZYX .. Coordonnées cartésiennes
h .t épaisseur
mf SSV ... Volume et les aires
mV Fraction volumique de la matrice
fV Fraction volumique des fibres
mE Module d élasticité de la matrice
fE Module d élasticité des fibres
m Le cœfficient de poisson de la matrice
f Le cœfficient de poisson des fibres
fS Aire des fibres
mS Aire de la matrice
f Déformation dans les fibres
m Déformation dans la matrice
LE Module d élasticité longitudinale
TE Module d élasticité transversale
212312 .. GGG Module de cisaillement
ij Le cœfficient de poisson
m Cisaillement de la matrice
f Cisaillement des fibres
yx . Rotation autour des axes x.y
wvud Déplacement suivant x.y.z
yx . Rotation de la normale autour x.y.z
000xylylxl Déformation membranaire
k Déformation flexionnelle
000xynlynlxnl Déformation non linéaire de membrane
ijQ cœfficient de rigidité réduite
ijA rigidité extensionnelle
ijB Rigidité de couplage
ijD Rigidité flexionnelle
ijklS Coefficient de la matrice de souplesse
xyyx MMM Effort des moments de flexion par unité de ………………………………………………...longueur
xyyx NNN Effort des efforts internes par unité de …………………………………………………..longueur
Contrainte
S Matrice qui relier les déformation avec le ……………………………………………………vecteur de déplacement
kS Matrice qui relier les courbure avec le ……………………………………………………vecteur de déplacement
a Coefficient qui dépend du rapport a/b
a largeur de la plaque
b longeur de la plaque
d largeur de trou
L'intensité de la charge critique
crF La charge critique
s sinus
c cosinus
eK1 Matrice de rigidité élémentaire membrane
ee KK 32 . Matrice de rigidité de couplage membrane ……………………………………………………flexion
lgK Matrice géométrique élémentaire
U l'énergie potentielle de déformation
V l'énergie potentielle due aux charges ……………………………………………………extérieures
/V L'énergie potentielle due aux charges ……………………………………………………transversale
L'énergie potentielle totale
. Coordonnées de l élément de référence
N Fonction d'interpolation
1. JJ det J matrice jacobien , son inverse , et son ……………………………………………………déterminent
m ,n nombre de demi-monde sinusoïdales ……………………………………………………caractérisant le flambement
LISTE DES FIGUIRES
FigureII.1: Traction longitudinale ............................................................................................ 11
FigureII.2: Traction transversale .............................................................................................. 12
FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal .......................................................................... 14
FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié .................................... 17
FigureII.5: Schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié
FigureII.6: Schématisation des résultantes de cisaillement ....................................................... 21
FigureII.7: Schématisation des moments de flexion et de torsion ............................................. 21
FigureII.8:Schématisation des déformations dans le cas de la théorie
classique des stratifiés ................. ………………………………………………......22
FigireIII.1: Elément membranaire............................................................................................ 29
FigureIII.2: L'élément plaque .................................................................................................. 32
FigureIII.3: Schématisation des déformations dans le cas de la théorie
Classique des stratifiés ......................................................................................... 33
Figure. (V.1): Condition géométrique en élasticité plan simuler les types
de sollicitation ................................................................................................... 45
Figure (IV.1.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
a/b=1.5 pour une plaque isotrope simplement appuyée ................. …...……....46
Figure (IV.1.b): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1et2 )pour une plaque isotrope simplement .
. appuyée…………………………………………………………… ................ ..46
Figure. (V.2): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes
de sollicitation…………………… ................... ……………… …………..........47
Figure (IV.2.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Compression biaxialle………… .................. ………………….48
Figure. (V.3): Condition géométrique en élasticité plansimuler les tupes
de sollicitation…………………………………… ................. …………..........49
Figure (IV.3.a): la variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement pur ……..…… .................. …………………...…50
Figure (IV.3.b): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=2 )pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement ……………………… ................ ……………...50
Figure (IV.3.c): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1.5)pour une plaque isotrope simplement appuyée
sollicité par une Cisaillement pur………………………… ................ ………..51
Figure (IV.4): la plaque stratifié avec une orientation (90,-90,0,0,-90,90)……....................…..52
Figure. (IV.5): condition géométrique en élasticité plan simuler les types
de sollicitation…………………………………… ……… .................. …..........52
Figure (IV.5.a): La variation de Ncr en fonction de nombre
d'élément a/b=1 ,a/b =1.5 ,a/b=2 pour une plaque
isotrope simplement appuyéesollicité par une
compression simple ………………………………… ............... ………….......53
Figure (IV.6.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 )pour une plaque orthotrope simplement appuyée
Sollicité par une Compression biaxialle…..……… ................ ……….………...55
Figure (IV.7.a): La variation de Ncr en fonction de nombre d'élément
(a/b=1 ) et (a/b=1.5 ) , (a/b=2 )pour une plaque orthotrope
simplement appuyée sollicité par une Cisaillement pur...… ................... …….....57
Figure (IV.8):Type de sollicitation utilisé pou étude de flambage avec
singularité………………………………………………… ..................... ……..58
Figure (V.10): La discrétisation de la plaque carré…………………………… .................. ……63
Figure (IV.12): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1 , le cas isotrope………........….64
Figure (IV.13): La variation Fcr en fonction d/b 5 pour a/b=1.5, le cas isotrope…………..... 64
Figure (IV.14): La variation Fcr en fonction d/b pour a/b=1 pour le cas orthotrope…… .…. 65
Figure (IV.15): La variation Fcr en fonction de d/b pour a/b=1.5 ,le cas orthotrope……… .... ..65
Liste des tableaux
Tableau IV.1 charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement appuyée
45
Tableau IV.2 Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1 Pour une
plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une compression
biaxiale
47
Tableau IV.3 charge critique de flambage d'une plaque isotrope Sollicitée Par un
cisaillement pur
49
Tableau IV.4 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement Appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale
53
Tableau IV.5 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement appuyée Sollicitée par une compression biaxiale
54
Tableau IV.6 charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée
simplement Sollicitée par Cisaillement pur
56
Tableau IV.7 Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
Compression uniaxiale
61
Tableau IV.8 Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en
compression uniaxiale
61
Tableau IV.9 Cas isotropela variation Fcr en fonction de la position de trous en.
cisaillement pur
62
Tableau IV.10 Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trous en
cisaillement pur
62
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique
1
1. INTRODUCTION : L'évolution actuelle de la technologie a amené l'ingénieur à réaliser des projets de plus
en plus complexes, coûteux et soumis à des contraintes de sécurité de plus en plus sévères. La
grande utilisation des plaques, avec ou sans ouverture, en matériaux composites stratifiés dans
plusieurs types de structures ; aérospatiale, aéronautique, marine.
Les ingénieurs civils ont exploité les avantages d'utilisation des matériaux composites et
spécialement les plaques renforcées par des fibres de verre (F.R.P) parmi ces avantages on
cite:
Rapport résistance/ poids optimale
La légèreté
La résistance a la corrosion
Faible conductivité électrique et thermique
Le besoin d'avoir des ouvertures dans les composantes des structures est d'une considération
pratique, par exemple dans l'aéronautique, l'industrie automobile et aussi dans les sous marins,
les ouvertures sont nécessaires pour l'accès des lignes hydrauliques et pour empêcher des
dommages éventuels.
Dans certaines applications les éléments structuraux doivent résister au flambage et dans
d’autres au post-flambage et ainsi pour économiser le poids.
Les plaques avec ouverture sont souvent soumises aux charges de compression induites
mécaniquement ou thermiquement et qui peuvent causer le flambage de ces derniers.
Alors, le comportement de ce type de structures vis-à-vis de la stabilité, doit être bien connu
lors de leur conception.
2. Recherche bibliographique :
Les travaux sur le comportement du flambage des plaques en matériaux composites
stratifiées ont débuté depuis les années 70.
En 1972, Martin [1] a publié ce qui apparaît être parmi les premières études du flambage et
du post-flambage des plaques en composite avec ouvertures soumises à un chargement
uniaxial de compression. Son travail était basé sur la méthode Rayleigh Rite dans laquelle la
double intégrale a été effectuée numériquement et des travaux expérimentaux ont été faits en
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique
2
parallèle pendant cette période, et les résultats analytiques et expérimentaux se sont révélés
concordants.
En 1978, Knauss, Starnes et Henneke [2] ont présenté une investigation expérimentale du
comportement de flambement et des caractéristiques de rupture d'une plaque rectangulaire en
graphite–époxy, possédant une ouverture circulaire et soumise à un chargement de
compression.
Dans ce travail, les auteurs ont étudié le cas de deux plaques de 24 et 48 couches avec une
ouverture de dimension b/d = 0,3
En 1982, Herman [3] a présenté ce qu'on peut considérer comme la première investigation du
comportement du flambage des plaques soumises au cisaillement avec une ouverture centrale
de forme circulaire. Il a utilisé la méthode des éléments finis pour étudier le flambage des
plaques en graphite–époxy.
En 1983, Nemeth et ses collègues [4.5] ont présenté une analyse approximative pour le
flambement des plaques rectangulaires soumises à la compression avec une ouverture
centrale. Leur étude approximative était basée sur la méthode variationnelle de Kontorovitch.
En 1984 et 1985, Marshall, Little et Eltayeb, [6.7] ont présenté une investigation analytique
et expérimentale du comportement du flambage des plaques rectangulaires orthotropes
soumises à un chargement de compression avec des ouvertures circulaires. Ils ont fait une
analyse approximative en utilisant la méthode de Rayleigh Ritz. Dans ce travail expérimental,
les résultats obtenus concernent une plaque carrée, simplement appuyée en verre époxy sans
ouverture et avec ouverture jusqu'a d/b= 0,7. Les résultats analytiques et expérimentaux se
sont révélés concordants, spécialement les cas où d/b = 0,5 et où les dimensions des
ouvertures d/b < 0,5.
En 1986 Marshall, Lite, El Tayeb et William [8] ont présenté des résultats de flambage des
plaques orthotropiques avec des ouvertures circulaires. Le travail était analytique,
parallèlement à un travail expérimental pour des plaques carrées avec des ouvertures de
dimension d/b = 0,3 et 0,5.
Il y a eu une bonne concordance entre les résultats analytiques et ceux obtenus par la méthode
expérimentale utilisée.
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique
3
3. PROBLEMATIQUE
Pour répondre aux besoins d'accès et de services, il est toujours nécessaire d'avoir des
singularités (ouvertures) au centre ou bien loin du centre de la plaque. Cela est souvent le cas
de récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre le passage du liquide
d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond de la partition. La
présence de pareilles ouvertures mène à une distribution non uniforme des contraintes de
compression, et par conséquent, il en résulte un changement dans la charge critique de
flambement.
Les structures composites minces (plaques stratifiées) qui sont largement utilisées de nos
jours, deviennent instables lorsqu'elles sont sujettes à des chargements de nature mécanique
ou thermique, et flambent dans la zone élastique. Par conséquent, le flambage présente une
très grande importance lors de la conception de ce type de structures.
L'objectif de ce travail est la contribution dans l'étude du flambage des plaques multicouches
avec singularité en matériaux composite stratifié et isotrope, en utilisant la méthode des
élément finis [MEF], et donner un aperçu sur l'importance et la précision des résultats obtenus
grâce à l'utilisation de la [M.E.F] et à la méthode du calcul numérique pour la résolution des
problèmes.
INTRODUCTION GENERALE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies de singularité géométrique
4
4. PLAN DE TRAVAIL
Le travail est organisé en quatre chapitres :
Nous avons présenté, en premier lieu, la théorie de l'instabilité élastique. Dans le second
chapitre nous faisons un bref rappel de la théorie des plaques stratifiées.
Le troisième chapitre, est consacré à la modélisation des problèmes d'instabilité par élément
finis:
Elément utilisé (TATI, DHAT) 14 15
Rigidité de membrane (membrane)
Rigidité de flexion (plaque)
Elément coque
Cas des multicouches (la loi de comportement)
Problème de flambage
Matrice des contraintes initiales gK
Le dernier chapitre est consacré la validation des différents éléments au flambage des
plaques isotropes et multicouches avec et sans singularité, en faisant une comparaison avec
des méthodes analytiques et numériques.
Enfin, ce travail se termine par une conclusion générale qui met en valeur les résultats
obtenus.
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
5
I. INSTABILITE DES PLAQUE
I.1 Généralités
Le but de ce chapitre est de formuler les équations de base pour représenter les
problèmes liés à la flexion, aux effets de membrane et à l'instabilité élastique des plaques
minces. Nous définissons également, l'énergie potentielle, sa première et seconde variation
pour chacun des cas.
I.2 formulation générale
Les développements qui suivent peuvent être retrouvés dans les ouvrages d'Almroth 9 ,
Timoshenko 10 , Chajes 11 .
Avant de formuler le problème spécifique de l'instabilité des plaques, nous allons formuler
celui de l'instabilité en général, d'après Rubinstein 12 .
Notons l'état d'une structure en équilibre sous l'action de charges externes comme l'état
d'équilibre 1, pour vérifier si c' est un état d'équilibre stable , nous cherchons d'abord l'énergie
potentielle d'un autre état, disons 2 , produit par une perturbation arbitraire.
Par exemple pour une structure à un degré de liberté (w) nous représentons les états 1 et 2
comme suite :
Etat 1 : w , Π(w)
Etat 2 : w +δw, Π( w w ) où ( w )est la perturbation ainsi définie.
La variation de l'énergie potentielle ΔΠ est:
ΔΠ= Π(w+ δw) - Π(w) (1.1)
En utilisant la série de Taylor, ΔΠ peut être écrite sous la forme:
ΔΠ= δ Π+ 2 Π + 0 3 (1.2)
δΠ= ww
Dans la quelle :
22
22 w
w
(1.3)
0( 3 ) sont les termes d'ordre supérieur ou égale à trois que nous négligeons.
Pour l'équilibre à l'état 1, w doit être stationnaire d’où
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
6
w =0 où 0w
pour 0w (1.4)
Pour que cet équilibre 1 soit stable, w doit être minimum. Pour garantir cette stabilité de
l'équilibre 1, la seconde variation 2 doit être définie positive d’où:
Equilibre stable : 2 0 où 02
2
wpuisque 2w est positif (1.5)
Pour un équilibre instable au stade 1, la structure ne tendra pas à retourner vers le stade1,
quand une perturbation vers le stade 2 survient .ceci a lieu quand la seconde variation du
potentiel 2 est nulle ou négative. La ligne de démarcation, ou bifurcation entre la condition
de stabilité et d'instabilité de l'équilibre, correspond à :
2 = 0, d’où pour un équilibre instable 2 = 0 ou 02
2
w (1.6)
Nous constatons donc que l'étude d'équilibre se limite à l'étude de la première variation et
celui de l'instabilité à la seconde variation 2 .
I. 3 Instabilité élastique des plaques minces
Nous avons un système d'axes tel que celui de la figure (II.5) la plaque est soumise à un
chargement d'intensité arbitraire dans le plan xy qui provoque une compression de la plaque.
Par l'élasticité plane, et pour ce chargement d'intensité arbitraire, nous trouvons en chaque
point de coordonnées x, y, z un vecteur d'effort internes N par unité de longueur, où
N est défini ci-dessous:
dzNNNN xyy
h
hxxyyx
2
2
(1.7)
Où h est l'épaisseur de la plaque, xyyx ,, sont les contraintes planes dans le plan x, y et
xN , yN , xyN les efforts internes correspondants, par unité de longueur.
Afin d'étudier l'instabilité élastique des plaques, pour laquelle l'intensité du chargement axial
lors du flambement est inconnue, nous considérons qu'au flambement, cette intensité est
représentée par λ fois l'intensité arbitrairement choisie qui donne le vecteur ,N étant
une constante.
Notre plaque est maintenant soumise à une distribution d'efforts internes N
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
7
Appliquons maintenant un chargement de flexion transversale, et regardons l'équilibre pour
une position légèrement fléchie de la plaque, en supposant que :
Le vecteur N reste constant durant la flexion. Cet état d'équilibre correspond à l'état
d'équilibre 1 que nous avons défini au paragraphe (I.1) pour savoir si cet état d'équilibre est
stable ou non, nous allons évaluer la seconde variation de l'énergie potentielle 2 entre
l'état 1 , et un état d'équilibre voisin obtenu par légère perturbation de l'état 1.
I.3.1 Evaluation de l'énergie potentielle pour l'état d'équilibre 1
Dans l'évaluation de l'énergie potentielle, nous négligeons, pour les plaques minces
l'énergie interne due aux déformations de cisaillement. Les relations qui suivent sont établies
pour une position fléchie de la plaque.
I.3.1.a Relation déformations -déplacements
Les déformation x y xy pour un point de coordonnées x, y, z qui s'est déplacé de u,
v, w suivant les axes x, y et z, respectivement, sont :
m + nl +z K (1.8a)
Où est le vecteur de déformation total
m = xyyx (1.8b)
m =xv
yu
yv
xu
(1.8c)
m Est le vecteur de déformations linéaires de membrane
nl Est le vecteur de déformations non linéaires de membrane
nl =yw
xw
yw
xw
22
21 (1.8d)
K Est le vecteur de déformations de flexion
K =xyyx
yxyx
(1.8e)
Tel que :
xw
x
; yw
y
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
8
x et y étant les rotations des plans yz et xz autour de x et y, respectivement .
Les équations (1.8) sont les relations cinématique de la plaque.
Les variation u, v, w, x , y sont fonction de x et y seulement et se référent au plan moyen
xy.
I.3.1.b Evaluation de l'énergie potentielle
L'énergie interne U est
DUv
21 (1.9)
U=
1
21 dvD m
vm +
2
dvD mv
nl +
3
dvDKz mv
+
4
21 dvD nl
vnl + vdDKz nl
v 5
+
6
2
21 dvKDKz
v (1.10)
Nous cherchons la deuxième variation U2 pour une perturbation w , et on ne garde que les
termes quadratiques de (w) et de ses dérivées afin de linéariser le problème de l'instabilité. Par
conséquent, le terme (1) de l'équation (1.10) qui ne contient pas de termes de w ou de ses
dérivées est abandonné.
Les termes (3) et (5) sont nuls pour une matrice D constante ou symétrique par rapport au
plan moyen car :
2
2
0
h
h
zdz
Le terme (4) qui est du quatrième ordre est négligé.
Pour des plaques minces orthotropes ou isotropes, l'énergie U qui varie avec w se réduit
donc aux termes (2) et (6), qui pour une intégrale sur l'aire A devient:
U =
2
dAD mmA
nl +
6
21 dAKDK f
A (1.11)
Comme N = mmD où N est défini par l'équation (1.7) nous obtenons:
U= dAKDKdAN fAA
nl 21 (1.12)
Si nous considérons les notations suivantes :
CHAPITRE I LA THEORIE DE L'INSTABILITE ELASTIQUE-CAS DES PLAQUES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
9
yw
xw
n
Et
yyx
xyx
NNNN
N (1.13)
L'équation (1.11) devient:
U= dAN nA
n 21 dAKDK f
A2
1 (1.14)
Pour un matériau isotrope, l'expression (1.11) devient :
U= dANyw
xwN
ywN
xw
xyyxA
21
21
21
22
+
(1.15)
)1(24 2
3
Eh
A
yxyx
yxyx
222
+2
21
xyyx
dA
Nous avons vu au paragraphe (I.1) que l'état d'équilibre est instable si :
0222 U (1.16)
Mais comme les charges externes sont conservatives alors :
02 (1.17)
Utilisons la relation (1.13), l'équation (1.14) :
02 dAKDKdAN fA
nA
n (1.18)
La discrétisation de la plaque par éléments finis permet de mettre l'équation (1.18) sous la
forme d'un problème de valeur propre.
0 nG UKK (1.19)
Où K et GK sont respectivement, la matrice de rigidité de flexion et la matrice
géométrique.
nU Représente les vecteurs déplacements correspondant au mode de flambement dont
l'intensité de la charge critique est donné par
I.4 Conclusion :
Nous avons présenté dans ce chapitre la résolution de problème d'instabilité par la
seconde variation de l'énergie potentielle pour le cas d'un seul degré de liberté, mais notre
but et d'étudie l'instabilité d'une plaque stratifiée avec un vecteur de déplacement iq qu'on
va le rencontré dans le chapitre précédant suivant.
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
10
II. LATHEORIE DES STRATIFIE
II .1 INTRODUCTION
Le matériau composite est un assemblage d'au moins deux matériaux non miscibles (mais ayant
une forte capacité d'adhésion). Le nouveau matériau ainsi constitué possède des propriétés que
les éléments seuls ne possèdent pas.
Ce phénomène, qui permet d'améliorer la qualité de la matière face à une certaine utilisation
(légèreté, rigidité à un effort, etc.), explique l'utilisation croissante des matériaux composites,
dans différents secteurs industriels. Néanmoins, la description fine des composites reste
complexe du point de vue mécanique.
La cellule élémentaire du matériau est considérée comme constitué d'une fibre entourée d'un
cylindre de matrice à base circulaire ou hexagonal L. Cette cellule possède un axe de révolution
noté l'axe 1 ou l'axe longitudinal L. Les directions normales aux fibres sont appelées directions
transversales. Le composite est considéré comme étant isotrope transverse c'est –à – dire qu'il est
isotrope dans le plan normal à la direction 1. Le plan transverse est repéré par les deux directions
équivalentes 2 et 3 notées aussi T et 'T
.
II. 2 LOI DE COMPORTEMENT DE LA MONOCOUCHE
II.2.1 Approches théoriques à la détermination des modules d'élasticité
Le problème de détermination des modules d'élasticité d'un matériau composite
unidirectionnel consiste à rechercher des expressions de ces modules (5 modules indépendants)
en fonction des caractéristiques mécaniques et géométriques des constituants; modules
d'élasticité des fibres, de la matrice, fraction volumique des fibres, longueurs des fibres, etc. Les
propriétés mécanique et géométriques des fibres et de la matrice seront caractérisées par leurs
modules d'élasticité, coefficients de poisson et de fractions volumiques notés respectivement Ef,
Em, Uf, Um, Vf et Vm.
La résolution du problème est plutôt complexe à cause des possibilités multiples et variées
d'arrangements des fibres dans le composites. (Figure II.1).
Dans ce qui suit on donne quelques expression simplifiée des modules élastiques du composite
unidirectionnel en fonction des caractéristiques des constituants.
II.2.1.1 Module de Young longitudinal
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
11
Le module de Young est déterminé par un essai de traction longitudinale figure (II.1). On
suppose que les fibres et la matrice subissent une déformation identique et uniforme. Si ΔL est
l'allongement de la cellule du composite, la déformation longitudinale imposée à la cellule est:
L =ll (2.1)
fibre
Matrice
Matrice
1
2
L
h
1 1
L
h
FigureII.1: Traction longitudinale
Où L est longueur initiale de la cellule considérée.
La déformation dans la fibre et la matrice est:
f = m = L (2.2)
Les contraintes dans la fibre et la matrice sont exprimées par:
fff E (2.3)
mmm E (2.4)
La charge totale appliquée est : F1= σƒSƒ+ σƒSm (2.5)
Où Sƒ et Sm sont respectivement les aires des sections droites de la fibre et de la matrice.
Si S est l'aire de la section droite de la cellule moyenne, la contrainte moyenne
σ1= F1/S (2.6)
σ1= σƒ Sƒ+ σm (1-Vƒ) (2.7)
Cette contrainte moyenne est liée a la déformation de la cellule par le module
d'Young Longitudinal par:
1 =EƒVƒ+ Em (1-Vƒ) (2.8)
La relation précédentes, conduisent a' léxpression du module d'Young longitudinale
EL = Eƒ Vƒ+ Em (1-Vƒ) (2.9)
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
12
Cette expression est connue sous le non de loi de mélange pour le module d'Young dans la
direction des fibres.
II.2.1.2 Module de Young transversal
Le module d'Young transversal est déterminé dans un essai de traction transversal ou le
composite est chargé suivant la direction normale aux fibres (figure II.2).
fibre
Matrice
Matrice
1
2
hf
2
hm/2
hm/2
2 FigureII.2: Traction transversale
La charge F 2 imposée suivant dans la direction transversal est transmise dans les fibres et la
matrice et impose des contraintes égales soit.
σm = σƒ = σ2
Il en résulte que les déformations respectives des fibres et de la matrice dans la direction
transversale sont:
f = f
2 (2.10)
m = E m
2 (2.11)
La déformation transversale est donnée par:
ε 2= εƒVƒ+εm (1-Vƒ) (2.12)
la déformation est liée a la contrainte imposé à la cellule par:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
13
22 TE (2.13)
la combinaison des relation précédente conduit à léxpression du module d'Young
Transversale.
m
f
f
f
f EV
EV
E
11 (2.14)
II.2.1.3 Coefficient de poison longitudinal
Le coefficient de poisson longitudinal, est déterminé par essai de traction longitudinale.
Les déformations transversales respectives des fibres et de la matrice sont donnée par:
1212 ffmm et
L'allongement transversal de la cellule élémentaire est:
ffmmt hhL 11
La déformation transversale st donnée par:
12 ])1([ fffmmf
t
hhL (2.15)
D’où l'expression du coefficient de poisson
)1( fmffLT (2.16)
Cette expression est la loi des mélanges pour le coefficient de poisson longitudinal.
II.2.1.4 Module de cisaillement longitudinal
Le module de cisaillement longitudinal LTG est déterminé dans un essai de cisaillement
longitudinal (figure II.3) Les contraintes de cisaillement dans les fibres et la matrice sont égales
du fait des contraintes de cisaillement imposées à la cellule. Les déformations en cisaillement de
la fibre et de la matrice sont donnée par:
Gff
mm G
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
14
fibre
Matrice
Matrice
1
2
hf
hm/2
hm/2
FigureII.3: Essai de cisaillement longitudinal
Les déformations induites dans la fibre et la matrice sont donnée par:
mmmfff hh
La déformation totale de la cellule est:
mmffmf hh (2.17)
Alors l'angle de cisaillement de la cellule est donné par l'expression:
)1( fmffmf
VVhh
(2.18)
Cet angle de cisaillement est liée a la contrainte de cisaillement par le module de cisaillement
LTG (2.19)
De la combinaison des relations précédentes, on obtient:
M
f
f
f
LT GV
GV
G
11 (2.20)
II.2.2 Matrice de rigidité et de souplesse
Le comportement élastique d'un matériau composite unidirectionnel peut être d'écrite en
introduisant soit la matrice de rigidité notée ijc , soit la matrice de souplesse Sij
La loi de Hooke s'écrit suivant l'une des deux formes :
C (2.21)
Ou bien sous forme explicite:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
15
666564636261
565554535251
564544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
cccccccccccccccccccccccccccccccccccc
6
5
4
3
2
1
(2.22)
S (2.23)
6
5
4
3
2
1
=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
6
5
4
3
2
1
(2.24)
Avec C matrice d élasticité et S matrice de souplesse
Pour un matériau orthotrope les matrices d élasticité et de souplesse s'écrivent :
C
66
55
44
333231
232221
131211
000000000000000000000000
cc
cccccccccc
(2.25)
S
66
55
44
333231
232221
131211
000000000000000000000000
SS
SSSSSSSSSS
(2.26)
Les constantes de rigidité et de souplesse sont liées aux modules d'élasticité EL, ET, GLT et
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
16
LT Par les relation suivantes:
Constante de souplesse
1266
1355
2344
333
2
2323
222
1
1313
1
1212
111
1,1,1
1,,1
,,1
GS
GS
GS
ES
ES
ES
ES
ES
ES
Constantes d'élasticité
21
322311
1EE
C ,
31
32231212 EE
C ,
21
23121313 EE
C
31
311322
1EE
C ,
21
13212323 EE
C ,
21
211233
1EE
C
126613552344 ,, GCGCGC
Avec
321
13322113312112 21EEE
II.2.3 Matériau composite en-dehors de ses axes principaux
Les stratifié sont élaborés par lémpilement de couche successible dont la direction
des fibres et variable d'une couche a l'autre. Pour faire l'étude du comportement élastique de tels
stratifiés, il est nécessaire de prendre un système d'axe de référence pour l'ensembles du
stratifiée, et de rapporter le comportement élastique de chaque couche à ce système de référence.
On considère une couche (figureII.4) de matériau unidirectionnel de directions principales
1, 2, 3 le plan 1,2 est confondue avec le plan de la couche et la direction 1 est confondue avec la
direction des fibre .il est question de caractériser les propriétés élastique de la couche en les
exprimant dans le système d'axes de référence (1'.2'.3 ') du stratifié, la direction des fibres fait un
angle ( ) avec la direction1',
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
17
1' 1
3 3'
2 2'
FigureII.4: Axes principaux et axes de référence d'une couche stratifié
Les matrices d'élasticité C' et de souplesse S' dans le système de refèrence sont obtenues en
appliquant au matrices d'élasticité et de souplesse C et S les relation de changement de base
Suivantes:
TCTC 1 (2.27)
Et
TSTS 1' (2.28)
Avec T est la matrice de changement de base, donné par:
T =
22
2
22
sincos000cossincossin0cossin0000sincos000000100
cossin2000cossincossin2000sincos
(2.29)
Les matrice C' et S' s'écrivent de la forme
PPPPPPPP
PPPPPPPPP
0000000000000000000
(2.30)
Avec ''ijijij SouCP
II.2.3.1 Etat de contraintes planes
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
18
Dans le cas ou le problème d'élasticité peut être ramené a un problème d'élasticité a deux
dimensions , les relation établies dans le cas général se simplifient l'étude du problème de
contraintes de rigidité réduites dans les axes principaux par:
66
2221
1211
0000
QQQQQ
Q (2.31)
Avec:
TLLT
LEQ
111
TLLT
TEQ
122
TLLT
TLLTQQ
12112
LTGQ 66
La matrice de rigidité réduite hors axes est donnée par l'expression:
TQTQ 1__
(2.32)
Avec
22
22
22
sincoscossincossincossin2cossin
cossin2sincosT
Les composantes de la matrice s'écrivent explicitement et en posant:
cs
cossin
22661211
411
411
__
)2(2 csQQQsQcQ
)()4( 4412
2266221112
__
scQcsQQQQ
csQQQscQQQQ 3661211
366121116
__
)2()2( (2.33)
22661222
411
422
__
)2(2 csQQQcQsQ
3661211
366121126
__
)2()2( scQQQcsQQQQ
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
19
)()(2 4466
226612221166
__
csQcsQQQQQ
II.3. la théorie des plaques stratifiées
La théorie élémentaire des plaques faites l'hypothèse que les contraintes normales 33
sont négligeables dans le volume de la plaque, par rapport aux composantes 122211 ,, cette
hypothèse est généralement vérifiée dans la pratique, et dans ce cas la loi de Hooke Généralisé
hors axes principaux d'une couche s'écrit:
33
22
11
__
33
__
32
__
31
__
23
__
22
__
21
__
13
__
12
__
11
33
22
11
QQQ
QQQ
QQQ
(2.34)
Où ijQ__
sont les coefficients de la matrices de rigidité d'une couche k donné.
La discontinuité des matrices de rigidité d'une à l'autre entraîne la discontinuité des contraints au
passage d'une couche à l'autre.
II.3.1 Résultantes en membrane
Le vecteur résultantes en membrane noté ),( yxN et défini par:
2
2
),(
h
hk dzyxN (2.35)
Où k est la matrice en membrane xyyyxx ,, dans la couche k
Le vecteur ),( yxN peut s'écrire
2
2
),(
h
hxy
yy
xx
xy
y
x
NNN
yxN
(2.36)
xyyx etNNN ,, Sont les résultantes par unité de longueur:des contraintes suivant x, y et des
contraintes de cisaillement respectivement,
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
20
y
z
x
Nx
Nx
Ny
Ny
Nxy
Nxy
Nxy
Nxy
FigureII.5: schématisation des résultantes en membrane des actions exercées sur un stratifié
La discontinuité des contraintes d'une couche à l'autre conduit à la relation précédente sous la
forme:
dzNNN
n
k
h
hxy
y
x
xy
y
x k
k
11
(2.37)
II.3.2 résultantes en cisaillement
Le vecteur force en cisaillement est définie de la même manière par :
dzQQ
Qn
k
k
h yz
xz
y
xxy
k
11
(2.38)
Comme les résultantes en membrane, les résultantes en cisaillement sont définies par unité de
longueur du stratifié,
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
21
x y
z
Qx
Qx
Qy
Qy
FigureII.6:schématisation des résultantes de cisaillement
II.3.3 Moment de flexion et de torsion
Les moments de flexion et de torsion exercés sur un élément du stratifiée sont définis par:
zdzMMM
yxMn
k
k
hxy
yy
xx
XY
Y
X
k
11
),(
(2.39)
y
x
z Mx Mxy
Mx
Mx
My Mxy My
Mxy
FigureII.7:schématisation des moments de flexion et de torsion
II.3.4 Théorie classique des stratifiés
La théorie classique des stratifiés utilise les modèles du premier du premier ordre à savoir les
modèles de love-kirchhoff.Les rotations de la section suivant les axe X et Y s'écrivent:
x
wyxx
0),( (2.40)
y
wyxy
0),(
Le champ des déplacements s'écrie alors:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
22
),(),(),,( 00 yx
xwzyxuzyxu
),(),,(),,( 00 yx
yw
zzyxvzyxv
(2.41)
),(),,( 0 yxwzyxw
0u Et 0v sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne de la plaque 0w
Est le déplacement hors plan feuille moyenne de la plaque.
A
B
M H
z x
z
w0
y
y
zy
u0
A
B
M H
z y
z
w0
x
x
-zx
v0
FigureII.8:schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés
II.3.4.1 Champ des déformations
Le champ des déformations s'écrit :
200
xwz
xu
xx
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
23
200
ywz
yv
yy
(2.42)
yx
wz
xv
yu
xy
02
00 2
0 yzxz
Le tenseur des déformations en un point M est donnée par:
00000
)( yyyx
xyxx
M
(2.43)
La matrice des déformation se réduit a trois composantes non nulles:
xyM yy
xx
)( (2.44)
Le champ des déformation st la superposition des déformations en membrane donnée par:
xv
yu
yvx
u
M
xy
yy
xx
m
00
0
0
0
0
0
)(
(2.45)
Et les déformation en flexion donnée par :
yxw
ywxw
Mf
xy
fyy
fxx
f
02
20
2
20
2
2
)(
(2.46)
Généralement, les déformations en flexion et en torsion s'expriment suivant la relation:
),()( yxzkMf (2.47)
En posant:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
24
yxw
ywxw
kkk
yxk
xy
y
x
02
220
2
20
2
2
),( (2.48)
La matrice k(x, y) est appelée matrice des courbures de la plaque stratifiée en flexion.
Les angles de rotation de la déformée du plan moyen au point H(x, y, o) s'expriment en fonction
du déplacement transversal w0(x, y) de se point par:
y
wx
0
(2.49)
x
wy
0
Finalement le champ des déplacements s'écrit:
xy
yy
xx
xy
yy
xx
xy
yy
xx
kkk
z0
0
0
(2.50)
Ou sous la forme:
),(),()( yxzkyxM m (2.51)
II.3.4.2 Champ de contraintes
Le champ de contrainte en un point est donné par:
00000
)( yyyx
xyxx
M
(2.52)
Le champ de contraintes se réduit au composantes en membrane donnée par:
xy
yy
xx
M
)( (2.53)
Les contrainte dans une couche k sont données par:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
25
xy
yy
xx
xy
yy
xx
QQQ
QQQ
QQQ
__
66
__
26
__
16
__
26
__
22
__
21
__
16
__
12
__
11
(2.54)
Cette relation peut s'écrire :
0
0
0
__
66
__
26
__
16
__
26
__
22
__
21
__
16
__
12
__
11
xy
yy
xx
xy
yy
xx
QQQ
QQQ
QQQ
xy
yy
xx
kkk
QQQ
QQQ
QQQ
z__
66
__
26
__
16
__
26
__
22
__
21
__
16
__
12
__
11
(2.55)
Où
),(),(),,()(____
yxkQzyxQzyxM kmkkk (2.56)
)(Mk Représente la matrices contrainte dans la couche k : kk hzh 1 , la matrice de rigidité
réduite kQ__
varie d'une couche à l'autre .il en résulte donc une discontinuité du champ des
contraintes dans les couches successives.
II.3.4.3 Expression des résultantes et des moments
II.3.4.3.a Résultantes en membrane
L'expression (2.44) conduit à L'expression des résultantes en membrane:
dzyxkQzyxQyxNn
k
h
hkmk
k
k
1
____
1
),(),(),(
n
k
h
hmk
k
k
dzyxQyxN1
__
1
),(),(
k
k
h
h
n
kk zdzyxkQ
11
__),( (2.57)
n
kkkm
n
kkkk QhhyxQhhyxN
1
__2
12
1
__
1 21,),( ),( yxk
Soit, en définitive:
),();(),( yxBkyxAyxN m (2.58)
Les matrice, A, B s'écrivent:
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
26
__
11)( QhhA
n
kkk
(2.59)
Avec ijAA
Et
__
11
)( kk
n
kkji QhhA
(2.60)
Avec ijBB
Et
__
21
2
1)(
21
kkk
n
kij QhhB
(2.61)
L'expression développée des résultantes s'écrit :
xy
y
x
NNN
=
662616
262221
161211
AAAAAAAAA
xy
yy
xx
+
662616
262221
161211
BBBBBBBBB
xy
yy
xx
kk
(2.62)
II.3.4.3.b Moment de flexion et de torsion
L'expression (2.44) conduit à l'expression des moments de flexion et de torsion:
dzyxkQzyxQzyxMk
k
h
hkk
n
k
__2
1),(),(),( (2.63)
Ou :
n
kkk hhyxM
1
21
2
21),( ),(
31),(
1
31
3 yxkhhyxn
kkk
(2.64)
Soit :
),(),(),( yxkDyxByxM (2.65)
L'expression de la matrice D:
___
1
31
3
31
k
n
kkk QhhD
(2.66)
kijkkij QhhDD ))((__
31
3 (2.67)
CHAPITRE II LA THEORIE DES STRATIFIES
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
27
L'expression développée des moments s'écrit sous la forme:
xy
y
x
MMM
662616
262221
161211
BBBBBBBBB
xy
yy
xx
+
662616
262221
161211
DDDDDDDDD
xy
yy
xx
kk
(2.68)
II.4 Conclusion :
Dans ce chapitre la théorie des matériaux composites stratifiés a été présentée .cette théorie
va être comptée au la théorie d'instabilité élastique pour se permettre d'analyser la stabilité des
plaques multicouches, chose qui va faire le sujet du chapitre III
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
27
III. MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
III.I INTRODUCTION
Les modèles concernant le calcul des stratifiés se rapportent tous au problème de
dépendance ou d'indépendance des rotations des normales aux feuillets moyens des
différentes couches. On suppose dans tous les cas qu'il n'y a pas de glissement aux interfaces.
On distingue :
Les modèles basés sur l'approche monocouche équivalente.
Les modèle basés sur l'approche par couche.
Dans ce chapitre, nous présentons un élément fini sur la base d'un des modèles de la première
catégorie basé sur la théorie de kirchhoff.
On suppose que la théorie de kirchoff est vérifiée dans chacune des couches .cela revient
évidemment à supposer que cette hypothèse est vérifiée globalement dans toute l'épaisseur de
la plaque. Cette approche se justifié dans le cas d'une plaque mince, les couches constituant la
plaque sont composées de matériaux assez peu différents, et possèdent les modules de
cisaillement transverse du même ordre de grandeur que les autre modules
C'est-à-dire possède peu d'anisotropie. Pour que cette approche donne de bons résultats, une
autre condition s'ajoute aux autres :le chargement est condition aux limites n'occasionnant que
peu de flexion.
Dans ce travaille, tout les condition pour l'adoption de cette approche sont remplies.
En effet les plaques étudiées sont minces et constituées de couche identique d'autant plus, le
flambage n'occasionne que peut de flexion. L'élément de A.TATI 15 est un élément basé
sur un modèle issu de l'approche monocouche équivalent.
L'élément est issu d'une combinaison de deux élément quatre nœuds chacun bidimensionnels
Chacun:
le premier est un élément quadrilatéral membranaire isoparamétrique bilinéaire
le deuxième est un élément plaque rectangulaire de haute précision, de premier ordre, de
type Hermite, qui sera transformé en un élément quadrilatéral.
III.2 L'ELEMENT MEMBRANAIRE
III.2.1 Approximation nodale des coordonnées
Les cordonnées paramétrique sont noté et .les coordonnées x ),( et y ),( d'un
point quelconque sont définies par:
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
28
(x ),( = ii
i xN ),(4
1
(3.1)
y ),( = ii
i yN ),(4
1
Ou ( )( , ii yx sont les coordonnées du nœud i, et les fonction d'interpolation linéaire sont donné
par 13 et 14
1141),(1N
1141),(2N (3.2)
1141),(3N
1141),(4N
III.2.2 Champ des déplacements
Comme l'élément est isoparamétrique, l'approximation nodale pour le champ des
déplacements dans le plan de l'élément s'écrie en utilisant les mêmes fonctions de formes que
l'approximation géométrique soit:
ii
i uNu ),(),(4
1
(3.3)
ii
i vNv ),(),(4
1
Où u ),( et v ),( sont les déplacements membranaires d'un point quelconque
),( et ii vu , sont les déplacements d'un nœud i (figure III.1)
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
29
FigireIII.1: Elément membranaire
III.3 L'ELEMENT PLAQUE
III.3.1 Fonction d'interpolation de l'élément de référence
L'approximation nodale du champ du déplacement hors plan w ),( d'un point de
coordonnées ),( et d'un élément rectangulaire de haute précision de type Hermite de
premier ordre est donné par: Dhatt 14 et TATI 15
w ),( =
iiii
wH
wH
wHwH
2
11011000 (3.4)
Où
22)(161
02
02
000 H
21)(161
02
002
010 H
(3.5)
12)(161
02
0002
001 H
11)(161
02
0002
0010 H
-1 +1
(u1, v1) (u2, v2)
(u3, v3)
(u4, v4)
-1
+1
x
y
(u1, v1)
(u2, v2)
(u3, v3) (u4, v4)
a) Élément de référence b) Élément réel
I II
III IV
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
30
III.3.2 Fonction d'interpolations de l'élément réel
Les dérivées des fonctions d'interpolation géométriques seront calculées par la formule
suivante:
x
N i
=x
Nx
N ii
(3.6)
y
N i
=y
Ny
N ii
Ou sous la forme matricielle par:
yNx
N
i
i
=
yy
xx
i
i
N
N
(2.7)
Les dérivées xyx
,, et
se déterminent à partir de la matrice Jacobienne
Inversée 1J la matrice Jacobienne est donnée par:
J=
yx
yx
=
4
1ii
ii
i
ii
ii
yNxN
yNxN
(3.8)
Les fonctions d'interpolation de l'élément plaque réel quadrilatérale sont déterminées à
partir des fonctions d'interpolation de l'élément de référence en introduisant les fonctions
d'interpolation géométrique.
w =
y
ywx
xw
w =
y
ywx
xw (3.9)
w2
2
2
xw
xx + 2
2
yw
yy +
yxw
2
xyyx +
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
31
xw
x2
+yw
y2
En traduisant les expressions (3.9) dans l'expression (3.4) en aboutit à:
W(x,y) = 1000 HwH i
y
ywx
xw + 01H
y
ywx
xw +
11H 2
2
xw
xx + 2
2
yw
yy +
yxw
2
xyyx + (3.10)
xw
x2
yw
y2
L'expression du déplacement hors w(x,y) d'un point quelconque de coordonnées(x,y)
l élément réel est donnée par: A. TATI 15
W(x, y)= 2
2
2
22
yw
Lxw
Lyx
wL
yw
LwLwL iyy
ixx
ixy
iyixiw
(3.11)
w(x,y)=
2
2
2
2
2
ywxwyx
wy
wx
ww
LLLLLL
i
i
i
i
i
i
yyxxxyyxw
Ou yyxxxyyxw LLLLLL ,,,,, sont les fonctions d'interpolation de l'élément réel par:
00HLw
xHxHxHL x
2
110110
xHyHyHL y
2
110110
yxyxHL xy 11 (3.12)
xxHL xy 11
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
32
yyHL yy 11
Comme on peut le remarquer les fonctions d'interpolation de l'élément réel sont fonction des
coordonnés ii etyx , des nœuds (i=1.2.3.4) figure (III.2).
-1 +1
(w1,w1, ,w1, ,w1,,) (w2,w2, ,w2, ,w2,,)
(w3,w3, ,w3,,w3,,)
(w4,w4, ,w4, ,w4,,)
-1
+1
Élément de référence Élément réel
x
y
(wi,wi,x ,wi,y ,wi,x,y,w,x,x,w,y,y) avec i =1,2,3,4;
1
2
3 4
FigureIII.2: L'élément plaque
III.4 CONSTUCTION DE L'EMENT COMBINE
La combinaison des deux éléments permet d'obtenir un élément de type coque a quatre
noeud de huit degrés de liberté chacun, soit un élément de 32 degrés avec un vecteur de
déplacement:
2
2
2
22
,,,,,,,iiiii
iiiT
yx
xw
yxw
yw
xwwvuq Avec i=1.2.3.4
III.4.1 Relation cinématiques
La théorie utilisée est la théorie classique des stratifiés, basée sur le modèle classique de
Kirchhoff dans laquelle on suppose que la normale au feuilles moyen reste après déformation
en plus elle néglige les déformation dues au cisaillement transverse .les déplacement selon
cette approche s'écrie:
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
33
A
B
M H
z x
z
w0
y
y
zy
u0
A
B
M H
z y
z
w0
x
x
-zx
v0
FigureIII.3:schématisation des déformations dans le cas de la théorie classique des stratifiés
),(),(),,( 00 yx
xwzyxuzyxu
),(),,(),,( 00 yx
yw
zzyxvzyxv
(3.13)
),(),,( 0 yxwzyxw
0u Et 0v sont les déplacements membranaires de la feuille moyenne de la plaque 0w
Est le déplacement hors plan feuille moyenne de la plaque
Le champ des déformations pou le cas de grandes déformations est donné par:
xxx zk 0
zkyyy 0 (3.14)
xyxyxy zk 0
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
34
2
0
21
xw
xu
x
2
0
21
yw
yv
x (3.15)
yw
xw
yu
xy
xy0
Ou sous forme suivante:
000xnlxlx
000ynlyly (3.16)
000xynlxylxy
Ou sous forme matricielle:
000nll =
0
0
0
xyl
yl
xl
+
0
0
0
nxyl
nyl
nxl
(3.17)
.et
yxwk
ywk
xwk
xy
y
x
2
2
2
2
2
2
qui peut s’écrire sous la forme :
xy
y
x
kkk
k (3.18)
III.4.2 Loi de comportement d'un stratifié
Le stratifié est constitué d'un nombre de couches ou plies unidirectionnelles en
négliges les contraintes dans le sens d'épaisseur de chaque couche, les relation contraintes
déformation dans le système de coordonnées locales des fibres, sont données par:
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
35
3
2
1
33
2221
1211
3
2
1
00
0
0
Q
(3.19)
Les composantes de la rigidité Qij sont donnée par:
221
212
111 1
EQ =212
1
2
1
1 EEE
111
2221
212
222 1
QEEEQ
(3.20)
2212221
212
21212 1
QEQ
1233 GQ
Dans les quelles 121221 ,,, GEE sont les caractéristiques mécaniques d'une couche.
Les relation contraintes _déformation dans le repère globale du stratifié, sont données par:
xy
yy
xx
xy
yy
xx
QQQ
QQQ
QQQ
__
33
__
32
__
31
__
23
__
22
__
21
__
13
__
12
__
11
(3.21)
Les efforts et le moment de la plaque sont liés aux déformations et aux courbures par les
expressions suivantes:
xy
y
x
xy
y
x
M
MMNNN
333231333231
232221232221
131211131211
333231333231
232221232221
131211131211
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
xy
y
x
xy
y
x
kkk
0
0
0
(3.22)
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
36
Et en peut écrire cette expression sous la forme:
KDBBA
MN 0
(3.23)
En notant par ij les contraintes dans le plan, on peut écrire:
2
2
2
2h
hijij
h
hijij
zdzM
dzN
(3.24)
Les rigidité extensionnelle, flexionnelle et de couplage sont définies par:
2
2
__h
hijij dzQA
2
2
__h
hijij zdzQB (3.25)
2
2
2__
h
hijij dzzQD
III.4.3. Energie potentielle de déformation:
Energie potentielle de déformation d'une plaque est donnée par:
v
T dvU 21 (3.26)
Ou v et le volume de la plaque.
En utilisant les relations contraintes –déformations et les relations constituves des stratifiés,
l'énergie potentielle de déformation peut s'écrire:
dkDkBKkBAU TL
TTll
Tl
0000 (3.27)
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
37
Puisque la plaque est supposée être chargées par les résultantes des contrainte
xyyx NNN ,, ,l'énergie potentielle due a une charge extérieures membranaires est donnée par:
dyw
xwN
ywN
xwNV xyyx 2
21
22
(3.28)
L'énergie potentielle due à une charge transversale P repartie sur la surface de la plaque est
donné par:
w(x,y) d
V' p (3.29)
En traduisant les relations (3.22) dans les expressions de l'énergie, on obtient:
ddJqSDS
SBSSBSSASqU
KT
K
TKK
TTT
1
1
1
121
(3.30)
ddJqGNGqV TT
1
1
1
102
1 (3.31)
Ou' J est la matrice Jacobienne
qSl 0 (3.32)
qSk k (3.33)
ywxw
qG (3.34)
yxy
xyx
NNNN
N 0 (3.35)
L'énergie potentielle totale d'une plaque Π est la somme des énergies potentielles de
déformation, et celle des charges extérieures
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
38
Dans le cas de la flexion de la plaque due à un chargement transversale L'énergie potentielle
de déformation donné par:
'U V (3.36)
Dans le cas de grand déformation et l'existence d'un chargement membranaire l'énergie
potentielle totale donné par:
Π = VVU ' (3.37)
III.4.4 PROBLEME DE FLAMBAGE
Problèmes de flambage des plaques, la détermination en avance de la distribution des
contraintes à travers la plaque n'est pas nécessaire. Cependant dans le cas générale et lorsque
les contraintes normales sont non uniformément distribués à travers la plaque, notamment
lorsque la plaque renferme des ouvertures ou subit une variation non uniforme de température
, il sera nécessaire de déterminer la distribution des efforts membranaire comme première
étape dans l'analyse.
Il faut donc déterminer la distribution des efforts membranaire dans il éléments en résolvant
l'équation:
FXK (3.38)
F est le vecteur force global du à un chargement membranaire dans le plan appliqué sur les
bords de la plaque.
Les efforts dans l'élément sont donnés par:
qSBSAN k (3.39)
Où xyyx NNNN ,,'
Dans ce cas la plaque est soumise à un chargement membranaire et le champ des efforts
membranaires dans un élément est donnée par:
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
39
yxy
xyx
NNNN
NN '0 (3.40)
Avec est le paramètre de charge
L'énergies potentielle totale de la plaque données par:
Π=U+V (3.41)
L'équilibre critique signifié de la deuxième variation de l'énergie potentielle totale
Soit:
2 Π = 022 VU (3.42)
Soit :
ddJqSDS
SBSSBSSASq
KT
K
TK
TK
TT1
1
1
1
(3.43)
ddJqGNGq TT
1
1
1
10
2
Avec:
eeeee KKKKK 4321
ddJASK Te
1
1
1
11
ddJSBSK Tk
e
1
1
1
12
ddJSBSK Tk
e
1
1
1
13
ddJSDSK kT
ke
1
1
1
14
eK1 : Matrice de rigidité élémentaire
eK2 Et eK3 : Matrice de rigidité élémentaire de couplage membrane flexion
eK 4 : Matrice de rigidité élémentaire flexionnelle
En remplaçant la matrice des efforts 0N de l'équation (3.43) par la matrice 'N , on obtient:
CHAPITRE III MODELISATION DES PROBLEMES D'INSTABILITE PAR ELEMENT FINIS
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'unesingularité géométrique
40
0 qKqK ge (3.44)
et :
ddJGNGK Teg
1
1
1
1
'
(3.45)
egK et la matrice géométrique élémentaire
L'assemblage des matrices élémentaires, eg
e KK , perme d'obtenir le problème aux valeurs
propres suivant :
XK + XK g =0 (3.46)
Cette relation est nulle quelle que soit le vecteur des déplacements X alors sa résolution et
sa nulle le déterminant de l'expression c'est-à-dire :
DET 0 gKK (3.47)
La résolution de l'équation (3.47) permet d'obtenir les valeurs propres i .
La plus petite des valeurs de i correspondre au coefficient de la charge critique cr .
la matrice des efforts critiques Nocr est égale cr 'N et par conséquent on peut déterminer
la charge critique extérieur appliquée telle que :
crP = cr .P
Avec crP est la charge critique membranaire par unité de longueur.
III.5 Conclusion:
Une fois que l'élément développé par Tati 15 est mis en route. Il est adapté a l'analyse
des instabilités par flambement et cela par son enrichissement avec une matrice des couplage
membrane- flexion nécessaire pour les problèmes des multicouches initiales ainsi que par la
matrice des contrainte initiales k .Dans le prochain chapitre nous allons validé cet élément
par des exemples le mettant en valeur.
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
41
IV.INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MINCES SANS OUVERTURE
Dans ce chapitre nous avants testé sur plusieurs exemples. La fiabilité de
L'élément a 4noeuds pour le calcul des efforts externes en élasticité plane,
Nous vérifions dans cette section l’efficacité de ce programme sur plusieurs exemples de
flambement de plaque pour le calcule la charge critique de flambage.
IV.1 présentation de problèmes
Les plaques étudiées sont des plaques isotropes ou des plaques orthotropes stratifiées,
simplement supportées, les chargements utilisés sont : la compression uniaxiale, la
compression bi axiale et le cisaillement pur.
Avec des sections carrées et rectangulaires a/b = (1, 1.5, 2), les caractéristiques géométriques
a=20cm et b = 20 cm, un'épaisseur de la plaque h = 20 mm et avec des caractéristiques
mécaniques pour le cas isotrope E = 27 /102 cmNx , G = 7692307.7N/cm2 et 3.0
Mais pour le cas stratifié, les caractéristiques mécaniques sont : 52 10123xE N/ 2cm
, 52 102.8 xE N/ 2cm , G = 5101.4 x N/ 2cm et 25.0 .
Cette plaque est composée de six couches avec une épaisseur h = 1,75 mm. Les orientations
des fibres comme suit : des fibres comme suit : [902/0]s, et les chargement utilisés sont : la
compression uni axiale, la compression bi axiale et le cisaillement pur, définis à la figure
(IV.1a). L'état de distribution des efforts internes XYYX NNN ,, (fig IV.1a) se calcule par le
programme d'élasticité plane en utilisant l'élément à 4 noeuds.
Pour les plaques stratifiées orthotropes, nous avons étudié les cas d'une plaque orthotrope
simplement supportée, avec des sections carrées et rectangulaires, les chargements utilisés
sont la compression unie axiale, la compression bi axiale et le cisaillement pur.
Pour chacun des problèmes étudiés, nous avons calculé la charge critique, la convergence de
cette charge critique vers la solution exacte en fonction de nombre N d'élément utilisés, en
comparant les solutions analytiques (Timoshenko et Gere) 16 avec celles obtenues par la
méthode des éléments finis.
Les maillages N généralement utilisés dans cette section sont N=2*4, 4*4,5*5 ,8*8, 10*10
IV.1.a Le cas isotrope :
Les solutions analytiques des charges critiques crN pour les cas étudiés peuvent être
présentées sous forme :Timonchenko et Gere 16 :
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
42
2
2
bDN acr
Timonchenko et Gere 16 (4.1)
Où a est un coefficient qui dépend du rapport ba , du chargement, des conditions d'appui et
l'anisotropie de la plaque.
D: la rigidité flexionnelle des la plaque D=)1(12 2
3
h
b: est le cote de la plaque perpendiculaire ou chargement
a: est le cote de la plaque parallèle ou chargement
Les valeurs de a dans Timoshenko et Gere 16 sont parfois données sous forme
littérale,parfois en valeur numidique; voici les formules littérales que nous avons pu relever
pour les plaques isotropes simplement supportées, soumise au chargement suivantes :
- compression uniaxiale (fig. IV.1a)
22
ba
mn
abma Timoshenko et Gere 16 (4.2)
- Compression biaxiale Yx NN (fig IV.1b)
2
2
22 n
abma Timoshenko et Gere 16 (4.3)
- Cisaillement pur (fig IV.1c)
32
3aba
m n p qqpmn
m nmn
nqnmmnpqaa
bn
ama
)()( 2222
1 12
2
2
2
(4.4)
Ou m q et n q sont des entiers impaire (Timoshenko et Gere 16 )
m, n Représentent dans la formule ci-dessus le nombre de demi-mondes sinusoïdaux
respectivement dans les directions parallèles et perpendiculaires au chargement.
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
43
IV.1.b la plaque stratifiée orthotrope
Pour la plaque stratifiée orthotrope simplement supportée, soumise a' une compression
uniforme sur chaque coté, de résultantes yx NetN , aucune charge latérale n'étant exercé
( 0q ). (fig IV.1a), la valeur analytique crF d'après witney 17 :
- compression uniaxiale (fig.IV.1a)
2222
422
226612
4112 22
RnmaRnDRnmDDmD
N cr
witney 17 (4.5)
R: ba est le rapport longueur sur largeur de la plaque
m; nombre de demi onde sinusoïdales dans la direction parallèle au chargement
n; nombre de demi onde sinusoïdales dans la direction perpendiculaire au chargement
b: est le cote de la plaque perpendiculaire ou chargement
a: est le cote de la plaque parallèle ou chargement
La charge critique de flambement correspond aux valeur de m et n, conduisant au valeur les
plus faible de crN nous étudiant plusieurs type de chargement
-compression unaxiale
Dans le cas d'une compression uniaxiale suivant x, nous avant α =0, et que 311
22
DD
ba
et 02616 AA , 0ijB ij , la charge critique et calculé par l'expression suivante:
witney 17
4422
2226612
41122
2
2 RnDRnmDDmDam
N cr witney 17 (4.6)
Pour m donné, la plus faible valeur de crN est donné pour n=1
2 22
2 12 6622 11xcr 2 2
22 22
D 2DD D b 1 aN m 2D a D bb m
witney 17 (4.7)
311
22
DD
ba et 02616 AA 0ijB ij , la charge critique et calculé par
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
44
L'expression suivante: witney 17
6612
22
2211 DDCb
DDKN cr witney 17 (4.8)
K=19.7, C=2
K et C : cœfficient Dépend des condition d'appuis
- compression biaxiale
Dans le cas d'une plaque carrée soumise à une compression biaxiale sur les deux cotés,
nous avons α=1 et R=1 .l'expression (4.5) devient :
422
226612
411222
2
2 nDnmDDmDanm
N cr
witney 17 (4.9)
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
45
-Nx uniforme sur la plaque -Ny=Nxy=0 Compression biaxial
Fig (IV.1) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation
a/b Maillage 4x2 4x4 5x5 8x8 10x10 crN analytique = a = a/b (m,n)
1
crN x 310 N/cm
1.4241
1.4401 1.4439 1.4459 1.4460 1.4461 4 (1.1)
1.5 1.5015
1.5265 1.5533 1.5674 1.5686 1.569 4.34 (2.1)
2 1.3417
1.3605 1.4156 1.4430 1.4450 1.4461 4 (2.1)
Tableau IV.1 Charge critique de flambage d'une plaque isotrope simplement appuyée
0 yw
0
x
w
0 yw
0
x
w
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
46
1490
1500
1510
1520
1530
1540
1550
1560
1570
1580
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
numérique
Analytique
Fig (IV.1.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément. (a /b)=1.5 Pour une plaque isotrope simplement appuyée
1320
1336
1352
1368
1384
1400
1416
1432
1448
0 16 32 48 64 80 96 112Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
Ncr numérique a/b=1Ncr numérique a/b=2
Ncr analytique
Fig (IV.1.b) Variation de Ncr en fonction de nombre d'élément a /b=1, a/b=2 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée par une
Compression uniaxiale
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
47
Nx=Ny uniforme sur la plaque -Compression biaxial
Fig (IV.2) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation
a/b Maillage 4x2 4x4 8x8 10x10 crN analytique a =a/b (m,n)
1 crN N/cm
713.51
721.45
723.00
723.04
723.04
2 (1.1)
Tableau IV.2: Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une compression biaxiale
0 yw
0 yw 0
x
w
0
x
w
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
48
712
714
716
718
720
722
724
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
Ncr numirique
Ncr analytique
Fig (IV.2.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1
Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par une Compression biaxiale
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
49
- Nxy uniforme sur la plaque Nx=Ny=0 - Cisaillement pur
Fig (IV.3) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation
Tableau IV.3: Charge critique de flambage d'une plaque isotrope Sollicitée Par une cisaillement pur
a/b Maillage 4x4 8x8 10x10 10x16 Ncr analytique err
00
a =a/b (m,n)
1
crN x 310 N/cm
2.9565
3.34071 3.3594 3.3660 3.37682 -0.3 9.35 (1.1)
1.5 2.11779
2.5336 2.5476 2.5734 2.55360 0.77 7.12 (2.1)
2 1.76651
2.3365 2.360 2.3657 2.34268 0.97 6.38 (2.1)
0 xyw
0
y
x
w
0
y
x
w
0 yxw
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
50
2900
2950
3000
3050
3100
3150
3200
3250
3300
3350
3400
0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160
Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
Ncr numériqueNcr Analytique
Fig (IV.3.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée
Par une Cisaillement pur
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160
Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
Ncr numériqueNcr Analytique
Fig (IV.3.b) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1,5 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée Par
Une Cisaillement pur
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
51
800
1250
1700
2150
2600
0 32 64 96 128 160 192
Nombre d'elements
Ncr
(N/c
m) Ncr Numérique
Ncr Analytique
Fig (IV.3.c) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=2 Pour une plaque isotrope simplement appuyée sollicitée
Par une Cisaillement
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
52
Z Y
-
X
- Fig (IV.4)- La plaque stratifiée avec une orientation (90,-90, 0, 0,-90,90)
-Nx uniforme sur la plaque -Ny=Nxy=0 -Compression biaxial
Fig (IV.5) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation
0
x
w
0
x
w
0 yw
0 yw
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
53
a/b Maillage 4x2 4x4 5x5 8x8 10x10 Ncr analytique (m,n)
1 crN
N/cm
23.492
23.60966 23.808 23.8846 23.885 23.885 (2.1)
1.5 21.660
21.689 23.294 23.857 23.885 23.885 (3.1)
2 14.446
20.7088 20.713 23.714 23.850 23.229 (2.1) (2.1)
Tableau IV.4: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée Sollicitée par une compression uniaxiale
18
19
20
21
22
23
24
25
0 16 32 48 64 80 96 112Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
Ncr numérique a/b=1Ncr AnalytiqueNcr numirique a/b=1,5Ncr analytiqueNcr numérique a/b=2Ncr Analytique
(Fig IV.5.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1, a/b=2, a/b=1,5
Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée sollicitée par une compression uniaxiale
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
54
Nx=Ny uniforme sur la plaque -Compression biaxial
(Fig IV.6) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation
a/b Maillage 4x2 4x4 8x8 10x10 Ncr analytique (m, n)
1
crN N/cm
18.106
18.107
18.1217
18.1218
18.1218
(1.1)
Tableau IV.5: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement .. appuyée Sollicitée par une compression
0 yw
0
x
w
0
x
w
0 yw
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
55
18,10418,10618,10818,11
18,11218,11418,11618,11818,12
18,12218,124
0 16 32 48 64 80 96 112
Nombre d'élements
Ncr
(N/c
m)
Ncr numérique
Ncr analytique
Fig (IV.6.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b=1 Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée
Sollicitée Par une compression biaxial
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
56
- Nxy uniforme sur la plaque Nx=Ny=0 - Cisaillement pur
Fig (IV.7) Conditions géométrique en élasticité plane pour simuler les types de sollicitation
a/b Maillage 4x4 8x8 10x10 10x16 analytique 1
crN N/cm
62.383
77.695 78.341 78.6105 ---------
1.5 38.608
67.1602 67.976 69.0862 ---------
2 22.625
60.577 64.388 66.160 ----------
Tableau IV.6: Charge critique de flambage d'une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée
Sollicitée par Cisaillement pur
0 yxw
0
x
y
w
0
x
y
w
0 yxw
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
57
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 30 60 90 120 150 180
Nombre d'elements
Ncr
(N/c
m)
Ncr Numériqie a/b=1
Ncr Numérique a/b=1,5
Ncr Numérique a/b=2
Fig (IV.7.a) Variation de Ncr en fonction de nombre d'éléments a /b Pour une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée sollicitée Par une Cisaillement pur
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
58
VI.1.2Discussion et conclusion: La figures (IV.1.a) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du
nombre d’éléments pour une plaque rectangulaire (a/b = 1.5) simplement supportée et
sollicitée par une charge uni axiale pour un type de matériau isotrope.
Les résultats obtenus, présentés sous forme de courbes, montrent que les résultats numériques
convergent vers la solution analytique. Cela ne nécessite pas d'un maillage N très grand,
généralement un maillage 10X10, et ceci correspond au deuxième mode de flambement.
Pour la figure (IV.1.b) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du
nombre d’éléments pour une plaque carrée et rectangulaire, (a/b = 1,2), simplement supportée
et sollicitée par une charge uni axiale pour un type de matériau isotrope.
En montre que les résultats numériques convergent vers les solutions analytiques. La
convergence des résultats de la charge critique analytique et numérique correspond au premier
monde de flambement pour la section carré, mais par contre pour la section rectangulaire
(a/b = 2) elle correspond au deuxième mode de flambement, mais donne une charge critique
identique.
La figure (VI.2.a) présente la variation de la charge critique ( Ncr ) en fonction du nombre
d’éléments pour une section carrée (a/b = 1) dans le cas d'une plaque simplement supportée
avec un chargement bi axial. La convergence de la charge crique numérique est aussi rapide,
ce qui correspond au premier mode de flambement.
Les figures (VI.3a) (VI.3b) (VI.3c) présentes la variation de la charge critique ( Ncr ) en
fonction du nombre d’éléments pour le cas d'une plaque simplement supportée avec un
chargement de cisaillement pur. Il a fallu un Maillage N =16X10, pour obtenir une erreur de.
-0.3 00 , + 0.77 0
0 et +0.9 00 sur le calcul de la petite charge critique. Cette convergence peut
s'expliquer par la nature de la formule littérale de a (équation (4.4)) qui nécessite la
somation sur plusieurs termes pour obtenir une approximation satisfaisante (Timoshenko et
Gere 15 ).
La figure (IV.5.a), montre sous forme graphique la charge critique en fonction du nombre
d’éléments pour une plaque carrée (a/b = 1) et des plaques rectangulaires (a/b = 1.5) et (a/b =
2), simplement supportée, sollicitée par une charge uni axiale, pour un type de matériau
composite. Nous remarquons que les sections (a/b = 1) et (a/b = 1.5) convergent vers la même
petite charge critique de flambage et avec des modes différents.
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
59
Mais pour la plaque de section rectangulaire (a/b = 2), il y a divergence vers la solution
analytique des plaques (a/b=1) et (a/b=1.5). Ceci peut s'expliquer par la nature de la formule
littérale de Ncr en fonction des paramètres c et k qui dépendent de la nature du chargement
et de la nature des conditions d'appui.
La figure (VI.6.a) présente une section carrée (a/b = 1) pour le cas d'une plaque
simplement supportée, avec un chargement biaxial. La convergence de la charge crique
numérique est aussi rapide, ce qui correspond au premier mode de flambement.
La figures (VI.7.a) montre la variation de Ncr en fonction du nombre d'éléments a /b pour
une plaque orthotrope stratifiée simplement appuyée, sollicitée par un cisaillement pur. On
voit que la courbe converge lentement vers une valeur bien déterminée, et que le flambage
des plaques stratifiées est un sujet très compliqué, alors on ne trouve de solution analytique
que pour quelque cas de stratifiés.
Conclusion:
A la lumière des cas classiques étudiés, nous concluons que le programme qu'on a étilisé
pour l'étude de l'instabilité élastique des plaques minces isotropes et orthotropes stratifiés
donne de très bons résultats pour le calcul de la charge critique.
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE ….. GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
60
IV.2 LES PLAQUES AVEC OUVERTURE :
IV-2.1 INTRODUCTION: Le besoin des ouvertures dans les sous composantes qui sont des plaques est nécessaire
pour des considérations pratiques. Par exemple les ouvertures dans les plaques composant les
structures spatiales sont utilisées comme des accès aux lignes hydrauliques. Il est toujours
nécessaire d'avoir des ouvertures loin du centre de la plaque.
Cela est souvent le cas des récipients contenant des liquides où il est nécessaire de permettre
le passage du liquide d'une chambre à une autre à travers des valves positionnées près du fond
de la partition. fig (IV.8 et 9)
IV.2.2 Présentation du problème :
Dans ce qui suit on analyse l'effet du degré d'excentricité d'un trou carré sur la charge
critique de flambage des plaques carrée (a/b = 1) et rectangulaire (a/b = 1,5) isotropes et
orthotropes stratifiées.
Pour les plaques carrée et rectangulaire avec une singularité carrée excentrée, nous avons
étudié le cas d'une plaque simplement supportée soumise à une compression uni axiale, et à
un cisaillement pur, fig. (IV. 8et9).
Pour chacun des problèmes étudiés, nous avons calculé la charge critique et comparé avec la
plaque sans défaut.
Le deuxième problème est l'étude de la variation de la charge critique de flambage d'une
plaque carrée et rectangulaire isotrope et orthotrope stratifiée avec une ouverture carrée
centrée. On considère le cas de chargement uni axiale pour les plaques simplement appuyées.
La taille de l'ouverture est exprimée par le paramètre non dimensionnel d/b, fig. (V.10) tel
que :
a - cote de la plaque parallèle au chargement.
d- longueur de l'ouverture perpendiculaire au chargement.
Remarque: on garde les mêmes caractéristiques géométriques et mécaniques des plaques
[chapitre (IV.4.1)]
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE ….. GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
61
- Nx uniforme sur la plaque avec une excentricité -Nx uniforme sur la plaque avec une excentricité
Position 1 position 2
-Compression uniaxiale
Fig (IV.8) Types de sollicitation utilise pour l étude de flambage avec singularité
a/b
Position 1 Position 2
1
310Fcrx 2/ cmN 1.30333 1.30333
1.5
1.3884 1.3884
Tableau (IV.7)- Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en . compression uniaxiale
a/b
Position 1 Position 2
1
Fcr 2/ cmN 19.4951 19.4951
1.5
19.6664 19.6664
Tableau (IV.8) Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en . compression uniaxiale
1
2
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUES MUNIES D'UNE SINGULARITE ….. GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
62
Position 1 position 2 Cisaillement pur Fig (IV.9) Types de sollicitation utilise pour l étude de flambage avec singularité
a/b
Position 1 Position 2
1
310Fcrx 2/ cmN 1.8986 1.8986
1.5
1.7174 1.7174
Tableau (IV.9) Cas isotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en cisaillement pur
a/b
Position 1 Position 2
1
Fcr 2/ cmN 36.1559 36.1559
1.5
33.915 33.915
Tableau (IV.10) Cas orthotrope la variation Fcr en fonction de la position de trou en Cisaillement pur
1 2
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE . . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
63
Fig V.10 La discrétisation d'une plaque carré Pour d/b=(0.2-0.4)
b
a
u= w = 0
v = w = 0
z
h y
x a) Simplement appuyée
Fig(V.11) Géométrie de la plaque et condition aux limites
b
a
z
h y
x
b) Encastrée u=v=w=0
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE . . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
64
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
b/d
Fcr (
N/c
m)
simplement appuis
encastrement
Fig IV.12 La variation Fcr en fonction b/d pour le cas isotrope (a/b=1)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7b/d
Fcr (
N/c
m)
simplementappuisEncastrement
Fig IV.13 La variation fcr en fonction b/d pour le cas isotrope a/b=1.5
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE . . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
65
05
10152025303540455055606570
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8b/d
Fcr
(N/c
m)
simplement appuis
encastrement
Fig IV.14 La variation fcr en fonction b/d pour le cas stratifié a/b=1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7b/d
Fcr (
N/c
m)
simplementappuisencastrement
Fig IV.15 La variation fcr en fonction b/d pour le cas stratifié (a/b=1.5)
CHAPITRE IV INSTABILITE ELASTIQUE DES PLAQUE MUNIES D'UNE SINGULARITE . . GEOMETRIQUE
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munies d'une singularité géométrique
66
VI.2.2 Discussion et conclusion Les tableaux (IV.7-8-9-10) montre l'effet du degré d'excentricité d'un trou carré sur la
charge critique de flambage d'une plaque carrée (a/b=1) et rectangulaire (a/b=1.2) isotrope et
orthotrope simplement supportée soumise a un chargement uniaxiale, et un cisaillement pur
on observe que la charge critique de flambement décroît dans le cas du degrés d'excentricité
e/b par apport a la plaque sont ouverture.
Les figures (IV.12) (IV.13) présente la variation de la charge critique en fonction de la
dimension de l'ouverture (d/b) pour le cas d'une plaque carré a/b=1 et rectangulaire a/b=1.5
simplement supportée et encastrée pour le cas isotrope les résultats montre pour le cas d'une
plaque carré simplement supporté avec l'ouverture d/b=0.2 la charge critique de flambage
croit d'une manière rapide puis elle décrois progressivement.
Mais par contre pour la plaque rectangulaire a/b=1.5 elle croit jusqu a quelle arrive d/b =0.6.
Le cas de l'encastrement les deux courbe présente les même allures elle décrois jusqu a
d/b=0.2 puis elle crois progressivement jusqu a d/b=0.6
Les figures (IV.14) (IV.15) présente la variation de la charge critique en fonction de la
dimension de l'ouverture (d/a) pour le cas d'une plaque carré a/b=1 et rectangulaire a/b=1.5
simplement supporté et encastre pour le cas des plaques orthotrope elle présente presque les
même allure que celle des plaques isotope sauf Pour la plaque a/b=1.5 simplement supportée
elle décroît de départ.
Conclusion:
Dans ce chapitre, on a une analyse de quelques cas des plaques munies des
singularités centrées et excentrées. Au cours de l'analyse, certains résultats montre que la
présence d'ouverture dans certaines conditions d'appuis augmente la charge critique de
flambement par rapport à celle relatives aux plaques pleines correspondantes. Les résultats ont
aussi montré que la position de l'ouverture peut avoir une influence directe sur la valeur de la
charge critique dans certaines mesures.
Instabilité par flambage élastique des plaques stratifiées munis de singularité géométrique
67
CONCLUSION GENERALE
Pour l'analyse du comportement de flambage des plaques minces stratifiées en
matériaux composites, on a présenté un élément fini de type coque à 4 nœuds et 32 degrés de
liberté. Pour établir le comportement, on a adopté le modèle monocouche équivalente qui
consiste à déterminer le comportement de la plaque à partir des caractéristiques mécaniques
des couches constituant cette plaque considérée comme une seule couche équivalente.
La cinématique adoptée est celle de la théorie classique des stratifiés qui est l'extension de la
théorie de kirshhoff. Cette théorie ne tient pas compte des déformations dues au cisaillement
transverse.
Les variables nodales sont divisées en deux types:
les déplacements membranaires dans le plan de l'élément membranaire
isoparamétrique, qui sont interpolés par des fonctions bilinéaires.
Le déplacement transversal hors plan et ses dérivées hors plan de l'élément et ses
dérivées hors plan de l'élément plaque de type Hermet.
Dans le quatrième chapitre l'élément a été testé dans l'analyse du comportement de flambage
des plaques isotropes et stratifiées. Les résultats obtenus à travers une série d'exemples et
comparés à ceux obtenus analytiquement ont montré la bonne performance de l'élément,
notamment dans le cas de la plaque stratifiée (a/b) = 2 . La charge critique de flambage
converge vers la valeur analytique de celle de la plaque (a/b) = 1et 1.5, mais avec un mode
différent, le cas d'une compression uniaxiale simplement supporté.
Nous avons montré que la précision pour le calcul de la charge critique, diminuant pour le cas
de la plaque a/b = 1 et augmentant dans le cas des plaques (a/b) = 1.5 ou 2, tend vers la
solution analytique en fonction du nombre de maillage N pour le cas des plaques soumise à du
cisaillement pur.
En suite, nous avons montré l'effet d'une ouverture carrée excentrée sur les plaques carrées
ou rectangulaires sollicitées par une compression uniaxiale. Au cisaillement pur, la charge
critique de flambage décroît.
Pour le cas des plaques stratifiées, l'effet de la dimension de l'ouverture dépend du type de
conditions aux limites. La charge critique de flambage croit avec l'augmentation de la
dimension de l'ouverture, bien qu’elle garde la même allure pour le cas des plaques
simplement appuyées.
Bibliographie 1 Martin, James: Buckling and Postbuckling of Laminated Composite Square Plates With Reinforced Central Holes. Ph.D. Diss., Case Western Reserve Univ, 1972. 2 Knauss, J. F.; Starnes, J. H., Jr.; and Henneke, E. G., II: The Compressive
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