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Università degli Studi di Udine e PordenoneFacoltà di Ingegneria

Laboratorio di Fisica II

www.webalice.it/isidoro.sciarratta

isLab Fisica - Ing. PN 3

AVVISO!Le regole di laboratorio, come pure le schede di

laboratorio, si trovano sul sito del

Dr. Diego Cauz

all’indirizzo

www.fisica.uniud.it/~cauz/

Leggere con attenzione!

isLab Fisica - Ing. PN

CARATTERISTICHE V-I DI UN ELEMENTO OHMICO E

DEL FILAMENTO DI UNA LAMPADINA


premessa(esperimento 1-1, slide 12...25)

5


cifre significativeDicesi "gruppo di ci!e significative” quello che inizia da sinistra con la prima cifra non nulla e termina a destra con l'ultima cifra nota, fosse anche uno zero.- Il prodotto (o il quoziente) di una misura per un numero adimensionale deve avere lo stesso grado di approssimazione (ovvero lo stesso numero di cifre dopo la virgola) della misura di partenza.

- La somma (o la differenza) di due misure note presenta lo stesso numero di cifre dopo la virgola della misura meno precisa.

- Dalla teoria della propagazione degli errori discende che, almeno in prima approssimazione, le cifre significative del prodotto come quelle del quoziente fra due misure note non devono mai superare quelle della misura nota meno precisa.

6


scheda di laboratorio

7


CARATTERISTICHE V-I DI UN ELEMENTO OHMICO E

DEL FILAMENTO DI UNA LAMPADINA

• Rilevazione mediante il metodo volt-amperometrico delle caratteristiche tensione-corrente (I vs V) di un elemento ohmico (verifica della legge di Ohm) e del filamento di una lampadina ad incandescenza.

• La prima parte dell’esperienza comprende anche la determinazione della resistenza R dell’elemento ohmico mediante un’analisi statistica dei dati sperimentali.

8

LabFisica - Ing. PN-UD is

Cenni teorici

9

• Sulla base delle conoscenze acquisite e delle nozioni impartite nella lezione teorica propedeutica alla presente esperienza di laboratorio, riportare (sinteticamente) gli elementi della teoria degli errori e del metodo di regressione utilizzato nell’elaborazione dei dati sperimentali.


Elemento Ohmico

10

• Sulla base degli intervalli di variabilità di tensione e corrente compatibili con l’elemento ohmico utilizzato, effettuare perlomeno 10-12 misure. Riportare quindi:

• tabella dei dati ottenuti;• grafico, includente:

• punti sperimentali (con relativi errori) corrispondenti alle misure effettuate (IvsV) ;

• retta ottenuta tramite fit (con il metodo dei minimi quadrati) dei dati sperimentali;

• valore della resistenza stimato tramite il fit e relativo errore.


Lampada

11

Sulla base degli intervalli di variabilità di tensione e corrente compatibili con la lampadina utilizzata, effettuare perlomeno 7-10 misure.

Riportare quindi:

• tabella dei dati ottenuti;

• grafico dei punti sperimentali (con relativi errori) corrispondenti alle misure effettuate (Ij in funzione di Vj) ;

• grafico della resistenza del filamento in funzione di V (Rj = Vj /Ij).


• studio della curva caratteristica del conduttore ohmico

• definire la misura della resistenza del conduttore in vari modi:• valore nominale• misura diretta con il tester• calcolo dell’errore assoluto con il metodo della semidifferenza• calcolo dell’errore assoluto con il metodo dello scarto quadratico medio• calcolo dell’errore assoluto con il metodo della regressione e relativa incertezza standard

• studio della curva caratteristica della lampada

• studio della curva caratteristica della lampada con metodo on-line

• Individuare la misura del valore R0 del filamento della lampada a temperatura ambiente:• eseguendo la misura diretta con il tester• attraverso la curva caratteristica che meglio approssima i dati sperimentali raccolti

12

compiti da svolgere


• uso delle cifre significative

• definire la misura di una grandezza in modo completo e corretto

13

dedicare particolare attenzione a


come condurre gli esperimenti ...

14


Materiali e strumenti

15

• alimentatore in c.c.

• 2 tester o strumenti universali

• resistenza ohmica

• lampadina

• cavetti di collegamento


alimentatore in c.c. - PN

CARATTERISTICHE 2 uscite da 0÷16 V 0÷5A

16


alimentatore in c.c. - UD

CARATTERISTICHE 2 uscite da 0÷6 V 0÷5A

0÷25V 0÷1A17


Di ogni elemento, componente o strumento che sia, è necessario analizzare le proprietà e le caratteristiche più significative da cui far scaturire, in seguito, il livello di precisione delle varie misure. Ad esempio:- per un componente

live$o di precisione, ,tensione di lavoro, corrente massima;- per uno strumento

fs = fondo scala, n. di divisioni principali e secondarie, eventuale classe de$o strumento; dire anche se analogico o digitale

- per un alimentatore:tensione massima, corrente massima erogabili, precisione di lettura di entrambe le grandezze

Componenti, strumenti, alimentatori

18


Multimetro analogico “ICE Supertester 680R” Resistenza interna = 20 KΩ/Vcc - Classe 2

Portata = 10 V ; Divisioni fondo scala (δfs) = 50 ; Sensibilità = 0,2 V

19


Multimetro digitale“Extech

Multimeter 410”

Portata = 200 mA Sensibilità = 0,1 mA Portata = 20 A Sensibilità = 0,01 A

20


Cassetta resistenze (70) “Centrad”

LampadaTensione = 12 V Corrente = 0,25 A

1KΩ−10WResistenza di Potenza

21


M = tolleranza minore del 20%K = tolleranza minore del 10%J = tolleranza minore del 5%


CARATTERISTICHE I vs V DI UN ELEMENTO OHMICO E

DEL FILAMENTO DI UNA LAMPADINA Lo scopo principale dell’esperimento è quello di rilevare le caratteristiche IvsV dei due componenti circuitali.La misura si basa, in particolare, sul metodo volt-amperometrico riassunto dal circuito schematizzato qui a fianco.

25


A seconda che tra i morsetti a e b venga inserito l’elemento ohmico o la lampadina, si tratta di effettuare una serie di misure di intensità di corrente tramite l’amperometro (A) e di d.d.p. tramite il voltmetro (V) indicati nello schema. Riportando in grafico i dati così raccolti si otterrà un andamento della caratteristica I vs V dei due elementi circuitali.

26


foto con i circuiti da realizzare

27


schema del circuito

28


Nel collegare i vari componenti come pure gli strumenti di misura al circuito, porre attenzione alle polarità presentate dai vari elementi: seguire il senso del campo elettrico

attenzione alle polarità

29


componente ohmico

30

valore nominale misura col testersensibilità 1 Ω

R = 220 ±11( )Ω R = 216 ±1( )Ω


dati raccolti col precedente conduttore

n ∆V (V) I (A)

1 0,0 ± 0,1 0,000 ± 0,002

2 1,0 0,005

3 2,0 0,009

4 3,0 0,014

5 4,0 0,018

6 5,0 0,023

7 6,0 0,028

8 7,0 0,033

9 8,0 0,037

10 9,0 0,042

11 10,0 0,046

Riportando in grafico i dati raccolti come descritto sopra, si ottiene unandamento della caratteristica I vs V dei due elementi circuitali.

31


elaborazione dei dati

32

LabFisica - Ing. PN-UD is33

1. il valore medio della grandezza

2. l’intervallo di confidenza;

Si ribadisce che la misura di una grandezza consta di:


Primo modo di associare l’intervallo di confidenza

alla misura della resistenza

34

n Vn (V) I (A) R (Ω)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 ± 0,1 0,000 ± 0,001

1,0 0,005 200

2,0 0,009 222

3,0 0,014 214

4,0 0,018 222

5,0 0,023 217

6,0 0,028 214

7,0 0,033 212

8,0 0,037 216

9,0 0,042 214

10,0 0,046 217

55 0,255 2150

5,5 0,026 215

R = (R ± δ ) = 215 ±11( )Ω

Rmin = 200Rmax = 222

δ =Rmax − Rmin

2= 11


Secondo modo di associare l’intervallo di confidenza alla misura della resistenza: si basa

sull’uso dello s. q. m.

n Vn (V) I (A) V/I Rn-R (Rn-R)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

∑

vm

0,0 ± 0,1 0,000 ± 0,001

1,0 0,005 200 -15,0 226,3

2,0 0,009 222 7,2 51,6

3,0 0,014 214 -0,8 0,6

4,0 0,018 222 7,2 51,6

5,0 0,023 217 2,3 5,5

6,0 0,028 214 -0,8 0,6

7,0 0,033 212 -2,9 8,5

8,0 0,037 216 1,2 1,4

9,0 0,042 214 -0,8 0,6

10,0 0,046 217 2,3 5,5

55 0,255 2.150 -0,0 352,0

5,5 0,026 215

R = (R ±σ ) = 215 ± 7( )Ω

σ =

(Ri − R)2

i=1

n

∑n −1

=3529

; 7

35


grafico dei punti sperimentali

In questo caso la caratteristica IvsV corrisponde ad una retta passante per l’origine la cui pendenza (coefficiente angolare) non è altro che il reciproco della resistenza R del conduttore.

36

0

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

curva caratteristica di un conduttore ohmico

I (A

)

V (V)


linea di tendenza

37

0

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

curva caratteristica del conduttore ohmicoI

(A)

V (V)


altri metodi per definire l’intervallo di confidenza da associare alla

misura

38


regressione lineareApplicando il criterio dei minimi quadrati all’equazione

si ottiene il seguente sistema di equazioni normali, la cui soluzione porta ad individuare i coefficienti a e b. Si ha

y = a + b ⋅ x

retta di regressione di y rispetto a x

a =yi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟xi2

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− xi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟xiyi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

n xi2 − xi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

i=1

n

∑

b =n xiyii=1

n

∑ − xii=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟yi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

n xi2 − xi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

i=1

n

∑

yii=1

n

∑ = an + b xii=1

n

∑

xiyii=1

n

∑ = a xii=1

n

∑ + b xi2

i=1

n

∑

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

39


retta di regressionen Vn (V) I (A) (Vn)2 (In)2 (Vn)∙(In)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 ± 0,1 0,000 ± 0,001

1,0 0,005 1 0,000025 0,005

2,0 0,009 4 0,000081 0,018

3,0 0,014 9 0,000196 0,042

4,0 0,018 16 0,000324 0,072

5,0 0,023 25 0,000529 0,115

6,0 0,028 36 0,000784 0,168

7,0 0,033 49 0,001089 0,231

8,0 0,037 64 0,001369 0,296

9,0 0,042 81 0,001764 0,378

10,0 0,046 100 0,002116 0,46

55 0,255 385 0,008277 1,785

5,5 0,026

40


calcoli per la retta di regressione e per il relativo coefficiente di correlazione

a =yi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟xi2

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− xi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟xiyi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

n xi2 − xi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

i=1

n

∑=0.255 ⋅ 385 − 55 ⋅1.785

10 ⋅ 385 − 552; 0

b =n xiyii=1

n

∑ − xii=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟yi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

n xi2 − xi

i=1

n

∑⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

i=1

n

∑=10 ⋅1.785 − 55 ⋅0.225

10 ⋅ 385 − 552= 0.0046

pertanto la retta di regressione ha equazione:

V = 0.0046 ⋅ I41


retta di regressione

0

0,013

0,025

0,038

0,050

0 2,75 5,50 8,25 11,00

y = 0,0046x - 1,242E-10

curva caratteristica di un conduttore ohmicoI (

A)

∆V (V)

42


coefficiente di correlazionePer valutare la bontà dell’adattamento di una curva ad una serie di punti sperimentali si calcola un numero puro r, che può assumere valori compresi tra -1 ed 1. Esso è detto coefficiente di correlazione. Nel caso di una regressione lineare è dato da:

r =xi − X( ) yi −Y( )

i=1

n

∑

(xi − X)2

i=1

n

∑ (yi −Y )2

i=1

n

∑

43


Coefficiente di correlazionen Vn (V) I (A) (Vn)2 (In)2 (Vn)∙(In) (Vn-V) (In-I) (Vn-V)2 (In-I)2 (Vn-V)*(In-I)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 ± 0,1 0,000 ± 0,001

1,0 0,005 1 0,000025 0,005 -4,5 -0,0205 20,25 0,0004203 0,09225

2,0 0,009 4 0,000081 0,018 -3,5 -0,0165 12,25 0,0002723 0,05775

3,0 0,014 9 0,000196 0,042 -2,5 -0,0115 6,25 0,0001323 0,02875

4,0 0,018 16 0,000324 0,072 -1,5 -0,0075 2,25 5,625E-05 0,01125

5,0 0,023 25 0,000529 0,115 -0,5 -0,0025 0,25 0,0000063 0,00125

6,0 0,028 36 0,000784 0,168 0,5 0,0025 0,25 0,0000062 0,00125

7,0 0,033 49 0,001089 0,231 1,5 0,0075 2,25 5,625E-05 0,01125

8,0 0,037 64 0,001369 0,296 2,5 0,0115 6,25 0,0001323 0,02875

9,0 0,042 81 0,001764 0,378 3,5 0,0165 12,25 0,0002723 0,05775

10,0 0,046 100 0,002116 0,46 4,5 0,0205 20,25 0,0004203 0,09225

55 0,255 385 0,00828 1,785 0 -1,4E-17 82,5 0,00177 0,3825

5,5 0,026

44


calcoli per il coefficiente di correlazione

r =xi − X( ) yi −Y( )

i=1

n

∑

(xi − X)2

i=1

n

∑ (yi −Y )2

i=1

n

∑=

0.382582.5 ⋅0.002

= 0.9416

mentre

r2 = 0.8867

detto coefficiente di determinazione

45


Un ulteriore metodo per controllare la bontà dell’adattamento della

curva interpolante si basa sull’uso della incertezza standard

46


incertezza standard della stima di I in VÉ utile poter stabilire quanto bene una curva interpolante si adatti ad una serie di punti sperimentali. Ciò suggerisce di valutare una incertezza standard de$a stima di y in x. Tale stima è così definita:

dove• yi = ordinate punti sperimentali• Yi = ordinate dei corrispondenti punti sulla curva teorica• n = numero totale di dati sperimentali• c = numero di parametri calcolati

Sy= f (x ) =(yi −Yi )

2

i=1

n

∑n − c

Sy= f (x ) =(yi −Yi )

2

i=1

n

∑n − c

=0.0000016

8= 0.000447

47


trattamento dei dati per calcolare l’incertezza standard della stima di I in V

n Vn (V) I (A) (Vn)2 (In)2 (Vn)∙(In) (Vn-V) (In-I) (Vn-V)2 (In-I)2 (Vn-V)*(In-I) f(Vn) Vn-f(Vn) [Vn-f(Vn)]2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0 ± 0,1 0,000 ± 0,0011,0 0,005 1 2,5E-05 0,005 -4,5 -0,0205 20,25 0,00042 0,09225 0,0046 0,0004 0,00000016

2,0 0,009 4 8,1E-05 0,018 -3,5 -0,0165 12,25 0,00027 0,05775 0,0092 -0,0002 0,00000004

3,0 0,014 9 0,0002 0,042 -2,5 -0,0115 6,25 0,00013 0,02875 0,0138 0,0002 0,00000004

4,0 0,018 16 0,00032 0,072 -1,5 -0,0075 2,25 0,00006 0,01125 0,0184 -0,0004 0,00000016

5,0 0,023 25 0,00053 0,115 -0,5 -0,0025 0,25 0,00001 0,00125 0,023 0 0

6,0 0,028 36 0,00078 0,168 0,5 0,0025 0,25 0,00001 0,00125 0,0276 0,0004 0,00000016

7,0 0,033 49 0,00109 0,231 1,5 0,0075 2,25 0,00006 0,01125 0,0322 0,0008 0,00000064

8,0 0,037 64 0,00137 0,296 2,5 0,0115 6,25 0,00013 0,02875 0,0368 0,0002 0,00000004

9,0 0,042 81 0,00176 0,378 3,5 0,0165 12,25 0,00027 0,05775 0,0414 0,0006 0,00000036

10,0 0,046 100 0,00212 0,46 4,5 0,0205 20,25 0,00042 0,09225 0,046 0 0

55 0,255 385 0,008 1,785 0 -1E-17 82,5 0,002 0,3825 0,253 0,002 0,00000165,5 0,026

48


Significato dell’incertezza Standard

Sy= f (x )

Sy= f (x )

x

y

circa il 68% dei punti sperimentali è compreso fra le due rette tratteggiate

49


la bontà dell’adattamento della retta di regressione ai dati sperimentali

porta ad individuare un terzo modo per stimare la misura della resistenza:

essa è data (in questo caso) dal reciproco del coefficiente angolare

della retta di regressione

50

R = 10,0046

± ...⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 217 ± ...( )Ω


un approfondimento

51


Ripetere con la lampada

54


dati raccolti con una lampada

55

n ∆Vt (V) I (mA)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

0,0 ± 0,1 0 ± 3

0,2 28

0,4 36

0,6 43

0,8 48

1,0 54

1,6 68

2,0 77

2,6 89

3,0 96

3,6 108

4,0 114

5,0 130

6,0 145

7,0 158

8,0 168

9,0 180

10,0 190

11,0 200

12,0 210

13,0 220

14,0 228

15,0 237


Andamento grafico dei punti sperimentali

0

50

100

150

200

250

300

0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0

andamento cc lampadaI

(mA)

V (V)

56


linea di tendenza

0

50

100

150

200

250

300

0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0


(mA)

V (V)

57


pendenza della linea di tendenza

0

50

100

150

200

250

300

0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0


(mA)

V (V)

58


elaborazione dati

lampada

n ∆Vt (V) I (mA) ∆Vt (V) I (mA) K=I·10-3/V R (Ω)

1234567891011121314151617181920212223

0,0 ± 0,1 0 ± 3

0,2 28 0,2 28 0,140 7,1

0,4 36 0,2 8 0,040 25,0

0,6 43 0,2 7 0,035 28,6

0,8 48 0,2 5 0,025 40,0

1,0 54 0,2 6 0,030 33,3

1,6 68 0,6 14 0,023 42,9

2,0 77 0,4 9 0,023 44,4

2,6 89 0,6 12 0,020 50,0

3,0 96 0,4 7 0,018 57,1

3,6 108 0,6 12 0,020 50,0

4,0 114 0,4 6 0,015 66,7

5,0 130 1,0 16 0,016 62,5

6,0 145 1,0 15 0,015 66,7

7,0 158 1,0 13 0,013 76,9

8,0 168 1,0 10 0,010 100,0

9,0 180 1,0 12 0,012 83,3

10,0 190 1,0 10 0,010 100,0

11,0 200 1,0 10 0,010 100,0

12,0 210 1,0 10 0,010 100,0

13,0 220 1,0 10 0,010 100,0

14,0 228 1,0 8 0,008 125,0

15,0 237 1,0 9 0,009 111,159


Andamento della resistenza della lampada

0

25

50

75

100

125

150

0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0

R vs V

R (o

hm)

V (V)

60


Commenti finali

64


Complementi

65


Elaborazione datiRelativamente alla prima parte dell’esperienza, i dati ottenuti tramite le misure richiedono una ulteriore elaborazione. In effetti, per ottenere una valutazione accurata della resistenza si deve procedere ad analizzare i dati sperimentali attraverso il metodo dei minimi quadrati.In generale, tale metodo permette di interpolare i dati sperimentali con una funzione teorica (lineare o no) dipendente da vari parametri (derivanti dal modello teorico utilizzato). Il metodo si basa su$a minimizzazione, rispetto ai parametri suddetti, de$a quantità 2 corrispondente alla somma degli scarti quadrati tra i valori sperimentali e teorici delle quantità misurate. A seconda dei casi gli scarti vengono pesati tramite i rispettivi errori sperimentali.Nel nostro caso, la supposizione che i dati sperimentali si debbano allineare su una retta passante per l’origine, ci porta a scegliere la funzione teorica y(x) = mx, dove m (che costituisce il nostro unico parametro) è il coefficiente angolare della retta stessa.

66


Quindi, se indichiamo con (xj, yj) le N coppie di misure (nel nostro caso xj = Ij e yj = Vj), il corrispondente 2 sarà dato dalla sommatoria

67

χ 2 (m) =yj −mxj( )2σ yj2

j=1

N

∑

dχ 2

dm= −2

yj −mxj( )x jσ yj2

j=1

N

∑ = −2x jyjσ yj2

j=1

N

∑ −mx2jσ yj2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0

m =

x jyjσ yj2

j=1

N

∑x2jσ yj2

j=1

N

∑

dove σyj corrisponde all’errore di misura della quantità yj, supposto che gli errori sulle misure xj siano trascurabili.La minimizzazione del χ2, come per ogni altra funzione, viene determinata imponendo che la sua derivata rispetto al parametro m si annulli. In pratica:

dalla quale si ottiene:


Corrispondentemente, l’errore sulla stima del parametro m può essere calcolato attraverso la teoria della propagazione degli errori, secondo la seguente relazione:

che ci dà

σ m2 =

∂m∂yj

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥j=1

N

∑2

σ yj2 =

1

x2jσ yj2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

x jσ yj2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥j=1

N

∑2

σ yj2 =

1

x2jσ yj2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

x2jσ yj4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥j=1

N

∑ σ yj2 =

1x2jσ yj2

j=1

N

∑

σ m =x2jσ yj2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1


E’ importante osservare che nel caso in cui si sia scelto

ovvero le misure di tensione risultano più imprecise di quelle di corrente, il parametro m appena ottenuto costituisce la migliore stima della resistenza R. Pertanto avremo:

R =

I jVj

σVj2

j=1

N

∑I 2jσVj2

j=1

N

∑σ R =

I 2jσVj2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1

x j;yj( ) = I j;Vj( )σ yj

=σVj


Nel caso in cui, invece, si sia scelto

x j;yj( ) = Vj; I j( )σ yj

=σ I j

ovvero le misure di corrente risultano più imprecise di quelle di tensione, il valore stimato per m corrisponde alla migliore stima del reciproco di R. Ossia:

R = 1m=

I jVj

σVj2

j=1

N

∑I 2jσVj2

j=1

N

∑σ R =

∂R∂m

σ m = R2σ m =

V 2j

σ I j2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3/2

VjI jσ I j2

j=1

N

∑⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2


Bibliografia

71

1. Caporaloni, Ambrosini - La misura e la valutazione della sua incertezza nella fisica sperimentale - Zanichelli

2. John R. Taylor - Introduzione all’analisi degli errori - Zanichelli

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