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Università degli Studi di Genova

Facoltà di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

FILTRI ANALOGICI E DIGITALI 1

Prof. Mauro Parodi

Corso di Filtri Analogici e Digitali 1 – Prof. Mauro Parodi 2

Ringraziamento Queste note ricoprono la quasi totalità delle lezioni del corso di “Filtri Analogici e Digitali 1” e costituiscono la trascrizione delle pagine scritte a mano che distribuii durante lo svolgimento delle lezioni. Si tratta di un lavoro completamente dovuto all’iniziativa personale degli studenti Mauro Gaggero, Orlando Mocci e Matteo Pognani. Infatti, dopo avere superato l’esame finale, essi mi proposero la trascrizione delle note e si offrirono di compierla, dedicandovi i pochi ritagli di tempo libero consentiti dagli studi. Gli studenti che seguiranno le mie lezioni nell’avvenire faranno meno fatica: questo è il primo frutto del loro impegno. Il loro sforzo esprime una sensibilità non comune per la didattica e un interesse per gli argomenti del corso che non soltanto mi dà molta gioia, ma mi incoraggia a svolgere al meglio il mio lavoro di insegnante. A loro, dunque, esprimo tutta la mia gratitudine.

Mauro Parodi

Genova, 8 Marzo 2004


Indice

1 Proprietà generali di un bipolo RLCM .......................................................................... 4

2 Operazioni elementari di sintesi .................................................................................... 9

3 Immettenze LC ........................................................................................................... 13

4 Immettenze RC........................................................................................................... 21

5 Normalizzazione e denormalizzazione ........................................................................ 29

6 Sintesi di filtri doppiamente terminati ......................................................................... 36

7 Richiami di teoria delle linee....................................................................................... 50

8 Variabile di Richards .................................................................................................. 56

9 Filtri attivi RC............................................................................................................. 61

10 Qualche nota sulla funzione passa banda del secondo ordine .................................... 73

11 Simulazioni di reti a scala LC con reti attive (FDNR) ............................................... 75

12 Sintesi mediante strutture accoppiate ........................................................................ 80

13 Circuiti numerici e trasformata Zeta.......................................................................... 84

14 Teorema di Cohn.................................................................................................... 100

15 Sensibilità............................................................................................................... 102

16 Dipendenza bilineare .............................................................................................. 104

17 Il metodo della rete aggiunta................................................................................... 111

18 Rete aggiunta e sensibilità per l’impedenza fra due punti di un circuito................... 120

19 Un cenno al progetto di filtri tramite ottimizzazione................................................ 124


+∞−=

0

)()( dtetisI st +∞−=

0

)()( dtetvsV st

1 Proprietà generali di un bipolo RLCM

Se i componenti sono inizialmente nello stato

zero e se v(t), i(t) sono L- trasformabili, si ha:

Se il bipolo è definito su base corrente, si ha

ancora:

)(

)()(

sI

sVsZ =

ove:

V(s) = “risposta”

I(s)= “assegnata”

La struttura di Z(s) è sempre riconducibile a quella di un RAPPORTO DI POLINOMI in s:

1) per s ∈ ℜ , gli integrali che definiscono I(s) e V(s) sono reali anche ( )sZ ∈ ℜ .

Conseguenza: 0a , ... , na ; 0b , ... , mb sono reali.

2) Il bipolo è passivo. Allora in regime sinusoidale, la potenza attiva entrante deve

essere ≥ 0. Ponendo dunque ωjs = nella ( )sZ , deve essere

3) Se qualcuno dei componenti all’interno del bipolo è inizialmente carico, la tensione

( )tv0 a circuito aperto fra A e B evolverà secondo frequenze libere che sono poli di

( )sZ .

0)(Re2

1

0)(Re

2 ≥

=

≥

⋅

⋅

ω

ω

jZ

jZIp

022

110

022

110

...

...

)(

)()(

sbsbsbsb

sasasasa

sq

spsZ

mmmm

nnnn

++++++++== −−

−−

022

110

022

110

...

...

)(

)()(

sbsbsbsb

sasasasa

sq

spsZ

mmmm

nnnn

++++++++== −−

−−


( )tVo non può crescere indefinitamente nel

tempo in queste condizioni. Perciò:

• i poli possono stare nel semipiano

negativo del piano complesso o

sull’asse immaginario

• quelli sull’asse immaginario devono

essere semplici , altrimenti ( )tVo conterrebbe termini del tipo tjket 0ω con k 1≥

oppure kt per polo in s=0 (vale anche per l’eventuale polo all’infinito).

Perciò il polinomio q(s) ha coefficienti 0b , ...

, mb tutti con lo stesso segno. Considerando

ora lo stesso bipolo in termini di ammettenza

)(

)(

)(

1)(

sp

sq

sZsY == (il che è possibile salvo

nel caso in cui il bipolo sia un cortocircuito) si

può studiare l’evoluzione ( )ti0 della corrente

Poli di ( )sZ :

zeri di q(s)

eventuale polo all’infinito se n > m

( )[ ] ( )[ ] 20

200 ωωω +=−−+− sjsjs

( )[ ] ( )[ ]222 2 baass

jbasjbas

+++=

=−−−∗+−−

0,, >cba

( ) ( ) ( ) ( ).........2 20

22220

21 ω+++++= scsbaassbsq kk

( ) cscs +=−−


di cortocircuito quando qualche componente interno sia inizialmente carico. Si possono

allora trarre conclusioni analoghe a quelle svolte per ( )sZ . In questo caso i poli sono quelli

di p(s) più un eventuale polo all’infinito se m >n. In particolare, i coefficienti di p(s) hanno

tutti lo stesso segno. Il segno dei coefficienti di p(s) e q(s) può essere preso positivo in tutta

generalità. Infatti per 0→s si hanno le seguenti possibilità:

( )m

n

b

asZ → e questo deve essere un

( ) ∞→sZ (polo semplice nell’origine)( )

=

⋅→

−

−

0

1

1

m

n

m

m

n

b

a

b

sb

asZ

è un

( ) ( ) ( )

=

⋅→∞→→

−

−

0

01

1

n

m

n

n

m

a

b

a

sa

bsY

sYsZ è un

In tutti questi casi il rapporto deve essere positivo. Perciò il segno dei coefficienti ia e dei

coefficienti jb è lo stesso.

I poli sull’asse immaginario devono avere residuo positivo (oltre che essere semplici).

Questo è già stato osservato per un polo di ( )sZ nell’origine (residuo n

m

a

b 1− ) e per un polo

di ( )sY nell’origine (residuo m

n

b

a 1− ).

Riflessioni analoghe si possono fare per un polo all’infinito.

( )m

n

sb

sasZ

0

0↔∞→ con n=m+1 e =0

0

b

a

( )n

m

sa

sbsY

0

0↔∞→ con m=n+1 e =0

0

a

b

mentre per poli complessi coniugati, ad esempio per ( )sZ , si ha


questa espressione deve avere un senso anche da sola. Esaminandola come tale si ha

( ) =ωjZRe =

+−+

20

2Re

ωωω BAj

022

0

≥−

segnocambia

B

ωω solo per B = 0

( )20

2 ω+=

s

AssZ con A > 0. Ma si ha anche

Per riassumere, un bipolo realizzato con R, L, C, M ha

a) ( )sZ reale per s reale ed è un rapporto fra polinomi in s

b) ( ) 0Re ≥ωjZ ω∀

c) poli di ( )sZ sul semipiano sinistro e/o sull’asse immaginario. Questi ultimi devono

essere semplici e con residuo positivo.

Questi requisiti (o quelli, equivalenti, per ( )sY ) sono necessari e sufficienti per garantire

che ( )sZ sia realizzabile con R, L, C, M. Nel seguito, quando una proprietà si riferirà

indifferentemente a ( )sZ o ( )sY , verrà impiegato il termine “IMMETTENZA”, che si

indicherà con f(s) invece si ( )sZ o ( )sY .

Una immettenza realizzabile si dice FUNZIONE REALE POSITIVA (FRP).

Alcune proprietà delle immettenze realizzabili

1) ( ) ( )( )sq

spsf = ha i coefficienti di p(s) e q(s) tutti positivi (già visto)

2) le parti reale e immaginaria di ( )ωjf sono, rispettivamente, funzioni pari e dispari

di ω . Infatti: ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )sqssq

spssp

sqsq

spsp

sq

spsf

pp

pp

dp

dp

ˆ

ˆ

⋅+⋅+

=++

==

( ) ( ) ( )0

22120

221021

0

2

0

1 >==+

−++=+

+−

= Akk

s

kkjskk

js

k

js

ksZ

ωω

ωω


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

⋅+⋅+

=

ωωωωωωωω

ωjqjq

jqjpjqjpjf

pp

pppp

222

2

ˆ

ˆˆRe ( ) ( ) ωω jfjf −≡ ReRe

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ω

ωωωωωωωω

ω jfjqjq

jqjpjqjpjf

pp

pppp −−=+

−= Im

ˆ

ˆˆIm

222

3) Le potenze massime n e m di p(s) e q(s) hanno 1≤− mn

4) Le potenze minime di p(s) e q(s) non differiscono di più di un’unità.

5) p(s) e q(s) possono essere, come caso particolare, pari o dispari in s. Nel caso

generale, tuttavia, non può mancare nei polinomi alcuna potenza intermedia.

6) ( )22

πωπ ≤≤− jf


2 Operazioni elementari di sintesi

Problema generale:

data l’espressione di una ( )sZ o ( )sY realizzabile estrarre un bipolo elementare in modo

tale che ciò che resta sia ancora realizzabile.

Estratta ( )sZ1 , la

( )sZ2 deve essere

ancora realizzabile.

Estratta la ( )sY1 , la

( )sY2 deve essere

ancora realizzabile.

1) Rimozione di un polo all’infinito

( )sZ1 è certamente realizzabile. Per decidere se ( )sZ2 = ( )sZ - ( )sZ1 è realizzabile

osserviamo che:

a) è certamente soddisfatto (( )sZ2 reale per s reale )

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ReReReRe 12 ≥≡−= ωωωω jZjZjZjZ

c) i poli di ( )sZ2 sono gli stessi di ( )sZ (salvo quello all’infinito, appena

rimosso). I residui dei poli immaginari ijω sono gli stessi di ( )sZ , dunque

positivi per ipotesi.

Res ( )[ ] ( ) ( ) ≡

⋅−−=→= s

b

asZjssZ i

jsjsi

i

0

02 lim ω

ωω ( ) ( ) =−→

sZjs ijs i

ωω

lim Res ( )[ ]ijssZ ω=

( )

( )

sZ

nn

sZ

nn

nn

bsb

divisionedellaresto

b

sa

bsb

asasZ

21

.............

......)(

00

0

0

11

0

+++=

++++

= ++


Perciò la rimozione dà

con ( )sZ2 ancora realizzabile.

Analogamente, per ( )sY = ( )sYb

sa

bsb

asa

nn

nn

20

0

0

11

0

......

......+=

++++ +

+

la rimozione garantisce

la realizzabilità di ( )sY2 e si ha:

2) Rimozione di un polo nell’origine

Sia ( )sZ =sbsb

asa

mm

nn

10

0

......

......

−++++ ( )1≤− nm

Si può dividere in questo modo

( )( ) ( )

sZ

mm

sZ

m

n

sbsb

resto

sb

asZ

21

011

1

+++=

−−

Si dimostra facilmente che anche ( )sZ2 è realizzabile. Perciò


Con procedimento e notazioni identiche, ma riferite a una ( )sY , si ha

3) Rimozione di una coppia di poli immaginari coniugati.

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )sZ

s

sk

sqs

sp

sq

spsZ 22

12

1

121

2

2+

+=

+==

ωω

(con 01 >k residuo in 1ωj e 1ωj− )

E’ facile verificare che ( )sZ2 soddisfa ancora tutti i criteri a) b) c) ed è dunque

FRP (realizzabile). Allora:

e:

Con identiche argomentazioni su ( )sY si ottiene

( )

=+

=+

=

ba YY

skkss

sksZ

1

21

1

21

21

1

22

12

ωω


4) Rimozione di una costante

( ) ( )( ) ( )sZAsq

spsZ 2+== ( )0>A

Siccome occorre che ( ) ( ) 0ReRe 2 ≥−= AjZjZ ωω

( ) ( ) 0ReRe 2 ≥−= AjZjZ ωω è necessario che ( ) ( ) ωω

jZA Remin0 ≤≤ per cui

non sempre è possibile se per almeno un valore di ω si ha ( ) 0Re =ωjZ non

si potrà estrarre alcuna costante. In caso contrario, invece

con ( )ωjZ2 realizzabile

Dualmente, per una ( )sY realizzabile si ha

(qui A rappresenta la conduttanza del resistore).


3 Immettenze LC

Una ( )sZ composta di sole L e C ha evidentemente ( ) 0Re =ωjZ . Questo implica che

essa sia sempre il rapporto fra un polinomio pari e uno dispari o viceversa. Infatti in

generale:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

++

=

++

=ωωω

ωωωωωω

jqjq

jqjpjqjpjZ

sqssq

spsspsZ

pp

pppp

pp

pp

222

2

ˆ

ˆˆRe

ˆ

ˆ

( ) 0Re ≡ωjZ se

( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆˆ2 =− sqspssqsp pppp

In entrambi i casi l’origine s=0 è un punto significativo: zero

nel primo caso, polo nel secondo caso. Analogamente per

∞=s , che è sempre un polo o uno zero. Gli altri zeri e poli

stanno sull’asse immaginario. Essi sono determinati, sia nel

caso (1) sia nel caso (2), da radici di un polinomio pari.

Considerando allora un polinomio pari come pq del caso

(1): siccome ( ) ( ) 000 ssqsq pp ∀−= , se 0s fosse una radice,

lo sarebbe anche -0s una delle due sarebbe un polo nel semipiano destro per la

( )sZ ( )sZ non sarebbe FRP. Riflessioni del tutto identiche valgono per ( )sY : facendo

riferimento sempre al caso (1), per il quale ( ) ( ) p

p

ps

q

sZsY

ˆ1 == , gli zeri di pp devono


stare sull’asse immaginario. Analoghe riflessioni valgono per pp e pq nel caso (2). Per

riassumere, impedenze e ammettenze LC hanno la seguente struttura:

Per cui:

( )

( )

= −

+−=

n

r r

rkkH

jY

o

jZ

122

0 2Im

ωωω

ωω

ω

ω

Proprietà

Zeri e poli si alternano sull’asse immaginario.

Infatti:

( )

( )

( )( )( )

=

+

>−

−−−++=

n

r r

rr

r

kkH

jY

o

jZ

d

d

1222

22

20 0

22Im

22

ωω

ωωωωω

ω

ω

ω

ωω

per cui

( )

( )

ω

ω

jY

o

jZ

Im è sempre crescente. Ad esempio, per ( ) ( ) ωω jZX Im= si possono

avere queste possibilità:


Da

( )

( )

= +++=

n

r r

r

s

sk

s

kHs

sY

o

sZ

122

0 2

ω

Con le operazioni elementari di sintesi si ricavano le due SINTESI CANONICHE DI

FOSTER

Sintesi LC secondo CAUER

1) Rimozione iterata di poli all’infinito

Si supponga di avere una ( )sZ realizzabile con sole L e C. Posto che all’infinito ci

sia un polo, esso può essere rimosso tramite un induttore 1L


Considerando ( ) ( )sZsY

22

1= e rimuovendo il polo all’infinito tramite un

condensatore si ha

( ) ( )sYsCsLsZ

321

1

++=

( )3

33

10

YZY ==∞ ha un polo all’infinito che si può rimuovere tramite un

induttore, e così via.

La sintesi descritta corrisponde allo sviluppo di ( )sZ in frazioni continue:

( )

11

11

4

3

2

1

++

++=

sCsL

sCsLsZ

il primo elemento è 1L se ( )sZ ha un polo all’infinito; se ( )∞Z è uno zero, il primo

elemento è 2C .

2) Rimozione iterata di poli nell’origine

E’ un meccanismo perfettamente duale. Supponendo che ( )sZ abbia un polo

nell’origine, esso si rimuoverà con un condensatore:

( ) ( ) ( )sYsCsZ

sCsZ

212

1

111 +=+=

( ) ( ) ;000 22 ∞== YZ


il polo di ( )sY2 nell’origine si rimuoverà con un induttore, e così via.

Lo sviluppo di ( )sZ in frazioni continue ha la seguente struttura:

( )

11

1111

11

4

3

2

1

++

++=

sLsC

sLsC

sZ

La realizzabilità con sole L e C richiede:

a) immettenza con poli e zeri semplici, alternati, sull’asse immaginario;

b) polo o zero sia nell’origine sia all’infinito;

c) rapporto fra i coefficienti di grado massimo ( )( )sq

sp positivo.

Esempio

( )( )

( ) ( ) ( )

>

>⋅=++

+=

0

0ˆ91

422

2

U

sZUss

ssU

sZ


Sviluppiamo ( ) ( )( ) ( ) 9

2

1

2

91

4ˆ2

22

122

2

++

+=

+++

=s

sk

s

sk

ss

sssZ

( ) ( )16

3ˆ2

1lim

2

11 2

=+=−→

sZs

sk

s

( ) ( )16

5ˆ2

9lim

2

92 2

=+=−→

sZs

sk

s

Come si può verificare facilmente dal fatto che i residui “veri” sono Uk1 e Uk2

( ) ( ) ( )( ) ( )sY

Uss

ss

UsY ˆ1

4

9112

22

=+

++=

( )4

2ˆ2

10

+++=

s

sk

s

kHssY

con ( )

1ˆ

lim ==∞→ s

sYH

s

( )4

9ˆlim00 ==

→sYsk

s

( )8

15ˆ2

4lim

2

41 2

=+=−→

sYs

sk

s

( )4

415

49

ˆ2 +

++=s

s

sssY ( )

+++=

44

154

91

2s

s

ss

UsY


Si noti che anche in questo caso il coefficiente U moltiplicativo della ( )sZ “moltiplica” i

valori delle induttanze e “divide” i valori delle capacità.

Sintesi con Cauer 1

( ) ( )( ) ( )91

4ˆ22

2

+++

=ss

sssZ Per iniziare con un polo all’infinito si parte dall’ammettenza:

=

++

++=

+++

+=

96

4

11

0

4

96

10

2

33

2

s

sss

ss

ss

dopo qualche passaggio:

ss

ss

18

51

5

121

6

11

0

++

++

La moltiplicazione per U divide i valori di capacità e moltiplica quelli di induttanza:

( ) ( ) ( )( )

=

+++

+=

+++

+=

ss

ss

ss

sssZ

4

910

10

4

91

10ˆ

3

24

2

22


Sintesi con Cauer 2

Per iniziare con un polo nell’origine si parte dall’ammettenza:

=(dopo alcuni passaggi)

ss

ss

15

3111

691

601

1

16

3111

9

41

10

++

++=

Come di consueto il termine U divide le capacità e moltiplica le induttanze.

( ) =

+++

+=

3

42

4

109

10ˆ

ss

sssZ ( ) =

+

++

+=

42

3

4

314

1

9

41

10ˆ

ss

sss

sZ


4 Immettenze RC

Le proprietà di una impedenza RC si possono dedurre da quelle di una LC. Il passaggio da

un bipolo LC a uno RC con la stessa struttura topologica può essere descritto, in linea di

principio, così:

( )k

k CsLssZ

ˆ1

ˆˆ +=αβ ( )k

k sCRsZ

1+=αβ

Il passaggio da ( )sZ ˆαβ a ( )sZαβ , salvo le ovvie ridefinizioni del significato dei coefficienti

dal punto di vista delle dimensioni fisiche, avviene così:

( )k

k CsLsZ

s 2ˆ1

ˆˆ1 +=αβ ;

posto ss →2ˆ si ha ( )k

kss sC

LsZs

1ˆ

ˆ1

2ˆ

+=→

αβ che ha la stessa struttura del

terminek

k sCR

1+ . In linea di principio, quindi, si passa da ( )sZLC ˆ a ( )sZRC così:

( ) ( )sZsZs RC

ssLC →

→2ˆ

ˆˆ1

.

Considerata allora la struttura di ( )sZLC ˆ :


( ) = +

++=n

r r

rLC s

sk

s

ksHsZ

122

0

ˆ

ˆ2ˆ

ˆˆω

si ha:

( ) = +

++=⋅n

r r

rLC s

k

s

kH

ssZ

1222

0

ˆ

2

ˆˆ1

ˆω

per cui, col passaggio ss →2ˆ e la ridenominazione opportuna di alcuni simboli, si ha:

( ) = +

++=n

r r

rRC s

k

s

kHsZ

1

0

σ

rr

rr kk

σω →

→2

2

ove rσ , proveniente da 2rω , è >0 e rk sostituisce rk2 in quanto associato a un polo in

rs σ−= invece della coppia di poli complessi coniugati della LCZ . Con la stessa metodica

di passaggio si possono dedurre altre proprietà considerando una espressione di ( )sZLC ˆ

strutturata come rapporto di polinomi

Questa espressione evidenzia che, per ( )sZRC :

a) l’origine può essere un polo, ma non uno zero;

b) gli zeri sono reali e negativi: 1z

σ− , 2zσ− , ecc.

c) i poli sono reali e negativi: 1σ− , 2σ− , ecc.

Per σ=s (asse reale) si ha poi:

( )( )

=

<+−+−=

n

r r

rRC

s

kkZ

d

d

122

0 0σσ

σσ

per cui si ha alternanza fra zeri e poli sull’asse reale.

Inoltre


Grafici qualitativi di ( )σRCZ :

con polo nell’ origine

( 00 >k )

senza polo nell’origine

( 00 =k )

Perciò, per poter realizzare un’impedenza con soli elementi R e C occorre che siano

verificate queste proprietà:

a) poli e zeri devono essere semplici, reali e negativi;

b) poli e zeri devono alternarsi sull’asse reale;

c) il primo “punto critico” più vicino all’origine è sempre un polo; il più lontano, uno

zero;

d) il rapporto fra i coefficienti di grado massimo nei polinomi ( )sp e ( )sq (livello)

deve essere positivo.

Queste condizioni sono anche sufficienti per la realizzabilità con R e C.


Lo sviluppo per ( )sYRC non ha la stessa struttura di quello per ( )sZRC (nel caso LC,

invece, la struttura era la stessa).

Le due sintesi canoniche (Foster) sono qui descritte:

( ) = +

++=m

r r

rRC s

k

s

kHsZ

1

0

σ

( ) ∞

= +++=

10

r r

rRC s

skHsksY

σ

N.B. I resistori sono definiti, nella figura, tramite il valore di resistenza.

Vediamo ora le sintesi canoniche di Cauer.

1) Da ( )sZRC si può rimuovere anzitutto la costante corrispondente al minimo valore

di ( ) ωjZRCRe . E’ facile verificare che ( ) 0Re <ωω

jZd

dRC e che il minimo si

ottiene all’infinito. Allora:

( ) = +

++=m

r r

rRC s

skHsksY

10 σ


( )sZ2 è ancora realizzabile, e ha ( ) =∞ 02Z si considera ( ) ( )sZsY

22

1= che ha

un polo all’infinito e si rimuove come un condensatore, poi il processo ricomincia

su ( )sZ3

Si ottiene così una rete a scala:

( )

++

++=

43

2

1

11

1

sCR

sCRsZRC

2) La costante massima estraibile da ( )sYRC è quella che corrisponde al minimo di

( ) ωjYRCRe sull’asse immaginario. E’ facile verificare che tale valore è ( )0RCY


( )sY2 è ancora realizzabile, con ( ) = 002Y si considera ( ) ( )sYsZ

22

1= e si

rimuove il polo corrispondente, che è espresso da un condensatore 2C . Il

procedimento continua e si ottiene una rete a scala.

Questa sintesi opera dunque su s=0;

( )

++

++=

4

3

2

1

111

1111

sCR

sCR

sYRC

Esempio

E’ facile verificare che i criteri di realizzabilità RC sono soddisfatti. Allora, posto

( ) ( )sZMsZRCˆ= si ha:

( )4

83

24

18

30

42ˆ 210

++

+++=

++

+++=

ssss

k

s

k

s

kHsZ


( )( ) 3

2

1

12

3

031ˆ

1ˆ 210 +

++

++=+

++

++==s

s

s

ss

s

sk

s

skHsk

sZsY

Con Cauer 1 si ha:

( )

s

s

ssss

sssZ

3

11

2

31

3

41

2

11

10

86

34ˆ23

2

++

++

+=++++=

Con Cauer 2:

( ) =

+

+++

+=

++++

+=++++=

2

3232

22

23

8

5

4

768

1

8

31

0

68

43

10

34

86ˆ

ss

sssssss

ssss

ssssY


s

s

s

44

31

21

9681

88

491

7

321

8

31

0

++

++

+

Quindi:

Nota: I resistori sono caratterizzati dal valore numerico riferito alla resistenza.


5 Normalizzazione e denormalizzazione

Nei procedimenti di sintesi si opera frequentemente con numeri molto grandi o molto

piccoli.

Esempio

FaradnF 9123 1010101 −− =⋅=

Ω=Ω 61010M

HH 51010 −=µ

Inoltre le frequenze associate ai segnali possono essere, a loro volta, numeri “grandi”

66 102101 ⋅=→= πωHzMHz

88 10210100 ⋅=→= πωHzMHz

Conviene allora effettuare alcune normalizzazioni.

Normalizzazione in frequenza

nss ⋅= 0ω

In questo modo, imponendo che l’impedenza non muti per i singoli componenti

elementari:

LLLsLsLssL nnnnnn 00 ωω ===

00

1111 ωω

CCCsCsCssC n

nnnnn

===

RRn ≡


Normalizzazione in ampiezza

K

ZZKZZ nn ==

nn KLLsKLsL ==

K

CC

sC

K

sCn

n

==1

nKRR =

Non di rado si impiegano contemporaneamente la normalizzazione in frequenza e quella in

ampiezza.

In questo modo si può ottenere la sintesi di impedenze normalizzate e “scalare” i valori in

frequenza e in ampiezza al termine del procedimento.

Esempio

Consideriamo 1

822

3

++

==n

nnn

s

ss

K

ZZ con

0ωs

sn =

E’ facile verificare che i requisiti di realizzabilità LC nel dominio normalizzato sono

rispettati. Lo sviluppo di Foster dà:

( ) +

+=1

62

2n

nnnn s

sssZ


Per: 340 10;10 == Ksradω si ottiene:

HenryK

HenryK

6.06

;2.02

00

==ωω

nFK

7.16106

100

106

1

6

1 97

0

≈=⋅

= −

ω

La stessa impedenza, con Cauer 1, dà

( )

++=

n

nnnn

s

sssZ

6

1

6

12 ( ) =

=0ω

sKZsZ n

KsK

ss

K

s

sKs

K

66

12

66

20

0

00

0

0ω

ωωω

ωω +

+=+

+

Quindi:

(la rete, data la semplicità, ha la stessa

struttura di quella ottenuta con Foster)

Esempio

Sia ( )18202

424

3

+++

=nn

nnnn

ss

sssZ realizzabile con L e C come si può verificare.

Lo sviluppo in frazione continua di Cauer 1 dà

++==

1

6

2

20

20

0

ω

ωω s

ss

KZKZ n


Con nKZZ = e 0ω

ssn = la sintesi è

Filtro passa-basso prototipo e trasformazione in frequenza

Una funzione di trasferimento ( )ωjH il cui modulo ha le caratteristiche di figura:

Si dice passa-basso prototipo. Esso non può essere realizzato perché viola il principio di

causalità: una transizione a gradino in frequenza implica una risposta all’impulso del tipo

( )sin t

t, ossia una funzione che inizia in ∞− anche se l’ingresso impulsivo è applicato in

0=t . La realizzabilità fisica richiede di approssimare il passa-basso con funzioni di nω

che impiegano POLINOMI: soltanto così è possibile, fra l’altro, sintetizzare circuiti che

rappresentino tali approssimazioni. Fra le approssimazioni, verranno considerate quelle di

Butterworth e quelle di Chebyshev. Preliminarmente però, si vuole considerare l’insieme

di trasformazioni in frequenza che permettono il passaggio dal filtro passa-basso agli altri

tipi di filtro. Per loro tramite, come si vedrà, diventa possibile effettuare la sintesi

preliminare sul passa-basso prototipo e passare poi a quello desiderato tramite la

trasformazione in frequenza opportuna, che definisce anche i cambiamenti nei parametri

del circuito.


1) Passa- basso → passa-alto

nnss

ωωωω 00 −== perciò la banda passante del piano ns viene proiettata in ( )+∞,0ω

e simmetricamente in ( )−∞− ,0ω . La banda oscura cade fra 0ω− e 0ω+ .

Conseguenze sui componenti:

sLC

sC

sCs n

nnn

=

⋅=→00

111

ωω

sC

Ls

Ls

Ls

n

nnn

1

1

1

0

0 =

⋅=→

ω

ω

(le dimensioni fisiche non “tornano” perché ns , nC , nL sono normalizzati a termini di

riferimento).

2) Passa-basso → passa banda

+−

=s

ss

ccn

0

0

0

12

ωωωω

ω

120 cc ωωω =

12 ccB ωω −=

−=ωω

ωωωω 0

0

0

Bn


Esempio

per 0=nω 0ωω ±=n

per 1=nω 10

0

0 =

−ωω

ωωω

B =⋅−

10

0

20

2

B

ωωωωω

020

2 =−− Bωωω

(sostituendo):


3) Passa-basso → elimina-banda

(trasformazione reciproca di quella che porta al passa-banda)


+=

s

s

B

sn

0

0

0

1

ωω

ω

−−=

ωω

ωωω

ω0

0

0

1

B

n

con 0ω e B definiti come nel caso precedente.

In questo caso la banda oscura è ( )21

, cc ωω .



6 Sintesi di filtri doppiamente terminati

Riferimento generale:

Posto di essere in regime sinusoidale, si ha, impiegando fasori riferiti ai valori efficaci:

massima potenza entrante nella porta : quella che si ha in condizioni di adattamento

energetico

In generale 1

2

1

1

2 R

EP ⋅≤

. La potenza uscente dalla porta (dissipata da 2R ) è 2

2

2

R

V

.

Essa non può superare quella entrante, perché il doppio bipolo è passivo , per cui

⋅≤≤1

2

12

2

2 1

2 R

EP

R

V

( )

passività

diVincolo

R

R

E

V

jS

221

1

2

2

22

ω

≤

Il doppio bipolo, oltre ad essere passivo, è senza perdite. Perciò la potenza attiva

complessivamente entrante in esso è zero:

1

2

max

1

2 R

EP ⋅=

0ReRe 2211 =+ ∗∗ IVIV


Si ha:

−==

−=

222

111

111

IRV

IZV

IREV

2

2

2

2

2222

111

11

11

ReRe

;

R

V

R

VVIV

ZR

EI

ZR

ZEV

−≡

−=

+=

+=

∗∗

Pertanto:

( ) ( ) =⋅++

=

+⋅

+= ∗

∗∗

1

1111

2

1111

111 ReReRe Z

ZRZR

E

ZR

E

ZR

ZEIV

( ) ( ) 211

1111

2∗

∗

+⋅

++=

ZZ

ZRZR

E

La condizione 0ReRe 2211 =+ ∗∗ IVIV diventa ( ) ( ) 02

2

2

211

1111

2

=−+

⋅++

∗

∗ R

VZZ

ZRZR

E

( ) ( ) 2

2

12

21 1 ωρω jR

RjS −=⋅

Perciò:

La funzione di trasferimento ( )ωjE

V

2 al variare di ω è soggetta al vincolo di passività che

stabilisce un limite superiore per il modulo:

1

2

2

22

R

R

E

V≤

ovvero ( )1

22

21 R

RjS ≤ω

Scelta ( )ωjE

V

2 , la rete LC si può determinare attraverso la sintesi di una ( )sZ1 tale che,

per ωjs = :


2

1

2

2

2

11

11 41R

R

E

V

RZ

RZ⋅−=

+−

Questo procedimento richiede di fare alcune scelte, connesse al fatto che l’espressione

coinvolge il modulo quadrato del coefficiente di riflessione. Per descrivere il procedimento

(almeno nelle linee essenziali) si può considerare un esempio. Supponiamo che sia

richiesto:

( )6

0

2

2

1

+

=

ωω

ω kj

E

V

(passa-basso)

0ω : pulsazione di TAGLIO

Il vincolo di passività 1

2

2

22

R

R

E

V≤

significa, in questo caso:

1

2max

1

22

42

R

Rk

R

Rk =≤

Per brevità di scrittura, indichiamo con:

0ωωω =n la pulsazione normalizzata;

0ωs

sn = la variabile normalizzata di Laplace;

Il termine 6

6

0

11 nωωω +=

+ viene considerato proveniente da 61 ns− (per nn js ω= si

riottiene il termine di partenza).

Scegliamo 1

2max 4R

Rkk == si ha:

( ) ( )6

2

1

2

22

2

12

21 1

12

nn R

Rj

E

V

R

RjS

ωωω

+=⋅=⋅

Perciò

( ) ( )6

62

6

2

11

11

n

nr

nr jj

ωωωρ

ωωρ

+=

+=−


Ora, nel dominio di Laplace il corrispondente di questo risultato è:

Ricordiamo ora che:

deve avere la struttura di un rapporto di polinomi

Poniamo allora:

( ) ( )( )n

nn sq

sps ±=ρ e sostituiamo

( ) ( )( ) ( ) −

−=−⋅−⋅

6

6

1 n

n

nn

nn

s

s

sqsq

spsp ( ) ( )( ) ( )

−=−⋅

−=−⋅6

6

1 nnn

nnn

ssqsq

sspsp

a) ( ) ;11 RZsq n +↔ siccome 11 RZ + è una impedenza realizzabile, non può avere zeri

(nè poli) nel semipiano destro. Allora neppure ( )nsq può averli.

Si sa che ( ) ( ) 61 nnn ssqsq −=−⋅

Gli zeri di 61 ns− sono per 16 =ns ( ),1,0;2 =≡ ke kj π .

Posto allora ϕjn es = si ha

326 πϕπϕ k

ee kkjj == 5,,1,0 =k

( )

( )

−

ππ

πππ

3

5,0,

3:

3

4,,

3

2:

n

n

sqdiZeri

sqdiZeri

2

3

2

1

3

2sin

3

2cos3

2

jjej

+−=+= πππ

1−=πje

2

3

2

13

4

jej

−−=+ π

Simmetria quadrantale


( ) ( ) =

+++

−+=2

3

2

11

2

3

2

1jssjssq nnnn ( ) =

+

++

++

1

2

2

4

3

2

11

nn ss

nn ss

122 23 +++= nnn sss

b) ( ) ( ) −=−⋅ 6nnn sspsp scegliamo ( ) 3

nn ssp = ( ( )nsp è associato a 11 RZ − , che

non è necessariamente una impedenza realizzabile per via del segno -).

Ora, (entrambe valide)

Scegliendo, ad esempio, pq

pqRZ

+−⋅= 11 si ha:

10

11

10

11

0

1

11

11

R

CC

R

CsC

sR

CsR n

nn

nn ωωω

=

=⋅

=⋅ analogamente per 2C

0

1

0

1011

1

ωω

ωR

LLLR

s

Ls

RLsR n

n

nnn = !

"##$

%=⋅=⋅


Facendo riferimento alla struttura iniziale si ha:

Se, come avviene frequentemente, 21 RR = , non sono necessari provvedimenti di

adattamento.

Esercizio

Verificare che, scegliendo pq

pqRZ

−+⋅= 11 , si ottiene la sintesi duale

con 2=nC

Le riflessioni sulla 1R all’estremità destra sono esattamente le stesse del caso precedente.

Generalizzazione

Le funzioni (approssimazioni) di Butterworth per un filtro passa-basso. La funzione appena

considerata per ( )ωjS21

( )( )

21 2

1

1m

n

S jωω

∝+

(nell’esempio, 3=m )


si dice approssimazione di Butterworth di ordine m “massimamente piatta”. Infatti,

siccome per 0→x si ha:

( )( ) ( ) ( ) +

++++=

± !3

21

!2

11

1

132 xlllxll

lxx l

(Taylor)

ponendo ( ) mnxl 2;

2

1 ω== si ha:

+−=+

m

nm

nmn

42

2 8

3

2

11

1

1 ωωω

le prime 12 −m soluzioni sono nulle in 0=nω . Per

1=nω ( )0ωω = si ha mm

n

∀=+ 2

1

1

12ω

0ω : pulsazione di taglio

La pendenza asintotica fuori banda è m⋅− 20 decadedB

Il polinomio ( )nsq (ottenuto, nell’esempio precedente, per 3=m ) si può definire una volta

per tutte tabulando i suoi coefficienti al variare di m

( ) mnmnnn sasasasq ++++= 2

211


Le approssimazioni di Chebyshev per un filtro passa-basso

In questo caso

( )

+

∝

pmC

jS

ωωε

ω22

21

1

1 con

Proprietà dei polinomi di Chebyshev

Dati ( ) 10 =zC

( ) zzC =1

i successivi si definiscono con la formula ricorsiva :

Esempio

( )( ) zzzC

zzC

34

123

3

22

−=

−=

eccetera

a) ( ) 1≤zCm per [ ]1,1+−∈z

b) gli m zeri di mC cadono tutti in [ ]1,1+−

c) ( ) ( )

( )

=−=

+ 00

10

12

2

m

mm

C

C ( )( ) 11

11

12

2

±=±=±

+m

m

C

C

Inoltre:

Definiamo, come di consueto, p

n ωωω = .

( ) ( ) ( )zCzzCzC mmm 11 2 −+ −=


Il termine ( )nmC ωε 221

1

+ si può rappresentare in modo abbastanza generale con il

grafico:

Ossia:

1) Per [ ]1,1+−∈nω , il termine ( )nmC ωε 221

1

+ oscilla fra i valori 1 e

21

1

ε+ ,

assumendo il valore massimo 1 per m volte (ordine del polinomio)

2) In 0=nω il termine vale

3) In 1=nω il termine vale sempre 2

1

1

12

>+ ε

(perché 1>ε ) pωω = non è la

frequenza di taglio a 3 dB.

4) L’ampiezza dell’oscillazione in [ ]1,1+−∈nω è 2

2 2

1

1

11 ε

ε≅

+− per εε << 1 è il

parametro che controlla tale oscillazione (“ripple”).

5) Per 1>>nω il termine ( )nmC ωε 221

1

+ ( )nmC ωε1→ il tasso di “discesa” della

funzione è controllato da m .


6) Fissati ε e m , la funzione ( )ωjS21 è fissata eccetto per il coefficiente moltiplicativo e

per la denormalizzazione da nω a ω .

La determinazione di ρ a partire da ( )ωjS21 segue un criterio simile a quello visto nel

caso di Butterworth. In questo caso, però, la localizzazione degli zeri di ( )sq è più

laboriosa, perché i polinomi di Chebyshev sono meno maneggevoli e perché il

prolungamento analitico da cui si parte:

( ) ( )nn jsnmnm jsCC ωεωε =−+

=+ 2222 1

1

1

1

porta a ragionare su polinomi (in particolare ( )nsq ) i cui zeri dipendono da ε . (*)

Il procedimento richiede l’impiego delle funzioni iperboliche. Anche se concettualmente

semplice, i calcoli possono essere onerosi, per cui, fissati ε e l’ordine m , i coefficienti che

determinano il polinomio ( )nsq si possono trovare in tabelle precompilate oppure si

possono generare su calcolatore.

(*) Alcuni dettagli:

se

( ) ( )nmn CR

RjS

ωεω

222

12

21 1

1

+=⋅

allora

( ) ( )( )

( )

+=

+−=

nm

nm

nmn

C

C

Cj

ωεωε

ωεωρ

22

22

22

2

11

11

( ) ( )( ) ( )nn

nn

sqsq

spsp

−⋅−⋅

Da qui si sceglie ( )nsq prendendo gli zeri del denominatore che hanno parte reale 0< .

A differenza di Butterworth, però, questi non stanno su un cerchio di raggio unitario.


Un esempio di progetto

Progettare un filtro di Chebyshev con le seguenti caratteristiche

Banda: 100− KHz ; ripple: 0.0988 dB

Attenuazione in banda oscura 30≥ dB a 20 KHz

Resistenza di riferimento: 50 Ω a entrambe le porte

Quindi: Hzp4102 ⋅= πω ;

( ) ( )21021010 1log10

1

1log201log20 ε

ε+=

+− 0988.0= dB 023.0110 10

0988.02 =−=ε

152.0=ε

( )

+

∝

pmC

jH

ωωε

ω221

1; per 2=

pωω

(cioè a 20 kHz) si ha

( )

= −

pm nC

ωωω 1coshcosh

( )( )( )

≥+

−−

dBn

302coshcosh1

1log201log20

1221010ε

( )( ) ( )( ) 312212210 102coshcosh1

10

302coshcosh1log ≥+≥+ −− nn εε

( ) ≅−≥−

023.0

101102coshcosh

3

2

312

εn ( ) 5.2082coshcosh 12 ≥−n

( ) ( )5.208cosh2cosh 11 −− ≥ n ; ( )

( ) 58.42cosh

5.208cosh1

1

=≥ −

−

n 5=n

Tramite l’impiego delle tabelle si trovano i valori normalizzati con 4102 ⋅= πω p e

5021 == RR si trovano i valori veri che sono


Esempio

dal passa-basso prototipo a un elimina-banda

Si vuole sintetizzare un filtro elimina-banda con 30 10=ω e 210=B .

Le resistenze di riferimento sono Ω== 10021 RR .

Ricordiamo che

210 cc ωωω = ; 12 ccB ωω −= quindi

Scegliamo un filtro di Butterworth con 3=n . Il passa-basso normalizzato (già visto) è

la trasformazione da considerare implica

Il filtro arresta-banda effettivo è dunque


Fra i vantaggi della sintesi di filtri che terminano alle porte con resistori, uno è di

particolare rilievo

Assumiamo che la rete operi in condizioni di adattamento energetico, ossia che

Allora, nel circuito di partenza, la potenza entrante in AB (porta ) è

( )max1

2

1 4P

R

EP ==

La stessa potenza “esce” dalla porta ed è dissipata su 2R , perché il filtro LC è senza

perdite.

La potenza 2P dissipata su 2R , in queste condizioni, è la massima possibile . Allora

immaginiamo di variare il valore di uno degli elementi del filtro (ad esempio, un induttore)

rispetto al valore di progetto ioL .


E’ immediato concludere che ogni variazione rispetto al valore nominale ioL altera la

condizione di adattamento energetico alle porte 2P scende. Tuttavia, intorno al valore

ioL , la sensibilità di 2P ai cambiamenti di ioL è modesta, perché

02 =∂∂

ioLiL

P

Lo stesso ragionamento si applica al valore nominale di un condensatore (e anche a 1R e

2R ).

Perciò:

Un filtro LC adattato energeticamente ha una “IMMUNITA’ NATURALE” alle variazioni

del valore dei suoi elementi.

La condizione di adattamento energetico è soddisfatta approssimativamente almeno nei

campi di frequenza in cui il filtro deve trasferire potenza su 2R . Gli zeri di trasmissione

inoltre, sono usualmente introdotti da un singolo lato della rete a scala LC, per cui sono

facilmente accordabili e piuttosto stabili. Ne consegue che i filtri così concepiti sono

affidabili ANCHE nei campi di frequenza in cui 2P dovrebbe essere nulla (banda oscura).

Per tutti questi motivi, i filtri LC sono anche il punto di partenza per alcune importanti

realizzazioni fondate su reti attive o su altre impostazioni.


7 Richiami di teoria delle linee

Facciamo riferimento alla cella elementare:

( )( )

,

,

V V s x

I I s x

=

=

( )0

0

dVZIV Zdx I V dV ZIdx dV dx

I Ydx V dV I dI YVdx YdxdV dI YVdx dI dIYV

dx

= −

= ⋅ + + = +

= + + + = + + ≅ +

= −

da cui

( )2

2

d VZ YV ZYV

dx= − − = oppure ( )

2

2

d IY ZI YZI

dx= − − =

Si ricercano soluzioni del tipo “a variabili separabili”, per cui la dipendenza da x sia del

tipo xe γ± . Si ha

( )2

2 22

0 postod

ZY V ZYdx

γ γ γ→ − = = le possibili funzioni sono xe γ± .

Allora

con , , , tali chex x

i ri r i rx x

i r

V V e V eV V I I

I I e I e

γ γ

γ γ

− +

− +

= += +

( )i i i

x x x xi r i r

r r r

Z ZV I I

YV e V e Z I e I e

Z ZV I I

Y

γ γ γ γ γγ γ

γ

− + − +

= =

− + = − +

= − = −

Z

γ è l’impedenza caratteristica 0Z della linea.


Nel caso più semplice (linea ideale) la cella è:

2

0

[ ] : /

[ ] : /

s LC s LC L H m

sL LZ C F m

sC C

γ = =

= =

Altrimenti un modello più realistico è

( )( )

0

R sL G sC

R sLZ

G sC

γ = + +

+=+

Consideriamo un tratto di linea di lunghezza l.


E’ abbastanza naturale scegliere le variabili descrittive alle porte come in figura (1I e 2I

dirette nello stesso modo) e cercare la matrice di trasmissione: [ ]1 2

1 2

V VT

I I

=

.

Equazioni:

1

0 1 11

0 0 0 1 1

1 0 12 1 0 1

10 0

(0)

(0)2 22( )

2(0)

i r

i r

ii

l lri r

rl li r

V V V V

V V Z I VI I VZ Z V Z I V

V V Z IV V l V e V e V Z IV

V VI I e e

Z Z

γ γ

γ γ

− +

− +

= = +

+

= = − == +

= −= = + −=

= = −

0 1 1 1 0 12

1 0 1 1 0 10 2

2 2

2 2

l l

l l

Z I V V Z IV e e

V Z I V Z IZ I e e

γ γ

γ γ

− +

− +

+ −

= + + −

= + risolviamo rispetto a 1 1,V I

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0

00

00

1cosh sinh2 2

sinh cosh1

2 2

l l l l

l l l l

Ze e e e l Z l

ZZZ

e e e

γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γγ γ

− −

− −

+ − − −∆ = = =

−− +

( )( ) ( ) ( )

1

2 0 20 2 0 2

0 2 0

sinhcosh sinh

coshV

V Z lZ V l Z I l

Z I Z l

γγ γ

γ−

∆ = = +

( )( ) ( ) ( )

1

22 0 2

0 2

coshsinh cosh

sinhI

l VV l Z I l

l Z I

γγ γ

γ∆ = = +

−

Quindi

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 2 2 0 0

21 2

0 0

cosh coshsinh sinh[ ] 1

sinh cos sinh cosh h

V V l I Z l Zl l

TVI l I ll l

Z Z

γ γγ γ

γ γγ γ

= + =

= +

Questa matrice assume un significato particolare nel caso di linea ideale

( 0 0,L

Z R s LCC

γ= = = ) e regime sinusoidale (s jω= ). In questo caso

ll j LC l j

vγ ω ω= ⋅ = . Si ricorda che

1v

LC= è la velocità di fase della linea. Siccome

2 22 2

f f lf j LC l j l j l j

v f

π πω π ω πλ λ

= ⋅ = = = .


La matrice T, tenendo conto che:

( ) ( )( ) ( )

cosh cos

sinh sin

j LCl LCl

j LCl j LCl

ω ω

ω ω

=

= diventa

( ) ( )( ) ( )

0

0

cos sin

[ ] sincos

LCl jR LCl

T LClj LCl

R

ω ω

ωω

=

Se il tratto di linea è connesso all’estremità a un bipolo di impedenza LZ

Si ha:

( ) ( )( ) ( )

1 0 2

2 2

1 20

cos sin

sincos

L

L

L

V LCl Z jR LCl I

V Z I LClI j Z LCl I

R

ω ω

ωω

= ⋅ +

= = ⋅ +

Alla prima porta si misura

( ) ( )( ) ( )

011 0

1 0

cos sin

cos sin

L

L

Z LCl jR LClVZ R

I R LCl jZ LCl

ω ω

ω ω

+= =

+

Ricordiamo ora che 2

LC l lπωλ

⋅ = ⋅ quindi

20

1

1

per :4

per :2

L

L

Rl Z

Z

l Z Z

λ

λ

= == =

1 0

01

2per 0 (linea cortocircuitata) : tan

per (linea aperta) :2

tan

L

L

lZ Z jR

RZ Z j

l

πλ

πλ

= =

= ∞ = −


Le interpretazioni fisiche di alcuni tra questi risultati sono assai interessanti e vale la pena

di considerarle.

1)

1 0

2tan

lZ jR

πλ

= ; per 1

l

λ<< (es. 0ω → ) abbiamo

1 0

2 2eq

l L lZ jR j j Ll j L

C LCl

π π ω ωλ ω

≅ = =

Perciò, per 1l

λ<< , la linea cortocircuitata equivale a un induttore (parametro concentrato)

di induttanza L l⋅ che è l’induttanza della coppia di fili chiusi in cortocircuito

all’estremità. Il parametro L (henry/m) dipende dalla geometria della linea (doppino,

coassiale, microstriscia ecc.) e si calcola dalla teoria dei campi elettromagnetici.

2)

01 2

tan

RZ j

lπλ

= − ; per 1

l

λ<< (es. 0ω → ) abbiamo


01

1 12

eq

LR CZ j j j j

l Cl CLC lπ ω ωωλ

≅ − = − = − = −⋅

perciò, per 1l

λ<< , la linea aperta equivale a un condensatore (parametro concentrato) di

capacità Cl , capacità della coppia di fili lunghi l. Il parametro C (farad/m) si determina,

analogamente a quello L, dalla soluzione del problema di campi elettromagnetici connesso

alla geometria della linea.


8 Variabile di Richards

Il termine 2 l

LC lπ ωλ

= ⋅ può ora essere espresso come l

LC l Tv

ωω ω ϑ⋅ = = = dove T

indica il tempo di ritardo del tratto di linea.

Supponiamo di avere a che fare con tratti di linea tutti con ritardo T (linee commisurate) e

definiamo la variabile complessa di Richards:

2

2

1tanh

1

ST ST ST

ST ST ST

e e eS j sT

e e e

− −

− −

− −= Σ + Ω = =+ +

per s jω= si ha tanh tan tanS j T j T jω ω ϑ= = = .

Nota: la variabile di Richards è ADIMENSIONALE.

La trasformazione sT S→ rispecchia il fatto che

( )( )

( )

( )

( ) ( )2 2

2 2

1 1tanh tanh

1 1

sT jk sT

sT jk sT

e esT jk sT

e e

π

ππ− − −

− − −

− −− = ≡ =+ +

I quadranti II e III del piano S (semipiano sinistro 0Σ < ) vanno nel semipiano sinistro del

piano s. Ciò avviene con periodicità, evidenziata dalle strisce.


Per s jω= , ( ) ( ) ( )tanh tan 0 e tanS j j T j T Tω ω ω= Σ + Ω = = Σ = Ω =

Un resistore R rimane tale anche nel piano S. Le tre impedenze base 00, ,

RR SR

S hanno la

struttura che nel piano s hanno 1

, ,R sLsC

. Ne consegue che le condizioni di realizzabilità

di una ammettenza o di una funzione di filtro sono, in termini di S, le stesse che valgono

per un circuito RLC nel dominio di Laplace s, pertanto si impiegano le stesse sintesi.

Esempio

Sintetizzare ( )3

2 2

4 300100 100

1 1

S S SZ S S

S S

+= = ++ +

.

Preso ora ( )6 610 sec tanh 10T S s− −= = , si ha


( ) ( ) ( )( )

3

2

tanh 4 tanh100

tanh 1

ST STZ S

ST

+= ⋅

+

Il comportamento della funzione reattanza nei due domini è:

tan

51; ,

4 43

1;4

3tan ,

2 2

T

A a

B b

K T k

ωπ π

π

π πω

Ω =

= =

= − =

= ∞ = =

Si notino le strisce più larghe centrate su 0Tω = e Tω π= .

In sostanza, l’andamento di ( )X ω è ottenuto da quello di ( )X Ω riportandolo

successivamente con opportune “deformazioni”.

Questo risultato suggerisce una proprietà importante nel caso dei filtri: la periodicità insita

nella trasformazione tan TωΩ = implica che i filtri a linea commisurata siano

MULTIBANDA. Perciò lo stesso filtro si può usare, in vari campi di frequenza, come

passa-basso, passa-alto, passa-banda.


Esempio

Il filtro passa basso prototipo di Chebyshev con ( )( )20.1 10 1p pdB Logα α ε= = + e

3n = , per 1 2 1R R= = è:

Per realizzare un filtro a linea commisurata con 1010 secT −= e 1 2 50R R= = Ω si procede

così:

01 031 3

1 50 5050 48.6145

1.0285Z R R

SC SC= ⋅ = = = = Ω

2 02 250 50 50 1.1468 57.34Z Sl R l= ⋅ = ⋅ = ⋅ = Ω

Quindi il filtro a linea commisurata è:


Per cui può funzionare come passa-basso, passa-banda, passa-alto (solo se il campo di

frequenze utile è più ristretto della banda, ad esempio se 3 5

4 4Tω π ω π= ≤ < .


9 Filtri attivi RC

Rispetto ai filtri passivi si possono usare a frequenze piuttosto basse e sono più sensibili

alle variazioni dei valori dei componenti.

Impiegano però amplificatori operazionali, resistori e condensatori, quindi hanno minori

dimensioni, maggiore stabilità, assenza di induttori.

1. Concettualmente una funzione di trasferimento ( )T s può essere scritta come

prodotto di ( )iT s di secondo ordine (come caso particolare ( )iT s può essere di

primo ordine)

( ) ( ) ( )2

21

Mi i i

i i ii i i i

m s c s dT s T s T s K

n s a s b=

+ += =+ +∏

2. Si possono impiegare strutture basate sulla retroazione, che sono generalmente

meno sensibili alle tolleranze dei componenti (ma più complesse di quelle in

cascata).

Sintesi di ( )iT s del primo ordine

( )( )

20

1i

Z sV

V Z s= −


( )( )

20

1

1i

Z sV

V Z s= +

Esempio

Realizzare ( ) , 0i

AsT s A B

s B= − >

+

Dato il segno meno, si usa il primo dei due circuiti precedenti:

22

11

0

KK ZZ As s Bs B K

K KZ s BZ

As As

=++= = >

+ =

Esempio

Realizzare ( ) , , 0i

s AT s K K A B

s B

+= >+

. Si sceglie il secondo circuito, quindi


( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1

11 1

K s A K s A s B K s KA BZ Zs AK

Z s B Z s B s B s B

+ + − − − + −++ = = − = =+ + + +

Scelta 2Zs B

α=+

e ( ) ( )2 1

ZK s KA B

α=− + −

con ( ) ( )1 0, 0K KA B− > − > .

Sintesi di filtri del secondo ordine: Passa basso

Retroazione positiva

02

V A

V s Bs H=

+ +


1 2 1 2

1 1 2 1 2 2

1 2 1 2

1

1

1 1 1

1

B

A

A KR R C C

RK

R

KB

R C R C R C

HR R C C

=

= +

−= + +

=

Si può agire su 1 2 1 2, , , , ,A BR R C C R R in modo da ottenere valori desiderati per A, B, H.

Retroazione negativa

02

V A

V s Bs H=

+ +

1 2 1 2

1 1 2 1 3 1

2 3 1 2

1

1 1 1

1

AR R C C

BR C R C R C

HR R C C

= −

= + +

=


Sintesi di filtri del secondo ordine: Passa alto


2

02

V Ks

V s Bs H=

+ +

2 2 2 1 1 1

1 2 1 2

1

1 1 1

1

B

A

RK

R

KB

R C R C R C

HR R C C

= +

−= + +

=



20

2

V Ks

V s Bs H=

+ +

1

3

1 2

2 2 3

1 2 2 3

11

1

CK

C

C CB

R C C

HR R C C

= −

+= +

=

Sintesi di filtri del secondo ordine: Passa banda


02

V As

V s Bs H=

+ +

1 1

1 1 3 2 3 1 2 1

1 2

1 2 3 1 2

1

1 1 1 1

B

A

KA

R C

RK

R

KB

R C R C R C R C

R RH

R R R C C

=

= +

−= + + +

+=



02

V As

V s Bs H=

+ +

1 2

2 2 2 1

1 2 1 2

1

1 1

1

AR C

BR C R C

HR R C C

= −

= +

=


Circuiti con tre amplificatori operazionali

Possono essere impiegati per realizzare, con la stessa configurazione, i vari tipi di filtri del

secondo ordine.

Circuiti a variabili di stato

Utilizzano due integratori e un sommatore. Lo schema a blocchi è:

21 4

2 5 3

1 1 2

1 3 3 4 5 2 4

2 1 12 1

2 5 31 1

1 1 2

3 242

3 2 1 2

2 5 32

1 1 2

passa alto

1 1passa banda

1

1passa basso

in

in

in in

in in

V K sK KV s sK K K

V K V K V K V Ks

V V KV V

K KK s V K s V s sK K K

V VKK s

V V K KK KV K s V s sK K K

−=

+ +

= − − +

= − = − =

+ +

= −

−

= − =

+ +


Il circuito effettivo può avere la struttura seguente:

Con 6 7

3 45

3 4

R R

R RR

R R

=

=+

si ottiene:

66 6 631 3 2

33 4 6

62 1 1 1 1 4

1 1 4

63 2 2 2 2 5

2 2 5

1

1

in

RR R RKV V V V

RR R R

RV V K R C K

sC R R

RV V K R C K

sC R R

== − − +

= − ⋅ = =

= − ⋅ = =

Le espressioni di 1 5, ...,K K sono da sostituire in quelle di 31 2, ,in in in

VV V

V V V dello schema a

blocchi per i tre tipi di filtro del secondo ordine.


Circuito biquad

31

14 3 11

1 1 341 3

1 1 1 1 12 2

2

3 2

1

1 1

in

in

V VVRR R RR

sC R RRV V V

V sC R sC RsC VR

V V

−

= −+

= − −

+ += −

= −

( )

3 14 11 3 3 1 4 1

2 2 3

1 1 1 11 1 1 1

1 2 2 3 2 3 2

111 1

1 11 1

in

in

R CR CV V V R C R C

sC R V Vs sR C R C s s

R C R CV sC R V sC V R

= − − + = −+ +

+ + = − − =

Quindi

3 4 1 4 1 2 4 1 2

2

2 21 1 3 2 1 23 1 1 1 3 1

2 21 1

1 1

1 1 1

11 1 11

1

in

V R C R C R R C CsV ssR C s R C R R C CR C R C R Cs sC R

R C sR C

− −= − = =

+ ++ +

+ +

+

che rappresenta un passa basso del secondo ordine.

31 4 12 2

2

1 1 3 2 1 2

1in in

s

VV R CsC R

sV V sR C R R C C

−= =

+ +

che rappresenta un passa banda del secondo ordine.


La realizzazione di altre funzioni richiede l’impiego di un quarto amplificatore

operazionale, connesso ai morsetti A, B, D. Le equazioni già scritte NON VENGONO

MODIFICATE. Il circuito connesso a A, B, D è il seguente circuito sommatore:

3 0 8 8 810 3 1

7 5 6 8 6 5 7

inin

V V V R R RVV V V V

R R R R R R R+ + = − = − − −

Sostituendo le espressioni di 1

in

V

V e 3

in

V

V si ottiene:

0 8 8 3 82 2

6 5 7

2 2 4 1 28 2

26 5 7

1 1 3 2 1 2

2 2 2

7 1 1 3 2 1 2 2 4 1 2 6 58

2

1 1 3 2 1 2

2

7 18

11 1

1

1 1 1 1

1

1 1

in in

V R R V RsC R

V R R V R

R R R C CR sC

sR R RsR C R R C C

sC Rss

R R C R R C C R R C C R RR

ss

R C R R C C

s sR R C

R

= − − − =

−

= − + ⋅ + =

+ +

+ + − +

= − ⋅ =+ +

⋅ += − ⋅ 1 7 4 1 5 7 3 2 1 2 6 2 4 1 2

2

1 1 3 2 1 2

2

7 1 1 7 4 5 2 1 2 7 3 6 48

2

1 1 3 2 1 2

1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

1

R R C R R R R C C R R R C Cs

sR C R R C C

ss

R C R R R R R C C R R R RR

ss

R C R R C C

− + ⋅ − ⋅

=+ +

⋅ + − + −

= − ⋅+ +


Per

5 7

1 7 4 5 1 4

6 7

3 7 4 6 3 4

1 10

1 10

R R

R R R R R R

R R

R R R R R R

− = =

− = =

si ottiene un passa alto.


10 Qualche nota sulla funzione passa banda

del secondo ordine

Abbiamo visto nel circuito biquad la relazione

1 4 1

2

1 1 3 2 1 2

1in

s

V R CsV s

R C R R C C

−=

+ +

Nel caso generale la relazione può essere scritta come

( )0

2 200

K sQ

H ss s

Q

ω

ω ω=

+ +

da cui, posto s jω=

( )0

2 22 2 0 0 0

0

0 0

1 1

jKK KQ

H jj Q jQ

Q j

ω ωω ω ω ω ωωω ω ω

ωω ω ω

= = =− − + + + −

( )H jω è massimo per 0ω ω= e vale ( )0

H j Kω ω

ω=

= .

Le pulsazioni per guadagno 3dB sotto il valore massimo sono quelle che danno

( )2

2 0

0

1 22

KH j Q

ωωωω ω

= + − =

Posto 0

xωω

= si ricava

( )2

2 2 1 1 411 1 0

2

QQ x Q x x Qx x Q x

x Q

± ± +

− = ± − = ± − = =

dove i segno che danno 0x < vanno scartati. Siccome 21 4 1Q+ > restano le possibilità:

( ) ( )( )2 2 11,2 2 1

0 0

1 1 11 1 4 1 1

2 2x Q x x

Q Q Q

ω ωω ω

= ± + + − = − − = = −

Perciò la larghezza di banda si ottiene come


QB 0

12

ωωω =−=

Il confronto con la 1

in

V

V del biquad (a meno del segno, che non importa) dà:

20 00

4 1 1 1 3 2 1 2

1 1 1; ;K B

Q R C Q R C R R C C

ω ω ω= = = =

quindi si possono controllare separatamente K, la larghezza di banda B e la 0ω .


11 Simulazioni di reti a scala LC con reti attive (FDNR)

Si parte da una rete a scala doppiamente terminata su elementi resistivi. Le realizzazioni

classiche per i filtri mostrano che tali reti sono poco sensibili alle variazioni dei paramentri

delle impedenze longitudinali e trasversali. Pertanto esse sono un buon punto di partenza.

1 2, ,... nZ Z Z sono bipoli LC.

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

1 2 1 2 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 3

1 1 2 1 1 1 2

0 0

0 0N l l N l N l N N l

E R J Z J J E R Z J Z J

Z J J Z J Z J J Z J Z Z Z J Z J

Z J J Z R J Z J Z Z R J− − − − −

= + − = + −

= − + + − = − + + + −

= − + + = − + + +

La struttura del sistema è dunque del tipo:

[ ]1

20

0

ij ji

l

JE

J Z Zcon

i j

J

=

=

≠

Z

Dividiamo ora tutte le impedenze per sα . Per avere il primo membro immutato, le correnti

di maglia ( )1,...,iJ i l= vanno moltiplicate per sα .

[ ] 1

; ss

αα

= = Z Z J J (*)

Si ha:

22 2 l l

RV R J sJ

sα

α= = ⋅

quindi la tensione 2V non muta. Pertanto 2V

E non muta. Allora lo scalamento (*) mantiene

la stessa 2V

E.


Vediamo le conseguenze dello scalamento.

La FDNR (Frequency-Dependent Negative Resistor) si realizza tramite il circuito di

Riordan:

( )

( )( )

( )

2 4

1 11 1

1 23 2 3 1 3 2 3

2

4 43 4 4 3 3

5 54 5

1

V V V

I sC V VI sC V V

V VsC V V V V sC R V V

RR RV V V V V V V VR RR R

= =

= −= −

−

= − − = −

− − = = +

=

Quindi

( ) 4 2 41 3 2 3 2 3 2 3 2 3

5 5

1 1 1R R R

V V sC R sC R V V sC R sC R sCR R

= + − + = + − −

=

+−= VR

RRsCsCI

5

4231 11 VDsV

R

RRCCs ˆ2

5

42312 = dove 5

4231ˆR

RRCCD =

Nota: Il circuito richiede un terminale a massa.


Esempio di applicazione

Trasformare la rete a scala LC impiegando FDNR.

Scegliamo 610α −= . Si ha

I FDNR longitudinali non hanno estremi a massa. In questi casi si possono impiegare due

circuiti di Riordan in serie:

Un modo alternativo di procedere potrebbe essere basato sulla adozione di giratori per la

realizzazione dei due induttori longitudinali.

Ricordiamo l’equazione costitutiva dei giratori:

R rapporto di girazione.


( ) ( )1 2 2 21 2 1 1 1

2 1

V RIV R sCV sCR RI sCR I sLI dove L CR

V RI

=

= − = − − = = =

= −

Nel caso dei circuiti attivi abbiamo:

1 2,R R rapporti di girazione.

Con 31 2 10R R= = Ω si ha

1 21 22 6 2 6

1 2

1.27 1.081.27 1.08

10 10

L LC F e C F

R Rµ µ= = = = = =

Anche i giratori si realizzano con operazionali:


( )

2

x x

yxx y

y

V V RI V V RI

V VV VV V V

R RV

sC V VR

− = = −

−−

= = −

− =

Quindi

( ) ( ) 22 y y

y

V RI V V V V RIRsC RI V V sCR I

RsC V V V

− = − = +

= =

− =

R = rapporto di girazione.

Per evitare il “morsetto a massa” si possono adottare due circuiti in serie:

I limiti di queste soluzioni stanno nel fatto che la matrice di resistenza del giratore, che nel

caso ideale è definita da 1 1

2 2

0

0

V IR

V IR

=

−

nel caso reale contiene anche “piccoli” termini sulla diagonale principale, che perturbano il

risultato desiderato. Inoltre gli amplificatori operazionali operano come tali in un campo di

frequenze limitato, quindi non si possono impiegare per fare giratori al di fuori di tale

campo di frequenze.


12 Sintesi mediante strutture accoppiate

In questo caso il circuito attivo si ottiene simulando le equazioni che descrivono la rete a

scala.

Caratterizziamo i bipoli longitudinali con le ammettenze Y e le correnti; quelli trasversali

con le impedenze Z e le tensioni.

( )( )

( )( )( )

1 1 2

2 2 1 3

3 3 2 4

4 4 3 5

5 5 4 6

0 6 6 5

I Y E V

V Z I I

I Y V V

V Z I I

I Y V V

V V Z I

= −= −

= −

= −

= −

= =

Definiamo ( )1,3,5k kV rI k= = , ottenendo:

( )

( )

( ) ( )

( )

1 1 2

21 32

3 3 2 4

43 54

5 5 4 6

650

V rY E V

ZV V V

r

V rY V V

ZV V V

r

V rY V V

ZV V

r

= −

= −

= −

= −

= −

=

Definiamo ora

1 1 3 3 5 5

62 42 4 6

; ;

; ;

T rY T rY T rY

ZZ ZT T T

r r r

= = =

= = =


con i quali si ottienila struttura a blocchi (leap-frog) seguente:

Le sintesi di 1 6,...T T si effettuano con operazionali.

I blocchi tipici per la realizzazione con operazionali sono:

( )1yxx y

VVYV V V V

r r rY+ = − = − +

zV V= − (invertitore)


Il circuito a blocchi “leap-frog” va particolareggiato tenendo conto delle inversioni di

segno necessarie per l’uscita e anche per il fatto che gli ingressi ,x yV V vengono sommati e

non sottratti.

Esempio

Consideriamo il filtro passa basso:

( )( )

( )

( )

( )

( )

1 11 1

1 1 22

1 1 2 221 3 22

2 2 1 3

3 3 2 4 3 33 3 2 43

4 4 3 43 44

44

4 4

1

1

rT rY

R sLV rY E V

ZI Y E V TZr sC rV V V

V Z I I rr

I Y V V T rYV rY V VsL

V Z I ZRV V

r Z rTr sC R

= =+

= −= − = =

= −

= −

= − = == −

=

== =

+

A meno del segno, le kT sono tutte realizzabili cono operazionali, resistori e condensatori.

Infatti:

1 11 2 2

1 1

1 R LrT Y s

R sL rY r r− = − ↔ − = +

+

2 22

1 1T Y sC

sC r rY− = − ↔ − =

33 2

3

1 LrT Y s

sL rY r− = − ↔ − =


4

4 44 4

4 4 4 4

11 1

1

RsC RrT Y sC

sC R rY R R

+− = − ↔ − = = ++

Lo schema leap-frog deve tener conto che i blocchi realizzati sono con 1 2 3 4, , ,T T T T− − − −

e che in ingresso le tensioni vengono sommate e non sottratte. Ecco i dettagli della

trasformazione:

Il dettaglio dei blocchi non è rappresentato per brevità.


13 Circuiti numerici e trasformata Zeta

Il termine circuito (o filtro) numerico (o digitale) indica un algoritmo di calcolo eseguito su

un segnale numerico di ingresso e che produce in uscita un segnale numerico. Il segnale di

ingresso è quindi costituito da una

Campionamento del segnale


Se Tτ << ( ) ( ) ( )

( ) t

n

T

nTttxtx

δ

δ∞+

−∞=

∗ −⋅=

se per 0<t ( ) 0=tx (come usuale in un sistema fisico) allora

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∞

=

∗ ⇔−==0n

T nTtnTxttxtx δδ modulazione impulsiva

La funzione ( )tTδ è periodica di periodo T si può esprimere in serie di Fourier

( ) Njn tT n

n

t C e ωδ+∞

=−∞=

dove:

2

N T

πω =

( )0

1N

T jn tn TC t e dT

Tωδ −= ≡

( )

0

1 1N

T jn tt e dTT T

ωδ − =

perciò ( ) 1Njn t

Tn

t eT

ωδ+∞

=−∞=

Ora, dalla ( ) ( ) ( ) ( )1Njn t

Tn

x t t x t x t eT

ωδ+∞

∗

=−∞= =

trasformando con Laplace:

( ) ( )1N

n

X s X s jnT

ω+∞

∗

=−∞= −

ai poli di ( )sX corrispondono infiniti poli di ( )sX ∗

( ) ( )1N

n

X j X j jnT

ω ω ω+∞

∗

=−∞= −


Lo spettro del segnale campionato ripete lo spettro del segnale analogico su tutto l’asse ωj

(aliasing). La ricostruzione del segnale analogico richiede dunque un filtro passa-basso a

valle del convertitore D/A. Occorre inoltre che le bande ripetute di ( )ωjX ∗ NON SI

SOVRAPPONGANO, altrimenti sarà impossibile isolare con il filtro lo spettro ( )ωjX

(SPECTRA FOLDING).

Lo spectra-Folding si ha quando lo spettro del segnale ha una frequenza massima Bω che

cade oltre 2Nω

Il teorema del campionamento, o teorema di Shannon, afferma che si possono campionare

e, successivamente, ricostruire senza distorsione segnali analogici a banda limitata

utilizzando una pulsazione di campionamento Nω tale che 2N Bω ω> , ove Bω è la

massima pulsazione dello spettro del segnale analogico

1) In teoria, nessun segnale fisico ha uno spettro limitato. Per essere con spettro limitato,

un segnale dovrebbe estendersi nel tempo da ∞− a ∞+ . Tutti i segnali limitati nel

tempo hanno uno spettro da ∞− a ∞+ .

2) In pratica si considerano a banda limitata i segnali il cui contenuto armonico è

trascurabile oltre una certa Bω : in questi casi l’errore prodotto dalla sovrapposizione

degli spettri p trascurabile

3) Per far sì che la condizione sia rispettata, spesso si fa precedere a tutta la sequenza di

blocchi un filtro analogico passa-basso con il compito di limitare il contenuto armonico

del segnale applicato al filtro numerico. Tale filtro si dice anti-aliasing.

Trasformata Z – qualche richiamo


Sia ( )tf una funzione a valori reali (o complessi) definita in [ )+∞,0 e tale che

( ) RAAetf t ∈>≤ λλ ;0

Fissato un numero positivo T, si dice trasformata Z del campionamento di( )tf la ( )zF

definita da

( ) ( )∞

=

−=0n

nznTfzF ( z complessa ) ( )0

nT

n

eF z A

z

λ∞

=

≤

Quindi per ( )F z si ha convergenza se TT

ezz

e λλ

>< 1

Legame con la variabile s di Laplace:

( ) Tzezeez TTjsT ωσωσ =∠=== + ;

ωσ jA += con 0<σ

( ) TjT eeAZ ωσ= con ( ) 1<= TeAZ σ

perciò il semipiano sinistro del piano s sta dentro il cerchio 1=z

ωσ jB += con 0>σ

( ) TjT eeBZ ωσ= con ( ) 1>= TeBZ σ


perciò il semipiano destro del piano s sta fuori del cerchio 1=z .

L’asse ωj va sul cerchio 1=z . Inoltre, per ωjs = , si ha

NN

jjTj

jseeez ω

ωπω

πωω

ω

22

==== per

+−∈2

,2

NN ωωω si fa un giro completo sul cerchio

1=z . Poi tutto si ripete:

Ne consegue che, nella:

( ) ( )+∞

−∞=

∗ −=n

NjnsXT

sX ω1 i poli di ( )sX ∗ , equispaziati nella direzione dell’asse

immaginario a distanza TN

πω 2= e infiniti, vanno in un unico insieme nel piano z.

Si ha ora

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +−+−+=−== ∞

=

∗ TtTxTtTxtxnTtnTxttxtxn

T 2200

δδδδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++== −−∗∗ TsT eTxeTxxtxLsX 220

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=

−−− =+++=0

21 20n

nznTxzTxzTxxzX

Alcune proprietà

1) Oltre alla linearità si possono citare

2) Traslazione: se ( ) ( )[ ] ( ) ( ) kzzXzYTknxnTy −⋅=⇔−=

3) Se ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] −+= = =

TngnTxnTgiTxnTgn

i

10

( ) ( ) ( ) += − zGzzXzG 1 ( ) ( ) ( )11 1 −

=−

= − z

zzX

z

zXzG


4) Funzione di trasferimento ( ) ( )( ) =zX

zYzG ”risposta impulsiva” ( ) ( )zGzY ≡ per

( ) ( ) ,0,0,11 == kxzX

5) All’integrale di convoluzione ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−≡−=∞ t

dtxgdtxgty00

ττττττ (siccome

deve essere 0t tτ τ− > < e l’estremo superiore di integrazione effettivo è t )

corrisponde una sommatoria nel discreto ( ) ( ) ( )[ ]TinxiTgnTyn

i

−= =0

Trasformate notevoli

Per ( ) ( ) ,,, 20 aTaTat eeekxetx −−−− =→=

( )n

n

aTaTaT

z

ezezezX ∞

=

−−−−−

=+++=0

2211

Per aTaT

ezz

e −−

>< 1 la sommatoria converge e si ha ( )aTaT ez

z

z

ezX −− −

=−

=1

1

Per ( ) ( ) ( )j

eeTntxttx

TjnTjn

2sinsin

ωω

ωω−

∗ −===

( )

−

=

−= ∞

=

−∞

=

∞

=

−−

∗

000 2

1

2 n

nTj

n

nTj

n

nTjnTjn

z

e

z

e

jz

j

eezX

ωωωω

Per 11 =>< ±±

Tj

Tj

ezz

eω

ω

si ha

( )

−

−−

=

!

"

#

−=

−=

−=

−=

−∗

−−

∞

=

−

∞

=

$

$

TjTj

TjTjn

nTj

TjTjn

nTj

ezezj

zzX

ez

z

z

ez

e

ez

z

z

ez

e

ωω

ωω

ω

ωω

ω

11

2

1

1

1

1

0

0

( ) 1cos2

sin

12 22 +−=%%&

'(()*

++−+−−−

−

Tzz

Tz

eezz

ezez

j

zTjTj

TjTj

ωω

ωω

ωω


Antitrasformata Z

Un metodo si basa sulla divisione iterata di ( ) ( )( )zq

zpzF =

( ) ( ) ,, 102

21

10 ffkfzfzffzF =+++= −− è la sequenza di campioni

Un altro metodo si basa sullo sviluppo in frazioni parziali, con le quali si possono

identificare porzioni elementari della sequenza. Le “basi” di riferimento più comuni sono

( )

az

za

z

zk

z

z

k

−↔

−↔

−↔

21

11

Solitamente conviene sviluppare in frazioni parziali ( )z

zF e poi moltiplicare nuovamente

per z .

Esempio

( ) ( )( )( )

( )( ) ( ) ( )2

1

1

1

21

1

21232 −+

−−=

−−=

−−=

+−=

zzzzz

zF

zz

z

zz

zzF

( ) ( ) kkfzz

zzF 21

2

2

1+−=

−+

−−=


La variabile di Richards nel dominio digitale

Sia T l’intervallo di campionamento del segnale da filtrare. Indichiamo con TN

πω 2= la

pulsazione corrispondente. Il teorema del campionamento limita il campo utile di

pulsazioni: 2

0 Nωω ≤≤T

π

= . In tale campo un segnale continuo può essere ricostruito

senza ambiguità dai suoi campioni. Se lo spettro del segnale esce da tale campo, si verifica

il fenomeno di aliasing. Pertanto la massima frequenza utilizzabile è 2Nω

. Le funzioni di

filtro ( )sH che abbiamo imparato a trattare nel caso continuo sono definite su tutto il piano

complesso. Perciò è opportuno considerare una trasformazione detta trasformazione di

Richards, dal piano ωσ js += a un piano Ω+Σ= jλ tale che

22

22

2tanh

sTsT

sTsT

ee

eesT−

−

+

−==λ sT

sT

e

e−

−

+−=

1

1

Lo sviluppo della trasformazione dà, con qualche calcolo

2tanh

2tan1

2tan

2tanh1

2tanh

2tan1

22

22

TT

TTj

TT

j σω

ωσσω

λ+

−+

+=Ω+Σ= e questa mostra che

1) Punti nel semipiano destro ( )0>σ vanno nel semipiano destro ( )0>Σ

2) Punti nel semipiano sinistro ( )0<σ vanno nel semipiano sinistro ( )0<Σ


3) L’asse ωj va sull’asse Ωj con corrispondenza periodica: per

0 tan tan2 N

Tj j j

ω ωσ λ πω

= → = Ω = =

Per cui il campo

∈

2,0 Nωω viene mandato in ( )+∞∈Ω ,0 (simmetricamente per

−∈ 0,

2Nωω ). Al di fuori di questo campo, la mappatura sull’asse Ωj semplicemente si

ripete in modo periodico. La trasformazione mantiene come regione di stabilità il

semipiano sinistro del piano complesso: 0<Σ . Si può pensare, dunque, alle funzioni di

filtro nel caso continuo come ( )λH . La trasformazione λ→s permette di filtrare segnali

a banda limitata

+−2

,2

NN ωωimpiegando le funzioni ( )λH concepite senza questa

restrizione. Il passaggio ( ) ( )zHH →λ , ricordando che sTez = , è assai diretto:

1

1

1

1

1

1

2tan −

−

−

−

+−=

+−==

z

z

e

esTsT

sT

λ Funzione bilineare di z

Tramite questa trasformazione, il semipiano sinistro 0<Σ viene mandato entro il cerchio

1<z . La frontiera (asse Ωj ) corrisponde alla frontiera del cerchio 1=z . Perciò, nel

piano z, la regione di stabilità è per 1≤z : i poli di ( )zH devono essere dentro il cerchio.

Esempio

Realizzazione di un filtro passa-basso in z con le seguenti caratteristiche:

Frequenza di taglio a 3dB: 310 Hz 30 102 ⋅= πω


Attenuazione a 3=sf KHz : 15≥ dB

Il periodo T di campionamento sia T 410−= ( )4102 ⋅= πωN (2Nω

cade, si noti, oltre sf

che è in banda oscura)

Poniamo 3249.10

tan2

10102tan

2tan

430

0 =

=

⋅⋅==Ω− ππω T

Poniamo 0Ω

= λλn

+−⋅

Ω= −

−

1

1

0 1

11

z

z.

Scegliamo l’approssimazione di Butterworth, con indice m da individuare in base

all’attenuazione prescritta.

La frequenza 3=sf KHz corrisponde a 3764.110

3tan

2

101032tan

43

=

=

⋅⋅⋅=Ω− ππ

s

( )m

jH2

0

1

1

ΩΩ+

∝Ω

Avere almeno 15 dB di attenuazione per sΩ=Ω significa porre

( )( ) ;101151log1015

0log20 5.1

2

0

2

01010 ≥

ΩΩ

+≥

!

"##$

%

ΩΩ

+≥Ω

m

s

m

s

sH

H

;110 5.1

2

0

−≥&&'(

))*+

ΩΩ,

m

s ( )2185.1

log2

110log

010

5.110 =-=

../0

1123

ΩΩ

−≥ mm

s

( )1056.4595.0

1056.0

212

122

002

20

0

2

0

++=

Ω+Ω+Ω

=

+4456

7789

Ω+445

67789

Ω

=:λλλλλλ

λH

( ) ( )( ) ( ) ( ) =

++−+−

+=

+;;<=

>>?@

+−+;;<

=>>?@

+−

=−−−

−

−

−

−

− 21221

21

1

12

1

1 11056.14595.01

11056.0

1056.1

14595.0

1

1

1056.0

zzz

z

z

z

z

zzH

( )( ) ( ) ( ) =

+++−++−++

−−−−−

−−

21221

21

211056.14595.021

211056.0

zzzzz

zz


( )( ) ( ) 21

21

1056.04595.0121056.011056.4595.01

211056.0−−

−−

+−++−+++++

zz

zz

( )21

21

646107888.156511

211056.0-- z.z.

zz

+−++=

−−

poli: 0.5715 0.2937 1p pz j z= ± <

Filtri passa-alto e passa-banda

Il fatto che il limite superiore di pulsazione trattabile per un segnale campionato a T sia

2N

T

ω π= esclude di fatto la possibilità di operare su quel segnale un vero filtraggio passa-

alto: la massima frequenza che può essere “fatta passare” garantendo la ricostruibilità del

segnale è 2Nω

. Per i filtri passa-banda si può impiegare, nel piano λ , una trasformazione

da passa-basso prototipo a passa-banda del tipo di quella già incontrata nel caso continuo.

Supponiamo che la banda di frequenze da “passare” sia 21 ωωω ≤≤ , con 22Nωω ≤ .

Definiamo

Nωπω 2,1

2,1 tan=Ω trasformazione: 1

1

12 1

1−

−

+−=

Ω+ΩΩ−Ω

Ω→z

zλλ

λλ

dove 21ΩΩ=Ω

Stabilità e classificazione di filtri digitali

Nei procedimenti considerati si è giunti ad ottenere una funzione di trasferimento per il

filtro digitale la cui struttura è

( ) ( )( )1

1

1

0

1−

−

=

−

=

−

=+

=

zN

zM

zb

zazH

n

i

ii

m

i

ii


La stabilità richiede che i poli cadano tutti all’interno del cerchio 1=z , ovvero nel

semipiano sinistro del piano λ . Se ( ) 11 ≡−zN ( )ibi ∀= 0 allora ( ) =

−=m

i

ii zazH

0

e il filtro

si dice di tipo FIR (Finite duration Impulse Response ): la risposta all’impulso è codificata

con 1+m campioni. Si tratta di una funzione stabile, perché i suoi m poli sono tutti

nell’origine. La realizzazione di un filtro FIR è assai semplice. Un filtro FIR è in grado di

dare una risposta in fase lineare a tutte le frequenze (dimostrazione non riportata).

Se ( ) 11 ≠−zN il filtro si dice di tipo IIR (Infinite duration Impulse Response)

I blocchi fondamentali per la sintesi

I blocchi fondamentali sono

1) Sommatore

2) Moltiplicatore

3) Blocco di ritardo unitario

La loro realizzazione tramite circuiti logici è piuttosto semplice. In ogni caso, essi possono

essere considerati anche come operazioni da realizzare in forma software, impiegando un

calcolatore o un microprocessore.


Filtri IIR – sintesi

La funzione ( ) ( )( )zX

zY

zb

zazH

n

i

ii

m

i

ii

=+

=

=

−

=

−

1

0

1 corrisponde a una equazione alle differenze nella

forma:

( ) ( ) ( )=

−

=

− −=n

i

ii

m

i

ii zbzYzazXzY

10

Nota: se mn ≠ basta sopprimere i blocchi moltiplicatori in eccesso.

Verifica: detta ( )zψ la variabile ausiliaria, si ha

( ) ( ) ( ) ( )zzbzzbzXz ψψψ 22

11

−− −−=

( ) ( ) ( )zYzzaza =++ − ψψ 110

( ) ( )

=

−

=

−=

+m

i

ii

n

i

ii za

zY

zb

zX

01

1

Questo genere di sintesi è estremamente semplice, perché richiede soltanto la conoscenza

di coefficienti ia e ib . Il circuito ottenuto è canonico, perché contiene il minimo numero

possibile di unità di ritardo. Questo numero è pari all’ordine di ( )zH ( )nm,max . La

struttura circuitale è tuttavia sensibile alle variazioni dei coefficienti possibili


deviazioni della effettiva risposta in frequenza e rumore dovuto all’accumulo degli

arrotondamenti. Questi inconvenienti salgono con l’ordine di ( )zH .

La situazione può essere migliorata fattorizzando dapprima la funzione di trasferimento

( )zH in termini quadratici (più eventualmente un termine di primo ordine per funzioni di

grado dispari). Ciascun termine viene realizzato separatamente e i vari blocchi sono poi

connessi in cascata.

Perciò la

( ) ( )∏

=+

= −

−

kk

i

ii

i

ii

zHzb

zazH

1

con 1

1

110

1 −

−

++

=z

zH

k

kkk β

αα (ordine 1)

oppure con 2

21

1

22

110

1 −−

−−

++++

=zz

zzH

kk

kkkk ββ

ααα (ordine 2)

Per il blocco di ordine 1 si ha:

( )( ) 1

1

110

110

11

1

10

1

1

1−

−

−

−

−+

+=

+=

+=

=

=+=−

z

z

x

y

zy

zx

z

y

x

k

kk

k

k

kkk

kkkkk

kk

βαα

ααψβψ

ψηηαψαψηβ

Si noti che esso è ottenibile da quello di ordine 2 con 02 =kα e 02 =kβ

Catena risultante:


( ) ( )∏=k

k zHzH

In alternativa, ( )zH può essere sviluppata in frazioni parziali

( ) ( )+=

+++

+= −−

−

ii

i ii

ii zHKzz

zKzH ˆ

1 22

11

110

ββαα

Ciascun termine ( )zH iˆ ha la struttura appena vista per i termini di ordine2 ma con il ramo

k2α cancellato.

Un eventuale termine di ordine 1 si ottiene ancora dallo stesso circuito ponendo 01 =kα e

02 =kβ :

11

0

1 −+=

zx

y

k

k

k

k

βα

La struttura risultante è, in questo caso, parallela:

Filtri FIR- sintesi

( ) =

−=m

r

rr zazH

0


14 Teorema di Cohn

Consideriamo un circuito fatto di soli bipoli LTI. Uno di essi è un generatore E; gli altri

sono descritti attraverso l’impedenza. Le impedenze “interne” si indicano con hZ . Ogni

bipolo è descritto con la convenzione normale.

Associamo al circuito sopra descritto un secondo circuito, nel quale il solo bipolo esterno

muta l’impedenza da Z a Z Zδ+ .

La “perturbazione” Zδ modificherà tensioni e correnti rispetto al circuito precedente.

Applichiamo il teorema di Tellegen due volte. Nella prima consideriamo le tensioni del

primo circuito ( ), ,hE V V e le correnti del secondo ( )', ,E E hI I I I Iδ δ+ + . Abbiamo:

( ) ( )' 0E E h hh

E I I V I V I Iδ δ+ + + + =

( I )

Nella seconda consideriamo gli insiemi duali, ossia le tensioni del secondo circuito

( )', ,hE V V Vδ+ e le correnti del primo circuito ( ), ,E hI I I . Abbiamo:

( )' 0E h hh

EI V I V V Iδ+ + + =

( II )

Dalla ( I ) si ha:

' 2 0E E h h hh

EI E I Z I I ZI ZI Iδ δ+ + + + + =

( a )

Dalla ( II ), trascurando i termini contenenti il prodotto di due “perturbazioni”, si ha:

[ ]' 0E h h hh

EI Z I I ZI Z I I Z Iδ δ+ + + + =


Ossia

' 2 2 0E h h hh

EI Z I I ZI ZI I I Zδ δ+ + + + =

( b )

Sottraendo ( b ) da ( a ) si ha:

2 0EE I I Zδ δ− =

Ora, nel circuito di partenza l’impedenza misurabile alla porta del generatore è:

( ) ( )( )2 2 2 2

EE E E E

E E E E EE

dZE E E E EZ Z I I

I d I I I IIδ δ δ− − −= = = = − =

− − −

Ma si è appena trovato che

2

E

II Z

Eδ δ=

quindi:

22

2EE E

E I IZ Z Z

I E Iδ δ δ

= ⋅ = Teorema di Cohn

L’influenza di Zδ sull’impedenza misurata sul lato “E” è pesata dal quadrato del rapporto

fra la corrente sul lato “Z” e quella sul lato “E”.


15 Sensibilità

La sensibilità relativa di una funzione di rete T rispetto a un parametro x, indicata con TxS

di definisce come:

( )( )ln

lnTx

TTT x TS

xx T xx

∂∂∂ = =∂∂ ∂

Esempio

( )( )

( )( )

( )

1

2

2 2 1 12

21 2 1 21 2

1 2

1 2 2 2 12

2 1 21 2

1 2

; TR

TR

R R R RVT S

RE R R R RR RR R

R R R R RS

R R RR RR R

−= = = − =+ ++

+

+ −= =

+++

Per avere T

T

∆ preciso entro qualche percento, si tiene conto del fatto che

1 2

1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 T TR R

dR dRT T dT T TdT dR dR dR dR S S

R R T T R T R R R

∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂

da cui

1 2

1 2

1 2

T TR R

R RTS S

T R R

∆ ∆∆ +

che indica come influiscono le tolleranze di fabbricazione 1

1

R

R

∆ e 2

2

R

R

∆ sulla tolleranza

T

T

∆ risultante.


Il calcolo di T

x

∂∂

si riporta di fatto a quello di una V

x

∂∂

o di una I

x

∂∂

. Per esempio, se

inT Z= ci si riporta ad avere inV

x

∂∂

con inI assegnata.

1in in inin

in in

V Z VTT Z

I x x I x

∂ ∂∂= = = =∂ ∂ ∂

Quando i parametri x sono molti, il calcolo delle derivate parziali di T rispetto a tutti i

parametri è proibitivo. Il metodo da adottare, allora, è quello della rete aggiunta, che si

basa sul teorema di Tellegen.


16 Dipendenza bilineare

Una qualsiasi funzione di rete T di un circuito lineare dipende in modo bilineare

dall’impedenza di un suo componente. Consideriamo il caso:

o

g

VT

V

Si vuole evidenziare la dipendenza di T da Z. Esempi:

Il bipolo Z si può rappresentare come

Se ora rimuoviamo temporaneamente il legame tra grandezza pilotante e pilotata (YV

diventa iYV , con iV “esterna”) si ottiene una rete con due ingressi ,g iV V e due uscite

,oV V .


Le due uscite dipendono linearmente dai due ingressi, e si ha:

o g i

g i

V aV bYV

V cV dYV

= +

= +

con , , ,a b c d da identificare. Supponendo di averli determinati, il circuito originale si

ottiene ponendo iV V= , da cui:

( )1 1o g g

o gg g

V aV bYV cVV aV bY

V cV dYV V dY cV dY

= +

= +

= +

− = −

quindi

( ) ( ) ( )1

1 1o g g g

a dY bcY a Y ad bc aZ ad bcV V V V

dY dY Z d

− + − − − −

= = =

− − −

che è una relazione bilineare.

I termini effettivamente da identificare sono ( ), ,a d ad bc− . Si ha anzitutto:

0 0i m i

o o

g gV g V

V Va

V V= =

= ≡

Perciò a è la T che si ha “quando Z è infinita”: poniamo a T∞=

0g

Ti V

Vd Z

YV=

= = −

iYV è, in questo caso, un generatore “indipendente” di corrente.


IL rapporto i

V

YV vale TZ− , ovvero il negativo dell’impedenza di Thevenin fra A e B.

Infine, scegliamo una coppia di ingressi ,g iV V in modo che fra A e B sia 0V = :

0

o g i

g i

V aV bYV

cV dYV

= +

= +

i g o g

c bcYV V V a V

d d

= − = −

Perciò:

: 0i

oo

g YV V

Vad bcT

d V=

− = =

che è il valore di T quando 0V = . Quindi ( ) o T oad bc dT Z T− = = −

Infine si ha:

( ) o T

T

T Z T ZT Z

Z Z∞ +=

+

che è una relazione bilineare in Z.

La sensibilità TZS si esprime come:

( ) [ ]( ) ( )[ ]2

T o TT oTZ T

o T T o TT

T Z Z T Z T Z T TZ ZT ZS Z Z Z

Z T T Z T Z Z Z T Z T ZZ Z

∞ ∞ ∞

∞ ∞

+ − + −+∂= ⋅ = ⋅ ⋅ =∂ + + ++

Quindi noti , ,T oZ T T∞ la sensibilità si può calcolare senza effettuare derivate.

Esempio

Sensibilità della funzione di trasferimento o

g

VT

V= di una rete a scala alle impedenze dei

rami longitudinali e trasversali.


Si ha, in generale:

( )[ ]T k oZ T k

k k T k o T

Z T TTS Z Z

Z T Z Z T Z T Z∞

∞

−∂= =∂ + +

Per l’impedenza di un ramo longitudinale 2 1k lZ Z += si ha, ricordando quanto esposto:

Per cui, determinata TZ , si ha:

( )2 1

2 12 1 2 1

T o lZ T l

l T o T l T

T ZS Z Z

Z Z T Z Z Z+

++ +

− −= =+ +

Si noti, quindi, che non occorre determinare oT .

Per l’impedenza di un ramo trasversale 2k lZ Z= si osserva che, quando con opportuni gV

e iYV si ottiene 0V = :

0 0oV perchè V= =

anche oV diventa nulla, per cui 0oT = . Determinata TZ fra A e B con rete passivata

(circuito non riportato) si ha:

( )22 2 2

T TZ T l

l T l l T

T ZS Z Z

Z Z T Z Z Z∞

∞

= =+ +


perciò non occorre determinare T∞ .

Il caso in cui T sia l’impedenza xyZ fra due punti di un circuito si tratta in modo simile.

Infatti:

gxy

g

VZ

I=

Per valutare la dipendenza di xyZ da Z si rinnova, come già fatto in precedenza, il legame

fra le variabili descrittive V e I di Z:

Questa rete viene trattata come se avesse due ingressi ,g iI V e due uscite ,gV V . Si ha:

( )g g i

g i

V aI bYVlinearità

V cI dYV

= +

= +

questa generalizzazione permette di esplicitare la dipendenza, nel circuito originario, di

xyZ da Z.

Infatti, ponendo iV V= nelle equazioni precedenti si ha:

( )1g g

g

V aI bYV

V dY cI

= +

− =

da cui si ottiene:

( ) ( ) ( )1

1 1 1g g g g g g

a dY bcY a Y ad bc aZ ad bccV aI bY I I I I

dY dY dY Z d

− + − − − −

= + = = =

− − − −


che è una relazione bilineare.

Consideriamo, anche in questo caso, i termini da identificare.

Anzitutto

0 0i i

g g

g gV YV

V Va Z

I I ∞

= =

= ≡ =

a è dunque l’impedenza xyZ quando la Z collegata fra A e B è infinita.

0g

Ti I

Vd Z

YV=

= = −

d− è quindi l’impedenza di Thevenin TZ fra A e B.

Scegliamo ora una coppia di ingressi gI e iV in modo che tra A e B sia 0V = .


0

g g i

g i i g

V aI bYV

ccI dYV YV I

d

= +

= + = −

da cui otteniamo:

: 0i

gg g

g YV V

Vbc ad bcV a I

d d I=

−

= − =

Quindi

o

ad bcZ

d

− =

che è il valore di Z quando 0V = .

Riprendendo la relazione generale si ha:

( )g o Txy

g T

V aZ ad bc Z Z Z ZZ

I Z d Z Z∞− − += = =

− +

che è una relazione bilineare in Z.

La sensibilità xyZ

ZS si può esprimere come:

( ) ( )( )

( )( )( )2

xyZ xy T o T T oZ T

xy o T T o TT

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZS Z ZZ

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z

∞ ∞ ∞

∞ ∞

∂ + − + + −= = =∂ + + ++

Noti , ,T oZ Z Z∞ la sensibilità si calcola senza ricorrere a derivate.


17 Il metodo della rete aggiunta

Consideriamo per semplicità un

circuito N in cui la funzione T sia i

u

V

V.

Supponiamo che esso contenga bipoli

kZ , generatori di corrente pilotati in

tensione e nullori. Estensioni ad altri

componenti e altre T si potranno

dedurre in seguito. Lo strumento da

impiegare, come anticipato, è il

teorema di Tellegen, da applicare

anche a lati che sono circuiti aperti

(come G-H o come Ck-Dk).

Conviene allora riformulare il circuito

di partenza mettendo su tali lati

generatori di corrente con corrente

nulla.

In vista della definizione della rete aggiunta conviene dare variabili descrittive anche per i

nullori.


Ovviamente 0=nuV , 0=nui (nullatore), noV , noi sono “indeterminate”, o meglio,

determinate dal resto del circuito (noratore).

È così possibile ridisegnare il circuito N di partenza “completato” con il metodo sopra

detto: esso ha variabili di lato per ogni lato del grafo, e questo include come lati anche i

circuiti aperti di interesse per l’analisi.

A tale circuito N ne affianchiamo un altro N con lo stesso grafo ma con i lati ancora di

natura imprecisata.

In N come in N , si noti, ogni lato ha ora le due variabili descrittive tensione e corrente

con la convenzione degli utilizzatori. Le variabili in N sono indicate come in N ma hanno

in più un “^” per contraddistinguerle.

Detti kV e ki gli insiemi di tensioni e correnti in N

kV e ki

gli insiemi di tensioni e correnti in N


si ha, fra le altre relazioni implicate dal teorema di Tellegen

= 0kkiV

= 0ˆ

kkiV

Consideriamo ora in N un sistema di tensioni e correnti perturbate (ma in modo

compatibile con il grafo):

kkk VVV ∆+→ ; kkk iii ∆+→

si ha:

( )( ) =∆+

=∆+

0ˆ0ˆ

kkk

kkk

iiV

iVV(date le precedenti)

=∆=∆

0ˆ0ˆ

kk

kk

iV

iV e ancora, per differenza:

( )=∆−∆ 0ˆˆ

kkkk iViV

che è la forma sulla quale operare per definire la rete aggiunta. Sui termini entro parentesi

(eventualmente coinvolgendo contemporaneamente più lati del grafo, ad esempio, nel caso

di generatori pilotati) si agisce con il seguente criterio:

fare in modo che i componenti della rete aggiunta N siano tali da mantenere la uV∆ ed

evidenziare le variazioni di tutti i parametri dei componenti di N , annullando i coefficienti

delle kV∆ e ki∆ su tutti i lati uk ≠ .

Ciò si ottiene ragionando sulle varie categorie di componenti (o lati) e considerando i

termini della sommatoria associati ad essi.

Ingresso (lato i) e uscita (lato u)

( ) ( )iiiiuuuu iViViViV ∆−∆+∆−∆ ˆˆˆˆ termini della sommatoria

ora, 0=∆ iV perché il generatore Vi in ingresso è fissato

0=∆ ui poiché il generatore ui in uscita è fissato (è anche nullo, ma non

serve che lo sia!)

quindi i due termini ( ) per i due lati si riducono a:


iiuu iViV ∆−∆ ˆˆ

ma ii∆ non interessa basta porre 0ˆ =iV , ossia mettere sul lato MN della rete aggiunta N un corto circuito

in questo modo:

(lato u) + (lato i) uuiV ˆ∆→

Bipoli (lato k-esimo) con k kZ k ZV Z i=

Per una variazione kZ∆ la relazione costitutiva fornisce

( ) ( ) ( )k k k k k k kz z k k Z Z z k z k zV V Z Z i i V Z i Z i+ ∆ = + ∆ + ∆ ∆ = ∆ + ∆

(il termine kk zZ i∆ ∆ si trascura).

Sostituendo kZV∆ nel termine corrispondente della sommatoria si ha:

( )kkkkkkkkkkk ZZkZZZZkZkZZZZ iiZiViiZiZiViV ˆˆˆˆˆ ∆=∆−∆+∆=∆−∆

purché kkkk ZZZZk iViiZ ∆=∆ ˆˆ , ossia purché:

Perciò le variazioni indesiderate si autoelidono lasciando kZ tale e quale anche in N : ogni

R, L, C (o altro) rimane invariata.

Lati per i generatori pilotati (lati kc e km )

( ) ( )kkkkkkkk mmmmcccc iViViViV ∆−∆+∆−∆ ˆˆˆˆ termini della sommatoria


ora, 0=∆kci perché il “generatore” di corrente

kci è fisso (a valore zero, ma questo non

importa)

inoltre ( ) ( )( ) ∆+∆+=∆+=kkkkkkkkk ccmmmmcmm VVggiiVgi

sostituendo nelle due parentesi () () si ha

( ) ( )ˆˆ ˆ0k k k k k k k k kc c m m m m c m cV i V i V g V g V

∆ − + ∆ − ∆ + ∆

per avere 0≠ solo il termine con kmg∆ occorre che sia

( )

===∆+−∆

kkk

k

kkkkkk

mmc

mmmmmcc Vgi

iiVVgiV ˆˆ

0ˆ0ˆˆˆ

per cui, nel passaggio da N a N , il componente è ancora un generatore pilotato con

parametro kmg identico ma con lati scambiati

Nullori (lati un e on )

( ) ( )oooouuuu nnnnnnnn iViViViV ∆−∆+∆−∆ ˆˆˆˆ termini della sommatoria

ora, 0=∆unV e 0=∆

uni perché il lato un in N è un nullatore

ci si riduce a oooo nnnn iViV ∆−∆ ˆ che deve scomparire del tutto, il che avviene se

==

0ˆ0ˆ

o

o

n

n

V

i sul lato on di N c’è un nullatore. Sul lato on di N non ci sono prescrizioni

è un noratore.


Risultato: nel passaggio da N a N il nullore permuta i suoi lati: il nullatore va sul lato on ,

il noratore sul lato un .

Conclusione: per la rete aggiunta così costituita la sommatoria da cui si è partiti si riduce

così:

0ˆˆˆ =∆−+∆+∆

Z g

kkkkkN N

mcmZZkuu VVgiiZiV

perciò, assegnato ui in uscita tramite un generatore di corrente costante, l’espressione

suddetta rappresenta il differenziale totale della funzione

( )11,..., ,..., , ,..., ,...,Z k Ng

u k N m m mV Z Z Z g g g . Si ha, per variazioni sufficientemente piccole

kk ZZ

uk

u iiiZ

V ˆˆ1−=

∂∂

; kk

k

mcum

u VVig

V ˆˆ1=

∂∂

La rete aggiunta N ha, per riassumere, la struttura

La mappa completa di passaggio da N a N (includendo cioè anche gli altri tipi di

generatori pilotati) si ottiene facilmente, ed è riassunta di seguito


Determinazione della sensibilità rispetto ai componenti con il metodo della rete

aggiunta

La funzione di trasferimento considerata è

i

u

V

VH =


Le relazioni generate con la rete aggiunta sono

kk ZZ

uk

u iiiZ

V ˆˆ1−=

∂∂

; kk

k

mcum

u VVig

V ˆˆ1=

∂∂

da esse è possibile ottenere le espressioni di sensibilità in termini di variazione dei

parametri quali R, L, C, gm.

Per un resistore kR

1 ˆˆk k k

u

iH k k kR R R

uk k u u

i

V

VR R RHS i i

VH R R V iV

∂

∂ = = − ∂ ∂

ma kk RRk ViR = ; =

kk RRk ViR ˆˆ si può riscrivere il risultato come

ˆ 1ˆ

k k

k

R RHR

k u u

V VS

R V i−

# Per un induttore kL ( );k kk k L k LZ sL V sL i= =

( ) ( )ˆ1 1ˆ

ˆ ˆk k

k k k

u

L LiH k k k kL L L

uk k k u k uu u

i

VV VVL sL sL sLH H

S i iVH L H sL sL V sL Vi iV

∂

∂ ∂ = = = − = −

∂ ∂ ∂

Per un condensatore kC 1 1

;k kk C C

k k

Z V isC sC

= =

k

H kC

k

C HS

H C

∂∂

osserviamo che, in termini di una generica ( )kCf , si può scrivere

∂∂=

∂∂

kk dC

df

fCper ( )

kk C

Cf1= si ha

∂

∂−=∂

∂

k

kk

C

CC 1

12


==

∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂−=kkk CC

uuk

k

u

ku

k

u

ku

k

k

k

kHC ii

iVsC

sC

V

sCV

C

V

CV

C

C

H

CH

CS ˆ

ˆ111

1

11

1

1

1

122

uu

kCC

iV

sCVVkk

ˆ1ˆ

=

Per un generatore pilotato kmg

uu

mcm

m

u

u

m

m

mHg iV

VVg

g

V

V

g

g

H

H

gS kkk

k

k

k

k

km ˆ1ˆ

ˆ =∂∂=

∂∂=

Le altre possibili generalizzazioni (altri generatori pilotati oppure altre H) si possono

costruire facilmente con questi stessi metodi.


18 Rete aggiunta e sensibilità per

l’impedenza fra due punti di un circuito

L’impedenza fra due punti N e M si considera come una funzione di trasferimento nella

quale è assegnata in ingresso la corrente e si considera come “uscita” la tensione agli

estremi: HI

VZ ==

Consideriamo allora un circuito N con le caratteristiche “interne” identiche a quelle già

considerate per il caso i

u

V

V.

Le varianti rispetto al caso già considerato sono:

1) non si consideriamo più morsetti G-H per una Vu (⇔ non c’è un “lato u”)

2) fra N e M si pone un generatore di corrente ii e si considera la tensione “in uscita”

agli stessi estremi.


Attenzione: in vista dell’applicazione del teorema di Tellegen, la iV è presa con la

convenzione degli utilizzatori (per cui i

i

i

VZH −== )

La costruzione della rete aggiunta è del tutto analoga a quella già vista, salvo per l’unico

lato esterno i (non c’è lato u). Per esso la sommatoria di Tellegen ha il termine:

iiii iViV ∆−∆ ˆˆ ma 0=∆ ii perché ii è fissata (l’ingresso è assegnato) per cui, per mantenere

il termine ii iV ˆ∆ , occorre assegnare 0ˆ ≠ii con un generatore di corrente nella rete aggiunta.

Il resto della sommatoria è completamente identico a quello già incontrato per i

u

V

VH = .

Complessivamente si ha 0ˆˆˆ =∆−+∆+∆ k

g

kk

Z

kk mN

CmN

ZZkii VVgiiZiV

Quindi i

ZZ

k

i

i

ii

Z

Vkk

ˆ

ˆ−=

∂∂

; ˆˆ 1 1

ˆ ˆk k k k

k

i

Z Z Z ZiZ k k k iZ

k k i k k ii ii

i

Vi i V ViZ Z Z VZ

SZ Z Z V Z Z Vi iV

i

∂ − ∂∂ = = = − = −

∂ ∂ ∂

−

i

mC

m

i

i

VV

g

Vkk

k

ˆ

ˆ=

∂∂

; i

mC

i

m

m

i

i

i

i

m

m

mZg

i

VV

V

g

g

i

V

i

V

g

g

Z

Z

gS kkk

k

k

k

k

km ˆ

ˆ=

∂

−∂

−

=∂∂=

si noti l’analogia tra questi risultati e quelli ottenuti per l caso in cui i

u

V

VH = .

Esempio

Calcolare le sensibilità della funzione di trasferimento i

u

V

V rispetto alle variazioni dei

componenti


1) calcoliamo uV e le tensioni della rete

11

11 +

=sCR

sCRVV iR ;

11 +=

sCR

VV i

C ; 11

22 +

−==sCR

VRgVV im

Ru

2) costruiamo la rete aggiunta.

uRm IRVV ˆˆˆ22

−==

ummmR IsCR

RRg

sCR

RVgV ˆ

11.ˆˆ

1

21

1

11 +

−=+

+= ; um

RC IsCR

RRgVV ˆ

1ˆˆ

1

211 +

+=−=

3) Si ha ora

kk ZZ

uk

u iiIZ

V ˆˆ1−=

∂∂

; i

u

V

VH = ;

uuk

ZZZZ

uu

k

k

u

u

k

k

kHZ

IVZ

VVii

IV

Z

Z

V

V

Z

Z

H

H

ZS kk

kkk ˆ

ˆˆ

ˆ1 −=

−=∂∂=

∂∂=

quindi, per 1RZk = oppure 2RZk = basta sostituire. Ad esempio

Per k

k sCZ

1= si ha

quindi, in questo caso:

1ˆ

11ˆ1

1

1

1

1

1

21

1

1

2 +−=

++−

+−−=

sCR

sCRI

sCR

RRsCg

sCR

sCV

IsCR

VRgsCS u

mi

uim

HC


Per generatori pilotati si ha:

1 ˆˆ

k k k

m k kk

k k

m m mH ug m m

m u m u u

g g gVHS V V

H g V g V I

∂∂= = =

∂ ∂

nel caso dell’esempio, in particolare:

( )22 1

1

1 ˆ 1ˆ 1

1

m

H m ig u

m i u

g VS R I

g R V sCRIsCR

= − =

+

−+


19 Un cenno al progetto di filtri tramite ottimizzazione

Sia ( )ω0H una funzione di trasferimento “desiderata”, sia ( )ωH la funzione di rete in N.

Per rendere ( )ωH “il più vicina possibile” a ( )ω0H , si può considerare il funzionale E

costituito pesando l’errore quadratico su un numero discreto M di pulsazioni.

( ) ( ) 2

01

M

i i ii

E W H j H jω ω=

−

con iW funzione peso predefinita e maggiore di 0.

Sia jF un parametro della rete (esempio R,L,C, mg ). Si ha:

( ) ( ) NjjHjHF

WF

E M

iii

ji

j

,,11

2

0 =−∂∂=

∂∂

=

ωω

ricordiamo che:

( ) ( ) ( )iii jHjHjH ωωω ∗⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) =∂∂−=

∂∂ ∗

=

2

1

102 ii

M

i jiii

j

jHjHF

jHjHWF

E ωωωω

( ) ( ) ( ) ( )0

1

12

2i

M

i i ii j ji i j

H HW H j H j H H

F FH j H j ω

ω ωω ω

∗∗

∗=

∂ ∂

= − ⋅ ⋅ + =

∂ ∂

( ) ( ) ( )

0

1

2 Re 1, ,

i

Mi i

ii ji

j

H j H j HW H j N

FH jω

ω ωω

∗

=

− ∂

= ⋅ =

∂

Le jF

H

∂∂

sono note dalla rete aggiunta ad ogni pulsazione iω


Perciò:

il gradiente del funzionale E può essere calcolato direttamente a partire dalle derivate della

( )ωjH rispetto ai componenti jF . Questi, inoltre, si possono ottenere in modo esplicito

dalla rete aggiunta.

Ottenuto il gradiente di E, si può avviare un procedimento di minimizzazione rispetto a

[ ]NFF ,,1 . Indicando con T

NF

E

F

EE

∂∂

∂∂=∇ ,,

1 e con ( ) ( ) ( )[ ]TK

NKK FFF ,,1 = il vettore

dei valori di tentativo dei parametri del circuito al passo k, si ha, ad esempio:

( ) ( )( )KFF

KK EtFF=

+ ∇−=1

ove t>0 è il passo di avanzamento nella direzione del gradiente. Esso può essere scelto, ad

esempio, col criterio del gradiente ottimo, ricercando, ad ogni passo:

( )( )( )KFF

K

tEtFE

=>∇−

0min

Altri algoritmi facilmente utilizzabili e basati sul gradiente sono:

1) metodo delle tangenti parallele

2) metodo dei gradienti coniugati

Occorre infine ricordare che è possibile vincolare ciascun parametro jF a stare in un

intervallo di valori prescritto (vincoli espressi da disequazioni maxmin jjj FFF ≤≤ )

aggiungendo termini opportuni al funzionale E da minimizzare (rif. Condizioni di Karush-

Kuhn-Tucker). E’ anche possibile introdurre vincoli su jF espressi da equazioni (è un caso

più semplice del precedente ed è meno frequente in questo genere di applicazioni).

Comunque, entrambi i tipi di vincolo poggiano sull’aggiunta ad E di termini opportuni

tramite moltiplicatori di Lagrange.

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