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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL DIRETORIA …
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UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
DIRETORIA ACADÊMICA
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL
O MODELO DE DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO DE VAN
HIELE
Carmen Teresa Kaiber1
Introdução
Apresentam-se, aqui, aspectos teóricos do chamado modelo do
desenvolvimento do pensamento geométrico de Van Hiele, acompanhados, sempre
que possível, de exemplos, com o intuito de permitir um melhor entendimento do que
está sendo apresentado. Tais exemplos vão se referir a aspectos conceituais do
conhecimento geométrico que vão ser desenvolvidos ao longo dos estudos de Tópicos
de Geometria Plana e Espacial, o que indica a pertinência do presente texto ser
constantemente revisitado.
O modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico de van Hiele foi
proposto a partir das teses de doutorado de Dina Van Hiele-Geoldof e Pierre Van Hiele
finalizadas simultaneamente na Holanda. Os trabalhos dos van HIele emergiram da
percepção das dificuldades que seus alunos do curso secundário apresentavam em
relação ao aprendizado da Geometria. De acordo com Crowley (1994) como Dina
faleceu pouco depois de apresentar sua tese, foi Pierre quem deu continuidade a
teoria, aperfeiçoando-a. Segundo a autora o modelo pode ser usado tanto para avaliar
as habilidades dos alunos no que se refere à Geometria, como também, para orientar
o trabalho dos professores. Nesse sentido, o modelo assume um caráter tanto
explicativo e descritivo, como prescritivo.
1 Doutora em Ciências da Educação pela Universidade Pontifícia de Salamanca/Espanha. Professora do Curso de Matemática e do Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Luterana do Brasil.
O modelo dos Van Hiele foi constituído baseado na valorização da
aprendizagem da Geometria considerando uma evolução gradual, global e
construtiva. A evolução é considerada gradual, no sentido de que os Van Hiele
apontam que linguagem, raciocínio e intuição geométricos são adquiridos de forma
gradativa; é considerada global uma vez que definições e propriedades se relacionam,
considerando níveis que conduzem a significados distintos; é construtiva por
apontarem o destacado papel do estudante nas aprendizagens e na apropriação dos
conhecimentos (NASSER, 1992; CROWLEY, 1994).
Lopes e Nasser (1997) indicam que a ideia preliminar do modelo indica que os
alunos progridem a partir de uma sequência de níveis de compreensão de conceitos
aos quais os estudantes vão ascendendo durante o tempo em que aprendem
Geometria, sendo que cada nível se caracteriza por relações entre objetos de estudo
e linguagem próprios.
O modelo de Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico está
articulado em torno níveis de compreensão, propriedades do modelo e fases de
aprendizado. Os níveis em número de cinco – visualização, análise, dedução informal,
dedução formal e rigor - estabelecem as especificidades do processo do pensamento
geométrico. As propriedades do modelo, também, em número de cinco – sequencial,
avanço, intrínseco e extrínseco, linguística e combinação inadequada – destacam as
generalidades do modelo. Já nas fases do aprendizado - informação, orientação
dirigida, explicação, orientação livre e integração - os Van Hiele destacam que o
progresso ao longo dos níveis depende mais do ensino recebido do que da idade ou
maturidade (CROWLEY, 1994) o que põe em destaque métodos, estratégias e
recursos ao longo do processo de ensino e aprendizagem. No que segue, são
presentados os níveis, propriedades e fases do modelo.
1 O modelo de Van Hiele – Níveis
Crowley (1994) pondera que, apoiado em experiências educativas apropriadas,
o modelo preconiza que os estudantes percorrem de modo sequencial níveis, a partir
do nível inicial (visualização), no qual o espaço é apenas observado e as propriedades
dos objetos não são postas em jogo, até o nível mais elevado (rigor), o qual se refere
a aspectos formais dedutivos envolvendo o conhecimento geométrico. Como já
destacado o modelo prevê cinco níveis de compreensão do conhecimento geométrico:
visualização ou reconhecimento, análise, dedução informal, dedução, rigor. A
caracterização e exemplificação de cada um dos níveis será aqui apresentada
tomando como referência Crowley (1994) e Nasser; Sant’Anna (2010).
Assim, no denominado Nível 12 – Visualização, os alunos percebem o espaço
como algo que existe no entorne deles, sendo que “Os conceitos da geometria são
vistos como entidades totais, e não como entidades que têm componentes ou
atributos” (CROWLEY, 1994, p.2). Assim, nesse nível os estudantes reconhecem
visualmente objetos geométricos por sua aparência física, entendendo-os de maneira
global e não por suas partes ou propriedades; reconhecem no meio físico, por
exemplo, as formas geométricas, associando-as a uma denominação que não
necessariamente é a padrão. Um aluno nesse nível consegue aprender um
vocabulário geométrico, identificar formas e, dada uma figura consegue reproduzi-la,
porém, como preconiza o modelo, não consegue perceber propriedades que permitam
distinguir os objetos. Como exemplo de atividade nesse nível, apresenta-se a
colocada em destaque na Figura 1.
Figura 1 – Atividade identificação de figuras geométricas
Um estudante que reconhecesse as figuras planas e não planas a partir da
semelhança com figuras já vistas anteriormente, sem identificar que uma classe de
figuras é bidimensional e a outra tridimensional, estaria atuando no nível 1. A
denominação das figuras não necessariamente seria a usual, podendo ser utilizado,
por exemplo, “cano” para um cilindro, “bola” para uma esfera e mesmo “triângulo” para
2 Na literatura os níveis são enumerados de duas diferentes formas, de 0 a 4 ou de 1 a 5. Estamos,
aqui, adotando a numeração apresentada por Nasser; Sant’Anna (2010), de 1 a 5.
uma pirâmide. Porém, o estudante já tem condições de se apropriar da denominação
adequada.
Crowley (1994, p.2-3) destaca um exemplo nesse nível, que aqui é reproduzido.
a partir da Figura 2.
Figura 2 - Quadrados e retângulos
Fonte: Crowley (1994)
De acordo com a autora um aluno no nível de visualização teria condições de
reconhecer que há quadrados em (a) e retângulos em (b) porque essas figuras têm
formas similares às de quadrados e retângulos já vistos anteriormente. Porém, não
reconheceria que as figuras têm ângulos retos, que os lados opostos são paralelos ou
que nos quadrados os quatro lados são congruentes.
No Nível 2 – Análise, inicia-se uma análise dos conceitos geométricos. De
acordo com Crowley (1994) é possível, por exemplo, por meio da observação e
experimentação, diferenciar as características das figuras geométrica, surgindo as
propriedades que são utilizadas para reconhecer classes de figuras. Assim, as figuras
não são mais vistas por sua aparência global, mas há o reconhecimento de que as
figuras têm partes, sendo reconhecidas por estas.
Como exemplo, destaca-se, na Figura 3, uma atividade a partir da qual se
busca identificar a propriedade de que ângulos opostos pelo vértice são congruentes,
considerando a construção, recorte e sobreposição de ângulos opostos pelo vértice.
Figura 3 – Atividade ângulos opostos pelo vértice
Um outro exemplo referente a esse nível é apresentado por Crowley (1994). A
autora destaca que, dada uma rede de paralelogramos os estudantes, ao identificar
ângulos congruentes, poderiam chegar ao entendimento que ângulos opostos de um
paralelogramo são congruentes, conforme apresentado na Figura 4.
Figura 4 – Rede de paralelogramos
Fonte: Crowley (1994)
De acordo com a autora, após um trabalho com vários desses exemplos, seria
possível fazer generalizações para a classe dos paralelogramos. Porém, destaca que
“alunos deste nível ainda não são capazes de explicar relações entre propriedades,
não veem inter-relações entre figuras e não entendem definições” (CROWLEY, 1994,
p.3)
O Nível 3 – Dedução Informal, se caracteriza pela possiblidade de se
estabelecer as relações que não ocorriam no nível anterior. Os alunos já conseguem
estabelecer relações dentro de uma figura como, por exemplo, estabelecer que se em
um quadrilátero os lados opostos são paralelos, os ângulos opostos são congruentes,
necessariamente. Conseguem, também, estabelecer relações entre figuras como, por
exemplo, um quadrado é um retângulo porque tem todas as propriedades do retângulo
(CROWLEY, 1994). Desse modo é possível deduzir propriedades de uma figura e
reconhecer classes de figuras, sendo que a inclusão de classes é compreendida.
Ainda, as definições adquirem significado e os alunos são capazes de acompanhar e
formular argumentos informais.
Atividades e situações de domínio nesse nível, referem-se, por exemplo, ao
estudante ser capaz de estabelecer a inclusão de classes entre quadriláteros
convexos tal como apresentado na Figura 5.
Figura 5 – Relação de inclusão entre quadriláteros convexos
Fonte: Nasser e Sant’Anna (2010)
Porém, tais relações só podem ser construídas pelos estudantes, de acordo
com o que o que preconiza o próprio modelo, a partir de atividades estruturadas e
organizadas para tal como, por exemplo, atividade apresentada na Figura 6.
Figura 6 –Exemplo de atividade
Fonte: adaptado de Nasser e Sant’Anna (2010)
Porém, de acordo com Crowley (1994, p.3) neste nível os estudantes ainda
“não compreendem o significado da dedução como um todo ou o papel dos axiomas”.
Ainda, de acordo com a autora, os estudantes são capazes de acompanhar
demonstrações formais, mas não são capazes de realizar uma prova formal partindo
de “premissas diferentes ou não familiares.” (p.4).
Um exemplo de prova que os estudantes, em princípio, são capazes de
acompanhar é apresentada na Figura 7 e refere-se a justificar que a soma da medida
dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
Figura 7 – Atividade envolvendo a soma dos ângulos de um triângulo
Entende-se que ao acompanhar essa prova, que já de início indicava o que
poderia ser usado como argumentação (as proposições que envolvem paralelas
cortadas por transversal), bem como a indicação do traçado da paralela a um dos
lados do triângulo, o estudante possa, a partir de uma análise da argumentação
construída, não só acompanhar a demonstração, mas também, ir se apropriando de
como se constrói uma argumentação tomando como referência proposições e
axiomas.
Ainda, no caso da atividade apresentada na Figura 7, uma maneira de
possibilitar ao estudante participar da construção da demonstração é omitir passos,
como destacado na Figura 8.
Figura 8 – Atividade envolvendo demonstração
No Nível 4 – Dedução, o significado da dedução como uma maneira de
estabelecer uma teoria geométrica é compreendido dentro de um sistema axiomático.
São percebidos os papeis de axiomas, definições, teoremas e demonstrações.
Demonstrações formais são construídas, e não apenas memorizadas, sendo admitida
a possibilidade de desenvolvê-las de mais de uma maneira; distinção entre uma
afirmação e sua recíproca; são compreendidas condições necessárias e suficientes.
Como exemplo de atividade desse nível destaca-se, por exemplo, a utilização
da congruência de triângulos para demonstrar que em um triângulo isósceles a
mediana relativa à base é, também, a bissetriz do ângulo oposto a ela.
Por fim, o Nível 5 – Rigor, refere-se a compreensão e comparação de sistemas
baseados em diferentes sistemas geométricos ou axiomas, sendo a Geometria vista
em um plano abstrato. Neste nível as Geometrias não Euclidianas não só são
compreendidas como também seus teoremas são demonstrados e comparados.
Crowley (1994) destaca que poucos estudantes alcançam esse último nível
pois, via de regra, os cursos de Geometria não chegam a ele. Particularmente, é
possível conjecturar que na Educação Básica o trabalho com a Geometria avance, no
máximo, ao Nível 3 - DeduçãoIinformal, sendo que a dedução formal (Nível 4) não se
constitui em objeto de estudo nos Ensinos Fundamental e Médio.
O estudo em Tópicos de Geometria Plana e Espacial, pretende avançar apenas
até o Nível 3 - Dedução Informal, avançando, eventualmente, para a dedução formal
apenas para o entendimento de como a mesma se estrutura. Aspectos de Geometrias
não Euclidianas vão ser estudados (o que, em princípio indicaria um estudo no nível
do rigor), porém limitados a uma apresentação do contexto em que começaram a se
constituir e, em particular, algumas das suas proposições o que, de modo nenhum
permite que se enquadre o estudo no nível do rigor, sequer do nível de dedução
formal.
Ainda no que se refere aos níveis do modelo de Van Hiele, Nasser (1992)
aponta que um aluno pode mostrar estratégias características de dois níveis diferentes
em tópicos distintos da Geometria, sendo possível transitar entre um nível e outro
imediatamente anterior ou posterior durante a resolução de uma mesma atividade. De
acordo com Nasser e Sant’Anna (2010) pesquisas indicam que o estudante pode,
também, apresentar raciocínio de um nível ainda que não tenha atingido
completamente o nível imediatamente anterior, embora o modelo preconize que o
aluno só avança para o próximo nível se tiver domínio dos níveis anteriores.
Importante chamar a atenção que não é a natureza da atividade que estabelece
o nível de desenvolvimento do pensamento geométrico. O que caracteriza o nível da
resposta é o modo de pensar do aluno que o leva a produzir determinadas respostas.
Nasser e Sant’Anna (2010) para ilustrar essa questão apresentam um exemplo que
aqui é reproduzido na Figura 9.
Figura 9 – Níveis de Van Hiele - exemplo de atividade
Fonte: Nasser e Sant’Anna (2010)
Em sua análise as autoras destacam que o aluno X tem a imagem conceitual
do retângulo apenas em uma posição e não identifica que a figura C também é um
retângulo, não atingindo o ní2 vel básico. O aluno Y consegue reconhecer as duas
figuras que representam um retângulo mas, de acordo com as autoras, não fica claro
se baseou-se apenas na aparência global (nível de visualização), ou se reconheceu
os quatro ângulos retos e os lados opostos paralelos, que seriam características de
raciocínio do nível de análise. Já o aluno Z, além de reconhecer como retângulos as
figuras C e E, percebeu que o quadrado B também é um retângulo, o que é
característica do nível de dedução informal.
Destaca-se, mais uma vez, que o modelo de Van Hiele pressupõe que o avanço
do estudante depende mais de uma aprendizagem adequada do que da idade ou da
maturidade do aluno, uma vez que a passagem para outro nível ocorre pela
experiência com atividades adequadas e ordenadas, organizadas pelo professor. No
que segue são destacadas as propriedades ou características do modelo e, em
seguida, as fases de aprendizagem.
2 Características do Modelo
O modelo apresenta propriedades ou características que auxiliam os
professores na tomada de decisões referentes ao ensino da Geometria, as quais, de
acordo com Crowley (1994) são: sequencial, avanço, intrínseco e extrínseco,
linguística e combinação inadequada.
Segundo a autora, o modelo é apresentado como sequencial pois, para chegar
a um nível mais avançado, o aluno deve passar por todos os níveis anteriores a este.
No que se refere ao avanço de um nível para outro, o modelo preconiza que o mesmo
independe da idade, pois está relacionado ao conteúdo e aos métodos de instruções
que o aluno recebeu. Tais conteúdos e métodos podem tanto intensificar o avanço
como retardá-lo e, até mesmo, impossibilitar a progressão. Já sobre o intrínseco e
extrínseco, um objeto intrínseco em um nível é extrínseco ao outro nível, ou seja, um
objeto que em um nível está sendo dominado de forma intuitiva, no nível posterior
pode se consolidar. A linguística refere-se ao fato que existem níveis distintos de
símbolos linguísticos e sistemas de relações que unem os símbolos, os quais estão
atrelados aos níveis. Por fim, a combinação inadequada, refere-se ao fato que, se o
nível das aulas estiver mais elevado do que o nível do pensamento geométrico dos
alunos, o avanço não irá ocorrer.
3 Fases de Aprendizagem
O modelo prevê, para cada nível, cinco fases sequenciais de aprendizagem,
sendo que o aluno evolui para o próximo nível quando chegar ao final da quinta fase
(CROWLEY, 1994), sendo elas: fase de informação, orientação dirigida, explicação,
orientação livre e de integração.
A primeira fase é de informação sobre os objetos de estudo, momento em que
professor e alunos conversam sobre o que será estudado; a segunda, de orientação
dirigida, os estudantes exploram o conteúdo por meio de atividades que o professor
elegeu e classificou, desenvolvendo atividades relativas aos objetos de estudo do
nível em questão; a fase de explicação é o momento em que, tomando como base as
estruturas ressaltadas, os alunos expressam seus pontos de vista e os transformam,
momento no qual o professor deve orientar os alunos quanto a utilização da linguagem
adequada; na fase de orientação livre é quando os alunos buscam saídas adequadas
para tarefas mais complexas e, pelas soluções encontradas por eles, acabam
compreendendo as relações estabelecidas acerca dos objetos de estudo; por fim, na
fase de integração, o aluno, auxiliado pelo professor, pode revisar e sintetizar o que
aprendeu tendo uma visão ampla do sistema de objetos e relações do nível atingido.
Ao término da quinta fase, os alunos passam para um novo nível de pensamento, o
antigo nível de raciocínio é substituído por um novo nível, e assim os alunos estão
aptos a refazerem as fases de aprendizado no próximo nível (CROWLEY,1994;
NASSER E SANT’ANNA, 2010)
Nasser e Sant’Anna (2010) ressaltam que as fases descritas no modelo podem
ocorrer concomitantemente e em diferentes ordens, no entanto, a última fase só deve
ocorrer, após as anteriores terem sido desenvolvidas, pois as anteriores fornecem a
estrutura necessária para que a aprendizagem ocorra.
De acordo com o modelo de Van Hiele, o professor deve ter cuidado ao
selecionar as atividades, uma vez que o método, o conteúdo, os materiais utilizados
e a organização das instruções são relevantes na prática pedagógica e o professor
tem um papel de destaque no modelo.
Referências
CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento
geométrico. In: LINDQUIST, M.M, SHULTE, A.P. (orgs.) trad. DOMINGUES, H.H. Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, 1994.
LOPES, Maria L.M. L. NASSER, Lilian. Geometria na Era da Imagem e do Movimento. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ, 1997.
NASSER, Lilian. Níveis de van Hiele: uma explicação definitiva para as dificuldades em geometria? Boletim GEPEM (USU), Rio de Janeiro, v. 29, p. 33-38, 1992.
NASSER, Liliam. SANT’ANNA Neide.F.P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 2. ed. rev. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 2010.