UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CAMPUS … · LISTA DE GRÁFICOS ... 2.4 MÉTODO DE EULER...
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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
CAMPUS ANGICOS
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS, TECNOLÓGICAS E
HUMANAS – DCETH
CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
FRANCISCO GOUVEIA MUNIZ NETO
PRPOBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM: ESTUDO
COMPARATIVO ENTRE SOLUÇÕES EXTAS E SOLUÇÕES NUMÉRICAS
OBTIDAS PELO MÉTODO DE EULER
ANGICOS – RN
2013
FRANCISCO GOUVEIA MUNIZ NETO
PRPOBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMEIRA ORDEM: ESTUDO
COMPARATIVO ENTRE SOLUÇÕES EXTAS E SOLUÇÕES NUMÉRICAS
OBTIDAS PELO MÉTODO DE EULER
Monografia apresentada à Universidade
Federal Rural do Semi-Árido (UFERSA),
Campus Angicos, como exigência final para
obtenção do título de Bacharel em Ciência e
Tecnologia.
Orientadora: Prof.ª Ma. Ana Cristina Girão e
Silva – UFERSA.
ANGICOS - RN
2013
Ao meu eterno e querido pai Vonúvio Gouveia Praxedes (in memoriam).
Aos meus avós Dalvanir Praxedes e
Francisco Gouveia Muniz.
DEDICO
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, nosso Arquiteto do Universo, pela vida e pelo
conhecimento.
Agradeço aos meus avós Dalvanir Praxedes e Francisco Gouveia Muniz pelo carinho,
educação, paciência e por ter sempre acreditado em mim. Ao meu eterno pai que hoje se
encontra ao lado de nosso Pai Celestial Vonúvio Gouveia Praxedes pelo amor e inspiração.
Aos meus irmãos Vonúvio Júnior, Atroari Praxedes, Iury Gouveia e Laryssa Gouveia.
A minha prima Josiany Praxedes pelo carinho, amizade, ajuda e por ter se tornado uma
pessoa muito especial pra mim.
A toda família Gouveia e Praxedes, tios, tias, primos e primas pelo apoio em minha vida
acadêmica.
A todos meus amigos de Caraúbas em especial Francélio Bezerra, Héber Jeokais, Marinaldo
Duarte, Elane Cosme, Renan Fernandes, Fagner Brito, David Édson, a família Bezerra, aos
Chegados, a galera da Santa Rita, da estação pela grande amizade, ao azeitona’s bar pelas
risadas e alegrias.
À Larissa Micheli Araújo Carneiro por ter passado mais da metade do curso ao meu lado,
pelo carinho, afeto e amizade.
À Universidade Federal Rural do Semi-Árido pelo conhecimento e aprendizado.
A todos os amigos que eu conquistei no curso em especial Lucas Mendes, Fernando
Henrique, Paulo Henrique, Cezar Ramos, Miquéias Pedro, aos gambias Thallis Thauan e
Franklin Dantas, Filipi Carlos, Viviane Cavalcante, Ítalo Menezes, Ericson Ferreira, João
Emanuel, David Édson, Allan Stéfano.
Agradeço a família Maçônica.
Em especial à minha orientadora Ana Cristina Girão e Silva pela paciência, dedicação e
amizade.
Aos professores Núbia Alves pelo carinho.
Agradeço a banca examinadora composta por Enai Taveira da Cunha e Ivan Mezzono pela
atenção e disponibilidade.
À banda Linkin Park pelo incentivo e inspiração.
A Son Goku por ter salvado a terra.
“Bazinga!”
(Sheldon Cooper)
RESUMO
O estudo das equações diferenciais tem sua importância garantida por possibilitarem a
geração de modelos de diversos fenômenos estudados em diferentes áreas do conhecimento,
tais como: Matemática, Física, Química, Biologia, Engenharia entre outras. Existem diversos
métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, com o
avanço computacional e a crescente necessidade de se obter soluções de problemas cada vez
mais complexos originaram esses métodos. Neste trabalho optamos pelo método de Euler, por
ser de fácil aplicação pela simplicidade de seu algoritmo, além de uma boa adequação quando
se trata de resultados aproximados na resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de
Primeira Ordem. O presente trabalho tem como objetivo comparar o método de Euler na
resolução de Problemas de Valor Inicial de Primeira Ordem com os métodos analíticos
(exata), como uma alternativa para obtenção de soluções geradas numericamente que
satisfaçam a equação diferencial ordinária e a sua condição inicial.
Palavras-chave: Equações Diferenciais. Problema de Valor Inicial. Método de Euler.
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 01
............................................................................................................................................ 33
Gráfico 2 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 02
............................................................................................................................................ 34
Gráfico 3 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 03
............................................................................................................................................ 34
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - PVI de primeira ordem ......................................................................................... 19
Figura 2 - Método de Euler .................................................................................................. 24
Figura 3 - Diagrama função Euler. ....................................................................................... 31
LISTA DE TABELAS
Tabela 01- Erro absoluto da última iteração dos Problemas 01 a 03 ...................................... 35
Tabela 2: Resultados do método de Euler aplicado ao problema 01, com . .............. 39
Tabela 3: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 01, com . ........... 39
Tabela 4: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 01, com . ........... 40
Tabela 5: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com . ............. 43
Tabela 6: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com . ........... 43
Tabela 7: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com . ........... 44
Tabela 8: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com . ............. 47
Tabela 9: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com . ........... 47
Tabela 10: resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com ............ 48
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 15
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................. 16
2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ....................................................................................... 16
2.2 APLICAÇÕES ............................................................................................................... 19
2.3 MÉTODOS ANALÍTICOS ............................................................................................ 20
2.3.1 Variáveis Separáveis ................................................................................................. 20
2.3.2 Equação Exata ........................................................................................................... 21
2.3.3 Equações Lineares ..................................................................................................... 22
2.4 MÉTODO DE EULER ................................................................................................... 23
3 MATERIAL E MÉTODOS ............................................................................................ 26
3.1 PROBLEMA 01 ............................................................................................................. 26
3.2 PROBLEMA 02 ............................................................................................................. 27
3.3 PROBLEMA 03 ............................................................................................................. 29
3.4 IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO EULER ................................................................ 31
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................................... 33
5 CONCLUSÕES ............................................................................................................... 36
6 REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 37
APÊNDICE ........................................................................................................................ 39
15
1 INTRODUÇÃO
Existem várias aplicações das Equações Diferenciais em diversas áreas da ciência tais
como na Física, Química, Biologia, Economia, Engenharia entre outras, com isso a
abordagem desse assunto é essencial para que possamos compreender melhor o
comportamento de diversos problemas.
Existem vários tipos de métodos numéricos para encontrar uma solução de uma
Equação Diferencial, com o avanço computacional e a crescente necessidade de se obter
soluções de problemas cada vez mais complexos originaram esses métodos. Geralmente os
cálculos de métodos de aproximações caracterizam-se pela repetição, pois quanto maior o
número de iterações, maior será a precisão para a obtenção de sua solução na equação.
Existem vários métodos numéricos para a resolução de uma Equação Diferencial Ordinária,
tais como Runge-Kutta, Euler, Adams Bashforth e outros. Optamos pelo método de Euler,
pois seu algoritmo é simples, de fácil aplicação e uma boa adequação no que se trata dos
resultados aproximados nas resoluções de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira
Ordem. Entretanto, esses métodos não substituem a solução obtida de forma analítica, pois é
usado somente em aproximações para resolução da equação com isso os métodos numéricos
para resolver uma EDO estão sujeitos a erros em relação ao valor exato obtido pela forma
analítica.
Para algumas equações calcular uma derivada de no ponto pode se tornar de
difícil resolução, mas uma das vantagens do método de Euler torna-se desnecessário fazer este
cálculo. O presente trabalho tem como objetivo comparar a resolução do método de Euler
com a forma analítica de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem como uma
alternativa para obter-se numericamente uma solução que satisfaça a equação diferencial
ordinária e a condição inicial. Para a elaboração desse trabalho foram utilizados fundamentos
de caráter bibliográfico e o auxílio de um software chamado Scilab 5.4.0.
O restante deste trabalho está organizado da seguinte forma: no Capítulo 2 são
apresentados conceitos e definições sobre Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira
Ordem, alguns exemplos de aplicações em ciências, métodos de resolução analíticos e o
método de Euler. No Capítulo 3, foram propostos três problemas os quais foram resolvidos
empregando tanto os métodos analíticos quanto o método de Euler. No Capítulo 4, os
resultados são exibidos graficamente, comparados e discutidos. Por fim, a conclusão é
apresentada no capítulo 5.
16
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Ao longo desse capítulo serão apresentados aspectos que definem e caracterizam as
equações diferenciais, tais como: a classificação, a ordem, o grau, formas de solução, alguns
exemplos de equações diferenciais e o Problema de Valor Inicial (PVI).
2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Segundo Boyce (2006), há uma grande variedade de princípios, ou leis, que regem
o comportamento do mundo físico como movimentos de fluidos, fluxo de corrente elétrica em
circuitos, dissipação de calor, propagação de ondas, aumento ou diminuição de populações
etc., são proposições que envolvem a taxa de variação segundo a qual tal fato acontece.
Matematicamente, tais relações são equações e as taxas envolvidas são derivadas, com isso
equações contendo derivadas são chamadas de Equações Diferenciais.
As equações diferenciais podem ser classificadas quanto ao tipo, a ordem e a
linearidade. Em relação ao tipo, podem ser chamadas Equações Diferenciais Ordinárias
(EDO) ou Equações Diferenciais Parciais (EDP). Uma equação será EDO quando as funções
dependerem apenas de uma variável independente (ZILL, 2003), por exemplo, equações (1),
(2), (3) e (4). Caso a equação envolva derivadas parciais, de funções de várias variáveis
independentes, ela será chamada de EDP, equação (5) (ZILL, 2003). As EDP não serão
objeto de estudo deste trabalho.
(1)
(2)
(3)
(4)
17
(5)
A ordem da equação diferencial é dada pela ordem da maior derivada presente na
equação. Assim, as equações (1), (2), (3) e (5) são ditas de primeira ordem. Enquanto que a
equação (4) é de segunda ordem.
Uma equação diferencial ordinária de ordem n possui a seguinte forma geral
( ) (6)
onde é uma função real de variáveis, , e
(ZILL; CULLEN,
2009).
Uma EDO de ordem pode ser expressa em uma forma padrão:
( ) (7)
Quanto à linearidade, uma EDO pode ser linear ou não linear. Dizemos que uma
equação diferencial ordinária de ordem (Equação (6)) é linear se tiver a forma da Equação
(8):
(8)
De acordo com Zill (2003), existem duas propriedades que são características em uma
equação diferencial linear: a potência de cada termo envolvendo y é igual a 1 e que cada
coeficiente depende apenas da variável independente .
Uma solução de uma equação diferencial é toda função , definida em um intervalo I
com pelo menos derivadas contínuas em I, que substituída em uma equação diferencial
ordinária de ordem n reduz a equação a uma identidade. Em outras palavras, uma solução de
uma equação diferencial ordinária de ordem é uma função que tem pelo menos
derivadas e para qual:
18
( ) (9)
Por exemplo, a função é uma solução da equação
no intervalo
. Ocasionalmente, representamos uma solução pelo símbolo (ZILL; CULLEN,
2009).
Conforme (ZILL; CULLEN, 2009), quando resolvemos uma equação diferencial de
primeira ordem obtemos uma solução contendo uma constante arbitrária ,
que é um parâmetro. A solução mais geral possível, a que possui a constante, é denominada
solução geral, ou seja, é um conjunto infinito de todas as soluções. Enquanto que uma solução
é chamada de particular quando esta específica o valor da constante (SODRÉ, 2003).
Algumas equações diferenciais admitem infinitas soluções, nenhuma, ou uma única
solução. Em geral, estamos interessados na solução de uma equação diferencial sujeita a
determinadas condições prescritas, que são impostas à solução desconhecida . Um
Problema de Valor Inicial (PVI) consiste em encontrar uma solução da equação diferencial
que satisfaça a condição inicial dada. Assim um PVI de ordem n pode ser definido
como o Problema (I) abaixo.
Resolver:
( )
(I)
Sujeita a: , , ...,
em algum intervalo I, contendo .
Desta forma, um PVI de 1ª ordem é descrito em (II).
Resolver:
(II)
Sujeita a:
19
No Problema (II) procuramos uma solução de equação diferencial em um intervalo
contendo de tal forma que uma curva integral passe por um ponto ( ), a Figura 1
ilustra uma interpretação geométrica para este problema (ZILL; CULLEN, 2009)
Figura 1 - PVI de primeira ordem
Fonte: (ZILL; CULLEN, 2009)
Resolver um problema de valor inicial de ordem em geral envolve o uso de uma
família a parâmetros de soluções da equação diferencial dada a determinar constantes
especiais de tal forma que a solução particular resultante da equação satisfaça as condições
iniciais.
Uma EDO pode ser resolvida por meio de métodos analíticos, qualitativos ou
numéricos. Neste trabalho, serão apresentados somente métodos de resolução de EDO de
primeira ordem, desta forma, serão estudados os três métodos analíticos: método das variáveis
separáveis, equações exatas e equações lineares, além do método numérico conhecido como o
Método de Euler.
2.2 APLICAÇÕES
Existem diversas aplicações de equações diferenciais de primeira ordem, nessa seção
iremos mostrar alguns exemplos de modelos que surgem na física e estatística,
respectivamente.
Considere um circuito elétrico simples (HALLYDAY; RESNICK; WALKER, 2008)
com uma força eletromotriz (pilha/gerador) produz uma voltagem de volts e uma
corrente de ampéres em um tempo . O circuito contém um resistor com resistência
20
de R ohms (W). A lei de Ohm diz que a queda na voltagem devido ao resistor é A queda
de voltagem devido ao indutor é
.
Uma das leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem
fornecida Então, temos:
é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução fornece a corrente no tempo
Um modelo para o crescimento de uma população (TRIOLA, 2008) baseia-se na
premissa de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população.
Podemos assumir isso para uma população de bactérias ou animais em condições ideais (meio
ambiente ilimitado, nutrição adequada, ausência de predadores, imunidade a doenças). Vamos
identificar e denominar as variáveis nesse modelo:
tempo (variável independente)
número de indivíduos da população (variável dependente)
A taxa de crescimento da população é a derivada
, assim a equação descreve a taxa
de crescimento da população, que é proporcional ao tamanho da população, é dada por:
Onde é a constante de proporcionalidade.
2.3 MÉTODOS ANALÍTICOS
2.3.1 Variáveis Separáveis
Considere a EDO de primeira a seguir (ZILL, 2003):
Deixando na forma diferencial:
21
Esta poderá ser resolvida por meio da integração, sendo contínua, integrando
ambos os lados, temos:
Uma equação separável é uma equação separável de primeira ordem na qual expressão
pode ser fatorada como uma função de vezes uma função de . Podendo ser escrita na
forma:
Portanto o nome separável vem do fato que a expressão do lado direito pode ser
separada em uma função de e uma função de , fazendo com que possamos integrar cada
membro:
∫ ∫
Onde é uma constante qualquer.
2.3.2 Equação Exata
A equação diferencial:
Ou,
22
A Equação (18) é chamada de equação exata se a expressão à esquerda for uma
diferencial exata, sendo uma equação diferencial de primeira ordem (ZILL, 2003). Uma
condição para que uma equação diferencial seja exta é que se a derivada de em relação a
for igual à derivada de em relação a , assim como:
Ou ainda:
Se por acaso:
a equação é dita não-exata.
2.3.3 Equações Lineares
Uma equação diferencial é linear quando é de primeiro grau a variável dependente e
em todas as suas derivadas. Quando , na Equação (8), obtemos uma equação linear de
primeira ordem da seguinte forma (ZILL, 2003):
Quando , chamamos a equação linear de homogênea, caso contrário é dito
não homogênea. Quando dividimos ambos os lados da Equação (20) por , obtemos uma
forma padrão de uma equação linear:
Onde e são funções contínuas.
23
Qualquer equação diferencial linear de primeira ordem pode ser resolvida de maneira
semelhante pela multiplicação de ambos os lados da Equação (21), por uma função apropriada
chamado de fator integrante (SODRÉ, 2003), onde:
∫
Para resolvermos a Equação (21) multiplicam-se ambos os lados pela Equação (22) e
integram-se os dois lados da equação.
2.4 MÉTODO DE EULER
Nas seções 2.3.1 a 2.3.3, examinamos equações diferenciais de primeira ordem
analiticamente, isto é, explicamos os procedimentos para obtenção de soluções exatas sejam
elas explícitas ou implícitas. Porém, muitas equações diferenciais possuem soluções que não
poderão ser obtidas por métodos analíticos, ou de difícil resolução. Nestes casos, a equação
será resolvida através de métodos numéricos, nos quais a ED será empregada à base de algum
algoritmo para aproximar a solução desconhecida da solução exata. Com isso, os métodos
numéricos são de grande importância para resolver diversos problemas, surgindo como uma
alternativa para resolver tais equações. É comum nos referirmos à solução obtida via métodos
numéricos por solução aproximada. Alguns dos métodos mais estudados são o Método de
Euler, Runge-Kutta, e Adams Bashforth, contudo o Método de Euler se destaca pela sua
simplicidade na resolução do seu problema baseando-se na forma de iteração onde quanto
mais repetições, maior será a precisão para a obtenção de sua solução na equação (GILAT;
SUBRAMANIAM, 2008). O método de Euler é de passo-simples porque depende apenas da
informação em um único ponto para avançar para o próximo.
O método de Euler também conhecido pelo método da secante (BARATTO, 2007) é a
técnica mais comum na tentativa de resolver uma EDO de primeira ordem, é uma maneira
simples de conseguir uma aproximação da solução analítica por meio de uma reta tangente. É
um método linear de primeira ordem obtido pelo truncamento em Série de Taylor parando na
primeira derivada (OLIVEIRA, 2008?). Segundo (BARROSO et al., 1987), o método de
Euler assume que, desejam-se aproximações para as soluções exatas
Em uma pequena distância na vizinhança de , a função tem
24
uma inclinação constante igual à inclinação Com isso, o próximo ponto da solução
numérica é calculado da seguinte forma (GILAT; SUBRAMANIAM, 2008):
Para qual:
Desse modo, com a aplicação do método de Euler, obtêm-se a aproximação da solução
analítica pela primeira derivada da equação diferencial, , onde se localiza o coeficiente
angular da reta tangente conforme Figura 2:
Figura 2 - Método de Euler
Fonte: Autoria própria (2013).
Como se desconhece o valor , torna-se como aproximação para . Para
isso, traça-se a reta tangente à curva no ponto ( conforme Equação (24).
O erro cometido na aproximação de por é , ou seja, a
diferença entre a solução numérica e a solução exata. Para o cálculo de , avançam-se os
E
𝑦 𝑥
𝑦 𝑦 𝑥
𝑦
𝑥 𝑥
𝑓 𝑥 𝑦 )
25
índices em (23), (24) e (25) uma unidade; o erro cometido é, agora,
Continuando até .
26
3 MATERIAL E MÉTODOS
Nesse capítulo iremos resolver três problemas um para cada forma analítica, nos
problemas de 01 à 03 serão resolvidos respectivamente por equações separáveis, equação
exata, equações lineares e em seguida resolveremos usando o método de Euler.
3.1 PROBLEMA 01
Ache a solução da equação que satisfaça a condição inicial dada:
Solução analítica:
Primeiro separamos a equação e deixamos na forma diferencial:
Integramos ambos os lados da equação:
∫ ∫
Como temos como encontrar uma solução particular, pois temos o PVI, isolamos o ,
ficando:
27
Como substituimos e , assim temos a solução particular
dada por:
Portanto, o problema de valor inicial determina o círculo:
= 5
3.2 PROBLEMA 02
Verifique se a equação diferencial é exata e resolva:
Solução analítica:
Podemos escrever essa equação da seguinte forma:
Então vemos que:
Derivando em relação a e em relação a
28
Com isso:
Então a condição é satisfeita, portanto existe uma função para qual:
A equação diferencial é exata. Fazemos agora:
Temos:
Integramos em relação a :
∫
∫
Portanto:
Derivando em relação a :
29
Lembrando que:
Integrando em relação a :
Logo:
Com a solução é dada implicitamente:
Ou na forma explícita do PVI:
√ , com .
3.3 PROBLEMA 03
Resolva o problema de valor inicial:
,
30
Solução analítica:
Essa equação tem a forma da equação (2), onde: e contínuos,
então o fator integrante será:
∫ ∫
Multiplica-se ambos os lados por :
Ou ainda:
Integrando temos:
∫
Onde é uma constante qualquer. Para resolvermos essa integral precisamos aplicar a regra
de integração por partes:
Encontramos uma solução geral:
31
A partir da condição inicial, sabemos que quando , substituindo esses
valores na solução geral, temos Com isso a solução do problema se dá:
3.4 IMPLEMENTAÇÃO DO MÉTODO EULER
Os PVI propostos nos Problemas 01 à 03 acima, foram resolvidos pelo Método de
Euler, aplicando-se passos de tamanhos ; e . Os cálculos foram
realizados no Software Scilab 5.4.0, o diagrama da função implementada é apresentado na
Figura 3.
Figura 3 - Diagrama função Euler.
Fonte: Autoria própria (2013).
F, x0, y0, h, xf
x(1)=x0;
y(1)=y0;
N=(xf-x0)/h;
x(i+1)=x(i)+h;
y(i+1)=y(i)+f(x(i),y(i))*h;
x, y
for i = 1:N
Sim
Não
32
Onde F, x0, y0, h, xf são as variáveis de entrada e correspondem, respectivamente, a
função , o inicial, o inicial, ao tamanho do passo e o final. O número de iterações
cujo for i = 1:N é dada por . As variáveis de saída são os vetores x e y, que
guardam os valores de todos os e calculados.
33
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
Através do método numérico de Euler, obtemos uma boa aproximação para a solução
exata , de uma EDO de primeira ordem, obtida através dos métodos analíticos
empregados em cada problema.
A partir da análise dos dados é possível observar que a melhor aproximação
encontrada pelo método de Euler ocorre quando . Isto ocorre porque o número
passos é dado por , logo quanto menor o valor de maior será número de
iterações . Quando o tamanho do passo tende a zero, mais próxima será a inclinação da
reta tangente para a solução analítica, isto é, os valores são mais precisos e consequentemente
com um menor erro. Os gráficos 1 a 3 exibem as curvas geradas pelo método de Euler e a
curva da solução exata para os problemas de 1 a 3 respectivamente.
Gráfico 1 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 01
Fonte: Gerado através do Scilab 5.4.0.
x
f(x)
34
Gráfico 2 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 02
Fonte: Gerado através do Scilab 5.4.0.
Gráfico 3 – Comparação entre a solução analítica (exata) e o método de Euler no Problema 03
Fonte: Gerado através do Scilab 5.4.0.
x
x
f(x)
f(x)
35
A Tabela 01, a seguir, exibe os resultados do erro absoluto (Erroabs), da última iteração
para cada valor de em cada um dos três problemas apresentados.
Tabela 01- Erro absoluto da última iteração dos Problemas 01 a 03
Problema 01 Problema 02 Problema 03
Erroabs Erroabs Erroabs
0,805494 0,399392 0,096005
0,624845 0,30357 0,046968
0,33268 0,15741 0,009236
Fonte: Autoria própria (2013).
Os resultados apresentados na tabela acima confirmam as conclusões feitas
anteriormente, que fazendo tender a zero é possível melhorar a precisão do método de
Euler, uma vez que à medida que o número de iterações aumenta, a margem de erro diminui.
Todos os resultados gerados pelo método de Euler para os três problemas podem ser
encontrados nas Tabelas 2 a 10 do Apêndice.
36
5 CONCLUSÕES
Neste trabalho foram propostos três problemas de valor inicial para os quais foram
obtidas soluções exatas e soluções numéricas geradas pelo método de Euler. O algoritmo do
método numérico proposto foi implementado no software Scilab 5.4.0, e cada um dos
problemas foram resolvidos para três valores de incremento . Os resultados de cada
problema foram representados graficamente, de forma que a solução exata pode ser
comparada a cada solução numérica gerada para os distintos valores de .
Verificamos, a partir da análise das tabelas e dos resultados gráficos, que quanto
menor for o valor do incremento, maior será o número de passos melhorando a precisão da
solução numérica, isto é, com o valor de tendendo a zero, o número de iterações e
consequentemente se obtém uma margem de erro bem menor. Portanto, os resultados
encontrados neste trabalho confirmam que o método numérico empregado, no caso o método
de Euler, obtém uma boa aproximação para a solução de um problema de valor inicial de
primeira ordem, obtendo soluções satisfatórias.
Para trabalhos futuros, sugerimos a comparação do método de Euler com outros
métodos numéricos empregados na resolução de PVI de primeira ordem, ou até mesmo, a
realização de trabalhos voltados à comparação de soluções exatas e numéricas de problemas
de valor inicial de ordem superior.
37
6 REFERÊNCIAS
BARATTO, Giovani. Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos
Numéricos. Universidade Federal de Santa Maria. 2007. Disponível em: <www-
usr.inf.ufsm.br/.../solucao_EDO_pelos_metodos_Euler_Runge-Kutta>. Acesso em: 28 mar.
2013.
BARROSO, Leônidas Conceição; BARROSO, Magali Maria de Araújo; CAMPOS, Frederico
Ferreira, filho; CARVALHO, Márcio Luiz Bunte & MAIA, Mirian Lourenço. Cálculo
Numérico: com aplicações. 2. ed. Harbra. São Paulo, 1987.
BIANCHINI, Waldecir. Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Disponível em: <:
www.im.ufrj.br/waldecir/calculo2/capitulo1.pdf>. Acesso em: 12 fev. 2013.
BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de contorno, 8 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
BRITO, Lucilene Das Dores de. Aplicação do método de Euler na resolução de equações
diferenciais de primeira ordem. 42 f. Monografia (Graduação) - Curso de Licenciatura em
Matemática, Departamento de Unemat, Sinop, Mato Grosso, 2010.
GILAT, Amos; SUBRAMANIAM, Vish. Métodos numéricos para engenheiros e
cientistas: uma introdução com aplicações usando MATLAB. Porto Alegre: Bookman, 2008.
HALLIDAY D.; RESNICK R.; WALKER J. Fundamentos de Física: Eletricidade e
magnetismo, vol. 2. 8. ed. Rio de Janeiro: Lct, 2008.
OLIVEIRA, Raymundo de. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias –
Método de Euler. Universidade Federal do Rio de Janeiro. [2008?] Disponível em:
<www.raymundodeoliveira.eng.br/euler_e_runge_kutta.doc>. Acesso em: 31 mar. 2013.
SODRÉ, Ulysses (Comp.). Equações Diferenciais Ordinárias. 2003. Disponível em:
<www.mat.uel.br/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2013.
38
THOMAS, George B. Cálculo, v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2002.
TRIOLA, Mario F.. Introdução a Estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: Lct, 2008.
ZILL, D. G.. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003.
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia
I: equações diferenciais elementares e transformadas de Laplace. 3. ed. Porto Alegre:
Bookman, 2009.
39
APÊNDICE
Tabela 2: Resultados do método de Euler aplicado ao problema 01, com .
yexato Erroabs
1 4, -3 -3 0
2 4,1 -2,8666667 -2,8618176 0,004849
3 4,2 -2,7236434 -2,712932 0,010711
4 4,3 -2,5694382 -2,5514702 0,017968
5 4,4 -2,4020864 -2,3748684 0,027218
6 4,5 -2,2189124 -2,1794495 0,039463
7 4,6 -2,0161103 -1,9595918 0,056519
8 4,7 -1,7879482 -1,7058722 0,082076
9 4,8 -1,525077 -1,4 0,125077
10 4,9 -1,2103388 -0,9949874 0,215351
11 5 -0,8054935 0 0,805494
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 3: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 01, com .
yexato Erroabs
1 4 -3 -3 0
2 4,05 -2,9333333 -2,932149382 0,001184
3 4,1 -2,8642992 -2,861817604 0,002482
4 4,15 -2,7927285 -2,788816953 0,003912
5 4,2 -2,7184284 -2,712931993 0,005496
6 4,25 -2,6411779 -2,633913438 0,007264
7 4,3 -2,5607214 -2,551470164 0,009251
8 4,35 -2,4767607 -2,465258607 0,011502
9 4,4 -2,3889443 -2,374868417 0,014076
10 4,45 -2,2968534 -2,279802623 0,017051
11 4,5 -2,1999818 -2,179449472 0,020532
12 4,55 -2,0977082 -2,073041244 0,024667
13 4,6 -1,9892565 -1,959591794 0,029665
14 4,65 -1,8736354 -1,837797595 0,035838
15 4,7 -1,7495451 -1,705872211 0,043673
16 4,75 -1,6152245 -1,5612495 0,053975
40
17 4,8 -1,4681861 -1,4 0,068186
18 4,85 -1,3047191 -1,215524578 0,089195
19 4,9 -1,1188553 -0,994987437 0,123868
20 4,95 -0,8998816 -0,705336799 0,194545
21 5, -0,6248454 0 0,624845
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 4: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 01, com .
yexato Erroabs
1 4 -3 -3 0
2 4,01 -2,9866667 -2,9866202 0,000046
3 4,02 -2,9732403 -2,9731465 0,000093
4 4,03 -2,9597197 -2,9595777 0,000142
5 4,04 -2,9461036 -2,9459124 0,000191
6 4,05 -2,9323905 -2,9321494 0,000241
7 4,06 -2,9185793 -2,9182872 0,000292
8 4,07 -2,9046684 -2,9043244 0,000344
9 4,08 -2,8906565 -2,8902595 0,000397
10 4,09 -2,876542 -2,8760911 0,000451
11 4,1 -2,8623236 -2,8618176 0,000506
12 4,11 -2,8479996 -2,8474374 0,000562
13 4,12 -2,8335684 -2,832949 0,000619
14 4,13 -2,8190284 -2,8183506 0,000678
15 4,14 -2,804378 -2,8036405 0,000738
16 4,15 -2,7896153 -2,788817 0,000798
17 4,16 -2,7747387 -2,7738782 0,000861
18 4,17 -2,7597463 -2,7588222 0,000924
19 4,18 -2,7446362 -2,7436472 0,000989
20 4,19 -2,7294065 -2,7283512 0,001055
21 4,2 -2,7140552 -2,712932 0,001123
22 4,21 -2,6985802 -2,6973876 0,001193
23 4,22 -2,6829794 -2,6817159 0,001264
24 4,23 -2,6672506 -2,6659145 0,001336
25 4,24 -2,6513916 -2,6499811 0,00141
26 4,25 -2,6354 -2,6339134 0,001487
27 4,26 -2,6192734 -2,6177089 0,001564
28 4,27 -2,6030094 -2,601365 0,001644
41
29 4,28 -2,5866053 -2,5848791 0,001726
30 4,29 -2,5700585 -2,5682484 0,00181
31 4,3 -2,5533663 -2,5514702 0,001896
32 4,31 -2,5365258 -2,5345414 0,001984
33 4,32 -2,519534 -2,517459 0,002075
34 4,33 -2,502388 -2,50022 0,002168
35 4,34 -2,4850845 -2,482821 0,002264
36 4,35 -2,4676203 -2,4652586 0,002362
37 4,36 -2,449992 -2,4475294 0,002463
38 4,37 -2,432196 -2,4296296 0,002566
39 4,38 -2,4142287 -2,4115555 0,002673
40 4,39 -2,3960863 -2,3933032 0,002783
41 4,4 -2,3777647 -2,3748684 0,002896
42 4,41 -2,35926 -2,356247 0,003013
43 4,42 -2,3405677 -2,3374345 0,003133
44 4,43 -2,3216833 -2,3184262 0,003257
45 4,44 -2,3026024 -2,2992173 0,003385
46 4,45 -2,2833198 -2,2798026 0,003517
47 4,46 -2,2638307 -2,260177 0,003654
48 4,47 -2,2441295 -2,2403348 0,003795
49 4,48 -2,2242109 -2,2202703 0,003941
50 4,49 -2,2040689 -2,1999773 0,004092
51 4,5 -2,1836975 -2,1794495 0,004248
52 4,51 -2,1630903 -2,1586802 0,00441
53 4,52 -2,1422405 -2,1376623 0,004578
54 4,53 -2,1211411 -2,1163884 0,004753
55 4,54 -2,0997846 -2,0948508 0,004934
56 4,55 -2,0781634 -2,0730412 0,005122
57 4,56 -2,056269 -2,050951 0,005318
58 4,57 -2,034093 -2,0285709 0,005522
59 4,58 -2,0116259 -2,0058913 0,005735
60 4,59 -1,9888583 -1,9829019 0,005956
61 4,6 -1,9657797 -1,9595918 0,006188
62 4,61 -1,9423793 -1,9359494 0,00643
63 4,62 -1,9186456 -1,9119623 0,006683
64 4,63 -1,8945661 -1,8876175 0,006949
65 4,64 -1,8701278 -1,862901 0,007227
66 4,65 -1,8453166 -1,8377976 0,007519
67 4,66 -1,8201177 -1,8122914 0,007826
42
68 4,67 -1,794515 -1,786365 0,00815
69 4,68 -1,7684912 -1,76 0,008491
70 4,69 -1,742028 -1,7331763 0,008852
71 4,7 -1,7151053 -1,7058722 0,009233
72 4,71 -1,6877018 -1,6780644 0,009637
73 4,72 -1,659794 -1,6497273 0,010067
74 4,73 -1,6313567 -1,6208331 0,010524
75 4,74 -1,6023625 -1,5913516 0,011011
76 4,75 -1,5727811 -1,5612495 0,011532
77 4,76 -1,5425798 -1,5304901 0,01209
78 4,77 -1,5117225 -1,499033 0,012689
79 4,78 -1,480169 -1,4668333 0,013336
80 4,79 -1,4478754 -1,433841 0,014034
81 4,8 -1,4147925 -1,4 0,014792
82 4,81 -1,3808652 -1,3652472 0,015618
83 4,82 -1,346032 -1,3295112 0,016521
84 4,83 -1,3102231 -1,2927103 0,017513
85 4,84 -1,2733591 -1,254751 0,018608
86 4,85 -1,2353494 -1,2155246 0,019825
87 4,86 -1,1960892 -1,1749043 0,021185
88 4,87 -1,1554568 -1,13274 0,022717
89 4,88 -1,113309 -1,0888526 0,024456
90 4,89 -1,0694757 -1,0430244 0,026451
91 4,9 -1,0237524 -0,9949874 0,028765
92 4,91 -0,9758892 -0,9444046 0,031485
93 4,92 -0,9255761 -0,8908423 0,034734
94 4,93 -0,8724201 -0,8337266 0,038694
95 4,94 -0,8159106 -0,7722694 0,043641
96 4,95 -0,7553647 -0,7053368 0,050028
97 4,96 -0,6898335 -0,6311894 0,058644
98 4,97 -0,6179321 -0,5469004 0,071032
99 4,98 -0,5375025 -0,4467662 0,090736
100 4,99 -0,4448518 -0,3160696 0,128782
101 5, -0,3326796 0 0,33268
Fonte: Autoria própria (2013).
43
Tabela 5: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com .
yexato Erroabs
1 0, 1 1 0
2 0,1 1 0,994987 0,005013
3 0,2 0,99 0,979796 0,010204
4 0,3 0,9697980 0,953939 0,015859
5 0,4 0,9388637 0,916515 0,022349
6 0,5 0,8962590 0,866025 0,030234
7 0,6 0,8404716 0,8 0,040472
8 0,7 0,7690831 0,714143 0,05494
9 0,8 0,6780656 0,6 0,078066
10 0,9 0,5600829 0,43589 0,124193
11 1, 0,3993924 0 0,399392
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 6: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com .
yexato Erroabs
1 0 1 1 0
2 0,05 1 0,998749 0,001251
3 0,1 0,9975 0,994987 0,002513
4 0,15 0,9924875 0,988686 0,003802
5 0,2 0,9849307 0,979796 0,005135
6 0,25 0,9747777 0,968246 0,006532
7 0,3 0,9619543 0,953939 0,008015
8 0,35 0,9463610 0,93675 0,009611
9 0,4 0,9278691 0,916515 0,011354
10 0,45 0,9063144 0,893029 0,013286
11 0,5 0,8814885 0,866025 0,015463
12 0,55 0,8531274 0,835165 0,017963
13 0,6 0,8208931 0,8 0,020893
14 0,65 0,7843475 0,759934 0,024413
15 0,7 0,7429118 0,714143 0,028769
16 0,75 0,6957999 0,661438 0,034362
17 0,8 0,6419051 0,6 0,041905
44
18 0,85 0,5795906 0,526783 0,052808
19 0,9 0,5062629 0,43589 0,070373
20 0,95 0,4173763 0,31225 0,105126
21 1, 0,3035701 0 0,30357
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 7: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 02, com .
yexato Erroabs
1 0 1 1 0
2 0,01 1 0,99995 0,00005
3 0,02 0,9999 0,9998 0,0001
4 0,03 0,9997000 0,99955 0,00015
5 0,04 0,9993999 0,9992 0,0002
6 0,05 0,9989996 0,998749 0,00025
7 0,06 0,9984991 0,998198 0,000301
8 0,07 0,9978982 0,997547 0,000351
9 0,08 0,9971968 0,996795 0,000402
10 0,09 0,9963945 0,995942 0,000453
11 0,1 0,9954913 0,994987 0,000504
12 0,11 0,9944867 0,993932 0,000555
13 0,12 0,9933806 0,992774 0,000607
14 0,13 0,9921726 0,991514 0,000659
15 0,14 0,9908624 0,990152 0,000711
16 0,15 0,9894495 0,988686 0,000764
17 0,16 0,9879335 0,987117 0,000816
18 0,17 0,9863139 0,985444 0,00087
19 0,18 0,9845904 0,983667 0,000924
20 0,19 0,9827622 0,981784 0,000978
21 0,2 0,9808289 0,979796 0,001033
22 0,21 0,9787898 0,977701 0,001088
23 0,22 0,9766443 0,9755 0,001144
24 0,23 0,9743916 0,973191 0,001201
45
25 0,24 0,9720312 0,970773 0,001258
26 0,25 0,9695621 0,968246 0,001316
27 0,26 0,9669837 0,965609 0,001375
28 0,27 0,9642949 0,96286 0,001435
29 0,28 0,9614949 0,96 0,001495
30 0,29 0,9585828 0,957027 0,001556
31 0,3 0,9555575 0,953939 0,001618
32 0,31 0,9524179 0,950737 0,001681
33 0,32 0,9491631 0,947418 0,001746
34 0,33 0,9457917 0,943981 0,001811
35 0,34 0,9423025 0,940425 0,001877
36 0,35 0,9386944 0,93675 0,001945
37 0,36 0,9349658 0,932952 0,002013
38 0,37 0,9311154 0,929032 0,002084
39 0,38 0,9271416 0,924986 0,002155
40 0,39 0,9230430 0,920815 0,002228
41 0,4 0,9188179 0,916515 0,002303
42 0,41 0,9144644 0,912086 0,002379
43 0,42 0,9099809 0,907524 0,002457
44 0,43 0,9053655 0,902829 0,002537
45 0,44 0,900616 0,897998 0,002618
46 0,45 0,8957305 0,893029 0,002702
47 0,46 0,8907066 0,887919 0,002788
48 0,47 0,8855422 0,882666 0,002876
49 0,48 0,8802347 0,877268 0,002966
50 0,49 0,8747816 0,871722 0,003059
51 0,5 0,8691802 0,866025 0,003155
52 0,51 0,8634277 0,860174 0,003253
53 0,52 0,8575210 0,854166 0,003355
54 0,53 0,8514570 0,847998 0,003459
55 0,54 0,8452324 0,841665 0,003567
56 0,55 0,8388436 0,835165 0,003679
46
57 0,56 0,8322869 0,828493 0,003794
58 0,57 0,8255585 0,821645 0,003914
59 0,58 0,8186541 0,814616 0,004038
60 0,59 0,8115693 0,807403 0,004166
61 0,6 0,8042994 0,8 0,004299
62 0,61 0,7968395 0,792401 0,004438
63 0,62 0,7891843 0,784602 0,004582
64 0,63 0,7813280 0,776595 0,004733
65 0,64 0,7732649 0,768375 0,00489
66 0,65 0,7649883 0,759934 0,005054
67 0,66 0,7564914 0,751266 0,005226
68 0,67 0,7477669 0,742361 0,005406
69 0,68 0,7388069 0,733212 0,005595
70 0,69 0,7296029 0,723809 0,005794
71 0,7 0,7201457 0,714143 0,006003
72 0,71 0,7104254 0,704202 0,006224
73 0,72 0,7004314 0,693974 0,006457
74 0,73 0,6901520 0,683447 0,006705
75 0,74 0,6795746 0,672607 0,006968
76 0,75 0,6686855 0,661438 0,007248
77 0,76 0,6574694 0,649923 0,007546
78 0,77 0,6459100 0,638044 0,007866
79 0,78 0,6339888 0,62578 0,008209
80 0,79 0,6216857 0,613107 0,008579
81 0,8 0,6089784 0,6 0,008978
82 0,81 0,5958416 0,58643 0,009412
83 0,82 0,5822474 0,572364 0,009884
84 0,83 0,5681640 0,557763 0,010401
85 0,84 0,5535556 0,542586 0,010969
86 0,85 0,5383809 0,526783 0,011598
87 0,86 0,5225929 0,510294 0,012299
88 0,87 0,5061365 0,493052 0,013085
47
89 0,88 0,4889474 0,474974 0,013974
90 0,89 0,4709496 0,455961 0,014989
91 0,9 0,4520516 0,43589 0,016162
92 0,91 0,4321423 0,414608 0,017534
93 0,92 0,4110845 0,391918 0,019166
94 0,93 0,3887046 0,36756 0,021145
95 0,94 0,3647790 0,341174 0,023605
96 0,95 0,33901 0,31225 0,02676
97 0,96 0,3109872 0,28 0,030987
98 0,97 0,2801178 0,243105 0,037013
99 0,98 0,2454895 0,198997 0,046492
100 0,99 0,2055693 0,141067 0,064502
101 1, 0,1574103 0 0,15741
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 8: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com .
yexato Erroabs
1 0 4 4 0
2 0,1 3,6 3,624187 0,024187
3 0,2 3,25 3,293654 0,043654
4 0,3 2,945 3,004091 0,059091
5 0,4 2,6805 2,7516 0,0711
6 0,5 2,45245 2,532653 0,080203
7 0,6 2,257205 2,344058 0,086853
8 0,7 2,0914845 2,182927 0,091442
9 0,8 1,9523360 2,046645 0,094309
10 0,9 1,8371024 1,932848 0,095746
11 1, 1,7433922 1,839397 0,096005
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 9: Resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com .
yexato Erroabs
48
1 0 4 4 0
2 0,05 3,8 3,806147 0,006147
3 0,1 3,6125 3,624187 0,011687
4 0,15 3,436875 3,45354 0,016665
5 0,2 3,2725312 3,293654 0,021123
6 0,25 3,1189047 3,144004 0,025099
7 0,3 2,9754595 3,004091 0,028632
8 0,35 2,8416865 2,87344 0,031754
9 0,4 2,7171022 2,7516 0,034498
10 0,45 2,601247 2,638141 0,036894
11 0,5 2,4936847 2,532653 0,038969
12 0,55 2,3940005 2,434749 0,040749
13 0,6 2,3018004 2,344058 0,042258
14 0,65 2,2167104 2,260229 0,043518
15 0,7 2,1383749 2,182927 0,044552
16 0,75 2,0664562 2,111833 0,045377
17 0,8 2,0006333 2,046645 0,046012
18 0,85 1,9406017 1,987075 0,046473
19 0,9 1,8860716 1,932848 0,046777
20 0,95 1,836768 1,883705 0,046937
21 1, 1,7924296 1,839397 0,046968
Fonte: Autoria própria (2013).
Tabela 10: resultados do Método de Euler aplicado ao Problema 03, com .
yexato Erroabs
1 0 4 4 0
2 0,01 3,96 3,960249 0,000249
3 0,02 3,9205 3,920993 0,000493
4 0,03 3,881495 3,882228 0,000733
5 0,04 3,8429800 3,843947 0,000967
6 0,05 3,8049502 3,806147 0,001197
7 0,06 3,7674007 3,768823 0,001422
8 0,07 3,7303267 3,731969 0,001642
9 0,08 3,6937235 3,695582 0,001858
10 0,09 3,6575862 3,659656 0,00207
11 0,1 3,6219104 3,624187 0,002277
12 0,11 3,5866913 3,589171 0,002479
49
13 0,12 3,5519244 3,554602 0,002678
14 0,13 3,5176051 3,520477 0,002872
15 0,14 3,4837291 3,486791 0,003062
16 0,15 3,4502918 3,45354 0,003248
17 0,16 3,4172889 3,420719 0,00343
18 0,17 3,384716 3,388324 0,003608
19 0,18 3,3525688 3,356351 0,003782
20 0,19 3,3208431 3,324796 0,003953
21 0,2 3,2895347 3,293654 0,004119
22 0,21 3,2586393 3,262921 0,004282
23 0,22 3,2281529 3,232594 0,004441
24 0,23 3,1980714 3,202668 0,004597
25 0,24 3,1683907 3,173139 0,004749
26 0,25 3,1391068 3,144004 0,004897
27 0,26 3,1102157 3,115258 0,005042
28 0,27 3,0817136 3,086897 0,005184
29 0,28 3,0535964 3,058919 0,005322
30 0,29 3,0258605 3,031318 0,005457
31 0,3 2,9985019 3,004091 0,005589
32 0,31 2,9715168 2,977235 0,005718
33 0,32 2,9449017 2,950745 0,005843
34 0,33 2,9186527 2,924619 0,005966
35 0,34 2,8927661 2,898852 0,006086
36 0,35 2,8672385 2,87344 0,006202
37 0,36 2,8420661 2,848382 0,006316
38 0,37 2,8172454 2,823672 0,006426
39 0,38 2,792773 2,799307 0,006534
40 0,39 2,7686452 2,775284 0,006639
41 0,4 2,7448588 2,7516 0,006741
42 0,41 2,7214102 2,728251 0,006841
43 0,42 2,6982961 2,705234 0,006938
44 0,43 2,6755131 2,682545 0,007032
45 0,44 2,653058 2,660182 0,007124
46 0,45 2,6309274 2,638141 0,007213
47 0,46 2,6091182 2,616418 0,0073
48 0,47 2,587627 2,595011 0,007384
49 0,48 2,5664507 2,573917 0,007466
50 0,49 2,5455862 2,553132 0,007546
51 0,5 2,5250303 2,532653 0,007623
50
52 0,51 2,50478 2,512478 0,007698
53 0,52 2,4848322 2,492603 0,007771
54 0,53 2,4651839 2,473025 0,007841
55 0,54 2,4458321 2,453741 0,007909
56 0,55 2,4267737 2,434749 0,007975
57 0,56 2,408006 2,416045 0,008039
58 0,57 2,389526 2,397627 0,008101
59 0,58 2,3713307 2,379492 0,008161
60 0,59 2,3534174 2,361636 0,008219
61 0,6 2,3357832 2,344058 0,008275
62 0,61 2,3184254 2,326754 0,008329
63 0,62 2,3013411 2,309722 0,008381
64 0,63 2,2845277 2,292959 0,008431
65 0,64 2,2679824 2,276462 0,00848
66 0,65 2,2517026 2,260229 0,008526
67 0,66 2,2356856 2,244257 0,008571
68 0,67 2,2199287 2,228543 0,008614
69 0,68 2,2044294 2,213085 0,008656
70 0,69 2,1891851 2,19788 0,008695
71 0,7 2,1741933 2,182927 0,008733
72 0,71 2,1594514 2,168221 0,00877
73 0,72 2,1449569 2,153761 0,008804
74 0,73 2,1307073 2,139545 0,008838
75 0,74 2,1167002 2,12557 0,008869
76 0,75 2,1029332 2,111833 0,0089
77 0,76 2,0894039 2,098332 0,008928
78 0,77 2,0761098 2,085065 0,008956
79 0,78 2,0630487 2,07203 0,008981
80 0,79 2,0502183 2,059224 0,009006
81 0,8 2,0376161 2,046645 0,009029
82 0,81 2,0252399 2,03429 0,00905
83 0,82 2,0130875 2,022158 0,009071
84 0,83 2,0011566 2,010246 0,00909
85 0,84 1,9894451 1,998553 0,009108
86 0,85 1,9779506 1,987075 0,009124
87 0,86 1,9666711 1,97581 0,009139
88 0,87 1,9556044 1,964758 0,009153
89 0,88 1,9447484 1,953915 0,009166
90 0,89 1,9341009 1,943279 0,009178
51
91 0,9 1,9236599 1,932848 0,009188
92 0,91 1,9134233 1,922621 0,009198
93 0,92 1,903389 1,912595 0,009206
94 0,93 1,8935551 1,902769 0,009213
95 0,94 1,8839196 1,893139 0,00922
96 0,95 1,8744804 1,883705 0,009225
97 0,96 1,8652356 1,874464 0,009229
98 0,97 1,8561832 1,865415 0,009232
99 0,98 1,8473214 1,856555 0,009234
100 0,99 1,8386482 1,847883 0,009235
101 1 1,8301617 1,839397 0,009236
Fonte: Autoria própria (2013).