Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia · Distribuição amostral da soma ou...
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13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais
Capítulo V
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Distribuições Amostrais
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
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13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais
Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais
Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
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13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais
5.1 Introdução
Nos capítulos anteriores foram apresentados os
principais modelos de distribuição de probabilidade, bem
como as medidas que caracterizam uma amostra.
Tais estudos vão agora se juntar para que se obtenha as
distribuições amostrais dos principais estimadores.
O conhecimento das distribuições amostrais é de
fundamental importância, pois é a base para a aplicação
das técnicas de inferências estatísticas que serão
apresentadas posteriormente
13/07/2017 09:32 ESTATÍSTICA APLICADA I - Distribuições Amostrais
5.1 Introdução
Inferência ou indução estatística:
• Como já explicado no primeiro capítulo, a inferência
estatística é do processo de obter informações sobre
uma população a partir dos resultados observados na
amostra.
• De modo geral tem-se uma população com grande
número de elementos e deseja-se, a partir de uma
amostra retirada dessa população, conhecer, o mais
próximo possível, algumas características da
população.
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5.1 Introdução
Inferência ou indução estatística:
• Seja X uma das variáveis da população que se deseja estudar. Seja
θ uma característica (medida) de X que se quer conhecer. O
conhecimento de θ ocorre pela construção de um estimador que
revelará o valor mais aproximado de θ a partir dos elementos
amostrais.
• Amostragens de populações muito grandes podem ser consideradas como
amostragens de populações infinitas; portanto, os parâmetros populacionais são
desconhecidos.
Inferência ou
indução estatística
População (N) Amostra (n)
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5.1 Introdução
Amostra aleatória:
);(NãodistribuiçteráXcada),;(NXSe2
i
2d
• Seja X uma variável populacional que se deseja
estudar. Uma amostra aleatória de X é o conjunto de n
variáveis aleatórias independentes (X1, X2, ..., Xn ) tal
que cada Xi (i = 1, 2, ..., n) tem a mesma característica,
ou distribuição, da variável X. Assim:
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5.1 Introdução
Amostra aleatória:
• Ao retirar uma amostra aleatória de uma
população estaremos considerando cada valor da
amostra como um valor de uma variável aleatória
cuja distribuição de probabilidade é a mesma da
população no instante da retirada desse elemento
para a amostra.
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5.1 Introdução
• Dada uma amostra aleatória, estimador ou estatística é qualquer
variável aleatória função dos elementos amostrais, ou seja:
deestimadorumé)x,...,x,x(fˆn21
Estimador ou estatística:
• As medidas de posição, dispersão e forma, estudadas
anteriormente, são exemplos de estimadores.
• Deve-se ter um critério para escolher o “melhor” estimador de um
parâmetro populacional.
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5.1 Introdução
• Estimativa é o valor numérico de um estimador. Assim: s2 = 2,3
é uma estimativa da variância populacional σ2.
Estimativa:
• Se para cada amostra possível de tamanho n que podem ser
extraídas de uma determinada população se calcular um valor
do estimador, tem-se uma distribuição amostral desse estimador.
Como o estimador é uma variável aleatória, pode-se determinar
suas características, isto é, encontrar sua média, variância,
desvio padrão etc.
Distribuição amostral:
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
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5.2 Distribuição Amostral das Médias
Objetivo:
• Procura-se levantar a distribuição de probabilidade
da média aritmética das amostras.
• Sabe-se que (média aritmética) é um
estimador da média populacional μ. O estimador é
uma variável aleatória; portanto, procura-se conhecer
a sua distribuição de probabilidade.
n/xx ix
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5.2 Distribuição Amostral das Médias
)x()x(E
Teorema 1: A média da distribuição amostral das médias,
denotada por μ ( ) é igual à média populacional μ, isto é: x
Teorema 2: Se a população é infinita, ou se a amostragem é com
reposição, então a variância da distribuição amostral das médias é
dada por:
onde σ2 é a variância da população; isto é, pode-se afirmar que,
para populações infinitas, ou com amostragens com reposição, a
variância da distribuição das médias é igual a variância da
população dividida pelo tamanho da amostra.
n
)x()x(E2
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5.2 Distribuição Amostral das Médias
Teorema 3: Se a população é finita, ou se a amostragem é sem
reposição, então a variância da distribuição amostral das médias é
dada por:
Teorema 4: Se a população tem ou não distribuição normal com
média μ e variância σ2, então a distribuição das médias amostrais
será normalmente distribuídas com média μ e variância σ2/n.
1N
nN
n)x(
22
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5.2 Distribuição Amostral das Médias
Gráfico da distribuição amostral das médias
finitaspopulaçõespara1N
nN
n
σ;μNx
initasinfpopulaçõesparan
σ;μNx
2d
2d
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
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5.3 Distribuição Amostral das Frequências relativas
Definição:
Seja X uma população infinita, e p a probabilidade (ou proporção)
de certo evento de X. Logo 1 – p = q será a probabilidade do evento
não ocorrer.
Seja (x1, x2, ..., xn) uma amostra aleatória de n elementos dessa
população e x o número de sucessos da amostra.
Neste caso, pode-se identificar que os valores de x são variáveis
aleatórias que apresentam distribuição binomial (número de
sucessos na amostra), de média np e variância npq.
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5.3 Distribuição Amostral das Frequências relativas
Definição:
Então, a distribuição amostral da frequência relativa f = x/n será
dada por:
n
pq
n
npq
n
xVar)f(Var
pn
np
n
xE)f(E
2
Para n ≥ 30 a distribuição amostral de f será normal:
finitapopulação1N
nN
n
pq;pNfinitainfpopulação
n
pq;pNf
dd
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
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5.4 Distribuição Amostral de Variâncias
Definição:
Seja S2 (variância amostral) o estimador de σ2. Se se desejar saber a
distribuição de S2, pode-se demonstrar que:
e que S2 tem distribuição qui-quadrado com (n–1) graus de
liberdade; ou seja:
Lembrar que (n–1) e σ2 são constantes.
1n
σ2)S(Vareσ)S(E
4222
2
1n
d
2
2S)1n(
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5.4 Distribuição Amostral de Variâncias
Gráfico da distribuição amostral das variâncias:
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
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5.5 D. A. da Soma ou Diferença de Duas Médias
2
2
2
1
2
1
21
d
21nn
;N)xx(
Definição:
Deseja-se encontrar a distribuição amostral do estimador .
Considerando-se as amostras independentes de duas populações
tem-se:
)xx( 21
ou seja tem distribuição normal de média igual à soma ou
diferença das médias populacionais, e variância igual à soma das
variâncias.
)xx( 21
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostral da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
V – Distribuições Amostrais
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5.6 D. A. da Soma ou Diferença de Duas Freqs. Relativas
2
22
1
11
21
d
21n
qp
n
qp;ppN)ff(
Definição:
Deseja-se encontrar a distribuição amostral do estimador (f1 ± f2).
Considerando-se as amostras independentes de duas populações,
com n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30 tem-se:
ou seja (f1 ± f2) tem distribuição normal de média igual à soma ou
diferença das proporções populacionais, e variância igual à soma das
suas variâncias.
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
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5.7 D. A. das Médias quando a Variância Pop. é Desconhecida
n
S
xT
n;Nx
2d
Definição:
Como visto anteriormente , com distribuição normal
padronizada dada por:
Como não se conhece o valor de σ2, portanto de σ, uma
possibilidade é substituir o σ pela variável aleatória S (desvio padrão
amostral) e procurar a distribuição estatística T.
n
xZ i
i
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5.7 D. A. das Médias quando a Variância Pop. é Desconhecida
n
S
xt 1n
Pode-se demonstrar que T tem distribuição de Student com n-1
graus de liberdade. Assim:
Definição:
Para o caso da soma ou diferença entre duas médias, admitindo-se
variáveis desconhecidas e iguais tem-se:
2nn(
S)1n(S)1n(Sc,
n
1
n
1Sc
)()xx(t
21
2
22
2
11
21
2121
)2nn( 2i
onde Sc é o desvio padrão comum.
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Introdução
Distribuição amostral das médias
Distribuição amostral das frequências relativas
Distribuição amostral de variâncias
Distribuição amostral da soma ou diferença de duas médias
Distribuição amostrals da soma de duas frequências relativas
Distribuição amostral das médias quando σ2 é desconhecida
Distribuição amostral de razões de variâncias
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5.8 Distribuição Amostral de Razões de Variâncias
2
2
2
222
2
1
2
111
S)1n(n
S)1n(n
F
Deseja-se conhecer a distribuição amostral da razão: S12/S2
2.
dadas duas amostras aleatórias independentes, n1 e n2, então a
estatística
Definição:
tem distribuição F com (n1 – 1) e (n2 – 1) graus de liberdade; ou
seja, à exceção das constantes, S12/S2
2 tem distribuição F.
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5. Exemplos
Exemplo 1: Uma população é constituída dos números 2, 3, 4, 5.
Considere todas as amostras possíveis, de tamanho 2, que podem ser
extraídas dessa população com reposição. Determine: (a) a média da
população, (b) o desvio padrão da população, (c) a média da
distribuição amostral das médias amostrais, (d) o desvio padrão da
distribuição amostral das médias.
7906,02
118,1
n
)x(σ)x(σ)d
5,3)x(μ)x(μ)c
118,14
)5,35()5,34()5,33()5,32()x(σ)b
5,34
5432
N
x)x(μ)a
22
2222