Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia A V.A resultado do lançamento de um dado é...
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Capítulo III
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Variáveis Aleatórias
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
8/11/2016
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Introdução
Varíáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias contínuas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
III – Variáveis Aleatórias
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Introdução
Varíáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias contínuas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
III – Variáveis Aleatórias
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
Em um experimento aleatório, uma variável cujo valor
medido pode variar de uma réplica do experimento para
outra é referida como variável aleatória.
Exemplos: X pode denotar a medida da resistência
mecânica no ensaio de tração de um material; Y
representar o diâmetro de uma peça usinada; Z expressar
a resistividade do solo em um processo corrosivo em
torres de linha de transmissão.
As variáveis aleatórias (V.A) surgem em função da
necessidade de se representar os resultados de uma
experiência aleatória por meio de números reais.
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3.1 Introdução
• Uma variável aleatória pode ser expressa como uma
função definida num espaço de resultados S e que tem
como contradomínio os números reais.
Definição
• Seja E um experimento e S o espaço associado a ele.
Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um
número real X(s) é denominada variável aleatória.
S R X
Variável aleatória
X(s) s
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
• Exemplo:
Definição
E : Lançamento de duas moedas;
X : Número de caras (c) obtidas nas duas moedas;
S : {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}
X = 0 → correspondente ao evento (k, k) com probabilidade ¼;
X = 1 → correspondente ao evento (k, c), (c, k) com probabilidade ½;
X = 2 → correspondente ao evento (c, c) com probabilidade ¼.
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
• As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou
contínuas, dependendo do tipo de conjunto de valores
que elas podem assumir.
Classificação
- Variável discreta: quando a variável assume
valores num conjunto finito ou infinito numerável.
- Variável contínua: quando a variável assume
valores de um conjunto infinito não numerável.
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
• Exemplos:
Classificação
- A V.A resultado do lançamento de um dado é discreta;
- A V.A que representa o tempo que um atleta leva para
completar a prova dos 100 metros é contínua se for admitido
que é medida com precisão absoluta.
- A V.A que representa as medidas de corrente elétrica a partir de
um instrumento digital que mostre a corrente para o mais
próximo centésimo de miliampére é discreta (as medidas
possíveis são limitadas).
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3.1 Introdução
• As variáveis aleatórias são representadas por letras
maiúsculas (X, Y, Z, W, ...), e os valores que elas
podem assumir são representados pelas
correspondentes letras minúsculas (x, y, z, w, ...).
Representação
Exemplo:
• E: Medição do peso de uma pessoa escolhida ao acaso.
S = {Conjunto de todos os pesos atribuíveis a uma pessoa}.
X = O peso da pessoa (assume qualquer valor do espaço de resultados).
x = 1,65 m (a altura de uma das pessoas).
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.1 Introdução
Observação:
• Existem situações em que os valores da variável aleatória não são
os resultados do espaço associado ao experimento, mas sim uma
transformação destes.
- Exemplo:
E: Lançamento de dois dados.
S = Conjunto dos valores obtidos pelos dois dados, num total
de trinta e seis resultados possíveis (tamanho de S = 36)
S = {( x, y ) | x, y = 1,2,3,4,5,6}.
X = V.A que representa a soma dos números dos pontos
dos dois dados, a qual pode assumir qualquer valor inteiro
de 2 a 12, ou X(s) = {2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12}.
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3.1 Introdução
Observação:
• No mesmo espaço associado ao experimento anterior poder-se-ia
definir outra variável aleatória.
- Exemplo:
Y = V.A que representa a diferença, em valor absoluto, dos
números dos pontos dos dois dados, a qual pode assumir
qualquer valor inteiro de 0 a 5, ou
Y(s) = {0,1,2,3,4,5 }
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Introdução
Varíáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias contínuas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
III – Variáveis Aleatórias
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função de probabilidade
• A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
qualquer X é uma descrição das probabilidades associadas com os
valores possíveis de X.
• Para uma variável aleatória discreta, a distribuição é
freqüentemente especificada por apenas uma lista de valores
possíveis juntamente com a probabilidade de cada um.
• Em alguns casos, é conveniente expressar a probabilidade em
termos de uma fórmula.
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função de probabilidade
• Define-se como função de probabilidade, f, a função que associa
a cada valor que a variável pode assumir, a probabilidade da
variável assumir esse valor.
• Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis x1,
x2, ..., xn, a função de probabilidade é
)xX(P)x(f ii
0)x(f i
• Já que f(xi) é definida como uma probabilidade, então 1)x(f
n
1i
i
para todo xi e
• P(X) pode ser expresa por uma tabela, gráfico ou fórmula.
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função de probabilidade
• Exemplo: E: Lançamento de duas moedas.
X: nº de caras obtidas.
P(X) pode ser expressa das seguintes formas:
x 0 1 2
P(x) 1/4 1/2 1/4 1
½
¼
0 1 2
P(x)
x x,2C
4
1)x(P
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função de probabilidade
• Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa o resultado
do lançamento de um dado equilibrado. A função de
probabilidade é definida por:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6
1)6(f,
6
1)5(f,
6
1)4(f,
6
1)3(f,
6
1)2(f,
6
1)1(f
Em termos de notação e de modo a simplificar, a função de
probabilidade pode ser representada por meio de uma tabela,
assumindo que os valores que não aparecem na tabela têm
probabilidade zero de ocorrer. Neste exemplo tem-se, então:
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função de probabilidade
• Observações:
- Se uma variável aleatória X apresentar f(x) ≠ 0 e constante para
todos os valores de x, diz-se que essa V.A tem uma distribuição
uniforme (discreta).
- Qualquer função de uma variável aleatória é também uma
variável aleatória, isto é, se X é V.A, então Y = φ(x) também será.
Exemplos:
X → V.A pontos de um dados;
Y = X + X → V.A;
Z = Max {(x1, x2)} onde (x1, x2) são pontos de dois dados.
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Uma função distribuição cumulativa, também chamada função
repartição ou função distribuição de probabilidades, pode
também ser usada para fornecer a distribuição de probabilidades
de uma variável discreta.
• A função distribuição cumulativa em um valor de x é a soma das
probabilidades em todos os pontos menores ou iguais a x.
• Define-se, então, como função distribuição cumulativa de uma
certa variável aleatória X, no ponto x, como sendo a
probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a x, isto
é:
)x(f)xX(P)x(Fxx
i
i
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Exemplo (Montgomery et al., 2001): Há uma chance de que um
bit transmitido através de um canal de transmissão digital seja
recebido com erro. Considere X igual ao número de bits com erro
nos quatro próximos bits transmitidos. Os valores possíveis para
a variável aleatória X são {0, 1, 2, 3, 4}. Com base em um
modelo de probabilidades, as probabilidades para esses valores
foram determinados como sendo:
P(X = 0) = 0,6561 P(X = 1) = 0,2916 P(X = 2) = 0,0486
P(X = 3) = 0,0036 P(X = 4) = 0,0001
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Exemplo (cont.):
x
f(x)
0 1 2 3 4
0,6561
0,2916
0,0486 0,0036 0,0001
- A distribuição de probabilidades de X é especificada pelos
valores possíveis, juntamente com a probabilidade de cada um.
A figura mostra uma descrição gráfica dessa distribuição:
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Exemplo (cont.):
- Por conseguinte, a função distribuição cumulativa de X será:
F(0) = 0,6561 F(1) = 0,9477 F(2) = 0,9963
F(3) = 0,9999 F(4) = 1
- Mesmo se a variável aleatória puder assumir somente valores
inteiros, a função distribuição cumulativa é definida em valores
não inteiros. Por exemplo:
F(1,5) = P(X ≤ 1,5) = P(X ≤ 1) = 0,9477
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Exemplo (cont.):
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 x
F(x)
- O gráfico do exemplo é mostrado abaixo, onde se observa que o
mesmo apresenta descontinuidades (saltos) nos valores discretos
para X. O tamanho do salto em um ponto x é igual à probabilidade
em x.
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Propriedades:
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1 , para todo x
2. F(- ∞) = 0
3. F(+∞) = 1
4. P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a)
5. P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) + P(X = a)
6. P(a < X < b) = F(b) – F(a) – P(X = b)
7. lim F(x) = 1 e lim F(x) = 0 x → +∞ x → -∞
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3.2 Variáveis Aleatórias Discretas
Função distribuição cumulativa
• Propriedades:
- Exemplo: Do exemplo anterior, tem-se:
4xse1
4x3se9999,0
3x2se9963,0
2x1se9477,0
1x0se6561,0
0xse0
)x(F
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Introdução
Varíáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias contínuas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
III – Variáveis Aleatórias
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
• Uma função densidade de probabilidade f(x) pode ser usada para
descrever a distribuição de probabilidades de uma variável
aleatória contínua X.
• A probabilidade de X estar entre a e b é determinada pela integral
de f(x) entre a e b.
f(x)
x a b
P(a < x < b)
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Função densidade de probabilidade
• Definição: Diz-se que f(x) é a função densidade de probabilidade
da variável aleatória contínua X se a área limitada por f(x), o eixo
dos x e as retas x = a e x = b for igual a P(a ≤ x ≤ b), isto é:
b
a
dx)x(f)bxa(P
• Propriedades:
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
1dx)x(f.2
xtodopara0)x(f.1
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Função densidade de probabilidade
• Observações:
1. A definição anterior mostra que a probabilidade de qualquer
valor especificado de X, por exemplo xo, tem P(X = xo) = 0,
pois
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
o
o
x
x
o 0dx)x(f)xX(P
sendo assim, as probabilidades abaixo serão todas iguais, se X
for uma variável aleatória contínua:
)bXa(P)bXa(P)bXa(P)bXa(P
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Função densidade de probabilidade
• Observações:
2. Note-se que f(x), densidade de probabilidade, não é
probabilidade. Somente quando a função for integrada entre
dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área
sob a curva função entre x = a e x = b, para a < b.
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Função densidade de probabilidade
• Exemplo (Montgomery et al., 2001): Seja a variável aleatória
contínua X a representação do diâmetro de um orifício
perfurado em uma placa com um componente metálico. O
diâmetro alvo é 12,5 mm. A maioria dos distúrbios aleatórios
no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos
mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma
função densidade de probabilidade f(x) = 20e-20(x – 12,5), x ≥
12,5.
(a) Se uma peça com diâmetro maior que 12,6 mm for
descartada, qual será a proporção de peças descartadas?
(b) Que proporção de peças está entre 12,5 e 12,6?
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Função densidade de probabilidade
• Solução: A função densidade e a probabilidade requerida são
mostradas na figura abaixo.
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
12,5 12,6
f(x)
x
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Função densidade de probabilidade
• Solução (cont.):
a) Uma peça é descartada se X > 12,6, logo:
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
b) Uma peça não é descartada se 12,5 < X < 12,6, logo:
135,0e
dxe20dx)x(f)6,12X(P
6,12
)5,12x(20
6,12 6,12
)5,12x(20
865,0e
dxe20dx)x(f)6,12X5,12(P
6,12
5,12
)5,12x(20
6,12
5,12
6,12
5,12
)5,12x(20
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3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
Função distribuição cumulativa
• A função distribuição cumulativa de uma variável aleatória
contínua X, com função densidade de probabilidade f(x) é:
x
du)u(f)xX(P)x(F
para – ∞ < x < ∞.
• Para uma variável aleatória contínua X, a definição pode também
ser F(x) = P(X < x), pois P(X = x) = 0.
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3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
Função distribuição cumulativa
• A função distribuição cumulativa F(x) pode ser relacionada à
função densidade de probabilidade f(x) e pode ser usada para
obter probabilidades, como segue:
b
a
b a
)a(F)b(Fdx)x(fdx)x(fdx)x(f)bXa(P
• O gráfico de uma função distribuição cumulativa tem
propriedades específicas. Pelo fato de F(x) fornecer
probabilidades, ela é sempre positiva. Além disso, à medida que x
aumenta, F(x) é crescente. Finalmente, quando x tende a ∞, F(x)
= P(X ≤ x) tende a 1.
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
Função distribuição cumulativa
• Exemplo (Montgomery et al., 2001): As leituras da temperatura de
um termopar em um forno flutuam de acordo com a função
distribuição cumulativa
Cº810x0
Cº810xCº80080x1,0
Cº800x0
)x(F
Determine:
a) P(X < 805); b) P(800 < X ≤ 805); c) P(X > 808)
d) Se as especificações para o processo solicitassem que a
temperatura do forno estivesse entre 802ºC e 808ºC, qual seria
a probabilidade da fornalha operar fora das especificações?
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3.3 Variáveis Aleatórias Contínuas
Função distribuição cumulativa
• Solução:
a)
5,00808051,0
)(F)805(F)805X(P)805X(P
5,0)808001,0(808051,0
)800(F)805(F)805X800(P
2,0)808081,0(1
)808(F)(F)X808(P)808X(P
b)
c)
d)
2,00808021,0
)(F)802(F)802X(P)802X(P
4,02,02,0)808Xou802X(P
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Introdução
Varíáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias contínuas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
III – Variáveis Aleatórias
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
Os parâmetros que caracterizam uma variável aleatória em termos
médios (média e mediana), e em termos de dispersão (variância e
desvio padrão), podem ser usados para resumir uma distribuição de
probabilidades.
a) Medidas de posição
a.1) Média ou esperança matemática: Chama-se valor médio ou
esperança matemática ao valor que se obtém somando (ou
integrando) todos os valores que uma variável aleatória pode
assumir, ponderados pela respectiva probabilidade pontual (ou
densidade de probabilidade no ponto) e representa-se por μ =
E( X ) :
)contínuocaso(dx)x(fx)X(E
)discretocaso()x(fx)X(En
1i
ii
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a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades: Serão demonstradas somente para o caso de
variáveis discretas.
K1K)x(fK)x(Kf)K(Ei
i
i
i
2. Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante,
sua média fica multiplicada por essa constante.
)X(KE)x(fxK)x(fKx)KX(Ei
ii
i
ii
1. A média de uma constante é a própria constante
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades:
i i
jjii
j i
jij
i j
jii
i
ji
j
j
i
ji
j
i
i
jij
j
i
)Y(E)X(E)y(fy)x(fx
)y,x(fy)y,x(fx
)y,x(fy)y,x(fx
)y,x(f)yx()YX(E
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis
aleatórias é a soma ou diferença das médias.
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades:
K)X(E)K(E)X(E)KX(E
4. Somando ou subtraindo uma constante a uma variável
aleatória, a sua média fica somada ou subtraída da mesma
constante.
5. A média de uma variável aleatória centrada é zero.
0)(E)X(E)X(E XXXX
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
a.1) Média ou esperança matemática:
- Propriedades:
)Y(E)X(E
)y(fY)x(fX
)y(f)x(fYX
)y,x(fYX)XY(E
i j
jjii
i j
jiji
i j
jiji
6. A média do produto de duas variáveis aleatórias
independentes é o produto das suas médias.
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
Se X e Y são
independentes
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
a.2) Mediana: Mediana de uma variável aleatória é o valor que divide
a distribuição em duas partes iguais, ou seja,
5,0)Md(F
• Exemplo: Seja X uma variável aleatória com a seguinte
função distribuição cumulativa:
F(X) = 0 para x < 0
F(X) = x2 para 0 ≤ x < 1
F(X) = 1 para x ≥ 1
Logo, a mediana será o valor de x tal que F(x = Md) = 0,5.
Assim: 5,0Md5,0Mdx 22
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
a.3) Moda: É o valor da variável aleatória com maior probabilidade,
se X for discreta, ou maior densidade de probabilidade se X for
contínua.
• Exemplo1: Seja X uma variável aleatória discreta tal que:
x -1 0 2
P(x) 0,3 0,2 0,5
Logo, a moda será igual a 2.
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
a) Medidas de posição
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
a.3) Moda:
• Exemplo 2: Seja X uma variável aleatória contínua tal que:
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
O gráfico de f(x) é:
xdevaloresoutrospara0
1x0parax2)x(f
2
1
0 1
f(x)
x
Então:
Moda:
Mediana:
5,0Md5,0Md5,0x
5,0xdx25,0)Md(F
;1M
2Md
0
2
Md
0
o
a) Medidas de posição
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
b.1) Variância: A variância de uma variável aleatória X é representada
por Var(X) = σx2 e define-se por:
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
22 ))(()( XEXEXVar x
)contínuocaso(dx)x(f)X(Ex
)discretocaso()x(f)X(Ex
22
x
22
x
b) Medidas de dispersão
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
b.1) Variância:
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
- Existe uma fórmula prática para o cálculo da variância:
22 )X(E)X(E)X(Var
onde,
)contínuocaso(dx)x(fx)X(E
)discretocaso()x(fx)X(E
22
22
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
b.2) Desvio padrão: Designa-se por desvio padrão e
representa-se por σ a raiz quadrada positiva da
variância:
)X(Varx
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
- Propriedades:
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias e K, a e b constantes.
3.4 Parâmetros das Variáveis Aleatórias
b) Medidas de dispersão
1. Var(k) = 0
2. Var(kX) = k2Var(X)
3. Var(aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y ) ± 2abCov(X,Y )
Caso as variáveis sejam independentes, Cov(X,Y ) = 0, então:
Var( aX ± bY ) = a2Var( X ) + b2Var( Y )
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
Introdução
Varíáveis aleatórias discretas
Variáveis aleatórias contínuas
Parâmetros das variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias bidimensionais
III – Variáveis Aleatórias
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Até aqui considerou-se que o resultado do experimento seria
registrado como um único número x. Contudo, existem casos em
que há interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo,
estatura e peso de pessoas.
Para isso precisa-se da seguinte definição:
Sejam E um experimento aleatório e S o espaço amostral
associado a E.
Sejam X = X(s) e Y = Y(s), duas funções, cada uma associando
um número real a cada resultado s ∈ S; denomina-se (X,Y) uma
variável aleatória bidimensional.
s
X(s)
Y(s)
Y
X
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Uma variável aleatória bidimensional não é mais do
que uma par de variáveis aleatórias (X,Y).
No caso de X e Y serem duas variáveis aleatórias
discretas, o par diz-se uma variável aleatória
bidimensional discreta. Na situação em que ambas
são contínuas tem-se uma variável aleatória
bidimensional contínua.
Portanto, tal como a variável unidimensional, (X,Y)
poderá ser discreta ou contínua, valendo as mesmas
considerações feitas anteriormente.
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função de probabilidade conjunta (V.A.D)
• Chama-se função de probabilidade conjunta da variável
aleatória bidimensional discreta (X,Y) à função f(x,y) que
associa a cada elemento (x,y) a probabilidade da variável
aleatória X assumir o valor x ao mesmo tempo da variável Y
assumir o valor y .
f (x,y) = P(X = x,Y = y)
- Propriedades:
i j
ji
2
1)y,x(f.2
Rx,0)y,x(f.1
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.D)
• Chama-se função de distribuição de probabilidade
cumulativa conjunta da variável aleatória discreta
(X,Y) à função F(x,y) que associa a cada elemento
(x,y) a probabilidade da variável aleatória X tomar
valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da
variável Y tomar valores menores ou iguais a y.
xs yt
)t,s(f)y,x(F
)yY,xX(P)y,x(F
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.D)
• Propriedades:
)y,x(F)y,x(Fyy^xx.5
x,0)y,x(Flim.4
y,0)y,x(Flim.3
)y,x(,1)y,x(Flim.2
R)y,x(,1)y,x(F0.1
22112121
y
x
yx
2
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Funções de probabilidade marginal (V.A.D.)
• Dada uma variável aleatória bidimensional discreta e sua
função de distribuição conjunta, pode-se determinar a função
de distribuição de X sem considerar Y, ou vice-versa. São as
chamadas funções de probabilidade marginal.
y y
X )y,x(f)yY,xX(P)Y,xX(P)x(f
- Função de probabilidade marginal de X :
- Função de probabilidade marginal de Y :
x x
Y )y,x(f)yY,xX(P)yY,X(P)y(f
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função densidade de probabilidade conjunta (V.A.C)
• Tal como acontece nas variáveis unidimensionais contínuas,
nas variáveis bidimensionais contínuas não faz sentido falar em
função de probabilidade visto que P(X = x,Y = y) = 0 para
qualquer (x,y), aparecendo em seu lugar a função de densidade
de probabilidade conjunta. Esta função indica como a
probabilidade se distribui pelos valores que o par aleatório
(X,Y) pode assumir.
1dydx)y,x(f.2
R)y,x(,0)y,x(f.1 2
• Seja X uma variável aleatória bidimensional contínua. Diz-se
que f(x,y) é uma função densidade de probabilidade conjunta
se:
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.C.)
• Chama-se função de distribuição de probabilidade conjunta da
variável aleatória contínua (X,Y) à função F(x,y) que associa a
cada elemento (x,y) a probabilidade da variável aleatória X
assumir valores menores ou iguais a x ao mesmo tempo da
variável Y assumir valores menores ou iguais a y.
• É definida como na variável aleatória unidimensional, assim:
x y
dydx)y,x(f)y,x(F
)yY,xX(P)y,x(F
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Função distribuição cumulativa conjunta (V.A.C.)
• Propriedades:
)y,x(F)y,x(Fyy^xx.5
x,0)y,x(Flim.4
y,0)y,x(Flim.3
)y,x(,1)y,x(Flim.2
R)y,x(,1)y,x(F0.1
22112121
y
x
yx
2
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Funções de probabilidade marginal (V.A.C.)
• Dada uma variável aleatória bidimensional contínua e sua
função densidade de probabilidade conjunta pode-se determinar
a função densidade de probabilidade de X sem considerar Y, ou
vice-versa. São as chamadas funções de probabilidade
marginal.
dy)y,x(f)x(f X
- Função de probabilidade marginal de X :
- Função de probabilidade marginal de Y :
dx)y,x(f)y(fY
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Funções de (densidade de) probabilidade condicionais
• Sabendo o valor que uma das variáveis vai assumir (ou
assumiu) pode-se calcular a função de probabilidade (no caso
discreto) ou a função densidade de probabilidade (no caso
contínuo) da outra variável, tendo em conta a informação
conhecida relativamente ao valor da primeira variável.
- Caso discreto e caso contínuo:
)x(f
)y,x(f)y(f
)y(f
)y,x(f)x(f
X
xX|Y
Y
yY|X
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3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Covariância
• No estudo das relações existentes entre duas variáveis
aleatórias X e Y pode-se analisar a covariância das duas
variáveis. Define-se, então, covariância entre X e Y, Cov(X,Y),
como:
)Y(EY)X(EXE)Y,X(Cov XY
x y
)y,x(f)Y(Ey)X(Ex)Y,X(Cov
- No caso discreto:
- No caso contínuo:
dydx)y,x(f)Y(Ey)X(Ex)Y,X(Cov
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Covariância
• Fórmula prática para o cálculo da covariância:
)Y(E)X(E)YX(E)Y,X(Cov
- Verifica-se que:
)Y,X(Cov
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Covariância
• A covariância entre duas variáveis fornece uma medida da
relação linear existente entre as duas variáveis:
- Quando a covariância assume um valor muito alto positivo
tem-se a indicação que existe uma relação linear positiva forte
entre as duas variáveis.
- Quando a covariância assume um valor muito baixo negativo
tem-se a indicação que existe uma relação linear negativa
forte.
- Nas situações em que a covariância assume valores próximos
de zero, a relação linear é muito fraca, e inexistente no caso
em que a covariância é igual a zero.
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Coeficiente de correlação linear
• A covariância está expressa nas unidades das variáveis X e Y
simultaneamente, o que introduz dificuldades quando se
pretende fazer comparações.
• Para evitar esta situação pode-se calcular o coeficiente de
correlação linear (ρ) que tem sempre o seu valor entre –1 e 1.
• Dado um par de variáveis aleatórias (X,Y), define-se coeficiente
de correlação linear como:
YX
XYXY
)Y(Var)X(Var
)Y,X(Cov
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11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Coeficiente de correlação linear
• Quando:
ρXY = −1, existe correlação linear negativa
perfeita entre X e Y.
ρXY = 0, não há correlação linear entreX e Y.
ρXY = 1, existe correlação linear positiva perfeita
entre X e Y.
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Independência das variáveis aleatórias X e Y
• Dada uma variável aleatória bidimensional (X,Y), diz-se que as
variáveis unidimensionais que a integram, X e Y, são
independentes, se a sua função (densidade) de probabilidade
conjunta f(x,y), for igual ao produto das funções (densidade) de
probabilidade marginais, isto é:
X e Y são independentes se
)y,x(,)y(f)x(f)y,x(f
• Como consequência da definição tem-se que X e Y são
independentes se e somente se
)y(f)y(fou)x(f)x(f YxX|YXyY|X
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3.5 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Independência das variáveis aleatórias X e Y
• Teorema:
- Se duas variáveis aleatórias X e Y são
independentes então a Cov(X,Y) = 0.
- Nota: A recíproca não é verdadeira. Duas
variáveis podem ter Cov(X,Y) = 0 e não serem
independentes. Apenas podemos garantir que
não existe relação linear entre as duas variáveis;
no entanto, pode existir outro tipo de relação,
que não a linear, e não serem independentes.
11/08/2016 17:39 ESTATÍSTICA APLICADA I - Variáveis Aleatórias
FIM
III – Variáveis Aleatórias