Universidade Federal de Sergipe Departamento de Física · Pêndulo simples X pêndulo duplo
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Caos, uma introdução
Dr. Emerson Luis de Santa Helena
Universidade Federal de Sergipe
Departamento de Física
Pêndulo Simples
http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(derivations)
0sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
l
g
dt
d
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dl
dt
dl
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dl
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ga
mamgF
maF
Espaço de fase
Pêndulo com atrito
Pêndulo sem atrito
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02
2
tests
l
g
dt
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dt
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02
2
l
g
dt
d
Lorenz e a previsão do tempo
Globo ideal
Leis de Newton - 12 equações
pequenos erros num modelo determinista
1961 – o atalho e a divergência !!!
Válvula queimada?
Pequenos erros eram catastróficos.
Sensibilidade a CIS
Sistema não linear- Equações
de Lorenz Temperatura,velocidade e dT/dh
dx/dt = -a x + a y
dy/dt = b x –y –x z
dz/dt = -c z + x y
a=10, b=28 , c=8/3
CIs: x0 = 10 e x0 = 10,01 EU POSSO RESOLVER ANALITICAMENTE!!!!!!
Efeito borboleta
Imprevisibilidade
Meteorologia - Lorenz
Economia
População de animais – mapa logístico
Epidemias
Dinâmica de fluidos
Geomagnetismo - Rikitake
A descoberta de Lorenz
Willem Malkus
“Ed, nós sabemos, sabemos muito bem, que
a convecção dos fluidos não se comporta
assim.”
Artigo de Lorenz: Fluxo Determinista Não-
periódico:
1/ano - 1960
100/ano - 1980
Poincaré e as pegadas do caos
Topologia – estudo das propriedades de objetos
que são preservados depois de deformações
Cubo pode virar um cone
Xícara pode virar um torus
Topologia aplicada ao problema de três corpos.
The web of life – Fritjof Capra
Erro de Smale
Comportamento irregular não pode ser
estável !
Existe caos e estabilidade
independentemente do ruído
Expoente de Lyapunov-l
http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm
Tipo de movimento Expoente
Ponto fixo l<0
Ciclo limite l=0
Caos 0l
Ruído l=
0)( ZetZ t l
Pêndulo simples X pêndulo
duplo http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egs
antana/oscilaciones/pendulo_doble/pendul
o_doble.htm
Mapa Logístico
P – População
r – aumento e queda
da população
40
10
)(
)1(
)(
2
1
1
max
max1
r
X
XXrX
XXrX
P
PX
PPPrP
nnn
nnn
nnn
http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Logits/
Fractal : mapa de Henon
http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/strange.htm
261.1
42.1
3.
4.1
1
1
2
1
H
C
nn
nnn
d
d
b
a
bxy
axyx
Autosimilaridade
http://math.bu.edu/DYSYS/applets/M-
setIteration.html
Fractal na natureza
Rios
Montanhas
Linha costeira
Relâmpagos
Folhas
Crescimento de
bactérias
http://classes.yale.edu/fractals/panorama/nature/natfracgallery/natfracgallery.html
http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Biology/Bacteria/Bacteria.html
Exemplo: Um biólogo constata
que uma população de animais
varia aleatoriamente. Quantas
são as variáveis responsáveis
por este comportamento?
3 = caos
1000 = aleatório
Técnicas de imersão
Quando temos apenas x(t), o que fazer?
v=dx/dt – ruído
Como resolver ?
Pêndulo oscilante
x(t)= sin( t+), v(t)=cos( t+)
=2 / T
sin( t +/2) = cos( t)
Atrazo de ¼ ciclo na posição
Takens
Posição – x(t)
Variável 1 – x(t+t)
Variável 2 – x(t+2 t)
Variável 3 – x(t+ 3 t) ..........
Como determinar t ?
Como determinar dimensão D do atrator?
E o expoente de Lyapunov
Boa imersão
t pequeno comparado com escala de
tempo interna, alta correlação
t grande, baixa correlação (zero)
Calcular o primeiro zero da autocorrelação
xi+l xi/s2
Dimensão fractal
onde se
e se
N
i
N
ij
ji xxNN
C1 1
|)|()1(
2)(
),(limlim
ln
),(ln),(
0
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NCNd
N
0)( x 0x
1)( x 0x
Aplicação-Eletrocardiograma
fetal
Annals of Biomedical Engineering, Vol. 30, pp. 1140–1151, 2002
Nonlinear Time series analysis, Kants and Schreiber