UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO … · Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOCENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICAPÓS-GRADUAÇÃO. DOUTORADO EM ENERGIA.
ALVARO ANTONIO OCHOA VILLA
AANÁLISENÁLISE DDIMENSIONALIMENSIONAL EE SSEMELHANÇAEMELHANÇA
Análise Dimensional e Semelhança ØEquações com maior complexidade e de soluções difíceis
deveriam ser utilizadas para representar os fenômenos deforma completa;ØAlternativa a essas soluções complexas: basear-se em
resultados experimentais;ØA história do desenvolvimento da mecânica dos fluidos
sempre dependeu, em grande parte, dos resultadosexperimentais (escoamentos reais tem solução analíticacomplexa);ØMétodo: o escoamento real (complexo) é aproximado por um
modelo matemático mais simples, o qual leva à solução;
Análise Dimensional e Semelhança ØO trabalho experimental em laboratório é demorado e caro.
Portanto, o objetivo é obter o máximo de informações com ummínimo de experiências, ou seja, minimizar os experimentosrealizados em laboratório;ØA análise dimensional permite a correlação de dados para a
apresentação sucinta do fenômeno estudado, usando o menornúmero possível de gráficos;ØA análise dimensional também é necessária e utilizada em
estudos de semelhança dinâmica.
à É necessário o conhecimento das dimensões e unidades das
Grandezas Físicas
Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa dos parâmetros maneira complexa dos parâmetros geométricosgeométricos e de e de
escoamentoescoamento
Análise Dimensional e Semelhança
Análise DimensionalüAs unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias fundamentais:
-- massa[M];massa[M];-- comprimento[L];comprimento[L];-- tempo[T] etempo[T] e-- temperatura[temperatura[θθ]]
üAs quatro grandezas básicas representam as dimensõesprimárias que podem ser usadas para representar qualqueroutra grandeza;
Análise DimensionalØ É um meio para simplificação de um problema físico
empregando a homogeneidade dimensional para reduzir onúmero das variáveis de análise;
A análise dimensional é particularmente útil para:ØApresentar e interpretar dados experimentais;Ø Resolver problemas difíceis de estudar com solução analítica;Ø Estabelecer a importância relativa de um determinadofenômeno;ØModelagem física.
Grandeza Símbolo DimensãoGeometria Área A L2
Volume V L3
Cinemática Velocidade U LT-1
Velocidade Angular ω T-1
Vazão Q L3T-1
Fluxo de massa m MT-1
Dinâmica Força F MLT-2
Torque T ML2T-2
Energia E ML2T-2
Potência P ML2T-3
Pressão p ML-1T-2
Propriedades dos Fluidos
Densidade ρ ML-3
Viscosidade µ ML-1T-1
Viscosidade Cinemática v L2T-1
Tensão superficial σ MT-2
Condutividade Térmica k MLT-3θ
Calor Específico Cp,Cv L2T-2 θ-1
l Dimensões de Grandezas Derivadas:
Análise Dimensional
[ ][ ][ ][ ] 1..Re 11
13
=== −−
−−
TMLLLTMLVD
x µρ
Ø Uma grandeza ou grupo de grandezas físicas tem uma dimensão que é representada por uma relação das grandezas primárias;Ø Se esta relação é unitária, o grupo é denominado adimensional, isto é, sem dimensão;Ø Um exemplo de grupo adimensional é o número de Reynolds:
Análise Dimensional
Ø Como o número de grupos adimensionais érelativamente menor que o número de variáveis físicas, háuma grande redução de esforço experimental paraestabelecer a relação entre algumas variáveis;
ØA relação entre dois números adimensionais é dada poruma função entre eles com uma única curva relacionando-os;
Ø Pode-se afirmar que os grupos adimensionais produzemmelhor aproximação do fenômeno do que as própriasvariáveis;
Semelhança
Ø Restringindo as condições dos experimentos é possível obterdados de diferentes condições geométricas mas que levam aomesmo ponto na curva;
Ø Isto é, experimentos de diferentes escalas apresentam osmesmos valores para os grupos adimensionais a elespertinentes;
Ø Nessas condições os experimentos apresentam semelhançadinâmica;
IMPORTÂNCIA
Ø Problemas em Engenharia (principalmente na áreade Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidosaplicando-se exclusivamente análise teórica;
ØUtilizam-se com freqüência estudos experimentais;
ØO trabalho experimental, geralmente, é feito com opróprio equipamento ou com réplicas exatas;
ØPorém, a maior parte das aplicações em Engenhariasão realizadas utilizando-se modelos em escala.
SEMELHANÇA
• Semelhança é, em geral, uma indicação de que doisfenômenos têm um mesmo comportamento;
• Por exemplo: é possível afirmar que há semelhança entreum edifício e sua maquete (semelhança geométrica)
• Na Mecânica dos Fluidos o termo semelhança indica arelação entre dois escoamentos de diferentes dimensões,mas com semelhança geométrica entre seus contornos;
SEMELHANÇAØ Geralmente o escoamento de maiores dimensões édenominado escala natural ou protótipo;
Ø O escoamento de menor escala é denominado de modelo;
Modelo reduzido do Brennand Plaza, no Recife, ensaiado no
túnel de vento. Medidas de pressões devidas ao vento nasuperfície externa do edifício.
Escala do modelo: 1/285
VANTAGENS
Ø Utilização de Modelos em escala:ØVantagens econômicas (tempo e dinheiro);ØPodem ser utilizados fluidos diferentes dos fluidos
de trabalho;ØOs resultados podem ser extrapolados;ØPodem ser utilizados modelos reduzidos ou
expandidos (dependendo da conveniência);
VANTAGENSPara realizar o estudo de comparação de semelhançaentre o modelo e a realidade, é necessário que osconjuntos sejam fisicamente semelhantes;
SEMELHANÇA FÍSICA envolve uma variedade de tipos de semelhança:
üüSemelhança GeométricaSemelhança GeométricaüüSemelhança CinemáticaSemelhança CinemáticaüüSemelhança DinâmicaSemelhança Dinâmica
SemelhançaSemelhança GeométricaGeométricaØSemelhança de forma;
ØA propriedade característica dos sistemasgeometricamente semelhantes é que a razão entrequalquer comprimento no modelo e o seucomprimento correspondente é constante;
ØEsta razão é conhecida como fator de escala;
Semelhança Semelhança CinemáticaCinemáticaØ Quando dois fluxos de diferentes escalas geométricas tem o mesmo formato de linhas de corrente;
Ø É a semelhança do movimento;
Semelhança Semelhança DinâmicaDinâmica
Ø É a semelhança das forças;Ø Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa;
v Forças devido à diferenças de Pressão;v Forças resultantes da ação da viscosidade;v Forças devido à tensão superficial;v Forças elásticas;v Forças de inércia;v Forças devido à atração gravitacional.
Semelhança DinâmicaSemelhança Dinâmica
Ensaios em túneis aero e Hidrodinâmico;� Escoamento em condutos;� Estruturas hidráulicas livres;� Resistência ao avanço de embarcações;�Máquinas hidráulicas;
Exemplos de estudos em modelosExemplos de estudos em modelos
ØSão extremamente importantes na correlação dedados experimentais;
ØEm razão das múltiplas aplicações dos gruposadimensionais nos estudos de modelos e aplicaçõesde semelhança dinâmica, vários grupos foramcriados nas diversas áreas que compõem osFenômenos de Transporte
Grupo adimensionaisGrupo adimensionais
vNúmero de Reynolds;vNúmero de Froude;vNúmero de Euler;vNúmero de Mach;vNúmero de Weber;vNúmero de Nusselt;vNúmero de Prandtl;
Grupo adimensionaisGrupo adimensionais
µρVL
L =Re
Número de Reynolds:§ Relação entre Forças de Inércia e Forças Viscosas;
§ Um número de Reynolds “crítico” diferencia os regimes de escoamento laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao redor de corpos submersos;
Grupo adimensionaisGrupo adimensionais
gLVFr =
Número de Froude:ØRelação entre Forças de Inércia e Peso (forças de
gravidade);
ØAplica-se aos fenômenos que envolvem a superfície livre do fluido;
ØÉ útil nos cálculos de ressalto hidráulico, no projeto de estruturas hidráulicas e no projeto de navios;
Grupo adimensionaisGrupo adimensionais
2VpEu
ρ=
Número de Euler:�Relação entre Forças de Pressão e as Forças de
Inércia;
�Tem extensa aplicação nos estudos das máquinas hidráulicas e nos estudos aerodinâmicos
Grupo adimensionaisGrupo adimensionais
CVMa =
�Número de Mach:�Relação entre Forças de Inércia e Forças Elásticas;�É uma medida da relação entre a energia cinética do
escoamento e a energia interna do fluido;�É o parâmetro mais importante quando as
velocidades são próximas ou superiores à do som;
Grupo adimensionaisGrupo adimensionais
σρLVWe =
�Número de Weber:�Relação entre Forças de Inércia e Forças de Tensão
Superficial;�É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou
líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em contato com um contorno sólido;
Grupos Adimensionais
KhLNu =
Número de Nusselt:�Relação entre fluxo de calor por convecção e o fluxo
de calor por condução no próprio fluido;
�É um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmissão de calor por convecção
Grupos Adimensionais
αυ
=Pr
Número de Prandtl:�Relação entre a difusão de quantidade de
movimento e difusão de quantidade de calor;
�É outro grupo adimensional importante nos estudos de transmissão de calor por convecção;
Grupos Adimensionais
Teorema de Buckingham ou dos π
“Enunciado da relação entre uma função expressa em termosde parâmetros dimensionais e uma função correlata expressaem termos de parâmetros adimensionais”
Teorema de Buckingham ou dos π1º PASSO:Determinar o número de grandezas que influenciam ofenômeno - nn=5
2º PASSO:Escrevemos a equação dimensional de cada uma dasgrandezas.[F] = F[V] = L x T-1
[ρ] = F x L-4 x T2
[µ] = F x L-2 x T[D] = L
3º PASSO:Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas nofenômeno - K.K = 3
4º PASSO:Determinamos o número de números adimensionais quecaracterizam o fenômeno – m.m = n - K ∴ m = 2
Teorema de Buckingham ou dos π
5º PASSO:Estabelecemos a base dos números adimensionais.
Definição de base; É um conjunto de K variáveisindependentes comuns aos adimensionais a seremdeterminados, com exceção dos seus expoentes.
Variáveis independentes; São aquelas que apresentam assuas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menosuma grandeza fundamental.
Para o exemplo, temos:F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes.ρ e µ como variáveis dependentes
Teorema de Buckingham ou dos π
6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a baseadotada por cada uma das variáveis que restaram na funçãocaracterística após a sua retirada.
π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ
Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma dasvariáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive onúmero adimensional.Finalmente verifica-se que os grupos se encontrem semdimensão, ou seja, dimensão igual 1.
Teorema de Buckingham ou dos π
Para assegurar a semelhança dinâmica!!!
As condições do teste com o modelo devem reproduzir este Número de Reynolds: