UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Mecânica

Bruno Pelisson Chimetta

Soluções assintótica e numérica da equaçãode Orr-Sommerfeld para ondas de superfície

em um plano inclinado.

CAMPINAS2016

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaRose Meire da Silva - CRB 8/5974

Chimetta, Bruno Pelisson, 1988- C44s ChiSoluções assintótica e numérica da equação de Orr-Sommerfeld para

ondas de superfície em um plano inclinado. / Bruno Pelisson Chimetta. –Campinas, SP : [s.n.], 2016.

ChiOrientador: Erick de Moraes Franklin. ChiDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Mecânica.

Chi1. Ondas de superfície. 2. Orr-Sommerfeld, Equações de. 3. Teoria

assintótica - Teoria da estimativa. 4. Chebyshev, Polinomios de. 5. Galerkin,Métodos de. I. Franklin, Erick de Moraes,1974-. II. Universidade Estadual deCampinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Asymptotic and numerical solutions of the Orr-Sommerfeldequation for surface waves on an inclined plane.Palavras-chave em inglês:Surface wavesOrr-Sommerfeld equationAsymptotic solutionChebyshev polynomialsGalerkin methodÁrea de concentração: Térmica e FluídosTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:Erick de Moraes Franklin [Orientador]William Roberto WolfLuiz Antonio Alcântara PereiraData de defesa: 12-07-2016Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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Dedicatória

A todo e qualquer evento cuja ocorrência tenha me levado a conhecer as pessoas que hojeconheço, dedico.

Agradecimentos

Aos meus pais, pelo amor e dedicação incondicionais ao longo de todos esses anos, dos quais semo apoio não seria possível escrever estas linhas.

Aos meus avós, em especial ao meu avô Pedro, cuja memória ainda é viva em meus pensamentos.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Erick de Moraes Franklin, por toda ajuda e conhecimento comparti-lhado, e por confiar a mim a realização deste trabalho.

Ao Prof. Dr. Jerzy Maciej Floryan, Prof. Dr. Mohammad Zakir Hossain e Prof. Dr. StanislawGepner por dedicarem parte de seus dias ao meu trabalho, assim como por me ensiarem um poucomais sobre Matemática e Física.

Aos meu amigos Guizão, Jão, Leitão, Danilão e Bazan pelas longas e divertidas conversar noscorredores do Instituto de Fisica Gleb Wataghin, as quais guardo com carinho em minha memória.

Aos colegas de trabalho Marcos e Ednir, por toda ajuda com este texto e por sempre estaremdispostos a divirdir uma conversa acompanhada de um bom café.

Ao meu irmão Henrique, por sempre estar disposto a compartilhar comigo o prazer de estudarMatemática e Física, assim como o de dedicar algumas tardes à busca por compreender um poucomais acerca de homotopia de caminhos.

À Camile, pelo amor e carinho, e cujo intelecto encontra tempo e paciência para dedicar sua atençãoàs explicações de um sonhador sobre teoria dos números. Não tenho dúvidas de que tio Petros teriaorgulho de você.

Ao DFATD pelo apoio financeiro no período de pesquisa na University of Western Ontario.

À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo apoio financeiropara a realização deste trabalho.

Os únicos princípios que aceito, ounecessito, na Física, são os da Geometriae da Matemática pura; estes princípiosexplicam todos os fenômenos naturais, enos permitem fazer demonstraçõesbastante acertadas a respeito deles.

René Descartes

Resumo

PELISSON CHIMETTA, Bruno. Soluções assintótica e numérica da equação de Orr-Sommerfeldpara ondas de superfície em um plano inclinado. 2016. 114p. Dissertação (Mestrado). Faculdadede Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

Este trabalho apresenta uma análise do comportamento inicial da superfície livre deum líquido escoando em um plano inclinado onde, sob algumas condições, instabilidades deondas longas podem surgir. Estas instabilidades podem evoluir para ondas de superfície, quefrequentemente aparecem em filmes líquidos finos. Tal conhecimento é útil na indústria, umavez que filmes líquidos ajudam a remover o calor de superfícies sólidas, e também reduzem africção entre fluidos de alta viscosidade e as paredes de um tubo, pela injeção, próxima à parede,de um fluido menos viscoso. A instabilidade da superfície livre é governada pela equação deOrr-Sommerfeld e suas condições de contorno. Este trabalho apresenta uma solução de onda-longapara a equação de Orr-Sommerfeld baseada em uma expansão assintótica e uma solução numérica.Para perturbações de ondas longas, o número de onda pode ser tratado como um parâmetropequeno, e as formas das equações sugerem que a velocidade e a amplitude das autofunçõespodem ser tratadas como séries de potência do número de onda, das quais consideramos até asegunda ordem de aproximação para a solução assintótica. A solução numérica foi baseada em ummétodo de Galerkin usando polinômios de Chebyshev para a discretização, o que tornou possívelexpressar a equação de Orr-Sommerfeld e suas condições de contorno como um problema deautovalor generalizado. Essas escolhas foram feitas devido à abordagem geral do método Galerkin,o que torna a implementação das condições de contorno de superfície livre mais fáceis, e à altaacurácia dos polinômios de Chebyshev. Um código em Matlab foi implementado para resolver osistema linear usando um algoritmo QZ. As soluções assintótica e numérica proporcionam umaaproximação para o autovalor físico do problema, uma vez em posse deste resultado é possívelencontrar a taxa de crescimento, a velocidade da onda e o número de Froude crítico do filmelíquido para a instabilidade marginal. Os resultados são comparados com dados anteriormentepublicados.

Palavras-chave: Ondas de superfície, equação de Orr-Sommerfeld, solução assintótica, polinômiosde Chebyshev, método de Galerkin.

Abstract

PELISSON CHIMETTA, Bruno. Asymptotic and numerical solutions of the Orr-Sommerfeldequation for surface waves on an inclined plane. 2016. 114p. Dissertação (Mestrado). Faculdadede Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

This work presents an analysis of the initial behavior of free surface liquid flows on inclinedplanes where, under some conditions, long-wave instability may appear. These instabilities mayevolve to surface-wave, that often appear on thin liquid films. Such knowledge is useful in industry,once liquid films help to remove the heat from solid surfaces, and also reduces the frictionbetween high viscosity fluids and pipe walls, by injecting, close to the wall, a less viscous fluid.The surface-wave instability is governed by the Orr-Sommerfeld equation and their boundaryconditions. In this work, we present a long-wave solution for the Orr-Sommerfeld equation basedon asymptotic expansions and a numerical solution. For the long-wave perturbations, the wavenumber can be treated as a small parameter, and the form of the equations suggests that the speedand amplitude of the eigenfunction can be sought as a power series of the wave number, whichwe considered until the second order of approximation for the asymptotic solution. The numericalsolution was based on a Galerkin method using Chebyshev polynomials for the discretization,which made it possible to express the Orr-Sommerfeld equation and their boundary conditionsas a generalized eigenvalue problem. Those choices were made due to the general approach ofthe Galerkin method, which makes the implementation of the boundary condition of free surfaceeasier, and the high accuracy of the Chebyshev polynomials. A code was implemented in Matlabto solve the linear system using a QZ algorithm. The asymptotic and numerical solutions give anapproximation for the physical eigenvalue of the problem, once in possession of this result it ispossible to find the growth rate, the wave speed and the critical Froude number of the liquid film atthe instability threshold. The results are compared with previously published data.

Keywords: Surface waves, Orr-Sommerfeld equation, asymptotic solution, Chebyshev polynomials,Galerkin method.

Lista de Ilustrações

3.1 Filme líquido escoando em um plano inclinado com perfil de velocidade parabólico,𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) é a posição da interface, onde �� é o vetor unitário paralelo ao gradientede H (∇𝐻), e 𝜂(𝑥,𝑡) = 𝑦 −𝐻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Representação de uma interface cilíndrica onde 𝑃1 e 𝑃2 são as pressões atuandona interface, 𝛾 é a tensão da superfície, 𝑅 é o raio de curvatura, 𝑑𝜃 é um ânguloinfinitesimal e �� é o vetor normal à interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.1 Espectro dos autovalores para N = 70, com autovalor físico c = 1.999807794289158- 0.001840091868208i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝛼) para 𝐹𝑟 < 𝐹𝑟𝑐 e 𝐹𝑟 > 𝐹𝑟𝑐 coma solução assintótica. A linha pontilhada representa a taxa de crescimento para onúmero de Froude crítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝛼) para 𝐹𝑟 < 𝐹𝑟𝑐 e 𝐹𝑟 > 𝐹𝑟𝑐 comos dados numéricos. A linha pontilhada representa a taxa de crescimento para onúmero de Froude crítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4 Diagrama de estabilidade em função do número de Froude. Curvas com valoresde 𝜎 negativos (à esquerda) e positivos (à direita) representam regiões estáveis einstáveis respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.5 Comparação entre os diagramas de estabilidade para as soluções assintótica e nu-mérica, dada por 𝛼 em função de 𝐹𝑟. A linha contínua representa a equação (4.61)

para a solução assintótica e a linha pontilhada os dados numéricos. . . . . . . . . . 1016.6 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑅𝑒) para a solução numérica. . . . . . . 1016.7 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑅𝑒) no intervalo 1 < 𝑅𝑒 < 2 com

𝑅𝑒𝑐 = 1,9262 e 𝜎 = −1,5914.10−9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.8 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝐹𝑟) para a solução numérica. . . . . . . 1026.9 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝐹𝑟) no intervalo 1 < 𝐹𝑟 < 2 com

𝐹𝑟𝑐 = 1,6682 e 𝜎 = −8,5811.10−11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.10 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑊𝑒) para a solução numérica. . . . . . . 1036.11 Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑊𝑒) no intervalo 0,0002 < 𝑊𝑒 <

0,0003 com 𝑊𝑒𝑐 = 0,0002248 e 𝜎 = −3,1479.10−9. . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.12 Diagrama de estabilidade em função do número de Reynolds para o intervalo0,001 < 𝑅𝑒 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.13 Diagrama de estabilidade em função do número de Reynolds para o intervalo 1 <

𝑅𝑒 < 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.14 Diagrama de estabilidade em função do número de Weber para o intervalo 0.0001 <

𝑅𝑒 < 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Lista de Tabelas

6.1 Tabela comparativa entre os resultados de (Charru, 2011) e os resultados propostosneste trabalho para as partes real e imaginária do autovalor físico. . . . . . . . . . . 96

6.2 Variação do autovalor físico com base no número de polinômios utilizados. . . . . 96

Lista de Símbolos

ℎ - Espessura do filme líquido𝜇 - Viscosidade dinâmica𝜌 - Densidade do filme líquido𝛾 - Tensão superficial𝜈 - Viscosidade cinemática𝜃 - Ângulo de inclinação da parede em relação à horizontal�� - Vetor gravidade𝑡 - Variável temporal𝑃 - Pressão𝑃0 - Pressão aplicada pelo gás nma interface�� - Vetor de velocidades𝑢 - Componente horizontal do vetor de velocidades𝑣 - Componente vertical do vetor de velocidades𝑈 - Perfil de velocidades para a solução estacionária𝑈0 - Velocidade na interface𝑅𝑒 - Número de Reynolds𝐹𝑟 - Número de Froude𝑊𝑒 - Número de Weber∇ - Operador Nabla�� - Perturbação da componente horizontal do vetor de velocidades𝑣 - Perturbação da componente vertical do vetor de velocidades𝜓 - Função corrente𝜓 - Amplitude das perturbações da função corrente𝑘 - Número de onda𝜔 - Frequência𝛼 - Número de onda característico𝑐 - Autovalor𝐻 - Representação genérica da interface para as componentes x,y e t�� - Vetor unitário normal a interface�� - Vetor velocidade em um ponto da superfície�� - Vetor unitário tangente a interface

𝜂 - Posição da interface em função das componentes x e t𝜂 - Âmplitude das perturbações da interfaceΣ - Tensor de tensões𝜏𝑖𝑗 - Componentes do tensor de tensões𝑅 - Raio de curvatura da interface𝑃1 - Pressão atuando na interface à partir do meio 1𝑃2 - Pressão atuando na interface à partir do meio 2𝜎 - Taxa de crescimento da instabilidade𝑤 - Função peso𝑤𝑘 - Função teste𝜑 - Função base𝑇𝑛 - Polinômio de Chebyshev de primeira espécie𝑁 - Número total de polinômios utilizados

SUMÁRIO

1 Introdução. 17

2 Revisão Bibliográfica. 19

3 Formulação do problema. 313.1 Perfil de velocidade, escalas características e solução estacionária. . . . . . . . . . 313.2 A equação de Orr-Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Condições de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Condição de não delizamento na parede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2 Condição cinemática da interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.3 Condições dinâmicas da interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Solução assintótica. 574.1 Solução para 𝑂(1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Solução para 𝑂(𝛼). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Solução para 𝑂(𝛼2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Solução numérica. 755.1 Norma, produto interno e Ortogonalidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2 Método dos pesos ponderados e método de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3 Polinômios de Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3.1 Definição e relação de recorrência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3.2 Produto, derivação e integração de polinômios de Chebyshev. . . . . . . . . 825.3.3 Ortogonalidade dos polinômios de Chebyshev. . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4 Discretizações e implementação do método de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . 865.4.1 Transformação do problema físico para o intervalo [−1; 1]. . . . . . . . . . 865.4.2 Implementação do método de Galerkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4.3 Problema de autovalor generalizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Análise e Discussão. 95

7 Conclusão. 107

Referências Bibliográficas 109

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1 Introdução.

Um melhor conhecimento das instabilidades presentes em filmes líquidos é de grande impor-tância para aplicações industriais; portanto, o estudo de filmes líquidos é necessário. Aplicaçõesindustriais como redução dos efeitos da fricção em casos de escoamentos com a presença de fluidode alta viscosidade e refrigeração de reatores, são alguns exemplos. Quando estamos lidando comtais escoamentos, o aparecimento de instabilidades deve ser considerado. Dependendo do sistemaa ser usado, a presença de instabilidades pode ser ou não desejável. No caso de transporte de óleoem um escoamento anular, a espessura do filme líquido deve ser constante, logo é necessário evitarinstabilidades. Em contrapartida, algumas vezes podemos utilizar instabilidades para aumentar atransferencia de calor e massa como, por exemplo, em um processo de refrigeração de um reator.

Neste trabalho é tratado o problema da estabilidade inicial de um filme líquido escoando emum plano inclinado. O texto abordando o problema é dividido em cinco capítulos, o capítulo 1 comuma seção, o capítulo 2, com três seções, o 3 também com três seções, o 4 com quatro seções eo 5 com seção única. No capítulo 1 apresentamos uma revisão bibliográfica com alguns dos tra-balho mais relevantes da área. O capítulo 2 é dedicado exclusivamente à formulação do problema.Partindo das equações da continuidade e da quantidade de movimento, foram desenvolvidas asequações que representam o problema físico (em termos de velocidades e pressão) assim comoas definições que serão utilizadas para os grupos adimensionais. Em seguida é construída a equa-ção de Orr-Sommerfeld para o problema, assim como as equações que descrevem as condiçõesde contorno, como condição de não deslizamento na superfície sólida e as condições, cinemáticae dinâmica, presentes na interface fluido-gás. Também são apresentadas demonstrações a fim degarantir os resultados a serem utilizados para a formulação das condições de contorno. O capítulo3 trata da solução assintótica do problema da 𝑂(1) à 𝑂(𝛼2). Neste capítulo teremos a construçãodas principais soluções teóricas e possíveis interpretações das mesmas. O capítulo 4 é dedicado ex-clusivamente à solução numérica; as primeiras três seções abordam brevemente as definições e osconceitos básicos que serão necessários para a implementação do método numérico e a última seçãotrata apenas da implementação do mesmo. No capítulo 5, de seção única, mostramos a validaçãodos métodos, com base em obras publicadas anteriormente, e trazemos uma análise dos resultadosobtidos pelas soluções assintótica e numérica, assim como uma comparação desses resultados.

A revisão bibliográfica foi redigida no intuito de construir um breve cenário histórico a res-peito do problema da estabilidade dos fluidos, dando prioridade as obras que serviram de inspiração

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para este texto, assim como as que proporcionaram boas ideias a fim de solucionar o problema a sertratado. Alguns comentários são feitos acerca de cada obra como: qual problema foi abordado, deque forma foi possível (ou não) solucionar o problema e alguns resultados obtidos por cada autor.

Como objetivo principal, este trabalho buscou abordar o problema proposto de maneira siste-mática. Além da física envolvendo o sistema considerado, e da interpretação dos resultados obtidos,houve certo cuidado com as demostrações algébricas envolvendo cada construção das equaçõesfundamentais a serem resolvidas. Algumas passagens algébricas foram, por questão de espaço,omitidas, assim como a demonstração de alguns resultados famosos, como a do teorema de Squire(SQUIRE, 1933), entre outros; no entanto muitos resultados obtidos tiveram suas resoluções manti-das, na busca em favorecer o bom compreendimento dos assuntos tratados.

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2 Revisão Bibliográfica.

Os primeiros estudos significativos na área de instabilidade hidrodinâmica começaram porvolta da segunda metade do século XIX. Um dos primeiros trabalhos desta área é devido a Her-mann von Helmholtz (HELMHOLTZ, 1868). Este que foi motivado por uma questão simples: "Comoo fluxo contínuo de ar a partir do fole do órgão é capaz de produzir um movimento oscilató-rio no tubo?". A partir desta pergunta juntamente com seu trabalho anterior sobre vorticidade(HELMHOLTZ, 1858) foi possível desenvolver os primeiros resultados sobre a descontinuidade dasondas formadas pelo fole do órgão, estabelecendo os primeiros resultados teóricos no campo da te-oria da estabilidade. Porém foi com os trabalhos experimentais e teóricos de Osborn Reynolds em1883 (REYNOLDS, 1883), e posteriormente em 1894 (REYNOLDS, 1894), que foram estabelecidasas bases desta nova área. Ele foi capaz de mostrar que o movimento de um líquido, em um tubo, éestável desde que sua velocidade média não exceda um certo limite, movimento este que tambémdepende do raio do tubo e das propriedades do líquido. Desta forma ele pôde estabelecer a ideiabásica da teoria da estabilidade por meio da conjectura de que, um escoamento laminar torna-seinstável acima de certo limite, que por sua vez gera a turbulência.

Nos mesmo período outros autores produziram trabalhos sobre o tema. Willian Thomson,(Lord Kelvin), realizou estudos sobre a formação de ondas na superfície da água sob efeito dosventos (THOMSON, 1871). Ele mostrou que as ondas crescem indefinidamente quando a veloci-dade dos ventos excede um determinado limite, ou seja, a interface ar-água é instável para taisvelocidades. No entanto, Kelvin não considerou o caso limite das densidades serem iguais paraambos os fluidos, porém estas ideias seriam tratadas por outro autor.

John William Strutt (Lord Rayleigh) foi um dos primeiros teóricos, juntamente com Thom-son, a trabalhar com a teoria da estabilidade considerando escoamentos invíscidos. Em seus tra-balhos foi capaz desenvolver uma equação que representasse as perturbações presentes no escoa-mento, hoje conhecida como "equação de Rayleigh", assim como estabelecer teoremas importantespara a teoria da estabilidade, como o "critério do ponto de inflexão"(RAYLEIGH, 1880). Rayleightambém considerou o caso não abordado por Kelvin, quando as densidades dos dois fluidos presen-tes no escoamento são iguais, derivando a existência de crescimento exponencial das perturbaçõespara qualquer comprimento de onda (RAYLEIGH, 1878); e foi capaz de mostrar a similaridade dasinstabilidades descobertas por Helmholtz e Kelvin, gerando o que conhecemos por "instabilidadesde Kelvin-Helmholtz". Suas ideias foram tratadas novamente, algumas décadas após seus faleci-

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mento, por Sir Geoffrey Ingram Taylor (TAYLOR, 1950). Taylor considerou um sistema de doisfluidos sobrepostos, com densidades diferentes, sofrendo ação de uma aceleração perpendicular àinterface formada por ambos. Estes estudos deram origem o que hoje chamamos de "instabilidadesde Rayleigh-Taylor".

No começo do século XX, já existiam vários resultados teóricos e experimentais sobre ins-tabilidades em escoamentos, porém foi com os trabalhos de William McFadden Orr (ORR, 1907)e Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (SOMMERFELD, 1908) que a teoria de estabilidade paraescoamentos com fluidos viscosos pôde evoluir. Em seu trabalho Orr buscou fazer uma extensarevisão dos trabalhos de Reynolds, Kelvin e Rayleigh, porém, desta vez considerando o efeito daviscosidade juntamente com uma análise de primeira ordem para as perturbações do escoamento, nodesenvolvimento do problema considerou um escoamento plano de Couette e obteve uma expres-são que representasse tais perturbações. Um ano após a publicação do trabalho de Orr, Sommerfeldpublicou um breve artigo considerando as mesmas condições de escoamento tratadas por Orr, po-rém para um escoamento plano de Poiseuille. A combinação de ambos os resultados deu origem aum dos resultados mais importantes em teoria da estabilidade hidrodinâmica, a chamada "equaçãode Orr-Sommerfeld"; uma equação diferencial de quarta ordem que descreve as perturbações doescoamento. A equação de Orr-Sommerfeld é a extensão, no caso de um fluido viscoso, da equaçãode Rayleigh, onde esta segunda equação pode ser obtida negligenciando o termo de viscosidade daprimeira.

Após a publicação dos trabalhos de Orr e Sommerfeld alguns pesquisadores abordaram oproblema na tentativa de resolvê-lo. As primeiras soluções surgiram com os trabalhos teóricos deWalter Tollmien (TOLLMIEN, 1929), que conseguiu por meio de métodos analíticos calcular osprimeiros autovalores neutros, considerando um escoamento plano de Poiseuille, obtendo um valorcrítico para o número de Reynolds. Tollmien também contribuiu de forma teórica para o apri-moramento do critério do ponto de inflexão estabelecido por Rayleigh (TOLLMIEN, 1935), antesconsiderada uma condição suficiente por Rayleigh, Tollmien mostrou que a presença de um pontode inflexão no perfil de velocidade é uma condição necessária para o surgimento de ondas estáveis.Neste mesmo período, Hermann Schlichting baseou-se nos trabalhos de Tollmien e estendeu seusconceitos (SCHLICHTING, 1932). A combinação de seus esforços levou a compreensão das osci-lações, que hoje são resultados para a estabilidade de escoamentos paralelos, chamadas "ondas deTollmien-Schlichting".

Ainda nos primeiros anos de publicações de Tollmien e Schlichting, instabilidades bidimensi-

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onais e tridimensionais eram analisadas de forma separada em grande parte dos problemas a seremestudados. No ano de 1933, Herbert Brian Squire publicou seus estudos sobre a relação das duasformas de instabilidade (SQUIRE, 1933). Em seu trabalho, Squire considerou o escoamento de umfluido viscoso entre placas paralelas e pôde concluir que toda perturbação tridimensional instávelé associada a um modo de perturbação bidimensional mais instável para um menor valor do nú-mero de Reynolds; portanto, o comportamento das perturbações tridimensionais pode ser deduzidoa partir do comportamento das perturbações bidimensionais em um escoamento paralelo para umfluido viscoso. Este último resultado ficou conhecido como o "teorema de Squire"e a relação entreos modos bi e tridimensionais associados ao número de Reynolds é conhecida por "Transformaçãode Squire". Squire deu um passo importante para a melhor compreensão dos modos instáveis dasperturbações; contudo, ele não estendeu o conceito da relação entre as instabilidades bi e tridimen-sionais para dois ou mais fluidos, de densidades diferentes, presentes em um mesmo escoamento.Uma demonstração para este resultado só ocorreu décadas depois do trabalho de Squire, em 1986,com o artigo de Hesla, Pranckh e Preziosi no qual os autores estenderam o teorema de Squire paraum escoamento estratificado de dois fluidos homogêneos e imiscíveis com condição de contornode duas placas paralelas (com possibilidade de movimento). Os autores também observaram que oresultado poderia ser generalizado para domínios não limitados e escoamentos com mais de duasfases.

Alguns anos após os resultados obtidos por Squire, Chia-Chiao Lin (LIN, 1946) publicou umartigo no qual propunha uma resolução mais abrangente para os problemas de estabilidade. Emseu trabalho Lin buscou determinar se um dado escoamento (ou uma classe de escoamentos) se-ria, em última análise, instável para um número de Reynolds suficientemente grande, assim comodeterminar um número de Reynolds crítico para o qual a instabilidade tem seu início, e por fim, en-tender os mecanismos físicos fundamentais do escoamento por meio de uma interpretação teórica ede confirmações experimentais dos resultados obtidos a partir da análise matemática. Seu trabalhoé dividido em três partes; a primeira parte lida com a teoria matemática geral do problema, comênfase no esclarecimento das dificuldades envolvidas na resolução da equação de estabilidade. Asegunda parte é dedicada ao problema de um fluido não viscoso enquanto a terceira considera oproblema da estabilidade em um fluido viscoso. Lin foi capaz de mostrar que todas as distribuiçõesde velocidade para os casos estudados são instáveis para valores suficientemente altos, porém fi-nitos, do número de Reynolds, e na busca por uma generalização dos conceitos abordados em seutrabalho, diferentemente de alguns autores deste período, Lin considerou o escoamento plano dePoiseuille apenas como um caso especial em seus resultados.

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Ao final da primeira metade do século XX uma nova linha de pesquisa estava surgindo na áreada estabilidade hidrodinâmica. Devido aos novos processos industriais deste período, o estudo so-bre filmes líquidos começou a obter relevância. O primeiro pesquisador a contribuir para essa novalinha de estudos foi Pyotr Leonidovich Kapitza (KAPITZA, 1948) (KAPITZA, 1949), realizando tra-balhos experimentais e teóricos em escoamentos de filme líquido na presença de uma parede verti-cal. Foi capaz de relacionar a tensão superficial com as forças inerciais do escoamento, obtendo umarelação (número de Kapitza) que atua como um indicador do regime hidrodinâmico do escoamentode um filme líquido. Alguns anos depois, em 1957, Thomas Brooke Benjamin (BENJAMIN, 1957)realizou um trabalho teórico sobre escoamentos de filmes líquidos em um plano inclinado, ca-racterizados por um baixo valor do número de Reynolds. Ele conseguiu estabelecer uma relaçãopara o número de onda em função do número de Reynolds, obtendo assim um diagrama das cur-vas de estabilidade neutra para um escoamento na presença de parede vertical. Os dados obtidosem suas análises estavam em conformidade com alguns resultados experimentais anteriores. Nestemesmo período, Chia-Shun Yih publicou trabalhos sobre o tema, porém dando um passo adiantepara a análise das ondas geradas pelas perturbações (YIH, 1963). Yih buscou uma nova abordagempara as perturbações, definindo-as por meio de uma função corrente, ele conseguiu resultados combaixos valores do número de Reynolds para qualquer número de onda, resultados que não erampossíveis de se obter a partir das expansões de Benjamin. Yih foi um dos primeiros pesquisadoresa realizar uma análise de ondas longas (caracterizadas por um número de onda pequeno) e curtas(caracterizadas por um número de onda grande) em um mesmo trabalho.

Em 1966 David John Benney (BENNEY, 1966), orientado de Lin, publicou seus estudos sobreinstabilidades em filmes líquidos. Em seu artigo, o qual é objeto de estudo deste trabalho, Benneypropõe uma análise de ondas longas para o escoamento de um filme líquido em um plano inclinado.Ele dedica parte do trabalho na construção do problema da estabilidade do escoamento, assim comono método que será utilizado para obter sua solução. Para resolver o problema ele utilizou umaanálise assintótica, na qual dedicou sua resolução até uma expansão de terceira ordem. Com issoele foi capaz, para casos particulares, de determinar os autovalores gerados a partir do problema,obtendo assim, correções para a taxa de crescimento da instabilidade e para a celeridade. Destaforma pode ser estabelecido um critério para o número de Reynolds no qual o filme líquido passariaa apresentar instabilidades, os resultados obtidos por ele, assim como as considerações feitas, serãodiscutidos mais adiante neste trabalho.

Durante todo o século XX vários autores buscaram compreender e resolver problemas queenvolviam a estabilidade de escoamentos. Muitos abordaram esses problemas com resoluções algé-

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bricas diversas e utilizando expansões em série, a fim de estabelecer condições para o aparecimentode tais instabilidades, porém o problema destas soluções muitas vezes era o fato de que envolviammuitos passos algébricos para serem obtidas, e mesmo quando encontradas ainda existia a dúvidainerente acerca da validade dos resultados e do erro existente devido às aproximações e simplifi-cações durante o processo de resolução. Foi com base nestas questões que muitos pesquisadoresbuscaram, além de comprovações experimentais, soluções numéricas devido a melhor acurácia queestas poderiam fornecer, a fim de validarem os resultados obtidos pela teoria assintótica.

A primeira solução numérica da equação de Orr-Sommerfeld foi obtida por Thomas(THOMAS, 1953) em uma tentativa para solucionar as controvérsias que existiam no período depublicação de seu trabalho a respeito da validade dos métodos assintóticos. Em seu trabalho Tho-mas utilizou o método de diferenças finitas, desta forma, substituindo a equação diferencial dequarta ordem por um sistema de diferenças de mesma ordem, porém com um erro de truncamentoenvolvendo uma derivada de oitava ordem, com isso o erro torna-se suficientemente pequeno paraum intervalo razoavelmente grande. Para resolver o sistema linear algébrico Thomas utilizou o mé-todo de eliminação Gaussiana, desta forma ele obteve um número de Reynolds crítico de 5780,confirmando as conclusões de Lin (LIN, 1946) de que o escoamento plano de Poiseuille era defato instável. Alguns anos depois Dolph e Lewis (DOLPH E LEWIS, 1958) resolveram o problemada estabilidade do escoamento plano de Poiseuille utilizando um método de resolução numéricabaseado em expansões de funções ortogonais. Ambos produziram resultados para o escoamento dePoiseuille com um número de termos N de 8 e 20. A aproximação de oito termos não se mostrouadequada para fins quantitativos, no entanto, com 𝑁 = 20 eles obtiveram, para um número de ondacaracterístico igual a 1, um número de Reynolds crítico igual a 5800, resultado este que, apesar dapequena discrepância, concorda com o valores de Thomas.

Em 1960 Clenshaw e Elliot (CLENSHAW E ELLIOTT, 1960) utilizaram um método itera-tivo para resolver o problema da instabilidade inicial em um jato laminar. As discretizações foramrealizadas com base em expansões em séries de polinômios de Chebyshev para as perturbaçõespresentes na equação de Orr-Sommerfeld. Foi necessária uma transformação de coordenadas parao argumento na forma 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑦), a fim de garantir sua ortogonalidade, e em seguida resolveramas relações de recorrência presentes nas expansões. Com este método foi possível determinar umnúmero de Reynolds crítico igual a 3,37, assim como o autovalor produzido pelo problema dentrodo intervalo de 0,05 à 0,1 com um número de onda de aproximadamente 0,25. Para uma discre-tização de 24, 48 e 96 pontos eles obtiveram bons resultados ao longo da parte superior da curvade instabilidade marginal, porém encontraram dificuldades para baixos valores do número de onda

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característico ao longo da parte inferior.

Outros autores produziram trabalhos com o objetivo de estudar a estabilidade da camada li-mite presente nos escoamentos. Kurtz e Crandall (KURTZ E CRANDALL, 1962) fizeram uso dométodo de diferenças finitas para estudarem a camada limite de Blasius e a convecção livre dacamada limite em um plano vertical aquecido. Para resolverem o problema de autovalor geradoeles implementaram o método de eliminação Gaussiana. Assim como Kurtz e Crandall, Osborne(OSBORNE, 1967) aplicou o método de diferenças finitas a fim de resolver a equação de Orr-Sommerfeld para a camada limite de um escoamento sobre uma placa plana. Para solucionar oproblema do autovalor ele utilizou o método de Newton, obtendo um resultado para o número deReynolds crítico igual a 530. Em 1968 Grosch e Salwen (GROSCH E SALWEN, 1968) estudarama estabilidade do escoamento plano de Poiseuille utilizando expansões com um conjunto de fun-ções ortogonais. Eles implementaram um algoritmo QR para resolver o problema do autovalor.Desta forma foram capazes de tabelar uma faixa de valores para o número de Reynolds em funçãode valores fixos do número de onda, dados por 1,4 ≤ 𝛼 ≤ 2,2 obtendo 9400 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 71000.Três anos após o trabalho de Grosch e Salwen, Orzag (ORSZAG, 1971) publicou um artigo con-siderando o problema da estabilidade do escoamento plano de Poiseuille utilizando expansões empolinômios de Chebyshev juntamente com a implementação de um algoritmo QR para encontrar assoluções aproximadas da equação de Orr-Sommerfeld. Com esta abordagem Orzag obteve grandeacurácia em seus resultados com um aparente ganho computacional. Seus resultados mostraramum valor para o número de Reynolds crítico como sendo 5772,22 com um número de onda igual a1,02056. O método implementado por Orzag se mostrou um dos melhores métodos para a resolu-ção de problemas de estabilidade, devido a grande acurácia de seus resultados e o baixo custo deimplementação.

Alguns trabalhos produzidos tiveram como característica comum o uso de métodos de va-lor inicial para abordarem o problema da estabilidade inicial de um escoamento. Embora sejamde implementação simples podem levar a dificuldades maiores quando o número de Reynolds as-sume valores altos (DRAZIN E REID, 2004). Em 1964 duas produções foram publicadas acercada implementação de métodos de valor inicial para o problema de estabilidade. A primeira foi dePhilip Nachtsheim (NACHTSHEIM, 1964) que utilizou o método para o caso do escoamento planode Poiseuille para um sistema definido no intervalo de 0 à 1, porém em seu método ele fez uso deuma integração backward partindo do extremo 1, sendo assim, a relação dos autovalores pode serobtida combinando os resultados em um ponto interior do intervalo. A segunda contribuição foidevido a Richard Kaplan (KAPLAN, 1964), que em sua tese de doutorado considerou a equação

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de Orr-Sommerfeld para o problema de uma camada limite sobre uma classe geral de contornoscompatíveis. Ele mostrou que tais contornos influenciam de maneira significativa a estabilidadeda camada limite laminar, atrasando o aparecimento de instabilidades e reduzindo a amplificaçãoespacial total das mesmas. Como esquema numérico ele optou por implementar um método deRunge-Kutta, com a presença de filtro para eliminação de erros. Desta forma Kaplan obteve ummétodo suficientemente acurado para o problema e com baixo custo numérico. Outras pesquisasforam realizadas nesta área, porém com foco em possíveis variações de implementação, e utiliza-ção de filtros, a fim de conquistar maior acurácia e também obter um melhor custo computacional,foram eles Godunov (GODUNOV, 1961), Conte (CONTE, 1966) e Davey (DAVEY, 1973). Estes au-tores utilizaram métodos de valor inicial, assim como métodos de ortonormalização a fim de evitarerros numéricos.

Assim como a teoria assintótica buscou solucionar novos problemas na área da estabilidadehidrodinâmica, o mesmo ocorreu com a implementação de métodos numéricos na busca de explicarcom precisão a estabilidade de filmes líquidos. Em 1987 Floryan, Davis e Kelly (FLORYAN e ou-

tros, 1987) publicaram um estudo numérico sobre a estabilidade de um filme líquido em um planoinclinado. Para resolver o problema foi utilizado o método de Newton-Raphson com integraçãonumérica e um método de ortonormalização a fim de controlar erros de truncamento gerados noprocesso de resolução. Em seus resultados eles obtiveram varios valores do número de Reynoldscrítico para diferentes valores da tensão superficial. Eles verificaram que a taxa de crescimento dasondas decresce conforme aumenta-se o valor da tensão superficial ou diminui-se o ângulo de incli-nação do plano. No limite de altos valores para o número de Reynolds o modo cisalhante do filmelíquido é inviscidamente estável, independentemente da magnitude da tensão superficial. Comoresultados numéricos foram obtidos, para uma inclinação de 1𝑜, os intervalos 0 ≤ 𝜁 ≤ 150000

e 5601,73 ≤ 𝑅𝑒𝑐 ≤ 6453,37 que corresponde a tensão superficial e o número de Reynoldscrítico respectivamente. Para uma inclinação de 4 graus eles encontraram 0 ≤ 𝜁 ≤ 230000 e5728,50 ≤ 𝑅𝑒𝑐 ≤ 6288,16.

Em 1990 Joo e Bankoff (JOO E BANKOFF, 1991), publicaram um estudo a respeito de umacamada de um líquido viscoso volátil escoando sobre uma placa plana uniformemente aquecida. Osautores consideraram um escoamento bidimensional com condições de contorno de superfície li-vre. Na parede a temperatura foi considerada constante com um gradiente de temperatura não-nuloe na superfície livre a temperatura da interface é controlada pela perda com o gás. Como o líquidoproposto é volátil há transição de fase para vapor na superfície livre. A tensão superficial conside-rada depende da temperatura logo efeitos termocapilares estão presentes. No trabalho foi realizada

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uma análise de ondas-longas para o problema da instabilidade linear no qual foi possível encontrara taxa de crescimento assim como a velocidade de fase das ondas. Foi observado que a velocidadede fase cai conforme o filme perde espessura indicando que a propagação da onda é afetada pelaevaporação do filme líquido. Os autores analisaram também a evolução não-linear da instabilidade,o problema foi posto como um problema de valor inicial em um domínio periódico e resolvido coma implementação de um método espectral com a utilização de séries de Fourier. Para a marcha notempo foi implementado um método preditor-corretor modificado de Hamming de quarta ordem,assim como um método de Runge-Kutta de quarta ordem para ajustar o incremento inicial assimcomo para computar os valores iniciais. Para as camadas que evaporam, a integração numérica éinterrompida assim que a espessura local mínima passa a corresponder a um valor menor que o erromáximo estipulado pelo método preditor-corretor, posto em 10−11. Como resultado para o compor-tamento da interface temos que, quando não há presença de instabilidade de onda de superfície, e atermocapilaridade é fraca, o escoamento equilibra-se após a instabilidade inicial. Quando a termo-capilaridade é forte o bastante as perturbações crescem continuamente e a camada de filme líquidotende a sofrer ruptura, portanto na presença de ondas de superfície a termocapilaridade promove aquebra das ondas.

Na metade da década de 90 os autores Gonzalez e Castellanos (GONZALEZ E CASTELLA-NOS, 1996) realizaram uma abordagem analítica para o problema de ondas de superfície em umfilme líquido na presença de um plano inclinado sujeito a atuação de um campo elétrico uniformeno infinito. O interesse dos autores em considerar um campo elétrico atuando no escoamento é de-vido suas possíveis aplicações em processos industriais, como aumento da transferência de calor. Osistema físico descrito é o de um filme líquido perfeitamente condutor escoando sobre um plano in-clinado com ângulo 𝛽 em relação ao plano horizontal, sob condições de contorno de superfície livree de um campo elétrico uniforme perpendicular à interface atuando no infinito. As equações quedescrevem o sistema são as de Navier-Stokes para o líquido e de Laplace para potêncial elétrico. Oproblema é posto com base nos grupos adimensionais de Reynolds, Weber e "Weber elétrico", esteúltimo formulado pelos próprios autores. O problema foi abordado de forma analítica e resolvidocom uma aproximação até a terceira ordem. Como principal resultado os autores encontraram umasolução de primeira ordem para a taxa de crescimento com a presença de um termo dependente docampo elétrico. Dessa forma os autores mostraram que a presença de um campo elétrico afeta ataxa de crescimento da instabilidade inicial, assim como puderam também estabelecer condiçõescríticas para as mesmas em função do campo elétrico.

Em 2003 houve a publicação de dois trabalhos sobre instabilidades em filmes líquidos na pre-

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sença de paredes inclinadas. O primeiro é devido a Kalliadasis (KALLIADASIS e outros, 2003) queem seus estudos considerou o escoamento do líquido na presença de uma parede inclinada unifor-memente aquecida. O autor considerou suas análises para um escoamento com número de Reynoldsmoderado (aproximadamente entre 10 e 30). Os estudos foram feitos utilizando uma aproximaçãoIBL (Integral Boundary Layer) das equações de Navier-Stokes e da energia juntamente com as con-dições de contorno de superfície livre. O problema é posto em termos dos grupos adimensionais deReynolds, Weber, Péclet, Marangoni, Biot e Prandtl. O número de Péclet expressa a importânciarelativa da convecção e condução, enquanto o número de Marangoni expressa a importância rela-tiva da termocaoilaridade e das tensões viscosas. Os autores analizaram a estabilidade linear comrespeito as perturbações bidimensionais e tridimensionais, com foco para as perturbações bidimen-sionais, demonstrando que um incremento no ângulo de inclinação ou no número de Marangoni aregião estável torna-se maior. Como principal resultado o autor estabeleceu que para grandes es-pessuras do filme e pequenas deformações interfaciais, as forças inerciais dominam as forças deMarangoni, no entanto, para pequenas espessuras e grandes deformações as forças de Marangonidominam a inércia. O segundo trabalho foi realizado por Weirschem e Askel (WIERSCHEM E AK-SEL, 2003), nele os autores consideraram o problema de um escoamento de um filme líquido napresença de um plano inclinado com ondulações e sob condições de contorno de superfície livre.A motivação para o estudo deste sistema foi analisar o impacto de geometrias não-lineares para aformação de instabilidades interfaciais. A formulação da parede foi posta como �� = 𝐴.𝑠𝑖𝑛(2𝜋��/𝜆)

onde 𝜆 é o comprimento de onda, 𝐴 a amplitude e �� sendo a coordenada cartesiana na direçãoprincipal do escoamento. Para a análise de estabilidade os autores expandiram a solução do es-tado estacionário e as perturbações em séries de potência do número de onda característico. Paraobterem uma solução geral para ambos os casos primeiro foi calculada a taxa de crescimento dasperturbações e subsequentemente foram discutidos os casos limites relevantes, sendo a análise es-pacial escolhida ao invés da temporal. As análises dos autores levaram à conclusão de que para umescoamento na presença de uma parede ondulada o número de Reynolds crítico é maior que o docaso de uma parede plana, para o caso de ondas longas.

Dois anos depois Sadiq e Usha (SADIQ E USHA, 2005) consideraram o problema de um filmefino de um fluido viscoeslático (modelado como um fluido não-newtoniano) escoando em um planoinclinado aquecido não-uniformemente. Sua análise foi feita assumindo um gradiente de tempera-tura constante (positivo ou negativo) ao longo do plano. O filme liquido também é influenciado pelagravidade, tensão superficial, forçãs termocapilares ao longo da superfície livre e forças viscoelásti-cas. As contribuições dessas forças foram investigadas por meio de séries de potências com baixosnúmeros de ondas (análise de ondas longas). Em seu trabalho eles consideraram suas análises até a

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segunda ordem, encontrando com base nas constantes adimensionais de Reynolds, Prandtl, Maran-goni, Biot, Galileo e Weber. Para a para a solução de 𝑂(𝛼) eles encontraram o valor da velocidadede fase da onda (correção de parte real do autovalor 𝑐) em termos do número de Galileo, Maran-goni e Prandtl. Na solução de 𝑂(𝛼2) foi encontrada uma correção do autovalor físico para a taxa decrescimento da instabilidade (correção de parte imaginária do autovalor 𝑐) também dependendo dosmesmos adimensionais. Os resultados de seus estudos mostraram que para o caso de uma paredeaquecida as forças termo-capilares atuam na interface na direção oposta à aceleração da gravidade.A velocidade de fase então torna-se menor do que em um fluido isotérmico, e portanto, o filme lí-quido é menos estável. Em contra partida as forças atuam de forma estabilizadora de tal forma queele pode estipular alguns resultados acerca do sistema. O primeiro resultado é que filme viscoelásti-cos não-isotérmicos em um plano inclinado (ou vertical) aquecido são mais estáveis se comparadosa filmes líquidos newtonianos não-isotérmicos. O segundo resultado é que filmes viscoelásticosnão-isotérmicos e filmes newtonianos não-isotérmicos escoando em um plano inclinado aquecidosão sempre menos estáveis do que filmes isotérmicos. Na presença de uma parede vertical, filmesviscoelásticos e newtonianos não-isotérmicos são mais estáveis do que filmes isotérmicos. Comoanálise final os autores consideraram o caso do plano sendo resfriado, neste sistema as forças termo-capilares atuam na mesma direção da aceleração gravitacional, a velocidade da onda aumenta e oescoamento torna-se mais rápido. Filmes líquidos newtonianos não-isotérmicos permanecem maisestáveis se comparados com filmes Newtonianos isotérmicos. No entanto, as forças viscoelásticastendem a desestabilizar o filme, logo, filmes viscoelásticos não-isotérmicos na presença de paredesinclinadas, ou verticais, resfriadas são menos estáveis que seus correspondentes Newtonianos paraqualquer ângulo de inclinação, assim como, filmes viscoelásticos, e Newtonianos, não-isotérmicossão mais estáveis que filmes isotérmicos para qualquer ângulo de inclinação da parede.

Ao final da última década dois novos trabalhos surgiram sobre escoamentos de filmes líquidoscom presença de uma parede inclinada. O primeiro é devido a Baxter (BAXTER e outros, 2009) queconsideraram o problema de um escoamento estacionário de Stokes governado pela gravidade sobreum plano inclinado com a presença de um obstáculo fixo no plano. Os autores formularam o pro-blema tendo como um dos principais grupos adimensionais o número de Bond, este que relacionaa tensão superficial, densidade e espessura do fluido juntamente com a componente gravitacionaldo escoamento. O artigo trata em um primeiro momento da formulação integral da condição decontorno do escoamento sobre e ao redor do obstáculo, seguido de uma análise assintótica para ocaso do escoamento sobre o obstáculo. Em um segundo momento dois esquemas numéricos foramutilizados no trabalho, o primeiro é uma aproximação por diferenças finitas e o segundo uma inter-polação por funções Hermitianas, ambos utilizados para avaliar a curvatura da interface na presença

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do obstáculo. Este trabalho traz em seu conteúdo maior preocupação com as simulações do escoa-mento do que análises a cerca da estabilidade do mesmo. O segundo trabalho é devido a Liu e Liu(LIU E LIU, 2009) que consideraram o problema de um filme líquido escoando sobre uma superfí-cie porosa em um plano inclinado. O sistema consiste de um meio poroso homogêneo selado poruma parede impermeável logo abaixo, com presença de superfície livre acima do líquido. Neste tra-balho os autores assumiram que o fluxo através do meio poroso satifaz a lei de Darcy, desta forma,a abordagem para resolver o problema foi resolver as equações de Navier-Stokes para o fluido e aequação de Darcy para o meio poroso. Para resolverem as equações perturbadas os autores expan-diram as amplitudes presentes nos modos normais em séries de polinômios de Chebyshev, dessaforma as equações levaram a um problema de autovalor generalizado de sexta ordem, este que foiresolvido utilizando-se um método de colocação. Para o processamento do problema os autoresutilizaram 60 polinômios. As análises foram realizadas com base em três parâmetros principais 𝑑,𝛿 e 𝛼𝐵𝐽 que são a taxa de profundidade, o número de Darcy e a constante de Beavers-Joseph, res-pectivamente. Para o problema físico estudado foram encontrados três modos instáveis: superficial,cisalhante e poroso. A influência dos três parâmetros para o modo superficial pode ser estimadopela combinação 𝛽 ′

= 𝛿

𝛼𝐵𝐽𝑑. Para sistemas com pequeno ângulo de inclinação um modo poroso

é encontrado para baixos valores de 𝑑, à medida que 𝑑 diminui, o modo poroso torna-se mais ins-tável. Os autores também concluiram que conforme ocorre um aumento no número de Reynoldspode ocorrer também uma troca do modo poroso para o modo cisalhante, sendo a permeabilidadeum dos principais fatores para determinar a instabilidade destes dois modos. Para baixos valoresde 𝛿, com pequenos incrementos no mesmo, ocorrerá uma desestabilização no modo cisalhante.Para altos valores em 𝑑, um aumento em 𝛿 torna o modo cisalhante mais estável. O modo porosotorna-se mais instável com um aumento em 𝛿, isso ocorre pelo fato do escoamento penetrar commais facilidade no meio poroso devido a alta permeabilidade. Em relação ao parâmetro 𝛼𝐵𝐽 , foiencontrado um comportamento dual, seu aumento provoca um aumento da tensão cisalhante na in-terface e aumenta também a espessura de penetração da camada porosa. Como resultado resultadodesse processo, o aumento de 𝛼𝐵𝐽 desestabiliza ambos os modos cisalhante e poroso.

Por fim temos Wang (WANG, 2012), que em seu trabalho considerou o sistema de dois fluidosimiscíveis confinados em um tubo fechado, com inclinação 𝜃 em relação ao plano horizontal. Pararealizar a discretização das equações que envolvem o problema do autovalor de Orr-Sommerfeld eleutilizou um método de Chebyshev-Tau e em seguida implementou um algoritmo QZ para encontrarseus autovalores. Para garantir a ortogonalidade dos polinômios foi necessária uma transformaçãode coordenadas para o intervalo [−1; 1] no sistema, assim como vincular as condições de contorno

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cinemática e dinâmicas a fim de não dependerem da posição 𝜂 da interface para a realização dasdiscretizações. Com este método de resolução, Wang foi capaz de obter a taxa de crescimento dainstabilidade em função do número de onda, assim como a curva de estabilidade, caracterizada peloângulo crítico para o surgimento das instabilidades.

31

3 Formulação do problema.

3.1 Perfil de velocidade, escalas características e solução estacionária.

Consideremos um filme líquido de um fluido Newtoniano de espessura ℎ, viscosidade 𝜇 edensidade 𝜌, sob as condições de um escoamento incompressível em regime permanente em umplano inclinado com ângulo 𝜃 em relação a horizontal (Figura 3.1). A interface entre o líquidoe o gás possui uma tensão superficial 𝛾, não havendo presença de surfactantes ou gradiente detemperatura e sendo a pressão aplicada pelo gás na interface igual a 𝑃0. Iremos assumir o sistemade coordenadas como 𝑦 ∈ [−ℎ; 0] que em sua forma adimensionalizada torna-se 𝑦 ∈ [−1; 0].

Figura 3.1: Filme líquido escoando em um plano inclinado com perfil de velocidade parabólico,𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) é a posição da interface, onde �� é o vetor unitário paralelo ao gradiente de H (∇𝐻), e𝜂(𝑥,𝑡) = 𝑦 −𝐻 .

A equação da quantidade de movimento é escrita na forma vetorial:

𝜌

[𝜕��

𝜕𝑡+ �� · ∇��

]= −∇𝑃 + 𝜇∇2�� + 𝜌�� (3.1)

cujas componentes 𝑒𝑥 e 𝑒𝑦 são dadas por,

32

𝜌

[𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦

]= −𝜕𝑝

𝜕𝑥+ 𝜇

(𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2

)+𝜌𝑔𝑥 (3.2)

𝜌

[𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦

]= −𝜕𝑝

𝜕𝑦+ 𝜇

(𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+𝜕2𝑣

𝜕𝑦2

)+𝜌𝑔𝑦 (3.3)

e os termos 𝑔𝑥 e 𝑔𝑦 são, respectivamente, 𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃) e −𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃). Sejam 𝑢, 𝑣 e 𝑝 funções apenas de 𝑦,considerando um escoamento em regime permanente e totalmente desenvolvido, temos 𝑣(𝑦) = 0 eas equações (3.2) e (3.3) resultam em:

0 = 𝜇𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃) (3.4)

0 = −𝜕𝑝𝜕𝑦

− 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃) (3.5)

integrando a equação (3.5) e rearranjando os termos temos:

𝑝(𝑦) = −𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑦 +𝐾 (3.6)

como na interface (𝑦 = 0) a pressão assume o valor 𝑃0 (𝑝(0) = 𝑃0), logo, a equação (3.6) torna-se,

𝑃 (𝑦) = 𝑃0 − 𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑦 (3.7)

integrando também a equação (3.4) e rearranjando seus termos temos:

𝑢(𝑦) = −𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2𝜇𝑦2 +𝐾1𝑦 +𝐾2 (3.8)

considerando que a velocidade assume valor máximo na interface, e não há presença de cisalha-

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mento, temos𝜕𝑢(0)

𝜕𝑦= 0, logo,

𝜕𝑢(0)

𝜕𝑦= 𝐾1 ⇔ 𝐾1 = 0 (3.9)

tomando 𝑦 = −ℎ, com 𝑢(−ℎ) = 0, e utilizando o resultado de (3.9) a equação (3.8) pode serreescrita como,

𝑢(−ℎ) = −𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)ℎ2

2𝜇+𝐾2 ⇔ 𝐾2 =

𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)ℎ2

2𝜇(3.10)

Com os resultados (3.10) e (3.9) a equação (3.8) torna-se,

𝑈(𝑦) = −𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2𝜇𝑦2 +

𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)ℎ2

2𝜇=𝜌𝑔ℎ2𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2𝜇

(1 − 𝑦2

ℎ2

)(3.11)

onde 𝑈0 =𝜌𝑔ℎ2𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2𝜇corresponde a velocidade na interface. Portanto, para uma solução estaci-

onária, o perfil de velocidades é dado por,

𝑈(𝑦) = 𝑈0

(1 − 𝑦2

ℎ2

)(3.12)

As soluções são dadas em termos dos parâmetros ℎ, 𝜌 e 𝑈0, onde este último é a veloci-dade do fluido na interface. As contribuições da inércia relativas à viscosidade, gravidade, e tensãosuperficial são medidas pelos números de Reynolds, Froude e Weber respectivamente, definidoscomo:

𝑅𝑒 =𝜌𝑈0ℎ

𝜇, 𝐹𝑟 =

𝑈20

𝑔ℎ𝑐𝑜𝑠(𝜃)=𝑅𝑒 tan(𝜃)

2, 𝑊𝑒 =

𝜌𝑈20ℎ

𝛾(3.13)

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onde o número de Froude é definido usando a componente gravitacional 𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃) normal ao escoa-mento. Quando a interface é perturbada (𝜂(𝑥,𝑡) = 0), o perfil de velocidade não mais apresentaráum comportamento parabólico exato. Isto, combinado com a inércia, conduz à instabilidade. Estasinstabilidades serão estudadas na próxima seção baseadas em métodos de perturbação, a fim deencontrarmos uma solução aproximada para o problema.

3.2 A equação de Orr-Sommerfeld.

De acordo com o teorema de Squire (SQUIRE, 1933), sabemos que a primeira instabilidadeem um escoamento paralelo para um fluido Newtoniano é sempre bidimensional. Este último re-sultado mantem-se válido para um escoamento com a presença de uma interface (HESLA e ou-

tros, 1986), logo podemos considerar apenas o caso bidimensional do problema. Mantendo estasconsiderações em mente, podemos escrever a equação da continuidade na forma:

𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜕

𝜕𝑥(𝜌𝑢) +

𝜕

𝜕𝑦(𝜌𝑦) = 0 ⇔

𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦= 0 ⇔

∇ · �� = 0 (3.14)

para a quantidade de movimento utilizaremos as equações (3.2) e (3.3). Derivando a equação (3.2)

em relação a 𝑦 e subtraindo a equação (3.3) derivada em relação a x temos:

𝜌

[𝜕2𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑡+𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑢

𝜕2𝑢

𝜕𝑦𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑣

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2− 𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑡− 𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥− 𝑢

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2− 𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦

−𝑣 𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦

]= 𝜇

[∇2𝜕𝑢

𝜕𝑦−∇2 𝜕𝑣

𝜕𝑥

](3.15)

considerando apenas perturbações bidimensionais podemos escrever:

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𝑢 = 𝑈 + �� (3.16)

𝑣 = 𝑣 (3.17)

substituindo (3.16) e (3.17) em (3.15) temos:

𝜌

[𝜕2

𝜕𝑦𝜕𝑡(𝑈 + ��) +

𝜕

𝜕𝑦(𝑈 + ��)

𝜕

𝜕𝑥(𝑈 + ��) + (𝑈 + ��)

𝜕2

𝜕𝑦𝜕𝑥(𝑈 + ��) +

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑦(𝑈 + ��)

+𝑣𝜕2

𝜕𝑦2(𝑈 + ��) − 𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑡− 𝜕

𝜕𝑥(𝑈 + ��)

𝜕𝑣

𝜕𝑥− (𝑈 + ��)

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2− 𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦− 𝑣

𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦

]

= 𝜇

[∇2 𝜕

𝜕𝑦(𝑈 + ��) −∇2 𝜕𝑣

𝜕𝑥

]⇔

𝜌

[𝜕2��

𝜕𝑦𝜕𝑡+

(𝜕𝑈

𝜕𝑦+𝜕��

𝜕𝑦

)𝜕��

𝜕𝑥+ (𝑈 + ��)

𝜕2��

𝜕𝑦𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦

(𝜕𝑈

𝜕𝑦+𝜕��

𝜕𝑦

)+𝑣

(𝜕2𝑈

𝜕𝑦2+𝜕2��

𝜕𝑦2

)

− 𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑡− 𝜕��

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥− (𝑈 + ��)

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2− 𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑦− 𝑣

𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦

]= 𝜇

[∇2𝜕��

𝜕𝑦−∇2 𝜕𝑣

𝜕𝑥

](3.18)

agora, utilizando as definições de função corrente, uma vez que o caso é bidimensional em coor-

denadas cartesianas, temos �� =𝜕Ψ

𝜕𝑦e 𝑣 = −𝜕Ψ

𝜕𝑥, substituindo estas duas igualdades em (3.18) e

dividindo toda equação por 𝜌 obtemos:

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𝜕3Ψ

𝜕𝑦2𝜕𝑡+𝜕𝑈

𝜕𝑦

𝜕2Ψ

𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕2Ψ

𝜕𝑦2𝜕2Ψ

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑈

𝜕3Ψ

𝜕𝑦2𝜕𝑥+𝜕Ψ

𝜕𝑦

𝜕3Ψ

𝜕𝑦2𝜕𝑥− 𝜕𝑈

𝜕𝑦

𝜕2Ψ

𝜕𝑥𝜕𝑦

−𝜕2Ψ

𝜕𝑦2𝜕2Ψ

𝜕𝑥𝜕𝑦− 𝜕2𝑈

𝜕𝑦2𝜕Ψ

𝜕𝑥− 𝜕Ψ

𝜕𝑥

𝜕3Ψ

𝜕𝑦3+

𝜕3Ψ

𝜕𝑥2𝜕𝑡+

𝜕2Ψ

𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕2Ψ

𝜕𝑥2+ 𝑈

𝜕3Ψ

𝜕𝑥3+𝜕Ψ

𝜕𝑦

𝜕3Ψ

𝜕𝑥3

−𝜕2Ψ

𝜕𝑥2𝜕2Ψ

𝜕𝑦𝜕𝑥− 𝜕Ψ

𝜕𝑥

𝜕3Ψ

𝜕𝑥2𝜕𝑦= 𝜈

[∇2

(𝜕2Ψ

𝜕𝑥2+𝜕2Ψ

𝜕𝑦2

)]⇔

𝜕

𝜕𝑡

(𝜕2Ψ

𝜕𝑦2+𝜕2Ψ

𝜕𝑥2

)+𝑈

𝜕

𝜕𝑥

(𝜕2Ψ

𝜕𝑥2+𝜕2Ψ

𝜕𝑦2

)−𝜕

2𝑈

𝜕𝑦2𝜕Ψ

𝜕𝑥+𝜕Ψ

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥

(𝜕2Ψ

𝜕𝑦2+𝜕2Ψ

𝜕𝑥2

)

−𝜕Ψ

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

(𝜕2Ψ

𝜕𝑥2+𝜕2Ψ

𝜕𝑦2

)= 𝜈

[∇2

(𝜕2Ψ

𝜕𝑥2+𝜕2Ψ

𝜕𝑦2

)]⇔(

𝜕

𝜕𝑡+ 𝑈

𝜕

𝜕𝑥

)∇2Ψ − 𝜕2𝑈

𝜕𝑦2𝜕Ψ

𝜕𝑥+𝜕Ψ

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥∇2Ψ − 𝜕Ψ

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦∇2Ψ = 𝜈∇2(∇2Ψ) (3.19)

linearizando (3.19) temos:

(𝜕

𝜕𝑡+ 𝑈

𝜕

𝜕𝑥

)∇2Ψ − 𝜕2𝑈

𝜕𝑦2𝜕Ψ

𝜕𝑥= 𝜈∇2(∇2Ψ) (3.20)

Considerando as adimensionalizações dadas por:

𝑥⋆ =𝑥

ℎ⇒ 𝑥 = 𝑥⋆ℎ (3.21)

𝑦⋆ =𝑦

ℎ⇒ 𝑦 = 𝑦⋆ℎ (3.22)

𝑡⋆ = 𝑡𝑈0

ℎ⇒ 𝑡 = 𝑡⋆

ℎ

𝑈0

(3.23)

��⋆ =��

𝑈0

⇒ �� = ��⋆𝑈0 (3.24)

𝑣⋆ =𝑣

𝑈0

⇒ 𝑣 = 𝑣⋆𝑈0 (3.25)

37

𝑈⋆

=𝑈

𝑈0

⇒ 𝑈 = 𝑈⋆𝑈0 (3.26)

onde na equação (3.26) foi utilizada a equação (3.22) para 𝑈 . Utilizando as definições ��⋆ =𝜕Ψ⋆

𝜕𝑦⋆

e 𝑣⋆ = −𝜕Ψ⋆

𝜕𝑥⋆, podemos escrever (3.20) como:

{𝜕

𝜕𝑡⋆

[𝜕

𝜕𝑥⋆(−𝑣⋆) +

𝜕

𝜕𝑦⋆(��⋆)

]+𝑈

⋆ 𝜕

𝜕𝑥⋆

[𝜕

𝜕𝑥⋆(−𝑣⋆) +

𝜕

𝜕𝑦⋆(��⋆)

]−𝜕

2𝑈⋆

𝜕𝑦⋆2(−𝑣⋆)

}𝑈20

ℎ2

=𝜈𝑈0

ℎ3

[𝜕3

𝜕𝑥⋆3(−𝑣⋆) +

𝜕3

𝜕𝑥⋆2𝜕𝑦⋆(��⋆) +

𝜕3

𝜕𝑥⋆2𝜕𝑦⋆(��⋆) +

𝜕3

𝜕𝑦⋆3(��⋆)

](3.27)

Definindo ��⋆ =𝜕Ψ⋆

𝜕𝑦⋆e 𝑣⋆ = −𝜕Ψ⋆

𝜕𝑥⋆temos:

𝜕

𝜕𝑡⋆∇2Ψ⋆ + 𝑈

⋆ 𝜕

𝜕𝑥⋆∇2Ψ⋆ − 𝜕2𝑈

⋆

𝜕𝑦⋆2𝜕Ψ⋆

𝜕𝑥⋆=

𝜈

𝑈0ℎ[∇2(∇2Ψ⋆)] ⇔(

𝜕

𝜕𝑡⋆+ 𝑈

⋆ 𝜕

𝜕𝑥⋆

)∇2Ψ⋆ − 𝜕2𝑈

⋆

𝜕𝑦⋆2𝜕Ψ⋆

𝜕𝑥⋆=

1

𝑅𝑒[∇2(∇2Ψ⋆)] (3.28)

por simplicidade será omitido o símbolo (⋆) das equações adimensionais, logo:

(𝜕

𝜕𝑡+ 𝑈

𝜕

𝜕𝑥

)∇2Ψ − 𝜕2𝑈

𝜕𝑦2𝜕Ψ

𝜕𝑥=

1

𝑅𝑒[∇2(∇2Ψ)] (3.29)

Consideremos o modo normal abaixo juntamente com as formas adimensionais de 𝑘 e 𝜔como,

Ψ(𝑥,𝑦,𝑡) = Ψ(𝑦)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) (3.30)

38

𝑘⋆ = 𝑘.ℎ⇒ 𝑘 =𝑘⋆

ℎ(3.31)

𝜔⋆ = 𝜔.ℎ

𝑈0

⇒ 𝜔 = 𝜔⋆.𝑈0

ℎ(3.32)

pelas equações (3.21), (3.22), (3.23), (3.31) e (3.32) obtemos a equação (3.30) na forma,

Ψ(𝑥,𝑦,𝑡) = Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.33)

onde 𝛼 = 𝑘ℎ e 𝑐 =𝜔

𝑘, sendo 𝑘 o número de onda, ℎ a espessura do filme líquido e 𝜔 a frequência.

Foram omitidas as notações adimensionais para os termos presentes na exponencial. Substituindo(3.33) em (3.29) e realizando as operações indicadas, obtemos:

𝑖𝛼3𝑐Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼𝑐𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑈

[−𝑖𝛼3Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑖𝛼

𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]

−𝑖𝛼𝜕2𝑈

𝜕𝑦2Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) =

1

𝑅𝑒

(𝜕2

𝜕𝑦2− 𝛼2

)2

Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) ⇔

(𝑈 − 𝑐)

[−𝛼2Ψ(𝑦) +

𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2

]𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼

𝜕2𝑈

𝜕𝑦2Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

=1

𝑅𝑒

(𝜕2

𝜕𝑦2− 𝛼2

)2

Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) ⇔[(𝑈 − 𝑐)

(𝜕2

𝜕𝑦2− 𝛼2

)−𝜕

2𝑈

𝜕𝑦2

]𝑖𝛼Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) =

1

𝑅𝑒

(𝜕2

𝜕𝑦2− 𝛼2

)2

Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) ⇔(𝜕2

𝜕𝑦2− 𝛼2

)2

Ψ(𝑦) = 𝑖𝛼𝑅𝑒

[(𝑈 − 𝑐)

(𝜕2

𝜕𝑦2− 𝛼2

)−𝜕

2𝑈

𝜕𝑦2

]Ψ(𝑦) (3.34)

Definindo 𝐷𝑛 =𝜕𝑛

𝜕𝑦𝑛podemos reescrever a equação (3.34) como:

39

(𝐷2 − 𝛼2)2Ψ(𝑦) = 𝑖𝛼𝑅𝑒[(𝑈 − 𝑐)(𝐷2 − 𝛼2) −𝐷2𝑈 ]Ψ(𝑦) (3.35)

sendo esta última a equação de Orr-Sommerfeld para o problema.

3.3 Condições de contorno.

3.3.1 Condição de não delizamento na parede.

Consideraremos primeiramente a condição de não deslizamento na parede, que serão dadaspor:

𝑢 = 0 em 𝑦 = −ℎ (3.36)

𝑣 = 0 em 𝑦 = −ℎ (3.37)

tomando as perturbações juntamente com a função corrente, podemos escrever (3.36) e (3.37)

como,

𝑢 = 𝑈 + ��⇒ 𝑢 = 𝑈 +𝜕Ψ

𝜕𝑦(3.38)

𝑣 = 𝑣 ⇒ 𝑣 = −𝜕Ψ

𝜕𝑥(3.39)

Utilizando o modo normal dado por (3.33) para y = -h em (3.38) e (3.39) temos:

𝜕Ψ(−ℎ)

𝜕𝑦= 0 (3.40)

Ψ(−ℎ) = 0 (3.41)

40

tomando h = 1 e utilizando a notação𝜕

𝜕𝑦= 𝐷 podemos reescrever (3.40) e (3.41) como,

𝐷Ψ(−1) = 0 (3.42)

Ψ(−1) = 0 (3.43)

sendo estas duas últimas equações representam a condição de não deslizamento na parede. Comisso podemos passar para a análise da interface e construir as equações para as condições cinemáticae dinâmica da interface.

Considerando a representação genérica da interface H(x,y,t) = 0 dada pela figura (3.1) temos,

𝑑𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = 0 ⇔𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑥+

𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝑑𝑡 = 0 (3.44)

sendo ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) =𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥𝑒𝑥+

𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑦𝑒𝑦 e 𝑑�� = 𝑑𝑥𝑒𝑥+𝑑𝑦𝑒𝑦 temos que ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) ·𝑑�� =

𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥𝑑𝑥+

𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑦𝑑𝑦, portanto podemos reescrever (3.44) como,

𝑑𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) · 𝑑��+𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝑑𝑡 = 0 (3.45)

O vetor normal unitário �� da superfície é obtido pelo fato do diferencial de H ser nulo, dadoum deslocamento 𝑑�� a um 𝑡 fixo ao longo da linha da superfície, ou seja,

𝑑𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) · 𝑑�� = 0 (3.46)

como �� é paralelo a ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) temos,

41

∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = ‖∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)‖��⇔ �� =∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

‖∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)‖(3.47)

considerando 𝑑�� = ��𝑑𝑡 onde �� é o vetor velocidade em um ponto da superfície. Partindo daprimeira igualdade em (3.45) temos,

𝑑𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) · 𝑑��+𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝑑𝑡 ⇔

𝑑𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) · ��𝑑𝑡+𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝑑𝑡 ⇔

𝑑𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) − 𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝑑𝑡 = ∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) · ��𝑑𝑡 ⇔

−𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝑑𝑡 = ‖∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)‖(�� · ��)𝑑𝑡 ⇔

�� · �� =−𝜕𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡‖∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)‖

(3.48)

Para o problema bidimensional, a interface é definida geometricamente como:

𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = 𝑦 − 𝜂(𝑥,𝑡) = 0 (3.49)

logo, por (3.47), (3.48) e (3.49) tem-se,

�� =−𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2𝑒𝑥 +

1⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2𝑒𝑦 (3.50)

42

�� · �� =

𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2(3.51)

onde𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥é a inclinação da interface.

3.3.2 Condição cinemática da interface.

A condição cinemática da interface define que a velocidade na interface �� · �� deve ser igual avelocidade normal da interface �� · ��, logo, podemos escrever,

�� · �� = �� · �� em 𝑦 = 𝜂(𝑥,𝑡) (3.52)

como �� = 𝑢𝑒𝑥 + 𝑣𝑒𝑦 e �� é definido por (3.50) temos,

�� · �� =−𝑢𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑣⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2(3.53)

considerando (3.51), (3.52) e (3.53) obtemos,

43

�� · �� = �� · �� ⇔

−𝑢𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥+ 𝑣⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2=

𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2⇔

−𝑢

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)+𝑣 =

𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡(3.54)

substituindo as perturbações juntamente com a função corrente de (3.38) e (3.39) em (3.54) tere-mos como resultado,

(𝑈 +

𝜕Ψ

𝜕𝑦

)(−𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)−𝜕Ψ

𝜕𝑥=𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡(3.55)

Utilizando os modos normais de Ψ(𝑥,𝑦,𝑡) dado por (3.33) e 𝜂(𝑥,𝑡) = 𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡), e expandindo𝑈 em uma série de potências de 𝜂 truncada na primeira ordem para y = 0, ou seja, 𝑈 = 𝑈(0) +

𝑈′(0)𝜂 +𝑂(𝜂2) ⇒ 𝑈 = 𝑈0, teremos (3.55) na forma,

𝑈0𝑖𝛼𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑖𝛼𝜂

𝜕Ψ(0)

𝜕𝑦𝑒2𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑖𝛼Ψ(0)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = 𝑖𝛼𝑐𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.56)

desprezando produtos de perturbações em (3.56) obtemos,

𝑈0𝑖𝛼𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑖𝛼Ψ(0)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = 𝑖𝛼𝑐𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) ⇒

Ψ(0) − (𝑐− 𝑈0)𝜂 = 0 (3.57)

44

Considerando 𝑈0 = 1 temos,

Ψ(0) − (𝑐− 1)𝜂 = 0 (3.58)

onde (3.58) a equação que descreve a condição cinemática da interface para o problema.

3.3.3 Condições dinâmicas da interface.

Nesta seção trataremos das duas condições relacionadas às tensões tangenciais e normais nainterface. Trataremos primeiramente das tensões tangenciais, estas que estão associadas aos efeitosviscosos do fluido. Com base na Figura (3.1) temos que �� é perpendicular a ��, ou seja �� · �� = 0,logo temos:

�� =1⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2𝑒𝑥 +

𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥⎯⎸⎸⎷1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2𝑒𝑦 (3.59)

A continuidade das tensões tangenciais é dada por,

�� · (Σ · ��) = 0 (3.60)

onde Σ é o tensor de tensões definido como,

45

Σ =

⎡⎢⎣ 𝜏𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑧𝑧

⎤⎥⎦−

⎡⎢⎣ 𝑃 0 0

0 𝑃 0

0 0 𝑃

⎤⎥⎦ (3.61)

Para o problema bidimensional podemos considerar apenas,

Σ = (𝜏𝑥𝑥 − 𝑃 )𝑒𝑥𝑒𝑥 + 𝜏𝑦𝑥𝑒𝑦𝑒𝑥 + 𝜏𝑥𝑦𝑒𝑥𝑒𝑦 + (𝜏𝑦𝑦 − 𝑃 )𝑒𝑦𝑒𝑦 (3.62)

substituindo (3.59) e (3.62) em (3.60) temos,

− 𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥𝜏𝑥𝑥 + 𝜏𝑥𝑦 −

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)𝜏𝑦𝑥 +

𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥𝜏𝑦𝑦 = 0 (3.63)

como estamos considerando um fluido Newtoniano podemos escrever,

𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑥(3.64)

𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣

𝜕𝑦(3.65)

𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 = 𝜇

(𝜕𝑣

𝜕𝑥+𝜕𝑢

𝜕𝑦

)(3.66)

substituindo as equações (3.64) − (3.66) em (3.63) e rearranjando os termos obtemos,

− 2𝜇𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

(𝜕𝑢

𝜕𝑥− 𝜕𝑣

𝜕𝑦

)+𝜇

[1 −

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2](𝜕𝑣

𝜕𝑥+𝜕𝑢

𝜕𝑦

)= 0 (3.67)

46

Novamente consideraremos as perturbações dadas pelas equações (3.38) e (3.39) juntamentecom os modos normais de Ψ(𝑥,𝑦,𝑡) e 𝜂(𝑥,𝑡), substituindo estes resultados em (3.67) temos,

−2𝜇𝑖𝛼𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

(2𝑖𝛼

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

)+𝜇[1 + 𝛼2𝜂2𝑒2𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)]

[𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦+𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

+𝛼2Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]= 0 (3.68)

realizando uma expansão em série de potências de 𝜂(𝑥,𝑡) no entorno de y = 0 para𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦e trun-

cando na primeira ordem iremos obter𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦=𝜕𝑈(0)

𝜕𝑦+𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝜂(𝑥,𝑡)+𝑂(𝜂2), como

𝜕𝑈(0)

𝜕𝑦= 0

temos que,

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦w𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝜂(𝑥,𝑡) =

𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.69)

substituindo (3.69) em (3.68), realizando as operações necessárias e desprezando produtos de per-turbações temos,

𝜕2𝑈(0)

𝜕𝑦2𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) +

𝜕2Ψ(0)

𝜕𝑦2𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝛼2Ψ(0)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = 0 ⇔

𝜕2Ψ(0)

𝜕𝑦2+ 𝛼2Ψ(0) + 𝜂

𝜕2𝑈(0)

𝜕𝑦2= 0 (3.70)

Utilizando novamente a notação 𝐷𝑛 =𝜕𝑛

𝜕𝑦𝑛a equação (3.70) torna-se finalmente a condição

dinâmica devida as tensões tangenciais dada por,

𝐷2Ψ(0) + 𝛼2Ψ(0) + 𝜂𝐷2𝑈(0) = 0 (3.71)

47

A partir de agora iremos tratar da construção da condição dinâmica da interface devido àstensões normais, ou seja, os termos de tensão associados às pressões. Consideremos uma interface

cilíndrica (Figura 3.2) cuja condição de equilíbrio é dada por (𝑃1 − 𝑃2)𝑅𝑑𝜃 =2𝛾𝑑𝜃

2que implica

na lei de Laplace-Young,

𝑃1 − 𝑃2 =𝛾

𝑅em 𝑦 = 𝜂(𝑥,𝑡) (3.72)

onde 𝛾 é a tensão da superfície e1

𝑅é a curvatura da interface.

Figura 3.2: Representação de uma interface cilíndrica onde 𝑃1 e 𝑃2 são as pressões atuando nainterface, 𝛾 é a tensão da superfície, 𝑅 é o raio de curvatura, 𝑑𝜃 é um ângulo infinitesimal e �� é ovetor normal à interface.

Antes de utilizarmos a lei de Laplace-Young para construirmos a última condição de con-

torno, devemos encontrar a relação que descreve a curvatura1

𝑅da interface, para isso tomemos

novamente 𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) = 𝑦 − 𝜂(𝑥,𝑡) e �� =∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)

‖∇𝐻(𝑥,𝑦,𝑡)‖. Sabemos que �� pode ser escrito na forma

�� = −𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2]− 12

𝑒𝑥 +

[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2]− 12

𝑒𝑦, se calcularmos o divergente

de �� encontraremos,

48

∇ · �� =𝜕

𝜕𝑥

{−𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2]− 12}

+𝜕

𝜕𝑦

{[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2]− 12}

=

𝜕2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2

{−

[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2]− 12

+

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2]− 32}

=

−𝜕2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2] 32

⇒

∇ · �� =−𝜕

2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2] 32

(3.73)

Agora consideremos uma circunferência de raio R dada por, 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 e 𝐻(𝑥,𝑦,𝑡) =

𝑦−𝜂(𝑥,𝑡) = 𝐶 ⇒ 𝑦 = 𝐶+𝜂(𝑥,𝑡). Derivando a equação da circunferência em relação a x teremos,

2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 2𝑥 = 0 ⇔

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −𝑥

𝑦⇔

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −1

𝑦+𝑥

𝑦2𝑑𝑦

𝑑𝑥⇔

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −1

𝑦− 𝑥2

𝑦3⇔

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝑥

2 + 𝑦2

𝑦3(3.74)

para 𝑦 = 𝐶+ 𝜂(𝑥,𝑡) temos𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥+𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑥⇔ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥⇔ 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=𝜕2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2,

com este resultado e a equação (3.74) podemos escrever,

49

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=𝜕2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2= −𝑥

2 + 𝑦2

𝑦3(3.75)

utilizando (3.75) em (3.73) obtemos,

∇ · �� =−𝜕

2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2] 32

=𝑥2 + 𝑦2

𝑦3

⎯⎸⎸⎷(𝑥2 + 𝑦2

𝑦2

)3=

𝑥2 + 𝑦2

(𝑥2 + 𝑦2)32

= 𝑅2(𝑅2)−32 =

1

𝑅(3.76)

Portanto temos, de modo geral,1

𝑅= ∇ · ��. Com estes resultado podemos agora, construir a

última condição de contorno do problema. Partindo de (3.72) e considerando que o efeito do ar éreduzido apenas para a tensão normal −𝑃0��, a continuidade das tensões normais é dada por,

𝑃1 − 𝑃2 =𝛾

𝑅⇒ �� · (Σ · ��) − �� · (−𝑃0��) =

𝛾

𝑅em 𝑦 = 𝜂(𝑥,𝑡) (3.77)

Primeiramente deve-se expandir o termo �� · (Σ · ��), para isso são utilizadas as mesmas hipó-teses estabelecidas anteriormente, logo,

50

�� · (Σ · ��) =(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2

(𝜏𝑥𝑥 − 𝑃 )

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 −

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)𝜏𝑦𝑥

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 −

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)𝜏𝑥𝑦

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 +(𝜏𝑦𝑦 − 𝑃 )

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 =

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2

𝜏𝑥𝑥

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 −2

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)𝜏𝑥𝑦

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 +𝜏𝑦𝑦

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2 − 𝑃 =

−𝑃 +2𝜇

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2

[(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦−

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)(𝜕𝑣

𝜕𝑥+𝜕𝑢

𝜕𝑦

)](3.78)

quanto ao termo −�� · (−𝑃0��) ele é reduzido à 𝑃0, portanto com este resultado e (3.78) temos que,

�� · (Σ · ��) − �� · (−𝑃0��) =𝛾

𝑅⇒

−𝑃 +2𝜇

1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2

[(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2𝜕𝑢

𝜕𝑥+𝜕𝑣

𝜕𝑦

−

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)(𝜕𝑣

𝜕𝑥+𝜕𝑢

𝜕𝑦

)]+𝑃0 =

𝛾

𝑅(3.79)

Considerando novamente, (3.38) e (3.39) juntamente com os modos normais para Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

e 𝜂(𝑥,𝑡) a equação (3.79) torna-se, em:

51

−𝑃 +2𝜇

1 − 𝛼2𝜂2𝑒2𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

[−𝑖𝛼3𝜂2

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒3𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

−𝑖𝛼3𝜂Ψ(𝑦)𝑒2𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼𝜂𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼𝜂

𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒2𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]+𝑃0 =

𝛾

𝑅(3.80)

eliminando produtos de perturbações temos,

−𝑃 + 2𝜇

[−𝑖𝛼𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼𝜂

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]+𝑃0 =

𝛾

𝑅⇒

−𝑃 − 2𝜇𝑖𝛼𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

[𝜂𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦+𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦

]+𝑃0 =

𝛾

𝑅(3.81)

Utilizaremos a curvatura na forma1

𝑅= −∇· ��, após substituirmos o modo normal de 𝜂(𝑥,𝑡)

e eliminarmos os produtos de perturbações teremos,

1

𝑅= −∇ · �� =

𝜕2𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2[1 +

(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥

)2] 32

= −𝛼2𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.82)

substituindo (3.82) em (3.81) obtemos,

−𝑃 − 2𝜇𝑖𝛼𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

[𝜂𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦+𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦

]+𝑃0 = −𝛾𝛼2𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.83)

52

Agora devemos realizar uma diferenciação ao longo da interface dada, de modo geral, por𝜕𝛽

𝜕𝑠= ∇𝛽 · �� (onde s é a abscissa curvilínea na interface). Para isso aplicaremos a derivada em

todos os termos da equação (3.83) e desprezaremos produtos de perturbações. Calculando cadatermo separadamente temos,

𝜕𝑃

𝜕𝑠= ∇𝑃 · �� =

𝜕𝑃

𝜕𝑥+𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑖𝛼𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.84)

𝜕

𝜕𝑠

[𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]= ∇

[𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]·𝑡 = 𝑖𝛼

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.85)

𝜕

𝜕𝑠

[𝜂𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

]·𝑡 = 𝑖𝛼𝜂

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.86)

𝜕

𝜕𝑠[𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)] · �� = 𝑖𝛼𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.87)

substituindo (3.84) - (3.87) em (3.83) e rearranjando os termos chegamos a expressão dada por,

−𝜕𝑃𝜕𝑥

− 𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑖𝛼𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 2𝜇𝛼2

[𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦+ 𝜂

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦

]𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = −𝑖𝛼3𝛾𝜂𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) (3.88)

Neste ponto devemos utilizar a equação da quantidade de movimento para eliminarmos os

termos𝜕𝑃

𝜕𝑥,𝜕𝑃

𝜕𝑦e com isso obtermos a forma final da condição de contorno dinâmica. Considere-

mos a equação de Navier-Stokes na forma vetorial escrita como,

53

𝜕��

𝜕𝑡+ �� · ∇�� = −1

𝜌∇𝑃 +

𝜇

𝜌∇2�� + �� (3.89)

Para obtermos os termos de pressão desejados, utilizaremos a equação (3.89) na forma decoordenadas 𝑒𝑥 e 𝑒𝑦, que são respectivamente,

𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥+𝜇

𝜌∇2𝑢+ 𝑔𝑥 (3.90)

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦+𝜇

𝜌∇2𝑣 + 𝑔𝑦 (3.91)

Deve-se utilizar novamente as equações (3.38) e (3.39) juntamente com o modo normal deΨ(𝑥,𝑦,𝑡), lembrando que quaisquer produtos de perturbações serão desconsiderados. Para a equa-ção (3.90) temos,

54

𝜕

𝜕𝑡(𝑈(𝑦) + ��) + (𝑈 + ��)

𝜕

𝜕𝑥(𝑈(𝑦) + ��) + 𝑣

𝜕

𝜕𝑦(𝑈(𝑦) + ��) =

−1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥+𝜇

𝜌∇2(𝑈(𝑦) + ��) + 𝑔𝑥 ⇔

𝜕��

𝜕𝑡+ 𝑈(𝑦)

𝜕��

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥

𝜇

𝜌

𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2+𝜇

𝜌

𝜕2��

𝜕𝑥2+𝜇

𝜌

𝜕2��

𝜕𝑦2+ 𝑔𝑥 ⇔

𝜕2Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝜕𝑦+ 𝑈(𝑦)

𝜕2Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥𝜕𝑦− 𝜕Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥+𝜇

𝜌

𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2

+𝜇

𝜌

𝜕3Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥2𝜕𝑦+𝜇

𝜌

𝜕3Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑦3+ 𝑔𝑥 ⇔

−𝑖𝛼𝑐𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑖𝛼𝑈(𝑦)

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) =

−1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑥+𝜇

𝜌

𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2− 𝛼2𝜇

𝜌

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) +

𝜇

𝜌

𝜕3Ψ(𝑦)

𝜕𝑦3𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑔𝑥 ⇔

−𝜕𝑃𝜕𝑥

= −𝜌𝑖𝛼𝑐𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝜌𝑖𝛼𝑈(𝑦)

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝜌𝑖𝛼

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦Ψ(𝑦)𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡)

−𝜇𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2+ 𝛼2𝜇

𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝜇

𝜕3Ψ(𝑦)

𝜕𝑦3𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝜌𝑔𝑥 (3.92)

Aplicando o mesmo procedimento para a equação (3.91) temos,

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ (𝑈(𝑦) + ��)

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦+𝜇

𝜌∇2𝑣 + 𝑔𝑦 ⇔

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑈(𝑦)

𝜕𝑣

𝜕𝑥= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦+𝜇

𝜌

𝜕2𝑣

𝜕𝑥2+𝜇

𝜌

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2+ 𝑔𝑦 ⇔

−𝜕2Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑡𝜕𝑥− 𝑈(𝑦)

𝜕2Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥2= −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦− 𝜇

𝜌

𝜕3Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑥3− 𝜇

𝜌

𝜕3Ψ(𝑥,𝑦,𝑡)

𝜕𝑦2𝜕𝑥+ 𝑔𝑦 ⇔

𝛼2

[−𝑐Ψ(𝑦) + 𝑈(𝑦)Ψ(𝑦)

]𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = −1

𝜌

𝜕𝑃

𝜕𝑦+ 𝛼

[𝑖𝛼2𝜇

𝜌Ψ(𝑦) − 𝑖

𝜇

𝜌

𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2

]𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝑔𝑦 ⇔

−𝜕𝑃𝜕𝑦

=

[−𝜌𝛼2𝑐Ψ(𝑦) + 𝜌𝛼2𝑈(𝑦)Ψ(𝑦) − 𝜇𝑖𝛼3Ψ(𝑦) + 𝜇𝑖𝛼

𝜕2Ψ(𝑦)

𝜕𝑦2

]𝑒𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝜌𝑔𝑦 (3.93)

55

substituindo as equações (3.92), (3.93) em (3.88), realizando a linearização das perturbações te-mos,

−𝑖𝛼𝑐𝜌𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦+ 𝑖𝛼𝜌𝑈(𝑦)

𝜕Ψ

𝜕𝑦− 𝑖𝛼𝜌

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦Ψ(𝑦) − 𝜇

𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) + 𝜇𝛼2𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦− 𝜇

𝜕3Ψ(𝑦)

𝜕𝑦3

−𝜌𝑔𝑥𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝑖𝛼𝜂𝜌𝑔𝑦 + 2𝜇𝛼2𝜕Ψ(𝑦)

𝜕𝑦+ 2𝜇𝛼2𝜂

𝜕𝑈(𝑦)

𝜕𝑦+ 𝑖𝛼𝛾𝜂 = 0 (3.94)

onde 𝑈(𝑦) = 𝑈0

(1− 𝑦2

ℎ2

), logo, na interface temos 𝑈(0) = 𝑈0 e

𝜕𝑈(0)

𝜕𝑦= 0 , portanto, a equação

(3.94) pode ser escrita como,

−𝜕3Ψ(0)

𝜕𝑦3+

[3𝛼2 − 𝑖𝛼

𝜌

𝜇(𝑐− 𝑈0)

]𝜕Ψ(0)

𝜕𝑦+ 𝑖𝛼

[−𝜌𝑔𝑦

𝜇+𝛼2𝛾

𝜇

]𝜂

−𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝜌

𝜇𝑔𝑥𝑒

−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = 0 ⇔

−𝜕3Ψ(0)

𝜕𝑦3+

[3𝛼2 − 𝑖𝛼

𝜌

𝜇𝑈0

(𝑐

𝑈0

− 1

)]𝜕Ψ(0)

𝜕𝑦+ 𝑖𝛼𝑅𝑒

[𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝜇𝑅𝑒+𝛼2𝛾

𝜇𝑅𝑒

]𝜂

−𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 𝜌

𝜇𝑔𝑠𝑖𝑛(𝜃)𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = 0 ⇔

−𝜕3Ψ(0)

𝜕𝑦3+

[3𝛼2 − 𝑖𝛼

𝑅𝑒

ℎ

(𝑐

𝑈0

− 1

)]𝜕Ψ(0)

𝜕𝑦+ 𝑖𝛼𝑅𝑒

[𝑈0

𝐹𝑟ℎ2+𝛼2𝑈0

𝑊𝑒

]𝜂

−𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) − 2𝜌𝑔ℎ2𝑠𝑖𝑛(𝜃)

2𝜇ℎ2𝑒−𝑖𝛼(𝑥−𝑐𝑡) = 0 (3.95)

Sabemos que𝜕2𝑈(𝑦)

𝜕𝑦2= −2

𝑈0

ℎ2, 𝑈0 =

𝜌𝑔ℎ2𝑠𝑒𝑛(𝜃)

2𝜇, tomando 𝑈0 = 1 e ℎ = 1, podemos

escrever a forma final da condição dinâmica devido às tensões normais, dada por,

56

−𝜕3Ψ(0)

𝜕𝑦3+ [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐− 1)]

𝜕Ψ(0)

𝜕𝑦+ 𝑖𝛼𝑅𝑒

[1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

]𝜂 = 0 (3.96)

utilizando a notação simplificada para as derivadas temos a condição dinâmica devida as tensõesnormais dada por,

𝐷3Ψ(0) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐− 1)]𝐷Ψ(0) + 𝑖𝛼𝑅𝑒

[1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

]𝜂 = 0 (3.97)

57

4 Solução assintótica.

Esta seção é dedicada às soluções assintóticas da equação de Orr-Sommerfeld juntamentecom as condições de contorno do problema. Para encontrarmos estas soluções nós iremos expandira autofunção Ψ(𝑦) e o autovalor 𝑐 em séries de potência de 𝛼, de 𝑂(1) à 𝑂(𝛼2).

4.1 Solução para 𝑂(1).

Consideremos as seguintes condições:

𝛼 << 1; 𝑅𝑒 = O(1);𝛼2

𝑊𝑒= O(1) (4.1)

Para perturbações de onda longa o número de onda 𝛼 pode ser tratado como um parâmetropequeno, e da forma que as equações sugerem a velocidade 𝑐 e a amplitude Ψ das autofunçõespodem ser tratadas como uma série de potências de 𝛼 como segue:

Ψ(𝑦) = Ψ0(𝑦) + 𝛼Ψ1(𝑦) + 𝛼2Ψ2(𝑦) + ... (4.2)

𝑐 = 𝑐0 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2 + ... (4.3)

Uma vez que estamos resolvendo um problema linear, onde a solução só pode ser deter-minada até uma constante multiplicativa, a perturbação 𝜂 da interface pode ser tratada como umaconstante de normalização das autofunções, e não precisa ser expandida em uma série de potências.Consideremos primeiramente uma expansão na forma Ψ(𝑦) = Ψ0(𝑦) e 𝑐 = 𝑐0, ou seja, despreza-remos quaisquer termos de ordem maior ou igual a 𝛼. Substituindo na equação de Orr-Sommerfeldtemos:

(𝐷2 − 𝛼2)2Ψ0(𝑦) = 𝑖𝛼𝑅𝑒[(𝑈(𝑦) − 𝑐0)(𝐷2 − 𝛼2) −𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ0(𝑦) ⇒ 𝐷4Ψ0(𝑦) = 0 (4.4)

58

Utilizando as mesmas expansões para as condições de contorno de não deslizamento, cine-mática e dinâmica na interface teremos respectivamente:

Ψ0(−1) = 0 (4.5)

𝐷Ψ0(−1) = 0 (4.6)

Ψ0(0) − (𝑐0 − 1)𝜂 = 0 (4.7)

𝐷2Ψ0(0) + 𝛼2Ψ0(0) + 𝜂𝐷2𝑈(𝑦) = 0 (4.8)

−𝐷3Ψ0(0) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐0 − 1)]𝐷Ψ0(0) + 𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝜂 = 0 (4.9)

substituindo (4.7) na forma 𝜂 =Ψ0(0)

𝑐0 − 1em (4.8) temos:

𝐷2Ψ0(0) + 𝛼2Ψ0(0) +𝐷2𝑈(𝑦)Ψ0(0)

𝑐0 − 1= 0 ⇒ 𝐷2Ψ0(0) +𝐷2𝑈(𝑦)

Ψ0(0)

𝑐0 − 1= 0 (4.10)

Por (3.12) temos, 𝐷2𝑈(𝑦) = −2𝑈0

ℎ2, tomando 𝑈0 = 1 e ℎ = 1 obtemos 𝐷2𝑈(0) = −2, logo,

a equação (4.10) fica na forma:

𝐷2Ψ0(0) − 2Ψ0(0)

𝑐0 − 1= 0 (4.11)

enquanto a equação (4.9) pode ser simplificada para:

𝐷3Ψ0(0) = 0 (4.12)

Com isso podemos reescrever o problema na forma:

59

𝐷4Ψ0(𝑦) = 0 (4.13)

Ψ0(−1) = 0 (4.14)

𝐷Ψ0(−1) = 0 (4.15)

𝐷3Ψ0(0) = 0 (4.16)

𝐷2Ψ0(0) − 2Ψ0(0)

𝑐0 − 1= 0 (4.17)

Com as equações (4.13) - (4.17) é possível resolver o problema e encontrar o valor para o 𝑐0assim como para a autofunção Ψ0(𝑦). Integrando a equação (4.13) temos:

Ψ0(𝑦) = 𝐴𝑦3 +𝐵𝑦2 + 𝐶𝑦 +𝐷 (4.18)

utilizando as equações (4.14) - (4.16) temos, respectivamente,

Ψ0(−1) = −𝐴6

+𝐵

2− 𝐶 +𝐷 = 0 (4.19)

𝐷Ψ0(−1) =𝐴

2−𝐵 + 𝐶 = 0 (4.20)

𝐷3Ψ0(0) = 𝐴 = 0 (4.21)

logo,

𝐵

2− 𝐶 +𝐷 = 0 (4.22)

𝐵 = 𝐶 (4.23)

Reescrevendo a equação (4.17) onde 𝐷2Ψ0(0) = 𝐵, Ψ0(0) = 𝐷 e considerando que 𝜂 =

Ψ0(0)

𝑐0 − 1⇒ 𝐷 = 𝜂(𝑐0 − 1) vamos obter a equação:

60

𝐵 − 2𝐷

𝑐0 − 1= 0 ⇒ 𝐵 = 2𝜂 (4.24)

Por (4.23) temos,𝐶 = 2𝜂 (4.25)

substituindo B, C e D na equação (4.22) temos:

𝜂 − 2𝜂 + 𝜂(𝑐0 − 1) = 0 ⇒ 𝑐0 = 2 (4.26)

substituindo A, B, C e D na equação (4.18) obtemos:

Ψ0(𝑦) = 𝜂𝑦2 + 2𝜂𝑦 + 𝜂 = 𝜂(𝑦 + 1)2 (4.27)

Com isso temos a solução assintótica deste problema para 𝑂(1) escrita como,

Ψ0(𝑦) = 𝜂(𝑦 + 1)2; 𝑐0 = 2 (4.28)

onde 𝜂 é a amplitude de deformação da interface. O autovalor 𝑐0 é real e independente do númerode onda; portanto, todas as perturbações se propagaram com a mesma velocidade dimensional 2𝑈0,independente do número de onda, isto é, sem dispersão. Como a parte imaginária de 𝑐0 é zero, ataxa de crescimento da instabilidade é zero , portanto, não há instabilidade para 𝑂(1).

4.2 Solução para 𝑂(𝛼).

Para realizarmos uma análise de ordem 𝑂(𝛼) devemos utilizar as expansões Ψ(𝑦) = Ψ0(𝑦)+

𝛼Ψ1(𝑦), 𝑐 = 𝑐0 +𝛼𝑐1 e desprezar qualquer termo de ordem maior ou igual a 𝛼2. Para a equação deOrr-Sommerfeld teremos:

61

(𝐷2 − 𝛼2)2Ψ(𝑦) = 𝑖𝛼𝑅𝑒[(𝑈(𝑦) − 𝑐)(𝐷2 − 𝛼2) −𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ(𝑦) ⇒

𝐷4Ψ0(𝑦) + 𝛼𝐷4Ψ1(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[𝛼𝑈(𝑦)𝐷2Ψ0(𝑦) − 𝑐0𝛼𝐷2Ψ0(𝑦) − 𝛼𝐷2𝑈(𝑦)Ψ0(𝑦)] (4.29)

utilizando (4.13) e dividindo por 𝛼,

𝐷4Ψ1(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[(𝑈(𝑦)𝐷2 − 𝑐0)𝐷2 −𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ0(𝑦) (4.30)

Para as condições de não deslizamento na parede temos:

Ψ0(−1) + 𝛼Ψ1(−1) = 0 (4.31)

𝐷Ψ0(−1) + 𝛼𝐷Ψ1(−1) = 0 (4.32)

por (4.14) e (4.15) temos,

Ψ1(−1) = 0 (4.33)

𝐷Ψ1(−1) = 0 (4.34)

Para a condição cinemática da interface obtemos:

Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0) − (𝑐0 + 𝛼𝑐1 − 1)𝜂 = 0 (4.35)

segue por (4.28) que,

62

𝜂 + 𝛼Ψ1(0) − (𝛼𝑐1 + 1)𝜂 = 0 ⇔

Ψ1(0) = 𝑐1𝜂 (4.36)

Utilizando as expansões para a primeira condição dinâmica temos:

𝐷2[Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0)] + 𝛼2[Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0)] + 𝜂𝐷2𝑈(0) = 0 ⇒

𝐷2Ψ0(0) + 𝛼𝐷2Ψ1(0) + 𝜂𝐷2𝑈(0) = 0 (4.37)

por (4.28) obtemos 𝐷2Ψ0(0) = 2𝜂; logo, podemos reescrever (4.37) como,

𝐷2Ψ1(0) = 0 (4.38)

Para a segunda condição dinâmica temos:

−𝐷3[Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0)] + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐0 + 𝛼𝑐1 − 1)]𝐷[Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0)]

+𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)= 0 ⇒

−𝐷3Ψ0(0) − 𝛼𝐷3Ψ1(0) + 𝑖𝛼𝑅𝑒[−𝑐0𝐷Ψ0(0) +𝐷Ψ0(0)] + 𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)= 0 (4.39)

substituindo (4.16) e (4.28) em (4.39) e rearranjando a equação obtemos,

63

𝐷3Ψ1(0) = −2𝑖𝑅𝑒𝜂 + 𝑖𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)(4.40)

Portanto podemos reescrever o problema na forma:

𝐷4Ψ1(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[(𝑈(𝑦) − 𝑐0)𝐷2 −𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ0(𝑦) (4.41)

Ψ1(−1) = 0 (4.42)

𝐷Ψ1(−1) = 0 (4.43)

𝐷2Ψ1(0) = 0 (4.44)

𝐷3Ψ1(0) = −2𝑖𝑅𝑒𝜂 + 𝑖𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)(4.45)

Aplicando (4.28) em (4.41) e utilizando 𝑈0 = ℎ = 1 obtemos:

𝐷4Ψ1(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[(1 − 𝑦2 − 2)𝐷2 + 2]𝜂(𝑦 + 1)2

= 𝑖𝑅𝑒[(−𝑦2 − 1)𝐷2[𝜂(𝑦 + 1)2] + 2𝜂(𝑦 + 1)2]

= 2𝑖𝑅𝑒𝜂[(−𝑦2 − 1) + (𝑦 + 1)2]

= 4𝑖𝑅𝑒𝜂𝑦 (4.46)

logo,

𝐷4Ψ1(𝑦) = 4𝑖𝑅𝑒𝜂𝑦 (4.47)

Integrando a equação (4.47) obtemos,

64

Ψ1(𝑦) =𝑖𝑅𝑒𝜂

30𝑦5 +

𝐴′

6𝑦3 +

𝐵′

2𝑦2 + 𝐶

′𝑦 +𝐷

′(4.48)

substituindo as equações de (4.42) - (4.45) em (4.48) temos,

Ψ1(−1) = −𝑖𝑅𝑒𝜂30

− 𝐴′

6+𝐵

′

2− 𝐶

′+𝐷

′= 0 (4.49)

𝐷Ψ1(−1) =𝑖𝑅𝑒𝜂

6+𝐴

′

2−𝐵

′+ 𝐶

′= 0 (4.50)

𝐷2Ψ1(0) = 𝐵′= 0 (4.51)

𝐷3Ψ1(0) = −2𝑖𝑅𝑒𝜂 + 𝑖𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)(4.52)

como 𝐷3Ψ1(0) = 𝐴′ temos, por (4.52),

𝐴′= −2𝑖𝑅𝑒𝜂 + 𝑖𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)(4.53)

Sabemos que Ψ1(0) = 𝐷′ , substituindo este último resultado em (4.36) obtemos,

𝐷′= 𝑐1𝜂 (4.54)

65

utilizando (4.51) e (4.53) em (4.50) temos,

𝑖𝑅𝑒𝜂

6+

1

2

[−2𝑖𝑅𝑒𝜂 + 𝑖𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]+𝐶

′= 0 ⇔

𝐶′=

5𝑖𝑅𝑒𝜂

6− 𝑖𝑅𝑒𝜂

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)(4.55)

substituindo (4.51), (4.53), (4.54) e (4.55) na equação (4.49) temos,

−𝑖𝑅𝑒𝜂30

− 1

6

[−2𝑖𝑅𝑒𝜂 + 𝑖𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]−5𝑖𝑅𝑒𝜂

6+𝑖𝑅𝑒𝜂

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)+𝑐1𝜂 = 0 ⇔

−𝑐1𝜂 = −𝑖𝑅𝑒𝜂30

+𝑖𝑅𝑒𝜂

3− 𝑖𝑅𝑒𝜂

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)−𝑖𝑅𝑒𝜂

6+

1

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)⇔

𝑐1 = 𝑖𝑅𝑒8

15

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)](4.56)

logo, substituindo (4.51), (4.53), (4.54), (4.55) e (4.56) em (4.48) obtemos a solução assintóticapara 𝑂(𝛼) na forma:

Ψ1(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒𝜂

{𝑦5

30+

[−1

3+

1

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦3 +

[5

6− 1

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

+8

15

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]}

𝑐1 = 𝑖𝑅𝑒8

15

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)](4.57)

A solução do problema proporciona a correção 𝑐1 do autovalor. Esta correção é puramente

66

imaginária, e não contribui para a velocidade da onda, porém afeta a taxa de crescimento 𝜎 =

𝛼𝑐𝑖 = 𝛼2𝑐1𝑖 de maneira significativa como podemos verificar abaixo,

𝜎 = 𝛼2𝑐1𝑖 = 𝛼2𝑅𝑒8

15

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]

= 𝛼2𝑅𝑒8

15− 𝛼2𝑅𝑒

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)

=𝛼2𝑅𝑒

3

(8

5− 1

𝐹𝑟

)− 𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼4

=𝛼2𝑅𝑒

3

(158

− 1

𝐹𝑟

)− 𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼4 (4.58)

logo,

𝜎 =𝛼2𝑅𝑒

3

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)− 𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼4 onde 𝐹𝑟𝑐 =

5

8(4.59)

Quando 𝐹𝑟 < 𝐹𝑟𝑐, 𝜎 é negativo para todo 𝛼, e o escoamento de um filme líquido plano élinearmente estável. Para 𝐹𝑟 > 𝐹𝑟𝑐, perturbações de número de onda abaixo de 𝛼𝑐 serão amplifi-cadas. Podemos encontrar 𝛼𝑐 por meio de,

𝜎 = 0 ⇔𝑅𝑒

3

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)𝛼2 − 𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼4 = 0 ⇔

𝛼2

[𝑅𝑒

3

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)− 𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼2

]= 0 (4.60)

67

descartando o caso de 𝛼2 = 0 em (4.60) temos:

𝑅𝑒

3

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)− 𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼2 = 0 ⇔

𝑅𝑒

3

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)=

𝑅𝑒

3𝑊𝑒𝛼2 ⇔

𝛼2𝑐 = 𝑊𝑒

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)com 𝐹𝑟𝑐 =

5

8(4.61)

Perturbações de número de onda 𝛼 > 𝛼𝑐 são atenuadas devido ao efeito combinado da tensão

superficial e da viscosidade. O número 𝐹𝑟𝑐 =5

8é o número de Froude crítico acima do qual o filme

líquido é instável. Para um caso limite do número de Froude para a equação (4.61) temos,

lim𝐹𝑟→∞ 𝛼𝑐 = lim𝐹𝑟→∞

⎯⎸⎸⎷𝑊𝑒

(1

𝐹𝑟𝑐− 1

𝐹𝑟

)→√𝑊𝑒

𝐹𝑟𝑐(4.62)

onde a equação (4.62) estabelece o resultado de que a banda instável deve ser limitada para umnúmero de Froude suficientemente grande.

4.3 Solução para 𝑂(𝛼2).

Para a análise de ordem𝑂(𝛼2) utilizaremos as expansões Ψ(𝑦) = Ψ0(𝑦)+𝛼Ψ1(𝑦)+𝛼2Ψ2(𝑦)

e 𝑐 = 𝑐0 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2 e iremos desprezar qualquer termo de ordem maior ou igual a 𝛼3. Para aequação de Orr-Sommerfeld teremos:

68

(𝐷2 − 𝛼2)2Ψ(𝑦) = 𝑖𝛼𝑅𝑒[(𝑈(𝑦) − 𝑐)(𝐷2 − 𝛼2) −𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ(𝑦) ⇔

(𝐷4 − 2𝛼2𝐷2 + 𝛼4)Ψ(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[𝛼𝑈(𝑦)𝐷2 − 𝛼3𝑈(𝑦) − 𝛼𝑐𝐷2 + 𝑐𝛼3 − 𝛼𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ(𝑦) ⇔

(𝐷4 − 2𝛼2𝐷2)Ψ(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[𝛼𝑈(𝑦)𝐷2 − 𝛼𝑐𝐷2 − 𝛼𝐷2𝑈(𝑦)]Ψ(𝑦) ⇔

(𝐷4 − 2𝛼2𝐷2)Ψ(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2 − 𝛼𝑐𝐷2 + 2𝛼]Ψ(𝑦) ⇔

(𝐷4 − 2𝛼2𝐷2)Ψ(𝑦) = 𝑖𝑅𝑒[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2 − 𝛼(𝑐0 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2)𝐷2 + 2𝛼]Ψ(𝑦) ⇔

(𝐷4 − 2𝛼2𝐷2)[Ψ0(𝑦) + 𝛼Ψ1(𝑦) + 𝛼2Ψ2(𝑦)] = 𝑖𝑅𝑒[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2 − 𝛼(𝑐0 + 𝛼𝑐1)𝐷2 + 2𝛼]Ψ(𝑦) ⇔

𝐷4Ψ0(𝑦) + 𝛼𝐷4Ψ1(𝑦) + 𝛼2𝐷4Ψ2(𝑦) − 2𝛼2𝐷2Ψ0(𝑦) =

𝑖𝑅𝑒[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2 − 𝛼(𝑐0 + 𝛼𝑐1)𝐷2 + 2𝛼]Ψ(𝑦) (4.63)

substituindo as equações (4.13), (4.28) e (4.47) em (4.63) temos:

4𝛼𝑖𝑅𝑒𝜂𝑦 + 𝛼2𝐷4Ψ2(𝑦) − 4𝛼2𝜂 = 𝑖𝑅𝑒[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2 − 𝛼(𝑐0 + 𝛼𝑐1)𝐷2 + 2𝛼]Ψ(𝑦) ⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 − 4𝑖𝑅𝑒𝜂

𝛼𝑦 +

𝑖𝑅𝑒

𝛼2[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2 − 𝛼(𝑐0 + 𝛼𝑐1)𝐷

2 + 2𝛼][Ψ0(𝑦) + 𝛼Ψ1(𝑦) + 𝛼2Ψ2] ⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 − 4𝑖𝑅𝑒𝜂

𝛼𝑦 +

𝑖𝑅𝑒

𝛼2[𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2Ψ0(𝑦) + 𝛼2(1 − 𝑦2)𝐷2Ψ1(𝑦)

−𝛼(𝑐0 + 𝛼𝑐1)𝐷2Ψ0(𝑦) − 𝛼2(𝑐0 + 𝛼𝑐1)𝐷

2Ψ1(𝑦) + 2𝛼Ψ0(𝑦) + 2𝛼2Ψ1(𝑦)] ⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 − 4𝑖𝑅𝑒𝜂

𝛼𝑦 +

𝑖𝑅𝑒

𝛼[(1 − 𝑦2)𝐷2Ψ0(𝑦) + 𝛼(1 − 𝑦2)𝐷2Ψ1(𝑦) − 𝑐0𝐷

2Ψ0(𝑦)

−𝛼𝑐1𝐷2Ψ0(𝑦) − 𝛼𝑐0𝐷2Ψ1(𝑦) + 2Ψ0(𝑦) + 2𝛼Ψ1(𝑦)] ⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 − 4𝑖𝑅𝑒𝜂

𝛼𝑦 +

𝑖𝑅𝑒

𝛼[(1 − 𝑦2)[𝐷2Ψ0(𝑦) + 𝛼𝐷2Ψ1(𝑦)] − 𝑐0[𝐷

2Ψ0(𝑦) + 𝛼𝐷2Ψ1(𝑦)]

−𝛼𝑐1𝐷2Ψ0(𝑦) + 2Ψ0(𝑦) + 2𝛼Ψ1(𝑦)] (4.64)

utilizando a equação (4.28) em (4.64) temos,

69

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 − 4𝑖𝑅𝑒𝜂

𝛼𝑦 +

𝑖𝑅𝑒

𝛼[(1 − 𝑦2)[2𝜂 + 𝛼𝐷2Ψ1(𝑦)] − 2[2𝜂 + 𝛼𝐷2Ψ1(𝑦)] − 2𝛼𝑐1𝜂

+2𝜂(𝑦 + 1)2 + 2𝛼Ψ1(𝑦)] ⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 − 4𝑖𝑅𝑒𝜂

𝛼𝑦 +

𝑖𝑅𝑒

𝛼[−𝛼𝐷2Ψ1(𝑦) − 𝛼𝑦2𝐷2Ψ1(𝑦) − 2𝛼𝑐1𝜂 + 4𝜂𝑦 + 2𝛼Ψ1(𝑦)] ⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 + 𝑖𝑅𝑒[−(1 + 𝑦2)𝐷2Ψ1(𝑦) − 2𝑐1𝜂 + 2Ψ1(𝑦)] (4.65)

por (4.57) podemos escrever,

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 + 𝑖𝑅𝑒

{−(1 + 𝑦2)𝐷2Ψ1(𝑦) − 2𝑐1𝜂 + 2𝑖𝑅𝑒𝜂

{𝑦5

30+

[−1

3

+1

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦3 +

[5

6− 1

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦 +

8

15

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]}}⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 + 𝑖𝑅𝑒

{−(1 + 𝑦2)𝐷2Ψ1(𝑦) − 2𝑐1𝜂 + 2𝑖𝑅𝑒𝜂

{𝑦5

30+

[−1

3

+1

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦3 +

[5

6− 1

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

}+2𝑐1𝜂

}⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 + 𝑖𝑅𝑒

{−𝐷2Ψ1(𝑦) − 𝑦2𝐷2Ψ1(𝑦) + 2𝑖𝑅𝑒𝜂

{𝑦5

30+

[−1

3

+1

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦3 +

[5

6− 1

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

}}(4.66)

derivando duas vezes a primeira equação de (4.57) e substituindo em (4.66) temos:

70

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 + 𝑖𝑅𝑒

{−𝑖𝑅𝑒𝜂

{2

3𝑦3 +

[−2 +

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

}−𝑖𝑅𝑒𝜂𝑦2

{2

3𝑦3+[

−2 +

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

}+𝑖𝑅𝑒𝜂

{𝑦5

15+

[−2

3+

1

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦3

+

[5

3−

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

}}⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 −𝑅𝑒2𝜂

[−2

3𝑦3 + 2𝑦 −

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝑦 − 2

3𝑦5 + 2𝑦3 −

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝑦3

+1

15𝑦5 − 2

3𝑦3 +

1

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝑦3 +

5

3𝑦 −

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝑦

]⇔

𝐷4Ψ2(𝑦) = 4𝜂 −𝑅𝑒2𝜂

{−3

5𝑦5 +

[2

3

−2

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦3 +

[11

3− 2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦

}(4.67)

integrando (4.67) e rearranjando os termos obtemos:

Ψ2(𝑦) =𝜂

6𝑦4 − 𝑅𝑒2𝜂

60

{− 1

84𝑦9 +

1

21

[1 −

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦7 +

[11

6−

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]𝑦5

}

+𝐴

′′

6𝑦3 +

𝐵′′

2𝑦2 + 𝐶

′′𝑦 +𝐷

′′ (4.68)

Agora utilizaremos as expansões de Ψ(𝑦) e 𝑐 para as condições de contorno. As condições denão deslizamento tornam-se:

Ψ0(−1) + 𝛼Ψ1(−1) + 𝛼2Ψ2(−1) = 0 (4.69)

𝐷Ψ0(−1) + 𝛼𝐷Ψ1(−1) + 𝛼2𝐷Ψ2(−1) = 0 (4.70)

71

utilizando as equações (4.14),(4.15) em (4.69) e as equações (4.42) e (4.43) em (4.70) temos:

Ψ2(−1) = 0 (4.71)

𝐷Ψ2(−1) = 0 (4.72)

substituindo as expansões de segunda ordem para a condição cinemática da interface obtemos:

Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0) + 𝛼2Ψ2(0) − [𝑐0 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2 − 1]𝜂 = 0 (4.73)

por (4.57) podemos reescrever (4.73) na forma,

𝜂 + 𝛼𝜂𝑐1 + 𝛼2Ψ2(0) − [2 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2 − 1] = 0 ⇔

Ψ2(0) = 𝜂𝑐2 (4.74)

Para reescrevermos a primeira condição dinâmica da interface, após inserirmos as expansõesde segunda ordem, utilizaremos as equações (4.28), (4.44) assim como (4.57), dessa forma temos,

𝐷2Ψ0(0) + 𝛼𝐷2Ψ1(0) + 𝛼2𝐷2Ψ2(0) + 𝛼2[Ψ0(0) + 𝛼Ψ1(0) + 𝛼2Ψ2(0)] +𝐷2𝑈(0) = 0 ⇔

2𝜂 + 𝛼2𝐷2Ψ2(0) + 𝜂𝛼2 − 2𝜂 = 0 ⇔

𝐷2Ψ2(0) = −𝜂 (4.75)

seguindo o mesmo procedimento anterior, podemos reescrever a segunda condição dinâmica dainterface na forma,

72

−𝐷3Ψ0(0) − 𝛼𝐷3Ψ1(0) − 𝛼2𝐷3Ψ2(0) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐0 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2 − 1)]

[𝐷Ψ0(0) + 𝛼𝐷Ψ1(0) + 𝛼2𝐷Ψ2(0)] + 𝑖𝛼𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)= 0 (4.76)

por (4.16), (4.28) e (4.57) temos,

2𝛼𝑖𝑅𝑒𝜂 − 𝑖𝛼𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)−𝛼2𝐷3Ψ2(0) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(1 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2)]

[2𝜂 + 𝛼𝐷Ψ1(0) + 𝛼2𝐷Ψ2(0)] + 𝑖𝛼𝑅𝑒𝜂

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)= 0 ⇔

2𝛼𝑖𝑅𝑒𝜂 − 𝛼2𝐷3Ψ2(0) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(1 + 𝛼𝑐1 + 𝛼2𝑐2)][2𝜂 + 𝛼𝐷Ψ1(0) + 𝛼2𝐷Ψ2(0)] = 0 ⇔

2𝛼𝑖𝑅𝑒𝜂 − 𝛼2𝐷3Ψ2(0) + [3𝛼2 − 𝛼𝑖𝑅𝑒− 𝛼2𝑐1𝑖𝑅𝑒][2𝜂 + 𝛼𝐷Ψ1(0) + 𝛼2𝐷Ψ2(0)] = 0 ⇔

−𝛼2𝐷3Ψ2(0) + 6𝛼2𝜂 − 𝛼2𝑖𝑅𝑒𝐷Ψ1(0) − 2𝛼2𝑐1𝑖𝑅𝑒𝜂 = 0 ⇔

𝐷3Ψ2(0) = 6𝜂 − 𝑖𝑅𝑒𝐷Ψ1(0) − 2𝑐1𝑖𝑅𝑒𝜂 ⇔

𝐷3Ψ2(0) = 6𝜂 +𝑅𝑒2𝜂

[5

6− 1

2

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]+𝑅𝑒2𝜂

16

15

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]⇔

𝐷3Ψ2(0) = 6𝜂 +𝑅𝑒2𝜂

[57

30− 7

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)](4.77)

Agora devemos encontrar os valores das constantes 𝐴′′, 𝐵

′′, 𝐶

′′ e 𝐷′′ . Por (4.68) e (4.71)

temos:

73

Ψ2(−1) = 𝜂6 − 𝑅𝑒2𝜂

60

{1

84− 1

21

[1 −

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]−

[11

6−

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]}

−𝐴′′

6+𝐵

′′

2− 𝐶

′′+𝐷

′′= 0 ⇔

𝜂

6− 𝑅𝑒2𝜂

60

[−157

84+

22

21

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]−𝐴

′′

6+𝐵

′′

2− 𝐶

′′+𝐷

′′= 0 (4.78)

considerando (4.68) e (4.72) obtemos,

𝐷Ψ2(−1) = −2𝜂

3−𝑅𝑒2𝜂

[− 1

560+

2

360− 2

360

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)+

11

72− 2

24

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]

+𝐴

′′

2−𝐵

′′+ 𝐶

′′= 0 ⇔

−2𝜂

3−𝑅𝑒2𝜂

[− 1

560+

1

180− 1

180

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)+

11

72− 1

12

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]

+𝐴

′′

2−𝐵

′′+ 𝐶

′′= 0 ⇔

−2𝜂

3−𝑅𝑒2𝜂

[789

5040− 16

180

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]+𝐴

′′

2−𝐵

′′+ 𝐶

′′= 0 ⇔

−2𝜂

3− 𝑅𝑒2𝜂

15

[263

112− 4

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]+𝐴

′′

2−𝐵

′′+ 𝐶

′′= 0 (4.79)

utilizando (4.68) e as equações (4.74), (4.75) e (4.77) podemos escrever:

𝐷′′

= 𝜂𝑐2 (4.80)

𝐵′′

= −𝜂 (4.81)

𝐴′′

= 6𝜂 +𝑅𝑒2𝜂

[57

30− 7

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)](4.82)

74

substituindo (4.81) e (4.82) em (4.79) temos:

−2𝜂

3− 𝑅𝑒2𝜂

15

[263

112− 4

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]+

1

2

{6𝜂 +𝑅𝑒2𝜂

[57

30− 7

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]}+𝜂 + 𝐶

′′= 0 ⇔

10𝜂

3+𝑅𝑒2𝜂

[1333

1680− 89

180

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]+𝐶

′′= 0 ⇔

𝐶′′

= −10𝜂

3− 𝑅𝑒2𝜂

60

[1333

28− 89

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)](4.83)

Agora devemos utilizar as equações (4.80), (4.81), (4.82) e (4.83) em (4.78) para obter:

𝜂

6− 𝑅𝑒2𝜂

60

[−157

84+

22

21

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]−1

6

{6𝜂 +𝑅𝑒2𝜂

[57

30− 7

6

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]}

+1

2(−𝜂) −

{−10𝜂

3− 𝑅𝑒2𝜂

60

[1333

28− 89

3

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]}+𝜂𝑐2 = 0 ⇔

−𝜂𝑐2 = 2𝜂 +𝑅𝑒2𝜂

[12800

25200− 800

2520

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]⇔

𝑐2 = −2 −𝑅𝑒2

[128

252− 80

252

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)]⇔

𝑐2 = −2 − 32

63𝑅𝑒2

[1 − 5

8

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)](4.84)

Realizando os cálculos na 𝑂(𝛼2) encontramos uma correção para a parte real do autovalor𝑐. Esta correção afeta somente a celeridade da onda; portanto, na 𝑂(𝛼2), longos comprimentos deonda são fracamente dispersivos (BENNEY, 1966).

75

5 Solução numérica.

Este capítulo é dedicado à solução numérica da equação de Orr-Sommerfeld. Primeiramentesão expostos os conceitos básicos, assim como os axiomas, que são necessários para a construçãoe implementação do método numérico, assim como para a manipulação das funções, dessa forma,foram utilizadas como referências para a seção (5.1) as obras de Kreyszig (KREYSZIG, 1989) eChihara (CHIHARA, 1978), para a seção (5.2) utilizamos as obras de Fletcher (FLETCHER, 1984),Peyret (PEYRET, 2013), Kanschat (KANSCHAT, 2007) e Boyd (BOYD, 1989) e por fim para a seção(5.3) as obras de Manson e Handscomb (MASON E HANDSCOMB, 2002), Rivlin (RIVLIN, 1974)e Fox e Parker (FOX E PARKER, 1968).

5.1 Norma, produto interno e Ortogonalidade.

Consideremos ℒ𝑝[𝑎,𝑏] como sendo a família de funções 𝑓(𝑥) ℒ𝑝-integráveis no intervalo real[𝑎,𝑏] definidas por,

∫ 𝑏

𝑎

𝑤(𝑥) | 𝑓(𝑥) |𝑝 𝑑𝑥 (5.1)

onde 𝑤(𝑥) é uma função peso não-negativa e 1 ≤ 𝑝 <∞.

Definição 1: Uma norma ‖ · ‖ é definida como qualquer medida escalar real de elementos deum espaço vetorial que satisfaça os axiomas:

1. ‖𝑢‖ ≥ 0, com igualdade se, e somente se, 𝑢 ≡ 0;

2. ‖𝑢+ 𝑣‖ ≤ ‖𝑢‖ + ‖𝑣‖ (desigualdade triangular);

3. ‖𝛼𝑢‖ = |𝛼|‖𝑢‖, para qualquer escalar 𝛼.

Definição 2: Um produto interno < ·, · > é uma função bilinear de elementos 𝑓, 𝑔, ℎ,... deum espaço vetorial que satisfaz os axiomas:

76

1. < 𝑓, 𝑓 > ≥ 0 com igualdade se, e somente se, 𝑓 ≡ 0;

2. < 𝑓, 𝑔 > = < 𝑔, 𝑓 >;

3. < 𝑓 + 𝑔, ℎ > = < 𝑓, ℎ > + < 𝑔, ℎ >;

4. < 𝛼𝑓, 𝑔 > = 𝛼 < 𝑓, 𝑔 > para qualquer escalar 𝛼.

Adotaremos como produto interno a igualdade,

< 𝑓, 𝑔 >=

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑤(𝑥)𝑑𝑥 (5.2)

onde 𝑓 , 𝑔 e 𝑤 são funções de 𝑥 no intervalo [𝑎,𝑏].

Um produto interno induz uma norma tipo-ℒ2,

‖𝑓‖ = ‖𝑓‖2 :=√< 𝑓, 𝑓 > (5.3)

que pode ser expressa como,

‖𝑓‖ = ‖𝑓‖2 =

√∫ 𝑏

𝑎

|𝑓(𝑥)|2𝑤(𝑥)𝑑𝑥 (5.4)

Definição 3: Duas funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) em ℒ2 são ditas ortogonais em um dado intervalo[𝑎,𝑏] com respeito a uma dada função peso contínua e não-negativa 𝑤(𝑥) se,

∫ 𝑏

𝑎

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑤(𝑥)𝑑𝑥 = 0 (5.5)

esta condição de ortogonalidade é equivalente a dizermos que 𝑓 é ortogonal a 𝑔 se,

77

< 𝑓, 𝑔 >= 0 (5.6)

Se 𝑓 e 𝑔 pertencerem a mesma família de funções 𝜑𝑖(𝑥), 𝑖 = 0,1,2,3,... e em adição a equação (5.6)

tivermos a condição,

‖𝜑𝑖‖ = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖 (5.7)

dizemos que a família dos polinômios 𝜑𝑖(𝑥) é ortonormal. Com estes conceitos e definições so-mos capazes de trabalhar com o método numérico e as funções polinomiais que usaremos para adiscretização do problema nas próximas seções.

5.2 Método dos pesos ponderados e método de Galerkin.

Podemos descrever o método dos pesos ponderados da seguinte forma. Vamos assumir umproblema governado por uma equação diferencial linear dada por,

𝐿(𝑢) = 0 (5.8)

em um domínio D, com condições de contorno,

𝑆(𝑢) = 0 (5.9)

Consideremos uma solução aproximada 𝑢𝑎 dada por,

𝑢𝑎(��,𝑡) = 𝑢0(��,𝑡) +𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗(𝑡)𝜑𝑗(��) (5.10)

78

onde os 𝜑𝑗’s são funções analíticas conhecidas. Estas são frequentemente chamadas de funçõesde base e a equação (5.10) de solução base. Os coeficientes 𝑎𝑗’s serão determinados. Na equação(5.10) 𝑢0(��,𝑡) é escolhido para satisfazer as condições de contorno (e iniciais quando necessário).Como escrito na equação (5.10) ela implica que a equação (5.8) é reduzida a uma equação dife-rencial ordinária em 𝑡. Se 𝜑𝑗 = 𝜑𝑗(𝑡) e 𝑎𝑗 = 𝑎𝑗(��), teremos uma equação diferencial parcial em��. Se 𝜑𝑗 = 𝜑𝑗(��,𝑡) ou o problema é estacionário, então os 𝑎𝑗’s são constantes e a equação (5.8)

será reduzida para um sistema de equações algébricas, sendo este último o caso abordado nestetrabalho. Substituindo a equação (5.10) na equação (5.8) é produzido um resíduo 𝑅 não-nulo dadopor,

𝑅(𝑎0, 𝑎1, ..., 𝑎𝑁 ,��) = 𝐿(𝑢𝑎) = 𝐿(𝑢0) +𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗𝐿(𝜑𝑗) (5.11)

como assumimos que 𝑢𝑎 é uma solução para o problema desejamos que,

𝑅(𝑎0, 𝑎1, ..., 𝑎𝑁 ,��) = 𝐿(𝑢𝑎) = 𝐿(𝑢0) +𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗𝐿(𝜑𝑗) = 0 (5.12)

ou seja,

∫𝐷

𝑅𝑤𝑘𝑑�� =

∫𝐷

{𝐿(𝑢0) +𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗𝐿(𝜑𝑗)}𝑤𝑘𝑑�� = 0 ⇔

∫𝐷

𝑅𝑤𝑘𝑑�� =

∫𝐷

𝐿(𝑢0)𝑤𝑘𝑑��+

∫𝐷

{𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗𝐿(𝜑𝑗)𝑤𝑘}𝑑�� = 0 ⇔

∫𝐷

𝑅𝑤𝑘𝑑�� =

∫𝐷

𝐿(𝑢0)𝑤𝑘𝑑��+𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗{∫𝐷

𝐿(𝜑𝑗)𝑤𝑘𝑑��} = 0 ⇔

< 𝑅,𝑤𝑘 > = < 𝐿(𝑢0),𝑤𝑘 > +𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗 < 𝐿(𝜑𝑗),𝑤𝑘 > = 0 (5.13)

79

sendo (5.13) verdadeira para qualquer 𝑤𝑘. Logo no método dos pesos ponderados os coeficientes𝑎𝑗’s em (5.10) serão determinados resolvendo-se o sistema de equações dado por,

< 𝑅,𝑤𝑘 > = 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1, ...,𝑁. (5.14)

e é devida a esta última equação que o método possui seu nome. A função 𝑤𝑘 é muitas vezesreferida como função teste. No decorrer deste texto iremos nos referir a 𝑤𝑘 como sendo a funçãoteste, para distingui-la da função peso 𝑤 presente na definição do produto interno, uma vez queambas possuem naturezas diferentes. Por (5.13) podemos reescrever (5.14) como,

𝑁∑𝑗=1

𝑎𝑗 < 𝐿(𝜑𝑗),𝑤𝑘 >= − < 𝐿(𝑢0),𝑤𝑘 > (5.15)

substituindo os 𝑎𝑗’s resultantes da solução da equação (5.15) na equação (5.10) iremos obter asolução aproximada 𝑢𝑎.

O método de Galerkin é um caso particular do método dos pesos ponderados. Este é obtidoquando escolhemos as funções teste dentro da mesma família de funções das funções base, isto é,

𝑤𝑘(��) = 𝜑𝑘(��) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,...,𝑁. (5.16)

sendo o procedimento do método o mesmo descrito anteriormente.

5.3 Polinômios de Chebyshev.

Nesta seção trataremos dos conceitos básicos dos polinômios de Chebyshev de primeira espé-cie 𝑇𝑛, como definição e algumas propriedades que serão utilizadas no decorrer deste texto. Sempreque nos referirmos à "polinômios de Chebyshev"estaremos nos referindo à classe de polinômios𝑇𝑛. Existem outras espécies de polinômios de Chebyshev como os de segunda, terceira e quartaespécie dados por 𝑈𝑛, 𝑉𝑛 e 𝑊𝑛 que não serão abordados neste trabalho, porém possuem relações

80

diretas com a classe 𝑇𝑛.

5.3.1 Definição e relação de recorrência.

Definição 4: Os polinômios de Chebyshev 𝑇𝑛 de primeira espécie são polinômios em 𝑥 degrau 𝑛, definidos pela relação trigonométrica,

𝑇𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) (5.17)

Se 𝑥 ∈ [−1,1] então o intervalo correspondente para a variável 𝜃 é o intervalo [0,𝜋], dos quaistemos para 𝑥 = −1 e 𝑥 = 1 os valores de 𝜃 = 𝜋 e 𝜃 = 0 respectivamente. Sabemos por meio doTeorema de DeMoivre que 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) é um polinômio de grau 𝑛 em 𝑐𝑜𝑠(𝜃), dado pela equação,

cos(𝑛𝑥) =𝑁∑𝑘=0

(𝑛

𝑘

)cos𝑘 𝑥 sin𝑛−𝑘 𝑥 cos

[1

2(𝑛− 𝑘)𝜋

](5.18)

logo, podemos escrever para 𝑛 = 0,1,2,3,...,

𝑐𝑜𝑠(0.𝜃) = 1

𝑐𝑜𝑠(1.𝜃) = 𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑐𝑜𝑠(2.𝜃) = 2𝑐𝑜𝑠2(𝜃) − 1

𝑐𝑜𝑠(3.𝜃) = 4𝑐𝑜𝑠3(𝜃) − 3𝑐𝑜𝑠(𝜃)

𝑐𝑜𝑠(4.𝜃) = 8𝑐𝑜𝑠4(𝜃) − 8𝑐𝑜𝑠2(𝜃) + 1... (5.19)

Podemos deduzir imediatamente por (5.17), que os primeiros polinômios de Chebyshev sãodados por,

81

𝑇0(𝑥) = 1

𝑇1(𝑥) = 𝑥

𝑇2(𝑥) = 2𝑥2 − 1

𝑇3(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥

𝑇4(𝑥) = 8𝑥4 − 8𝑥2 + 1... (5.20)

Normalmente não é conveniente (ou eficiente) trabalhar com a forma analítica de 𝑇𝑛(𝑥),porém é possível encontrar uma relação de recorrência para os polinômios 𝑇𝑛(𝑥); para isto devemosutilizar a identidade trigonométrica:

𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) + 𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 2)𝜃] = 2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 1)𝜃] (5.21)

juntamente com a equação (5.17) pode-se escrever,

𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃) + 𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 2)𝜃] = 2𝑐𝑜𝑠(𝜃)𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 1)𝜃] ⇔

𝑇𝑛(𝑥) + 𝑇𝑛−2(𝑥) = 2𝑥𝑇𝑛−1(𝑥) ⇔

𝑇𝑛(𝑥) = 2𝑥𝑇𝑛−1(𝑥) − 𝑇𝑛−2(𝑥) (5.22)

sendo a equação (5.22) válida para 𝑛 = 2,3,..., em conjunto com as condições iniciais,

𝑇0(𝑥) = 1, 𝑇1(𝑥) = 𝑥 (5.23)

A relação de recorrência (5.22) juntamente com as condições iniciais dadas em (5.23) geramtodos os polinômios 𝑇𝑛(𝑥) de maneira muito eficiente.

82

5.3.2 Produto, derivação e integração de polinômios de Chebyshev.

Como veremos adiante o produto de polinômios de Chebyshev é de fundamental importân-cia para a utilização de um dos aspectos mais importântes dessa família de polinômios, que é suaortogonalidade no intervalo [−1,1]. As discretizações utilizadas para o problema físico estão re-lacionadas também com o produto entre polinômios de Chebyshev e suas derivadas, assim comoa integração destes produtos. Logo mostraremos a seguir como encontrar relações de recorrênciapara cada uma dessas operações.

Podemos obter o produto de dois polinômios de Chebyshev de maneira simples utilizando aequação (5.17) como,

𝑇𝑚(𝑥)𝑇𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃)

=1

2{𝑐𝑜𝑠[(𝑚+ 𝑛)𝜃] + 𝑐𝑜𝑠[|𝑚− 𝑛|𝜃]}

=1

2[𝑇𝑚+𝑛(𝑥) + 𝑇|𝑚−𝑛|(𝑥)] (5.24)

dessa maneira temos a relação de recorrência para o produto de dois polinômios de Chebyshevdada por,

𝑇𝑚(𝑥)𝑇𝑛(𝑥) =1

2[𝑇𝑚+𝑛(𝑥) + 𝑇|𝑚−𝑛|(𝑥)] (5.25)

Podemos obter uma relação de recorrência para a derivada de 𝑇𝑛(𝑥) via diferenciação diretade sua forma analítica como segue abaixo,

83

𝑑

𝑑𝑥𝑇𝑛(𝑥) =

𝑑

𝑑𝜃𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃)

𝑑

𝑑𝜃𝑐𝑜𝑠(𝜃)

=−𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)

−𝑠𝑒𝑛(𝜃)=

𝑛

2.{𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 1)𝜃] − 𝑐𝑜𝑠[(𝑛+ 1)𝜃]}

𝑠𝑒𝑛2(𝜃)=𝑛

2.{𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 1)𝜃] − 𝑐𝑜𝑠[(𝑛+ 1)𝜃]}

1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)=

𝑛

2.[𝑇|𝑛−1|(𝑥) − 𝑇𝑛+1(𝑥)]

1 − 𝑥2(5.26)

logo para |𝑥| = 1 temos,

𝑑

𝑑𝑥𝑇𝑛(𝑥) =

𝑛

2.[𝑇|𝑛−1|(𝑥) − 𝑇𝑛+1(𝑥)]

1 − 𝑥2(5.27)

derivadas de ordens mais altas podem ser obtidas de maneira análoga. Para os extremos do intervalo[−1; 1] podemos usar de forma geral a equação,

𝑑𝑝

𝑑𝑥𝑝𝑇𝑛(𝑥)

𝑥=±1

= (±1)𝑛+𝑝

𝑝−1∏𝑚=0

[𝑛2 −𝑚2

2𝑚+ 1

]𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 ≥ 1. (5.28)

Com relação à integral indefinida temos,

∫𝑇𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = −

∫𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃 = −1

2

∫{𝑠𝑒𝑛[(𝑛+ 1)𝜃] − 𝑠𝑒𝑛[(𝑛− 1)𝜃]}𝑑𝜃

=1

2

{𝑐𝑜𝑠[(𝑛+ 1)𝜃]

𝑛+ 1− 𝑐𝑜𝑠[(𝑛− 1)𝜃]

𝑛− 1

}+ 𝐾 (5.29)

aqui utiliza-se a definição 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ⇒ 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃. Na equação (5.29) temos 𝐾 apenascomo uma constante de integração e devemos omitir a segunda parcela dentro das chaves quando𝑛 = 1, portanto,

84

∫𝑇𝑛(𝑥)𝑑𝑥 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1

2

[𝑇𝑛+1(𝑥)

𝑛+ 1−𝑇|𝑛−1|(𝑥)

𝑛− 1

], 𝑠𝑒 𝑛 = 1;

1

4𝑇2(𝑥), 𝑠𝑒 𝑛 = 1.

(5.30)

5.3.3 Ortogonalidade dos polinômios de Chebyshev.

Utilizando o critério de ortogonalidade (5.5) com o intervalo e função peso dados por,

[𝑎,𝑏] = [−1,1]; 𝑤(𝑥) = (1 − 𝑥2)−12 (5.31)

então podemos encontrar uma relação para o produto interno entre dois polinômios de Chebyshev.Utilizando a equação (5.5) assim como 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) ⇒ 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑑𝜃 = −

√1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝜃)𝑑𝜃 ⇒

𝑑𝑥 = −√

1 − 𝑥2𝑑𝜃, temos,

< 𝑇𝑖,𝑇𝑗 > =

∫ 1

−1

𝑇𝑖(𝑥)𝑇𝑗(𝑥)√1 − 𝑥2

𝑑𝑥

=

∫ 0

𝜋

−𝑐𝑜𝑠(𝑖𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝑗𝜃)√1 − 𝑥2

√1 − 𝑥2𝑑𝜃

=

∫ 𝜋

0

𝑐𝑜𝑠(𝑖𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝑗𝜃)𝑑𝜃 (5.32)

Para 𝑖 = 𝑗 temos,

∫ 𝜋

0

𝑐𝑜𝑠(𝑖𝜃)𝑐𝑜𝑠(𝑗𝜃)𝑑𝜃 =1

2

∫ 𝜋

0

{𝑐𝑜𝑠[(𝑖+ 𝑗)𝜃] + 𝑐𝑜𝑠[(𝑖− 𝑗)𝜃]}𝑑𝜃

=1

2

[𝑠𝑒𝑛[(𝑖+ 𝑗)𝜃]

𝑖+ 𝑗+𝑠𝑒𝑛[(𝑖− 𝑗)𝜃]

𝑖− 𝑗

]𝜋0

= 0 (5.33)

85

logo,

< 𝑇𝑖,𝑇𝑗 >= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗 (5.34)

com isso temos que {𝑇𝑖(𝑥), 𝑖 = 0,1,2,...}, formam uma família de polinômios ortogonais comrespeito ao intervalo [−1,1] e à função peso (1 − 𝑥2)−

12 . A norma de um polinômio de Chebyshev

e dada por,

‖𝑇𝑖‖2 = < 𝑇𝑖,𝑇𝑖 >

=

∫ 𝜋

0

[𝑐𝑜𝑠(𝑖𝜃)]2𝑑𝜃

=1

2

∫ 𝜋

0

[1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑖𝜃)]𝑑𝜃

=1

2

[𝜃 +

𝑠𝑒𝑛(2𝑖𝜃)

2𝑖

]𝜋0

=𝜋

2(5.35)

enquanto que,

‖𝑇0‖2 = < 𝑇0,𝑇0 > = < 1,1 > = 𝜋 (5.36)

Com estes resultados podemos escrever o produto interno entre dois polinômios deChebyshev em sua forma reduzida dada por,

< 𝑇𝑖,𝑇𝑗 >=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝜋, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 = 0;𝜋

2, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 𝑐𝑜𝑚 𝑖 = 0 𝑒 𝑗 = 0;

0, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗

(5.37)

86

Portanto temos que a família dos polinômios 𝑇𝑛(𝑥) formam um sistema ortogonal no inter-valo [−1,1] porém ela não é ortonormal neste mesmo intervalo, uma vez que ‖𝑇𝑖‖ = 1 para todo𝑖.

5.4 Discretizações e implementação do método de Galerkin.

Esta seção é dedicada à discretização das equações do problema físico e implementação dométodo de Galerkin. Utilizaremos as definições e os conceitos abordados nas últimas três seçõespara a discretização da equação de Orr-Sommerfeld e suas condições de contorno.

5.4.1 Transformação do problema físico para o intervalo [−1; 1].

Tomemos a equação de Orr-Sommerfeld dada por (3.35) no intervalo 𝑦 ∈ [−1; 0]. Para poder-mos utilizar a classe dos polinômios 𝑇𝑛 a fim de fazer uso de sua propriedade ortogonal precisamosde uma váriavel no intervalo [−1; 1], para isso basta utilizarmos a tranformação:

𝑧 = 2𝑦 + 1 (5.38)

com𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2. Logo podemos expressar as derivadas das perturbações Ψ(𝑦) presentes na equação

de Orr-Sommerfeld como,

𝜕Ψ(𝑧)

𝜕𝑦=𝜕Ψ(𝑧)

𝜕𝑧.𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2.

𝜕Ψ(𝑧)

𝜕𝑧= 2𝐷Ψ(𝑧) (5.39)

𝜕2Ψ(𝑧)

𝜕𝑦2=

𝜕

𝜕𝑦

(𝜕Ψ(𝑧)

𝜕𝑦

)=

𝜕

𝜕𝑦

(2.𝜕Ψ(𝑧)

𝜕𝑧

)=

2.

[𝜕

𝜕𝑧

(𝜕Ψ(𝑧)

𝜕𝑧

).𝜕𝑧

𝜕𝑦

]= 4.

𝜕2Ψ(𝑧)

𝜕𝑧2= 4𝐷2Ψ(𝑧) (5.40)

87

𝜕3Ψ(𝑧)

𝜕𝑦3= 8.

𝜕3Ψ(𝑧)

𝜕𝑧3= 8.𝐷3Ψ(𝑧) (5.41)

𝜕4Ψ(𝑧)

𝜕𝑦4= 16.

𝜕4Ψ(𝑧)

𝜕𝑧4= 16.𝐷4Ψ(𝑧) (5.42)

Utilizando as equações (5.39), (5.40), (5.41) e (5.42) em (3.35) iremos obter,

16𝐷4Ψ(𝑧) − 8𝛼2𝐷2Ψ(𝑧) + 𝛼4Ψ(𝑧) − 4𝑖𝛼𝑅𝑒𝑈(𝑧)𝐷2Ψ(𝑧) + 𝑖𝛼3𝑅𝑒𝑈(𝑧)Ψ(𝑧)+

4𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(𝑧)Ψ(𝑧) = −4𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒𝐷2Ψ(𝑧) + 𝑖𝛼3𝑐𝑅𝑒Ψ(𝑧) ⇔

{(16𝐷4 − 8𝛼2𝐷2 + 𝛼4) − 𝑖𝛼𝑅𝑒[𝑈(𝑧)(4𝐷2 − 𝛼2) − 4𝐷2𝑈(𝑧)]}Ψ(𝑧)

= −𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒(4𝐷2 − 𝛼2)Ψ(𝑧) (5.43)

sendo (5.43) a equação de Orr-Sommerfeld para o intervalo [−1; 1]. As condições de contorno denão-deslizamento na parede (3.42) e (3.43) são imediatas e são dadas por,

𝐷Ψ(−1) = 0 (5.44)

Ψ(−1) = 0 (5.45)

Para podermos implementar corretamente o método numérico devemos "eliminar"o termo 𝜂das condições de contorno na interface, para isso seguiremos utilizando as equações (5.39) à (5.42).Para a condição cinemática da interface temos,

Ψ(0) − (𝑐− 1)𝜂 = 0 ⇒ Ψ(1) − (𝑐− 1)𝜂 = 0 ⇔ 𝜂 =Ψ(1)

𝑐− 1(5.46)

Pelas condições dinâmicas da interface dadas pelas equações (3.71) e (3.97) teremos para ointervalo [−1; 1] as equações,

88

4𝐷2Ψ(1) + 𝛼2Ψ(1) + 4𝐷2𝑈(1)𝜂 = 0 (5.47)

− 8𝐷3Ψ(1) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐− 1)]2𝐷Ψ(1) + 𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝜂 = 0 (5.48)

substituindo 𝜂 da Eq. (5.46) na Eq. (5.47) obtemos,

4𝐷2Ψ(1) + 𝛼2Ψ(1) + 4𝐷2𝑈(1).Ψ(1)

𝑐− 1= 0 ⇔

𝑐[4𝐷2Ψ(1) + 𝛼2Ψ(1)] − [4𝐷2Ψ(1) + 𝛼2Ψ(1)] + 4𝐷2𝑈(1)Ψ(1) = 0 ⇔

[4𝐷2 + 𝛼2 − 4𝐷2𝑈(1)]Ψ(1) = 𝑐[4𝐷2 + 𝛼2]Ψ(1) (5.49)

A última igualdade da Eq. (5.49) está na forma final para ser discretizada e implementada nométodo numérico. Pela Eq. (5.47) podemos escrever 𝜂 como,

𝜂 = −4𝐷2Ψ(1) + 𝛼2Ψ(1)

4𝐷2𝑈(1)(5.50)

substituindo Eq. (5.50) em Eq. (5.48) podemos escrever,

− 8𝐷3Ψ(1) + [3𝛼2 − 𝑖𝛼𝑅𝑒(𝑐− 1)]2𝐷Ψ(1) + 𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

).

[−4𝐷2Ψ(1) + 𝛼2Ψ(1)

4𝐷2𝑈(1)

]= 0

(5.51)

rearranjando os termos na Eq. (5.51) e realizando as operações necessárias temos finalmente aúltima equação de contorno para o problema,

89

−32𝐷2𝑈(1)𝐷3Ψ(1) + 24𝛼2𝐷2𝑈(1)𝐷Ψ(1) + 8𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(1)𝐷Ψ(1)

−4𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)𝐷2Ψ(1) − 𝑖𝛼3𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+

𝛼2

𝑊𝑒

)Ψ(1)

= 8𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒𝐷2𝑈(1)𝐷Ψ(1) (5.52)

5.4.2 Implementação do método de Galerkin.

Para a equação de Orr-Sommerfeld dada por (5.43) utilizaremos uma aproximação para Ψ(𝑧)

em termos dos polinômios de Chebyshev dada pela série:

Ψ(𝑧) =𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧); 𝑘 ∈ {Z | 𝑘 ≥ 0} (5.53)

desta forma podemos reescrever a equação de Orr-Sommerfeld em termos dos produtos internosentre os polinômios de Chebyshev. Substituindo (5.53) em (5.43) podemos escrever,

{(16𝐷4 − 8𝛼2𝐷2 + 𝛼4) − 𝑖𝛼𝑅𝑒[𝑈(𝑧)(4𝐷2 − 𝛼2) − 4𝐷2𝑈(𝑧)]}𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧) =

− 𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒(4𝐷2 − 𝛼2)𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧) (5.54)

aplicando um produto de 𝑇𝑗(𝑧), sendo 𝑇𝑗(𝑧) os polinômios de Chebyshev de primeira espécie noíndice j e rearranjando os termos temos,

90

(16𝐷4 − 8𝛼2𝐷2 + 𝛼4)𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧) − 𝑖𝛼𝑅𝑒[𝑈(𝑧)4𝐷2 − 𝛼2𝑈(𝑧)]𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)+

4𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(𝑧)𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧) = −𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒(4𝐷2 − 𝛼2)𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧) (5.55)

integrando (5.55) no intervalo [−1; 1] para a variável z e considerando a função peso associada��(𝑧) temos:

∫ 1

−1

{(16𝐷4−8𝛼2𝐷2+𝛼4)𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)−𝑖𝛼𝑅𝑒[𝑈(𝑧)4𝐷2−𝛼2𝑈(𝑧)]𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)

+4𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(𝑧)𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)}𝑑𝑧 =

∫ 1

−1

{−𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒(4𝐷2−𝛼2)𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)}𝑑𝑧 ⇔

𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

[∫ 1

−1

(16𝐷4 − 8𝛼2𝐷2 + 𝛼4)𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)𝑑𝑧

]𝑎𝑘

−𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

[∫ 1

−1

𝑖𝛼𝑅𝑒[4𝑈(𝑧)𝐷2 − 𝛼2𝑈(𝑧)]𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)𝑑𝑧

]𝑎𝑘

+𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

[∫ 1

−1

4𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(𝑧)𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)𝑑𝑧

]𝑎𝑘 = −

𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

[∫ 1

−1

𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒(4𝐷2−𝛼2)𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)��(𝑧)𝑑𝑧

]𝑎𝑘 ⇔

𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

{∫ 1

−1

16[𝐷4𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧−∫ 1

−1

8𝛼2[𝐷2𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧+

∫ 1

−1

𝛼4[𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧

}𝑎𝑘

−𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

{∫ 1

−1

4𝑖𝛼𝑅𝑒[𝑈(𝑧)𝐷2𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧 −∫ 1

−1

𝑖𝛼3𝑅𝑒[𝑈(𝑧)𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧

}𝑎𝑘

+𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

{∫ 1

−1

4𝑖𝛼𝑅𝑒[𝐷2𝑈(𝑧)𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧

}𝑎𝑘 =

91

−𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

{∫ 1

−1

4𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒[𝐷2𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧 −∫ 1

−1

𝑖𝛼3𝑐𝑅𝑒[𝑇𝑘(𝑧)𝑇𝑗(𝑧)]��(𝑧)𝑑𝑧

}𝑎𝑘 (5.56)

fazendo uso da igualdade (5.2) em (5.56) e rearranjando os termos obtemos,

𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

{16 < 𝑇𝑗(𝑧),𝐷4𝑇𝑘(𝑧) > −8𝛼2 < 𝑇𝑗(𝑧),𝐷2𝑇𝑘(𝑧) > +𝛼4 < 𝑇𝑗(𝑧),𝑇𝑘(𝑧) >

−4𝑖𝛼𝑅𝑒 < 𝑇𝑗(𝑧),𝑈(𝑧)𝐷2𝑇𝑘(𝑧) > +𝑖𝛼3𝑅𝑒 < 𝑇𝑗(𝑧),𝑈(𝑧)𝑇𝑘(𝑧) >

+4𝑖𝛼𝑅𝑒 < 𝑇𝑗(𝑧),𝐷2𝑈(𝑧)𝑇𝑘(𝑧) >}𝑎𝑘 =

𝑁∑𝑗=0

𝑁∑𝑘=0

{−4𝑖𝛼𝑐𝑅𝑒 < 𝑇𝑗(𝑧),𝐷2𝑇𝑘(𝑧) > +𝑖𝛼3𝑐𝑅𝑒 < 𝑇𝑗(𝑧),𝑇𝑘(𝑧) >}𝑎𝑘 (5.57)

sendo esta última a equação de Orr-Sommerfeld em termos dos produtos internos entre os polinô-mios de Chebyshev. Para sua discretização devemos utilizar os conceitos presentes na seção (5.3) .

Para as condições de contorno não se faz necessária a utilização da definição de produto in-terno, uma vez que as equações já estão postas nos extremos do intervalo [−1; 1], portanto bastafazermos uso dos extremos do intervalo nas aproximações desejadas, para as condições de parede(5.44) e (5.45) utilizaremos a igualdade,

Ψ(−1) =𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(−1) (5.58)

logo teremos, respectivamente,

𝐷Ψ(−1) = 0 ⇒𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝐷𝑇𝑘(−1) = 0 (5.59)

Ψ(−1) = 0 ⇒𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(−1) = 0 (5.60)

92

Para as equações de contorno "transformadas"(5.49) e (5.52) consideraremos,

Ψ(1) =𝑁∑𝑘=0

𝑎𝑘𝑇𝑘(1) (5.61)

com isso podemos escrever respectivamente,

𝑁∑𝑘=0

{4𝐷2𝑇𝑘(1) + 𝛼2𝑇𝑘(1) − 4𝐷2𝑈(1)𝑇𝑘(1)}𝑎𝑘 = 𝑐𝑁∑𝑘=0

{4𝐷2𝑇𝑘(1) + 𝛼2𝑇𝑘(1)}𝑎𝑘 (5.62)

𝑁∑𝑘=0

{−32𝐷2𝑈(1)𝐷3𝑇𝑘(1) + 24𝛼2𝐷2𝑈(1)𝐷𝑇𝑘(1) + 8𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(1)𝐷𝑇𝑘(1)

−4𝑖𝛼𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+𝛼2

𝑊𝑒

)𝐷2𝑇𝑘(1)−𝑖𝛼3𝑅𝑒

(1

𝐹𝑟+𝛼2

𝑊𝑒

)𝑇𝑘(1)

}𝑎𝑘 = 𝑐

𝑁∑𝑘=0

{8𝑖𝛼𝑅𝑒𝐷2𝑈(1)𝐷𝑇𝑘(1)}𝑎𝑘

(5.63)

Para as equações (5.59), (5.60), (5.62) e (5.63) utiliza-se a equação (5.28) para as discreti-zações.

5.4.3 Problema de autovalor generalizado.

Como vimos nas subseções (5.4.1) e (5.4.2) a equação de Orr-Sommerfeld pode ser discre-tizada utilizando-se os produtos internos entre polinômios de Chebyshev, dessa forma os produtosinternos da equação (5.57) podem ser escritos como matrizes quadradas de ordem N. A equação(5.57) gera um problema de autovalor generalizado que pode ser escrito por,

[A]𝑁𝑥𝑁 �� = 𝑐[B]𝑁𝑥𝑁 �� (5.64)

93

onde 𝑁 é o número de polinômios de Chebyshev à serem utilizados e as matrizes A e B podemser escritas respectivamente como A = 𝐴𝑟 + 𝑖𝐴𝑖 e B = 𝐵𝑟 + 𝑖𝐵𝑖. No entanto, ainda é necessárioincorporar as condições de contorno na equação (5.64). Podemos notar que as equações (5.59),(5.60), (5.62) e (5.63) são na verdade vetores linha em 𝑘, onde cada uma destas equações podemser escritas na forma,

[A]1𝑥𝑁 �� = 𝑐[B]1𝑥𝑁 �� (5.65)

Para implementarmos essas condições de contorno devemos substituir as últimas quatro li-nhas do sistema (5.64) pelas equações (5.60), (5.59), (5.62) e (5.63) na forma de vetores linhadados por (5.65), com isso teremos o sistema pronto para ser resolvido.

Todos as discretizações assim como o método numérico foram implementados no softwareMATLAB. Para solucionar o problema de autovalor dado por (5.64) utilizamos a função 𝑒𝑖𝑔 dosoftware, esta função utiliza um algoritmo QZ para resolver o sistema gerando o espectro dos auto-valores, dessa forma pode-se analisar o espectro para diferentes valores de 𝑁 e com isso encontraro autovalor físico do problema. Para identificar este autovalor devemos fazer uma análise de sen-sibilidade da solução, para isso basta processarmos o problema com diferentes valores de 𝑁 eidentificar o autovalor que se mantém constante, ou converge para uma constante, conforme ocorreum incremento em 𝑁 . No entanto, este método utilizado isoladamente não é eficaz para produzir-mos uma curva de estabilidade. Isto se deve ao fato de que para produzirmos tal curva precisamosresolver o problema para duas variáveis físicas, por exemplo 𝛼 e 𝐹𝑟, sendo que a todo momento queaplicarmos um incremento em uma das variáveis o problema físico é novamente resolvido e dessamaneira o espectro dos autovalores sofre alguma alteração e pode vir a mudar a posição do autova-lor físico do problema, logo seria necessário coletar o autovalor em uma nova posição do espectropara não ocorrer erro no processamento, dessa forma se faz necessário o rastreamento desses auto-valores. Para resolvermos este problema de rastreamento do autovalor físico utilizamos um métodode iteração inversa. Este método nos permite encontrar uma aproximação para o autovalor e seuautovetor correspondente quando uma aproximação inicial é conhecida, dessa forma, retornandoapenas o autovalor físico e seu autovetor que serão utilizados como aproximação no próximo passodo processamento para algum incremento das variáveis. Neste trabalho tomamos como referência oalgoritmo utilizado no trabalho de Hossain (HOSSAIN, 2011) presente no apêndice 𝐷.2 do mesmo.

95

6 Análise e Discussão.

Como visto no capítulo 4, nenhuma instabilidade aparece para 𝑂(1). Desde que a razão dasamplitudes 𝜂 e Ψ0 sejam reais, a interface 𝜂 e a função corrente Ψ estão em fase. As perturbações develocidade 𝑢 = 𝜕Ψ

𝜕𝑦e 𝑣 = −𝜕Ψ

𝜕𝑥estão, respectivamente, dentro e fora de fase com a interface. Para

ordens menores o escoamento não manifesta qualquer instabilidade para perturbações de ondaslongas (CHARRU, 2011). Para 𝑂(𝛼), encontramos uma correção 𝑐1 = 𝑖𝑅𝑒 8

15[1− 5

8( 1𝐹𝑟

+ 𝛼2

𝑊𝑒)] para

o autovalor, que afeta a taxa de crescimento da instabilidade. Esta correção gera como resultado umnúmero de Froude crítico igual a 5

8, que a partir da equação (3.13) fornece o número de Reynolds

crítico 𝑅𝑒𝑐 = 54𝑐𝑜𝑡(𝜃); portanto, a mesma condição discutida ao final da seção (4.2) pode ser

aplicada para o número de Reynolds crítico. Estes resultados concordam com os encontrados porBenney (BENNEY, 1966) para a ordem 𝑂(𝛼) que são dados por 𝑐1 = 𝑖𝑅𝑒(𝑅𝑒 − 5

4𝑐𝑜𝑡(𝜃)) =

𝑖𝑅𝑒2(1 − 58

1𝐹𝑟

). Benney desconsiderou as contribuições do número de Weber até a ordem 𝑂(𝛼2),no entanto o mesmo critério para o aparecimento das instabilidades foi obtido. A solução para𝑂(𝛼2) foi 𝑐2 = −2− 32

63𝑅𝑒2[1− 5

8( 1𝐹𝑟

+ 𝛼2

𝑊𝑒)] que afeta a velocidade de fase. O valor encontrado por

Benney foi 𝑐2 = −2− 3263𝑅𝑒(𝑅𝑒− 5

4𝑐𝑜𝑡(𝜃)) = −2− 32

63𝑅𝑒2(1− 5

81𝐹𝑟

), sendo este o mesmo resultadoobtido neste trabalho para a solução assintótica de 𝑂(𝛼2) a menos da constante 𝛼2

𝑊𝑒. Esta diferença

é devido ao fato de Benney ter considerado 𝛼2

𝑊𝑒≈ 0 até a ordem 𝑂(𝛼2). Como esta correção afeta

apenas a velocidade de fase da onda ela não provoca nenhuma mudança no comportamento dodiagrama de estabilidade para um problema físico típico ar-água, por exemplo.

Para validação do método numérico utilizamos como referência o problema físico abordadopor Charru (CHARRU, 2011), para a implementação utilizamos os mesmos valores sendo 𝜃 = 𝜋/3,𝛼 = 0.01, 𝑊𝑒 = 0.0001 e 𝑅𝑒 = 1, obtendo assim os dados da tabela (6.1). Todos os resultadosnuméricos foram obtidos com a utilização de 16 polinômios de Chebyshev durante o cálculo.

Podemos notar boa concordância entre os resultados apresentados neste trabalho pela soluçãoassintótica e pelo método de Galerkin, assim como ambas as soluções concordam com os resultadosproduzidos por Charru (CHARRU, 2011). A utilização de 16 polinômios deve-se ao fato de ser omesmo número utilizado pelo autor para a convergência do autovalor físico, porém, é possívelreproduzir os mesmos resultados utilizando ao menos 6 pôlinomios com o método implementadoneste trabalho. Podemos notar a convergência das partes real e imaginária com base na análise desensibilidade do autovalor físico na tabela (6.2) obtidos com a solução numérica. Foi realizado umprocessamento deste mesmo problema para 𝑁 = 70, gerando o espectro dos autovalores mostradona figura (6.1) com o autovalor físico em destaque.

96

c𝑟(Assintótico) c𝑟(Numérico) c𝑖(Assintótico) c𝑖(Numérico)Charru 1,9998 1,9998 -0,1849 -0,1850

Chimetta e Franklin 1,9998 1,9998 -0,1849 -0,1850

Tabela 6.1: Tabela comparativa entre os resultados de (Charru, 2011) e os resultados propostosneste trabalho para as partes real e imaginária do autovalor físico.

N (n∘de poliômios utilizados) 4 5 6 8 12 16c𝑟 1,9997 1,9998 1,9998 1,9998 1,9998 1,9998c𝑖 -0.0518 -0.3016 -0,1850 -0,1850 -0,1850 -0,1850

Tabela 6.2: Variação do autovalor físico com base no número de polinômios utilizados.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

cr

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

ci

×106

Autovalor físico

Figura 6.1: Espectro dos autovalores para N = 70, com autovalor físico c = 1.999807794289158 -0.001840091868208i.

Após a validação das soluções assintótica e numérica consideramos um problema físico tí-pico ar-água utilizando como referência os valores 𝜇 = 0.001𝑁𝑠/𝑚2, 𝜌 = 998.2071𝐾𝑔/𝑚3,𝑔 = 10𝑚/𝑠2, 𝛾 = 0.07275𝑁/𝑚 para a temperatura 𝑇 = 20∘𝐶, 0.1 mm de espessura dofilme líquido e 𝛼 = 0.01. Para a tensão superficial 𝛾 utilizamos como referência o trabalho de(VARGAFTIK e outros, 1983). Com esses parâmetros físicos encontramos 𝐹𝑟𝑐 = 0,6250 que repre-senta o valor crítico do número de Froude para esse sistema, dessa forma podemos calcular pelaequação (3.13) o ângulo de inclinação crítico dado por 𝜃𝑐 = 26,40∘. Na figura (6.2) plotamos a

97

taxa de crescimento 𝜎(𝛼), utilizando uma variação angular de 𝜋8< 𝜃 < 𝜋

5.8para obter 𝐹𝑟 < 𝐹𝑟𝑐

e 𝐹𝑟 > 𝐹𝑟𝑐 com a solução assintótica. A Figura (6.3) foi feita com a abordagem numérica parao mesmo intervalo de 𝜃, dessa forma podemos notar grande acurácia entre as taxas de crescimentopara as soluções assintótica e numérica. Com os dados numéricos foi possível plotar o diagramade estabilidade marginal apresentado na figura (6.4) com 0 < 𝜃 < 𝜋

2.5e a curva neutra de 𝜎 = 0

que separa os domínios instável e estável. Ambos os domínios são representados por linhas comvalores negativos e positivos para a taxa de crescimento, seguindo a formulação adotada neste tra-balho, valores negativos (à esquerda e acima de zero) e valores positivos (à direita e abaixo de zero)correspondem às regiões estável e instável, respectivamente. Este diagrama mostra que a espessurada região instável tende a zero para o limiar de 𝐹𝑟 = 𝐹𝑟𝑐 e também que existem diferentes com-portamentos para a taxa de crescimento de acordo com o intervalo de 𝛼 a ser analisado. Tomandocomo exemplo o intervalo 0,04 < 𝛼 < 0,05 podemos notar que os valores de 𝜎 aumentam mais"rapidamente" se comparados a outros intervalos, implicando assim que para este intervalo o nú-mero de onda é mais afetado pelo incremento de inclinação da parede. A figura (6.5) mostra umacomparação entre as soluções assintótica e numérica para a curva de estabilidade marginal. Ambasestão em boa concordância, especialmente para um número de Froude inferior à 1, acima deste va-lor ambas as linha se separam, no entanto, a equação (4.62) estabelece que o limite para o númerode onda deve ser 𝛼𝑐 = 0,0705, baseado nas propriedades físicas apresentadas, e como podemos verambas as soluções estão em boa concordância com este limite logo, mesmo se considerarmos altosnúmeros de Froude, apenas um pequeno erro estará presente entre as duas soluções. Dessa forma,podemos concluir que ambas as soluções são válidas mesmo para uma grande variação angular daparede.

Analisamos também as contribuições dos grupos adimensionais 𝑅𝑒, 𝐹𝑟 e 𝑊𝑒 para a taxa decrescimento 𝜎. Na figura (6.6) plotamos a taxa de crescimento 𝜎 em função do número de Reynoldscom escala 𝑙𝑜𝑔 nesse mesmo eixo. Utilizamos os valores de 𝛼 = 0,01, 𝜃 = 𝜋

3, 𝑊𝑒 = 0,0001 e 𝐹𝑟

sendo calculado a cada passo de 𝑅𝑒 por (3.13). Podemos notar um comportamento assintótico de 𝜎para valores abaixo de 𝑅𝑒 = 1 com 𝜎 < 0 e um comportamento crescente para 𝑅𝑒 > 1 com 𝜎 > 0

caracterizando um escoamento instável. Para encontrarmos o Reynolds crítico no intervalo 1 <

𝑅𝑒 < 2 foi realizado um novo processamento nesse mesmo intervalo e como resultado plotamosa figura (6.7). Com esse novo processamento foi possível encontrar o resultado do último valornegativo da taxa de crescimento dado por 𝜎 = −1,5914.10−9 (considerando uma aproximação emReynolds da ordem de 10−4) com Reynolds crítico dado por 𝑅𝑒𝑐 = 1,9262, logo, para 𝑅𝑒 > 𝑅𝑒𝑐 ocomportamento do escoamento considerado torna-se instável. Fisicamente um aumento no númerode Reynolds deve ser provocado por um aumento na espessura ℎ do filme líquido, uma vez que os

98

2 4 6 8 10 12 14

α ×10-3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

σ

×10-5

Fr > Frc

Fr > Frc

Figura 6.2: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝛼) para 𝐹𝑟 < 𝐹𝑟𝑐 e 𝐹𝑟 > 𝐹𝑟𝑐 com asolução assintótica. A linha pontilhada representa a taxa de crescimento para o número de Froudecrítico.

demais valores são necessariamente constantes para o caso estudado, aumentando assim os efeitosinerciais do escoamento.

Para considerarmos um estudo do efeito do número de Froude na taxa de crescimento con-sideramos um novo sistema com os valores 𝛼 = 0,01, 𝑅𝑒 = 1 e 𝑊𝑒 = 0,0001, nesse casoconsideraremos a variação de Froude sendo provocada por uma variação angular (𝜃) uma vez queos adimensionais 𝑅𝑒 e 𝑊𝑒 são fixos. Como resultado temos a figura (6.8), nela podemos ver umcomportamento crescente de partindo da ordem de 10−3 até 10−1 tornando-se assintótico a partirdeste com 𝜎 > 0. Com base nos dados do processamento a condição crítica de Froude está no inter-valo 1 < 𝐹𝑟 < 2 logo, um novo estudo foi realizado nesse intervalo, o resultado é dado pela figura(6.9). Com base na análise desse novo intervalo foi possível identificar o último valor do numérode Froude para o qual a taxa de crescimento ainda é negativa dado por 𝐹𝑟𝑐 = 1,6682 (considerandonovamente uma aproximação do adimensional da ordem de 10−4) sendo este o valor crítico do nú-mero de Froude para o caso em questão, com 𝜎 = −8,5811.10−11. Em posse do número de Froudecrítico podemos encontrar o ângulo crítico para o qual o escoamento torna-se instável. Com a equa-ção (3.13) e o valor de 𝐹𝑟𝑐 para os adimensionais propostos, obtivemos o ângulo crítico dado por

99

2 4 6 8 10 12 14

α ×10-3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

σ

×10-5

Fr > Frc

Fr < Frc

Figura 6.3: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝛼) para 𝐹𝑟 < 𝐹𝑟𝑐 e 𝐹𝑟 > 𝐹𝑟𝑐 com os dadosnuméricos. A linha pontilhada representa a taxa de crescimento para o número de Froude crítico.

𝜃𝑐 = 73,31∘. Dessa forma, com o aumento do ângulo de inclinação da parede obtemos maior efeitoda componente gravitacional no escoamento, atingindo seu valor crítico em 𝜃𝑐 = 73,31∘ a partirdo qual o escoamento torna-se instável. O efeito do número de Froude torna-se cada vez menorconforme seu incremento a partir de seu valor crítico. Podemos notar tal comportamento com baseno resultado assintótico dado pela equação (4.59).

Nos últimos dois casos considerados para 𝜎(𝑅𝑒) e 𝜎(𝐹𝑟), consideramos que 𝛼2

𝑊𝑒= 𝑂(1),

sendo essa hipótese necessária para satisfazer um problema físico típico. No entanto para investi-garmos a contribuição do número de Weber para a taxa de crescimento 𝜎 devemos abrir mão destahipótese inicial. Para esse problema consideramos 𝛼 = 0,01,𝑅𝑒 = 1, 𝜃 = 𝜋

3e 𝐹𝑟 novamente calcu-

lado pela equação (3.13). Utilizando o método numérico para esse grupo adimensional temos comoresultado a figura (6.10), nela podemos notar um grande incremento na taxa de crescimento 𝜎 emfunção do número de Weber no intervalo que vai até 10−4 e um comportamento assintótico para or-dens maiores. Os dados deste processamento indicaram a presença de um valor crítico no intervalo0,0002 < 𝑊𝑒 < 0,0003, logo um novo processamento foi realizado nessa faixa, que é mostradona figura (6.11). Com esse resultado obtivemos 𝑊𝑒𝑐 = 0,0002248 (ordem de 10−7 em Weber)com 𝜎 = −3,1479.10−9 a partir do qual o escoamento torna-se instável. Este resultado mostra que

100

0.0024

0.0021

0.0018

0.0015

0.0012

0.0009

0.0006

0.0003

0.0001

0

-0.0

003

-0.0

009

-0.0

015

-0.0

021

-0.0

027

-0.0

033

-0.0

039

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fr

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

α

Figura 6.4: Diagrama de estabilidade em função do número de Froude. Curvas com valores de 𝜎negativos (à esquerda) e positivos (à direita) representam regiões estáveis e instáveis respectiva-mente.

para baixos números de Weber os efeitos de capilaridade, que atuam como forças estabilizantes,são dominantes em relação aos efeitos inerciais. Conforme ocorre um incremento no número deWeber, devido a um aumento da inércia, o escoamento torna-se cada vez mais próximo de tornar-seinstável, até atingir um limite assintótico para ordens maiores que 10−4, ou análogamente comoconsideramos nas demais situações 𝛼2

𝑊𝑒= 𝑂(1).

Com base nos estudos dos números de 𝑅𝑒 e 𝑊𝑒 também consideramos traçar os diagramasde estabilidade para esses números adimensionais, semelhante ao feito para Froude na figura (6.4),dados nas figuras (6.12) e (6.13) para o número de Reynolds e na figura (6.14) para o número deWeber. Os resultados das figuras (6.12) e (6.12) estão em concordâncias com os apresentados nasfiguras (6.6) e (6.7). Ambos os gráficos representam o mesmo problema físico considerado ante-riormente para o número de Reynolds, no entanto, devido ao fato de termos utilizado diferentes"passos" para o incremento de 𝑅𝑒 em cada intervalo (0.001 na figura (6.12) e 1 na figura (6.13))o tempo de processamento necessário para o intervalo 0.001 < 𝑅𝑒 < 1 foi maior, devido a estefator, eles foram considerados separadamente. No diagrama (6.12) podemos notar que toda a regiãoé estável com valores de 𝜎 negativos, o que concorda com o apresentado na figura (6.13) para o

101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fr

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

αEstável

Instável

Figura 6.5: Comparação entre os diagramas de estabilidade para as soluções assintótica e numé-rica, dada por 𝛼 em função de 𝐹𝑟. A linha contínua representa a equação (4.61) para a soluçãoassintótica e a linha pontilhada os dados numéricos.

10-2

10-1

100

101

102

Re

-2

0

2

4

6

8

10

12

σ

×10-4

Figura 6.6: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑅𝑒) para a solução numérica.

intervalo 0 < 𝑅𝑒 < 1. No diagrama (6.13) temos o aparecimento da curva neutra 𝜎 = 0 e com issoo surgimento da região instável, ocorrendo com valor próximo à 𝑅𝑒 = 2 validando o resultado an-terior de 𝑅𝑒𝑐 = 1,9262, a imprecisão entre esses dois valores deve-se ao fato do passo considerado

102

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Re

-20

-15

-10

-5

0

5σ

×10-6

X: 1.926

Y: -1.591e-09

Figura 6.7: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑅𝑒) no intervalo 1 < 𝑅𝑒 < 2 com 𝑅𝑒𝑐 =1,9262 e 𝜎 = −1,5914.10−9.

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Fr

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

σ

Figura 6.8: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝐹𝑟) para a solução numérica.

para o número de Reynolds no diagrama de estabilidade (6.13) ser igual a 1, enquanto na figura 6.7

utilizamos um passo igual a 0.0001. Pode-se notar também que o número de Reynolds não apre-senta comportamento assintótico, como em 𝜎(𝛼) logo, conforme ocorre incremento em seu valor,provocado por um aumento de efeitos inerciais, a região instável tende a aumentar. Em relação a fi-gura (6.14) podemos notar que ocorre o aparecimento da região instável próximo à𝑊𝑒 = 0.00022,este resultado concorda com os obtidos anteriormente para 𝑊𝑒𝑐. Pela relação de dispersão 𝜎(𝑊𝑒)

notamos que o incremento causado para a taxa de crescimento da instabilidade tende para um com-portamento assintótico, porém podemos notar que a variação do número de Weber pode causar um

103

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

Fr

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

σ

×10-6

X: 1.668

Y: -8.581e-11

Figura 6.9: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝐹𝑟) no intervalo 1 < 𝐹𝑟 < 2 com 𝐹𝑟𝑐 =1,6682 e 𝜎 = −8,5811.10−11.

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

We

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

σ

×10-3

Figura 6.10: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑊𝑒) para a solução numérica.

aumento na região instável do diagrama de instabilidade (6.14), assim como sua diminuição podeestabilizar o escoamento para ordens menores que 10−4. Esse comportamento não é previsto pelasolução assintótica apresentada neste trabalho, tornando assim os grupos adimensionais 𝑅𝑒 e 𝐹𝑟dominantes. Contudo, uma vez que fatores de correção de ordens maiores como 𝑂(𝛼3) e 𝑂(𝛼4)

forem considerados os efeitos do número de Weber, com ordem menor que 10−4, podem passar aser relevantes e com isso efeitos viscosos dominariam o escoamento.

104

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

We ×10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

σ

×10-6

X: 0.0002248

Y: -3.148e-09

Figura 6.11: Comportamento da taxa de crescimento 𝜎(𝑊𝑒) no intervalo 0,0002 < 𝑊𝑒 < 0,0003com 𝑊𝑒𝑐 = 0,0002248 e 𝜎 = −3,1479.10−9.

-0.004-0.0023-0.0015-0.0013

-0.001

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

10-3

10-2

10-1

100

Re

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

α

Figura 6.12: Diagrama de estabilidade em função do número de Reynolds para o intervalo 0,001 <𝑅𝑒 < 1.

105

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.0022

-0.0018

-0.0014

-0.001

-0.0006

-0.0003

0

0.0004

0.0008

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Re

0.01

0.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

0.017

0.018

0.019

0.02α

Figura 6.13: Diagrama de estabilidade em função do número de Reynolds para o intervalo 1 <𝑅𝑒 < 100.

-1

-0.6

-0.2

-0.1

-0.0

6

-0.0

4

-0.0

3

-0.0

2

-0.008

-0.004

-0.002

-0.0009

0

0.0004

0.0008

10-4

10-3

10-2

10-1

We

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

α

Figura 6.14: Diagrama de estabilidade em função do número de Weber para o intervalo 0.0001 <𝑅𝑒 < 0.1.

107

7 Conclusão.

Neste trabalho, realizamos um estudo da equação de Orr-Sommerfeld para a formação deondas de superfície em um plano inclinado. Para tanto realizamos duas abordagens, uma analíticacom expansões em série de potência, e outra numérica com a implementação de um método de Ga-lerkin. Ao resolvermos a equação de Orr-Sommerfeld e suas condições de contorno fomos capazesde encontrar condições críticas, em função dos grupos adimensionais 𝑅𝑒, 𝐹𝑟 e 𝑊𝑒. Com basenesses grupos adimensionais críticos podemos saber sob quais condições físicas um escoamento deum filme líquido em regime permanente apresentará instabilidades que provocarão a formação deondas de superfície.

A análise assintótica mostrou-se um método útil para proporcionar uma bom sentido físicodo problema. Realizando a análise na 𝑂(1) para 𝑂(𝛼) encontramos a celeridade e a taxa de cres-cimento da instabilidade, ambas estão em boa concordância com os resultados obtidos por Benney(BENNEY, 1966). Para𝑂(𝛼2), o resultado para 𝑐2 difere dos resultados de Benney apenas pelo fator𝛼2

𝑊𝑒. Esta diferença ocorre pelo fato de que a resolução presente neste trabalho considera 𝛼2

𝑊𝑒= 0

para todas as ordens de aproximação, enquanto que Benney passou a considerar as contribuiçõesdo número de Weber a partir da 𝑂(𝛼3). Com a correção 𝑐1 para a 𝑂(𝛼), foi possível encontrar, paraas aproximações realizadas, o número de Froude crítico, o qual determina a condição crítica entreos efeitos inerciais e gravitacionais: quando 𝐹𝑟 < 5

8os efeitos gravitacionais são dominantes, e

com isso o filme líquido é estável, para 𝐹𝑟 > 58

os efeitos inerciais dominam o escoamento e ofilme líquido passa a ser instável. Em posse do número de Froude crítico foi possível desenvolveruma expressão para as curvas de instabilidade, assim como para o diagrama de estabilidade mar-ginal. O método numérico mostrou-se válido em relação aos resultados previamente publicados.Após sua validação foi possível considerar um problema físico típico ar-água e assim obter a rela-ção de dispersão 𝜎(𝛼) e a curva de estabilidade neutra nos quais ambos os métodos mostraram-seem concordância em relação aos comportamentos das soluções. Foi possível também considerar 3problemas físicos similares e, dessa forma, estabelecer condições criticas para cada um dos gruposadimensionais apresentados neste trabalho, com isso tornando melhor a compreensão da contribui-ção de cada grupo adimensional para com o surgimento das instabilidades de ondas de superfície.No sistema que encontramos 𝑊𝑒𝑐(figura (6.10)) nota-se que o maior efeito para o número de We-ber no problema é quando 𝛼2

𝑊𝑒< 𝑂(1) o que não consideramos no sistema real ar-água, uma vez

que as constantes físicas da água e a tensão interfacial ar-água respeitam a relação 𝛼2

𝑊𝑒= 1, dei-

xando este resultado apenas como uma ilustração teórica do papel que o número de Weber podeexercer para a taxa de crescimento das instabilidades. De modo geral o maiores efeitos presentes

108

para o surgimento, ou não, das ondas de superfície no sistema ar-água devem-se as contribuiçõesdos números de Reynolds e Froude, ou seja, devido aos efeitos inerciais e gravitacionais presentesno escoamento.

Como possibilidades de estudos futuros, pode-se realizar um estudo da formação da onda eapresentação das linhas de corrente das perturbações, assim como o campo vetorial das perturba-ções das velocidades. Ainda no escopo de escoamentos de filmes líquidos em um plano inclinado,podemos considerar um sistema envolvendo fluidos não-Newtonianos. É possível considerar tam-bém os escoamentos de filmes líquidos Newtonianos e não-Newtonianos na presença de paredesinclinadas que apresentam rugosidades na forma de onda. Assim como expandir esses casos parauma análise tridimensional das perturbações. Todos os sistemas anteriores podem ser consideradoscom, ou sem, a presença de um gradiente de temperatura.

109

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